Institut Preparatoire auxEtudes d’Ingenieur de

Monastir

Examen Trimestriel no3Epreuve d’Analyse

Duree: 4H Date: 14 Mai 2012 Classe: MP2

Soit H l’ensemble des applications f : R −→ C de classe C1 et qui verifient t 7−→ t2f(t) ett 7−→ t2f ′(t) sont bornees sur R.Par definition, la transformee de Fourier d’une application f integrable sur R est la fonction noteef definie sur R par

f(x) =

∫ +∞

−∞f(t)e−ixtdt, x ∈ R.

On donne l’integrale de Gauss∫ +∞

−∞e−x2

dx =√π.

Partie I

Soit ϕ l’application definie sur R par ϕ(x) =1√2π

e−x2

2 .

1. (a) Montrer que pour tout entier n, x 7−→ xnϕ(x) est integrable sur R. On note

Mn =

∫ +∞

−∞xnϕ(x)dx.

(b) Calculer M1 et trouver une relation entre Mn et Mn−2.

(c) Deduire l’expression de Mn en fonction de n.

2. (a) Montrer que pour tout reel x, t 7−→ e−itxϕ(t) est inegrable sur R.

(b) En utilisant un theoreme d’integration terme a terme, montrer que

ϕ(x) =+∞∑n=0

(−i)nMn

n!xn = e−

x2

2 , x ∈ R.

3. Pour tout α > 0, on considere la fonction hα : t 7−→ e−α2t2 .

(a) Montrer que, hα(t) =√2πϕ(

√2αt).

(b) En deduire que hα(x) =

√π

αϕ

(x√2α

).

(c) En deduire que hα(x) =

√π

αe−

x2

4α2 .

1

Partie IISoit f et g deux applications continues sur R, on definit, lorsqu’il existe, leur produit de convolu-tion par

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f(t)g(x− t)dt , x ∈ R.

1. Montrer que si f et g sont dans L2(R), alors f ∗ g est bien definie sur R et quef ∗ g = g ∗ f .

2. Soit a un reel non nul. On considere les fonctions definies sur R par

fa : x 7−→ 1

x− iaet ga : x 7−→ 1

π

a

a2 + x2.

(a) Montrer que pour tout b ∈ R∗, fa ∗ fb est bien definie sur R.

(b) Verifier que la fonction t 7−→ 1

2ln(t2 + a2) + i arctan

(t

a

)est une primitive fa.

(c) En deduire que fa ∗ fb =

{0, si ab < 0

2iπa

|a|fa+b, si ab > 0

(d) Verifier que ga =1

2iπ(fa − f−a), en deduire que ga ∗ ga = g2a.

3. Soient u et v deux elements de H .

(a) Montrer que u ∗ v est bien definie sur R.

(b) Montrer que l’application x 7−→ (u ∗ v)(x) est de classe C1 sur R et que l’on a(u ∗ v)′(x) = (u′ ∗ v)(x).

(c) Montrer qu’il existent deux constantes positives K1 et K2 telles que pour toutreel x, on a

|u ∗ v(x)| ≤ K1g2(x) et |(u ∗ v)′(x)| ≤ K2g2(x).

(d) En deduire que u ∗ v est un element de H .

(e) En admettant qu’on peut permuter les deux integrales, montrer que pour toutreel x, u ∗ v(x) = u(x)v(x).

Partie III1. Soit g ∈ H , on lui associe la suite de fonctions definies par

g0(t) = g(t), gn(t) = g(t+ 2nπ) + g(t− 2nπ) t ∈ R, n ∈ N∗

(a) Montrer que pour tout reel x, la fonction t 7−→ g(t)e−ixt est integrable sur R.

(b) Montrer que la serie de fonctions∑n∈N∗

gn converge uniformement sur tout seg-

ment de R.

On note G la fonction definie, pour tout t ∈ R, par G(t) =+∞∑n=0

gn(t).

2

(c) Montrer que G est une application de classe C1 sur R.

(d) Justifier que la fonction G est 2π-periodique et que ses coefficients de Fourier

complexes sont donnes par ck(G) =1

2πg(k), (k ∈ Z).

(e) En deduire que pour tout reel t, 2πG(t) =+∞∑−∞

g(n)eint.

(f) Etablir la formule sommatoire de Poisson: 2π+∞∑−∞

g(2πn) =+∞∑−∞

g(n).

2. Soient a > 0 et g(x) = e−a|x|.

(a) Montrer que g(x) =2a

a2 + x2.

(b) En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer que

1 + 2+∞∑n=1

e−2πna =1

πa+

2a

π

+∞∑n=1

1

a2 + n2.

(c) En deduire que ∀a > 0, πa coth(πa) = 1 ++∞∑n=1

2a2

a2 + n2.

3. Soit f ∈ H telle que f est integrable sur R. On pose pour a, y ∈ R, la fonctionfa,y(x) = f(a+

x

2π)e−iyx.

(a) Montrer que pour tout n ∈ Z, fa,y(n) = 2πe2iπa(y+n)f(2π(y + n)).

(b) En deduire de la formule sommatoire de Poisson, que

+∞∑−∞

f(n+ a)e−2iπny =+∞∑−∞

f(2π(n+ y))e2iπa(n+y).

(c) Montrer que pour tout entier N ≥ 0,∫ 1

0

N∑n=−N

f(2π(n+ y))e2iπa(n+y)dy =1

2π

∫ 2π(N+1)

−2πN

eiayf(y)dy.

(d) En deduire la formule d’inversion de Fourier: f(a) =1

2π

∫ +∞

−∞f(y)eiaydy.

4. La formule d’inversion de Fourier peut s’exprimer de la maniere suivante: pour tout reel x,

on a 2πf(x) =f(−x).

(a) Soit f et g deux elements de H , montrer que fg ∈ H .

(b) On suppose de plus que f et g appartiennent a H , deduire que 2π(f.g) = f ∗ g.

3

Partie IV : ApplicationsSoient f et g deux elements de H tels que f et g appartiennent aussi a H .

On pose pour tout reel t, F (t) =+∞∑−∞

f(t+ 2πn)g(t+ 2πn).

1. (a) Montrer que ∀t ∈ R, 2πF (t) =+∞∑−∞

fg(n)eint =1

2π

+∞∑−∞

(f ∗ g)(n)eint.

(b) En deduire que ∀n ∈ Z, 2πcn(F ) =

∫ +∞

−∞f(t)g(t)e−intdt =

1

2π

∫ +∞

−∞f(t)g(n− t)dt.

(c) Montrer que pour tout reel t, f(−t) = f(t).

(d) Retrouver alors la formule de Parseval∫ +∞

−∞|f(t)|2 dt = 1

2π

∫ +∞

−∞

∣∣∣f(t)∣∣∣2 dt.2. Montrer que pour tout a > 0,

∫ +∞

0

dt

(a2 + t2)2=

π

2a3.

3. On cherche une solution de l’equation de la chaleur (C):

∂

∂tu(t, x) =

∂2

∂x2u(t, x)

u(0, x) = f(x)

(f ∈ H).

Soit u : R∗+ ×R −→ C telle que les applications x 7−→ u(t, x) et x 7−→ ∂u

∂x(t, x) appartien-

nent a H et t 7−→ u(t, x) est de classe C1 sur R∗+.

On pose pour tout t > 0, ut(s) =

∫ +∞

−∞u(t, x)e−ixsdx.

(a) Soit s ∈ R. Montrer que l’application t 7−→ ut(s). est de classe C1 sur R∗+ et que

∂

∂tut(s) =

(∂

∂tut

)(s).

(b) Montrer que pour tout s ∈ R,∂

∂tut(s) + s2ut(s) = 0 et u0(s) = f(s).

On pose pour tout t > 0 et x ∈ R, Ht(x) =1

2√πt

e−x2

4t .

(c) Montrer que Ht(x) =1

2√πt

h 12√

t(x), en deduire que Ht(s) = e−s2t.

(d) Montrer que si f ∈ H , alors, pour tout (t, s) ∈ R∗+×R, ut(s) = f(s)e−s2t = f ∗Ht(s).

(e) En deduire que (t, x) 7−→ 1

2√πt

∫ +∞

−∞e−

(x−y)2

4t f(y)dy est une solution de (C).

4. (a) En utilisant la formule de Parseval, montrer que∫ +∞

−∞|u(t, x)− f(x)|2 dx =

1

2π

∫ +∞

−∞|f(s)|2

∣∣∣e−s2t − 1∣∣∣ ds.

(b) En deduire que limt−→0+

∫ +∞

−∞|u(t, x)− f(x)|2 dx = 0.

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