CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

Fonctions holomorphes

Définitions et notationsDans tout le problème, soit U un ouvert de C et f : U → C continue sur U .On pose V = (x, y) ∈ R/x+ iy ∈ U, p : (x, y) ∈ V 7→ <ef(x+ iy) et q : (x, y) ∈ V 7→ =mf(x+ iy).Soit γ : [0, 1] → U continue et C1 par morceaux sur [0, 1]. On appelle intégale curviligne de f suivant γ le nombre∫ b

a

f(γ(t))γ′(t)dt. On le note∫γ

f(z)dz.

Pour tout z ∈ C∗, on désigne par Argz l’argument principal de z.On admet que si O est un ouvert connexe par arcs de C alors ∀a, b ∈ O,∃γ : [a, b]→ O continue et C1 par morceaux telle queγ(0) = a et γ(1) = b.

Première partieHolomorphie et équation de Laplace

1: Montrer que V et ouvert.

2: Montrer que que si f est holomorphes sur U alors p et q sont de classe C2 sur V et vérifient l’équation de Laplace∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0 sur V .

3: On considère l’application g(x, y) = ln(x2 + y2) sur R2 \ (0, 0).3 - 1: Montrer que l’ouvert R2 \ (0, 0) n’est pas étoilé.3 - 2: Montrer que g est de classe C2 et vérifie l’équation de Laplace sur R2 \ (0, 0).3 - 3: Montrer que si ∃h : C∗ → C holomorphe sur C∗ telle que ∀(x, y) ∈ R2 \ (0, 0),<e h(x + iy) = g(x, y) alorsydx− xdy

x2 + y2est exacte sur R2 \ (0, 0).

4: Trouver une contradiction et conclure.5: Montrer que U et étoilé si et seulement si V est étoilé.6: On suppose, maintenant, que U est étoilé et soit u ∈ C2(V ) qui vérifie l’équation de Laplace sur V .

6 - 1: Montrer que la forme différentielle ω = −∂u∂y

dx+∂u

∂xdy est exacte sur V .

6 - 2: En déduire que ∃g : U → C holomorphe sur U telle que ∀(x, y) ∈ V,<e g(x+ iy) = u(x, y).7: Soient a, b, c ∈ R.7 - 1: Chercher une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une fonction holomorphe g sur C telle que ∀x, y ∈R,<eg(x+ iy) = ax2 + 2bxy + cy2.7 - 2: Déterminer g dans ce cas.

Deuxième partiePrincipe du maximum

On suppose, dans cette partie, que f holomorphe sur U .1: Montrer que toute fonction entière bornée est constante sur C (Théorème de Liouville).2: Application : Soit g une fonction entière et on suppose que g(C) n’est pas dense dans C.2 - 1: Montrer que ∃a ∈ C,∃ε > 0,∀z ∈ C, |g(z)− a| ≥ ε.2 - 2: Montrer que g est constante. Conclure.3: Application : Soit P un polynôme non constant sur C et on pose m = inf

z∈C|P (z)|.

3 - 1: Montrer que lim|z|→+∞

|P (z)| = +∞.

3 - 2: Soit (an) ∈ CN telle que |P (an)| → m. Montrer que (an) ∈ CN est bornée.3 - 3: Montrer que ∃a ∈ C tel que |P (a)| = m.

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3 - 4: Montrer que si P (a) 6= 0 alors P est constant. En déduire que P admet au moins une raçine (Théorème de d’Alembert-Gauss).

4: Soit ∀a ∈ U et R > 0 tel que D(a,R) ⊂ U . Montrer que ∀r ∈ [0, R[ on a f(a) =1

2π

∫ 2π

0

f(a + reit)dt (Propriété de la

moyenne).5: On suppose que U est ouvert connexe par arcs.5 - 1: Montrer que si |f | est constante sur U alors f est constante sur U .5 - 2: Montrer que si |f | admet un maximum relatif en a ∈ U alors f est constant sur U (Principe du maximum).6: Application : On suppose que U est ouvert connexe par arcs.6 - 1: Montrer que si p admet un maximum local en a ∈ U alors g = exp(f) est constante sur U . En déduire que f est constantesur U .6 - 2: Montrer que si p admet un minimum local en a ∈ U alors f est constante sur U .

Troisième partieIntégrale curviligne, primitive d’une fonction complexe, logarithme complexe

1: Soit γ : [0, 1]→ U continue et C1 par morceaux sur [0, 1]. Montrer que si f admet une primitive F sur U alors∫γ

f(z)dz =

F (γ(1))− F (γ(0)). Que peut-on déduire ? et pour les lacets ?

2: Calculer∫γ

dz

zavec γ : [0, 2π]→ C∗ définie par γ(t) = eit. En déduire que z 7→ 1

z n’admet pas de primitive sur C∗.

3:3 - 1: Montrer que z 7→ 1

z admet une une unique primitive sur Ω = C \ R− qui s’annule en 1. On la note log.3 - 2: Montrer que ∀z ∈ Ω, elog z = z.3 - 3: En déduire que ∀z ∈ Ω, log z = ln |z|+ iArg z. Calculer log i, log(3i), log(1 + i) et log eiθ avec θ ∈]− π, π[.3 - 4: Montrer que ∀z ∈ Ω de forme algébrique z = x+ iy, log z = 1

2 ln(x2 + y2) + 2i arctan y

x+√x2+y2

.

3 - 5: Montrer que ln se prolonge de façon unique en une fonction holomorphe sur Ω.

4: Montrer que ∀z ∈ C, |z| < 1⇒ log(1 + z) =

+∞∑n=1

(−1)n−1

nzn.

5: Soient z0 ∈ U,R = supr > 0/D(z0, r) ⊂ U, r ∈]0, R[ et γ : t ∈ [0, 2π] 7→ z0 + reit.

5 - 1: Montrer que ∀z ∈ D(z0, r),

∫γ

du

u− z= 2iπ.

5 - 2: Montrer que si f est holomorphe sur U alors on a les formules de Cauchy :

1. ∀z ∈ D(z0, r), f(z) =1

2iπ

∫γ

f(u)

u− zdu.

2. ∀z ∈ D(z0, r),∀k ∈ N∗, f (k)(z) =k!

2iπ

∫γ

f(u)

(u− z)k+1du.

6: Montrer que ∀γ : [0, 1] → U continue et C1 par morceaux on a∫γ

f(z)dz =

∫γ∗u + i

∫γ∗v avec γ∗ : [a, b] → R2

l’application définie par γ∗ = (<eγ,=mγ) et u, v les formes différentielles u = pdx− qdy et v = qdx+ pdy.

7: En déduire que f admet une primitive sur U si et seulement si∫γ

f = 0 pour tout lacet γ dans U .

8: En déduire que si U est ouvert étoilé alors f est holomorphe sur U si et seulement si pour tout lacet γ de U on a∫γ

f = 0.

9: Soit (gn) une suite de fonctions holomorphes sur U qui converge uniformément sur U vers une fonctions g. Montrer que gest holomorphe.

10: On supppose, dans cette question, que U est ouvert connexe par arcs et que pour tout lacet γ sur U on a∫γ

f(z)dz = 0.

Soit a ∈ U et on définit sur U l’application F (z) =

∫γ

f(z)dz où γ : [0, 1] → U continue, C1 par morceaux et telle que

γ(0) = a et γ(1) = z.10 - 1: Montrer que F est bien définie sur U .10 - 2: Montrer que F est une primitive de f sur U .10 - 3: Montrer que F est l’unique primitive de f sur U qui s’annule en a.11: Soit z ∈ Ω = C \ R− et γ : [0, 1] → Ω continue et C1 par morceaux telle que γ(0) = 1 et γ(1) = z. Montrer que

log z =

∫γ

dz

z.

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