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Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva
CURVE e SUPERFICIE 3
Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile
F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009
Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in
architettura Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e
senso palastico della variabilitàbreve panoramica morfologica
dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche
□ Curve di Bezier, B-Spline e NURBSUna generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè
Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula
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Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura
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Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica
Cubiche ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
Coniche(Quadratiche)
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Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve
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Serie morfologicheparabola
catenaria
Catenaria d’ugual
resistenza
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Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)
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sinusoide
lintearia
Cicloide di Sturm
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kappa
Curva di Schoute
a forma di punta di matita
qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole
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Grafico della funzione Inversa del coseno
iperbolico
Curva di Gauss
Cubica di Lamé
Curva di Agnesi
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strofoide
Trisettrice di MacLaurin
Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano
costantemente una alla velocità tripla dell’altra
Folium di Cartesio
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Cubica circolare razionale
cissoide
Cissoide come curva mediana della retta del
circolo
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Cubiche di Chasles
Iperboli cubiche
(P è un polinmio di terzo grado)
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Parabole (cubiche)
divergenti
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Quartica razionale piriforme
.
Curva a “lacrima”
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Lemniscata di Bermouilli
Lemniscata di Gerono
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Quartiche bicircolari razionali
Lumaca di Pascal
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. .
Cardioide Qui costruita come pericicloide
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Quartiche di Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
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Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche e toriche
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Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate di Booth
e Ippopede di Proclo
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Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti
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Quartiche di Plücker
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Trascendenti tipiche: le spirali
Spirale logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
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Spirale d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale iperbolica
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Involuta del circolo
• Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).
• Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).
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Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)
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Curve elastiche e parametriche
• Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice
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curve (di approssimazione) di Bézier
• curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).
• L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).
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• Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.
• Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto
Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.
tragitto di B(t) da P0 a P1.
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• La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo
• È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata
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Curve di approssimazione (B-spline)
• Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).
• la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.
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Non Uniform Rational B-spline
sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali).
• Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero:
• se = 0 gli archi sono semplicemente contigui• se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la
medesima tangente nel punto di saldatura• se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la
medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.
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• I parametri che modellano una NURBS sono dunque:• - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso;• - il numero degli archi o spans che compongono la
curva;• - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura
(knots);• - il grado (ordine) della curva.
• Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.
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La categorizzazione comune delle curve
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Curve di Lamè
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Curve e Superfici di Lamè
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Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse
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