Mécanique: chapitre 2

Forces; MomentsForces; Moments

INTRODUCTION

Toute action mécanique s'exerçant sur un objet a pour effet soit:de modifier son mouvement ou de le mettre en mouvement,de le maintenir en équilibre,de le déformer.

Toute action mécanique exercée sur un objet est décrite par quatre caractéristiques:le point d'application,la droite d'action,le sens,la valeur: son intensité.

Caractéristiques d’un VECTEUR

Une FORCE est une grandeur vectorielle

Poids

Portance

Une action sur un solide se décrit en général par PLUSIEURS FORCES.

ATTENTION !!

Il est souvent insuffisant de ne connaître que la somme vectorielle de toutes les forces pour décrirele mouvement d’un solide.

Il est nécessaire de connaître une grandeur supplémentaire, le MOMENT total des forces(somme vectorielle des moments des forces) s'exerçant sur le solide.

1F

2F

021 =+ FF

Somme vectorielle des forces

+ = TORSEUR FORCESomme vectorielle des moments des forces

Une somme des forces nulle peut mettre en mouvement un solide (cas d'un couple de forces).

1. LES FORCES

son point d'application, Asa droite d'action, Δson sens,son intensité, F.

Fr

A

ΔCaractéristiques d’une force

Les forces suivent donc les lois de l'algèbre des vecteurs,

21 FFF +=

1F

2F

1F

2F

xeye

ze

Pour les composantes

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

f

ff

F

1

1

1

1⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

z

y

x

f

ff

F

2

2

2

2⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

=

zz

yy

xx

ff

ffff

F

21

21

21

1F

2F

21 FFF +=

FP −=

021 =++ FFP

Exemple: solide ponctuel suspendu à 2 ressorts

Les forces peuvent être regroupées en trois familles:

les forces de champ: force de gravitation, force électrostatique, force magnétique,les forces de contact: force de frottement,les forces nucléaires assurant la cohésion du noyau atomique.

Les forces s'expriment en Newton, noté N

Exemple:

Le poids appartient à la première famille.

Défini par les caractéristiques suivantes:son point d'application: le centre d'inertie

(centre de gravité) du solidesa droite d'action: la verticale,son sens: du haut vers le bas,son intensité: gmP ⋅=

m, masse en kg du solideg, accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s2 sur la terre).

G

gmP =

x

z

y

m1

m2 m3

m4A1

A2 A3

A4

O

G

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

+++=

+++=

=

Mzmzmzmzmz

Mymymymymy

Mxmxmxmxmx

OG

G

G

G

44332211

44332211

44332211

Centre de gravité d’un ensemble de points

Définition: moyenne pondérée

Exemple: 4 points, A1, A2, A3, A4, demasses m1, m2, m3, m4

Soit M la masse totale des 4 points

4321 mmmmM +++=

Chaque point intervient proportionnellement à sa masse

44332211 OAmOAmOAmOAmOGM +++=

MOAmOAmOAmOAmOG 44332211 +++

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1

1

1

1zyx

A⎪⎩

⎪⎨

⎧

2

2

2

2zyx

A⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

3

3

3zyx

A⎪⎩

⎪⎨

⎧

4

4

4

4zyx

A

Exemple: 2 sphères reliées par une tige de masse négligeable. Les rayons des sphères sont supposéssuffisamment petits pour pouvoir être négligés.

Par symétrie: xG = 0 et yG = 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧−0

0

1 aA⎪⎩

⎪⎨

⎧

0

0

2 aA

21 mmM +=

MammayG

21)( +−=

Application numérique: a = 50 cm, m1 = 100 g, m2 = 300 g

aMma

MmyG

21 +−=

cm 255040030050

400100

=+−=Gy

x y

zA1 A2O

a a

m1 m2

G

Remarque:11 GAOGOA +=

( )

2211

2211

221121

2211

0

)(

)(

GAmGAm

GAmGAmOGMOGM

GAmGAmOGmmOGM

GAOGmGAOGmOGM

+=

++=

+++=

+++=

02211 =+ GAmGAm

22 GAOGOA +=

02211 =+ GAmGAm

x y

zA1 A2O

a a

m1 m2

G

Application au cas de 2 masses

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

=

=

0

0

12

G

G

G

z

aM

mmy

x

OG

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

==

0

0

1

1

1

1z

ayx

OA⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

=0

0

2

2

2

2z

ayx

OA

aMma

Mmmmma

Mmmayy G

21221121

2−=

−++−=

−−−=−

aMma

Mmmmma

Mmmayy G

11221122

2=

+−+=

−−=−

022)()( 21212211 =+−=−+− a

Mmma

Mmmyymyym GG

∑=

=N

iiiOAm

MOG

1

1

∑=

=N

iimM

1

Masse totale

Cas général d’un ensemble de N points

Exemple: N points, A1, A2,……. AN, de masses m1, m2, ……, mN

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

∑

∑

∑

=

=

=

N

iiiG

N

iiiG

N

iiiG

zmM

z

ymM

y

xmM

x

1

1

1

1

1

1

x

z

y

m1

m2 m3

m4

mN

A1

A2 A3

A4

AN

O

G

∑=

=N

iiiGAm

1

0

Centre de gravité

Coordonnées

Cas d'un solide quelconque: distribution continue de points. PRINCIPE DU CALCUL

∫∫ ρ⋅=⋅=

VolumeVolume

dOAM

dmOAM

OG v11

Chaque volume contient une masse élémentaire égale àdxdydzd =v

vddm ρ=

∫∫ ρ==

VolumeVolume

ddmM v

∑ ⋅=

esélémentair volumesles Tous

1 dmOAM

OG

On divise le volume en un un très grand nombre (infinité) de petits volumes élémentaires (cubiques),entourant chacun un point Ai. Chaque volume élémentaire vaut

dxdy

dz

xy

z

O

A1

A4

A3

A2

On est ramené au cas de n points matériels; les points matériels sont les volumes infiniment petits

Puisque la taille des volumes élémentaires est infinimentpetite, l’expression précédente devient une intégrale

M est la masse totale du solide

∑=

esélémentair volumesles Tous

dmM

ρ = masse volumique = masse de l’unité de volume

dzrdm 2π⋅ρ=

z

x

dz

y

H

R

r

α

O

z

Hz

Rr=

dzH

zRdm 2

22π⋅ρ=

∫ ⋅=H

G dzAzzM

z0

21

∫=H

dzAzM0

2

441 4

0

4

0

3 HMAz

MAdzzA

Mz

HH

G =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== ∫

33

3

0

3

0

2 AHzAdzzAMHH

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== ∫

HAH

AHzG 433

4 3

4== HzG 4

3=

Relation de proportionnalité:

dzrd 2π=vVolume du disque élémentaire

Masse du disque élémentaire

ρ = masse volumique (masse de l’unité de volume)

Masse totale du cône

Coordonnée du centre de gravité:

Exemple: centre de gravité d’un cône

dzAzdm 2=2

2

HRA π⋅ρ=

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

2. ROTATION AUTOUR D’UN AXE: MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE

dFFM .)( =Δr

(Δ)

Fd

)(FMr

Δ

On se limite au cas d’une force perpendiculaire à l’axe

Le moment vectoriel de la force par rapport à l’axe Δest un vecteur:

perpendiculaire au plan déterminé par AB etla droite d’action de F donc porté par l’axe Δdont le sens indique le sens de rotationimposé par la force (règle de la main droite)de module égal à:

AB

Soit d la distance entre l’axe Δ et la droite d’action de la force (d = AB)

Remarque: si la droite d’action de la force passe par l’axe de rotation,le moment de la force par rapport à l’axe est nul (d = 0)

(Δ)

F

0)( =Δ FMr

Exemple: serrage d’un boulon

x

z

y

1F

d

O

)( 1FMOxdFFMOx 11)( =

)( 1FMOx dirigé suivant – Ox

CAS N° 1: F1 suivant - Oz

x

z

y

2F0)( 2 =FMOx

2F passe par l’axe

CAS N° 2: F2 suivant Oy

O

x

z

y

3F

0)( 3 =FMOx

3F n’est pas perpendiculaireà l’axe mais parallèle à l’axe

CAS N° 3: F3 suivant Ox

O

x

y

z

4F

α=

=

cos

)(

4

44

dF

aFFMOx

CAS N° 4: F4 avec:une composante suivant – Ozune composante suivant Oy

O

zF4

yF4

d

a

)( 4FMOx

α

α

dFFM zOx 44)( =

Seule la composante suivant –Oz intervient

zy FFF 444 +=

)()()( 444 zOxyOxOx FMFMFM +=

= 0(Cas n°2) Cas n°1

)()( 44 zOxOx FMFM =

x

y

z

FF =1

O

)( 1FMOx

22)( 11

LFLFFMOx ==

)( 1FMOx

dirigé suivant Ox

FF −=2

)( 2FMOx2L

2L

BA

22)( 22

LFLFFMOx ==

)( 2FMOx

dirigé suivant Ox

Résultante des forces

021 =+ FFMoment résultant (COUPLE)

LFFMFM OxOx ⋅=+ )()( 21

COUPLE DE FORCES

L’application d’un couple à un solide a généralement pour effet de le mettre en rotation

4321

44332211mmmm

OAmOAmOAmOAmOG+++

+++=

044332211 =+++ GAmGAmGAmGAm

x

z

y

m1

m2 m3

m4

A2 A3

A4

O

A1

G

44

33

22

11

GAOGOA

GAOGOA

GAOGOA

GAOGOA

+=

+=

+=

+=

4321

44332211 )()()()(mmmm

OAOGmOAOGmOAOGmOAOGmOG+++

+++++++=

4321

44332211

4321

4321 )(mmmm

GAmGAmGAmGAmmmmm

OGmmmmOG+++

++++

++++++

=

4321

44332211 )mmmm

GAmGAmGAmGAmOGOG+++

++++=

4321

44332211 )0mmmm

GAmGAmGAmGAm+++

+++=

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

3. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT

Force F Point d’application: B.

Moment vectoriel par rapport à un point A: Produit vectorielFABFM Arr

∧=)(

)(FM Ar

A

B

P

αF

)(FM Ar

perpendiculaire au plan (P) déterminé par le vecteur AB et la force Fr

Sa direction est donnée par la règle des trois doigts de la main droite. Elle permet de connaître le sens dans lequel va s’effectuer la rotation du solide

α⋅⋅= sin)( FABFM Arr

Module UNITE: Newton.mètre (N.m)

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

Le module du moment s’écrit aussi

)(FM Ar

A

B

P

H

d

Fr

α

α⋅⋅= sin)( ABFFM Arr

dFFM A .)( =r

Le module du moment vectoriel est égal au produit du module de la force par la distance du point Aà la droite d’action de la force.

(Δ)AHFFM A ⋅=rr

)(

Expression analytique du vecteur moment

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

z

y

x

r

rr

AB⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

z

y

x

F

FF

F⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−

=

xyyx

zxxz

yzzy

AFrFrFrFr

FrFr

FM )(r

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E

ANNEX

E