formalisation pour les sciences sociales et politiques...
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Formalisation pour les sciences sociales et politiques
Fonctions II
Matteo [email protected]
Université libre de Bruxelles
SOCA-D173 2019-2020, Leçon 8
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 1 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Plan de la leçon
Petite histoire du nombre : bases et chiffres
Hyperbole
Exposants
Exponentielle
Logarithme
Composition de fonctions
Syllabus : Ch. 6.
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 2 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
D’abord, ça sert a quoi ?
HyperbolePour comprendre la signification de « inversement proportionnel ».
ExponentielleModèle fondamentale en statistiques (distribution exponentielle,distribution normale) et démographie (croissance d’une population).
LogarithmePour comprendre la régression logistique et les changements d’échelle.
Composition de fonctionPour lire et comprendre les formules représentant des distributions deprobabilité, et comprendre l’effet de leurs paramètres.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Petite histoire du nombre : bases et chiffres
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 4 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Petite histoire du nombre : bases et chiffres
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 4 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Notation scientifique
Les nombres trop petits ou trop grands pour être écrits de façon pratiquesont représentés par vos calculettes et ordinateurs dans cette forme
±a× 10n,
où a ∈ [1; 10[ est la mantisse, et n ∈ Z l’exposant.Exemples :
123, 45 = 1, 2345× 102,
0, 0067 = 6, 7× 10−3.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Notation scientifique
Les nombres trop petits ou trop grands pour être écrits de façon pratiquesont représentés par vos calculettes et ordinateurs dans cette forme
±a× 10n,
où a ∈ [1; 10[ est la mantisse, et n ∈ Z l’exposant.Exemples :
1
2⏞ ⏟ 23 , 45 = 1, 2345× 102,
0,
3⏞ ⏟ 006 7 = 6, 7× 10−3.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Hyperbole et inverse
Si l’on divise une constante a par x on obtient une fonction qui correspondà une hyperbole sur le plan :
y = f (x) =a
x= ax−1.
On dit dans ce cas que y estinversement proportionnelle à x .Pour tout a ̸= 0, f est :
I définie en R0 = R− {0},I bijective sur R0
Pour a = 1, f (x) = 1x = x−1 s’appelle fonction inverse, et son application
réciproque est égale à elle-même.Voir le graphique interactif.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exposants et leurs propriétésVous connaissez déjà bien les puissances avec exposant entier,an, a ∈ R+
0 = ]0; +∞[, n ∈ Z. On vous a expliqué que l’exposant représentela répétition d’une multiplication :
an =
n fois⏞ ⏟ a · a . . . · a
Vous connaissez bien les propriétés des exposants, n’est-ce pas ? Parexemple :
aman = am+n
Que dire des exposants négatifs ?
a−n =1an
Ou bien des exposants rationnels
a1n = n
√a
Mais surtout pourquoi a0 = 1 ? ? ?
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
L’Expand-o-tronImaginons un appareil pour « étendre » la matière, avec deux réglages :
I facteur de croissance par
seconde aI un « timer » t
Par exemple : je mets une quantité 1de matière à étendre avec un facteurde croissance a = 3, pendant 2secondes, en passant :
I de 1 à 3 pendant la premièreseconde
I de 3 à 9 pendant la deuxièmeEn général, pour une quantité initiale u de matière, je vais en obtenir
r = u · at
r
u= at
Source : [Azad 2009]. Voir graphique interactif.M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 8 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exposants et produits
Comment on évalue am · an avec un Expand-o-tron ?
I Je mets u = 1 à étendre avec croissance a, pendant m secondes ;I je mets le résultat am à étendre (donc cette fois u = am), encore avec
croissance a, pendant n secondes.
Mais vu que la croissance a est la même dans les deux cas, je pourrais aussilaisser étendre l’originale u = 1 pendant m + n secondes, avec le mêmerésultat ! Donc :
aman = am+n.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exposant nul
Comment on évalue a0 avec un Expand-o-tron ?
I Je mets une quantité u à étendre avec croissance a, pendant 0secondes. Rien ne change !
I Le résultat est donc r = u · a0=u.
u · a0 = u
Donc, en divisant par u :
a0 = 1 ∀a ∈ R.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exposant négatifAvec t < 0, l’expand-o-tron devient une machine du temps !
I Je mets une quantité u à étendre avec croissance a, pendant t = −1secondes, en obtenant r = u · a−1 = ? ? ?
I On peut reformuler ça ainsi : je me suis retrouvé avec une quantitéfinale u, après 1 seconde à croissance a. Quelle était la quantité dedépart r ?
I Je peux donc écrire : u = r · a1 = r · a.I Si je divise par a : u · 1
a = r .I Mais je sais que r = u · a−1, donc u · a−1 = u · 1
a
En divisant par u :
a−1 =1a1
∀a > 0.
Si on va en arrière pendant n secondes, avec le même procédé :
a−n =1an
∀a > 0.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exposant rationnel et racinesJe mets u à étendre avec croissance a pendant t = 1 seconde, mais j’ouvrela porte après t = 1
2 secondes :
I Si j’avais laissé pour t = 1, j’aurais obtenu r = u · a1 = u · a.I Je suis resté avec r ′ = u · a
12 = ? ! ?
I Si je referme la porte et je laisse étendre pour le restant t = 12 , je dois
bien obtenir u · a, donc :
r = r ′ · a12 = u · a
12 · a
12 = u · a.
En divisant la dernière équation par u :
a12 · a
12 = a,
donc :
a12 =
√a ∀a ≥ 0.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exposant rationnel et racines
Je mets u à étendre avec croissance a pendant t = 1 seconde, mais j’ouvrela porte après t = 1
2 secondes :
I Si j’avais laissé pour t = 1, j’aurais obtenu r = u · a1 = u · a.I Je suis resté avec r ′ = u · a
12 = ? ! ?
I Si je referme la porte et je laisse étendre pour le restant t = 12 , je dois
bien obtenir u · a, donc :
r = r ′ · a12 = u · a
12 · a
12 = u · a.
Si j’ouvre et referme n − 1 fois à intervalles réguliers, pour ouvrir la n-èmefois à t = 1 :
a1n = n
√a ∀a ≥ 0.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Fonctions exponentielles
Jusqu’ici on a utilisé les exposants pour définir des fonctions puissance, dugenre : f (x) = xa, où a est un paramètre (donc constant pour une fonctiondonnée).Et si on écrivait plutôt f (x) = ax ? Un telle fonction est appelée unefonction exponentielle.
Cette famille de fonctions est utilisée surtout pour décrire l’évolution dans
le temps (x) d’une quantité soumise à une croissance constante (a).
Formellement : f (x) = ax , avec a > 0, est une application bijective entre :
f : R → R+0 ,
où R+0 = ]0; +∞[ est l’ensemble des réels positifs non nuls.
Voir graphique interactif.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exemple : la croissance d’un bactérie
Considérons une bactérie qui se reproduit en se divisant en 2 nouveauxindividus chaque heure. En indiquant avec t le temps en heures, u = f (0)le nombre d’individus initial, la formule pour calculer le nombre d’individusf (t) après t heures équivaut à un expand-o-tron avec facteur de croissancea = 2, donc :
f (t) = f (0) · 2t ,
soit :
f (t)
f (0)= 2t .
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exemple : la croissance d’un bactérie
Considérons une bactérie qui se reproduit en se divisant en 2 nouveauxindividus chaque heure. En indiquant avec t le temps en heures, u = f (0)le nombre d’individus initial, la formule pour calculer le nombre d’individusf (t) après t heures équivaut à un expand-o-tron avec facteur de croissancea = 2, donc :
f (t) = f (0) · 2t ,
soit :
f (t)
f (0)= 2t .
0
5
10
15
0 1 2 3 4
t [hours]
f(t)
/f(0
)
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exemple : la croissance d’un bactérie
Considérons une bactérie qui se reproduit en se divisant en 2 nouveauxindividus chaque heure. En indiquant avec t le temps en heures, u = f (0)le nombre d’individus initial, la formule pour calculer le nombre d’individusf (t) après t heures équivaut à un expand-o-tron avec facteur de croissancea = 2, donc :
f (t) = f (0) · 2t ,
soit :
f (t)
f (0)= 2t .
0.0e+00
5.0e+06
1.0e+07
1.5e+07
0 5 10 15 20 25
t [hours]
f(t)
/f(0
)
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exemple : la croissance d’un bactérie
Considérons une bactérie qui se reproduit en se divisant en 2 nouveauxindividus chaque heure. En indiquant avec t le temps en heures, u = f (0)le nombre d’individus initial, la formule pour calculer le nombre d’individusf (t) après t heures équivaut à un expand-o-tron avec facteur de croissancea = 2, donc :
f (t) = f (0) · 2t ,
soit :
f (t)
f (0)= 2t .
0e+00
1e+14
2e+14
0 10 20 30 40 50
t [hours]
f(t)
/f(0
)
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Fonction exponentielle en base e
Un nombre qui est souvent utilisécomme base de la fonctionexponentielle est la constante de
Néper e ≈ 2.7182, définie commelimite :
(1+1n)n −−−→
n→∞e,
Voir Syllabus, Sec. 6.7.
Graphique interactif.
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Logarithme
Rappel : f (x) = ax , avec a > 0, est une application bijective entre :
f : R → R+0 ,
où R+0 = ]0; +∞[ est l’ensemble des réels positifs non nuls.
On peut donc définir sa fonction réciproque, le logarithme de base a :f −1(x) = loga x , avec a > 0 :
f : R+0 → R.
On appelle le logarithme de base e logarithme népérien loge x = ln x .Une autre base qui est souvent utilisée est 10 : si x = 10y on écrity = log10 x = log x .
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 16 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Logarithme
Rappel : f (x) = ax , avec a > 0, est une application bijective entre :
f : R → R+0 ,
où R+0 = ]0; +∞[ est l’ensemble des réels positifs non nuls.
On peut donc définir sa fonction réciproque, le logarithme de base a :f −1(x) = loga x , avec a > 0 :
f : R+0 → R.
On appelle le logarithme de base e logarithme népérien loge x = ln x .Une autre base qui est souvent utilisée est 10 : si x = 10y on écrity = log10 x = log x .
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 16 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Logarithme népérien
Essayer f(x)=eˆx dans ce graphique.
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 17 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Logarithme népérien
Essayer f(x)=eˆx dans ce graphique.
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 17 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Propriétés des logarithmesLe logarithme permet de transformer un produit en somme.Pour a > 0, u > 0, v > 0, b ∈ R, c ∈ R :On connaît déjà :
ab · ac = a(b+c)
a0 = 1
1ac
= a−c
ab
ac= a(b−c)
(ab)c = a(b·c)
On voit donc que :
loga(u · v) = loga u + loga v
loga 1 = 0
loga1v= − loga v
logau
v= loga u − loga v
loga(uc) = c loga u
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Exercice
Slide précédente : démontrer les équivalences à droite à partir de celles àgauche, en écrivant u = ab et v = ac .Exemple : soient a > 0, b ∈ R, c ∈ R, u = ab, v = ac .Étant donné que ab · ac = a(b+c), démontrer loga(u · v) = loga u + loga v .loga(u · v) = loga(a
b · ac) par hypothèse ;loga(a
b · ac) = loga(ab+c) par les propriétés des exposants ;
loga(ab+c) = b + c car loga(a
x) = x ;b+ c = loga(u)+ loga(v) car u = ab ⇔ loga(u) = b, de même pour v et c .
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 19 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Composition de fonctionsSi j’ai deux fonctions f et g telles que :
I le but de f est la source de gI l’image du domaine de f est contenue dans le domaine de g
f : A → B
g : B → C
je peux en définir une troisième quien est la composition
(g ∘ f ) : A → C
en évaluant d’abord f , puis g :
y = g [f (x)].
AB
Domaine de f
Image de f
C
fg
Domaine de g
Dans le plan : voir graphique.
Exemple : si f (x) = ax et g(x) = x + b, leur composition est la droiteg [f (x)] = ax + b.
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 20 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Composition de fonctionsSi j’ai deux fonctions f et g telles que :
I le but de f est la source de gI l’image du domaine de f est contenue dans le domaine de g
f : A → B
g : B → C
je peux en définir une troisième quien est la composition
(g ∘ f ) : A → C
en évaluant d’abord f , puis g :
y = g [f (x)].
AC
g o f
Dans le plan : voir graphique.
Exemple : si f (x) = ax et g(x) = x + b, leur composition est la droiteg [f (x)] = ax + b.
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 20 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Domaine de définition des fonctions composées*Conditions d’existence à imposer pour trouver le domaine des fonctionscomposées g [f (x)], avec f : D → R, où D ⊂ R est le domaine de f (x).
Fonction g [f (x)] Condition sur f (x)
[f (x)]n, n ∈ N Aucuneh(x)f (x) f (x) ̸= 0
f (x)−n, n ∈ N f (x) ̸= 0√︀f (x) f (x) ≥ 0
ln [f (x)] f (x) > 0
ef (x) Aucune
Une fois trouvée l’ensemble C ⊂ R où la condition est vraie, le domaine dedéfinition de g [f (x)] est D ∩ C .
I Si aucune condition sur f : C = R, le domaine de g [f (x)] estD ∩ R = D.
I Si le domaine de f est D = R, le domaine de g [f (x)] est R ∩ C = C .
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Composition et réciproqueSi on compose une application bijective
f : A → B
avec sa réciproque f −1
f −1 : B → A,
on fait un “aller-retour” :
I de chaque point x ∈ A on va à son image f (x) ∈ BI de f (x) on revient à son unique antécédent x
Dans ce cas f −1 ∘ f = f ∘ f −1.Ceci nous permet d’écrire, par exemple :
(√x)2 =
√x2 = x , ∀x ∈ R+
e ln x = ln(ex) = x , ∀x ∈ R+0
aloga x = loga(ax) = x , ∀x ∈ R+
0
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Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle
Une composition de fonction très utilisée en statistique implique la fonction
g(x) =x − 𝜇
𝜎.
En composant une fonction h(x) avec g , on obtient une nouvelle fonctionf (x) = h[g(x)], qui est une version translatée et dilatée en horizontal de lah originale.𝜇 est le paramètre de position, et contrôle le déplacement horizontal, versla droite (𝜇 > 0) ou vers la gauche (𝜇 < 0).𝜎 est le paramètre d’échelle, et contrôle la dilatation (𝜎 > 1) oucompression (𝜎 < 1) horizontale.
Exemple : f (x) =(︀ x−𝜇
𝜎
)︀2. Voir graphique interactif.
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 23 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle : exemple 1
g(x) =(x − 1)
2, h(x) = x2
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
h(x
) =
x^2
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
g(x
) =
(x−
1)/
2
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 24 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle : exemple 1
g(x) =(x − 1)
2, h(x) = x2
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
h(x
) =
x^2
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2
x
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 24 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle : exemple 1
g(x) =(x − 1)
2, h(x) = x2
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
h(x
) =
x^2
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2
x
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
f(x)
= h
[g(x
)]
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 24 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle : exemple 2
g(x) =(x − 1)
2, h(x) = e−x2
h est la fonction Gaussienne non normalisée.Voir deuxième graphique ici pour la version normalisée.
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
h(x
) =
exp(−
x^2
)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
g(x
) =
(x−
1)/
2
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 25 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle : exemple 2
g(x) =(x − 1)
2, h(x) = e−x2
h est la fonction Gaussienne non normalisée.Voir deuxième graphique ici pour la version normalisée.
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
h(x
) =
exp(−
x^2
)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2
x
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 25 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Position et échelle : exemple 2
g(x) =(x − 1)
2, h(x) = e−x2
h est la fonction Gaussienne non normalisée.Voir deuxième graphique ici pour la version normalisée.
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
h(x
) =
exp(−
x^2
)
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0g(x) = (x−1)/2
x
−5.0
−2.5
0.0
2.5
5.0
−5.0 −2.5 0.0 2.5 5.0x
f(x)
= h
[g(x
)]
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 25 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Échelle logarithmiqueOn peut utiliser la composition de fonctions pour rendre des graphiquesplus clairs.Le logarithme présente un avantage dans ce sens : il permet de mieuxvisualiser une fonction qui varie sur plusieurs ordres de grandeur.Par exemple, si on dessine le graphique de log10(2
t) (à gauche), on obtientune droite :
0
5
10
15
0 1 2 3 4
t [hours]
f(t)
/f(0
)
1
2
3
4
5
6789
10111213141516
0 1 2 3 4
t [hours]
f(t)
/f(0
) [log10 s
cale
]
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 26 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Échelle logarithmiqueOn peut utiliser la composition de fonctions pour rendre des graphiquesplus clairs.Le logarithme présente un avantage dans ce sens : il permet de mieuxvisualiser une fonction qui varie sur plusieurs ordres de grandeur.Par exemple, si on dessine le graphique de log10(2
t) (à gauche), on obtientune droite :
0.0e+00
5.0e+06
1.0e+07
1.5e+07
0 5 10 15 20 25
t [hours]
f(t)
/f(0
)
1e+01
1e+02
1e+03
1e+04
1e+05
1e+06
1e+07
0 5 10 15 20 25
t [hours]
f(t)
/f(0
) [log10 s
cale
]
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 26 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Échelle logarithmiqueOn peut utiliser la composition de fonctions pour rendre des graphiquesplus clairs.Le logarithme présente un avantage dans ce sens : il permet de mieuxvisualiser une fonction qui varie sur plusieurs ordres de grandeur.Par exemple, si on dessine le graphique de log10(2
t) (à gauche), on obtientune droite :
0e+00
1e+14
2e+14
0 10 20 30 40 50
t [hours]
f(t)
/f(0
)
1e+01
1e+02
1e+03
1e+04
1e+05
1e+06
1e+07
1e+08
1e+09
1e+10
1e+11
1e+12
1e+13
1e+14
0 10 20 30 40 50
t [hours]
f(t)
/f(0
) [log10 s
cale
]
M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 26 / 27
Chiffres Hyperbole Exposants Exponentielle Logarithme Composition de fonctions
Conclusion
À retenir
I Notation scientifiqueI HyperboleI Propriétés des exposantsI ExponentielleI Logarithme (propriétés)I Composition de fonctions
Syllabus : Ch. 5, 6.
Prochainement
I Étude de fonctionsI DérivéeI Intégrale
Syllabus : Ch. 7.M. Gagliolo (ULB) Fonctions II SOCAD173:8 27 / 27