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Exercices de MathématiquesUE : L2-M ApprofondissementsLicence de sciences 2ème année

Parcours Mathématiques

19 mai 2010

Alexandre MIZRAHI

Table des matières

1 Il existe des irrationnels (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Écriture des réels dans une base donnée (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Les fractions continues (2 semaines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Dénombrabilité (2 semaines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Relation d’ordre, intervalle (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Points d’accumulation, ensemble dérivé, ensemble parfait (1 semaine) . . . . . . . . 187 Sous groupes additifs de R (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Nombres constructibles (2 semaines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Ensemble de Cantor (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510 Exemples de fonctions ’curieuses’ de R dans R (1 semaine) . . . . . . . . . . . . . . 2711 Contrôles continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Présentation de l’enseignementCet enseignement se présente essentiellement sous forme d’exercices, certains correspondent à

du cours ils sont repérables par le sigle C, et sont à connaître. Certains exercices sont plus difficilesils sont siglés D, d’autres sont particulièrement facile ils sont marqués d’un F. Cet enseignementest l’occasion de revoir un nombre important de théorèmes déjà vu durant vos études, ils sontmarqués d’un R et sont aussi à connaître avec précision. Un des objectifs de cet enseignement estd’habituer l’étudiant à la résolution de problèmes, de façon général le choix pédagogique de toutprésenter sous forme d’exercice est une façon de mettre en exergue l’importance de chercher

Évaluation de l’enseignementL’évaluation se fait à l’aide de 8 CC, soit pratiquement un par semaine entre la deuxième et

la dixième semaine. Si on classe ces 8 notes x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x8, la note de CC est donnée par∑8i=1 ixi∑8i=1 i

La note finale de l’enseignement est donnée à l’aide de cette note CC et de la note d’examen Epar

max(1

3(CC + 2E), E)

Bibliographie légèrea. La planète R, voyage au pays des nombres réels. H. Boualem & R. Brouzet. (Dunod)b. Mathématiques tout en 1 pour la licence Niveau L2. Ramis, Warusfell, ... (Dunod)c. Théorie des corps, la règle et le compas. Carrega (Hermann)d. Les contres exemples en Mathématiques. Bertrand Hauchecorne (Ellipse)e. fr.wikipedia.org

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2010 S4-M-Approfondissements

1 Il existe des irrationnelsLes entiers naturels sont naturels entre autre car ils sont la base du comptage,les rationnels sont les rapports de tels nombres, mais il existe d’autres nombres,comment apparaissent-ils ?

Exercice F 1 :a. Rappeler la définition de "Deux entiers m et n sont premiers entre eux". Donner un

exemple.b. Rappeler la définition de "l’entier m est premier". Donner un exemple.c. Rappeler ce qu’est la décomposition en facteur premier d’un entier. Donner un exemple.d. Montrer qu’un rationnel peut toujours s’écrire sous la forme p

q, avec p et q premiers entre

eux. Donner un exemple.e. Soit p un entier premier, montrer que si m2 est un multiple de p, alors m est aussi un

multiple de p.f. Montrer par l’absurde que

√2 est irrationnel , on pourra commencer par écrire

√2 comme

le rapport de deux entiers premiers entre eux.

Exercice F 2 :a. Montrer que

√3 puis 3

√2 sont irrationnels.

b. Montrer que√

6 est irrationnel en déduire que√

2 +√

3 est irrationnel.c. Soit n ∈ N, montrer que

√n 6∈ N ⇒

√n 6∈ Q.

Exercice 3 : Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel, et donner un exemplede couple d’irrationnels dont la somme est rationnel.

Exercice 4 : Soit e le réel défini par la somme R de la série∞∑

n=0

1

n!. On va montrer qu’il est

irrationnel.

a. On pose Nn = n!

(e−

n∑k=0

1

k!

), montrer que Nn ≤

∞∑t=1

1

(n+ 1)t≤ 1

n.

b. Supposons que e = pq

avec p et q premiers entre eux, montrer que pour n ≥ q, Nn est unentier.

c. Montrer que pour n ≥ 2, Nn = 0 et conclure.

Exercice 5 : Soit r un entier supérieur à 2.

a. Montrer que la série de terme général1

r(k2)est convergente R , on note α sa somme.

b. On pose Nn = r(n2)(α−

∑nk=0

1

r(k2)

), montrer que Nn =

∑∞t=1 r

−t2−2tn ≤ 1r2n−1

.

c. Supposons que α = pq

avec p et q premiers entre eux, montrer que qNn est un entier.d. Montrer qu’à partir d’un certain rang qNn = 0, en déduire que α est irrationnel.

Exercice 6 : Appliquer une méthode similaire aux deux précédentes pour montrer que le nombre

de Liouville λ =∞∑

k=0

1

10k!est irrationnel.

Exercice 7 : Montrons que π2 est irrationnel, on suppose que π2 = pq

ou p et q sont deuxentiers naturels premiers entre eux. On pose

Pn(X) =1

n!Xn(1 −X)n et Nn = πpn

∫ 1

0

Pn(x) sin πx dx

3

S4-M-Approfondissements 2010

a. Soit T un polynôme à coefficient entier, montrer que ses dérivées successives sont despolynômes à coefficients entiers, puis que l’image d’un entier par un polynôme à coefficiententier est un entier.

b. Montrer que 0 < Nn ≤ πpn

n!

∫ 1

0

sin(πx)dx ≤ 2pn

n!.

c. Pour k < n, calculer P (k)(0) et P (k)(1).d. En utilisant les combinaisons, montrer que les dérivées successives de Pn prennent des

valeurs entières en 0 et en 1, on pourra étudier les coefficients de Pn pour les dérivéesd’ordre supérieur à n.

e. Montrer à l’aide d’intégrations par partie successives que Nn ∈ N.f. En déduire que π2 est irrationnel, puis qu π est irrationnel.

Exercice D 8 : On dit qu’un réel est algébrique si il existe un polynôme non nul, à coefficiententier dont il est racine.

a. Montrer que 13

et√

3 sont algébriques.b. Soient n ∈ N∗, p un nombre premier, P (X) = 1

(p−1)!Xp−1(X − 1)p(X − 2)p . . . (X − n)p et d

le degré de P . Montrer que(1) Pour tout entier k supérieur ou égal à p, le polynôme 1

pP (k) est à coefficient entier.

(2) ∀k ∈ 0, 1, . . . , p− 1, ∀j ∈ 1, . . . , n, P (k)(j) = 0.(3) ∀k ∈ 0, 1, . . . , p− 2, P (k)(0) = 0.(4) Montrer que P (p−1)(0) = (−1)np(n!)p.(5) ∀x ∈ [0, n], |P (x)| ≤ nnp+p−1

(p−1)!.

(6) Soient α un nombre complexe, Q = P + P ′ + P (2) + . . .+ P (d) et

Iα(P ) =

∫ 1

0

αe−αuP (αu)du

i. Montrer que Iα(P ) = [−e−αxQ(αx)]10.

ii. Montrer que eαQ(0) = Q(α) + eαIα(P ).c. Supposons que e soit algébrique il existe alors des entiers a0, a1, . . . , an tels que∑n

i=0 aiei = 0

(1) On pose Np =∑n

k=0 akQ(k), montrer que Np = −∑n

k=1 akekIk(P ).

(2) Montrer ∃j ∈ Z, Q(0) = (−1)np(n!)p + jp.(3) Montrer ∃m ∈ Z, Np = a0(−1)np(n!)p +mp.(4) Montrer qu’il existe p0 tel que pour tout nombre premier p supérieur à p0 on ait,

a0(−1)np(n!)p n’est pas un multiple de p. En déduire que pour de tels p, Np est unentier non nul.

(5) Montrer que

|Np| ≤ en

∫ n

0

e−t|P (t)|dtn∑

k=1

|ak| ≤ en

n∑k=1

|ak|nnp+p−1

(p− 1)!

(6) Montrer que limp→∞Np = 0.d. En déduire que e est transcendant, c’est à dire qu’il n’est pas algèbrique.

Exercice 9 : Soit P un polynôme à coefficient entier de degré n ne possédant pas de racinerationnelle, et α une racine de P .

4


a. Montrer que pour tout rationnel pq, on a |P (p

q)| ≥ 1

qn .

b. En appliquant le théorème des accroissements finis à P entre α et pq∈ [α− 1;α+ 1],

montrer qu’il existe une constante C telle que ∀pq∈ Q, |α− p

q| ≥ C

qn .

c. En déduire que le nombre de Liouville λ(cf exercice 6) est transcendant. On pourracommencer par montrer que :∣∣∣∣∣λ−

m∑k=0

1

10k!

∣∣∣∣∣ ≤ 1

10(m+1)!

∞∑t=0

1

10t

2 Écriture des réels dans une base donnéeLes nombres peuvent s’écrire de différentes façons, nous sommes habitués à l’écri-ture décimale, mais c’est un choix arbitraire d’écriture, voyons comment on peutgénéraliser ce mode d’écriture positionnel multiplicatif avec zéro.

Écriture des entiers dans une base b

Exercice F 10 : Écrire dans un tableau les 15 premiers entiers en base 10 ;2 ;3 ;5 ; 12.

Exercice F 11 : Écrire l’entier 100 en base 2, en base 3, en base 6, et en base 12.Écrire l’entier 1582 en base 12.

Exercice F 12 : Écrire la table d’addition en base 6, effectuer sans passer par l’écrituredécimale l’addition des entiers suivants écrit en base 6. 1035 + 543.Même question avec 1035421032 + 423512.

Exercice F 13 : Écrire la table de multiplication en base 6, effectuer sans passer par l’écrituredécimale le produit des entiers suivants écrit en base 6. 135 × 43.Même question avec 1235 × 543.Effectuer la division euclidienne de 345 par 25.

Exercice C 14 : Soit b un entier naturel supérieur à 2 appelé base, on appelle chiffres lesentiers naturels strictement inférieurs à b.

a. Soit m ∈ N∗, on pose q0 = m puis on définit par récurrence les suites (qi) et (ri) par : tantque qi 6= 0, qi+1 est le quotient et ri+1 est le reste de la division euclidienne de qi par b.Montrer qu’il existe un entier n tel que qn = 0.

b. Calculer les suites pour m = 1327 et b = 3.c. Montrer que m =

∑n−1k=0 rkb

k.d. On suppose dans cette question que m =

∑mk=0 akb

k, ou les ak sont des chiffres et am 6= 0.Montrer que m = n et pour tout k, ak = rk+1.

e. Montrer que tout entier non nul possède une unique écriture de la forme m =∑n

k=0 akbk,

que l’on notera dorénavant :m = anan−1 . . . a1a0

b

Exercice C 15 : Utilisation de la base 2 pour l’exponentiation rapide . Le calcul classique dex32 demande le calcul de 31 produits mais on peut remarquer que c’est aussi ((((x2)2)2)2)2, quine fait intervenir que 5 produits. Écrire 21 en base 2, en déduire une méthode pour le calcul dex21 avec un nombre réduit de multiplications. Même question avec x149.

5


Exercice F 16 : Commençons par quelques rappels sur l’anneau Z/nZ . Soient a et b deuxentiers, on note a l’ensemble des entiers qui ont le même reste que a par la division euclidiennepar n, et Z/nZ l’ensemble des a. On peut définir deux opérations sur Z/nZ par

a+ b = a+ b

a× b = a b

a. (1) Montrer que a = b ssi a ∈ b ssi b ∈ a.(2) Dans le cas où n = 6, calculer 5 + 5 et 5 × 5.(3) Montrer que a = 0 ssi a est un multiple de n.

b. Soit n un entier, dont l’écriture en base 10 est : bkbk−1 . . . b2b1b0.(1) Montrer que si n est un multiple de 3 alors

∑bi aussi.

(2) Montrer que si n est un multiple de 9 alors∑bi aussi.

(3) Montrer que si n est un multiple de 5 alors b0 aussi.(4) Montrer que si n est un multiple de 2 alors b0 aussi.(5) Démontrer la méthode dite de la preuve par 9.(6) En analysant les résultats précédent, déterminer des résultats analogue pour une

écriture en base 7, puis une écriture en base 12.

Écriture des réels dans une base b

Exercice F 17 : Quelle est l’écriture décimale de 7125

; 103

et 17?

Exercice F 18 : Soit x le réel qui s’écrit en base 10 : 0, 9999999 . . ..a. Calculer 10x− x, en déduire la valeur de x.b. Calculer x

3et retrouvé une fraction bien connue.

c. Pour plus de rigueur vérifier que x =∞∑

k=1

9.10−k, calculer la somme de cette série.

Exercice F 19 :a. Écrire le développement en base 10 de 13

6

b. Écrire le développement en base 6 de 136

puis de 17, ces fractions étant ici écrites en base 10.

Exercice C 20 : Soient b un entier supérieur ou égal à 2, et (xn)n une suite de chiffres, on noteb′ = b− 1.

a. Calculer∑∞

k=n b′b−k.

b. A l’aide de la question précédente montrer que 0 ≤∑∞

k=n xkb−k ≤ b−n+1.

c. Dans la question précédente, préciser les cas ou l’on a égalité.d. On suppose que x =

∑∞k=n xkb

−k =∑∞

k=n ykb−k = y, et on note m le premier indice tel que

xk 6= yk, on suppose que ym < xm. Montrer que 0 = (ym − xm)b−m +∑∞

k=m+1(yk − xk)b−k,

en déduire que ym = xm + 1 et que ∀k > m, yk = 0 et xk = b′.e. Énoncer un résultat général sur l’unicité du développement en base b.f. Les rationnels suivants ont-ils un développement unique en base b : 1

7, 2

3, 1

5, 7

4, 9

49.

Exercice C 21 : On note [x] la partie entière d’un réel x, elle peut s’écrire dans une base b, xs’écrit alors x = [x] + (x− [x]) avec x = x− [x] ∈ [0; 1[ appelée partie fractionnaire de x.

6


a. Soit (xn)n∈N∗ une suite de chiffres, montrer que la série∑xnb

−n converge, et que sasomme est comprise entre 0 et 1. On note cette somme 0, x1x2x3 . . . xn . . .

b.b. Soit y ∈ [0; 1[, montrer que [by] est un entier compris entre 0 et b− 1.c. On pose y1 = y − [by]b−1, montrer que 0 ≤ y1 <

1b.

d. On construit par récurrence la suite (yn) par yn+1 = yn − [bn+1yn]b−(n+1). Montrer quepour tout n on a yn ∈ [0; b−n[, et [bn+1yn] est un chiffre. Vérifier que :

y =[by]

b+

[b2y1]

b2+ . . .+

[bnyn−1]

bn+ yn

e. En déduire que tout réel x de [0 ;1[ s’écrit comme somme d’une série 0, x1x2x3 . . . xn . . .b,

appelé développement propre en base b de x.f. Déterminer le développement décimal propre de 1

3et de 0, 239 . . .

10

Exercice 22 :a. En base 3 quelle est la forme du développement des réels de l’intervalle [0, 1

2].

b. Soit x =∑

i≥1 xi3−i, où les xi sont des chiffres, comment s’écrivent les réels de l’intervalle

[0, x[ en base 3 ?c. Donner un développement en base 3 de 1 − x.d. Donner un exemple de x pour lequel le développement en base 3 de 1− x n’est pas unique.

Exercice 23 : On écrit les réels en base 6, soit x =∑

i≥1 xi6−i.

a. Quel est le développement en base 6 de 6x ? de 36x ? de 16x ?

b. Dans le cas où pour tout i, xi ∈ 0; 1; 2. Quel est le développement de 2x ?

c. Si x = 0, 1313 . . .6, quel est le développement de 2x ?

Exercice 24 : Écrire les développements en base b de 1

100b , 1

101b .

Exercice F 25 : Soit b un entier supérieur à 2.

a. Quels sont les réels que l’on peut écrire sous la forme 10, d1d2 . . . dn . . .b avec pour tout n,

dn ∈ 0, 1, . . . , b− 1.b. Dans la suite de l’exercice a désigne un réel dont le développement propre en base b est

a = d0, d1d2 . . . dn . . .b avec pour tout n, dn ∈ 0, 1, . . . , b− 1. Quel est le développement

en base b de ab ?c. Quel est le développement de bna, pour n ∈ N ?d. Quel est le développement de a− 1

bd1 ?

e. A quelle condition (CNS) sur d0 et d1 a-t-on a < 1b?

f. Quel est le développement en base b de b− a.

Exercice F 26 : Soient x = 0, 3434 . . .10 et y = 0, 162121 . . .

7, montrer que x et y sont desrationnels.

Exercice C 27 :a. Montrer à l’aide de divisions euclidiennes successives que tout rationnel a un

développement en base b qui est périodique à partir d’un certain rang. on pourra montrerque lors des divisions euclidiennes successives la suite des restes ne peut prendre qu’unnombre fini de valeur.

b. Montrer que tout réel ayant un développement en base b périodique à partir d’un certainrang est un rationnel.

7


3 Les fractions continuesNous avons vu que tout réel était limite d’un suite de rationnels donné par exemplepar son développement en base b. On peut s’intéresser à approximer un réel x par unrationnel p

qaussi proche que possible de x, avec des p et q les plus petits possibles,

c’est ce que les fractions continues permettent.

Exercice F 28 : Étudier le calcul suivant :

137

10= 13 +

7

10= 13 +

1107

= 13 +1

1 + 37

= 13 +1

1 + 173

= 13 +1

1 + 12+ 1

3

Essayer de faire des calculs similaires pour30

11,210

77,−30

11.

Exercice C 29 : On note [x] la partie entière d’un réel x, x s’écrit alors x = [x] + (x− [x]). Onpose : x0 = x, q0 = [x] et x = x− [x] ∈ [0; 1[ appelée partie fractionnaire de x.– Si x est non nul, on pose x1 = 1

x , donc x1 ≥ 1. On pose q1 = [x1], on a x1 = q1 + x1.– Si x1 est non nul, on pose x2 = 1

x1 , donc x2 ≥ 1. On pose q2 = [x2], on a x2 = q2 + x2.– On peut ainsi construire une suite de xi tant que xi 6= 0.

a. Écrire qn et xn+1 en fonction de xn.b. Écrire x en fonction des qn et de xm.c. Montrer que s’il existe un n tel que xn = 0, alors x est un rationnel.d. On suppose dans cette question que x = p

q∈ Q, montrer à l’aide de divisions euclidiennes

successives qu’il existe un n tel que xn = qn. Montrer que l’on a alors

x = [x] +1

[x1] + 1[x2]+ 1

... + 1[xn]

= q0 +1

q1 + 1q2+ 1

... + 1qn

Cette écriture s’appelle le développement en fraction continue du rationnel x.

Exercice F 30 : Déterminer le développement en fraction continue de 135, puis de 30

11. On expli-

citera bien la suite (qn) ainsi trouvée.

Exercice C 31 : Pour n0 ∈ Z, n1, n2, . . . , nk ∈ N∗ et x ∈ R∗+. On note alors

Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK = n0 +1Jn1, n2, . . . , nk, xK avec ∀y ∈ R, JyK = y

a. Calculer J1, 2K puis J2, 1, 3, 2K.b. Montrer que si n0, n1, . . . , nk ∈ N∗ alors Jn0, n1, n2, . . . , nkK est un rationnel.c. Remarquer que ∀n0 ∈ Z, ∀n1, n2, . . . , nk ∈ N∗, ∀x ∈ R∗

+, et i < k :

• Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK = Jn0, n1, . . . , nk + 1xK

• Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK =qn0, n1, . . . , ni, Jni+1, . . . , nk, xKy

• Jn0, n1, n2, . . . , nk, 1K = Jn0, n1, n2, . . . , nk + 1Kd. En reprenant les notations de l’exercice 29, montrer que ∀k, x = Jq0, q1, . . . , qk, xk+1K. En

particulier si x est rationnel x = Jq0, q1, . . . , qnK.e. Montrer que si Jn0, n1, n2, . . . , nk, xK = Jn0, n1, n2, . . . , nk, yK alors x = y.

8


f. Montrer que si y > 1, et x = Jn0, n1, n2, . . . , nk, yK alors [x] = n0.

g. Montrer que si y > 1, et x = Jn0, n1, n2, . . . , nk, yK les premiers termes de la suite (qn) del’exercice 29 associé à x ne sont autres que : n0, n1, n2, . . . , nk.

h. Montrer que ∀n0,m0 ∈ Z, ∀n1, n2, . . . , nk,m1,m2, . . . ,ml ∈ N∗, avec ml > 1 et nk > 1

Jn0, n1, n2, . . . , nkK = Jm0,m1,m2, . . . ,mlK ⇒ l = k et ∀i, ni = mi

i. Montrer que le développement en fraction continue d’un rationnel est unique.

Exercice F 32 : Pour calculer la fraction continue du rationnel x = pq, on considère un

rectangle de longueur p et de largeur q, et on le pave par des carrés de côté q. Si x est entieralors le pavage comporte exactement x carrés. Sinon, si a0 désigne le nombre de carrés insérésdans le rectangle, il s’agit du premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavéede dimension q × b1 avec b1 égal à p− a0.q ; on pave cette bande avec des carrés de dimensionmaximale, c’est-à-dire de côté x1. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme a1 de lafraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l’intégralité des coefficients. Dans l’image

ci-contre, on illustre30

13= J2, 3, 4K.

Faites de même pour le rationnel22

9.

En utilisant cet outil géométrique déterminer le rationnel : J1, 1, 2, 3K.Exercice 33 : Nous allons maintenant chercher des développements en fractions continues denombres irrationnels, en reprenant les notations des l’exercices 29 et 31.

a. Déterminer la suite (qn) pour x =√

2.

b. On pose un = J1, 2, 2, . . . , 2︸︷︷︸n fois

K. Montrer que

un+1 − 1 =1

un + 1

c. En supposant que (un) converge vers un réel l, déterminer l.

d. On pose alors vn = un−lun+l

, montrer que (vn) est une suite géométrique . En déduire la limitede la suite (un).

e. Donner le développement en fractions continues de√

2.

Exercice 34 : En s’inspirant de l’exercice 33, déterminer le développement en fractioncontinue de

√5.

De même déterminer le développement en fraction continue de√

7.

Exercice C 35 : Les fonctions homographiques .On note R1 l’ensemble R ∪ ∞, on prolonge à R1 les opérations usuelles de façon intuitive :

∀a ∈ R, b ∈ R∗,∀x ∈ R1, a+ ∞ = ∞, 0 ∗ x = 0, b ∗∞ = ∞,a

∞= 0,

b

0= ∞

9


on appelle fonctions homographiques les fonctions de R1 dans R1 de la forme

f(x) =

ax+ b

cx+ dsi x ∈ R \ −d

c

ac

si x = ∞

Avec a, d, b, c ∈ R et ad− bc 6= 0.

a. Montrer que f est bien définie en particulier que l’on a jamais f(α) = 00

qui n’est pasdéfini.

b. Montrer qu’une fonction homographique est une bijection R , et que sa réciproque est unefonction homographique.

c. Montrer que la composé de deux fonctions homographiques est une fonctionhomographique.

d. On note Ψ l’application qui associe à la matrice inversible(a bc d

)la fonction

homographique définie ci dessus. Déterminer Ψ

((1 10 1

))et Ψ

((1 11 0

))e. Montrer que Ψ est une surjection R de l’ensemble des matrice 2×2 inversibles, dans

l’ensemble des fonctions homographiques.

f. Montrer que Ψ est non injective R .

g. Montrer que Ψ transforme le produit matriciel en composée R d’applications . On notera

dorénavant[a bc d

]la fonction homographique. Ψ

((a bc d

)).

h. Calculer[

2 13 1

](5)

i. Montrer que si λ 6= 0 alors Ψ(λM) = Ψ(M).

j. Déterminer toutes les fonctions homographiques f telle que f(0) = 1, f(∞) = 2, etf(1) = 3.

k. Soit α, β et γ des éléments distincts de R1, montrer qu’il existe une unique fonction fhomographique telle que f(α) = 0, f(β) = 1 et f(γ) = ∞. On pourra étudier quatre cas,suivant que α, β ou γ sont égaux à ∞.

l. En déduire que pour deux triplés de points de R1, (α, β, γ) et (α′, β′, γ′) avecα 6= β 6= γ 6= α et α′ 6= β′ 6= γ′ 6= α′, il existe une unique fonction homographique telle quef(α) = α′, f(β) = β′ et f(γ) = γ′.

Exercice 36 : Soit (un) une suite vérifiant la relation de récurrence un+1 =

[a bc d

](un). On

suppose juste que la fonction homographique[a bc d

]n’est pas l’identité.

a. Montrer que α ∈ R est un point fixe R de[a bc d

]ssi(α1

)est un vecteur propre R

associé à la valeur propre R cα + d de la matrice(a bc d

).

b. Montrer que la matrice(a bc d

)a au plus deux valeurs propres réelles, en déduire que la

fonction homographique[a bc d

]a moins de deux points fixes.

10


c. On suppose dans la suite que[a bc d

]a deux points fixes réels distincts, α et β. On pose

P =

(α β1 1

), calculer P−1.

d. Déterminer P−1

(a bc d

)P .

e. Montrer que[

1 −β−1 α

][a bc d

]=

[cα + d 0

0 cβ + d

][

1 −β−1 α

].

f. En déduire queun+1 − β

un+1 − α= k

un − β

un − αavec k = cα+d

cβ+d.

g. En déduire que ∀n, un =knαu− β

knu− 1, avec u = u0−β

u0−α.

h. Application : Soient f(x) = 4x−6x−1

, u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un).

(1) Étudier et représenter la fonction f .

(2) Représenter sur le graphe de f , les premiers termes de la suite : u0, u1, u2, u3, u4.

(3) Calculer u0, u1, u2, u3, u4.

(4) En utilisant le début de l’exercice, déterminer un en fonction de n, et étudier la limitede la suite (un).

Exercice C 37 : Suite de FibonacciNotons E l’ensemble des suites réelles vérifiant la relation de récurrence∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un. On appelle suite de Fibonacci l’élément de E vérifiant F0 = 0 etF1 = 1.

a. Calculer les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci.

b. Montrer que si une suite (un) de E converge R alors lim un = 0.

c. Montrer que ∀n ∈ N, Fn ≥ n− 1, en déduire que limFn = ∞.

d. Montrer que E est un sous espace vectoriel R de l’espace des suites réelles.

e. Soit ϕ l’application de E dans R2 telle que ϕ((un)

)= (u0, u1). Montrer que ϕ est une

application linéaire R . Montrer que ϕ est injective, surjective.

f. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension R 2.

g. Déterminer r tel que la suite (rn)n appartienne à E.

h. Montrer qu’il existe r1 et r2 telle que((rn

1 )n, (rn2 )n

)soit une base de E.

i. Montrer que ∀n ∈ N, Fn =1√5

(1 +

√5

2

)n

− 1√5

(1 −

√5

2

)n

.

j. En déduire un équivalent R simple de Fi.

Exercice F 38 : Soit rn = J1, 1, . . . , 1︸︷︷︸(n+1) fois

K.a. Montrer que rn =

[1 11 0

](rn−1). On pourrait utiliser la méthode de l’exercice 36, pour

étudier la suite (rn), on utilise ici une autre méthode.

b. Montrer que rn =

[1 11 0

][

1 11 0

] . . .

[1 11 0

]︸︷︷︸

(n+1) fois

(∞).

11


c. On note dorénavant

Mn =

(un u′nvn v′n

)=

(1 11 0

)(1 11 0

). . .

(1 11 0

)︸︷︷︸

(n+1) fois

Montrer que rn =

[un u′nvn v′n

](∞)

d. Montrer que u′i = ui−1, v′i = vi−1, vi = ui−1 et ui = ui−1 + vi−1 avec v−1 = 0 et u−1 = 1.e. Montrer que pour tout n, rn = un

vn.

f. Montrer que ∀n ≥ 1, vn+1 = vn + vn−1, en déduire que ∀n ∈ N, vn = Fn+1, ou (Fn) est lasuite de Fibonacci (cf exo 37).

g. Déterminer la limite de la suite (rn).

Exercice C 39 : Nous avons vu dans l’exercice 29 qu’un réel x était irrationnel ssi la suite (qn)associée était infinie. On va maintenant partir d’une suite d’entiers. Soit q0 ∈ N et (qn)n≥1 unesuite d’entiers strictement positifs, on pose rn = Jq0, q1, . . . qnK.

a. Montrer que Jq0, q1, . . . qnK =

[q0 11 0

](Jq1, q2, . . . qnK)

b. Montrer que Jq0, q1, . . . qnK =

[q0 11 0

][q1 11 0

] . . .

[qn 11 0

](∞).

c. On note dorénavant

Mn =

(un u′nvn v′n

)=

(q0 11 0

)(q1 11 0

). . .

(qn 11 0

)

Montrer que rn =

[un u′nvn v′n

](∞)

d. Montrer que u′n = un−1 et v′i = vi−1 avec v−1 = 0 et u−1 = 1.e. Montrer que ∀n, rn = un

vn.

f. En utilisant des déterminants , montrer que unvn−1 − vnun−1 = (−1)n+1. en déduire que

rn − rn−1 =(−1)n+1

vnvn−1

g. Montrer que u0 = q0, v0 = 1 puis que ∀n ≥ 2, vn = qnvn−1 + vn−2 et un = qnun−1 + un−2.h. En déduire que (vn) est strictement croissante et même que ∀n ∈ N, vn ≥ Fn+1, ou (Fn) est

la suite de Fibonacci (cf exo 37).

Exercice 40 : Convergence de l’algorithme de fraction continue.Soient x un irrationnel, (qn) et (xn) les suites de l’exercice 29 associées au réel x, on a enparticulier x = Jq0, q1, . . . , qn, xn+1K, et (un) et (vn) les suites définies à l’exercice 39 associées àla suite (qn).

a. Montrer en utilisant les résultats de l’exercice 39, que :

x =xn+1un + un−1

xn+1vn + vn−1

b. Montrer que∣∣∣∣x− un

vn

∣∣∣∣ =1

vn(xn+1vn + vn−1)

12


c. Montrer que limn

un

vn

= x.

d. Conclure : Tout réel x est limite d’une suite le la forme (Jq0, q1, . . . , qnK)n, ou la suite (qn)n

est définie à l’exercice 29.

Exercice 41 : Meilleures approximations d’un irrationnel par des rationnels.Suite de l’exercice 39, les hypothèses et les notations sont les même, en particulier la suite(qn)n≥1 est une suite quelconque d’entiers strictement positifs.

a. Posons wn = rn − rn−1 pour créer un télescopage .

(1) Montrer que wn =(−1)n−1

vnvn−1

.

(2) Montrer que limwn = 0.(3) Montrer que la suite (|wn|) est décroissante.(4) Énoncer le théorème des séries alternées R , en particulier la majoration du reste.

Peut-on l’appliquer à la série∑wn ?

b. Conclure sur la convergence de la suite (rn), vers un réel r noté Jq0, q1, . . . , qn, . . .K.c. Montrer que |r − un

vn| ≤ 1

vnvn+1puis que |r − un

vn| < 1

v2n.

d. Montrer que r − un

vnest du signe de (−1)n.

e. En Supposant que |r − un

vn| ≥ 1

2v2n

et |un−1

vn−1− r| ≥ 1

2v2n−1

, montrer par l’absurde en minorant|un

vn− un−1

vn−1| que pour tout n, un

vnou un−1

vn−1vérifie |r − p

q| < 1

2q2 .f. Le théorème de Legendre, plus difficile, précise que pour tout irrationnel x, si

|x− pq| < 1

2q2 , alors pq

est un des un

vnassocié à x. Ceci n’est pas demandé.

g. Donner une bijection entre les suites d’entiers strictement positifs et les irrationnelspositifs.

Exercice F 42 : On admet que π = J3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, . . .K.a. Calculer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4, r1, r2, r3, r4.b. Montrer que |π − 355

113| ≤ 1

292.1132 .

Exercice F 43 :

a. Calculer Jq, q, . . . , q . . .K.b. Calculer J1, 2, 1, 2 . . . , 1, 2 . . .K.c. A titre d’information e = J2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, . . .K.

4 DénombrabilitéIl existe des irrationnels, nous en avons rencontré, mais sont-ils nombreux, plus oumoins nombreux que les rationnels, comment définir de manière rigoureuse cetteidée d’ensemble infini plus nombreux qu’un autre ?

Exercice C 44 : Rappeler les définitions d’injection, surjection, bijection. Illustrer à l’aide dedessins.

Exercice 45 : Soient f : E → F , et g : F → G.a. Montrer que si f et g sont injectives alors g f est injective.b. Montrer que si f et g sont surjectives alors g f est surjective.

13


c. Montrer que si f est injective, il existe h : F → E surjective tel que h f soit l’identité deE.

d. Montrer que si g f est injective alors f est injective.e. Montrer que si g f est surjective alors g est surjective.

Exercice 46 : Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

f1 : R → Rx 7→ sinx

f2 : R → R+

x 7→ x2

f3 : R+ → R+

x 7→ x2

f4 : R → Rx 7→ x3+1

x2+1

f5 : R → Rx 7→ x3 − x

f6 : ] − π2; π

2[ → R

x 7→ tanx

f7 : R → [0; 1]x 7→ cosx

f8 : R → Rx 7→ [x] − x

f9 : R2 → R3

(x, y) 7→ (x; y;x+ y)

f10 : R2 → R2

(x, y) 7→ (3x− 6y;−4x+ 8y)

f11 : R2 → R2

(x, y) 7→ (xy,√x2 + y2)

f12 : R3 → R2[X](a, b, c) 7→ a(X − b)(X − c)

f13 : C0([0, 1],R) → R2

h 7→(h(0),

∫ 1

0h(t)dt

)

f14 : Matrices à coefficient réel → Sous ensemble de R de cardinal finiM 7→ Ensemble des valeurs propres de M

Exercice 47 :a. Déterminer toutes les injections de N dans N qui vérifient ∀n ∈ N, f(n) ≤ n.b. Déterminer toutes les surjections de N dans N qui sont strictement croissantes.

Exercice C 48 : On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E une relation binaire,réflexive , symétrique et transitive .– Réflexive : ∀x ∈ E, xRx.– symétrique : ∀x, y ∈ E, xRy =⇒ yRx.– Transitive : ∀x, y, z ∈ E, (xRy et yRz) =⇒ xRz.On appelle classe d’équivalence de l’élément a, l’ensemble des éléments de E en relation avec A.

a. (1) Représenter un ensemble à 5 éléments munie d’une relation d’équivalence possédant 3classes d’équivalences.

(2) Représenter un ensemble à 4 éléments munie d’une relation d’équivalence possédant 2classes d’équivalences de 2 éléments.

(3) Représenter un ensemble à 3 éléments munie d’une relation symétrique et transitivemais pas réflexive.

(4) Montrer qu’une relation symétrique et transitive sans élément isolé est réflexive.b. Les relations suivantes sont-elles des relations d’équivalence ? Si oui décrire rapidement les

classes d’équivalence, ainsi qu’un système de représentants des différentes classes, c’est àdire une partie de E possédant un et un seul élément de chacune des classes.(1) E = R, xRy si x2 ≤ y2.(2) E = R, xRy si [x] = [y].(3) E = R, xRy si x = y.(4) E est l’ensemble des applications de R dans R. fRg si ∀x ∈ R, f(0) = g(0).(5) E = C, zRz′ si |z| = |z′|.(6) E est l’ensemble des triangles du plan euclidien. TRT ′ si l’aire de T est égale à l’aire

de T ′.(7) E est l’ensemble des parties de R et ARB si A ∩B = ∅.

14


(8) E = N, nRm si n−m est pair.

(9) Soit f une application de E dans F , xRy si f(x) = f(y).

Exercice C 49 : Soit E un ensemble et R une relation d’équivalence, montrer que les classesd’équivalences forment une partition de E, c’est à dire que E est la réunion disjointe de ses classesd’équivalences.

Exercice 50 : Soit Ω l’ensemble de tous les ensembles. Considérons la partie de Ω suivante∆ = A ∈ Ω, A 6∈ A, ∆ appartient-il à ∆ ? Que pouvons nous faire ?

Exercice C 51 : Deux ensembles sont dit équipotents si il existe une bijection entre eux. Montrerque la propriété "être équipotent" a les propriétés d’une relation d’équivalence, toutefois l’exercice50, nous met en garde contre cette dénomination.

Exercice C 52 : Quelques définitions pour commencer– Un ensemble A est fini si il existe un entier n tel que A soit en bijection avec 1, 2, . . . , n, on

écrit alors card(A) = n.– Un ensemble A est dénombrable si il est équipotent à N, on écrit card(A) = card(N) = ℵ0.– Un ensemble et "au plus dénombrable " si il est fini ou dénombrable.– Si il existe une injection de A dans B on écrit que card(A) ≤ card(B).Quelques questions pour continuer

a. Déterminer le cardinal de l’ensemble des applications de 0, 1, 2 dans lui même.

b. Montrer que N∗,N ∪ −2,−4, 2N et Z sont dénombrables.

c. Soit A une partie de N qui n’est pas finie, on pose ϕ(0) = minA, ϕ(1) = min(A \ ϕ(0)

),

ϕ(2) = min(A \ ϕ(0), ϕ(1)

), etc... Justifier le fait que la fonction ainsi définie est

bijective de N dans A.

d. Soit E un ensemble tel qu’il existe une surjection de N dans E, montrer que E est fini oudénombrable.

e. Montrer que si card(A) ≤ card(N), alors A est soit fini soit dénombrable. On peut dire quele dénombrable est le plus petit infini.

Exercice 53 : Soit E un ensemble, on note P(E) l’ensemble de ses parties.

a. On suppose dans cette question que E = 0, 1, 2, déterminer P(E).

b. On suppose dans cette question que E = ∅, déterminer P(E) puis P(P(E)) et enfinP(P(P(E))).

c. Déterminer le cardinal de P(E) dans le cas ou E est de cardinal fini.

d. Montrer que card(E) ≤ card(P(E)

).

e. Soient ϕ une application de E dans P(E) et A = a ∈ E, a 6∈ ϕ(a).(1) Dans cette question, on suppose que E = R et ϕ(x) =] − x2; 2x2[, calculer ϕ(1) puis

déterminer A

(2) Supposons qu’il existe a tel que ϕ(a) = A, a appartient-il à A ?

(3) Montrer que ϕ n’est pas surjective.

(4) Montrer qu’il n’existe jamais de bijection entre E et P(E).

(5) Utiliser ce résultat pour montrer qu’il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles.

Exercice 54 : Montrer à l’aide d’un dessin que N × N est dénombrable. De même montrer queN∗ × Z est dénombrable, en déduire que Q est dénombrable.

Exercice C 55 : On note ϕ une bijection de N dans N × N. ∀n ∈ N, ϕ(n) =(ϕ1(n), ϕ2(n)

).

15


a. Soit ψ définie par ∀n ∈ N, ψ(n) =(ϕ1(n), ϕ1(ϕ2(n)), ϕ2(ϕ2(n))

), montrer que ψ est une

bijection de N dans N3.

b. Soient A et B des ensembles dénombrables, ϕA et ϕB des bijection de N dans A et B,construire une bijection de N dans A×B.

c. En déduire qu’un produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles dénombrables estdénombrable.

d. Soient (An)n∈N une suite d’ensembles dénombrables, ψn une bijection de N dans An, et Γl’application de N dans ∪n∈NAn définie par Γ(n) = ψϕ1(n)(ϕ2(n)).

(1) Montrer que Γ est surjective.

(2) Montrer que Γ est injective si et seulement si les Ai sont disjoints deux à deux.

(3) Montrer qu’une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.

Exercice C 56 : Procédé diagonaleSoit φ une application de N dans [0, 1[ on note pour tout entier n, 0, a1

na2na

3na

4n . . . a

kna

k+1n . . .

l’écriture décimale propre de φ(n). Écrire le développement décimal d’un élément a de [0, 1[ quisoit différent de tous les φ(n). En déduire que φ n’est pas surjective. Montrer que R n’est pasdénombrable.

Exercice 57 :

a. Déterminer une bijection φ de S =

1n/n ∈ N \ 0, 1

dans S ∪ 0.

b. En déduire une bijection entre ]0, 1[ et [0, 1[.

c. En déduire une bijection entre R et R \ Z.

Exercice 58 : Montrer que l’ensemble des polynômes à coefficients entiers de degré k est dé-nombrable, en déduire que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable.

Exercice 59 : Application des fractions continues pour la dénombrabilité.Montrer que l’ensemble des suites finies d’entiers forme un ensemble dénombrable, en déduireque Q est dénombrable.Montrer qu’il n’existe pas de surjection de N dans l’ensemble des suites à valeur entière, dont lestermes sont, à part le premier, strictement positif.

5 Relation d’ordre, intervalle

Exercice C 60 : On appelle relation d’ordre sur un ensemble E une relation binaire, réflexive,antisymétrique et transitive.– Réflexive : ∀x ∈ E, xRx.– Antisymétrique : ∀x, y ∈ E, xRy et yRx =⇒ x = y.– Transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz =⇒ xRz.De plus on dit que l’ordre est total si ∀x, y ∈ E, xRy ou yRx, sinon on dit que l’ordre estpartiel. Les relations suivantes sont-elles des relations d’ordres, des relations d’ordres totales ?

a. E = R, xRy si x ≤ y.

b. E = R, xRy si x ≥ y.

c. E = R, xRy si x < y.

d. E est l’ensemble des applications de R dans R. fRg si ∀x ∈ R, f(x) ≤ g(x).

e. E est l’ensemble des applications de R dans R. fRg si ∃x ∈ R, f(x) ≤ g(x).

f. E = C, zRz′ si (Re (z) < Re (z′)) ou (Re (z) = Re (z′) et Im z ≤ Im (z′)).

16


g. E est l’ensemble des triangles du plan euclidien. TRT ′ si l’aire de T est inférieur ou égaleà l’aire de T ′.

h. E est l’ensemble des parties de R et ARB si A ⊂ B.i. E = N, nRm si m est un multiple de n.

Exercice C 61 : Rappeler les définitions pour une partie A d’un ensemble muni d’une relationd’ordre totale de : Maximum, minimum, majorant, minorant, borné, borne supérieure, borneinférieure.Donner un exemple de partie de :

a. R non majorée.b. R majorée mais sans maximum.c. R, n’ayant pas de maximum, dont la borne supérieur est 1, et dont le minimum vaut -1.

Donner deux exemples différents.d. R n’ayant pas de borne inférieure.e. Q non vide, majorée et ne possédant pas de borne supérieur dans Q.

Exercice 62 : Soit A une partie non vide majorée de R, on pose B = x ∈ R,−x ∈ A. Montrerque B est minorée et que inf B = − supA. On pourra, à titre d’exemple, commencer par traiterle cas A = [−1; 3[.

Exercice C 63 : On définit un intervalle de R ainsi, c’est une partie I de R, ayant la propriétésuivante : tout élément compris entre deux éléments de I appartient encore à I.

∀x, y ∈ I, ∀z ∈ R, x ≤ z ≤ y =⇒ z ∈ I

On n’utilisera dans cet exercice que cette définition :

a. Montrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle.b. Montrer que la réunion de deux intervalles d’intersections non vide est un intervalle.c. Montrer que la réunion d’une famille d’intervalle ayant un point commun est un intervalle.d. Montrer qu’il y a dix sortes d’intervalles, on pourra discuter suivant les propriétés

suivantes : vide, majoré, minoré, avec un maximum, avec un minimum.e. Donner un exemple de partie de R qui n’est pas un intervalle. On appelle

homéomorphisme une application bijective continue dont la réciproque est continue.Déterminer pour chacun des intervalles précédents un homéomorphisme entre lui et l’undes 5 intervalles suivants : ∅, 0, [0, 1], [0, 1[ et R.

Exercice C 64 : Une partie A de R est un ouvert si ∀x ∈ A,∃ε > 0, ]x− ε, x+ ε[⊂ A.

a. Parmi les intervalles de R, quels sont ceux qui sont ouverts ?b. Montrer qu’une réunion d’ouverts de R est un ouvert de R.c. Montrer que Q n’est pas ouvert.

d. Déterminer∩

n∈N∗

] − 1 − 1

n; 1 +

1

n[. Une intersection d’ouverts est-elle toujours ouverte ?

Exercice 65 : Soit A un ouvert de R, pour x ∈ A on pose Ux la réunion des intervalles ouvertscontenant x et inclus dans A.

a. Dans cette question, A =∪

k∈N∗

]k − 1

k, k +

1

k[, déterminer u5, u3, u1.

b. Montrer que pour tout x de A, Ux est un intervalle ouvert.

17


c. Montrer que la relation xRy si x ∈ Uy est une relation d’équivalence. Quelles en sont lesclasses ?

d. Montrer que chaque Ux contient un rationnel.e. Montrer que tout ouvert de R est une réunion au plus dénombrable d’intervalles ouverts

de R.

Exercice C 66 : Soit E une partie de R et D une partie de E.– On dit que D est dense dans E pour la relation d’ordre si :

∀x, y ∈ E, ∃z ∈ D, x < y ⇒ x < z < y

– D est topologiquement dense dans E si

∀x ∈ E, ∀ε ∈ R∗+,∃z ∈ D, |x− z| ≤ ε

a. Montrer que D est topologiquement dense dans E si et seulement si pour tout élément xde E, il existe une suite de D qui converge vers x.

b. Pour chacun des cas suivants, étudier si D est dense dans E pour la relation d’ordre ? Si Dest topologiquement dense dans E ?

E1 = R, D1 = R∗

E2 = Z, D2 = ZE3 = R, D3 = Z

E4 = 0, D4 = ∅E5 = Q, D5 = QE6 = R, D6 = Q

E7 = R, D7 = R \ QE8 = −1∪]0, 1], D8 =]0, 1]E9 = −1 ∪ [0, 1], D9 = E8

c. Montrer que si D est dense dans E pour la relation d’ordre, alors D est dense dans Dpour la relation d’ordre.

d. Soit I un intervalle de R et D une partie de I, montrer que D est topologiquement densedans I si et seulement si D est dense pour la relation d’ordre dans I.

e. Soit D topologiquement dense dans E, et f une fonction continue de E dans R, montrerque f(D) est topologiquement dense dans f(E).

f. Soit D dense dans E pour la relation d’ordre, et f une fonction strictement croissante deE dans R, montrer que f(D) est dense dans f(E) pour la relation d’ordre.

6 Points d’accumulation, ensemble dérivé, ensemble parfaitExercice C 67 : Soient A et B deux parties de R, on définit l’adhérence de A par

A = x ∈ R/∀ε > 0,∃y ∈ A, |x− y| ≤ ε

a. Montrer que A ⊂ A.b. Montrer que x ∈ A si et seulement si il existe une suite d’éléments de A qui converge vers

x.c. Pour chacun des ensembles suivants déterminer A :

A1 = 0A2 = [0, 1]

A3 =]0, 1]A4 = 0∪]1, 2[

A5 = ZA6 = Q

A7 = [−1; +∞[A8 =] − 1; +∞[

d. Montrer que le complémentaire de A dans R est un ouvert.e. Montrer que : A = R si et seulement si A est dense dans R.

18


f. Montrer que A = A.g. Montrer que : A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.h. Montrer que A ∪B = A ∪B.i. En considérant A = [0; 1[ et B =]1; 2], montrer que pour l’intersection il y a juste une

inclusion entre A ∩B et A ∩B.

Exercice C 68 : Quelques définitions : Soit A une partie de R,– L’ensemble dérivé de A est A′ =

x ∈ R/∀ε > 0, ∃y ∈ A \ x, |x− y| ≤ ε

– x ∈ R est un point d’accumulation si il appartient à A′.– x ∈ R est un point isolé de A si ∃ε > 0, A∩]x− ε, x+ ε[= x.– A est un ensemble discret si tous ses points sont isolés.– A est un ensemble parfait si A′ = A.

a. Montrer que x est un point d’accumulation de A si et seulement si il existe une suite depoints de A \ x qui converge vers x.

b. Montrer que A′ ⊂ A.c. Soit x ∈ A, montrer que x est un point isolé si et seulement x n’est pas un point

d’accumulation.d. Pour chacun des ensembles suivants déterminer A′, A est-il parfait ? A est-il discret ?

A1 = 0A2 = [0, 1]A3 =]0, 1]

A4 = 0∪]1, 2[A5 = ZA6 = Q

A7 = (−1)n + e−n /n ∈ NA8 =] − 1; 0[∪]0, 1]

e. Soit B =

1

p∈ R /p ∈ N∗

, représenter rapidement B, puis déterminer B, B′ et B′′.

f. Soit Bα =

α+

1

p∈ R /p ∈ N∗

, représenter rapidement Bα, puis déterminer Bα, B′

α et

B′′α.

g. Déterminer(B1 ∪B 1

2

)′.h. Soit C =

1

p+

1

q∈ R /p, q ∈ N∗

=∪

q∈N∗

B 1q, représenter rapidement C, puis déterminer

C ′ et C ′′.i. Montrer que A ∪ A′ = A.j. Montrer que A \ A′ est l’ensemble des points isolés de A.

k. Montrer que∪i

A′i ⊂

(∪i

Ai

)′

.

Exercice D 69 : Soit P un ensemble parfait de R, non vide.a. Montrer que P possède deux points distincts a et b.b. Montrer qu’il existe quatre réels α, β, α′, β′, tels que a ∈]α, α′[, b ∈]β, β′[ et

[α, α′] ∩ [β, β′] = ∅c. Montrer que ]α, α′[∩P est un parfait non vide. On pourra montrer que c’est l’adhérence

d’un ensemble qui n’a pas de point isolé.d. Conclure : Tout parfait non vide de R contient deux parfaits, non vide, disjoint.e. En utilisant le résultat précédent montrer qu’un parfait P non vide de R a la puissance du

continue. On pourra

19


(1) Montrer que l’intersection d’une suite décroissante de compacts R de R est toujoursnon vide.

(2) Montrer que P contient deux parfaits compacts non vides disjoints P0 et P1.(3) Montrer que chacun d’eux contient deux parfaits compacts distincts et ainsi de

suite... P00 et P01 P10 et P11, montrer que l’on construit ainsi une fonction des suitesde 0, 1 dans P injective.

(4) Conclure.

7 Sous groupes additifs de RExercice F C 70 : Un sous groupe additif de R est une partie A de R, ayant les propriétéssuivantes :

G1) A 6= ∅G2) ∀x, y ∈ A, x+ y ∈ A.G3) ∀x ∈ A, −x ∈ A.

a. Parmi les parties de R suivantes, quelles sont celles qui sont des sous groupes additifs deR ? N, Z, 2Z, [−1, 1], Q, a+ b

√2/a, b ∈ Z, aZ avec a ∈ R.

b. Soit A un sous groupe additif de R, montrer que 0 ∈ A.c. Montrer qu’il n’existe qu’un seul sous groupe additif de R de cardinal fini.d. Montrer que R \ Q n’est pas un sous groupe additif de R.e. Montrer que l’intersection de deux sous groupes additif de R est un sous groupe additif de

R.

Exercice 71 : Soient A et B deux parties de R on pose A+B = a+ b ∈ R/a ∈ A, b ∈ B.a. Déterminer A = Z + 5, B = 0, 1, 2 + −2, 1, 2, C = (Q +

√2) ∩ Q,

D =] − 2; 2[+−2; 2, et E =] − 2; 3[+−1; 0; 9.b. Soient F et G deux sous groupes additifs de R, montrer que F +G est un sous groupe

additif de R. Déterminer 2Z + 3Z.c. Comparer 2Z + 3Z, 2Z ∪ 3Z et 2Z ∩ 3Zd. En considérant 2Z et 3Z, montrer que la réunion de deux sous groupes additifs de R n’est

pas forcément un sous groupe additif de R.

Exercice C 72 : Soit G un sous groupe additif de R non réduit à 0.a. Montrer que G∩R∗

+ 6= ∅, on pose alors G+ = G∩R∗+, l’ensemble des éléments strictement

positifs de G.b. Montrer que G ∩ R∗

+ possède une borne inférieure que l’on note a.c. Supposons que a > 0.

(1) Montrer que a ∈ G, On pourra raisonner par l’absurde et montrer qu’il existex, y ∈]a, 2a[∩G distincts, puis considérer y − x.

(2) Montrer que aZ ⊂ G.(3) Soit x ∈ G, montrer qu’il existe n ∈ Z tel que na ≤ |x| < (n+ 1)a.(4) Montrer que |x| − na ∈ G, en déduire que |x| = na.(5) Montrer que G ⊂ aZ.

d. Supposons que a = 0.(1) Soit α, β ∈ R avec α < β. Montrer que ∃x ∈ G, 0 < x < β − α.

20


(2) Montrer qu’il existe m ∈ Z tel que α < mx ≤ β.(3) Montrer que G est dense dans R.

e. Énoncer un résultat général sur les sous groupes de R.

Exercice 73 : Montrer qu’un sous groupe de R contenant un intervalle non réduit à un point,est R tout entier.

Exercice 74 : On rappelle que deux entiers relatifs sont premiers entre eux si leurs seulsdiviseurs communs sont 1 et -1. D’autre part le théorème de Bezout donne l’équivalence entre aet b sont premiers entre eux et

∃u, v ∈ Z, au+ bv = 1

On note, pour tout réels a et b, Ωa,b = ma+ nb/m, n ∈ Z.a. Déterminer Ω2,3, Ω9,6, Ω2, 1

3, et Ω 2

3, 12.

b. Montrer que Ωa,b est un sous groupe additif de R.c. Si a

b∈ Q, montrer qu’il existe c tel que Ωa,b = cZ. On pourra écrire a

b, comme le rapport

de deux entiers premier entre eux pq, et poser c = b

q.

d. Déterminer Ω 23, 47

puis Ω 245

π, 2627

π.e. Réciproquement montrer que si Ωa,b = cZ, alors b = 0 ou a

b∈ Q.

f. Montrer que Ω1,π est dense dans R.g. Notons Sa = sin(an)/n ∈ N, en étudiant Ωa,2π, montrer que SA est soit dense dans

[−1; 1], soit de cardinal fini.

Exercice 75 : Soit f : R → R une application. On note P l’ensemble des périodes de f ,c’est-à-dire :

P = T ∈ R/∀x ∈ R, f(x+ T ) = f(x)a. Si f est constante, déterminer P .b. Si ∀x ∈ R, f(x) = x2, déterminer P .c. Si ∀x ∈ R, f(x) = sinx, déterminer P .d. Montrer que P est un sous groupe additif de R.e. Si f est la fonction indicatrice de Q, déterminer P .f. Montrer que si f est continue, non constante, il existe a tel que P = aZ. On dit que |a| est

la plus petite période de f .

8 Nombres constructiblesExercice C 76 : Commençons par des définitions :– Soit P le plan euclidien R2 et B = (0, 0), (1, 0) , un point M du plan est constructible à la

règle et au compas si il existe des points du plan M1,M2, . . . ,Mn = M tels que pour tout i, enposant Ei = B ∪ M1,M2, . . . ,Mi−1, Mi est un point d’intersection soit :*) De deux droites passant chacune par deux points distincts de Ei.*) De deux cercles chacun centré en un point de Ei, et de rayon égal à la distance entre deux

points de Ei.*) D’un cercle centré en un point de Ei, et de rayon égal à la distance entre deux points de Ei

et d’une droite passant par deux points distincts de Ei.– Une droite est constructible si elle passe par deux points constructibles.– Un cercle est constructible si son centre est constructible et son rayon est la distance entre

deux points constructibles.

21


– Un réel x est constructible si (x, 0) est constructible. On note C , l’ensemble des réelsconstructibles.

Des applications immédiates, montrer quea. (−1, 0) est constructible.b. (0, 1) est constructible.c. (0, y) est constructible ssi y est constructible.d. La droite orthogonale à une droite constructible et passant par un point constructible est

constructible.e. La droite parallèle à une droite constructible et passant par un point constructible est

constructible.f. Le milieu de deux points constructibles est constructible.

Exercice C 77 : Une partie K de R, est un sous corps de R si :C1 : 1 ∈ K.C2 : a, b ∈ K ⇒ a+ b ∈ K.C3 : a ∈ K ⇒ −a ∈ K.C4 : a, b ∈ K ⇒ ab ∈ K.C5 : a ∈ K \ 0 ⇒ 1

a∈ K.

a. Montrer que tout sous corps de R contient 0.b. Montrer que C est un sous corps de R.c. Montrer qu’un sous corps de R est un sous groupe additif de R.d. Soit K un sous corps de R, montrer que K contient Z, puis Q.e. Soient K1 et K2 deux sous corps de R, montrer que K1 ∩K2 est un sous corps de R.

Exercice C 78 :

a. Soit a un réel supérieur à −12, constructible, en considérant le cercle de diamètre

[(0, 0), (a+ 1, 0)], montrer que√

2a+ 1 est constructible.b. Montrer que C est stable par passage à la racine carrée, c’est-à-dire que :

a ∈ C ∩ R+ ⇒√a ∈ C

c. Soient a, b, c trois réels constructibles, a étant non nul. Montrer que si α est une racineréelle de ax2 + bx+ c, alors α ∈ C .

Exercice 79 : Soit K un sous corps de R, R est un espace vectoriel sur le corps K (on parlealors de K−espace vectoriel , c’est à dire que les scalaires sont les éléments de K et les vecteurssont les réels. Supposons que K = Q, montrer que 3

7et 6

5sont deux vecteurs liés, puis que

√2− 1

et 37

sont deux vecteurs libres. Les familles suivantes sont-elles Q−libres (π, 57π), (π + 1, π + 2),

(π + 1, π + 2, π + 3) ?

Exercice F C 80 : Soit L un sous corps de R et K un sous corps de R contenant L, montrerque K est un sous L−espace vectoriel de R. Si K est un espace vectoriel de dimension fini sur L,on note [K : L] la dimension de K vu comme L espace vectoriel.

Exercice C 81 : Soit K un sous corps de R, et a un réel, on note K(a) le plus petit sous corpsde R tel que K ⊂ K(a) et a ∈ K(a). C’est l’intersection de tous les sous corps de R qui ont cespropriétés. On pose E = Q(

√2), et L = vectQ(1,

√2) = a+ b

√2/a, b ∈ Q.

a. Montrer que L ⊂ Q(√

2).

22


b. Montrer que L est un sous corps de R.c. Montrer que L = Q(

√2).

d. Montrer que [Q(√

2) : Q] = 2.e. On note K(a1, a2, . . . , an), le plus petit sous corps de R, qui contient K ∪ a1, a2, . . . , an,

montrer que(K(a1)

)(a2) = K(a1, a2).

Exercice 82 :a. Montrer que (1,

√3,√

6) est une famille Q-libre.b. Montrer que (1,

√3,√

6) est une famille Q(√

2)-liée.c. Montrer que (1,

√3) est une famille Q(

√2)-libre, pour cela on montrera par l’absurde que√

3 6∈ Q(√

2).d. Montrer que (1,

√2,√

3,√

6) est une famille Q-libre.

Exercice C 83 : Soit K un sous corps de R et α un réel n’appartenant pas à K tel que α2 ∈ K,montrer en vous inspirant de l’exercice 81 que [K(α) : K] = 2. En déduire que si β est unréel n’appartenant pas à K, solution d’une équation du second degré à coefficient dans K, alors[K(β) : K] = 2.

Exercice 84 : Soit L = vectQ(1, 3√

2, 3√

4) = a+ b 3√

2 + c 3√

4/a, b, c ∈ Q.a. Montrer que L ⊂ Q( 3

√2).

b. Montrer que L est stable pour la multiplication (∀x, y ∈ L, xy ∈ L).c. Soit x ∈ L \ 0, posons

ϕx : L → Ly 7→ xy

(1) Montrer que ϕx est Q-linéaire.(2) Montrer que ϕx est injective.(3) Montrer qu’il existe y ∈ L tel que xy = 1.

d. Déduire de la question précédente que L est un sous corps de R.e. Montrer que L = Q( 3

√2).

f. Montrer que (1, 3√

2) est une famille Q-libre.g. En supposant qu’il existe des rationnels a, b vérifiant 3

√4 = a+ b 3

√2, et en multipliant

cette égalité par 3√

2, montrer que L 6= vectQ(1, 3√

2).h. En déduire [Q( 3

√2) : Q].

Exercice 85 : Montrer que Q(e) est un Q-espace vectoriel de dimension infini.

Exercice 86 : Soit K un sous corps de R, P un polynôme à coefficient dans K, et a une racineréelle de P . On pose n = deg(P ) et L = vectK(1, a, a2, . . . , an−1).

a. Rappeler le théorème de division euclidienne R des polynômes à coefficients réels. Effectuerla division euclidienne de X4 + 4X3 − 1 par (X + 1)2.

b. Montrer que L est stable par multiplication.c. Soit x ∈ L \ 0, posons

ϕx : L → Ly 7→ xy

(1) Montrer que ϕx est K-linéaire.(2) Montrer que ϕx est injective.(3) Montrer qu’il existe y ∈ L tel que xy = 1.

23


d. Montrer que L est un sous corps de R.e. Montrer que K(a) = L.

Exercice 87 :a. Soit K un sous corps de R, et L un sous espace vectoriel de R sur le corps K. En vous

inspirant des exercices précédents, montrer que si L est stable pour le produit alors L estun sous corps de R.

b. Soit M = x ∈ R/∃N ∈ N, ∃a0, a1, . . . , aN ∈ Q, x = a0 + a1e+ a2e2 + . . . aNe

N, montrerque M est un sous espace vectoriel stable pour le produit mais n’est pas un sous corps deR.

Exercice 88 : Montrer que [Q(√

2 +√

3) : Q] = 4, on pourra commencer par chercher uneQ−base de Q(

√2 +

√3), et on s’inspirera des exercices précédents.

Exercice 89 : Soit K un sous corps de R, a un nombre algébrique sur K. On dit que a est dedegré n sur K, si il existe P ∈ K[X] de degré n tel que P (a) = 0 et

∀Q ∈ K[X], Q(a) = 0 ⇒ Q = 0 ou deg(Q) ≥ n

a. Exemple K = Q, quels sont les degrés de√

2, 3√

2.b. Soit a un nombre algébrique de degré n sur K, montrer que (1, a, a2, . . . , an−1) est une

base de K(a) vu comme K espace vectoriel.c. Montrer que

√2 +

√3 est de degré 4 sur Q et de degré 2 sur Q(

√2).

Exercice C 90 : Soient M,N,L trois sous corps de R tels que L ⊂M ⊂ N et N est dedimension finie sur le corps M , M est de dimension finie sur le corps L. (e1, . . . , en) une base deN comme M espace vectoriel, et (f1, . . . , fm) une base de M comme L espace vectoriel.

a. Montrer que la famille de mn vecteurs : (eifj)i,j est une famille génératrice de N commeL-espace vectoriel.

b. Montrer que la famille de mn vecteurs : (eifj)i,j est une famille libre comme L-espacevectoriel.

c. En déduire que [N : L] = [N : M ][M : L].

Exercice 91 : On pose H = Q(√

2), K = H(√

5) = Q(√

2,√

5) etL = a+ b

√2 + c

√5 + d

√10 | a, b, c, d ∈ Q = vectQ(1,

√2,√

5,√

10).a. On va montrer par l’absurde que

√5 6∈ H, on suppose qu’il existe des rationnels a et b tels

que√

5 = a+ b√

2.(1) Montrer que 5 = a2 + 2b2 + 2

√2ab.

(2) Montrer avec rigueur, en utilisant le fait que (1,√

2) est une Q-base de H, que√5 6∈ H.

b. En déduire que [K : H] = 2, ainsi qu’une H-base de K.c. Montrer que L = K et [K : Q] = 4.d. Montrer que 1,

√2,√

5,√

10 est une famille Q-libre de R.

Exercice 92 : Soient H et K deux sous corps de R tels que [H : K] = 2, et a un élément de Lqui n’appartient pas à K.

a. Montrer que (1, a) est une K-base de H.b. Montrer que a est racine d’un polynôme de degré 2 à coefficient dans K.c. Soit L0, L1, . . . , Ln une suite de sous corps de R tels que [Li : Li−1] = 2 pour tout i, etL0 = Q. Montrer par récurrence que Ln ⊂ C (On pourra utiliser l’exercice 78).

24


Exercice 93 : Soient K un sous corps de R, xA, yA, xB, yB, xC , yC , xD, yD, xE, yE, xF , yF ∈ KA = (xA, yA), B = (xB, yB), C = (xC , yC), D = (xD, yD), E = (xE, yE), des points distincts deuxà deux, tels que les droites (AB) et (CD) ne soient pas parallèles.

a. Montrer que la droite (AB) possède une équation de la forme αx+ βy + γ = 0 avecα, β, γ ∈ K.

b. Montrer que le cercle de centre A et de rayon BC, possède une équation de la formex2 + y2 + ρx+ σy + τ = 0 avec ρ, σ, τ ∈ K.

c. Montrer que les coordonnées du point d’intersection de la droite (AB) et de la droite(CD) appartiennent à K.

d. En supposant qu’il existe, notons G = (xG, yG) un point d’intersection de la droite (AB)et du cercle de centre C et de rayon DE, montrer que si xG ou yG n’appartient pas à Kalors [K(xG, yG) : K] = 2 (on pourra utiliser l’exercice 83).

e. En supposant qu’il existe, notons H = (xH , yH) un point d’intersection du cercle de centreA et de rayon BC, et du cercle de centre D et de rayon EF , montrer que si xH ou yH

n’appartient pas à K alors [K(xH , yH) : K] = 2 (on pourra se ramener à la questionprécédente).

f. Déduire des questions précédentes que si t ∈ C il existe une suite de sous corps de R :L0 = Q, L1, . . . , Ln tels que [Li : Li−1] = 2 pour tout i, et t ∈ Ln.

g. On a donc montré le théorème de Wandzel : Soit t ∈ R, t est constructible ssi il existe unesuite de sous corps de R, L0, L1, . . . , Ln tels que L0 = Q, [Li : Li−1] = 2 pour tout i, ett ∈ Ln.

Exercice 94 : Soit t ∈ R, montrer que si t est constructible alors il existe m ∈ N tel que[Q(t) : Q] = 2m.

Exercice 95 : En admettant que π est transcendant montrer que la quadrature du cercle n’apas de solution. C’est à dire que l’on ne peut pas construire à la règle et au compas un carré dontl’aire est égale à l’aire d’un cercle de rayon 1.

Exercice 96 : Montrer que le problème de la duplication du cube n’a pas de solution à la règleet au compas. C’est à dire qu’étant donné un cube de coté 1, il n’est pas possible de construire àla règle et au compas le coté d’un cube dont le volume est double du cube de départ.

9 Ensemble de Cantor

Exercice 97 : On note I l’ensemble des réunions finies de segments de R, T une fonction deI dans I , qui à une réunion fini de segments disjoints retire le tiers central de chacun de cessegments. Par exemple

T ([0, 3]) = [0, 1] ∪ [2, 3]

T(T ([0, 3])

)= [0,

1

3] ∪ [

2

3, 1] ∪ [

6

3,7

3] ∪ [

8

3,9

3]

On note A0 = [0, 1], et on définit par récurrence une suite de parties de [0,1] par la relation :∀n ∈ N, An+1 = T (An).

a. Déterminer et représenter A1, A2, A3.

b. Montrer que la suite (An) est décroissante.

c. Soient A,B ∈ I, si A ∩B = ∅ remarquer que T (A ∪B) = T (A) ∪ T (B), le résultatreste-t-il vrai si A ∩B 6= ∅ ?

25


d. On définit l’ensemble de Cantor par

K =∩n∈N

An

Montrer que 0 ∈ K .e. Dénombrer le nombre d’extrémités de Ai, montrer qu’elles appartiennent à K , en déduire

que K est infini.f. Dénombrer le nombre d’intervalles disjoints qui constitue An, et déterminer leur longueur.g. Montrer que le complémentaire de Ai dans R est un ouvert, en déduire en utilisant

l’exercice 64 que le complémentaire R T de K est ouvert. En déduire que K est uncompact R de R.

h. Montrer que T le complémentaire de K est dense dans [0, 1]. On pourra montrer que si]a, b[ n’est pas inclus dans T alors ]a, b[ contient un intervalle d’un An.

i. Soit h l’homothétie de centre 0 et de rapport 13

et τ la translation de vecteur 23, montrer

que h T = T h et τ T = T τ .j. Montrer que

K = h(K )⊔(

h(K ) +2

3

)où⊔

représente la réunion disjointe, cette propriété est une des propriétés des fractales :l’auto-similarité .

Exercice 98 :a. Montrer que x appartient à A1 ssi il existe un développement (propre ou impropre) de x

en base 3 : 0, a1a2a3 . . . tel que a1 6= 1.b. En vous inspirant de la question précédente, déterminer une condition nécessaire et

suffisante sur un développement de x en base 3 pour que x appartienne à A2.c. En vous inspirant de ce qui précède, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

un développement de x en base 3 pour que x appartienne à A3.d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur un développement en base 3 de x,

pour que x appartienne à K . On appelle développement cantorien de x ∈ K ledéveloppement en base 3 de x ne contenant aucun 1. Vérifier que le développementcantorien est unique.

e. Déterminer le développement en base 3 propre, impropre et cantorien de 13, 7

9, et 20

27.

f. On appelle nombre triadique un réel de la forme k3n , où k ∈ Z et n ∈ N. A quelle condition

sur le développement en base 3 un nombre est-il triadique ? Montrer que les extrémités deAn sont triadiques. Montrer que l’ensemble des nombre triadique est dénombrable.Comment pourrait-on définir un nombre diadique ?

g. Montrer que K est un ensemble parfait.

Exercice 99 : Nous avons vu à l’exercice 65 qu’un ouvert de R était une réunion au plusdénombrable d’intervalles ouverts disjoints, on peut définir la longueur d’un intervalle, et doncla longueur d’un ouvert comme étant la somme (au sens des séries) des longueurs des intervallesouverts qui le compose. On dit qu’une partie A de R est négligeable si pour tout ε > 0 il existeun ouvert de longueur inférieur à ε contenant A. Montrer que K est négligeable.

Exercice 100 : Montrer, en utilisant le développement en base 3 des réels que :a. ∀x ∈ [0, 1], x ∈ K ⇐⇒ 1 − x ∈ K

b. 12K + 1

2K = [0, 1].

26


c. K + K = [0, 2].

Exercice 101 : Soit ψ l’application de K dans [0, 1] qui au développement cantorien de x,0, b1b2b3 . . . associe l’élément de [0, 1] dont un développement en base 2 est 0, a1a2a3 . . . oùai = 1

2bi.

a. Calculer ψ(13), ψ(2

9), ψ( 8

27), et ψ(2

3).

b. Montrer que ψ est surjective de K dans [0, 1].c. Montrer que ψ est croissante.d. Montrons que ψ est continue : Soient a et b deux éléments de K , a < b, de développement

cantorien a = 0, a1a2a3 . . .3, b = 0, b1b2b3 . . .

3, et n le plus petit entier tel que an 6= bn.(1) Montrer que 1

3n ≤ b− a ≤ 13n−1

(2) Montrer que 0 ≤ f(b) − f(a) ≤ 12n−1 .

(3) Conclure.e. ψ est-elle injective ?f. Soient a, b ∈ K , tels que ]a, b[∩K = ∅. Montrer que a et b sont triadiques et qu’il existen tel que b− a = 1

3n . Montrer que ψ(a) = ψ(b), en déduire un prolongement naturel ψ deψ à [0, 1].

g. Montrer que sur [0, 1] \ K , ψ est dérivable de dérivée nulle, on en déduit que

0 =

∫ 1

0

ψ′(t)dt 6= ψ(1) − ψ(0) = 1

Exercice 102 : Définissons une suite de fonction (fn) par :fn(0) = 0(fn|An)′ = (3

2)n

fn est constante sur chaque intervalle qui compose le complémentaire de An.fn est continue.

a. Représenter f0, f1, et f2.b. Montrer que fn(1) = 1.c. Montrer que supx∈[0,1] |fn+1(x) − fn(x)| ≤ 1

2n+1 .

d. En déduire que la série de fonctions∑

(fn+1 − fn) converge normalement R sur [0, 1].e. Montrer que la suite de fonctions (fn) converge uniformément R vers une fonction f .

10 Exemples de fonctions ’curieuses’ de R dans R

Continuité

Exercice 103 : On définit la fonction f de [0, 1] dans [0, 1] par :

f(x) =

x si x ∈ Q ∩ [0, 1]

x+ 12

si x ∈ Q ∩ [0, 12[

x− 12

si x ∈ Q ∩ [12, 1]

a. Représenter f .b. Montrer que f n’est continue en aucun point.

27


c. Montrer que f est bijective R de [0, 1] dans [0, 1].

Exercice 104 : On définit sur R la fonction h par h(x) = x− [x] où [x] représente la partieentière du réel x.

a. Représenter h, déterminer les points de R où h est continue.

b. On pose fn(x) =h(nx)

2n, montrer que la série de fonctions

∑fn, converge

normalement R sur R. On note Sn =∑n

k=0 fk et S la somme de la série.

c. Montrer que S est périodique de période 1.

d. Rappeler le théorème d’interversion de limites pour la convergence uniforme R des suitesde fonctions.

e. Montrer que S est continue sur R \ Q.

f. Soit a ∈ Q∗, a = pq

avec p et q premiers entre eux et q > 0, calculer pour n ∈ qN∗ :h(na) et limx→

<a h(nx) et pour n 6∈ qN∗, montrer que limx→

<a h(nx) = h(na).

g. Déduire des questions précédentes que limx→

<aSqN(x) − SqN(a) =

N∑t=0

1

2qt.

h. Déduire des questions précédentes que S(a) 6= limx→

<aS(x).

i. En quels points de R la fonction S est-elle continue ?

Monotonie

Exercice 105 : On définit sur R la fonction h par h(x) =∣∣x− [x+ 1

2]∣∣ où [x] représente la

partie entière du réel x.

a. Montrer que h est 1-périodique, représenter h, et déterminer les bornes de h.

b. Montrer que h est continue.

c. On veut montrer que h est 1-lipschitzienne R .

(1) Montrer que h est dérivable sur R \ 12Z.

(2) Montrer que ∀x ∈ R \ 12Z, |f ′(x)| = 1.

(3) Montrer que ∀x ∈ R,∫ x

0f ′(t) dt = f(x).

(4) En déduire que h est 1-lipschitzienne.

d. On pose fn(x) = h(4nx)4n , représenter f1, f2.

e. Montrer que fn est 1-lipschitzienne.

f. Montrer que la série de fonctions∑

fn, converge normalement R sur R. On note S sasomme.

g. Montrer que S est continue.

h. Pour m ∈ N et s ∈ Z, on pose a = s4m , calculer fn(a) pour n ≥ m.

i. On pose b = a+ 142m+1 , calculer fn(b) pour n > 2m.

j. Montrer que∣∣∑m−1

k=0

(fk(b) − fk(a)

)∣∣ ≤ m(b− a). En déduire que

m−1∑k=0

(fk(b) − fk(a)

)≥ −m(b− a)

28


k. Montrer que pour k compris entre m et 2m, 4ka ∈ Z et 4kb ∈ [4ka; 4ka+ 14]. En déduire

que fk(b) = fk(b) − fk(a) = b− a.l. En déduire que S(b) − S(a) ≥ −m(b− a) + (m+ 1)(b− a) ≥ b− a.

m. Montrer de même qu’en posant c = a− 142m+1 , on obtient S(c) − S(a) ≥ a− c.

n. Déduire de ce qui précède que S n’est monotone sur aucun intervalle ouvert de R.

Dérivabilité

Exercice 106 : Montrer que la fonction valeur absolue est continue sur R, mais n’est pasdérivable en 0.

Exercice 107 : On reprend l’exemple de l’exercice 105. Soient a un réel, n un entierstrictement positif, a+ = a+ 1

4n et a− = a− 14n .

a. Montrer que fm est périodique de période 4−m.b. Soit m ≥ n, montrer que fm(a+) = fm(a) = fm(a−).c. Montrer que fm est affine par morceaux de pente ±1, avec un changement de pente (ou

coefficient directeur) en chaque point de Dm = 12

14m Z.

d. Montrer que fn−1 restreinte à [a, a+] ou à [a−, a] est affine.e. Supposons que fn−1 restreinte à [a, a+] soit affine, on pose alors δn = 1.

(1) Montrer que pour tout m < n, fm restreinte à [a, a+] est affine. On note alors εm sapente.

(2) En déduire que pour tout m < n, fm(a+ 14n ) = fm(a) + 1

4n εm.

(3) Montrer queS(a+ 1

4n ) − S(a)14n

=n−1∑m=0

εm.

(4) En déduire queS(a+ 1

4n ) − S(a)14n

est un entier ayant la même parité que n.

f. Sinon fn−1 restreinte à [a−, a] est affine, on pose alors δn = −1. Conclure de même queS(a− 1

4n ) − S(a)14n

est un entier ayant la même parité que n.

g. Montrer que pour tout entier n,S(a+ δn

4n ) − S(a)δn

4n

est un entier de même parité que n.

h. Montrer que S n’est pas dérivable en a. Conclure sur les propriétés de la fonction S.

Exercice 108 : Soit f , l’application définie de R dans R, nulle en 0 et telle que

∀x ∈ R∗, f(x) = x2 sin1

x+x

4

a. Montrer que f est de classe C1 sur R∗.b. Montrer que f est dérivable en 0. Calculer sa dérivée.c. Montrer que f n’est pas de classe C1 sur R.d. Montrer que f n’est croissante sur aucun voisinage de 0, alors que f ′(0) = 1

4.

Exercice 109 : Soit f , l’application définie de R dans R, nulle en 0 et telle que∀x ∈ R∗, f(x) = e−

1x2 .

a. Montrer que f est continue en 0.

29


b. Montrer que f est dérivable sur R.c. Montrer que pour tout k ∈ N, limx→0

f(x)xk = 0.

d. Montrer par récurrence que pour tout entier n, il existe des polynômes Pn et Qn tels quela dérivée nième de f sur R∗ soit de la forme Pn(x)

Qn(x)e−

1x2 .

e. En déduire que f est de classe C∞ sur R, et que ∀n ∈ N, f (n)(0) = 0.f. Déterminer la série de Taylor R de f en 0. Déterminer son rayon de convergence.g. Comparer f avec la somme de sa série de Taylor.

11 Contrôles continusContrôle continu n1, Approfondissements 2009/2010

Exercice 1 : On donne les tables de somme et de produit en base 5, compléter les casesmanquantes :

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 102 2 3 4 10 113 3 4 10 11 α4 4 10 11 α 13

× 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 11 133 0 3 11 14 224 0 4 13 22 β

a. Remplir les cases manquantes α = ............ et β = ..............

b. Effectuer les opérations suivantes :

124+ 42

323× 34

1011− 304

c. Effectuer la division euclidienne de 1011 par 21

Exercice 2 : En admettant que√

3 est un irrationnel, donner un exemple de couple (a, b)d’irrationnels dont la somme est un rationnel, on démontrera que a et b sont irrationnels.

Contrôle continu n2, Approfondissements 2009/2010

Exercice 1 :

a. Déterminer le développement en base 10 du rationnel2

11.

b. On donne les tables de somme et de produit en base 5 :

30


+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 102 2 3 4 10 113 3 4 10 11 124 4 10 11 12 13

× 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 11 133 0 3 11 14 224 0 4 13 22 31

Déterminer le développement en base 5 du rationnel2

5

115 .

Exercice 2 :a. Déterminer la décomposition en fraction continue de 5

77.

b. Calculer J−2, 1, 3, 1K.


Exercice 1 : Écrire le développement en fraction continue de√

11.

Exercice 2 : Calculer[

3 22 4

](∞)

Exercice 3 : α et β deux réels différents, montrer qu’il existe une unique fonction homographiquetelle que f(α) = 0, f(β) = 1 et f(∞) = ∞.

Exercice 4 : Soit un =

[1 −31 −2

]. . .

[1 −31 −2

][

1 −31 −2

][

1 −31 −2

][

1 −31 −2

]︸︷︷︸

n éléments

(∞), dé-

terminer un en fonction de n.


Exercice 1 : Soient f : E → F , et g : F → G.a. Montrer que si f est surjective et g f est injective alors g est injective.b. Donner un exemple avec des patatoïdes où g f est injective et g n’est pas injective.

Exercice 2 : α et β deux réels différents, montrer qu’il existe une unique fonction homographiquetelle que f(α) = 0, f(β) = 1 et f(∞) = ∞.

Exercice 3 : On pose pour tout n ≥ 1 :

Mn =

(un un−1

vn vn−1

)=

(0 11 0

)(1 11 0

)(2 11 0

). . .

(n 11 0

)a. Montrer que ∀n ≥ 2, vn = nvn−1 + vn−2 et un = nun−1 + un−2.b. Montrer que ∀n ≥ 1, unvn−1 − vnun−1 = (−1)n+1.

31



Exercice 1 : Soient g : E → F , et h : F → G.Donner un exemple avec des patatoïdes où h g est surjective et g n’est pas surjective.

Exercice 2 : Soit E l’ensemble des matrices inversibles à deux lignes et deux colonnes àcoefficients réels, on définit sur E la relation R par MRN si (detM)(detN) > 0.

a. A quelle condition sur le determinant une matrice est-elle inversible ?b. Montrer que R est une relation d’équivalence.c. Donner un exemple de matrice en relation avec la matrice identité.d. Combien R possède-t-elle de classes d’équivalence ?

Exercice 3 : Soit f : R → P(R), définie par f(x) =] − x2, x2[∪|x|.a. Déterminer f(0), f(1), f(1

2), f(−2), f(1

2).

b. Déterminer l’ensemble A = a ∈ R/a ∈ f(a).


Exercice 1 :Soient A et B des ensembles dénombrables d’intersection vide, ϕA : N → A et ϕB : N → B desbijections, construire une bijection ψ de N dans A ∪B.

Exercice 2 : Montrer que R \ Q n’est pas dénombrable.

Exercice 3 : Soit E l’ensemble des matrices à deux lignes et deux colonnes à coefficients réels,on définit sur E la relation R par MRN si (detM) ≤ (detN). Montrer que la relation R n’estpas une relation d’ordre.

Exercice 4 : Donner un exemple de partie de R, qui ne soit pas un intervalle, qui soit majorée,non minorée et qui n’ait pas de plus grand élément.


Exercice 1 : Soient E = 1n∈ R/n ∈ N∗ et D = 1

3n∈ R/n ∈ N∗, D est-il dense pour la

relation d’ordre dans E ?

Exercice 2 : Donner un exemple d’un ouvert de R qui ne soit pas un intervalle.

Exercice 3 : Rappeler la définition de l’adhérence B d’une partie B de R.Démontrer que B ⊂ B.

Exercice 4 : Donner un exemple de partie C de R telle que C 6= C.

32



Exercice 1 : Énoncer le théorème sur les sous groupes additifs de R.

Exercice 2 : Quel est le plus petit sous groupe additif de R qui contient A = 4; 6Exercice 3 : Pour A = 0 ∪ [2; 3[, déterminer A′ et A. Quels sont les points isolés de A ?

Exercice 4 :Soient K1 = 1

2n , n ∈ N.a. Représenter rapidement K1.b. Déterminer, sans justifier, K1 et K ′

1.c. On pose K2 = m+ 1

2n , n,m ∈ N, déterminer sans justification K ′2.

d. (dur) On pose K3 = mm+1

+ 12n , n,m ∈ N, déterminer sans justification K ′

3.

MS3-MMai 2010Durée 3 heures

Examen d’approfondissements Mathématiques

Calculatrice, téléphone portable et document sont interdits. Les exercices peuvent être traitésdans l’ordre que l’on veut et ne sont pas rangés par difficulté croissante.

Barème définitif : 3+5+8+8

Exercice 1 : Fractions continues

Déterminer le développement en fractions continues du rationnel3

14puis du réel

√3.

Exercice 2 : Dénombrabilité

On note A l’ensemble des nombres algébriques sur Q c’est à dire l’ensemble des réels quisont racines d’un polynôme à coefficients rationnels. On note Qn[X] l’ensemble des polynôme àcoefficients dans Q de degré inférieur ou égaux à n. On pourra utiliser les différents résultats decours suivants en précisant bien quel résultat est utilisé à chaque fois.

– R1 : La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable.– R2 : La réunion d’un ensemble dénombrable et d’un ensemble fini est dénombrable.– R3 : La réunion dénombrable d’ensembles finis est dénombrable.– R4 : La réunion dénombrable d’ensemble dénombrables est dénombrable.– R5 : Le produit cartésien (D1 ×D2) de deux ensembles dénombrables est dénombrable.

a. Donner un exemple P1 ∈ Q2[X] dont les racines sont toutes des réels mais ne sont pas desrationnels.

b. Montrer que Q1[X] est dénombrable.c. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N,Qn[X] est dénombrable. On pourra pour cela

introduire une bijection simple de Qn[X] × Q dans Qn+1[X].

33


d. Montrer que Q[X] est dénombrable.e. Soit P ∈ Qn[X], combien P possède-t-il au plus de racines réelles ?f. Montrer que A est dénombrable.g. Question plus difficile, hors barème, à traiter en toute fin d’épreuve.

On note maintenant A[X], l’ensemble des polynômes à coefficient dans A, montrer en utilisant uneméthode identique à la précédente que A[X] est dénombrable. On admet maintenant que A[X] estun Qespace vectoriel, comme A[X] est dénombrable, il existe une application bijective de N dansA[X], donc A[X] = Qn ∈ A[X], n ∈ N, construire à l’aide de cette suite une Q-base dénombrablede A[X].

Exercice 3 : Théorie des corps

a. (1) Donner l’exemple d’un sous corps de R qui ne contient pas√

3. Dans la suite Kreprésente un sous corps de R qui ne contient pas

√3. Soient L = vectK(1,

√3) =

a+ b√

3/a, b ∈ K et K(√

3) le plus petit sous corps de R contenant K et√

3.(2) Montrer que (1,

√3) est une famille K-libre.

(3) Montrer que L ⊂ K(√

3).(4) Soit x ∈ L \ 0, posons

ϕx : L → Ry 7→ xy

i. Montrer que ϕx(L) ⊂ L.ii. Montrer que ϕx est K-linéaire.iii. Montrer que ϕx est injective.iv. Montrer que ϕx défini un isomorphisme de L dans L.v. Montrer qu’il existe y ∈ L tel que xy = 1.

(5) Déduire de la question précédente que L est un sous corps de R.(6) Montrer que L = K(

√3).

(7) En déduire [K(√

3) : K].b. Soit T = x ∈ R/∃P,Q ∈ Q[X], x = P (π)

Q(π).

(1) Montrer que T ⊂ Q(π).(2) Montrer que T est un sous corps de R.(3) Montrer que T = Q(π).(4) En utilisant le fait que π est transcendant montrer que

√3 6∈ Q(π), en déduire

[Q(π,√

3) : Q(π)].

Exercice 4 : Écriture en base 8 et ensemble de Cantor

On donne les tables de somme et de produit en base 8 :

+ 0 1 2 3 4 5 6 70 0 1 2 3 4 5 6 71 1 2 3 4 5 6 7 102 2 3 4 5 6 7 10 113 3 4 5 6 7 10 11 124 4 5 6 7 10 11 12 135 5 6 7 10 11 12 13 146 6 7 10 11 12 13 14 157 7 10 11 12 13 14 15 16

× 0 1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 5 6 72 0 2 4 6 10 12 14 163 0 3 6 11 14 17 22 254 0 4 10 14 20 24 30 345 0 5 12 17 24 31 36 436 0 6 14 22 30 36 44 527 0 7 16 25 34 43 52 61

34


a. Effectuer les calculs suivants en base 8 : A = 1438 × 75

8 et B =∞∑

k=0

(1

118

)k

.

b. Effectuer la division euclidienne de 7308 par 36

8.c. Déterminer le développement en base 8 du rationnel un cinquième.

d. On note C = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 l’ensemble des chiffres en base 8. Soit x =∞∑

k=1

xk8−k, avec

pour tout k, xk ∈ C. Déterminer l’ensemble I des réels qui peuvent s’écrire ainsi, cetteécriture est-elle unique ?

e. Déterminer et représenter l’ensemble J des réels qui peuvent s’écrire ainsi, avec x1 = 1.f. Déterminer et représenter l’ensemble S1 des réels qui peuvent s’écrire ainsi, avec x1 6= 1.g. Déterminer et représenter l’ensemble S2 des réels qui peuvent s’écrire ainsi, avec x1 6= 1 etx2 6= 1.

h. On définit ainsi l’ensemble Sn des réels qui peuvent s’écrire ainsi, avec x1 6= 1, x2 6=1, . . . , xn 6= 1 etxn+1, . . . , xn+m, . . . ∈ C. Cet ensemble est la réunion de segments disjoints de R. Déterminerle nombre de ces segments et la longueur totale Ln de Sn ainsi que la limite L de Ln. Onnote S l’intersection de tous les Sn.

i. Rappeler la définition d’un ensemble parfait et montrer que S est parfait.j. Déterminer une surjection de S dans [0; 1].

35

Index

+ (no71), 20K−espace vectoriel (no79), 22Jn0, n1, . . . , ni, xK (no31), 8P(E) (no53), 15C (no76), 22K (no97), 26T (no97), 26apap−1 . . . a1a0 (no14), 5π (no7), 4card (no52), 15e (no4), 3Z/nZ (no16), 6

majorant (no61), 17

adhérence (no67), 18algébrique (no8), 4antisymétrique (no60), 16application linéaire (no37), 11au plus dénombrable (no52), 15auto-similarité (no97), 26

base (no10), 5Bezout (no74), 21bijection (no35), 10borne

inférieure (no61), 17supérieure (no61), 17

borné (no61), 17

classe C1 (no108), 29classe d’équivalence (no48), 14compacts (no69), 20composée d’applications (no35), 10constructible (no76), 21converge

normalement (no102), 27uniformément (no102), 27

dense (no66), 18dimension (no37), 11division euclidienne (no13), 5division euclidienne des polynômes (no86), 23duplication du cube (no96), 25dénombrable (no52), 15

déterminants (no39), 12développement

cantorien (no98), 26en fraction continue (no29), 8périodique (no27), 7

écriture décimale (no17), 6ensemble

de Cantor (no97), 26discret (no68), 19dérivé (no68), 19parfait (no68), 19

équipotent (no51), 15équivalent (no37), 11exponentiation rapide (no15), 5

fonctions homographiques (no35), 9

homothétie (no97), 26homéomorphisme (no63), 17

injective (no35), 10intervalle (no63), 17irrationnel (no1), 3

Liouville (no6), 3Liouville (no9), 5lipschitzienne (no105), 28

maximum (no61), 17minimum (no61), 17minorant (no61), 17

nombrediadique (no98), 26triadique (no98), 26

négligeable (no99), 26

ordrepartiel (no60), 16total (no60), 16

ouvert (no64), 17

partie entière (no21), 6partie fractionnaire (no21), 6partition (no49), 15pente (no107), 29

36


pointd’accumulation (no68), 19fixe (no36), 10isolé (no68), 19

premiers (no1), 3Procédé diagonale (no56), 16périodes (no75), 21

quadrature du cercle (no95), 25

rationnels (no3), 3relation

d’ordre (no60), 16d’équivalence (no48), 14

représentants (no48), 14réciproque (no35), 10réflexive (no48), 14

somme d’une série (no4), 3sous corps (no77), 22sous espace vectoriel (no37), 11sous groupe additif (no70), 20suite

convergente (no5), 3de Fibonacci (no37), 11géométrique (no33), 9

surjection (no35), 10symétrique (no48), 14série

alternée (no41), 13de fonctions (no102), 27de Taylor (no109), 30

topologiquement dense (no66), 18transcendant (no8), 4transitive (no48), 14télescopage (no41), 13

valeur propre (no36), 10vecteur propre (no36), 10

37

exercices de mathématiques ue : l2-m …mizrahi.u-cergy.fr/fichier a...

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