eva-flo : présentation du projet et avancement des travaux

Présentation générale du projet EVA-FloAvancement des travaux autour de LEMA

EVA-Flo : présentation du projetet avancement des travaux

CEA Saclay

8 avril 2008

CEA Saclay EVA-Flo : présentation du projet et avancement des travaux


Contenu scienti�queInformations pratiques

Plan de l'exposé

Présentation générale du projet EVA-FloContenu scienti�queInformations pratiques

Avancement des travaux autour de LEMAPourquoi LEMA?Un petit exemple illustratifBilan sur LEMAUtilisation de LEMAQuestions en cours




EVA-Flo : Évaluation et Validation Automatique pour le calcul Flottant

Objectifs : meilleur code �ottant, obtenu plus rapidement, avecune garantie sur la qualité du résultat calculé.

Qualité du résultat :

I par exemple, précision (erreur petite), �abilité (pasd'over/under�ow), portabilité. . . ;

I doit être quanti�ée et garantie, prouvée.

Automatisation du développement et de la validation.





Calcul �ottant

Codes visés : expressions ou portions de code contenantI opérations arithmétiques et algébriques, fonctions

élémentaires ;I branchements conditionnels, boucles ;I petites portions critiques de codes.





Validation

Spéci�cations : quels critères de qualité ?I ils feront partie de la spéci�cation du code ;I bornes d'erreur �nes ; outils : analyse par intervalles,

conditionnement, di�érentiation automatique, analyse desensibilité, précision arbitraire, complexité de leur calcul ;

I utilisation de l'arithmétique �ottante : portabilité du code�ottant, arrondis successifs, exceptions ;

I précision : algorithmes compensés, quadruple précision,double-double. . . : quelle méthode choisir ?

I ensembles d'entrée, de sortieI autres : précision arbitraire, calcul exact. . .





ÉvaluationObjectif : calculer une valeur �ottante proche d'une valeurmathématique exacte.

Di�cultés :I décrire la valeur mathématique exacte, ce que l'on veut

calculer ;I construire un bon approximant, critères = proximité

mathématique, respect de certaines contraintes, mais aussierreurs d'arrondi ;

I déterminer un bon schéma d'évaluation : précis, rapide ;I déterminer pour quelles expressions il est intéressant

d'optimiser ainsi.





Validation : preuve

Preuve formelle :I véri�er les preuves à l'aide d'un assistant de preuve ;I générer, avec le code, les indications permettant la preuve ;I quelles indications, comment les établir, comment les

transmettre entre les di�érents outils ?

Sémantique :I transformations de code à exprimer dans un cadre sémantique.





Automatisation

I Di�cultés :I beaucoup de détails à traiter ;I expertise humaine et validation manuelle ⇒ petits codes ;I beaucoup d'erreurs, chronophage et non réutilisable.

I But :I automatiser cette expertise ;I traiter des codes plus conséquents.

I Directions :I spéci�cation et analyse de l'objet mathématique ;I génération du code �ottant ;I validation (incluant la preuve).




Plan de l'exposé







Participants

Arénaire (LIP, ENS Lyon)

Eliaus (ex-Dali, LP2A, Université Perpignan)

MeASI (CEA Saclay)

Tropics (INRIA Sophia-Antipolis)





Planning et résultats attendusPlanning :

I 1e année : études à partir de petits exemples (codesembarqués ou codes fournis par MeASI) ;

I 2e année : implantation, mise en pratique ;I 3e année : développement (1 an ingénieur) pour intégrer les

di�érents composants ;I 4e année : applications à de vrais exemples.

Résultats attendus :I prototype logiciel ;I dissémination : auprès de nos partenaires industriels (ST,. . . ) ;

organisation de SCAN'2010 à Lyon ;I rapports tous les 6 mois.





Budget = 130 500eArénaire (LIP, ENS Lyon)

I 1 an ingénieur : 47 ke ;I 2 ordinateurs : 6 ke ;I réunions EVA-Flo : 12 ke ;I conférences : 19 ke.

Tropics (INRIA Sophia-Antipolis)I 1 ordinateur : 3 ke ;I réunions EVA-Flo : 3 ke ;I conférences : 1 ke.

Dali (LP2A, UniversitéPerpignan)

I 2 ordinateurs : 6 ke ;I réunions EVA-Flo : 11 ke ;I conférences : 8 ke.

MeASI (CEA Saclay)I 1 ordinateur : 3 ke ;I réunions EVA-Flo : 5.5 ke ;I conférences : 1 ke.

(et 4% de frais de gestion)CEA Saclay EVA-Flo : présentation du projet et avancement des travaux


Pourquoi LEMA?Un petit exemple illustratifBilan sur LEMAUtilisation de LEMAQuestions en cours

Plan de l'exposé






Travail e�ectué par

I Claude-Pierre JeannerodI Nicolas JourdanI Christoph LauterI Vincent LefèvreI Nicolas LouvetI Nathalie RevolI Guillaume RevyI Gilles Villard




Pourquoi LEMA?

Rappel du texte de la proposition :

I Section "Automation" : Especially, the project will propose

interactive exchanges with the user, and code annotations.

I Section "Formal Proof" : The annotation approach will be

complemented by the use of static analysis with Fluctuat.

Abandon de l'idée d'utiliser des annotations :

I manque d'expressivitéI manque de structure

LEMA = Langage pour les Expressions Mathématiques

Annotées




Que fait la concurrence ?

Cf. Caduceus (Sylvie Boldo et al., Proval, INRIA Saclay-Île deFrance) : annotations de code.Dans le modèle Why des �ottants, un �ottant dans un programmeest un triplet :

I le nombre �ottant e�ectivement calculé par le programme :partie �ottante,

I la valeur obtenue avec des calculs exacts : partie exacte,I la valeur idéalement calculée : partie modèle.

Comment exprimer : des valeurs calculées avec des précisionsvariables, le fait qu'une addition soit exacte (ou un Fast2Sum). . . ?




Point de départ : MathML

MathML : conçu pour échanger des objets entre systèmes decalcul formel,avec une sémantique mathématique.Deux approches, presentation ou content : c'est la partie content

qui nous intéresse.Cela ressemble à du XML, donc à un langage fonctionnel (et pasimpératif, bien que nous manipulions essentiellement du C. . . )mais les objets manipulés sont des expressions, donc des arbres.




Point de départ : MathML pour pouvoir manipuler desexpressions et de la sémantique

De plus, on peut également exprimer l'erreur comme une expressionsymbolique :par exemple, comment dé�nir l'erreur relative entre x1 et x2 :

par|x1 − x2||x1|

ou par|x1 − x2||x2|

?

Cela dépend de quelle est la valeur considérée comme exacte : x1ou x2 ?




Point de départ : MathML pour pouvoir manipuler desexpressions et de la sémantique

Si on veut de plus considérer des nombres �ottants avec desprécisions variables pi , on aura des erreurs données par desexpressions symboliques en les pi . . .mais cela déborde du cadre d'EVA-Flo : précisions �ottantesusuelles et en tout cas �xées une fois pour tout un code.




Brève introduction à MathML : exemple

(a + b)2

s'écrit<apply>

<power/>

<apply>

<plus/>

<ci>a</ci>

<ci>b</ci>

</apply>

<cn>2</cn>

</apply>




Brève introduction à MathML : éléments

Il y a une centaine d'éléments : apply, power, plus. . .environ 90 opérateurs.




Brève introduction à MathML : attributs

<element attribut1="valeur1" attribut2="valeur2" ...>...

</element attribut="valeur">

Par exemple, on peut préciser type : entier, rationnel, complexe. . .ou base : 2, 16 . . . quand ce n'est pas 10.




Brève introduction à MathML : token

Dans l'exemple on a vu <ci> ou <cn> :c pour contenti pour identi�ern pour number.





(a + b)2

s'écrit<apply>

<power/>

<apply>

<plus/>

<ci>a</ci>

<ci>b</ci>

</apply>

<cn>2</cn>

</apply>




Brève introduction à MathML : exemples

[1,+∞[=

<interval closure="closed-open">

<cn> 1 </cn>

<ci> &infty ; </ci>

</interval>

<vector> <elt1> <elt2> ... </vector>

<matrix> <row1> <row2> ... </matrix>





+∞∑n=0

xn

<apply><sum/>

<bvar> <ci>n</ci> </bvar>

<lowlimit> <cn>0</cn> </lowlimit>

<uplimit> <ci>&infty ;</ci> </uplimit>

<apply><power/>

<ci>x</ci>

<ci>n</ci>

</apply>

</apply>




Brève introduction à MathML

En particulier, il existe un élément semantics(prévu initialement pour pouvoir spéci�er à la fois la présentation etle contenu)qui permet d'étendre XML, en ajoutant des informationscompréhensibles par l'utilisateuret un attribut annotation.Oui, on en revient à des annotations !-)




Plan de l'exposé






Exemple de Guillaume Revy :√x

Objectif :

I calculer√x avec arrondi correct

I pour x �ottant simple précision normalisé > 0I x = m · 2e .

Architecture cible : ST240, 4 voies, latences connues (3 pour ×et 1 pour +), avec des registres 32 bits, des opérations entièresuniquement.Éviter l'utilisation de tables.




Exemple de√x

√

x

F

F




Exemple de√x

IR

≤ 2−54

F

F

F

−

√

x

polynôme

d'approximation




Plan de l'exposé






Distinction entre arbre LEMA et arithmétique utilisée

Deux points de vue ont été proposés, qui ne semblent pasfoncièrement di�érents. . .

I soit on annote les opérations "purement" mathématiques parl'arithmétique utilisée

I soit on exprime explicitement toutes les opérations e�ectuées,y compris les arrondis ; les opérations héritent / dépendentaussi d'une arithmétique en cas de besoin

Décision : annoter toutes les opérations par l'arithmétique

utilisée.

Au passage : même décision pour la représentation del'architecture, cf. réunion à Perpignan. . .




LEMA : opérations et relations

À ajouter au lexique MathML :I mantisse, exposant, exposant moduloI mode d'arrondi : fonction ou relation dans le cas de l'arrondi

�dèle ;I opérateurs FMA, ‖.‖2 ;

Quid des informations sur la fonction calculée : est-elle continue,dérivable, C2, analytique. . . ? Si on dispose de ces informations,elles devront apparaître dans les annotations.




LEMA : informations sur les opérandesOn peut représenter à l'aide d'arbres, avec des opérationsrelationnels :

I majorant, strict ou non : < ou ≤ ;I minorant, strict ou non : > ou ≥ ;I plage restreinte de valeurs a ≤ x ≤ b ;I x est normalisé : à remplacer par x = m.2e avec 1/2 ≤ m < 1

et −1023 ≤ e ≤ 1022 ;c'est-à-dire remplacer x par l'arbre qui représente cetteexpression et qui hérite de l'arithmétique adéquate ;

I exprimer un domaine à trous : [−1, 1] \ [−2−15, 2−15] : àécrire ;

I ce résultat est mathématiquement valide (note : cela ne veutpas dire qu'il ne pourra pas prendre la valeur NaN : un NaNpeut être possible à cause des erreurs d'arrondi).




LEMA : erreurLes erreurs sont données par leurs formules, qui sont représentablespar des arbres :

I dire que, bien que le résultat soit calculé en �ottant, il estexact (eg. Sterbenz) : avoir une relation d'égalité entre x exactet x calculé en �ottant ?

I erreur ou borne d'erreur (absolue, relative, en ulp) : on a décidéde toujours donner la formule pour l'erreur sinon on ne sait pasde quoi on parle : erreur absolue = x − x̃ ou bien |x − x̃ | ?erreur relative : la formule n'est pas symétrique (x − x̃)/x ;

I erreur mathématique (eg. entre une fonction et sonapproximation polynomiale) ;

I comment exprimer l'erreur dans le cas où on a desdouble-doubles, triple-doubles : par les formules adéquates, quine sont pas nécessairement simples mais bon ;

I exprimer une erreur piecewise.CEA Saclay EVA-Flo : présentation du projet et avancement des travaux



LEMA : erreur (suite et �n)

Distinction entre valeur exacte, approchée, cf. valeur modèle, sanserreur d'arrondi ou arrondie de Sylvie Boldo : un arbre pour chaquevaleur et une opération ou relation établissant le lien entre cesarbres.




LEMA : arithmétique machine

I précision du calcul, cf. formats IEEE ;I base de calcul ;I présence ou non des dénormalisés ;I plage pour les exposants.

À propos de la précision arbitraire : la précision désirée pour le codeà générer est �xée au début de l'exécution, que dire de celle qui estutilisée en cours de route (pour les évaluations précises depolynômes, pour établir les encadrements. . . ) ?




LEMA : architecture

Comment exprimerI le parallélisme ;I coût de calcul : délai, latence, mémoire, retard :

dans une boîte qui décrit l'architecture.




LEMA : preuve ?

Comment exprimer ce qui suit ?I preuves : soit des propriétés (i.e. déjà prouvées), soit des

hypothèses (ou obligations de preuve en langage Coq/PVS, i.e.à prouver) ;

I trace d'une preuve, par exemple si un calcul par intervalles este�ectué pour prouver un encadrement : conserver lesbissections e�ectuées ;

I dire que l'on peut relaxer des contraintes (hypothèses selon ladénomination ci-dessus) si besoin, pour rendre le problèmeréalisable ou pour des questions d'optimisation.




Plan de l'exposé






Comment arriver à l'algorithme suivant ?

Formule d'évaluation :

√x =

√m · 2e = ϕ ·

√m · 2b

e

2c

avec m ∈ [1, 2[ et ϕ ∈ {1,√2}.

Et même :

√x =

(1 + (

√2− 1) · bpe(x))

)·√

m(x) · 2be

2c

avec bpe(x) = bit de parité de l'exposant de x .




Représentation de cette formule

cf. dessin au tableau.




Utilisation de LEMA

comme format d'entrée et de sortie des di�érents outils présentsdans EVA-Flo (chacun devant intégrer un parseur).

Idée : ne pas réécrire tous ces outils en XSLT pour manipuler duLEMAmais pro�ter de l'existant à moindres frais.




Avoir un dictionnaire de propriétés

par exemple de RN (arrondi au plus près),qui dit que la multiplication par une puissance de 2 est exacte (sousconditions)etc.

Comment appliquer ces propriétés / règles de réécriture ?I toutes les essayer (cf. Gappa) ?I avoir des heuristiques, des priorités, n'essayer la suivante que si

la précédente a échoué ?(Càd priorités des règles)

I etc.




Encore des choses utiles ou des extensionsN÷ud approximation

pour ne pas appliquer indé�niment des transformationscommutatives (des équivalences)pour appliquer les règles à l'approximant uniquement.

N÷ud piecewise

il existe en MathML et nous sera bien utile.Sa particularité : en cas de dé�nition multiple (d'intervalles dedé�nition qui se chevauchent), pas de problème si les dé�nitionssont équivalentes.Cela permet notamment des tests � �ous �, càd dontl'implémentation ne correspond pas aux tests mathématiques àcause des erreurs d'arrondi, mais aussi des tests dé�nis a posteriori,par exemple après timings.




Comment e�ectuer une preuve ?

Soit en prouvant que les transformations e�ectuées pour passerd'un arbre LEMA au suivant sont correctes :problème du volume des tracessoit en ne conservant que les appels aux outils (avec tous lesparamètres) :dans ce cas, problème de la preuve des outils ?




Plan de l'exposé






Questions en cours

I un chef d'orchestre ou plusieurs ?I lien avec les systèmes experts (ou semi-humains /

semi-automatiques) ?I lien avec la compilation (puisque transformation de codes) ?I pour démarrer le développement logiciel, trouver de

� bons �exemples :I traduire un arbre LEMA en C (générer le code C

correspondant)I approximations hiérarchiques (simpli�ées) de VincentI traitement des exceptions : ici, le problème est aussi de remplir

les boîtes carrées bleues formalisant l'arithmétique machine.


eva-flo : présentation du projet et avancement des travaux

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