E X E R C I C E S C H A P I T R E 1 8

EXERCICES SUR LES FAMILLES en DIMENSION FINIE Exercice 1. (familles libres,familles génératrices,bases)

1°) Dans R3 que peut-on dire des familles suivantes: a) ((1,0,0),(0,1,0)) b) ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1)) c) ((1,1,1),(1,0,1),(1,2,1)) d) ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)) 2°) Dans R2 donner un exemple de : a) famille génératrice non libre b) famille libre non génératrice c) famille non libre et non génératrice.

EXERCICES SUR LES APPLICATIONS LINEAIRES en DIMENSION FINIE Exercice 2.

Soit E l'ensemble des applications fa,b,c de R dans R définies par : fa,b,c(x) = a.ex.cos(2.x) + b.ex.sin(2.x) + c.e2x . 1°) Montrer que E est un R-e.v. et donner une base de E. 2°) Montrer que ϕ définie par : ∀ f ∈ E, ϕ(f) = f ' est un automorphisme de E. (un automorphisme de E est une application linéaire bijective de E dans E.)

Exercice 3 (Ker(f) – Im(f)) Soit B = ( , , )

! ! !e e e1 2 3 la base canonique de R3 et f ∈ L(R3 ) définie par :

f e f e f e( ) ( , , ), ( ) ( , , ), ( ) ( , , )! ! !1 2 3

5

6

1

3

1

2

1

6

2

3

1

2

1

6

1

3

1

2= ! ! = ! ! = ! !

1°) Soit !u = (x,y,z) ∈ R3 .Déterminer f( !u ).(décomposer !u dans la base canonique) 2°) Déterminer Kerf , Imf et des bases de ces sous-espaces

Exercice 3bis (Ker(f) – Im(f)) Soit f ∈ L(R3) définie par : f(x,y,z) = (–x–2y–4z , x + z , x + 2y +4z). 1°) Déterminer des bases de Ker(f) et de Im(f). 2°) Ces deux sous-espaces sont-ils supplémentaires?

Exercice 4 Soit f ∈ L(R3 ) définie par : f(x,y,z) =(X,Y,Z) = (x+a.z , (a −1).x + (b − 1).y , b.z ) 1°) Déterminer (f f)(x,y,z) = f(X,Y,Z). 2°) Déterminer a et b pour que f soit un projecteur et , avec les valeurs trouvées pour a et b ,déterminer Kerf et Imf.(on déterminera des bases de Kerf et Imf )

Exercice 5 (endomorphismes nilpotents,théorème du rang) Soit E un K-e.v. et f ∈ L(E) t.q.: ∃ p ∈ N-{0,1} , f p-1 ≠ θ et f p = θ 1°) Montrer, en revoyant la définition de f = g puis de f ≠ g, qu'il existe !u ∈ E tel que f p-1( u! ) ≠ o! . 2°) a) Montrer que: ∀ r ≥ p, f r = θ. 2°) b) Montrer que, pour u! vérifiant f p-1( u! ) ≠ o! , F = ( , ( ), ( ),...., ( ))

! ! ! !u f u f u f up2 1! est libre.

(en égalant à o! une combinaison linéaire de vecteurs de F, on commencera par "composer" par f p-1…) 3°) Si dimE = p, montrer que ( , ( ), ( ),...., ( ))

! ! ! !u f u f u f up2 1! est une base de E (penser au théorème de

caractérisation des bases) et déterminer la matrice de f dans cette base. 4°) Si dim(E) = p , déterminer la dimension et une base de Kerf et Imf

(on utilisera la base du 2°) et les méthodes classiques de détermination de Kerf et Imf. Kerf et Imf sont-ils supplémentaires? (observer les bases trouvées de Ker(f) et Im(f)) 5°) Application :Soit g : R3 → R3 t.q. g(x,y,z) = (y,z,0) Déterminer des bases de Kerg et Img a) sans utiliser 1°) et 2°) b) en utilisant 1°) et 2°) Représenter géométriquement Kerg et Img.

EXERCICES SUR LES MATRICES D 'APPLICATIONS LINEAIRES Exercice 6. (Ker(f) – Im(f))

Soit f ∈ L(R3) tel que [f]Bc =

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

1

11

111

bab

ba

aba

avec a ∈ R* et b ∈ R*. Déterminer Ker(f) puis Im(f).

Exercice 7. (Ker(U) – Im(U)) Soit E le R-e.v. des fonctions polynomes de degré inférieur ou égal à 3. On considère les familles (f0,f1,f2,f3) et (g0,g1,g2,g3) définies par : f0(x) = 1 , g0 (x) = 1 et ∀ i ∈ {1,2,3} ,∀ x ∈ R , fi(x) = xi et gi(x) = (x-1)i . On admettra que (f0,f1,f2,f3) est une base de E. 1°) Montrer que (g0,g1,g2,g3) est une base de E.(penser au théorème de caractérisation des bases) 2°) Soit U l'application de E dans E définie par : ∀ f ∈ E , [U(f)](x) = f(x) + (1−x).f '(x) Déterminer la matrice de U dans la base (f0,f1,f2,f3),puis la matrice de U dans la base (g0,g1,g2,g3) 3°)Déterminer ImU et KerU. Vérifier si l'on a E = KerU ⊕ ImU.

Exercice 8.( introduction aux changements de bases) Soit B = (e1 , e2 , e3) la base canonique de R3. Soit !n = (a,b,c) tel que a2 + b2 + c2 = 1. Comme (a,b,c) ≠ (0,0,0) , on suppose par exemple a ≠ 0.

Soit f ∈ L (R3 )définie par : M = MatB(f)= a b a c a

a b b c b

a c b c c

2

2

2

. .

. .

. .

!

"

###

$

%

&&&

1°) Calculer f(e1) , f(e2 ), f(e3) à l’aide de !n . En déduire une base de Imf. 2°) Déterminer une base de Kerf.

3°) Déterminer ,avec 1°) et 2°), une base B1 = ( , , )! ! !! ! !1 2 3 telle que : N = Mat

B1

(f ) = 1 0 0

0 0 0

0 0 0

!

"

###

$

%

&&&

Indication : A l'aide de la matrice N , déterminer les conditions que doivent vérifier les vecteurs de B1. Utiliser alors 1°) et 2°) pour conclure. 4°) Montrer que f est un projecteur (utiliser le 3°)).

Exercice 9

Soit f ∈ L(R4) définie par : MBC

(f) =

!!!!

"

#

$$$$

%

&

'

'

'''

2201

3111

1310

3111

Bases de Ker(f) et Im(f)? A-t-on E = Ker(f) ⊕ Im(f)

Exercice 10.(matrices d'un projecteur dans différentes bases) On considère,dans R3, P = {(x,y,z)\ x −y = 0} et D = {(x,y,z)\ x−z = 0 et y = 0} 1°) Déterminer une base B1 de P ,une base B2 de D et vérifier que R3 = P ⊕ D.(utiliser les dimensions) 2°) Soit

!u ∈R3 :

!u =

!v +

!w avec

!v ∈ P et

!w∈D

On rappelle que le projecteur sur P de direction D est l'application p définie par : !u→ p(

!u ) =

!v

Déterminer la matrice du projecteur p sur P de direction D dans la base canonique de R3. (Poser

!u =(x,y,z) et calculer les coordonnées de

!v en fonction de x,y et z et déterminer enfin

p(

!e1) , p(

!e2

) puis p(

!e3) puis la matrice de p)

3°) Déterminer la matrice du la projecteur p dans l'une des bases obtenues en réunissant les vecteurs de B1 et les vecteurs de B2 .

DETERMINATION DU RANG Exercice 11.

Soit E3 un R-e.v. de dim.3 et B = (e1,e2,e3) une base de E3.

Soit f ∈ L(E3 ) définie par : Mat(f,B) =1 1 1

1 1

1 1

m m

m

!

"

#

$$$

%

&

'''

1°) Déterminer, selon les valeurs de m, rg(f) et une base de Imf. (revoir la méthode de détermination du rang) 2°) Déterminer , selon les valeurs de m , Kerf et une base de Kerf (quand Kerf ≠ { !o })

EXERCICES DIVERS SUR LE CHAPITRE 18 Exercice 13

Soit E un espace vectoriel réel. On note θ l'endomorphisme nul et e l'endomorphisme identité de E. Pour tout g de L (E) , on note g0 = e , g1 = g et pour n ≥ 2 , gn = gn-1 o g. Soit p et q deux éléments non nuls de L(E) tels que : p + q = e. Soit a et b deux réels distincts et non nuls Soit f ∈ L (E) tel que : f = a.p + b.q et f2 = a2.p + b2.q 1°) a) Montrer que : (1) (f – a.e) o (f – b.e) = (f – b.e) o (f – a.e) = θ (2) f – a.e = (b – a).q. et f – b.e = (a – b).p Pour (1), on développera et on utilisera les hypothèses. 1°) b) En déduire : p o q = q o p = θ. 1°) c) Montrer que : p o p = p et q o q = q. 2°) Montrer que : ∀ n ∈ N , f n = an.p + bn.q. On pourra faire une démo par récurrence ou utiliser la formule du binôme.

3°) a) Calculer :f o ( 1 1

apbq. .+ )

3°) b) Montrer que f est bijective et exprimer f -1 à l'aide de p , q , a et b. On rappelle que : f bijective ssi ∃ g ∈ A(E,E,), f o g = g o f = idE.

(matrice d'une app.lin.,image,noyau)

Exercice14 Soit E un R-e.v. de dimension 3. Soit B = ( i

!

, j!

, k!

) une base de E. Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est :

M = 0 1 0

4 4 0

2 1 2

!

!

"

#

$$$

%

&

'''

1°) a) Soit u!

= x. i!

+y. j!

+z. k!

). Déterminer f(u!

) dans la base ( i!

, j!

, k!

). b) On pose F = { u

! ∈ E \ f(u

!) = 2.u

! }

Déterminer une base de F. On posera

!v = i

!

+2. j!

et on fera intervenir v!

dans la base de F. 2°) a) Démontrer que B' = ( i

!

, v!

, k!

) est une base de E. b) Déterminer la matrice N de f dans la base B'. 3°) Montrer par récurrence que : f

n( i!

) = 2n.( i!

– n.v!

– n. k!

) ; f n( v!

) = 2n. v!

; f n( k

!

) = 2n. k!

. 4°) Construire les matrices de f

n dans les bases B' puis B.

Exercice 15. ( introduction aux changements de bases) Soit BC = (

1e!

,2e!

,3e!

) la base canonique de R3 et id l'application identité de R3. id : (x,y,z)→ id(x,y,z) = (x,y,z).

Soit f ∈ L(R3) défini par [f]Bc = !!!

"

#

$$$

%

&

' 2/32/12/1

110

2/12/12/1

1°) Soit u!

=(x,y,z) ∈ R3.Déterminer f(u!

). 2°) a) On pose h = f − id.Déterminer h(u

!).

2°) b) Déterminer Ker(h), Im(h) et des bases de ces sous-espaces et montrer que Ker(h) ⊂ Im(h).

3°) On cherche à déterminer une base B ' = ( )321 ,, !!!!!!

telle que [f ]B ' = !!!

"

#

$$$

%

&

100

110

011

.

3°) a) Quelles égalités doivent vérifier 321 ,, !!!!!!

?

3°) b) Montrer que nécessairement 1

!! ∈ Ker(h) et choisir alors

1!! .

3°) c) On pose 2

!! = (x2,y2,z2).Déterminer un système vérifié par x2 , y2 et z2 en utilisant l'une des égalités

du a) puis choisir 2

!! après avoir résolu le système.

(il ya une infinité de choix possibles : on pourra choisir par exemple y2 = 0.) 3°) d) Déterminer

3!! par un procédé analogue et conclure pour B '.

4°) a) Montrer, en utilisant B' ', que h3 = θ (utiliser 3°) a)) 4°) b) En déduire que f 3 − 3.f 2 + 3.f = id puis Montrer que f est bijective et déterminer f

–1.

Exer cice 16. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) t.q. f ≠ θ. 1°) Si f

2 = θ , montrer que Imf ⊂ Kerf et en déduire les dimensions de Kerf et Imf. (utiliser le théorème du rang )

2°) Montrer que : [f

2 = θ] ⇔ [ il existe une base B = (1e!

,2e!

,3e!

) de E telle que : f(1e!

) = 2e!

, f( 2e!

) = !o ,f(3e!

) = !o .] (Commencer par ⇐. Pour ⇒ trouver des conditions nécessaires pour

2e!

et 3e!

à l'aide de Kerf et Imf et utiliser le 1°) )

Exercice17 (caractérisation des isomorphismes) Soit Ea,b = {(un) ∈ A(N,R) , ∀ n ∈ N , un+2 = a.un+1 + b.un } a et b vérifiant a2 + 4b > 0. 1°) Montrer que ϕ : Ea,b → R2 définie par : ϕ((un)) = (u0,u1) est un isomorphisme de E sur R2. (on montrera que ϕ est linéaire et bijectif ) En déduire la dimension de Ea,b . 2°) r1 et r2 étant les deux solutions de r2 = a.r + b, montrer que (r1

n) et (r2n) sont éléments de E

et que ((r1n),(r2

n)) est une base de Ea,b.(utiliser le théorème de caractérisation des bases) En déduire que :∀(un) ∈ Ea,b , ∃!(α,ß) ∈ R2 t.q.:(un) = α.(r1

n)+ß.(r2n)

3°) Si Δ = a2 + 4.b = 0 , conclure pour Ea,b à l'aide des suites (r1n ) et (n.r1

n)

Exercice 18. Soit E de dimension n et f ∈ L (E) t.q. Kerf = Imf.

1°) Montrer que n est pair (n = 2.p) et qu' il existe une base B de E t.q. : MatB(f) = O I

O O

p!

"#

$

%&

où Ip est la matrice identité d'ordre p : Ip =

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

1000

0

00

0010

0001

!

""##

#""

!

…

(avec p lignes et p colonnes).

(Choisir les p premiers vecteurs de B à l'aide des p premières colonnes de MatB(f) puis les p suivants et vérifier que la famille choisie est une base ) 2°) Réciproquement , si n est pair , déterminer f t.q. : Kerf = Imf. (On choisira une base quelconque de E puis on définira f par les images des vecteurs de cette base )

EXERCICES POUR LA PSI. Exercice19

Soit E l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels. On considère les applications f et g définies par : ∀ P ∈ E , f(P) = P' et g(P)(x) = x.P(x). 1°) Vérifier que f et g sont linéaires. 2°) Etudier si f et g sont injectives, surjectives. 3°) Que peut-on en déduire pour la dimension de E.

Exercice 20. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) t.q. f

2 ≠ θ et f 3 = θ.

1°) Soit !u tel que f

2( !u ) ≠ !o .Montrer que B = ( !u , f( !u ) , f2( !u )) est une base de E. 2°) Déterminer des bases et les dimensions de Imf, Kerf, Imf

2,Kerf 2 (utiliser B)

3°) Soit G = {g ∈ L(E) , g o f = f o g } a) Montrer que G est un sous-e.v. de L(E). b) Déterminer la dimension de G (montrer que , si

!u est le vecteur défini au 1°) , on peut écrire : g( !u )= α. !u + β.f( !u ) + γ.f2 ( !u )

puis montrer que g ∈ G ssi g = α.Id + β.f + γ.f 2 en utilisant la base B du 1°) et en utilisant le fait que deux applications linéaires h et k sont égales ssi les images par k et h des vecteurs d'une base sont respectivement égaux deux à deux )

Exercice21 Soit u ∈ L(E,F) et v ∈ L(F,G).( E,F,G de dimension finie ) 1°) Montrer que : rg(v o u) ≤ inf(rg(u),rg(v)). (On note w = v/Imu la restriction de v à Im(u), càd l'application de Im(u) dans G : x! → w( x! )= v( x! ): vérifier que Im(w) = Im(v o u) et appliquer le théorème du rang à w) 2°) Montrer que : si u bijectif , alors rg(v o u) = rg(v) si v bijectif , alors rg(v o u) = rg(u)

Exercice22 Soient E et F deux K-espaces vectoriels,E étant de dimension finie. 1°) Soient f et g ∈L(E,F). Montrer que : rg(f+g) ≤ rg(f) + rg(g). (vérifier Im(f+g) ⊂ Im(f) + Im(g) et conclure ave le théorème de Grassmann) 2°) On suppose toujours E de dimension finie,f ∈L(E) et g ∈L(E) tels que f o g = θ et f+g ∈ GL(E). Montrer que rg(f) + rg(g) = dim(E). (A l'aide de f o g = θ , montrer que Img ⊂ Kerf puis utiliser les dimensions)