FONCTIONSAFFINESenRéalitéAugmentée

1HOUPERTN.

Problématiquespédagogiques:

Ø Commentreprésentergraphiquementunefonctionaffine?Ø Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionaffine?Ø Commentdonnerlesensdevariationsd’unefonctionaffine?Ø Commentdonnerlesigned’unefonctionaffine?

Algorithmique:

Ø Réalisationd’unalgorithmecalculantlesparamètresaetbØ Réalisationd’unalgorithmecalculantl’antécédentparunefonctionaffined’unnombreØ Etuded’unalgorithmesurAlgoBoxØ Réalisationd’unalgorithmepourlaconstructiond’unecourbepériodique

Histoire:

Ø IsaacNewton,XVIIèmesiècle

Achaquefoisquevousrencontrerezunpictogramme ,flashezleavecl’appliaurasma.Lecourssurlanotionapparaîtraenréalitéaugmentée.Prenezsoindemettrevosécouteursafindenepasperturbervoscamarades.

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2HOUPERTN.

IsaacNewton,XVIIè

Trèsjeune,NewtonétudieEuclided’Alexandrie(-330;-275),lagéométriedeRenéDescartes(1596;1650),l’optiquedeJohannesKepler(1571;1630),lesidéesrévolutionnairesdeGalilée(1564;1642).C’estenlisantl'ArithmeticainfinitorumdeJohnWallis(1616;1703)queNewtongénéralise,à21ansseulement,lafameuseformuleconnueaujourd’huisouslenomdebinômedeNewton.Ilmontrequeledéveloppementde(a+b)nestvalablepourtoutevaleurrationnelleden.LecalculdesfluxionsNewtonconsidèrelesgrandeurscommelerésultatdemouvementscontinus;imaginantainsileslignescommedécritesparlemouvementdespoints,lessurfacesparletransportdeslignes,lessolidesparlasuperpositiondessurfaces,lesanglesparlarotationdeleurscôtés.Cesconsidérationslemènent,en1665,àconcevoirlecalculdifférentieletintégralqu'ilappellelecalculdesfluxions.Ilgénéraliselesméthodesdéjàutiliséespourlaconstructiondetangentesàunecourbeetpourlecalculdesurfacesdélimitéesparunecourbe.LaloidelagravitationuniverselleLorsqu’en1665,Newtonobtientsalicence,lapestequirègneàLondreslecontraintdequitterCambridge.IlseretirealorsdanslasolitudeàWoolsthorpedanssapropriétépatrimoniale.Lalégenderacontequelà,unjour,assissousunpommieretvoyanttomberundesesfruits,ilattiresonattentionsurlapesanteuretconçoitlathéoriedelagravitationuniverselle.Enformalisantsaméthodedesfluxions,ilexpliquequetoutcorps,dansl'espaceetsurlaTerre,subitleseffetsd'uneforceappeléegravité.PoursuivantlestravauxdeKepler,ilsedemandesic'estlamêmecausequiretientlalunedansl'orbitequ'elledécritautourdelaTerre,etlesplanètesdansleursorbitesautourdusoleil.LadécompositiondelalumièreNewtonentreprenddesexpériencessurlaréfractiondelalumièreàtraverslesprismes.Expériencesparlesquellesildécouvrelacompositiondelalumière,calculelesdifférentseffetsderéfraction,etfondesathéoriesurcettematière.UnepartiedesonanalysedelalumièreestpubliéedanslesTransactionsphilosophiques.

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3HOUPERTN.

Représenterdanslerepèreorthonorméci-dessouslesfonctionssuivantes:

𝑦 = 2𝑥 − 3

𝑦 = −3𝑥 + 2

𝑦 = −23𝑥 + 1

𝑦 =47𝑥 − 1

𝑦 = 3

𝑦 = − !!𝑥 + 3

Commentreprésentergraphiquementunefonctionaffine?

NiveaudeCompétences

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4HOUPERTN.

Déterminerl’expressiondechacunedesfonctionssuivantesdéfiniessurIR.

𝑓estlafonctionaffinetelleque: 𝑓 1 = 5 𝑒𝑡 𝑓(3) = 4;

𝑓 𝑥 =

𝑔estlafonctionaffined’ordonnéeàl’origineégaleà3,ettelleque:𝑔(4) = 1.

𝑔 𝑥 =

ℎestlafonctionaffinetellequedontlacourbereprésentativepasseparlespoints𝐴 ( 1 ; 5 ) 𝑒𝑡 𝐵 ( – 2 ; 2 ).

𝑖estlafonctionlinéairetelleque: ℎ(4) = – 8;

𝑗estlafonctionaffinedecoefficientdirecteurégalà2ettelleque: 𝑗( – 2 ) = 12.

𝑘estlafonctionaffineconstantetelleque:i(2) = 3;

𝑝estlafonctionaffinetelleque:𝑝 0 = 2ettelleque: 𝑝(𝑥) ≤ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ∈[ 4 ; + ∞[.

metnsontlesfonctionsaffinesdontlescourbesreprésentativessontlessuivantes:

𝐶!

𝐶!

Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionaffine?

Niveaudecompétences

o-6 -4 -2 2 4 6 8

-2

2

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5HOUPERTN.

Donnerlesensdevariationdechaquefonction:

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6 ;

b. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1;

c. 𝑓(𝑥) = 2 !!− 2 ;

d. 𝑓 𝑥 = − !!𝑥 − !

! ;

e. 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − !!

;

f. 𝑓 𝑥 = 3 − 4𝑥 ;

Dresserletableaudesignedechaquefonction.

a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 6 ;

b. 𝑓 𝑥 = −3𝑥 − 1;

c. 𝑓(𝑥) = !!− 3 ;

d. 𝑓 𝑥 = − !!𝑥 + !

!

Commentdonnerlesensdevariationsd’unefonctionaffine?

Niveaudecompétences

Commentdonnerlesigned’unefonctionaffine?

Niveaudecompétences

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6HOUPERTN.

ProgrammationlinéaireVoicitroistarifsdelocationdevoiture:

Tarif1:«180€parjour»Tarif2:«1,80€parkmparcouru»Tarif3:«Forfaitde84€parjourplus0,75€parkmparcouru»

e. Exprimerchacundecestarifsenutilisanttroisfonctionsp1,p2etp3donnantleprixàpayer,pourunejournée,enfonctiondunombredekilomètresparcourus.

f. Aquellefamilledefonctionsappartiennentcesfonctions?Endonnerlenometlescaractéristiquesprécises.

g. Représentergraphiquementdanslemêmerepèrecestroisfonctions.

Donner,enfonctiondunombredekilomètresparcourus,letarifleplusavantageux.

Englishcorner

1. Lineargrapha. Thegradient-interceptmethodisthemoststraightforwardandquickestmethodfor

drawinggraphs.Inthefunction𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3,thecoefficientof𝑥isthegradientandtheconstanttermistheintercept.Todrawthegraphof𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3:

i. Marktheinterceptpoint(0; 3)ii. Move1unitacrossand2unitsuptoshowthegradientiii. Joinupthepointstogettherequiredline.

b. Findingtheequationofaline

fromitsgraph.Findtheequationofthelinesshownwiththegradient-interceptmethod.First,findthey-intercept.Next,measurethegradientoftheline.Hence,writedowntheequationoftheline.

2. SignofalinearfunctionLet𝐴 1; 2 and𝐵(−1; 1)be.Theline(𝐴𝐵)isthegraphofalinearfunction𝑓.

a. Drawthegraphofthislinearfunction.b. Givetheequationofthisfunction.

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7HOUPERTN.

c. Writedownthevariationsofthislinearfunction.d. Givethesignof𝑓(𝑥).