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PHY 6790: Astronomie PHY 6790: Astronomie galactiquegalactique

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Cours 4: Disque (un peu de théorie Binney & Tremaine – Galactic

Dynamics)Chapitres 2 & 3

Cours 4: Disque (un peu de théorie Binney & Tremaine – Galactic

Dynamics)Chapitres 2 & 3


Disque mince vs disque Disque mince vs disque épaisépais


1. Disque mince (thin disk): composante stellaire principale.

Disque mince jeune avec un [Fe/H] moyen ~ 0.0 et une échelle de hauteur exponentielle hz ~ 100pc (avec ISM: HI H2)

Disque mince vieux avec un [Fe/H] moyen ~ -0.3 et une échelle de hauteur exponentielle hz ~ 300pc

1. Disque mince (thin disk): composante stellaire principale.

Disque mince jeune avec un [Fe/H] moyen ~ 0.0 et une échelle de hauteur exponentielle hz ~ 100pc (avec ISM: HI H2)

Disque mince vieux avec un [Fe/H] moyen ~ -0.3 et une échelle de hauteur exponentielle hz ~ 300pc




1. Disque épais (thick disk): deuxième composante stellaire (Gilmore & Reid 1983):

échelle de hauteur exponentielle hz ~ 500-1400 pc

dispersion des vitesses beaucoup plus grande que celle du disque mince

plus pauvre en métaux que le disque mince -2.2 < [Fe/H] < -0.5

1. Disque épais (thick disk): deuxième composante stellaire (Gilmore & Reid 1983):

échelle de hauteur exponentielle hz ~ 500-1400 pc

dispersion des vitesses beaucoup plus grande que celle du disque mince

plus pauvre en métaux que le disque mince -2.2 < [Fe/H] < -0.5


Disk GalaxyDisk Galaxy

Distribution de brillance de surface en R: (R) = 0e-R

Io, la brillance de surface centrale est (B ~ 21.65 mag arcsec-2):

h (-1) échelle de longueur (scale length): 3-4 kpc pour une grande galaxie comme la MW 1.5 kpc pour une petite galaxie comme le LMC

Distribution de brillance de surface en z:

z0 échelle de hauteur ~ 0.5-1.0 kpc

Distribution de brillance de surface en R: (R) = 0e-R

Io, la brillance de surface centrale est (B ~ 21.65 mag arcsec-2):

h (-1) échelle de longueur (scale length): 3-4 kpc pour une grande galaxie comme la MW 1.5 kpc pour une petite galaxie comme le LMC

Distribution de brillance de surface en z:

z0 échelle de hauteur ~ 0.5-1.0 kpc

Rmax ~ 3-4 h


Kregel et al (2001) trouvent Rmax /hR = 3.6 ± 0.6 pour 34 edge-on galaxies spirales

Origine de Rmax ?


• r-band star counts

NGC 300: deep r-band counts avec Gemini GMOS

(Bland-Hawthorn, KCF et al): Disque exponentiel continue au

moins jusqu’à 10 h sans truncation



Qu’est-ce qui garde un disque en équilibre?

La majorité de l’énergie cinétique est en rotation:Dans la direction radiale, la gravité donne

l’accélération radiale nécessaire pour le mouvement circulaire des étoiles et du gaz

Dans la direction verticale, la gravité est balancée par le gradient de pression vertical provoqué par les mouvements au hasard des étoiles

Pour la barre, on croit qu’elle vient d’une instabilité (m=2-4) d’un disque supporté par la rotation

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M81 M74

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Deux échelles de temps importantes


1) Temps dynamique (période de rotation, crossing time, …) Tdyn ~ 2.4 x 108 pour la Galaxie

2) Temps de relaxation: dans une galaxie, chaque étoile se déplace dans le potentiel , donné par l’équation de Poisson:

La densité (r) est la somme de 106 à 1012 fonctions




Une étoile sur son orbite sent le potentiel smooth des étoiles distantes et le potentiel fluctuant des étoiles proches

Question: est-ce que ces fluctuations ont un effet significatif sur l’orbite de l’étoile ?

Problème classique – évaluer le temps de relaxation TR – ie le temps pour que les rencontres affectent d’une façon significative l’orbite d’une étoile typique




• vvitesse typique d’une étoile

• m: masse• n: densité des étoiles

(B&T 187-190)


Dans des situations galactiques, TR >> age

Ex: dans l’environnement du Soleil:• m = 1• n = 0.1 pc-3

• v = 20 km s-1

Donc, TR = 5 x 1012 années >> age de l’Univers

Ex: dans le centre d’une spirale (MW)• n = 104 pc-3

• v = 200 km s-1

Donc, TR = 5 x 1011 années > age du disque

Mais, dans le centre des amas globulaires où les densités sont beaucoup plus grandes, 107 < TR < 5 x 109 années, de sorte que les rencontres peuvent avoir un effet sur l’évolution dynamique


Conclusion: dans les galaxies, les rencontres entre les étoiles sont négligeables de sorte que l’on peut les considérer comme des systèmes sans collision: est le potentiel smooth de la distribution de

masseOn est justifié d’utiliser l’équation de Boltzmann

sans collisionsNote: dans les spirales, des rencontres entre les étoiles du

disque et les nuages moléculaires géants peuvent avoir un effet dynamique


Orbites stellairesOrbites stellairesOrbites stellairesOrbites stellaires

Supposons un potentiel smooth = (r)1) Potentiel sphérique (ex.: amas globulaires, galaxies

elliptiques)

Équation du mouvement:

Le moment angulaire est constant et l’orbite est dans un plan En coordonnées polaires (r, ):

Si on intègre

où E est l’énergie. Une fonction E, dans l’espace de phase qui est constante le long d’un orbite est appelée une intégrale du mouvement.

(B & T, chapitre 3)



Dans notre convention < 0,

Force = -d/dr (ie = -GM/r pour une masse ponctuelle)



L’orbite est fermée si = 2(m/n) où m, n sont des entiers

Comme ce n’est généralement pas le cas, l’orbite est une rosette qui visite chaque point du plan avec rmin < r < rmax

Même dans ce cas sphérique simple, les équations du mouvement doivent être intégrées numériquement



Deux cas spéciaux:

= 1/22r2 (oscillateur harmonique simple, potentiel d’une sphère de densité uniforme) Les orbites sont des ellipses fermées centrées à l’origine, = période radiale

Le potentiel Keplerien = -GM/r. Les orbites sont des ellipses fermées avec le foyer à l’origine. L’ellipse est donnée par:

où a et e sont reliés à l’énergie E et au moment angulaire L par

= 2 = période radiale



Les galaxies ont des distributions de masse entre ces deux extrèmes (sphère & potentiel Keplerien)

On peut donc s’attendre à une période radiale



2) Potentiels axisymétriques = (R,z) (ex.: disque de galaxie)

• Équations du mouvement:

tel que

• Le mouvement dans le plan (R,z)

où le potentiel effectif est:



• Voici un exemple d’un orbite typique d’un système aplati avec un potentiel logarithmique.

• Les orbites (noirs) ne visitent pas tous les points

• Ceci est typique de potentiels axisymétriques où (E,L) ne sont pas loin d’orbites circulaires



3) Orbites presque circulaires (majorité des étoiles dans les disques de galaxies)

• Équations du mouvement:

• L’orbite circulaire est définie par:

• x = R – Rg tel que l’orbite circulaire est (x,z) = (0,0). Donc, eff à (0,0) est:

.



• On écrit l’expansion:

• Alors et . Ce sont les équations du mouvement pour un oscillateur harmonique simple 2-D. La fréquence est la fréquence épicyclique et z est la fréquence verticale.

• La fréquence circulaire est:

.


Orbites stellairesOrbites stellairesOrbites stellairesOrbites stellaires• Dans les disques de galaxies, (R) est

typiquement ~constant à petits R (solid body) et ensuite décroit à grands R (flat part). Dans la région = constant, = 2. Dans la région Képlérienne, = . Donc, .

• La majorité des spirales n’ont pas de région Képlérienne dans leur courbe de rotation: dans les régions extérieures:

• L’orbite est une rosette ouverte• Valeurs typiques dans l’environnement du

Soleil:• 2 ~ 2.5 x 108 a.• 2 ~ 1.9 x 108 a.• 2z ~ 0.7 x 108 a.



• Dans le plan (x,y), l’orbite est une ellipse avec un rapport d’axes < 1, dans le sens rétrograde. C’est ce qu’on appelle un mouvement épicyclique.

• La dispersion des vitesses est reliée à l’amplitude des épicycles, RR ~ 40 km s-1 et l’amplitude-x rms est de 1.1 kpc et Rg ~ 8.5 kpc.



• Le rapport des composantes de dispersion des vitesses RR pour les étoiles du disque est déterminé par les amplitudes relatives des oscillations en R et en . Les amplitudes relatives sont fixées par la forme de l’épicycle, qui lui est déterminé par les propriétés du potentiel. On a, par la théorie des épicycles:

• Comme observé. Il n’y a pas de restriction sur RR/zz . On observe que RR/zz ~ 2 pour la plupart des étoiles du disque.


Potentiels (BT, chap.2)Potentiels (BT, chap.2)Potentiels (BT, chap.2)Potentiels (BT, chap.2)

• Soit un système stellaire avec une densité de distribution (r):

• Potentiel

• Équation de Poisson:

• Accélération

• Énergie potentielle

• Théorème de Gauss

Intégrale de la force sur la surface fermée = 4G x masse interne


Potentiels (BT, chap.2)Potentiels (BT, chap.2)Potentiels (BT, chap.2)Potentiels (BT, chap.2) Théorèmes de Newton pour des systèmes

sphériques:

1) Une coquille (shell) sphérique n’exerce aucune force gravitationnelle sur les points intérieurs

2) L’accélération exercée par une coquille sphérique sur les points extérieurs = l’accélération exercée par une masse égale située au centre de la coquille(ces théorèmes s’appliquent aussi à des systèmes ellipsoïdaux où la densité est stratifiée sur des ellipsoïdes)



Théorèmes de Newton pour des systèmes sphériques:

3) L’accélération exercée sur un point à l’intérieur d’une distribution de masse sphérique est donc:

C’est un résultat important – il est valable à ~20% près pour une distribution non-sphérique, comme un disque de galaxie spirale.



Deux vitesses utiles dans une distribution sphérique:1) La vitesse circulaire Vc à r:

1) La vitesse d’échappement (escape velocity) Vesc à r:1) Pour un potentiel Képlérien (point mass), l’énergie d’une étoile est

E = 1/2v2 –GM/r. Une étoile qui s’échappe tout juste à l’infinité à E = 0

2) Dans un potentiel (r), l’énergie d’une étoile est E = 1/2v2 + (r)


Exemples de potentielExemples de potentielExemples de potentielExemples de potentiel1) La sphère homogène: densité constante

solid body rotation (vitesse angulaire constante)• La période orbitale pour des orbites circulaires:

• Pour une orbite radiale dans une sphère homogène:

C’est un oscillateur harmonique avec une période (3/G)1/2, indépendant de l’amplitude. Dans des systèmes plus réalistes où (r) diminue avec r, la période orbitale augmente avec le rayon orbital.


Exemples de potentielExemples de potentielExemples de potentielExemples de potentiel

2) Loi de puissance pour une distribution de densité sphérique:

La majorité des spirales ont Vc = cste à grand r, donc ~ 2 et M(r) ~ r. La distribution en loi de puissance = 2 est appelée la sphère isotherme singulière. Le potentiel qui correspond à la sphère = 2 est:


Exemples de potentielExemples de potentielExemples de potentielExemples de potentiel Sphère isotherme singulière:

Cette forme est très utilisée pour la modélisation parce que c’est un potentiel simple et réaliste pour les galaxies spirales (à l’exception de la singularité centrale). On peut se débarrasser de cette singularité en utilisant:

où rc est une longueur appelée rayon de cœur (core radius): il s’agit d’un rayon de transition entre la région du cœur central (r << rc), où la vitesse angulaire (et la densité) est constante et la région extérieure (r >> rc) où la vitesse de rotation est constante.


Exemples de potentielExemples de potentielExemples de potentielExemples de potentiel

3) Plummer model: Le modèle de Plummer a le potentiel d’une softened point mass

où b est une longueur. La distribution de densité qui va avec ce potentiel est:

Le modèle de Plummer est très utilisé. La vitesse circulaire dans un modèle de Plummer a Vc ~ r pour petits r (comme une sphère uniforme) et Vc ~r-1/2 pour grands r (comme Vc pour le cas Képlérien ou la masse ponctuelle)


Potentiels de vrais Potentiels de vrais disquesdisques


Équation de Poisson:

Parce que le système est plat, (échelle de longueur en R) >> (échelle de hauteur en z) donc, près du disque

(Cette expression est exacte si Vc est constant !) La distribution verticale de et la force gravitationnelle verticale d/dr dépend seulement de (R,z) à ce rayon.




• Le problème: on mesure la distribution de lumière I(R) d’un disque de galaxie où I est la brillance de surface en mag arcsec-2 (indépendante de la distance) ou

• Si on suppose que la densité de surface (R) ( ) est proportionnelle à la brillance de surface I(R), on peut mesurer la courbe de rotation attendue Vc(R)

• Comment cela se compare-t-il au Vc(R) observée ? Comme vous savez, assez bien pour R < 3 -1. Pour les grands R, la matière sombre devient importante.




• Exemple: la majorité des spirales ont des distributions de brillance de surface I(R) proche d’une distribution exponentielle (R) = 0 exp(-R/Rd). Alors

• (6)où y = R/2Rd et I0 K0 I1 K1 sont des fonctions de Bessel modifiées (B&T p.78).




• Une exponentielle I(R) n’est pas toujours un fit parfait à la distribution de brillance de surface observée de sorte qu’il est mieux d’intégrer numériquement.

• (R) est observée (en fait I(R) est observée et on suppose que le rapport masse-luminosité est constant en fonction de R)

• Ensuite on intègre (6) numériquement pour obtenir Vc . Ceci nous donne la forme fonctionnelle de Vc(R)

• est un facteur d’échelle qui détermine l’amplitude de Vc(R). est déterminé en ajustant l’amplitude de la courbe calculée à la courbe observée. Typiquement, dans la bande I (~800nm).


Vc

R

Vc observée

Vc calculée pour un disque

Fit de courbes de rotation




• Calculer Vc(R) à partir de (R) fonctionne bien car ça implique intégrer la densité observée. On peut aussi faire l’inverse, i.e. calculer à partir de Vc(R):

ce qui implique différencier les Vc(R) observées (note: il faut faire attention car différencier des données peuvent amplifier les erreurs observationnelles)


FIN FIN

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