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 1 Revue Construction Métallique APPL ICATION DE L’EC3-DAN RÉSISTANCE DES ÉLÉMENTS COMPRIMÉS ET FLÉCHIS par A. Bureau Référence ELE- EC3 1-02 Avertissement : Des notes techniques sur l’application de l’EC3-DAN ont déjà été publiées dans cette revue, concernant notamment la résistance des éléments fléchis. Il manquait à cette série une note technique traitant la résistance des éléments comprimés, avec ou sans flexion. La formulation proposée par l’Eurocode 3 pour la vérification de la résistance des éléments comprimés et fléchis a fait l’objet d’analyses critiques ; en particulier une étude de Villette [5] a conclu à une sécurité non homogène procurée par cette formula- tion. Cependant, parce que l’EC3-DAN est actuellement utilisé en l’état et pour lever d’éventuelles ambiguïtés d’interprétation de la formulation proposée, il a paru intéres- sant de publier la présente note qui expose cette formulation telle qu’elle doit être appli- quée selon les termes de l’EC3-DAN. 1. OBJET L’objet de cette note technique est d’exposer les formules de vérification de la résis- tance d’une barre comprimée et fléchie selon l’Eurocode 3 Partie 1.1 et son Document d’Application Nationale (EC3-DAN [1]). Ces formules tiennent compte du flambement par flexion et le cas échéant, du déversement. Le flambement par torsion et par flexion- torsion n’est pas directement traité par l’EC3-DAN qui renvoie à la Partie 1.3 [2]. Les règles particulières pour l’utilisation des nuances d’acier S420 et S460 qui font l’objet de l’Annexe D à l’Eurocode 3 [3] sont intégrées dans la présente note. La formulation de l’EC3-DAN s’applique aux «éléments uniformes» que l’on définit comme des éléments de section constante soumis à un effort axial constant sur leur longueur. 1 CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL DE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE Domaine de Saint-Paul , 78471 Saint-Rémy-l ès-Chevreuse Cedex Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieu r 01-30-85-25-11 Construction Métallique, n° 4-2002 A. BUREAU – CTICM – Département construction métallique

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1

Revue

Construction

Métallique

APPLICATION DE L’EC3-DANRÉSISTANCE DES ÉLÉMENTS COMPRIMÉS ET FLÉCHIS

par A. Bureau

Référence

ELE-EC3 1-02

Avertissement : 

Des notes techniques sur l’application de l’EC3-DAN ont déjà été publiées dans cette revue, concernant notamment la résistance des éléments fléchis. Il manquait à cette série une note technique traitant la résistance des éléments comprimés, avec ou sans flexion. La formulation proposée par l’Eurocode 3 pour la vérification de la résistance des éléments comprimés et fléchis a fait l’objet d’analyses critiques ; en particulier une étude de Villette [5] a conclu à une sécurité non homogène procurée par cette formula- tion. Cependant, parce que l’EC3-DAN est actuellement utilisé en l’état et pour lever 

d’éventuelles ambiguïtés d’interprétation de la formulation proposée, il a paru intéres- sant de publier la présente note qui expose cette formulation telle qu’elle doit être appli- quée selon les termes de l’EC3-DAN.

1. – OBJET

L’objet de cette note technique est d’exposer les formules de vérification de la résis-tance d’une barre comprimée et fléchie selon l’Eurocode 3 Partie 1.1 et son Documentd’Application Nationale (EC3-DAN [1]). Ces formules tiennent compte du flambementpar flexion et le cas échéant, du déversement. Le flambement par torsion et par flexion-torsion n’est pas directement traité par l’EC3-DAN qui renvoie à la Partie 1.3 [2]. Lesrègles particulières pour l’utilisation des nuances d’acier S420 et S460 qui font l’objet del’Annexe D à l’Eurocode 3 [3] sont intégrées dans la présente note.

La formulation de l’EC3-DAN s’applique aux «éléments uniformes» que l’on définitcomme des éléments de section constante soumis à un effort axial constant sur leurlongueur.

1

CENTRE TECHNIQUE INDUSTRIEL

DE LA CONSTRUCTION MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78471 Saint-Rémy-lès-Chevreuse CedexTél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-85-25-11

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38 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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Une alternative proposée par l’EC3-DAN à l’application des formules de vérification derésistance au flambement est d’effectuer une analyse locale au second ordre de la barreen tenant compte d’une imperfection géométrique équivalente en vue d’obtenir un dia-gramme de flexion amplifié. Cette méthode alternative qui peut permettre de justifier la

résistance au flambement d’éléments non uniformes n’est pas traitée ici. Elle pourrafaire l’objet d’une publication ultérieure.

Un exemple d’application à un poteau de portique est ensuite présenté.

Les notations utilisées sont celles de l’EC3-DAN. Les références à l’EC3-DAN sont indi-quées en caractères gras.

2. – RAPPEL DE LA FORMULATION

2,1. – Résistance au flambement par flexion d’une barre simplement comprimée

La résistance au flambement par flexion d’une barre simplement comprimée fait l’objetdu Paragraphe 5.5.1 de l’EC3-DAN. Comme présenté ci-après, l’expression se fonde surles courbes européennes de flambement. Celles-ci ont été établies à partir d’un grandnombre d’essais réalisés dans le cadre des travaux de la Convention Européenne de laConstruction Métallique.

Une barre soumise à un effort axial de compression de calcul N Sd  doit satisfaire à lacondition :

N Sd  N b.Rd 

N b.Rd est la résistance de calcul vis-à-vis du flambement prise égale à :

N b.Rd = χ βA A f y  / γ M 1 (EC3-DAN § 5.5.1.1 (1))

où : q γ M 1 est le coefficient partiel de sécurité pour la résistance des éléments auxinstabilités,

γ M 1 = 1,1 (EC3-DAN § 5.1.1 (2))

q βA est un coefficient qui est fonction de la classe de la section, la classe devantêtre déterminée selon le Paragraphe 5.3 de l’EC3-DAN.

- pour les sections de Classe 1, 2 ou 3 :

βA = 1

- pour les sections de Classe 4, il y a lieu de considérer le risque de voilementlocal, la résistance en compression est calculée en considérant l’aire efficaceAeff de la section déterminée selon le Paragraphe 5.3.5 de l’EC3-DAN. Dans cecas :

βA = Aeff  / A

Attention : Dans le cas d’une section de Classe 4 mono-symétrique (ProfiléReconstitué Soudé en I avec semelles inégales par exemple), lecentre de gravité de la section efficace se trouve décalé par rapport

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 39

3

au centre de gravité de la section brute. Il y a alors lieu de considérer le momentadditionnel qui en résulte. La vérification de résistance au flambement doit êtreeffectuée en appliquant l’une des formules d’interaction effort axial-moment flé-chissant (EC3-DAN § 5.5.4) qui sont présentées dans la suite de cette note tech-

nique.

q χ est le coefficient de réduction pour le sens de flambement à considérer. Cecoefficient doit être calculé à partir de l’élancement réduit

–λ et de la courbe de

flambement appropriée. Lorsque le flambement est à considérer par rapportaux deux axes principaux d’inertie, on retient la valeur la plus faible des deuxcoefficients :

χ = Min(χy , χz )

L’élancement réduit est défini par :

λ =

(EC3-DAN § 5.5.1.2 (1))

N cr  est l’effort axial critique élastique pour le sens de flambement approprié,flambement par rapport à l’axe de forte inertie ou par rapport à l’axe de faibleinertie. L’effort axial critique est calculé avec les caractéristiques de la sectionbrute, à partir d’une longueur de flambement qui peut être déterminée pour desportiques à cadres réguliers d’après l’Annexe E de l’EC3-DAN, soit pour unmode de flambement à nœuds fixes, soit pour un mode de flambement ànœuds déplaçables. Il est important de noter ici que le mode d’instabilité àconsidérer est étroitement lié à la méthode d’analyse utilisée pour la détermina-tion des efforts dans les barres (Voir EC3-DAN § 5.2).

Le coefficient de réduction χ peut être calculé par la formule :

χ = mais χ 1 (EC3-DAN § 5.5.1.2 (1))

où : φ = 0,5[1 + α(–λ – 0,2) +

–λ 2]

α est le facteur d’imperfection, paramètre caractéristique de la courbe de flam-bement qui est donné au tableau 1 (EC3-DAN Tableau 5.5.1 et Annexe D [3])

TABLEAU 1

Facteurs d’imperfection

D’une façon générale, la courbe de flambement à considérer est fonction de lagéométrie de la section, de l’axe de flambement, de la nuance de l’acier et dumode de fabrication. Elle doit être déterminée d’après le tableau 2 (EC3-DANTableau 5.5.3 et Annexe D [3]).

Les courbes de flambement sont représentées à la figure 1. Sur cette figure, onremarquera la courbe d’Euler qui correspond au flambement élastique d’unebarre idéalement parfaite.

Courbe de flambement a0 a b c d

α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

1

φ +φ2 ––λ 2

βAAf y 

N cr 

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Pour un élancement réduit–λ inférieur ou égal à 0,2, le coefficient de réduction χ

est égal à l’unité. Conformément au Document d’Application Nationale (EC3-DAN § 5.5.1.1 (1)A), la vérification de la résistance au flambement n’est pas àconsidérer dans ce cas. Il suffit alors de vérifier la résistance en compression dela section selon l’EC3-DAN § 5.4. Pour les sections de Classe 1, 2 ou 3, la résis-tance de la section est calculée avec le coefficient partiel de sécurité γ M 0 qui peutprendre la valeur de 1,0 pour les aciers dont les caractéristiques sont garantiespar la marque «NF acier» (EC3-DAN § 5.1.1 (2)I). On constate alors une disconti-nuité de la résistance en fonction de l’élancement pour

–λ = 0,2.

Pour les profilés laminés de nuance S420 ou S460, la courbe de flambement est,dans certains cas, plus favorable que pour les profilés d’une nuance inférieure.

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40 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

4

TABLEAU 2

Choix de la courbe de flambement 

Section Limites Axe deflambement

S235S275S355

S420 S460

h / b > 1,2

tf  ≤ 40 mm

40 mm < tf  ≤ 100 mm 

y-yz-z

y-yz-z

ab

bc

aa

bb

a0 a0 

aa

Sections en I laminées

tf  z

z

y y

b

h

 

h / b 1,2

tf  ≤ 100 mm

tf > 100 mm

y-yz-z

y-yz-z

bc

dd

bb

dd

aa

cc

Sections en I soudéestf  tf z

z

y y

z

z

y y

 

tf  ≤ 40 mm

tf > 40 mm

y-yz-z

y-yz-z

bc

cd

laminées à chaud quel qu'il soit a

formées à froiden utilisant f yb  quel qu'il soit b

Sections creuses

formées à froiden utilisant f ya 

quel qu'il soit c

d'une manière générale(sauf ci-dessous)

quel qu'il soit bCaissons soudés

b

h

z

z

y y

tf 

tw

 

Soudures épaisses et

b / tf < 30h / tw < 30

y-yz-z

cc

Sections en U, L, T et sections pleines quel qu'il soit c

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 41

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Ceci s’explique par le fait que les contraintes résiduelles qui jouent un rôleimportant dans l’imperfection générale des barres, ne sont pas proportionnellesà la limite d’élasticité. Pour des aciers de nuance élevée, les contraintes rési-duelles ont une influence relative plus faible.

Fig. 1 – Courbes de flambement 

Pour les sections creuses formées à froid, la vérification de la résistance au flambementdoit être effectuée selon l’une des deux méthodes suivantes (EC3-DAN § 5.5.1.4 (4)), enconsidérant :

a) la limite d’élasticité de base f yb du matériau de la tôle mère avec la courbe b,

b) la limite d’élasticité moyenne f ya de l’élément après formage à froid avec la courbe c,(voir EC3-DAN Figure 5.5.2).

2,2. – Résistance au déversement d’une barre simplement fléchie

La résistance au déversement d’une barre simplement fléchie par rapport à son axe deforte inertie fait l’objet du Paragraphe 5.5.2 de l’EC3-DAN. Ce sujet a été traité dans unenote technique de la revue Construction Métallique [4]. C’est pourquoi nous ne faisonsque rappeler succinctement la formulation.

Une barre simplement fléchie susceptible de présenter un risque de déversement doitsatisfaire à la condition suivante :

M Sd M b.Rd 

M Sd est le moment maximal sur la longueur de la barre ou du tronçon de barre étudié.

M b.Rd  est la résistance de calcul vis-à-vis du déversement pour la barre ou le tronçon de

barre :

M b.Rd = χLT βW W pl.y f y  / γ M 1 (EC3-DAN § 5.5.2 (1))

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

Elancement réduit

C

oefficientderé

duction

a0

a

b

c

d

Courbe d'Euler 

λ

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42 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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où : q γ M 1 est le coefficient partiel de sécurité pour la résistance des éléments auxinstabilités,

γ M 1 = 1,1 (EC3-DAN § 5.1.1 (2))

q βW est un coefficient qui est fonction de la classe de la section, la classe devantêtre déterminée selon l’EC3-DAN § 5.3,

- pour les sections de Classe 1 ou 2 (résistance plastique) :

βW = 1

- pour les sections de Classe 3 (résistance élastique) :

βW = W el.y  / W pl.y 

- pour les sections de Classe 4, il y a lieu de considérer le risque de voilementlocal, la résistance est calculée en considérant le module de résistance élas-tique efficace W eff.y de la section calculée selon l’EC3-DAN § 5.3.5. Dans ce cas :

βW = W eff.y  / W pl.y 

q χLT est le coefficient de réduction pour le déversement. Au lieu de proposer descourbes spécifiques pour le déversement, il a été jugé plus simple de se référerà des courbes de flambement qui leur sont proches. Ainsi, le coefficient χLT est àdéterminer en utilisant l’une des deux courbes de flambement suivantes (EC3-DAN § 5.5.2 (4)) :

- courbe a pour les profils laminés,

- courbe c pour les profils soudés,

en fonction de l’élancement réduit–λ LT pour le déversement, défini par :

–λ LT = (EC3-DAN § 5.5.2 (5))

M cr est le moment critique de déversement élastique. Il peut être calculé à partirde l’Annexe F de l’EC3-DAN.

Selon l’EC3-DAN, dans tous les cas, le moment critique de déversement élas-

tique doit être calculé en considérant les caractéristiques de la section brute.Cependant, pour les sections de Classe 4, on doit négliger l’inertie de torsion(I t = 0).

Si–λ LT  0,4, il n’est pas nécessaire de tenir compte du déversement. Il y a lieu de vérifier

la résistance de la section la plus sollicitée selon l’EC3-DAN § 5.4.8.

Remarque : Bien que pour des élancements réduits–λ LT  compris entre 0,2 et 0,4, les

courbes utilisées pour le déversement fournissent un coefficient de réduc-tion χLT  inférieur à l’unité, il est admis de ne pas tenir compte du déverse-ment. La conséquence est une discontinuité de la résistance pour

–λ LT = 0,4.

Pour les sections de Classe 1, 2 ou 3, cette discontinuité est accentuée enprenant γ M 0 = 1,0 au lieu de γ M 1 = 1,1 pour les aciers dont les caractéristiquessont garanties par la marque «NF acier» (EC3-DAN 5.1.1 (2)I).

βW W pl.y f y 

M cr 

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2,3. – Résistance d’une barre comprimée et fléchie

2,31. – Généralités 

La résistance d’une barre comprimée et fléchie doit être vérifiée vis-à-vis du flambe-ment, et le cas échéant, du déversement. La formulation proposée par l’EC3-DAN a faitl’objet de nombreuses analyses critiques. Nous citerons en particulier la contribution deVillette [5] qui tire comme principale conclusion que la sécurité procurée par cette for-mulation n’est pas homogène. Il apparaît, selon cette étude, que les formules d’interac-tion proposées sont plutôt pénalisantes pour des barres d’élancement moyen et faible-ment comprimées, alors qu’elles peuvent être favorables pour des barres fortementcomprimées, de grand élancement et soumises à une flexion fortement variable sur leurlongueur.

Nous nous proposons ici d’exposer cette formulation telle qu’elle doit être appliquéeselon les termes de l’EC3-DAN.

Le Paragraphe 5.5.4 de l’EC3-DAN contient des critères de résistance qui prennent encompte ces deux modes de ruine. Un critère de résistance des éléments comprimés etfléchis sans prise en compte du déversement est donné pour chacun des cas suivants :

– sections de Classe 1 ou 2 (résistance plastique),

– sections de Classe 3 (résistance élastique),

– sections de Classe 4 (résistance élastique calculée à partir de caractéristiquesefficaces).

Si la barre présente un risque de déversement, un critère de résistance supplémentaireest donné pour chacun de ces trois cas. Il ne se substitue pas au critère de résistancesans prise en compte du déversement.

Toutefois, pour des éléments de Classe 1, 2 ou 3 pour lesquels il n’y a pas de risque dedéversement, le Document d’Application Nationale français précise que le critère derésistance des éléments comprimés et fléchis n’est pas à considérer si :

Max (–λ y ;

–λ z ) 0,2 ou 0,1 (EC3-DAN § 5.5.4 A)

où χmin = Min (χy ; χz ),de sorte que le dimensionnement d’éléments d’élancement très faible ou bien d’élé-ments très peu comprimés, ne soit pas pénalisé par l’application du critère de résistanceprésenté ci-après.

Pour les éléments de Classe 1, 2 ou 3 présentant un risque de déversement (–λ LT  0,4) et

pour les sections de Classe 4, les critères de résistance des éléments comprimés et flé-chis s’appliquent sans restriction (voir organigramme de la figure 2).

La barre peut être sollicitée par :

– un effort axial de compression N Sd ,

– de la flexion par rapport à l’axe de forte inertie : M y.Sd est le moment fléchissant maxi-mal le long de la barre ou du tronçon de barre étudié,

N Sd 

χmin Af y  / γ M 1

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44 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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– de la flexion par rapport à l’axe de faible inertie : M z.Sd  est le moment fléchissantmaximal le long de la barre ou du tronçon de barre étudié.

On notera que les moments fléchissants M y.Sd  et M z.Sd  n’agissent pas nécessairementdans la même section. Dans les critères de résistance présentés ci-après, les sollicita-tions maximales sont à prendre en valeur absolue.

2,32. – Sections de Classe 1 ou 2 (résistance plastique) 

Critère de résistance sans prise en compte du déversementUn élément comprimé et fléchi à section transversale de Classe 1 ou 2 doit satisfaire à lacondition de résistance suivante :

+ + 1 (EC3-DAN § 5.5.4 (1))

où q χmin est la plus petite valeur des coefficients de réduction pour le flambement χy 

et χz ,

q k y  et k z  sont des coefficients qui tiennent compte, entre autres, de la forme dudiagramme de moment fléchissant,

k y = 1 – mais k y  1,5µy N Sd 

χy Af y 

k z M z.Sd 

W pl.z f y  / γ M 1

k y M y.Sd 

W pl.y f y  / γ M 1

N Sd 

χmin Af y  / γ M 1

OUI 

OUI 

NON 

OUI 

Section

de Classe 4 ?

Risque de

déversement ?

NON 

( 0,2;Max zy >λ λ  ?

0,1/f  A

N

M1ymin

Sd >λ χ

?

NON 

OUI 

Vérification de la résistancede l'élément en compression-flexion

sans déversement

Vérification de la résistancede l'élément en compression-flexion

avec déversement

NON 

Début

Fin

PAS de Vérification de la résistancede l'élément en compression-flexion

Seule une vérification de la résistance

des sections est nécessaire

 

Fig. 2 – Organigramme pour la vérification des éléments en compression-flexion

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 45

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µy =–λ y (2βMy – 4) + mais µy  0,9

k z = 1 – mais k z  1,5

µz =–λ z (2βMz – 4) + mais µz  0,9

βMy et βMz sont les facteurs de moment uniforme équivalent pour le flambementpar flexion, respectivement pour le diagramme de moment par rapport à l’axede forte inertie et pour le diagramme de moment par rapport à l’axe de faibleinertie. Ils peuvent être déterminés selon l’EC3-DAN Figure 5.5.3 que nous pou-vons résumer ainsi :

βM = βM,ψ + (βM,Q – βM,ψ )

où : – M Q  est le moment maximal en valeur absolue sous les seules chargestransversales, calculé en supposant que la barre repose sur deux appuissimples («moment isostatique»),

– ∆M est l’amplitude en valeur absolue du diagramme de moment :

∆M = M +max – M –max 

– βM ,ψ  est le facteur de moment uniforme équivalent de la barre supposée

soumise aux seuls moments d’extrémité. Soit ψ , le rapport desmoments aux extrémités de la barre tel que – 1 ψ  + 1 :

βM,ψ = 1,8 – 0,7 ψ 

– βM,Q  est le facteur de moment uniforme équivalent pour les chargestransversales, l’EC3-DAN fournit la valeur de βM,Q pour les deux cas sui-vants :

βM,Q = 1,3 pour une charge uniformément répartie,

βM,Q = 1,4 pour une charge concentrée appliquée à mi-longueur de la barre.

Remarques : a) Le facteur βM doit être calculé en considérant le diagramme de momentfléchissant sur la longueur du tronçon entre points de maintien au flam-bement dans le plan considéré. Dans cette vérification, le tronçon debarre pour le calcul de βM.z peut ne pas être le même que celui pour lecalcul de βM.y .

b) De l’expression du facteur de moment uniforme équivalent, il ressortque ce facteur est compris entre 1,1 pour le cas d’un moment constant(ψ  = + 1), et 2,5 pour le cas d’un moment qui varie linéairement de– M Sd à + M Sd (ψ = – 1).

c) Le coefficient µ peut être positif ou négatif.

d) Les coefficients k y et k z peuvent prendre des valeurs inférieures à 1.

M Q 

∆M 

W pl.z – W el.z 

W el.z 

µz N Sd 

χz Af y 

W pl.y – W el.y 

W el.y 

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46 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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Critère de résistance avec prise en compte du déversement

Si de plus, l’élément présente un risque de déversement (–λ LT  0,4), il doit satisfaire à la

condition de résistance suivante :

+ + 1 (EC3-DAN § 5.5.4 (2))

où : q k LT = 1 – mais k LT  1,0

µLT = 0,15–λ z βM.LT  – 0,15 mais µLT  0,90

βM.LT est le facteur de moment uniforme équivalent calculé pour le tronçon entredeux sections maintenues vis-à-vis du déversement et pour le diagramme deflexion par rapport à l’axe de forte inertie.

q les autres paramètres de ce critère de résistance ont été définis auparavant.

2,33. – Sections de Classe 3 (résistance élastique) 

Aussi bien pour la résistance des éléments comprimés et fléchis sans prise en comptedu déversement que pour la résistance avec prise en compte du déversement, la formu-lation est celle des sections de Classe 1 ou 2 présentée au paragraphe précédent, danslaquelle les modules de résistance plastique sont remplacés par les modules de résis-tance élastique de la section. De ce fait, dans l’expression des coefficients µy  et µz , le

second terme disparaît.

Dans le cas de sections qui ne sont pas doublement symétriques, il convient de prendreen compte les modules de résistance élastique W el.y  et W el.z  calculés pour la fibreextrême de la section où les contraintes dues à chaque sollicitation maximale N Sd , M y.Sd 

et M z.Sd se cumulent avec le même signe (EC3-DAN § 5.5.4 (1)A).

2,34. – Sections de Classe 4 (résistance élastique calculée à partir de caractéris- 

tiques efficaces) 

Critère de résistance sans prise en compte du déversement

Un élément comprimé et fléchi à section transversale de Classe 4 doit satisfaire à lacondition de résistance suivante :

+ + 1 (EC3-DAN § 5.5.4 (5))

Les coefficients k y , k z  et χmin sont calculés comme pour les sections de Classe 1, 2 et 3,mais en remplaçant l’aire A par l’aire efficace Aeff de la section. Les coefficients µy  et µz 

prennent les expressions suivantes :

µy =–λ y (2βMy – 4) mais µy  0,9

µz =–λ z (2βMz – 4) mais µz  0,9

k z (M z.Sd + N Sd e N.z )

W eff.z f y  / γ M 1

k y (M y.Sd + N Sd e N.y )

W eff.y f y  / γ M 1

N Sd 

χmin Aeff f y  / γ M 1

µLT N Sd 

χz Af y 

k z M z.Sd 

W pl.z f y  / γ M 1

k LT M y.Sd 

χLT W pl.y f y  / γ M 1

N Sd 

χz Af y  / γ M 1

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ELE-EC3 1-02

Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 47

11

Critère de résistance avec prise en compte du déversement

Si de plus, l’élément présente un risque de déversement (–λ LT  0,4), il doit satisfaire à la

condition de résistance suivante :

+ + 1 (EC3-DAN § 5.5.4 (6))

Les coefficients k LT  et µLT  sont calculés comme pour les sections de Classe 1, 2 ou 3,mais en remplaçant l’aire A par l’aire efficace Aeff de la section.

Calcul des caractéristiques efficaces

Les caractéristiques efficaces de la section sont calculées selon l’EC3-DAN § 5.4.8.3. Onrappelle les définitions de ces caractéristiques efficaces :

– Aeff  Aire efficace calculée sous l’effort axial de compression seul,

– e N.y et e N.z  Décalage du centre de gravité de la section efficace par rapport à la sec-tion brute, calculé sous l’effort axial de compression seul (pour une sec-tion doublement symétrique : e N.y = 0 et e N.z = 0),

– W eff.y  Module de résistance élastique par rapport à l’axe de forte inertie de lasection efficace calculé sous le moment fléchissant M y.Sd seul,

– W eff.z  Module de résistance élastique par rapport à l’axe de faible inertie de lasection efficace calculé sous le moment fléchissant M z.Sd seul.

Il convient de prendre en compte les modules de résistance élastique W eff.y 

et W eff.z 

de lasection efficace calculés pour la fibre extrême où les contraintes dues à chaque sollicita-tion maximale N Sd , M y.Sd et M z.Sd se cumulent avec le même signe (EC3-DAN § 5.5.4 (5)Aet (6)A).

La référence [6] pourra aider le projeteur dans le calcul des caractéristiques efficacesdes sections de Classe 4.

Il est précisé que les facteurs de moment uniforme équivalent βM.y , βM.z et βM.LT  doiventêtre déterminés en tenant compte du moment résultant (M Sd + N Sd e N ) pour chacun desplans de flexion.

3. – EXEMPLE D’APPLICATION

L’exemple d’application consiste en la justification de la stabilité d’un poteau de por-tique d’un bâtiment de type industriel. Nous ne décrirons pas ici toutes les étapes ducalcul qui conduisent aux efforts dans l’élément qui nous intéresse. En revanche, la véri-fication de la résistance au flambement et au déversement est détaillée pour les effortsde calcul qui correspondent à une combinaison d’actions pour les vérifications aux ÉtatsLimites Ultimes.

Le poteau étudié est un profilé IPE 450 en acier de nuance S235. Sa longueur entrepoints d’épure est de 10 m. On admet que le poteau est maintenu latéralement en pied

et en tête. De plus, on considère un appui latéral intermédiaire constitué par une lisse debardage située à une hauteur de 6 m par rapport au sol et liée au dispositif de stabilitélongitudinale.

k z (M z.Sd + N Sd e N.z )

W eff.z f y  / γ M 1

k LT (M y.Sd + N Sd e N.y )

χLT W eff.y f y  / γ M 1

N Sd 

χz Aeff f y  / γ M 1

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48 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

12

Pour la combinaison d’actions étudiée, le portique est classé comme structure rigide ausens de l’EC3-DAN § 5.2.5.2. Dans ce cas, l’analyse globale de la structure peut êtreeffectuée en négligeant les effets du second ordre (voir aussi la référence [7]).

Le poteau est soumis à un effort axial de compression N Sd  que l’on suppose constantsur la hauteur et à de la flexion par rapport à l’axe de forte inertie qui varie linéairementde 0 au moment maximal M y.Sd  en tête du poteau. Pour la combinaison étudiée, nousavons :

N Sd  = 160 kN

M y.Sd  = 200 kN.m

3,1. – Caractéristiques du profil

Section IPE 450 

A = 98,82 cm2

I y  = 33 740 cm4

I z  = 1676 cm4

I t  = 66,87 cm4

I w  = 791 000 cm6

W el.y  = 1 500 cm3

W pl.y = 1 702 cm3

Acier S235 

Module d’Young : E = 210 000 MPa

Module de cisaillement : G = 80 770 MPaLimite d’élasticité : f y = 235 MPa

Fig. 3 

3,2. – Classe de la section

Sous les efforts qui lui sont appliqués, la section transversale est de Classe 1. La vérifi-cation de l’élément peut être effectuée en utilisant la résistance plastique de la section.

 

S ection maintenuelatéralement

10m

4m

IPE

450–

Acie

rS

235

S ection maintenuelatéralement

S ection maintenuelatéralement

6

m

My.Sd = 200 kN.m

My.Sd = 120 kN.m

 

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 49

13

Le lecteur pourra se reporter aux tableaux de la référence [8] qui donnent la classe de lasection pour les profilés laminés en I sollicités en compression et flexion par rapport àl’axe de forte inertie, en fonction de l’effort axial.

Les coefficients βA et βw qui dépendent de la classe de la section sont égaux à 1 pour laClasse 1 :

βA = 1 et βw = 1

3,3. – Longueurs de flambement

➔ Longueur de flambement dans le plan du portique 

La structure étant classée comme «Structure rigide» au sens de l’EC3-DAN, l’analyseglobale de la structure est effectuée en négligeant les effets du second ordre, et la résis-tance au flambement des poteaux peut être vérifiée en calculant la longueur de flambe-ment pour un mode d’instabilité à nœuds fixes (voir [7]). On se place alors du côté de lasécurité en prenant comme longueur de flambement, la longueur d’épure :

Lk.y = 10 m

➔ Longueur de flambement hors plan du portique 

En se plaçant du côté de la sécurité, la longueur de flambement hors plan du poteau duportique peut être prise égale à celle du tronçon le plus long :

Lk.z = 6 m

Un calcul plus précis consiste à rechercher l’effort axial critique dans le poteau en tenantcompte de la continuité des deux tronçons de longueurs différentes. Ce calcul conduitalors à une longueur de flambement de 5,20 m.

3,4. – Vérification de la résistance au flambement

3,41. – Calcul de la résistance au flambement en compression simple 

➔ Flambement dans le plan (/yy) 

L’effort axial critique est : N cr.y = = = 699 301 daN

Élancement réduit :–λ y = = = 0,5763 (

–λ y  0,2)

Pour le flambement par rapport à l’axe de forte inertie d’un IPE 450 en acier S235, le coef-ficient de réduction doit être déterminé selon la courbe de flambement a (Tableau 2), soitα = 0,21 (Tableau 1).

1 × 98,82 × 2 350

699 301

βAAf y 

N cr.y 

π2 × 2 100 000 × 33 740

1 0002

π2EI y 

L2ky 

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50 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

14

On calcule :

φy = 0,5[1 + α (–λ y – 0,2) +

–λ 2y ] = 0,5[1 + 0,21 × (0,5763 – 0,2) + 0,57632] = 0,7056

χy = = = 0,8988 ( 1)

➔ Flambement hors plan (/zz) 

L’effort normal critique est : N cr.z = = = 96 492 daN

Élancement réduit :–λ z = = = 1,5514 (

–λ z  0,2)

Pour le flambement par rapport à l’axe de faible inertie d’un IPE 450 en acier S235, lecoefficient de réduction doit être déterminé selon la courbe de flambement b (Tableau 2),soit α = 0,34 (Tableau 1). On calcule :

φz = 0,5[1 + α (–λ z – 0,2) +

–λ 2z ] = 0,5[1 + 0,34 × (1,5514 – 0,2) + 1,55142] = 1,9332

χz = = = 0,3240 ( 1)

La résistance au flambement est calculée en considérant le plus petit des deux coeffi-cients de réduction qui est, pour cet exemple, χmin = χz :

N b.Rd = χmin βA A f y  / γ M 1 = 0,3240 × 1 × 98,82 × 2 350 / 1,1 = 68 401 daN

Au passage, on s’assure que : N Sd = 160 kN N b.Rd = 684,01 kN

Si cette condition n’était pas satisfaite, il serait inutile de poursuivre les vérifications.

3,42. – Vérification de la résistance de l’élément en compression et flexion sans 

prise en compte du déversement 

Nous avons :

λ max =

λ z = 1,5514 0,2 et = = 0,234 0,1

Par conséquent, il y a lieu de vérifier la résistance de l’élément en compression etflexion sans prise en compte du déversement. En l’absence de flexion par rapport àl’axe de faible inertie, le critère de résistance se réduit à :

+ 1

Le coefficient k y  dépend, à travers le coefficient µy , du facteur de moment uniformeéquivalent βM.y , celui-ci étant fonction de la forme du diagramme de moment fléchis-sant. Le cas étudié ne présente qu’une variation linéaire du moment avec un rapport ψ 

des moments aux extrémités égal à 0. On en déduit :

βM.y = 1,8 – 0,7 ψ = 1,8

k y M y.Sd 

W pl.y f y  / γ M 1

N Sd 

χmin Af y  / γ M 1

160

684,01

N Sd 

χmin Af y  / γ M 1

1

1,9332 + 1,93322 – 1,55142

1

φz + φ2z –

–λ 2z 

1 × 98,82 × 2 350

96 492

βAAf y 

N cr.z 

π2 × 2 100 000 × 1 676

6002

π2EI z 

L2kz 

1

0,7056 + 0,70562 – 0,57632

1

φy +φ2y –

–λ 2y 

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 51

15

On calcule :

µy =–λ y (2βMy – 4) + = 0,5763 × (2 × 1,8 – 4) + = – 0,0958 ( 0,9)

et k y = 1 – = 1 – = 1,0073 ( 1,5)

On vérifie :

+ = 0,788 1 Condition satisfaite 

3,5. – Vérification de la résistance au déversement

3,51. – Calcul de la résistance au déversement en flexion simple 

Étant donné que le moment maximal est situé dans le tronçon le plus court, on ne peutpas savoir a priori pour quel tronçon le rapport du moment agissant au moment résis-tant sera le plus faible. La résistance au déversement doit donc être vérifiée pour chacundes deux tronçons du poteau séparés par le maintien latéral intermédiaire.

Le moment critique de déversement élastique peut être calculé à partir de l’Annexe F del’EC3-DAN. Pour l’exemple traité ici (section doublement symétrique et barre soumiseuniquement à un gradient de moment), l’expression du moment critique se réduit à :

M cr = C 1 2

+ (EC3-DAN § F.1.3 (2))

Si l’on néglige tout encastrement vis-à-vis du gauchissement et vis-à-vis de la rotationdes sections aux extrémités du tronçon étudié, nous devons adopter :

k = 1 et k w = 1

a) Considérons le tronçon inférieur du poteau (L = 6 m, ψ = 0) :

Selon l’Annexe F de l’EC3-DAN (Tableau F.1.1), C 1 = 1,879 pour ψ = 0 et k = 1.

Moment critique : M cr = 583,6 kN . m

Élancement réduit :–λ LT = = = 0,8278

L’élancement réduit–λ LT est supérieur à 0,4, il est donc nécessaire d’effectuer la vérifica-

tion de la résistance au déversement. Pour les profils laminés en I, le coefficient deréduction χLT  pour le déversement doit être déterminé à partir de la courbe de flambe-ment a (α = 0,21). On obtient :

φLT = 0,5[1 + α (–λ LT – 0,2) +

–λ 2LT ] = 0,5[1 + 0,21 × (0,8278 – 0,2) + 0,82782] = 0,9085

χLT = = = 0,7795 ( 1)1

0,9085 + 0,90852 – 0,82782

1

φLT + φ2LT –

–λ 2LT 

1 × 1 702 × 2 350

5,836 . 106

βW W pl.y f y 

M cr 

(kL)2GI t 

π2EI z 

I w 

I z 

k w 

π2 EI z 

(kL)2

1,0073 × 2 . 106

1 702 × 2 350/1,1

16 000

68 401

– 0,0958 × 16 000

0,8988 × 98,82 × 2 350

µy N Sd 

χy Af y 

1 702 – 1 500

1 500

W pl.y – W el.y 

W el.y 

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52 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

16

Le moment de résistance au déversement est :

M b.Rd = χLT  βW W pl.y f y  / γ M 1 = 0,7795 × 1 × 1 702 × 2 350 / 1,1 = 2,8343 . 106 daN . cm

Au passage, on s’assure que pour le tronçon inférieur du poteau :

M y.Sd = 120 kN . m M b.Rd = 283,43 kN . m

b) Considérons le tronçon supérieur du poteau : L = 4 m, ψ = 0,6

Selon l’Annexe F de l’EC3-DAN (§ F.1.2 (6)), pour ψ = 0,6 et k = 1 :

C 1 = 1,88 – 1,4 ψ + 0,52 ψ 2 = 1,227

On remarque que le coefficient C 1 est significativement plus faible que pour le tronçoninférieur. La différence est toutefois compensée par une longueur plus faible du tronçon

supérieur. Pour ce dernier, on obtient :Moment critique : M cr = 716,70 kN . m

Élancement réduit :–λ LT = = 0,7470

–λ LT  0,4

On calcule le coefficient de réduction :

φLT = 0,5[1 + α (–λ LT – 0,2) +

–λ 2LT ] = 0,5[1 + 0,21 × (0,7470 – 0,2) + 0,74702] = 0,8364

χLT 

= = = 0,8246 ( 1)

Le moment de résistance au déversement est alors :

M b.Rd = χLT βW W pl.y f y  / γ M 1 = 0,8246 × 1 × 1702 × 2350 / 1,1

Pour le tronçon supérieur du poteau, on s’assure aussi que :

M y.Sd = 200 kN . m M b.Rd = 299,80 kN . m

3,52. – Vérification de la résistance de l’élément en compression et flexion avec 

prise en compte du déversement 

En l’absence de flexion par rapport à l’axe de faible inertie, le critère de résistance encompression et flexion avec prise en compte du déversement se réduit à :

+ 1

Le coefficient k LT dépend du facteur de moment uniforme équivalent βM.LT par l’intermé-

diaire du coefficient µLT . Ce facteur βM.LT  doit être déterminé en considérant un tronçonentre deux sections maintenues latéralement. Chacun des deux tronçons est donc étu-dié sur la base du coefficient de réduction χLT calculé précédemment.

k LT M y.Sd 

χLT W pl.y f y  / γ M 1

N Sd 

χz Af y  / γ M 1

1

0,8364 +0,83642 – 0,74702

1

φLT + φ2LT – –λ 2LT 

1 × 1 702 × 2 350

7,167 . 106

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Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS 53

17

a) Tronçon inférieur (L = 6 m, ψ = 0, M y.Sd = 120 kN . m)

Facteur de moment uniforme équivalent : βM.LT  = 1,8 – 0,7 ψ = 1,8

Coefficient µLT : µLT  = 0,15–λ z βM.LT  – 0,15 = 0,15 × 1,5514 × 1,8 – 0,15

= 0,2689 (µLT  0,9)

Coefficient k LT : k LT  = 1 – = 1 –

= 0,9428 (k LT  1)

On vérifie le critère de résistance pour le tronçon inférieur :

+ = 0,2339 + 0,3992 = 0,6331 1

Condition satisfaite 

b) Tronçon supérieur (L = 4 m, ψ = 0,6, M y.Sd = 200 kN . m)

Facteur de moment uniforme équivalent : βM.LT = 1,8 – 0,7 ψ = 1,38

Coefficient µLT : µLT  = 0,15–λ z βM.LT  – 0,15 = 0,15 × 1,5514 × 1,38 – 0,15

= 0,1711 (µLT  0,9)

Coefficient k LT : k LT  = 1 – = 1 –

= 0,9636 (k LT  1,0)

On vérifie le critère de résistance pour le tronçon supérieur :

+ = 0,2339 + 0,6428 = 0,8767 1

Condition satisfaite 

4. – RÉFÉRENCES

[1] Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier» et Document d’Application Nationale– Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. Indice de classement P22-311. AFNOR Décembre 1992.

[2] Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier» et Document d’Application Nationale– Partie 1-3 : Règles supplémentaires pour les profilés et plaques à parois mincesformés à froid. Indice de classement P 22-313. AFNOR Décembre 1999.

[3] Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier» et Document d’Application Nationale– Partie 1-1 : Règles générales et règles pour les bâtiments. Amendement A1.Indice de classement XP P 22-311/A1. AFNOR Novembre 1999.

0,9636 × 2 000 000

0,8246 × 1 702 × 2 350/ 1,1

16 000

0,324 × 98,82 × 2 350/ 1,1

0,1711 × 16 000

0,324 × 98,82 × 2 350

µLT N Sd 

χz Af y 

0,9428 × 1 200 000

0,7795 × 1 702 × 2 350/ 1,1

16 000

0,324 × 98,82 × 2 350/ 1,1

0,2689 × 16 000

0,324 × 98,82 × 2 350

µLT N Sd 

χz Af y 

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Construction Métallique, n° 4-2002

54 Rubrique TECHNIQUE ET APPLICATIONS

18

[4] Bureau A. – Application de l’EC3-DAN – Résistance au déversement des élémentsfléchis. Revue Construction Métallique n° 2-1993. CTICM.

[5] Villette M. – Considérations sur le flambement. Proposition de révision de l’Euro-

code 3. Revue Construction Métallique n° 3-1997. CTICM.[6] Galéa Y., Lequien P. – Application de l’Eurocode 3 – Résistance des sections en I de

Classe 4 comprimées et fléchies sans interaction avec le cisaillement. RevueConstruction Métallique n° 3-1991. CTICM.

[7] Braham M., Lascrompes E. – L’analyse élastique des ossatures au moyen de l’Euro-code 3. Revue Construction Métallique n° 4-1992. CTICM.

[8] Bureau A., Galéa Y. – Application de l’Eurocode 3 – Classement des sections trans-versales en I. Revue Construction Métallique n° 1-1991. CTICM.