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7/31/2019 Formulaire de Revision Pour Les Brevet Des Colleges
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Formulaire de Rvision pour le Brevet des Collges
Algbre
Calculs sur les fractions
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, on les rduit au mmednominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numrateurs et on
conserve le dnominateur commun.
Pour multiplierdeux fractions, on multiplie les numrateurs entre eux etles dnominateurs entre eux.
Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction numrateur parl'inverse de la fraction dnominateur.
Calculs sur les puissances a et b tant deux rels, m et n tant deux
entiers naturels:nmnm
aaa+
= ( )mmmbaba =
nmn
maa
=
nm
n
m
aa
a =
Remarques relatives aux puissances de 10: 1000101010103
==
00101000
1
10
1103
3
,
===
Notation scientifique normalise
Tout nombre positifxpeut s'crire sous la forme x=a10n , o 1< a < 10 et nest un entier relatif.
Calculs sur les racines carres a et b tant des rels positifs:
baba = ( ) aaa == 22b
aba =
Identits remarquables a et b tant deux rels quelconques:
( )222
2 bababa ++=+
( )
2222
bababa +=( )( )
22
bababa =+
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Arithmtique
Multiple d'un entier naturel
On appelle multiple d'un nombre entier naturel, le produit de ce nombre entier
naturel par un autre nombre entier naturel.
Diviseur d'un entier naturel
Soit deux entiers naturels a et b.
a est diviseur de b lorsque la division de b par a se fait exactement, c'est--dire
ne donne pas de reste.
Diviseur commun deux entiers naturels
Un entier naturel est diviseur commun de deux entiers naturels s'il les divise
tous les deux.
PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels Soit deux
entiers naturels a et b. Le plus grand de tous les diviseurs communs a et b
est appel PGCD de ces deux nombres.
Nombre premier
Un nombre est premier lorsqu'il est divisible que par 1 et par lui-mme.
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est gal 1.
Fraction irrductible
La fractionba est irrductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, la fractionba est simplifiable.
En divisant les deux entiers naturels a et b par leur PGCD, on obtient une
fraction irrductible.
Algorithme d'Euclide
Il permet de dterminer le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b telsque a> b. On effectue la division de a par b. On appelle q1 le quotient obtenu etr1 le reste. On effectue la division de b par r1 . On appelle q2 le quotient obtenuet r2 le reste. Et ainsi de suite; le dernier reste non nul est le PGCD de a et b.
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Gomtrie Le plan tant rapport un repre orthonormal (0 ; I, J) :
Vecteur dfini par ses coordonnes ( )ABAByyxxAB ;
Distance de deux points ( ) ( )22
ABAB yyxxAB +=
Coordonnes du milieu M d'un segment [AB]
++22
BABAyyxx
M ;
Relation de Chasles avec des vecteurs
Quels que soient les points A, B et C du plan, alors: ACBCAB =+
Tangente en un point A d'un cercle de centre 0
En chaque point A d'un cercle, il existe une tangente au cercle de centre O;cette tangente est perpendiculaire au rayon [OA].
THALES
1. Proprit de Thals
. Les droites (BM) et (CN) sont scantes en A et les droites (BC) et (MN) sont
parallles, alors d'aprs la proprit de Thals:BCMN
ACAN
ABAM ==
2. Rciproque de la proprit de Thals .
Si les points A, B et M d'une part et les points A, C, et N d'autre part sont dans
le mme ordre et siACAB
ABAM = alors d'aprs la rciproque de la proprit de
Thals, les droites (BC) et (MN) sont parallles.
PYTHAGORE
1. Proprit de PythagoreSi un triangle ABC est rectangle en A, alors d'aprs la thorme de Pythagore
222
ACABBC +=
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2. Rciproque de la proprit de Pythagore
Si un triangle ABC est tel que 222 ACABBC += , alors d'aprs la rciproque du
thorme de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A.
Triangle rectangle
Tout triangle ABC rectangle en A a pour cercle circonscrit le cercle de diamtre[BC].
Dans un triangle rectangle, la mdiane relative l'hypotnuse est gale lamoiti de l'hypotnuse.
Trigonomtrie
Agrandissements et rductions
Dans un agrandissement (ou une rduction) de rapport k:- Les longueurs sont multiplies (ou divises) par k.- Les aires sont multiplies (ou divises) par k2.
- Les volumes sont multiplis (ou divises) park3.
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Proprits des angles
Angles correspondants
Si (xx') est parallle (yy'), alors zMx '=zNy '
Angles alternes internes
Si (xx') est parallle (yy'), alors
xMz '=
zNy ' .
Angles complmentaires
Angles dont la somme des mesures vaut 90 degrs.
Angles supplmentaires
Angles dont la somme des mesures vaut 180 degrs.
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180.
Dans un quadrilatre, la somme des mesures des quatre angles vaut 360.
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Aire et Volume
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Statistiques
Caractristiques de position
Moyenne d'une srie statistiqueC'est le nombre m rel gal au quotient de la somme de toutes les
valeurs de la srie statistique par l'effectif total.
Mdiane
C'est la valeur qui partage la srie statistique, range par ordre croissant
(ou dcroissant), en deux parties de mme effectif. Si l'effectif total de lasrie est un nombre impair, la mdiane est une valeur de la srie. Sinon,
c'est un nombre compris entre deux valeurs de la srie.
On prend souvent pour mdiane la moyenne de ces deux valeurs.
Caractristiques de dispersion
tendue
C'est la diffrence entre la plus grande et la plus petite valeur de la srie
statistique.
cart moyen
C'est la moyenne de la srie obtenue en prenant les valeurs positives des
diffrences entre chaque valeur de la srie statistique et la valeur
moyenne de la srie.