Fondements – avenir incertain

Professor André Farber

Solvay Business School

Université Libre de Bruxelles

DESG 2 Incertitude |2January 15, 2007

Rappel: Certitude – 1 période

11 1 1( )

1

CVA C C v

r

1 1 0VAN I C v

Valeur actuelle:

Critères de choix d’investissement:

1C ITRI r

I

Interprétation de la VAN:

Mesure l’accroissement de richesse des propriétaires de l’entreprise

Indépendante des préférences de choix intertemporels

Valeur de l’entreprise:

Non endettée:1 1UV C v

Endettée: 1 1 1[ (1 )] (1 ) UV A D C D r v D r v V

1DIV

DESG 2 Incertitude |3January 15, 2007

Introduction de l’incertitude

• Deux approches possibles:

• Source d’incertitude = états de la « nature » (Arrow 1953)

Applications contemporaines: actifs dérivés

• Rentabilités financières = variable aléatoires distribuées selon loi normale (Markowitz 1952)

• Aujourd’hui: analyse dans le cadre d’états de la nature

• TEMPS: 1 période

• INCERTITUDE: Une seule source d’incertitude: la conjoncture

• 2 états possibles:

• Bonne conjoncture b Probabilité: p

• Mauvaise conjoncture m Probabilité: 1-p

DESG 2 Incertitude |4January 15, 2007

Exemple

Prix aujourd’hui Cash flow bonne conjoncture (0.40)

Cash flow mauvaise conjoncture(0.60)

Zéro-coupon unitaire (ZC)

100 105 105

Action (A) 50 100 25

Taux d’intérêt sans risque rf

1051 5%

100fr

Cash flow attendu 1 0.40 100 0.60 25 55CFA

Rentabilité attendue de l’action55 50

10%50

r

DESG 2 Incertitude |5January 15, 2007

Actifs financiers

Prix aujourd’hui Cash flow bonne conjoncture (p)

Cash flow mauvaise conjoncture(1-p)

Zéro-coupon unitaire

v1 1 1

Action a CFA1b=ua CFA1m=da

1

1

1 f

vr

1 1 1(1 )b mCFA p CFA p CFA

1CFA ar

a

Taux d’intérêt sans risque rf

Cash flow attendu

Rentabilité attendue de l’action

DESG 2 Incertitude |6January 15, 2007

Evaluation de l’action

1 1

1

CFA a CFAr a

a r

Le prix de l’action est égale à la valeur actuelle

-du cash flow

-actualisé au taux de rentabilité attendue

DESG 2 Incertitude |7January 15, 2007

Evaluation d’un actif nouveau

Evaluation par comparaison: est-il possible de reproduire l’actif nouveau en combinant l’obligation et l’action?

Nous devons résoudre le systéme d’équations suivant:

105 100 30

105 25 50ZC A

ZC A

n n

n n

Solution: nZC = 0.54 nS = - 0.27

La valeur du portefeuille est donc: V = 0.54 ×100 + (-0.27) × 50 = 40.6

Conclusion: la valeur de l’actif nouveau est V = 40.6 Sinon, ARBITRAGE

Valeur Bonne conjoncture

Proba = 0.40

Mauvaise conjoncture

Proba = 0.60

Rentabilité attendue

Nouvel actif ? 30 50 ?

DESG 2 Incertitude |8January 15, 2007

Titres contingents / Options digitales

Valeur Etat = B Etat = M

Option B v1b 1 0

Option D v1m 0 1

105 100 1

105 25 0ZC A

ZC A

n n

n n

105 100 0

105 25 1ZC A

ZC A

n n

n n

nZC = -0.0032 nA = 0.0133 nZC = 0.0127 nA = -0.0133

vu = 0.35 vd = 0.60

Une option digitale est un titre qui paie 1 dans un état du monde, 0 autrement.

(also known as Arrow-Debreu securities, contingent claims)

2 états→ 2 options D

Evaluation

Les prix d’options digitales sont appelés prix des titres contigents, prix d’états

DESG 2 Incertitude |9January 15, 2007

Prix de titres contingents

A l’équilibre, le prix payé pour recevoir 1€ dans un état du monde doit être le même dans les deux titres

1 1

1 1

100 105 105

50 100 25b m

b md

v v

v v

Dans le cas contraire, il y aurait une possibilité d’arbitrage

Un portefeuille d’arbitrage est un portefeuille:

- dont la valeur est négative ou nulle (vous ne payez rien ou, mieux encore, vous êtes payé pour détenir ce portefeuille)

-dont la valeur est positive dans au moins un des états du monde et nulle dans les autres.

L’absence d’arbitrage est l’une des conditions les plus générale d’équilibre (dans un marché à l’équilibre, pas de repas gratuit!)

DESG 2 Incertitude |10January 15, 2007

Théorème fondamental

1 1s ss

V v C

Dans notre exemple:1

0.51

1.05 0.352 0.5bv

21

1.05 0.602 0.5dv

Dans un marché complet (nombre d’actifs = nombre d’états), la condition d’absence d’arbitrage (NA) est satisfaite si et seulement si il existe des prix d’états strictement positifs tels que:

0.35 30 0.60 50 40.6V Valuing Asset 3:

Expected return: 30 40.6 50 40.60.40 0.60 3.36%

40.6 40.6r

DESG 2 Incertitude |11January 15, 2007

A more general formulation:

Price Value up state

Proba π

Value down state

Proba 1 - π

Zéro-coupon 1 1+rf 1+rf

Action a ua da

11 f

u

dr

vu d

11 f

d

ur

vu d

1 1

1 1f fb m

uda udaua da

r rv ua v da a

u d u d

1 11b mf

C Cu r d

a a

DESG 2 Incertitude |12January 15, 2007

Utilisation des prix d’états

Une fois connus les prix d’états, l’évaluation est simple:

La valeur d’un actif générant des cash flows futurs C1b et C1m est:

1 1 1 1b b m mV v C v C

La valeur actuelle d’un projet de coût I qui rapporte C1b ou C1m

1 1 1 1b b m mVAN I v C v C