exercices sur les espaces vectoriels normés

5/19/2018 Exercices sur les espaces vectoriels norms

1/3

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

TD 02 Espaces vectoriels norms

Sauf mention contraire K = R ou C.Eun K-espace vectoriel norm etd la distance associe la norme sur E.

Exercice 1: Soientx0, . . . , xn C deux deux distincts. Montrer queP1 = supk0,n

|P(xk)|,P2 =

k0,n|P(xk)|et

P

3= sup

k0,n |P(k)(0)

|sont des normes sur C

n[X].

Exercice 2: SoientEun K-espace vectoriel de dimension finien N et B= (e1, . . . , en)une base deE.

Pour tout1p et toutx =n

k=1

xkekE, on pose xp= p n

k=1

|xk|p =

nk=1

|xk|p 1

p

.

1: On suppose quen2. Montrer que si0< p 1, x, yE, x + yp xp+ yp. En dduire que pest une norme surE.5: Montrer que xE, lim

p+xp=x.

Exercice 3: (Normes matricielles)Soientm, n, pN.1: Montrer que A Mmn(K), B Mnp(K), r {1, 2, }, ABr ArBr.2: Montrer que A Mmn(K), r {1, }, Ar = sup

XMn1(K)\{0}

AXrXr . Ce rsultat est-il vrai pour r = 2 ?

Exercice 4: Montrer queN(x, y) = sup(|x + y|, |x 2y|)est une norme sur R2 et tracer sa boule unit ferme.Exercice 5: Montrer queN(x, y) = sup

tR

|x + ty|1 + t + t2

est une norme sur R2 et tracer sa boule unit ferme.

Exercice 6: Soientx, yE,r, r > 0 etK.1: Montrer queB(x, r) = B(x, ||r), B(x, r) =x + rB(0, 1)et B(x + y, r+ r) = B(x, r) + B(y, r).2: Montrer que Bf(x, r)Bf(y, r) x y r r.3: En dduire que B(x, r) = B(y, r) Bf(x, r) = Bf(y, r) x= y et r = r.

Exercice 7: Soitn

N. Montrer queinf

{1

0

|P(t)

|dt/P

Kn[X] unitaire

}> 0.

Exercice 8: SoitE= C1([0, 1]).1: Montrer que N1(f) =f+fest une norme sur Equi nest pas quivalente (considrer la suite fn(x) =xn).2: Montrer queN2(f) =|f| + |f| est une norme sur C1([0, 1])quivalente la normeN1.3: Montrer queN3(f) =|f(0)| + f est une norme sur C1([0, 1])quivalente la norme N1.4: Montrer queN4(f) =f+ f1 est une norme surEqui nest pas quivalente N1 (considrer la suitefn(x) =xn).5: Montrer queN4(f)etN ne sont pas quivalentes (considrer la suite fn(x) = cos(nx)).

Exercice 9: SoitEun K-espace vectoriel norm et(xn)EN.1: Montrer que si(xn)nest pas borne alors il existe une suite(x(n))extraite de(xn)telle que x(n) +.2: SoitlE. Montrer que sixnl alors >0, (x(n))extraite de(xn)tels que n N, x(n) l .

Exercice 10: Montrer quelEest une valeur dadhrence de(un)ssi >0, N N, nN, un l .Exercice 11: Montrer que tout ouvert deEest union de boules ouvertes deE.Exercice 12: SoientFun ferm deEet xE. Montrer que : xE, d(x, F) = 0 xF.Exercice 13: Soit

n N

. Montrer que

SLn(K

), les ensembles des matrices nilpotentes, des matrices de projection et des

matrices symtriques sont ferms dans Mn(K).Exercice 14: SoientA, Bdeux ouverts deEet K. Montrer queA + B et Asont deux ouverts deE.Exercice 15: SoientA, BE.1: On suppose qued(A, B)> 0. Montrer quil existe deux ouvertsUetV deEtels queAU,BV etU V =.2: On suppose que A, Bferms disjoints. Montrer quil existe deux ouverts Uet V de Etels que AU, BV et UV =.

Exercice 16: SoitEun R-espace vecoriel norm etx, yE. Montrer que(x, y)est li si et seulement si yx + xy= 0ouyx xy= 0. En dduire que lensemble {(x, y)E2/(x, y)libre} est ouvert dansE2 muni de la loi produit.

Exercice 17: Soientn N et p {1, . . . , n}. Montrer que {A Mn(K)/rg(A)> p} est un ouvert de Mn(K).Exercice 18: Soient A, B E. Montrer que A B = A B, A B A B, AB

A B et

A B = AB,

A \ B= A \ B,

A=

Aet

A= A. Donner des exemples o les inclusions A B A B, A B

A Bsont strictes.

Exercice 19: Dterminer ladhrence deA ={(x, y)

R2

/xy >1}.

Exercice 20: SoitFun sous-espace vectoriel deE.1: Montrer que Fest un sous-espace vectoriel deE.2: En dduire quun hyperplan deEest soit ferm soit dense dansE.

www.mathlaayoune.webs.com 1/3 [email protected]


2/3


3: Montrer que soit F = soitF =E. Quels sont les sous-espaces ouverts de E? Que dire deF?Exercice 21: SoitAEconvexe. Montrer que Aet Asont convexes.Exercice 22: Soit(xn)EN une suite convergente de limitel et on poseA={xn/nN}.1: Montrer queA {l} A.2: Soitx Aet on suppose quex /A. Montrer que >0, A ={n N/xn x< } est non vide infini.3: En dduire quexest une valeur dadhrence de la suite(xn)et que {xn/nN}={xn/nN} {l}.

Exercice 23: SoitnN. Montrer queGLn(K)est ouvert dense dans

Mn(K).

Exercice 24: Montrer queF ={f C([0, 1])/f(0) = 0}est un sous-espace vectoriel dense dansE= C([0, 1])mnui de lanorme 1.

Exercice 25: Dterminer les fonctionsf : R R continues et priodiques de priodes 1 et 2.Exercice 26: SoientE, Fdeux K-espaces vectoriels norms etf :EF.1: Montrer quefest continue surEssi AE, f(A)f(A).2: En dduire que sifest continue surEet Adense dansEalorsf(A)est dense dansf(E).3: Montrer que {sin n/n Z} et {cos n/nN} sont dense dans[1, 1].

Exercice 27: Montrer que les applications f((un)) = (un+1 un) et g((un)) = u0+ + unn + 1

sont continues sur B(KN)

muni de la norme (un) = supn

|un|.Exercice 28: Soitz K. Etudier, pour chacune des normes et 1, la continuit de lapplicationf(P) =P(z)sur K[X].Exercice 29: Etudier, pour chacune des normes

et

1, la continuit de lapplicationf(P) = (X+ 1)P sur K[X].

Exercice 30: Montrer que les applicationu(f) =f(0)etv(f) = 10 f(t)t dtne sont pas continues sur (C([0, 1]), 1).Exercice 31: Une caractrisation des espaces vectoriels norms de dimensions finies :

1: Montrer que sur un K-espace vectoriel norm de dimension infinie, il existe toujours des formes linaires non continues.

2: On suppose que toutes les normes de(E, )sont quivalentes et soit fune forme linaire surE.Montrer queN :x |f(x)| + x est une norme surE. En dduireEest de dimension finie.

Exercice 32: Soient E = C([0, 1],R) muni de la norme1. Montrer que lapplication u dfinie parf E, x [0, 1], u(f)(x) =

x0

f(t)dtest continue surE.

Exercice 33: Norme subordonnes dune application linaire continue :SoientE, F deux K-espaces vectoriels norms.

1: Montrer que u= supxE\{0}

u(x)x est une norme sur Lc(E, F).

2: Montrer que

u

Lc(E, F),

x

E,

u(x)

u

x

et que si

k

0 tel que

x

E,

u(x)

k

x

alors

u

k.

3: SoitG un K-espace vectoriel norm. Montrer que uLc(E, F), vLc(F, G), vu vu.4: Montrer que lapplicationu(A) = tr(A)est continue surMn(K)et calculer sa norme pour chacune des normes, 1et 2.5: Soit C([0, 1]). Montrer que lapplicationv(f) = 1

0 fest continue sur C([0, 1])muni de la norme1 et calculer sa

norme(Considrer la suitefn= nn||+1 ).

Exercice 34: Soit(An)une suite de Mpq(K). Montrer que(An)converge ssi X Kn, AnXconverge.Exercice 35: Soitf :EF tel que x, yE, f(x + y) =f(x) + f(y)etf(B(0, 1))borne surF.1: Montrer que rQ, xE, f(rx) =rf(x).2: Montrer quefest continue en 0 et que M >0, xE, f(x) Mx.3: Montrer quefest continue et linaire sur E.

Exercice 36: Caractrisation des formes linaires continues par le noyau : SoitE unK-espace vectoriel norm et f uneforme linaire non nulle surE. On veut montrer quefest continue surEssi ker fest ferm dansE.

1: Montrer que sifest continue surEalorsker fest ferm dansE.2: Rciproquement, on suppose que ker fest ferm dansE. Montrer que aEtel quef(a) = 1etker f+ Kx= E.3: Montrer que r >0 tel que B(0, r) f1({1}) =.4: Montrer que xB(0, r), |f(x)|< 1. En dduire quefest continue surE.5: Montrer que sifnest pas continue surEalorsker fest dense dansE.

Exercice 37: SoientF un K-espace vectoriel norm etf L(E, F)avec(xn)EN, xn 0(f(xn)) borne. Montrerquefest continue.

Exercice 38: Soit une norme sur Mn(R). Montrer que k >0, M, N Mn(R), M N kM N.Exercice 39: SoientC, CEcompacts etF Eferm.1: Montrer queC+ C est compact.2: Montrer queC+ Fest ferm. Donner un contre-exemple lorsqueCest suppos seulement ferms.3: On suppose queCet C sont disjoints. Montrer qued(C, C)> 0.

Exercice 40: On suppose quedim E


3/3


Exercice 41: SoientE, Fdeux K-espaces vectoriels norms avecEde dimension finie etf :EFcontinue. Montrer que sif admet une limite infinie linfini alorsfatteint la borne infrieur de sa norme.

Exercice 42: SoientE, F deux K-espaces vectoriels norms avecEde dimension finie etf :EFcontinue.Montrer que sifadmet une limite linfini alors fest uniformment continue.

Exercice 43: SoientC, CEcompacts. Montrer que lunion des segments joignants Cet Cest compact.Exercice 44: On suppose queEest de dimension finie et soient Fun ferm deEet r >0. Montrer que

xFB(x, r)est ferm

dansE.Exercice 45: SoientEet F deux K-espaces vectoriels norms,AEcompact etf :AF. Montrer quefest continue ssison graphe est une partie compacte deE F.

Exercice 46: Une caractrisation topologique de la dimension finie : SoitEun K-espace vectoriel norm.1: SoitFun sous-espace deEde dimension finie distinct deE. Montrer que aE, bF, d(a, F) =a b.2: SoitFun sous-espace deEde dimension finie. Montrer que xB(0, 1), d(x, F) = 1.3: On suppose queEest de dimension infinie. Montrer que (xn)B(0, 1)N, m, nN, m=n xn xm 1.4: En dduire queEest de dimension finie si et seulement si B(0, 1)est compacte (Thorme de Riez).

Exercice 47: Soit(xn)EN une suite convergente de limitel,A ={xn/nN} {l} et(an)AN.1: Montrer que si xA tel que {n N/an= x} soit infini alors on peut extraire de (an)une suite convergente versx.2: On suppose que xA, {n N/an= x} est fini. Soit >0 etN N tel que nN, xn l .Montrer que

M

N,

n

M, an /

{x0, . . . , xN

1

}. En dduire quean

l.

3: Dduire que {xn/nN} {l} est compact.Exercice 48: En considrant les suites de polynmes Pn=

nk=1

Xk

k et Qn =

nk=0

Xk

k!, montrer que(C[X], )et(C[X], 1)

ne sont pas des Banachs.

Exercice 49: Eun Banach.(Fn) une suite dcroissante de ferms non vides telle que Fn 0, montrer quenN

Fn est un

singleton.

Exercice 50: On suppose queEest un Banach. Montrer que lespace B(E)des suites bornes sur E muni de la normeest un Banach.

Exercice 51: Montrer que C([0, 1])muni de la norme est un Banach.Exercice 52: On considreE= C([1, 1])muni de la norme 1.

1: Montrer que si la suite de fonctions(fn) dfinie sur[1, 1] parn N, fn(x) = 0 si

1

x

0

nx si0x 1n

1 si 1n x1

converge dans

(E, 1)alors sa limitefvrifie x[1, 1], f(x) = 0 six0 etf(x) = 1etx >0.2: En dduire que(E, 1)nest pas un Banach.

Exercice 53: Montrer que Cest connexe par arcs. En dduire que R et C ne sont pas homomorphes.Exercice 54: Soientf, g: E R continues telles quee2if =e2ig . Montrer que Z, g= f+ .Exercice 55: SoitEun K-espace vectoriel norm.1: SoitAE la fois ouverte et ferme. Montrer que la fonction caractristique

AdeAest continue.

2: En dduire queEet sont les seules parties deE la fois ouvertes et fermes.3: Montrer queEet sont les seules parties deEde frontires vides.

Exercice 56: Soit n N. On dit que la matrice A Mn(R) est stochastique si les coefficients de A sont positifs et si

i {1, . . . , n},n

j=1aij = 1.

Montrer que lensemble Sdes matrices stochastiques est compact et connexe par arcs.Exercice 57: SoitAE. Montrer que tout chemin joignant lintrieur de A lextrieur deArencontre la frontire deA.Exercice 58: On suppose que2dim E+. SoientaEet r0.1: Montrer que S(0, 1)est connexe par arcs (Indication : Pour x, y S(0, 1), distinguer les casx =yet x=y).2: En dduire que le complmentaire de la boule Bf(a, r)est connexe par arcs (Considrer lapplication :

f : ER E(x, r) a + rx o lespaceER est muni de la norme produit).

Exercice 59: SoitEun R-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que le complmentaire dun hyperplan de Enest pasconnexe par arcs.

www.mathlaayoune.webs.com 3/3 [email protected]

exercices sur les espaces vectoriels normés

Documents