examen de maturit´e gymnasiale juin 2021 `a ’ l ecole de

Nom : ................................................... Prenom: ...................................................

Examen de maturite gymnasiale

a l’Ecole de Maturite

Juin 2021

MATHEMATIQUES NIVEAU STANDARD 3M

Duree: 240 minutes

Materiel autorise: Formulaire usuel fourni avec l’epreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S,

Casio fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Regle, equerre, rapporteur et compas.

Consignes:

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribues a chaque probleme sont indiques a droite du numero du probleme.

3. Apres avoir si necessaire travaille sur un brouillon, le candidat redige a l’encre les so-

lutions sur les feuilles o�cielles. La redaction doit etre soignee.

Les calculs et les raisonnements doivent etre detailles.

La reponse est clairement mise en evidence a la fin du probleme.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles o�cielles mais ne sont pas corrigees.

Si la redaction est insu�sante, le probleme ne sera pas corrige et aucun point ne sera

attribue.

Nombre de points obtenus : Note finale :

Gymnase d’YverdonMaturite juin 2021

/6Mathematiques

3M niveau standard

Probleme 1 [13 pts]

Soit f la fonction definie par f(x) =x

3 � 2x+ 4

x

2 � 2x+ 1.

1) Determiner une equation de chaque asymptote (verticale, horizontale ou oblique) du

graphe de f, en justifiant chaque a�rmation.

2) Le cas echeant, etudier la position relative du graphe de f par rapport a son asymptote

horizontale ou oblique.

3) Montrer que f

0(x) =(x� 3)(x2 + 2)

(x� 1)3.

4) Determiner le tableau de croissance de f.

5) Calculer les coordonnees des eventuels extrema, ainsi que de l’intersection entre le

graphe de f et l’axe vertical.

6) Sur le quadrillage ci-dessous, tracer un graphe pour f qui soit coherent avec chacun

des resultats obtenus ci-dessus.

-9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010

-8-8

-7-7

-6-6

-5-5

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

66

77

88

99

1010

1111

00


/6Mathematiques

3M niveau standard

Probleme 2 [8 pts]

Soit f, g et h les trois fonctions definies par

f(x) =1

4x

2 � 1

2x+

1

4g(x) =

4

(x� 1)2h(x) =

8x� 8

x

2 � 2x+ 2.

Calculer l’aire du domaine plan borne, delimite par les graphes des trois fonctions, et dont

les points sont d’abscisses inferieures a 3 (domaine grise ci-dessous).

Indication : les points d’intersections sont A = (1; 0), B = (3; 1) et C = (2; 4).

-3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66

-4-4

-3-3

-2-2

-1-1

11

22

33

44

55

00


/6Mathematiques

3M niveau standard

Probleme 3 [19 pts]

Les trois parties de ce probleme sont independantes. Chacune d’entre elles est relative a un

repere orthonorme.

1) Calculer les coordonnees du sommet R du triangle PQR dont on connait le sommet

Q(�3; 1), l’equation cartesienne 5x+ y� 29 = 0 de la droite passant par P et R, ainsi

que l’equation cartesienne 10x� 7y � 22 = 0 de la hauteur issue de P.

2) On considere le cercle � : x

2 + y

2 + 2x� 8y = �8.

Determiner une equation cartesienne du cercle �

0, symetrique du cercle � par rapport

a la droite

a : �2x+ 4y = �7 .

3) Soit d la droite d’equation

d : 3x� 4y = 13 ,

ainsi que A et C les points de coordonnees A(�1;�4) et C(2; 7).

(a) Montrer que l’equation reduite du cercle c centre en C et tangent a la droite d est

c : (x� 2)2 + (y � 7)2 = 49

(b) Montrer que A appartient a d.

(c) Representer dans le graphique ci-dessous la droite d et le cercle c.

(d) Calculer l’equation cartesienne de la deuxieme tangente au cercle c passant par A,

puis ajouter cette tangente sur le graphique.

-18-18 -16-16 -14-14 -12-12 -10-10 -8-8 -6-6 -4-4 -2-2 22 44 66 88 1010 1212 1414 1616 1818 2020

-6-6

-4-4

-2-2

22

44

66

88

1010

1212

1414

1616

1818

00


/6Mathematiques

3M niveau standard

Probleme 4 [16 pts]

Une urne contient 17 boules jaunes et 14 boules bleues. On tire trois boules de cette urne,

successivement et sans remise. Calculer la probabilite:

1) de tirer 2 boules bleues, puis une jaune;

2) de tirer au moins deux boules bleues;

3) de tirer exactement 2 boules bleues, sachant qu’une boule jaune est obtenue au deuxieme

tirage.

A partir de maintenant, l’urne contient (n+ 2) boules jaunes et (n� 1) boules bleues,

ou n � 1 est un nombre entier. On tire deux boules de cette urne, successivement et sans

remise. On note A l’evenement ”tirer deux boules de la meme couleur” et pA sa probabilite.

4) Montrer que la probabilite pA est donnee en fonction de n par

pA(n) =n

2 + 2

n(2n+ 1)

Indication : un arbre de probabilite peut eventuellement etre utilise.

5) Que vaut pA(n) si n = 1 ? Commenter.

6) Calculer la valeur de n pour laquelle pA(n) =1

2.

7) Pour la suite, considerons pA(n) definie pour n 2 R. Pour quelle valeur de n cette

fonction est-elle minimale ?

8) En deduire le nombre de boules de chaque couleur pour que la probabilite pA soit

minimale ?


/6Mathematiques

3M niveau standard

Probleme 5 [8 pts]

La temperature f a l’interieur d’un four est donnee en �C par

f(t) = 9 · e

t2 � 9

e

t2 + 1

+ 6

!

ou t est le nombre de minutes depuis l’enclenchement du four.

1) Calculer la temperature initiale (quand on enclenche le four).

2) Quelle est la temperature 2 minutes apres l’enclenchement ?

3) Apres combien de minutes y a-t-il exactement 45 �C ?

4) Calculer la temperature limite limt!+1

f(t).

5) Tracer ci-dessous la courbe representative de la fonction pour t � 0.

11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313

1010

2020

3030

4040

5050

6060

7070

00


/6Mathematiques

3M niveau standard

Nom : ................................................... Prenom : ...................................................

Examen de maturite gymnasiale

a l’Ecole de Maturite

Aout 2020

MATHEMATIQUES NIVEAU STANDARD 3M

Duree : 240 minutes

Materiel autorise : Formulaire usuel fourni avec l’epreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S,

Casio fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Regle, equerre, rapporteur et compas.

Consignes :


2. Les points attribues a chaque probleme sont indiques a droite du numero du probleme.

3. Apres avoir si necessaire travaille sur un brouillon, le candidat redige a l’encre les so-

lutions sur les feuilles officielles. La redaction doit etre soignee.

Les calculs et les raisonnements doivent etre detailles.

La reponse est clairement mise en evidence a la fin du probleme.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigees.

Si la redaction est insuffisante, le probleme ne sera pas corrige et aucun point ne sera

attribue.


Page 1 sur 7 Gymnase d’YverdonExamen de l’Ecole de maturite 2020

Mathematiques3M niveau standard

Probleme 1 [18 pts]

Pour ce probleme, il est recommande d’utiliser une feuille quadrillee pour y reporter les

resultats trouves au fur et a mesure. En aucun cas le dessin ne servira de justification ni ne

sera corrige.

1. Determiner une equation cartesienne canonique du cercle γ de centre X = (−1 ,−3)

et comprenant le point A = (4 , 8).

2. Determiner une equation cartesienne canonique des droites suivantes :

2.a) t1, droite tangente a γ en A.

2.b) t2 et t3, droites tangentes a γ issues de Y = (5 , 13).

Si ce point n’est pas realise, on prendra pour la suite de l’exercice les droites

11x+ 5y + 72 = 0 et 5x− 11y − 174 = 0.

3. Montrer que t2 et t3 sont perpendiculaires entre elles, sachant que t2 est la tangente de

pente positive.

4. Determiner une equation cartesienne canonique des droites suivantes :

4.a) d1, droite parallele a t1 comprenant le point B = (9 ,−25).

4.b) d2, droite perpendiculaire a t2 comprenant B.

5. Montrer que d2 est la droite de support d’un diametre de γ.

6. Determiner les coordonnees du point symetrique de B par rapport a X .

On l’appellera C.

7. Calculer l’aire du triangle CBY .



Probleme 2 [15 pts]

Au gymnase d’Yverdon, chaque enseignant possede au moins un casier.

Parmi les 213 casiers disponibles, 72 se trouvent en salle des maitres (SDM).

Ces 72 casiers sont disposes comme ci-dessous, la rangee du bas etant constituee de casiers

plus grands que les autres, qualifies de petits.

Les casiers de la SDM sont numerotes de 1 a 72.

Les casiers hors SDM - de tailles differentes - sont numerotes de 73 a 213.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

Partie 1 [2 points]

Questions concernant madame Allard qui possede un seul casier.

Calculer la probabilite des evenements suivants :

A = Madame Allard a son casier en SDM.

B = Madame Allard a un grand casier en SDM.

C = le casier de Madame Allard a un bord commun avec le numero 13 (non compris le

casier numero 13 lui-meme).

Partie 2 [5 points]

Questions concernant cinq enseignants qui possedent un seul casier chacun.

Calculer la probabilite des evenements suivants :

A = les 5 enseignants ont leur casier en SDM.

B = exactement 2 casiers de ces enseignants sont en SDM.

C = au moins un des 5 casiers de ces enseignants est en SDM.

Suite a la page suivante →



Partie 3 [8 points]

Situation concernant uniquement les enseignants ayant deja un casier en SDM.

Un enseignant ayant un premier casier en SDM peut faire la demande d’un second (toujours

en SDM), mais n’est pas assure de l’obtenir.

◦ Si un enseignant a deja un petit casier,

⋆ il peut en avoir un second petit avec une probabilite de 33%.

⋆ il peut en avoir un second grand avec une probabilite de 15%.

◦ Si un enseignant a deja un grand casier, il peut en avoir un second petit avec une

probabilite de 12%.

◦ La probabilite d’avoir 2 grands casiers est de 2 %.

1. Illustrer la situation par un arbre de probabilites complet.

2. Calculer la probabilite des evenements suivants :

A = un enseignant qui a deja un grand casier ne recoit pas de second casier.

B = un enseignant possede 2 petits casiers.

C = un enseignant possede 2 casiers de tailles differentes.

D = un enseignant n’ayant pas de second casier possede initialement un petit casier.



Probleme 3 [14 pts]

La fonction N(t) ci-dessous modelise l’evolution du nombre de plantes non touchees par une

maladie au temps t.

N(t) = 1000ekt−3

t

ou :

- t represente le nombre de mois ecoules depuis l’observation.

(Le modele n’est valable qu’a partir de t ! 0, 24),

- k represente une constante liee au type de plantes analysees,

- N represente le nombre de plantes saines au temps t.

Repondre aux questions suivantes en justifiant par calcul :

1. Au debut de l’observation, soit au temps t = 0, 24, le nombre de plantes etait de 210.

Utiliser ces informations pour determiner la valeur de la constante k (arrondir a deux

decimales, soit un seul chiffre significatif).

Reecrire la fonction N(t) avec la valeur de cette constante.

Si l’on n’a pas pu determiner la valeur de k, continuer avec k = 0, 09.

2. Calculer le nombre de plantes saines apres 10 mois.

3. Que se passerait-il si t se rapprochait de 0 ?

Commenter en justifiant mathematiquement.

4. Apres combien de temps le nombre de plantes a-t-il ete le plus bas ?

Quel etait ce nombre ?

5. D’apres ce modele, que va-t-il se passer a long terme ?

Commenter en justifiant mathematiquement.



Probleme 4 [11 pts]

Soit la fonction

f(x) =x3 − x2 − 2x

x3 − 4x2 + 4x.

Determiner une equation de chacune de ses asymptotes, les coordonnees des trous (point-

limite) et la position de la courbe relativement a ses asymptotes. Toute reponse doit etre

justifiee.

Probleme 5 [8 pts]

Les questions suivantes sont independantes les unes des autres.

a) [3 pts]

Determiner l’equation de la tangente a la courbe de f(x) = ln(3x2 − 11) au point

d’abscisse a = 2.

b) [2 pts]

La famille Martin est composee d’un papa, une maman, deux filles et trois garcons. Ils

partent en vacances dans leur bus 9 places reparties sur trois rangees de meme taille.

De combien de manieres peuvent-ils s’asseoir si la place du conducteur est forcement

occupee par un parent ?

c) [3 pts]

Calculer l’integrale suivante

∫2

1

10x+ 5

(x2 + x)2dx



Probleme 6 [8 pts]

Un designer qui aime les mathematiques decide de creer un vase a partir des fonctions f et

g.

Il obtient ce vase par la rotation de leur graphe autour de l’axe des abscisses.

• Le fond du vase est delimite par la droite x = 1.

• Le haut du vase par l’intersection des fonctions f et g.

• La surface interieure est determinee par le graphe de g et la surface exterieure le graphe

de f .

Les fonctions f et g sont definies par

f(x) =√x+ 2 et g(x) = a(x− 1)2, x ! 0, a ∈ R.

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

0

f

g

a) Determiner la valeur de a telle que les graphes des fonctions f et g s’intersectent au

point d’abscisse 7. Si vous ne trouvez pas a utilisez a =2

15, qui n’est pas la valeur

correcte, pour les points 2. et 3. du probleme.

b) Calculer le volume d’eau qu’il est possible de mettre dans le vase.

c) Calculer le volume de verre necessaire a la creation du vase, sachant qu’il est constitue

d’un bloc massif de verre.



Nom : ................................................... Prénom : ...................................................

Examen de maturité gymnasiale

à l’École de Maturité

Juin 2019

MATHÉMATIQUES NIVEAU STANDARD 3M

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio

fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :


2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solu-

tions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera at-

tribué.

Barème :5 · (nombre de points)

58+1


Page 1 sur 6 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de maturité 2019

Mathématiques

3M niveau standard

Problème 1 (11 point)

Petites questions (on demande à chaque fois une justification algébrique soigneusement rédigée)

a) (3 points)

Le graphe de la fonction f (x) =x2 +4x −27

3x −6admet une asymptote oblique.

Déterminer l’équation de cette asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à

cette asymptote oblique.

b) (1 point)

Résoudre l’équation 3x2 = 5 .

c) (2 points)

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe y(x) = x · ln(x) au point d’abscisse a = e .

d) (2 points)

On achète une voiture neuve 38’000 CHF. Elle perd chaque mois 2 % de sa valeur. Après

combien de mois ne vaudra-t-elle plus que 14’700 CHF?

e) (3 points)

Dans la figure ci-dessous, le point P est un point mobile du segment AB de longueur 4. On

considère l’aire totale formée par le triangle rectangle isocèle et le carré. Pour quelle valeur

de x cette aire totale est-elle minimale?

Indication : Quand le point P bouge, le triangle rectangle reste isocèle et le carré reste un carré.

xA P

C

E D

B



Mathématiques

3M niveau standard

Problème 2 (10 points)

Après avoir perdu tous ses paris lors de la Coupe du monde de football de 2018, une personne

veut procéder à quelques calculs pour se préparer au Championnat d’Europe de football qui

aura lieu en 2020.

Les parties A et B sont indépendantes.

(A) La première phase de cette compétition est formée de 6 groupes de 4 équipes. Dans chaque

groupe, chaque équipe joue une fois contre les trois autres équipes de son groupe.

a) (1 point)

Déterminer le nombre de matchs joués dans cette première phase.

b) (1 point)

Chaque match de cette première phase a trois issues possibles (soit une équipe gagne,

soit l’autre équipe gagne, soit les équipes font match nul). Si chaque issue est équipro-

bable pour tous les matchs, quelle est la probabilité de pronostiquer correctement tous

les matchs de cette phase?

c) (1 point)

Quelle est la probabilité de pronostiquer correctement tous les matchs du premier groupe?

(B) Pour la deuxième phase de cette compétition, il ne reste que 4 équipes : la France, la Croatie,

la Suisse et la Belgique. Cette deuxième phase a lieu en 3 étapes : le jeudi se déroule la pre-

mière demi-finale France-Croatie, le vendredi la deuxième demi-finale Suisse-Belgique et le

dimanche la finale avec les gagnants de chaque demi-finale. A ce niveau de la compétition, le

match nul n’est pas possible. Le tableau, ci-dessous, qui se lit de gauche à droite en montant,

reprend les probabilités de gagner les différentes confrontations directes.

↗ de gagner contre France Croatie Suisse BelgiqueFrance \ ... ... ...Croatie 0.39 \ ... ...Suisse 0.28 0.58 \ ...

Belgique 0.59 0.36 0.63 \

d) (4 points)

Quelle est la probabilité que la Suisse gagne la finale?

(Indication : on peut établir un arbre de probabilité avec une étape par jour de match)

e) (1 point)

Si la Suisse se retrouve en finale avec la Croatie, quelle est la probabilité que la Suisse

soit championne d’Europe?

f) (2 points)

Déterminer la probabilité de gagner pour chaque équipe de cette deuxième phase.

Quelle est l’équipe favorite du tournoi ?



Mathématiques

3M niveau standard


Soit un cercle Γ1 dessiné ci-dessous,

a) (1 point)

Donner l’équation du cercle, en sachant que le rayon r1 et les coordonnées du centre C1 du

cercle sont des valeurs entières.

b) (1 point)

On considère la droite d passant par les points A(−3;−1) et B(11;6). Calculer une équation

paramétrique de la droite d .

c) (1 point)

A partir de l’équation paramétrique trouvée au point précédent, montrer que

−x +2y −1= 0 est une équation cartésienne de d .

d) (1 point)

A quelle distance de la droite d se trouve le centre C1 du cercle Γ1 ?

e) (3 points)

Calculer les coordonnées des points d’intersection entre d et Γ1.

f) (2 points)

Déterminer le centre C2 et le rayon r2 du cercle Γ2 : x2 + y2 +18x −12y = −100 et ensuite le

dessiner.

g) (4 points)

Calculer les équations des tangentes au cercle Γ2 passant par le point A(−3;−1).

h) (2 points)

Montrer que le triangle AC1C2 est rectangle et calculer son aire.

−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Γ1



Mathématiques

3M niveau standard


Considérons la fonction suivante :

f (x) = ex

x−2

a) (1 point)

Donner l’ensemble de définition de la fonction f .

b) (1 point)

Déterminer le signe de la fonction f .

c) (4 points)

Calculer une équation de chacune de ses asymptotes.

d) (3 points)

Montrer que la dérivée vaut f ′(x) =−2

(x −2)2· e

xx−2 et étudier la croissance de f .

e) (3 points)

Tracer, ci-dessous, le graphe de la fonction.

−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14



Mathématiques

3M niveau standard


Considérons la parabole représentée ci-dessous, dont le sommet se situe en (1;32). On donne

également A = (−3;0), B = (5;0) et C = (0;30), trois points de la parabole.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−5

5

10

15

20

25

30

S

A B

C

a) (2 points)

Déterminer une équation de la parabole.

(Indication : après calculs, vous trouverez y =−2x2 +4x +30)

b) (2 points)

Considérons la droite d : y = 4x +22. Calculer les coordonnées des points d’intersection de

la droite d avec la parabole.

c) (3 points)

Calculer l’aire de la surface grisée.

d) (3 points)

On considère le domaine plan D délimité par la droite d , l’axe Ox et les verticales x =−2 et

x = 2. Déterminer le volume du solide de révolution obtenu par la rotation de D autour de

l’axe Ox.



Mathématiques

3M niveau standard

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Examens de maturité gymnasiale

à l’École de Maturité

Juin 2018

MATHÉMATIQUES NIVEAU STANDARD 3M

Durée : 240 minutes

Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avec l’épreuve.

Calculette sans écran graphique ne permettant pas

le calcul formel, la résolution automatique

d’équations, le calcul intégral ou le calcul matriciel.

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :


2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solutions sur les

feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

Gymnase d’Yverdon

Maturité juin 2018Page 1/9

Mathématiques

3M niveau standard

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 1 [4 points]

(1) Calculer

∫2x −2

(x2 −2x −1)3dx

(2) Donner les limites limx→−∞

h(x) et limx→+∞

h(x) en justifiant vos réponses.

(3) Montrer par calcul que h′(x) =−4x e−2x .

(4) Etudier la croissance de la fonction h.

(5) Calculer les coordonnées des éventuels extrema de la fonction h.

(6) Esquisser le graphe de la fonction h dans le système d’axes ci-dessous.

x

y

−3|

−2|

−1|

1|

2|

3|

4|

5|

1 –

2 –

−3 –

−2 –

−1 –


On donne le système d’axes ci-dessous dans lequel est dessinée la parabole P d’équation

(P) : y =1

8x2 −

7

2x +32

Gymnase d’Yverdon


Mathématiques

3M niveau standard

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

x

y

−8|

−6|

−4|

−2|

2|

4|

6|

8|

10|

12|

14|

16|

18|

20|

22|

24|

2 –

4 –

6 –

8 –

10 –

12 –

14 –

16 –

18 –

20 –

22 –

24 –

−4 –

−2 –

La question (11) peut être résolue indépendamment des questions précédentes.

(1) Dessiner au fur et à mesure tous les objets géométriques de ce problème dans ce système d’axes.

(2) Déterminer le centre et le rayon du cercle γ d’équation x2 + y2 −24x −32y +320 = 0. Vous devez

obtenir un rayon égal à 4"

5. De plus, le point de coordonnées D(4;20) est situé sur le cercle.

(3) Calculer une équation cartésienne de la tangente t au cercle γ au point D.

(4) Vérifier par calcul que la droite t passe par le point de coordonnées E (−8;−4).

(5) Calculer une équation cartésienne de la deuxième tangente s à γ passant par le point E . La pre-

mière tangente est la droite t .

(6) Vérifier par calcul que la droite s passe par le point de coordonnées B (16;8).

(7) Calculer une équation cartésienne de la droite d perpendiculaire à t et passant par le point D.

(8) Calculer les coordonnées du deuxième point d’intersection G de la droite d avec le cercle γ. Le

premier est le point D.

(9) De quelle nature (isocèle, équilatéral, rectangle) est le triangle DBG ? Justifier clairement votre ré-

ponse.

(10) Calculer l’aire du triangle DBG .

(11) Calculer l’aire du domaine plan borné compris entre la parabole P et le segment BD.

Gymnase d’Yverdon


Mathématiques

3M niveau standard

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................


Bruno et Julien jouent au jeu de société « Jamaïca », dans lequel des bateaux pirates s’affrontent. Lors-

qu’un joueur attaque le bateau de son adversaire, l’issue du « combat » se décide à l’aide de deux lancers

de dé. Le dé utilisé comprend cinq faces numérotées de 2 à 6 et d’une sixième face marquée d’une étoile.

Déroulement du combat :

• L’attaquant lance le dé et note la valeur obtenue. Si le dé s’arrête sur l’étoile, il gagne immédiate-

ment et le combat est terminé.

• Le joueur attaqué lance le dé à son tour. Si le dé s’arrête sur l’étoile, il gagne le combat. Sinon, le

joueur ayant obtenu le plus haut score gagne. En cas d’égalité, rien ne se passe (match nul).

Bruno attaque le bateau de Julien.

(1) Vérifier par calcul que la probabilité que Bruno gagne le combat vaut4

9.

(2) Quelle est la probabilité qu’il ne se passe rien (match nul)?

(3) Quelle est la probabilité que Julien gagne le combat?

(4) Si Bruno obtient le score de 4 lors de son lancer, quelle est la probabilité qu’il gagne le combat?

Au cours du jeu, il est possible d’obtenir une carte qui permet à son possesseur, s’il le désire, de relancer

son dé lors d’un combat ou de faire relancer le dé à son adversaire.

Bruno possède cette carte et attaque le bateau de Julien.

(5) Bruno obtient le score de 4 lors de son premier lancer. Il a la possibilité de relancer le dé immédia-

tement. Dans ce cas, c’est le score de son deuxième lancer qui sera utilisé pour définir l’issue du

combat.

Augmente-t-il la probabilité de gagner le combat s’il décide de relancer le dé?

(6) Bruno obtient le score de 4 lors de son premier lancer. Il fait relancer le dé à Julien si celui-ci gagne

le combat. Bruno décide de ne pas faire relancer le dé en cas d’égalité. Quelle est la probabilité que

Bruno gagne le combat?

Gymnase d’Yverdon


Mathématiques

3M niveau standard

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................


Un camping propose 128 bungalows loués à 75.− Frs la journée. Le taux d’occupation moyen du camping

est de 60%. Le propriétaire sait que les coûts fixes journaliers d’exploitation de son camping sont de

2′000.− Frs auxquels il faut ajouter 30.− Frs par bungalow, occupé ou non.

Afin d’améliorer le taux d’occupation du camping, le propriétaire veut investir dans des animations. Une

étude de marché montre que le taux d’occupation T devrait augmenter en fonction du montant x (en

Frs.) investi par jour dans les animations selon la fonction suivante :

T (x) =

#x

200+0,6

Précisions de vocabulaire : le revenu du camping est la somme d’argent payée par les clients du cam-

ping pour la location des bungalows. La rentabilité journalière est la différence entre les revenus et les

dépenses d’une journée.

(1) Montrer que les coûts journaliers d’exploitation du camping sont de 5′840.− Frs, quelle que soit

l’occupation du camping.

(2) Si aucun investissement n’est fait dans les animations, montrer par le calcul que le revenu journa-

lier du camping est de 5′760.− Frs et qu’ainsi le propriétaire perd 80.− Frs par jour.

(3) Quel est le revenu journalier du camping pour un taux d’occupation de 70%?

(4) Quel montant, par jour, doit investir le propriétaire pour espérer que son camping soit complet?

(T (x) = 1)

(5) Quel est le revenu journalier du camping si le propriétaire investit le montant x = 1024.− Frs dans

les animations? Quelle est alors la rentabilité journalière du camping?

(6) Quel montant par jour doit investir le propriétaire dans les animations pour maximiser la rentabi-

lité journalière du camping? Quelle est cette rentabilité maximale?

Gymnase d’Yverdon


Mathématiques

3M niveau standard

GYMNASE DE NYON Session d’août 2020

Mathématiques(Niveau standard)

Examen de maturité Durée : 4 heures

Matériel autorisé : calculatrice (sans couvercle) parmi les modèles suivants :TI 30 ECO RS, TI 30 XII S, TI 30 XII B, Casio Fx 82 solaire ;formulaire o�ciel mis à disposition ;matériel de géométrie usuel.


Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les cercles “ : x2 + y2 ≠ 10x + 4y + 13 = 0et “ Õ : (x ≠ 3)2 + (y ≠ 2)2 = 4 ainsi que le point A(1; 6).

a) Montrer que le point C(5 ; ≠2) est le centre du cercle “ et que son rayon est r = 4.b) Déterminer une équation de la droite passant par les points A et C.c) Déterminer une équation de chacune des tangentes s et t au cercle “ Õ issues de A.

Si vous n’avez pas réussi la partie c), on donne une équation d’une des tangentes : x = 1.

d) Montrer que les droites s et t sont également tangentes à “ et déterminer les coordonnéesd’un des points de tangence S ou T de ces droites avec “.

e) Calculer l’aire du quadrilatère ATCS.


Dans une école pour petites filles rêveuses, 70% des élèves ont un ami imaginaire.Lorsqu’une des élèves de cette école a un ami imaginaire, il s’agit d’un lion dans 50% des cas,d’un poney dans 35% des cas et d’un castor le reste du temps.Quand l’ami imaginaire est un lion, il a des ailes sept fois sur dix. Pour les poneys, c’est le castrois fois sur sept et cette proportion devient une fois sur six pour les castors.

a) Quelle est la probabilité qu’une élève ait un ami imaginaire qui soit un castor ?b) Quelle est la probabilité qu’une élève ait un ami imaginaire ailé ?c) Si on sait qu’une élève a un ami imaginaire, quelle est la probabilité que ce dernier soit

ailé ?d) Quelle est la probabilité qu’une élève ait un castor comme ami imaginaire, sachant que

ce dernier est ailé ?On interroge maintenant tour à tour six élèves de cette école pour savoir si elles ont un amiimaginaire.

e) Quelle est la probabilité qu’exactement deux de ces élèves aient un ami imaginaire ?f) Quelle est la probabilité qu’au moins une de ces élèves ait un ami imaginaire ?

1 / 4


Soit f la fonction définie par f(x) = x2 + 3x ≠ 102x2 + 6x

.

a) Étudier f selon le plan de la page 8 du formulaire.b) Soit g la fonction définie par g(x) = ef(x). Esquisser ci-dessous le graphe de g, déduit de

celui de f (une étude complète de g n’est pas demandée).

0�5 5 10

5

10

15

20 y

x

2 / 4


Soit une sphère de centre C et de rayon 5. On souhaite y inscrire un cylindre de volume maximal,comme représenté sur la figure en coupe ci-dessous.Soient R le rayon de la base du cylindre et – l’angle d’élévation du cylindre.

a) Montrer que le volume du cylindre s’écrit, en fonction de l’angle – :

V (–) = 250fi cos2(–) sin(–).

b) Déterminer l’angle – pour lequel le cylindre aura un volume maximal.

3 / 4


Soit f la fonction définie par f(x) = 1 + 2x ≠ 1 , dont le graphe est représenté ci-dessous.

a) Déterminer une équation de la tangente au graphe de f au point d’abscisse x = 5.b) Calculer les coordonnées du point d’intersection du graphe de f et de la droite d’équation

y = 2.c) Calculer l’aire du domaine borné limité par le graphe de f et les droites d’équations

x = 2, x = 5 et y = 2.d) Calculer le volume du solide engendré par la révolution autour de l’axe Ox du domaine

borné limité par le graphe de f et les droites d’équations x = 2, x = 5 et y = 0.

4 / 4

Gymnase de Morges

Examen de Maturité Juin 2021 3M

Mathématiques niveau Standard

Durée : 240 minutes.

Consignes : Résoudre chaque problème sur une feuille double différente. À l’exceptiondes figures d’étude et des graphiques, l’épreuve doit être rédigée à l’encre.Les annotations sur les feuilles d’énoncé sont autorisées, mais elles neseront pas prises en considération.

Matériel autorisé : Calculatrice non programmable, sans graphique ni calcul symbolique.

L’un des deux formulaires suivants :– Formulaire mathématique de base (avec annotations uniquement sur

les deux pages centrales).

– Formulaires et tables CRM (sans annotations).


Soit la fonction f définie par

f (x) = x3 +14x

x2 °4

1.1 Donner l’ensemble de définition, les zéros et le tableau des signes de f .

1.2 Déterminer les équations de toutes les asymptotes de f , ainsi que la position de la courbede f par rapport à une éventuelle asymptote oblique ou horizontale.

1.3 Montrer que la dérivée de f est donnée par

f 0(x) = x4 °26x2 °56

(x2 °4)

2

1.4 Établir le tableau de croissance de f , et calculer les coordonnées de ses extremums.

1.5 Tracer le graphe de f .

1/4


On considère le point A(°7;18), le cercle ° d’équation

(°) : x2 + y2 °10x °4y °115 = 0

ainsi que la droite t d’équation

(t ) : 7x +24y °383 = 0

2.1 Calculer les coordonnées du centre M de °, ainsi que son rayon r .

2.2 Montrer par calcul que le point A est situé sur la droite t .

2.3 Montrer par calcul que la droite t est tangente au cercle °.

2.4 Le cercle ° est inscrit dans un losange dont l’un des sommets est le point A. Donner leséquations des diagonales de ce losange, et calculer les coordonnées de ses sommets.


3.1 Calculer l’aire grisée représentée sur l’esquisse suivante :

x

y

O 1 7

y = x +3

y = x2 °7x +10

3.2 Résoudre les équations suivantes :

a ) sin

2

≥x ° º

3

¥= 1

4

b ) 2cos(x) ·°1+cos(x)

¢= 0

GYMNASE DE MORGES – EXAMEN DE MATURITÉ – MATHÉMATIQUES NIVEAU STANDARD – JUIN 2021 2/4

3.3 Soit la fonction f définie par f (x) = ln(x)

x2 °9

.

a ) Déterminer l’ensemble de définition et les zéros de f .

b ) Calculer lim

x!+1f (x).

c ) Calculer la limite de la fonction f lorsque x tend vers 0 depuis la droite.

3.4 On dispose de cinq disques numérotés de 1 à 5.

a ) De combien de manières différentes peut-on empiler trois de ces cinq disques?

b ) Même question si les disques doivent être empilés dans l’ordre croissant, c’est-à-direqu’un disque ne peut être posé sur un autre que si son numéro est plus grand.

3.5 On doit coller les quatre autocollants carrés ci-dessous sur les quatre emplacements (gri-sés) d’une carte carrée. Combien de cartes différentes peut-on ainsi créer?

=)


À la suite d’une épidémie de grippe dans une ville, de nombreux habitants ont été contaminés.La fonction N ci-dessous donne la proportion d’habitants malades, x semaines après le débutde l’épidémie :

N (x) = ex(40°ex

)

1000

, 0 ∑ x ∑ 3,5

4.1 Quelle est la proportion de personnes malades 7 jours après le début de l’épidémie?

4.2 Combien de semaines après le début de l’épidémie 33,6% de la population est-elle ma-lade?

4.3 Combien de temps après le début de l’épidémie la proportion de personnes maladesest-elle maximale?



Dans la célèbre école de magie Poudlarcelin, les apprentis sorciers sont répartis au hasarddans trois maisons. Au moment de passer les examens de fin d’année, les proportions sontles suivantes : 45% des apprentis sorciers sont à Hippogriffargent, 25% à Pattedecanard etle reste à Lézartôt. On constate alors qu’un tiers des élèves de la maison Hippogriffargentéchoue à l’examen des potions, tandis que cette proportion est seulement d’un huitième chezles élèves de Lézartôt. On sait de plus qu’un quart des élèves de première année échoue àcet examen.

5.1 Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard soit à Lézartôt et ait réussi l’examendes potions?

5.2 Quelle est la probabilité qu’un élève ayant réussi l’examen des potions appartienne à lamaison Hippogriffargent?

5.3 Quelle est la proportion des élèves de la maison Pattedecanard qui a échoué à l’examendes potions?

Barry Looper, apprenti sorcier à Poudlarcelin, s’apprête à passer son examen de vol sur unbalai. Il n’est pas très confiant car, lors de ses entraînements, il n’arrive à décoller que dans55% des cas.

5.4 Pour réussir son examen, Barry doit décoller au moins 4 fois en 5 tentatives. Quelle est laprobabilité qu’il y parvienne?

5.5 Combien de tentatives seraient nécessaires à Barry pour qu’il soit sûr à plus de 99% dedécoller au moins une fois?


Gymnase de Chamblandes

Av. des Desertes 29Case Postale 1751009 Pully

Examens ecritsSession de juin 2021

Ecole de maturite

Epreuve de

MATHEMATIQUES NIVEAU STANDARD

Nom :

Prenom :

Classe :

Duree de l’epreuve : 240 minutes.

Materiel autorise : Formulaire officiel non annote et calculatrices agreees selon la liste officielle.

Consigne : Les problemes doivent etre presentes et rediges soigneusement.Les calculs doivent etre detailles.

Gymnase de Chamblandes 1/3


Soit la fonction f définie par f(x) =3 x3

− 6 x

x2− 3

.

a) Déterminer l’ensemble de définition de f , son signe et les équations de ses asymptotes.

b) Vérifier que la dérivée de f est donnée par l’expression f ′(x) =3 (x2

− 6) (x2− 1)

(x2− 3)2

.

c) Déterminer la croissance de f et les coordonnées des extrema de f .

d) Sur une nouvelle page, esquisser le graphe de f à l’échelle 1 unité = 2 carrés = 1 cm.

Problème 2 (14 points)Les questions suivantes sont indépendantes.

a) Soient les fonctions f et g définies par

f(x) = sin(x) et g(x) = cos(x).

Esquisser leur graphe sur l’intervalle [0; 2 π]. Déterminer l’aire de la région limitée par lescourbes y = f(x), y = g(x), x = 0 et x = π (on demande la valeur exacte).

b) Déterminer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la région limitéepar les courbes

y = 5 − x2 et y = 1

autour de l’axe des x (on demande la valeur exacte).

Problème 3 (8 points)Le parallélogramme EFGH est inscrit dans un rectangle ABCD de dimensions 30 cm × 60 cmde sorte que BE = 2BF. On pose x = BF et 2x = BE.Quelle est l’aire maximale de ce parallélogramme ? Que vaut alors x ? Justifier.

A B

CD

E

F

G

H

x

2x

30

60

Maturité Chamblandes 2021 mathématiques niveau standard page 2/3

Problème 4 (21 points)Dans un repère orthonormé, on considère le point A(−3 ; −2) et le cercle Γ d’équation

x2 + y2− 2 x − 16 y + 7 = 0.

a) Déterminer les coordonnées du centre C et le rayon r du cercle Γ.

b) Montrer que A est extérieur au cercle Γ et déterminer la plus courte distance d’un pointde Γ au point A.

c) Déterminer une équation cartésienne de m, la médiatrice du segment [AC].

d) Soient B et D les points d’intersection de m et Γ. Vérifier que B a pour coordonnées (4 ; 1)et déterminer celles de D.

e) La droite (AD) a pour équation 7 x+3 y+27 = 0. Montrer qu’elle est tangente au cercle Γ.

f) Déterminer l’équation cartésienne de la droite (AB).

g) La droite (AB) est tangente au cercle Γ. Déterminer l’équation de la droite t parallèleà (AB) et également tangente au cercle Γ. On nommera T le point de tangence et F

l’intersection de t avec (AD) (on ne demande pas leurs coordonnées).

h) Déterminer la nature du quadrilatère ABTF et calculer son aire.

Problème 5 (17 points)La plupart des articles commercialisés sont identifiés par un code à 13 chiffres traduit sousforme de code-barres pour la saisie informatique.

Le dernier chiffre est une clef de contrôle qui permet de détecter les éventuelles erreurs de saisiepar des humains ou par des capteurs électroniques.

D’après les données statistiques, les erreurs de saisie se répartissent exclusivement selon lestypes ci-dessous :

• un seul chiffre faux : 60%,

• inversion de deux chiffres : 10%,

• ajout ou oubli d’un chiffre : 30%.

La clef de contrôle détecte toute erreur portant sur un seul chiffre. L’inversion de deux chiffresest détectée 8 fois sur 9, un mauvais nombre de chiffres 9 fois sur 10.

Pour la suite, nous nous intéressons uniquement aux cas où une erreur s’est produite.

a) Représenter la situation par un arbre.

b) Vérifier que la probabilité qu’une erreur soit détectée vaut 95,8%.

c) La clef de contrôle a détecté une erreur, quelle est la probabilité qu’un seul des chiffressaisis soit faux ?

d) Sachant que le code saisi a le bon nombre de chiffres, quelle est la probabilité que la clefde contrôle détecte une erreur ?

On vérifie dix codes à l’aide de la clef de contrôle.

e) Calculer la probabilité que la clef de contrôle détecte exactement huit codes présentantune erreur.

f) Calculer la probabilité que la clef de contrôle ne détecte pas d’erreur sur au moins l’undes dix codes.

Maturité Chamblandes 2021 mathématiques niveau standard page 3/3

Gymnase de Burier

Case postale 96Rte de Chailly 1701814 La Tour-de-Peilz

EXAMEN ÉCRIT DE L’ÉCOLE DE MATURITÉ

JUIN 2021

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Niveau Standard

Nom : Prénom : Classe :

Durée de l’épreuve : 4 heures

Consignes : Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés

Matériel autorisé : Formulaires officiels non annotés

Calculatrice : TI 30 ECO RS

Page 1/??

Gymnase de Burier École de Maturité


Un marchand de glaces souhaite réaliser un logo pour son enseigne. Ce dernier représentera,comme le montre la figure ci-dessous, un cornet surmonté de deux boules de glace, l’unechocolat et l’autre vanille.

Aidez-le à réaliser ce logo en suivant les étapes suivantes :

a) La boule chocolat sera délimitée par le cercle α d’équation cartésienne(α) : x2 + y2

− 12x − 16y + 92 = 0Déterminer son centre C et son rayon r.

b) Le cône en biscuit sera quant à lui délimité par les tangentes t et s à α issues du pointA(−2 ; −4).Déterminer une équation cartésienne pour chaque tangente.Remarque : nommer t la tangente d’ordonnée à l’origine négative.

En cas de doute : prendre pour la suite du problème (t) : x − y − 2 = 0

c) Déterminer une équation cartésienne de la parallèle p à t passant par P (6 ; 13).

d) La boule vanille sera délimitée par le cercle β centré sur AC et tangent à p en P .Déterminer une équation cartésienne de β.

Mathématiques niveau standard, juin 2021 Page 2/??



Soit la fonction f définie par : f(x) =x3

− 5x2

x2 + 2x + 1

a) Déterminer l’ensemble de définition de f .

b) Étudier le signe de f .

c) Déterminer, par calculs, une équation pour chacune des asymptotes de f .

d) Montrer que f ′(x) =x3 + 3x2

− 10x

(x + 1)3

e) Étudier la croissance de f et déterminer les coordonnées de chaque extremum.

f) Lequel de ces quatre graphes correspond à la fonction f ? Justifier votre choix.

x

ygraphe 1

x

ygraphe 2

x

ygraphe 3

x

ygraphe 4

g) Déterminer une équation de la tangente t au graphe de f par le point T d’abscisse 3.

h) On admet que la fonction f peut être donnée aussi par f(x) = x − 7 +13

x + 1−

6(x + 1)2

Calculer l’aire géométrique du domaine fermé délimité par le graphe de f et l’axe Ox.




Une usine fabrique et commercialise des clés USB. Sa capacité mensuelle de production estcomprise entre 400 et 900 clés USB. On suppose que toute la production est commercialisée.Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers de CHF, réalisé pour la production et la vente dex clés USB est modélisé par la fonction f définie par :

f(x) = −x

50+ 20 − e−

x

50+10 avec x ∈ [ 400 ; 900 ]

a) Montrer que le bénéfice mensuel réalisé par cette usine lorsqu’elle produit et vend 900clés USB est de 2′000 CHF lorsqu’on l’arrondit au CHF près.

b) Déterminer le nombre de clés USB que l’usine doit produire pour obtenir un bénéficemensuel maximal et déterminer ce bénéfice.


Cette année, l’affiche de la fête des couleurs sera une grappe de douze ballons colorés. Il yaura quatre ballons rouges, trois jaunes, trois bleus et deux verts.

Un groupe de trois enfants doit colorier cette affiche.

a) Le premier enfant choisit trois ballons qu’il colorie en bleu.Combien de possibilités a-t-il de les choisir ?

b) Le deuxième enfant choisit, parmi les neuf ballons restants,trois ballons qu’il colorie, l’un en rouge, l’autre en jaune etle dernier en vert.Combien de possibilités a-t-il de les choisir ?

c) Le troisième enfant colorie les six ballons restants en res-pectant le solde des couleurs, c’est-à-dire trois rouges, deuxjaunes et un vert.Combien de possibilités a-t-il de les colorier ?




Un sac contient 3 boules rouges et 5 boules bleues.

a) On tire simultanément 3 boules de ce sac.

1) Quelle est la probabilité de tirer les 3 boules rouges ?

2) Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule rouge ?

3) On répète ce tirage 30 fois.Vérifier que la probabilité d’obtenir au moins une fois les 3 boules rouges est supérieureà 40%.

b) On tire successivement 3 boules de ce sac en replaçant la boule dans le sac uniquementlorsqu’elle est bleue.

1) Représenter les 3 étapes de ce tirage aléatoire par un arbre.

2) Quelle est la probabilité de tirer les 3 boules rouges ?

3) Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule rouge ?

4) Quelle est la probabilité que la dernière boule tirée soit rouge ?

5) Sachant que la dernière boule tirée est rouge, quelle est la probabilité d’avoir tiréexactement une boule rouge lors des deux premiers tirages ?


1/5

GYMNASE DE BEAULIEU

Examen de l’école de maturité

Session d’août 2020

Mathématiques, niveau standard


Durée : 240 minutes Nombre de pages : 5 Matériel autorisé : Machine à calculer agréée. Formulaire distribué. Consignes : Une présentation propre et soignée est demandée.

Il est indispensable de poser tous les calculs permettant la résolution d’un problème.

Problème 1 : 22 points Problème 2 : 13 points Problème 3 : 6 points Problème 4 : 16 points Problème 5 : 9 points Problème 6 : 11 points Total : 77 points


Gymnase de Beaulieu, examen de l’école de maturité, session d’août 2020 Mathématiques, niveau standard 2/5

Problème 1 (22 pts)

On considère la fonction ! définie par ! ! = !!!!!!!!! ! .

a) Déterminer l’ensemble de définition de !. b) Calculer les zéros de ! et étudier son signe. c) Calculer les équations des asymptotes de ! et déterminer la position

relative du graphe de ! par rapport à ces asymptotes.

d) Montrer par des calculs détaillés que !′ ! = !3+3!2−4!!+1 3 .

e) Etudier la croissance de ! et calculer les coordonnées de ses extrema éventuels.

f) Dessiner le graphe de ! et ses asymptotes dans le système d’axes ci-dessous.



Problème 2 (13 pts) On considère la fonction ! définie par ! ! = !!– 2!!!. Les questions ci-après peuvent être résolues indépendamment les unes des autres. a) Déterminer l’équation de la tangente au graphe de ! en son point H(0 ; …). b) Soit le domaine fermé D délimité par le graphe de !, l'axe horizontal et les droites verticales d’équation x = 0 et x = 1. Calculer le volume du solide de révolution obtenu par rotation du domaine D autour de l'axe horizontal. c) Vérifier par calcul que le graphe de ! ne possède pas d’asymptotes horizontales. d) Déterminer par calcul le zéro de la fonction !. Problème 3 (6 pts) On considère un demi-cercle de centre O et de rayon r = 1. On y inscrit un rectangle ABCD avec A et D sur l’axe horizontal, B et C sur le cercle. On note ! l’angle aigu AOB.

a) Montrer que le périmètre du

rectangle ABCD s’exprime à l’aide de la fonction ! définie par : ! ! = 4 cos ! + 2sin(!)

b) Déterminer la valeur de l’angle !, en degrés, qui permet d’obtenir un rectangle de périmètre maximal.



Problème 4 (16 pts) On considère les deux cercles !! et !! suivants : • !! de centre !! 1; 3 et de rayon !! = 20. • !! d’équation cartésienne !! − 22! + !! + 4! + 116 = 0. a) Déterminer le centre !! et le rayon !! du cercle !!. b) Calculer la plus courte distance entre les deux cercles !! et !!. c) Montrer que la droite d : 2!–! + 11 = 0 est tangente au cercle !!. d) Déterminer les équations cartésiennes des tangentes au cercle !! issues du point ! 1; 13 . e) Déterminer les équations cartésiennes des parallèles situées à distance 3 5 de la droite d. f) Vérifier que A(3 ;2) est sur l’une de ces parallèles. g) Calculer les coordonnées de A’, qui est le symétrique du point A relativement à la droite d.



Problème 5 (9 pts) On dispose de 8 jetons numérotés de 1 à 8 : 1 2 3 4 5 6 7 8 Partie 1 On aligne les 8 jetons pour former des nombres à 8 chiffres. a) Combien de nombres à 8 chiffres peut-on former ? b) Combien de nombres à 8 chiffres peut-on former où le 2 et le 3 sont à côté

l’un de l’autre ?

c) Combien de nombres à 8 chiffres inférieurs à 35'000'000 peut-on former ? Partie 2 Les 8 jetons sont mélangés dans un sac noir. On tire ensuite au hasard 3 jetons du sac simultanément. d) Combien y a-t-il de tirages possibles qui comportent le jeton 1 ?

e) Combien de tirages contiennent exactement 2 jetons pairs ?

f) Combien de tirages contiennent au moins un jeton ayant un chiffre supérieur ou égal à 6 ?

Problème 6 (11 pts) Maxime possède une pièce de cinq francs truquée qui donne « Pile » avec une probabilité de 60% à chaque lancer.

Partie 1 a) Maxime lance 7 fois de suite sa pièce. Quelle est la probabilité qu’il obtienne

exactement 5 fois « Pile » ?

b) Maxime lance 7 fois de suite sa pièce. Quelle est la probabilité qu’il obtienne à chacun de ces lancers un résultat différent du précédent ?

c) Combien de fois, au minimum, doit-il lancer sa pièce pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une fois « Face » soit supérieure à 99.9% ? Justifier la réponse par un calcul détaillé.

Partie 2 Maxime range la pièce truquée dans son porte-monnaie où se trouvent déjà 2 pièces normales (non truquées) de cinq francs. Le lendemain, il choisit une des 3 pièces au hasard puis la lance. d) Représenter l’univers des possibilités par un schéma en arbre et calculer la

probabilité que le résultat du lancer soit « Face ».

e) La pièce lancée donne le résultat « Pile ». Quelle est la probabilité que cette pièce soit la pièce truquée ?

examen de maturit´e gymnasiale juin 2021 `a ’ l ecole de

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