fonctions numériques convexité©quence 8 – ma01 1 sommaire 1. pré-requis 2. convexité d’une...

1Séquence 8 – MA01

Sommaire

1. Pré-requis

2. Convexité d’une fonction sur un intervalle 3. Synthèse de la séquence4. Exercices de synthèse

Fonctions numériques Convexité

Séquence 8

� Introduire graphiquement les notions de fonctions convexes et de fonctions concaves.

� Établir le lien entre le sens de variation d’une fonction et sa convexité.

� Établir le lien entre le signe de la dérivée seconde d’une fonction et sa convexité.

� Étudier des rendements en Économie en utilisant la convexité.

Objectifs de la séquence

© Cned - Académie en ligne

2 Séquence 8 – MA01

1 Pré-requis1Fonctions de référence :dérivées – courbes

1. Fonction "carré" – Fonction "racine carrée"

FonctionFonction" carré" Fonction" racine carrée"

c x x: � 2 r x x: �Ensemblede définition D ] ; [c = − ∞ + ∞ D [0 ; [r = + ∞

Fonction dérivée pour tout x réel c x x' : � 2 pour tout réel x > 0 r xx

' : �1

2

Sens de variation

x −∞ 0 + ∞

c x'( ) – 0 +

c x( ) 0

x 0 + ∞

r x'( ) +

r x( ) 0

Courbes

0 1 2 3 4 5

1

–1

2

3

4

5

–1

–2–3

K

y = 2x–1

y = x2

y = x

y = 0,5x + 0,5

y = �x

A



Propriété

Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction x x� est la courbe symétrique, par rapport à la droite d’équation y = x, de celle représentant la fonction

x x 2� définie sur [0 ; + ∞∞ [ (voir courbes en gras).

La courbe représentant la fonction" racine carrée" est une demi – parabole.

2. Fonction " inverse"

Fonction

Fonction" inverse" Courbe de la fonction" inverse"

i xx

: �1

0 1 2 3 4

1

–1

2

3

–1

–2

–2–3

K

H

y =–x+2y = 1/x y = x

y = –x –2

y = 1/x

axe de symétriede la courbe

La courbe est une hyperbole

(composée de 2" branches")

Ensemble de définition D ] ; 0[ ]0 ; [i = − ∞ ∪ + ∞

Fonction dérivée

i xx

' : � − 12

Sens de variation

x −∞ 0 + ∞

− 12x

– –

1x

Propriété Dans un repère orthonormal la courbe de la fonction x1x

�� est symétrique par rapport à la droite d’équation y = x.

3. Fonction "exp" – Fonction " ln"

FonctionFonction" exp" Fonction" ln"

exp : exp( )x x x� = e ln : ln( )x x�

Ensemble de défini-

tionD ] ; [exp = − ∞ + ∞ D ]0 ; [ln = + ∞



Fonction dérivée

(exp)' : x x� e (ln)' : xx

�1

Sens de variation

x 0 + ∞exp’(x) +

ex

Courbes

0 1 2 3

1

–1

2

3

4

5

–1

–2

–2–3 4 5H x

y

K

e

e

y = exp(x)

y = In(x)

y = x—1

y = x+1

y = xaxe de

symétriede la figure

Propriété Dans un repère orthonormal la courbe représentant la fonction x x��e est la courbe symé-trique, par rapport à la droite d’équation y = x, de celle représentant la fonction x x�� ln( ).

Équation d’une tangente

1. Équation générale d’une tangente

On désigne par f une fonction définie sur un intervalle I et parCf sa courbe

représentative dans un repère du plan. Soit A a f a( ; ( )) le point d’abscisse a situé

x 0 + ∞ln’(x) +

ln(x)

B



sur la courbeCf et TA la tangente en A à la courbe Cf .

Le coefficient directeur de la tangenteTA est le nombre dérivéf a'( ).

Une équation de la tangente TA est y f a x a f a'( ) ( ) ( ) .= × − +

2. Équation de quelques tangentes particulières

Fonction f Coordonnées de A Équation deTA

f x x( ) = 2 (1 ; 1) y = 2x – 1

f x x( ) = (1 ; 1) y = 0,5 (x + 1)

f x x( ) = e (0 ; 1) y = x + 1

f x x( ) ln( )= (1 ; 0) y = x – 1

f xx

( ) = 1 (1 ; 1) y = – x + 2

3. Positions relatives d’une courbe et d’une tangente

Pour déterminer la position d’une courbeCf par rapport à sa tangente en A (au-des-

sus ; en dessous) on peut étudier le signe de la différenced x f x m x p( ) ( ) ( )= − +

où y = m x + p est l’équation de la tangente en A.

Signe de d x( ) sur un intervalle I

d x( ) < 0 d x( ) = 0 d x( ) > 0

Positions relatives de C Tf Aet de

sur l’intervalle I

Cf est située en dessous deTA

TA est tangente en A à la courbeCf

Cf est située au-dessus de TA



Équation d’une parabole

On considère une fonction trinôme f définie sur � par f x ax bx c( ) = + +2 (avec a ≠ 0).

La courbe représentative de f est une parabole � qui a pour équation

y ax bx c= + +2 .

Sommet Sba

fba2

; –2

−

Signe de a a < 0 a > 0

Allure de la

parabole �

S

S

Concavité

La parabole tourne sa concavité

" vers le bas" car elle est orientée

vers les " ordonnées négatives".

La parabole tourne sa concavité

" vers le haut" car elle est orientée

vers les " ordonnées positives".

Fonctions dérivées Fonctions primitives

1. Fonctions dérivées

Fonction f x u x: e ( )�� f x u x: ln( ( ))��

Ensemble de définition

Même ensemble de définition que la fonction u.

La fonction u doit être définie et strictement positive.

Dérivée

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

La fonction f est dérivable sur I et on a : f x u x' : '( ) eu x( )� ×

Soit u une fonction définie, dérivable et stricte-

ment positive sur un intervalle I. La fonction

f est dérivable sur I et on a : f xu xu x

' :'( )( )

.�

C

D



2. Fonctions primitives

Fonction Fonctions primitivesEnsemble de définition

des primitives

x x nn� �( *)∈ xn

x kn�1

11

+++ �

xx

�1

x x k� ln + ]0 ; [+ ∞

xu xu x

u x�'( )( )

( ( ) )avec > 0 x u x k� ln( ( ))+Tout intervalle où iiu xu x

( ) ;

( ) .

existe

> 0

x aax� e ( )≠ 0 xa

kax�1

e + �

x u x'( ) eu x( )� × x ku x� e ( ) +Tout intervalle où

u x( ) existe.

(voir aussi le tableau de primitives de la séquence 6)

Soit f la fonction définie sur � parf xx

( ) =+

4

32 et C sa courbe représentative

dans un repère du plan.

� Étudier le sens de variation de la fonction f.

� En déduire un encadrement def x( ).

� Déterminer les équations des tangentes à la courbe C aux points A, K, B d’abs-cisses respectives – 1, 0, 1.

� La fonction dérivée est définie sur � par f xx

x'( )

( ).= −

+

8

32 2 Cette dérivée

est du signe de – x.

La fonction f est croissante sur ] ; 0] ;

décroissante sur [0 ; [.

ii

− ∞+ ∞

� Pour tout x réel on a 0 < f x( ). D’après l’étude des variations de f on sait

que f est maximale pour x = 0.

Calculons f ( ) .043

= Pour tout x réel on a f x0 ( )43

< ≤ .

� Pour x = – 1on a f f( ) '( ) , .− = − =1 1 1 0 5et La tangente en A( ; )−1 1 a pour

équation y x= + +0 5 1 1, ( ) , soit y x0,5 1,5 .= +

Pour x = 0 on a f f( ) '( ) .043

0 0= =et La tangente en K 043

;

a pour équation

y43

= .

� Exercice

� Solution



Pour x = 1 on a f f( ) '( ) , .1 1 1 0 5= = −et La tangente en B( ; )1 1 a pour équation

y x= − − +0 5 1 1, ( ) , soit y x0,5 1,5 .= − +

� Voir le tracé de la courbe dans le paragraphe 2 du chapitre 2 (exemple 5).

Soit f la fonction définie sur � par f xx

x( ) =

+2 1 et C sa courbe représentative

dans un repère du plan d’origine O.

� Donner, suivant les valeurs de x, le signe def x( ).


En déduire un encadrement def x( ).

� Déterminer les équations des tangentes à la courbe C aux points A, O, B d’abs-cisses respectives – 1, 0, 1.

� Comme x 2 1 0+ > , f x( ) est du signe de x.

� La fonction dérivée est définie sur � par f xx x x

'( )1 ( 1) (2 )

(x +1),

2

2 2=× + −

soit

f xx

x

x x

x'( )

( )

( )( )

( ).= −

+= − +

+

1

1

1 1

1

2

2 2 2 2

La dérivée a le même signe que le trinôme ( )( ).1 1− +x x

f x x x

f x x x f x x

Ainsi '( ) 0 pour 1et pour 1;

'( ) 0 pour 1et pour 1; '( ) 0 pour 1 1.

= = − =< < − > > − < <

La fonction f est décroissante sur ] ; 1] et sur [1; [ ;

croissante sur [ 1; 1].

ii

− ∞ − + ∞−

Sur ] ; 0]−∞ la fonction f est négative et sa valeur minimale est égale à

f ( ) , .− = −1 0 5 Ainsi, pour x ≤ 0, on a − ≤ ≤0 5 0, ( ) .f x

Sur [0 ; [+∞ la fonction f est positive et sa valeur maximale est égale àf ( ) , .1 0 5=

Ainsi, pour x ≥ 0, on a 0 0 5≤ ≤f x( ) , .

Pour tout x réel on a f x0,5 ( ) 0,5 .− ≤ ≤

� � Pour x = – 1 on a f f( ) , '( ) .− = − − =1 0 5 1 0et La tangente en A( ; , )− −1 0 5 a

pour équation y 0,5 .= −

� Exercice

� Solution

x −∞ 0 + ∞

Signe de f x( ) – 0 +



� Pour x = 0 on a f f( ) '( ) .0 0 0 1= =et La tangente enO( ; )0 0 a pour équation

y x .=

� Pour x = 1 on a f f( ) , '( ) .1 0 5 1 0= =et La tangente en B( ; , )1 0 5 a pour équa-tion y 0,5 .=

� Voir le tracé de la courbe dans le paragraphe 2 du chapitre 2 (exemple 6).

Soit f la fonction définie sur � par f x xx

( ) = =−ee

1 et C sa courbe représenta-

tive dans un repère du plan d’origine O.


� Déterminer les équations des tangentes à la courbe C aux points A, K, B d’abscisses respectives – 1, 0, 1.

� La fonction dérivée est définie sur � par f x'( ) e .x= − −

Pour tout x réel on af x'( ) ,< 0 d’où la fonction f est strictement décroissante sur � .

� � Pour x = – 1 on a f f( ) '( ) .− = − = −1 1e ; e La tangente en A (– 1 ; e) a pour équa-tion y x= − + +e e,( )1 soit y xe .= − ×

� Pour x = 0 on a f f( ) '( ) .0 1 0 1= = −et

La tangente en K (0 ; 1) a pour équation

y x 1.= − +

� Pour x = 1 on a f f( ) '( ) .11

111 1= = = − = −− −e

eet e

e

La tangente en B (1 ; e–1) a pour équation y xe ( 1) e ,1 1= − − +− − soit

y xe ( 2) .1= − −−

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, toutes définies sur � .

� f x x( ) = − +e 2 3 � g x x( ) ln( )= +1 e � h x x x( ) = − + −e

2 1

� j x x x( ) ln( ).= − +2 2 2

� f x x'( ) = − − +2 2 3e � g xx

x'( ) =

+

e

e1 � h x x x x'( ) ( )= − + − + −2 1

2 1e

� j xx

x x'( )

( ).= −

− +

2 1

2 22

� Exercice

� Solution

� Exercice

� Solution



Déterminer une fonction primitive de chacune des fonctions suivantes, toutes

définies sur � .

� f x x( ) = −e 2 � g x x

x

x( ) = +

+1 2 � h x x x x( ) ( ) ,= − − +2 4 0 5 2 12e

� j xx x

x x( ) .= −

+

−

−e e

e e

� On af x u xx x u x( ) ( ) '( ) ( )= = − × − = − ×− −e e e2 212

212

où u x x( ) .= −2

� On a g x xx

xx

u xu x

( )12

2

1

12

'( )( )2= + ×

+= + × où u x x( ) .= +1 2

� On a h x x u x( ) 2( 2)e 2 '( )ex x u x0,5 2 1 ( )2= − = ×− + où u x x x( ) , .= − +0 5 2 12

� On a j xu xu x

x x

x x( )

'( )( )

= −

+=

−

−e e

e e où u x x x( ) .= + −e e

D’oùF x x( ) ;= − −12

2e G x x x( ) ln( ) ;= + +12

12

12 2 H x x x( ) ;,= − +2 0 5 2 12e

J x x x( ) ln( ).= + −e e

� Exercice

� Solution



1 Convexité d’une fonc-tion sur un intervalle2Objectifs

� Reconnaître graphiquement des fonctions convexes, des fonctions concaves.

� Obtenir des inégalités en utilisant la convexité.

� Rechercher les points d’inflexion éventuels d’une courbe.

� Utiliser un tableur pour obtenir des encadrements.

Pour débuter

Tangentes et parabole

Partie A

� Situer la parabole � d’équation y c x x= =( ) ,2 définie pour tout x réel, par rapport à sa tangente en K (1 ; 1).

� Situer la parabole � par rapport à sa tangente en un point quelconque A (a ; a2).

� Tracer la parabole � et les tangentes aux points d’abscisses a = – 2, a = – 1, a = 0, a = 1, a = 2.

� Soit f la fonction définie, pour tout x réel, par f x c x x( ) ( )= − = − 2 et �f sa courbe représentative.

Que peut-on dire des courbes � et �f ? Comment se situe la courbe �f par rapport à ses tangentes ?

Partie B

� Situer la courbe � d’équation y r x x= =( ) , définie pour tout x ≥ 0, par rapport à sa tangente en K (1 ; 1).

� Situer la courbe � par rapport à sa tangente en un point quelconqueA a a( ; ), avec a > 0.

� Tracer la courbe � et les tangentes aux points d’abscisses a = 1, a = 2, a = 4.

� Soit g la fonction définie sur [0 ; [+ ∞ par g x r x x( ) ( )= − = − et g� sa courbe représentative.

A

B

Activité 1



Que peut-on dire des courbes � et g� ? Comment se situe la courbe g� par rapport à ses tangentes ?

Tangentes et hyperbole

Soit � l’hyperbole d’équation y i xx

= =( ) ,1

définie pour x ≠ 0.

� Situer, sur l’intervalle ]0 ; [ ,+ ∞ la courbe � par rapport à sa tangente en K (1 ; 1).

� Situer, sur l’intervalle ] ; 0[ ,−∞ la courbe � par rapport à sa tangente en H (–1 ; – 1).

� Situer, sur chacun des intervalles ]0 ; [+ ∞ et ] ; 0[ ,− ∞ la courbe � par rapport

à sa tangente en un point quelconque A aa

; ,1

avec a ≠ 0.

� Tracer les tangentes à la courbe � aux points d’abscisses a = – 2, a = – 1,

a a= − =12

12

, , a = 1, a = 2.

Tangentes aux courbes des fonctions eexxpp eett llnn" " " "

� Situer la courbeCexp représentant la fonction"exp" par rapport à sa tangente en K (0 ; 1).

� Situer la courbeCexp par rapport à sa tangente en un point quelconque

A a a( ; ).e

� Tracer la courbeCexp et les tangentes aux points d’abscisses a = – 1, a = 0, a = 1.

� Situer la courbeCln représentant la fonction"ln" par rapport à sa tangente en H (1 ; 0).

� Situer la courbeCln par rapport à sa tangente en un point quelconqueA a a( ; ln ), avec a > 0.

� Tracer, dans le même repère, la courbe Cln et les tangentes aux points d’abs-

cisses a a a= = =−e e1 1, , .

� Soit h la fonction définie sur ]0 ; [+ ∞ par h x x( ) ln= − et ( )C sa courbe repré-sentative.

Que peut-on dire des courbes Cln et ( ) ?C Comment se situe la courbe ( )C par rapport à ses tangentes ?

Activité 2

Activité 3



Cours

1. Fonction convexe, fonction concave

a) Notion intuitive de la courbure d’une courbe

Considérons le circuit de Formule 1 d’Interlagos à São Paulo au Brésil. On y voit deux lignes droites et plusieurs virages. Si un pilote veut rester sur la piste il lui faut, le plus souvent, tourner son volant, soit vers la gauche, soit vers la droite. On peut noter, entre autres, un changement de courbure entre les virages 1 et 2, ainsi qu’entre les virages 5 et 6.

Donnons quelques exemples mathématiques pour évo-quer la" courbure" d’une courbe.

Les courbes représentatives de 4 fonc-tions, définies sur le même intervalle [0 ; 1], sont tracées sur la figure 1.

Les 4 fonctions d, f, g et h sont conti-nues et strictement croissantes sur [0 ; 1]. Par ces 4 fonctions l’image de 0 est 0 et l’image de 1 est 1.

10

0,5

0,5

1

H

K

10

0,5

0,5

1 K

10

0,5

0,5

1 K

10

0,5

0,5

1 K

10

0,5

0,5

1

H

K

4 courbes Courbe de d Courbe de f Courbe de g Courbe de h

Figure 1 Figure 2 a Figure 2 b Figure 2 c Figure 2 d

Peut-on dire que les 4 courbes aient la même" allure"? A priori la réponse est NON.

Figure 2 a Figure 2 b Figure 2 c Figure 2 d

La courbe est un segment de courbure nulle. Sur un circuit, pas besoin de tourner son volant pour garder sa trajectoire.

Sur un circuit, pour aller de

O à K, il faudrait tourner son volant vers la gauche.


O à K, il faudrait tourner son volant vers la droite.


O à K, il faudrait d’abord tourner son volant vers la droite, puis vers la gauche.

On note un changement de courbure en H.

C

1 2

3 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1415

Parmi les vingt grands prix de la saison 2012 de Formule 1, celui du Brésil est le seul dont le cir-cuit soit parcouru par les pilotes dans le sens " anti-horaire" (sens inverse des aiguilles d’une montre).

Remarque



b) Concave ou convexe ?

� Archimède et les" miroirs ardents"

`

Miroir Miroirs concaves – Archimède

Concave ConvexePeinture murale de Giulio Parigi (1571 –

1635) datant de 1600 environ (Galerie des Offices, Florence, Italie).

© Bridgeman Giraudon

Figure 3

Selon la légende, Archimède (vers ––287 ; 212 ) aurait utilisé des miroirs concaves, appelés

aussi" miroirs ardents", pour concentrer les rayons du soleil et ainsi enflammer les voiles des

navires romains qui assiégeaient la ville de Syracuse (en Sicile) lors de la seconde guerre punique. Archimède fut tué, en – 212, lors de ce siège de Syracuse.

� Autoportrait dans un miroir convexe

C’est vers 1524 que le peintre italien Il Parmigiano (1503 - 1540), connu en France sous le nom de " Le Parmesan", a peint son autoportrait sur un miroir convexe.

Ce tableau se trouve à Vienne au Kunsthistorisches Museum.

� Maurits Cornelis ESCHER (1898 – 1972)

Cet artiste hollandais a réalisé, en 1955, une lithographie intitulée " Concave et Convexe". Vous trouverez

cette lithographie (et bien d’autres toutes aussi intri-gantes…) sur Internet.

La lithographie " Concave et Convexe" est divisée en trois bandes verticales.

Celle de gauche montre une architecture convexe : tout est vu d’en haut et notre regard est attiré vers le bas.

Celle de droite montre une architecture concave : tout est vu d’en bas et notre regard est attiré vers le haut.

Figure 4

© BPK, Berlin, Dist. RMN/Hermann Buresch



c) Définitions

Dans l’activité 1 on a montré que la parabole � d’équation y f x x= =( ) 2 est

située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction" carré" est dite

convexe sur �.

Dans l’activité 3 on a montré que la courbeCexp d’équation y f x x= =( ) e

est située au-dessus de chacune de ses tangentes : la fonction"exp" est dite

convexe sur �.

Dans l’activité 1 on a montré que la courbe � d’équation y f x x= =( ) est

située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction" racine carrée" est

dite concave sur ]0 ; [.+ ∞

Dans l’activité 3 on a montré que la courbeCln d’équation y f x x= =( ) ln est située en dessous de chacune de ses tangentes : la fonction"ln" est dite concave sur ]0 ; [.+ ∞

Définition 1

Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Les mots" au-dessus" et" en dessous" sont à prendre au" sens large". Quand on dit qu’une courbe est située au-dessus d’une de ses tangentes, cela signifie qu’aucun point de la courbe ne se trouve strictement en des-sous de la tangente. Un point de tangence se trouve à la fois sur la courbe et sur la tangente.

Remarque

Définition 2

Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si la fonction g = – f est convexe sur cet intervalle.

On peut donner une autre définition d’une fonction concave.

Définition 2 bis

Une fonction f dérivable sur un intervalle I est concave sur I si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes.



Étudier la convexité d’une fonction c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) elle est convexe et sur quel(s) intervalle(s) elle est concave.

d) Fonctions de référence

� Les fonctions x x� 2 et x x� e sont convexes sur �.

� Les fonctions x x� et x x� ln sont concaves sur ]0 ; [.+ ∞

� La fonction xx

�1

est convexe sur ]0 ; [+ ∞ et concave sur ] ; 0[.−∞

� Les fonctions affines sont représentées par des droites (voire des demi-droites ou des segments). En chaque point d’une droite la tangente est confondue avec la droite. Une droite se retrouve donc (au sens large) au-dessus et en dessous de chaque tangente.

e) Allure générale des courbes de fonctions convexes ou de fonctions concaves

Fonctionconvexe

Fonctionconcave

Allure des courbes (sauf fonctions affines)

f) Courbes des fonctions convexes (ou concaves) et tangentes

D’après la définition, si une fonction f est convexe (ou concave) sur un intervalle I alors on connaît la position de la courbe représentant la fonction f sur I par rapport à toutes ses tangentes.

) All é é l d b d f i

Propriété 1

Les seules fonctions qui soient à la fois convexes et concaves sont les fonctions affines.

Cas particulier



Appliquons cette propriété aux deux fonctions de référence" exp" et" ln".

Soit a un réel quelconque. Pour tout x réel on a : e e ex a ax a≥ − +( ) . Pour a = 0

on obtient x x+ ≤1 e .

Soit un réel a > 0. Pour tout réel x > 0 on a : ln ( ) ln .xa

x a a≤ − +1 Pour a = 1 on

obtient ln .x x≤ −1

Voir dans les pré-requis (§A – 3) les tracés des deux courbes Cexp etCln.

Vous avez déjà vu dans la Séquence 4 - exercice V de synthèse - que, pour

tout x réel, x x+ ≤1 e .

Remarque

2. Lien entre convexité d’une fonction dérivable et sens de variation de la fonction dérivée

Récapitulons certains résultats des paragraphes antérieurs.

Propriété 2

� Soit f une fonction convexe sur I et a un réel de I. Pour tout réel x de I on a : f x f a x a f a( ) '( ) ( ) ( ) .≥ × − +

� Soit f une fonction concave sur I et a un réel de I. Pour tout réel x de I on a : f x f a x a f a( ) '( ) ( ) ( ) .≤ × − +

Propriété 3

� Pour tout réel x on a x 1 e .x+ ≤ � Pour tout réel x > 0 on a x xln 1.≤ −



Fonction f Fonction dérivée f ’ Sens de variation de f ’ La fonction f est …

x x 2� sur � x x� 2 sur �

Croi

ssan

te

Croissante sur �

Conv

exe

Convexe sur �

x x� e sur � x x� e sur � Croissante sur � Convexe sur �

xx

�1

sur ]0 ; [+ ∞

xx

� − 12

sur ]0 ; [+ ∞

Croissante

sur ]0 ; [+ ∞

Convexesur ]0 ; [+ ∞

x x�

sur ]0 ; [+ ∞

xx

�1

2

sur ]0 ; [+ ∞

Déc

rois

sant

e

Décroissante

sur ]0 ; [+ ∞

Conc

ave

Concave sur ]0 ; [+ ∞

x x� ln sur ]0 ; [+ ∞ x

x�

1

sur ]0 ; [+ ∞

Décroissante

sur ]0 ; [+ ∞

Concave

sur ]0 ; [+ ∞

xx

�1

sur ] ; 0[− ∞x

x� − 1

2

sur ] ; 0[−∞

Décroissante

sur ] ; 0[−∞Concave sur ] ; 0[−∞

Ces résultats nous permettent d’émettre une conjecture pour déterminer la convexité d’une fonction.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

.f' f

f' f

si est croissante sur alors semble convexe sur ;

si est décroissante sur alors semble concave sur

ii

I I

I I

On admet cette conjecture, ce qui nous permet d’énoncer une propriété.

On désigne par F une fonction primitive de f sur un intervalle I. Étudier, dans les

trois cas suivants, la convexité de la fonction F sur l’intervalle I.

Propriété 4

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

.f' f

f' f est

si est croissante sur alors est convexe sur ;

si est décroissante sur alors concave sur

ii

I I

I I

� Exemple 1



1) f x x( ) = +2 1 avec .�=I 2) f x x( ) = − + 2 avec I =�. 3) f x x( ) = avec

]0 ; [.= + ∞I

� La fonction f est affine et croissante sur �. Toute fonction primitive F de f est donc convexe sur �. � La fonction f est affine et décroissante sur �. Toute fonction primitive F de f est donc concave sur �.

� La fonction f est croissante sur ]0 ; [.+ ∞ Toute fonction primitive F de f est donc convexe sur ]0 ; [.+ ∞

Soit f la fonction définie sur ]0 ; [+∞ par f x x x x( ) ln .= − Déterminer la fonction

dérivée de f et dire si f est convexe ou concave sur ]0 ; [.+ ∞

On af x xxx

'( ) ln= + −1 d’où f x x'( ) ln .=

La fonction" ln" étant croissante sur

]0 ; [+ ∞ la fonction f est convexe

sur ]0 ; [.+∞

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) .= − − +3 2 8 12 Étudier la convexité de la fonction f.

On a f x x x'( ) .= − −3 2 82 Cette dérivée est une fonction trinôme représentée par

une parabole. Son sommet S a pour abscisse − − =26

13

. Sur l’intervalle ;13

− ∞

la fonction f ' est décroissante et sur l’intervalle13

; + ∞

elle est croissante.

La fonction f est concave sur l’intervalle ;13

− ∞

et convexe sur l’intervalle13

; .+ ∞

La propriété 4, associée aux formules de dérivation ( )' ' 'u v u v+ = + et

( )' ',k v k v= nous permet de déterminer la convexité des fonctions u + v et k v

connaissant la convexité des fonctions u et v.

� Supposons que l’on ait f = u + v et que les deux fonctions u et v soient convexes sur un même intervalle I.

� Solution

� Exemple 2

La fonction f x x x x: ln� − est une primitive de la fonction" ln"

sur ]0 ; [+ ∞ .

Remarque� Solution

� Exemple 3

� Solution



Les deux fonctions u ' etv ' sont donc croissantes sur cet intervalle I et comme

( )' ' 'u v u v+ = + on peut dire que la fonction f ' est croissante sur I ce qui prouve

que la fonction f est convexe sur I.

De même si les deux fonctions u et v sont concaves sur un même intervalle I alors

la fonction f = u + v est concave sur I.

� Supposons que l’on ait f = k v avec k ≠ 0, et que la fonction v soit convexe sur un intervalle I.

La fonction v ' est donc croissante sur I et comme ( )' ',k v k v= on peut dire que la fonctionf ' est croissante sur I si k > 0 et décroissante sur I si k < 0. La fonc-tion f est donc convexe sur I si k > 0 et concave sur I si k < 0.

De même, si la fonction v est concave sur I alors la fonction f est concave sur I si k > 0 et convexe sur I si k < 0.

� � Soit f la fonction définie sur � par f x xx( ) .= + −e 2 1 Étudier la convexité de la fonction f sur �.

� Soit g la fonction définie sur ]0 ; [+ ∞ par g x x x( ) ln .= +2 5 Étudier la conve-xité de la fonction g sur ]0 ; [.+∞

� Soit h la fonction définie sur � par h x xx( ) , .= −e 0 5 2 Étudier la convexité de la fonction h sur �.

� � Posons u x x( ) = e et v x x( ) .= −2 1 Les deux fonctions u et v sont convexes sur .�

La fonction f est convexe sur �.

Propriété 5

Les fonctions u et v sont définies sur un intervalle I.Le nombre k est un réel non nul.Si alors

Som

me

u +

v

u convexe sur I v convexe sur I (u + v) convexe sur Iu concave sur I v concave sur I (u + v) concave sur I

u convexe sur I v concave sur I

Prod

uit

k v k > 0

v convexe sur I (k v) convexe sur I

v concave sur I (k v) concave sur I

k < 0v convexe sur I (k v) concave sur I

v concave sur I (k v) convexe sur I

� Exemple 4

� Solution



� Posons u x x( ) = et v x x( ) ln .= Les deux fonctions u et v sont concaves sur

]0; [ ;+ ∞ de plus 2 > 0 et 5 > 0.

La fonction g est concave sur ]0 ; [.+ ∞

� Posons u x x( ) = e etv x x( ) , .= 0 5 2 On a alors h = u – v [ou h = u + (– v)].

Ici la propriété 5 ne s’applique pas car la fonction h est la différence de deux

fonctions convexes sur � ou, si on préfère, la somme d’une fonction convexe

x( e )x� et d’une fonction concave ( x x� −0 5 2, ). On va donc étudier le sens

de variation de la fonction dérivée h ‘ définie sur � par h x xx'( ) .= −e

Pour cela on va chercher le signe de la dérivée de la fonction h ‘.

On a ( ') ( ) .'h x x= −e 1 On sait que ex − =1 0 pour x = 0 ; ex − >1 0 pour x > 0

et ex − <1 0 pour x < 0.

On obtient ainsi le tableau ci-contre :

La fonction h est concave sur ] ; 0]−∞ et convexe sur [0 ; [+∞ (voir figure 5).

Pour étudier la convexité de la fonc-tion h on a été amené à chercher le signe de la dérivée de la fonction déri-vée h ‘ afin de déterminer le sens de variation de cette fonction dérivée.

3. Lien entre convexité d’une fonction déri-vable et signe de la fonction dérivée seconde

On sait que pour savoir si une fonction f est convexe ou concave sur un intervalle

I (ou ni l’un, ni l’autre) on peut étudier le sens de variation de sa fonction dérivée

f '. Mais pour déterminer le sens de variation de la fonction f ' on peut étudier

le signe de sa dérivée (voir la fonction h de l’exemple 4).

O

–1

1–1–2 2 3

1

2

3

A

h(x) = exp(x) – 0,5x2

TAy = x+1

Convexe

Concave

Figure 5

x −∞ 0 + ∞

h x'( ) – 0 +

h x'( )1

h Concave Convexe



On en déduit la propriété suivante.


( ) =+

4

32 (voir premier exercice des pré-

requis).

Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la convexité de f.

La dérivée seconde est définie sur � par

f xx x x x x x x

"( ) 8( 3) 2( 3)(2 )

(x + 3)8

( 3) 3 4

(x + 3).

2 2 2

2 4

2 2 2

2 4= − ×+ − × +

= − ×+ + −

Définition 4

La fonction dérivée de la fonction f ' est la fonction dérivée seconde de la fonction f et se note f " .

Ainsi ( ') ".'f f= [ "f se lit : f seconde]

➟ Complément sur la notion de courbure

On peut mathématiquement définir la courbure d’une courbe, mais ce n’est pas au programme de terminale ES. On admet que la courbure d’une courbeCf représentant une fonction f a le même signe que la dérivée seconde.

Sur tout intervalle I où f est convexe, la courbure de la courbeCf est positive.

Sur tout intervalle I où f est concave, la courbure de la courbeCf est négative.

Ainsi la courbure de la courbeCexp est positive sur � et la courbure de la courbeCln est négative sur ]0 ; [.+ ∞

On peut dire que

� si la courbure est négative la courbe tourne vers la droite (commeCln ) ;

� si la courbure est positive la courbe tourne vers la gauche (commeCexp ).

Quand on dit une courbe tourne" vers la droite" ou " vers la gauche" c’est toujours en parcourant la courbe dans le sens des « x croissants ».

Propriété 6

Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.f'' f

f'' f

si est positive sur alors est convexe sur ;

si est négative sur alors est concave sur .

ii

I I

I I

� Exemple 5

� Solution



On obtient f xx x x

x"( )

( )( )( )

( ).= + + −

+

24 3 1 1

3

2

2 4

La dérivée seconde est du signe du trinôme (x + 1) (x – 1) qui s’annule pour

x = – 1 et pour x = 1.

Le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines.

x −∞ – 1 1 +∞

Signe de f x''( ) + 0 – 0 +

f est … Convexe Concave Convexe

La fonction f est convexe sur ] ; 1] et sur [1; [ ;

concave sur [ 1; 1].

ii

∞ − + ∞−

−

La courbe représentative de f, obtenue sur l’écran d’une calculatrice, est sur la figure 6.

� Cet exemple nous montre qu’une fonction définie sur � peut être, ni convexe sur �, ni concave sur �.

� Ainsi concave n’est pas le contraire de convexe : si une fonction f n’est pas convexe sur un intervalle I cela ne veut pas dire qu’elle est nécessairement concave sur I.


x( )

12=+

(voir deuxième exercice des pré-requis).

Déterminer la dérivée seconde de f et en déduire la convexité de f.

La dérivée seconde est définie sur � par

f xx x x x x

x

x x x x

x"( )

2 ( 1) (1 ) 2( 1)(2 )

( 1)

2 ( 1)( 1 2 2 )

( 1).

2 2 2 2

2 4

2 2 2

2 4=− + − − × +

+=

− + + + −+

On obtient f xx x x

x

x x x x

x"( )

2 ( 1)( 3)

( 1)

2 ( 1)( 3)( 3)

( 1).

2 2

2 4

2

2 4=+ −

+=

+ − ++

La dérivée seconde est du signe du produit x x x( )( )+ −3 3 qui s’annule pour

x = 0, pour x = − 3 et pour x = 3.

O

� Exemple 6

� Solution



Dressons un tableau de signes de la dérivée seconde.

x −∞– 3 0 3

+ ∞

x – – 0 + +

x − 3 – – – 0 +

x + 3 – 0 + + +

Signe def x"( ) – 0 + 0 – 0 +

f est … Concave Convexe Concave Convexe

La fonction f est convexe sur [ 3 ; 0] et sur [ 3 ; [ ;

concave sur ] ; 3] et sur [0 ; 3].

i

i

+ ∞

∞ −

−

−

La courbe représentative de f, obtenue sur l’écran d’une calculatrice, est sur la figure 7.

Figure 6 Figure 7

Soit u et v les deux fonctions définies sur � paru x x( ) = +2 1 et v x x( ) .= e

On définit, pour tout réel x, la fonction f par f x u x v x( ) ( ) ( ).= ×

� Que peut-on dire concernant la convexité des deux fonctions u et v sur � ?

� Étudier la convexité de la fonction f sur �.

� Les deux fonctions u et v sont convexes sur �.

� La dérivée seconde de f est définie sur � par f x x x x"( ) ( ) .= + +2 4 3 e Cette

dérivée seconde a le même signe que le trinôme x x x x2 4 3 1 3+ + = + +( )( ).

Pour x = – 3 et pour x = – 1 la dérivée seconde s’annule et change de signe. Elle

est positive à l’extérieur des racines et négative entre les racines.

� Exemple 7

� Solution



x −∞ – 3 –1 +∞

f x''( ) + 0 – 0 +

f est … Convexe Concave Convexe

La fonction estf convexe sur] ; 3] et sur [ 1; [ ;

concave sur [ 3 ; 1].

ii

− ∞ − − + ∞− −

La courbe représentant la fonction f admet en B( 1; 2e )1− −

une tangente parallèle à l’axe des abscisses (voir figure 8).

O 1–1–3 –2–4

1

2

A

B

ConvexeConvexe Concave

4. Notion de point d’inflexion

Fonction k x x: � 3 q x x: � 4

CourbeO

–1

–2

1

2

–1–2 1 2 O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

Le produit de deux fonctions convexes sur I ne donne pas, en général, une fonction convexe sur I.

Remarque

Figure 8



Dérivée seconde

k x x"( ) = 6 q x x"( ) = 12 2

Convexité

x −∞ 0 + ∞

h x'( ) – 0 +

k Concave Convexe

k' Décroissante Croissante

x −∞ 0 + ∞

q x"( ) + 0 +

q Convexe

q ' Croissante

Point d’inflexion

La dérivée seconde s’annule en 0 en changeant de signe. La fonction k

change de convexité en 0.

La dérivée seconde s’annule en 0 sans changer de signe. La fonction q ne change pas de

convexité.

� Le point O (0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe.

� Au point O (0 ; 0) la courbe traverse sa tangente.

� La courbe n’admet pas de point

d’inflexion.

� En tout point la courbe est au-des-sus de sa tangente.

Le changement de signe de la dérivée seconde correspond à un changement de convexité de la fonction.

En un point où la dérivée seconde s’annule et change de signe, la courbe repré-sentative d’une fonction traverse sa tangente.

Illustrons ceci par la figure 9 où la courbe représentative d’une fonction f est donnée.

� Au point K la courbe traverse la tan-gente T.

� Le point K est un point d’inflexion de la courbe.

� Entre A et K, f "≥ 0 et la pente des tan-gentes augmente.

� Entre K et B, f "≤ 0 et la pente des tan-gentes diminue.

� Considérons la courbe de la fonction k x x: .� 3

La pente des tangentes

diminue sur ] ; 0] ;

augmente sur [0 ; [.

ii

− ∞+ ∞

(voir le sens de variation de la fonction dérivée k’)

A

T

K

B

Pointd’inflexion

Concave

Convexe

Figure 9



� Le point O (0 ; 0) est le point d’inflexion de la courbe représentant la fonction

x x� 3.

� Les points A( ; )−1 1 et B( ; )1 1 sont les points d’inflexion de la courbe représen-

tant la fonction xx

�4

32 + (voir la courbe de l’exemple 5).

� Les points A − −

3

34

; , O (0 ; 0) et B 33

4;

sont les points d’in-

flexion de la courbe représentant la fonction xx

x�

2 1+ (voir la courbe de

l’exemple 6).

� Les points A( ; )− −3 10 3e et B( ; )− −1 2 1e sont les points d’inflexion de la

courbe représentant la fonction x x x� ( )2 1+ e (voir la courbe de l’exemple 7).

Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) ( )= − −10 1 e etC sa courbe représen-tative dans un repère du plan.

Déterminer les variations de la fonction f. Étudier la convexité de la fonction f.

Propriété 7

Lorsque la dérivée seconde d’une fonction f s’annule en x0 , en

changeant de signe, alors la fonction f change de convexité en x0.

Définition 5

Soit f une fonction dérivable etCf sa courbe représentative dans un repère du plan.

Si la fonction f change de convexité en x0 on dit que le point de la courbe

Cf d’abscisse x0 est un point d’inflexion de la courbeCf .

Propriété 8

Si la courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion alors la courbe traverse sa tangente en ce point.

� Exemple 8

� Exemple 9



Montrer que la courbe C admet un point d’inflexion, noté K. Donner l’équation de la tangente à la courbe C en K.

Pour tout réel x on a f x x x

f x x x

'( ) 10 e ( 1)e 10(2 )e ;

"( ) 10 e (2 )e 10( 3)e .

x x x

x x x

i

i

= − −

= −

= − − −

= −

− − −

− − −

Pour x = 3 la dérivée seconde s’annule et change de signe : le point K 3 20 3; e−( ) est un point d’inflexion de C.

Calculons f '( ) ( ) .3 10 2 3 103 3= − = −− −e e

L’équation de la tangente à C au point K est y x= − − +− −10 3 203 3e e( ) , soit y x= − −−10 53e ( ).

Voir la courbe sur la figure 10. On a yK ≈ 1 car 20 0 9953e− = , ...

0

1

2

–2

2 43 6

K

C

Concave

Convexe

y = f(x) = 10(x–1) exp(–x)

Figure 10

0

1

2

–2

0,2 0,4 0,60,5 0,8

K

CConcave

Convexe

y = g(x) = 2x2 + x + In(x)

Figure 11

Soit g la fonction définie sur ]0 ; [+ ∞ par g x x x x( ) ln= + +2 2 et C sa courbe

représentative dans un repère du plan.

� Déterminer les variations de la fonction g.

� Étudier la convexité de la fonction g.

� Montrer que la courbe C admet un point d’inflexion, noté K. Donner l’équation de la tangente à la courbe C en K.

� Solution

La fonction dérivée est du signe de (2 – x).

La fonction f estcroissante sur ] ; 2] ;

décroissante sur [2 ; [.

ii

−∞+∞

La fonction dérivée seconde est du signe de (x – 3).

La fonction f estconcave sur ] ; 3] ;

convexe sur [3 ; [.

ii

− ∞+ ∞

� Exemple 10



� Pour tout réel x on a

i

i

g x xx

g xx

x

x

x x

'( ) ;

"( )( )(

= + +

= − = − = − +

4 11

41 4 1 2 1 2 12

2

2)).

x 2

Comme x > 0, la fonction dérivée est toujours positive.

La fonction g est croissante sur ]0 ; [.+ ∞

� Comme 2x + 1 > 0 et x 2 0> , la fonction dérivée seconde est du signe de (2x – 1).

La fonction g est concave sur 0 0 5; , et convexe sur 0,5 ; .[ [+∞

� Pour x = 0 5, la dérivée seconde s’annule et change de signe : le point K ( , ; ln )0 5 1 2− est un point d’inflexion de C.

Calculons g '(0,5) = 5. L’équation de la tangente à C au point K est

y = 5(x – 0,5) + 1 – ln2, soit y x= − −5 1 5 2, ln (voir figure 11).

Cet exemple nous montre encore que la somme d’une fonction convexe( )x x x� 2 2 + et d’une fonction concave ( ln )x x� sur un intervalle peut, sur ce même intervalle, être ni convexe, ni concave.

Remarque

5. Inégalité des "milieux"

Fonction f convexe Fonction f concave

K

J

M

A

a b

B

N

Courbe

Corde K

JM

A

a b

B

N

Courbe

Corde

a b2

↑↑+

a b

2

↑↑+

� Solution



y yK J≤ y yK J≥

Le segment [ ]MN est une corde. L’arc de courbe

entre M et N est situé en dessous de la corde [ ].MN

Le segment [ ]MN est une corde. L’arc de courbe

entre M et N est situé au-dessus de la corde [ ].MN

Le point K, situé sur la courbe, a pour abscisse xa b

K = +2

et pour ordonnée

y fa b

K = +

2

.

Le point J, milieu du segment [ ],MN a pour abscisse xa b

J = +2

et pour ordonnée

yf a f b

J = +( ) ( ).

2

� Soit a et b deux réels quelconques. Écrire l’inégalité des milieux lorsque f = exp.

� Soit a et b deux réels tels que a > 0 et b > 0. Écrire l’inégalité des milieux lorsque f = ln.

� La fonction" exp" est convexe sur � d’où expexp( ) exp( )a b a b+

≤ +2 2

soit ee e

a b a b+

≤ +22

.

Propriété 9 Inégalités des milieux

Si f est convexe sur [ ; ]a b alors

y yK J≤

d’où fa b f a f b+

≤ +2 2

( ) ( )

Si f est concave sur [ ; ]a b alors

y yK J≥

d’où fa b f a f b+

≥ +2 2

( ) ( )

Propriété 10

Si f est une fonction convexe sur un intervalle I alors tout arc de courbe est situé en dessous de la corde correspondante.

Si f est une fonction concave sur un intervalle I alors tout arc de courbe est situé au-dessus de la corde correspondante.

� Exemple 11

� Solution



� La fonction" ln" est concave sur ]0 ; [+ ∞ d’où lnln( ) ln( )a b a b+

≥ +2 2

soit a b a bln

2ln( )

2.

+

≥

Sur les figures 12 et 13 les points A (a ; 0) et B (b ; 0) sont situés sur l’axe des

abscisses, le point K sur la courbe Cf et le point J sur la corde MN[ ]. Les points K

et J ont pour abscisse x xa b

K J= = +2

; TK est la tangente en K à la courbeCf .

� Sur la figure 12 la courbeCf représente une fonction f positive et convexe

sur l’intervalle [a ; b] (avec a < b).

Comparer l’intégrale f x dxa

b( )∫ à l’aire des deux trapèzes rectangles A B F E et

A B N M. En déduire que la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est com-

prise entre l’ordonnée du point K et l’ordonnée du point J.

� Sur la figure 13 la courbeCf représente une fonction f positive et concave

sur l’intervalle [a ; b] (avec a < b).

Comparer l’intégrale f x dxa

b( )∫ à l’aire des deux trapèzes rectangles A B F E et

A B N M. En déduire que la valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est com-

prise entre l’ordonnée du point J et l’ordonnée du point K.

La fonction f est positive et convexe sur [a ; b] La fonction f est positive et concave sur [a ; b]

K

J

M

A

a bB

N

Corde

F

E

TK

Cf

Axe des

abscisses

K

JM

A

a b

B

N

F

E

TK

Corde

Axe des

abscisses

Cf

Figure 12 Figure 13

� Exemple 12



Comme f est positive sur l’intervalle [a ; b], l’intégrale f x dxa

b( )∫ est égale, en

unités d’aire, à l’aire du domaine A B N K M délimité par la courbeCf , l’axe des

abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = b.

� Comme f est convexe sur [a ; b] la courbeCf est située au-dessus de la tan-genteTK .

D’où aire (A B F E) aire" sous la courbe" aire (A B N M), soit

aire (A B F E) f x dxa

b( )∫ aire (A B N M).

On a :

aire (A B F E) = AE BF

b a b a y b a fa b

2( ) ( ) ( )

2K+

× − = − × = − ×+

.

On a :

aire (A B N M) = AM BN

b a b a y b af a f b

2( ) ( ) ( )

( ) ( )2J

+× − = − × = − ×

+.

Ainsi b a fa b

f x dx b af a f b

( )2

( ) ( )( ) ( )

2a

b∫− ×

+

≤ ≤ − ×+

soit

fa b

b af x dx

f a f b2

1( )

( ) ( )2

.a

b∫

+

≤−

≤+

La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l’ordonnée de K et l’ordonnée de J.

� Comme f est concave sur [a ; b] la courbeCf est située en dessous de la tangenteTK .

D’où aire (A B N M) aire" sous la courbe" aire (A B F E), soit

aire (A B N M) f x dxa

b( )∫ aire (A B F E).

Ainsi b af a f b

f x dx b a fa b

( )( ) ( )

2( ) ( )

2a

b∫− ×

+≤ ≤ − ×

+

soit

f a f b

b af x dx f

a b( ) ( )2

1( )

2.

a

b∫

+≤

−≤

+

La valeur moyenne de la fonction f sur [a ; b] est comprise entre l’ordonnée de J

et l’ordonnée de K.

6. Notion de rendement

Chaque jour, une petite entreprise fabrique x centaines de cartons d’emballage (x est compris entre 0 et 10). Le coût total de la fabrication journalière de ces cartons, en euros, est exprimé parC x x x xT ( ) .= − + +3 212 50 98 On désigne par ( )C la courbe représentative de la fonctionCT .

� Solution

� Exemple 13



1) Étude de la fonction coût total

Déterminer le sens de variation de la fonction CT .

Calculer les coordonnées du point d’inflexion K de la courbe ( )C et donner l’équation de la tangente à ( )C en K.

Sur quel intervalle la fonction CT est-elle concave ? Sur quel intervalle la fonc-tion CT est-elle convexe ?

Tracer la courbe ( )C dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont : 1 cm pour une centaine en abscisse et 1 cm pour 40 euros en ordonnée.

2) Étude de la fonction coût marginal

La fonction coût marginal, notée Cma, est la fonction dérivée de la fonction coût total.

ExprimerC xma ( ) en fonction de x et déterminer le sens de variation de la

fonction Cma .

Pour quelle valeur x0 le coût marginal est-il minimal ? Donner la valeur minimale du coût marginal.

Tracer la courbe ( )Cma représentative de la fonctionCma . Que représente le réelx ?0

3) Étude de la fonction coût moyen

La fonction coût moyen, notéeCM , est définie sur ] ; ]0 10 parC xC x

xMT( )

( ).=

Vérifier que, pour tout x réel, 2 12 98 2 7 73 2 2x x x x x− − = − + +( )( ).

ExprimerC xM ( ) en fonction de x et déterminer le sens de variation de la fonction CM .

Pour quelle valeur x1 le coût moyen est-il minimal ? Vérifier que

C x C xma M( ) ( ).1 1=

Soit A le point de la courbe ( )C d’abscisse x1 et TA la tangente à ( )C au point A.

Déterminer une équation de la tangente TA et vérifier qu’elle passe par l’origine du repère.

Tracer la courbe C( )M représentative de la fonctionCM .

4) Rendements marginaux

� Lorsque le coût marginal est décroissant chaque unité supplémentaire produite par l’entreprise est moins coûteuse que la précédente. On dit alors que les rendements (marginaux) sont croissants et cela correspond à une fonction coût total concave.



� Lorsque le coût marginal est croissant chaque unité supplémentaire produite par l’entreprise est plus coûteuse que la précédente. On dit alors que les rende-ments (marginaux) sont décroissants et cela correspond à une fonction coût total convexe.

Dire sur quel intervalle les rendements (marginaux) sont croissants, décroissants.

5) Rendements d’échelle (liés au coût moyen)

Selon le contexte la notion de rendement peut s’appliquer, soit au coût marginal, soit au coût moyen. Quand on parle de rendement lié au coût moyen on parle de rendement d’échelle.

� Lorsque le coût moyen est décroissant on dit que les rendements d’échelle sont croissants.

� Lorsque le coût moyen est croissant on dit que les rendements d’échelle sont décroissants.

Dire sur quel intervalle les rendements d’échelle sont croissants, décroissants.

Sur quel intervalle les rendements marginaux et les rendements d’échelle sont-ils tous les deux croissants ? tous les deux décroissants ?

� La fonction dérivée de la fonctionCT est définie, pour 0 10≤ ≤x , par

C x x xT' ( ) .= − +3 24 502 Le trinôme 3 24 502x x− + a pour discriminant

∆ = −24 d’où C xT' ( ) > 0 lorsque 0 10≤ ≤x .

La fonctionCT est croissante sur l’intervalle [0 ; 10].

Déterminons la dérivée seconde de la fonctionCT .

On aC x x xT" ( ) ( ).= − = −6 24 6 4

� C xT" ( ) = 0 pour x = 4 � C xT" ( ) < 0 pour 0 4≤ <x � C xT" ( ) > 0 pour 4 10< ≤x .

Comme la dérivée seconde s’annule pour x = 4, en changeant de signe, le point

K ( ; )4 170 est un point d’inflexion de ( ).C

Calculons C T' ( ) .4 2= Une équation de la tangente en K est y x= − +2 4 170( )

soit y x= +2 162 .

La fonction CT est concave sur l’intervalle [0 ; 4] et convexe sur l’intervalle [4 ; 10].

Le tracé de la courbe ( )C est sur la figure 14.

� La fonction coût marginal, définie sur l’intervalle [0 ; 10], est la fonction déri-vée de la fonctionCT .

� Solution



Ainsi C x C x x xma T( ) ' ( )= = − +3 24 502 etC x C x xma T' ( ) " ( ) ( ).= = −6 4

La fonction Cma est décroissante sur l’intervalle [0 ; 4] et croissante sur l’inter-

valle [4 ; 10].

Le coût marginal est minimal pour x x= =0 4 . On calcule Cma ( ) .4 2= Le

minimum du coût marginal est égal à 2 euros.

La courbe ( ),Cma qui passe par le point F (4 ; 2), est tracée sur la figure 14.

Le réel x0 4= est l’abscisse du point d’inflexion de la courbe ( ).C

� Développons

2 7 7 2 7 7 7 49 2 6 42 3 2 2 3 2( )( ) ( ) (x x x x x x x x x x− + + = + + − − − = − − 99)

D’où 2 7 7 2 12 982 3 2( )( ) .x x x x x− + + = − −

La fonction coût moyen est définie sur ] ; ]0 10 parC xC x

xMT( )

( ),= d’où

C x x xxM ( ) .= − + +2 12 5098

La dérivée du coût moyen est définie sur ] ; ]0 10 par

C x xx

x x

xM' ( ) .= − − = − −

2 1298 2 12 98

2

3 2

2

D’après ce qui précède on peut écrire C xx x x

xM' ( )

( )( ).= − + +2 7 72

2

Pour tout x > 0 on a x x2 7 0+ + > . La dérivée a donc le même signe que x – 7.

� C xM' ( ) = 0 pour x = 7 ;

� C x' ( ) 0M < pour 0 7≤ <x . La fonction CM est décroissante sur l’intervalle

[0 ; 7] ;

� C x' ( ) 0M > pour 7 10< ≤x . La fonction CM est croissante sur l’intervalle [7 ; 10].

Le coût moyen est minimal pour x x= =1 7 et on a C CM ma( ) ( ) .7 7 29= =

Le point B (7 ; 29) est placé sur la figure 14.

Les coordonnées du point A sont ( ; ( )),7 7CT soit A( ; ).7 203 On a

C CT ma' ( ) ( ) .7 7 29= =

Une équation de la tangente TA est y x= − +29 7 203( ) , soit y x= 29 . Cette

tangente passe par l’origine du repère.

Le tracé de la courbe C( )M est sur la figure 14.



� Les rendements marginaux croissants correspondent à une fonction coût total concave.

Les rendements marginaux décroissants correspondent à une fonction coût total convexe.

Les rendements marginaux sontcroissants sur l'intervalle [0 ; 4] ;

décroissants sur l'intervalle [4 ; 10].

ii

� Les rendements d’échelle sontii

croissants sur l'intervalle [0 ; 7] ;

décroissantts sur l'intervalle [7 ; 10].

� Sur l’intervalle [0 ; 4] les rendements marginaux et les rendements d’échelle sont tous les deux croissants ;

� Sur l’intervalle [7 ; 10] les rendements marginaux et les rendements d’échelle sont tous les deux décroissants.

O

–10O

2

AK

BF

Rendements d’échellecroissants

Rendements d’échelledécroissants

Rendements marginauxcroissants

Rendements marginauxdécroissants

10O

20O

30O

40O

4 76 8 10 12

(C) y = CT(x)

(Cma) y = Cma(x)

(CM) y = CM(x)

TA y = 29x

y = 2x + 162

A(7 ; 203) ; B(7 ; 29) ; F(4 ; 2) ; K(4 ; 170) Figure 14

Exercices d’apprentissage

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) = + +3 26 9 et C sa courbe repré-sentative dans un repère orthogonal du plan.


� Tracer la courbe C.

� a) Montrer que la courbe C admet un point d ‘inflexion K. Préciser les coordon-nées du point K et déterminer l’équation de la droite TK , tangente à la courbe C au point K.

DExercice 1



b) Développer ( )x + 2 3 et en déduire que la tangente TK ne recoupe pas la courbe C.

On reprend la fonction f proposée dans l’exercice de synthèse (n° II) de la séquence 2.

Soit f la fonction définie sur [0 ; 4] par f x x x( ) = − +132

316

3 2 et C sa courbe représentative.

� Étudier, sans utiliser la dérivée seconde, la convexité de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 4].

� Montrer que la courbe C possède un point d’inflexion K. Situer la courbe C par rapport à sa tangente en K.

� Soit M x f x( ; ( )) un point quelconque de la courbe C et TM la tangente à la

courbe C en ce point. La pente de la tangente TM est le nombre p(x) défini par

p x f x( ) '( ).=

Étudier les variations de la pente des tangentes TM pour x ∈[ ; ].0 4 Déterminer pour quelle valeur de x la pente est maximale et donner, en pourcentage, la valeur maximale de la pente.

Soit f la fonction définie sur � par f x x x x( ) = − + −4 26 8 3 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

� Développer ( )( ) .x x+ −2 1 2

� Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.

� Montrer que la courbe C admet deux points d‘inflexion A et K, avec x xK A< , dont on précisera les coordonnées. Donner les équations des tangentes à la courbe C en A et en K (elles seront notées respectivementT et TA K ).

Étudier la convexité de la fonction f sur �.� Tracer la courbe C ainsi que les tangentes T et TA K .

� a) La tangente en A coupe la courbe C en un point B. À l’aide de la calcula-trice, préciser les coordonnées de B.

b) La tangente en K coupe la courbe C en un point E. Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, les coordonnées du point E.

c) Indiquer, à l’aide de la calculatrice, les positions relatives de la courbe C et de la tangente en K.

On considère la fonction f de l’exemple 5 définie sur � par f xx

( ) .=+

4

32 On

pose, pour tout x réel, g x f x( ) ln( ( )).= � Dire pourquoi la fonction g a le même sens de variation que la fonction f sur � .

� Montrer que, pour tout x réel, g xf x f x f x

f x"( )

"( ) ( ) '( )

( )

2

2[ ]

[ ]=

× − et en déduire

que g xx

x"( )

( )

( ).= −

+

2 3

3

2

2 2

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4



� a) Étudier la convexité de la fonction g sur �.

b) Soit Cg la courbe représentative de g. Déterminer les équations des tangentes à Cg aux points d’inflexion.

� Tracer, dans un même repère, les courbes Cf etCg représentant les fonctions f et g.

Soit f, g et h les trois fonctions définies sur � par :

f x x x x( ) ( ) ,= + +2 2 2 e g x x x x( ) ( )= + +2 2 3 e et h x x x x( ) ( ) .= + +2 2 4 e

On désigne parC C Cf g h, et leurs courbes respectives dans un repère du plan.

Les courbesC C Cf g h, et admettent-elles des points d’inflexion ? Si oui, préciser

leurs coordonnées.

Tracer la courbe de la fonction" ln" sur l’intervalle [ ; [.1 +∞

Soit k un réel tel que k 1.

En utilisant le graphique et la concavité de la fonction" ln" montrer que

k k t dt12

ln ( 1) ln .k

k 1∫[ ]+ ≤

+

Les moyennes

Les deux réels x et y étant strictement positifs on définit quatre moyennes.Moyenne

arithmétiqueMoyenne

géométriqueMoyenne

harmoniqueMoyenne

quadratique

Ax y= +

2G x y= H

x yx y

=+

2Q

x y= +2 2

2

Le but de l’exercice est de comparer ces quatre moyennes.

� Cas particulier

À la fin du troisième trimestre, le professeur de mathématiques propose à ses élèves de calculer leur moyenne en prenant, parmi les formules précédentes, celle qui leur est la plus favorable. Yann a obtenu comme notes 9 et 16. Calculer les quatre moyennes possibles et les arrondir au demi-point. Classer les moyennes dans l’ordre croissant et dire quelle sera la moyenne de Yann en mathématique au troisième trimestre.

� Cas général

a) Appliquer l’inégalité des milieux à la fonction f définie, pour x 0, par

f x x( ) .= 2 Comparer A et Q.

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7



b) Appliquer l’inégalité des milieux à la fonction f définie, pour x > 0, par f x x( ) ln .= Comparer A et G.

c) Appliquer l’inégalité des milieux à la fonction f définie, pour x > 0, par

f x x( ) ln .= On appliquera cette inégalité aux deux réels1 1a b

et . Comparer H et G.

d) Classer les quatre moyennes A, G, H, Q dans l’ordre croissant. Quelle est la moyenne la plus favorable ?

Soit f et g les fonctions définies sur � par f x

x

( ) ,=−

e

2

2 g x

x

x( ) .= 2e

e +1

� Étudier les variations des fonctions f et g.

� Étudier la convexité des fonctions f et g [vérifier quef x x f x"( ) ( ) ( )= −2 1 ].

� Déterminer les coordonnées des points d’inflexion des courbesCf etCg représentatives des fonctions f et g.

� Tracer, dans deux repères distincts du plan, les courbesCf etCg .

Drôle de puzzle

Dans un repère orthonormal d’origine O

on considère les points

O A B A( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ).0 0 21 0 21 8 0 81 2

� Calculer l’aire du rectangle O A B A (1 2 en unités d’aire).

� On partage le rectangleO A B A1 2 en deux triangles rectangles de même aire,

O A B O A B1 2et (voir figure 15).

Sur la figure 16 on place le point H (8 ; 3) et on décom-pose le triangleOA B1 en un puzzle formé de 5 polygones (2 triangles, 1 rectangle et 2 hexagones).

Sur la figure 17 on place le point K (13 ; 5) et on dis-pose les pièces formant le puzzle du triangleOA B1 sur le triangle OA B2 , les pièces étant placées différemment. On constate qu’il reste un" carré blanc " correspondant à un carré unité.

Sur la figure 16 on obtient aire ( ) .OA B1 84=

On aurait donc, d’après la figure 17 :

aire aire( ) ( ) .OA B OA B2 1 1 84 1 85= + = + =

D’où O A B A OA B OA Baire ( ) aire ( ) aire( ) 84 85 169.1 2 1 2= + = + = Qu’en pensez-vous ?

Exercice 8

Exercice 9A2

A1

B

OFigure 15

Figure 16

Figure 17

A2

B

O

K

A1

B

O

H



� Comme168 169≠ , il doit y avoir une erreur dans le raisonnement précédent : expliquons d’où vient l’erreur.

a) Calculer les coefficients directeurs des droites (OB), (OH) et (OK). Que peut-on en déduire pour les points O, B, H et K ?

b) Calculer l’aire du quadrilatère O H B K.

c) Dire, brièvement, quelle est l’erreur de raisonnement de la question �.

� a) Soit ( )PH la parabole passant par les points O, H et B d’équation

y f x ax bx= = +( ) .2 Déterminer les deux réels a et b.

La fonction f est-elle convexe ou concave sur �?

La parabole ( )PH recoupe l’axe des abscisses en un point E. Donner les coordon-

nées de E et tracer ( ).PH

b) Soit ( )PK la parabole passant par les points O, K et B d’équation

y g x cx dx= = +( ) .2 Déterminer les deux réels c et d.

La fonction g est-elle convexe ou concave sur �?

La parabole ( )PK recoupe l’axe des abscisses en un point F. Donner les coordon-

nées de F et tracer ( ).PK

On considère la fonction f définie sur � par f x x x( ) ln( )= +−e e1 et C sa courbe représentative dans un repère du plan.

Exercice 10

0–1

–0,2

–2–3

A

C

C’

TA

1 2 3 4

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Figure 18



On désigne parC ' la courbe représentative de la fonction dérivée. Les deux courbes C et C ' sont données sur la figure 18.

� Montrer que la fonction dérivée de f est définie sur � par

f xx

x x'( ) ln( ).=+

− +−1

11

ee e

La courbe C coupe l’axe des ordonnées au point A. La droiteTA , tangente à la

courbe C au point A, est tracée sur la figure 18. Déterminer une équation de

TA. Que peut-on dire, d’après le graphique, de cette tangente ?

� Conjecturer le signe de la dérivéef ' et le sens de variation de la fonction dérivée f ' sur �.

� Dire pourquoi la courbe C change de concavité pour une valeur x = α . Enca-drerα entre deux entiers consécutifs.

On va chercher, à l’aide d’un tableur, à déterminer une valeur approchée du réel α .

a) En prenant un pas de 0,1 déterminer un encadrement de α d’amplitude 0,2.

b) En prenant un pas de 0,01 déterminer un encadrement de α d’amplitude 0,02.

c) En prenant un pas de 0,001 déterminer un intervalle [a ; b] d’amplitude 0,002 auquel appartient le réel α .

On choisit pour valeur approchée de α le centre de l’intervalle [a ; b]. En déduire une valeur approchée de α .

� Donner l’intervalle sur lequel la fonction f semble concave et l’intervalle sur lequel elle semble convexe.



1 Synthèsede la séquence3� Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite convexe sur cet intervalle si sa courbe représentative est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle si la fonction g = – f est convexe sur cet intervalle.

Une fonction f dérivable sur un intervalle I est dite concave sur cet intervalle si sa courbe représentative est située en dessous de chacune de ses tangentes.

� Les seules fonctions qui soient à la fois convexes et concaves sont les fonc-tions affines.

� � Les fonctions x x� 2 et x x� e sont convexes sur �.� Les fonctions x x� et x x� ln sont concaves sur ]0 ; [+ ∞

� La fonction xx

�1

est convexe sur ]0 ; [+ ∞ et concave sur ] ; [.−∞ 0

�

Soit f une fonction convexe sur Iet a un réel de I.

Soit f une fonction concave sur I et a un réel de I.

Pour tout réel x de I on a :≥≥ × − +f x f a x a f a( ) '( ) ( ) ( ).

Pour tout réel x de I on a :≤≤ × − +f x f a x a f a( ) '( ) ( ) ( )

Pour tout réel x on a x x+1 e≤≤ . Pour tout réel x > 0 on a ln 1x x≤≤ −− .

� Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

f' f

f' f est

si est croissante sur alors est convexe sur ;

si est décroissante sur alors concave sur .

I I

I I

ii

�

On se place sur un intervalle On se place sur un intervalle

u v u + vu

k u

Convexe Convexe Convexe k < 0 0 < k

Concave Concave Concave Convexe Concave Convexe

Convexe Concave Concave Convexe Concave

� La fonction dérivée seconde de f est la fonction dérivée de la fonction f '

et se notef ". D’où f f( ') " .' =



� Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

ii

f'' f

f'' f

si est positive sur alors est convexe sur ;

si est négative sur alors est concave sur .

I I

I I

� Point d’inflexion

Si la dérivée seconde d’une fonction f s’annule en x0 , en changeant de signe, alors la fonction f change de convexité en x0.

Si une fonction f change de convexité en x0 alors le point de la courbe représen-tative de f, d’abscisse x0 , est un point d’inflexion de la courbe et en ce point la courbe traverse sa tangente.

� Inégalités des milieux

Si f est convexe sur [a ; b] alors fa b f a f b+

+2 2

≤≤ ( ) ( ).

Si f est concave sur [a ; b] alors fa b f a f b

2( ) ( )

2.≥≥+

+

� Rendements

Rendements marginaux

� Les rendements marginaux sont croissants lorsque la fonction coût total est concave, c’est-à-dire lorsque le coût marginal est décroissant.

� Les rendements marginaux sont décroissants lorsque la fonction coût total est convexe, c’est-à-dire lorsque le coût marginal est croissant.

Rendements d’échelle

� Les rendements d’échelle sont croissants lorsque le coût moyen est décrois-sant.

� Les rendements d’échelle sont décroissants lorsque le coût moyen est crois-sant.



1 Exercices de synthèse4Partie A – Préliminaire

On se place dans le plan muni d’un repère. Soit A x yA A( ; ), B x yB B( ; ) etC x yC C( ; ) trois points du plan.

Le centre de gravitéG x yG G( ; ) du triangle ABC est le point de concours des

trois médianes (voir figure 19).

Ce point G vérifie la relation vectorielleGA GB GC� ��

+ + = 0. Montrer que

xx x x

GA B C=

+ +3

et yy y y

GA B C=

+ +3

.

Partie B – Application

Soit f une fonction concave définie sur un intervalle I et � sa courbe représentative.

Soit A, B et C trois points de la courbe � d’abscisses respectives a, b et c. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC et K le point de la courbe � ayant même abscisse que G.

� Comparer les ordonnées yG et yK et en déduire

que fa b c f a f b f c+ +

+ +3 3

≥≥ ( ) ( ) ( ).

� Soit a, b et c trois réels tels que

a > 0, b > 0 et c > 0.

Montrer que lnln( )

.a b c abc+ +

3 3

≥≥

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; [+ ∞ par f x x( ) ln(ln ).=

� Montrer que la fonction f est concave sur l’intervalle ]1 ; [.+ ∞

� Démontrer que, pour tous réels x et y tels que x > 1 et y > 1, on a

ln (ln )(ln ).x y

x y+

2

≥≥

Exercice I

A

B

C

K

G

G Centre de gravité de A B C

�

Figure 19

Exercice II



Le plan est muni d’un repère orthonormal d’origine O.

Le tracé d’une autoroute coïncide avec l’axe des abscisses. La courbe C allant de l’origine O au point B d’abscisse 8 est une bretelle de sortie qui est la réunion de deux courbes (voir figure 20) :

� la courbe allant de l’ori-gine O au point A (4 ; – 2) est un arc de parabole d’équa-tion y f x ax( ) ;2= =� la courbe allant de A à B est un arc de cercle de centre K (8 ; 2) et de rayon

r = KA = KB.

� Déterminer la valeur du réel a. Étudier la convexité de la fonction f sur l’inter-valle [0 ; 4].

� Soit TA la tangente à l’arc de parabole en A ; déterminer une équation de la tangenteTA.

Cette tangente coupe l’axe des ordonnées au point F ; trouver les coordonnées de F.

� Calculer la longueur du rayon KA. Montrer que la droiteTA est tangente en A à l’arc de cercle AB. Que peut-on dire, graphiquement, du point A ?

� a) La longueur de l’arc de parabole OA est donnée, en unités de longueur, par l’un des trois nombres suivants (valeurs arrondies à 0,01 près) : 4,47 ; 4,59 ; 5,12. Lequel de ces trois nombres donne la longueur de l’arc OA ?

b) Calculer la longueur de l’arc de cercle AB. En déduire la longueur de la bretelle, en unités de longueur.

Sur chacun des axes l’unité graphique est égale à 100 m. Donner alors la lon-gueur de la bretelle, exprimée en m.

� Soit g la fonction, définie sur [4 ; 8], dont la courbe représentative est l’arc de cercle AB.

Soit D le domaine délimité par l’axe des abscisses, la bretelle de sortie et la droite d’équation x = 8 (D est le domaine colorié sur la figure 20).

a) Dire, d’après le graphique, si g est convexe ou concave sur l’intervalle [4 ; 8].

b) Calculer l’aire du domaine D, exprimée en u.a, en décomposant D en deux domaines. Exprimer l’aire du domaine D en hectares et en donner un arrondi à 0,01 près (1 ha = 10 000 m2).

Exercice III

A

B

ETA

FK

10

1

–2

4

Autoroute

8

C

Figure 20



Soit f la fonction définie sur � par f x x x( ) = − +4 26 5 et C sa courbe repré-sentative dans un repère orthogonal dont les unités graphiques sont : 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

� Résoudre l’équation X X2 6 5 0− + = et en déduire les solutions de l’équation

f x( ) = 0 (on pourra poser X x= 2 ).

� a) Déterminer les variations de la fonction f.

b) Tracer la courbe C.

� a) Déterminer le nombre de points d’inflexion de la courbe C et donner leurs coordonnées.

b) Dire sur quel(s) intervalle(s) f est convexe et sur quel(s) intervalle(s) f est concave.

c) Donner l’équation de la tangente à C en chacun de ses points d’inflexion.

� Soit ( )D1 le domaine du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

Soit ( )D2 le domaine du plan limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations respectives x x= =1 5et .

Déterminer, en unités d’aire puis en cm2, l’aire des domaines ( ) ( ).D D1 2et Que remarque-t-on ?

Le toboggan

Une entreprise souhaite fabriquer, pour de jeunes enfants, des tobog-gans dont le profil a l’allure de la courbe de la figure 21.

Le plan est muni d’un repère ortho-normal d’unité graphique 3 cm (sur la figure 21 les unités n’ont pas été respectées).

L’objet de l’exercice est de modéliser ce profil à l’aide de la courbe représentative � d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 3] et vérifiant les deux conditions suivantes :

( )c1 La courbe � passe par les points A (0 ; 2) et B (3 ; 0) ;

( )c2 La courbe � admet en chacun des points A et B une tangente parallèle

à l’axe des abscisses.

Exercice IV

Figure 21

Exercice V

0

A

B

1 1,5 2 2,5 30,5

0,5

1

1,5

2

�



Partie A

� a) Soit f la fonction définie sur � par f x x( ) .= − +23

22 La fonction f est-elle convexe ou concave sur � ?

b) Soit g la fonction définie sur � par g x x x( ) .= − +13

2 32 La fonction g est-elle convexe ou concave sur � ?

� On note respectivement C Cf get les courbes représentatives des fonctions f et g.

a) Démontrer queC Cf get passent par le point E 143

;

et ont la même tan-

gente T en ce point. Déterminer une équation de la tangente T. Quelle est la

pente de cette tangente, exprimée en pourcentage ?

b) Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie deCf correspondant aux

points d’abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie deCg correspondant aux

points d’abscisses comprises entre 1 et 3.

La courbe � obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une réponse au problème posé.

c) Déterminer les positions des courbesC Cf get par rapport à la tangente T.

Partie B

Le bureau d’études a établi que l’on pouvait également modéliser le profil du

toboggan à l’aide d’une partie de la courbe représentative Ch de la fonction h

définie sur � par h x x x( ) .= − +427

23

23 2

� Démontrer que la fonction h vérifie les deux conditions (c1) et (c2).

� a) Montrer que la courbe Ch possède un point d’inflexion ; donner les coor-données de ce point d’inflexion, appelé K.

b) Étudier la convexité de la fonction h.

� a) Soit TK la tangente à la courbeCh au point K. Déterminer une équation de

TK et donner la pente de cette tangente.

b) Tracer, sur le même graphique, la tangenteTK et la courbeCh .

c) Déterminer les positions relatives deCh et deTK .

Soit f la fonction définie sur � par f xx x x

x( ) = + − +

+

3 2

25 3

3 et ( )C sa courbe

représentative dans un repère du plan.

� Vérifier que x x x x x3 2 25 3 3 1+ − + = + −( )( ) .

Exercice VI



Déterminer les coordonnées des points où la courbe ( )C coupe l’axe des abs-cisses. Donner le signe def x( ).

� a) Résoudre, pour X réel, l’équation X X2 14 15 0+ − = .

b) Montrer quef xx x

x'( )

( )= + −

+

4 2

2 214 15

3 et en déduire le signe def x'( ).

c) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

� a) Montrer quef xx x x

x"( )

( )( )

( )= + −

+

16 3 9

3

2 2

2 4 et en déduire le signe def x"( ).

b) Préciser la convexité de la fonction f et donner les coordonnées des points d’inflexion. En déduire que les points d’inflexion sont alignés.

c) Déterminer une équation de la tangente en chaque point d’inflexion de la courbe.

� Tracer la courbe ( )C ainsi que les tangentes aux points d’inflexion.

� a) Montrer que, pour tout x réel, f x xx

x( ) .= + −

+1

8

32 En déduire une primi-

tive F de f sur � .

b) Soit D le domaine plan délimité par la courbe ( ),C l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = – 3 et x = 3. Calculer l’aire du domaine D, exprimée en unités d’aire.

La chaînette

Partie A

On considère les deux fonctions x xx x� �e et e− défi-nies sur �.

On désigne par Γ Γ −et1 1 leurs courbes représentatives res-

pectives dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

Ces deux courbes sont tracées sur la figure 22 (pour – 2 x 2).

(les unités graphiques n’ont pas été respectées).Pour tout x réel on appelle

iM R xet les points d'abscisse situés

respectivemment sur et sur ;

le milieu du segmen

Γ Γ1 1−

iK x y( ; ) tt [ ].MR

� Exprimer y en fonction de x.

On pose y =f (x ). La fonction f est-elle convexe ou concave sur � ?

� Étudier les variations de la fonction f.

Exercice VII

0–1–2

R

1 2

1

2

3

4

5

M

K (x ; y)

�1

�–1

Figure 22



� Tracer la courbe ( )C représentant la fonction f sur l’intervalle I = [– 2 ; 2].

Partie B

On se place maintenant uniquement sur l’intervalle I = −[ ; ].2 2

La fonction f est définie sur I = [– 2 ; 2] par f xx x

( ) .= + −e e2

Sa courbe représen-tative ( )C est une " chaînette" *.

Soit g une fonction définie sur l’intervalle I = [– 2 ; 2] par g x ax( ) = +2 1 et � sa courbe représentative.

� La longueur LC de la chaînette ( )C est donnée (en unité de longueur) par

LC = + −∫ 1 22

2f x dx'( ) .

a) Montrer que LC =−∫ f x dx( ) .

2

2

b) Calculer, exprimée en cm, la valeur exacte de LC et en donner une valeur

arrondie à 0,01 près.

� Calculer f ( )2 et arrondir cette valeur à 0,01 près (on appellera � cet arrondi).

Déterminer la valeur de a pour que l’on ait g( ) .2 = α� a) Tracer, à l’aide d’un logiciel, les deux courbes ( )C et � dans un même repère. Que peut-on observer ?

b) La longueur de l’arc de parabole représentant la fonction g est égale, arrondie à 0,01 près, à 14,26 cm.

Comparer cette longueur avec LC et donner l’écart entre la plus grande longueur

et la plus petite.

Partie C

� Soit v la fonction définie sur I = [– 2 ; 2] parv x f f x( ) ( ) ( )= + −1 2 etCv sa

courbe représentative dans un repère du plan.

a) La fonction v est-elle convexe ou concave sur I ?

b) Tracer la courbeCv dans un autre repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

La courbeCv est une" voûte" en forme de" chaînette renversée".

� Soit ( )D le domaine délimité par la courbeCv , la droite d’équation y = 1 et

les droites d’équations respectives x = – 2 et x = 2.

Calculer la valeur exacte de l’aire du domaine ( ),D exprimée en unités d’aire, puis une valeur arrondie au mm2 près.



Une entreprise produit mensuellement une quantité variable x d’appareils (x est

exprimé en centaines d’appareils) dont le coût marginalCma est la fonction défi-

nie sur l’intervalle [0 ; 5] parC x xxma( ) .= +

+8

2 1

Dans cet exercice, tous les coûts seront exprimés en milliers d’euros.

Partie A – Étude du coût marginal

� Déterminer la fonction dérivée de la fonction coût marginal et étudier son signe.

� a) En déduire le sens de variation de la fonction coût marginal sur l’intervalle [0 ; 5]. Dire pour quelle valeur de x le coût marginal est minimal et donner la valeur du coût marginal minimal.

b) Préciser l’intervalle où les rendements marginaux sont croissants et l’intervalle où ils sont décroissants.

� * Une chaînette est la forme prise par une chaîne (ou un câble souple) que l’on suspend à ses deux extrémités. C’est, par exemple, la forme prise par les câbles électriques entre deux pylônes de soutien.

Au XVIIe siècle, Huygens utilisa le mot" catenaria" pour désigner la courbe formée par un câble suspendu à ses deux extrémités. On retrouve de nos jours le mot" caténaire" (vient du latin" catena" - chaîne) pour désigner le câble porteur entre deux poteaux le long des voies du TGV.

Toute équation de la forme y f xa

ax ax= = + −

( )e e

2 (avec a ≠ 0) est l’équa-

tion d’une chaînette.

� L’artiste américain Jasper Johns (né en 1930) a réalisé, en 2005, à New-York une exposition sur le thème des caténaires. Dans cette exposition intitulée " Jasper Johns : Catenary" l’artiste montrait toute une série de peintures, des-sins et gravures où l’on pouvait admirer de belles courbes en forme de chaînette.

� La chaînette n’apparaît pas uniquement sous la forme d’un câble sus-pendu. On la trouve aussi sous forme renversée pour former une voûte tenant par son propre poids. C’est cette propriété qu’a utilisé l’architecte espagnol Antonio Gaudi (1852 – 1926) pour construire les voûtes de la Sagrada Familia de Barcelone.

Citons aussi la «Gateway Arch» à St Louis dans le Missouri qui est en forme de chaînette renversée. Conçue en 1947 par l’architecte finlandais Eero Saarinen (1910 – 1961) la construction débutera seulement en 1963 pour s’achever en 1965. Cette arche, d’une hauteur de 192 m environ, est aussi large que haute.

Exercice VIII



Partie B – Étude du coût total

Sur l’intervalle [0 ; 5] la fonction coût marginal admet une infinité de primitives. La fonction coût total, notée CT , est parmi toutes ces primitives celle qui est égale à 7,5 – 8 ln2 pour x = 0.

� a) Déterminer toutes les primitives de la fonction coût marginal sur l’inter-valle [0 ; 5].

b) DéterminerC xT ( ).

� Donner le sens de variation de la fonction coût total sur l’intervalle [0 ; 5].

� Soit � la courbe représentative de la fonctionCT sur l’intervalle [0 ; 5].

a) Montrer que la courbe � admet un point d’inflexion K dont on donnera les coordonnées.

b) On désigne parTK la tangente à la courbe � au point K. Donner une équation de la tangenteTK .

Partie C – Étude du coût moyen

� Vérifier que le coût moyen, par centaine d’appareils, est défini sur ]0 ; 5] par

= + ×+

+−

C xx x

x x( )

24

ln(2 1) 7,5 8ln2.M

� On désigne par ( )CM la courbe représentative de la fonction coût moyen. On

peut observer, sur l’écran d’une calculatrice, que la fonction CM est décroissante

sur l‘intervalle ]0 ; � ] et croissante sur l’intervalle [� ; 5] avec 3,7 < � < 3,8.

a) Déterminer, à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, un intervalle [a ; b]

d’amplitude 0,002 auquel appartient le réel � .

b) Pour quelle production, arrondie à l’unité près, le coût moyen par centaine d’appareils est-il minimum ?

Déterminer une valeur approchée du coût moyen minimal, par centaine d’appa-reils, exprimé en euros.

� On admet que � est solution de l’équation

++

− + − + =xx

xx

162 1

8ln(2 1) 15 16ln2 0.2

Exprimerαα

×+

4ln(2 1)

en fonction de �. En déduire queC CM ( ) ( ).α α= ma

ExprimerCT ( )α en fonction de �.�


fonctions numériques convexité©quence 8 – ma01 1 sommaire 1. pré-requis 2. convexité d’une...

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