exploitation du produit scalaire dans l.pdf
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GEOMETRIE DANS LESPACE
I - Produit scalaire dans lespace
Lespace E est muni dun repre orthonorm k , j , i , O Dfinition :
Soient A, B et C trois points deux deux distincts de lespace E.
On note ),AB( cos . AC . AB AC . AB AC
Soient u et v deux vecteurs et A, B et C trois points de E tels que AB = u et AC = v . Le produit scalaire
de u et v est dfini comme suit :
Si u=0 ou v 0 alors u v. =0
Si u 0 et v alors u . v AB AC 0 . Proprits :
Pour tous vecteurs
w , v , u et tout rel on a :
u . v v . u
v . u v . u v . u .
w . u v . u w v . u
Deux vecteurs
u et
v sont orthogonaux si et seulement si 0 v . u
Pour tous vecteurs
x
u y
z
et
x'
v y'
z'
dans une base orthonorme i , j , k
.
on a : u.v xx' + yy' + zz'
et 2 2 2u x + y + z
II - Produit vectoriel dans lespace Dfinition :
Soient
u et
v deux vecteurs de lespace orient et A, B et C trois points de E tels que
u AB et
v AC . On appelle produit vectoriel de
u et
v , le vecteur
w , not
v u dfini par :
* Si
u et
v sont colinaires, alors
0 w .
* Si non
w est lunique vecteur tel que
ACAB,sin v u w3/
directe base uneest ) w , v , u (2/
(ABC)plan au normalest w1/
Proprits :
1) Soient
u ,
v et
w trois vecteurs de lespace et un rel. On a :
u v - v u . ; )v u ( )v ( u v )u (
v w u w )v u ( w ,
w v w u w )v u (
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2) Dans une base orthonorme directe (
k , j , i ), si
z
y
x
u et
z'
y '
x'
v , alors
k y'y
x x' j
z' z
x x' - i
z' z
y'y v u .
k y x' - y' x j x'z - z' x - i y' z - z'y
3) Soient
u et
v deux vecteurs non nuls de lespace orient. Si est une mesure de langle (
u ,
v ) alors
on a :
v . u
v u
sin
et
v . u
v . u cos
Thorme
1) Soient A, B et C trois points non aligns de lespace E.
Laire du triangle ABC est : A= AC AB 2
1 .
2) La distance dun point A une droite est : d(A, )=
u
u AB
AH
3) Soient ABCDABCD un paralllpipde et V sont volume.
* On a : V = 'AA.ADAB ) AA' , AD , AB(det
.
* Soient ABCD un ttradre, v sont volume.
On a : v = BA).BDBC(6
1)BA,BD,BCdet(
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III - Droites et plans de lespace
Deux droites D et D de lespace sont orthogonales, lorsque leurs
parallles menes par un mme point sont perpendiculaires.
Une droite D est perpendiculaire un plan P, et on note
D P, lorsquelle est orthogonale toute droite de ce plan.
Point mthode :
Pour montrer quune droite est perpendiculaire un plan, il
suffit de montrer quelle est orthogonale deux droites scantes
de ce plan.
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1) Le plan passant par A et de vecteur normal
N , est lensemble
des points M de E tels que 0 N . AM
2) Dans lespace E est rapport un repre orthonorm le plan P dquation cartsienne : a x + b y + c z + d = 0 avec :
(a,b,c) (0,0,0) , a pour vecteur normal
c
b
a
N
3) Soient le plan P : a x + b y + c z + d = 0, AAA z , y , xA un point de lespace et H le projet orthogonal de A sur P
La distance du point A au plan P est AH = d (A, P) et tel que :
AH = c b a
d z c y b xa
222
AAA
4) Soient, dans lespace E, deux plans P : a x + b y + c z + d = 0 et P : a x + b y + c z + d = 0 de
vecteurs normaux respectifs
c
b
a
N et
c'
b'
a'
N' . On a :
P // P N
et N'
sont colinaires P P N
N'
D (A,
u ) // P u
N
D (A,
u ) P u
et N
sont colinaires
D (A,
u ) D (B,
v ) u
v
D (A,
u ) // D (B,
v ) u
et v
sont colinaires
IV La Sphre
Equation cartsienne dune sphre
Lespace E est rapport un repre orthonorm. Soient I (a, b, c) un point de lespace et R un rel positif. Une quation cartsienne de la sphre S (I, R) de centre I et de rayon R est : (x - a) + (y - b) + (z - c) = R Positions relatives dune sphre et dun plan
Soit S une sphre de centre I et de rayon R et P un plan de lespace E. On dsigne par H le projet orthogonal du point I sur le plan P et on pose d = IH .
* Si d > R alors PS = et on dit que P et S sont disjoints.
* Si d = R alors PS = H et on dit que P et S sont tangents en H.
* Si d < R alors PS est le cercle C du plan P de centre H et de rayon r R d 2 2
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1) Soient I un point de lespace E et R un rel positif .On appelle sphre de centre I et de rayon R, lensemble des points M de lespace tels que IM=R.
On la note S(I,R).
2) Lensemble des points M de lespace E tels que MA . MB = 0 est la sphre de diamtre AB .