1

FORCES ÉLECTROMAGNÉTIQUES - corrigé des exercices A. EXERCICES DE BASE I. Fréquence cyclotron 1. Méthode analytique • La force de Lorentz peut sʼécrire :

!

F =

!

qv"B = qB.[y•

!

ux - x•

!

uy ] et la relation fondamentale de la dynamique correspond à : m x•• = qB y• ; m y•• = -qB x• ; m z•• = 0. On en tire en particulier que vz est constante, et on nʼa plus quʼà étudier la projection sur Oxy. • Le système dʼéquations différentielles combinées en vx et vy peut se résoudre par exemple en inté-

grant lʼune des équations : x• =

!

qBm

y + K, où la constante d'intégration K = 0 se déduit des conditions

initiales y(0) = 0 et x•(0) = 0.

• En substituant dans l'autre équation le résultat obtenu : y•• + ω2 y = 0 (en notant ω =

!

q Bm

la

pulsation, qui est en fait une vitesse de rotation). ◊ remarque : on peut aussi dériver lʼune des équations au lieu d'intégrer, puis substituer de façon analogue, mais c'est généralement plus long. • On en déduit : y = Y cos(ωt + φ) où la condition initiale y(0) = 0 impose φ = ±

!

"2

c'est-à-dire y =

= ±Y sin(ωt). La condition initiale y•(0) = ±ωY = v0y impose en outre Y =

!

v0y"

et y =

!

v0y"

sin(ωt).

◊ remarque : on choisit généralement Y > 0 et le signe est ajusté à l'aide du déphasage.

• En reportant : x• = signe(q) v0y sin(ωt), on obtient par intégration : x = - signe(q)

!

v0y"

cos(ωt) + Kʼ,

où la constante d'intégration Kʼ = x0 + signe(q)

!

v0y"

se déduit de la condition initiale x(0) = x0. Finalement :

x = x0 + signe(q)

!

v0y"

[1 - cos(ωt)].

◊ remarque : la projection du mouvement sur le plan Oxy est donc circulaire uniforme (à “vitesse projetée” V = │v0y│ constante) ; la trajectoire est une hélice de pas constant

!

2"rtan #( )

, avec α = (

!

v ;

!

B ).

2. Méthode géométrique ◊ remarque : cette méthode n'est pas tout à fait adaptée au programme de MPSI, qui n'aborde pas la définition du “rayon de courbure” local d'une courbe quelconque ; elle peut toutefois constituer un approfon-dissement intéressant. • La force de Lorentz

!

F =

!

qv"B est perpendiculaire à

!

B , et donc à

!

uz ; par suite az = 0 et vz = v0z est constante. • La force

!

F est aussi perpendiculaire à

!

v , donc elle ne travaille pas et v = v0 est constante. Par

suite cos(

!

v ;

!

B ) =

!

vzv

est constant, et : F = │q│ vB │sin(

!

v ;

!

B )│ est aussi constante.

• Lʼaccélération a donc une norme a =

!

Fm

constante ; or, pour un mouvement dont la vitesse à une

norme constante, la norme de l'accélération est liée au rayon de courbure local par la relation a =

!

v2

R, donc

le rayon de courbure R est lui aussi constant. • Puisque α = (

!

v ;

!

B) est constant, la projection de la courbe sur Oxy a une courbure constante : cʼest

donc un cercle de rayon r tel que a =

!

v2

R =

!

v sin "( )( )2

r, cʼest-à-dire r =

!

v sin "( )#

.

2

• Ce cercle est parcouru par la projection de M avec une “vitesse proje-

tée” constante : v │sin(α)│ (une vitesse angulaire : ω =

!

v sin "( )r

=

!

q Bm

) ;

la rotation se fait autour de la direction de B avec un sens de rotation qui a le signe de -q ; la trajectoire est une hélice de pas

!

2"rtan #( )

.

• Soient donc x1 et y1 les coordonnées du centre du cercle projeté dans le plan Oxy, les équations paramétriques du mouvement sont alors : x - x1 = r cos(ωt + φ) et y - y1 = ±r sin(ωt + φ) et z = vzt dʼoù : vx = -rω sin(ωt + φ) et vy = ±rω cos(ωt + φ). • Par comparaison avec les conditions initiales sur la vitesse, on obtient respectivement φ = 0 ou π et

v0y = ±rω (φ = π si qv0y > 0 ; φ = 0 si qv0y < 0), ce qui donne r =

!

v0y"

.

Par comparaison avec les conditions initiales sur la position, on obtient x1 = x0 +

!

v0y"

et y1 = 0,

cʼest-à-dire : x = (x0 +

!

v0y"

) -

!

v0y"

cos(ωt) et y =

!

v0y"

sin(ωt).

II. Spectrographe de masse de Dempster 1. • Accélérés par le champ électrique, sous une tension U = 1000 V, les ions acquièrent une énergie

cinétique :

!

12

mv2 = qU (on peut négliger en comparaison leur énergie cinétique initiale, due à l'agitation

thermique ; par ailleurs l'énergie finale est visiblement non relativiste puisque l'énergie de masse des ions est ≈ 20mpc2 ≈ 20 GeV). • Sous l'effet de la force magnétique :

!

F =

!

qv"B perpendiculaire à

!

B , le mouvement ne peut pas acquérir une composante parallèle à

!

B ; or la vitesse initiale est perpendiculaire à

!

B , donc le mouvement se fait entièrement dans le plan perpendiculaire à

!

B et passant par la position d'entrée dans le dispositif. • La force est perpendiculaire à

!

v , donc l'accélération tangentielle est nulle et le mouvement est

uniforme. Enfin, l'accélération normale est an =

!

v2

R =

!

qvBm

constante (en norme), donc le rayon de cour-

bure de la trajectoire est constant, et la trajectoire est une portion de cercle de rayon R =

!

mvqB

.

• Compte tenu de la forme du dispositif et de l'orthogonalité de la vitesse initiale par rapport à la face d'entrée rectiligne, les trajets parcourus sont des demi-cercles. Les points d'impact, diamétralement opposés

au point d'entrée, en sont donc distants d'un diamètre : D = 2

!

mvqB

=

!

8mUqB

.

• Numériquement : D1 = 40,7 cm pour 20Ne et D2 = 42,7 cm pour 22Ne. 2. • En considérant : ΔD =

!

2mqB

Δv =

!

Dv

Δv, l'observation de "zones" d'impact distinctes impose : A1A2 =

= D2 - D1 > ΔD1 + ΔD2 ≈ (D1 + D2)

!

"vv

c'est-à-dire :

!

"vv

<

!

D2 "D1D1+D2

≈ 0,024.

◊ remarque : compte tenu de : D =

!

8mUqB

, cela donne

!

"vv

<

!

" m2 m

=

!

14"mm

; ou inversement, la

résolution du dispositif est caractérisée par une incertitude sur la masse :

!

"mm

= 4

!

"vv

.

3

III. Expérience de J.J. Thomson 1. • Les ions sont soumis à la force :

!

F = q.(

!

E +

!

v"B ), en comparaison de laquelle leur poids peut être négligé. En supposant le problème non relativiste, on peut écrire la relation fondamentale de la dyna-mique de translation en projection sur les trois axes : mx•• = qBy• ; my•• = -qBx• ; mz•• = qE. • Compte tenu des conditions initiales, l'intégration de la troisième équation donne : z• =

!

qEm

t puis :

z =

!

qE2m

t2 (en prenant l'origine au point d'entrée dans le dispositif.

• L'intégration des deux premières équations donne : mx• = qBy + mv0 et my• = -qBx. On peut en

déduire : x•• +

!

qBm

"

# $

%

& ' 2x = 0 et y =

!

mqB

.(x• - v0).

• L'équation différentielle du second ordre en x a pour solution générale : x = X cos(ωt) + Xʼ sin(ωt) avec ω =

!

qBm

et où X et Xʼ sont deux constantes dépendant des conditions initiales. Pour t = 0 on a x = 0

donc X = 0. On en tire : x• = Xʼω cos(ωt) et donc Xʼ =

!

v0"

. On obtient ainsi : x =

!

v0"

sin(ωt) et x• =

= v0 cos(ωt), et par suite : y =

!

v0"

[cos(ωt) - 1].

• Si on considère que : L ≪

!

mv0qB

=

!

v0"

, alors la relation : x =

!

v0"

sin(ωt) montre que sin(ωt) ≪ 1 et

donc on peut faire l'approximation : sin(ωt) ≈ ωt. Dans ces conditions, on peut écrire : x ≈ v0t et

y ≈

!

v0"

[(1 -

!

12ω2t2) - 1] = -

!

12

v0ωt2.

◊ remarque : on utilise un développement à l'ordre 2 pour le cosinus car c'est le terme non nul d'ordre le plus bas pour y ; on ne prend pas en compte de terme d'ordre 2 pour x car le terme correspondant du développement du sinus est nul.

• En particulier pour x = L : t ≈

!

Lv0

et donc : z ≈

!

qEL2

2mv02 et y ≈ -

!

"L2

2v0 = -

!

qBL2

2mv0.

◊ remarque : l'effet sur z est proportionnel à

!

EEc0

et l'effet sur y est proportionnel à

!

Bp0

.

2. • Le “canon à ions” qui crée le faisceau peut focaliser les ions mais il subsiste une incertitude sur v0 due en particulier à l'agitation thermique des atomes initiaux. Les différents v0 donnent des y et z différents,

mais reliés par l'expression : z ≈

!

qEL2

2mv02 avec v0 ≈

!

qBL2

2my, donc : z ≈

!

2mEL2B2q

y2. Cette expression corres-

pond à l'équation d'un arc de parabole dans le plan des (y, z). 3. • Les différents isotopes ont des masses différentes, donc pour B, L et q fixés, mais en l'absence du

champ électrique (spectrographe “ordinaire”), ils donnent des taches différentes (proportionnellement à

!

1m

)

selon la direction de l'axe des y. Toutefois, deux taches sur l'écran peuvent être causées par des masses différentes, mais aussi par des vitesses v0 différentes ; on ne peut pas conclure (et on ne le voit même pas si les taches sont peu décalées et se superposent plus ou moins). • Au contraire ici, pour E, B, L et q fixés, deux isotopes donnent des arcs de parabole différents (pro-portionnellement à m) selon la direction de l'axe des z ; on peut les distinguer même s'ils ont des y égaux à cause de v0 plus ou moins différents. ◊ remarque : les différentes charges des ions donnent aussi des arcs de parabole différents (q = = n

!

qe ), mais ces arcs sont nettement distincts et correspondent, pour chaque isotope, à une famille d'arcs

dont les ordonnées varient proportionnellement à

!

1n

; par contre, les différences de masses des isotopes

causent de légers décalages : chaque arc d'une “famille” (en fonction de n) est dédoublé par la présence de deux isotopes.

4

IV. Systèmes d'équations couplées 1.a. • Les protons sont soumis à la force :

!

F = q.(

!

E +

!

v"B ) ; la relation fondamentale de la dynamique de translation s'écrit : m

!

a =

!

F = qE

!

uz + qB

!

v " uy . • Avec les notations de l'énoncé, on en tire en projection sur les trois axes : x•• = - ω z• ; y•• = 0 ; z•• = Rω2 + ω x•. 1.b. • On obtient en particulier : y•• = 0 ; compte tenu de la condition initiale y•(0) = 0, ceci s'intègre en y• = 0 ; compte tenu de la condition initiale y(0) = 0, ceci s'intègre en y = 0. Le mouvement se fait donc dans le plan (Oxy). • Ceci est prévisible “géométriquement” : la particule étant initialement immobile, la force se limite initialement à la composante électrostatique et le mouvement commence selon l'axe (Oz) ; la composante magnétique de la force peut ensuite dévier le mouvement, mais perpendiculairement au champ magnétique, donc selon le plan (Oxy). 2.a. • Les deux équations sont couplées (elles font intervenir à la fois x et z) ; pour en déduire une combi-naison “découplée”, il est donc impossible de ne faire intervenir que l'une des deux (ce qui correspondrait à un coefficient nul pour l'autre). Or, si une combinaison convient avec des coefficients α et β, tout couple de

coefficients proportionnels à (α ; β) convient aussi ; donc si α ≠ 0 on peut utiliser (1 ;

!

"#

) et il suffit alors de

renommer β le second coefficient pour simplifier. 2.b. • La combinaison obtenue correspond à : x•• + β z•• = ω.(β x• - z•) + β Rω2. • Pour que l'équation se ramène à la variable u = x + β z uniquement, il faut et il suffit que la combi-naison du membre de droite soit proportionnelle à u•. Ceci peut s'écrire par exemple en comparant les rap-

ports :

!

1"

=

!

"#1

ou bien avec le déterminant :

!

1 "

" #1 = 0 ; on aboutit ainsi à la condition : β2 = -1.

2.c. • L'équation précédente a pour solutions : β = ± i. La variable cherchée peut donc s'écrire sous la forme : u = x + i z. ◊ remarque : dans le cas général (mathématique) on obtient deux solutions indépendantes (uʼ et u”), on intègre les deux équations “découplées” vérifiées par ces variables, puis on calcule les deux inconnues (ici x et z) en fonction de uʼ et u” ; mais dans ce cas particulier, les deux solutions sont complexes conjugués donc il suffit de résoudre une équation puis de considérer la partie réelle et la partie imaginaire. • L'équation vérifiée par cette variable s'écrit : u•• = iω u• + i Rω2 ; c'est une équation différentielle linéaire du premier ordre par rapport à u•. Les solutions sont de la forme : u•(t) = -Rω + V eiωt où V est une constante d'intégration. D'après la condition initiale u•(0) = 0 (vitesse initiale nulle) : 0 = -Rω + V ; ainsi : u•(t) = Rω.(eiωt - 1). • La seconde intégration donne : u(t) = -Rωt - i R eiωt + U où U est une constante d'intégration. D'après la condition initiale u(0) = 0 (départ de l'origine) : 0 = -i R + U ; ainsi : u(t) = -Rωt + i R.(1 - eiωt). • On obtient finalement : x = Re(u) = -Rωt + R sin(ωt) ; z = Im(u) = R - R cos(ωt). 2.d. • Les expressions précédentes décrivent un point en rotation (dans le sens “anti-horaire”) sur un cercle, de rayon R, donc le centre C se déplace selon le mouvement de translation uniforme : xC = -Rωt ; zC = R. C'est le mouvement décrit par un point donné du cercle qui roule sans glisser sur l'axe (Ox) ; la courbe est une cycloïde. ◊ remarque : ω = 4,8.107 rad.s-1 ; R = 8,35.10-3 m ; vCx = -Rω = - 4,0.105 m.s-1.

5

◊ remarque : si on ne connaît pas la cycloïde, il est simple de tracer proprement la courbe en prenant quelques points particuliers : ωt =

!

"6

,

!

"4

,

!

"3

,

!

"2

...

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT V. Principe de relativité de Galilée • Dʼaprès ce principe, on montre le lien entre les champs électrique et magnétique (non relativistes) ; pour un changement de référentiel galiléen :

!

F = q.(

!

E +

!

v"B ) dans R, et

!

" F = q.(

!

" E +

!

" v # " B ) dans Rʼ ;

!

v =

!

ve +

!

" v ; par comparaison :

!

" B =

!

B et

!

" E =

!

E +

!

ve "B . • Ceci montre quʼil sʼagit dʼun effet “électromagnétique” dont la signification physique est globale, et où la séparation entre une partie électrique et une partie magnétique est d'une certaine façon arbitraire (elle dé-pend du référentiel).