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123
CALCUL INTÉGRAL Thomas . Finney . Weir . Giordano Dixième édition SOLUTIONNAIRE DE L’ÉTUDIANT Chapitre 3 Adaptation réalisée par Colette Messier

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CALCUL INTÉGRALThomas . Finney . Weir . Giordano

Dixième édition

SOLUTIONNAIRE DE L’ÉTUDIANT

Chapitre 3

Adaptation réalisée par Colette Messier

Page 2: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

CALCUL INTÉGRALManuel adapté par Vincent Godbout du Cégep Montmorency

Solutionnaire – Complément pédagogiqueAdaptation réalisée par Colette Messier du Cégep du Vieux-Montréal

© 2002 Groupe Beauchemin, éditeur ltée3281, avenue Jean BéraudLaval (Québec) H7T 2L2Téléphone : (514) 334-5912

1 800 361-4504Télécopieur : (450) 688-6269www.beaucheminediteur.com

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction, sous quelque forme que ce soit, en partie ou entotalité, sont réservés pour tous les pays. Entre autres, la reproduction d’un extrait quelconque de cecomplément, par quelque procédé que ce soit, tant électronique que mécanique, en particulier parphotocopie, par numérisation et par microfilm, est interdite sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

Le photocopillage entraîne une baisse des achats de livres, à tel point que la possibilité pour les auteurs decréer des œuvres nouvelles et de les faire éditer par des professionnels est menacée.

Nous reconnaissons l’aide financière du gouvernement du Canada par l’entremise du Programme d’aide audéveloppement de l’industrie de l’édition (PADIÉ) pour nos activités d’édition.

ISBN : 2-7616-1768-1Dépôt légal : 4e trimestre 2002Bibliothèque nationale du Québec Imprimé au CanadaBibliothèque nationale du Canada 1 2 3 4 5 06 05 04 03 02

Production : Michel Carl PerronMise en pages : Société La Brochu(re)Correction d'épreuves : Viviane DeraspeSolution des exercices Mathematica : Raymonde LavoieSolution des exercices Maple : Marcel Roy

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Exercices 3.1 page 211

Exercices 3.1 - Formules d'intégration de base

1. Posons u x= +8 12 . Alors du x dx= 16 .

16

8 1 1 22 8 1

2

1 22x dx

x

du

uu du

uC x C

-1 2

+= = ⋅ = + = + +∫∫ ∫

3. Posons u v= sin . Alors du v dv= cos .

3 333 2

21 23 2

3 2sin cos sinv v dv u duu

C v C = = + = ( ) +∫∫

5. Posons u x= +8 22 . Alors du x dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =16 0 2 1 10 et , .

16

8 2 1 22 10 2

20

1

2

10

2

10 1 2

2

10x dx

x

du

uu du

u -1 2

+= = ⋅ =

= −( )∫ ∫ ∫

7. Posons u x= + 1. Alors dux

dx dudx

x=

=1

22 et .

dx

x x

du

uu C x C

+( ) = = + = +( ) +∫ ∫12 2 2 1ln ln

9. Posons u x= −3 7 . Alors du dx du dx= =- et - 717

.

cot cot ln sin ln sin3 717

17

17

3 7−( ) = = + = −( ) +∫∫ x dx u du u C x C - - -

11. Posons u = +eθ 1. Alors du d= e θ θ.

e e - - e e θ θ θ θθ∫ ∫+( ) = = + + = +( ) + +( ) +csc csc ln csc cot ln csc cot1 1 1d u du u u C C

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212 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

13. Posons ut=3

. Alors du dt du dt= =13

3 et .

sec sec ln sec tan ln sec tant

dt u du u u Ct t

C3

3 3 33 3∫ ∫= = + + = + +

15. Posons u s= − π . Alors du ds= .

csc csc ln csc cot ln csc cots ds u du u u C s s C−( ) = = + + = −( ) + −( ) +∫ ∫π π π - -

17. Posons u x= 2. Alors du x dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =2 0 0 2 2 , et ln ln .

2 2 1 14

0

2

0

2 2

0

20x dx dux u ue e e e e

lnln ln

ln

∫ ∫= = [ ] = − = − =

19. Posons u v= tan . Alors du v dv= sec .2

e e e etan tansecv u u vv dv du C C∫ ∫= = + = +2

21. Posons u x= + 1. Alors du dx= .

3 33

33

31

1x u

u x

dx du C C++

= = + = +∫∫ ln ln

23. Posons u w= . Alors duw

dw= 12

.

22

22

22

2

wu

u wdw

wdu C C

∫ ∫= = + = +

ln ln

25. Posons v u= 3 . Alors dv du= 3

91 9

33

1 33

13 3 32 2 2

+

du

u

du

u

dv

varc v C arc u C∫ ∫ ∫=

+ ( )=

+= + = ( ) +tan tan

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Exercices 3.1 page 213

27. Posons u x= 3 . Alors du dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =3 0 016

12

et , .

dx

x

dx

x

du

uarc u arc arc

1 9 1 3

13 1

13

13

12

0

13 6

018

20

1 6

20

1 6

20

1 2

01 2

−=

− ( )=

−= [ ] = −

= −

=

∫ ∫ ∫ sin sin sin

π π

29. Posons u s= 2. Alors du s ds= 2 .

2

1

2

1 14 2 2 2

2s ds

s

s ds

s

du

uarc u C arc s C

−=

− ( )=

−= + = +∫ ∫ ∫ sin sin

31. Posons u x= 5 . Alors du dxdu

dx= =55

et .

6

25 16

5 5 16

16 6 5

2 2 2

dx

x x

du

u u

du

u uarc u C arc x C

−=

( ) −=

−= + = +∫∫∫ sec sec

33.dx dx dx dx

x xx

x

x

x

x

xe e ee

e e

e

e-

+=

+=

+=

( ) +∫ ∫ ∫ ∫1 1 12 2

Posons u x= e . Alors du dxx= e

e

e e

x

x

xdx du

uarc u C arc C

( ) +=

+= + = ( ) +∫∫ 2 2

1 1tan tan

35. Posons u x= ln . Alors dux

dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ = ( ) =11 0 33 3 et e e, ln .π π π

dx

x x

du

uu du u u

cos ln cossec ln sec tan

( )= = = +[ ]∫ ∫ ∫

1 0

3

0

3

0

33e

π ππ

π

= + − +

= +( ) − +( ) = +( )ln sec tan ln sec tan

ln ln ln

π π3 3 0 0

2 3 1 0 2 3

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214 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

37. x x x x x2 2 22 2 2 1 1 2 1 1− + = − + − + = −( ) +

Posons u x= − 1. Alors du dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =, . et 1 0 2 1

82 2

81 1

81

8 8 1 0

84

0 2

21

2

2 2 01

0

1

1

2

dx

x x

dx

x

du

uarc u arc arc

− +=

−( ) +=

+= [ ] = −( )

= −

=

∫ ∫∫ tan tan tan

π π

39. - - - -t t t t t t t t2 2 2 2 24 3 4 3 4 4 4 3 2 1 1 2+ − = − +( ) = − + − +( ) = −( ) −[ ] = − −( )

Posons u t= − 2. Alors du dt= .

dt

t t

dt

t

du

uarc u C arc t C

-

2 2 24 3 1 2 12

+ −=

− −( )=

−= + = −( ) +∫∫∫ sin sin

41. x x x x x2 2 22 2 1 1 1 1+ = + + − = +( ) −

Posons u x= + 1. Alors du dx= .

dx

x x x

dx

x x

du

u uarc u C arc x C

+( ) +=

+( ) +( ) −=

−= + = + +∫∫∫ 1 2 1 1 1 1

12 2 2

sec sec

43. sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+( ) = + +( )∫∫ 2 2 22

= + +

= + + −( )= − + − − +

∫∫∫∫∫∫

sec sec cot cot

sec csc csc

tan ln csc cot cot

2 2

2 2

2

2 1

2

x dx x x dx x dx

x dx x dx x dx

x x x x x C

45. csc sin csc sinx x dx x x x dx3 2 = ⋅ +( )∫∫

= ⋅ +( )

= ⋅ +( )= +( ) = + +( )

= +( ) = + +

∫∫∫

12 2

12 2

2 2 1 2 2

1 2 2 2

2

2

sinsin cos cos sin

sinsin cos cos sin

cos cos cos cos

cos sin

xx x x x dx

xx x x x dx

x x dx x x dx

x dx x x C

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Exercices 3.1 page 215

47.x

xdx

xdx x x C

+= −

+

= − + +∫ ∫1

11

11 ln

49.2

12

21

22

1

3

22

3

22

3

22

3

2

3x

xdx x

x

xdx x dx

x

xdx

−= +

= +

−∫ ∫ ∫∫

= [ ] + −[ ] = − + − = +x x2

2

3 2

2

31 9 2 8 1 7 8ln ln ln ln

51.4 16

44 1

44

3 2

2 2

t t t

tdt t

tdt

− ++

= − ++

∫ ∫

= − + ⋅

+

= − +

+

2 412 2

2 22

2

2

t t arct

C

t t arct

C

tan

tan

53.1

1

1

1 12 2 2

−−

=−

−−∫ ∫∫x

xdx

xdx

x

xdx

Posons u x= −1 2, avec du x dx= - 2 , dans la deuxième intégrale.

1

1 1

12

12 1 2

1

2 2

1 2

1 22

−−

−= +

= + + = + − +

∫ ∫ ∫xdx

x

xdx arc x u du

arc xu

C arc x x C

-sin

sin sin

55.1 1

20

4

2 20

4+ = +

∫ ∫sin

cos cossin

cosx

xdx

x

x

xdx

π π

= +( ) = +[ ]

= + − +( )[ ] = + − −

=

∫ sec sec tan tan sec

tan sec tan sec

20

4

0

4

4 4 0 0 1 2 0 1

2

x x x dx x x ππ

π π

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216 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

57.1

11

111

11 2+

=+

⋅ −−

= −−∫ ∫ ∫sin sin

sinsin

sinsinx

dxx

x

xdx

x

xdx

= − = −

= −( ) = − +

∫ ∫

1 12 2 2

2

sincos cos

sincos

sec sec tan tan sec

x

xdx

x

x

xdx

x x x dx x x C

59.1 1

sec tan sec tansec tansec tanθ θ

θθ θ

θ θθ θ

θ+

=+

⋅ −−∫ ∫ d d

= −−

= − ⋅

= − = + − +

= + + = + +

= + +

∫∫∫∫

sec tansec tan

sec tan

sec tan ln sec tan ln sec

lnsec tan

secln

tansec

ln sin

θ θθ θ

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θθ

θθ

θ

2 2 1

1

1

d

d d C

C C

C

Une autre solution, plus simple à vrai dire, s'obtient en remplaçant sec tanθ θ et en termes

de sin cos :x x et de

1 11 1sec tan cos sin cos

cossinθ θ

θθ θ θ

θ θθ

θ+

= ( ) + ( ) =+∫ ∫ ∫ d d d

Posons u = +1 sin .θ Alors du d= cos .θ θ

cossin

ln ln sinθ

θθ θ

11

+= = + = + +∫ ∫ d

du

uu C C

61.1

11

1 1 11

11−

=− ( ) =

−= +

∫ ∫ ∫ ∫sec cos

coscos cosx

dxx

dxx

xdx

x

= +−

⋅ ++

= + +

= − +

= − −

= − −( ) = + + +

∫ ∫

∫ ∫

11

111

111

11

11

1

2

2 2 2

2

coscoscos

coscos

cossin

cossin sin

csc cot csc csc cot

x

x

xdx

x

xdx

x

xdx

x

x xdx

x x x dx x x x C

Page 9: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.1 page 217

63.1

2 22− =

cossin ,

x x de sorte que

12 2 2

− =

=

cossin sin

x x x puisque

sin .x

x2

0 0 2

≥ ≤ ≤ pour π

12 2 2

0 1 40

2

0

2

0

2− =

=

= −( ) = −( ) =∫ ∫cossin cos cos cos

xdx

xdx

xπ π π

π -2 -2 -2 -1

65. 1 2 2 2+ =cos cos ,t t de sorte que 1 2 2+ = =cos cos cost t t - 2 puisque

cos .t t≤ ≤ ≤0 2 pour π π

1 2 2 0 1 22 2

2+ = = [ ] = −( ) = −( ) =∫ ∫cos cos sin sin sint dt t dt tπ

π

π

π

ππ π π - 2 - 2 - 2 - 2

67. 1 2 2− = = =cos sin sin sinθ θ θ θ - puisque sin .θ π θ≤ ≤ ≤0 0 pour -

1 0 1 220 0

0− = = [ ] = − ( )( ) = − ( ) =∫ ∫cos sin cos cos cosθ θ θ θ θ ππ π

π - - -1- -

-d d

69. 1 2 2− = = =tan sec sec secy y y y puisque sec .y y≥ ≤ ≤0 4 4 pour - π π

1

4 4

2 1 2 1

24 4

4

4− = = +[ ]

= + − ( ) + ( )= + − −

∫ ∫tan sec ln sec tan

ln sec tan ln sec tan

ln ln

y dy y dy y y

- 4 - 4

- 4 - 4-

π

π

π

π

π

π

π π π π

Page 10: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

218 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

71. csc cot csc csc cot cotx x dx x x x x dx−( ) = − +( )∫ ∫2

4

3 42 2

4

3 4

π

π

π

= − + −( )

= − −( ) = + −[ ]

= + −

− + −

= (

csc csc cot csc

csc csc cot cot csc

cot csc cot csc

2 2

4

3 4

24

3 4

4

3 4

2 1

2 2 1 2 2

234

234

34

24

24 4

x x x x dx

x x x dx x x x

-

- -

-2

π

π

ππ

π

π

π π π π π π

))( ) + − + ( ) − +

= −

-1 2 234

2 1 2 24

42

π π

π

73. Posons u = sin .θ Alors du d= cos .θ θ

cos csc sin csc ln csc cot

ln csc sin cot sin

θ θ θ

θ θ∫ ∫( ) = = + +

= ( ) + ( ) +

-

-

d u du u u C

C

75. csc sec sin cos csc sin sec sin csc cos sec cosx x x x dx x x x x x x x x dx−( ) +( ) = − + −( )∫ ∫

= − + −( ) = −( )

= − ( ) +

= + +

∫ ∫1 1tan cot cot tan

ln sin ln cos

ln sin ln cos

x x dx x x dx

x x C

x x C

-

77. Posons u y= . Alors duy

dy duy

dy= =12

126

et .

61

121

112 122

dy

y y udu arc u C arc y C

+( ) =+

= + = ( ) +∫∫ tan tan

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Exercices 3.1 page 219

79. x x x x x2 2 22 48 2 1 49 1 49− − = − + − = −( ) −

Posons u x= − 1. Alors du dx= .

7

1 2 48

7

1 1 497

492 2 2

dx

x x x

dx

x x

du

u u−( ) − −=

−( ) −( ) −=

−∫∫ ∫

= ⋅ + = − +717 7

17

arcu

C arcx

Csec sec

81. Les deux courbes se coupent en x x= =- et π π4 4.

En effet, 2 2 2 2cos sec cos sec .- 4 - 4 et 4 4π π π π( ) = ( ) = ( ) = ( ) =

A x x dx

x x x

= −( )

= − +[ ]

= − +

+

= − + − −

∫ 2

2

24

4 4 24 4 4

2 2 1 2

4

4

4

4

cos sec

sin ln sec tan

sin ln sec tan sin ln sec tan

ln ln

-

- -

-

-

-

π

π

π

π

π π π π π π

22 1

2 2 2 1 2 1

−( )= + −( ) − +( )

ln ln

Note : L'utilisation de la propriété ln ln lna ba

b− =

permet d'obtenir l'une

ou l'autre des réponses équivalentes suivantes : A = + −( )2 2 3 2 2ln

ou A = − +( )2 2 3 2 2ln .

y

x2/-π

4/-π2/π

4/π

xy sec =

xy cos 2 =

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220 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

83. R x x r x x( ) = ( ) =2cos sec , et d'où

V R x r x dx x x dx

x x dx

xx

x

= ( )( ) − ( )( )[ ] = −( )

= +( ) −[ ]

= + −

= +

∫∫

π π

π

π

π π π π

π

π

π

π

π

π

π

π

2 2 2 2

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

2 1 2

22 2

2

2 2 4

--

-

-

cos sec

cos sec

sintan

sin tan

+

= + − + + −

=

24 2 4

21 1

21 1 2

- - -π π π

π π π π

sin tan

85.dy

dx xx x= ⋅ ( ) =1

cossin tan- -

Ldy

dxdx x dx x dx

x dx x dx x dx

x x

= +

= + ( ) = +

= = =

= +[ ]= + − +

= +

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

1 1 1

3 30 0

2 3

2

0

32 2

0

3

0

3

2

0

3

0

3

0

3

0

3

π ππ

π π π

π

π π

-

tan tan

sec sec sec

ln sec tan

ln sec tan ln sec tan

ln −− + = +( )ln ln 1 0 2 3

87. csc csc csccot csccot csc

x dx x dx xx x

x xdx = ( ) = ⋅ +

+∫∫∫ 1

= ++∫ csc cot csc

cot cscx x x

x xdx

2

Posons u x x= +csc cot . Alors du x x x dx= −( )- csc cot csc .2

csc cot csccot csc

ln

ln csc cot

x x x

x xdx

du

uu

x x C

++

= =

= + +

∫ ∫2

- -

-

Page 13: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.2 page 221

Exercices 3.2 - Intégration par parties

1. Soit u x dvx

dx= = et sin .2

Alors du dx vx= = et -22

cos , et

xx

dx xx x

dx

xx x

C

xx x

C

sin cos cos

cos sin

cos sin .

22

22

2

22

2 22

22

42

∫ ∫= −

= + ⋅ +

= + +

- -

-

-

3. Soit u t dv t dt= =2 et cos . Alors du t dt v t= =2 et sin , d'où t t dt t t t t dt2 2 2∫ ∫= −cos sin sin .

Dans la seconde intégrale, posons u t dv t dt= = et sin . Alors du dt v t= = et -cos , de sorte que

t t dt t t t t t dt t t t t t C2 2 22 2 2∫ ∫= − −[ ] = + − +cos sin cos cos sin cos sin . - -

L'intégration tabulaire nous aurait donné le même résultat :

t

t

t

t

t

t

t dt t t t t t C

t t t t t C

2

2

2

2

2

0

2 2

2 2

-

-

t - -

2+( )−( )+( )

= − ( ) + ( ) +

= + − +∫

cos

sin

cos

sin

cos sin cos sin

sin cos sin

5. Soit u x dv x dx= =ln . et Alors dux

dx vx= =12

2

et , de sorte que

x x dxx

xx

xdxln ln = − ⋅∫ ∫

2 2

2 21

= −

= − +

= − +

∫xx x dx

xx

xC

xx

xC

2

2 2

2 2

212

212 2

2 4

ln

ln

ln .

Page 14: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

222 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Finalement, x x dxx

xx

xln ln = −

2 2

1

2

1

2

4

= − − −

= − = −

2 2 1 014

2 234

434

ln

ln ln .

7. Soit u arc y dv dy= = et tan . Alors duy

dy v y=+

=11 2 et , de sorte que

arc y dy y arc yy

ydy

y arc yy

ydy

y arc y y C

y arc y y C

tan tan

tan

tan ln

tan ln .

∫ ∫

= −+

= −+

= − +( ) +

= − + +

1

12

21

12

1

1

2

2

2

2

9. Soit u x dv x dx= = et sec .2 Alors du dx v x= = et tan , de sorte que

x x dx x x x dxsec tan tan2 = − ∫∫ = + +x x x Ctan ln cos .

11. Procédons par intégration tabulaire.

x

x

x

x dx x x x C

x x x C

x

x

x

x

x

x x x x x

x

3

2

3 3 2

3 23

6

6

0

3 6 6

3 6 6

e

e

e

e

e

e e e e e

e+( )−( )+( )−( )

= − + − +

= − + −( ) +∫

Page 15: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.2 page 223

13. Procédons par intégration tabulaire.

x x

x

x x dx x x x e C

x x x C

x x C

x

x

x

x

x x x x

x

x

22 2

2

2

5

2 5

2

0

5 5 2 5 2

5 2 5 2

7 7

−−

+( )−( )+( )

−( ) = −( ) − −( ) + +

= − − + +( ) +

= − +( ) +

e

e

e

e

e e e

e

e

15. Procédons par intégration tabulaire.

x

x

x

x

x

x dx x x x x x C

x x x x x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x x x x

5

4

3

2

5 5 4 3 2

5 4 3 2

5

20

60

120

120

0

5 20 60 120 120

5 20 60 120 120

e

e

e

e

e

e

e

e e e e e e e

+( )−( )+( )−( )+( )−( )

= − + − + − +

= − + − + −(∫

)) +ex C

17. Procédons par intégration tabulaire.

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

π π

ππ

2

2

0

2

22

2

0

2

1 2 2

1 4 2

1 8 2

22

22

214

2

8 40

14

0 014

1 -

-

-

- -1 -1

2

0

2

+( )

−( )

+( )

= + +

= ( ) + ( ) + ( ) − + + ( )

∫sin

cos

sin

cos

sin cos sin cosd

= − − = − π π2 2

814

14 8

12

Page 16: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

224 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

19. Soit u arc t dv t dt= =sec . et Alors dut t

dt vt=

−=1

1 22

2

et , de sorte que

t arc tt

arc tt

tdt

tarc t

t

tdt

tarc t

tC

tarc t t C

sec sec

sec

sec

sec .

∫ ∫

= −−

= −−

= −−( )

+

= − − +

2

2

2

2

2 2 1 2

22

212 1

214

2

1

214

1

1 2

212

1

Finalement, t arc t dtt

arc t t

arc arc

sec sec

sec sec

.

2 3

2 22

2 3

2

212

1

2 212

323

23

12

13

23

32

23 6

36

59

33

∫ = − −

= −

− − ⋅

= ⋅ − − ⋅ + = −π π π

21. Soit u dv d= =e et θ θ θsin . Alors du d v= =e et -θ θ θcos , de sorte que

e -e e θ θ θθ θ θ θ θ∫ ∫= +sin cos cos .d d

Dans la seconde intégrale, posons u dv d= =e et θ θ θcos . Alors du d v= =e et θ θ θsin ,

d'où e -e e e θ θ θ θθ θ θ θ θ θ∫ ∫= + −sin cos sin sin .d d

2 e -e e θ θ θθ θ θ θ∫ = + + ′sin cos sin ,d C d'où e e

sin cos +θθ

θ θ θ θ∫ = −( )sin ,d C2

où CC= ′2

est une constante d'intégration arbitraire.

23. Soit u dv x dxx= =e et 2 3cos . Alors du dx v xx= = ⋅213

32e et sin , de sorte que

e 13

e e 2 2 23 323

3x x xx dx x x dx∫ ∫= −cos sin sin .

Page 17: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.2 page 225

Dans la seconde intégrale, posons u dv x dxx= =e et 2 3sin . Alors du dx v xx= =213

32e et - cos ,

d' où e e - e e

e e e e

e e

2 2 2 2

2 2 2 2

22

313

323

13

323

3

313

329

349

3

139

39

3 3 2

x x x x

x x x x

xx

x dx x x x dx

x dx x x x dx

x dx x

∫ ∫

∫ ∫

= − +

= + −

= +

cos sin cos cos

cos sin cos cos

cos sin cos33x C( ) + ′,

d'où e e

+22

313

3 3 2 3xx

x dx x x C∫ = +( )cos sin cos , où C C= ′913

. est une constante d'intégration

arbitraire.

25. Posons x s= +3 9, alors x s x dx ds2 3 9 2 3= + = et .

e e 3 9 23

s xds x dx+∫ ∫= .

Posons u x dv dxx= = et e . Alors du dx v x= = et e , de sorte que

e e e

e e

e

e

3 9

3 9

232323

1

23

3 9 1

s x x

x x

x

s

ds x dx

x C

x C

s C

+

+

∫ ∫= −( )= −( ) +

= −( ) +

= + −( ) + .

27. x x dx x x dx x x dx x dxtan sec sec .2 2 2

0

3

0

3

0

3

0

3

1 = −( ) = − ∫∫∫∫ππππ

Dans la première intégrale, posons u x dv x dx= = et sec2 .

Page 18: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

226 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Alors du dx v x= = et tan , de sorte que

x x dx x dx x x x dxx

sec tan tan20

32

0

3

0

3

0

3

0

3

2 − = [ ] − −

∫∫∫ π

πππ π

= [ ] + [ ] −

= −

+ − ( )( ) −

= + ( ) − = − ( ) −

x x xx

tan ln cos

tan ln cos ln

ln ln .

03

0

32

0

3

2

2 2

2

3 30 3 1

18

33

1 218

33

218

π ππ

π π π π

π π π π

29. Posons y x= ln , de sorte que dyx

dx x y= =1 et e .

sin ln sinx dx y dyy( ) =∫ ∫ e , qui s'intègre par parties.

Posons u y dv dyy= =sin et e . Alors du y dy v y= =cos et e .

sin sin cosy dy y y dyy y ye e e ∫ ∫= − .

Dans la deuxième intégrale, posons u y dv dyy= =cos et e . Alors du y dy v y= =- et esin , d'où

sin sin cos sin

sin sin cos sin

sin sin cos

sin sin cos ,

sin ln sin ln

y dy y y y dy

y dy y y y dy

y dy y y C

y dy y y C CC

x dxx

x

y y y y

y y y y

y y

yy

e e e e

e e e e

e e

e e

∫ ∫∫ ∫∫

= − +[ ]= − −

= −( ) + ′

= −( ) + = ′

( ) = (

2

2 2

2)) − ( )( ) +cos ln .x C

31. y x dxx= ∫ 2 4e

Procédons par intégration tabulaire.

x

x

y x dx

x xC

x x C

x

x

x

x

x

x x x

x

2 4

4

4

4

2 4

24 4 4

42

2

2

0

1 4

1 16

1 64

4 81

32

328 4 1

e

e

e

e

e

e e e

e

+( )

−( )

+( )

=

= − + +

= − +( ) +

Page 19: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.2 page 227

33. y d= ∫ sin θ θ .

Posons x = θ . Alors dx d d x dx= =12

θ θ et .

sin sinθ θ d x x dx= ∫∫ 2

Posons u x dv x dx= = et sin . Alors du dx v x= = et -cos , de sorte que

y d x x x dx

x x x C

C

= = +[ ]= +[ ] +

= −( ) +

∫∫ sin cos cos

cos sin

sin cos .

θ θ

θ θ θ

-

-

2

2

2

35. A x x dxa

b

= ∫ sin

Posons u x dv x dx= = et sin . Alors du dx v x= = et -cos , de sorte que

A x x x dx x x xa

b

a

b

a

b= [ ] + = +[ ]∫ - -cos cos cos sin

a) A x x x= +[ ] = +( ) − +( ) - - cos sin cos sin0 0 0π π π π

= ( ) + = - - π π1 0

b) A x x x= +[ ] = +( ) − +( ) - -2 - cos sin cos sin cos sinππ π π π π π π2 2 2

= ( ) + − ( )( ) +[ ] = − = - 2 - - - π π π π π1 0 1 0 2 3

c) A x x x= +[ ] = +( ) − +( ) - -3 - cos sin cos sin cos sin23 3 3 2 2 2π

π π π π π π π

= ( )( ) + − ( )( ) +[ ] = -3 - -2 π π π1 0 1 0 5

d) L'aire augmente de 2π pour chaque intervalle de π .

Nous pouvons chercher une régularité :

• entre 0 et π , l'aire = π ;

• entre π et 2π , l'aire = 3π ;

• entre 2π et 3π , l'aire = 5π ;

• aurons-nous, entre nπ et n +( )1 π , l'aire = +( )2 1n π ?

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228 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Vérifions :

A x x x

n n n n n n

n n

n

n

n n

n

= +[ ]

= +( ) +( )[ ] + +( )[ ]( ) − ( ) + ( )( )= +( ) ⋅ ( ) + + ( ) −

= ( ) +( ) ⋅ ( )

+( )

+

-

- -

- - -

- - -

cos sin

cos sin cos sin

ππ

π π π π π π

π π

π

1

1

1 1 1

1 1 0 1 0

1 1 1 ++[ ]= ( ) + +[ ] = ( ) +( ) = +( )

n

n n n nn n

π

π π π π π

- - 1 1 2 1 2 1 .

37. Méthode des tubes :

V dx

x dx

dx x dx

x

x x

= [ ][ ]

= −( )

= −

∫ ∫

circonférence du tube hauteur du tube

e

e e

2 2

2 2 2

0

2

0

2

0

2

π

π π

ln

ln .

ln

ln ln

Dans la deuxième intégrale du membre de droite, posons u x dv dxx= = et e .

Alors du dx v x= = et e .

Nous aurons e e e

e

V x dxx x x

x

= [ ] − [ ] −

= −( ) − −( ) − [ ]( )= − − −( )[ ]= − + = −( )

∫2 2 2

2 2 2 1 2 2 2 0

2 2 2 2 2 2 1

2 2 4 2 2 2 1 2

0

2

0

2

0

2

0

2

π π

π π

π π

π π π π

ln

ln ln

ln ln

ln ln ln .

ln lnln

ln

39. a) Méthode des tubes :

V dx

x x dx x x dx

= [ ][ ]

= =

∫ ∫

circonférence du tube hauteur du tube

2 20

2

0

2

π ππ π

cos cos .

Posons u x dv x dx= = et cos . Alors du dx v x= = et sin .

y

x

xy e =

z

1

2

ln 22 ln 2

y

xz

xy cos =

2/π

Page 21: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.2 page 229

Ainsi, V x x x dx

x x x

= [ ] −

= +[ ]

= +

− +( )

= −

= −( )

∫2

2

22 2 2

0 0

22

1 2

02

0

2

02

π

π

π π π π

π π π π

ππ

π

sin sin

sin cos

sin cos cos

.

b) Méthode des tubes :

V dx

x x dx x dx x dx

x

= [ ][ ]

= −

= −

= [ ] − −

( )

= −

− +

∫ ∫ ∫

circonférence du tube hauteur du tube

voir a

22

22

22 2

1

22 2

02

1

0

2

0

2

0

2

02

π π π π

π π π

π π π π

π π π

π

cos cos cos

sin

sin sin

= −( ) − +

= ( ) =22

1 02

1 2 1 2π π π π π .

41. moy e e - -f t dt t dtt t( ) =−

=∫ ∫12 0

21

0

2

0

2

π π

π π

cos cos .

Soit u dv t dtt= =e et - cos . Alors du dt v tt= =-e et - sin , de sorte que

e e e - - -t t tt dt t t dt∫ ∫= +cos sin sin .

Dans la seconde intégrale, posons u dv t dtt= =e et - sin . Alors du dt v tt= =-e et -- cos ,

d' où e e e - e

e e

e e

- - - -

- -

--

t t t t

t t

tt

t dt t t t dt

t dt t t

t dt t t

∫ ∫∫

= + ( ) −

= −( )

= −( )

cos sin cos cos

cos sin cos

cos sin cos .

2

2

Page 22: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

230 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Donc, moye

e e

-e

e

-

-

--

f t tt

( ) = −( )

= −( ) − −( )

= +

= −( )

12

12

2 22

0 0

12

12

12

1

0

2

2 0

22

π

ππ π

π π

π

π

ππ

sin cos

sin cos sin cos

.

43. Posons u x dv x dxn= = et cos . Alors du nx dx v xn= =−1 et sin , de sorte que

x x dx x x n x x dxn n ncos sin sin . = − −∫∫ 1

45. Posons u x dv dxn ax= = et e . Alors du nx dx va

n ax= =−1 1 et e , de sorte que

x dxx

a

n

ax dxn ax

n axn axe

ee = − −∫∫ 1 .

47. Posons u x dv x dxn= =−sin sin .1 et Alors du n x x dx v xn= −( ) =−1 2sin cos cos , et - d'où

sin sin cos sin cosn n nx dx x x n x x dx - = + −( )− −∫∫ 1 2 21

= + −( ) −( )= + −( ) − −( )

− −

− −

∫∫∫

-

-

sin cos sin sin

sin cos sin sin

n n

n n n

x x n x x dx

x x n x dx n x dx

1 2 2

1 2

1 1

1 1

1 1 11 2+ −( ) = + −( )− −∫∫n x dx x x n x dxn n nsin sin cos sin -

et -

sinsin cos

sinnn

nx dxx x

n

n

nx dx= + −−

−∫∫1

21

= + −− −∫- 1 11 2

nx x

n

nx dxn ncos sin sin .

49. a) sin cos sin cos sin2 12

12

12

12

x dx x x dx x x x C - -= + = + +∫

Page 23: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.2 page 231

b) sin cos sin sin4 3 214

34

x dx x x x dx - = + ∫

= + +

+

= − + +

- -

-

14

34

12

12

14

38

38

3

3

cos sin cos sin

cos sin cos sin

x x x x x C

x x x x x C

51. a) Posons y f x= ( )-1 . Alors x f y dx f y dy= ( ) = ′( ) et , de sorte que

f x dx yf y dy-1 ∫ ∫( ) = ′( ) .

b) Posons u y dv f y dy= = ′( ) et dans la deuxième intégrale.

Alors du dy v f y= = ( ) et ,

de sorte que yf y dy yf y f y dy xf x f y dy′( ) = ( ) − ( ) = ′( ) − ( )∫ ∫ ∫ .

Donc, f x dx xf x f y dy-1 ( ) = ′( ) − ( )∫ ∫ .

53. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons y f x arc x f y y= ( ) = ( ) =-1 et sin sin , où

- ;π π2 2

≤ ≤y

alors arc x dx x arc x y dysin sin sin= − ∫∫

= + += + ( ) +

x arc x y C

x arc x arc x C

sin cos

sin cos sin .

b) Dans le contexte de l'exercice 52,

arc x dx x arc x xd

dxarc x dx sin sin sin= −

∫∫

= −−

= +−

= +−( )

+

= + − +

x arc xx

xdx

x arc xx

xdx

x arc xx

C

x arc x x C

-

sin

sin

sin

sin .

112

2

1

12

1

1 2

1

2

2

2 1 2

2

Page 24: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

232 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

c) Les expressions sont identiques, puisque cos sin .arc x x ( ) = −1 2

55. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons y f x arc x f y y= ( ) = ( ) =-1 et cos cos , où

0 ≤ ≤x π ;

alors arc x dx x arc x y dycos cos cos= − ∫∫

= − += − ( ) +

x arc x y C

x arc x arc x C

cos

cos cos

sin

sin .

b) Dans le contexte de l'exercice 52,

arc x dx x arc x xd

dxarc x dx cos cos cos= −

∫∫

= −−

= −−

= −−( )

+

= − − +

x arc xx

xdx

x arc xx

xdx

x arc xx

C

x arc x x C

-

-

cos

cos

cos

cos .

112

2

1

12

1

1 2

1

2

2

2 1 2

2

c) Les expressions sont identiques, puisque sin cos .arc x x ( ) = −1 2

Page 25: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 233

Exercices 3.3 - Intégrales trigonométriques et substitutions trigonométriques

1. sin sin sin cos sin5

0

24

0

22 2

0

2

1π π π

∫ ∫ ∫= = −( )x dx x x dx x x dx

Posons u x= cos . Alors du x dx x dx du x u x u= = = ⇒ = = ⇒ =- et - et sin sin , .0 1 2 0π

1 1 1 2 23 5

2 2 2 2

1

0

0

22 4

3 5

0

1

0

1

−( ) = −( ) = − +( ) = − +

∫∫ ∫cos sinx x dx u du u u du u

u u -

π

= − +

− − +( ) =1

23

15

0 0 08

15

3. cos cos cos sin cos3

2

22

2

22

2

2

1- - -

π

π

π

π

π

π

∫ ∫ ∫= = −( )x dx x x dx x x dx

Posons u x= sin . Alors du x dx x u x u= = ⇒ = = ⇒ =cos . , - - et π π2 1 2 1

1 13

113

13

43

2 2

1

1

2

2 3 1

−( ) = −( ) = −

= −

− +

=∫∫ sin cosx x dx u du u

u -1

-- -1π

π

Remarque : Comme y x= cos3 est une fonction paire, nous aurions aussi pu écrire

cos cos ... .3

2

23

0

2 3

0

1

2 23

2 113

43

-

π

π π

∫ ∫= = = −

= −

=x dx x dx u

u

(Voir les exercices 1.5, no 85)

5. sin sin sin cos sin7 6 2 31y dy y y dy y y dy = = −( )∫∫ ∫

Posons u y= cos . Alors du y dy y dy du= =- et -sin sin .

1 1 1 3 335 7

35 7

35 7

2 3 2 3 2 4 6 35 7

35 7

35 7

−( ) = −( ) = − + −( ) = − + −

+

= + − + + = + − + +

∫∫ ∫cos sin

cos coscos cos

y y dy u du u u u du u uu u

C

u uu u

C y yy y

C

- - -

- -

Page 26: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

234 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

7. 8 8 81 2

24 2 2

2

sin sincos

x dx x dxx

dx = ( ) = −

∫∫∫

= − + = − + +

= − +

= − +

+

= − + +

∫ ∫

81 2 2 2

42 1 2 2

1 42

232

2 24

2

232

22

212

44

3 2 214

4

2cos coscos

cos

coscos

sin sin

sin sin

x xdx x

xdx

xx

dx

xx x

C

x x x C

9. Puisque yx

x= 4 4

2

sincos

est une fonction paire, 4sin

4sin

sin

4 4 4

-

x

xdx

x

xdx

x

xdx

cos cos cos2 2 20

4

0

4

4

4

2 8= = ∫∫∫ππ

π

π

=−( )

= − + = − +( )

= − + +

= − +

= −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

81

81 2

8 2

8 21 2

28

32

12

2 832

2 2

20

4 2 4

20

42 2

0

4

2

0

42

0

4

cos

coscos cos

cossec cos

seccos

sec cos tan

x

xdx

x x

xdx x x dx

xx

dx x x dx x x

π π π

π π

++

= − ⋅ +

− − +

= − + − − +( )

= −

12

22

84

32 4

14 2

0 014

0 8 138

14

0 0 0 10 3

0

4sin

tan sin tan sin

x π

π π π π π

11.3

3 313

36

2 2

36

2 2

3 2

6

2cos

sin

cos

sincos

sin

sincos

t

tdt

t

tt dt

t

tt dt

π

π

π

π

π

π

∫ ∫ ∫= =−( )

( )

Posons u t= sin . Alors du t dt t u t u= = ⇒ = = ⇒ =cos , . et π π6 1 2 2 1

31

31

3

33 2

3 223

2 21

3 213 2 16

2

2

3 2

6

2 2

3 21 2

11 2

1 2

1

1 2 3 2

1 2

1

−( )( )

= − = −( )

= −

= −

− −

= −

∫ ∫ ∫sin

sincos

t

tt dt

u

udu u u du

u u

π

π

-1 2- -

-3 2

-

Page 27: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 235

13. sin cos sin cos2 3

0

22 2

0

2

2 2 2 2θ θ θ θ θ θ θπ π

cos2 d d=∫ ∫

= −( ) = −( )∫ ∫sin sin cos sin sin2 2

0

22 4

0

2

2 1 2 2 2 2θ θ θ θ θ θ θ θπ π

cos2 d d

Posons u = sin .2θ Alors du d u u= = ⇒ = = ⇒ =2 2 0 0 2 0cos , ,θ θ θ θ π et de sorte que

sin sin cos2 4

0

22 4

0

0

2 2 212

0θ θ θ θπ

−( ) = −( ) =∫ ∫ d u u du par la définition 1.2.8, page 22.

15. 16 161 2

21 2

22 2

2

4

2

4

sin coscos cos

x x dxx x

dx - -

= −

+

∫ ∫

π

π

π

π

= −( ) = − +

= −

= −( )

= −

= −

− −

∫ ∫

∫ ∫

4 1 2 4 11 4

2

412

42

2 1 4

24

42

4 4

2

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

coscos

coscos

sin sin sin

x dxx

dx

xdx x dx

xx

-2

-

- -

- -

-

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π π π π 224

24

02

032

π

π π π

( )

= − + +

=

17. 35 35 35 14 3 4 2 4 2sin cos sin cos cos sin sin cosθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d= = −( )∫∫ ∫ = −( )∫35 4 6sin sin cosθ θ θ θ d

Posons u = sin .θ

Alors du d d= −( )∫cos sin cosθ θ θ θ θ θ et 35 sin 4 6

= −( ) = −

+ = − +∫35 355 7

7 54 65 7

5u u duu u

C C 7sin sin .θ θ

Page 28: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

236 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

19.4 2 2sin ln cos lnx x

xdx

( ) ( )∫

Posons u x= ln . Alors dux

dx= 1 et

44

41 2

21 2

21 2

11 4

212

12

4

12

12

44

2 22 2

2

sin ln cos lnsin cos

cos coscos

coscos

sin

x x

xdx u u du

u udu u du

udu u du

uu

C

( ) ( ) =

= −

+

= −( )

= − +

= −

= − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

== −

+

= − ( )

+ = −( )

+

12

44

12

44

12 4

4

uu

C

xx

C xx

C

sin

lnsin ln

lnsin ln

.

21. Il est démontré à l'exemple 5, page 197, que

sec sec tan ln sec tan .3 12

12

x dx x x x x C = + + +∫Ainsi,

-3

-3

- 3 - 3

-

--

2

0 0 0 0

1 0 1 0 2 3

3

3

0

3

0sec sec tan ln sec tan

sec tan ln sec tan sec tan ln sec tan

ln ln

x dx x x x xπ

π

π π π π

∫ = + +[ ]

= + +( ) −

+ ( ) + ( )

= × + +( ) − ⋅ + 2 3

2 3 2 3

−( )= − −( )ln .

23. csc csc3

2 22 2 2x

dxx x

dx csc 2=∫ ∫π

π

π

π

Posons ux

dvx

dx= =csc csc .2 2

2 Alors dux x

dx vx= =-1

2 et -2csc cot cot ,

2 2 2 et

Page 29: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 237

csc csc cot cot csc3 2

22

2 2 2 2x

dxx x x x

dx - = −∫ ∫

= − −

= − +

= − − + +

∫∫

-

-2

-

22 2 2

12

2 2 2 2

22 2 2

22 2

2

3

3

csc cot csc csc

csc cot csc csc

csc cot csc ln csc cot .

x x x xdx

x x xdx

xdx

x x xdx

x xC

(voir la page 184, Table 3.1.2, no 2)

Il s'ensuit que 22

22 2

22 2

3csc csc cot ln csc cotx

dxx x x x

C - = − + +∫

et csc csc cot ln csc cot32

22 2 2 2 2x

dxx x x x

π

π

π

π

2

- ∫ = − +

= − +

− − +

= × − + − ⋅ − +( ) = + +( )

- -

- -

csc cot ln csc cot csc cot ln csc cot

ln ln ln .

π π π π π π π π2 2 2 2 4 4 4 4

1 0 1 0 2 1 2 1 2 2 1

25. tan sec sec sec2

0

42

0

4

1x x dx x x dx π π

∫ ∫= −( )

= −( ) = −

= + + − +

= − +

∫ ∫ ∫sec sec sec sec

sec tan ln sec tan ln sec tan

sec tan ln sec tan

3

0

43

0

4

0

4

0

4

0

4

12

12

12

12

x x dx x dx x dx

x x x x x x

x x x x

π π π

π

π

= − +

− − +

= ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + +

= − +( )[ ]

12 4 4

12 4 4

12

0 012

0 0

12

2 112

2 112

1 012

1 0

12

2 2 1

sec tan ln sec tan sec tan ln sec tan

ln ln

ln

π π π π

Page 30: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

238 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

27. sec sec tan sec sec tan sec4

0

42

0

42 2

0

42

0

42 2

0

4

1θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θπ π π π π

sec 2d d d d d∫ ∫ ∫ ∫ ∫= = +( ) = +

Posons u = tanθ dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors du d u= = ⇒ =sec ,2 0 0θ θ θ

et θ π= ⇒ =4 1u .

sec tan tan

tan tan .

40

4

0

42

0

4

0

1 3

0

1

3

4 013

0 113

43

θ θ θ θ

π

ππ

π

d u duu= [ ] + = [ ] +

= − + − = + =

∫ ∫

29. csc csc csc cot csc csc cot csc4 2 2 2 2 2 2 21∫ ∫ ∫ ∫ ∫= = +( ) = +θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d d d

Posons u = cotθ dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors du d= - csc ,2 θ θ de sorte que

csc cot cot cotcot

.4 23 3

3 3∫ ∫= + ⋅ ( ) = − + = − +θ θ θ θ θ θ - - - -d u du

uC C

31. 4 4 4 1 4 43

0

42

0

42

0

42

0

4

0

4

tan tan tan sec tan sec tan tanx dx x x dx x x dx x x dx x dx = = −( ) = −∫ ∫ ∫ ∫∫π π π ππ

Posons u x= tan dans la première intégrale ; nous aurons alors du x dx x u= = ⇒ =sec ,2 0 0

et x u= ⇒ =π 4 1.

4 4 42

412

0 22

0

1

0

4 2

0

1

sec tanx x dx u duu

= =

= −

=∫∫

π

De plus, 4 4 4 40

4

0

4

0

4tan tan ln sec ,x dx x dx x

π ππ∫ ∫= = [ ] par le résultat 1.5.3, page 60, d'où

4 4 4 0 4 20

4

tan ln sec ln sec lnx dx π

π∫ = −[ ] = ( ).

Nous avons finalement 4 2 4 2 2 2 2 43

0

44tan ln ln ln .x dx

π

∫ == − ( ) = − ( ) = −

Page 31: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 239

33. 8 8 8 14

4

22

4

22 2

4

2

cot cot cot csct dt t t dt t t dt cot 2

π

π

π

π

π

π

∫ ∫ ∫= = −( )

= −

= − −( )

= − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

8 8

8 8 1

8 8 8

2 2

4

22

4

2

2 2

4

2

4

2

2 2

4

22

4

2

4

2

cot csc cot

cot csc

cot csc csc

t t dt t dt

t t dt t dt

t t dt t dt dt

csc

2

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

Posons u t= cot dans la première intégrale ; nous aurons alors du t dt t u= = ⇒ =- csc ,2 4 1π

et t u= ⇒ =π 2 0.

8 8 8 8

8 8 8

83

82 4

82 4

4 2

1

0

4

2

42

42

242

0

1

42

3

0

1

cot cot

cot

cot cot

t dt u du t t

u du t t

u

- -

= ⋅ ( ) − [ ] + [ ]

= + [ ] + [ ]

=

+ −

+ −

∫∫

π

π

ππ

ππ

ππ

ππ

π π π π

= −

+ −( ) +

= − +

= −

813

0 8 0 1 84

83

8 2

2163

π π

π

35. sec ln cos2 t t dt( )∫ peut s'intégrer par parties.

Posons u t dv t dt= ( ) =ln cos sec . et 2

Alors dut

t dt t dt v t= ⋅ = =1cos

sin tan tan- - et de sorte que

sec ln cos tan ln cos tan

tan ln cos sec

tan ln cos sec

tan ln cos tan .

2 2

2

2

1

t t dt t t t dt

t t t dt

t t t dt dt

t t t t C

( ) = ( ) +

= ( ) + −( )= ( ) + −

= ( ) + − +

∫∫∫

∫∫

Page 32: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

240 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

37. tan sec tan tan sec3 3 2 2 3 2x x dx x x x dx( ) = ( )∫ ∫

= −( ) ( )

= ( ) − ( )

= ( ) − ( )

∫∫ ∫∫ ∫

sec tan sec

sec sec tan sec tan

sec sec tan sec sec tan

2 3 2

2 3 2 3 2

5 2 1 2

1x x x dx

x x x dx x x dx

x x x dx x x x dx

Dans chacune des intégrales, posons u x= sec , de sorte que du x x dx= sec tan .

Nous aurons alors tan sec3 3 2 5 2 1 2x x dx u du u du( ) = −∫ ∫ ∫

= − = ( ) − ( ) +u ux x C

7 2 3 27 2 3 2

7 2 3 227

23

sec sec .

39. cos cos cos9 8θ θ θ θ θ d d= ∫∫Il suffit alors de transformer cos8 θ en termes de sinθ par cos cos sin ,8 2 4 2 4

1θ θ θ= ( ) = −( )d'effectuer la substitution u = sinθ et de développer 1 2 4

−( )u avant d'intégrer.

41. a) tan tan tan sec tan tan sec tan .5 2 3 2 3 3 2 31θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d d d= = −( ) = −∫∫∫ ∫∫En posant u du d= =tan secθ θ θ et 2 dans la première intégrale, nous obtenons

tantan

tan .54

3

4θ θ θ θ θ d d∫ ∫= −

b) tan tan tan sec tan tan sec tan .7 2 5 2 5 5 2 51θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d d d d= = −( ) = −∫∫∫ ∫∫En posant u du d= =tan secθ θ θ et 2 dans la première intégrale, nous obtenons

tantan

tan .76

5

6θ θ θ θ θ d d∫ ∫= −

c) tan tan tan sec tan2 1 2 2 1 2 2 11k k kd d d+ − −= = −( )∫∫∫ θ θ θ θ θ θ θ θ

= −− −∫∫ tan sec tan .2 1 2 2 1k kd dθ θ θ θ θ

En posant u du d= =tan secθ θ θ et 2 dans la première intégrale, nous obtenons

tantan

tan .2 12

2 1

2k

kkd

kd+ −∫ ∫= −θ θ θ θ θ

Page 33: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 241

43. À partir de l'équation (2) de la page 199 avec m n= =3 2 et , nous pouvons écrire :

sin cos sin sin

coscos

coscos

coscos

3 212

5

12

55

12

00

55

5

12

15

115

00

0

x x dx x x dx

xx

-

- - --

-1

--

-

= +[ ]

= −

= −

− ( ) − ( )

= − − −

∫∫ππ

π

π π

== -65

.

45. À partir de l'équation (1) de la page 199 avec m n= =4 2 et , nous pouvons écrire :

8 4 2 812

2 6

42

26

6

43

2 66

22

6

43

40

14

16

12

6

12

6

12

6

sin sin cos cos

sin sin

sin sin sin sin

x x dx x x dx

x x

= ⋅ −[ ]

= −

= −

− −

= − − +

∫∫π

π

π

π

π

π

π π π π

= − + = − = −3 1

23

313

3 3 13

.

47. À partir de l'équation (3) de la page 199 avec m n= =13

14

et , nous pouvons écrire :

cos cos cos cos

sin sin

sin sin sin sin

x xdx

x xdx

x x

3 412 12

712

12

1212

127

712

63

67

73

66

67

76

63

267

32

612

67

2

4

2

4

2

4

-12

= +

= +

= + − −

= ⋅ + ⋅ − ⋅ −

∫∫π

π

π

π

π

π

π π π π

= + − + = −3 3

3 37

337

24 3 187

.

Page 34: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

242 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

49. csc csc csc3 2x dx x x dx ∫ ∫=

Posons u x dv x dx= =csc csc . et 2

Alors du x x dx v x= =- et -csc cot cot , de sorte que

csc csc cot cot csc

csc cot csc csc

csc cot csc csc

csc cot csc ln csc cot

3 2

2

3

3

1

∫ ∫∫∫ ∫∫

= −

= − −( )= − +

= − − +

x dx x x x x dx

x x x x dx

x x x dx x dx

x x x dx x x

-

-

-

-

(voir la page 184, Table 3.1.2 no 2)

Il s'ensuit que 2 3csc csc cot ln csc cotx dx x x x x - = − +∫et csc csc cot ln csc cot .3 1

212

x dx x x x x C - ∫ = − + +

51. Posons y dy d= = < <3 32 2

2tan , sec , .θ θ θ π θ π pour

-

9 9 9 9 1 92 2 2 2+ = + = +( ) =y tan tan secθ θ θ

de sorte que 9 9 3 32 2+ = = =y sec sec sec ,θ θ θ

puisque sec .θ π θ π> < <02 2

pour -

Alors, dy

y

dd

9

332

2

+= =∫ ∫ ∫sec

secsec

θ θθ

θ θ

= + + ′

= + + ′

= + − + ′

= + + = ′ −

ln sec tan

ln

ln ln

ln , ln .

+

+

+ où

θ θ C

y yC

y y C

y y C C C

9

3 3

9 3

9 3

2

2

2

y2

9 y+

Page 35: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 243

53. Posons t dt d= = < <5 52 2

sin , cos , .θ θ θ π θ π pour

-

25 25 25 25 1 252 2 2 2− = − = −( ) =t sin sin cos ,θ θ θ

de sorte que 25 25 5 52 2− = = =t cos cos cos ,θ θ θ

puisque cos .θ π θ π> < <02 2

pour -

Alors, 25 5 52− = ⋅∫ ∫t dt d cos cosθ θ θ

= = +

= +

+

= + ⋅

+

=

+ ⋅ −

+

=

+ − +

∫ ∫25 251 2

2252

22

252

12

2

252 5 5

255

252 5

252

2

2

2

coscos

sin

sin cos

sin

sin .

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

d d

C

C

arct t t

C

arct t t

C

55. Posons 2 772

72

x x dx d= = =sec sec , sec tan .θ θ θ θ θ ou

De x > 72

, on déduit que 02

< <θ π.

De plus, 4 49 49 49 49 1 492 2 2 2x t− = − = −( ) =sec sec tan ,θ θ

de sorte que 4 49 49 7 72 2x − = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tan .θ θ π> 0 pour 0 < <2

Il s'ensuit que dx

x

dd

4 49

72 7

122 −

= =∫∫ ∫sec tantan

secθ θ θ

θθ θ

= + + ′ = + − + ′

= + − + ′ = + − +

12

12

27

4 497

12

2 4 4912

712

2 4 49

2

2 2

ln sec tan ln

ln ln ln

-

θ θ Cx x

C

x x C x x C

où C C= + ′-12

7ln .

2 52 t−

5t

θ

49 42

-x

7

2x

θ

Page 36: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

244 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

57. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ

De x > 1, on déduit que 02

< <θ π.

De plus, x2 2 21 1− = − =sec tan ,θ θ de sorte que

x2 21− = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tan .θ θ π> 0 pour 0 < <2

Il s'ensuit que dx

x x

dd d C

x

xC

2 2 2

2

1

1 1

−= = = = + = − +∫∫ ∫ ∫sec tan

sec tan seccos sin .

θ θ θθ θ

θ θ θ θ

(voir le triangle de référence)

59. Posons x dx d= = < <2 22 2

2tan , sec ,θ θ θ π θ π pour

-

x2 2 2 24 4 4 4 1 4+ = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ

de sorte que x s2 24 4 2 2+ = = =sec sec ,θ θ θ ec puisque sec .θ π θ π> 02

pour -

< <2

Il s'ensuit que x dx

x

d3

2

3 2

4

8 22

+= ⋅∫∫ tan sec

secθ θ θ

θ

= =

= −( )∫ ∫∫

8 8

8 1

3 2

2

tan sec tan sec tan

sec sec tan .

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

d d

d

Posons u du d= =sec sec tan .θ θ θ θ et

Alors x dx

xu du

uu C

3

2

23

48 1 8

3

+

= −( ) = −

+∫ ∫

= −

+ = +

− +

+

= +( ) − + +

83

813

42

42

13

4 4 4

3 23

2

2 3 2 2

secsec

.

θ θ Cx x

C

x x C

1 2

-x

1

x

θ

4 2 +x

2

Page 37: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 245

61. Posons w dw d= = < <2 22 2

sin , cos , .θ θ θ π θ π pour

-

4 4 4 4 1 42 2 2 2− = − = −( ) =w sin sin cosθ θ θ , de sorte que

4 4 2 22 2− = = =w cos cos cos ,θ θ θ puisque pour -

cos .θ π θ π> < <02 2

Il s'ensuit que 8

4

8 24 2

21

2 2 2 2

dw

w w

dd

−= ⋅

⋅=∫ ∫ ∫cos

sin cos sinθ θ

θ θ θθ

= = + = − +∫22 42

2

csc cotθ θ θ -2 -d Cw

wC (voir le triangle de référence, page précédente).

63. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ

De x > 1, on déduit que 02

< <θ π.

De plus, x2 2 21 1− = − =sec tan ,θ θ

de sorte que x2 21− = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tan .θ θ π> < <0 02

pour

Il s'ensuit que dx

x

dd d d

2 3 2 3 2

2

2 21

1

−( )= = = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫sec tan

tansectan cos

cossin

cossin

.θ θ θ

θθθ

θθ

θθ

θ θθ

θ

Posons u = sin ,θ alors du d= cosθ θ etdx

x udu u du

uC

2 3 2 21

1 1

−( )= = = +∫∫ ∫ --2 = + = + =

−+- - -

1

12sincsc .

θθC C

x

xC

65. Posons x dx d= =sin , cos ,θ θ θ pour -2π θ π< <

2.

1 12 2 2− = − =x sin cos ,θ θ de sorte que

1 2 2− = = =x cos cos cos ,θ θ θ puisque cosθ > 0 pour -2π θ π< <

2.

Il s'ensuit que 1 1

2 3 2

6

3

6

4

4 24 2

−( )= ⋅ = ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

x

xdx

dd d

cos cossin

cossin sin

cot csc .θ θ θ

θθθ θ

θ θ θ θ

42

w-

2w

θ

1 2

-x

1

x

θ

12

x-

1x

θ

Page 38: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

246 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Posons u = cot ,θ alors du dx

xdx u du

uC=

−( )= ⋅ ( ) = +∫∫- et - -csc2

2 3 2

64

51

5θ θ

= + =−( )

+- -cot

.5 2

5

5 2

515

1θC

x

xC (Voir le triangle de référence ci-dessus)

67. Posons 212

x x= =tan tan ,θ θ ou

dx d= 12

2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

4 1 12 2 2x + = + =tan sec .θ θ

Il s'ensuit que 8

4 1

8 122 2 2 2

2dx

x xd

+( )=

( )⋅∫ ∫

secsec θ θ

= = = +

= +

+ = +

+

= ++

⋅+

+

= ++

∫ ∫∫41

4 41 2

2

22

22

22

2 22

4 1

1

4 1

2 22

4 1

22

2 2

2

seccos

cos

sin sin cos

tan

tan

θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

d d d

C C

arc xx

x xC

arc xx

x++ C.

69. Posons u t= e . Alors du dt t u t ut= = ⇒ = = ⇒ =e et , ln .0 1 4 4

Il s'ensuit que e

e

t

t

dt du

u20

4

21

4

9 9+=

+∫ ∫ln

.

Posons u = 3tan ,θ

du d= 3 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

u2 2 2 29 9 9 9 1 9+ = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ

de sorte que u2 29 9 3 3+ = = =sec sec sec ,θ θ θ puisque secθ > 0 pour -2π θ π< <

2.

1 4 2 +x

1

2xθ

9 2 +u

3

Page 39: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 247

Nous avons du

u

dd

2

2

9

33+

= =∫∫ ∫secsec

secθ θθ

θ θ

= + + = + + +ln sec tan ln . θ θ Cu u

C2 93 3

Il en résulte que du

u

u u2

2

1

4

1

4

9

93 3

53

43

103

13+

= + +

= + − +∫ ln ln ln

= − − +( ) −( ) = − +( )ln ln ln ln ln ln .9 3 10 1 3 9 10 1

71. Posonsx t= . Alors dxt

dt dxdt

t= =1

22 et .

Il s'ensuit que 2

42

1 42

1 42

41 42 2

dt

t t t t

dt

t xdx

xdx

+=

+⋅ =

+⋅ =

+∫ ∫ ∫ ∫ .

Posons 212

x x= =tan tan ,θ θ ou dx d= 12

2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

Alors 1 4 12 2 2+ = + =x tan secθ θ et

41 4

4 12

2 2 2 2 2 22 22

+= ⋅ = = + = ( ) + = ( ) +∫ ∫ ∫x

dx d d C arc x C arc t C sec

sec tan tan .θ

θ θ θ θ

Finalement, 2

42 2

1 12

1 4

1 12

1 4dt

t t tarc t

+= ( )[ ]∫ tan

= −

= −

= −

= −[ ] =

2 1 21

12

2 12

2 3

2 113

2 4 6 6

arc arc

arc arc

arc arc

tan tan

tan tan

tan tan

.π π π

1

2x24 1 x+

θ

Page 40: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

248 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

73. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ

Si x > 1, alors 02

0< < >θ π θ et tan , de sorte

que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ et

dx

x x

dC arc x C arc x C

2 1−= = + = + = +∫ ∫ sec tan

sec tansec sec .

θ θ θθ θ

θ

Si x < -1, alors π θ π θ2

0< < < et tan , de sorte que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ - et

dx

x x

dC arc x C

arc x C arc x C

arc x C C C

2 1−=

( )= + = +

= ( ) − + = ( ) + ′= + ′ ′ = −

∫ ∫ sec tansec tan

sec

sec sec

sec , .

θ θ θθ θ

θ

ππ

-

- -

- -

75. Posons x dx d= =sec , sec tan .θ θ θ θ

Si x > 1, alors 02

0< < >θ π θ et tan , de sorte que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ et

x dx

x

dd C x C

2

2 2

11

−= = = + = − +∫ ∫ ∫sec sec tan

tansec tan .

θ θ θ θθ

θ θ θ

Si x < -1, alors π θ π θ2

0< < < et tan , de sorte que x2 21− = = =tan tan tanθ θ θ - et

x dx

x

dd C x C

-

- -2

2 2

11

−= = = + = − +∫ ∫ ∫sec sec tan

tansec tan .

θ θ θ θθ

θ θ θ

77.dy

y y

dy

y y

dy

y2 2 22 5 2 1 4 1 4− +=

− +( ) +=

−( ) +∫ ∫ ∫

Posons y y− = = +1 2 1 2tan tan ,θ θ ou

dy d= 2 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

y −( ) + = + = +( ) =1 4 4 4 4 1 42 2 2 2tan tan secθ θ θ

1 2

-x

1

x

θ

( ) 4 1 2 +-y

2

y - 1θ

Page 41: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 249

Il s'ensuit que dy

y y

dd C arc

yC2

2

22 52

412

12

12

12− +

= = = + = −

+∫ ∫ ∫sec

sectan

θ θθ

θ θ

et que dy

y yarc

yarc arc2

1

3

1

3

2 512

12

12

1 012 4

08− +

= −

= −[ ] = −

=∫ tan tan tan .π π

79. 2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2x x x x x x x x− = −( ) = − + −( ) = −( ) −[ ] = − −( )- - - ,

d'où x dx

x x

x dx

x

−( )−

= −( )− −( )∫ ∫1

2

1

1 12 2

.

Posons x x− = = +1 1sin sin ,θ θ ou dx d= cos ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

1 1 12 2 2− −( ) = − =x sin cos ,θ θ de sorte que 1 1 2 2− −( ) = = =x cos cos cos ,θ θ θ

puisque cosθ > 0 pour -2π θ π< <

2.

Il s' ensuit que

-

- -

x dx

x x

dd C

x C x x C

−( )−

= = = +

= − −( ) + = − +

∫ ∫ ∫1

2

1 1 2

2

2 2

sin coscos

sin cosθ θ θ

θθ θ θ

et que x dx

x xx x

−( )−

= −[ ] = − + −

= +

= −∫ 1

22 3

94

2 13

21 1

322

1

3 22

1

3 2 - - - .

81.dx

x x

dx

x x

dx

x2 2 22 2 1 1 1 1−=

− + −=

−( ) −∫ ∫ ∫

Posons x x− = = +1 1sec sec ,θ θ ou

dx d= sec tan ,θ θ θ pour 02

< <θ π.

x −( ) − = − =1 1 12 2 2sec tan ,θ θ

de sorte que x −( ) − = = =1 12 2tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour 02

< <θ π.

Il s' ensuit que

dx

x x

dd C

x x x C

2

2

2

1 2

−= = = + +

= − + − +

∫∫ ∫sec tantan

sec ln sec tan

ln .

θ θ θθ

θ θ θ θ

( ) 1 12

-x-

1x - 1

θ

( ) 1 1 2

--x

1

x - 1

θ

Page 42: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

250 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

83. x x x x x2 2 24 13 4 4 9 2 9+ + = + +( ) + = +( ) + , d'où x dx

x x

x dx

x

+( )+ +

= +( )+( ) +∫∫ 2

4 13

2

2 92 2

.

Posons x x+ = = −2 3 3 2tan tan ,θ θ ou

dx d= 3 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

x +( ) + = + = +( ) =2 9 9 9 9 1 92 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ d'où

x +( ) + = = =2 9 9 3 32 2sec sec secθ θ θ puisque secθ > 0 lorsque -2π θ π< <

2.

Il s' ensuit que

x dx

x x

dd

C x x C

+( )+ +

= ⋅ =

= + = + + +

∫ ∫∫2

4 13

3 33

3

3 4 13

2

2

2

tan secsec

tan sec

sec

θ θ θθ

θ θ θ

θ

et x dx

x xx x

+ -2

-2

2

4 134 13 5 3 2

2

222 ( )

+ += + +[ ] = − =∫ .

85. s s s s s2 2 22 5 2 1 4 1 4− + = − + + = −( ) + , d'où ds

s s

ds

s2 22 5 1 4− +=

−( ) +∫∫ .

Posons s s− = = +1 2 1 2tan tan ,θ θ ou ds d= 2 2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

s −( ) + = + = +( ) =1 4 4 4 4 1 42 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ

d'où s −( ) + = = =1 4 4 2 22 2sec sec sec ,θ θ θ

puisque secθ > 0 lorsque -2π θ π< <

2.

Il s' ensuit que

ds

s s

dd C

s s sC

2

2

2

2 5

22

2 52

12

− += = = + +

= − + + − +

∫∫ ∫secsec

sec ln sec tan

ln .

θ θθ

θ θ θ θ

Note : En poursuivant les calculs, on obtient :

ds

s ss s s C s s s C

2

2 2

2 52 5 1 2 2 5 1

− += − + + − − + = − + + − + ′∫ ln ln ln ,

où ′ = −C C ln ,2 qui est une réponse équivalente.

( ) 9 2 2 ++x

3

x + 2θ

( ) 4 1 2 +−s

2

s - 1θ

Page 43: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 251

87. 9 6 5 9 6 1 4 3 1 42 2 2x x x x x− + = − + + = −( ) + , d'où 3

9 6 53

3 1 42 2

dx

x x

dx

x− +=

−( ) +∫∫ .

Posons 3 1 21 2

3x x− = = +

tantan

,θ θ ou

dx d= 23

2sec ,θ θ pour -2π θ π< <

2.

3 1 4 4 4 4 1 42 2 2 2x −( ) + = + = +( ) =tan tan secθ θ θ

Il s'ensuit que 3

9 6 5

3234

12

12

12

3 122

2

2

dx

x x

dd C arc

xC

− +=

⋅ ⋅= = + = −

+∫∫ ∫

sec

sectan .

θ θ

θθ θ

89. r r r r r2 2 22 3 2 1 4 1 4− − = − + − = −( ) − , d'où dr

r r

dr

r2 22 3 1 4− −=

−( ) −∫∫ .

Posons r r− = = +1 2 1 2sec sec ,θ θ ou

dr d= 2sec tanθ θ θ pour 02

< <θ π.

r −( ) − = − = −( ) =1 4 4 4 4 1 42 2 2 2sec sec tan ,θ θ θ

de sorte que r −( ) − = = =1 4 4 2 22 2tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour 02

< <θ π.

Il s' ensuit que

sec

dr

r r

dd C

r r rC

2

2

2 3

22

12

2 32

− −= = = + +

= − + − − +

∫∫ ∫sec tantan

ln sec tan

ln ,

θ θ θθ

θ θ θ θ

ou encore ln , ln . où r r r C C C− + − − + ′ ′ = −1 2 3 22

91. θ θ θ θ θ2 2 24 5 4 4 1 2 1+ + = + + + = +( ) + , d'où 2

4 52

2 12 2

d dθθ θ

θθ+ +

=+( ) +∫∫ .

Posons θ α θ α+ = = −2 2tan , tan , ou

d dθ α α= sec ,2 pour -π α π2 2

< < .

θ α α+( ) + = + =2 1 12 2 2tan sec .

( ) 4 1 32 +−x

2

3x - 1θ

2

r - 1( ) 4 1

2 −−rθ

2 +θ( ) 1 2

2 ++θ

Page 44: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

252 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Il s'ensuit que 2

4 52

2 2 2 22

2

2

d dd C arc C

θθ θ

α αα

α α θ+ +

= = = + = +( ) +∫∫∫ secsec

tan

et 2

4 52 2 2 5 0 2 5 0 2 52

33

-2

-2

darc arc arc arc arc

θθ θ

θ+ +

= +( )[ ] = −[ ] = −[ ] =∫ tan tan tan tan tan .

93. 9 6 5 9 6 1 4 3 1 42 2 2x x x x x− + = − + + = −( ) + , d'où dx

x x

dx

x9 6 5 3 1 42 2− +=

−( ) +∫∫ .

Posons 3 1 21 2

3x x− = = +

tantan

,θ θ ou

dx d= 23

2sec ,θ θ pour -π θ π2 2

< < .

3 1 4 4 4 4 1 42 2 2 2x −( ) + = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ de sorte que

3 1 4 4 2 22 2x −( ) + = = =sec sec sec ,θ θ θ puisque secθ > 0 pour -π θ π2 2

< < .

Il s' ensuit que

dx

x x

dd C

x x xC

9 6 5

23 2

13

13

13

9 6 52

3 12

2

2

2

− += = = + +

= − + + − +

∫∫ ∫secsec

sec ln sec tan

ln ,

θ θθ

θ θ θ θ

ou encore 13

9 6 5 3 113

22ln , ln . où x x x C C C− + + − + ′ ′ = −

95. x x x x x2 2 24 13 4 4 9 2 9+ + = + + + = +( ) + , d'où dx

x x

dx

x2 24 13 2 9+ +=

+( ) +∫∫ .

Posons x x+ = = −2 3 3 2tan tan ,θ θ ou

dx d= 3 2sec ,θ θ pour -π θ π2 2

< < .

x +( ) + = + = +( ) =2 9 9 9 9 1 92 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ de sorte que

x +( ) + = = =2 9 9 3 32 2sec sec sec ,θ θ θ puisque secθ > 0 lorsque -π θ π2 2

< < .

( ) 4 1 32 +−x

2

3x - 1θ

( ) 9 2 2 ++x

3

x + 2θ

Page 45: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 253

Il s' ensuit que

dx

x x

dd C

x x xC

2

2

2

4 13

33

4 133

23

+ += = = + +

= + + + + +

∫∫ ∫secsec

sec ln sec tan

ln

θ θθ

θ θ θ θ

et dx

x x

x x x2

21

1

4 13

4 133

23

183

1 1 0 2 1+ +

= + + + +

= + − + = +( )∫ ln ln ln ln . -2-2

97. t t t t t2 2 22 8 2 1 9 1 9− − = − + − = −( ) − , d'où dt

t t

dt

t2 22 8 1 9− −=

−( ) −∫∫ .

Posons t t− = = +1 3 1 3sec sec ,θ θ ou

alors dt d= 3sec tanθ θ θ pour 02

< <θ π.

t −( ) − = − = −( ) =1 9 9 9 9 1 92 2 2 2sec sec tan ,θ θ θ de sorte que

t −( ) + = = =1 9 9 3 32 2tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour02

< <θ π.

Il s' ensuit que

dt

t t

dd C

t t tC

2

2

2 8

33

13

2 83

− −= = = + +

= − + − − +

∫∫ ∫sec tantan

sec ln sec tan

ln

θ θ θθ

θ θ θ θ

et dt

t t

t t t2

26

6

2 8

13

2 83

53

43

73

34 7

3− −= − + − −

= + − + = − +

∫ ln ln ln ln ln .

43

55

99. r r r r r2 2 24 5 4 4 1 2 1+ + = + + + = +( ) + , d'où r dr

r r

r dr

r

2 24 5 2 1+ +

=+( ) +∫∫ .

Posons r r dr d+ = = − =2 2 2tan , tan , sec ,θ θ θ θ ou d' où pour-π θ π2 2

< < .

r +( ) + = + =2 1 12 2 2tan sec ,θ de sorte que

r s+( ) + = = =2 12 2sec sec ,θ θ θ ec

puisque secθ > 0 pour-π θ π2 2

< < .

3

t - 1( ) 9 1

2 −−tθ

( ) 1 2 2 ++r

1

r + 2θ

Page 46: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

254 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Il s' ensuit que

r dr

r r

dd d

C

r r r r r C

2

2

2 2

4 5

22

2

4 5 2 4 5 2

+ += −( ) = −

= − + +

= + + − + + + + +

∫∫ ∫ ∫tan secsec

tan sec sec

sec ln sec tan

ln .

θ θ θθ

θ θ θ θ θ

θ θ θ

101. xdy

dxx

dy

dx

x

xy

x

xdx et = − ⇒ = − = −∫2

2 2

44 4

.

Posons x dx d= =2 2sec , sec tan ,θ θ θ θ d' où pour 02

< <θ π.

x2 2 2 24 4 4 4 1 4− = − = −( ) =sec sec tan ,θ θ θ

de sorte que x2 24 4 2 2− = = =tan tan tan ,θ θ θ puisque tanθ > 0 pour 02

< <θ π.

Il s' ensuit que

yx

xdx d

d d

d d C

xarc

xC x arc

xC

= − = ⋅

= = −( )= − = − +

= − −

+ = − −

+

∫ ∫∫∫∫∫

2

2 2

2

22

4 22

2

2 2 1

2 2 2 2

24

22

24 2

2

tansec

sec tan

tan sec

sec tan

sec sec .

θθ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

Comme y arc C C C2 0 0 0 2 1 0 0( ) = = − + = + =, sec , . on a d' où

La solution de l'équation différentielle est donc y x arcx= − −

2 4 22

sec .

103. xdy

dx

dy

dx xy

xdx2

2 24 33

43

4+( ) = ⇒ =

+=

+∫ et .

Posons x dx d= =2 2 2tan , sec ,θ θ θ d' où pour -π θ π2 2

< < .

x2 2 2 24 4 4 4 1 4+ = + = +( ) =tan tan sec ,θ θ θ

d' où yx

dx d d C arcx

C=+

= ⋅ = = + =

+∫∫∫ 3

43

42

32

32

32 22 2

2

secsec tan .

θθ θ θ θ

Comme y arc C C2 0 032

138

( ) = = + = +, tan , π

de sorte que C = -38π

.

La solution de l'équation différentielle est donc y arcx=

−3

2 238

tan .π

2

x 4

2 −xθ

2

x 4

2 +x

θ

Page 47: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 255

105. Ax

dx= −∫ 93

2

0

3

Posons x dx d= =3 3sin , cos ,θ θ θ d' où pour -π θ π2 2

< < .

9 9 9 9 1 92 2 2 2− = − = −( ) =x sin sin cos ,θ θ θ d' où

9 9 3 32 2− = = =x cos cos cos ,θ θ θ

puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2

< < .

De plus, x x= ⇒ = = ⇒ =0 0 3 2θ θ π et .

Il s' ensuit que

Ax

dx d

d d

= − = ⋅

= = +

= +

= + − +( )

=

∫∫

∫∫

93

33

3

3 31 2

2

32

22

32 2

0 0 034

2

0

2

0

3

2

0

2

0

2

0

2

coscos

coscos

sin.

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ π π

π

ππ

π

107. moy fx x

dxx x

dxx

dx( ) =− +

=− + +

=−( ) +∫ ∫∫1

244 8

12

44 4 4

12

42 42 2

2

4

2

2

4

2

4

Posons x x dx d− = = + =2 2 2 2 2 2tan tan , sec ,θ θ θ θ ou d' où pour -π θ π2 2

< < .

x x−( ) + = + = +( ) = = ⇒ =2 4 4 4 4 1 4 2 02 2 2 2tan tan sec ,θ θ θ θ et alors que x = ⇒ =4 4θ π .

Il s' ensuit que moy

fx

dx

d

d

( ) =−( ) +

= ⋅

= = [ ] = − =

12

42 4

12

44

2

40

4

2

2

4

20

42

0

4

0

4

secsec

.

θθ θ

θ θ π π

π

ππ

3x

92

x -

θ

3

- 9 2

xy =

x

y

31

1

θ

( ) 4 2 2 +−x

2

x - 2

Page 48: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

256 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

109. y xdy

dxx L x dx x dx= = = + ( ) = +∫∫2 2 2

0

3 2

0

3 2

2 1 2 1 4, . d' où et

Posons 22

x x= =tantan

,θ θ ou d'où dx d= 1

22sec ,θ θ pour -

π θ π2 2

< < .

1 4 1 1 42 2 2 2 2+ = + = + = = =x xtan sec , sec sec sec ,θ θ θ θ θ et puisque secθ > 0

lorsque -π θ π2 2

< < .

De plus, x x= ⇒ = = ⇒ =0 03

2 3θ θ π

et .

Il s' ensuit que

( ' , 197)

=12

L x dx d

d

Voir l exemple page

= + = ⋅

= = + +

+ + −

∫∫

1 412

12

12

12

12

5

12 3 3

12 3 3

12

0

2 2

0

3

0

3 2

3

0

3

0

3

sec sec

sec sec tan ln sec tan

sec tan ln sec tan sec

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

π π π π

π

π π

tantan ln sec tan

ln ln

ln , .

012

0 0

12

12

2 312

2 312

1 012

1 0

12

312

2 3 1 195

+ +

= ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + +

= + +( )

111. y f x x x= ( ) = + +2 2 3 est une fonction non négative et lisse sur l'intervalle - 1 0, ,[ ]

puisque ′( ) =+ +

⋅ +( ) = ++ +

f xx x

xx

x x

1

2 2 32 2

1

2 32 2 est continue sur cet intervalle.

A ydy

dxdx x x

x

x xdx

x xx x

x xdx

x xx x x x

x

a

b

= +

= + + + +

+ +

= + + + + ++ +

= + + + + + + +

∫ ∫

2 1 2 2 3 11

2 3

2 2 3 12 12 3

2 2 32 3 2 1

22

1

0

2

2

2

1

0 2

2

2

1

0 2 2

2

π π

π

π

-

-

-++ +

= + +( )

= + + + = ( ) +

∫ ∫

2 3

2 2 2 2

2 2 2 1 1 2 2 1 1

20

20

2

1

0

xdx

x x dx

x x dx x dx

+

-1

-1 -

π

π π

1

2x 4 1

2x+

θ

Page 49: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.3 page 257

Posons x dx d+ = =1 2tan , sec .θ θ θ

De plus, x x= ⇒ = = ⇒ =-1 et θ θ π0 0 4.

x +( ) + = + = = =1 1 12 2 2tan sec sec secθ θ θ θ

puisque secθ > 0 pour 0 4< <θ π .

A x dx d

d

= ( ) + = ⋅

= = + +

= + +

− +

∫ ∫

2 2 1 1 2 2

2 2 2 212

12

2 212 4 4

12 4 4

12

0 01

20

2

0

4

3

0

4

0

4

π π θ θ θ

π θ θ π θ θ θ θ

π π π π π

π

π π

+

-1

sec sec

sec sec tan ln sec tan

sec tan ln sec tan sec tan22

0 0

2 212

2 112

2 112

1 012

1 0

2 22

2 2 1 2 2 2 1

ln sec tan

ln ln

ln ln

+

= ⋅ ⋅ + +( )

− ⋅ ⋅ + +( )

= + +( )[ ] = + +( )[ ]

π

π π

113. a) Posons u a du a d= =tan , sec .θ θ θ 2

Alors u a a a a a2 2 2 2 2 2 2 2 21+ = + = +( ) =tan tan secθ θ θ

et du

u a

a d

a ad

aC

aarc

u

aC2 2

2

2 2

1 1 1+

= = = + =

+∫∫ ∫sec

sectan .

θ θθ

θ θ

b) Posons u a du a d= =sin , cosθ θ θ pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

Alors a u a a a a2 2 2 2 2 2 2 2 21− = − = −( ) =sin sin cosθ θ θ

et a u a a a a2 2 2 2 2− = = = =cos cos cos cosθ θ θ θ

puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

du

a u

a d

ad C arc

u

aC

2 2−= = = + =

+∫ ∫ ∫cos

cossin .

θ θθ

θ θ

x + 1

1

( ) 1 1 2 ++x

θ

u

a

22 au +

θ

ua

22 ua −

θ

Page 50: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

258 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Exercices 3.4 - Fonctions rationnelles et méthode des fractions partielles

1.5 13

3 2 3 2x

x x

A

x

B

x

−−( ) −( )

=−

+−

, d'où 5 13 2 3 2 3x A x B x A B x A B− = −( ) + −( ) = +( ) − +( ).

Nous avons donc (1)

(2)

A

A

B

B2 3

5

13

+

+

=

=.

En soustrayant 2 × (1) de (2), nous obtenonsB = 3, d'où A = 2.

Ainsi, 5 13

3 22

33

2x

x x x x

−−( ) −( )

=−

+−

.

3.x

x

A

x

B

x

++( )

=+

++( )

41 1 12 2 , d'où x A x B Ax A B+ = +( ) + = + +( )4 1 .

Nous avons donc A A B= + =1 4 et , d'où B = 3.

Ainsi, x

x x x

++( )

=+

++( )

41

11

312 2 .

5.z

z z

A

z

B

z

C

z

+−( )

= + +−

11 12 2- , d'où z Az z B z Cz+ = −( ) + −( ) +1 1 1 2

= − + − + = +( ) + +( ) −Az Az Bz B Cz A C z A B z B2 2 2 - .

Nous avons donc A C A B B+ = + = =0 1 1, , - et - d'où nous tirons B A C= = =-1 -2 et , .2

Ainsi, z

z z z z z

+−( )

= − +−

11

2 1 212 2- .

7.t

t t

t

t t

2

2 2

85 6

15 2

5 6+

− += + +

− + (division de polynômes)

5 25 6

5 23 2 3 22

t

t t

t

t t

A

t

B

t

+− +

= +−( ) −( )

=−

+−

, d'où 5 2 2 3 2 3t A t B t A B t A B+ = −( ) + −( ) = +( ) − − .

Nous avons donc A

A

B

B-

(1)

(2)2 3

5

2

+

=

=.

Page 51: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.4 page 259

En additionnant 2 × (1) à (2), nous obtenons B = -12, d'où A = 17.

Ainsi, t

t t t t

2

2

85 6

117

312

2+

− += +

−−

−.

9.1

11

1 1 1 12−=

−( ) +( )=

−+

+x x x

A

x

B

x, d'où 1 1 1= +( ) + −( )A x B x .

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons A = 1 2.

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons B = 1 2.

Par conséquent dx

x

dx

x

dx

x112 1

12 12−

=−

++∫ ∫ ∫

= ⋅ − + ⋅ + +

= + − −[ ] +

12

112

1

12

1 1

-

ln ln

ln ln .

x x C

x x C

11.x

x x

x

x x

A

x

B

x

++ −

= ++( ) −( )

=+

+−

45 6

46 1 6 12 , d'où x A x B x+ = −( ) + +( )4 1 6 .

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons B = 5 7.

En assignant à x la valeur -6, nous obtenons A = 2 7.

Par conséquent x

x xdx

dx

x

dx

x

++ −

=+

+−∫ ∫ ∫4

5 627 6

57 12

= + +

= +( ) ⋅ −( ) +

27

57

17

6 12 5

ln ln ,

ln .

+ 6 -1 ou encorex x C

x x C

13.y

y y

y

y y

A

y

B

y2 2 3 3 1 3 1− −=

−( ) +( ) =−

++

, d'où y A y B y= +( ) + −( )1 3 .

En assignant à y la valeur -1, nous obtenons B = 1 4.

En assignant à y la valeur 3, nous obtenons A = 3 4.

Page 52: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

260 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Par conséquent y dy

y y

dy

y

dy

y

2

4

8

4

8

4

8

2 334 3

14 1− −

=−

++∫ ∫ ∫

= [ ] + [ ]

= −( ) + −( ) = +

= + = + = +( )

=

34

14

34

5 114

9 512

514

9

12

514

312

512

312

5 3

12

15

4

8

4

8

2

ln ln

ln ln ln ln ln ln

ln ln ln ln ln ln

ln .

- 3 +1 y y

Note : La réponse 12

514

9ln ln+ est tout à fait acceptable ; les étapes subséquentes

de raisonnement n'ont pour objet que de simplifier la réponse.

15.1

21

2

12 1 2 13 2 2t t t t t t t t t

A

t

B

t

C

t+ −=

+ −( ) =+( ) −( )

= ++

+−

, d'où

1 2 1 1 2= +( ) −( ) + −( ) + +( )A t t Bt t Ct t .

En assignant à t la valeur 0, nous obtenons A = -1 2.

En assignant à t la valeur -2, nous obtenons B = 1 6.

En assignant à t la valeur 1, nous obtenons C = 1 3.

Par conséquent, dt

t t t

dt

t

dt

t

dt

t3 2 212

16 2

13 1+ −

= ++

+−∫ ∫ ∫ ∫-

= + + + − +- 12

16

213

1ln ln ln .t t t C

17.x

x xx

x

x

3

2 22 12

3 21+ +

= −( ) + ++( )

(division polynomiale)

3 21 1 12 2

x

x

A

x

B

x

++( )

=+

++( )

, d'où 3 2 1x A x B Ax A B+ = +( ) + = + + .

Page 53: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.4 page 261

Nous avons donc A = 3, d'où B = -1, de sorte que

x dx

x xx dx

dx

x

dx

x

xx x

x

3

20

1

2

0

1

0

1

0

1

2

0

1

2 12 3

1 1

22 3 1

11

12

2 3 212

0 0 3 1 1

3 2 2

+ += −( ) +

+−

+( )

= − + + ++

= − + +

− − + +( )

= −

∫ ∫∫∫

ln

ln ln

ln .

19.1

1

11 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

x x x

A

x

B

x

C

x

D

x−( )=

+( ) −( )=

++

−+

+( )+

−( ), d'où

1 1 1 1 1 1 12 2 2 2= +( ) −( ) + −( ) +( ) + −( ) + +( )A x x B x x C x D x .

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons C = 1 4.

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons D = 1 4.

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons 1 1 2= − + + − =A B C D A B, . d' où

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons 1 3 9 9 3 1 2= + + + + =A B C D A B, . d' où -

En soustrayant l'équation A B− = 1 2 de l'équation A B+ =3 1 2- , nous obtenons

B A= =- d' où 1 4 1 4, .

Par conséquent, dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x2 2 2 21

14 1

14 1

14 1

14 1−( )

=+

−−

++( )

+−( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫

= + − − −+( )

−−( )

+

= +−

− − + +−( )

+

= +−

−−( ) +

14

114

11

4 11

4 1

14

11

1 1

4 1

14

11 2 1

2

2

ln ln

ln

ln .

x xx x

C

x

x

x x

xC

x

x

x

xC

Page 54: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

262 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

21.1

1 1 1 12 2x x

A

x

Bx C

x+( ) +( ) =+

+ ++

, d'où 1 1 12= +( ) + +( ) +( )A x Bx C x .

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons A = 1 2.

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons A C C+ = =1 1 2, . d' où

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons 1 5 6 3= + +A B C et comme A C= = 1 2, nous

en déduisons que B = -1 2.

Par conséquent, dx

x x

dx

x

x

xdx

+( ) +( ) =+

+ ++∫ ∫ ∫1 1

12 1

12

112

0

1

0

1

20

1 -

= +[ ] ++

++

= +[ ] + +( ) +

= −( ) + +

∫∫12

112 1

11

12

112

1

12

2 112

12

2 112

1

0

1

2 20

1

0

1

0

1 2

0

1

ln

ln ln tan

ln ln ln tan ln

-

-12

- -

xx

xdx

xdx

x x arc x

arc ++

= − + ⋅ = +

arc tan

ln lnln

.

0

12

214

212 4

2 28

π π

23.y y

y

Ay B

y

Cy D

y

2

2 2 2 2 2

2 1

1 1 1

+ ++( )

= ++

+ ++( )

, d'où

y y Ay B y Cy D Ay By A C y B D2 2 3 22 1 1+ + = +( ) +( ) + + = + + +( ) + +( ).

Nous avons donc A B A C= = + =0 1 2, , , d'où C B D= +( ) =2 1 et , d'où D = 0.

Ainsi y y

ydy

ydy

y

ydy arc y

yC

2

2 2 2 2 2 2

2 1

1

11

2

1

11

+ ++( )

=+

++( )

= −+

+∫ ∫∫ tan .

25.2 2

1 1 1 1 1 12 3 2 2 3

s

s s

As B

s

C

s

D

s

E

s

++( ) −( )

= ++

+−

+−( )

+−( )

, d'où

2 2 1 1 1 1 1 13 2 2 2 2s As B s C s s D s s E s+ = +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( )En assignant à s la valeur 1, nous obtenons 2 4E = , d'où E = 2.

Page 55: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.4 page 263

En développant l'équation polynomiale, nous obtenons :

2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 1

3 3 3 3

2 2

3 2 2 2 2 2

4 3 3 2 2 4

2 3 2 3 2

s As B s s s C s s s D s s E s

As Bs As Bs As Bs As B Cs

Cs Cs Cs Cs C Ds Ds Ds D Es

+ = +( ) − + −( ) + +( ) − +( ) + +( ) −( ) + +( )= + − − + + − − +

+ − − + + + + − − + 22

4 3 23 2 3 3 2

3 2

+

= +( ) + + − +( ) + − + − +( )+ + − +( ) + + − +( )

E

A C s A B C D s A B C D E s

A B C D s B C D E

-

- - ,

d'où le système d'équations linéaires :

A

A

A

A

B

B

B

B

C

C

C

C

C

D

D

D

D

E

E

-

-

-

3

3 3

3

2

2

2

0

0

0

2

2

1

2

3

4

5

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

=

( )( )( )( )( ).

En additionnant les équations (2) et (3), nous obtenons -2 0B E+ = , et puisque

E B= + =2 2 2 0, , - d'où B = 1. En additionnant les équations (3) et (4), nous obtenons

2 2A E+ = , soit 2 2 2 0A A+ = = et . Il découle de l'équation (1) que C = 0 et de l'équation (5)

que-1 0 2 2+ − + =D , d'où D = -1.

Par conséquent, 2 2

1 1

11

11

2112 3 2 2 3

s

s sds

sds

sds

sds

++( ) −( )

=+

−−( )

+−( )∫ ∫∫ ∫

= +−

−−( )

+arc ss s

C tan .1

111 2

27.2 5 8 4

2 2 2 2 2 2

3 2

2 2 2 2 2

θ θ θθ θ

θθ θ

θθ θ

+ + ++ +( )

= ++ +

+ ++ +( )

A B C D, d'où

2 5 8 4 2 23 2 2θ θ θ θ θ θ θ+ + + = +( ) + +( ) + +A B C D

= + + + + + + +

= + +( ) + + +( ) + +( )A B A B A B C D

A A B A B C B D

θ θ θ θ θ θθ θ θ

3 2 2

3 2

2 2 2 2

2 2 2 2 .

Nous avons donc A A B= 2 2 5, + = , d'où B A B C= + + =1 2 2 8, , d'où C B D= + =2 2 4 et ,

d'où D = 2.

Page 56: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

264 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Par conséquent,

2 5 8 4

2 2

2 12 2

2 2

2 2

2 2 12 2

2 2

2 2

2 22 2

3 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

θ θ θθ θ

θ θθ θ

θ θθ θ

θ

θθ θ

θ θθ θ

θ

θθ θ

θ

+ + ++ +( )

= ++ +

+ ++ +( )

= + −+ +

+ ++ +( )

= ++ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

d d d

d d

d −−+ +

+ ++ +( )

= + +( ) −+( ) +

−+ +

+

= + +( ) − +( ) −+ +

+

∫ ∫

12 2

2 2

2 2

2 211 1

12 2

2 2 112 2

2 2 2

22 2

22

θ θθ θ

θ θθ

θ θθ

θθ θ

θ θ θθ θ

d d

d C

arc C

ln

ln tan .

Note : θ θ2 2 2 0+ + > pour tout θ, de sorte que ln ln . θ θ θ θ2 22 2 2 2+ + = + +( )

29.2 2 1

21

21

1

3 2

2 2

x x

x xx

x xx

x x

− +−

= +−

= +−( )

(division de polynômes)

Or 1

1 1x x

A

x

B

x−( )= +

−, d'où 1 1= −( ) + ( )A x B x .

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons A = -1.

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons B = 1.

Par conséquent, 2 2 1

21 1

1

3 2

2

x x

x xdx x dx

xdx

xdx

− +−

= − +−∫∫∫ ∫ = − + − +x x x C2 1ln ln ,

ou encore xx

xC2 1+ − +ln .

31.9 3 1

99 3 1

1

3

3 2

2

2

x x

x x

x x

x x

− +−

= + − +−( )

(division de polynômes)

Or 9 3 1

1 1

2

2 2

x x

x x

A

x

B

x

C

x

− +−( )

= + +−

, d'où 9 3 1 1 12 2x x Ax x B x Cx− + = −( ) + −( ) + .

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons B = -1.

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons C = 7.

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons 13 2 2 2 2 7= − + = + +A B C A , d'où A = 2.

Page 57: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.4 page 265

Par conséquent, 9 3 1

9 21 1

71

1

3

3 2 2

x x

x xdx

xdx

xdx

xdx

− +−

= + − +−∫∫∫ ∫

= + + + − +9 21

7 1x xx

x Cln ln .

33.y y

y yy

y y

4 2

3 2

1 1

1

+ −+

= −+( ) (division de polynômes)

Or 1

1 12 2y y

A

y

By C

y+( ) = + ++

, d'où 1 12 2= +( ) + +( ) = +( ) + +A y By C y A B y Cy A.

Il s'ensuit que A A B= + =1 0, , d'où B C= =-1 et 0

Par conséquent, y y

y ydy y dy

ydy

y

ydy

4 2

3 2

1 11

+ −+

= − ++∫∫∫ ∫

= − + +( ) +yy y C

2

212

1ln ln . 2

35. Posons y t= e . Alors dy dtdt

y ydy

y ydyt

t

t t=+ +

=+ +

=+( ) +( )∫ ∫ ∫e et

ee e

2 23 213 2

11 2

.

Or 1

1 2 1 2y y

A

y

B

y+( ) +( ) =+

++

, d'où 1 2 1 2= +( ) + +( ) = +( ) + +( )A y B y A B y A B .

Nous avons donc A B+ = 0, d'où A B A B= + =- et 2 1, d'où - et -2 1 1B B B+ = = , et finalement

A = 1.

Ainsi, 1

1 2 11

2y ydy

ydy

ydy

+( ) +( ) = −+∫∫∫

1+

= + − + + = ++

+ = ++

+ln ln ln ln . ee

y y Cy

yC C

t

t1 212

12

37. Posons t y= sin , d'où dt y dy= cos .

Alors cos

sin sin.

y dy

y y t tdt

t tdt

2 26

16

13 2+ −

=+ −

=+( ) −( )∫ ∫ ∫

Or 1

3 2 3 2t t

A

t

B

t+( ) −( )=

++

−, d'où 1 2 3 2 3= −( ) + +( ) = +( ) + +( )A t B t A B t A B- .

Page 58: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

266 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Nous avons donc A B+ = 0, d'où A B A B= + =- et - 2 3 1, d'où 2 3 1 1 5B B B+ = = et , et

finalement A = -1 5.

Ainsi, 1

3 215

13

15

12t t

dtt

dtt

dt+( ) −( )

= +−∫∫∫ -

+

= + −[ ] + = −+

+ = −+

+15

15

23

15

23

- + 3 2 ln ln ln lnsinsin

.t t Ct

tC

y

yC

39.x arc x x x

x xdx

x arc x

x xdx

x x

x xdx

−( ) ( ) − −+( ) −( )

= −( ) ( )+( ) −( )

−+( )

+( ) −( )∫ ∫ ∫2 2 12 3

4 1 2

2 2

4 1 2

3 4 1

4 1 2

2 3

2 2

2

2 2

2

2 2

tan tan

= ( )+

−−( )∫∫ arc x

xdx

x

xdx

tan 24 1

322 2

Or 3

2 2 22 2

x

x

A

x

B

x−( )=

−+

−( ), d'où 3 2x A x B Ax= −( ) + = + ( )-2A + B .

Nous avons donc A A B= + =3 2 0 et - , d'où B = 6.

Ainsi, arc x

xdx

x

xdx

arc x

xdx

xdx

xdx

tan tan24 1

32

12

2 24 1

31

26

122 2 2 2

( )+

−−( )

= ( )+

−−

−−( )∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=

( )( ) − − +−

+

=( )( ) − − +

−+

12

23 2

62

23 2

62

2

2

arc xx

xC

arc xx

xC

2

4

tanln

tanln .

41. t tdx

dt

dx

dt t tx

t tdt2

2 23 2 113 2

13 2

− +( ) = ⇒ =− +

=− +∫ et .

Or 13 2

12 1 2 12t t t t

A

t

B

t− +=

−( ) −( )=

−+

−, d'où 1 1 2 2= −( ) + −( ) = +( ) + −( )A t B t A B t A B- .

Nous avons donc A B+ = 0, d'où A B A B= − =- et - 2 1, d'où B B B− = =2 1 1 et - ,

et finalement A = 1.

Ainsi, xt t

dtt

dtt

dt t t Ct

tC=

− +=

−−

−= − − − + = −

−+∫ ∫ ∫1

3 21

21

12 1

212 ln ln ln .

Comme x 3 0( ) = , nous avons 0 1 2= ( ) +ln ,C d'où C = ( ) =- ln ln .1 2 2

Page 59: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.4 page 267

La solution de l'équation différentielle est donc xt

t= −

−+ln ln ,

21

2 ou encore

x t t= − − − +ln ln ln . 2 1 2

43. t tdx

dtx

dx

x

dt

t t xdx2

22 2 22 2 2

12

11

+( ) = + ⇒+

=+

⇒+∫ ∫ ∫

=+( )

⇒ + =+( )∫ ∫1

212

11

2t tdt x

t tdt ln

Or 1

2 2t t

A

t

B

t+( )= +

+, d'où 1 2 2= +( ) + ( ) = +( ) +A t B t A B t A.

Nous avons donc 2 1 1 2 0 1 2A A A B B= = + = =, , . d' où et d' où -

Ainsi,

+

12

11

212

1 12

12

12

212 2

ln

ln ln ln ,

xt t

dtt

dtt

dt

t t Ct

tC

+ =+( )

= −+

= − +[ ] + = +

∫ ∫ ∫

d'où ln ln , . +

où xt

tC C C+ = + ′ ′ =1

22

Comme x C1 1 213

( ) = =

+ ′, ln ln , d'où ′ = −

= + =C ln ln ln ln ln .2

13

2 3 6 Nous avons donc

ln ln ln ln , +

xt

t

t

t+ = + =

+1

26 6

2 ou encore x

t

t+ =

+1 6

2.

Comme x t> >0 0 et , les valeurs absolues ne sont pas nécessaires et xt

t+ =

+

1 6

2, ou

encore xt

t=

+−6

21.

Finalement, comme xt

t>

+− >0

62

1 0, , d'où 6

21 6 2 2 0 5 2

t

tt t t t

+> > + + > >, ), , (puisque et

finalement t > 2 5.

La solution de l'équation différentielle est donc xt

t=

+−6

21, pour t > 2 5.

Page 60: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

268 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

45.dy

dxy y

dy

y ydx

y ydy dx Cx x x x= −( ) ⇒

−= ⇒

−( ) = = +∫ ∫e e e e22 1

11

Or 1

1 1y y

A

y

B

y−( ) = +−

, d'où 1 1= −( ) + = +( ) −A y By A B y A.

Nous avons - = d' où - et d' où A A A B B1 1 0 1, , .= + = =

Par conséquent, 1

11 1

11 2y y

dyy

dyy

dy y y C−( ) = +

−= + − +∫ ∫ ∫ - - ln ln ,

d'où ln ln , . e ou e où =y

yC C

y

yC C C Cx x− + = + − = + −1 1

2 1 1 2

Comme y C C0 212

12

2 10 0( ) =

= + =

− = −, ln ln ln . e d' où e -

La solution de l'équation différentielle est donc ln ln , ey

yx− = − −1

2 1 ou encore

ln ln ln . ey y x− − = − −1 2 1

47.dy

dx x xy

x xdx=

− +⇒ =

− +∫13 2

13 22 2

Or 13 2

12 1 2 12x x x x

A

x

B

x− +=

−( ) −( )=

−+

−,

d'où 1 1 2 2= −( ) + −( ) = +( ) + −( )A x B x A B x A B- .

Nous avons A B+ = 0, d'où A B A B= − =- et - 2 1, d'où B B B− = =2 1, -1, et finalement A = 1.

Ainsi yx

dxx

dx x x C=−

−−

= − − − +∫ ∫12

11

2 1 ln ln .

Comme y 3 0( ) = , nous avons 0 1 2= − +ln ln ,C d'où C = − =ln ln ln .2 1 2

La solution de l'équation différentielle est y x x= − − − +ln ln ln . 2 1 2

49. Méthode des disques :

V R x dx y dxx x

dxa

b

= ( )[ ] = =−∫ ∫ ∫π π π2 2

0 5

2 5

20 5

2 59

3

,

,

,

,

Page 61: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.4 page 269

Or 9

39

3 32x x x x

A

x

B

x−=

−( )= +

−, d'où 9 3 3= −( ) + = +( ) +A x Bx A B x A- .

Nous avons 3 9A = , d'où A A B= + =3 0 et - , d'où B = 3.

Ainsi, Vx x

dx x x= +−

= − −[ ]∫π π3 3

33 3 3

0 5

2 5

0 5

2 5

,

,

,

,ln ln

=−

= −( )

=

=

33

3 5 0 2

35

0 23 25

0 5

2 5

π π

π π

ln ln ln ,

ln,

ln .

,

,x

x

51. a)dx

dtkx N x

dx

x N xk dt

x N xdx k dt kt C= −( ) ⇒

−( )= ⇒

−( )= = +∫ ∫

11

Or 1

x N x

A

x

B

N x−( )= +

−, d'où 1 = −( ) + = +( ) +A N x Bx A B x AN- .

Nous avons 1 = AN, d'où AN

A B= + =10 et - , d'où B

N= 1

.

Par conséquent, 1 1 1 1 1

x N xdx

N xdx

N N xdx

−( )= +

−∫ ∫ ∫

= − −[ ] + = +12 1N

x N x C kt Cln ln

ou encore 1N

x

N xkt Cln ,

−= + où C C C= −1 2.

Comme k N x= = =1250

1000 2, , et lorsque t = 0, nous avons

11000

2998

1250

0ln , = ⋅ + C

d'où Cx

xt=

= +

11000

1499

11000 1000

1250

11000

1499

ln ln ln , et ou encore

Page 62: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

270 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

ln ln ,

ln ln ,

ln .

et finalement

x

xt

x

xt

x

xt

10004 499

1000499 4

4991000

4

−= −

−+ =

−=

Comme 2 1000 1000 0< < − >x x, et les valeurs absolues sont inutiles, de sorte que

4991000

4x

xt

−= e . En isolant x dans l'expression, nous obtenons 499 1000 4 4x xt t= −e e ,

puis 499 10004 4+( ) =e et tx , et finalement xt

t=+

1000499

4

4

ee

qui est la solution de l'équation

différentielle.

b) x N= =12

500. Nous avons 5001000499

12

499499 2 499

4

4

4

44 4 4=

+=

++ = =e

e

ee

e e et

t

t

tt t t, , , ,

4 4994994

1 55t t= = ≈ln ,ln

, jour.

Page 63: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.5 page 271

Exercices 3.5 - Règle de L'Hospital

1. Règle de L'Hospital : lim .. .

x

R H

x

x

x x→ =

−−

= =2 2 0 0 2

24

12

14

Autre méthode : lim lim lim .x x x

x

x

x

x x x→ → →

−−

= −+( ) −( )

=+

=2 2 2 2

24

22 2

12

14

3. Règle de L'Hospital : lim lim lim .. . . .

x

R H

x

R H

x

x x

x

x

x→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞

−+

= − = =5 37 1

10 314

1014

57

2

2

Autre méthode : lim lim .x x

x x

x

x

x→∞ →∞

−+

= −+

=5 37 1

5 37 1

57

2

2 2

5. Règle de L'Hospital : limcos

limsin

limcos. . . .

x

R H

x

R H

x

x

x

x

x

x→ → →

− = = =0 2 0 0 0 0 0 0

12 2

12

.

Autre méthode : limcos

limcos cos

cosx x

x

x

x

x

x

x→ →

− = − ⋅ ++

0 2 0 2

1 1 11

= −+( )

=+( )

=

+

= ⋅ ⋅+

= ⋅ ⋅ =

→ →

→ → →

limcos

coslim

sincos

limsin sin

cos

limsin

limsin

limcos

.

x x

x

x x x

x

x x

x

x x

x

x

x

x x

x

x

x

x x

0

2

2 0

2

2

0

0 0 0

11 1

11

11

1 112

12

7. limsin

limcos. .

θ θ

θθ

θ θ→ →

=( ) ⋅

= ⋅ =0

2

0 0 0

2 2

11 0

10

R H

9. limcos

limsin

limcos. . . .

t t

R H

t t

R H

t t

t

t

t t→ → →

−− −

=−

= = =0 0 0 0 0 0 0

11 1

11e

-e

-e

- -1

11. limlnlog

lim

ln

limln

limln

ln. . . .

x

R H

x x

R H

x

x

xx

x

x

x→∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞

+( ) = +⋅

=+( )

= =11

11 1

2

21

21

22

Page 64: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

272 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

13. limln

lnlim lim lim

. . . .

y

R H

y y

R H

y

y y

yy y

y

y

y y

y y

y

y→ ∞ ∞ → → →+ + + +

+( )= +

⋅ +( )= +

+= +

+= =

0

2

0

2

0

2

2 0 0 0

21

22 2

12 2

24 22 2

22

1

15. lim ln limln

lim lim lim. .

x x

R H

x x xx x

x

x

x

x

x

xx

→ → ∞ ∞ → → →+ + + + += = = = =

0 0 0 2 0

2

0111

0-

--

17. lim csc cot cos limsin

cossin

cos limcos sin cos

sinx x xx x x

x

x

xx

x x x

x→ → →+ + +− +( ) = − +

= − +

0 0 0

1 1

= + + ⋅ ( ) = + ⋅ + ⋅ ( ) =→ +0 0 0

0 1 1 01

R H

x

x x x x x

x

. ..

limsin cos cos sin sin

cos- -0

1

19. lim ln lnsin lim lnsinx x

x xx

x→ →+ +−( ) =

0 0

Posons f xx

x( ) =

sin. Alors lim lim

sinlim

coslim ln lnsin

. .

x x

R H

x xf x

x

x xx x

→ → → →+ + + +( ) = = = −( )

0 0 0 0 0 0

11 et

= ( )[ ] = ( )[ ] = =→ →+ +lim ln ln lim ln .x x

f x f x0 0

1 0

21. limx

x xx

→+( )

0

1e est une forme indéterminée 1∞.

Posons f x xx x( ) = +( )e1

. Alors ln ln lnln

f x xx

xx

xx x x

x

( ) = +( ) = ⋅ +( ) =+( )

e ee1 1

et lim ln limln

lim lim .. .

x x

xR H

x

xx

x

x

xf xx

xx

x→ → → →( ) =

+( )= +

⋅ +( )= +

+= =

0 0 0 0 0 0

11

11 2

12

e ee e

e

Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln

x

x x

x x

f x f xx f x x

→ → →

( ) ( )+( ) = ( ) = = =→

0

1

0 0

20e e e e

23. lim lim. .

x

R H

x

x

x x x→∞ ∞ ∞ →∞

−− +

=−

=3 52 2

34 1

02

De même, lim lim .. .

x

R H

x

x

x x x→ ∞ ∞ ∞ → ∞

−− +

=−

=- -

3 52 2

34 1

02

Page 65: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.5 page 273

25. lim lnx

xx→∞

( )1 est une forme indéterminée ∞0 .

Posons f x x x( ) = ( )ln 1 Alors ln ln ln ln lnln ln

f x xx

xx

xx( ) = ( ) = ⋅ ( ) = ( )1 1

et

lim ln limln ln

lim ln limln

.. .

x x

R H

x xf x

x

xx x

x x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞( ) = ( ) =

⋅=

⋅=

1 1

11

0

Par conséquent, lim ln lim lim .ln lim ln

x

x

x x

f x f xx f x x

→∞ →∞ →∞

( ) ( )( ) = ( ) = = = =→∞1 0 1e e e

27. limx

xx x

−− +( )

1

2 12 1 est une forme indéterminée 00 .

Posons f x x xx( ) = − +( ) −2 1

2 1 .

Alors ln ln lnln

f x x x x x xx x

x

x( ) = − +( ) = −( ) − +( ) =− +( )

−( )−2 1 2

2

2 1 1 2 12 1

1 1 et

lim ln limln

lim. .

x x

R H

xf x

x x

xx x

x

x→ → ∞ ∞ →( ) =

− +( )−( )

= − +⋅ −( )

−( )1 1

2

1

2

2

2 1

1 1

12 1

2 2

1 1-

= −( )−( )

⋅ −( ) = − −( ) =→ →

lim lim .x x

x

xx x

12

2

1

2 11

1 2 1 0-

Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln

x

x

x x

f x f xx x f x x

→ →

( ) ( )− +( ) = ( ) = = = =→

1

2 1

1 1

02 1 11e e e

29. limx

xx→ +

+( )0

11 est une forme indéterminée 1∞ .

Posons f x x x( ) = +( )1 1 . Alors ln ln lnln

f x xx

xx

xx( ) = +( ) = +( ) = +( )

11

111 et

lim ln limln

lim lim .. .

x x

x R H

x xf x

x

xx

x→ → → →+ + + +( ) = +( ) = + =

+=

0 0

1

0 0 0 0

11

11

11

1

Par conséquent, lim lim lim lnlim ln

x

x

x x

f xf x

x f x x

→ → →

( ) ( )

+ + +

→ ++( ) = ( ) = = = =0

1

0 0

11 0e e e e.

Page 66: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

274 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

31. lim sinx

xx→ +

( )0

est une forme indéterminée 00 .

Posons f x x x( ) = ( )sin . Alors ln ln sin ln sinln sin

f x x x xx

xx( ) = ( ) = ⋅ ( ) = ( )

1 et

lim ln lim sincos

limcos

sin

. .

x

R H

x xf x x

x

x

x x

x→ ∞ ∞ → →+ + +( ) =

⋅= ⋅

0 0 2 0

21

-1- =

⋅ + ( ) ⋅ ( )= ⋅ + ⋅ =

0 0

22 0 1 0 01

0R H x x x x

x

. . cos sin

cos.

- - -

Par conséquent, lim sin lim lim .lnlim ln

x

x

x x

f xf x

x f x x

→ → →

( ) ( )

+ + +

→ +( ) = ( ) = = = =0 0 0

00 1e e e

33. limx

xx→

−( )+1

1 1 est une forme indéterminée 1-∞ .

Posons f x x x( ) = −( )1 1 . Alors ln ln lnln

f x xx

xx

xx( ) = =

−⋅ =

−−( )1 1 1

1 1 et

lim ln limln

lim lim. .

x x

R H

x xf x

x

x

x

x→ → → →+ + + +( ) =

−= = =

1 1 0 0 1 111 1-1

- -1.

Par conséquent, lim lim lim .lnlim ln

x

x

x x

f xf x

x f x x

−( )→ →

( ) ( )

+ + +

→ += ( ) = = =1

1 1

1 1

1e e e-1

35. lim lim ln lim ln ln lim ln lnx

x

x

x x

x

x xtdt t x x

x

x→∞ →∞ →∞ →∞∫ = [ ] = −( ) =

=1

22

22

2

37. limcos

limsin

limcos. . . .

θ θ θ θ θ θθθ

θ θ→ → →

−− −

=−

= = =0 0 0 0 0 0 0

11 1

1e

-e

-e

-11

-R H R H

39. lim limx x

x

x

x

x→∞ →∞

++

= ++

9 11

9 11

Or lim lim ,x x

x

x

x

x→∞ →∞

++

= ++

=9 11

9 11 1

9

de sorte que lim lim lim .x x x

x

x

x

x

x

x→∞ →∞ →∞

++

= ++

= ++

= =9 11

9 11

9 11

9 3

41. limsectan

limcos

cossin

limsinx x x

x

x x

x

x x→( ) →( ) →( )− − −= ⋅ = = =

π π π2 2 2

1 1 11

1

Page 67: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.5 page 275

43. La solution b) est correcte. La solution a) est erronée, puisque la règle de L'Hospital

ne s'applique que si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0 ou vers

±∞ lorsque x → 3, ce qui n'est pas le cas ici.

45. Si nous voulons que f x( ) soit continue en x = 0, il faudra que cx x

xx= −

→lim

sin.

0 3

9 3 35

Or, limsin

limcos

limsin

limcos

.. . . . . .

x

R H

x

R H

x

R H

x

x x

x

x

x

x

x

x→ → → →

− = − = = =0 3 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0

9 3 35

9 9 315

27 330

81 330

2710

Donc c = 27 10 est la valeur recherchée.

47. a) limk

ktr

k→∞+

1 est une forme indéterminée 1∞ .

Posons f kr

k

kt

( ) = +

1 . Alors ln ln ln

lnf k

r

kkt

r

k

tr

kk

kt

( ) = +

= +

=

+

1 11

1

et lim ln limln

lim lim .. .

k k

R H

k kf k

tr

kk

tr

k

r

kk

rtr

k

rtrt

→∞ →∞ →∞ →∞( ) =

+

=⋅ +

=+

= =1

1

1

1 1 10 0

1

2

2

- -

-

Par conséquent, lim lim limk

kt

k

kt

kA

r

kA

r

kA f k

→∞ →∞ →∞+

= +

= ( )0 0 01 1

= = =→∞

( ) ( )→∞A A A

k

f k f k rtk

0 0 0lim .ln lim lne e e

b) Selon la partie a), lorsque le nombre k de capitalisations dans une année tend vers

l'infini, le capital final après k capitalisations est le même que le capital final avec

capitalisation continue, de sorte que les montants des intérêts sont aussi égaux.

Page 68: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

276 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

49. a) La calculatrice graphique

indique une limite voisine

de -0,225.

La limite est une forme

indéterminée 0 0 .

limln cosx

x

x x x x→

−( )− − ( )1

21π

= −( )⋅ + ⋅ − + ( )[ ]

= −+ ( )

=+ ( )[ ]

=−

→ →

0 0 1 1

0 0 1 2

2 1

11

1

2 2

21

21

0 225

R H

x x

R H

x

x

x xx

x

x

x x

xx

. .

. .

limln sin

limln sin

limcos

,

π π π π

π π π π-

b) Le graphique de la fonction

yx

x x x x= −( )

− − ( )1 2

ln cos π

admet une asymptote verticale autour

de x = 2 552, .

1

y

x2

1

2

x− ( )( )xxxx

xy

cos ln

1

2

π−−

−=

x

y

( )( )xxxx

xy

cos ln

1

2

π−−

−=

Page 69: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.5 page 277

51. En général, les calculatrices n'ont pas un degré de précision suffisamment élevé pour donner

une approximation acceptable de f xx

x( ) = −1 6

12

cos pour des valeurs voisines de 0.

Par exemple, pour x x= ≈0 1 0 999 999 999 999 56, , cos , , de sorte que sur une calculatrice à 10

décimales de précision, nous aurons cos cos ,x x6 61 1 0= − = et de sorte qu'une calculatrice

graphique indiquera des valeurs de f x( ) égales à 0 pour -0 1 0 1, , .< <x Dans les faits,

limcos

limsin

limsin

limcos

limcos

.. . . .

x

R H

x x

R H

x x

x

x

x x

x

x

x

x x

x

x→ → → → →

− =( ) ⋅

= =( )

= =0

6

12 0 0 0

6 5

11 0

6

6 0 0 0

6 5

5 0

61 6

12 2

6

12 212

53. a) 11

0+ >x

lorsque 1x

> -1, soit x x> <0 ou -1. Le domaine de la fonction est

- ,-1∞] [ ∪ ∞] [0, .

b) Posons f xx

x

( ) = +

1

1. Alors ln ln lnf x

xx

x

x

( ) = +

= ⋅ +

1

11

1 et

lim ln lim ln lim lim lnx x x x

f x xx

xx→ → → →

( ) = ⋅ +

= ⋅ +

= ⋅ ∞ ∞

-1 -1 -1 -1- - - --1 - =1

11

1

lim lim lim .lnlim ln

x

x

x x

f xf x

xf x x

→ → →

( ) ( ) ∞+

= ( ) = = = = ∞→

-1 -1 -1- - -

-1-e e e11

c) lim ln lim ln limln

x x xf x x

x

x

x→ ∞ → ∞ → ∞( ) = ⋅ +

=

+( )- - -

11 1 1

1

=+( ) ⋅

=+

=→ ∞ → ∞0 0

2

2

1 1 1 1

11 1

R H

x x

x x

xx

. .

lim lim-

-1

-

-

-1

Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln

x

x

x x

f x f x

xf x x

→ ∞ → ∞ → ∞

( ) ( )+

= ( ) = = = =→ ∞

- - -e e e e-1

1 1

Page 70: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

278 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

55. a)

b) lim limln ln

ln. .

k

k R H

k

kx

k

x x xx

→ →

− = = ⋅ =0 0 0 0

11

11

y

x10 20 30 40 50

5

7,5

2,5

10

-5

-2,5

-7,5

1 =k 5,0 =k

1,0 =k

5,0- =k1- =k

xy ln =

( ) ( )K

1

−=

kx

xf

graphes les ,1,0 et 05,0 pour ±±=k

( ) . ln de celui de nssont voisi de xyxfy ==

Page 71: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 279

Exercices 3.6 - Intégrales impropres

1. a) L'intégrale est impropre parce qu'une des bornes d'intégration est infinie.

b)dx

x

dx

xarc x arc b arc

b b

bb

b20

20

01 10

20

2+=

+= [ ] = −[ ] = − =

→∞ →∞ →∞∫ ∫lim lim tan lim tan tan π π

= −[ ] = − =→∞

lim tan tanb

arc b arc 02

02

π π

L'intégrale impropre converge.

c) π 2 .

3. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en

x = 0.

b)dx

x

dx

x

dx

x1 3

1

1 3 1 30

10

-8 -8∫ ∫∫= +

Or dx

x

dx

x

xb

b

b

b

1 3

0

0 1 3 0

2 332

-8 -8 -8- -∫ ∫= =

→ →

lim lim

= − ( )

= −

= ⋅ − =

→ →lim limb b

b b0

2 3 2 3

0

2 332

32

32

632

0 6- -

-8 -6.

D'autre part, dx

x

dx

x

xc c

c c1 3 0 1 3 0

1 2 3 1

0

1 32

= =

→ →∫∫ lim lim

+ +

= ( ) −

= −

= − ⋅ =→ →lim limc c

c c0

2 3 2 3

0

2 332

132

32

32

32

32

0+ +

3 2.

Finalement, dx

x1 3

1 92

-8

-6 +32

-∫ = = .

L'intégrale impropre converge.

c) -9 2 .

Page 72: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

280 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

5. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en

x = 0.

b) x dxx

dxx

b

x

bb

x

b b

b-2e e

-e -e e0

21

0

1

2

2

0

1 2

0

1 2 1ln ln

ln lnlim lim lim∫ ∫= = [ ] = +[ ] = ∞→ → →+ + +

L'intégrale impropre diverge.

c) L'intégrale impropre diverge.

7.dx

x

dx

xx

b

b

b

b

1 0011

1 0011 1

1, ,lim lim= =

→∞

→∞∫ ∫ -0,001-0,001

= +

= + =→∞

lim , ,b b

-1000 10001

0 1000 10000 001 0 001

9.dr

rr dr r

b

b

b

b

44 2 4

40

4

04

1 2

0−= −( ) = −( )[ ]

→ →∫ ∫lim lim- -

-1 2 -

= − +[ ] = + =→limb

r4

4 2 4 0 4 4-

-2

11.dx

x

dx

xarc x

b

b

b

b

1 12 10

1

20

10−

=−

= [ ]→ →∫ ∫lim lim sin

- -

= −[ ] = − =→

lim sin sinb

arc b arc1

02

02-

π π

13.2

12

12 2

-

-2

-

-2dx

x

dx

xbb

−=

−∞→ ∞∫ ∫lim

Or 2

12

1 1 1 12x x x

A

x

B

x−=

−( ) +( )=

−+

+, d'où 2 1 1= +( ) + −( ) = +( ) + −( )A x B x A B x A B .

Nous avons A B A B A B B B A+ = = − = = = =0 2 2 2 1, , , . d' où - et d' où - -1 et

Page 73: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 281

Il s'ensuit que 2

11

11

12

-

-2

-

-2dx

x x xdx

bb

−=

−−

+

∞→ ∞∫ ∫lim

=−

−+

= − − +[ ]

= −

= − −

= − −

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

→ ∞

∫ ∫lim lim ln ln

lim ln lim ln ln

ln ln lim

bb b

b b

bb

b

b

xdx

xdx x x

x

x

b

b

b

-

-2 -2

-

-2

-

-2

-

-

+

+

11

11

1 1

11

311

31 111 1

3 1 3+

= − =b

ln ln ln .

15.θ

θ θθ θ

θ θθ+

+= +

+∫ ∫→ +

1

2

1

220

1

0 20

1

d dblim

Posons u = +θ θ2 2 . Alors du

dd du

θθ θ θ θ= + = +( ) +( ) =2 2 2 1 1

12

et . De plus, u = 3

lorsque θ θ= = =1 0 0 et lorsque u .

Ainsi, -θθ θ

θ++

= =

=

= −[ ] = − =

∫ ∫ ∫→

→ →

+

+ +

1

2

12

1 12

12 1 2

3 3 0 3

20

1

0

3

0

1 23

0

1 2 3

0

du

du u du

ub

bb

bb

b

lim

lim lim .

17.dx

x x

dx

x x

dx

x x

dx

x x

dx

x xb cb

c

1 1 1 1 10

4

0 40

4

4+( )

=+( )

++( )

=+( )

++( )∫∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞

→ →∞+lim lim

Posons u x= . Alors du

dx x

dx

xdu= =1

22 et .

Nous avons dx

x x

du

uarc u arc x

12

12 22+( )

=+

= =∫ ∫ tan tan . (La constante d'intégration est

inutile ici puisque nous avons des bornes d'intégration.)

Ainsi,

dx

x xarc x arc x

arc arc b arc b arc

arc arc

b b c b

b c

12 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0 22

2 2

00

4 4

0

+( )= [ ] + [ ]= −[ ] + −[ ]= − ⋅ + ⋅ − =

→ →∞

→ →∞

∫ +

+

lim tan lim tan

lim tan tan lim tan tan

tan tan .π π

Page 74: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

282 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

19.ds

s s

ds

s sarc s

b bb

b2 11

2

2 1

22

1 1−=

−= [ ]

→ →+ +∫ ∫lim lim sec

= −( ) = − =→ +lim sec sec .b

arc arc b1

23

03

π π

21.2 2

22

22

v vdv

v vdv

b

b

−=

−→∞

∫ ∫ lim

Or 2 2

1 12 12v v v v

A

v

B

vA v B v A B v A

−=

−( )= +

−= −( ) + ( ) = +( ) −, . d' où

Nous avons - 2, d' où -2 et d' où A A A B B= = + = =0 2, .

2 2 2 21

2 2 1 21

21

22

22 22

22

v vdv

v vdv

vdv

vdv

v vv

v

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

−=

−= +

= + −[ ] = −

= − −

→∞

→∞

→∞ →∞

→∞

∫ ∫ ∫∫ -

-

lim lim

lim ln ln lim ln

lim ln 22 1 2

21 1

12 2 2 1 2 2

0 2 2 2 2 2 42

ln

ln lim ln ln ln

ln ln ln ln

( )

= −

+ = +

= + =

→∞

ou encore ou

b

b

23.ds

s

ds

sarc

sb b

b b

4 4 22 20

2

2 20 0−

=−

=

→ →∫ ∫lim lim sin

- -

= −

= − =

→lim sin sinb

arcb

arc2 2

02

02-

π π

25.dv

v arc v

dv

v arc vb

b

1 1 1 120

20+( ) +( )

=+( ) +( )

→∞∫ ∫ tanlim

tan

Posons u arc v= +1 tan . Alors du

dv v

dv

vdu=

+ +=1

1 12 2 et .

Nous avons dv

v arc v udu u arc v

1 1

112+( ) +( )

= = = +∫∫

tanln ln tan .

Page 75: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 283

Ainsi,

dv

v arc v

dv

v arc v

arc v

arc v arc

b

b

b

b

b

1 1 1 1

1

1 1 0

1 2 1 1 2

20

20

0

+( ) +( )=

+( ) +( )

= +[ ]= + − +[ ]= +( ) − = +( )

→∞

→∞

→∞

∫ ∫tanlim

tan

lim ln tan

lim ln tan ln tan

ln ln ln .π π

27.dx

x

dx

x

dx

xb

b

cc -- +

-1 -1

= +→ →∫ ∫ ∫lim lim

0

4

0

4

= [ ] + [ ]= +[ ] + −[ ]= + + − =

→ →

→ →

lim lim

lim lim

b

b

c

b c

x x

b c

0 0

4

0 0

2 2

2 2 1 2 4 2

0 2 4 0 6

- +

- +

- -

- -

-1 c

29. θ θ θ θθ θe e-

-∞

→ ∞∫ ∫=0 0

d db

b

lim

Posons u dv d= =θ θθ et e .

Alors du d v= =θ θ et e , de sorte que θ θ θ θ θθ θ θ θ θe e e e ed d= − = −∫ ∫ et

θ θ θ θθ θe e-

-∞

→ ∞∫ ∫=0 0

d db

b

lim

= −[ ] = − − −( )[ ]= − −( ) = − −

= − = − =

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

∞ ∞ → ∞

lim lim

lim lim

lim. .

b b b

b b

b

b

b b

R H

b b

b

bb

- -

- - -

- -

e e e e

-1 e -1e

-1-e

-1 -1.

θ θ θ 00 1

11

10

Page 76: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

284 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

31. e e e -

-

-

-

- x x xdx dx dx∞

∫ ∫ ∫= +0

0

= −

∞∫20

e

-

x dx (puisque e- x est une fonction paire ; voir page 64, exercice 85)

= =

= [ ] = −[ ] = −( ) =

→ ∞

→ ∞

→ ∞ → ∞

∫ ∫2 2

2 2 2 1 0 2

0 0

0 0

lim lim

lim lim

b

x

bb

x

b

b

x

b b

b

dx dx-

-

- -

e e

e e e

33. x x dx x x dxb

b

ln lim ln 0

1

0

1

∫ ∫=→ +

Posons u x dv x dx= =ln . et Alors dux

dx vx= =12

2

et , de sorte que

x x dxx

xx

dxx

xx

ln ln ln = − = −∫ ∫2 2 2

2 2 2 4 et

x x dx x x dx

xx

x bb

b

bb

b

b

bb

bb

b

b b

ln lim ln

lim ln lim ln ln

lim ln limln

-14

-14

0

1

0

1

0

2 2 1

0

2 2

0

2

0 2

2 412

114 2 4

2 2

∫ ∫=

= −

= − − −

= − = −

→ →

→ →

+

+ +

+ +

== − = − − = =∞ ∞ → →+ +

R H

b b

b

b

b. .

lim lim-14 -4

-14

-14

+ 0 - .0 3 0

214

14

35. tan limsincos

lim ln cosθ θ θθ

θπ

π

π - d

b

b

b

b= = [ ]→ →

∫ ∫20

2

0 2

0

= −[ ] = ∞→

lim ln cos ln cosb

bπ2

0-

L'intégrale impropre diverge.

Page 77: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 285

Note : Même si les tests de comparaison entre intégrales des pages 236 et 237 sont énoncés pourdes intégrales impropres du premier type, il en existe de semblables pour les intégralesimpropres du deuxième type. Nous y faisons appel dans certains des exercices quisuivent.

37. Posons x = −π θ. Alors dx d x= =- θ π, lorsque θ = =0 0 et x lorsque θ π= .

De plus sin sin sin ,θ π θ= −( ) = x de sorte que sin sin sin

.θ θ

π θ

π

π

π -

d x

xdx

x

xdx

−= =∫ ∫ ∫

0

0

0

Comme 0 1≤ ≤sin x pour tout 0 ≤ ≤x π , nous avons 01≤ ≤sin

.x

x x

Or 1 1

2 2 2 20

0 0 0xdx

xdx x b

bb

b b b

π ππ

π π∫ ∫= = [ ] = −[ ] =→ → →+ + +

lim lim lim , de sorte que cette

intégrale impropre converge.

Il s'ensuit que sin x

xdx

0

π

∫ converge par le test de comparaison directe entre intégrales.

39. x dxx

dxx

dxxx

b

x

b

-2 -- -

e e

e

11

20

2

00

2 1

2

2

= =∫∫ ∫→ +

lnln ln

lim

= [ ] = −( ) = − =→ →+ +lim lim

ln ln ln ln

b

x

b b

b

0

1 2

0

1 2 1 2 20e e e e e- - - -1 -1

L'intégrale impropre converge.

41. Pour 0 0< ≤ ≥t tπ , sin , de sorte que t t t+ ≥sin et, puisque chaque membre de l'inégalité

est positif01≤

+≤

t t tsin.

1

De plus, dt

t0

π

∫ converge (voir l'exercice 37).

Il s'ensuit que dt

t t+∫ sin0

π

converge par le test de comparaison directe entre intégrales.

Page 78: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

286 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

43.dx

x

dx

x

dx

x1 1 12 2 21

2

0

1

0

2

−=

−+

−∫∫∫

Or 1

11

1 1 1 12−=

−( ) +( )=

−+

+x x x

A

x

B

x,

de sorte que 1 1 1= +( ) + −( ) = −( ) + +( )A x B x A B x A B .

Nous avons A B A B A B B B B A− = = + = + = = =0 1 1 1 2 1 2, d' où et d' où et , , , .

Ainsi,

-

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

x x

x

x

b b

b bb

b

b

b

1 112 1

12 1

12

112

1

12

11

2 10

1

2 10 00

1 0

10

−=

−=

−+

+

= − + +

= +−

→ →

− −

∫ ∫ ∫∫lim lim

lim ln ln

lim lnbb

b

b

b = +

−−

= ∞→ −

12

11

11

lim ln ln .

L'intégrale dx

x1 20

1

−∫ diverge donc, d'où dx

x

dx

x

dx

x1 1 120

2

20

1

21

2

−=

−+

−∫ ∫ ∫ diverge aussi (voir la page

233).

45. ln ln ln -1 -1 0

x dx x dx x dx1 0 1

∫ ∫ ∫= +

=

=

∫ ∫→ +

2

2 2

0

1

0

1

0

1

ln (puisque est une fonction paire)

=

x dx x

x dx x dxb

b

ln

ln lim ln .

Posons u x dv dx= =ln . et Alors dux

dx v x= =1 et , d'où

ln lim ln

lim ln

lim ln ln

lim ln .

-1

-1

x dx x x dx

x x x

b b b

b b

bb

b

bb

b

b

= [ ] −

= −[ ]

= − − −( )[ ]

= −[ ]

∫ ∫→

+

+

+

+

1

0

11

0

1

0

0

2

2

2 1 1 1

2

Page 79: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 287

Or lim ln limln

lim lim .. .

b b

R H

b bb b

b

b

b

bb

→ → ∞ ∞ → →+ + + += = = − =

0 0 0 2 0111

0-

Nous avons donc ln . - -2-1

x dx = −[ ] =∫ 2 1 01

L'intégrale impropre converge.

47. x x x x3 3 30 1 1> ≤ < ∞ + ≥ pour et , de sorte que 01

11

3 3≤+

≤x x

. Or dx

x31

∫ converge (voir

l'exemple 4, page 231). Par conséquent dx

x31

1+

∫ converge aussi selon le test de comparaison

directe entre intégrales (voir la page 236).

49.dv

v

dv

vv v

b

b

b

b

b2 2

22 2 2 2

→∞ →∞ →∞∫ ∫= = [ ] = −[ ] = ∞lim lim lim

Donc cette intégrale impropre diverge.

De plus, lim lim lim lim ,v v v v

v

v

v

v

v

v v v→∞ →∞ →∞ →∞

− =−

=−

=−

=

11

1 1 1 11

1 11 de sorte que

11

2v

dv−

∫ diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la

page 237).

51.dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x60

6 6 6 310

1

10

1

1 1 1 1+=

++

+<

++

∞ ∞∞

∫ ∫∫∫∫ puisque x x x6 6 31+ > = , de sorte que

1

1

16 3

x x+< .

Or dx

x60

1

10

+≥∫ , puisque la fonction

1

10

6x +≥ [ ] sur 0,1 (voir l'exercice 28, page 26).

Page 80: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

288 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

De plus, 1

11

6x +≤ [ ] sur l' intervalle 0,1 , d'où

dx

x60

1

11 1 0 1

+≤ ⋅ −( ) =∫ selon l'inégalité max-

min pour les intégrales définies (voir la page 23). Donc, dx

x60

1

1+∫ est comprise entre 0 et 1.

Finalement, 1 1

3 1123

1x

dx∞

∫ =−

= (voir l'exercice 4 page 231) de sorte que

01

112

326

0

<+

< + =∞

∫ dx

x et qu'elle converge.

53.x

xdx

xdx2

13 2

1

1 132

12

∞ ∞

∫ ∫= =−

= (voir l'exercice 4 p. 231)

Donc cette intégrale impropre converge.

De plus, lim lim lim lim ,x x x x

x

xx

x

x

x

x

xx x

→∞ →∞ →∞ →∞+=

+=

+=

+=

2

2

1 11

11

11

1 de sorte que

x

xdx

+∞

∫ 12

1

converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la

page 237).

55. cos coscos

.x xx

x xx≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥-1, d' où et pour 2 1

2 10 π

Or dx

x

dx

xx b

b

b

b

b

b= = [ ] = −[ ] = ∞

→∞

→∞ →∞∫ ∫lim lim ln lim ln ln ,π π

π π d'où cette intégrale impropre diverge.

Il en résulte que 2 +∞

∫ cos x

xdx

π

diverge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales

(voir la page 236).

Page 81: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 289

57. 1 0+ ≥ ≥e e et eθ θ θ pour tout θ θ θ, . d' où e e

01

11≤

+≤

Or d

db

b

b

b

b

bθ θθθ θ

ee -e -e e- - -= = [ ] = +[ ] = + =

→∞

→∞ →∞∫ ∫lim lim lim0 0

0

0 0 1 1, de sorte que cette intégrale

impropre converge.

Il s'ensuit que 1

10

+

∫ e θ θd converge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales

(voir la page 236).

59. e pour x x≥ >1 1, de sorte que 01≤ ≤x x

xe.

Or dx

x1

∫ diverge (voir l'exemple 4 pages 231 et 232), de sorte que e

x

xdx

1

∫ diverge aussi selon le

test de comparaison directe entre intégrales (voir la page 236).

61.dx

dxx b

xb

b

x b

b

b

ee -2e -2e e e

e- - - -1 2 -1 2

1

2

1

2

1

2 2 0 22∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫= = [ ] = +[ ] = + =lim lim lim , d'où cette intégrale

impropre converge.

De plus, lim lim lim lim ,x

x

x

x

x

x x

x

xx

x

x

xx x x→∞ →∞ →∞ →∞

− =−

=−

=−

=−

=

1

11

1

1

11 0

1e

e

e

e

e

ee e

puisque lim lim .. .

x x

R H

x x

x

e e→∞ ∞ ∞ →∞= =1

0

Il s'ensuit que dx

xxe −

∫1

converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par

une limite (voir la page 237).

Page 82: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

290 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

63.dx

x

dx

x4 401

21+

=+∞

∞ ∞

∫ ∫-

(puisque 1

14x + est une fonction paire).

Par ailleurs, dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x40

4 4 4 210

1

10

1

1 1 1 1+=

++

+<

++

∞ ∞∞

∫ ∫∫∫∫ , puisque x x x4 4 21+ > = ,

de sorte que 1

1

14 2

x x+< .

Or dx

x40

1

10

+≥∫ , puisque la fonction

1

10 0 1

4x +≥ [ ] sur , (voir l'exercice 28, page 26).

De plus, 1

11 0 1

4x +≤ [ ] sur l' intervalle , d'où

dx

x40

1

11 1 0 1

+≤ ⋅ −( ) =∫ selon l'inégalité max-

min pour les intégrales définies (voir la page 23).

Donc, dx

x40

1

1+∫ est comprise entre 0 et 1.

Finalement, 1 1

2 112

1x

dx∞

∫ =−

= (voir l'exercice 4, page 231), de sorte que

01

1 1 24

0

<+

< + =∞

∫ dx

x et que 0

12 2 4

4<

+< × =

∫ dx

x-

, et que cette intégrale impropre

converge.

65. a) Posons t x= ln . Alors dt

dx x= 1

, de sorte que 1x

dx dt= . De plus, t = 0 lorsque

x t= =1 2 et ln lorsque x = 2.

Ainsi, -dx

x x tdt t dtp p b

p

bln

limln ln

( )= =∫ ∫ ∫→ +

1

2

0

2

0

21

=+

= ( )

−−

+

− −

+ +lim lim

lnln

b

p

bb

p pt

p p

b

p0

1 2

0

1 1

12

1 1

-

- pour p ≠ 1.

Or lim lim .b

p

b

pb

pp

b

pp

+ +−= <

−= ∞ >

0

1

0

1

10 1

11 pour et - pour

Page 83: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 291

Finalement, pour pt

dt t bb b

= = [ ] = ( ) −[ ] = ∞∫ → →+ +1

12

0

2

00

2

0, lim ln lim ln ln ln

lnln - , d'où

l'intégrale diverge.

Par conséquent, dx

x x pln( )∫1

2

converge pour p < 1 et diverge pour p ≥ 1.

b) Comme en a), nous posons t x= ln .

dx

x x tdt t dtp p b

pb

lnlim

ln ln( )= =

∞ ∞

→∞∫ ∫ ∫2 2 2

1 -

=+

=

−− ( )

→∞

+

→∞

− −

lim limln

lnb

p b

b

p pt

p

b

p p

-

-

1

2

1 1

1 12

1 pour p ≠ 1.

Or lim lim .b

p

b

pb

pp

b

pp

→∞

→∞

−= ∞ <

−= >

1 1

11

10 1 pour et pour

Finalement, pour pt

dt t bb

b

b= = [ ] = −[ ] = ∞

→∞ →∞∫11

22

2, lim ln lim ln ln ,ln

ln , d'où

l'intégrale diverge.

Par conséquent, dx

x x pln( )

∫2

converge pour p > 1 et diverge pour p ≤ 1.

67. A dx dxx

b

xb

b

x b

b

b= = = [ ] = +[ ] = + =∞

→∞ →∞

→∞∫ ∫e e -e -e e- - -

0 00

0 0 1 1lim lim lim

69. V R x dx dxb

xb

= ( )[ ] = ( )∞

→∞∫ ∫π π2

0

2

0

e -lim

= =

→∞ →∞∫π πlim lim

b

xb

b

xb

dxe -12

e- -2

0

2

0

= +

= +

=

→∞

−π π πlimb

b-12

e e2 012

012 2

Page 84: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

292 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

71.1

21

23 3 3

x xdx

dx

x

dx

x−−

−−

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫ . En effet, l'intégrale à la gauche du signe ≠ converge, alors

que chacune des intégrales à droite diverge.

73. a) e e -13

e -13

e e e e- - - - -9 - -93

3

3

3

3

3

3 913

013

13

x

b

xb

b

xb

b

bdx dx∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫= =

= +

= + =lim lim lim

≈ <0 0000411 0 000042, , .

Si x > 3, alors x x x x x x2 2 33 32

> − < ≤, , - et e e- - de sorte que

e e - -3x xdx dx2

33

0 000042< <∞∞

∫∫ , .

Comme e e e - - -x x xdx dx dx2 2 2

0

3

0 3

= +∫∫ ∫∞ ∞

, l'intégrale e -x dx2

0

∫ peut être remplacée par

e -x dx2

0

3

∫ sans que l'erreur introduite soit plus grande que 0,000042.

b) e -x dx2

0

3

0 88621∫ ≈ , .

Exercices réalisés avec Mathématica

75. Fonction erreur

a) Cette fonction est déjà offerte dans Mathématica sous le nom Erf x[ ].

F x_ : = 2e

dt

Tracer F x x, 0, 25 Image 0, 1.25

-t

0

x2

[ ]

[ ] { } → { }[ ]∫ π, ,

b)2e

dt-t

0

2

π∞

∫Erf 0

Erf

F xx

[ ]∞[ ]

[ ]→∞

lim

Page 85: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 293

Explorer les intégrales de x pLog x[ ]

77. Table x Log x dx, p, - 3, 3p

0

e

[ ] { }[ ]∫

x Log x dx

Tracer Table x Log x p, - 3, 3 x, 0, e Image -2, 2

Style rouge, vert, bleu, jaune, noir, cyan, rouge

p

0

e

p

∫ [ ]

[ ] { }[ ] { }[ → { }

→ { }], , , ,

79. Table x Log x dx, p, - 3, 3p

0[ ] { }[ ]∞

x Log x dx

Tracer Table x Log x p, - 2, 2 x, 0, 5

Image -5, 5 Style rouge, vert, bleu, jaune, noir

p

0

p

∫ [ ]

[ ] { }[ ] { }[→ { } → { }]

, , ,

,

Exercices réalisés avec Maple 6

75. a)

b)

= lim → x ∞

d⌠

0

x

2e

( )−t2

πt 1

Page 86: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

294 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

c)

77. Commandes Maple

seq(["p "=p/2,Int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);

seq(["p"=-p/2,Int(x^(-p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(- p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);

,= "p "

12

=d⌠⌡ 0

e

x ( )ln x x29

e( )/3 2

,="p " 1 = d⌠⌡ 0

e

x ( )ln x x14

e2, ,

, = "p "

32 =d⌠

0

e

x( )/3 2

( )ln x x6

25e

( )/5 2

, = "p " 2 =d⌠⌡

0

e

x2 ( )ln x x29

e3,

, = "p"

-12 = d

0

e

( )ln x

xx −2 e

( )/1 2

, ="p" -1 =d⌠

0

e

( )ln xx

x −∞, ,

, ="p"-32 = d

0

e

( )ln x

x( )/3 2 x −∞

,= "p" -2 =d⌠

0

e

( )ln x

x2 x −∞,

L’intégrale x x dxp ln e

0∫ converge pour des valeurs de p ∈ ∞] [-1,

Page 87: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices 3.6 page 295

79.

, ="p"

32 = d⌠

0

x( )/3 2

( )ln x x ∞

, ="p" 2 = d⌠⌡

0

x2 ( )ln x x ∞,

, = "p"

-12 = d

0

( )ln x

xx ∞

,= "p" -1 = d⌠

0

( )ln xx

x undefined, ,

, ="p"-32 = d

0

( )ln x

x( )/3 2 x −∞

, ="p" -2 = d⌠

0

( )ln x

x2 x −∞,

L’intégrale x xdxp ln0

∫ ne converge pas.

, ="p"12 =d⌠

⌡ 0

x ( )ln x x ∞

,="p" 1 =d⌠⌡ 0

x ( )ln x x ∞, ,

Page 88: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

296 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Chapitre 3 - Exercices récapitulatifs

1. Posons u x= −4 92 . Alors du x dx x dx du= =818

et .

x x dx u duu

C x C4 918

18 3 2

112

4 92 1 23 2

2 3 2− = = + = −( ) +∫ ∫

3. Posons u x= +8 12 . Alors du x dx x dx du= =161

16 et .

x dx

xu du

uC x C

-

8 1

116

116 1 2

18

8 12

1 21 2

2

+= = ⋅ + = + +∫ ∫

5. Posons u t= −9 4 4. Alors du t dt t dt du= =- et - 161

163 3 .

t dt

tu du

uC t C

3-

- - -9 4

116

116 1 2

18

9 44

1 21 2

4

−= = + = − +∫ ∫

7. Posons u = −1 2cos .θ Alors du d d du= ( ) ⋅ =sin sin .2 212

θ θ θ θ2 et

sincos cos2

1 212

12 1

12 1 22

2θ θθ θ

---

-1du du

uC C

−( )= = + =

−( )+∫ ∫

9. Posons u x= cos .2 Alors du x dx x dx du= ( ) ⋅ =- 2 et - sin sin .2 212

sin cos cos212

12

12

2 2x dx du C Cx u u x e - e - e - e= = + = +∫ ∫

11. Posons u x= − 1. Alors du dx= .

2 22

22

21

1x u

u x

dx du C C−−

= = + = +∫ ∫ ln ln

.

Page 89: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 297

13. Posons u arc x= +2 tan . Alors dux

dx=+

112 .

dx

x arc x udu u C arc x C2 1 2

12

+( ) +( )= = + = + +∫ ∫

tan

ln ln tan

15.dt

t

dt

t

dt

t16 9 16 1

916

14

134

22

2−=

=−

∫ ∫ ∫

Posons u t= 34

. Alors du dt du dt= =34

13

14

et

dt

t udu arc u C arc t C

16 9

13

1

1

13

13

342 2−

=−

= + =

+∫∫ sin sin

17.4

5 25 16

4

5 251625

425 4

5

22 2

2

dx

x x

dx

x x

dx

x x−

=−

=−

∫ ∫ ∫

= ⋅ + = +425

54 4 5

15

54

arcx

C arcx

Csec sec

19. y y y y y2 2 24 8 4 4 4 2 4− + = − + + = −( ) +

Posons u y= − 2. Alors du dy= .

dy

y y

dy

y

du

uarc

uC arc

yC2 2 2 24 8 2 4 2

12 2

12

22− +

=−( ) +

=+

=

+ = −

+∫ ∫ ∫ tan tan

21. coscos sin sin2 3

1 62

12

66 2

612

x dxx

dx xx

Cx x

C = + = +

+ = + +∫ ∫

Page 90: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

298 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

23. tan tan tan tan sec tan sec tan3 2 2 22 2 2 2 2 1 2 2 2t dt t t dt t t dt t t dt t dt = = −( ) = − ∫∫∫∫∫Posons u t= 2 . Alors du dt dt du= =2

12

et .

tan tan sec tantan

ln sec

tan ln sec

3 22

2

212

12

12 2

12

14

212

2

t dt u u du u duu

u C

t t C

= − = ⋅ − ( ) +

= − +

∫∫∫

25.2 2

22

cos

2

dx

x x

dx

x−=∫ ∫sin cos

Posons u x= 2 . Alors du dx= 2 .

22 22

cos

2

dx

x x

du

uu du u u C x x C

−= = = + + = + +∫ ∫ ∫sin cos

sec ln sec tan ln sec tan

27. cot csc csc2

4

3 4

4

3 4

4

3 4

1t dt t dt t dt+ = =∫ ∫ ∫π

π

π

π

π

π

= +[ ]

= + + +

= − + +[ = +−

= +−

⋅ ++

= +−

= +(

-

-

- 2 1 2

ln csc cot

ln csc cot ln csc cot

ln ln ln

ln ln ln

t t π

π

π π π π4

3 4

34

34 4 4

12 12 1

2 12 1

2 12 1

3 2 22 1

3 2 2 ))

29. 1 2 1 1 22 2 2 2 2 2 2− = − −( ) = − + = + =cos cos sin cos sin sin sin sint t t t t t t t

1 2 2 2 2 22

22

2

2

2

2

0

2

− = = =∫ ∫ ∫ ∫cos sin sin sint dt t dt t dt t dt- - -

π

π

π

π

π

π π

Page 91: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 299

(puisque sin t est une fonction paire de t, voir les exercices 1.5, numéro 85, page 64)

= = [ ]

= +( ) = +( ) =

∫2 2 2 2

2 2 2 0 2 2 0 1 2 2

0

2

02sin cos

cos cos .

t dt t -

-

ππ

π

31.x

xdx

xdx x

xdx

2

2 2 2 241

44

41

2+= −

+

= −

+∫∫ ∫

= −

+ = −

+x arc

xC x arc

xC

42 2

22

tan tan

33.2 1

42

41

22 2 2 2

y

ydy

y

ydy

ydy

−+

=+

−+∫ ∫ ∫

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, nous posons u y= +2 4,

de sorte que du y dy= 2 .

Ainsi,

2 14

1 12 2

12 2

412 2

2

2

y

ydy

udu arc

yC

u arcy

C

y arcy

C

−+

= −

+

= −

+

= +( ) −

+

∫ ∫ tan

ln tan

ln tan .

35.t

tdt

t

tdt

tdt

+−

=−

+−∫ ∫ ∫2

4 4

2

42 2 2

= −( ) ⋅ +−

=−( )

+

+

= − +

+

∫ ∫14 2 2

1

4

1 4

1 22

2

4 22

2

2

2 1 2

2

-2-

-2

-

-1 2t t dt

tdt

tarc

tC

t arct

C

sin

sin

Page 92: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

300 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

37.tan

tan sectan

tan sectan sectan sec

x dx

x x

x

x x

x x

x xdx

+=

+⋅ −

−∫ ∫

= −−

= − −

= + +

= + + +

∫ ∫∫∫ ∫

tan sec tantan sec

sec sec tan

sec sec tan

tan sec

2

2 2

2

2

1

1

x x x

x xdx

x x xdx

x dx dx x x dx

x x x C

-1

-

-

39. cot cot ln sinx

dxx

dxx

C4

44

44

=

⋅ =

+∫ ∫

14

41. Posons Z dZ d= =4 4 2tan , sec ,θ θ θ pour -π θ π2 2

< < .

16 16 16 16 12 2 2+( ) = +( ) = +( )[ ]Z-3 2 -3 2 -3 2

tan tanθ θ

=( )

=( )

=164

1 164

1 1642 3 3

sec sec sec,

θ θ θ3 2

puisque secθ > 0 pour -π θ π2 2

< < .

Il s'ensuit que 16464

116

22

3+( ) = =∫ ∫ ∫Z dZd

d-3 2

sec

seccos

θ θθ

θ θ

= + =+

+116 16 16 2

sin .θ CZ

ZC

43. Posons x dx d= =sin , cos ,θ θ θ pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

x x2 2 2 21 1− = −sin sinθ θ

= =sin cos sin cos ,2 2θ θ θ θ puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

Il s'ensuit que dx

x x

dd

2 2 22

1 −= =∫∫ ∫cos

sin coscsc

θ θθ θ

θ θ

= + = − +- -cot .θ Cx

xC

1 2

z

4

2 16 z+

θ

x1

2 1 x−

θ

Page 93: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 301

45. Posons x dx d= =3 3sec , sec tan ,θ θ θ θ pour 02

< <θ π.

x2 2 29 9 9 9 1 3 3− = − = −( ) = =sec sec tan tan ,θ θ θ θ

puisque tanθ > 0 pour 02

< <θ π.

Il s'ensuit que dx

x

d2 9

33−

= ∫∫ sec tantan

θ θ θθ

= = + + = + − +

= + − − + = + − +

∫ sec ln sec tan ln

ln ln ln ,

θ θ θ θ

d Cx x

C

x x C x x C

1

2

1

21

2

39

3

9 3 9

où C C= −1 3ln .

Note : La restriction 02

< <θ π ne modifie en rien la réponse. Vous pourrez vérifier, si vous en

avez la curiosité, que pour -

-π θ θ2

0 9 32< < − =, tanx et dx

xx x C

2

2

99

−= − − +∫ - ln .

Mais l'application de quelques lois algébriques vous convaincra sans peine que cette

réponse équivaut à la précédente.

47. Soit u x dv dx= +( ) =ln .1 et

Alors dux

dx v x=+

=11

et et ,

ln ln

ln ln ln

x dx x xx

xdx

x xx

dx x x x x C

+( ) = ( ) −+

= +( ) − −+

= +( ) − + +( ) +

∫ ∫

1 11

1 11

11 1

+

que nous pouvons aussi transformer en

x x x C x x x C x x x C

C C

+( ) +( ) − + = +( ) +( ) − − + + = +( ) +( ) − +( ) += +

1 1 1 1 1 1 1 1 1

11

1

ln ln ln ,

.

x

3

9 2 −x

Page 94: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

302 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

49. Posons u arc x dv dx= = et tan .3

Alors dux

dxx

dx v x=+ ( )

⋅ =+

=11 3

33

1 92 2 et .

arc x dx x arc xx

xdx tan tan3 3

31 9 2= −

+∫∫

Posons maintenant y x= +1 9 2. Alors dy

dxx x dx dy= =18 3

16

et .

arc x dx x arc xy

dy

x arc x y C x arc x x C

tan tan

tan ln tan ln .

3 316

1

316

316

1 9 2

= −

= − + = − +( ) +

∫∫

51. Procédons par intégration tabulaire.

x

x

x dx x x C

x x C

x

x

x

x

x x x x

x

+( )

+( )+( )

−( )

+( )

+( ) = +( ) − +( ) + +

= +( ) − +( ) +[ ] +

∫1

2 1

2

0

1 1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2

2

e

e

e

e

e e e e

e

53. Soit u x dv dxx= =cos .2 et e

Alors du x dx v x dx x x dxx x x x= = = + ∫∫- et e et e e e 2 2 2 2 2 2sin , cos cos sin .

Soit u x dv dxx= =sin .2 et e

Alors du x dx v x dx x x x dxx x x x x= = = + −[ ]∫∫2 2 2 2 2 2 2 2cos , cos cos sin cos , et e et e e e e

d'où 5 2 2 2 2 25

2 2 2e e e et e ex x x x

x

x dx x x x dx x x Ccos cos sin cos cos sin .= + = +[ ] +∫ ∫

55. a) Posons u y= −16 2. Alors du y dy= - 2 , d'où y dy du -= 12

.

y dy

yu du

uC y C

- - --1 2

16

12

12 1 2

162

1 22

−= = + = − +∫∫

Page 95: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 303

b) Posons y dy d= =4 4sin , cosθ θ θ pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

16 16 16

16 1 4 4 4

2 2

2 2

− = −

= −( ) = = =

y sin

sin cos cos cos ,

θ

θ θ θ θ

puisque cosθ > 0 pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

Il s' ensuit que

-4

-

-

y dy

y

dd C

yC

y C

16

4 44

4

416

4

16

2

2

2

−= ⋅ = = +

=−

+

= − +

∫∫ ∫sin coscos

sin cos

.

θ θ θθ

θ θ θ

57. a) Posons u x= −4 2. Alors du x dx= - 2 et x dx du -= 12

.

x dx

x udu u C x C

- - -

12

4

12

1 12

422

−= = + = − +∫∫ ln ln

b) Posons x dx d= =2 2sin , cosθ θ θ pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

4 4 4 4 1 42 2 2 2− = − = −( ) =x sin sin cos .θ θ θ

Il s' ensuit que

cos -

-

-

-

x dx

x

dd C

xC

x C

x C

42 2

4

42

4 2

4

2 2 1

2

1

21

2 1 2

−= ⋅ = = +

= − +

= − + +

= −( ) +

∫∫ ∫sin coscos

sinln cos

ln

ln ln

ln ,

θ θ θθ

θθ

θ θ

où - C C x C= + = − +122

12

4ln ln .

y4

2 16 y−

θ

x2

2 4 x−

θ

Page 96: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

304 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

59. Posons u x= −9 2. Alors du x dx= - 2 et x dx du -= 12

.

x dx

x udu u C x C

-

1 - -

12

9

12

12

922

−= = + = − +∫∫ ln ln ,

ou encore - ln ln .91

92 1 2

2−( ) + =

+x Cx

C

61.1

91

3 3 3 32−=

−( ) +( )=

−+

+x x x

A

x

B

x, d'où 1 3 3 3 3= +( ) + −( ) = −( ) + +( )A x B x A B x A B

Nous avons donc A B A B A B− = = + =0 3 3 1, , , d' où et c'est-à-dire

3 3 116

16

A A A B+ = = = et d' où , .

Par conséquent, -

dx

x xdx

xdx x x C

x

xC

916

13

16

13

16

3 3

16

33

2−=

−+

+= − + +[ ] +

= +−

+

∫∫∫ ln ln

ln

ou encore 16

33

ln . x

xC

+−

+

63.x

x x

x

x x

A

x

B

x2 3 2 2 1 2 1− +=

−( ) −( )=

−+

−, d'où x A x B x A B x A B= −( ) + −( ) = +( ) + −( )1 2 2- .

Nous avons donc - d' où -2 et A B A B A B− = = + =2 0 1, , , d'où - -1 et 2 1 2B B B A+ = = =, .

Par conséquent, x dx

x x xdx

xdx x x C

2 3 2

21

21

12 2 1

− +=

−−

−= − − − +∫∫∫ ln ln .

65. Posons u = cos .θ Alors du dd du

u u=

+ −=

+ −∫ ∫- et

-sinsin

cos cos.θ θ θ θ

θ θ2 22 2

Or 1

21

2 1 2 12u u u u

A

u

B

u+ −=

+( ) −( )=

++

−, d'où 1 1 2 2= −( ) + +( ) = +( ) + +( )A u B u A B u A B- .

Nous avons donc A B A B A B+ = = + =0 2 1, , , d' où - et - c'est-à-dire

B B B A+ = = =2 1 1 3 ou et -1 3, .

Page 97: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 305

Ainsi,

-

- -

sincos cos

ln ln

ln cos ln cos

lncoscos

,

θ θθ θ

θ θ

θθ

d du

u u

udu

udu

u u C

C

C

2 22 213

12

13

11

13

2 1

13

2 1

13

21

+ −=

+ −

=+

+−

= + − −[ ] +

= + − −[ ] +

= +−

+

∫ ∫

∫ ∫

ou encore - 13

12

lncoscos

.θθ

−+

+ C

67.v

v vdv

v

v vdv

v

v v vdv

+−

= +−( ) = +

+( ) −( )∫ ∫ ∫32 8

12

3

4

12

32 23 2

Or v

v v v

A

v

B

v

C

v

++( ) −( )

= ++

+−

32 2 2 2

,

d'où v A v B v v C v v A B C v B C v A+ = −( ) + −( ) + +( ) = + +( ) + +( ) −3 4 2 2 2 42 2 2 2 - .

Nous avons donc − = = + + =4 3 3 4 0A A A B C, , , d' où -

d' où - et 2 - + d' où -B C A B C B C+ = = ( ) = + =3 4 1 1 2, , .

En additionnant les deux équations en B et en C, nous obtenons 2 5 4C = , d'où

C B C= = − =5 8 1 2 1 8 et .

Il en résulte que -

-

-

v

v vdv

vdv

vdv

vdv

v v v C

v v v C

v

+−

= ++

+−

= + + + −[ ] +

= + + + −( )[ ] +

= +

∫ ∫∫∫32 8

12

34

1 18

12

58

12

116

6 2 5 2

116

2 2

116

3

6 5

ln ln ln

ln ln ln

ln22 2 5

6

( ) −( ) +v

vC .

Page 98: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

306 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

69.x x

x xx

x

x xx

x

x xx

A

x

B

x

3 2

2 222

222 1 2 1

++ −

= ++ −

= ++( ) −( )

= ++

+−

, d'où

2 1 2 2x A x B x A B x A B= −( ) + +( ) = +( ) + +( )- .

Nous avons donc - d' où et A B A B A B+ = = + =2 0 2 2, , , c'est-à-dire

2 2 2 3 4 3B B B A+ = = = et d' où , .

Par conséquent,

x x

x xdx x

x xdx

xx x C

3 2

2

2

24

3 22

3 1

243

223

1

++ −

= ++( )

+−( )

= + + + − +

∫∫

ln ln .

71.2 21 24

2 82 3

2 82 3

4 2

3 2

2 2

x x x

x xx

x

x xx

x

x x

+ − ++ −

= −( ) ++ −

= −( ) ++( ) −( )

= −( ) ++

+−

2 34 2

xA

x

B

x,

d'où x A x B x A B x A B= −( ) + +( ) = +( ) + +( )2 4 2 4- .

Nous avons donc - d' où et 2 4 0 2 1A B A B A B+ = = + =, , ,

c'est-à-dire 2 1 1 3 2 3B B B A+ = = = ou d' où , .

Par conséquent,

2 21 242 8

2 32

3 41

3 2

323

413

2

3 2

2

2

x x x

x xdx x

x xdx

x x x x C

+ − ++ −

= −( ) ++( )

+−( )

= − + + + − +

∫∫

ln ln .

73. Posons u s= e . Alors du ds dsdu du

us

s= = =e et e

.

Ainsi, ds du

u use −=

−( )∫ ∫1 1.

Or 1

1 1u u

A

u

B

u−( )= +

−, d'où 1 1= −( ) + = +( ) −A u Bu A B u A.

Page 99: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 307

Nous avons donc A A B B A= + = =- et d' où - = 1.1 0,

ds du

u u udu

udu u u C

u

uC C

s

s

s

e- -

e

e

−=

−( )= +

−= + − +

= − + = − +

∫∫∫∫ 1 11 1

11

1 1

ln ln

ln ln

75. Posons u x= . Alors du

dx xdx x du u du x u= = = =1

22 2 2, . et

Par conséquent,

x dx

x

u u du

u

u

udu u u

udu

uu u u C

xx x x C

12

1

21

2 2 22

1

23

2 2 1

23

2 2 1

2

32

32

3 2

+= ⋅

+

=+

= − + −+

= − + − + +

= − + − +( ) +

∫∫

∫ ∫

ln

ln .

77. Posons u x= . Alors du

dx x

dx

xdu= =1

22 et .

Ainsi, cos

cos sin sin .x

xdx u du u C x C∫ ∫= = + = ( ) + 2 2 2

79. Posons u du d= =tan , sec ,θ θ θ 2 pour -π θ π2 2

< < .

Ainsi, 1 12 2 2+ = + = = =u tan sec sec sec ,θ θ θ θ

puisque secθ > 0 pour -π θ π2 2

< < .

du

u

dd

C u u C

1

1

2

2

2

+= =

= + + = + + +

∫∫ ∫secsec

sec

ln sec tan ln .

θ θθ

θ θ

θ θ

u

1

2 1 u+

θ

Page 100: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

308 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

81.9

819

9 9

9

9 3 3 9 3 34 2 2 2 2−=

+( ) −( ) =+( ) +( ) −( )

= ++

++

+−v v v v v v

Av B

v

C

v

D

v, d'où

9 9 9 3 9 32 2 2= +( ) −( ) + +( ) −( ) + +( ) +( )Av B v C v v D v v .

En assignant à v la valeur 3, nous obtenons D = =9108

112

.

En assignant à v la valeur -3, nous obtenons C = =9108

112

.

En assignant à v la valeur 0, nous obtenons 9 9 27 27 1 3 3= + + = + +B C D B C D ou ,

d'où B C D= − − = − =1 3 3 1 6 12 1 2.

Finalement, en assignant à v la valeur 1, nous obtenons 9 8 20 40= +( ) + +A B C D,d'où

8 9 8 20 40 9 4 20 12 40 12 0 0A B C D A= − − − = − − − = = et .

Il s' ensuit que

981

12

19

112

13

112

13

12

13 3

112

31

123

16 3

112

33

4 2−=

++

++

= ⋅

+ + − − +

=

+ +

−+

∫ ∫∫ ∫vdv

vdv

vdv

vdv

arcv

v v C

arcv v

vC

tan ln ln

tan ln .

83.x

x xx

x

x xx

x

x

3

2 2 22 12

3 22 1

23 2

1− += + + −

− += + + −

−( )= + +

−+

−( )x

A

x

B

x2

1 1 2 ,

d' où -3 2 1x A x B Ax A B− = −( ) + = + +( ).

Nous avons donc A A B= + =3 et - -2, c'est-à-dire - -2, d' où 3 1+ = =B B .

Par conséquent, x dx

x xx

x xdx

xx x

xC

3

2 2

2

2 12

31

11 2

2 3 11

1

− +

= + +−

+−( )

= + + − −−

+∫∫ ln .

85. Posons u x= . Alors du

dx x

dx

xdu= =1

22 et .

Ainsi,

-

-

22

22 2

2 2 22

22

sinsec

sinsec

sin cos

sincos

cos .

x dx

x x

u

udu u u du

u duu

C x C

∫ ∫∫

= =

= ( ) = ⋅ ( ) + = ( ) +

Page 101: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 309

87.d d dθ

θ θθ

θ θθ

θ2 2 22 4 2 1 3 1 3− +=

− + +=

−( ) +∫ ∫ ∫Posons u = −θ 1. Alors du d= θ et

d d du

uarc

uC arc C

θθ θ

θθ

θ2 2 2 22 4 1 3 3

13 3

13

13− +

=−( ) +

=+ ( )

=

+ = −

+∫ ∫ ∫ tan tan ,

ou encore 3

31

3arc C tan .

θ −

+

89. Posons u = +1 2cos .θ Alors du

dd du

θθ θ θ= =- et - 2 2 2

12

sin sin .

Ainsi, sin

cos cos,

21 2

12

12

12

12 1 22

2θ θθ θ

- -

-1-

-1du du

uC

uC C

+( )= = + = + =

+( )+∫ ∫ ou encore

1

2 1 2 1

14

142 2

2

+ −( ) + = + = +cos cos

sec .θ θ

θC C C

91. Posons u x= −2 . Alors du

dxdx du x u= = = −- , - et 1 2 .

Ainsi,

-

-

-x dx

x

u

udu u u du

u uC x x C

x x C x x C

22

2

3 22

1 223

2 4 2

23

2 2 623

2 4

1 21 2 1 2

3 2 1 23 2 1 2

1 2

−= − = −( )

= − + = −( ) − −( ) +

= −( ) − −( ) + = − +( ) +

∫ ∫∫

.

93. ln ln lnx dx x dx x dx− = −( )[ ] = −( )∫∫ ∫1 112

11 2

Soit u x dv dx= −( ) =ln .1 et Alors dux

dx v x=−

=11

et .

12

112

11

12

1 11

1

12

1 1

ln ln

ln

ln ln

x dx x xx

xdx

x xx

dx

x x x x C

−( ) = −( ) −−

= −( ) − +−

= −( ) − − −( )[ ] +

∫∫

Note : ln x − 1 a pour domaine 1, ,∞] [ de sorte que x − >1 0.

Page 102: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

310 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

95.Z

Z Z

A

Z

B

Z

CZ D

Z

++( ) = + + +

+1

4 42 2 2 2 , d'où Z AZ Z B Z CZ D Z+ = +( ) + +( ) + +( )1 4 42 2 2.

En assignant à Z la valeur 0, nous obtenons 1 4= B, d'où B = 1 4.

Z A C Z B D Z AZ B+ = +( ) + +( ) + +1 4 43 2

Nous avons 4 1 1 4 0 1 4 0A A B D D B A C= = = = + =, , , , d' où + = , d' où - - et

d' où - -1 4.C A= =

Ainsi, -2Z

Z ZdZ

ZdZ Z dZ

Z

ZdZ

++( ) = + − +

+∫ ∫ ∫ ∫1

4

14

1 14

14

142 2 2

= − −+

−+

= − −+

+

= − − +( ) −

+

∫∫

14

14

14

14

1 12

24

12 2

14

1 12

412 2

2 2

2

2

ln

ln tan

ln ln tan

ZZ

Z

ZdZ

ZdZ

ZZ

Z

ZdZ arc

ZC

ZZ

Z arcZ

C..

97. Soit u arc x dvx

dx= = et tan .1

2 Alors dux

dx vx

=+

=11

12 et - .

arc x

xdx

xarc x

x xdx

-

tantan2 2

1 1

1∫ ∫= ++( ) .

Or 1

1 12 2x x

A

x

Bx C

x+( ) = + ++

, d'où 1 1 2 2= +( ) + +( ) = +( ) + +A x Bx c x A B x Cx A.

Nous avonsA A B B A C= + = = = =1 0 0, , . d' où - -1, et

Ainsi,

-

-

-

-

arc x

xdx

xarc x

x xdx

xarc x

xdx

x

xdx

xarc x x

x

xdx

xarc x x x C

tantan

tan

tan ln

tan ln ln ,

2 2

2

2

2

1 1

1

1 11

1 12

21

1 12

1

∫ ∫

∫∫

= ++( )

= + −+

= + −+

= + − +( ) +

ou encore - 1

1 2

xarc x x x Ctan ln ln .+ − + +

Page 103: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 311

99.1 21 2

1

1

2 2

2 2

−+

=− −( )+ −∫ ∫cos

cos

cos sin

cos sinx

xdx

x x

x xdx

=−( ) +−( ) +

= =

= −( ) = − +

∫ ∫∫

1

1

22

1

2 2

2 2

2

22

2

cos sin

sin cos

sincos

tan

sec tan

x x

x xdx

x

xdx x dx

x dx x x C

101.cos

sin sincos

sin sin

cos

sin cos

x

x xdx

x

x xdx

x

x xdx3 2 21−

=−( ) =

⋅ ( )∫∫ ∫ -

= = =

= ( ) + ( ) +

∫ ∫ ∫- - -

1 22

2 2

2 2

sin cos sincsc

ln csc cot

x xdx

xdx x dx

x x C

103. Posons x y= ln , alors dx

dy y= 1

, d'où dy

ydx y x= =, . et e2 2

De plus, ln1 0= → ∞ et x lorsque y → ∞.

Ainsi, ln

ln lim .y dy

yy

y

dy

yx dx x dxx b

xb

e e 3

-= ⋅ ⋅ = =∞ ∞ ∞

→∞∫ ∫ ∫ ∫1

21

20

2

0

1 1

Posons u x dv x= = et e-2 . Alors du dx v x= = et - e-12

2 ,

lnlim

lim

lim .

y dy

y

x

edx

x

b

b x

bx

b

b x x

b

b b b

- e

-e e

-e e

3-=

+

= −

= − − −

→∞

→∞

→∞

∫ ∫1

20

2

0

2 20

2 2

212

21

4

21

40

14

Nous savons que lim lim. .

b b

R H

b b

b→∞ ∞ ∞ →∞

− = =2 4

02 2e-1e

et que lim ,b b→∞

− =14

02e

de sorte que ln

.y dy

y

3

1

0 0 014

14

= − − + =∞

Page 104: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

312 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

105.dx

x x x

dx

x x x

dx

x x x

dx

x x2 1

2

2 1 4 4

2

2 1 4 4 1 1

2

2 1 2 1 12 2 2 2−( ) −=

−( ) −=

−( ) − +( ) −=

( ) −( ) −∫∫ ∫ ∫

-

Posons u x= −2 1. Alors du dx= 2 et

dx

x x x

du

u uarc u C arc x C

2 1 12 1

2 2−( ) −=

−= + = − +∫∫ sec sec .

107. Posons u = 4eθ . Alors du d= 4e θ θ et e θ θd du= 14

.

e e eθ θ θθ∫ ∫+ = +( ) = +( ) + = +( ) +3 414

314

33 2

16

3 41 23 2

3 2d u du

uC C

109. Posons u = +3 1θ . Alors du

dθ= 3 et d duθ = 1

3 .

2713

2713

2727

13

2727

3 13 1

( ) = = + = ⋅ +++

∫ ∫θθ

θ d du C Cuu

ln ln

111. Posons u r= . Alors du

dr r= 1

2 et dr r du u du= =2 2 .

dr

r

u du

u udu u u C r r C

121

22

12 2 1 2 2 1

+=

+= −

+

= − + + = − +( ) +∫ ∫∫

ln ln

113.8

49 4

8 7

7 7 42 2

dm

m m

dm

m m−= ×

( ) −∫∫

Posons u m= 7 . Alors du

dmdu dm= =7 7 et .

8

49 48

48

12 2

4722 2m m

dmdu

u uarc

uC arc

mC

−=

−= ⋅ + = +∫ ∫ sec sec

Page 105: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 313

115. limln

lim lim. .

t

R H

t t

t t

tt

t

t

t t→ → →

− +( ) =−

+ = −+( )0 2 0 0 0 0

1 2 12

1 22

2 12 1 2

Or limt

t

t t→

−+( )

= +∞0

2 12 1 2-

et lim .t

t

t t→ +

−+( )

= ∞0

2 12 1 2

-

La limite n'existe pas.

117. limsincos

limsin cos

sinlim

cos cos sincos

. . . .

x

R H

x

R H

x

x x

x

x x x

x

x x x x

x→ → →−= ⋅ + = + ⋅ + ⋅ ( ) = + + =

0 0 0 0 0 0 011 1 1 1 0

02

-

119. limx

xx→∞

1 est une forme indéterminée ∞0.

Posons f x x x( ) = 1 . Alors ln ln lnln

f x xx

xx

xx( ) = = =1 1

et

lim ln limln

lim .. .

x x

R H

xf x

x

x

x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

( ) = = =11

0

Par conséquent, lim lim lim .ln lim ln

x

x

x x

f x f xx f x x

→∞ →∞ →∞

( ) ( )= ( ) = = = =→∞1 0 1e e e

121. -1 1≤ ≤cos ,r d'où -1

lncosln lnr

r

r r≤ ≤ 1

Comme ln ,r → ∞ lorsque rr r

r

rr r r→ ∞ = = =

→∞ →∞ →∞, lim

lnlim

lnlim

cosln

-1 1

et 0 0 selon le

théorème du sandwich.

123. limln

limln

lnlim

ln

. .

x x

R H

xx x

x x

x xx

xx

x→ → →−

= − +

−( )

=−

⋅ + −

1 1 0 0 1

11

1 11

11

11

= − ⋅+ −

= −

+ −

=

⋅ + ⋅ +

→ → →

limln

limln

limln

, ,

x x

R H

x

x

x

x

x x x

x

x x x x xx

1 1 0 0 1

11

11

1

11

1

-

=+ +

=--

10 1 1

12

Page 106: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

314 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

125. lim tanθ

θθ→ +

( )0

est une forme indéterminée ∞0.

Posons f θ θ θ( ) = ( )tan . Alors ln ln tan ln tanln tan

f θ θ θ θ θθ

θ( ) = ( ) = ⋅ ( ) = ( )1

et

lim ln limln tan

lim tansec

limcos

cossin

. .

θ θ θ θθ θ

θθ

θ

θ θθθ

θ→ → ∞ ∞ → →+ + + +

( ) = ( ) =⋅

= ⋅ ⋅0 0 0

2

2 0 22

1

1

11

fR H

--

= =⋅ + ⋅ ( )→ →+ +

limsin cos

limcos cos sin sin

. .

θ θ

θθ θ

θθ θ θ θ0

2

0 0 0

2- -

-

R H

=−

= =→ +lim

cos sin.

θ

θθ θ0 2 2

2 01

0

Par conséquent, lim tan lim lim .lnlim ln

θ

θ

θ θ

θ θθ θ θ

→ → →

( ) ( )

+ + +

→ +( ) = ( ) = = = =0 0 0

00 1f ff

e e e

127. lim lim lim. . . .

x

R H

x

R H

x

x x

x x

x x

x

x→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞

− ++ −

= −+

= − = ∞3 2

2

23 12 3

3 64 1

6 64

129.dx

x

dx

xarc

xb b

b b

9 9 32 30

3

2 30 0−

=−

=

→ →∫ ∫lim lim sin

- -

= −

= − =→

lim sin sinb

arcb

arc3 3

02

02-

π π

131.dy

y

dy

y

dy

y

dy

y2 3

1

2 3

0

2 3 2 3

11

2-1 -1 00∫ ∫ ∫∫= + = (puisque

12 3y

est une fonction paire).

Ainsi, dy

yy dy

yb

b bbb

b2 3

1

0

2 3

0

1 3 11

0

1 32 21 3

2 3 1 3 2 3 0 6-1

- ∫ ∫= =

= ⋅ −[ ] = −( ) =

→ → →+ + +lim lim lim .

133.2

22

2 22u u u u

A

u

B

u−=

−( )= +

−, d'où 2 2 2= −( ) + = +( ) −A u Bu A B u A.

Nous avons -2 2A = , d'où A A B B A= + = = =-1, et d' où -0 1, .

Page 107: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 315

Ainsi,

-

- -

- -

22

1 12

1 12

2

2 3 1

2

23 3

33

du

u u u udu

u udu u u

b b

b

b

b

b

b

b

b

b

−= +

= +−

= + −[ ]

= + −( ) − +( )[ ]

= −

+

∞ ∞

→∞ →∞

→∞

→∞

∫ ∫

∫lim lim ln ln

lim ln ln ln ln

lim ln ln33 1 3 3

= + =ln ln ln ,

puisque lim ln ln lim ln lim ln .. .

b b

R H

b

b

b

b

b→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

= −

=

=2 2 1

11

135. Procédons par intégration tabulaire.

x

x

x

x

x

x

2

2

2

0

+( )

−( )

+( )

e

-e

e

-e

-

-

-

-

x dx x dx x xb bx

b

xb

b

x x x b

b b b b2

0

2

0

2

0

2

2 22 2

0 021

e e - e e e-e e e

- - - - -∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫= = − −[ ] = − −

− − −

lim lim lim

En appliquant la règle de L'Hospital à lim lim ,b b b b

b b→∞ →∞

-e

et -e

2 2 nous obtenons la réponse 0, pour

chaque limite.

De plus, limb b→∞

=-e

0.2

Ainsi, x dxx2

0

2e -∞

∫ = .

137.dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

xb

b

4 9 4 9 4 92

4 924 9

4

12 3

2

2 2

0

20

20

20 2

2

0+

=+

++

=+

=+

=+

∞ ∞ ∞

→∞∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫- -

lim

=

= −

= −

=

→∞ →∞

12

23

23

13

23

13

013 2

060

lim tan lim tan tanb

b

barc

xarc

barc

π π

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316 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

139. Soit f gθ θ( ) ( ) et définies respectivement par f gθθ

θθ

( ) =+

( ) =1

1

12

et .

lim lim lim lim .θ θ θ θ

θθ

θθ

θθ θ

θθ θ→∞ →∞ →∞ →∞

( )( )

=+

=+( )

=+

=f

g 2 2 2 21 1 1 1 11

Par ailleurs, 1 1

6 66θ

θθ

θ θ∞

→∞ →∞∫ ∫= = [ ] = ∞ d db

b

b

blim lim ln , d'où cette intégrale impropre diverge.

Il en résulte que dθ

θ 26 1+

∫ diverge aussi, selon le test de comparaison entre intégrales

par une limite.

141. Posons u Z= ln . Alors du

dZ Z= 1

, d'où dZ

Zdu u= → ∞, lorsque Z u→ ∞ = et 0 lorsque Z = 1.

Ainsi, ln

lim lim lim .Z

ZdZ u du u du

u bb

b

b

b

b1 0 0

2

0

2 2

2 202

∞ ∞

→∞ →∞ →∞∫ ∫ ∫= = =

= −

= ∞

L'intégrale impropre diverge.

143.dx dx

x x x xe e e e--

-0

+=

+∞

∞ ∞

∫ ∫2 (puisque la fonction 1

e e-x x+ est paire).

Or 2 2 1 212

0

dx dxdxx x

xx

x

xe e

ee

e

e -

0 0+

=+

=+

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫ .

Posons u x= e . Alors du dx ux= =e , 1 lorsque x u= → ∞0 et lorsque x → ∞.

Ainsi,

-0 0

2 21

21

2 2 0 22

0

2 20

0

dx

e e

du

u

du

u

arc u arc b arc

x x b

b

b

b

b

+=

+=

+

= [ ] = −[ ] = −

=

∞ ∞

→∞

→∞ →∞

∫ ∫ ∫lim

lim tan lim tan tan .π π

L'intégrale impropre converge.

Page 109: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices récapitulatifs page 317

145.dy

dxy y

y ydy dx

y ydy dx Cx x x x= −( ) ⇒

−= ⇒

−( ) = = +∫ ∫e e e e22 1

1 11

Or 1

1 1y y

A

y

B

y−( ) = +−

, d'où 1 1= −( ) + = +( ) −A y By A B y A.

Nous trouvons - d' où -1, et d' où -A A A B B A= = + = = =1 0 1, , .

Ainsi, 1

11 1

11 2y y

dyy y

dy y y C−( ) = +

= + − +∫ ∫ - - ln ln et

- e où ln ln , .y y C C C Cx+ − = + = −1 1 2

Comme y = 2 lorsque x = 0, nous avons - e d' où -e -ln ln , ln ln .2 1 2 1 20 0+ = + = − = −C C

La solution de l'équation différentielle est donc - eln ln ln .y y x+ − = − −1 1 2

147.dy

dx x xdy

dx

x x=

− +⇒ =

− +13 2 3 22 2

Or 13 2

12 1 2 12x x x x

A

x

B

x− +=

−( ) −( )=

−+

−, d'où

1 1 2 2= −( ) + −( ) = +( ) + −( )A x B x A B x A B- .

Nous avons A B A B A B+ = = − =0 2 1, , d' où - , et - d'où B B B A− = = =2 1 1, . -1 et

Ainsi, dydx

x x x xdx∫ ∫∫=

− +=

−−

2 3 2

12

11

et y x x C= − − − +ln ln . 2 1

Comme y = 0 lorsque x = 3, nous avons 0 1 2 2= − + =ln ln , ln .C C et

La solution de l'équation différentielle est donc y x x= − − − +ln ln ln . 2 1 2

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318 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Exercices supplémentaires : théorie, exemples et applications

1. Posons u arc x dv dx= ( ) = et sin .2 Alors du arc xx

dx v x= ⋅−

=21

1 2 et sin .

Ainsi, arc x dx x arc xxarc x

xdx

sin sin

sin.( ) = ( ) −

−∫ ∫2 2

2

2

1

Posons u arc x dvx

xdx x x dx= =

−= −( ) et

- -

-sin .

2

12 1

2

2 1 2

Alors et

dux

dx vx

xxarc x

xdx

arc x xx

xdx

arc x x x C

=−

=−( )

= − −−

= ( ) − − −−

= ( ) − − +

1

1

1

1 22 1

2

1

2 12 1

1

2 1 2

2

2 1 2

2

2

22

2

2

sin

sin

sin ,

de sorte que arc x dx x arc x arc x x x C sin sin sin .( ) = ( ) + ( ) − − +∫ 2 2 22 1 2

3. Posons u arc x dv x dx= = et sin . Alors dux

dx vx=

−=1

1 22

2

et .

Ainsi, x arc x dxx

arc xx

xdx sin sin .= −

−∫ ∫2 2

22 2 1

Pour évaluer l'intégrale du membre de droite de l'égalité,

posons x dx d= =sin cos ,θ θ θ et , pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

1 12 2 2− = − = = =x sin cos cos cos ,θ θ θ θ puisque cosθ ≥ 0 pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

x

xdx d d

d C

C

arc x x x C

2

2

22

2

2 1 212

12

1 22

14

22

14

22

14

1

−= ⋅ =

= − = −

+

= −

+

= − −( ) +

∫ ∫ ∫

sincos

cos sin

cos sin

sin cos

sin .

θθ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

Finalement, x arc x dxx

arc x x x x C sin sin arcsin .= − − −( ) +∫2

2

214

1

x

2 1 x−

1

θ

Page 111: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 319

5.d d

θθ

θθ

θθ θ

θ1 1

2 2

2

2

2 2−=

−=

−∫ ∫ ∫tan sincos

coscos sin

= + = +( )

= + +

+

= + + +

∫ ∫1 22 2

12

2 1

12

2 22

2 2 24

coscos

sec

ln sec tan

ln sec tan

θθ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

d d

C

C

7. Posons t dt d= =sin cos ,θ θ et pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

1 12 2− = − = =t sin cos cos ,θ θ θ puisque cosθ ≥ 0 pour -π θ π2 2

≤ ≤ .

dt

t t

d d d

− −=

−=

−=

−∫ ∫ ∫ ∫1 12

cossin cos sin

coscoscos

tan.

θ θθ θ

θθθ

θθ

θθ

Posons u du d= =tan sec ,θ θ θ et 2 d'où ddu du

θ= =

+sec.2 2 1

Alors, dt

t t

du

u u− −=

−( ) +( )∫ ∫1 1 12 2 .

Or 1

1 1 1 12 2u u

A

u

Bu C

u−( ) +( ) =−

+ ++

, d'où

1 1 12 2= +( ) + +( ) −( ) = +( ) + −( ) + −( )A u Bu C u A B u C B u A C .

Nous avons A B+ = 0, d'où A B C B= − =- , ,0 d'où B C A C= − = et 1,

d'où - et - -B B B C− = = =1 1 2 1 2, et A = 1 2.

t

1 2t−

1

θ

Page 112: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

320 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Ainsi,

dt

t t udu

u

u

udu

u

udu

du

u

u u arc u C

− −=

−− +

+

=−

−⋅ +

−+

= − − +( ) − +

= − −

∫∫∫

∫ ∫ ∫1

12

11

12

11

12

11

12 2

21

12 1

12

114

112

12

112

2 2

2 2

2

2

ln ln tan

ln tan ln tanθ θθ θ

θ θ θ

θθ

θ

+ − +

= − − − +

= − − +

= −−

− + = − − − +

112

12

112

12

12

1 12

12

11

1

1

12

12

112

2

2

2

C

C

C

t

t

t

arc t C t t arc t C

sec

ln tan ln sec

lntan

ln sin ln sin .

9.1

41

4 4 41

2 4

1

2 2 2 24 4 2 2 2 2 2 2 2xdx

x x xdx

x xdx

x x x xdx

+=

+ + −=

+( ) −=

+ +( ) − +( )∫ ∫ ∫ ∫

Les deux facteurs quadratiques sont irréductibles.

1

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2x x x x

Ax B

x x

Cx D

x x+ +( ) − +( ) = ++ +

+ +− +

, d'où

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

3 2

= +( ) − +( ) + +( ) + +( )= +( ) + + + +( ) + − + +( ) + +( )

Ax B x x Cx D x x

A C x A B C D x A B C D x B D-

Nous obtenons le système d'équations linéaires :

A

A

A

B

B

B

C

C

C

D

D

D

-2

2 2

2

2

2 2

2

0

0

0

1

1

2

3

4

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )3 2 1 4( ) − ( ) + ( ) donne D = 1 4.

4( ) donne alors B = 1 4.

2 3( ) + ( ) donne -B C D+ + =4 3 0, d'où C = -1 8.

1( ) donne A = 1 8.

Page 113: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 321

Ainsi, -

-

14

1 8 1 4

2 2

1 8 1 4

2 2

116

2 42 2

2 42 2

116

2 22 2

21 1

2 2

4 2 2

2 2

2 2

xdx

x

x x

x

x xdx

x

x x

x

x xdx

x

x x x

x

x

+= ( ) +

+ ++ ( ) +

− +

= ++ +

+ +− +

= ++ +

++( ) +

− −

∫ ∫

∫ 22 2

2 2

2

2

2 221 1

116

2 2 2 1 2 2 2 1

116

2 22 2

18

1

− ++

−( ) +

= + +( ) + +( ) − − +( ) + −( )[ ] +

= + +− +

+ +( ) +

x xdx

x x arc x x x arc x C

x x

x xarc x arc

ln tan ln tan

ln tan tan .x C−( )[ ] +1

Note : x x

x x

2

2

2 22 2

0+ +− +

> pour tout x puisque les facteurs quadratiques du numérateur et du

dénominateur sont irréductibles, donc toujours de même signe, et que leur valeur en x = 0,

par exemple, est positive.

11. lim lim sin lim sin sinb

b

b

b

b

dx

xarc x arc b arc

→ → →−= [ ] = −[ ] = − =∫1 2

01

011

02

02- - -

π π

13. lim cosx

xx

→ + ( )0

1 est une forme indéterminée 1∞ .

Posons f x xx( ) = ( )cos .

1 Alors ln ln cos ln cos

ln cosf x x

xx

x

x

x( ) = ( ) = ⋅ ( ) =( )1 1

et

lim ln limln cos

lim cossin

limtan

limsec

lim sec .

. .

. .

x x

R H

x

x

R H

x

x

f xx

xx

xx

x

x

xx

x

x

→ → →

→ →

+ + +

+ +

+

( ) =( )

=⋅ ⋅

= = −⋅

= = ⋅ =

0 0 0 0 0

0 0 0 0

2

0

2

1 12

12

12

12

12

12

12

112

-

1

-

- - -

Par conséquent, lim cos lim lim .lnlim ln

x

x

x x

f xf x

x f x x

→ → →

( ) ( )

+ + +

→ +( ) = ( ) = = = =0

1

0 0

1 201

e e ee

-

Page 114: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

322 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

15. lim sin lim cos lim cos cos lim cos cosx x x

x

x

x

x xt dt t x x x x

→∞ →∞ →∞ →∞= [ ] = + ( )[ ] = +[ ]∫ - - - --

-

(puisque la fonction cos x est une fonction paire) = ( ) =→∞

lim .x

0 0

17.dy

dxx= cos2 est continue sur l'intervalle 0 4, , π[ ] d'où la courbe est lisse sur cet intervalle.

Ldy

dxdx x dx x dx

x dx x dx x

a

b

= +

= + = + −

= = = [ ]

= −

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫

1 1 2 1 2 1

2 2 2

22

20 1

2

0

42

0

4

0

4

0

4

04

cos cos

cos cos sin

π π

π ππ

19. V dxa

b

= [ ][ ]∫ circonférence du tube hauteur du tube

= ⋅ −

= −

2 3 1

6 1

0

1

2

0

1

π

π

x x x dx

x x dx

Posons u x= −1 . Alors du dx x u= = −( )- et 2 21 .

De plus, x u x u= ⇒ = = ⇒ =0 1 1 0 et .

V u u du

u u u du

u u u du

u u u

= −( )

= − +( )

= − +( )

= − +

= − + − − +( )

=

-

6 1

6 1 2

6 2

63 2

25 2 7 2

623

45

27

0 0 032

2

1

01 2

2 1 2

0

1

1 2 3 2 5 2

0

1

3 2 5 2 7 2

0

1

π

π

π

π

π ππ35

y

x0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

xxy 1 3 −=

Page 115: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 323

21. V dxa

b

= [ ][ ]∫ circonférence du tube hauteur du tube

= =∫ ∫2 20

1

0

1

π πx dx x dxx xe e

Posons u x dv dxx= = et e . Alors du dx v x= et = e ,

de sorte que x dx x dx xx x x x xe e e e e∫ ∫= − = − et

V x dx xx x x= = −[ ]= − − −( )[ ] =

∫2 2

2 0 1 2

0

1

0

1π π

π π

e e e

e e .

23. a) Méthode des disques troués :

R x r x x( ) = ( ) =1 et ln , d'où

V R x r x dx

x dx

x x dx

= ( )( ) − ( )( )[ ]= − ( )[ ]

= [ ] − ( )

π

π

π π

2 2

1

2

1

12

1

1

e

e

ee

ln

ln

ln x dx( )∫ 2 s'obtient en posant u x dv dx= ( ) =ln .2 et Alors dux

xdx v x= =2 ln

, et de

sorte que ln ln ln .x dx x x x dx( ) = ( ) −∫ ∫2 2 2

De même, ln x dx∫ s'obtient en posant u x dv dx= =ln , et de sorte que

dux

dx v x= =1 et , et que ln ln ln .x dx x x dx x x x = − = −∫∫

Nous obtenons ainsi :

V x x x x x= −( ) − ( ) − +[ ]= −( ) − − + − − +( )[ ]= − − +[ ] =

π π

π π

π π

e

e e e e

e e

e1 2 2

1 2 2 0 0 2

1 2

2

1ln ln

.

y

x1

xy e =

1

y

1 =y

xz

1

-1

e

xy ln =

Page 116: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

324 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

b) Méthode des disques

V R x dx

x dx

x x dx

= ( )[ ]

= −( )

= − + ( )[ ]

π

π

π

2

2

1

2

1

1

1 2

e

e

ln

ln ln .

Or ln lnx dx x x x C = − +∫ (voir l'exemple 4, page 190) et

ln ln ln ln lnx dx x x x dx x x x x x C( ) = ( ) − = ( ) − −( ) +∫ ∫2 2 22 2 (voir l'exercice 46, page

194).

Nous avons donc

e e e

e

e

e

e

V x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x

= − −( ) + ( ) − +[ ]= − + + ( ) − +[ ]= − + ( )[ ]= − + − − +( )[ ]= −( )

π

π

π

π

π

2 2 2

2 2 2 2

5 4

5 4 5 0 0

2 5

2

1

2

1

2

1

ln ln ln

ln ln ln

ln ln

.

25. a) lim ln limln

lim lim. .

x x

R H

x xx x

x

x

x

xx

→ → ∞ ∞ → →+ + + += = = =

0 0 0 2 0111

0-

- et f 0 0( ) = , d'où

lim .x

f x f→ +

( ) = ( )0

0

La fonction f est donc continue à droite en x = 0.

b) Méthode des disques :

V R x dx

x x dx

= ( )[ ]

= ( )

π

π

2

2 2

0

2

ln .

L'intégrale s'obtient par intégration par parties.

Posons u x dv x dx= ( ) =ln .2 2 et Alors du xx

dx vx= ⋅

=2

13

3

ln . et

y

1 =y

xz

1

1 e

xy ln =

Page 117: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 325

V x x dx x x dx

xx x

x

xdx

xx x x dx

bb

bb b

bb b

= ( ) = ( )

= ( )

− ⋅ ⋅

= ( )

∫ ∫

+

+

+

π π

π

π

2

0

22

0

22

2

0

32

2 32

0

32

2

22

32

13

323

ln lim ln

lim ln ln

lim ln ln

Posons cette fois u x dv x dx= =ln . et 2 Alors dux

dx vx= =13

3

et , de sorte que

Vx

xx

xx

dx

xx

xx

x

bb b b

bb

= ( )

= ( ) − + ⋅ ⋅

= ( )

+

+

∫π

π

π

lim ln ln

lim ln ln

ln

0

32

2 3 2 32

0

32

3 3 2

2

323 3 3

323 3

23

13 3

83

2

−− +

− ( ) − +

→ +

169

21627 3

29

2270

32 3 3ln lim ln ln .

b

bb b b b

Or -

-

lim ln limln

limln

limln

lim lim .

. .

. .

b b

R H

b

b

R H

b b

bb

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

→ → ∞ ∞ →

→ ∞ ∞ → →

+ + +

+ + +

( ) = ( ) = ( ) ⋅

= = ⋅ = =

0

32

0

2

3 0 4

0 3 0 4 0

3

3 32 1

9

29

2 127

227

0

De même, lim ln limln

b bb b

b

b→ →+ += =

0

3

0 3

29

29

0-

- selon le raisonnement ci-dessus.

Finalement, lim .b

b→ +

=0

3227

0

Nous pouvons enfin conclure que V = ( ) − +

π 83

2169

21627

2ln ln .

27. Posons uy

dv ny dyn=+

= −11

1 et . Alors duy

dy v yn=+( )

=- et 1

1 2 .

Ainsi,

lim lim

lim lim lim .

n

n

n

n n

n

n n

n

n

n

n

ny

ydy

y

y

y

ydy

y

ydy

y

ydy

→∞

→∞

→∞ →∞ →∞

+=

+

+

+( )

= −

++( )

= ++( )

∫ ∫

∫ ∫

1

0

1

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

1 1 1

12

01 1

12 1

Page 118: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

326 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Or y y yy

yy

nn≥ ⇒ + ≥ ⇒ +( ) ≥ ⇒ ≤

+( )≤0 1 1 1 1 0

12

2 .

De plus, lim lim lim limn

n

n

n

n

n n

ny dy

y

n n n n→∞ →∞

+

→∞

+ +

→∞∫ =+

=+

−+

=+

=0

1 1

0

1 1 1

11

10

11

10 et lim .

ndy

→∞=∫ 0 0

0

1

Il s'ensuit, selon le théorème du sandwich, que lim .n

ny

y→∞ +( )=∫ 1

02

0

1

Finalement, lim .n

nny

ydy

→∞

+= + =∫

1

0

1

112

012

29. Si 0 1< <x , alors x x x x x x3 2 3 2 3 30 0< > < >, , , - - et - d'où 4 42 2 3− > − −x x x et

4 4 4 22 3 2 2 2− − > − − = −x x x x x .

Comme 4 0 4 0 4 2 02 2 3 2− > − − > − >x x x x, et pour 0 1< <x , il découle des inégalités

précédentes que 4 4 4 22 2 3 2− > − − > −x x x x et que 1

4

1

4

1

4 22 2 3 2−<

− −<

−x x x x.

Or 1

4 212

06

062

0

1

0

1

−=

= − = − =∫ xdx arc

xarc arc sin sin sin .

π π

Par ailleurs,

1

4 2

12

1

2

12 2

12

12

012 4

02

8

20

1

20

1

0

1

−=

−=

= −

= −

=

∫ ∫xdx

xdx arc

x

arc arc

sin

sin sin .π π

Selon la propriété de dominance des intégrales définies (voir le théorème 1.2.9, page 23)

π π6 4

282 3

0

1

<− −

<∫ dx

x x.

Page 119: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 327

31. Posons u f x dv dx= ( ) = et . Alors du f x dx v x= ′( ) = et .

Alors

-

f x dx xf x xf x dx

f f x dx

b a x

b a

( ) = ( )[ ] − ′( )

=

= −

− [ ]

= −( ) − −

∫ ∫

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ

π π π π

π π

π

2

3 2

2

3 2

2

3 2

2

3 2

23 2

32

32 2 2

32 2

23 1 1

cos

sin

(( ) = −( ) +π2

3 2b a .

33. Calculons la longueur du quart de cercle d'équation y x= −4 2 situé dans le premier quadrant.

Nous avons dy

dx xx

x

x=

−⋅ =

−1

2 42

42 2- - .

Lx

xdx

x x

xdx

xdx

xdx

arcx

arcb

arc

b

b

b

b

b

= +−

= − +−

=−

=−

=

=

∫ ∫

∫ ∫→

14

44

2

4

24

22

22

2

2

2

0

2 2 2

20

2

20

2

2 20

20

2

-

-

-

-

lim

lim sin

lim sin sinsin 0

22

0= ⋅ − =π π

La longueur du cercle de rayon 2 est 4L, soit 4π .

35. Soit P x ax bx c( ) = + +2 . Alors P c P c P b P b0 0 1 1 0 0 0 0( ) = ( ) = ⇒ = ′( ) = ′( ) = ⇒ = et et et ,

d'où P x ax( ) = +2 1.

Décomposons P x

x x( )−( )3 21

en fractions partielles : ax

x x

A

x

B

x

C

x

D

x

E

x

2

3 2 2 3 2

11 1 1

+−( )

= + + +−

+−( )

.

Pour que l'intégrale soit une fonction rationnelle, il faut que A D= =0 0 et

(puisque A

xdx A x∫ = ln et

D

xdx D x

−= −∫ 1

1 ln qui ne sont pas des fonctions rationnelles).

Page 120: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

328 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Ainsi, ax Bx x C x Ex B E x B C x B C x C2 2 2 3 3 21 1 1 2 2+ = −( ) + −( ) + = +( ) + +( ) + −( ) +- ,

d'où C B C= − =1 2 0, d'où B C B a= − =2 2, d'où 1 4 3− = =a a et - .

Le polynôme recherché est P x x( ) = +-3 12 .

37. Soit f x xx

pp( ) = =- 1

pour 1 ≤ < ∞x .

L'aire de la région entre f x( ) et l'axe des x est Adx

x p=∞

∫1

et le volume du solide de révolution

autour de l'axe des x est, par la méthode des disques, V R x dxx

dxdx

xp p= ( )[ ] =

=

∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫π π π2

1

2

12

1

1 .

Or dx

x p1

∫ converge si p > 1 et diverge si p ≤ 1 (voir l'exemple 4 de la section 3.6, page 231).

Donc l'aire de la région est infinie pour p ≤ 1.

De même, dx

x p21

∫ converge si 2 1p > et diverge si 2 1p ≤ .

Donc le volume de révolution est fini si 2 1p > , ou p > 1 2.

Par conséquent, pour que l'aire de la région soit infinie et que le volume de révolution soit fini,

il faut 12

1< ≤p .

39. a) y

x3-5

-1e( ) ( ) 2e - xexf =

Page 121: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 329

b) e e e e e e e e

-

-e

--

-e

+

-ex x

aa

x

b

bx

x x x x

dx dx dx dx−( )

∞ ( )∞

→ ∞

( )→ ∞∫ ∫ ∫ ∫= = +lim lim

0

0

Posons u x= e . Alors du dxx= e et

e e e

-e -e

-e

e -ee

-e

e

e

--

-

e+

-e

-

-

e +

- e

-

-e

+

-e b

x

a

u

b

u

a

u

b

u

a b

x

a

b

a

b

a

dx du du−( )

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

∫ ∫ ∫= +

= [ ] + [ ]= +

+ +

= +

lim lim

lim lim

lim lim

1

1

1

1

0

1 1

1

+ +

=0

11

e.

L'intégrale impropre converge.

41.

d'où

e e e e

e e e

2 2 2 2

2 2 2

313

329

349

3

139

313

329

3

x x x x

x x x

x dx x x x dx

x dx x x

cos sin cos cos

cos sin cos

= + −

= +

∫∫

et e e2

2

313

3 3 2 3xx

x dx x x Ccos sin cos .= +( ) +∫

43.

e

e

e -1 9

e e

- e - e -

2

2

2

2 2

2 22

4

3

1 3 3

3

31

33

21

93 4

1

93

x

x

x

x x

x x

x

x

x

x dx x

x x dx

+

+

=

+ ⋅

∫∫

cos

sin

cos

cos sin

cos cos ,

sin

cos

sin

sin

cos

sin

sin sin sin cos

cos sin sin sin ,

3

3 3

9 3

3 3

3 3 9 3

x

x

x

x

x

x

x x dx x x

x x x x dx-

-

-

-

- - - -

+

+

= ⋅ ( )

⋅ ( ) + ( ) ⋅ ( )∫

Page 122: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

330 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

d'où

sin sin sin cos cos sin sin sin3 3 3 3 9 3x x dx x x x x x x dx - = + + ∫∫− = +∫8 3 3 3 3sin sin sin cos cos sinx x dx x x x x - et

sin sinsin cos cos sin

.33 3 3

8x x dx

x x x xC = − +∫

45.

e e-

e-

e-

ax ax ax axbx dxb

bx ab

bx ab

bx dxsin cos sin sin∫ ∫= ⋅

− ⋅

+ ⋅

1 1 12

22

e -

e e e ax ax ax axbx dxb

bxa

bbx

a

bbx dxsin cos sin sin∫ ∫= + −1

2

2

2

b a

bbx dx

bbx

a

bbxax ax

2 2

2 2

1+

= +

∫ e e

-sin cos sin

e eax

ax

bx dxb a

a bx b bx C∫ =+

−( ) +sin sin cos2 2

47.

49. a) Γ 10 0

( ) = =∞

→∞∫ ∫e e - -t

b

tb

dt dtlim

= [ ] = +[ ] = + =→∞ →∞

lim lim .b

t b

b

b-e -e e- -

0

0 0 1 1

b) Γ x t dtx t+( ) =∞

∫10

e -

Posons u t dv dtx t= = et e - . Alors du xt dx fx t= =−1 et -e- (x est un nombre réel

positif fixé.)

e

e

e

-

-

ax

ax

ax

a

a

bx

bbx

bbx

2 2

1

1

+

+

sin

cos

sin

ln ln ln

ln

ax

x x

ax dx x axx

x dx

x ax x C

( ) +

( ) = ( ) − ⋅

= ( ) − +

∫ ∫11 1

Page 123: Exercice 3.1 E - cheneliere.info · 1 222 sec sec 43. ∫()sec cot sec sec cot cotx x dx x x x x dx+ 2 =+ +

Exercices supplémentaires page 331

Γ

Γ Γ

x t dt t dt

t x t dx

bx t dx

x x x x

x t

b

x tb

b

x t b t x

b

x

bx t

+( ) = =

= [ ] −

= +

+

= +( ) + ( ) = ( )

→∞

→∞

∞−

→∞

−∞

∫ ∫

1

0

0 0

0 0

00

1

1

0

e e

- e -e

-e

e

- -

- -

-

lim

lim

lim

Remarque : limb

x

b

b→∞

− =e

0 quelle que soit la valeur de x. On dit alors que eb est

« dominant » sur toute puissance bx , en ce sens que eb → ∞ plus rapidement que bx

lorsque b → ∞. (Attention ! Le rôle des lettres est inversé dans le présent contexte : b est

une variable et x est un nombre fixe).

La règle de L'Hospital s'avère un instrument bien utile ici, puisque les indéterminations

du type ∞ ∞ se succèdent ainsi :

lim lim lim lim. . . . . .

b

x

b

R H

b

x

b

R H

b

x

b

R H

b

x

b

b xb x x b x x x b→∞ ∞ ∞ →∞

∞ ∞ →∞

∞ ∞ →∞

= = −( ) = −( ) −( )-e

-e

-e

-e

etc.1 2 31 1 2

Si x est un entier, alors les dérivées successives de bx finissent par arriver à 0 alors

que le dénominateur demeure toujours le même à eb .

Si x n'est pas un entier, alors les dérivées successives de bx finissent par donner un

exposant négatif de sorte que limb

b→∞

exposant au numérateur arrive aussi à 0 alors que eb au

dénominateur tend vers ∞.

c) Soit à démontrer que Γ n n+( ) =1 !.

(1) Vrai pour n = 0, puisque Γ Γ0 1 1 1 0+( ) = ( ) = = !.

(2) Supposons l'énoncé vrai pour n k= quelconque, où k k k> +( ) =0 1 : !.Γ

(3) Alors l'énoncé sera vrai pour n k= + 1.

En effet,

d' après (2)

Γ Γk k k

k k

k

+ +( ) = +( ) +( )= +( )= +( )

1 1 1 1

1

1

!

!.

Il s'ensuit que Γ n n+( ) =1 ! pour tout entier positif n.