filtre de kalman

1

Filtre de Kalman – Préliminaires (1)

Théorème

Soient et deux vecteurs aléatoires tels que

est de distribution multinormale de moyenne

et de variance . Alors, la densité de probabilité

conditionnelle ( | ) es

T

p

1

1|

t également gaussienne et sa

moyenne et sa variance sont respectivement données par

ˆ ( )

T

2


Estimateur à variance minimale

Estimer constante, a, telle que

est minimale

Résultat:

En effet:

2 2

( ) ( ) ( )E x a x a f x dx

(où x variable aléatoire de densité de probabilité f(x))

( ) ( )a E x xf x dx

22 2

2

2

2 2 0

( )

( )

E x a a aE x E x

E x a a E x a E xa

3


Meilleur estimateur non linéaire de la variable x en termes de y

y et x deux variables aléatoires; densité de probabilité conjointe f(x,y).

Estimer x par une fonction g(y) de sorte que

est minimale

Résultat:

2 2

( ) ( ) ( , ) E x g y x g y f x y dx dy

( ) |g y E x y

4


Démonstration

2 2

2

( , ) ( | ) ( )

E x-g(y) ( ) ( ) ( | )

Intégrant positif ou nul il suffit de minimiser

( ) ( | )

pour tout y pour minimiser l'intégrale double.

Par similitude a g(

f x y f x y f y

f y x g y f x y dx dy

x g y f x y dx

y) et donc g(y)=E(x|y)

5

Filtre de Kalman – Modèle et hypothèses (1) Système décrit par modèle en variables d’état

1

0 0

0

0

T T

T Tkm

0

x(k ) Ax(k) Bu(k) (k)

y(k) Cx(k) Du(k) (k)

Sans perte de généralité, on peut considérer D=0.

E (m) (m)

(k) QE (m) (m)

(k) R

Etat initial x(0) de moyenne x et de varian

0ce

Si en outre toutes les suites et vecteurs aléatoires sont

de distribution gaussienne, alors x(k) et y(k) sont des

suites aléatoires gaussiennes

6

Filtre de Kalman – Formulation du problème Problème:

Déterminer l’estimateur de variance minimale de l’état à l’instant k étant donné les mesures jusqu’à l’instant k-1, c-à-d tel que

x̂(k)

1

1

Tk F

F

k

ˆ ˆ(k) E (x(k) x(k))(x(k) x(k)) | Y

où est la variance de l'erreur donnée par tout autre

estimateur.

Par extension du résultat du préliminaire,

ˆ x(k) E x(k) | Y

Critère d'optimali

1T

k

té équivalent

ˆ ˆ tr( (k)) E (x(k) x(k)) (x(k) x(k)) | Y

7

Filtre de Kalman

Considérons le modèle en variables d’état ci-dessus et définissons

1 1 kx̂(k ) E x(k ) | Y

0

1

1

0

T T

T

k

ˆ ˆ ˆ ˆx(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+K(k) y(k)-Cx(k) x( ) x

où K(k) gain du filtre donné par

K(k) A (k)C C (k)C R

dans lequel (k) est la variance de l'erreur

ˆ ˆd'estimation d'état (k) E x(k)-x(k) x(k)-x(k) | Y

1

0

1

0

T T T T

Elle vérifie la récurrence suivante

(k ) A (k)A Q A (k)C C (k)C R C (k)A

( )

8

Filtre de Kalman – Démonstration(1)

Equations d’état du système

1

1 0

0 0

1

1 1

1x

ky

x(k)x(k ) A I B

(k) u(k)y(k) C I

(k)

x(k )Distribution multinormale de caractérisée par

y(k)

- moyenne

(k ) x(k ) AE Y = E x(k)|Y

(k ) y(k) C

k-1

B+ u(k)

0

(du fait que (k) et (k) de moyenne nulle et u(k) déterministe)

9

Filtre de Kalman – Démonstration (2)

- Variance

1 11 1

Tx Tx y

y

T T

T T

T T

x(k ) (k )E (x(k ) (k )) y(k) (k)

y(k) (k)

(k) 0 0 A CA I 0

= 0 Q 0 I 0C 0 I

0 0 R 0 I

A (k)A Q A (k)C =

C (k)A C (k)C R

où

1T

kˆ ˆ (k)=E x(k)-x(k) x(k)-x(k) | Y

10


Par application du théorème (Préliminaire (1))

- Moyenne

1 1

1

k

k

ˆavec =x(k+1) et y(k), on déduit E(x(k ) | Y ) x(k ),

ainsi que la variance de l'erreur d'estimation étant donné Y ,

(k ).

1

1

1

T T

ˆ ˆx(k ) Ax(k) Bu(k)

ˆ A (k)C (C (k)C R) y(k) Cx(k)

11


- Variance

1

1

1

1

1 1 1 1 1

1 1

1 1

Tx x k

T

x y k

T

y y k

T

x y k

(k ) E x(k ) (k ) x(k ) (k ) | Y

+E x(k ) (k ) y(k) (k) | Y

E y(k) (k) y(k) (k) | Y

E x(k ) (k ) y(k) (k) | Y

1

T

T T T T

soit

(k+1)=A (k)A Q A (k)C C (k)C R C (k)A

12

Filtre de Kalman - Innovation

Prédiction de y(k)

Innovation

1k

e

ˆ ˆy(k) E y(k) | Y Cx(k)

ˆpartie de la k mesure qui peut etre prédite à l'aide

d'une fonction linéaire des observations passées

1 1

e

TT T Tk k

nouvelle information apportée par la k mesure

r(k) de moyenne nulle et r(k) indépendant de r(j) pour k j

ˆ ˆE r(k)r(k) | Y C E x(k)-x(k) x(k)-x(k) | Y C E (k) (k)

T C (k)C R

distribution de r(k) normale (si et gaussiens) entièrement caractérisée

ˆr(k) y(k) y(k)

13

Filtre de Kalman permanent (1)

Sous conditions données à la page suivante,

Filtre prend la forme

10T T T T

(k) et K(k) tendent vers matrices constantes quand k .

Limite de la suite des (k) vérifie équation de Riccati algébrique

A A A C C C R C A Q (ERA)

1

1

1

0

s

s s

T Ts s s s

ˆ ˆ ˆx(k ) Ax(k) Bu(k) K (y(k) Cx(k))

soit

ˆ ˆx(k ) A K C x(k) Bu(k) K y(k)

avec K =A C C C R et solution de ERA

14


Théorème

Soit L tel que . Si les 3 conditions suivantes

sont remplies:

1) (A,L) stabilisable

2) (C,A) détectable

3)

Alors

TQ LL

0 0

sk

sk

s

s s

lim (k) (convergence exponentielle)

lim K(k)=K (convergence exponentielle)

avec solution stabilisante de ERA, c-à-d valeurs

propres de A-K C à l'intérieur du cercle unité ( réelle,

symétrique, 0).

15


Variance de l’erreur d’estimation minimisée

asymptotiquement, c-à-d

T

kˆ ˆlim E x(k) x(k) x(k) x(k) minimale

16

Filtre de Kalman – Défaut présent (1)

Equations système supervisé + filtre de Kalman en présence d’un défaut

En l’absence de défaut, solution

1 0

1

x(k ) A x(k) Bu(k)

ˆ ˆx(k ) K(k)C A K(k)C x(k) B

E (k) f(k)

K(k)F K(k) (k)

x(k)r(k) C C Ff(k) (k)

x̂(k)

0r(k) r (k)

17

Filtre de Kalman – Défaut présent (2)

Donc L (r(k))=N (

0 k k

0 0

Défaut de type f(k)=f 1

r(k)=r (k)+ (k,k )f

par la linéarité du système

0T(k,k )f ,C (k)C R)

18

Bibliographie

G.C. Goodwin et K.S. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Prentice-Hall, 1984

A. Papoulis. Probability, random variables and stochastic processes. McGraw Hill, 1965

R.S. Mangoubi. Robust estimation and failure detection: a concise treatment

Springer 1998

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