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20-1- 2014 J.F.C. Eve p. 1

ALGEBRE BILINEAIRE

I PRODUIT SCALAIRE1. Definitions

2. Caracterisations

3. Premieres proprietes

4. Des exemples

5. Norme euclidienne associee a un produit scalaire

6. Vecteur unitaire

II ORTHOGONALITE

1. Premiers elements

2. Bases orthogonales et bases orthonormales ou orthonormees

3. Orthogonal dun sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidien

4. Un exemple classique

III CONSTRUCTION DE BASES ORTHOGONALES

ET DE BASES ORTHONORMEES

1. Laspect theorique

2. Laspect pratique version 1


4. Dans un concours

IV PROJECTION ORTHOGONALE

1. Definition

2. Premieres caracterisations

3. Expression de la projection orthogonale pF dans une base orthonormee de F

4. Laspect pratique

5. Le theoreme fondamental : la caracterisation dune projection orthogonale par min-imisation de la norme

6. Une remarque importante

7. Une application du theoreme fondamental. Methode des moindres carres

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V ENDOMORPHISMES ET MATRICES SYMETRIQUES

0. Quelques rappels sur les matrices symetriques (resp. antisymetriques)

1. Definition dun endomorphisme symetrique

2. Caracterisation des endomorphismes symetriques3. Quelques proprietes

4. Une nouvelle caracterisation des projections orthogonales

5. Reduction dun endomorphisme symetrique et dune matrice symetrique

6. Laspect pratique de la reduction des endomorphismes et des matrices symetriques

VI SAVOIR FAIRE

VII COMPLEMENTS

1. Egalite dans linegalite triangulaire

2. Matrice dun endomorphisme symetrique des une base orthonormee

3. Une caracterisation des bases orthonormees

4. Un peu plus sur les matrices orthogonales

5. Matrice dun produit scalaire

6. Encore des proprietes des endomorphismes symetriques

7. Caracterisations des matrices symetriques

8. Caracterisation des projections orthogonales again

9. Encadrement de Rayleigh

10. Matrices symetriques positives (resp. definies positives)

11. Racine carree symetrique et positive (resp. definie positive) dune matrice syme-

trique et positive (resp. definie positive) deMn(R)12. Realisation de la distance dun vecteur a un sous-espace dans un espace prehilber-

tien

13. Adjoint dun endomorphisme dun espace vectoriel euclidien

14. Endomorphisme orthogonal

15. Base orthonormee de Rn[X] deduite de la base canonique (1, X, . . . , Xn) de Rn[X] par leprocede dorthonormalisation de Schmidt

16. Decomposition polaire dune matrice inversible deMn(R)17. Decomposition dIwasawa dune matrice inversible deMn(R)18. Decomposition de Cholesky dune matrice symetrique definie positive

19. Theoreme de Courant-Fischer

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20. Endomorphismes antisymetriques

21. Decomposition spectrale dune matrice symetrique

22. Caracterisation des normes euclidiennes

VIII DES ERREURS A EVITER

IX PRATIQUES OU RHETORIQUES USUELLES

TOUTES FAITES

1. Produit scalaire

2. Orthogonal dun sous-espace

3. Diagonalisation dun endomorphisme symetrique

4. Diagonalisation dune matrice symetrique a coefficients reels

X LES BONS COUPS DE BILI-NEAIRE THE KID

POUR AMELIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE

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ALGEBRE BILINEAIRE

Si vous trouvez quelques coquilles dans ces feuilles merci de me les signaler ([email protected]).

P Mentionne des resultats particulierement utiles et souvent oublies dans la pratique de lalgebre bilineaire...

Mentionne des erreurs a ne pas faire ou des hypotheses importantes ou des mises en garde.

SD Mentionne des resultats quil serait bon de savoir demontrer.

Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, Eest un espace vectoriel sur R .

Notons que le programme dalgebre bilineaire de 2014 est tres proche du precedent.

I PRODUIT SCALAIRE

1. Definitions

Def. 1 On appelle produit scalairesur E toute application de E Edans Rverifiant :1.(x,y,z)E3,R, ( x + y, z) = (x, z) + (y, z) (est lineaire a gauche).2.(x,y,z)E3,R, (x , y+ z) = (x, y) + (x, z) (est lineaire a droite) .3.(x, y)E2, (y, x) =(x, y) (est symetrique).4.xE , (x, x) 0 (est positive).5.xE , (x, x) = 0 =x = 0E (est definie).

Ainsi un produit scalaire sur Eestune forme bilineaire sur E, symetrique et definie positive.

Dans toute la suite nous utiliserons, le plus souvent la notation < . , . > pour designer un produit scalaire. On

trouve assez souvent les notations : (.|.) ou (., .).

Def. 2 On appelle espace prehilbertien reel, tout couple (E,< .,. >) ou Eest un espace vectoriel sur R et(x, y)< x, y > un produit scalaire sur E.

On appelle espace vectoriel euclidien, tout espace prehilbertien reel de dimension finie.

2. Caracterisations

Th. 1 P Soit (x, y)< x, y > une application de E2 dans R.< ., . >est un produit scalaire sur Esi et seulement si :

1.(x,y,z)E3, R, < x + y,z >= < x, z >+ < y, z >.2.(x, y)E2, < y,x >=< x, y >.3.xE, < x, x > 0.4.

x

E, < x, x >= 0 =

x = 0E.

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Th. 2 P Soit (x, y)< x, y > une application de E2 dans R.< ., . >est un produit scalaire sur Esi et seulement si :

1.(x,y,z)E3, R, < x, y+ z >= < x, y >+ < x, z >.2.(x, y)E2, < y,x >=< x, y >.

3.xE, < x, x > 0.4.xE, < x, x >= 0 =x = 0E.

Notons donc que< .,. >lineaire a gauche (resp a droite) et symetrique donne < .,. >bilineaire et symetrique.

Dans toute la suite < .,. > est un produit scalaire sur Edonc (E,< .,. >) est un espace prehilbertien reel.

Lorsque cela sera nessaire, nous preciserons si Eest un espace euclidien. A defaut Eest donc un espace prehilbertien.

3. Premieres proprietes

Prop. 1 1. xE, < x, 0E>== 0.

2. (x, y)E2, =< x, y >=< x, y > .

Prop. 2 P p et qsont deux elements de N. (xi)1ip et (yj)1jq sont deux familles delements de E.

(i)1ip et (j)1jq sont deux familles de reels. Alors :

=

pi=1

qj=1

i j < xi, yj >.

4. Des exemples

1 E=Rn

. Si x = (x1, x2, . . . , xn) et y = (y1, y2, . . . , yn) sont deux elements deRn

, on pose :

< x, y >=

nk=1

xkyk.

< ., . >est un produit scalaire sur Rn. Cest le produit scalaire canonique de Rn.

2 E=Mn,1(R). Si X=

x1x2...

xn

et Y =

y1y2...

yn

sont deux elements deMn,1(R), on pose :

< X, Y >=n

k=1

xkyk =tXY = tY X.

< ., . >est un produit scalaire surMn,1(R). Cest le produit scalaire canonique deMn,1(R).

3 E=Mn,p(R) . Si A= (aij) et B= (bij) sont deux elements de Eon pose

< A, B >=

ni=1

pj=1

aijbij = tr(tA B).

< ., . >est un produit scalaire sur E. Cest le produit scalaire canonique de

Mn,p(R).

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4 E= Rn[X]. Si P =n

k=0

akXk et Q=

nk=0

bkXk sont deux elements de Rn[X], on pose :

< P,Q >=n

k=0

akbk.

< ., . >est un produit scalaire sur Rn[X]. Cest le produit scalaire canonique de Rn[X].

5 E=C([a, b],R) est lespace vectoriel des fonctions numeriques continues sur [a, b] (a < b) et pest une fonctionnumerique continue et strictement positive sur [a, b].

Si f et g sont deux elements de Eon pose :

< f, g >=

ba

f(t) g(t)p(t) dt.

< ., . >est un produit scalaire sur E.

5. Norme euclidienne associee a un produit scalaire

Th. 3 Linegalite de Cauchy-Schwarz. Soient x et y deux elements de E.

1. |< x, y >| < x, x > < y, y > et (< x, y >)2 < x, x >< y,y >.2.| < x, y >|=< x, x > < y, y > si et seulement si (x, y) est liee.

Cor. 1 x= (x1, x2, . . . , xn) et y = (y1, y2, . . . , yn) sont deux elements de Rn.

n

k=1xkyk

n

k=1x2k

n

k=1y2k.

nk=1

xkyk

2

n

k=1x2k

n

k=1y2k.

Cor. 2 Soit f et g deux fonctions numeriques continues sur [a, b].

ba

f(t)g(t) dt

ba

f2(t) dt

ba

g2(t) dt.

ba

f(t)g(t) dt2

ba

f2(t) dt

ba

g2(t) dt.

Def. 3 On appellenormesur un K-espace vectorielE(K = R ou C) toute applicationNdeEdans R+

verifiant :

N1 xE , N(x) = 0x = 0E.N2 xE ,K, N(x) =||N(x).N3 (x, y)E2, N(x + y) N(x) + N(y).

Th. 4 et def. 4 Lapplication qui a tout element x de E associe

< x, x >est une norme sur E.

Cestla norme associee au produit scalaire< .,. >. On parle de norme euclidienne.

Dans la suite nous noterons x la norme dun elementxde Ecest a dire le reel positif< x, x >, nous designeronsalors par

la norme associee au produit scalaire< ., . >.

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Th. 5 xE ,x= 0x = 0E. xE ,R,x=||x. (x, y)E2,x + y x + y (inegalite de Minkovski).

Th. 6 Inegalite de Cauchy-Schwarz again x et y sont deux elements de E.

1. |< x, y >| x y et (< x, y >)2 x2 y2.

2.| < x, y >|=x y si et seulement si (x, y) est liee.

Prop. 3 (x, y)E2,x y x + y x + y.

(x, y)E2,x y x y x + y.

Th. 7 Identites remarquables x et y sont deux elements de E.

x + y2 =x2 + 2< x, y >+y2. x y2 =x2 2< x, y >+y2.

< x + y, x y >=x2 y2.

Th. 8 Encore une identite remarquable x1, x2, ..., xp sont p elements de E.

x1+ x2+ + xp2 =pi=1

xi2 + 2

1i.

Th. 9 Identites de polarisation x et y sont deux elements de E.

< x, y >=12x + y2 x2 y2. < x,y >=1

2x2 + y2 x y2.

< x, y >= 1

4

x + y2 x y2

.

Th. 10 Identite du parallelogramme (x, y)E2,x + y2 + x y2 = 2 x2 + 2 y2. 6. Vecteur unitaire

Def. 5 Un vecteur unitaire ou normede Eest un vecteur dont la norme vaut 1.

Au niveau des polynomes il ne faudra pas confondre les deux notions dunitaire. Une bonne lecture du texte

ou le contexte permettent de lever les ambiguites.

Prop. 4 1. Si x est un vecteur non nul de E, 1

xx est un vecteur unitaire de E.

2. Un droite vectorielle de Econtient exactement deux vecteurs unitaires qui sont opposes.

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II ORTHOGONALITE

1. Premiers elements

Def. 6 1. On dit que deux elementsx et y de E sontorthogonauxsi leur produit scalaire est nul, autrement dit

si < x, y >= 0.

2. Un element x de E est orthogonal a une partie A de E six est orthogonal a tous les elements de

A.

3. Deux parties A et B de E sont orthogonalessi tout vecteur de A est orthogonal a tout vecteur

de B.

4. Lorthogonal dune partie A de Eest lensemble des vecteurs de Eorthogonaux aA. On note A

cet orthogonal et A lorthogonal de A.

Th. 11 Theoreme de Pythagore. x et y sont deux elements de E

x et y sont orthogonaux si et seulement six + y2 =x2 + y2

ou : < x, y >= 0 x + y2 =x2 + y2.

Prop. 5 Si (x1, x2, . . . , xn) est une famille delements de Edeux a deux orthogonaux :

x1+ x2+ + xn2 =x12 + x22 + + xn2.

Th. 12 1. E ={0E}. P2.{0E} =E.3. Soit F un sous-espace vectoriel de E.

F est un sous-espace vectoriel de E. F F ={0E}. F F.

P E ={0E}sutilise souvent de la maniere suivante. Pour montrer quun vecteur de Eest nul on montrequil est orthogonal a tous les elements de E. Ou pour montrer que deux vecteursx et y de Esont egaux on montre

que x

y est orthogonal a tous les elements de E.

Prop. 6 F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. F G donne G F.

Prop. 7 P F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. Si F et G sont orthogonaux alors F G={0E}.

Prop. 8 F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) F et Gsont orthogonaux.

ii) F G.iii) G

F.

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Prop. 9 F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Erespectivement engendres par (u1, u2, . . . , up) et

(v1, v2, . . . , vq).

P 1. F ={xE| i[[1, p]], < x,ui >= 0}.

P 2. F et Gsont orthogonaux si et seulement si : (i, j)[[1, p]] [[1, q]], < ui, vj >= 0.

2. Bases orthogonales et bases orthonormales ou orthonormeesDef. 7 Soit (xi)iIune famille delements de E.

(xi)iIest une famille orthogonalede Esi les elements de cette famille sont deux a deux orthogonaux.

(xi)iIest une famillle orthonormaleou orthonormeedelements deEsi les elements de cette famille

sont unitaires et deux a deux orthogonaux.

Prop. 10 1. Toute famille orthogonale constituee de vecteurs non nuls est libre.

2. Toute famille orthonormee est libre.

Def. 8

On appelle base orthogonalede Etoute famille orthogonale de Equi en est une base.

On appelle base orthonormale ou orthonormeede Etoute famille orthonormale ou orthonormeede Equi en est une base.

Avant 2005 le programme parlait de base orthonormale. Entre 2005 et 2103 il parlait de base orthonormee. Apres

2014 le programme mentionne les deux appellations. Quon se le dise...

Th. 13 PP Les bases canoniques deRn, Mn,p(R), Mn,1(R), M1,n(R), Rn[X] sont othonormees pour les produitsscalaires canoniques de ces espaces vectoriels.

Th. 14 PP SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee de E. Soit x un element de E.

x=n

k=1

< x,ek > ek.

Th. 15 PP SoitB = (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee de E. Soient x et y deux vecteurs de E decoordonnees respectives (x1, x2, . . . , xn) et (y1, y2, . . . , yn) dans cette base. Soient X et Y les matrices de

x et y dansB.

< x, y >=

n

k=1xkyk =

tXY = tXY . x=

n

k=1x2k =

tXX=X.

Prop. 11 B= (e1, e2, . . . , en) est une base dun espace vectoriel reelE.1. Il existe un produit scalaire < ., . > sur Eet un seul qui rend la base B= (e1, e2, . . . , en) orthonormee.

2.x=n

k=1

xkekE,y=n

k=1

ykekE, < x, y >=n

k=1

xkyk.

3. Dans les espaces vectoriels reels usuels, le produit scalaire canonique est celui qui rend la base

canonique orthonormee.

Def. 9 Une matrice P de

Mn(R) est orthogonalesi elle verifie P

tP = tP P =In.

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Prop. 12 Une matrice P deMn(R) est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est satransposee.

Th. 16 Changement de bases orthonormees.

SoitB= (e1, e2, . . . , en) etB = (e1, e2, . . . , en) deux bases orthonormees de E.

La matrice de passageP

deB aB

est orthogonale. AinsiP tP

=

tP P =

In et

P1

=

tP.

Prop. 13

SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee de E. SoitB = (e1, e2, . . . , en) une familledelementsde E.

Soit P la matrice de la familleB dans la baseB.B est une base orthonormee de Esi et seulement si P est une matrice orthogonale.

Th. 17 Dans un espace vectoriel euclidien on peut completer une famille orthonormee en une base orthonormee.

Th. 18 Tout espace vectoriel euclidien de dimension non nulle possede une base orthonormee.

Th. 19 On suppose que Eest de dimension n .1. Toute famille orthogonale de n vecteurs non nuls deEest une base orthogonale de E.

2. Toute famille orthonormee de n vecteurs de Eest une base orthonormee de E.

3. Orthogonal dun sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidien

Th. 20 Soit F un sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidien E .

E= F F et F =F . F est lunique supplementaire de Forthogonal a F.

P SD Ce resultat ne vaut pas dans un espace prehilbertien reel quelconque. Neanmoins il reste vrai dansle cas important ouEest un espace prehilbertien reel et ouFest un sous-espace vectoriel de Ede dimension finie.

Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux de E, on evitera de dire que G= F ou F =G.

F et Gorthogonaux signifie F G ou (et ! !) GF. Cependant :

Prop. 14 Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E orthogonaux et supplementaires alors G = F

(et F =G).

Notons que ce resultat vaut dans un prelhibertien mais pas sa reciproque.

Prop. 15 P F est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien E distinct de{0E}et E.SiB est une base orthonormee de F etB est une base orthonormee de F alorsB B est une baseorthonormee de E.

Prop. 16 P F est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien E distinct de{0E}et de E.Soit (e1, e2, . . . , ep) une base orthonormee de F qui se complete en une base orthonormee (e1, e2, . . . , en)

de E.

F est le sous-espace vectoriel deEengendre par (ep+1, ep+2, . . . , en). Mieux (ep+1, ep+2, . . . , en) est une

base orthonormee de F.

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Prop. 17 P B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de E. a1, a2, ..., an sont nreels non tous nuls.1. Lorthogonal de la droite vectorielle engendree par a1e1+ a2e2+ + anen est lhyperplan dequationa1x1+ a2x2+ + anxn= 0 dansB.2. Lorthogonal de lhyperplan dequation a1x1+ a2x2+ +anxn = 0 dansBest la droite vectorielleengendree par a1e1+ a2e2+

+ anen.

4. Un exemple classique

Prop. 18 DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, lorthogonal du sous-espace vectorielSn(R) des ma-trices symetriques deMn(R) est le sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisymetriques deMn(R).DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, lorthogonal du sous-espace vectorielAn(R) des ma-trices antisymetriques deMn(R) est le sous-espace vectorielSn(R) des matrices symetriques deMn(R).

Prop. 19 Le sous-espace vectoriel des matrices symetriques deMn(R) et le sous-espace vectoriel des matricesantisymetriques deMn(R) sont supplementaires et orthogonaux dansMn(R) muni du produit scalairecanonique.

Mn(R) =Sn(R)An(R) . Rappelons que dim Sn(R) = n (n + 1)

2 et dim An(R) = n (n 1)

2

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III CONSTRUCTION DE BASES ORTHOGONALES

ET DE BASES ORTHONORMEES

1. Laspect theoriqueTh. 1 Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque de E.

Il existe une base orthonormee de Eet une seule (w1, w2, . . . , wn) telle que pour tout k appartenant a

[[1, n]] :

1. Vect(w1, w2, . . . , wk) = Vect(u1, u2, . . . , uk).

2. < wk, uk > est strictement positif.

(w1, w2, . . . , wn) est LA base orthonormee deduite de (u1, u2, . . . , un) par le procede dorthonormalisation

de Schmidt.

Il convient de noter que : w1 estLE vecteur unitaire de Vect(u1) qui verifie < w1, u1 > >0. Pour toutk element de [[2, n]],wk est LE vecteur unitaire de la droite vectorielle constituee par lorthogonal

de Vect(u1, u2, . . . , uk1) dans Vect(u1, u2, . . . , uk) qui verifie < wk, uk > >0.


P On se replace dans la situation du theoreme precedent.

Pour construire la base (w1, w2, . . . , wn) on utilise la methode de Schmidt basee sur lalgorithme suivant.

On construit dabord w1. Pour cela on pose w1= u1 et on cherche tel quew1= 1 et < w1, u1 >> 0. Supposons que lon ait construit (w1, w2, . . . , wk1) pour k dans [[2, n 1]]. On construit alors wk.Pour cela on pose wk = 1 w1+ 2 w2+ + k1 wk1+ kuk.En ecrivant que wk est orthogonal a wi on exprime i en fonction de k pour tout i dans [[1, k 1]].On trouve alors k en utilisantwk= 1 et < wk, uk >>0.

Notons que : w1= 1

u1u1 etk[[2, n]], wk = 1

tktk avec tk = ukk1i=1

< uk, wi > wi.


Le conseil du CoachLa methode precedente est interessante mais assez lourde. La machine le fait tres bien nousun peu moins bien... Le fait de normer les vecteurs a chaque etape complique les calculs et les expressions. Le mieux

est donc de commencer par construire une base orthogonale et den deduire la base orthonormee mentionnee

dans le resultat theorique en multipliant chacun des vecteurs par linverse de leur norme. Ce qui suit propose une

methode pour realiser cet objectif.

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PP Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque de E.

Pour construire cette base orthogonale (v1, v2, . . . , vn) a partie de (u1, u2, . . . , un) on procede de la maniere suivante.

On pose v1= u1. Supposons que lon ait construit (v1, v2, . . . , vk1) famille orthogonale de Etelle que :

Vect(v1, v2, . . . , vk1) = Vect(u1, u2, . . . , uk1) (k[[1, n 1]]).On construit alors vk. Pour cela on pose vk = uk+ 1 v1+ 2 v2+ + k1 vk1.En ecrivant que vk est orthogonal a vi on calcule i pour tout i dans [[1, k 1]].

On obtient alors vk =ukk1i=1

< uk, vi >

< vi, vi > vi= uk

k1i=1

< uk, vi >

vi2 vi.

Th. 2 Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque de E.

Soit (v1, v2, . . . , vn) la famille delements de Edefinie par la recurrence suivante :

v1= u1 etk[[2, n]], vk =ukk1i=1

< uk, vi >

< vi, vi > vi= ukk1i=1

< uk, vi >

vi2 vi.

1. (v1, v2, . . . , vn) est une base orthogonale de Etelle que :

k[[1, n]], Vect(v1, v2, . . . , vk) = Vect(u1, u2, . . . , uk).

2. Posonsk[[1, n]], wk = 1vkvk. (w1, w2, . . . , wn) est lunique base orthonormee de Etelle que :



PP La pratique pour les esprits simples...

Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque de E.

Pour construire une base orthonormee (w1, w2, . . . , wn) a partie de (u1, u2, . . . , un) on procede de la maniere suiv-

ante.

Etape 1 On pose v1= u1.

Etape 2 On pose v2= u2+ v1 et on cherche pour que v2 soit orthogonal a v1.

Etape 3 On pose v3= u3+ v1+ v2 et on cherche et pour que v3 soit orthogonal a v1 et v2.

Et ainsi de suite...Ne reste plus qu a poser, pour tout k dans [[1, n]], wk =

1

vkvk. (w1, w2, . . . , wn) est une base orthonormee de E.Mieux cest LA base orthonormee de Ededuite de (u1, u2, . . . , un) par le procede dorthonormalisation de Schmidt.

4. Dans un concours

Dans les concours les deux questions classiques sont :

Construire la base orthonormee deduite de (u1, u2, . . . , un) par le procede dorthonormalisation de

Schmidt.

Montrer que (w1, w2, . . . , wn) est la base orthonormee deduite de (u1, u2, . . . , un) par le procede

dorthonormalisation de Schmidt.

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IV PROJECTION ORTHOGONALE

Dans cette section, sauf mention du contraire, Eest un espace vectoriel euclidien .

On note < .,. > le produit scalaire defini sur Eet.la norme associee. On rappelle alors que siFest un sous-espacevectoriel de E, F et F sont supplementaires.

1. Definition

Def. 1 SoitFun sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien E. Laprojection orthogonalesur F nest

autre que la projection sur F parallelement a F.

Si F est un sous-espace vectoriel de lespace prehilbertien Eon peut definir la projection orthogonale sur F

des que F est un supplementaire de F dans E. Cest par exemple le cas si Fest de dimension finie.

2. Premieres caracterisations

Prop. 1 F est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien E. pFest la projection orthogonale sur F.

Si x et y sont deux elements de E:

pF(x) =y

yFx yF .

En clair les proprietes pF(x)F et x PF(x)F sont caracteristiques de la projection orthogonalede x sur F.

Th. 3 PP Fest un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien E. pFest la projection orthogonalesur F.

Si x et y sont deux elements de E:

pF(x) =y

yFzF, < x y,z >= 0 .

On retiendra de ce resultat quil nest pas necessaire de connatre F pour trouver la projection

orthogonale de x sur F.

3. Expression de la projection orthogonale pF dans une base orthonormee de F.

Th. 4 PP Fest un sous-espace vectoriel de Eet (u1, u2, . . . , up) est une base orthonormee de F .

pFest la projection orthogonale sur F. Pour tout element x de E:

pF(x) =

pk=1

< x,uk > uk.

Jai note p la dimension de Falors que cest k dans programme... Mais jassume...

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J.F.C. Eve p. 15

Th. 5 P Eest un espace vectoriel euclidien etBest une base orthonormeede E.Fest un sous-espace vectoriel de Eet (u1, u2, . . . , up) est une base orthonormee de F.

Pour tout k dans [[1, p]], Uk est la matrice de uk dans la baseB. pFest la projection orthogonale sur F.

Alors la matrice de pFdans la base

Best

p

k=1

UktUk, donc MB(pF) =

p

k=1

UktUk.

Notons que ce resultat est un + du programme 2014.

Cor. 1 P D est une droite vectorielle de Eet pD est la projection orthogonale sur D.

Si uestun vecteur unitaire de D, pour tout element x de E: pD(x) =< x, u >u.

Si u est un vecteur non nul de D, pour tout element x de E: pD(x) =< x,u >

u2 u.

Cor. 2 P E est un espace vectoriel euclidien de dimension n superieure ou egale a 2. Hest un hyperplan de Eet pHest la projection orthogonale sur H.

Si uestun vecteur unitaire orthogonal a H, pour tout element x de E: pH(x) =x < x, u >u.

Si uestun vecteur non nul orthogonal a H, pour tout element x de E: pH(x) =x < x,u >u2 u.

4. Laspect pratique

P (E,< ., . >) est un espace vectoriel euclidien (ou un prehilbertien....). Fest un sous-espace vectoriel de Eet pFest la projection orthogonale sur F. (u1, u2, . . . , up) est une base quelconquede F.

x est un element de E. Pour trouver pF(x) on peut :

M1 Utiliser pF(x)F et x pF(x)F (resp. pF(x)F etzF, < x pF(x), z >= 0).

M2 Construire une base orthonormee (w1, w2, . . . , wp) de Fet utiliser :pF(x) =pk=1

< x, wk > wk.

M3 Poser pF(x) =pk=1

xkuk. On cherche alors (x1, x2, . . . , xp) en ecrivant que x pF(x) est orthogonala F donc a tous les elements de la base (u1, u2, . . . , up) de F. On obtient rapidement :

i

[[1, p]], < x,ui >=< pF(x), ui >=

p

k=1

< uk, ui > xk =

p

k=1

< ui, uk > xk.

Ceci donne un systeme lineaire de p equations a p inconnues que lon resout.

Ce systeme secrit matriciellement AX=B ou A= (< ui, uj >), X=

x1x2...

xp

et B=

< x, u1 >

< x, u2 >...

< x,up >

.

A est une matrice inversible deMp(R) (A est la matrice de la restriction du produit scalaire a F dans la base(u1, u2, . . . , up)). Le systeme admet donc une solution et une seule (ce qui nest pas un scoop...).

Ne pas oublier de regarder au prealable si F est un hyperplan. Dans ce cas on determinepF (F est une droitevectorielle...) et on utilise pF = IdE

pF.

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5. Le theoreme fondamental : la caracterisation dune projection orthogonale par min-imisation de la norme

Def. 2 Soient Aune partie non vide dun espace prehilbertien Eet x un element de E.

La distance de x a A est la borne inferieure de lensemble{x z ; zA}. On la note d(x, A).d(x, A) = Inf

zA x

z

.

Il convient de remarquer qued(x, A) existe toujours car{x z ; zA} est une partie non vide et minoreede R mais quil nexiste pas toujours un element a de A tel que d(x, A) =x a. Autrement dit Min

zAx z

nexiste pas toujours.

Th. 6 Theoreme de meilleure approximation

SoitFun sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien EetpF (resp. pF) la projection orthog-

onale sur F (resp. F).

Soit x un element de E.

1. zF, x pF(x) x z. Si t est un element de Ftel que : zF, x t x z alors t= pF(x).

2. Autrement dit MinzF

x z existe et vautx pF(x). De plus pF(x) est lunique element de F quirealise ce minimum.

pF(x) est donc lunique element de F tel que d(x, F) =x pF(x).La projection orthogonale de x sur F est la meilleure approximationde x par un element de F.

3. d2(x, F) =x pF(x)2 =x2 pF(x)2 =x2< x, pF(x)>=pF(x)2.

On est prie de remarquer que ce theoreme contient 3 choses.

LEXISTENCE dun minimum pour la partie{x z |zF} de R+. pF(x) est lunique element de Fqui realise ce minimum ou qui realise la distance de x a F. Le carre de la distance de x aF vautx pF(x)2 oux2 pF(x)2 oux2< x, pF(x)> ou encore

pF(x)2. P Notons que la quantitex2< x, pF(x)> est souvent la plus simple a calculer.La formulation du programme...

Th. 7 Caracterisation de la pro jection orthogonale par minimisation de la norme.

Soit Fun sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien Eet pFla projection orthogonale sur F.

x et y sont deux elements de E.

y = pF(x)yF etx y= InfzF

x z ou y= pF(x)yF etx y= MinzF

x z.

6. Une remarque importante

Il est important de savoir que ce qui precede vaut encore dans un espace prehilbertien reel E pourvu que

F F = E. Rappelons que cest le cas lorsque F est de dimension finie. Dou limportance de connatre lesdemonstrations de ces resultats que les concepteurs recyclent souvent lorsquils souhaitent vous faire travailler dans

les prehilbertiens reels quelconques.

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7. Une application du theoreme fondamental. Methode des moindres carres

Th. 8 Methode des moindres carres.

Aest un element deMn,p(R) et B un element deMn,1(R). On suppose que le rang de A est p ..est la norme deMn,1(R) associee au produit scalaire canonique.

1. MinXMp,1(R)

AX B existe.

2. Il existe un unique element X0 deMp,1(R) tel queAX0 B= MinXMp,1(R)

AX B.

3. tAA est inversible.

4. X0= (tAA)1(tAB) ou tAAX0=

tAB .

P Pour trouver X0, il est preferable de resoudre le systeme X0 Mp,1(R) et tAAX0 = tAB plutot que decalculer directement linverse de tAA.

Notons que le programme de 2014 dit que la formule donnant la valeur du point realisant le minimum nest pas

exigible. Alors il est sans doute utile dapprendre a la retrouver...

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V ENDOMORPHISMES ET MATRICES SYMETRIQUES

0. Quelques rappels sur les matrices symetriques (resp. antisymetriques)

Def. 3 Soit A = (ai,j) une matrice deMn(R) (ou deMn(K)).A est symetriquesi tA= A ou si(i, j)[[1, n]]2, aj,i= ai,j .A est antisymetrique si tA=Aou si(i, j)[[1, n]]2, aj,i=ai,j .

Prop. 2 Lensemble des matrices symetriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimensionn(n + 1)

2 .

Lensemble des matrices antisymetriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimen-sion

n(n 1)2

si n 1.

Le sous-espace vectoriel des matrices symetriques de

Mn(K) et le sous-espace vectoriel des matrices

antisymetriques deMn(K) sont supplementaires dansMn(K).

Notons que si A Mn(R), A = 12

A+ tA

+

1

2

A tA, 1

2

A+ tA

est une matrice symerique de

Mn(K) et 12

A tA est une matrice antisymerique deMn(K).

Prop. 3 Dans Mn(R), pour le produit scalaire canonique, lorthogonal du sous-espace vectoriel Sn(R) des matricessymetriques deMn(R) est le sous-espace vectorielAn(R) des matrices antisymetriques deMn(R).Dans Mn(R), pour le produit scalaire canonique, lorthogonal du sous-espace vectoriel An(R) des matricesantisymetriques deMn(R) est le sous-espace vectorielSn(R) des matrices symetriques deMn(R).Le sous-espace vectoriel des matrices symetriques de

Mn(R) et le sous-espace vectoriel des matrices

antisymetriques deMn(R) sont supplementaires et orthogonaux dansMn(R) muni du produit scalairecanonique.

Mn(R) =Sn(R)

An(R).

1. Definition dun endomorphisme symetrique

Def. 4 Soit f un endomorphisme de E. f estsymetriquesi : (x, y)E2, < f(x), y >=< x, f(y)>. 2. Caracterisations des endomorphismes symetriques

Prop. 4 Caracterisation des endomorphismes symetriques

Eest de dimension n(nN),B= (e1, e2, . . . , en) est une base de Eet fun endomorphisme de E.fest symetrique si et seulement si : (i, j)[[1, n]]2, < f(ei), ej >=< ei, f(ej)>.

Th. 9 PP Caracterisation fondamental des endomorphismes symetriques

Ici Eest de dimension n (n N),Best une base orthonormee de E et f un endomorphisme de E.fest un endomorphisme symetrique de Esi et seulement si sa matrice dans la baseBest symetrique.

Surtout ne pas oublier lhypotheseBest une base orthonormee

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3. Quelques proprietes

Prop. 5 f est un endomorphismesymetriquede E.

Si Fest un sous-espace vectoriel de Estable par f, F est stable par f.

Un petit + du programme 2014...

Prop. 6 1. IdE et 0L(E) sont des endomorphismes symetriques de E.

2. Si f et g sont deux endomorphismes symetriques de E et si est un reel, f et f +g sont des

endomorphismes symetriques de E.

2. Lensemble des endomorphismes symetriques de Eest un sous-espace vectoriel deL(E).Si Eest de dimension nnon nul, lensemble des endomorphismes symetriques de E est un sous-espace

vectoriel deL(E) de dimension n (n + 1)2

3. Si f est un endomorphisme symetrique et bijectif de E, f1 est un endomorphisme symetrique (et

bijectif) de E.

4. Une nouvelle caracterisation des projections orthogonales

Th. 10 P p est une projection (ou un projecteur) de E.

p est une projection orthogonale (ou un projecteur orthogonal) si et seulement p est un endomorphisme

symetrique.

Un petit + du programme 2014...

Th. 11 p est un endomorphisme de E(ou une application de Edans E...).pest une projection orthogonale de Esi et seulement si p est un endomorphisme symetrique de Everifiant

p p= p.

Cor. A est une matrice deMn(R).A est la matrice dune projection orthogonale si et seulement si A est symetrique et verifie A2 =A.

5. Reduction dun endomorphisme symetrique et dune matrice symetrique

Prop. 7 Soit fun endomorphisme symetrique de E.

1. Les sous-espaces propres de fsont deux a deux orthogonaux.

2. Si (uk)1kp est une famille de vecteurs propres de f associes a des valeurs propres deux a deux

distinctes alors la famille (uk)1kp est une famille orthogonale de E.

Th. 12 Le theoreme fondamental sur la reduction des endomorphismes symetriques.

Soit fun endomorphisme symetrique de Eespace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle.

1. f est diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonormee deEconstituee de vecteurs propres def(doncfse diagonalise

dans une base orthonormee).

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Prop. 8 A est une matrice symetrique deMn(R).1. Les valeurs propres de A sont reelles (SpR A= SpC A).

2. Les sous-espaces propres de A sont deux a deux orthogonaux.

3. Si (Xk)1kp est une famille de vecteurs propres de A associes a des valeurs propres deux a deux

distinctes alors la famille (Xk)1kp est une famille orthogonale

Mn,1(R).

Th. 13 Le theoreme fondamental sur la reduction des matrices symetriques deMn(R).A est une matrice symetrique deMn(R).1. Aest diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A.3. Il existe une matrice orthogonale P deMn(R), telle que P1AP = tP AP soit diagonale.

Notons que dans le resultat precedent on parle de matrices symetriques a coefficients reels.

2 ii 0

est

symetrique mais nest pas diagonalisable.

6. Laspect pratique de la reduction des endomorphismes et des matrices symetriques

Th. 14 PPP f est un endomorphisme symetrique dun espace vectoriel euclidienEde dimension n non nulle.

On obtient une base orthonormee de Econstituee de vecteurs propres de f en concatenant une base

orthonormeede chacun des sous-espaces propres de f.

Th. 15 PPP Soit A une matrice symetrique deMn(R).1. On obtient une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A en concatenantune base orthonormee de chacun des sous-espaces propres de A.

2. SiBest une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A respectivement associesaux valeurs propres 1, 2, ..., n et si Pest la matrice de passage de la base canonique de Mn,1(R) a labaseBalors :

P est une matrice orthogonale. tP AP =P1APest la matrice diagonale Diag(1, 2, . . . , n).

Th. 16 PP Soit A une matrice symetrique de Mn(R). Soit (X1, X2, . . . , X n) une base orthonormee de Mn,1(R)constituee de vecteurs propres de Arespectivement associes aux valeurs propres 1, 2, ..., n.

A=

nk=1

k

Xk

tXk.

Th. 17 P Soit A une matrice symetrique deMn(R).Ainsi il existe une matrice orthogonale P deMn(R) et une matrice diagonale D = Diag(1, 2, . . . , n)telle que tP AP =P1AP =D.

On note, pour tout j element de [[1, n]], Cj la jeme colonne de P.

Alors (C1, C2, . . . , C n) est une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A respec-tivement associes aux valeurs propres 1, 2, ..., n.

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VI SAVOIR FAIRE

SF 1 Montrer quune application est un produit scalaire.

SF 2 Montrer que < A, B >= tr(tAB) est un produit scalaire sur

Mn,p(R).

SF 3 Montrer que < P,Q >=

+0

P(t) Q(t) et dt et < P,Q >=

+

P(t) Q(t) et2

2 dt sont des produits

scalaires sur R[X].

SF 4 Gerer les produits scalaires les plus usuels.

SF 5 Manipuler des produits scalaires et des normes.

SF 6 Utiliser les identites remarquables.

SF 7 Utiliser les identites de polarisation, autrement dit exprimer le produit scalaire en fonction de la norme.

SF 8 Utiliser Cauchy-Schwarz et son cas degalite.

SF 9 Construire une base orthogonale (resp. orthonormee) a partir dune base.SF 10 Construire une base orthogonale (resp. orthonormee) a partir dune base en utilisant la methode de

Schmidt.

SF 11 Montrer quune base est LA base orthonormee deduite dune base donnee par le procede

dorthonormalisation de Schmidt.

SF 12 Calculer des produits scalaires et des normes lorsque lon travaille dans une base orthonormee.

SF 13 Passer dune base orthonormee a une autre base orthonormee.

SF 14 Montrer quune matrice est orthogonale.

SF 15 Utiliser Pythagore.

SF 16 Trouver lorthogonal dun sous-espace vectoriel ; en particulier dune droite et dun hyperplan.

SF 17 Lorsque E est un espace vectoriel euclidien, utiliser E ={0E} pour montrer quun vecteur est nul ouque deux vecteurs sont egaux.

SF 18 Definir analytiquement une projection orthogonale.

SF 19 Reconnatre une projection orthogonale.

SF 20 Utiliser une projection orthogonale pour traiter un probleme doptimisation.

SF 21 Calculer la distance dun vecteur a un sous-espace vectoriel.

SF 22 Utiliser la methode des moindres carres.

SF 23 Montrer quun endomorphisme est symetrique. Montrer quune matrice est symetrique.

SF 24 Diagonaliser un endomorphisme (resp. une matrice) symetrique. Cest a dire trouver une base or-

thonormee de vecteurs propres.

SF 25 Savoir utiliser une base orthonormee de vecteurs propres dune matrice symetrique ou dun endomor-

phisme symetrique dans les problemes les plus usuels.

SF 26 Montrer quune matrice symetrique est positive (resp. definie positive) cest a dire que ses valeurs propres

sont positives (resp. strictement positives).

SF 27 Etudier le signe dune forme quadratique.

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VII COMPLEMENTS

1. Egalite dans linegalite triangulaire

Prop. 9 x et y sont deux elements de E.x + y=x + ysi et seulement si x= 0E ou R+, y = x.x + y=x + ysi et seulement si y= 0E ou R+, x= y.

2. Matrice dun endomorphisme dans une base orthonormee

Prop. 10 B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de lespace vectoriel euclidien (E,< ., . >) et f est unendomorphisme de E. (E1, E2, . . . , E n) est la base canonique deMn,1(R).La matrice de fdans la baseBest < ei, f(ej)> .

3. Une caracterisation des bases orthonormees

Prop. 11 SoitB = (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee dun espace vectoriel euclidien E et (e1, e2, . . . , en) unefamille quelconque delements de E.

(e1, e2, . . . , e

n) est une base orthonormee deEsi et seulement si la matrice de (e

1, e

2, . . . , e

n) dans la base

orthonormeeBest orthogonale. 4. Un peu plus sur les matrices orthogonales

Prop. 12 1. Le produit de deux matrices orthogonales deMn(R) est une matrice orthogonale deMn(R).2. Linverse dune matrice orthogonale deMn(R) est une matrice orthogonale deMn(R).

Prop. 13

.

est la norme de

Mn,1(R) associee au produit scalaire canonique. Pest une matrice de

Mn(R).

Pest orthogonale si et seulement si X Mn,1(R),P X=X .

P P orthogonale donneX Mn,1(R),P X=X est une evidence tres pratique.

Prop. 14 P Pest une matrice deMn(R).Pest orthogonale si et seulement si ses colonnes constituent une famille orthonormee deMn,1(R) munidu produit scalaire canonique, ou, cest la meme chose :

P est orthogonale si et seulement si ses colonnes constituent une base orthonormee deMn,1(R) muni duproduit scalaire canonique.

Prop. 15 P Pest une matrice deMn(R).Pest orthogonale si et seulement si ses lignes constituent une famille orthonormee deM1,n(R) muni duproduit scalaire canonique, ou, cest la meme chose :

P est orthogonale si et seulement si ses lignes constituent une base orthonormee deM1,n(R) muni duproduit scalaire canonique.

Prop. 16 Les seules valeurs propres possibles dans R dune matrice orthogonale deMn(R) sont1 et 1.

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5. Matrice dun produit scalaire

Prop. 17 SoitB= (e1, e2, . . . , en) etB = (e1, e2, . . . , en) deux bases dun espace vectoriel euclidien E.La matrice A = (< ei, ej >) deMn(R) est la matrice du produit scalaire < .,. >.Si x et y sont deux elements de E de matrices X et Y dansB, < x, y >= tXAY .

A est une matrice symetrique dont les valeurs propres sont strictement positives.Si A est la matrice de < ., . >dansB et si Pest la matrice de passage deB aB : A = tP AP. Une matrice C deMn(R) est la matrice dun produit scalaire si et seulement si elle est symetrique avaleurs propres strictement positives.

6. Encore des proprietes des endomorphismes symetriques

Prop. 18 Caracterisation des endomorphismes symetriques

Eest de dimension n (n N),B= (e1, e2, . . . , en) une base quelconque de E et f un endomorphismede E.

fest symetrique si et seulement si : (i, j)[[1, n]]2

, < f(ei), ej >=< ei, f(ej)>.

Prop. 19 Soit fun endomorphisme symetrique de E.

Ker fet Im f sont orthogonaux. (Im f) = Ker f et Im f(Ker f).

Prop. 20 Soit f un endomorphisme symetrique dun espace vectoriel euclidien E.

(Im f) = Ker fet Im f= (Ker f). Ker fet Im fsont supplementaires et orthogonaux.

7. Caracterisations des matrices symetriquesProp. 21 Caracterisations des matrices symetriques

Soit Aune matrice deMn(R). < .,. > est le produit scalaire deMn,1(R).1.X Mn,1(R),Y Mn,1(R), < AX,Y >=< X, tAY >.2. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) Aest symetrique.

ii)X Mn,1(R),Y Mn,1(R), < AX,Y >=< X,AY >.iii)

X

Mn,1(R),

Y

Mn,1(R),

tY AX= tXAY .

8. Caracterisation des projections orthogonales again

Prop. 22 Soit p une projection (ou un projecteur) de E. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) p est une projection orthogonale.

ii)xE ,p(x) x.

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9. Encadrement de Rayleigh

Th. 18 Soit Sune matrice symetrique deMn(R).Soit sa plus petite valeur propre et soit sa plus grande valeur propre.

X Mn,1(R), X2 tXS X=< SX, X > X2 ou

X Mn,1(R) {0Mn,1(R)}, tXSXtXX .

Mieux : MinXMn,1(R){0Mn,1(R)}

tXS XtXX

= et MaxXMn,1(R){0Mn,1(R)}

tXSXtXX

=.

Si Xun element deMn,1(R), X2 = tXS X=< SX, X >XSEP (A, ). Si Xun element deMn,1(R), tXS X=< SX, X >=X2 XSEP (A, ).

10. Matrices symetriques positives (resp. definies positives)

Th. 19et def. 5 Soit Sune matrice symetrique reelle dordre n. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) Sa toutes ses valeurs propres positives ou nulles.

ii)X Mn,1(R), tXSX 0.Si Sverifie lune de ses proprietes, on dit que Sest unematrice symetrique positive.

Prop. 23 Soit Sune matrice symetrique reelle dordre n. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) Sest une matrice symetrique positive.

ii) Il existe une matrice M deMn(R) telle que S= tM M.

Th. 20et def. 6 Soit Sune matrice symetrique reelle dordre n. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) Sa toutes ses valeurs propres strictement positives.

ii)X Mn,1(R), X= 0tXSX >0.SiSverifie lune de ses proprietes, on dit que Sest unematrice symetrique definie positive.

Prop. 24 Soit Sune matrice symetrique reelle dordre n. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) Sest une matrice symetrique definie positive.

ii) Il existe une matrice inversible M deMn(R) telle que S= tMM.

11. Racine carree symetrique et positive (resp. definie positive) dune matrice

symetrique et positive (resp. definie positive) deMn(R)Prop. 25 Si S est une matrice symetrique deMn(R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp.

strictement positives), il existe une matrice symetrique Tde Mn(R) dont les valeurs propres sont positivesou nulles (resp. strictement positives) et une seule telle que T2 =S.

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12. Realisation de la distance dun vecteur a un sous-espace dans un espace

prehilbertien

Th. 21 Eest un espace prehilbertien et F un sous-espace vectoriel de E. x est un element de E et y un element

de F.

1. Il existe au plus un element de y de Ftel que :

x

y

= Inf

zF

x

z

2. Soit y un element de F.x y= Inf

zFx z si et seulement si x y est orthogonale a F.

Cela est utile lorsque les conditions dapplication du theoreme de meilleure approximation ne sont pas toutes reunies

13. Adjoint dun endomorphisme dun espace vectoriel euclidien

Th. 22et def. 7 B = (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de lespace vectoriel euclidien E et f est unendomorphisme de Ede matrice A dansB. f est lendomorphisme de Ede matrice tA dansB.f est lunique endomorphisme de Everifiant(x, y)E2, < f(x), y >=< x, f(y)>.f est ladjoint de f.

Prop. 26 f est un endomorphisme de lespace vectoriel euclidien E.

1. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Fest stable par fsi et seulement si F est stable par f.

2. Ker f = (Im f) et Im f = (Ker f).

3. (f) =f =f.

4. Si f est un automorphisme, f est egalement un automorphisme et (f)1 = (f1).

5. Si g est un second endomorphisme de E: (f) = f, (f+ g) =f + g et (f g) =g f.6. Sp f = Sp f.

Sp f, dim SEP (f, ) = dimSEP (f, ). f et f sont simultanement diagonalis-

ables.

7. Ker(f f) = Ker fet Im(f f) = Im f.8. f f (resp. f f) est un endomorphisme symetrique dont les valeurs propres sont positives.

14. Endomorphisme orthogonal

Def. 8 f est un endomorphisme dun espace prehilbertien E.

f est un endomorphisme orthogonal si(x, y) E2, < f(x), f(y) >=< x, y > autrement dit si fconserve le produit scalaire.

Prop. 27 f est une application dun espace prehilbertien E dans lui meme. Les assertions suivantes sont

equivalentes.

1. f est un endomorphisme orthogonal.

2. fest un endomorphisme verifinant(x, y)E2, < f(x), f(y)>=< x, y >.3. fverifie(x, y)E2, < f(x), f(y)>=< x, y >.

Notons que 3. donne la linearite de f.

Prop. 28 f est un endomorphisme dun espace prehilbertien E.

fest un endomorphisme orthogonal si et seulement si(x, y) E2, f(x) =x autrement dit si etseulement si fconserve la norme.

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Prop. 29 f est un endomorphisme orthogonal dun espace prehilbertien E.

1. f est injectif (mais pas necessairement surjectif).

2. Si Fest un sous espace vectoriel de Estable par f, F est stable par f.

3. Si g est un second endomorphisme orthogonal de E, g fest un endomorphisme orthogonal de E.

4. Les seules valeurs propres (reelles ! !) possibles de f sont1 et 1.Prop. 30 f est un endomorphisme orthogonal dun espace vectoriel euclidien E.

fest un automorphisme de Eet f1 est un automorphisme orthogonal de E.

Prop. 31 f est un endomorphisme dun espace vectoriel euclidien Ede de dimension nappartenant a N.

Les assertions suivantes sont equivalentes.

1. f est un endomorphisme orthogonal.

2. Il existe une base orthonormee de Equi se transforme par fen une base orthonormee de E.

3. Toute base orthonormee de E se transforme par fest une base orthonormee de E.

Prop. 32 f est un endomorphisme dun espace vectoriel euclidien E et A est la matrice de f dans une base

orthonormeede E.

fest un endomorphisme orthogonal si et seulement si A est une matrice orthogonale.

Prop. 33 On noteB= (e1, . . . , en) une base orthonormee de E et on considere un endomorphisme f orthogonaldont la matrice dans la baseBest notee A. On pose A= (ai,j)1i,jn.

(i, j)[[1, n]]2, ai,j[1, 1] et |n

i=1n

j=1ai,j | n et n

n

i=1n

j=1|ai,j | n

n.

15. Base orthonormee de Rn[X] deduite de la base canonique (1, X, . . . , Xn) de Rn[X] par leprocede dorthonormalisation de Schmidt

Prop. 34 nest un element de N. < .,. > est un produit scalaire sur Rn[X].

1. a) Pour tout element k de [[1, n]], il existe un polynome normalise (le coefficient du terme de plus haut

degre est 1) Pk et un seul appartenant a Rk[X] et orthogonal a Rk1[X].

2. On pose P0= 1.

a) Pour tout element k de [[0, n]], Pk est de degre k.

b) (P0, P1, . . . , P n) est une base orthogonale de Rn[X].

3. On posek[[0, n]], Qk = 1PkPk.

a) (Q0, Q1, . . . , Qn) est une base orthonormee de Rn[X].

b) Mieux, (Q0, Q1, . . . , Qn) est la base orthonormee de Rn[X] deduite de la base canonique (1, X , . . . , X n)

de Rn[X] par le procede dorthonormalisation de Schmidt.

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16. Decomposition polaire dune matrice inversible deMn(R)

Prop. 35 Aest une matrice quelconque deMn(R).1. Il existe une matrice orthogonaleU deMn(R) et une matrice symetrique Sa valeurs propres positivesou nulles deMn(R) telles que A= U S.

2. On suppose A inversible.

Il existe une unique matrice orthogonale U deMn(R) et une unique matrice symetrique S a valeurspropres strictement positives deMn(R) telles que A = U S. Cestla decomposition polairede A.

17. Decomposition dIwasawa dune matrice inversible deMn(R)

Prop. 36 A est une matrice inversible deMn(R). Il existe une matrice orthogonale Q deMn(R) et une matricetriangulaire superieure R deMn(R) a coefficients diagonaux strictement positifs telles que A= QR.

18. Decomposition de Cholesky dune matrice symetrique definie positive

Prop. 37 Aest une matrice symetrique deMn(R) dont les valeurs propres sont strictement positives (Aest definiepositive).

Il existe une matrice R, deMn(R), triangulaire superieure a diagonale strictement positive et une seuletelle que A= tRR.

19. Theoreme de Courant-Fischer

Prop. 38 A est une matrice symetrique deMn(R). (E1, E2, . . . , E n) est une base orthonormee deMn,1(R)constituee de vecteurs propres de A respectivement associes aux valeurs propres 1, 2, ..., n avec

1 2 n.k est un element de [[1, n]] etFk est lensemble des sous-espaces vectoriels deMn,1(R) de dimension k.

MinFFk

SupXFX=0

tXAXtXX

=k et MaxFFn+1k

InfXFX=0

tXAXtXX

=k.

20. Endomorphismes antisymetriques

Prop. 39 (E , < , >) est un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle n.

fest un endomorphisme de E.B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de E et A= (aij) est lamatrice de f dansB.On dit que f est un endomorphisme antisymetriquesi(x, y)E2, < f(x), y >=< x, f(y)>.1. a) fest antisymetrique si et seulement si(i, j)[[1, n]]2, < f(ei), ej >=< ei, f(ej)>.b) fest antisymetrique si et seulement si Aest symetrique autrement dit si et seulement si tA=A.2. fest antisymetrique si et seulement sixE, < x, f(x)>= 0.

Dans la suite f est un endomorphisme antisymetrique de E.

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Prop. 40 (E, < , >) est un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle n. f est un endomorphisme anti-

symetrique de E.

1. Ker f= (Im f).

2. Sp f {0}. SpR(A) {0}.

3. SpC(A

)iR

.4. f fest un endomorphisme symetrique dont les valeurs propres sont negatives ou nulles.5. Si Fest un sous-espace vectoriel stable par f, F est egalement stable par f.

Prop. 41 (E, < , >) est un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle n. f est un endomorphisme anti-

symetrique de E.

Il existe une base orthonorme de Etelle que la matrice de fdans cette base soit :

0 a1a1 0

. . . (O)

0 apap 0

(O) 0. . .

0

a quelques abus pres...

21. Decomposition spectrale dune matrice symetrique

Prop. 42 Sest une matrice symetrique deMn(R). 1, 2, ..., p sont ses valeurs propres distinctes.Pour tout elementk de [[1, p]] on note Pk la matrice, dans la base canonique de

Mn,1(R), de la projection

orthogonalefk deMn,1(R) sur le sous-espace propre SEP (S, k) de Sassocie a la valeur propre k.

Montrer que

pk=1

Pk = In et que S=

pk=1

kPk.

22. Une caracterisation des normes euclidiennes

Prop. 43 Une norme sur un espace vectoriel reel est la norme dun produit scalaire si et seulement si elle verifie

lidentite du parallelogramme.

VIII DES ERREURS A EVITER

Dire que (x, y)< x, y > est lineaire (on peut uniquement parler de linearite a droite ou a gauche).

La famille (u1, u2, . . . , up) est orthogonale car uk et uk+1 sont orthogonaux pour tout k element de [[1, p 1]].

u= 12

donc v= 1

2uest un vecteur unitaire.

x et y sont deux elements dun espace prehilbertien (E,< .,. >).

< x,y >= 0 donne x= 0E ou y = 0E.

< x,y >= 0 et y

= 0E donne x= 0E.

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J.F.C. Eve p. 29

(u1, u2, . . . , up) est une famille orthogonale de Edonc cest une famille libre.

x=< x, x >.

F est un sous-espace vectoriel dun espace prehilbertien E et Gest un sous-espace vectoriel de F.

Confondre lorthogonalG de Gdans E et lorthogonal H de G dans F. Notons que H=F G.

F et Gsont deux sous-espaces vectoriels dun espace prehilbertien E. F et Gorthogonaux donne F =G.

B= (e1, e2, . . . , en) est une base quelconque dun espace prehilbertien E. u=n

k=1

xkek et v =n

k=1

ykek sont deux

elements de E.

Ecrire : < u, v >==n

k=1

nk=1

ukvk < ek, ek >.

f est un endomorphisme symetrique car sa matrice est symetrique (il faut evoquer la matrice de fdans une

base orthonormee).

A est symetrique donc Aest diagonalisable (il faut parler de matrice a coefficients reels).

f est un endomorphisme symetrique reel donc il existe une base orthonormee... (le corps de base est

necessairement R !)

Dire quune base de vecteurs propres dun endomorphisme symetrique est orthonormee.

IX PRATIQUES OU RHETORIQUES USUELLES

1. Produit scalaire

Soit a montrer que < ., . >est un produit scalaire sur E.

On montre si necessaire que < u, v > a un sens pour tout couple (u, v) delements de E. Soient un reel , u, v et w trois elements de E .

< u + v,w >= = < u, w >+ < v,w >. < u, v >= =< v,u >. On montre que < u,u > 0.

Supposons que < u,u >= 0 et montrons que u= 0

E ...

Ce qui precede suffit pour dire que < ., . >est un produit scalaire sur E .

2. Orthogonal dun sous-espace

Fest un sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidienE.B= (e1, e2, . . . , en) est une base deE. On supposeque F= Vect(u1, u2, . . . , up) et on se propose de determiner F

.

Soit v= x1e1+ x2e2+ + xpen un element de E.vF < v,u1 >=< v, u2 >= < v,up >= 0

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3. Diagonalisation dun endomorphisme symetrique

f est un endomorphisme symetrique de E ayant p valeurs propres deux a deux distinctes. B est une base or-thonormee de E. Sp(f) ={1, 2, . . . , p}.Pour tout i element de [[1, p]] on construit une base orthonormee Bi de SEP (f, i).

E=

pi=1

SEP (f, i) et SEP (f, 1), SEP (f, 2), ..., SEP (f, p) sont deux a deux orthogonaux.

AinsiB =B1 B2 B p = (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de Econstituee de vecteurspropres de f respectivement associes aux valeurs propres 1, 2, ..., n (ok pour alpha ?).

Soit Pla matrice de passage deB aB. Alors : P est inversible et P1 = tP carBetB sont deux bases orthonormees de E.

MB(f) =

1 0 00

. . . . . .

......

. . . . . . 0

0

0 n

et MB(f) =P1MB(f)P =

tP MB(f)P.

4. Diagonalisation dune matrice symetrique a coefficients reels

A est une matrice symetrique deMn(R) ayant p valeurs deux a deux distinctes. Sp(A) ={1, 2, . . . , p}.Pour tout i element de [[1, p]] on construit une base orthormale Bi de SEP (A, i).

Mn,1(R) =pi=1

SEP (A, i) et SEP (A, 1), SEP (A, 2), ..., SEP (A, p) sont deux a deux orthogonaux.

AinsiB =B1 B2 Bp = (X1, X2, . . . , X n) est une base orthormale deMn,1(R) constituee devecteurs propres de Arespectivement associes aux valeurs propres 1, 2, ..., n (ok pour alpha ?).

Soit Pla matrice de passage de la base canoniqueBdeMn,1(R) a cette baseB. Alors : P est inversible et P1 = tP carBetB sont deux bases orthonormees deMn,1(R). tP AP =P1AP =D avec D=Diag(1, 2, . . . , n).

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X LES BONS COUPS DE BILI-NEAIRE THE KID

POUR AMELIORER TON EUCLIDIENNE ATTITUDE

Dans la suite, sauf mention du contraire, < .,. > est un produit scalaire sur le R-espace vectorielEet.est la normeassociee.

Niveau 1

C 1 E= Rn. Si x = (x1, x2, . . . , xn) et y= (y1, y2, . . . , yn) sont deux elements de Rn, on pose :

< x, y >=

n

k=1

xkyk.

< ., . >est un produit scalaire sur Rn. Cest le produit scalaire canonique de Rn.

C 2 E=Mn,1(R). Si X=

x1x2...

xn

et Y =

y1y2...

yn

sont deux elements deMn,1(R), on pose :

< X,Y >=n

k=1

xkyk = tXY = tY X.

< ., . >est un produit scalaire surMn,1(R). Cest le produit scalaire canonique deMn,1(R).

C 3 E=Mn,p(R) . Si A= (aij) et B = (bij) sont deux elements de E, on pose :

< A, B >=

ni=1

pj=1

aijbij = tr(tA B).

< ., . >est un produit scalaire sur E. Cest le produit scalaire canonique deMn,p(R).

C 4 E= Rn[X]. Si P =n

k=0

akXk et Q=

nk=0

bkXk sont deux elements de Rn[X], on pose :

< P, Q >=n

k=0

akbk.

< ., . >est un produit scalaire sur Rn[X]. Cest le produit scalaire canonique de Rn[X].

C 5 p et q sont deux elements de N. (xi)1ip et (yj)1jq sont deux familles delements de E.

(i)1ip et (j)1jq sont deux familles delements de R. Alors :

=

p

i=1q

j=1i j < xi, yj >.

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C 6 Inegalite de Cauchy-Schwarz x et y sont deux elements de E.

1. |< x, y >| x y et (< x, y >)2 x2 y2.2.| < x, y >|=x y si et seulement si (x, y) est liee.

C 7 Inegalite de Cauchy-Schwarz dans Rn

x= (x1, x2, . . . , xn) et y = (y1, y2, . . . , yn) sont deux elements de Rn.

nk=1

xkyk

n

k=1

x2k

nk=1

y2k. nk=1

xkyk

2

nk=1

x2k

nk=1

y2k.

C 8 Inegalite de Cauchy-Schwarz dans C([a, b],R)Soit f et g deux fonctions numeriques continues sur [a, b].

ba

f(t)g(t) dt b

af2(t) dt

ba

g2(t) dt.

ba

f(t)g(t) dt2

ba

f2(t) dt

ba

g2(t) dt.

C 9 xE ,x= 0x = 0E. xE,R,x=||x. (x, y)E2,x + y x + y (inegalite de Minkovski).

C 10 x et y sont deux elements de E.1.x + y=x + y si et seulement si x = 0E ouR+, y= x.2.x + y=x + y si et seulement si y = 0E ou R+, x= y.

C 11 (x, y)E2,x y x + y x + y.

(x, y)E2,x y x y x + y.

C 12 1. Six est un vecteur non nul de E, 1

xx est un vecteur unitaire de E.

2. Un droite vectorielle de Econtient exactement deux vecteurs unitaires qui sont opposes.

C 13 Identites remarquables x et y sont deux elements de E.

x + y2 =x2 + 2< x, y >+y2. x y2 =x2 2< x, y >+y2.

< x + y, x y >=x2 y2.

C 14 Identites remarquables x1, x2, ..., xp sont p elements de E.

x1+ x2+ + xp2 =p

i=1xi2 + 2

1i

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J.F.C. Eve p. 33

C 15 Identites de polarisation x et y sont deux elements de E.

< x, y >= 1

2

x + y2 x2 y2

. < x,y >=

1

2

x2 + y2 x y2

.

< x, y >=

1

4x + y2 x y2.

C 16 Identites du parrallelogramme x et y sont deux elements de E.

x + y2 + x y2 = 2 x2 + 2 y2.

C 17 Theoreme de Pythagore. x et y sont deux elements de E.

x et y sont orthogonaux si et seulement six + y2 =x2 + y2.

C 18 Si (x1, x2, . . . , xn) est une famille delements de Edeux a deux orthogonaux :

x1+ x2+ + xn2 =x12 + x22 + + xn2.

C 19 1. E ={0E}. Autrement dit un vecteur de Eest nul si et seulement il appartient a E.2.{0E} =E.

C 20 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

F est un sous-espace vectoriel de E. F F ={0E}. F F. F G donne G F. Si F et G sont orthogonaux alors F G={0E}. F et G sont orthogonaux F G GF.

C 21 F et G sont deux sous-espaces vectoriels de Erespectivement engendres par (u1, u2, . . . , up) et(v1, v2, . . . , vq).

P 1. F ={xE| i[[1, p]], < x, ui >= 0}.

P 2. F et Gsont orthogonaux si et seulement si : (i, j)[[1, p]] [[1, q]], < ui, vj >= 0.

C 22 F et Gsont deux sous-espaces dun espace prehilbertien reel E.

(F+ G) =F G et F + G (F G). Si E est de dimension finie : F + G = (F G).

C 23 Soit F un sous-espace vectoriel dun espace vectoriel euclidien E .

E= F F et F =F .

F est lunique supplementaire de Forthogonal a F.

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J.F.C. Eve p. 34

G est un sous-espace vectoriel de E. G = F si et seulement G est un (ou le...) supplementaire de F dans Eorthogonal a F.

C 24 Lensembles des matrices symetriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimensionn(n + 1)

2 .

Lensembles des matrices antisymetriques de Mn(K) est un sous-espace vectoriel de Mn(K) de dimension n(n 1)2

si n 1.

Le sous-espace vectoriel des matrices symetriques de Mn(K) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymetriquesdeMn(K) sont supplementaires dansMn(K).

Notons que si A Mn(R), A = 12

A+ tA

+

1

2

AtA, 1

2

A+ tA

est une matrice symerique deMn(K) et

1

2

A tA est une matrice antisymerique deMn(K).

C 25 DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, lorthogonal du sous-espace vectorielSn(R) des matricessymetriques de

Mn(R) est le sous-espace vectoriel

An(R) des matrices antisymetriques de

Mn(R).

DansMn(R), pour le produit scalaire canonique, lorthogonal du sous-espace vectorielAn(R) des matrices anti-symetriques deMn(R) est le sous-espace vectorielSn(R) des matrices symetriques deMn(R).Le sous-espace vectoriel des matrices symetriques deMn(R) et le sous-espace vectoriel des matrices antisymetriquesdeMn(R) sont supplementaires et orthogonaux dansMn(R) muni du produit scalaire canonique.

Mn(R) =Sn(R)

An(R).

C 26 1. Toute famille orthogonale constituee de vecteurs non nuls est libre.

2. Toute famille orthonormee est libre.

C 27 Tout espace vectorieleuclidien possede une base orthonormee.

C 28 SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee de E. Soit x un element de E.

x=

nk=1

< x, ek > ek .

C 29 SoitB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee deE. Soientx et y deux vecteurs de Ede coordonneesrespectives (x1, x2, . . . , xn) et (y1, y2, . . . , yn) dans cette base. Soient X et Y les matrices de x et y dansB.

< x, y >=n

k=1

xkyk =tXY =< X, Y >. x=

nk=1

x2k =tXX=X.

C 30 B= (e1, e2, . . . , en) est une base dun espace vectoriel reelE.1. Il existe un produit scalaire < .,. > sur Eet un seul qui rend la baseB= (e1, e2, . . . , en) orthonormee.

2.x=n

k=1

xkekE ,y=n

k=1

ykekE, < x, y >=n

k=1

xkyk.

3. Dans les espaces vectoriels reels usuels, le produit scalaire canonique est celui qui rend la base canonique

orthonormee.

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J.F.C. Eve p. 35

C 31 Matrice dun endomorphisme dans une base orthonormee

B= (e1, e2, . . . , en) est une baseorthonormeede lespace vectoriel euclidien (E,< .,. >) et fest un endomorphismede E. (E1, E2, . . . , E n) est la base canonique deMn,1(R).La matrice de fdans la baseBest < ei, f(ej)> .C 32 Matrice orthogonale Pest une matrice deMn(R). Les assertions suivantes sont equivalentes :

i) P orthogonale.

i) P verifie P tP = tP P =In.

ii) P verifie P tP =In.

iii) P verifie tP P =In.

iv) P est inversible et son inverse est sa transposee.

v)X Mn,1(R),P X=X (. est la norme euclidienne deMn(R)).

vi) Les colonnes de P constituent une famille orthonormee deMn,1(R) muni du produit scalaire canonique.vii) Les colones de Pconstituent une base orthonormee deMn,1(R) muni du produit scalaire canonique.viii) Les lignes de P constituent une famille orthonormee deM1,n(R) muni du produit scalaire canonique.ix) Les lignes de Pconstituent une base orthonormee deM1,n(R) muni du produit scalaire canonique.

C 33 SoitB= (e1, e2, . . . , en) etB = (e1, e2, . . . , en) deux bases orthonormees de E.La matrice de passage P deB aB est orthogonale.

C 34 Soit

B= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormee de E. Soit

B = (e1, e

2, . . . , e

n) unefamilledelements de

E.

Soit Pla matrice de la familleB dans la baseB.B est une base orthonormee de Esi et seulement si P est une matrice orthogonale.

C 35 1. Le produit de deux matrices orthogonales deMn(R) est une matrice orthogonale deMn(R).2. Linverse dune matrice orthogonale deMn(R) est une matrice orthogonale deMn(R).

C 36 Les seules valeurs propres possibles dans R dune matrice orthogonale deMn(R) sont1 et 1.

C 37 F est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien Edistinct de{0E} et E.SiB est une base orthonormee de F etB est une base orthonormee de F alorsB B est une base orthonormeede E.

C 38 Fest un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien Edistinct de{0E}et deE. Soit (e1, e2, . . . , ep)une base orthonormee de F.

1. (e1, e2, . . . , ep) se complete en une base orthonormee (e1, e2, . . . , en) de E.

2. F est le sous-espace vectoriel de E engendre par (ep+1, ep+2, . . . , en). Mieux (ep+1, ep+2, . . . , en) est une base

orthonormee de F.

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J.F.C. Eve p. 36

C 39 B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de E. a1, a2, ..., an sont n reels non tous nuls.1. Lorthogonal de la droite vectorielle engendree par a1e1+ a2e2+ + anen est lhyperplan dequation a1x1+

a2x2+ + anxn= 0 dansB.2. Lorthogonal de lhyperplan dequationa1x1+ a2x2+ + anxn= 0 dansBest la droite vectorielle engendree

par a1e1+ a2e2+ + anen.

C 40 Aspect theorique de lorthonormalisation de Schmidt

Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconquede E.

Il existe une base orthonormee de Eet une seule (w1, w2, . . . , wn) telle que pour tout k appartenant a [[1, n]] :



(w1, w2, . . . , wn) est LA base orthonormee deduite de (u1, u2, . . . , un) par le procede dorthonormalisation de

Schmidt.

C 41 Aspect pratique de lorthonormalisation de Schmidt

Soit (u1, u2, . . . , un) une base quelconque de E.

Pour construire cette base orthogonale (v1, v2, . . . , vn) a partir de (u1, u2, . . . , un) on procede de la maniere suivante.

On pose v1= u1. Supposons que lon ait construit (v1, v2, . . . , vk1) famille orthogonale de Etelle que :Vect(v1, v2, . . . , vk1) = Vect(u1, u2, . . . , uk1) (k[[1, n 1]]).On construit alors vk. Pour cela on pose vk =uk+ 1 v1+ 2 v2+ + k1 vk1.En ecrivant que vk est orthogonal a vi on calcule i pour tout i dans [[1, k

1]].

On obtient alors vk =ukk1i=1

< uk, vi >

< vi, vi > vi= uk

k1i=1

< uk, vi >

vi2 vi.

On posek[[1, n]], wk = 1vkvk. (w1, w2, . . . , wn) est lunique base orthonormee de Etelle que :



C 42 F est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien E. pFest la projection orthogonale sur F.Si x et y sont deux elements de E:

pF(x) =y

yFx yF

yFzF, < x y,z >= 0

C 43 F est un sous-espace vectoriel de Eet (u1, u2, . . . , up) est une base orthonormee de F .

pFest la projection orthogonale sur F. Pour tout element x de E:

pF(x) =

pk=1

< x, uk > uk

C 44 E est un espace vectoriel euclidien etB

est une base orthonormeede E.

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Fest un sous-espace vectoriel de Eet (u1, u2, . . . , up) est une base orthonormee de F.

Pour tout k dans [[1, p]], Uk est la matrice de uk dans la baseB. pFest la projection orthogonale sur F.

Alors la matrice de pFdans la baseBestpk=1

UktUk, donc MB(pF) =

pk=1

UktUk .

Cest un + du programme 2014.

C 45 D est une droite vectorielle de Eet pD est la projection orthogonale sur D .

Si u est un vecteur unitaire de D, pour tout element x de E: pD(x) =< x, u >u.

Si u est un vecteur non nul de D, pour tout element x de E: pD(x) =< x,u >

u2 u .

C 46 Eest un espace vectoriel euclidien de dimension n superieure ou egale a 2. Hest un hyperplan de Eet pHest la projection orthogonale sur H.

Si u est un vecteur unitaire orthogonal a H, pour tout element x de E: pH(x) =x < x, u >u .

Si u est un vecteur non nul orthogonal a H, pour tout element x de E: pH(x) =x < x,u >u2 u .

C 47 D est une droite vectorielle de Eet sD est la symetrie vectorielle orthogonale par rapport a D .

Si u est un vecteur unitaire de D, pour tout element x de E: sD(x) = 2 < x, u >u x.

C 48 Eest un espace vectoriel euclidien de dimensionn superieure ou egale a 2. Hest un hyperplan de EetsHest la symetrie vectorielle orthogonale par rapport a H.

Si u est un vecteur unitaire orthogonal a H, pour tout element x de E: sH(x) =x 2 < x, u >u .

C 49 Recherche pratique dune projection orthogonale (E,< .,. >) est un espace vectoriel euclidien (ouun prehilbertien....).

Fest un sous-espace vectoriel deEet pFest la projection orthogonale sur F. (u1, u2, . . . , up) est une basequelconque

de F.

x est un element de E. Pour trouver pF(x) on peut :

M1 Utiliser pF(x)F et x pF(x)F (resp. pF(x)F etzF, < x pF(x), z >= 0).

M2 Construire une base orthonormee (w1, w2, . . . , wp) de Fet utiliser :pF(x) =pk=1

< x, wk > wk.

M3 Poser pF(x) = pk=1

xkuk. On cherche alors (x1, x2, . . . , xp) en ecrivant que x pF(x) est orthogonal a Fdonc a tous les elements de la base (u1, u2, . . . , up) de F. On obtient rapidement :

i[[1, p]], < x, ui >=< pF(x), ui >=pk=1

< uk, ui > xk =

pk=1

< ui, uk > xk.

Ceci donne un systeme lineaire de p equations a p inconnues que lon resout.

Ce systeme secrit matriciellement AX=B ou A= (< ui, uj >), X=

x1x2...

xp

et B=

< x, u1 >

< x, u2 >...

< x, up >

.

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A est une matrice inversible deMp(R) (A est la matrice de la restriction du produit scalaire a F dans la base(u1, u2, . . . , up)). Le systeme admet donc une solution et une seule (ce qui nest pas un scoop...).

Ne pas oublier de regarder au prealable si F est un hyperplan. Dans ce cas on determine pF (F est une droite

vectorielle...) et on utilise pF = IdEpF.

C 50 Theoreme de meilleure approximation

Soit Fun sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien Eet pF (resp. pF) la projection orthogonale sur F

(resp. F).

Soit x un element de E.

1. zF,x pF(x) x z.Si test un element de Ftel que : zF, x t x z alors t= pF(x).

2. Autrement dit MinzF

x z existe et vautx pF(x). De plus pF(x) est lunique element de F qui realise ceminimum.

pF(x) est donc lunique element de F tel que d(x, F) =

x

pF(x)

.

La projection orthogonale de x sur F est la meilleure approximationde x par un element de F.

3. d2(x, F) =x pF(x)2 =x2 pF(x)2 =x2< x, pF(x)>=pF(x)2.

C 51 La formulation du programme... Caracterisation de la projection orthogonale par minimisationde la norme.

Soit F un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel euclidien Eet pFla projection orthogonale sur F.

x et y sont deux elements de E.

y = pF(x)

y

F et

x

y

= InfzF

x

z

ou y= pF(x)

y

F et

x

y

= MinzF

x

z

.

C 52 Methode des moindres carres.

A est un element deMn,p(R) et B un element deMn,1(R). On suppose que le rang de A est p .. est la norme deMn,1(R) associee au produit scalaire canonique.

1. MinXMp,1(R)

AX B existe.

2. Il existe un unique element X0 deMp,1(R) tel queAX0 B= MinXMp,1(R)

AX B.

3. tAAest inversible.

4. X0= (tAA)1(tAB) ou tAAX0=

tAB.

C 53 Caracterisations des matrices symetriques

Soit A une matrice deMn(R). < .,. > est le produit scalaire deMn,1(R).1.X Mn,1(R),Y Mn,1(R), < AX,Y >=< X, tAY >.2. Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) A est symetrique.

ii)

X

Mn,1(R),

Y

Mn,1(R), < AX , Y >=< X,AY >.

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iii)X Mn,1(R),Y Mn,1(R), tY AX= tXAY.

C 54 Caracterisation des endomorphismes symetriques

Eest de dimension n(nN),B= (e1, e2, . . . , en) est une base de Eet f un endomorphisme de E.fest symetrique si et seulement si : (i, j)[[1, n]]2, < f(ei), ej >=< ei, f(ej)>.

C 55 Caracterisation fondamentale des endomorphismes symetriques

Eest de dimension n(n N),B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de E et fun endomorphisme deE.

fest un endomorphisme symetrique de Esi et seulement si sa matrice A dans la baseBest symetrique (tA= A).

C 56 Lensemble des endomorphismes symetriques deE est un sous-espace vectoriel deL(E).Si Eest de dimension nnon nul, lensemble des endomorphismes symetriques de Eest un sous-espace vectoriel de

L(E) de dimension

n (n + 1)

2 C 57 Sif est un endomorphisme symetrique et bijectif de E,f1 est un endomorphisme symetrique (et bijectif)

de E.

C 58 f est un endomorphismesymetriquede E.

Si Fest un sous-espace vectoriel de Estable par f, F est stable par f.

C 59 Soit fun endomorphisme symetrique de lespace prehilbertien E .

Ker fet Im f sont orthogonaux.

(Im f) = Ker f et Im f(Ker f).

C 60 Soit f un endomorphisme symetrique dun espace vectoriel euclidien E.

(Im f) = Ker fet Im f= (Ker f). Ker fet Im fsont supplementaires et orthogonaux.

C 61 Caracterisations des pro jections orthogonales again

1. p est une projection (ou un projecteur) de E.

p est une projection orthogonale (ou un projecteur orthogonal) si et seulement p est un endomorphisme symetrique.

2. p est un endomorphisme de E(ou une application de Edans E...).

p est une projection orthogonale de Esi et seulement si p est un endomorphisme symetrique de Everifiant p p= p.3. A est une matrice deMn(R).

A est la matrice dune projection orthogonale si et seulement si A est symetrique et verifie A2 =A.

Cest un + du programme 2014.

C 62 Soit fun endomorphisme symetrique de E.

1. Les sous-espaces propres de fsont deux a deux orthogonaux.

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2. Si (uk)1kp est une famille de vecteurs propres de f associes a des valeurs propres deux a deux distinctes alors la

famille (uk)1kp est une famille orthogonale de E.

C 63 Le theoreme fondamental sur la reduction des endomorphismes symetriques.

Soit fun endomorphisme symetrique de E espace vectoriel euclidien de dimension finie non nulle .

1. f est diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonormee de E constituee de vecteurs propres de f (donc fse diagonalise dans

une base orthonormee).

C 64 Aest une matrice symetrique deMn(R)1. Les valeurs propres de A sont reelles (SpR A= SpC A).

2. Les sous-espaces propres de A sont deux a deux orthogonaux.

3. Si (Xk)1kp est une famille de vecteurs propres de A associes a des valeurs propres deux a deux distinctes alors

la famille (Xk)1kp est une famille orthogonaleMn,1(R).

C 65 Le theoreme fondamental sur la reduction des matrices symetriques deMn(R).A est une matrice symetrique deMn(R).1. A est diagonalisable.

2. Mieux, il existe une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A.3. Il existe une matrice orthogonale P deMn(R), telle que P1AP = tP AP soit diagonale.

C 66 Laspect pratique de la reduction des endomorphismes symetriques

f est un endomorphisme symetrique dun espace vectoriel euclidien E de dimension nnon nulle.

On obtient une baseorthonormeede Econstituee de vecteurs propres de fen concatenant une base orthonormee

de chacun des sous-espaces propres de f.

C 67 Laspect pratique de la reduction des matrices symetriques

Soit A une matrice symetrique deMn(R).1. On obtient une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A en concatenant une baseorthonormeede chacun des sous-espaces propres de A.

2. SiBest une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A respectivement associes aux valeurspropres1, 2, ..., n et si Pest la matrice de passage de la base canonique de

Mn,1(R) a la base

Balors :

P est une matrice orthogonale. tP AP =P1APest la matrice diagonale Diag(1, 2, . . . , n).

C 68 Soit A une matrice symetrique deMn(R). Soit (X1, X2, . . . , X n) une base orthonormee deMn,1(R) con-stituee de vecteurs propres de Arespectivement associes aux valeurs propres 1, 2, ..., n.

A=n

k=1

kXktXk

C 69 1. SoitA une matrice symetrique deM

n(R).

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Ainsi il existe une matrice orthogonale P deMn(R) et une matrice diagonale D = Diag(1, 2, . . . , n) telle quetP AP =P1AP =D.

On note, pour tout j element de [[1, n]], Cj la jeme colonne de P.

Alors (C1, C2, . . . , C n) est une base orthonormee deMn,1(R) constituee de vecteurs propres de A respectivementassocies aux valeurs propres 1, 2, ..., n.

2. Variante D = Diag(1, 2, . . . , n) est une matrice diagonale deMn(R) et P est une matrice orthogonale deMn(R). On pose A= P DtP.A est une matrice symetrique deMn(R) et les colonnes de P constituent une base othonormeeB deMn,1(R), devecteurs propres de A associes aux valeurs propres (1, 2, . . . , n). Pest la matrice de passage de la base canonique

deMn,1(R) aB.

C 70 Decomposition spectrale dune matrice symetrique.

Sest une matrice symetrique deMn(R). 1, 2, ..., p sont ses valeurs propres distinctes.Pour tout element k de [[1, p]] on note Pk la matrice, dans la base canonique deMn,1(R), de la projection orthogonalefk deMn,1(R) sur le sous-espace propre SEP (S, k) de Sassocie a la valeur propre k.Montrer que

pk=1

Pk = In et que S=

pk=1

kPk.

C 71 Matrice symetrique positive

Soit Sune matrice symetrique deMn(R). Les proprietes suivantes sont equivalentes.i)X Mn,1(R), tXSX 0.ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles.

C 72 Matrice symetrique definie positive

Soit une matrice symetrique deMn(R). Les proprietes suivantes sont equivalentes.i)X Mn,1(R), X= 0Mn,1(R) tXSX >0.ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives.

Niveau 2

C 73 Encadrement de Rayleigh Soit Sune matrice symetrique deMn(R).

Soit sa plus petite valeur propre et soit sa plus grande valeur propre.

X Mn,1(R), X2 tXS X=< SX, X > X2 ou X Mn,1(R) {0Mn,1(R)}, tXS XtXX

.

Mieux :

MinXMn,1(R){0Mn,1(R)}

tXS XtXX

= et MaxXMn,1(R){0Mn,1(R)}

tXSXtXX

=

C 74 Matrice symetrique positive again

Soit Sune matrice symetrique deMn(R). Les proprietes suivantes sont equivalentes.i)

X

Mn,1(R),

tXSX 0.

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ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles.

iii) Il existe une matrice A deMn(R) telle que S= tAA.

C 75 Matrice symetrique definie positive again

Soit une matrice symetrique deMn(R). Les proprietes suivantes sont equivalentes.i)X Mn,1(R), X= 0Mn,1(R) tXSX >0.ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives.

iii) Il existe une matrice inversible AdeMn(R) telle que S= tAA.

C 76 Adjoint dun endomorphisme

B= (e1, e2, . . . , en) est une base orthonormee de lespace vectoriel euclidien E et fest un endomorphisme de Ede matrice AdansB.f est lendomorphisme de Ede matrice tA dansB.

1. f

est lunique endomorphisme de Everifiant(x, y)E2

, < f(x), y >=< x, f

(y)>. f

est ladjoint de f.

2. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Fest stable par fsi et seulement si F est stable par f.

3. Ker f = (Im f) et Im f = (Ker f).

4. (f) =f =f.

5. Si f est un automorphisme, f est egalement un automorphisme et (f)1 = (f1).

6. Si g est un second endomorphisme de E: (f) = f, (f+ g) =f + g et (f g) =g f.7. Sp f = Sp f.Sp f, dimSEP (f, ) = dim SEP (f, ). f et f sont simultanement diagonalisables.8. Ker(f

f) = Ker fet Im(f

f) = Im f.

9. f f (resp. f f) est un endomorphisme symetrique dont les valeurs propres sont positives.

C 77 Endomorphisme orthogonal

f est un endomorphisme dun espace prehilbertien E.f est un endomorphisme orthogonal si(x, y) E2, < f(x), f(y) >=< x, y > autrement dit si f conserve leproduit scalaire.

f estune application dun espace prehilbertien Edans lui meme. Les assertions suivantes sont equivalentes.1. f est un endomorphisme orthogonal.

2. fest un endomorphisme verifinant(x, y)E2, < f(x), f(y)>=< x, y >.3. fverifie(x, y)E2, < f(x), f(y)>=< x, y >.

Notons que 3. donne la linearite de f.

f est un endomorphisme dun espace prehilbertien E.fest un endomorphisme orthogonal si et seulement si(x, y)E2,f(x)=x autrement dit si et seulement si fconserve la norme.

f est un endomorphisme orthogonal dun espace prehilbertien E.1. f est injectif (mais pas necessairement surjectif).

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2. Si Fest un sous espace vectoriel de E stable par f, F est stable par f.

3. Si g est un second endomorphisme orthogonal de E, g fest un endomorphisme orthogonal de E.4. Les seules valeurs propres (reelles ! !) possibles de f sont1 et 1.

f est un endomorphisme orthogonal dun espace vectoriel euclidien E.

fest un automorphisme de Eet f1

est un automorphisme orthogonal de E. f est un endomorphisme dun espace vectoriel euclidien Ede de dimension nappartenant a N.Les assertions suivantes sont equivalentes.

i) f est un endomorphisme orthogonal.

ii) Il existe une base orthonormee de Equi se transforme par fen une base orthonormee de E.

iii) Toute base orthonormee de Ese transforme par fest une base orthonormee de E.

f est un endomorphisme dun espace vectoriel euclidien E et A est la matrice de fdans une base orthonormeede E.

fest un endomorphisme orthogonal si et seulement si A est une matrice orthogonale.

On noteB = (e1, . . . , en) une base orthonormee de E et on considere un endomorphisme f orthogonal dont lamatrice dans la baseBest notee A. On pose A= (ai,j)1i,jn.

(i, j)[[1, n]]2, ai,j[1, 1] et |ni=1

nj=1

ai,j | n et n ni=1

nj=1

|ai,j | n

n.

C 78 Racine carree symetrique et positive (resp. definie positive) dune matrice

symetrique et positive (resp. definie positive) deMn(R)

Si S est une matrice symetrique deMn(R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp. strictementpositives), il existe une matrice symetrique T deMn(R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles (resp.strictement positives) et une seule telle que T2 =S.

C 79 Matrice dun produit scalaire

SoitB= (e1, e2, . . . , en) etB = (e1, e2, . . . , en) deux bases dun espace vectoriel euclidien E. La matrice A= (< ei, ej >) deMn(R) est la matrice du produit scalaire < .,. >. Si x et y sont deux elements de Ede matrices X et Y dansB, < x, y >= tXAY. A est une matrice symetrique dont les valeurs propres sont strictement positives. Si A est la m

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