exercices de phénomènes de transfert de chaleur laboratoire de

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés

1

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur Laboratoire de Technologie des Poudres

Prof H.Hofmann

Corrigés (1- 21, Chaleur) Exercice 1

2300 /q kW m=

max 50.

, ?

e cmk constk e

=

==

avec équ. 3.14 et 3.15

e

x

T 1

T 2

P r o b l è m e

T

x

T 1

T 2

e0

T = T 1 - ( T 1 - T 2 ) x / e

S o l u t i o n

5m2 k ?

T1= 700°CT2= 20°C

e

( )

[ ]

2 11 2 1

3

2

max

(T -T ) et T(x) = x + Te

q = 300 10 680

441, 2

441, 2 0, 5 220 /On cherche donc un matériau ayant une conductivitéthermique k 220 [W/mK]Cu, Al, Zn pas possible

P kq T TS e

ke

k We m Ck W m C

= = −

⋅ = ⋅

⎡ ⎤= ⎢ ⎥°⎣ ⎦= ⋅ = °

≤

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

350

350

350

(voir Fig 7.9)Acier doux k 33 / ; 7,5

Acier inox. k 20 / ; 4, 5

Magnésie k 3 / ; 0, 68

C

C

C

W m C e cm

W m C e cm

W m C e cm

°

°

°

= ° =

= ° =

≈ ° =


2

Exercice 2

( )

( )[ ][ ]

( )

( )

( )

( ) ( )

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2 1

1 21

0 1

0 12 1

210

2 1

2 21 10 2 2 0 1 1

2 1

2 210 2 1 2 1

2 1

1 (équ.3.34)

avec k

1

12

12 2

12

x

T

moyenT

Tm T

Tm T

T

mT

T

mT

m

m

m

k k T dTT T

k T TT x T x

ek

T k k T

k k k T dTT T

kk k T TT T

k kk k T T k T TT T

kk k T T T TT T

k k

=−

−= − ⋅ ⋅

= + ⋅

= +−

⎡ ⎤= +⎢ ⎥− ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥− ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥− ⎣ ⎦

=

∫

∫

10 2 1( )

2k T T+ +

autre interprétation (plus « mathématique ») : de k(T) = k0 + k1T on tire le « vrai » k0 (le « b » de y = ax + b) k0 = k(T) – k1T = 0.55 – 0.025x200 = -4.45 pour se ramener à un graphique « simple » il faut ramener l’origine à zéro : on a donc : k(T) = -4.45+0.025 T et on trouve pour km= -4.45+(0.025/2)1200=10.55 (avant on avait k=k0+k1(T-200))

( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

2001000

( )1000

0,0250,55 1000 200 200 200 10,55 [ ]2

0,55 0,0125 1000 200 ( ) 200

10,55 (1000 200)( ) 100010,55 0,0125 1000 200 ( ) 200

10,55 80010000,55 0,0125 ( ) 200 800

m

T xm

Wkm C

k T x

T x xT x

xT x

= + − + − =°

= + − + −

−= − ⋅ =

+ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⋅

= − ⋅+ − +⎡ ⎤⎣ ⎦

k

T200 1000

k = f(T)

T

0.55 0 -4.45

200

k(T) = k0 + k1T

1000

200

k

T

x

0


3

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Distance x (m)

Tem

pera

ture

(°C

)

k = constant

k= k0 + k1T

x (m) T (°C) 0 1000 0,48 800 0,73 600 0,92 400 1 200


4

Exercice 3

( )

( )

1 2

2

b)

16,912 500 300 67,6 0,1

33,8

kP S T Te

P kW

P kWqS m

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ − =

= =

c) équ. 7.34

( ) ( )

( )

( )

0 1

1 18,8 1 0,064 17,6

17,62 200 70,40,1

eff cWk k P

m CkP q S S T Te

P kW

= − = ⋅ − =°

= ⋅ = −

= ⋅ =

Exercice 4

5,0% du poids céramique 6,4 % vol.≡

a) k composite (équation 7.33)

1 /1 2

2 / 11 /

1/ 1

0,899 16,91

c dd

c dcomp c

c dd

c d

comp acier

k kV

k kk k

k kV

k k

Wk km C

⎡ ⎤⎛ ⎞−+⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎛ ⎞−

⎢ ⎥− ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ =°

0 1 1 2 2 0

0 0

0 02

0 0

11

2

On calcule pour le cas régime stationnaire:

'q 1 1'

' 500 20soit: q = 13710,11 1 1 1' 20 1 5500De plus, 1371 d'où 4311

2020et 1371 d'où 1

5

T T T T T T csteeh hk

T T We mh k h

T T C

T

− − −= = = =

− −= =

+ + + +

−= = °

−= 2 294T C= °

6g =1cm3 5g = 0.833cm3

7.8g = 1cm3 95g = 12.18cm3

Avec les indices suivants : c = phase continue

d = phase dispersée Vi = volume de la phase i

Vd = 0.833 12.18+0.833 = 0.0640

e

T0

h0

T1

T2

T’0 h'0


5

2

1 2

1 2

Si maintenant = 20 cm:500-20' = 10660,21 1

20 1 5' 446 et ' 233

Ainsi q a diminué de 23% (et non de moitié), T a augmenté et T diminué.Ces résultats sont loin d'être intuitifs.

eWqm

T C T C

=+ +

= ° = °

Exercice 5 a)Briques réfractaires Isolant On a donc :

b) Briques réfractaire : Isolant réfractaire :

Isolant : Avec à nouveau :

Nous trouvons :

On se rend compte qu'il convient de se méfier des solutions intuitives ou "évidentes" et qu'il vaut mieux les étayer par un calcul, même approximatif.

1

1

10

1

e cmWk

m C

=

=⋅°

2

2

1 3

2

0,1.

1100 , 20

e cmWk

m CT C T C

=

=°

= ° = °

2

22

1100-20Ici, q = 36000,1 0,021 0,1

1100et donc q = 3600 d'où 7400,11

Wcstem

T T C

= =+

−= = °

2

2

3

0,5.

e cmWk

m C

=

=°3

3

2

0,1.

e cmWk

m C

=

=°

T1 = 1100°C,T4 = 20°C

2

22

1100 20' 32730,07 0,03 0,021 0,5 0,1

' 0,911100 'et 3273 d'où ' 870 ,0,07

1

Wqm

q qT T C

−= =

+ +

≈−

= = °

( )2 33 3 2

' 'de plus 3273 = , donc ' 674 ' .0,030,5

T T T C T T−= ° <

1

1

71 /

e cmk W m C

== °

a )

T 1

T 2

T 3

T 1

T ’2

T 3

T 4

e 1 e 2 e 2e 1e 3

b )


6

Exercice 6 (mur avec production de chaleur)

Exercice 7

( )

( ) ( )

( )

22

2

ère 20 0 0

11

2 21

0

en intégrant deux fois on trouve : 2

avec la 1 C.L on a : 0 on a donc2

avec et donc

on trouve l2

:

p p

p

pp p

p p

q qT T x x Ax Bx k k

qT T B T T x x Ax T

kq e qdTq k q x Ak q q e Ak A

dx kq e q e q eT e T

k k k

−∂= − = + +

∂−

= ⇒ = = + +

−= − = − ⇒ = − =

−= + − +

( )2

10

'équation cherchée

2pq e q eT e Tk k

= − +

21

22

1

2

1 2

0,00952340 /

6100 /8232

344,5 /

1rj

k

e mh kcal hm C

h kcal hm CT CT Ck kcal hm C

T Tq ehλ

=

= °

= °= °= °

= °−

=Σ + Σ + Σ

Σ rj = 0

2

2

1 1 2 2

1 2

1 2

82 32 80793[ ]0,0095 1 1344,5 2340 6100

93922.5 [ / ] ( )' 'avec = ou 1 1

: ' 47,5 ' 45,2

kcalqhm

q W m inutile iciT T T Tq

h hon trouve alors T C et T C

−= =

+ +

=− −

= ° = °

9.5mm

T1=82°C h1

T2=32°C h2

T'1

T'2


7

Exercice 8 a) Puissance calorifique

( ) ( )

2

2 2 2 2

2 22 2

2 2

2 22 22

2 2 2

b)

= - .3.254

Condition aux limites : = si = ( )2

4 4

4 4 4

i

ext ext

i i

i i i

q rT B équk

dT T r r T T et r R

q r q rT B B Tk k

q r q r qT r T T r rk k k

+

= = =

−= + ⇒ = +

−= + + = + −

2

2

, = i

i

P U I U R I P RI et comme q est la puissance par unité de volume

RIqV

= ⋅ ⋅ ⇒ =

=

2el

2 2 2el el

el2 2 2 2 4

6 2 2 26

2 4 3 3 3

3

avec R= , 4

4 4 4 16

1,7 10 16 500 10 1

689,683[ / ]

i

Cu

Cu

l V S l d lS

l I I IqS d l d d d

cm A VA W Wqcm Acm cm m

q kW m

πρ

ρ ρ ρπ π π π

π

−

= ⋅ = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ Ω ⋅= ⋅ = = ⇒⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

=

3 26 9 3

Graphite 2

1,375 10 16 500 = 10 0,547 10 [ / ]1

793!! ' (

tan (

q W m

Graphite c est pourquoi on utilise le graphite dans les fours car leCuivre

dégagement de chaleur par effet joule est très impor t mauvais

π

−⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅

⋅

=

))conducteur


8

Exercice 9 c. L.

( )A

x=0 T=0x=L T=0y= T=0

y=0 T=T sin

, ?

xL

T x y

π∞

Cas général :

Multiplication des deux côtés par sinmπL

x et intégration entre x=0 et x=L.

Remplacer f(x) par AT sin xL

π

( ) 22 2 2 2

22

2 2 2 2 2

2 4 2 4 2 2

( 0)4

416 164 4 4

i

i

el el el

qT T r T r T r Tk

qT rk

I r I d ITk d k d k d

ρ ρ ρπ π π

∆ = = − = + −

∆ =

⋅ ⋅∆ = ⋅ = ⋅ = ⋅

22

3

689683Cuivre : 0,005 0,014 418

Wm CmT C T Cm W

⎡ ⎤°∆ = ⋅ = ° ⇒ ∆ = °⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

Graphite : ∆T =0,547109 ⋅0,0052

4 ⋅34 ⋅ 4,18= 24°C

( )

( )

( )

n0

1

0

0

= A e sin ( .4.21)

avec 0

, sin

avec c.L y=0 T=f x

sin

n yL

n

n yL

nn

nn

n x équL

T

nT x y A e xL

nf x A xL

π

π

πθ

π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠

=

⎛ ⎞∞ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∞

=

⋅ ⋅

=

= ⋅ ⋅

⇒ = ⋅

∑

∑

∑

( )00 0

=0 si

si =2

sin sin sin

n

x L L

nnx x

n mLA

n m

m m nf x xdx A x x dxL L Lπ π π= ∞

== =

≠

=

⋅ = ⋅ ⋅∑∫ ∫


9

Z

X

Y

y=0

x=0 x=L

T= 0T= 0

T= 0, y = 8

T = T0

0.5 T0

T

0

sin sin2

2 sin sin

nA

x LA

nx

x m A LT x dxL L

T x mA x dxL L L

π π

π π=

=

⋅⋅ =

= ⋅

∫

∫

avec la relation trigonométrique :

( ) ( )

( ) ( )0

cos 1 cos 11sin sin2

1 12 cos cos2

LA

n

m x m xm x xdx dxL L L L

n nTA x x dxL L L

π ππ π

π π

− +⎛ ⎞⋅ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

− +⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Intégration :

( )( )

( )( )

0

1 1sin sin

1 1

L

An

m mT L LA x xL m L m L

π ππ π

⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )( )

( )

( )( )( )

1

0 0 0, 1, 2, ... 02, 3,... 0

sin 1m=1 lim

1

1

sin 1 sin 11 1

( , ) sin

m

An

m nm

mm

AA

yL

A

m mTAm m

TA T

T x y T e xL

ππ

π

π ππ

ππ

π

→

= ⇒ = ⇒= ⇒

−⇒ =

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

= =

= ⋅

F(x)


10

Exercice 10

510 0,025 0,0054237

" " ( 0.1)2 0,3 ; 0,005 0,3 ( : 4

2 0,3' . 5.4 :0,0

: 4(0.005 ))

hLOn calcul en tout premier Biotk

refroidissement Newtonien car BiotA H V H note ici on néglige les bords

A Havec l équ et avec le rapportV

H

⋅= = =

⇒ ≤= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅2

05 0,3 0,0051 avec ( )

2

HA e L la demi épaisseurV L

=⋅ ⋅

⇒ = =

a)

( ) 2 3

2 3

510 315 90 20,005 2702 900

dT Wm m Ckg C J C Cdt sJ sm Cm kgJ

⋅ − ⋅ ⎡ ⎤° ° ° °⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ° ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

[ ]315 18,8 /dT C sdt

= − °

b)

( ) [ ]150

2550 150 90 225,1 /

0,005 2702 900dT C sdt

⋅ − ⋅= − = − °

⋅ ⋅

c)

- 2exp exp équ. 5.5 avec f

i f

T T hAt h t e épaisseurT T CpV Cpeρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ln2

f

i f

T TCp eth T T

ρ ⎛ ⎞−⋅ ⋅= − ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1ère étape : 12702 900 0,005 260 90 ln 10,5

510 2 500 90t ⋅ ⋅ −⎛ ⎞= − ⋅ =⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠

s

2ème étape : t2 = −2702 ⋅ 900 ⋅ 0, 005

2550 ⋅ 2⋅ ln

120 − 90260 − 90

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 4,15 s

ttot = t1 + t2 ≅ 14,6 s

( )

( )

[ / ]f

f

dT dTV Cp hA T T avec taux de refroidisement C sdt dt

dT hA T Tdt V Cp

ρ

ρ

⋅ ⋅ = − = °

= − −⋅ ⋅

Al 500°C

Eau


11

Exercice 11

20025

35

i

f

t Ct C

T C

= °= °

= °

142 0.05 0, 4515.5

35 25 10 0,057200 25 175

i

f

i f

h rB

T TT T

λ⋅ ⋅

= = =

− −= = =

− −

Avec diagramme 5.3a

2 2

2 6

4 4 0,05 4 2222.22 s4,5 10

t rFo tr

αα −

⋅ ⋅= ≅ ⇒ = = =

⋅

Température superficielle :

0 i25 0,05 (Diagramme 5.3b) [avec F 4, B = 0,45]

200 25

T = 0,05 175 + 25 = 33,75 C

T −= =

−

⋅ °

Exercice 12

1

2 1

2 1

0,0190025

4500 /

1700 /

F

eau

huile

r mT CT C

h W m k

h W m k

−

−

== °= °

=

=

avec

( )

eau

huile

0 2

4500 0,01 2,915,5

1700 0,01 1,096 1.115,515,5 0,044

7780 444 0,01

h rBik

Bi

F t t

⋅ ⋅= = =

⋅= =

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅

Acier inox 200°C

Air forcé 25°C

2 Fok ktCp Cp r

αρ ρ

= =⋅ ⋅

Eau 25°C

Acier inox 900°C


12

t (s) F0

1 0,044 2 0,088 5 0,220

Avec Diagramme 5.3 b et ( )( )

f

i f

T T

T Tθ

−=

−

1 s 2 s 5s

eauθ 0,6 0,4 0,3

T (°C) 550 375 288

huile θ 0,88 0,7 0,6

T °C) 795 638 550 On remarque bien que le refroidissement dans l’eau est bien plus rapide que celui dans l’huile (le coefficient de transfert de chaleur h est donc plus élevé pour l’eau) Exercice 13 a) équ. 5.19

22

01

0 2 2

ˆ- sin ˆ ˆ2 cos expˆ ˆ ˆsin cos

ˆpour x = 0 0 cos 1

2550 0,025 0, 268;237

237 10 1,562702 900 0,025

nf n

n nni f n n n

n

i

T TF

T T

h LBkk tFCpL

λ λ ξ λλ λ λ

ξ λ ξ

ρ

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦− +

⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

∑

avec tableau 5.1 (il faut faire une interpolation graphique ou numérique (Excel…)) avec (pour une plaque) L = e/2 (demi épaisseur) (attention d’utiliser les valeurs du tableau en radian)

1 1 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

ˆ ˆ0,57 3, 28ˆ ˆsin sin0,56 0,04ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin cos

L Lλ λ λ λ

λ λλ λ λ λ λ λ

⋅ = = ⋅ = =

= = −+ +

Eau

Al 500°C


13

( ) ( )9

2 2

0,337 2,05 10

2 0,56 exp 0,57 1,56 0,04 exp 3, 28 1,56

0,674

0,674(500 90) 90 366

f

i f

f

i f

T TT T

T TT T

T C

−⋅

⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⎣ ⎦⎢ ⎥−

⎢ ⎥⎣ ⎦−

=−

= − + = °

b) méthode graphique Avec diagramme 5.2a

( )( )

0,75

0,75 500 90 90 397.5

calculer-graphique 30

f

i f

T TT T

T C

T C

−=

−

= − + = °

∆ °

Exercice 14 Equation 6.8

2 2

0

14

l f

m p

H VtT T k c Aρπ

ρ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1) plaque

( )3

2 23

1.736 10

VA 2 2 2

246 10 6600 1 0,1 1475 s4 1148 20 1600 0,8 1500 2, 4

24,5min

a b lab al bl

t

t

π

−⋅

⋅ ⋅=

+ +

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

2) sphère Soit environs 6 fois moins que la plaque (6.25 fois exactement)

On remarque que la différence de temps de solidification pour deux pièces de même épaisseur peut être très différente. Le rapport du volume sur l’air est donc très important (de plus ce terme est au carré !). Ici la différence de volume à aussi son importance car pour un volume égal (sphère de r = ~28cm) il faut 2h 10min de solidification.

3

22

4V 0,053 1.6 10A 4 3 3

235 4 min

r rr

t s

π

π−= = = = ⋅

= ≈


14

r1

r3

r2

h2

h1 r1

r3

r2

h2

h0

h1Me

Iso

1. Versionh1 = coeff. de transfert de chaleur

de la surface intérieure du tube

2. Versionh1 = coeff. de transfert de chaleur du métal

Exercice 15

5

6 2 2

2 2

5 3

0,8 0,

1, 9 10 0, 24Pr 0,735 (sans dimension)6, 2 10

26,5 0,04 1, 2Re 66947 (écoulement turbulent)1,9 10

0, 023Re Pr

m

Cp kg m s kcal m s Ck m s kg kcal C

u d m m kg s ms m kg m s

Nu

µ

ρµ

−

−

−

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °= = = = −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦= ⋅ 4

22

2

147,5

2, 286 10

95,68

h dNuk

kcalhm s C

Whm C

−

=⋅

=

⎡ ⎤⇒ = ⋅ ⎢ ⎥°⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎢ ⎥°⎣ ⎦

Exercice 16 Cet exercice a deux solutions, parce que la définition de h1 n’est pas assez claire. Version a) :

( )

1 vapeur - métal

1 2 2

14

p2 2

3,8

h h

vapeur-solide 9760 11' 346

T solide-air (convection naturelle) = 11,3 ( 8.50)

2

0,14 0,163

139

air

iso

vapeur bar

kcal Whhm C m C

T Wh formuler m C

kcal Wkhm C m C

T C

≡

= =° °

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥°⎣ ⎦⎣ ⎦

= =° °

= °

P =Tvapeur − Tair

ΣR (pas de résistance entre les couches) )

Air 26.5m/s


15

Cas stationnaire (équ 3.37):

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 31

1 21 1 4

33

P= 1 1ln ln2

2 2 1,3 22

Vapeur Me V Me V Me Iso Iso Me Iso Air Iso Air Air

Iso AirMe Iso

T T T T T T T Tr r

r rh r L T Tk L k L r Lr

ππ π π

− − − −= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞−⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Estimations :

1 vapeur ( )

Me Me(V) ( )

Lorsque h est très grand, la résistance entre la vapeur et le solide et très petite, donc T

Lorsque très grand T ; donc le gradient de la température dans le métal es

Me V

Me Iso

T

k est T

≈

≈

( )

t négligable

(et la résistance à l'interface métal isolant est aussi négligeable)Iso Me VapeurT T⇒ ≈

( )

( ) 2

139

21

Iso Me

Iso Air

Air

T C

T T

T C

= °

=

= °

( )

( ) ( )

( )

2 2

14

2

2 2

14

2

139 ( 21)0,035 1ln0,03 211,3 2 0,035 12 0,162 1 0,07

139 21et on trouve en tatonnant ou à l'aide d'un graphique10,1514

0,555 21

T TP

T

T TP

T

ππ

− −= =

−⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠− −

= =

−

2 114,5

161,8 /

estimations:

0,09 négligeable!!

30 0,12

Vapeur Métal

Me

T C

P W m tube

Vérification des

T C

WT k Cm C

−

= °

=

∆ < ° ⎫⎪⎬⎛ ⎞∆ ≈ ≈ °⎜ ⎟ ⎪°⎝ ⎠ ⎭

0,052Flux de vapeur : 3 3,8 0,568 0,014 /4

5,7 / Vapeurp

kg s

pT C m tubem c

π⋅ ⋅ ⋅ =

∆ = = °⋅


16

Version b) : Solutions pour le cas où h1 = coeff. de transfert de chaleur du tube

( )

1 2 2 2

2 2 2

9760 11370

0,14 0,162

139 412

Iso

Vapeur

kcal J Whhm C sm C m C

kcal J Wkhm C sm C m C

T C k

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟° ° °⎝ ⎠⎛ ⎞= = =⎜ ⎟° ° °⎝ ⎠

= °

14

2 2

0

1,3 équ. 8.50 (convection naturelle)2

?

p airT T Whr m C

h

−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎢ ⎥ °⎝ ⎠⎣ ⎦=

Régime turbulent ou laminaire ? donc il faut calculer Re m

m

3

6

uRe=

u 3 [m/s]0,052 [m]1,81[kg/m ] (Il faut chercher les valeurs pour vapeur saturée)

kg13,4 10 [ ]m×s

Re 21'071 donc turbulent!!

d

d

ρµ

ρ

µ −

⋅ ⋅

==

≈

≈ ⋅

⇒ =

( ) ( )

0

3 34 4

3-3

0 2

0 2

h

0,026 Re Pr = 0,026 21071 1,054 Pr pour vapeur sat. 139°C = 1,054Nu = 47,3

47,3 28,2 10h [ ] k pour vapeur sat. 139°C = 28,2 100,052

25,65 [ ]

Nu kd

Nu

Wm K

Whm k

−

⋅=

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

=

Pertes?

( ) 1/ 4

Problèmes car inconnu

139 210,03 0,035ln ln

0,026 0,0301 125,65 2 0,026 1 2 9760 0,004 1 2 0,162 1

1,3 2 0,035

vapeur air

iso air

T TP

R

P

T T

π π π

π

−=

Σ−

=⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


17

∆T dans le métal très petit

Me(V) ( )T 139 CMe IsoT≈ ⇒ ≅ °

Cas stationnaire : ( ) ( )

( )

( )

2 2

14

2

22

14

2

2

139-T 21P = 10,035ln

0,03 211,3 2 0,0352 0,162 0,07

2113910,1514

0,555 21114,5

W161,7 [ ]m tube

T

T

TTP

TT C

P

ππ

−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

−−= =

−

≈ °

=

Vérification des estimations :

139161,7 100,41

25,65 2 0,026 Parce que la différence est trop grande on fait une

nouvelle estimation:

vapeur métal

meme

me vapeur

T

TT C

T Tπ

−∆

−= = °

⋅ ⋅≠

Me(V) ( ) ( ) T Me Iso Isolant MeT T= =

⇒ ∆T dans le métal est négligeable

( )

me139-T1 0,035ln25,65 2 0,026 0,030

2 0,162139

0, 23 0,15491,5

1,66 91,5 1,66

me iso

me me iso

isoiso me me

T T

T T T

TT T T

ππ

−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠

⋅− −

=

+= − =

Calcul de la température de la surface d'isolant Tiso(Air) : ( )iso

14

T 91,5211,66

0,035 1ln0,03 91,5 212 0,162 1,661,3 2 0,035

2 0,35

isoiso

iso

TT

Tπ

π

+−

−=

+⎡ ⎤−⋅ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥

⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


18

iso(Air)

14

(graphique, par interpolation) T 42

42 21 25 / 1

42 211,3 2 0,0352 0,035

C

P W m tube

π

⇒ = °

−= =

−⎡ ⎤ ⋅ ⋅⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

Vérification si ∆T dans le tuyau est négligeable :

Exercice 17

( )1

1 22 2 2 2

3

1 12 2 2

f a, ,p, 0

N m

N s Pa s=m

) 4 (grandeur : a, , , )) 3 (Dimension : M, L, T)) il y a donc m 4 3 1 para

avec a vitesse du son

a LTkgm kgp ML Ts m s m

MLkgm s kgML Ts m s m

a n pb kc

ρ µ

ρ

µ

ρ η

−

− −

−

− −

= =

=

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠==

= − =

12 3 1 1

1 1

mètre sans dimension

) 1pour M: + + =0pour L: - - -3 +1=0pour T: - -2 -1=0

1M+L -2 =-1 = 21L-T =- 2

0

p a

d M L T M L T M L LT

pa ap

α β γ

α α α β β β γ γ

π µ ρ

α β γα β γα β

γ γ

β

α

ρπ πρ

− − − − − −

=

≡

=

= ⇒ =

T25= 0,030ln0,026

2 390,014 négligableT C

π

∆

⋅⇒ ∆ = ° ⇒

Conclusion On comprend mieux après cet exercice pourquoi les isolants à l’amiante ont été interdit…


19

Exercice 18 La fraction de flux émise dans la direction D s'écrit:

2 cos .9.5Ded dS d équβ ϖπ

Φ = ⋅

Avec e pour un corps noir : 4Tσ ⋅ équ. 9.12, 9.14 et 9.20 4

2 cosDTd dS dσ β ϖ

π⋅

⇒ Φ = ⋅

Exercice 19

2

2

c 2

2

total

) émissivité lié au CO0,15 2 0,3

0,3 1,5 0,45 1773

Diagramme CO (Fig 9.4 a) 0,12correction : P 2 1,1 (Fig. 9.4 b)

1,1 0,12 0,13

c

c

g

CO

CO

aP atmP L m atmT K

atm C

ε

ε

ε

= ⋅ == ⋅ = ⋅

=

⇒ ⇒ == ⇒ =

= ⋅ =

( )2

26 2 4

g R c c R gTempérature de rayonnement

0,65

Absorbtion liée au CO

1,16 10 / 2127!!

parce que T < T (P L)*=P L T /T

' ( *, )

' /

R R R

R g

c R

CO g R

W m T T KT T

f P L T

T T

σ

ε

α ε

Φ = ⋅ = ⇒ =⇒ >

⇒ ⋅

=

= −

( ) ( )

( )2

2 2

2

c0,65

CO

CO CO 2

2127* 0,3 1,5 0,541773Diagramme CO ' 0,1Correction identique C 1,1 ' 0,11

2127=0,11 =0,1241773Important : !! Note : le gaz N est transparent

cP L

εε

α

α ε

= ⋅ ⋅ =

⇒ == ⇒ =

≠

eau

b) et d'eauEmission liée à la vapeur d'eauP 0,20 2 0,4

0,4 1,5 0,60 1773

eau

g

atmP L m atmT K

ε α

= ⋅ =⋅ = ⋅ = ⋅

=


20

2Diagramme H 0,19 (Fig. 9.5)Correction

1,2 1,4 (Fig. 9.5)2

1,4 0,19 0,266

e teau

eau

O

P PC

ε

ε

⇒ =

+= ⇒ =

= ⋅ =

( )R

Absorbtion liée à la vapeur d'eau'=f T

'21270,60

' 0,151,4 0,15 0,21

eau

eau eau

R

e

eau eau

P LC

T KP L

εα ε

εαα ε

===

⇒ == ⋅ =

≠

c)

( )

( )

2

2

2

2

2

2

, , , (Fig 9.6)

0,4 0,570,3 0,4

0,3 0,4 1,5 1,05

9400,052

0,13 0,266 0,

gas CO eauCorrection

gas CO eau

eaueau CO

CO eau

eau

CO eau

eau CO

gas

Pf P P L T

P P

PP P

P P L

T

ε ε ε ε

α α α α

α ε

ε αε

= + − ∆

= + − ∆

⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤∆ ∆ = + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎜ ⎟+⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

= =+ +

+ ⋅ = + ⋅ =

>⇒ ∆ = ∆ =

= + − 052 0,344

0,124 0,21 0,052 0,282gasα

=

= + − =

Exercice 20

( )( ) ( )

1

2

1

28 2 4

4 4 21 22 1 2

1 2

0,21 ( 2000 )0,06 ( 600 )2000600

5,6703 10 /

44,05 [ / ] . 9.481 1 1

à Kà K

T KT K

W m K

T T kW m équ

εε

σε ε

ϕ σε ε

−

====

= ⋅

= ⋅ − =− − −


21

Avec écran :

Cas stationnaire :

1 1 2 21 e 2q e e eq q→ → →= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 21

1 1 2

1 2

1

1

1

1

1

4 42 21 4 4

11 2

41

2

1 4 41

1

e

1 1 1 1 1 1

108 [ / ]0, 21 1,05 10 interpolation linéaire0, 06

1 1 1

avec k 108W/mK, 1

e eee e e

e e

ee

e

e

T TkT T T Te

k W mKT T cste

q T T

kq Te

ε ε σε εσ

ε ε ε ε

ε εε

ε εσ

ε ε

ε

−

− ⋅ ⋅ −− = − =

− − − − − −

≈

= = ⋅ +

=⋅

= −− − −

= −

≈ =1

4, 05 10 eT−⋅

2 1aucune influence de la conduction sur le flux de chaleur

e = 0e eT T≈ ⇒

⇒

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1 2

1

2

4 4 4 41 21 2

1 2 2

2

1 1 1 1 1 1

1830 , k 92,7 W/mK (Littérature)

30,25 [ / ]

:30250 0,003 0,97 1

92,71830,5

1829,5

e ee e

e

e

e e

e

e

q T T T T

T C

q kW m

VérificationeT T T q C C

T

T

ε ε ε εσ σ

ε ε ε ε

λ

⋅ ⋅= − = −

− − − − − −

⇒

≈ ° ≈

=

⋅∆ = − = = = ° ≈ °

=

=

T 1

T 1 e T e 2

T 2

T

x


22

Exercice 21 1 Thermocouple 2 Alumine (ε à 1073 K = 0,8) 2 3 3 Graphite ( corps noir ε = 1) L’azote est transparent (donc aucune influence) Avec équation 9.63 :

( )4 4 4 42 32 2 3 3 3 2

41

2 3

21 (1 )(1 )

T T T TT

ε εε ε

ε ε

+ − +=

− − −

T1 = 1169,8 K ≅ 1170K

1

1073K 1223K

N2 1.67 bars

0.3m

0.9m

0.6m

exercices de phénomènes de transfert de chaleur laboratoire de

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