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T.P. d'Electronique 3

ème année

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1 - PARTIE THÉORIQUE

1.1 RAPPEL SUR LES SÉRIES DE FOURIER. SPECTRE D'UN SIGNAL. La série de Fourier joue un rôle considérable en électronique, et d'une manière générale dans l'étude des systèmes dynamiques. Son intérêt provient de l'interprétation physique que l'on peut avoir du théorème de Fourier : cela conduit à la notion fondamentale de spectre. Le spectre est la représentation graphique d'un signal non plus dans le domaine temporel, mais dans le domaine fréquentiel. L'équivalence entre représentation temporelle et représentation fréquentielle est essentielle pour l'étude du traitement du signal. Obtenir l'ensemble des amplitudes et des fréquences d'une fonction quelconque v(t) revient à effectuer son analyse spectrale. Soit v(t) une fonction réelle de la variable t, périodique de période T et admettant un nombre fini de discontinuités par période. D'après le théorème de Fourier, cette fonction peut se mettre sous la forme d'une série de fonctions trigonométriques (sinus ou cosinus) appelée série de Fourier. Son développement est :

v t( ) = a0 + an cos nwt( ) + bn sin nwt( )éë ùûn=1

¥

å

où les coefficients a0, an, bn sont calculés par les intégrales :

Le terme a0 représente la composante continue autrement dit la valeur moyenne de la fonction v(t) sur une période. Les termes a1 et b1 représentent le premier harmonique dit fondamental. Les termes an et bn représentent le n-ième harmonique. Ce développement en série de Fourier montre qu'un signal périodique quelconque v(t) peut-être considéré comme résultant de l'addition d'une composante continue (valeur moyenne) et d'une infinité (cas général)

de signaux sinusoïdaux de pulsation ..., n où est la pulsation correspondant à la période de v(t). Il existe également une deuxième façon de présenter le développement en série de Fourier d'une fonction périodique : en cosinus (ou sinus) uniquement et en faisant intervenir un terme de phase.

v t( ) = a0 + An sin nwt +jn( )éë ùûn=1

¥

å

où An et n sont calculés à partir de

an = An sin jn( )

bn = A n cos jn( )

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Il est intéressant de représenter la fonction v(t) en portant le long d'un axe gradué en (ou f) les raies traduisant les modules des amplitudes du signal à chaque pulsation (fréquence): c'est le spectre de raies en amplitude (Figure 1). La représentation des carrés des amplitudes en fonction de la pulsation permet d'avoir le spectre en puissance. Il est rare qu'on représente le spectre des phases mais il faut faire attention car seule la connaissance de deux spectres d'amplitude ou de puissance (on utilise généralement le spectre en amplitude) et de phase permet de déterminer complètement la fonction v(t).

Figure 1: Représentation spectrale d'une fonction périodique

1.2 RAPPEL SUR LA TRANSFORMÉE DE FOURIER A la différence de la série de Fourier, l'intégrale de Fourier (ainsi que sa réciproque, la transformée de Fourier) sont relatives aux signaux de natures quelconques, essentiellement non périodiques.

où V(f) est la transformée de Fourier de v(t) définie par :

La relation donnée par l'intégrale de Fourier montre que l'on peut interpréter tout signal v(t) comme résultant de l'addition d'une infinité de signaux sinusoïdaux, d'amplitude V(f) df et dont les fréquences s'étendent continûment de -∞ à +∞ (V(f) représente une densité d'amplitude spectrale, par extension, on l'appelle le spectre). Attention, la notion d'harmonique n'a plus de sens lorsque l'on traite de signaux non périodiques : on ne peut plus isoler une composante spectrale particulière à la fréquence f. Un signal non périodique possède donc un spectre continu contrairement aux signaux périodiques dont le spectre est discret.

2 - LA TRANSFORMÉE DE FOURIER RAPIDE OU FFT

En pratique, on ne peut pas calculer la transformée de Fourier (TF) car il faut intégrer sur un temps infini (cela durerait éternellement !). On utilise alors la version numérisée (ou discrète) de la TF qui est appelée la transformée de Fourier discrète (ou DFT). Cette transformée est calculée à partir de la numérisation (ou échantillonnage) des signaux dans le domaine temporel sur un intervalle de temps fini. L'oscilloscope TDS3012B utilise un algorithme particulier pour calculer la DFT : la FFT ou Fast Fourier Transform. Par abus de langage, la DFT est couramment appelée FFT.

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3-LA FFT SUR LE TDS3012B, Premières Manipulations

3.1 INTRODUCTION. NOTIONS DE BASE SUR LA FFT L'oscilloscope TDS3012B numérise le signal temporel, la fonction FFT utilise N de ces points. La fréquence d'échantillonnage effective fe en Hz (on parle encore de vitesse d'échantillonnage en échantillons/s ou sample/s) est reliée à la base des temps sélectionnée sur l'oscilloscope par la relation :

Pr ') ( / )

'e e

ofondeur de mémoire ou nombre d échantillons mémorisablesf z v éch s

taille de l écran

Une fois cette FFT effectuée, l'affichage fréquentiel ou SPAN (bande d'analyse maximale) de l'oscilloscope est compris entre 0 et fe/2 Hz. Ce nombre de points est dû à l'algorithme de calcul de la FFT. La résolution spectrale minimale (espacement minimum entre deux points fréquentiels) est alors donnée par:

2*

2

e ef ff

N N

Dès que la FFT est calculée on peut modifier la fréquence centrale de l'affichage ainsi que diminuer le Span pour zoomer sur une zone précise de l'écran. Ces opérations n'affectent pas le calcul de la FFT: elles consistent uniquement à dilater l'affichage tandis que le nombre de points fréquentiels affichés diminue. En résumé il n'y a pas de modification de la fréquence d'échantillonnage ou une quelconque amélioration de la résolution lorsque l'on joue sur la fréquence centrale et le span. La théorie de l'échantillonnage stipule qu'un signal doit être échantillonné à une fréquence au moins deux fois supérieure à sa composante la plus élevée: fe>2 fmax (fréquence de Nyquist). De plus, pour une reconstruction correcte de ce signal, il faut effectuer une interpolation correcte. Dans le cas contraire le sous-échantillonnage va provoquer des fausses représentations. En pratique, on doit toujours sur-échantillonner le signal (fe>>2 fmax) pour obtenir une représentation correcte.

3.2 UTILISATION DE L'OSCILLOSCOPE TDS3012B. L'oscilloscope TDS3012B permet de calculer la transformation de Fourier rapide en utilisant les entrées voie 1 ou voie 2. Cette fonction transforme l'enregistrement temporel (qui a été numérisé) dans le domaine fréquentiel. Lorsque la fonction est sélectionnée, le spectre de la FFT est tracé sur l'écran de l'oscilloscope avec l'axe X représentant la fréquence et l'axe Y représentant l'amplitude en dBV (axe logarithmique). On rappelle que le dBV est une unité de mesure basée sur la référence 1 Veff (ou 1V rms) c'est à dire :

dBV= 20 log (Veff)

Ainsi un signal sinusoïdal ayant une valeur efficace de 1 Volt (1Veff ou 2,8 Vpp) sera donc égal à 0dBV sur l'axe Y de la FFT. On indique ici que le calcul de la FFT génère une valeur continue incorrecte (0 Hz). Par conséquent toutes les mesures de tension continues doivent être réalisées en mode oscilloscope normal (temporel). En ce qui concerne le nombre d’échantillons mémorisables, l’oscilloscope TDS3012B permet de choisir entre deux valeurs différentes : 500 ou 10000. Pour changer entre ces deux valeurs :

• ACQUISITION • MENU • Résolution horizontal • (choisir) 500 ou 10K points

Si pas différemment indiqué, utiliser la valeur 500 pour toutes les manipulations.

Utilisation de la FFT Tout d'abord, nous rappelons que l'impédance d'entrée d'un oscilloscope est très élevée. Normalement, le

générateur de fonctions HP33120 considère qu'il est chargé par une impédance de 50 On doit donc indiquer à ce générateur son impédance de terminaison:

• SHIFT MENU • >>> D:SYS MENU • (descendre à ) 1: OUT TERM • (descendre à ) > HI Z • ENTER

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- Générer un signal sinusoïdal de fréquence 1 kHz et d'amplitude 3,5 Vpp à l'aide du HP33120. Injecter ce signal sur la voie 1 de l'oscilloscope. Utiliser la touche Autoset dans le domaine temporel et mesurer précisément la fréquence et l'amplitude de ce signal. - Activer la fonction MATH de l'oscilloscope, sélectionner l'opération à réaliser (FFT) ainsi que la voie sur laquelle sera effectuée cette opération : Source FFT : Ch1 ou Ch2. - Régler l'échelle de telle sorte que le spectre affiché soit le plus large possible. Remarque: On peut choisir de visualiser le signal temporel et la FFT simultanément ou non. Cela peut-être intéressant pour corréler la base des temps de l'oscilloscope et la fréquence d'échantillonnage mais aussi désagréable si l'on souhaite faire des mesures précises sur la FFT. Dans ce cas, sélectionner la voie correspondante puis appuyer sur off pour supprimer le signal temporel ou sur MATH puis off pour désactiver la FFT. - Dilater l'échelle des fréquences correspondant à l'affichage de la FFT, quel est le span minimal ? - Placer un curseur sur le pic du fondamental. Sélectionner successivement l'échelle dBV efficace et l'échelle efficace linéaire. Comparez les résultats obtenus. - Dilater l'échelle des tensions du canal d'entrée jusqu'à ce que l'amplitude des pics dépasse les valeurs minimale et maximale d'affichage. Quel est l'influence sur le calcul de la FFT ?

L'affichage proposé par défaut lorsque l'on active la FFT n'est pas toujours optimal ou adéquat pour des mesures précises. On peut donc procéder de la manière suivante : appuyer sur la touche de fonction math + FFT. Faire tourner la molette Scale du menu Horizontal pour le canal d'entrée jusqu'à ce que la bande d'analyse soit à peu près égale aux fréquences observées. Attention, on rappelle que modifier la base des temps correspond à modifier la fréquence d'échantillonnage pour la FFT. Important: La touche Cursor permet d'obtenir des valeurs de mesures précises mais il est nécessaire de vérifier que ces valeur sont cohérentes avec les résultats attendus :

a) Donner la valeur expérimentale de la résolution fréquentielle b) Modifier tour à tour la fréquence centrale et le span. Y-a-t-il une amélioration de la résolution ? Pourquoi ? c) Y-a-t-il des relations simples entre la fréquence d'échantillonnage et les valeurs de span min et max ?

Lesquelles ? d) Jusqu'où peut-on diminuer la fréquence d'échantillonnage ? Pourquoi ?

3.3 REPLIEMENT OU ALIASING.

Théorie A cause de l'algorithme de duplication de la FFT, le repliement se produit lorsque le nombre d'échantillons capturés pour chaque cycle du signal d'entrée est insuffisant pour mesurer le signal. C'est le cas à chaque fois que la fréquence du signal à mesurer est supérieure à la fréquence de Nyquist: fe/2 (aussi appelée fréquence de repliement). Lorsqu'un signal est replié, les fréquences qui sont supérieures à fe/2 (c'est à dire en dehors de la gamme des fréquences utiles pour la FFT) sont ramenées et représentées à l'intérieur du domaine fréquentiel affiché. Ces raies spectrales apparaissent donc à une position où il n'existe pas de composantes fréquentielles. Le phénomène s'appelle repliement. On peut éviter le repliement en prenant une vitesse d'échantillonnage deux fois supérieure à la fréquence maximale du signal à analyser.

Manipulation 1 - Générer un signal sinusoïdal de fréquence 10 kHz et d'amplitude 2 Vpp à l'aide du TDS3012B. Injecter ce signal sur la voie 1 de l'oscilloscope en fixant la base des temps à 2ms/div et une échelle verticale de 1 V/div. - Activer la FFT, afficher le spectre entre 0 et 12,5 kHz. Voici la représentation fréquentielle d'un signal sinusoïdal (presque pur ou parfait) c'est à dire un pic unique à la fréquence 10 kHz, le reste étant du bruit d'échantillonnage. - Faire varier la fréquence du générateur jusqu'à 13 kHz par pas de 100 Hz. Expliquer ce qui se passe au delà de 12,5 kHz. Donner une explication sur la position exacte du pic lorsque fgéné=13,0 kHz et sur celle telle qu'il apparaît. - Faire varier la fréquence du générateur jusqu'à 26 kHz et expliquer ce qui se passe pour fgéné=25 kHz et fgéné=26 kHz.

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Manipulation 2 Un signal triangulaire est composé d'une fréquence fondamentale et un nombre élevé d'harmoniques impaires d'amplitudes décroissantes. - Générer un signal triangulaire de fréquence 1,5 kHz et d'amplitude 3 Vpp à l'aide du HP33120. Injecter ce signal sur la voie 1 de l'oscilloscope et fixer la base des temps à 2ms/div et l'échelle verticale à 1 V/div. Activer la FFT, numéroter toutes les harmoniques. Quel est le numéro du dernier harmonique à droite de l'écran. Quelle est sa fréquence théorique et expérimentale (à mesurer à l'aide de curseurs). Comparer cette fréquence avec la fréquence de repliement. - Modifier la base des temps pour avoir 4ms/div. Expliquer ce qui se passe et numéroter toutes les d'harmoniques mises en jeu. Conclure sur les précautions à prendre lorsque l'on visualise la FFT d'un signal quelconque? Remarque importante: Pour la visualisation d'un signal, si l'on fixe une fréquence d'échantillonnage assez élevée (base des temps rapide), la contrepartie est une faible résolution fréquentielle. Cependant si l'on connaît les fréquences (harmoniques) susceptibles d'être "repliées", on peut diminuer fe jusqu'au sous-échantillonnage (par rapport à ces fréquences) pour avoir une meilleure résolution spectrale car si la fréquence des raies spectrales est affectée lors d'un repliement, leur amplitude ne l'est pas.

4 - ANALYSE SPECTRALE DE SIGNAUX PAR FFT

4.1 ANALYSE SPECTRALE D'UN SIGNAL CARRÉ

Préparation

a) Calculez-la transformée de fourrier d’une fonction porte :

Figure 6 : Signal v(t) de type fonction porte

b) Développer en série de Fourier le signal v(t) présenté sur la Figure 7 et expliciter v(t) sous la forme :

v(t) = a0 + a1 cos (t) + a2 cos (2t) + a3 cos (3t) + ...

+ b1 sin (t) + b2 sin (2t) + b3 sin (3t) + ...

Figure 7 : Signal carré v(t)

V

t

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c) Calculer précisément les valeurs des six premiers coefficients (en fonction de V0) qui seront reportés dans le tableau I.

Manipulation A/ Signal carré periodique - Sélectionner 10000 échantillons pour effectuer la FFT. - A l'aide d'une sonde, prélever le signal (0-5V, 1,2 kHz) sur le panneau avant de l'oscilloscope et le connecter sur la voie 1 de celui-ci. - Mesurer précisément la fréquence du signal carré et remplir le tableau II à la ligne Fréquences calculées (f, 3f, 5f, ...) - Mesurer précisément VPP (V0 en fait) et Vavg. Remplir le tableau II (V0,Vavg) et compléter les coefficients calculés a0, b1, b3, b5, b7 d'après ces valeurs. - Afficher la FFT et régler les échelles de façon à mesurer précisément (avec les curseurs) les fréquences de chaque pic. Reporter les résultats dans le Tableau II à la ligne Fréquences mesurées FFT. - Mesurer précisément (avec les curseurs) les amplitudes en dBV des pics avec les curseurs en choisissant la bonne fenêtre. Reporter les résultats dans le tableau II à la ligne Amplitudes (dBV).

- Convertir ces amplitudes expérimentales en Volts avec la formule Vp=10(V(dBV)/20) / 0,707 qui sera démontrée. Reporter les résultats dans le tableau II à la ligne Amplitudes (V). - Comparer les résultats théoriques et expérimentaux en calculant les différences en %.

a0 b1 b3 b5 b7 b9

Coefficients théoriques

Tableau I

Vo= Vavg=

Fréquences kHz

f 3f 5f 7f

Fréquences calculées

Fréquences mesurées FFT

Différence %

Coefficients a0 b1 b3 b5 b7

Coefficients calculés

Amplitudes (dBV)

Amplitudes (V)

Différence %

Tableau II

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B/ Fonction porte

Régler un signal à 1KHz et une amplitude de 1Vpp et sans aucun offset. Vous allez configurer le GBP en mode Burst :

• SHIFT MENU • >>> A:MOD MENU • (descendre à ) >>> 4:BURST CNT • (descendre à ) > 00001 CYC • ENTER • SHIFT MENU • >>> A:MOD MENU • (descendre à ) >>> 5:BURST Rate • (descendre à ) > 50.00 Hz • ENTER • SHIFT + Burst : Pour activer le mode Burst

Analyser le signal avec la FFT avec une échelle temporelle de 1ms/carreau et en échelle linéaire avec 20mV par carreau.

Commentaire sur le résultat obtenu. Relever les niveaux à 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 KHz. Mettez-les dans un tableau.

Enlever le mode Burst. commentaires sur le niveau des raies obtenues ? Etant donné qu’un produit de convolution dans le domaine temporelle est équivalent à une multiplication dans le domaine fréquentielle, et que la transformée de Fourier d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac, expliquez ce résultat.

Produit de convolution entre la fonction f et g

Activer à nouveau le mode Burst, appuyer sur le bouton Arb du GBF, commentaire sur le résultat obtenu.

Enlever maintenant le mode Burst, commentaire sur le résultat obtenu

Conclusion sur ce TP