etude expérimentale d'un jet pulsé dans un écoulement transverse

THÈSE

pour l’obtention du Grade de

DOCTEUR DE L’U NIVERSITÉ DE POITIERS

Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées(Diplôme National - Arrêté du 7 Août 2006)

École Doctorale :Sciences Pour l’Ingénieur et Aéronautique

Secteur de Recherche :Mécanique des Fluides

Présentée par :

Romain VERNET

Etude expérimentale d’un jet pulsé dans un

écoulement transverse à faible nombre de ReynoldsInfluence de l’excitation sur le mélange et sur la dynamique

tourbillonnaire

Directeurs de Thèse :

Laurent DAVIDLionel THOMAS

Soutenue le 11 janvier 2010 devant la Commission d’examen composée de :

Michel RIETHMULLER - Professeur à l’Institut von Kármán, Bruxelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rapporteur

Serge SIMOËNS - Directeur de recherche au CNRS, LMFA, Lyon . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Rapporteur

Jacques BORÉE - Professeur à l’ENSMA, Poitiers . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Examinateur

Laurent DAVID - Professeur à l’université de Poitiers . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examinateur

Bertrand LECORDIER - Chargé de Recherche au CORIA, Rouen . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examinateur

Alain STRZELECKI - Ingénieur de Recherche, ONERA de Toulouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Examinateur

Lionel THOMAS - Maître de Conférence à l’université de Poitiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Examinateur

Remerciements

Ce mémoire est l’aboutissement de mes travaux réalisés au sein du Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques

(LEA) à Poitiers, sous la direction de Laurent DAVID et Lionel THOMAS. Je tiens tout particulièrement à les

remercier pour leurs encouragements permanents durant ce travail de recherche ainsi que leurs conseils scienti-

fiques avisés et les nombreuses connaissances qu’ils m’ont apportés. Je remercie également le laboratoire qui m’a

accueilli ainsi que son directeur Yves GERVAIS.

Dans un second temps, je tiens à remercier Monsieur Michel RIETHMULLER et Monsieur Serge SIMOENS

de m’avoir fait l’honneur de rapporter ce travail de thèse. J’exprime ma gratitude également Monsieur Bertrand

LECORDIER et Monsieur Alain STRZELECKI d’avoir accepté de participer au jury de cette thèse et Monsieur

Jacques BOREE de l’avoir présidé au cours de cette journée du11 janvier 2010.

La troisième vague de remerciements est destinée à l’ensemble des personnes ayant travaillé avec moi au la-

boratoire. Je remercie une seconde fois Laurent DAVID et Lionel THOMAS pour leur disponibilité, leur bonne

humeur que ce soit au cours des manipulations, des réunions de travail ou lors des débriefings sportifs les len-

demains de match. Je remercie Raphaël FRATICELLI pour ses conseils et les résultats de son travail qui ont été

réalisé en amont de mes recherches. Je remercie tous les services du laboratoire sans qui je n’aurais jamais pu

réaliser ce travail : Patrick et Romain pour les montages optiques et le temps passé sur la mezzanine autour de

la veine d’essai ; Christian, Laurent, Patrice et Jean-Christophe à l’atelier en outre pour la réalisation des prismes

et les petits bricolages de dernière minute ; Yvan pour les problèmes de pilotage de la pompe canadienne et les

deux informaticiens Vincent et Francis qui ont dû me supporter tous les jours avec mes problèmes informatiques et

lors de l’entraînement au semi-marathon. Bravo Vincent pour cet exploit ! ! ! Merci à l’ensemble du personnel, les

permanents, les techniciens pour leur contribution à mes expériences, les secrétaires et étudiants avec lesquels j’ai

partagé ces trois années et quelques mois dans la joie et la bonne humeur. Je remercie enfin les doctorants du labo-

ratoire et particulièrement Malik qui m’aura supporté pendant ces années ainsi que Christophe, mon collègue de

l’Est, pour la fameuse ’énigme de l’après-midi’. Je remercie également les footeux avec qui on a gagné le tournoi

et la coupe du championnat inter-labo : Vincent, Thierry, Tony, Malik, Jo, Michel, Hicham ... puis ceux qui sont

partis au cours de ma thèse : Alex, Loule, Max, Lolo et particulièrement Sylvain pour ses relectures anglaises de

mes articles, et enfin les autres doctorants : Boni, Antoine,JC ...

i

ii Remerciements

Je ne pourrais clore ma liste sans adresser un immense merci àmon frère Julien qui a su s’organiser et continuer

sa vie après mon départ sur Poitiers, mes oncles et tantes pour leur soutien. J’ai également une pensée pour mes

parents qui seraient fiers de moi aujourd’hui. Ils ont contribué à ma réussite et m’ont permis de m’épanouir dans

ce que je fais.

Enfin et surtout, un merci tout particulier à la femme qui partage ma vie, Hélène, que j’ai rencontrée au labo-

ratoire et qui m’a apporté le soutien, l’affection et les attentions dont j’ai eu besoin lors des semaines difficiles de

rédaction de la thèse ...

TABLE DES MATIÈRES

Remerciements i

Nomenclature vii

Introduction 1

1 Le jet pulsé dans un courant transverse 3

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5

2 Jet continu dans un écoulement transverse . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Structure de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6

2.2 Caractéristiques principales de l’écoulement . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Vers le forçage du jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 8

3 Jet synthétique dans un écoulement transverse . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Etude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10

3.2 Etude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12

4 Jet pulsé dans un écoulement transverse . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Excitation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 15

4.2 Excitation mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 17

5 Jet libre à orifice carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 20

6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 20

2 Dispositif expérimental et techniques de mesure 23

1 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 25

1.1 Système d’alimentation du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 26

1.2 Veine hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27

2 Instrumentation de la manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1 Système d’enregistrement des images . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 28

2.1.1 Appareils photographiques et caméscope numériques .. . . . . . . . . . . . . 28

iii

iv Table des matières

2.1.2 Caméras numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 29

2.2 Sources lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 29

2.2.1 Spots à découpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

2.2.2 Source laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

2.3 Système de synchronisation et pilotage . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Système de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 31

3 Ensemencement de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 31

3.1 Particules solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31

3.2 Traceurs fluorescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32

4 Visualisations et techniques de mesure . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Tomographie laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 34

4.2 Visualisations volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 34

4.3 Vélocimétrie par image de particules (PIV) . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Vélocimétrie par Image de Particules Stéréoscopique (SPIV) . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4.1 Mise en place de la mesure SPIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 37

Position des caméras CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Arrangement de Scheimpflug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Prismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Phase de calibration des caméras . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 39

4.4.3 Traitement des images de particules . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 41

4.4.4 Validation de la phase de traitement . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42

4.4.5 Convergence des moyennes statistiques . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 44

4.5 Fluorescence Induite par Laser (PLIF) . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 44

4.5.1 Rappels théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45

4.5.2 Hypothèses sur les mesures de concentration . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 46

4.5.3 Conversion des images en champ de concentration . . . . .. . . . . . . . . . . 48

5 Mesures couplées SPIV-PLIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 50

5.1 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 51

5.2 Synchronisation et enregistrement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Problèmes engendrés par le couplage . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 53

3 Influence de la pulsation du jet sur la dynamique tourbillonnaire 59

1 L’écoulement non forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 61

2 Etude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 64

2.1 Variation de la fréquence de pulsation . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 65

2.2 Exemple du jet pulsé à 0,25 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3 Jet pulsé à une fréquence supérieure àfC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4 Etude de la transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 75

2.5 Conclusion sur l’étude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 77

3 Quantification de la sortie du jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 78

3.1 Déphasage de la vitesse du jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 78

3.2 Profil de vitesse au niveau de l’orifice carré . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Conclusion sur l’étude de la sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 81

4 Etude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 82

4.1 Ecoulement moyen du jet pulsé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 82

Table des matières v

4.1.1 Champs moyens de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 82

4.1.2 Points singuliers de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 83

4.1.3 Aspect tridimensionnel de l’écoulement . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 84

4.1.4 Analyse de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 85

4.2 Structures instationnaires proches de la sortie du jet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.1 Grandeurs déduites des mesures de vélocimétrie . . . . .. . . . . . . . . . . . 88

4.2.2 Formation tourbillonnaire liée à la pulsation . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Structures instationnaires dans la région de sillage . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.1 Dynamique tourbillonnaire dans les plans longitudinaux . . . . . . . . . . . . . 91

4.3.2 Etude fréquentielle des zones tourbillonnaires . . . .. . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.3 Tourbillons ascendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 95

4.3.4 Tourbillons contrarotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 96

5 Conclusion sur l’influence de la pulsation du jet . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Influence de la pulsation du jet sur le mélange 101

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 103

1.1 Etude de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 104

1.2 Analyse de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 106

2 Critères de mélange : outils pour la comparaison . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.1 Surface et longueur de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 106

2.2 Critère de mélangeFm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3 Présentation des outils fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 109

2.3.1 Dimension de boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 111

2.3.2 Lacunarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111

2.3.3 Entropie de configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 113

2.4 Taux de production du gradient de concentration . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114

3 Applications des outils de quantification au jet pulsé dansun écoulement transverse . . . . . . . . 115

3.1 Mélange dans le plan longitudinal à l’écoulement . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.2 De la concentration au mélange dans l’écoulement . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3 Statistiques vitesse-concentration . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4 Extension du mélange dans le plan orthogonal à l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 125

4 Conclusion sur le mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 130

5 Analyse et reconstruction de l’écoulement 133

1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 135

2 Introduction à la snapshot POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 136

3 Snapshot POD : analyse des modes spatiaux et des coefficients temporels . . . . . . . . . . . . . 137

3.1 Application au jet continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 138

3.2 Application au jet pulsé à 1 Hz : organisation des modes spatiaux . . . . . . . . . . . . . 139

3.3 Influence de la composante de vitesse hors plan . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 143

3.4 Influence de la fréquence d’acquisition . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 144

3.5 Décomposition sur le plan orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 147

4 Applications aux jets pulsés à 0,25 Hz et 10 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5 Snapshot POD multiplan : influence des modes spatiaux . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1 Reconstruction volumique des modes forcés . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 151

5.2 Comparaison avec les plans transversaux . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 153

vi Table des matières

6 Modélisation des modes naturels de sillage . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7 Conclusion sur la reconstruction d’écoulements . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Conclusion 159

Annexe : Conditions d’entrée du jet pulsé 163

Bibliographie 169

Nomenclature

Acronymes

bit Binary Digitlaser Light Amplification by Stimulated Emission of Radiationpixel (px) Picture ElementCCD Charge-Coupled DeviceCMOS Complementary Metal Oxide SemiconductorFFT Fast Fourier TransformHI Holographic interferometryHPIV Holographic Particle Image VelocimetryLIF Laser Induced FluorescenceNd :YAG Neodymium-doped Yttrium Aluminium GarnetPDF Probability Density FunctionPIV Particule Image VelocimetryPLIF Planar Laser Induced FluorescencePTV Particle Tracking VelocimetryPOD Proper Orthogonal DecompositionpH Potentiel hydrogèneRMS Root-Mean-Square (Écart-type)SPIV Stereoscopic Particule Image Velocimetryvoxel Volumetric Pixel

Lettres latines

A paramètres de l’équation de la trajectoire du jetB paramètres de l’équation de la trajectoire du jetc(~x) concentration au point~xcs concentration seuil pour binariser un champ de conentrationdp diamètre moyen des particules d’ensemencement [m]D diamètre d’un jet rond [m]DB dimension de boîte (dimension fractale)D f dimension fractaleH(k) entropie de configuration pour une image

vii

viii Nomenclature

H∗(k) entropie de configuration normalisée pour une imagef fréquence des oscillations du jet pulsé [s−1]Fm critère de fraction de mélangeL longueur du côté d’un jet carré [m]L(k) lacunarité d’une image en fonction de la taillekL j longueur du contour du jet adimensionnée [m]S surface de l’orifice du jet [m2]

Sc surface du champ de concentration [m2]Sj surface du jet adimensionnée⇒S tenseur des déformations [s−1]t temps [s]Q second invariant du tenseur gradient de vitesseQ2D critèreQ bidimensionnelleT période d’une oscillation du jet pulsé [s]U j vitesse caractéristique du jet [m.s−1]

U j vitesse moyenne du jet [m.s−1]Uc f vitesse caractéristique de l’écoulement transverse [m.s−1]u j vitesse instantanée du jet [m.s−1]

u′ fluctuation de vitesse longitudinale [m.s−1]v′ fluctuation de vitesse transversale [m.s−1]w′ fluctuation de vitesse verticale [m.s−1]~V vecteur vitesse [m.s−1]Vx vitesse longitudinale [m.s−1]

Vy vitesse transversale [m.s−1]Vz vitesse verticale [m.s−1]x coordonnée cartésienne (direction longitudinale) [m]y coordonnée cartésienne (direction transversale) [m]z coordonnée cartésienne (direction verticale) [m]

Lettres grecques

αR rapport cyclique d’injectionγ taux de production du gradient de concentration localΓ taux de production du gradient de concentration∆t intervalle entre deux images ou volumes de particules [s]λlaser longueur d’onde d’émission du laser [m]ρc f masse volumique de l’écoulement transverse [kg.m−3]ρ j masse volumique du jet [kg.m−3]⇒Ω tenseur de rotation [s−1]

Nombres caractéristiques de l’écoulement

R racine carré du rapport des quantités de mouvement des deux fluidesRe nombre de ReynoldsSt nombre de Strouhal

Introduction

Le Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques (LEA) de l’université de Poitiers s’efforce de poursuivre des activi-

tés sur la compréhension et la prédiction de la dynamique et des transferts dans les écoulements instationnaires,

depuis les bas jusqu’aux hauts nombres de Reynolds. Le présent travail de recherche s’inscrit dans le cadre d’une

étude fondamentale sur un jet pulsé émanant d’un orifice de forme carrée dans un écoulement transverse pour

des faibles nombres de Reynolds. Il poursuit des études précédentes déjà réalisées au sein de l’ancienne équipe

Dynamiques et Transferts Instationnairesdu laboratoire par Calluaud (2003) sur l’écoulement naissant et établi

autour d’un parallélépipède et plus récemment par Fraticelli (2008) sur un jet continu dans un courant principal.

Cette étude porte sur l’interaction entre deux fluides et notamment leur mélange qui est un phénomène crucial

dans certains contextes tels que la combustion (mélange comburant/carburant), la convection naturelle (thermique

du bâtiment), l’isolation ouverte (rideaux d’air), les procédés industriels (agro-alimentaire) ou encore l’environ-

nement (dispersion de polluant dans l’atmosphère, éjection d’eau chauffée en rivière en sortie de centrale, rejet

d’eau douce dans l’océan). Contrôler ces écoulements serait la garantie d’économies d’énergie substantielles et

limiterait l’impact environnemental, ce qui constitue un des enjeux majeurs de ce siècle. Il est donc très important

de caractériser ces processus de mélange afin de pouvoir, à terme, espérer les contrôler.

Ce travail de thèse vise à décrire et comprendre l’écoulement formé par l’interaction d’un jet pulsé et d’un cou-

rant transversal à un faible nombre de Reynolds. Connaissant plus précisément l’écoulement non forcé et dans un

souci d’augmenter le mélange et la pénétration du jet dans lecourant principal, une approche consiste à le pulser.

Plusieurs paramètres contrôlent l’impact des pulsations sur le comportement du jet tels que la fréquence, l’ampli-

tude ou encore le rapport cyclique d’injection (temps d’injection du fluide par rapport à la période de pulsation).

Dans ce mémoire, l’influence de la fréquence d’excitation dujet est étudiée. L’objectif consiste à caractériser et

quantifier la dynamique tourbillonnaire et le mélange lors de la variation de ce paramètre. De plus, ces différents

aspects sont comparés à l’écoulement non forcé tout au long de ce manuscrit. Cette étude s’appuie sur des mesures

expérimentales bi- et tridimensionnelles de vitesse et de concentration dans l’écoulement. En parallèle à cette ana-

lyse, une technique de reconstruction tridimensionnelle est appliquée sur des champs de vitesse trois composantes

enregistrés dans plusieurs plans et fournit un modèle simplifié de l’écoulement.

Dans le premier chapitre, une étude bibliographique relative au jet continu et pulsé dans un écoulement trans-

verse est proposée. Elle montre la complexité de ce type d’écoulement et présente les structures engendrées lors de

1

2 Introduction

l’interaction entre les deux fluides. La majeure partie des recherches se base sur l’analyse de la trajectoire du jet, la

topologie et le mélange entre le jet et l’écoulement transverse. Les paramètres qui influencent la dynamique de ce

type d’écoulement sont recensés. Enfin, sachant que les études sur les jets de forme carrée sont peu nombreuses,

quelques travaux sur ce type d’orifice sont exposés.

Dans un second temps, le dispositif expérimental et les techniques de visualisation bi- et tridimensionnelles

utilisées durant cette thèse sont présentés. Les deux techniques optiques de mesures employées, la vélocimétrie

par image de particules et la fluorescence induite par laser,sont ensuite exposées en détails. Puis, une technique

de mesures couplées, ayant servi à obtenir des champs de vitesse et de concentration dans deux plans simultanés

de l’écoulement, est détaillée. Enfin, une dernière partie est dédiée aux problèmes liés au couplage de ces deux

techniques.

La troisième partie présente, dans un premier temps, des analyses qualitatives à partir de visualisations pour ex-

traire les caractéristiques principales des écoulements engendrés par la fréquence de pulsation du jet. Il en découle

le choix des trois fréquences représentatives des différents régimes sélectionnées pour cette étude. La seconde

partie est une analyse quantitative de la dynamique tourbillonnaire générée à proximité de l’orifice carré du jet et

dans le sillage de l’écoulement. Différents mécanismes pour trois fréquences d’excitation sont mis en évidence à

l’aide de grandeurs statistiques et dérivées de la vitesse au cours de la pulsation au moyen d’analyses basées sur

des champs moyens de vitesse, des champs moyennés en phase etenfin des champs instantanés.

La quatrième partie présente les résultats des mesures de concentration sur l’écoulement. Elle permet de quan-

tifier le mélange au travers de plusieurs critères. Ces grandeurs géométriques et cinématiques sont tout d’abord

détaillées à l’aide d’exemples simples afin de comprendre cequ’elles caractérisent. Ensuite, la qualité du mélange

est analysée sur la période d’injection dans le plan longitudinal médian de l’écoulement ainsi que l’influence de la

vitesse du jet sur son évolution. Enfin, la propagation de ce mélange dans la direction transversale du jet est étudiée

à l’aide des mesures couplées des champs de concentration.

Dans un dernier chapitre, une modélisation tridimensionnelle de l’écoulement est proposée au moyen de la

décomposition orthogonale aux valeurs propres. L’objectif est tout d’abord l’interprétation physique des premiers

modes spatiaux afin de comprendre dans chacun des plans les effets du forçage, pour ensuite les intégrer dans un

modèle de l’écoulement. L’influence des données d’origine,des trois composantes des vitesses et de la localisation

du plan sont mises en exergue. Une modélisation associant les modes représentatifs de la moyenne, du forçage et

des instationnarités naturelles est réalisée puis comparée à des plans transversaux de mesure.

CHAPITRE

1

Le jet pulsé dans un courant transverse

Sommaire1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 52 Jet continu dans un écoulement transverse . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

2.1 Structure de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 6

2.2 Caractéristiques principales de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 7

2.3 Vers le forçage du jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8

3 Jet synthétique dans un écoulement transverse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 103.1 Etude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

3.2 Etude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

4 Jet pulsé dans un écoulement transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 144.1 Excitation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

4.2 Excitation mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17

5 Jet libre à orifice carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 206 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 20

3

1. Introduction 5

1 Introduction

L’interaction entre un jet et un écoulement transverse est un type d’écoulement très complexe, assimilable au

mélange d’un fluide débouchant dans un autre milieu fluide. Son étude est importante et reste un enjeu majeur

afin d’améliorer le mélange entre les deux fluides par exemple. Dans notre quotidien, des exemples de cet écoule-

ment sont nombreux. Il peut être mis en oeuvre d’un point de vue environnemental dans des exemples d’éjection

d’eau chaud en rivière en sortie de centrale, de rejet d’eau douce dans l’océan ou encore l’interaction entre les

fumées des cheminées d’usine et l’air extérieur affectant la dispersion de polluants dans l’atmosphère sur la figure

1.1(a). De la même manière, l’efficacité des moteurs à injection peut être améliorée par le mélange entre le jet

(essence) et l’écoulement (air/oxygène). L’améliorationdes qualités d’injections du combustible dans la chambre

de combustion d’un moteur sur la figure 1.1(b) est prépondérante pour les constructeurs. Enfin, les systèmes de

refroidissement dans une aube de turbine sur la figure 1.1(c)sont utilisés afin d’améliorer la durée de vie des ins-

tallations. Un film liquide injecté par de petits orifices permet une pseudo-isolation des parois à la forte chaleur

présente dans le système. Ce panel non exhaustif permet de serendre compte des intérêts de ce type d’écoulement

dans beaucoup de secteurs tels que la combustion, la propulsion ou encore la dispersion de polluant. L’importance

de la compréhension de l’écoulement est essentielle afin de pouvoir par la suite le contrôler ou améliorer les proces-

sus de mélange. Dans une première partie, les caractéristiques d’un jet continu dans un écoulement transverse sont

(a) Cheminées d’usine (b) Chambre de combustion (c) Aube d’une turbine

FIG. 1.1 – Exemples de jets dans un écoulement transverse

synthétisées brièvement. Cette partie rappelle les différentes zones et structures tourbillonnaires qui composent cet

écoulement. Margason (1993) a réalisé un résumé plus détaillé des recherches sur cet écoulement au cours des cin-

quante dernières années étoffé d’une bibliographie abondante. Ces différentes références permettent d’approfondir

la connaissance des jets gazeux, liquides ou autres sous desaspects théoriques, numériques ou expérimentaux.

D’autre part, les recherches ont évolué pour améliorer les performances des jets (le mélange et la pénétration par

exemple). Une approche consiste à perturber le jet par des oscillations à sa sortie de l’orifice. La suite de ce chapitre

est consacrée aux différentes façons d’y aboutir. Dans une seconde partie, le jet synthétique (sans apport de masse)

dans un écoulement transverse est présenté. Ensuite, une partie est dédiée au jet pulsé avec apport de masse pour

des excitations acoustiques ou mécaniques. Ce chapitre meten évidence de nombreuses recherches avec un aspect

expérimental et un petit panel d’études numériques sur les jets dans un écoulement transverse. Quelques papiers

sur la formation de structures spécifiques relatives à la forme carrée de l’injection sont relatés car la plus part des

études se focalisent sur les jets ronds.

6 Chapitre 1 - Le jet pulsé dans un courant transverse

2 Jet continu dans un écoulement transverse

2.1 Structure de l’écoulement

Avant de considérer comment des perturbations modifient la pénétration et le mélange d’un jet, les caracté-

ristiques du jet continu dans un écoulement transverse sontrésumées brièvement. Deux régions dominantes sont

identifiables sur la figure 1.2 : la région proche de la sortie du jet (incluant le corps potentiel (I) et la zone de

transition (II)) et la région loin de la sortie du jet (III). Le corps potentiel est caractérisé par une région de vitesse

FIG. 1.2 – Schéma des différentes régions d’un jet dans un écoulement transverse et des lignes de références pourl’étude de sa trajectoire (Brizzi, 1994)

et de concentration quasi-uniforme à la sortie du jet. Dans une zone de transition, le jet se courbe rapidement. Il

se déforme longitudinalement vers l’intérieur dans la partie de faible vitesse, sous le jet : c’est la formation des

tourbillons contrarotatifs. Ces tourbillons se distinguent par une forme en haricot dans une section transverse de

l’écoulement lorsqu’ils sont réellement développés (Fearn & Weston, 1974). Ils jouent un rôle important dans le

sillage lointain du jet (Broadwell & Breidenthal, 1984).

L’interaction entre le jet et l’écoulement transverse engendre des structures tourbillonnaires très différentes.

Fric & Roshko (1994) établissent un schéma type de ces principales structures sur la figure 1.3. Elles sont au

nombre de quatre :

− les tourbillons en fer à cheval :Ils se forment en amont de la sortie du jet. Dans cette région,le fluide

à proximité de la sortie du jet ralentit et tend à la contourner. Suite à ce blocage de l’écoulement par le

jet (comme un obstacle), un décollement tridimensionnel dela couche limite s’opère. L’intensité de ce

décollement est liée aux conditions du fluide injecté par rapport à celui du courant principal. Le fluide

contournant la zone d’injection se rapproche ensuite du plan médian en aval de la sortie du jet. Une forme

en fer à cheval est identifiable ce qui a donné le nom à cette structure au cours du temps (Krothapalliet al.,

1990).

− les tourbillons contrarotatifs : Ce sont les paires de tourbillons contrarotatifs évoqués précédemment.

Ils prennent naissance dès la sortie de l’orifice et se forment dans le sillage lointain. Ils sont clairement

2. Jet continu dans un écoulement transverse 7

FIG. 1.3 – Schéma des structures d’un jet dans un écoulement transverse (Fric & Roshko, 1994)

visibles dans des vues de coupe de l’écoulement (Cortelezzi& Karagozian, 2001).

− les tourbillons de sillage :Ces tourbillons se situent en aval de la sortie du jet. Ils s’étendent de la couche

limite vers la frontière inférieure du jet. Ils sont formés de tourbillons sortant de la couche limite et parfois

se rattachant au jet selon les conditions d’injection (Fric& Roshko, 1994).

− les tourbillons de la couche de cisaillement :Ces tourbillons sont observés sur la frontière supérieure

ou inférieure du jet. Ils sont le résultat des instabilités de Kelvin-Helmholtz entre le cisaillement du jet

et du courant principal (Megerianet al., 2007). Dans des champs de vitesse moyennés, ils ne sont pas

observables. Ils sont dépendants également du taux d’injection.

2.2 Caractéristiques principales de l’écoulement

Après un rapide descriptif des structures du jet et avant toute analyse, il faut tout d’abord caractériser l’écou-

lement. Pour le jet continu, les paramètres principaux influant l’écoulement sont : le nombre de ReynoldsRedans

l’équation 1.1 et la racine carrée du rapport des flux de quantité de mouvementRdans l’équation 1.2.

Re=U jL

ν(1.1)

Dans notre étude, et dans beaucoup d’exemples par la suite, le nombre de Reynolds est basé sur la vitesse moyenne

du jetU j , une longueur caractéristique de l’écoulementL et la viscosité cinématique du fluideν. L représente la

longueur du carré d’injection mais les études sur des jets ronds se basent sur le diamètre du jetD.

R=

(

ρ jU2j

ρc fU2c f

)

12

=U j

Uc fsi

ρ j

ρc f= 1 (1.2)

Dans cette équation,ρc f et ρ j sont les masses volumiques de l’écoulement transverse et dujet. Pour le rapport

entre les quantités de mouvement du jet et de l’écoulement transverse, il devient un rapport entre la vitesse du jet

et de l’écoulement transverseUc f lorsque les deux fluides ont la même densité (majeure partie des études). Cette

vitesseUc f est la vitesse de l’écoulement principal hors de la couche limite, lorsqu’elle est constante.

Les paramètres principaux étant posés, un point important des recherches sur cet écoulement est la caractéri-

sation de la trajectoire du jet. Ce principal intérêt provient du fait que l’on rattache la trajectoire à sa pénétration


(Hasselbrink & Mungal, 2001). Pratte & Baines (1967) introduisent une formulation de référence de la trajectoire

du jet selon l’équation 1.3.z

RD= A

( xRD

)B(1.3)

Cette formulation est valable dans le sillage du jet mais très peu souvent à proximité de la sortie du jet. Keffer &

Baines (1963) montrent l’utilité d’une échelle enR2D dans le champ proche de la sortie du jet au lieu deRD. Le

terme de trajectoire est souvent utilisé dans la littérature mais il faut faire attention à son emploi. On parle plus

facilement d’axe délimité par la ligne centrale issue de l’orifice du jet, de l’axe du maximum de vitesse, de concen-

tration, de température, de pression ou encore du maximum dequantité de mouvement. Smith & Mungal (1998)

mentionnent la pénétration comme étant la frontière supérieure du jet. Brizzi (1994) schématise les caractéristiques

employées au cours des différentes recherches sur la figure 1.2. Sur cette figure, cinq lignes principales du jet sont

matérialisées par : AD pour la frontière supérieure du jet, OF l’axe du maximum de vitesse, OG la ligne centrale du

jet, OH l’axe du maximum de température et BE la frontière inférieure du jet. Selon la définition de la trajectoire

du jet, les paramètresA et B de l’équation 1.3 prennent des valeurs différentes. Des exemples de résultats sont

répertoriés dans la tableau 1.1 pour les jets continus. Margason (1993) réalise une liste des différentes valeurs des

Littérature Référence A BSmith & Mungal (1998) max de concentration 1,5 0,27Pratte & Baines (1967) max de concentration 2,05 0,28Su & Mungal (1999) max de concentration 1,95 0,302

TAB . 1.1 – Constantes de l’équation 1.3 pour l’axe d’un jet continu dans un écoulement transverse

constantes et conclut que les données expérimentales montrentA compris entre 1,2 et 2,6 etB entre 0,28 et 0,34. Il

est à noter une caractéristique supplémentaire : le taux d’ouverture du jet associé à l’intervalle pris entre les deux

frontières. Selon Smith & Mungal (1998), ce paramètre augmente avec le taux d’injection.

D’autre part, des auteurs se focalisent sur l’influence de laforme de l’orifice du jet. Haven & Kurosaka (1997)

recherchent l’influence de la forme de sortie du jet sur l’expansion de la formation tourbillonnaire. Plus récemment,

Salewskiet al. (2008) mettent en évidence que les formes elliptiques à fortrapport d’aspect et les formes carrées

d’injection offrent une efficacité de mélange plus importante dans l’écoulement transverse. Limet al. (2001) réa-

lisent des visualisations par colorants d’un jet pour un taux d’injection R = 4,6 et unRe= 1600. Grâce à ses

observations, ils modélisent la formation des structures principales issues de la sortie du jet. Kelsoet al. (1996)

résument, sous forme de graphique, le type de structures existantes dans cet d’écoulement en fonction duReet de

Rsur la figure 1.4. Récemment, Megerianet al.(2007) présentent des résultats expérimentaux sur le comportement

des instabilités de la couche cisaillée du jet pour des rapports d’injections compris entre un et dix.

D’un point de vue numérique, Karagozian (1986) examine l’influence des tourbillons contrarotatifs et leurs

implications dans la pénétration du jet. Récemment, Muppidi & Mahesh (2005) montrent que le profil de vitesse

à la sortie de l’orifice et l’épaisseur de la couche limite affectent la diffusion du jet dans l’écoulement. Ils font

varier le taux d’injection entre 1,5 avecRe= 1500 et 5,7 avecRe= 5000. Ils étudient la pénétration avec une loi

en puissance identique à celle de l’équation 1.3. La pénétration est maximale avec un profil parabolique et une

épaisse couche limite.

2.3 Vers le forçage du jet

Avec l’évolution des recherches, le contrôle du processus de mélange du jet et de l’écoulement transverse de-

vient un point très important. Il requiert l’excitation temporelle à la sortie de l’orifice du jet : le jet pulsé. Des

2. Jet continu dans un écoulement transverse 9

FIG. 1.4 – Graphique des structures présentes pour un jet dans unécoulement transverse (Kelsoet al., 1996)

expériences de forçage de jet en écoulement transverse suggèrent que les variations temporelles de la vitesse du jet

permettent à la pénétration et la diffusion du jet d’être augmentées à des conditions spécifiques d’excitation. Une

des multiples explications est liée au contrôle de la génération des tourbillons du jet dans le temps.

Avant de parler des expériences sur les jets pulsés dans des écoulements transverses, l’intérêt est de comprendre

comment des oscillations ou perturbations à la sortie de l’orifice influent sur les jets libres (jet débouchant dans un

environnement au repos). Crow & Champagne (1971) observentque de petites oscillations périodiques de forçage

à la sortie d’un jet gazeux produisent de grand changement dans la structuration de l’écoulement. Vermeulenet al.

(1986) étudient l’effet de grandes amplitudes acoustiquessur des jets d’air. Ils observent des augmentations de

l’entraînement des tourbillons jusqu’à une certaine distance de la sortie du jet. Bremhorst & Hollis (1990) dé-

terminent des taux d’entraînement deux fois supérieurs à ceux observés dans le jet non pulsé dans des jets d’air

subsoniques. Pendant leurs périodes d’injection, le jet est complètement arrêté, le forçage est donc irrégulier. Gha-

rib et al.(1998) introduisent le nombre de formationLd/D selon l’équation 1.4 comme la longueur adimensionnée

de fluide injecté sur une période de pulsationT. Dans cette équation,u j est la vitesse instantanée du jet.

Ld =1S

Z T

0

ZSu j dSdt (1.4)

Pour un jet libre rond de surfaceS, ils parlent de la formation d’anneaux tourbillonnaires avec une colonne fluide

à un nombre de formationLd/D > 4. En dessous de cette limite, la structure tourbillonnaireseule se forme. Avec

l’augmentation de la longueur d’injection, la colonne de fluide générée sous les tourbillons s’étirent. De plus,

d’autres tourbillons se créent sur cette colonne de fluide. Ce papier est une référence dans la détermination d’une

échelle de longueur universelle de la formation d’un anneautourbillonnaire.

Le problème majeur au commencement de ces études sur le forçage est la caractérisation du jet pulsé dans

l’écoulement transverse. Tout d’abord, les principaux nombres sans dimensions sont utilisés comme le nombre de

Reynolds (équation 1.1), le rapport d’injection (équation1.2) et le nombre de Strouhal (équation 1.5) basé sur la


fréquence d’injectionf .

St=f DU j

(1.5)

Dans cette équation,U j est la vitesse caractéristique du jet. Dans les études sur lejet continu, la vitesse du jet est

toujours identique donc le problème est simplifié. Le choix de cette vitesse est moins évident et discutable suivant

les paramètres d’injections (amplitude, fréquence, formedu signal) pour les jets pulsés. Les principales définitions

de cette vitesse caractéristique extraite de la littérature seront proposées tout au long de ce chapitre.

3 Jet synthétique dans un écoulement transverse

Le jet synthétique dans un écoulement transverse est aussi appelé dans la littérature scientifiquezero-net-mass-

flux jet in crossflow (ZNMF JICF). Il est souvent produit par une oscillation sinusoïdale d’une membrane ou d’un

piston afin d’alterner le sens de passage d’un fluide à traversun orifice. Ces jets synthétiques sont dans beaucoup

de recherches des actionneurs piézoélectriques. Ingard & Labate (1950) font partie des premiers scientifiques à

utiliser les oscillations acoustiques afin de perturber un jet. Depuis, les recherches ont évolué sur la connaissance

des propriétés de ces jets. Plus récemment, Wiltse & Glezer (1993) sont les premiers à utiliser les jets synthétiques

dans des méthodes de contrôle d’écoulement. Dans cette partie, les références se focalisent sur les jets synthé-

tiques et plus particulièrement les travaux menés par l’équipe du LTRAC (Laboratory for Turbulence Research in

Aerospace & Combustion). Leurs récents travaux sur un jet rond dans un canal en eau sont très intéressants par

leur diversité et l’approche de leur caractérisation du jet.

La caractéristique principale des jets synthétiques est leur vitesse moyenne nulle. Une période d’excitation du

jet est constituée d’un temps d’aspiration et d’un temps de refoulement du fluide. La détermination de la vitesse

caractéristique du jet est le point de départ important de toute étude sur ce type d’écoulement. Les différentes

échelles de vitesse recensées dans la littérature sont : la moyenne de la vitesse du jet sur la période d’injection du

fluide selon Smith & Glezer (1998) ou encore Glezer (1988), lavitesse maximum du jet (Kralet al., 1997) ou une

vitesse moyenne du jet à une distance de la sortie du jet selonMallinson et al. (1999) ou encore Rizzettaet al.

(1999). Une échelle de vitesse plus appropriée est utiliséeen étudiant l’écoulement à la sortie du jet introduite

par Cater & Soria (2002). Sachant que la vitesse moyenne du jet est nulle et considérant que le piston possède

une position moyenne alors aucune masse de fluide n’est injectée dans l’écoulement. Cependant, une quantité de

mouvement à travers l’orifice du jet existe et une énergie esttransférée à l’écoulement transverse. Donc, le jet pulsé

est caractérisé par une quantité de mouvement moyenne à travers l’orifice du jet. Sa vitesse caractéristiqueU j est

donc extraite de cette quantité de mouvement selon l’équation 1.6.

U j =

[

1ST

Z T

0

ZSu2

j dSdt

]12

(1.6)

Les paramètres dimensionnels gouvernant ce type d’écoulement sont le diamètre du jetD, le diamètre du piston

Dp, la fréquence des oscillationsf (ou la périodeT), l’amplitude des oscillationsa, la vitesse caractéristique du jet

U j , la vitesse de l’écoulement transverseUc f et la viscosité cinématique du fluideν. Ils déterminent les paramètres

adimensionnels de l’écoulement (équation 1.7) en fonctiondes simples paramètres du système.

St=D2

√2πDpa

Re=

√2π f aDp

νR=

U j

Uc f(1.7)

3.1 Etude qualitative

Grâce à la caractérisation des nombres adimensionnels (équation 1.7) en fonction des paramètres intrinsèques

au système, une étude paramétrique est effectuée (Tomaret al., 2004) sur la structure moyenne du jet rond syn-

3. Jet synthétique dans un écoulement transverse 11

thétique dans un écoulement transverse grâce à des mesures de concentration. Le nombre de ReynoldsRe de

l’équation 1.7 est constant. Les auteurs font varier leSt entre 0,08 et 0,56 (5 cas différents), ainsi que le taux d’in-

jectionR. Les vingt cas obtenus sont représentés sur la figure 1.5. Pour 0,08≤ St≤ 0,11, le jet possède seulement

FIG. 1.5 – Structures de vingt jets ronds synthétiques dans un écoulement transverse àRe= 1066 avec 0,08 <St< 0,56 et 2< R< 5 (Tomaret al., 2004)

une trajectoire principale dans l’écoulement transverse.De plus, avec l’augmentation deR, le jet tend à s’aligner

verticalement dans l’écoulement transverse. Ce phénomèneest lié à la quantité de mouvement prédominante du jet

par rapport à celle de l’écoulement principal. Ils identifient des jets à simples et multiples trajectoires. La transition

entre ces deux types de jets est définie avec l’augmentation du nombre de Strouhal àSt= 0,19 pour la séparation

de la trajectoire du jet en une seconde trajectoire. La trajectoire principale est celle qui pénètre le plus loin dans

l’écoulement transverse mais il y a une seconde trajectoireémergeant de la première qui forme un angle aigu avec

celle-ci. L’angle entre les deux trajectoires du jet augmente avec le taux d’injectionR lié à la progression de l’ali-

gnement du jet avec son axe vertical. Il est fonction duSt et deR. De plus, une étude (Gordonet al., 2004) est

réalisée sur deux types d’écoulement : un exemple dans la limite de la multi-trajectoire (St= 0,19) et l’autre dans

le cas d’un écoulement avec multiples trajectoires (St= 0,56).

Plus récemment, Zhonget al. (2007) étudient l’effet du rapport des vitessesR et du nombre de Reynolds

Re sur les structures d’un jet synthétique dans un canal en eau àl’aide de visualisations par colorants. Avec

l’augmentation du rapport des vitesses, trois types d’écoulement sont observés et présentés sur les figures 1.6(a)


à (c). La première structure pour de faiblesReet R est la présence de fins tourbillons en épingle sur la figure

1.6(a). Avec l’augmentation de ces deux paramètres, la structure devient similaire à des anneaux tourbillonnaires

sur la figure 1.6(b) avec l’apparition d’une forme en champignons sur l’anneau à la sortie du jet. Enfin, la figure

1.6(c) présente des anneaux tourbillonnaires qui se déstructurent au fil de leur propagation. La structure est de

plus en plus turbulente et désordonnée. Ils concluent que lerapport d’injectionR détermine la pente des anneaux

(a) Re= 16 etR= 0,11 (b) Re= 35 etR= 0,17 (c) Re= 98 etR= 0,28

FIG. 1.6 – Visualisations d’un jet synthétique dans un écoulement transverse àUc f = 0,05m/s et un jet à unefréquence de 2 Hz (Zhonget al., 2007)

tourbillonnaires. De plus, l’augmentation duRe mène à un désordre plus important des structures engendrées.

Enfin, la variation du nombre de StrouhalSt détermine l’espacement entre les différents anneaux tourbillonnaires.

En conclusion, Zhonget al. (2007) réalisent un graphique résumant les différentes structures observées sur la

figure 1.7 en fonction du rapport des vitessesR et de la longueur d’injectionLd (équation 1.4). On retrouve dans

ce graphique les trois types de structures illustrées sur les figures 1.6(a) à (c).

FIG. 1.7 – Effets du rapport des vitessesR et de la longueur d’injectionLd sur les structures de l’écoulement(Zhonget al., 2007)

3.2 Etude quantitative

Une étude de la structure du jet par la méthode de PIV est réalisée par Gordon & Soria (2002). Deux jets

sont étudiés à des fréquences de 5 et 10 Hz. Les champs de vitesse moyennés en phase (50 champs instantanés)

et de vorticité à proximité de la sortie du jet sont présentéssur les figures 1.8(a) à (d) et sur les figures 1.9(a)

à (d). Pour une fréquence de 5 Hz, une région de forte vorticité à la sortie du jet se distingue sur la figure 1.8(a)

avec l’identification d’un anneau tourbillonnaire. Comme le fluide est injecté loin de la paroi (Ld/D = 20), l’anneau

tourbillonnaire est observé avec une traînée cylindrique émergeant de la sortie du jet sur la figure 1.8(b). Cet instant

3. Jet synthétique dans un écoulement transverse 13

(a) t/T = 0,21 (b) t/T = 0,37 (c) t/T = 0,53 (d) t/T = 0,75

FIG. 1.8 – Champs de vitesse moyennés en phase et champs de vorticité pour le jet à 5 Hz (St= 0,016 ;Re= 1240etR= 4,6) à 4 temps différents oùT = 200 ms (Gordon & Soria, 2002)

représente un moment où le piston est dans une phase de poussée du fluide. Le corps de l’anneau tourbillonnaire

est localisé par une flèche. L’écoulement à ce point est similaire à la propagation d’un anneau tourbillonnaire libre

(Gharibet al., 1998). Cependant, une distinction importante entre l’anneau tourbillonnaire libre et la structure du

jet synthétique dans l’écoulement transverse est la dissymétrie du second. Cette caractéristique est liée essentiel-

lement à la présence de l’écoulement transverse. Avec l’augmentation de la distance à la paroi, la région de forte

vorticité s’allonge et se courbe dans la direction de l’écoulement transverse. Cette période d’expulsion du fluide

est également identifiable pour le jet à une fréquence de 10 Hzavec une région de plus forte vorticité sur les figures

1.9(a) et (b). La période d’aspiration du fluide, quant à elle, se caractérise par de petites zones tourbillonnaires

dans l’écoulement sur figures 1.8(d) et 1.9(d). La transition entre ces deux instants se caractérise par une zone tour-

billonnaire s’atténuant d’instant en instant pour devenirquasi-nulle sur les figures 1.8(c) et 1.9(c). Pour quantifier

(a) t/T = 0,25 (b) t/T = 0,33 (c) t/T = 0,47 (d) t/T = 0,87

FIG. 1.9 – Champs de vitesse moyennés en phase et champs de vorticité pour le jet à 10 Hz (St= 0,014 ;Re= 2960etR= 7) à 4 temps différents oùT = 100 ms (Gordon & Soria, 2002)

ces phénomènes, un paramètre faisant référence au débit de fluide passant par les plans de mesure est introduit. Ce

paramètre est le rapport entre le débit de fluide par unité de hauteury de la sortie du jetQy et le débit maximum

expulsé par la pompeQymax. La représentation de cette quantité sans dimension pour différentes hauteurs est illus-


trée sur les figures 1.10(a) et (b). Les résultats sont donnéspour des hauteursy/D allant de 0 à 3. Une observation

(a) 5 Hz (b) 10 Hz

FIG. 1.10 – Débit du jet adimensionné par le volume maximum débité par la pompe dans un plan (Gordon & Soria,2002)

rapide de cette figure montre une zone où le débit reste nul pendant un temps court, avant d’augmenter rapidement

ce qui correspond à la phase de poussée du piston. Puis, le débit diminue plus ou moins graduellement suivant le

cas pour redevenir négatif dans la zone d’aspiration du piston. D’après Smith & Glezer (1998), les résultats du

débit adimensionné dans la direction perpendiculaire à la paroi montre que le comportement du jet synthétique

dans un écoulement transverse est similaire au comportement d’un jet synthétique libre dans une région proche de

la sortie du jet (y/D < 3). Cependant, au-delà de cette limite, le jet synthétique dans un écoulement transverse se

comporte comme un jet pulsé libre car il n’y a aucun effet visible de fluide aspiré (débit nul au delà dey/D = 3).

Ce phénomène a déjà été observé par Bremhorst & Hollis (1990)sur un jet libre circulaire d’air caractérisé par

St= 0,011 etRe= 60000. Mesurant les oscillations temporelles à une distance de 20D, la vitesse du jet augmente

rapidement quandt/T = 0,2 et diminue graduellement jusqu’à zéro. Ce comportement est donc similaire à l’os-

cillation temporelle de vitesse des figures 1.10(a) et (b).

D’autre part, une comparaison aux résultats de la trajectoire du jet continu de la tableau 1.1 est présentée dans

le tableau 1.2. Les paramètresA etB fluctuent suivant les conditions d’injection et la référence choisie.

Littérature Jet synthétique Référence A BGordon & Soria (2002) jetR= 4,6 max de vitesse 2,16 0,28

Gordonet al. (2004) jetR= 4,6 max de concentration 2,08 0,27Gordon & Soria (2002) jetR= 7 max de vitesse 1,74 0,43

Gordonet al. (2004) jetR= 7 max de concentration 1,51 0,37

TAB . 1.2 – Constantes de l’équation 1.3 pour l’axe d’un jet synthétique dans un écoulement transverse

4 Jet pulsé dans un écoulement transverse

Le point de départ du jet pulsé débouchant dans un courant principal est la caractérisation de la vitesse en sortie

du jet. Tout d’abord, les trois nombres adimensionnels que sont le nombre de Reynolds, le nombre de Strouhal et

4. Jet pulsé dans un écoulement transverse 15

le taux d’injection sont utilisés. Puis, un autre rapport a commencé à être employé plus récemment : le rapport

cyclique d’injectionαR selon l’équation 1.8. Il représente le rapport entre le tempsτ où le fluide est injecté dans le

système et la période de pulsationT.

τ = αRT (1.8)

Ce rapportαR peut être relié au nombre de formation défini par Gharibet al. (1998) par l’équation 1.9 en fonction

du nombre de StrouhalSt.Ld

D=

αR

St(1.9)

Johari (2006) met en évidence ce rapport et réalise un état del’art sur les jets pulsés dans un écoulement transverse

en fonction de ces deux paramètres. Une classification des différents régimes de jets pulsés est faite. Tout d’abord,

son rapport de vitesse se base sur la vitesse moyenne du jet pendant la période d’injection et est compris entre trois

et dix. Cette cartographie est présentée sur la figure 1.11 avec la variation des deux paramètres que sont le rapport

cycliqueαR et le rapportLd/D.

FIG. 1.11 – Carte des différents régimes d’écoulement observéspour un jet pulsé dans un courant transverse avecR> 3. Les données expérimentales proviennent de Johariet al. (1999), Eroglu & Breidenthal (2001), Chang &Vakili (1995) et M’Closkeyet al. (2002).

On retrouve les régimes d’écoulement suivants :

− Distinction d’anneaux tourbillonnaires compacts et isolés pourLd/D < 4

− Anneaux tourbillonnaires avec une traînée fluide pour 4< Ld/D < 20 (séparation en deux branches dis-

tinctes)

− Lâcher de bouffées turbulentes pour 20< Ld/D < 75

− Segment ininterrompu de jet continu pourLd/D > 75

Les symboles que l’on retrouve sur la cartographie sont extraits de différents auteurs et sont illustrés par la suite.

Les lignes continue et pointillée délimitent les régimes oùl’on considère de fortes interactions entre les structures

c’est-à-dire que le jet est quasi-stationnaire. Ces deux lignes sont quasi-identiques et sont tracées pourR = 3

(continue) etR= 10 (pointillée).

4.1 Excitation acoustique

L’excitation acoustique d’un jet est souvent réalisée sur des jets d’air. Des expériences sur le jet pulsé à excita-

tion acoustique démontrent que la variation temporelle de la vitesse du jet permet à la pénétration, au mélange et


à l’expansion du jet d’être augmentés à des conditions spécifiques de forçage. Aux vues des récentes publications,

il apparaît que la compréhension des instabilités de la couche cisaillée de la structure du jet peut avoir un profond

impact sur le contrôle du jet (Megerianet al., 2007).

Narayananet al. (2003) réalisent des expériences sur des jets gazeux avec les conditions suivantes (R= 6 et

Re= 500). Ils indiquent des réponses significatives du jet à de faible forçage sinusoïdal, avec des amplitudes en

dessous de 30% de la vitesse moyenne. Dans leur étude, une augmentation de la pénétration (de l’ordre de 40%)

se produit durant le forçage à un nombre de Strouhal de 0,2, correspondant à deux fois la valeur de la fréquence

de l’écoulement non forcé. D’autre part, Kelsoet al. (1996) étudient également le forçage sinusoïdal acoustique

d’un jet (R= 2,2 et Re= 13640). L’amplitude de ces perturbations est de 10% de la valeur moyenne du jet. Ils

suggèrent que la structure globale de l’interaction entre le jet et l’écoulement n’est pas changée à moins que le jet

soit forcé très proche du nombre de Strouhal associé avec la couche cisaillée du jet non forcé.

Des expériences systématiques sur le contrôle des écoulements transverses à l’UCLA (University of California,

Los Angeles) se focalisent sur des excitations acoustiquesde jets gazeux ronds injectés perpendiculairement à

l’écoulement principal à faible vitesse. Un actionneur estdéveloppé dans leurs expériences pour produire avec plus

de précision la forme du signal à la sortie du jet. Les détailset la démonstration de ce contrôleur sont expliqués dans

M’Closkey et al. (2002). Un compensateur dynamique permet d’augmenter l’amplitude pour obtenir un signal à

tendance moins sinusoïdale. À de relativement faibles tauxd’injection (2,56≤ R≤ 4), l’excitation sinusoïdale du

jet a de faibles influences sur sa réponse, même avec de très grandes amplitudes d’excitation, excédant 75% de la

moyenne du jet. Cela est considéré quelle que soit la fréquence d’excitation, c’est-à-dire si le forçage est employé

à la fréquence de la couche cisaillée non forcée, des sous-harmoniques ou autres. D’autre part, M’Closkeyet al.

(2002) examinent le forçage pour des signaux carrés sur des jets d’air avec des rapports cycliquesαR variant de

0,1 à 0,6. Les visualisations par fumée de ces expériences sont illustrées sur les figures 1.12(a) à (c) pour un

forçage sinusoïdal et sur les figures 1.13(a) à (f) pour un forçage carré. Le forçage sinusoïdal appliqué avec ou

(a) jet non pulsé (b) f = 73,5 Hz, non compensé (c) f = 73,5 Hz, compensé

FIG. 1.12 – Visualisations par fumée d’un jet dans un courant transverse avecR = 2,58 ; Re= 1500 et forçagesinusoïdal (M’Closkeyet al., 2002)

sans compliance ne permet pas d’obtenir de modification de lastructure du jet. Au contraire, le forçage carré

perturbe considérablement l’écoulement. Une pénétrationet une diffusion optimale du jet sont observées pour

des fréquences d’excitation à des sous-harmoniques de la fréquence naturelle du lâchage tourbillonnaire du jet

(à 1/5, 1/4, 1/3 et 1/2 de cette fréquence). Dans tous les cas optimaux, le rapport cyclique conduit à un temps

d’injection τ compris entre 2,7 et 3 ms. A d’autres rapports cycliques d’injection, la pénétration n’est pas aussi

grande. Mais lorsque ce temps est dans la fourchette déterminée à une fréquence autre qu’une sous-harmonique,

la pénétration est significative mais pas optimale sur la figure 1.13(e). Des études systématiques sur les conditions

spécifiques (excitation, fréquence de forçage, rapport cyclique, amplitude) indiquent que des valeurs spécifiques de

temps d’injection peuvent fournir la fusion optimale des structures tourbillonnaires (Shapiroet al., 2003). Shapiro


(a) f = 110 Hz,τ = 0,31 (b) f = 110 Hz,τ = 0,31 (c) f = 55 Hz,τ = 0,15

(d) f = 73,5 Hz,τ = 0,22 (e) f = 85 Hz,τ = 0,24 (f) f = 220 Hz,τ = 0,62

FIG. 1.13 – Visualisations par fumée d’un jet dans un courant transverse avecR = 2,58 ; Re= 1500 et forçagecarré (M’Closkeyet al., 2002)

et al. (2006) suggèrent les mêmes conclusions sur l’augmentationde la fusion et l’appariement des structures

tourbillonnaires menant à une pénétration en hauteur des structures à grandes échelles. Une interprétation de cette

échelle de temps associée avec cette optimisation rejoint l’idée de Gharibet al.(1998) sur l’existence d’une échelle

de longueur universelle requise pour la formation d’anneaux tourbillonnaires cohérents.

4.2 Excitation mécanique

Les jets pulsés à excitation mécanique sont souvent appliqués en environnement aqueux. En général, les per-

turbations de la vitesse du fluide sont engendrées par une pompe. Les études qui suivent sont récentes et elles se

basent sur les mêmes paramètres déjà discutés précédemmenttels que le rapport cyclique d’injection et le nombre

de Strouhal.

Johariet al.(1999) examinent deux jets fortement pulsés avec une excitation de forme carrée ayant des rapports

Ld/D proches. Les caractéristiques du jet sont les suivantes :R= 5 etRe= 2250. Ils étudient la variation du rapport

cyclique d’injection pourαR = 0,3 etαR = 0,5 ce qui donne des temps d’injection respectivement de 70 ms et de

110 ms. Pour de petits temps d’injection, les structures sont espacées et elles pénètrent en profondeur dans l’écou-

lement sur la figure 1.14(b). A l’inverse, avec de grands temps d’injection de fluide, la pulsation apparaît similaire

à des segments d’écoulements turbulents allongés dans la direction du courant transverse sur la figure 1.14(c).

La figure 1.14(a) présente le jet continu pour ces mêmes paramètres. Avec l’augmentation du rapport cyclique, la

distance entre les structures diminue résultant d’une augmentation de l’interaction entre elles et d’une réduction de

leur pénétration. Eroglu & Breidenthal (2001) travaillentsur deux écoulements à nombre de Reynolds différents

avec le même rapport cycliqueαR = 0,5 pour un signal carré d’excitation. Ils comparent la structure de l’écoule-

ment entre un jet pulsé et un jet continu à un faible nombre de ReynoldsRe= 650 etLd/D = 1,8, et un jet pulsé

à grand nombre de ReynoldsRe= 6200 etLd/D = 13. La figure 1.15(a) présente un jet continu où une couche

cisaillée se forme sur le dessous du jet. Dans cette zone, un mécanisme de fusion des structures tourbillonnaires se

réalise lorsque deux anneaux proches et de vorticité opposée se rencontrent. La première fusion de deux structures

est représentée par une flèche. Plus loin, des structures plus développées dues à cette fusion sont visibles. En pul-

sant le jet, l’écoulement est très différent : deux branchespeuvent être visibles. Une première branche, proche de


(a) jet continu (b) jet pulsé àαR = 0,3 (c) jet pulsé àαR = 0,5

FIG. 1.14 – Jet continu et pulsé dans un écoulement transverse àR= 5 (Johariet al., 1999)

(a) jet continu -Re= 650 (b) jet pulsé -Re= 650,Ld/D = 1,8

(c) jet continu -Re= 6200 (d) jet pulsé -Re= 6200,Ld/D = 12,5

FIG. 1.15 – Comparaisons entre un jet continu et un jet pulsé (Eroglu & Breidenthal, 2001)


la paroi où les structures tourbillonnaires ne sont pas étirées et une autre où les structures ont tendance à pénétrer

plus en profondeur dans le courant principal sur la figure 1.15(b). A de plus grands nombre de ReynoldsRe, les

observations précédentes sont similaires mais les structures sont beaucoup plus compliquées sur la figure 1.15(d).

Dans les deux cas, la direction de la branche la plus proche dela paroi est similaire à celle du jet continu. De la

même manière, Chang & Vakili (1995) observent que des anneaux tourbillonnaires individuels pénètrent en hau-

teur dans le courant principal liées à leurs vitesses auto-induites. Les mêmes conclusions sur l’influence de petits

rapports cycliques d’injection sont obtenues par Hermanson et al. (1998) pour de faibles fréquences d’injection,

de l’ordre de l’unité.

D’un point de vue numérique, les recherches sont également abondantes. Un exemple intéressant est obtenu par

Sau & Mahesh (2008) sur une simulation numérique directe. Leurs paramètres importants sont quasi-identiques

aux paramètres de nos manipulations expérimentales. Le nombre de Reynolds est deRe= 600 dans leur simu-

lation, le rapportLd/D varie entre 1,6 et 8 et le taux d’injectionR entre 1 et 6. De leur étude, une classification

des différents types d’écoulement est présentée sur la figure 1.16. Les anneaux tourbillonnaires dans un courant

FIG. 1.16 – Cartographie des trois régimes d’écoulements avec différentes structures (Sau & Mahesh, 2008)

principal peuvent être classés en trois régimes. Une séparation importante est faite pour les écoulements à des

taux d’injection faibles (R< 2). Cet écoulement est caractérisé par la formation de structures tourbillonnaires en

épingle à cheveux allongées dans la direction de l’écoulement principal. Pour des taux d’injection supérieurs, un

anneau tourbillonnaire est identifiable et deux régions différentes sont caractérisées. Une région où un seul anneau

tourbillonnaire se forme ayant une inclinaison vers l’amont de l’écoulement (faiblesLd/D) et une région où la

formation tourbillonnaire est suivie d’une colonne de fluide (Ld/D plus important). Dans ce dernier cas, l’anneau

tourbillonnaire au-dessus de la colonne de fluide a une inclinaison vers l’aval de l’écoulement. La séparation entre

ces deux régimes est matérialisée par une ligne courbe sur lafigure 1.16. De plus, une dernière caractéristique est

montrée par la variation du nombre de ReynoldsRe. Ce nombre adimensionnel n’a pas d’influence sur l’inclinaison

de l’anneau tourbillonnaire mais les instabilités de la colonne de fluide sont plus prononcées avec son augmenta-

tion. Ce type de comportement et les différents régimes décrits par Sau & Mahesh (2008) sont comparables aux

régimes déterminés dans la partie expérimentale de ce chapitre.


5 Jet libre à orifice carré

Contrairement au jet rond, les anneaux tourbillonnaires qui émanent d’un orifice de forme carrée sont instables.

Cette différence est liée aux zones de fortes courbures de lastructure de sortie. Sous l’effet de la vitesse induite

dans ces zones, l’anneau se déforme. Cet effet a déjà été mis en évidence par Grinstein & DeVore (1996) et plus

récemment par Yuet al. (2008) dans un jet libre de forme carrée. La figure 1.17(a) présente la topologie des

structures tourbillonnaires formées en sortie de l’orifice. Dans ce cas, la conjugaison des déformations génère une

(a) Topologie des anneaux en sortie d’un jet carré (b) Comparaison avec ou sans plaque plane

FIG. 1.17 – Topologie du démarrage d’un jet libre de forme carrée(Grinstein & DeVore, 1996) et comparaison dedeux orifices en sortie du jet (Aiet al., 2005)

rotation apparente de l’anneau autour de l’axe du jet. L’anneau est convecté à la vitesse de 0,3 fois la vitesse de ré-

férenceU j avec une fréquence de rotation des axes caractérisée par un nombre de StrouhalStDe de 0,4. Ce nombre

est défini parStDe = f ·De/U j avecDe le diamètre équivalent d’un cercle qui a la même surface que le carré de

côtéL (De = 2Lπ−1/2). Le lâcher des anneaux tourbillonnaires est périodique etil est caractérisé par un nombre de

Strouhal compris entre 0,43 et 0,55 selon Grinstein & DeVore(1996). Pour l’étude sur le jet continu àRe= 500 et

R= 1, Fraticelli (2008) calcule la gamme de fréquence entre 0,24 et 0,31 Hz avecUre f = 1,7 cm/s etDe = 34 mm

si le jet a les mêmes modes que le jet libre. Il détermine la fréquence de lâchage dans la zone de sillage à 0,28 Hz

étant comprise dans la gamme de celle du jet rond. Cette analogie peut être faite avec le jet pulsé pour déterminer

les fréquences dans les zones de sillage, le but étant de caractériser la vitesse de référence.

La figure 1.17(b) présente une étude de Aiet al. (2005) sur le départ de jet carré débouchant d’un orifice sur

une plaque plane ou d’un tube. Ils montrent que la formation tourbillonnaire est perturbée lors de sa formation à

partir de 3De pour le jet émanant d’un orifice. Ce phénomène est lié à l’expansion des tourbillons dès leur sortie.

Dans un cas, leur mouvement est libre et dans l’autre cas, il est perturbé par la plaque en sortie de l’orifice.

6 Conclusion

Cette revue bibliographique met en avant la complexité de l’interaction entre un jet pulsé ou non et un courant

principal. Dans une première partie, l’accent est mis sur les structures dans un jet continu. Ce rappel permet

d’établir une base solide pour la compréhension de l’écoulement lorsqu’une oscillation temporelle est appliquée à

6. Conclusion 21

la sortie du jet. Un panel des possibilités pour forcer le jetest établi dans les parties suivantes en passant par le jet

synthétique et les jets pulsés acoustiquement et mécaniquement. Il apparaît au fil des recherches que les auteurs se

sont fixés sur des paramètres principaux afin de caractériserleurs jets tels que le nombre de ReynoldsRe, le nombre

de StrouhalStet le taux d’injectionR. Néanmoins, la caractérisation de la vitesse du jet reste toujours un problème

pour comparer les études suivant les auteurs. La forme du signal d’injection joue également un rôle important dans

le processus de pénétration et de mélange. Plus récemment, le rapport cyclique d’injectionαR est un paramètre

attractif dans beaucoup de recherches pour moduler la structure du jet. Enfin, très peu d’études sur les jets carrés

dans un écoulement transverse ont été réalisés au profit du jet rond. A la vue de la dernière partie, l’influence de la

forme de l’orifice d’injection n’apparaît pas être négligeable sur la topologie de l’écoulement. L’étude précédente

sur le jet continu dans un écoulement transverse au sein du laboratoire (Fraticelli, 2008) ayant motivé cette thèse

est résumée brièvement dans le chapitre 3 afin de comprendre les structures présentes aux conditions d’injection

étudiées. Elle servira ensuite de base comparative aux cas pulsés.

CHAPITRE

2

Dispositif expérimental et techniques demesure

Sommaire1 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25

1.1 Système d’alimentation du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 26

1.2 Veine hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 27

2 Instrumentation de la manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 282.1 Système d’enregistrement des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

2.2 Sources lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29

2.3 Système de synchronisation et pilotage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 30

2.4 Système de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

3 Ensemencement de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 313.1 Particules solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 31

3.2 Traceurs fluorescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 32

4 Visualisations et techniques de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 334.1 Tomographie laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

4.2 Visualisations volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 34

4.3 Vélocimétrie par image de particules (PIV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

4.4 Vélocimétrie par Image de Particules Stéréoscopique (SPIV) . . . . .. . . . . . . . . . . 36

4.5 Fluorescence Induite par Laser (PLIF) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 44

5 Mesures couplées SPIV-PLIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 505.1 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 51

5.2 Synchronisation et enregistrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 52

5.3 Problèmes engendrés par le couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 53

23

1. Montage expérimental 25

Ce chapitre traite dans une première partie du dispositif expérimental générant un jet pulsé dans un écoulement

transverse. Puis, les différents moyens de mesure et de contrôle nécessaires aux expérimentations sont présentés.

Ensuite, les techniques de mesures utilisées lors de cette thèse sont introduites : la vélocimétrie par image de

particule, la mesure de concentration, ainsi que des techniques plus sophistiquées. Enfin, une dernière partie est

dédiée aux problèmes liés au couplage de ces deux techniques.

1 Montage expérimental

Toutes les mesures présentées dans ce manuscrit ont été effectuées sur la même veine hydrodynamique. L’écou-

lement étudié est un jet pulsé débouchant dans un courant principal. Le schéma de principe de l’expérience est

montré sur la figure 2.1. Le fluide utilisé lors de ces expériences est de l’eau. Un écoulement principal se déplace

FIG. 2.1 – Schéma du jet pulsé débouchant dans un écoulement transverse

de la gauche vers la droite et passe sur une plaque noire (zonede visualisation). La vitesse de cet écoulement trans-

verse, notéeUc f , présente un profil constant avec une réduction dans la couche limite sur la plaque. Les grandeurs

caractéristiques de cette couche limite sont : l’épaisseurde couche limite à 99% qui est de 19 mm, l’épaisseur

de déplacement qui vaut 7,6 mm, l’épaisseur de quantité de mouvement qui est de 2,7mm, l’épaisseur d’énergie

cinétique qui vaut 4,11 mm ce qui donne un facteur de formeH égal à 2,8. Débouchant perpendiculairement à

celle-ci, un jet se mélange au courant principal. La sinusoïde sur la figure 2.1 représente la variation de la vitesse

instantanée du jetu j qui est pulsé entre zéro et deux fois la vitesse de l’écoulement principal. La vitesse moyenne

de ce jetU j est donc égale à la vitesse de l’écoulement transverse impliquant un rapport d’injectionRbasé sur ces

deux vitesses égal à 1. Sur ce schéma, la longueur caractéristique de l’écoulementL est le côté du carré d’injection

du jet. L’étude se base sur l’interaction entre ces deux fluides et leurs évolutions spatiales et temporelles.

Les axes du repère direct présents sur la figure 2.1 sont toujours identiques pour caractériser les différents plans

de mesure dans la suite de ce manuscrit. L’axex indique la direction longitudinale,y la direction transversale du

jet etz la direction verticale. L’origine du repère est située au centre de l’arête amont du carré d’injection.

26 Chapitre 2 - Dispositif expérimental et techniques de mesure

1.1 Système d’alimentation du fluide

Deux cuves permettent l’alimentation en fluide de la veine hydrodynamique : une cuve principale de 0,946 m3

(à droite sur la figure 2.2) et une petite cuve de 0,178 m3 (à gauche sur la figure 2.2). Pour réaliser les diffé-

FIG. 2.2 – Photo d’ensemble du dispositif expérimental

rentes mesures et les visualisations, le circuit fonctionne en boucle fermée ou ouverte. La cuve principale alimente

l’écoulement transverse et le jet lors du fonctionnement enboucle fermée. A l’inverse en boucle ouverte, la cuve

principale achemine le fluide pour le courant principal et lapetite cuve pour le jet. Ce fonctionnement est mis

en oeuvre seulement lorsque l’un des deux écoulements est ensemencé en colorant (mesure de concentration par

exemple). Dans ce cas, un approvisionnement en eau placé au-dessus de la petite cuve (visible sur la figure 2.2) per-

met de conserver un niveau constant dans celle-ci pendant les expériences. De plus, le niveau d’eau entre les deux

cuves est identique impliquant une pression toujours constante dans la veine hydrodynamique. Cette contrainte

limite le temps de manipulation en boucle ouverte à environ vingt minutes.

Afin d’acheminer le fluide dans la veine hydrodynamique, on utilise un système de trois pompesPCM Moi-

neauà rotor excentré à vis sans fin pilotées au moyen de motoréducteursLeroy Someret de variateurs de vitesse.

Ces pompes ont un débit constant proportionnel à leurs vitesses de rotation. La gamme de débit de ces pompes

est présentée dans le tableau 2.1. Des rotamètres placés entre les pompes et la veine hydrodynamique indiquent le

Pompe Gamme de débit1 26−160 L/h2 150−1300 L/h3 1200−10000 L/h

TAB . 2.1 – Gamme de variation de débit des trois pompesPCM Moineau

débit alimentant le jet et l’écoulement principal. Les pompes 2 et 3 servent exclusivement à alimenter l’écoulement

uniforme et la pompe 1 le jet continu. Au début de ces travaux,une mesure de vitesse par traceurs solides a permis

d’étalonner la vitesse de l’écoulement transverse en fonction de la fréquence des variateurs. Grâce à cet étalon-

1. Montage expérimental 27

nage, un ajustement de la vitesse de l’écoulement principalen fonction des variations de température de la salle

de manipulation est obtenu lors des différentes mesures. Cecalibrage a également été effectué pour la vitesse du jet.

Pour le jet, le fluide acheminé par la pompe 1 est un courant continu. Afin de le pulser, une autre pompeSuper

Pump ViVistro Systemest insérée entre la pompe 1 et la sortie du fluide sur la plaqueplane. Un signal sinusoïdal

appliqué à cette pompe (figure 2.1) génère une variation temporelle du débit du jet. La gamme de fréquence possible

avec cette pompe est de 0 à 200 Hz. De plus, un débitmètreT110 Transonic Systemest placé après la pulsation

du débit afin de le contrôler. Celui-ci se compose d’un tuyau souple de diamètre 5 mm et d’une sonde ultrasonore.

Une sortie sur l’appareil est disponible afin de récupérer via un oscilloscope les variations et la forme du signal de

débit du jet.

1.2 Veine hydrodynamique

La veine hydrodynamique est réalisée enaltuglassavec des plaques de 10 mm d’épaisseur. Deux réseaux diffé-

rents acheminent le fluide jusqu’à la veine : le premier réseau alimente l’écoulement transverse par l’intermédiaire

des pompes 2 et/ou 3 (suivant la vitesse à imposer) et le second réseau alimente le jet par l’intermédiaire de la

pompe 1. Les deux réseaux sont explicités par la suite en commençant par le réseau principal et ils sont illustrés

par le schéma de la figure 2.3.

FIG. 2.3 – Schéma des deux réseaux d’alimentations de l’écoulement transverse et du jet

Quatre parties distinctes constituent le circuit de l’écoulement transverse :

− la zone d’entrée :Le fluide est acheminé par les pompes 2 et/ou 3 par un réseau de tuyau en PVC avant

l’arrivée dans la veine. Il débouche ensuite dans un diffuseur rond de diamètre 20 mm percé de 6 orifices.

Ce diffuseur oblige une répartition radiale homogène du fluide dans le tube d’entrée de diamètre 70 mm.

Un croisillon placé dans ce tube permet une première destruction des grosses structures. Le fluide arrive

ensuite dans un divergent dont l’angle au sommet est de 22,5. Cet organe impose le passage du liquide

d’une section circulaire de diamètre 70 mm à la dimension de la zone de visualisation de section carrée

de 160 mm de côté.

− la zone d’homogénéisation :La seconde partie de la veine est la zone d’homogénéisation.Tout d’abord,

le fluide passe au travers de 3 grilles métalliques à mailles très fines pour casser les structures tourbillon-

naires. Ensuite, le fluide traverse un réseau de pailles trèsresserrées de longueur 100 mm chacune. Ces

pailles stabilisent et guident les particules fluides afin delaminariser l’écoulement.


− la zone de visualisation :Le fluide débouche ensuite dans la zone de visualisation. Dans cette partie, une

plaque plane délimite la couche limite inférieure de l’écoulement. Sur cette plaque, se génère le croisement

entre le jet et l’écoulement transverse. Le jet carré de côtéL=30 mm sort de cette plaque à 125 mm de

son bord d’attaque. Cette distance entre le début du jet et laplaque est choisie pour que la couche limite

laminaire soit complètement recollée (Fraticelli, 2008).Le bord d’attaque de la plaque se situe à 285 mm

du réseau de paille.

− la zone de sortie :Le fluide passe dans un convergent de mêmes dimensions que le divergent d’entrée.

Cet organe raccorde la veine hydrodynamique au réseau principal pour que le fluide puisse retourner dans

la cuve principale.

Trois parties distinctes constituent l’acheminement du jet :

− la zone d’entrée :Le fluide du jet continu est acheminé par la pompe 1. Un raccorden T de diamètre

30 mm connecte le tube souple de la pompe 1 et la pompe agissantsur le débit pour le pulser. Le jet

est donc pulsé dans ce tube perpendiculairement à la veine d’essai. Ensuite, le fluide passe dans le tube

souple de 5 mm de diamètre appartenant au débitmètre ultrasonore. Ce tube est toujours présent lors des

expérimentations pour le contrôle et le réglage du débit. Les pertes de charge qu’il engendre sont donc

prises en compte dans la mesure.

− la zone d’homogénéisation :Le fluide traverse une zone d’homogénéisation. Cette zone dediamètre

100 mm est constituée d’un réseau de pailles très resserréesde longueur 100 mm chacune. Cette zone a

les mêmes fonctions que la zone précédente pour l’écoulement transverse (guidage et laminarisation de

l’écoulement).

− la zone de sortie :Le fluide est ensuite accéléré dans un convergent qui se termine au niveau du carré

d’injection sur la plaque plane. Cet organe impose au fluide un passage d’une section de diamètre 85 mm

au carré d’injection de côté 30 mm. Le jet débouche dans la zone de visualisation où il se mélange à

l’écoulement transverse.

2 Instrumentation de la manipulation

Après un descriptif du dispositif expérimental, le matériel utilisé pour les mesures de vitesse et de concentration

est présenté. Que ce soient les systèmes d’enregistrement des images, les sources lumineuses, les systèmes de

pilotage et contrôle, tous sont nécessaires à la conduite des mesures.

2.1 Système d’enregistrement des images

Beaucoup de systèmes d’enregistrement sont possibles pourobtenir des images de l’écoulement. Pour des

visualisations par traceurs solides par exemple, un appareil photographique numérique est utilisé. Un caméscope

numérique peut également être employé pour suivre des structures lors de visualisations par colorants. Ce dispositif

a une résolution temporelle suffisante pour de faibles vitesses dans l’écoulement (naissance et propagation de tour-

billons). La progression technologique dans les années 1990 a permis une amélioration considérable de l’approche

expérimentale. Les premiers systèmes d’enregistrement pour la vélocimétrie par image de particules étaient des

appareils photographiques argentiques ayant une grande résolution spatiale mais une faible résolution temporelle.

Plus récemment, les prises de vue se font avec des caméras numériques ayant des propriétés sensiblement inverses.

2.1.1 Appareils photographiques et caméscope numériques

Des visualisations par traceurs solides ont permis de caractériser la vitesse de l’écoulement transverse à l’aide

d’appareils photographiques reflex numériques. Les principales caractéristiques des deux appareils utilisés sont

2. Instrumentation de la manipulation 29

illustrées dans le tableau 2.2. Pour des mesures temporelles, il est possible d’utiliser un déclencheur manuel avec

télécommande pour piloter le début de la prise de vue. Celle-ci peut être un simple cliché ou des rafales de 20

photographies maximum pour la compréhension des sens de rotation des structures tourbillonnaires par exemple.

Dans le même principe, des visualisations de l’écoulement sont enregistrées à l’aide d’un caméscope numérique

Référence Résolution Taille du pixelNikon D1 2000×1312 px 11,8 µm

Nikon D100 3008×2000 px 7,8 µm

TAB . 2.2 – Description des appareils photographiques reflex numériques

de typePanasonic NV-MX300B. Cet appareil a été privilégié pour sa résolution temporelle (25 images en une

seconde) comparée à nos vitesses de fluide de l’ordre du centimètre par seconde lors de l’étude qualitative des

différents écoulements.

2.1.2 Caméras numériques

L’acquisition des données pour les différentes mesures de vélocimétrie et de concentration a été effectuée

avec des caméras numériques. Au cours des différentes manipulations, deux types de caméras sont utilisés. Leurs

caractéristiques sont résumées dans le tableau 2.3. Les camérasLavision ont servi à la première campagne de

Référence Résolution Taille du px Dynamique CadenceLavision Imager Intense 1374×1040 px 6,4 µm 12 bits 10 Hz

Jai CV-M2CL 1600×1200 px 7,4 µm 8-10 bits 30 Hz

TAB . 2.3 – Caractéristiques des caméras numériques

mesure au début de la thèse. Elles ont une dynamique de 12 bitset sont intensifiées. Leur avantage principal est

le lien avec le logiciel de traitement d’imagesDavispermettant un traitement immédiat des données. Néanmoins,

leur fréquence d’acquisition reste faible lors de l’utilisation des deux caméras (inférieure à 5 Hz). Afin d’obtenir

des enregistrements quasi-résolus en temps, les camérasJai ont été employées. Lors de l’acquisition, de simples

images sont enregistrées au format TIF. Elles doivent ensuite être converties au format du logicielDavis (fusion

pour en obtenir des quadruplets ou doublets d’images, attribution des paramètres d’enregistrements). Cette étape

s’avère être très lourde en temps de calcul lorsque le nombred’images est conséquent. De plus, ces caméras sont

indépendantes et doivent être synchronisées avec le laser par un boîtier extérieur, ce qui complique encore la phase

de manipulation.

2.2 Sources lumineuses

Pour réaliser de bonnes manipulations, un élément essentiel est la source lumineuse. Deux types d’éclairage

ont été utilisés lors de cette thèse : les spots à découpe et les faisceaux laser.

2.2.1 Spots à découpe

Les spots à découpe sont des spots de type cinéma. Ils sont constitués d’une lumière blanche de 500 W, d’un

miroir parabolique et d’une lentille. Des plaques métalliques placées en sortie du spot canalisent le faisceau lu-

mineux pour éclairer une zone de l’écoulement. Placés au-dessus de la veine d’essai, ils permettent l’éclairement

d’une zone d’environ 60 mm de largeur sur 200 mm de longueur.


2.2.2 Source laser

Une source laser est capable de produire un faisceau étroit composé de photons de lumière à la même longueur

d’onde. Ces radiations lumineuses sont obtenues par la stimulation d’atomes afin d’obtenir des énergies très dif-

férentes. En d’autres termes, une source laser est une source de lumière spatialement et temporellement cohérente

basée sur l’effet laser, étant un principe d’amplification de la lumière par émission stimulée.

Différentes sources laser sont disponibles au laboratoireafin d’effectuer des mesures. Pour éclairer en continu

une tranche d’un écoulement, un laser Argon est utilisé. Il émet dans le visible à des longueurs d’ondes s’étalant

de 480 nm à 515 nm avec une puissance maximum de 7 W. Pour les mesures de vélocimétrie, les sources laser

continues sont employées avec des obturateurs présents surles caméras. Néanmoins, leur puissance reste limitée.

Pour s’affranchir de ces difficultés, les sources laser pulsés sont depuis peu de temps les plus utilisés dans les labo-

ratoires pour leur caractère instantané. Ils servent à figerle mouvement du fluide (durée du flash laser très courte et

négligeable comparée au déplacement des particules). Trois sources laser pulsésQuantelà double cavité Nd-YAG

Modèle Puissance Cadence δtpulse ∅ f aisceau Stabilité de l’énergieTwins ULTRA30 30 mJ 20 Hz 7 ns 3 mm +/-2,5% RMSTwins CFR120 120 mJ 15 Hz 10 ns 6 mm +/-2% RMSTwins CFR190 190 mJ 15 Hz 7 ns 6 mm +/-2% RMS

TAB . 2.4 – Sources laser pulsésQuantelà double cavités Nd-YAG (λlaser = 532 nm)

de longueur d’ondeλlaser = 532 nm ont servi au cours des expériences. Le laser Nd-YAG émet de la lumière avec

une longueur d’onde typique de 1064 nm, dans l’infrarouge. Les sources laser du laboratoire ont une longueur

d’onde dans le visible (afin d’améliorer la sécurité de travail par exemple) : une lumière verte à 532 nm provenant

du doublage de fréquence des sources Nd-YAG. Leurs caractéristiques principales sont présentées dans le tableau

2.4.δtpulsecorrespond à la durée d’éclairement d’une cavité laser,∅ f aisceauau diamètre du faisceau en sortie de la

cavité laser et la stabilité de l’énergie au pourcentage d’erreur de l’énergie entre deux tirs du laser.

Au cours des mesures de vélocimétrie, des particules solides sont utilisés avec un laser pulsé. Tout d’abord,

elles doivent paraître figées pendant le temps d’illumination du laserδtpulse, c’est-à-dire que leur déplacement doit

être négligeable durant un flash laser. De plus, afin d’obtenir des illuminations distinctes temporellement l’une

de l’autre, il est préférable que le temps∆t entre deux flashs laser soit grand devant le temps d’illumination du

laser (∆t ≥ 10δtpulse). Ces deux critères sont satisfaits pour nos mesures de vitesse (δtpulse est de l’ordre de la

nanoseconde alors que∆t est de l’ordre de la microseconde).

2.3 Système de synchronisation et pilotage

Au début de chaque expérience, l’adaptation des vitesses dujet et de l’écoulement transverse est effectuée en

fonction de la température de la salle de manipulation. Une interface fixe les paramètres utiles à appliquer aux

pompes au moyen du logicielTestPointen fonction des données d’entrées (vitesse du jet et de l’écoulement trans-

verse en fonction de la température). Elle est associée à un boîtier de synchronisationADWin. Cet appareil est

un système de commande/acquisition de données temps réel capable de gérer des processus avec des contraintes

de temps faibles et constantes (ce qui n’est pas le cas de l’horloge deWindowspar exemple). La génération des

informations reste précise avec des intervalles de temps connus et constants pour la visualisation de phénomènes

instationnaires. Le signal de forme sinusoïdale de variation du débit du jet est généré par ce logiciel. Un signal trig-

ger est toujours associé et synchronisé au début de cette sinusoïde. Il permet le pilotage des différents instruments

3. Ensemencement de l’écoulement 31

de mesures (appareil photographique, caméra, laser). Cette synchronisation est importante pour le positionnement

temporel de la mesure par rapport à la phase du signal de pulsation.

2.4 Système de contrôle

Les systèmes de contrôle ont déjà été plus ou moins évoqués aufil de cette section. Tout d’abord, les rotamètres

sont utilisés pour les mesures de débit ainsi que le débitmètre ultrasonore pour le jet pulsé. De plus, des contrôles

de température sont effectués en début et fin de chaque manipulation. Les différents signaux que ce soit pour le

contrôle du débit ou la synchronisation des appareils de mesures sont captés par un oscilloscope numérique 4 voies.

3 Ensemencement de l’écoulement

Le choix de l’ensemencement de l’écoulement est une étape importante dans la mise en oeuvre d’une manipu-

lation. Dans ce domaine, les traceurs utilisés dans cette thèse sont parfaitement connus et maîtrisés au laboratoire.

Ces traceurs ont déjà fait l’objet de qualification. Dans cette partie, une description des caractéristiques des parti-

cules solides pour la vélocimétrie et des traceurs fluorescents pour la mesure de concentration est effectuée.

3.1 Particules solides

L’ensemencement par particules solides d’écoulement s’applique pour des techniques de vélocimétrie par

image de particules ou des visualisations par traceurs solides. Pour ces techniques, le succès des mesures de vitesse

dépend fortement de la qualité de l’ensemencement. Les particules utilisées pendant nos campagnes de mesures

sont recensées dans le tableau 2.5. Plusieurs facteurs déterminent le choix et les paramètres des particules. Premiè-

Référence dp Distribution Densitémicrosphère creuse de verre argentée 10µm 2−20µm 1400 kg/m3

microsphère creuse de verre argentée 15µm 10−30µm 1400 kg/m3

TAB . 2.5 – Particules solides utilisées pendant les manipulations

rement, le diamètre moyen des particules doit être très supérieur au libre parcours moyen dans le fluide porteur

(distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions successives). Dans l’eau, cette distance est de

quelques nanomètres comparée aux diamètres des particulesde l’ordre du micromètre : le milieu vu par la particule

est donc considéré comme continu. Des paramètres intrinsèques aux particules servent également de critères pour

un choix plus judicieux :

− la taille : Les particules doivent être assez petites pour pouvoir suivre parfaitement l’écoulement et réagir

aux perturbations du fluide (changement brutal de directionpar exemple). Il est nécessaire que le diamètre

moyen des particulesdp soit faible devant la plus petite échelle caractéristique de l’écoulement (échelle de

Kolmogorov en régime turbulent). Les particules sont alorsconsidérées comme isolées dans les structures

tourbillonnaires de taille plus importante. Ainsi, le champ de vitesse au voisinage de la particule est

supposé uniforme et les forces de portance dues à la rotationde la particule sous l’effet du cisaillement

exercé par le fluide environnant sont négligeables. Néanmoins, elles doivent être assez grosses pour être

visibles sur les images (propriété de diffusivité des particules).

− la concentration : La distribution des particules doit être homogène dans l’écoulement. L’interaction

entre les particules doit être négligeable pour éviter les chocs entre particules et l’influence du sillage

d’une particule avec sa voisine. Cela se traduit par une distance grande entre les particules comparée à


leur diamètre. Le critère donné par l’équation 2.1 traduit ces propriétés et doit être vérifié. Dans cette

équation,lp représente la distance moyenne entre les particules.

dp

lp≪ 1 (2.1)

Pour les expériences avec le taux en particules le plus important (concentration en particules de 10 g/m3

avec un diamètre de 15µm), la distancelp est d’environ 627µm en considérant les particules sphériques.

Ce critère est vérifié et vaut 0,024. Cette concentration la plus défavorable est donc adaptée pour les

mesures.

− la masse volumique :La masse volumique des particules doit être proche de celle du fluide porteur. Elle

garantit leur maintien en suspension et de ne pas interagir avec les particules fluides. De plus, un rapport

des masses volumiques du fluide et des particules proche de unminimise le retard de vitesse lié à la

traînée et l’inertie de la particule. Pour un nombre de Reynolds caractéristique de la particule (écoulement

de Stokes) très petit, le temps caractéristique de la particule τp (temps de relaxation) est calculé avec

l’équation 2.2. Il traduit une bonne réaction des particules aux sollicitations plus ou moins brutales du

fluide lorsqu’il est négligeable comparé au temps caractéristique dans l’écoulement.

τp =d2

p

18µ

(

1+ρ f

2·ρp

)

(2.2)

Dans cette équation,µ est la viscosité dynamique du fluide porteur.ρ f et ρp sont les masses volumiques

du fluide et de la particule. Le tempsτp est égal à 24µs pour les particules de 15µm dans l’eau. Dans

notre cas, ce temps est négligeable comparé aux temps caractéristiques des structures se déplaçant à des

vitesses voisines du centimètre par seconde. Enfin, la massevolumique des particules utilisées dans ces

expériences est supérieure à celle du fluide porteur (ρp = 1400 kg/m3), c’est pourquoi la vitesse de sédi-

mentation de ces particulesuS liée aux forces gravitationnelles est un deuxième critère de choix (équation

2.3).

uS =ρpd2

p

18µg (2.3)

Pour les particules de 10µm, la vitesse de sédimentation est deuS = 8.175.10−5 m/s ce qui est faible

comparé au temps d’une expérience.

− la diffusivité : Les particules doivent refléter efficacement la lumière émise par le laser à la même longueur

d’onde que celle qu’ils reçoivent. Pour les mesures de vélocimétrie, le diamètre des particules est supérieur

à la longueur d’onde du laser, ce qui correspond au régime de diffusion de Mie. Sachant que cette diffusion

de la lumièreIdi f est proportionnelle àd2p (équation 2.4), le diamètre des particules doit être optimisé en

tenant compte des conditions de visibilité du traceur dans l’écoulement.

Idi f ∝

(

dp

λlaser

)2

(2.4)

De plus, la présence d’une couche argentée sur leur surface augmente leur diffusivité lorsqu’elles sont

éclairées par une source laser.

3.2 Traceurs fluorescents

Les traceurs fluorescents lorsqu’ils sont éclairés avec unelongueur d’onde en accord avec leur spectre d’absorp-

tion λabsémettent de la fluorescence à une longueur d’onde différenteλ f lu. Lors des visualisations par colorants ou

mesures de concentration, les principaux traceurs utilisés dans un liquide sont répertoriés dans le tableau 2.6. Ces

trois colorants ont des rendements quantiques satisfaisants. Ils se présentent sous forme de poudre que l’on dilue

4. Visualisations et techniques de mesure 33

Référence Formule chimique Masse molaire λabs λ f lu

Fluorescéine C20H12O5 332,31 g/mol 490−495 nm 514−519 nmRhodamine B C28H31ClN2O3 479,01 g/mol 570 nm 590 nmRhodamine 6G C28H31ClN2O3 479,01 g/mol 524−538 nm 547−555 nm

TAB . 2.6 – Traceurs fluorescents utilisés pendant les manipulations

dans de l’eau déminéralisée. Ils ont des propriétés différentes et sont choisis en fonction de la grandeur à mesurer.

Pour obtenir la température, la Rhodamine B convient parfaitement. Pour des mesures de concentration, la Rho-

damine 6G est utilisée. La fluorescéine, quant à elle, est employée dans les deux cas. Ayant à notre disposition un

laser Nd-YAG à une longueur d’onde de 532 nm et d’après le tableau 2.6, le colorant choisi est la Rhodamine 6G

pour les mesures de concentration. Sur la figure 2.4(a), les deux spectres de la Rhodamine 6G sont représentés :

le spectre d’absorption en bleu et le spectre d’émission en vert. La longueur d’onde du laserλlaser est matérialisée

par un trait rouge. Le signal de fluorescence de la Rhodamine 6G varie avec la concentration en restant inchangée

(a) Diagramme des spectres d’absorbtion et d’émission(b) Influence de la température extrait de Düwelet al. (2004)

FIG. 2.4 – Caractéristiques de la Rhodamine 6G

des autres grandeurs que sont la température et le pH. L’influence de la température sur la Rhodamine 6G est illus-

trée sur la figure 2.4(b). On peut remarquer que cette grandeur n’influence pas le signal de fluorescence pour une

gamme de température importante. Les deux autres colorantsdu tableau 2.6 ont été utilisés pour des visualisations

par colorants.

4 Visualisations et techniques de mesure

Un des problèmes majeurs dans le domaine expérimental en mécanique des fluides est de mesurer avec préci-

sion les grandeurs caractéristiques de l’écoulement telles que la vitesse, la pression ou la concentration. Il existe

des sondes de mesures comme le tube de Pitot pour la pression ou encore les fils chauds (ou froids) et les véloci-

mètres laser Doppler pour la vitesse. Ces techniques sont locales car elles permettent de mesurer une grandeur en

un point de l’écoulement. Les deux premières méthodes restent des techniques intrusives, donc perturbant l’écou-

lement au voisinage du volume de mesure. Un balayage du pointde mesure implique la connaissance de la vitesse

à différents endroits dans l’écoulement. De plus, ces techniques ponctuelles disposent de cadences d’enregistre-

ment rapide. Néanmoins, pour l’étude d’écoulements avec des changements spatiaux rapides, elles sont rarement

utilisées. Des méthodes planaires de mesure ont été développées pour permettre de mesurer des grandeurs sur des

zones de grandes dimensions dans l’écoulement. La vélocimétrie par image de particules est employée pour ob-

tenir des champs de vitesse par exemple ou encore les techniques de fluorescence pour déterminer un champ de


concentration ou de température. Ces méthodes sont basées sur des techniques optiques, les rendant non intrusives.

Tout d’abord, les techniques qualitatives sont présentéesavec la tomographie laser ainsi que les visualisations par

colorant. Ensuite, les techniques de vélocimétrie par image de particules et les techniques de mesure de concen-

tration par fluorescence sont décrites plus en détail. Enfin,avec la maîtrise de ces deux techniques, une méthode

couplée a été employée pour comprendre plus précisément l’écoulement tridimensionnel généré par l’interaction

du jet dans l’écoulement transverse. Elle est décrite à la finde cette partie.

4.1 Tomographie laser

La tomographie laser est utilisée pour mener une étude qualitative de l’influence de la pulsation du jet sur

l’écoulement transverse. Cette technique est facile à mettre en place. Le matériel utilisé se résume à un laser

continu pour éclairer une tranche de l’écoulement et un appareil photographique ou un caméscope numérique pour

l’acquisition d’images ou de vidéos (schéma sur la figure 2.5(a)). Les colorants utilisés sont des solutions aqueuses

(a) Tomographie laser (b) Visualisation volumique

FIG. 2.5 – Techniques de mesures qualitatives avec colorants

de fluorescéine, Rhodamine B ou 6G. Ils sont injectés en certains points soit dans l’écoulement transverse, soit

dans le jet. Cette technique est une première approche à l’explication d’écoulements complexes d’un point de vue

qualitatif. Dans notre étude, ces acquisitions ont permis tout d’abord de déterminer différents types d’écoulement

afin de cerner les mesures quantitatives à réaliser dans un second temps. La résolution temporelle de cette mesure

est de 25 images par seconde avec l’utilisation du caméscopenumérique.

4.2 Visualisations volumiques

Avec le même objectif que la tomographie laser, les visualisations volumiques par colorants utilisent le même

matériel (caméscope et colorants). Ce sont des visualisations prises sous des angles différents : des vues prises face

à l’écoulement, des vues de trois quarts ou des vues au-dessus de la veine d’essai (schéma sur la figure 2.5(b)). Le

système d’éclairage est obtenu avec un ou deux spots à découpe placés au-dessus de la veine d’essai. Ces spots

sont inclinés l’un par rapport à l’autre afin d’obtenir une zone de visualisation maximale. La zone éclairée est un

parallélépipède, ce qui donne une information volumique sur les images de l’écoulement. Dans certains cas, les


structures tourbillonnaires présentes dans l’espace sontdifficilement interprétables lorsqu’elles sont nombreuses

dans la profondeur mesurée.

4.3 Vélocimétrie par image de particules (PIV)

La Vélocimétrie par Image de Particules, appelé par la suitePIV1, est une technique de diagnostic d’imagerie

permettant la détermination de deux composantes de la vitesse instantanée dans une section bidimensionnelle d’un

écoulement. Cette technique est donc classée dans les techniques 2D-2C. A la fin des années 1990 et au début des

années 2000, des ouvrages de synthèse sur cette technique sesont succédés tels que Raffelet al.(1998) sur la tech-

nique même, Stanislaset al.(2004) et plus récemment Schröder & Willert (2008) sur les améliorations récentes de

cette technique ou encore Adrian (2005).

Par principe, l’écoulement est ensemencé par un traceur solide ou fluide. Une tranche de l’écoulement est

éclairée par une nappe laser générant un plan de mesure. L’image des tâches de lumière diffusées par les particules

est enregistrée sur un support, typiquement une caméra CCD ou auparavant un film photographique. Deux flashs

laser espacés de∆t sont générés afin d’obtenir deux éclairements de l’écoulement enregistrés sur deux images.

Ces deux images sont nécessaires pour déterminer la vitessedes particules grâce à une corrélation entre les deux

entités. Ce principe de corrélation des images de particules, nommé inter-corrélation, est présenté sur la figure 2.6.

En pratique, cela revient à chercher un motif de la première image ressemblant le plus possible au sens statistique

FIG. 2.6 – Principe de l’inter-corrélation de deux images de particules

avec un motif de la deuxième image. Le résultat de cette corrélation est un pic plus ou moins distinct des autres

pics sur l’espace d’une fenêtre. Il représente le déplacement privilégié des particules dans cette fenêtre d’analyse.

Enfin, connaissant le temps entre deux enregistrements∆t et le déplacement des particules∆−→d , la vitesse

−→V est

déduite selon l’équation 2.5.

−→V =

∆−→d

∆t(2.5)

La distinction du pic de corrélation est un critère de qualité de la mesure. Cette distinction est faite avec le rap-

port signal sur bruit calculé ici comme le rapport entre le pic principal et le pic secondaire (lorsque ce rapport est

proche de un, le pic de corrélation principal n’est pas vraiment identifiable parmi d’autres). Les vecteurs vitesse

sont donc évalués à partir de la position des principaux picsde corrélation sur chaque fenêtre d’analyse de l’image.

1Acronyme de l’anglaisParticle Image Velocimetry


La valeur du pic de corrélation peut être améliorée avec une approximation de l’enveloppe le constituant par une

fonction d’interpolationsub-pixel. Elle peut engendrer un biais de mesure appelépeak-lockingpour des signaux

non symétriques ou très aplatis par exemple.

Dans la pratique, cette inter-corrélation se calcule sur une fonction discrète. Les images de particules sont alors

divisées en un sous-ensemble de fenêtres d’analyse de taille Mpx×Npx. Cette fenêtre sur la première image est

appelée fenêtre d’interrogation et sur la seconde image fenêtre de recherche. Elles sont centrées sur la positioni, j

pour la première image et sur la positioni +dx, j +dypour la seconde (dxetdy représentent un pixel de l’image).

On cherche pour chaque sous-image la positiondx,dy d’une fenêtre de même taille maximisant le coefficient

normalisé de corrélation (équation 2.6) .

C(dx,dy) =

Mpx−1

∑i=0

Npx−1

∑j=0

[g1(i, j)− g1] · [g2(i +dx, j +dy)− g2]

√

√

√

√

Mpx−1

∑i=0

Npx−1

∑j=0

[g1(i, j)− g1]2 · [g2(i, j)− g2]

2

(2.6)

g1(i, j) est le niveau de gris du pixel à la position(i, j) de l’aire d’interrogation de la première image

g2(i, j) est le niveau de gris du pixel à la position(i, j) de l’aire d’interrogation de la seconde image

g1 et g2 sont les niveaux de gris moyens des fenêtres d’analyse de la première et seconde image

Ce coefficient est une fonction normalisée de corrélation directe. Son avantage principal est la possibilité de

choisir une taille quelconque de la fenêtre d’interrogation, mais pour un coût de calcul très élevé. Une solution

alternative au calcul direct de l’inter-corrélation est l’emploi de la transformée de Fourier rapide (FFT). Cela

implique des temps de calcul réduits et l’utilisation de fenêtres d’interrogations de taille carréeNpx×Npx et de

dimensions 2n (avecn entier) pour la FFT standard (des FFT plus évoluées sont possibles avec des tailles de

fenêtres d’interrogation quelconques). Le nombre d’opérations pour ces fenêtres carrées est deN2px· lnNpx, alors

que pour la corrélation directe, il est deN4px (exemple pour une fenêtre 16×16 pixels, 65536 opérations pour la

corrélation directe et seulement 710 pour la FFT).

4.4 Vélocimétrie par Image de Particules Stéréoscopique (SPIV)

La Vélocimétrie par Image de Particules Stéréoscopique, appelée par la suite SPIV2, est une technique de

mesure dérivée de la PIV pour déterminer les trois composantes de la vitesse. Cette technique est donc classée

dans les techniques 2D-3C (2D pour les mesures dans un plan et3C pour les trois composantes de la vitesse).

La notion de stéréoscopie traduit la technique mise en oeuvre pour reproduire une perception du relief à partir de

deux images planes permettant de déterminer la composante de vitesse hors plan de mesure. La SPIV nécessite

l’utilisation de deux caméras. La figure 2.7(b) illustre la mesure stéréoscopique au contraire de la figure 2.7(a) qui

montre la mesure de PIV des deux composantes de vitesse dans un plan. Sur cette dernière figure, le déplacement

d’une particule est matérialisé dans l’épaisseur de la nappe laser afin de se rendre compte des erreurs commises

lors de mesure de PIV. Pour la configuration stéréoscopique,les deux caméras sont positionnées avec un angle par

rapport à la nappe laser sur la figure 2.7(b). Elles permettent de voir une particule sous deux angles différents. Les

étapes de cette technique de mesure sont détaillées par la suite de la mise en place à l’obtention des champs de

vitesse.

2Acronyme de l’anglaisStereoscopic Particle Image Velocimetry


(a) Mesure PIV (b) Mesure SPIV

FIG. 2.7 – Principe de la mesure stéréoscopique comparée à la PIV

4.4.1 Mise en place de la mesure SPIV

Les premières mesures de SPIV ont été réalisées au laboratoire au cours de la thèse de Calluaud (2003) où

une revue bibliographique pour ces mesures stéréoscopiques est détaillée (configuration parallèle et angulaire). La

configuration parallèle consiste à positionner deux caméras parallèles à la nappe laser. Elle offre des avantages

(grandissement uniforme sur chaque caméra, peu de détérioration liée aux aberrations optiques) mais l’inconvé-

nient majeur est la faible précision sur le calcul de la composante hors plan. Cette précision est reliée au faible

angle entre les caméras (limité par la performance des lentilles des objectifs) impliquant une zone commune mi-

nimum. Ces désavantages sont levés avec la configuration angulaire où les caméras sont orientées avec un angle

par rapport à la normale à la nappe laser sur la figure 2.8. De plus, les performances des lentilles des objectifs ne

FIG. 2.8 – Configuration angulaire pour une mesure de SPIV

sont plus restrictives avec l’augmentation de l’angle entre les caméras. Le problème de la zone commune étant

résolu avec la configuration angulaire, il reste deux problèmes majeurs pour ce type de configuration : la netteté

de la zone visualisée et les aberrations optiques liées à l’inclinaison des caméras par rapport à la nappe laser. Des

solutions à ces problèmes ont déjà été proposées avec le dispositif de Scheimpflug et l’utilisation de dioptres. Cette

partie présente brièvement ces deux solutions employées lors de nos mesures.


Position des caméras CCD Le positionnement et les réglages des caméras CCD sont essentiels pour effectuer

des mesures convenables. Il est lié à la possibilité de la caméra à capter la lumière émise par les particules. Selon

la polarité de la lumière laser et la taille des particules pour l’ensemencement, la lumière émise n’est pas la même

dans toutes les directions de l’écoulement. L’étude de la diffusion de la lumière est nécessaire pour savoir si

chaque caméra peut capter une quantité de lumière suffisante. D’après les caractéristiques des particules solides, le

FIG. 2.9 – Diffusion de la lumière par une particule de 10µm (diagramme de Mie)

diamètre des particules (10−15µm) est très supérieur à la longueur d’onde du laser (532 nm), ce qui correspond

à de la diffusion de Mie pour la lumière. Le diagramme de la figure 2.9 illustre la répartition angulaire de la

diffusion par une particule sphérique de 10µm de diamètre éclairée par un rayon lumineux venant de la gauche.

La lumière est mieux diffusée pour des angles par rapport au rayon laser incident proche de 0 ou 180. Dans les

manipulations réalisées, la source laser est positionnée au-dessus de la veine hydrodynamique. Les caméras sont

toujours positionnées avec une incidence de 90 par rapport à l’émission de la nappe laser et elles sont localisées

de part et d’autre de celle-ci.

Arrangement de Scheimpflug Le problème de netteté est relié à la détermination de la profondeur de champ,

c’est-à-dire qu’avec l’augmentation de celle-ci, la zone de netteté croît également. Cependant, en raison de l’angle

entre l’objectif et le plan objet, la mise au point des imagesne peut se faire sur l’ensemble de la zone visualisée. Il

est alors nécessaire d’augmenter la profondeur de champδz. Elle est régie par l’équation 2.7 proposée par Adrian

(1991), oùF# est le nombre d’ouverture (rapport entre la focale de l’objectif et le nombre d’ouverture de la pupille)

etM le facteur de grandissement de la caméra.

δz= 4·(1+M−1)2 ·F2# ·λlaser (2.7)

Cette relation implique pour l’obtention d’une profondeurde champ suffisante et donc la netteté sur toute la zone

de mesure, que le nombre d’ouverture de la pupille soit très faible. C’est-à-dire beaucoup plus petite que ceux

possibles avec les objectifs des caméras. La solution n’estdonc pas dans l’augmentation de la profondeur de champ

mais dans son réajustement sur la zone de mesure. Pour y parvenir, la rotation du capteur CCD par rapport au plan

de la lentille est possible de telle manière que les plans objet, lentille et image soient concourants en un point

unique. C’est ce que l’on appelle dans le milieu de la photographie l’arrangement de Scheimpflug (Scheimpflug,

1904). Cette configuration angulaire est illustrée sur la figure 2.10(b) au contraire de la configuration sans cette

rotation de la CCD sur la figure 2.10(a). L’angleθ représente l’angle entre le plan de l’objectif et la nappe laser

(angle entre le plan lentille et le plan objet).

M =tanαtanθ

(2.8)

L’angle de rotation du capteur CCD est notéα (angle entre le plan image et le plan lentille). La zone de netteté sur

les deux images est la zone grisée. La valeur de l’angleα est décrite par l’équation 2.8.


(a) Sans arrangement de Scheimpflug (b) Avec arrangement de Scheimpflug

FIG. 2.10 – Configuration stéréoscopique angulaire (Calluaud,2003)

Prismes Les mesures de SPIV dans des écoulements liquides entraînent un problème important lié aux aberra-

tions optiques. Il est augmenté par le fait que les caméras nesont pas placées perpendiculairement à la nappe laser

mais avec un certain angle. L’interface air-paroi-liquidetraversée par le chemin optique détériore les images. Par

exemple, l’astigmatisme est présent généralement sur les bords de l’image : les particules apparaissent allongées

soit dans la longueur, soit dans la hauteur. Il est possible de déterminer une position optimale réduisant les erreurs

de mesure. Mais dans le cas de la configuration angulaire, Prasad & Jensen (1995) proposent un artifice mécanique

pour corriger ce problème. Des prismes remplis du même liquide que l’écoulement sont plaqués contre la veine

d’essai. Les caméras sont ensuite placées de telle façon queleurs chemins optiques soient perpendiculaires à la

face d’entrée dans le prisme. La photo de la figure 2.11 montredes prismes utilisés pendant nos expérimentations

FIG. 2.11 – Prismes remplis d’eau sur une manipulation couplée

pour des mesures de SPIV. Au préalable, une phase de dimensionnement des prismes est nécessaire par des tracés

de chemins optiques suivant la configuration souhaitée.

4.4.2 Phase de calibration des caméras

Une calibration est indispensable pour reconstruire la modélisation du capteur et nécessite la connaissance de

plusieurs plans dans l’espace. La méthode de calibration repose sur la détermination de fonctions de calibrage

reliant les coordonnées tridimensionnelles d’un point dans le plan objet à son image de coordonnées bidimen-

sionnelles sur le capteur. Cette approche consiste à placerune mire de calibration en coïncidence avec la nappe


laser et à en effectuer des enregistrements successifs en ladéplaçant dans la section de mesure. Ainsi, un maillage

tridimensionnel de l’espace de mesure est défini et connu précisément avec ses projections bidimensionnelles sur

chaque plan image de chaque caméra. La détermination de cette matrice de calibration est réalisée avec le logiciel

Davis 7.2de la sociétéLavision. Il offre la possibilité entre deux modèles de calibration :un modèle linéaire de

type Pinhole et un modèle polynomial. Les détails sur le modèle linéaire sont donnés par Hartley & Zissermann

(2000). Il est basé sur la modélisation de chaque caméra du système. Il repose sur l’écriture des relations reliant

le système optique composé du capteur CCD, de l’objectif et de son orientation par rapport au plan objet défini

par la nappe laser. Ce modèle de caméra est dit sténopé (absence de non-linéarités). Il ne prend pas en compte

les distorsions optiques ou les réfractions. Néanmoins, ilest possible de modéliser physiquement ces aberrations

optiques par la résolution d’un système d’équations non-linéaires (Willert, 2006). Cette correction est prise en

compte dans le logiciel d’imagerie. Le modèle polynomial est proposé par Soloffet al.(1997). Son principe est de

constituer une approximation polynomiale des fonctions decalibrage 3D afin de tenir compte de la non uniformité

du grandissement et des distorsions optiques. Cette procédure ne nécessite à aucun moment la connaissance de la

géométrie du dispositif expérimental. Ces différentes approches de la calibration stéréoscopique sont détaillées par

Prasad (2000).

La seconde étape de calibration en SPIV est la correction de désalignement de la nappe laser (Wieneke, 2005).

Cette étape ne peut pas être réalisée en PIV classique car il faut avoir aux moins deux points de vue différents

de la même zone de mesure. Le concept de désalignement de mireest illustré sur la figure 2.12. Dans la théorie,

FIG. 2.12 – Principe du désalignement de mire

lorsque la calibration est parfaite, la nappe laser est alignée exactement avec le plan de calibration. Sur une image,

une particule présente dans la nappe laser est donc vue par les deux caméras au même endroit. Sur la figure 2.12,

le problème est exagéré pour une meilleure compréhension. Le plan de calibration est à l’endroit où se trouve la

mire de calibration alors que la nappe laser (en vert) est excentrée de cet endroit. La vision de la même particule

par chaque caméra est calculée dans le plan de calibration. La distance entre les deux points forme un vecteur

mesurant l’erreur commise lors de la calibration. Une cartede disparité est obtenue pour se rendre compte des

transformations (rotations et translations) à appliquer aux coefficients de la matrice de corrélation. Des exemples

de champ de désalignement (ou carte de disparité) sont présentés sur les figure 2.13(a) et (b). Sur la figure 2.13(a),

une itération sur une centaine d’images de particules est présentée. Les vecteurs de disparité sont orientés de la

droite vers la gauche ce qui implique une translation majeure du plan de calibration dans la profondeur. De plus,

un passage à zéro des vecteurs dans la direction verticale implique une rotation du plan par rapport à l’axe hors

plan. Une deuxième itération sur la figure 2.13(b) affine les résultats. L’erreur moyenne de désalignement est de


(a) 1er passage (b) 2ème passage

FIG. 2.13 – Exemples de champ de désalignement obtenu pour des mesures de SPIV

l’ordre du pixel après la correction dans tous nos plans de mesure.

4.4.3 Traitement des images de particules

La reconstruction du champ de vitesse tridimensionnel est obtenue par la détermination des trois composantes

de la vitesse à partir de deux visualisations de l’écoulement (matérialisées par les deux caméras). La première étape

est un prétraitement des données. Une soustraction de la valeur minimum ou de la moyenne des niveaux de gris

sur une série d’images permet de supprimer les éventuelles réflexions parasites sur l’image. Un masque peut être

appliqué sur les images pour cibler la région où la corrélation doit être effectuée. Il réduit les dimensions de l’image

pour le traitement. Ainsi, le temps de calcul des champs de vecteurs vitesse est lui aussi diminué. Les images sont

analysées séparément afin d’obtenir les champs bidimensionnels de vitesse de chaque caméra. Le traitement du

champ bidimensionnel fait appel à des algorithmes itératifs avec décalage et déformation locale des fenêtres d’ana-

lyse. On parle de traitement par multi-passes avec des tailles adaptatives de fenêtre. L’accumulation des passes

stabilise et tend à faire converger la solution. Les pertes de particules d’une fenêtre à l’autre sont donc limitées.

La résolution spatiale et la précision des résultats sont améliorées. L’inter-corrélation des images est réalisée avec

une FFT standard pour les premières passes et une FFT normalisée pour les passes finales. Un facteur de poids

donne également de l’importance aux particules aux centresde la fenêtre de corrélation en utilisant une fonction

gaussienne. Cette fonctionnalité est très coûteuse en temps de calcul. Enfin, une étape de triangulation permet de

combiner ces champs bidimensionnels afin de déterminer le champ de vitesse tridimensionnel. La détermination

des relations de passage du plan objet au plan image passe parla connaissance des fonctions tridimensionnelles

reliant les points d’une caméra aux points de l’espace objetdéfinis lors du calibrage.

Le tableau 2.7 présente les paramètres de corrélation utilisés pour les deux campagnes de SPIV effectués lors

de cette thèse. Le pourcentage de recouvrement des images a pour effet d’augmenter artificiellement la résolution

Campagne Première passe Passe finaleTaille fenêtre Poids Nombre Taille fenêtre Poids Nombre

1 64×64 - 75% 1 passe 32×32 - 50% © 3 passes2 32×32 - 75% 1 passe 16×16 - 50% © 3 passes

TAB . 2.7 – Paramètres du traitement des champs SPIV (© correspond au facteur de poids utilisant une gaussiennealors que correspond à aucun poids)


spatiale des champs de vecteurs. Pour la première campagne de manipulation, l’espace de 16 pixels correspond

à un pas de 1,35 mm alors que pour la seconde campagne, la résolution spatiale est de 0,89 mm (8 pixels). Le

traitement des images de particules est réalisée avec le logiciel Davis 7.2de la sociétéLavision.

4.4.4 Validation de la phase de traitement

FIG. 2.14 – Effet depeak-locking

Afin d’estimer la précision du logiciel de dé-

pouillement à partir de nos images et la qualité de nos

enregistrements, on estime le biais de mesure et les in-

certitudes associées. Le premier paramètre étudié est

l’effet de peak-locking. Il se matérialise lors d’une po-

sition de pic proche dek+ 0,5 pixels, aveck un en-

tier, l’approximation de l’enveloppe du pic de corré-

lation par une des fonctions d’interpolation engendre

un biais de mesure nomméepeak-locking. Ce biais est

schématisé sur la figure 2.14. De part l’échantillonnage

au pixel de la fonction de corrélation, la dissymétrie

des positions des trois points servant à la détermination

des fonctions d’approximation (point du pic de corré-

lation et les deux points l’entourant) par rapport au pic

de corrélation engendre une localisation de la position

de celui-ci avec une faible précision. Afin de quanti-

fier ce phénomène, des histogrammes des valeurs de

déplacement en fraction de pixel sont réalisés. Les fi-

gures 2.15(a) et (b) présentent deux exemples les plus défavorables des histogrammes de ces déplacements (pour

les deux composantes dans le plan) pour les deux campagnes demesure de SPIV. Sur ces histogrammes, les valeurs

des déplacements sont classées entre 0 et 0,5 c’est-à-dire que les valeurs ont été tronquées pour garder uniquement

la valeur décimale puis symétrisées autour de 0,5. On peut remarquer que les déplacements en demi-pixel sont pré-

sents dans les champs de vitesse et que la répartition des valeurs ne favorise aucune tendance pour les déplacements

entiers ou demi-entiers. L’effet depeak-lockingest donc très faible sur nos mesures. Enfin, un critèreVpeak−locking

est calculé afin de quantifier cet effet selon l’équation 2.9.

Vpeak−locking = 4·(0,25−VCM) (2.9)

Dans cette équation,VCM représente le centre de masse de l’histogramme. SiVCM est égal à 0,Vpeak−locking vaut 1

ce qui correspond à un fort effet depeak-lockinget à l’inverse plus le centre de masse se rapproche de 0,5 et plus

l’effet est compensé. Pour les deux histogrammes des figures2.15(a) et (b),Vpeak−locking vaut respectivement 0,094

et 0,04 ce qui confirme une effet négligeable de ce défaut.

La deuxième partie de la validation des résultats passe par la précision du logiciel d’imagerie utilisé pour obte-

nir les champs de vitesse à l’aide des images de particules. L’approximation des déplacements est testée en prenant

une image de particules obtenue lors de nos mesures et en lui imposant des déplacements contrôlés de fraction de

pixel compris entre 0,1 et 1 pixel dans les deux directions del’image. Elles sont ensuite corrélées afin de détermi-

ner le déplacement moyen obtenu sur l’ensemble du champ pourchaque déplacement. La figure 2.16 représente

l’erreur moyenne obtenue (déplacement imposé - déplacement mesuré) en fonction du déplacement imposé. La

fluctuation autour des valeurs obtenues est représentée pour chaque point. La réponse du logiciel sur la gamme de

déplacement testé est cohérente et ne présente pas d’erreursub-pixelprivilégiée.


déplacement (fraction de pixels)

nom

bre

deve

cteu

rs

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

200

400

600

800

1000

1200

1400

(a) Campagne 1

déplacement (fraction de pixels)

nom

bre

deve

cteu

rs

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

(b) Campagne 2

FIG. 2.15 – Histogrammes des déplacements en fraction de pixels(effet depeak-locking)

déplacement imposé

erre

ur

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

FIG. 2.16 – Erreur sur le déplacement sub-pixel calculé en fonction du déplacement imposé

Le dernier paramètre vérifié est le nombre de vecteurs remplacés dans la phase de post-traitement des données.

Sur les champs de vitesse instantanés obtenus, des vecteurserronés apparaissent de manière aléatoire à cause de

défauts ponctuels d’ensemencements ou de manière régulière (réflexions parasites ou défauts du plan laser). Afin

d’éliminer ces vecteurs aberrants, on applique systématiquement une étape de post-traitement des données basée

sur des critères de validation :

− rapport signal sur bruit : Le rapport signal sur bruit est déterminé afin de choisir correctement l’am-

plitude du pic principal par rapport au pic secondaire de corrélation. Pour toutes les mesures de SPIV, ce

rapport est égal à 1,3.

− filtre médian : Un filtre médian est appliqué dans une fenêtre 3×3. La médiane est calculée avec les huit

vecteurs voisins afin de valider, à l’aide de critère sur les fluctuations, la valeur du vecteur au centre de la

fenêtre. Si il est considéré comme erroné, il est remplacé par le vecteur médian.


− interpolation : L’interpolation et le remplissage des vecteurs non déterminés sont utilisés afin d’obtenir

un vecteur sur tous les points du maillage.

Au final, les champs de vitesse obtenus contiennent 8450 vecteurs par images pour la première campagne de me-

sure dont 100 à 150 vecteurs erronés (soit moins de 2% de vecteurs interpolés) et 27800 vecteurs par images pour

la seconde campagne dont 4 à 10 vecteurs erronés (soit moins de 0,1% de vecteurs erronés).

4.4.5 Convergence des moyennes statistiques

Le nombre d’échantillons nécessaires afin d’estimer les grandeurs statistiques est associé au taux d’incertitude

et au pourcentage d’erreur avec lesquels on souhaite faire nos mesures. Ainsi, les liens entre la vitesse moyenneU r

et l’écart-type de la vitesseu′RMSrobtenu et les valeurs estiméesU et l’écart-type de la vitesseu′RMS sont données

par les équations 2.10 et 2.11.

U r = U +/−λpu′2RMSr√

N(2.10)

u′RMSr= u′RMS+/−λp

u′2RMSr√2N

(2.11)

Le nombre d’échantillons nécessairesN pour faire l’estimation peut être déterminé en choisissantle taux d’incer-

titude λp et l’erreur d’estimation acceptée. Ce nombre d’échantillons dépend en partie de la fluctuation dans le

champ de vitesse. L’écoulement étudié présente de fortes variations à la sortie du jet et des zones pour lesquelles

la fluctuation est ensuite beaucoup plus faible. En sortie dujet, les fluctuations peuvent atteindre des valeurs de 0,5

ce qui correspond à une erreur inférieure à 1% avec un taux de confiance de 99% pour 4000 champs de vitesse.

Pour les moyennes de phase, la valeur maximale des fluctuations est de 0,3 ce qui correspond à une erreur de 2%

avec un taux de confiance de 95%. De la même manière,u′RMSest mesuré avec 5% d’erreur et un taux de confiance

de 95% sur les 200 champs moyennés en phase.

Le nombre total d’échantillons étant défini par l’expérimentateur, il est indispensable pour chaque expérience,

d’évaluer la convergence des grandeurs calculées afin qu’elles soient représentatives de l’écoulement étudié. Ces

contrôles ont été menés aux points où l’intensité est maximale dans l’image. Les figures 2.17(a) et (b) présentent

l’évolution de la convergence des vitesses et des fluctuations sur 200 champs de vitesse ayant servi à calculer une

moyenne de phase. Il est à noter que pour ce point de variationmaximale des fluctuations, les moments d’ordre 1

et 2 sont convergés pour une mesure avec 200 champs à un instant de la période de pulsation. La même procédure a

été appliquée aux 4000 champs de vitesse afin de déterminer laconvergence des champs moyens. La convergence

est encore plus nettement atteinte dans ce cas.

4.5 Fluorescence Induite par Laser (PLIF)

La Fluorescence Induite par Laser, appelée par la suite LIF3, consiste à exciter une molécule de traceur fluores-

cent dans un écoulement et à capter l’émission de photons renvoyée par celle-ci. C’est une méthode de diagnostic

optique non intrusive pour déterminer certaines propriétés scalaires d’un fluide. En mécanique des fluides, cette

technique est communément utilisée pour des mesures de concentration, de température avec séparation de deux

couleurs dans le signal de fluorescence (Bruchhausenet al., 2005) ou de pH (Coppeta & Rogers, 1998). Selon les

conditions optiques, les mesures sont réalisées en un point, le long d’une ligne, ou dans un plan de l’écoulement

(Crimaldi & Koseff, 2001). Le plus intéressant en mécaniquedes fluides est la mesure planaire appelée par la suite

PLIF4. Dans les écoulements aqueux, Crimaldi (2008) a écrit une revue de synthèse sur la technique PLIF. Avec

3Acronyme de l’anglaisLaser Induced Fluorescence4Acronyme de l’anglaisPlanar Laser Induced Fluorescence


nombre d’images

vite

sse

(m/s

)

0 50 100 150 200-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

Vx

Vz

Vy

(a) Vitesse dans l’écoulement

nombre d’images

vite

sse

(m/s

)

0 50 100 150-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

u’

w ’

v’

(b) Fluctuations de vitesse

FIG. 2.17 – Evolution de la convergence des vitesses et des fluctuations dans l’écoulement

l’amélioration des techniques optiques, les mesures de PLIF dans un volume sont possibles. Tian & Roberts (2003)

étudient un jet turbulent en illuminant l’écoulement avec une nappe laser passant dans un miroir tournant. Consi-

dérant la vitesse de balayage de la nappe laser négligeable par rapport aux vitesses présentes dans l’écoulement,

un champ de concentration volumique peut être obtenu.

Dans cette thèse, toutes les mesures de concentration sont des mesures planaires. Leur mise en oeuvre et le

principe de la PLIF sont sensiblement les mêmes que ceux de laPIV. L’écoulement est ensemencé par un traceur

fluorescent. Une nappe laser éclaire une tranche de l’écoulement. La fluorescence émise par le colorant excité est

captée par des capteurs CCD. Le résultat correspond à des images en niveaux de gris. Le traceur fluorescent doit

avoir une longueur d’onde d’absorption compatible avec la source lumineuse. De plus, il faut que le colorant soit

réactif à la grandeur à mesurer. Le tableau 2.6 dresse une liste des colorants et de leurs caractéristiques disponibles

au laboratoire. La Rhodamine 6G a été employée pour toutes les mesures de concentration. De plus, il existe deux

manières pour réaliser des mesures de concentration : soit on injecte du traceur fluorescent dans le fluide ambiant

(procédure directe) ou soit on colore le domaine de mesure defaçon homogène et on y introduit du fluide pur (pro-

cédure inverse). La méthode inverse est appliquée en colorant l’écoulement transverse avec le traceur fluorescent

et en injectant de l’eau pure dans le jet pulsé. Cette solution est employée car elle permet de conserver une zone de

l’écoulement où la concentration en colorant est uniforme afin de tenir compte des défauts de caméras par exemple

par simple division d’images.

Dans cette partie, un petit rappel théorique est fait sur lesmécanismes mis en oeuvre lors de l’excitation d’un

traceur fluorescent par une source lumineuse. Puis, la majeure partie de cette section détaille le traitement des

images en niveaux de gris afin d’obtenir des champs de concentration normalisées.

4.5.1 Rappels théoriques

Lorsqu’une molécule absorbe de l’énergie sous forme de radiation électromagnétique, plusieurs processus

de désactivation sont possibles afin de permettre son retourà l’état d’équilibre. La fluorescence est l’un de ces

processus, de nature radiative. Jablonski (1935) illustre ces différents processus compétitifsqui sont alors mis en

jeu à l’aide d’un diagramme sur la figure 2.18. Lorsqu’une molécule de traceur est excitée par un photon de lumière,


FIG. 2.18 – Diagramme de Jablonski schématisant l’ensemble du processus d’excitation etde désactivation d’unemolécule absorbant de l’énergie

elle passe de son état singulet fondamental (S0) à un état excité. Selon le spin, on distingue deux états excités

d’énergie de nature différente : l’état Singulet instable (S) et l’état Triplet métastable (T). Si l’émission radiative

se produit entre deux états de même multiplicité (singulet excité - singulet fondamental), le phénomène est appelé

fluorescence. Si l’émission se produit entre deux états de multiplicité différente (triplet - singulet fondamental), le

phénomène est appelé phosphorescence. En approfondissantla description, trois possibilités s’offrent à la molécule

excitée. Premièrement et de manière générale, la molécule retourne à son étatS0 en émettant un photon après une

reconversion énergétique interne : la fluorescence. Deuxièmement, au lieu d’émettre un photon, le retour à l’état

S0 se fait sans émission de photons (non radiatif) : lequenching. Troisièmement, un basculement du spin de la

molécule la conduit à un état métastableT1. Cela implique une désexcitation lente et peu probable de nature

radiative : la phosphorescence. Lequenchingexpliqué ci-dessus est un terme évoqué pour désigner la décroissance

de la fluorescence, statique ou dynamique. Lequenchingdynamique est lié aux collisions entre les molécules

excitées ou non et est favorisé par la présence d’oxygène dans le milieu. Lequenchingstatique consiste en une

formation d’entités chimiques indépendantes non fluorescentes. Ce mécanisme est appeléphotobleaching. Une

estimation de sa contribution est réalisée par la suite.

4.5.2 Hypothèses sur les mesures de concentration

Les images obtenues sur les capteurs CCD sont des images en niveaux de gris. Le but du traitement d’image est

la conversion des niveaux de gris en une concentration représentative de l’écoulement à un point donné. Lors de la

mesure, la concentration en colorant diminue au cours du temps car de l’eau pure est injectée dans l’écoulement.

Le circuit est une boucle semi-ouverte, c’est-à-dire que l’eau de la grande cuve est diminuée afin de maintenir

un niveau constante et celui de la petite cuve servant d’alimentation au jet pulsé est augmentée. Le principe de la

mesure est basé sur l’équation 2.12 (Crimaldi & Koseff, 2001) donnant la relation entre le signal de fluorescence

reçu par la caméraF(x,y, t), l’intensité du laserI(x,y, t), la concentration en colorantC(x,y, t) et la fonction de

transfert optiqueα(x,y). Dans cette équation,Fn(x,y, t) représente le niveau de bruit de la caméra.

F(x,y, t) = α(x,y)I(x,y, t)C(x,y, t)+Fn(x,y, t) (2.12)


Différentes hypothèses doivent être vérifiées afin de convertir les images en champ de concentration et sont décrites

ci-dessous :

− l’absorption : L’équation 2.12 est valide lorsque l’absorption est négligeable. Cela suppose que la dé-

croissance de l’intensité lumineuse lors de la propagationde la lumière dans le milieu doit être faible

avec la concentration en colorant utilisée. Le taux de Rhodamine 6G dans les expériences n’excède pas

8,3.10−8 mol/L. A cette concentration maximum, l’absorption est considérée comme négligeable. Il est

à remarquer que si l’absorption n’est pas négligeable, on devrait avoir une concentration supérieure à un

dans la zone sous le jet ce qui n’est pas le cas.

− la linéarité de la fluorescence :L’intensité de la fluorescence mesurée par la caméra doit être proportion-

nelle à la quantité de colorant introduite dans l’écoulement. Pour nos mesures de PLIF, cette linéarité a été

vérifiée et est illustrée sur la figure 2.19(a) dans la gamme deconcentration utilisée (concentration maxi-

male de 8,3.10−8 mol/L). La linéarité de la fluorescence en fonction de l’intensité laser est également

concentration Rhodamine 6G

nive

aux

degr

is

0 2E-08 4E-08 6E-08 8E-08 1E0

200

400

600

800

(a) Fluorescence en fonction de la concentration

pourcentage d’intensité laser

nive

aux

degr

is

40 50 60 70 80 90 100

250

300

350

400

450

500 laser 120 mJ

(b) Fluorescence en fonction de l’intensité laser

FIG. 2.19 – Linéarité du signal de fluorescence reçue par une caméra PLIF

vérifiée avec les concentrations en Rhodamine 6G utilisées lors des manipulations pour le laser 120 mJ

employées en PLIF sur la figure 2.19(b). De la même manière, l’étude sur le laser 30 mJ utilisé pour le

plan orthogonal vérifie la même linéarité.

− le bruit de la caméra : Dans l’équation 2.12, le bruit de fond de la caméra numériqueest modélisé

parFn(x,y, t). Sa valeur est faible mais elle n’est pas négligeable. Une mesure sur une série d’images de

l’écoulement sans intensité laser est effectuée afin de déterminer cet offset. Ce niveau moyen correspond

à 1% de la valeur maximale des niveaux de gris sur l’image avecune variation temporelle négligeable

(inférieure à 0,1%). Le niveau de bruitFn(x,y, t) est donc approximé par un niveau ne dépendant plus du

tempsFn(x,y). Dans la suite de ce paragraphe, la notation de l’équation 2.13 est utilisée afin de simplifier

les expressions deF(x,y, t) parF ′(x,y, t).

F ′(x,y, t) = F(x,y, t)− Fn(x,y) (2.13)

− la fonction de transfert optique : La fonction de transfertα(x,y) est une fonction indépendante du temps.

Elle prend en compte toute la configuration optique et les défauts de la caméra. Il y a deux possibilités

pour l’obtenir : soit on modélise toute la configuration optique afin de la déterminer directement ou l’on

utilise une image de référence enregistrée indépendammentde la manipulation.


− la réflexion : Déjà observées sur les images de SPIV, les réflexions (de la lumière laser sur la plaque plane)

sont également visibles sur les images de PLIF. Il est possible de réduire cet effet avec un traitement des

images en niveaux de gris. Lors de nos mesures, les réflexionssont éliminées dans le calcul de l’image de

référence.

− le photobleaching : Un problème déjà évoqué précédemment est lephotobleaching. Il est causé par la

formation d’entité non fluorescente dans la veine. Crimaldi(1997) estime lephotobleachingavec un

critère en fonction de la puissance laser et la fréquence d’éclairement dans un point de l’écoulement.

Ce paramètre permet en dessous d’un certain seuil de considérer que le photobleaching est négligeable.

Larsen & Crimaldi (2006) estiment également ce phénomène mais pour des mesures dans un plan. Lors de

nos mesures couplées, une étude est réalisée afin de mettre enévidence ce phénomène et de le quantifier.

− les variations spatio-temporelles de l’intensité du laser: Les données constructeurs des sources laser

indiquent un pourcentage d’erreur sur l’intensité du laserd’un tir à l’autre. De plus, la mesure de concen-

tration implique la génération d’un plan laser où l’intensité n’est pas uniforme. La figure 2.20 présente la

variation temporelle relative de l’intensité du laser sur une série de 60 images d’une solution de concen-

tration uniforme prise dans la veine d’essai (sans ajout d’eau pure). Il apparaît que l’intensité du laser à

numéro de l’image

inte

nsité

rela

tive

dula

ser(

%)

0 10 20 30 40 502

4

6

8

FIG. 2.20 – Variation temporelle de l’intensité relative du laser sur une série d’images de concentration uniforme

deux temps distincts d’acquisition n’est jamais identique. La variation non négligeable de l’intensité se

situe aux alentours de 6% de la valeur moyenne. Ces variations spatio-temporelles de l’intensité laser sont

corrigées sur les images en niveaux de gris et constituent leproblème majeur du traitement des images de

PLIF. Deux solutions sont proposées dans la littérature pour palier à ce problème. La première consiste à

récupérer l’intensité de chaque pulse laser pendant la manipulation avec une lame séparatrice par exemple.

L’image de concentration est corrigée à posteriori (van Cruyningenet al., 1990). La deuxième solution est

une correction globale de l’intensité à l’instantt en mesurant la variation d’intensité du laser directement

dans l’image à un endroit où la concentration est connue. Cette correction est utilisée dans nos mesures.

Néanmoins, une correction plus élaborée permet d’ajuster localement la variation des raies du laser. Cette

correction locale est détaillée dans la suite de cette partie.

4.5.3 Conversion des images en champ de concentration

La conversion des images en champ de concentration est réalisée au moyen d’une correction locale ou globale.

Cette méthode de correction a été développée et mise en oeuvre au sein du laboratoire par Lionel Thomas. La


méthode se base sur le calcul d’une image de référence. Cetteimage de référence est prise sans jet (pas d’ajout

d’eau pure) ce qui permet d’obtenir une concentration uniformeC0 sur toute l’image. L’équation 2.12 prend la

forme de l’équation 2.14 pour l’image de référence.

F ′r (x,y, tr) = α(x,y)I(x,y, tr)C0 (2.14)

Le tempstr est différent du tempst des images prises pendant les manipulations. Ce temps représente le temps

des images de référence prises indépendamment des expérimentations.F ′r (x,y, tr) représente la fluorescence reçue

par la caméra pour l’image de référence. Le problème est de déterminer l’intensité du laser. Cette intensité peut

être mesuré directement pendant la manipulation avec un puissance-mètre. L’autre solution, développée pour nos

mesures, consiste à obtenir l’intensité laser de deux façons différentes.

Premièrement, elle est modélisée par une fonctionI(x,y, t) = IS(x,y)IT(t) composée d’une partie spécifiant les

variations spatialesIS(x,y) et une partie les variations temporelles de l’intensité du laser. Utilisant cette hypothèse,

le champ de concentration normalisé est défini selon l’équation 2.15.

C(x,y, t)C0

=F ′(x,y, t)F ′

r (x,y, tr)IT(tr)IT(t)

(2.15)

L’intérêt de la division des images (une de référence et une pendant la manipulation) est de s’affranchir des pro-

blèmes liés aux défauts des caméras. Ce rapport est déterminé expérimentalement, mais il est nécessaire d’avoir

une zone de référence sur les images de concentration. La figure 2.21(a) présente un image de référence obtenue

(a) Champ de référenceC0 (b) Champ de concentration àt

FIG. 2.21 – Champ de concentration obtenu lors de mesure de PLIF

avec une série d’images de concentration uniforme et la figure 2.21(b) une image de concentration à un instant t.

Les raies laser se propagent de haut en bas. Il est donc nécessaire d’avoir une zone de l’image où la concentration

est uniforme. Cette zone est matérialisée par un rectangle rouge sur les deux images des figures 2.21(a) et (b). Le

rapport entre les intensités de l’image de référence et d’une image à un instantt est donné par l’équation 2.16.

IT(tr)IT(t)

=< F ′

r (tr) >re f

< F ′(t) >re f(2.16)

Dans cette équation,< . >re f est un opérateur de moyenne spatiale à l’intérieur de la région de référence. Cette

correction est appeléecorrection globale. Elle repose sur le postulat que l’intensité laser a un changement global

dans le temps.

La deuxième correction suppose que le rapport d’intensité du laser est constant le long de lignes provenant

d’une origine unique. Les lignes sur l’image de la figure 2.22représentent les raies du laser liées au passage dans


FIG. 2.22 – Image de concentration uniforme

l’ altuglass(couvercle de la veine). Leurs intensités ne sont pas constantes d’une raie à l’autre mais le rapport

d’intensité d’une raie apparaît être constant. L’origine unique est considérée comme l’origine des raies laser. Elle

est déterminée expérimentalement sur les images de concentration uniforme. Le rapport des intensités est modélisé

par une fonctionβ∗(q∗; t, tr) selon l’équation 2.17.

I(x,y, tr)I(x,y, t)

= β∗(q∗; t, tr) (2.17)

Dans cette équation, la quantitéq∗ détermine un rapport en fonction des coordonnéesx ety de l’intensité laser dans

la zone de référence et des coordonnéesx∗ et y∗ du point origine moyen d’intersections des raies laser (équation

2.18).

q∗ =y−y∗

x−x∗(2.18)

La fonctionβ(q∗; t, tr) est également déterminée expérimentalement avec la nécessité d’une zone de référence sur

les images de concentration. L’équation 2.19 donne le calcul de cette quantité sur une zone de référence entre

l’image de référence et une image à un instantt.

β∗(q∗; t, tr) =1

x2−x1

Z x2

x1

F ′r (x,y

∗ +q∗(x−x∗), t)F ′

r (x,y∗ +q∗(x−x∗), tr)dx (2.19)

Cette correction est appeléecorrection locale. Elle est le plus souvent utilisée car elle permet une précision plus

fine des résultats sur les champs de concentration. Dans notre cas, la correction locale permet d’enlever l’effet

éventuel des bulles sur la paroi supérieure. Elle est effectuée dans le traitement de l’image.

Un exemple sur une série de 50 images de concentration uniforme a été réalisé avec les deux corrections et

est comparé aux images non corrigées. La figure 2.23 présentela variance moyenne de la concentration pour ces

trois configurations. Sans correction, le résultat est mauvais et instable (environ 6% d’erreur). Avec une correction

globale, l’erreur est de 2% mais il y a de petites fluctuationsde l’erreur. Enfin, l’erreur est stable et légèrement

inférieure à 2% avec une correction locale.

5 Mesures couplées SPIV-PLIF

L’équation de transport d’un scalaire (équation 2.20) met en évidence le couplage entre le champ de concen-

tration et le champ de vitesse.∂C∂t

+ui∂C∂xi

=∂

∂xi

(

Ddi f∂C∂xi

)

(2.20)

5. Mesures couplées SPIV-PLIF 51


erre

urre

lativ

e(%

)

0 10 20 30 40 50

2

4

6

8 aucune correctioncorrection globalecorrection locale

FIG. 2.23 – Variance moyenne de la concentration sur la mesure d’un champ de concentration uniforme

Dans cette équation,Ddi f est le coefficient de diffusion etC représente le champ de concentration. Il est donc

intéressant de mesurer simultanément les champs de vitesseet de concentration. Le termemesure coupléeest

utilisé pour désigner des mesures simultanées de grandeursobtenues par des techniques expérimentales différentes.

D’un point de vue expérimental, ces mesures possèdent des atouts importants. Tout d’abord, les mesures sont

réalisées simultanément donc cela permet d’étudier les couplages entre des grandeurs physiques différentes (vitesse

et concentration dans notre étude). De plus, les mesures ne sont pas effectuées deux fois donc les manipulations

sont réalisées plus rapidement. Dans cette thèse, les mesures couplées lient les techniques de SPIV et PLIF. Dans

la littérature, les premières mesures couplées ont été obtenues en un point avec des anémomètres laser Doppler et

des mesures de LIF par exemple. Pour les mesures dans un plan,un exemple de couplage entre la PIV et la PLIF

est mise en oeuvre par Simoëns & Ayrault (1994) dans un écoulement turbulent. Diezet al. (2005), puis Cárdenas

et al. (2007) mesurent la vitesse et la concentration dans un jet débouchant dans un écoulement transverse par

une technique couplée. Hishida & Sakakibara (2000) combinent la PLIF et la PIV pour mesurer simultanément la

vitesse et la température. D’autres techniques sont possibles, comme le couplage DPTV/PLIF dans un jet turbulent

(Websteret al., 2001). Dans la suite de cette section, le montage et la synchronisation sont présentés pour des

mesures simultanées de SPIV-PLIF dans un plan longitudinalà l’écoulement avec un autre plan de PLIF orthogonal

au précédent. Enfin, une discussion est ouverte sur les problèmes liés aux mesures couplées.

5.1 Montage expérimental

Le montage expérimental est présenté sur la figure 2.24. Les deux plans de mesure sont un plan longitudinal à

l’écoulementy/L = 0 et un plan orthogonalx/L = 3,95. Les quatre caméras utilisées pour les manipulations sont

des camérasJai dont les caractéristiques sont disponibles dans le tableau2.3. Elles sont toutes placées avec une

incidence de 90 par rapport à l’émission de la nappe laser et reçoivent donc une quantité de lumière identique et

suffisante. Placées de part et d’autre du plan de mesure, les deux caméras de SPIV sont localisées derrière le jet

pulsé avec un angle de 50 par rapport au plan laser longitudinal (en bas sur le schéma). La caméra de PLIF sur

le plan longitudinal est située perpendiculairement à la nappe laser (à gauche sur le schéma). Enfin, la caméra de

PLIF pour le plan orthogonal est positionnée devant le jet pulsé avec un angle de 50 par rapport au plan laser

orthogonal (à droite sur le schéma). Les deux caméras de SPIVet la caméra de PLIF dans le plan orthogonal sont

équipées avec deux tables et une monture de Scheimpflug respectivement afin de compenser leurs inclinaisons

avec la nappe laser. Les quatre caméras ont les mêmes caractéristiques excepté une dynamique de 10 bits pour les


FIG. 2.24 – Schéma du montage de mesure couplée SPIV-PLIF

caméras PLIF et une dynamique de 8 bits pour les caméras SPIV.

Pour l’éclairement, le laser 120 mJ servant à obtenir le planlongitudinal à l’écoulement est situé à côté de la

veine. Un bras composé de 7 miroirs achemine le faisceau au-dessus du canal hydrodynamique. Une lentille permet

l’obtention d’un plan laser de dimension 420×1,5 mm2 au niveau de la plaque plane. Le laser 30 mJ, plus léger,

est situé sur une poutre au-dessus de la veine. Grâce à un renvoi d’angle et une lentille, la nappe laser de dimension

390×0,5 mm2 au niveau de la plaque est générée. Les systèmes de synchronisation et d’acquisition sont placés

en retrait de la veine. Une photographie de la manipulation est visible sur la figure 2.11 avec les 4 caméras et les

prismes plaqués contre les parois de la veine.

5.2 Synchronisation et enregistrement

Les mesures couplées de SPIV-PLIF sont enregistrées dans leplan longitudinal à l’écoulementy/L = 0. Le

temps de séparation entre les deux pulses laser pour la mesure de SPIV est ajusté avec les vitesses présentes dans

l’écoulement et il est égal à 20 ms. La mesure de PLIF est enregistrée sur le pulse laser de la première cavité. Le

champ de vitesse calculé par inter-corrélation issu de la SPIV est obtenu entre les deux pulses laser. Le champ de

concentration est donc obtenu 10 ms avant le champ de vitesse. Entre les deux pulses laser, une deuxième nappe

est générée pour obtenir une mesure PLIF dans un plan orthogonal au premier plan de mesure (x/L = 3,95). Ce

champ de concentration est donc enregistré au même instant que le champ de SPIV calculé sur le plan longitudinal.

Un ensemble de chronogrammes sur la figure 2.25 illustre l’acquisition complète d’une mesure de chaque image.

La période de mesure est de 80 ms ce qui nous donne une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz. Ces chronogrammes

sont effectués avec le logicielEG et se déclenchent sur un signal d’horloge temps réel obtenu par un boîtier de

synchronisationAdWin. Ce boîtier permet d’obtenir une mesure précise qui ne dérive pas dans le temps. Nos

mesures sont donc en phase avec le signal de pulsation de la pompe du jet pulsé. En détaillant le chronogramme,

les caméras 1 et 2 représentent les capteurs de SPIV, la caméra 3 de PLIF longitudinal et la caméra 4 de PLIF

orthogonal. Le laser 120 mJ est le laser du plan longitudinal(y/L = 0) alors que le laser 30 mJ est utilisé pour le

plan orthogonal. L1 représente le déclenchement du flash lampe 1 alors que Q1 est le Q-Switch de cette même


FIG. 2.25 – Chronogramme de synchronisation des mesures couplées SPIV-PLIF

lampe. Le décalage entre les deux fronts montants de L1 et Q1 permet de régler la puissance du pulse laser. En

général, il est compris dans l’intervalle 150−300 ns. Pour la deuxième cavité, la lampe flash fonctionne de la même

manière avec L2 et Q2. Le décalage entre L1 et L2 permet de déterminer le∆t entre les deux images de SPIV. On

peut voir que la caméra 3 de PLIF se déclenche sur le premier pulse laser alors que la caméra 4 de PLIF est ouverte

lorsque les autres caméras sont éteintes et lorsque le laser30 mJ s’illumine. Une fois les chronogrammes effectués,

ils sont envoyés sur des boîtiers de synchronisation relayant l’information aux sources laser et aux caméras.

5.3 Problèmes engendrés par le couplage

Tout d’abord, le problème dephotobleachinga été évalué dans cette étude. Ce problème n’est pas lié au

couplage mais il est causé par la formation d’entités non fluorescentes dans la veine hydrodynamique due au flash

laser. Des tests sont réalisés pour quantifier ce phénomène dans les mêmes conditions que nos expériences couplées

(fréquence, durée). Deux séries d’images sont enregistrées sur les deux plans de mesure PLIF : une série avec écou-

lement et une série sans écoulement. Les résultats sont illustrés sur les figures 2.26(a) et (b). Sur la figure 2.26(a),

l’évolution du niveau de gris de la caméra PLIF dans le plan longitudinal est présentée. Deux enseignements sont

à tirer de cette figure. Tout d’abord, une décroissance du niveau de gris pour les deux cas et une dispersion de ce

niveau par rapport à la moyenne sont identifiables. De la mêmefaçon, l’évolution du niveau de gris de la caméra

2 dans le plan orthogonal à l’écoulement est montrée sur la figure 2.26(b) pour les deux séries d’images. D’après

la décroissance de ces courbes, la perte d’un niveau de gris avec écoulement est estimée à 1667 s pour la caméra 1

et 1111 s pour la caméra 2. Sachant que les expériences réalisées durent au maximum 400 s, l’effet duphotoblea-

ching sur nos mesures est donc négligeable. Le deuxième enseignement est la fluctuation de l’intensité du laser.

D’après les nuages de points obtenus sur les figures 2.26(a) et (b), une fluctuation de 2% pour la caméra 1 et de

3% pour la caméra 2 est évaluée. Cette valeur d’erreur correspond avec les données constructeur des deux sources

laser (tableau 2.4).


temps (s)

nive

aux

degr

is

0 200 400 600

540

560

580

avec écoulementsans écoulement

y = -0,0006t + 552

y = -0,0231t + 562

(a) Caméra 1 (PLIF dans le plan longitudinal)

temps (s)

nive

aux

degr

is

0 200 400 600

605

610

615

620

625

630

avec écoulementsans écoulement

y = -0,0009t + 609

y = -0,0037t + 612,5

(b) Caméra 2 (PLIF dans le plan orthogonal)

FIG. 2.26 – Décroissance de la fluorescence au cours du temps sur chaque caméra (effet dephotobleaching)

Concernant le couplage entre les mesures de SPIV et de PLIF, il y a quatre problèmes majeurs liés à cette

technique :

− la séparation des signaux :Le premier problème est la séparation des signaux issus de chaque mesure.

La méthode la plus utilisée dans la littérature est l’ajout de filtre devant les caméras : un filtre passe-bande

pour les caméras de SPIV et un filtre passe-haut pour les caméras de PLIF. Elle a déjà été employée

par Cárdenaset al. (2007) pour des mesures couplées de PLIF et PIV. Ils utilisent des filtres avec un

miroir dichroïque afin de séparer la source lumineuse pour chaque caméra. Une autre méthode consiste à

enregistrer les informations sur une caméra, puis à séparerles signaux des particules et du colorant par un

traitement d’images (Martin & García, 2009). Dans notre étude, les caméras sont localisées à des endroits

différents et donc un simple filtre est utilisé sur chacune d’elle. Les deux caméras de SPIV sont équipées

chacune avec un filtre passe-bande à 532 nm. Les deux caméras de PLIF, quant à elles, sont montées avec

des filtres passe-haut à 540 nm.

− la résolution spatiales des grandeurs :Les résolutions spatiales des champs de concentration et de

vitesse sont limitées par la dimension d’un pixel du capteurCCD et le grandissement du système optique.

Pour la PLIF, la résolution se cantonne à cette dimension alors que pour les mesures de SPIV, la résolution

est déterminée avec la taille des fenêtres de corrélation ainsi que le taux de recouvrement. La difficulté

est présente lors du calcul de grandeurs faisant intervenirla concentration et la vitesse (résolution de 1

pixel pour la concentration et de 8 pixels pour la vitesse). Dans nos mesures, lorsque la concentration est

étudiée seule, la résolution est conservée à 1 pixel et dans le cas de grandeurs couplées, la concentration

est moyennée sur un maillage associé au vecteur vitesse. Cette opération s’appelle lebinning.

− le décalage temporel SPIV-PLIF :Le troisième problème est le décalage des mesures SPIV-PLIF. Ce

temps entre le champ de vitesse et le champ de concentration sur le plan longitudinal médian de l’écou-

lement est de 10 ms. Il est également de 10 ms entre les deux champs de PLIF dans le plan orthogonal et

longitudinal. Pour une vitesse maximale de 2 cm/s, le décalage de 10 ms correspond à un déplacement de

0,04 pixels. Il est donc négligeable et les mesures sont considérées comme simultanées.

− la fluorescence hors-plan :Le dernier problème important est le phénomène de fluorescence hors plan.


Ce phénomène est illustré sur la figure 2.27. Dans la nappe laser, deux types d’ensemencement sont pré-

FIG. 2.27 – Schéma d’illustration de la fluorescence hors plan extrait de Rivière (2008)

sents. Les molécules de Rhodamine 6G excitées par le laser émettent dans toutes les directions et donc

excitent d’autres particules de fluorescence présentes hors du plan de mesure (particules roses). Cette lu-

mière parasite est captée par les caméras PLIF. Les microsphères de verre servant aux mesures de SPIV

réfléchissent également de la lumière dans toutes les directions excitant la Rhodamine 6G (particules

noires). Le niveau de lumière de cette excitation récupéré par les caméras n’est pas négligeable et dépend

de plusieurs paramètres : des paramètres intrinsèques à la manipulation (puissance laser, épaisseur de la

nappe laser, taux en particules) mais également de l’épaisseur d’eau pure dans le chemin optique de la lu-

mière. Cette épaisseur est maximale à la sortie du jet. Un exemple de traitement de mesure PLIF couplée

sans prise en compte de ce phénomène est illustré sur la figure2.28(a). Pour corriger la fluorescence hors

(a) Image sans correction (b) Image avec correction

FIG. 2.28 – Comparaison de la même image avec et sans correction de la fluorescence hors plan

plan, une estimation de ce niveau de gris est réalisée. Sachant que le jet est constitué d’eau pure à sa sortie,

une moyenne est effectuée dans le jet sur une zone proche de l’injection. Ce niveau ainsi obtenu est re-

tranché aux images de PLIF. La même image que précédemment est obtenue après correction sur la figure

2.28(b). La zone du jet est bleue donc la concentration en eaupure est respectée. Maintenant, se pose le

problème de soustraire ce niveau maximum à toute l’image. L’épaisseur d’eau pure sur le chemin optique

varie en fonction des interactions entre le jet et l’écoulement transverse. Cette correction globale tient

compte du niveau maximum de fluorescence hors plan. Une correction locale serait plus judicieuse mais

difficile voire impossible à mettre en oeuvre pour des mesures planaires. Pour nos mesures, la fluorescence

hors plan implique une diminution de 267 niveaux de gris sur 1024 niveaux soit une diminution de la dy-

namique de 26%. Cette fluorescence hors plan prend en compte l’effet des molécules de Rhodamine 6G et

des particules de SPIV. Cet effet est également présent sur le plan orthogonal à l’écoulement. Sur ce plan,

aucune référence n’est possible comme la sortie du jet sur leplan longitudinal. Une comparaison des pro-

fils de concentration à l’intersection des deux plans a permis de déterminer la correction à appliquer sur le

champ de concentrationx/L = 3,95. Il s’est avéré que la meilleure corrélation entre les profils de concen-


tration est obtenue pour une correction de la fluorescence hors plan identique sur les deux plans de mesure.

Deux expériences ont permis de mettre en évidence le phénomène de fluorescence hors plan généré par

les particules solides de SPIV, d’une part, et par les molécules de traceurs fluorescents d’autre part. Les

figures 2.29(b) et (a) présentent les deux configurations utilisées vues de dessus. Dans les deux expé-

(a) Expérience 1 (b) Expérience 2

FIG. 2.29 – Schéma de principe des deux expériences pour la mise en évidence la fluorescence hors plan

riences, une grande cuve de 12 L est remplie d’une concentration de 8,3.10−8 mol/L de Rhodamine 6G.

Elle correspond à la concentration maximale utilisée lors de nos mesures. Dans la première expérience sur

la figure 2.29(b), on dispose d’une petite cuve remplie d’eaupure qui est placée dans la grande cuve. Une

nappe laser traverse le milieu de cette petite cuve qui est enregistrée par une caméra numérique. La mani-

pulation consiste en l’ajout de particules solides dans la petite cuve afin de quantifier l’effet de la lumière

diffusée par ces particules sur la Rhodamine 6G. Les séries d’images enregistrées à des concentrations en

particules différentes sont traitées avec une correction globale. La variation de la concentration normalisée

est représentée sur la figure 2.30(a) en fonction de la concentration en particules. Dans cette expérience,

concentration en particules (g/L)

C/C

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0.2

0.25

0.3

(a) Influence de la concentration en particules solides

distance d C (cm)

C/C

0

3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.81

0.82

0.83

0.84

(b) Influence de la distance en volume de traceur fluoresscent

FIG. 2.30 – Variation de la concentration normalisée issue des deux expériences des figures 2.29(b) et (a)

la référence est obtenue lorsque la concentration en particules est nulle. On observe une croissance de

la concentration normalisée avec l’ajout de particules solides. Cette augmentation n’est pas linéaire sur


la plage de concentration étudiée. Pour une concentration de 0,01 g/L, on détermine une intensité lu-

mineuse engendrée par les particules solides à environ 24% de la concentration maximale. Lors de nos

mesures couplées, ce taux en particules est équivalent à celui présent dans la veine hydrodynamique. Cette

première expérience démontre l’influence non négligeable de la présence des particules solides sur le phé-

nomène de fluorescence hors plan. La deuxième manipulation (figure 2.29(a)) est effectuée sur le même

dispositif à l’inverse que la petite cuve est placée à une distancedc de la paroi de la grand cuve. Elle est

remplie uniquement d’eau pure et recouverte d’un fond noir afin de limiter l’épaisseur de Rhodamine 6G

excitée dans la grande cuve. La nappe laser ne traverse plus la petite cuve (elle est située entre la paroi de

la grande cuve et la petite cuve). La caméra numérique enregistre un plan de concentration uniforme de

traceur fluorescent. L’expérience consiste à augmenter la distancedc afin d’accroître le volume de Rhoda-

mine 6G pouvant être excité. La concentration normalisée est représentée sur la figure 2.30(b) en fonction

de la distancedc. On ne possède pas de niveau de référence pour cette expérience. On peut observer une

croissance non linéaire de la concentration normalisée. Néanmoins, l’augmentation du niveau de l’inten-

sité lumineuse est moins importante que pour l’expérience avec les particules solides en considérant que

la distancedc est équivalente aux valeurs comprises dans notre manipulation couplée. Ces deux manipu-

lations ont donc permis de mettre en évidence la fluorescencehors plan avec un découplage entre l’effet

des particules solides et celui du traceur fluorescent. Dansles deux cas, on retrouve une augmentation du

niveau de gris de la caméra qui n’est pas linéaire dans les plages étudiées. Enfin, le phénomène lié aux

particules solides apparaît prédominant devant celui généré par le traceur fluorescent.

CHAPITRE

3

Influence de la pulsation du jet sur ladynamique tourbillonnaire

Sommaire1 L’écoulement non forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 612 Etude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 64

2.1 Variation de la fréquence de pulsation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 65

2.2 Exemple du jet pulsé à 0,25 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.3 Jet pulsé à une fréquence supérieure àfC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4 Etude de la transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 75

2.5 Conclusion sur l’étude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 77

3 Quantification de la sortie du jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 783.1 Déphasage de la vitesse du jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 78

3.2 Profil de vitesse au niveau de l’orifice carré . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 80

3.3 Conclusion sur l’étude de la sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 81

4 Etude quantitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 824.1 Ecoulement moyen du jet pulsé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 82

4.2 Structures instationnaires proches de la sortie du jet . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 87

4.3 Structures instationnaires dans la région de sillage . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 91

5 Conclusion sur l’influence de la pulsation du jet . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 98

59

1. L’écoulement non forcé 61

1 L’écoulement non forcé

Ce chapitre a pour objectif de déterminer l’influence de l’interaction d’un jet pulsé débouchant perpendiculai-

rement dans un courant principal. L’écoulement est caractérisé par un nombre de Reynolds de 500 et un rapport

d’injection de 1. Avant d’étudier l’influence de la fréquence de pulsation sur l’écoulement, un résumé des princi-

pales caractéristiques du jet non forcé dans un écoulement transverse est proposé, se basant sur la thèse de Fraticelli

(2008) réalisée au laboratoire sur le même dispositif expérimental. Dans le cas non forcé, l’étude permet de séparer

l’écoulement en deux zones : une quasi-stationnaire et une autre instationnaire. Cette dernière permet d’augmenter

la surface d’échange entre les deux fluides provenant du jet et de l’écoulement transverse afin d’améliorer le mé-

lange.

La première structure stationnaire est le tourbillon en ferà cheval. Dans la région en amont de l’injection, le

fluide proche de la plaque plane ralentit à proximité du jet ettend à le contourner (le jet est considéré comme un

obstacle). Suite à ce blocage, un gradient de pression inverse s’établit dans la couche limite et induit un décolle-

ment tridimensionnel de celle-ci. Cette structure se formeà l’amont du jet puis elle contourne la zone d’injection.

Elle est mise en évidence sur la visualisation volumique de la figure 3.1 par le tourbillon dans l’écoulement interne

à la couche limite. Sur cette visualisation, le jet est ensemencé de colorant. Des alimentations ponctuelles en amont

et aval de la sortie du jet colorent des structures tourbillonnaires particulières. Ces structures en amont contournent

le jet en progressant dans un plan horizontal. Elles se reconnectent dans le sillage et sont redirigées vers le haut

jusqu’à être bloquées par la frontière inférieure du jet. Elles interagissent avec la couche de mélange du jet. La

seconde structure stationnaire est le tourbillon de bec (zoom sur la figure 3.1). Elle est située entre le tourbillon en

fer à cheval et le jet. Elle est alimentée par du fluide du jet d’où elle provient. Son mouvement est entretenu par la

FIG. 3.1 – Visualisation volumique face au jet et injections ponctuelles de colorant en amont et aval de la sortie dujet (Fraticelli, 2008)

vorticité de la couche limite se développant sur la paroi amont de l’orifice du jet. Sa dimension transversale est de

l’ordre de L car il se développe sur la face amont du jet. Le tourbillon se poursuit sur les faces latérales du jet où

il est entraîné par celui-ci à cause d’une moindre résistance de l’écoulement transverse. En amont de l’injection, le

fluide à l’extérieur de cette couche limite est dévié au contact du jet puis il est accéléré sur la frontière supérieure

de celui-ci. La ligne verte de colorant sur la figure 3.1 matérialise la limite entre le fluide alimentant le tourbillon

en fer à cheval et celui dévié par le jet. Il est injecté à l’aide d’une canne dont on peut régler la hauteur dans

l’écoulement.

L’étude des champs instantanés de vitesse et les visualisations mettent en évidence des mécanismes concernant

62 Chapitre 3 - Influence de la pulsation du jet sur la dynamique tourbillonnaire

la zone cisaillée. Des tourbillons prennent naissance dansla couche cisaillée sous le jet toujours au même endroit

à peine à un diamètre après l’injection. Ces tourbillons sont visibles sur une tomographie laser dans le plan médian

sur la figure 3.2(a). Ils suivent ensuite la ligne du maximum de vitesse pour rejoindre l’axe central du jet. Le long

(a) Visualisation face au jet (b) Visualisation au-dessus du jet

FIG. 3.2 – Visualisations par colorants d’un jet continu (Fraticelli, 2008)

de leur trajectoire, la taille du tourbillon croît, augmentant ainsi la surface de contact entre les deux fluides (mou-

vement de rotation plus important). La forme de tube de cet anneau tourbillonnaire est visible sur la figure 3.2(b)

avec une visualisation au-dessus du jet. La tridimensionnalité de ces structures est également observable ainsi que

leur répétition quasi-périodique. Ces tubes tourbillonnaires sont ensuite déstabilisés en leur sommet. La naissance

de cette instabilité semble être du même type que celle observée sous le jet, c’est-à-dire de type Kelvin-Helmholtz.

Elle se déclenche plus tard que celle dans la couche cisaillée inférieure. Cela est lié à un plus faible gradient de

vitesse à l’amont du jet et une courbure stabilisante. La régularité de leur passage est quelque peu perturbée par

des fusions et déstructurations tourbillonnaires. Ces différents mécanismes influent sur le mélange avec l’étirement

des structures et la formation de concavité sur la frontièresupérieure du jet. Enfin, une étude fréquentielle dans la

zone de forte fluctuation indique un pic de fréquence dans le spectre de vitesse de 0,28 Hz sur les composantesVx

etVz. Cette valeur est cohérente avec celle déterminée pour un jet carré libre indiquant une ressemblance dans les

mécanismes mis en oeuvre dans le lâcher tourbillonnaire.

Le sillage du jet comporte des tourbillons instationnairesqui redirigent le fluide de la structure en fer à che-

val vers le haut et donc vers la paire de tourbillons contrarotatifs (schéma de ces tourbillons sur la figure 1.3).

Ces tourbillons sont visibles dans une coupe transversale de l’écoulement et sont répartis en moyenne de part et

d’autres du plan médian. Le battement des tourbillons de sillage présente une régularité avec un nombre de Strou-

hal compris entre 0,11 et 0,16. Les tourbillons de sillage sont la source des tourbillons ascendants. La figure 3.3

adaptée de Davidet al.(2007) présente un champ de vitesse instantané obtenu par Tomographie PIV. Il est associé

aux iso-surfaces de l’intensité tourbillonnaire. La couche cisaillée située entre le jet et la zone de recirculation

est couverte de rouleaux tourbillonnaires. Dans le sillage, on peut identifier des tourbillons S1 et S2 raccordant

la couche limite inférieure à la couche de mélange. Ils sont nommés tourbillons de sillage. Ils sont la source des

tourbillons ascendants. Le tourbillon S1 trouve sa source dans l’écoulement transverse et participe à alimenter la

couche de mélange tout en étirant sur son passage le fluide en provenance du jet. Ce tourbillon est matérialisé par

un point rouge sur la visualisation 3.4(a). Ce tourbillon continue son mouvement vers le haut jusqu’à atteindre

la couche de mélange. Le tourbillon S2, quant à lui, correspond à une structure traversant les plans orthogonaux

de l’écoulement et formant les tourbillons contrarotatifsle dominant. Cette paire de tourbillons observée sur les

champs moyens est, en fait, composée d’une multitude de paires de tourbillons contrarotatifs. La figure 3.4(b)

1. L’écoulement non forcé 63

FIG. 3.3 – Champ de vitesse instantané obtenu par Tomo-PIV ainsique les iso-surfaces d’intensité tourbillonnaireadapté de Davidet al. (2007)

(a) Tomographie laser dans le planz/L = 1/2 - le pointrouge identifie le centre d’une structure ascendante S1

issue de la figure 3.3

(b) Champ de vitesse et du produit de la partie positive ducritèreQ2D et de la vorticitéωy dans le planx/L = 3

FIG. 3.4 – Mise en évidence des structures ascendantes et des tourbillons contrarotatifs dans un jet continu débou-chant dans un écoulement transverse (Fraticelli, 2008)

illustre ce phénomène dans le planx/L = 3. On retrouve l’iso-contour de la vitesseVx = 0 en vert (vitesse négative

à l’intérieur et positive à l’extérieur) et le produit entrela valeur positive du critèreQ2D et la vorticitéωx (structure

tournant dans le sens horaire en bleu et direct en rouge) dansle planx/L = 3. Dans le planx/L = 1, on retrouve ces

tourbillons S2 avec une intensité plus importante. Ils correspondent aux tourbillons émanant du tourbillon de bec.

A la vue de ces résultats, les structures S2 sont semblables aux anneaux tourbillonnaires décrits par Brizziet al.

(1996) sur les schémas des figures 3.5(a) et (b) pour un jet rond. Plus récemment, ils ont été mis en évidence par

Sauet al. (2004) à l’aide de simulation numérique sur un jet carré à un nombre de Reynolds de 225 et un rapport

d’injection de 2,5. Ces anneaux sont composés du tourbillonde bec, deux bras et un rouleau tourbillonnaire dans

la couche de mélange. Les bras sont étirés par l’écoulement transverse. Une coupe d’un de ces bras est visible sur

la visualisation 3.4(a) au-dessus du tourbillon ascendanten coupe.


(a) Vue de dessus (b) Vue de face

FIG. 3.5 – Schéma du tube tourbillonnaire d’un jet rond continu dans un courant principal (Brizziet al., 1996)

En conclusion, les caractéristiques importantes du jet continu dans un écoulement transverse sont la présence

de deux structures stationnaires formées à l’amont de la sortie du jet : le tourbillon en fer à cheval et le tourbillon

de bec. Il est à noter le déclenchement d’une instabilité surla frontière inférieure du jet qui croît par la suite pour

former des tubes tourbillonnaires déstabilisant ensuite la frontière supérieure du jet. L’augmentation du taux d’in-

jection implique un redressement de l’écoulement et une déstabilisation de la frontière supérieure plus précoce

(augmentation du taux de cisaillement de la couche de mélange). Enfin, des mesures volumiques ont permis de

mettre en évidence les tourbillons ascendants ainsi que la multitude de petits tourbillons formant la paire de tour-

billons contrarotatifs dominant l’écoulement.

Avant d’étudier les impacts de la pulsation du jet sur le mélange entre les deux fluides, ce chapitre est consacré

à l’étude des structures engendrées par la variation de la vitesse du jet. Sachant que les structures tourbillonnaires

jouent un rôle majeur dans le processus de mélange, leur formation ainsi que les mécanismes liés à leur expansion

peuvent permettre de déterminer les lieux du maximum de mélange. Dans notre étude, la vitesse du jet pulsé

varie entre zéro et deux fois la vitesse de l’écoulement principal (cette amplitude est conservée pour toutes les

mesures). Le paramètre influant est la fréquence d’excitation du jet pulsé. La plage de fréquence étudiée se situe

entre 0 et 10 Hz. Une première approche qualitative consistepar des visualisations par colorants à extraire des

caractéristiques des différents écoulements engendrés par la pulsation. Par la suite, des mesures quantitatives ont

été menées sur trois fréquences caractéristiques afin de comprendre plus précisément les structures formées au

cours d’un cycle de pulsation. Pour ce faire, les mesures sont réalisées en moyenne de phase ce qui permet de

contrôler les prises de vue et de pouvoir les identifier vis à vis de la forme du signal de pulsation.

2 Etude qualitative

Cette étude qualitative s’appuie sur des visualisations par colorants. Elles sont soient volumiques lorsque la

zone d’éclairement est un volume (spot à découpe) ou encore des tomographies laser quand elle est illuminée par

une nappe laser. Afin d’analyser plus en détail ces images, une description eulérienne de l’écoulement à l’aide

de diagrammes spatio-temporels est mise en oeuvre. Elle consiste à se placer sur une ligne fixe dans l’image et à

observer les modifications des propriétés du fluide qui défilesur cette ligne. On choisit une abscisse de l’image afin

d’y extraire la même colonne sur chaque image. On forme une nouvelle image avec les lignes extraites de chacune

d’elles. Cela nous donne un diagramme en fonction de la lignede l’image et du nombre d’images prises pour le

calcul (assimilable à un temps). L’exemple de la figure 3.6(b) montre le diagramme spatio-temporel de la droite

extraite sur la figure 3.6(a). La continuité de l’image est assurée par le taux d’acquisition du caméscope numérique

(25 images par seconde). Afin de comparer la formation tourbillonnaire dans les jets pulsés, les diagrammes spatio-

temporels sont extraits à différentes abscisses.

2. Etude qualitative 65

(a) Image de l’écoulement (b) Diagramme spatio-temporel

FIG. 3.6 – Exemple de diagramme spatio-temporel issu d’une ligne dans l’écoulement

2.1 Variation de la fréquence de pulsation

Le premier objectif de cette partie est de distinguer différents régimes d’écoulements en faisant varier la fré-

quence d’excitation du jet. Il est à noter que la fréquence des tourbillons formés dans le jet non forcé présente un

point de départ pour cette étude. Cette fréquence se situe à 0,28 Hz et correspond au passage des structures de la

couche cisaillée, loin dans le sillage. Cette fréquence caractéristique est notéefC par la suite.

La pompe ne permet pas d’obtenir les variations en amplitudesouhaitées sur une plage de 3 à 8 Hz Ce pro-

blème est lié à une résonance avec le système. De plus, les fréquences inférieures à 0,2 Hz sont tronquées car le

jet impacte la couche limite supérieure de l’écoulement. Laplage de fréquence étudiée se situe donc entre 0,2 et

3 Hz et entre 8 et 10 Hz. Un balayage en fréquence est présenté sur les figures 3.7(b) à (f) issues de tomographie

laser dans le plan longitudinal de l’écoulementy/L = 0. Une visualisation du jet continu est également montrée

sur la figure 3.7(a). Les cinq images de jets pulsés sont extraites lorsque la vitesse en sortie du jet est maximale

correspondant à la plus grande largeur au niveau de l’orifice. On peut observer à la fréquence de 0,25 Hz une for-

mation tourbillonnaire à l’amont et l’aval de la sortie du jet sur la figure 3.7(b). Elle apparaît déséquilibrée entre le

tourbillon amont et aval. Ce déséquilibre est lié aux différents gradients de vitesse présents dans ces deux zones de

l’écoulement. Ces deux tourbillons sont ensuite propulséspuis convectés par le courant principal lorsque la vitesse

du jet diminue. Le jet est morcelé : la bouffée formée en sortie n’est pas reliée au reste du jet. Il présente des

discontinuités de formation liée au cisaillement de l’écoulement transverse lorsque la vitesse du jet est faible. Avec

l’augmentation de la fréquence de pulsation, la taille des tourbillons tend à diminuer. Le tourbillon en amont du jet

n’est plus propulsé dans l’écoulement mais seulement entretenu. A la fréquence de 0,35 Hz sur la figure 3.7(c), la

discontinuité des structures n’est plus présente en sortiedu jet. Les structures dans le sillage sont étroitement liées

par des filaments de fluide. Ces structures interagissent plus entre elles avec l’augmentation de la fréquence de

pulsation illustrée par la figure 3.7(d) pour la fréquence de0,75 Hz. Le jet pulsé à une fréquence de 1 Hz présente

une structure moins filamentaire que les jets pulsés précédents sur la figure 3.7(e). A cette fréquence, le tourbillon

en amont n’est plus visible et le tourbillon en aval est de taille plus faible que ceux créés aux fréquences inférieures.

Sa taille décroît avec l’augmentation de la fréquence de pulsation car il est formé à cette même fréquence. De plus,

ce tourbillon est formé à la même cadence que la période de pulsation du jet. Enfin, le jet à 10 Hz sur la figure

3.7(f) possède des structures de plus grande taille dans le sillage que les autres cas pulsés. Cet écoulement est le

plus ressemblant au cas non forcé sur la figure 3.7(a) aux niveaux de la sortie et du sillage du jet. Concernant la

structure globale, le jet pénètre plus en hauteur dans l’écoulement transverse sur les premiers diamètres pour les

fréquences inférieures ou proches d’une fréquence caractéristique de transitionfT . A l’inverse, il se courbe plus

rapidement dans le courant principal pour les fréquences supérieures àfT . Cette limite fréquentielle semble être

proche de la fréquence caractéristique des structures dansle jet continu fC. Néanmoins, l’ordre entre ces deux


(a) jet continu (b) f = 0,25 Hz

(c) f = 0,35 Hz (d) f = 0,75 Hz

(e) f = 1 Hz (f) f = 10 Hz

FIG. 3.7 – Exemple de jets à différentes fréquences issues de tomographie laser

fréquences n’est pas établi. Une étude de la transition entre ces deux écoulements est réalisée dans une partie sui-

vante. Pour le moment, seule la fréquencefC est connue et sert de point à départ à la séparation de ces deuxrégimes.

Des visualisations par colorants prises au-dessus du jet sont présentées sur les figures 3.8(a) à (d) pour les

mêmes fréquences de pulsation que les tomographies laser. On peut observer pour la fréquence de 0,25 Hz sur

la figure 3.8(a) une quasi-symétrie des structures par rapport au plan longitudinal médian. De plus, les structures

générées par la pulsation et le cisaillement en sortie du jetsont identifiables. Trois bouffées bien distinctes sont

visibles sur cette figure. Elles restent tout de même interconnectées par deux branches tourbillonnaires. Elles sont

étirées dans la direction transversale du jet. La troisièmebouffée semble plus déstructurée que les deux précédentes.

Avec l’augmentation de la fréquence de pulsation, les anneaux tourbillonnaires de la couche cisaillée supérieure

sont plus proches les uns des autres pour les fréquences de 0,75 Hz et 1 Hz sur les figures 3.8(b) et (c). A la fré-

quence de 10 Hz, les tubes tourbillonnaires ont une plus grande ampleur que pour les fréquences inférieures. La

frontière du jet semble moins perturbée et similaire à celledu jet continu sur la figure 3.2(b).

Le balayage en fréquence à l’aide de visualisations par colorants a permis de distinguer deux types d’écou-

lements différents. Lorsque la fréquence de pulsation est inférieure à la fréquence caractéristiquefC déterminée

avec le jet continu, le jet pulsé présente des bouffées de fluide séparées spatialement, engendrées par une forma-


(a) f = 0,25 Hz (b) f = 0,75 Hz

(c) f = 1 Hz (d) f = 10 Hz

FIG. 3.8 – Visualisation volumique de jets pulsés avec formation tourbillonnaire amont

FIG. 3.9 – Schéma des différents écoulements en fonction de la fréquence de pulsationf

tion tourbillonnaire en amont et aval de la sortie du jet. Le jet pénètre plus en hauteur dans l’écoulement sur les

premiers diamètres. Avec l’augmentation de la fréquence depulsation, le jet se courbe plus rapidement dans le

courant principal. Les bouffées de fluide deviennent des anneaux tourbillonnaires interagissant entre eux. Au ni-

veau des structures créées dans le sillage, leur comportement est filamentaire proche de la fréquencefC. Lorsque la

fréquence de pulsation croît, les structures possèdent unetaille plus conséquente semblable à celle du jet continu.

Le schéma de la figure 3.9 présente ces premières conclusions. Dans la suite de cette étude qualitative, les deux

types d’écoulements sont détaillés ainsi que la transitionautour de cette fréquence caractéristiquefT .

2.2 Exemple du jet pulsé à0,25 Hz

Cette partie traite des jets pulsés à une fréquence proche defC. L’exemple du jet pulsé à 0,25 Hz est présenté

pour caractériser ce type d’écoulement. Tout d’abord, les figures 3.10(a) et (b) représentent deux images extraites

d’une vidéo du jet à cette fréquence à la même phase sur la sinusoïde de débit. Ces deux images sont séparées

par onze périodes. On peut remarquer que la formation des structures tourbillonnaires apparaît quasi-constante :


(a) t (b) t +11T

FIG. 3.10 – Exemple de images du jet à 0,25 Hz de même phase, séparés par 11 périodes

la fréquence d’excitation du jet contrôle la formation des tourbillons à proximité de la sortie du jet. La première

conclusion est de dire que pour cette fréquence, l’écoulement généré est parfaitement répétitif. Ce aspect a déjà

été mis en évidence par Johariet al. (1999) lorsqu’il pulse un jet avec un rapport cyclique d’injection faible, les

bouffées sont bien séparées et répétitives.

Au regard des différents cycles de pulsation, cette répétitivité s’opère sur toute la période de pulsation. Il est

donc possible d’établir un scénario pour comprendre la formation tourbillonnaire dans l’écoulement. Le déroule-

ment d’un cycle est détaillé sur les figures 3.11(a) à (o) issues de tomographies laser dans le plan médiany/L = 0. A

l’instant t/T=0 sur la figure 3.11(a), la référence du cycle de pulsation est prise lorsque la vitesse du jet est nulle sur

la sinusoïde de débit, c’est-à-dire lorsque aucune quantité de mouvement ne sort de l’orifice du jet. A cet instant,

la largeur du jet en sortie est minimale, la vitesse de l’écoulement transverse est nettement supérieure à celle du jet

(cisaillement de la sortie). La naissance du tourbillon en aval de la sortie du jet est visible sur la figure 3.11(b). Ce

tourbillon est une instabilité liée à la croissance de la vitesse du jet et à la zone de faible vitesse dans l’écoulement

interne de la couche limite. La bouffée de fluide créée par la forte poussée du jet est déséquilibrée en son sommet.

Ce phénomène est lié aux gradients de vitesse présents dans ces zones. Ce gradient est plus intense dans la région

aval et la formation tourbillonnaire devient plus rapide. Sur la figure 3.11(c), la vitesse du jet atteint son maximum.

Le tourbillon en amont de la sortie est visible. Cette structure est assimilable au tourbillon de bec, évoquée dans le

jet continu. Il se crée entre le jet et le tourbillon en fer à cheval. Le mécanisme lié à sa formation est mis en évidence

par la suite à l’aide de champs de vitesse. La bouffée de fluideest constituée d’un dôme en forme de champignon.

Cette forme est visible sur la figure 3.8(a) extraite d’une visualisation au-dessus du jet. On peut observer la première

bouffée à la sortie du jet avec une surface assez lisse matérialisée par un cercle sur la figure 3.11(b). La surface

de la deuxième bouffée (identifiée par un cercle sur la figure 3.11(c)) est déjà déstructurée par le fluide arrivant

hors du plan de mesure. Son étirement dans la direction transversale du jet est lié à l’entraînement des tourbillons

créés par la pulsation. Sur la figure 3.11(d), le tourbillon en aval s’est détaché de sa zone de formation. Sa vitesse

d’ascension est proportionnelle à la différence de vitesseentre les deux couches cisaillées dans cette zone. Ayant

atteint un maximum, la vitesse du jet décroît. La frontière aval du jet présente une convexité qui augmente avec la

diminution de la vitesse du jet. Du fluide coloré apparaît (venant hors du plan) à proximité de cette forme bombée

sous le tourbillon aval sur la figure 3.11(e). Ce fluide remonte dans la bouffée afin de la désorganiser (cercle sur la

figure 3.11(f)). Le tourbillon en aval est étiré dans la direction longitudinale à l’écoulement sur la figure 3.11(g).

Ce fluide hors plan interagit avec la couche cisaillée supérieure du jet scindant la bouffée en deux parties et créant

une concavité entre les deux tourbillons amont et aval sur lafigure 3.11(h). Il est à noter que la largeur du jet a

diminué avec la décroissance de sa vitesse. A t/T=1,15 sur lafigure 3.11(i), la vitesse du jet est déjà passée par


(a) t/T=0 (b) t/T=0,32 (c) t/T=0,51

(d) t/T=0,59 (e) t/T=0,71 (f) t/T=0,80

(g) t/T=0,93 (h) t/T=1,08 (i) t/T=1,15

(j) t/T=1,25 (k) t/T=1,33 (l) t/T=1,49

(m) t/T=1,66 (n) t/T=1,77 (o) t/T=2

FIG. 3.11 – Cycle de formation tourbillonnaire pour une fréquence de 0,25 Hz issu de tomographie laser

un minimum et recommence à croître. Dans la suite du scénario, un tourbillon se crée dans la zone située sous la

frontière supérieure du jet sur la figure 3.11(j). Ce tourbillon tourne dans le sens opposé au tourbillon amont. Sa

création est liée à la diminution de la largeur du jet et à l’entraînement du tourbillon en aval. Puis, il se retrouve lié

au tourbillon amont (cercle sur la figure 3.11(k)). Cet ensemble tourne ensuite dans le sens trigonométrique sur la

figure 3.11(m). Le tourbillon en aval, quant à lui, a déjà effectué plus d’un tour sur lui-même entraînant du fluide de

l’écoulement transverse sur la figure 3.11(l). Les deux instants suivants présentent la désorganisation de la bouffée

en petites zones filamentaires. La pénétration de la boufféede fluide augmente avec sa propagation dans l’écoule-

ment. Les tourbillons sont convectés à vitesse constante dans le canal sous l’effet de la vitesse du courant principal.


FIG. 3.12 – Schémas des phénomènes de la formation tourbillonnaire dans un jet débouchant dans un courantprincipal. Ces schémas sont adaptés de Limet al. (2001)

Ce phénomène d’enroulements formés en amont et aval a déjà été illustré pour des jets dans un écoulement

transverse par Limet al.(2001) sur les schémas de la figure 3.12. Sur la vue de coupe, laformation des tourbillons

amont et aval présents dans la phase de poussée du jet est explicite ainsi que l’évolution de ces enroulements sur

la frontière inférieure du jet. Ces schémas sont réalisés après l’observation d’un jet rond non forcé dans un écou-

lement transverse à un nombre de Reynolds de 1600 et un taux d’injection de 4,6 à l’aide de visualisations avec

plusieurs colorants. Certains colorent la totalité du jet et d’autres sont injectés localement à proximité de la sortie

afin de mettre en évidence seulement une structure particulière.

FIG. 3.13 – Abscisses utilisées pour la comparaison du jet pulséà 0,25 Hz (x/L = 0,9 - x/L = 2 - x/L = 3,1 etx/L = 4,2)

La figure 3.13 illustre les quatre abscisses utilisées (x/L = 0,9 - x/L = 2 - x/L = 3,1 etx/L = 4,2) afin d’obser-

ver le passage des structures tourbillonnaires sur une ligne fixe de l’écoulement. Les diagrammes spatio-temporels

pour la fréquence de 0,25 Hz sont présentés sur la figure 3.14. Sur cette figure, les lignes rouges matérialisent la

fréquence d’excitation du jet. A l’abscissex/L = 0,9, on peut observer la phase de poussée du fluide ainsi que les

coupures d’alimentation correspondant aux trous de la structure obtenue. Les tourbillons situés au-dessus des creux

correspondent à l’ensemble de tourbillons contrarotatifsconstitués avec le tourbillon de bec. Avec l’augmentation

de l’abscisse, les bouffées de fluide se déstructurent et leszones filamentaires sont de plus en plus présentes. Pour

les trois premières localisations (x/L = 0,9 - x/L = 2 etx/L = 3,1), la répétitivité des structures est présente. A

partir de l’abscissex/L = 4,2, la partie supérieure et inférieure du jet sont désorganisées mais la séparation entre


FIG. 3.14 – Diagrammes spatio-temporels pour le jet excité à 0,25 Hz

les périodes d’injection est encore visible. Cette distinction entre les structures apparaît jusqu’à environ six dia-

mètres. Cela permet de conclure que la fréquence d’excitation du jet domine la formation tourbillonnaire sur les

six premiers diamètres du jet.

Pour les écoulements à une fréquence inférieure àfC, un scénario à partir d’images de tomographie laser a

permis de mettre en évidence les formations et les détachements des tourbillons formés par l’excitation en amont

et aval de l’orifice. Cette bouffée de fluide est ensuite convectée et déstructurée dans l’écoulement. Les diagrammes

spatio-temporels ont permis également de quantifier le caractère répétitif des structures sur les premiers diamètres

de la formation tourbillonnaire.

2.3 Jet pulsé à une fréquence supérieure àfC

Les bouffées de fluide générées en sortie du jet pour les fréquences inférieures ou égales àfC sont distinctes

et bien séparées. Cette caractéristique implique une répétitivité des anneaux tourbillonnaires créés car ils n’inter-

agissent quasiment pas entre eux. Lors de l’augmentation decette fréquence de pulsation, la structure globale du

jet tend à se courber plus facilement dans le courant principal. Seul, le tourbillon aval se détache de la sortie du

jet. Sa taille décroît rapidement avec l’augmentation de lafréquence de pulsation car il se forme à la fréquence

de pulsation du jet. Les tomographies laser sur les figures 3.7(c) à (f) ainsi que les visualisations par colorants

sur les figures 3.8(b) à (d) ont permis d’arriver à ces conclusions. La zone de sillage est composée de structures

filamentaires sur les figures 3.7(c) et 3.7(d) pour les fréquences de 0,35 et 0,75 Hz respectivement. L’augmentation

de la fréquence de pulsation mène à un sillage formé par des structures plus importantes avec une couche cisaillée

sur la frontière supérieure au jet moins perturbée sur la figure 3.7(e) pour la fréquence de 1 Hz. La ressemblance

avec le jet continu apparaît plus nette pour la fréquence de 10 Hz sur la figure 3.7(f) où la frontière supérieure est


moins ondulée. Sur ce type de jets pulsés, on retrouve des structures ayant un mouvement apparent inverse à celui

des tourbillons principaux dans la zone de cisaillement. Ces perturbations sur la frontière supérieure du jet sont

visibles sur la figure 3.15 sur toutes les structures tourbillonnaires. Ce phénomène a déjà été observé par Bernard

(1993) sur un jet rond. Ces structures participent au mélange en augmentant la surface d’échange entre le jet et le

courant principal.

Pour ce type d’écoulement, la fréquence de 1 Hz est étudiée à l’aide de diagrammes spatio-temporels. La figure

FIG. 3.15 – Tranches utilisées pour la comparaison du jet pulsé àf=1 Hz (x/L = 1,5 - x/L = 2 - x/L = 2,5 etx/L = 3,1)

3.15 présente les quatre abscisses utilisées (x/L = 1,5 - x/L = 2 - x/L = 2,5 etx/L = 3,1) afin de distinguer la

fréquence des structures traversant les plans de mesure.

Les diagrammes spatio-temporels pour la fréquence de 1 Hz sont présentés sur la figure 3.16. Sur cette figure,

les lignes rouges matérialisent la fréquence d’excitationdu jet. A l’abscissex/L = 1,5, on peut observer une régu-

larité de la frontière supérieure du jet. L’anneau tourbillonnaire créé en sortie du jet est déjà formé à cet endroit. Il

est contrôlé par la fréquence de pulsation car les lignes rouges sont comprises de part et d’autre de la perturbation

sur toute la série temporelle. La couche de mélange entre le jet et la plaque plane s’étend sur toute la hauteur de

pénétration. A l’abscisse suivantex/L = 2, la fréquence de passage du tourbillon est encore visible sur la partie

supérieure et semble moins évidente sur la partie inférieure dans le couche de mélange du jet. D’autres mécanismes

interagissent avec l’anneau tourbillonnaire formé à la fréquence de 1 Hz. Ces constatations sont également visibles

sur les abscisses suivantes. Dans la couche de mélange sous le jet, on ne voit pas seulement le tourbillon mais les

effets tridimensionnels d’entraînement du fluide. En conclusion, ce type d’écoulement est également influencé par

la fréquence de pulsation du jet jusqu’à une distance de 1,5 diamètre environ.

Une comparaison est faite entre le jet pulsé à 1 Hz et à 10 Hz avec des visualisations au-dessus du jet. Les

figures 3.17(a) et 3.17(b) présentent les quatre abscisses utilisées (x/L = 1,1 - x/L = 2,1 - x/L = 3,15 etx/L = 5)

lors de l’extraction des lignes de l’écoulement. Les diagrammes spatio-temporels réalisés sont présentés sur les

figures 3.18(a) et 3.18(b). Les traits rouges sont espacés d’une fréquence de 1 Hz. Ils ne correspondent pas à la

fréquence de pulsation pour la fréquence de 10 Hz afin de rendre plus lisible la figure. Pour la fréquence de 1 Hz,

le passage des anneaux tourbillonnaires formés à la fréquence de pulsation est visible à l’abscissex/L = 1,1. La

désorganisation est déjà mise en oeuvre àx/L = 2,1 et continue jusqu’àx/L = 3,15. Au contraire, le jet à 10 Hz

présente une frontière peu perturbée àx/L = 1,1. A x/L = 2,1, le diagramme présente quelques irrégularités de


FIG. 3.16 – Diagrammes spatio-temporels pour le jet excité à 1 Hz

(a) f=1 Hz (b) f=10 Hz

FIG. 3.17 – Lignes utilisées pour la comparaison de deux jets pulsés (x/L = 1,1 - x/L = 2,1 - x/L = 3,15 etx/L = 5)

chaque côté du jet. Un diamètre plus loin, les structures présentent quelques lacunes et l’apparition de plis au ni-

veau de chaque tourbillon. Cet élément correspond à la déstabilisation des tourbillons étirés en leur sommet et sur

leur largeur. A l’abscissex/L = 5, le même type de mécanisme est visible pour les deux fréquences. La déstabili-

sation des anneaux tourbillonnaires a augmenté. La variation dans l’envergure du jet de ces structures correspond

aux battements latéraux de l’écoulement. Cette déstabilisation a déjà été observée par Fraticelli (2008) pour un jet

carré. Les diagrammes spatio-temporels extraits du jet continu sont présentés sur la figure 3.19(a) àx/L = 5,5 et

sur la figure 3.19(b) àx/L = 7. Dans un jet libre, le lâcher tourbillonnaire de l’instabilité primaire est périodique

au niveau de la couche cisaillée. Lorsque le jet débouche dans un écoulement transverse avec une vitesse inférieure

à celle du courant principal, le mécanisme est modifié. La vorticité de la couche limite de l’écoulement transverse


(a) 1 Hz (b) 10 Hz

FIG. 3.18 – Diagrammes spatio-temporels extraits de visualisations au-dessus du jet pour deux fréquences depulsation

(a) x/L = 5,5

(b) x/L = 7

FIG. 3.19 – Diagrammes spatio-temporels extraits de visualisations volumiques au-dessus du jet pour le jet continu(Fraticelli, 2008)

bloque le développement de la partie amont de l’anneau tourbillonnaire. En aval et sur les côtés du jet, il n’y a aucun

blocage et un anneau attaché de part et d’autre de l’arête amont de l’orifice est lâché dans l’écoulement. La suc-

cession d’anneaux enchevêtrés est le résultat du couplage entre les anneaux stationnaires et instationnaires générés.

Les visualisations par colorant mettent en évidence la courbure plus rapide du jet dans le courant principal

comparée aux jets à fréquence faible ainsi que les différentes déstructurations dans le sillage de l’écoulement. Les

diagrammes spatio-temporels permettent également d’identifier une frontière supérieure du jet moins perturbée

avec l’augmentation de la fréquence de pulsation (grosses structures comparées aux plus petites observées pour

les fréquences inférieures à 1 Hz). Ces diagrammes indiquent aussi l’absence de répétitivité des structures dans le

sillage liée à leur interaction.


2.4 Etude de la transition

La transition entre ces deux types d’écoulements se situe à la fréquence de 0,31 Hz. Cette limite est détermi-

née expérimentalement et correspond à la fréquencefT . Le résultat est présenté sur les figures 3.20(a) à (d) avec

des visualisations volumiques par colorant de l’écoulement. Sur les visualisations de face, le dôme représentant

(a) 0,31 Hz (b) 0,32 Hz

(c) 0,31 Hz (d) 0,32 Hz

FIG. 3.20 – Visualisations volumiques de jets pulsés à la fréquence caractéristique de changement de régime

la bouffée de fluide est encore visible sur la figure 3.20(a) à 0,31 Hz alors que la figure 3.20(b) ne le montre pas

pour la fréquence de 0,32 Hz. La continuité de l’injection est rompue autour de cette fréquence. Avec des visua-

lisations au-dessus de la veine, trois bouffées de fluide sont distinctes sur la figure 3.20(c) alors que les anneaux

tourbillonnaires sont plus resserrés et déstructurés sur la figure 3.20(d). Une étude plus détaillée est effectuée sur

la transition entre ces deux écoulements avec des diagrammes spatio-temporels issus de fréquences autour de cette

limite (0,3 Hz sur la figure 3.21(a) et 0,35 Hz sur la figure 3.21(b)). Les abscisses utilisées pour extraire les lignes

de l’écoulement sont les mêmes que sur la figure 3.15 (x/L = 1,5 - x/L = 2 - x/L = 2,5 et x/L = 3,1). Pour la

fréquence de 0,3 Hz, on retrouve la même configuration que sur les diagrammesspatio-temporels à la fréquence de

0,25 Hz sur la figure 3.14. A l’abscissex/L = 1,5, la structure dominante est l’appariement formé par le tourbillon

amont et celui formé par l’entraînement du tourbillon aval.On peut observer les trous d’injection correspondant

aux bouffées de fluide entre deux ensembles tourbillonnaires. Aux abscisses suivantes, on retrouve une répétitivité

de ces structures mais elle est moins nette que pour la fréquence de 0,25 Hz. A l’inverse pour la fréquence de

0,35 Hz, on peut observer le passage du tourbillon aval dans la partie basse àx/L = 1,15. L’ondulation de la fron-

tière supérieure correspond aux variations de la vitesse dujet. Comme pour l’exemple de la fréquence de 1 Hz, on

peut observer des tourbillons ayant un sens de rotation inverse au tourbillon formé à l’aval de la sortie du jet aux

abscisses suivantes. Ces effets sont amplifiés avec l’augmentation de la distance de la ligne de mesure : tourbillons

plus nombreux, déstructuration de la frontière supérieureet effets tridimensionnels plus importants dans la couche

de mélange inférieure.


(a) 0,3 Hz

(b) 0,35 Hz

FIG. 3.21 – Diagrammes spatio-temporels pour deux fréquences de part et d’autre de la transition


Il est à noter que le nombre de formationLd/L pour le jet à une fréquence de 0,31 Hz est de 5,5 ce qui

correspond quasiment à la frontière déterminée par Gharibet al. (1998) et Johari (2006) pourLd/L = 4. Cette

limite correspond au passage d’un régime d’anneaux compacts isolés à un régime de structures tourbillonnaires

plus resserrées.

2.5 Conclusion sur l’étude qualitative

La première partie est une étude qualitative des différentsécoulements engendrés par l’interaction d’un jet

pulsé avec un écoulement transverse. Cette étude révèle unedistinction entre deux régimes d’écoulements avec

un seuil pour une fréquence caractéristique de transitionfT = 0,31 Hz. Le schéma des différents écoulements est

présenté sur la figure 3.22. Pour des fréquences inférieuresà ce seuilfT , l’écoulement est dominé par le tourbillon

FIG. 3.22 – Schéma des différents écoulements en fonction de la fréquence de pulsationf

formé en amont de la sortie du jet, le tourbillon de bec. Il estensuite propulsé dans l’écoulement. Les structures

créées sont répétitives, distinctes et bien séparées sur les premiers diamètres. Le jet pénètre en hauteur dans l’écou-

lement lors de sa sortie de l’orifice. Il est à noter que la fréquence caractéristique du jet non forcéfC reste quand

même très proche de cette transition. Au contraire, pour lesfréquences supérieures à 0,31 Hz, le jet se courbe plus

rapidement dans l’écoulement. En sortie du jet, le tourbillon de bec n’est pas expulsé dans l’écoulement mais seule-

ment entretenu. Le jet est dominé par le tourbillon en aval dujet formé à la fréquence de pulsation. Les anneaux

tourbillonnaires sont de plus en plus resserrés au-dessus du jet et interagissent entre eux. Le sillage se compose de

zones filamentaires dès lors que l’on s’éloigne de la sortie du jet. Néanmoins avec l’augmentation de la fréquence,

des grosses structures apparaissent dans le sillage aux détriments des plus petites. L’exemple de la fréquence de

10 Hz présente une structuration semblable au jet continu.

Afin de quantifier ces premières analyses, le choix qui a été réalisé est de travailler sur trois fréquences repré-

sentatives des régimes d’écoulements : 0,25 Hz afin de comprendre les mécanismes mis en oeuvre pour propulser

le tourbillon de bec dans l’écoulement, quantifier le basculement de l’ensemble des tourbillons contrarotatifs et

les effets tridimensionnels de déstructuration, 1 Hz et 10 Hz afin de distinguer la différence entre le comportement

filamentaire et la création de structures plus importantes.Les mécanismes liés aux formations tourbillonnaires sont

prépondérants pour le mélange du fluide entre le jet et l’écoulement transverse. La surface de contact entre les deux

fluides est liée à ces tourbillons et leur entraînement. Il est intéressant de savoir si les zones filamentaires offrent

un mélange plus conséquent que l’entraînement de plus grosses structures. De plus, la plage de fréquences choisie

s’étale sur quasiment trois décades.


Pour ces trois fréquences de pulsation, l’écoulement est caractérisé par la fréquence de pulsation mais peut

également l’être par le nombre de formation ou le nombre de Strouhal. Les valeurs sont de 0,44 pour 0,25 Hz, 1,76

pour 1 Hz et 17,6 pour 10 Hz pour les trois nombres de Strouhal ainsi que des valeurs de 6,8 pour 0,25 Hz, 1,7

pour 1 Hz et 0,17 pour 10 Hz pour le nombre de formationLd/L.

3 Quantification de la sortie du jet

Cette partie a pour objectif de caractériser finement les conditions aux limites du problème au niveau de l’in-

jection du jet. La première étude consiste à mesurer le retard du signal sinusoïdal entre la pompe et la vitesse du

jet à la sortie sur la plaque plane. Cette mesure est réaliséesur la plage de variation de la fréquence de pulsation.

La deuxième étude est une mesure locale des profils moyennés de vitesse en phase au niveau de l’injection du jet.

Ces mesures sont effectuées sur les trois fréquences de pulsation du jet préalablement déterminées.

3.1 Déphasage de la vitesse du jet

FIG. 3.23 – Schéma pour la mesure du déphasagede la vitesse du jet

La pompe de forçage du jet est alimentée par une tension

sinusoïdale pilotée par le logicielTestPoint. Le générateur de

signauxAdWinest un générateur temps réel. Expérimentale-

ment, on observe un déphasage entre le signal de variation

du piston, le signal de débit mesuré par un débitmètre ultra-

sonore dans le circuit et la vitesse d’injection du jet mesurée

par film chaud au niveau de l’orifice. Ces différents points de

mesure sont montrés sur la figure 3.23. La présente étude a

pour but de caractériser ce déphasage afin de pouvoir ensuite

caler l’ensemble des informations mesurées par rapport à la

période de pulsation. Le décalage mesuré est celui entre le

trigger de début de cycle et le maximum de vitesse du film

chaud. Un exemple pour le signal à 0,25 Hz est présenté sur

la figure 3.24(a). Le signal en bleu est la vitesse du piston de

la pompe pulsée, le signal en rouge est la mesure au niveau

du débitmètre, le signal vert représente la mesure film chaud

et le signal trigger est en noir. Ce dernier représente le point

de départ des mesures lors d’un cycle de pulsation. On peut

remarquer que le signal de la vitesse du piston est déjà bruité.

La sinusoïde présente un palier sur les phases de croissanceet

décroissance du signal. Cela est lié au mécanisme de la pompeà vis sans fin lorsque la vis arrive en bout de course.

Ce phénomène est amplifié aux fréquences faibles. Pour cet exemple, le décalage temporel est de 2,89 s.

D’autres décalages sont mesurés pour déterminer son évolution au cours du temps pour les fréquences com-

prises entre 0 et 1 Hz. La figure 3.24(b) présente les signaux pour une fréquence de 1 Hz. Le temps de décalage

est de 901 ms. Un problème se pose pour les fréquences au-delàde 1 Hz où le signal du film chaud est très faible

donc peu précis. Il est donc possible d’établir le graphe desdécalages obtenus en fonction de la période d’injec-

tion sur la figure 3.25(a). L’évolution du temps de déphasageen fonction de la période est quasi-linéaire, ce qui

implique que le fluide débouche sur la plaque au même endroit sur la sinusoïde de débit par rapport au départ du

piston. Ce déphasage correspond au temps de propagation du signal à la vitesse maximale du piston en première

approximation. Si l’on considère l’amplitude des pulsations identiques pour toutes les fréquences sachant que le

3. Quantification de la sortie du jet 79

t (ms)0 2000 4000 6000 8000 10000

débitmètrefilm chaudtriggerpompe pulsé

2890ms

(a) 0,25 Hz

t (ms)0 500 1000 1500 2000

débitmètrefilm chaudtriggerpompe pulsé

901ms

(b) 1 Hz

FIG. 3.24 – Chronogrammes des vitesses du jet (le signal en bleu correspond à la vitesse du piston, le signal enrouge est la mesure au niveau du débitmètre, le signal vert lamesure film chaud et le signal trigger en noir)

période d’injection (ms)

déph

asag

e(m

s)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

(a) Graphe de déphasage en fonction de la période de forçage

t/T

Uj

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2

(b) Sinusoïde de la vitesse du jet en fonction de lapériode adimensionnée

FIG. 3.25 – Graphe de déphasage et sinsoïde de la vitesse du jet

déplacement du piston est égal àAcos(ωt), sa vitesse maximaleAω est proportionnelle àω. Si on considère que

le fluide parcourt une distancek à la vitesse du piston, le temps mis par la bouffée de fluide pour atteindre la sortie

du jet est donné par l’équation 3.1. Cette étude permet de dire que le déphasage est quasi-proportionnel avec la

période de forçage. Néanmoins, les mesures n’ont pas permisde confirmer cette tendance pour la fréquence de

10 Hz à cause de la faible réponse du film chaud.

t =k

Aω=

k2πA

T (3.1)

Par la suite, les instants des champs moyennés en phase sont decalés en fonction du retard, afin d’avoir pour toutes

les mesures les mêmes repères temporels par rapport à la sinusoïde de vitesse du jet sur la figure 3.25(b). La

deuxième partie est une mesure locale de la vitesse du jet surle carré d’injection afin de comprendre l’évolution

de la quantité de mouvement pendant la période d’injection.


3.2 Profil de vitesse au niveau de l’orifice carré

Les mesures du profil de vitesse sont réalisées par PIV sur sixplans longitudinaux à l’écoulement au niveau de

l’orifice (0, 5, 8, 12, 14, et 14,5 mm par rapport au plan médiany/L = 0). Les plans sont choisis sur un demi-carré

d’injection. Ils sont moins espacés et plus nombreux dans les zones où les changements de vitesse sont brutaux, ty-

piquement proche de l’arête externe du carré d’injection. Les figures 3.26(a) et (b) présentent des profils de vitesse

moyennés en phase pour deux fréquences de pulsation. D’autres profils de vitesse sont également présentés en an-

nexe de ce rapport pour les trois fréquences de pulsation. Sur ces profils de vitesse, le contour du jet est matérialisé

XY

ZEcoulement transverse

Jet pulsé

(a) f = 0,25 Hz -t/T = 0,65

XY

ZEcoulement transverse

Jet pulsé

(b) f = 10 Hz -t/T = 0,15

FIG. 3.26 – Profils de vitesse moyennée en phase en sortie de l’orifice du jet pour deux fréquences de pulsation

en rouge. De plus, les profils sont symétrisés afin de recouvrir la totalité de l’orifice du jet. Sur la figure 3.26(a)

pour la fréquence de 0,25 Hz, le profil est extrait dans la phase de poussée du fluide. On peut noter le déséquilibre

lié à l’écoulement transverse entre l’amont et l’aval du jet. De la même manière, la figure 3.26(b) présente le profil

lorsque la vitesse est minimale pour la fréquence de 10 Hz. Onpeut noter l’inversion du signe de la vitesse sur

la partie amont de l’orifice. Cette inversion est liée à la faible vitesse du jet dans cette zone. La vitesse maximale

du jet est déduite de ces mesures pour les trois fréquences depulsation. Elle correspond en vitesse adimensionnée

à : 2,46 pour la fréquence de 0,25 Hz ; 2,47 pour la fréquence de 1 Hz et 2,28 pour la fréquence de 10 Hz. Cette

valeur est supérieure à la vitesse débitante maximale. Celas’explique car le profil de vitesse en sortie n’est pas de

type top-hatdans notre écoulement et la survitesse au centre de l’orificecompense les réductions sur les bords de

la forme carrée. Les vitesses maximales sont identiques pour deux fréquences mais légèrement inférieures pour la

fréquence de 10 Hz.

Une autre façon de caractériser le jet est de calculer une vitesse caractéristique basée sur la quantité de mouve-

ment (Gordon & Soria, 2002) selon l’équation 3.2. Cette vitesse caractéristique est comparée à la vitesse débitante.

U j =

[

1ST

Z T

0

ZSu2

j dSdt

]12

(3.2)

Les profils de vitesse moyennés en phase sont ensuite intégrés sur la surface du jet afin d’en déduire la vitesse

débitante. Les figures 3.27(a) et (b) illustrent l’évolution de ces deux vitesses du jet sur une période d’injection

adimensionnée pour les trois fréquences de pulsation. Le zéro pour le départ de la période adimensionnée a été

établi comme référence et correspond au signal trigger au début de la période d’excitation. L’évolution de la vitesse

a une tendance similaire à celle obtenue sur les chronogrammes de vitesse des figures 3.24(a) et (b) lors des mesures

de déphasage. Le profil, quant à lui, est toujours positif. L’amplitude crête à crête entre les deux évolutions des

signaux est différente et vaut 1,7 pour la vitesse débitanteet 1,4 pour la vitesse caractéristique. De plus, ces deux

3. Quantification de la sortie du jet 81

t/T

vite

sse

débi

tant

e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(a) Vitesse débitante

t/T

vite

sse

cara

ctér

istiq

ue

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(b) Vitesse caractéristique

FIG. 3.27 – Profils des deux vitesses calculés sur une période de pulsation

amplitudes sont inférieures à celle normalement imposée à la vitesse du jet. La vitesse débitante varie autour de 1

alors que la vitesse caractéristique varie autour d’une valeur supérieure à 1. Les calculs de vitesse sont présentés

dans le tableau 3.1 pour les trois fréquences d’excitation.Il apparaît que la vitesse débitante du jet est sensiblement

Fréquencef Vitesse débitante (Ecart relatif) Vitesse caractéristique (Ecart relatif)f = 0,25 Hz 0,94 (5,5%) 1,11 (9,3%)

f = 1 Hz 0,95 (5,1%) 1,11 (9,3%)f = 10 Hz 0,94 (5,5%) 1,10 (8,7%)

TAB . 3.1 – Comparaison des vitesses débitantes et caractéristiques pour les trois fréquences de pulsation

sous-estimée par la vitesse obtenue en PIV. Cet écart entre la théorie et les mesures est inférieur à 6 %. En ce

qui concerne la vitesse caractéristique obtenue avec la quantité de mouvement, elle est sensiblement supérieure

à la vitesse débitante (environ 10 %). Ce résultat paraît assez logique car la quantité de mouvement est le carré

de la vitesse et donc elle ne fait pas la différence entre une vitesse négative et positive lors de l’entrée de fluide

dans l’orifice du jet par exemple au contraire du calcul sur lavitesse débitante. Enfin, l’écart relatif de la vitesse

caractéristique comparé à cette même vitesse théorique estde l’ordre de 9%. La vitesse théorique est obtenue en

considérant une sinusoïde parfaite entre zéro et deux. Ellecorrespond à 1,22 fois la vitesse de référence quelle que

soit l’amplitude des oscillations.

3.3 Conclusion sur l’étude de la sortie

Cette partie est une étude plus détaillée de la forme et du déphasage du signal de vitesse en sortie du jet.

Cette étude a permis de mettre en évidence le déphasage du signal de la pompe avec la vitesse du jet débouchant

au niveau de la zone de mesure. Ce déphasage est linéaire pourdes fréquences faibles. Cette linéarité n’est plus

valable pour des fréquences supérieures à 1 Hz. Les mesures par PIV ont permis de quantifier la vitesse du jet. La

vitesse débitante réglée au début des expériences reste identique pour les trois fréquences de pulsation avec une

erreur inférieure à 6%. De plus, une vitesse caractéristique est déterminée issue de la quantité de mouvement du

jet. Cette vitesse proche de 1,1 donne une deuxième possibilité de caractérisation de l’écoulement. Par la suite, la

vitesse débitante reste la référence car l’écart entre les deux définitions des vitesses est négligeable. Il n’y a donc


pas de modification de régimes si l’on choisit l’une des deux vitesses. Enfin, la sinusoïde de la figure 3.25(b) reste

la référence dans la suite de ce manuscrit car toutes les mesures sont repositionnées en fonction du même point de

départ.

4 Etude quantitative

L’étude quantitative du jet pulsé dans un écoulement transverse s’appuie sur des mesures de PIV et SPIV dans

la veine hydrodynamique. Dans l’étude sur le jet continu, les structures stationnaires sont mises en avant comme

le tourbillon en fer à cheval et le tourbillon de bec ainsi queles structures instationnaires développées dans le

sillage du jet. Dans notre étude, la pulsation du jet fait disparaître toutes les structures stationnaires au détriment

de structures évoluant dans le temps que ce soit en amont ou enaval de l’orifice carré.

4.1 Ecoulement moyen du jet pulsé

Tout d’abord, une approche moyenne des vitesses est utilisée afin de distinguer les caractéristiques du jet pulsé

par rapport à l’écoulement continu, dans quatre plans longitudinauxy/L = 0, y/L = 1/6, y/L = 1/3 ety/L = 1/2.

4.1.1 Champs moyens de vitesse

Les figures 3.28(a) à (d) présentent les champs de norme de la vitesse pour les trois fréquences de pulsation ainsi

que le jet continu dans le plan médiany/L = 0. Tout d’abord, l’intensité de la vitesse moyenne est plus importante


(c) f = 1 Hz (d) f = 10 Hz

FIG. 3.28 – Champs moyens de la norme de la vitesse de l’écoulement pour les 3 fréquences d’excitation dans leplan médiany/L = 0

dans le cas non forcé. L’action de pulser le jet avec une grande amplitude diminue l’intensité de la norme de la

vitesse moyenne sur tout le champ de mesure. On retrouve l’aspect qualitatif lié à la pénétration du jet. Le jet à

0,25 Hz pénètre plus en hauteur dans l’écoulement. Il déboucheperpendiculairement dans le courant principal à

4. Etude quantitative 83

sa sortie de l’orifice. Le jet est matérialisé par un cône de vitesse constante (zone rouge) non déformé sur la figure

3.28(b). Les jets à une fréquence supérieure àfT sont plus courbés dans l’écoulement transverse sur les figures

3.28(c) et 3.28(d) pour les fréquences de 1 Hz et 10 Hz respectivement. Avec l’augmentation de la fréquence de

pulsation, la largeur du cône de vitesse en sortie de l’orifice croît. De plus, le sommet du cône est déplacé vers

l’aval de l’écoulement lorsque la fréquence augmente. Le fluide situé sous le jet a un mouvement moyen inverse

au mouvement de l’écoulement transverse sur la figure 3.28(a) pour le jet continu, c’est la zone de recirculation.

Cette zone est limitée par la frontière inférieure du jet et la paroi du dispositif. Elle est alimentée par une source

discutée par la suite. Elle participe au cisaillement de la frontière inférieure du jet. Cette zone possède des régions

de faibles vitesses matérialisées par des zones bleues sur la figure 3.28(a) pour le jet continu. En pulsant le jet, cette

région sous le jet est quasiment inexistante à la fréquence de 0,25 Hz alors qu’elle est prédominante à la fréquence

de 10 Hz.

4.1.2 Points singuliers de l’écoulement

L’écoulement moyen présente des points singuliers, pointspour lesquels la vitesse est nulle. Ces points sont

classés en catégories suivant qu’ils caractérisent le foyer d’une structure ou matérialisent une séparation. Les

points singuliers ainsi que les pseudo-lignes de courant pour les trois écoulements pulsés sont montrés sur les fi-

gures 3.29(a) à (d) et comparés au jet continu. On parle de pseudo-lignes de courant car il s’agit de l’écoulement

dans une coupe bidimensionnelle d’un écoulement tridimensionnel. Les points F1 et F2 représentent des foyers


(c) f = 1 Hz (d) f = 10 Hz

FIG. 3.29 – Points singuliers et pseudo-lignes de courant de l’écoulement pour les 3 fréquences d’excitation dansle plan médiany/L = 0

des structures tourbillonnaires. Le foyer F1 est le centre de la structure en fer à cheval présente en amont du jet.

Elle est alimentée par du fluide provenant de l’écoulement transverse. Le foyer F2 est le coeur du tourbillon de

bec. Ce tourbillon est alimenté et entretenu par la vorticité du jet. Il se situe entre le tourbillon en fer à cheval et le

jet. Son sens de rotation est opposé à celui du tourbillon en fer à cheval. Ensuite, on localise deux points selles S1


et S2. Le point S1 représente un point appartenant simultanément au jet et à l’écoulement transverse. Il délimite

la frontière à laquelle le fluide tend à alimenter le tourbillon en fer à cheval lorsqu’il se situe en dessous de cette

limite, ou à l’inverse il contourne le jet en étant accéléré.Le point S2 se situe dans la zone de recirculation sous la

couche cisaillée inférieure du jet. Il matérialise la séparation entre le fluide arrivant de deux noeuds N1 et N2 situés

dans le sillage. Ces deux points sont des sources d’alimentation de fluide arrivant hors du plan de mesure pour

approvisionner la zone sous le jet. Le point S2 est présent lorsque ces deux noeuds sont visibles. De ce point, on

peut tracer une ligne remontant jusqu’à la couche cisailléeinférieure du jet. Cette ligne de séparation en pointillée

sur les figures 3.29(c) et (d) délimite donc deux régions d’alimentation du fluide sous le jet.

On trouve seulement un noeud alimentant le sillage de l’écoulement du jet continu sur la figure 3.29(a). Néan-

moins, Fraticelli (2008) a mis en évidence deux noeuds d’alimentation sur des champs instationnaires de l’écoule-

ment. L’unicité du noeud sur le champ moyen de l’écoulement est également observable sur le jet pulsé à 0,25 Hz

sur la figure 3.29(b). Néanmoins, ce noeud est situé plus proche de la sortie du jet sur le cas pulsé. Il est à noter

que le jet à 0,25 Hz ne présente pas de structure en fer à cheval en amont du jet. Cet écoulement possédant des

variations temporelles importantes, le champ moyen n’est pas représentatif. Les structures en amont du jet entrent

en concurrence pendant l’injection et ne sont pas visibles sur le champ moyen. Par la suite, une étude des champs

moyennés en phase est appliquée afin de comprendre plus précisément les mécanismes liés à la propulsion du

tourbillon de bec dans le courant principal et sa mise en concurrence avec le tourbillon en fer à cheval.

Pour les fréquences de 1 Hz et de 10 Hz sur les figures 3.29(c) et3.29(d) respectivement, le champ moyen

apparaît plus représentatif de l’écoulement grâce à des faibles variations temporelles de la forme globale du jet.

On distingue deux noeuds N1 et N2 dans le sillage du jet. La ligne de séparation ainsi que le couple N1-N2 se

retrouvent décalés vers la droite de l’écoulement pour la fréquence de 10 Hz liés au sillage plus important. De la

même manière en amont du jet, on retrouve le tourbillon de becainsi que la structure en fer à cheval. Cette dernière

structure est plus imposante lors de l’augmentation de la fréquence de pulsation. Pour la fréquence de 10 Hz, cette

augmentation de la structure en fer à cheval implique un blocage du fluide par le jet plus important que les autres

fréquences de pulsation. Néanmoins, ces points singuliersont tendance à évoluer pendant la période d’injection du

jet.

4.1.3 Aspect tridimensionnel de l’écoulement

Les champs moyens de l’écoulement ainsi que l’étude des points singuliers ont permis de distinguer une double

alimentation de la zone de recirculation du jet pour les fréquences de pulsation de 1 Hz et 10 Hz à l’inverse d’une

seule source visible pour le jet continu. Dans le plan médiany/L = 0, la vitesse hors planVy est faible (environ 10%

de la vitesse de référence). On s’intéresse donc aux plans longitudinaux parallèles à ce plan médian (y/L = 1/6,

y/L = 1/3 ety/L = 1/2) sur les figures 3.30(a) à (i) où le contour représente la composante de vitesse normale au

plan. On distingue tout d’abord une augmentation des zones de cette composante de vitesse avec la distance au plan

médian (forte tridimensionnalité de l’écoulement). Sur leplany/L = 1/6, la composante normale au plan présente

des variations entre -75% et +45% de la vitesse de référence pour la fréquence de 1 Hz sur la figure 3.30(d) et

de 0,25 Hz sur la figure 3.30(a). Néanmoins, les zones sont plus étendues pour la fréquence faible. On distingue

uniquement des vitesses positives jusqu’à 45% de la vitessede référence pour la fréquence de 10 Hz sur la figure

3.30(g). Ces zones de vitesse normale augmentent pour la fréquence de 0,25 et 1 Hz jusqu’à des variations de 1

fois la vitesse de référence dans le plany/L = 1/2 sur les figures 3.30(c) et 3.30(f). Pour la fréquence de 10 Hz,

on observe l’apparition de zones négatives dans le jet à partir du plany/L = 1/3 sur la figure 3.30(h). Dans le

jet, les particules fluides sont accélérées vers l’extérieur du plan médian tout en étant convectées par l’écoulement

dans le plan. Ce phénomène mène au développement des tourbillons contrarotatifs dominant l’écoulement dans


(a) y/L = 1/6 - f = 0,25 Hz (b) y/L = 1/3 - f = 0,25 Hz (c) y/L = 1/2 - f = 0,25 Hz

(d) y/L = 1/6 - f = 1 Hz (e) y/L = 1/3 - f = 1 Hz (f) y/L = 1/2 - f = 1 Hz

(g) y/L = 1/6 - f = 10 Hz (h) y/L = 1/3 - f = 10 Hz (i) y/L = 1/2 - f = 10 Hz

FIG. 3.30 – Champs de vitesse de l’écoulement pour les trois fréquences de pulsation (le contour représente lacomposante hors planVy/Vre f )

le sillage. Il est accentué sous la couche de cisaillement pour la fréquence de 1 Hz. Pour les trois fréquences de

pulsation, on retrouve comme pour le jet continu, des zones d’alimentation de la région de recirculation (plus

intenses à proximité de la sortie du jet). Elles sont matérialisées par les zones bleues où le fluide est accéléré vers

le plan médian. Elles sont localisées autour des deux noeudsN1 et N2 distingués dans la partie précédente. Elles

correspondent au passage des tourbillons de la structure enfer à cheval loin de la sortie et au tourbillon formé par

l’excitation dans la zone proche de l’orifice. Cette zone estétendue car le tourbillon en fer à cheval bat avec la

fréquence de pulsation. Par la suite, le plan orthogonal à l’écoulement permet d’observer clairement la limite de

cette zone de recirculation.

4.1.4 Analyse de la trajectoire

L’analyse de la trajectoire consiste en l’étude d’une lignecaractéristique de l’écoulement. Dans cette étude, les

deux lignes prises en compte sont l’axe issu du centre de l’orifice du jet et l’axe du maximum de vitesse. Ces deux

axes sont présentés sur les figures 3.28(a) à (d) pour le jet continu et pour les fréquences de 0,25 Hz, de 1 Hz et

de 10 Hz. L’axe noir est la ligne centrale du jet alors que l’axe blanc identifie le maximum de vitesse. Ces deux

lignes sont extraites des champs moyens de vitesse. Pour lestrois fréquences de pulsation, la ligne du maximum

de vitesse se trouve translatée vers la partie avale de l’orifice du jet. Ce déplacement est dû à la vitesse du courant

principal. Pour le jet continu, ce phénomène est présent mais il est accentué pour le jet pulsé. Afin de pouvoir

les comparer, ces deux lignes sont exposées sur la figure 3.31(a) pour le maximum de vitesse et la figure 3.31(b)

pour la ligne centrale du jet. Pour la fréquence de 0,25 Hz, le maximum de vitesse sort quasi-perpendiculairement

à la sortie du jet jusqu’à arriver à une cassure àz/L = 1. Deux pentes sont ensuite visibles dans l’évolution de

l’axe jusqu’àx/L = 4,5 (une pente sur la portion comprise entrex/L = 1 et 1,5, puis une seconde comprise entre

x/L = 2 et 5). Entre ces deux pentes, l’axe est réorienté et passe au-dessus de la ligne centrale à l’abscissex/L = 2,


x/L

z/L

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5 jet continujet pulsé 0,25Hzjet pulsé 1Hzjet pulsé 10Hz

(a) Ligne du maximum de vitesse

x/L

z/L

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5 jet continujet pulsé 0,25Hzjet pulsé 1Hzjet pulsé 10Hz

(b) Ligne centrale du jet

FIG. 3.31 – Comparaison de deux axes particuliers du jet dans le plany/L = 0

augmentant ainsi sa pénétration. La seconde pente de l’axe est comparable à celle des autres cas étudiés. Pour la

fréquence de 1 Hz et de 10 Hz, les trajectoires se courbent dans l’écoulement transverse dès la sortie du jet et elles

sont coupées par la ligne centrale à des abscisses respectives dex/L = 2,1 et x/L = 2,6. Les trajectoires du jet

à 0,25 Hz pénètrent plus en hauteur dans l’écoulement alors que les trajectoires des deux autres fréquences sont

quasiment similaires. La majeure partie des études sur les différentes lignes du jet utilise une loi en puissance selon

l’équation 3.3 proposée par Pratte & Baines (1967).

xRL

= A( z

RL

)B(3.3)

Le but de ces études est de déterminer les deux constantesA etB pour modéliser la trajectoire. Cette identification

est réalisée sur le jet continu et les constantes obtenues sont A = 0,76 etB = 0,63 avec un taux d’injectionR= 1.

Afin de comparer les constantes du jet pulsé avec celle du jet continu, Eroglu & Breidenthal (2001) proposent

d’utiliser un rapport d’injectionR′ basé sur le rapport des quantités de mouvement du jet et de l’écoulement

transverse dans l’equation 3.4.

R′ =

(

J

ρc fU2c fS

)1/2

avecJ =

Z T

0ρ ju

2j S dt (3.4)

Ce taux d’injection est équivalent à la vitesse caractéristique issue de la quantité de mouvement (Cater & Soria,

2002) déterminée expérimentalement dans le tableau 3.1. Pour les jets pulsés, on cherche à obtenir la trajectoire

du jet en fonction de la fréquence de pulsation selon l’équation 3.5.

xR′L

= A( z

R′L

)BavecB = B1· exp

(

B2f

)

+B3 etB2 < 0 (3.5)

On choisit de fixer la constanteB3 à 0,63, le coefficientB est déterminé pour la trajectoire du jet continu en consi-

dérant cet écoulement comme un jet pulsé à une fréquence nulle impliquant un coefficient B2 strictement négatif.

Les coefficients B1 et B2 sont ajustés à -0,18 et -1,37 respectivement. Les constantesA etB sont présentées dans le

tableau 3.2 pour les quatre écoulements. La limite de validité correspond à l’abscisse à partir de laquelle le modèle

de la trajectoire coïncide avec la ligne du maximum de vitesse. La comparaison entre les courbes réelles et ajustées

sont présentées pour le jet continu sur la figure 3.32(a) et pour les trois fréquences de pulsation sur les figures

3.32(b) à (d). Le modèle prédit bien l’axe du maximum de vitesse dès lors que sa pente est constante. Pour ces

expériences, le coefficientA est inférieur à ceux de la littérature alors que le coefficient B est légèrement supérieur.

Cette partie sur les données moyennes a permis de comparer les écoulements continus et pulsés. Quelques

différences apparaissent sur le champ moyen que ce soit au niveau de la norme de la vitesse dans la zone de


Fréquencef ConstanteA ConstanteB Limite de validité Coefficient de corrélationjet continu 0,76 0,63 [1,6 ; 4,8] 0,990,25 Hz 0,93 0,62 [0,9 ; 4,8] 0,98

1 Hz 0,85 0,58 [1,5 ; 4,8] 0,9910 Hz 0,97 0,47 [1,7 ; 4,8] 0,99

TAB . 3.2 – CoefficientsA etB issus de l’équation 3.5 de la trajectoire du jet pour les trois cas pulsés

x/L

z/L

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5 donnée expérimentaledroite de tendance

(a) Jet continu

x/Lz/

L0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

2


(b) Jet pulséf = 0,25 Hz

x/L

z/L

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2


(c) Jet pulséf = 1 Hz

x/L

z/L

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2


(d) Jet pulséf = 10 Hz

FIG. 3.32 – Comparaison entre le modèle de l’équation 3.5 et les données expérimentales pour les trois fréquencesde pulsation

recirculation, au niveau des points singuliers ou en ce qui concerne les effets tridimensionnels observés sur des

plans longitudinaux à l’écoulement. Enfin, une étude de la trajectoire du jet a permis d’établir un modèle de la

forme de l’axe du jet (basé sur le maximum de vitesse) prenanten compte les paramètres de pulsation du jet

(taux d’injection basé sur la quantité de mouvement injectée). Néanmoins, cette analyse moyenne ne permet pas

de comprendre précisément les formations tourbillonnaires. Des approches de la vitesse moyennées en phase ou

instantanées sont mises en oeuvre afin de quantifier les phénomènes à proximité de la sortie du jet et dans le sillage

de l’écoulement.

4.2 Structures instationnaires proches de la sortie du jet

Les structures stationnaires obtenues lors du croisement d’un jet continu avec un écoulement transverse sont

le tourbillon en fer à cheval et le tourbillon de bec (pas toujours visible) dans la zone proche de l’orifice du jet.

En pulsant le jet, aucune de ces deux structures n’est stationnaire mais elles varient au cours du temps de façon

périodique. Leur mouvement est dicté par la fréquence de forçage du jet.


4.2.1 Grandeurs déduites des mesures de vélocimétrie

Un des critères utilisé est la vorticité. Elle traduit les rotations locales instantanées au sein d’un écoulement

fluide et permet ainsi d’identifier et de localiser les zones de cisaillement et les structures tourbillonnaires. Par

définition, le vecteur vorticité−→ω s’écrit comme le rotationnel de la vitesse−→ω =−→∇ ∧−→

U . Lors des mesures de

SPIV, nous mesurons les trois composantes de la vitesse dansun plan de l’écoulement donc les dérivées selon la

profondeur ne peuvent pas être déterminées. En conséquence, seule la composanteωy est déterminée (équation

3.6).

ωy =∂Vz

∂x− ∂Vx

∂z(3.6)

Afin de détecter les zones tourbillonnaires et les zones de cisaillement, le critère utilisé est le critèreQ. Ce scalaire

est le second invariantQ du tenseur gradient de vitesse qui a été introduit par Jeong &Hussain (1995). Il est défini

au moyen des parties symétrique⇒S et anti-symétrique

⇒Ω du tenseur gradient de vitesse et est défini par l’équation

3.7.

Q =12

(

‖⇒Ω ‖2−‖

⇒S ‖2

)

(3.7)

Les champs de vitesse calculés sont bidimensionnels et doncles dérivées selon la profondeur ne peuvent pas être

déterminées comme pour la vorticité. Ce critère est ramené àun critère bidimensionnel selon l’équation 3.8 avec

Vx etVz les composantes du plany/L = 0.

Q2D = −∂Vx

∂z∂Vz

∂x+

∂Vx

∂x∂Vz

∂z(3.8)

Une région positive deQ2D met en exergue une zone où le taux de rotation est supérieur autaux de déformation et

traduit la présence d’un tourbillon. Au contraire, une région négative deQ2D indique une zone de cisaillement.

4.2.2 Formation tourbillonnaire liée à la pulsation

L’étude qualitative ainsi que l’analyse du champ moyen de l’écoulement n’ont pas permis de comprendre les

mécanismes mis en oeuvre lors de la formation des structurestourbillonnaires engendrées par la pulsation du jet

notamment pour le jet à une fréquence de 0,25 Hz. Sachant que la fréquence de pulsation domine l’écoulement

à proximité de la sortie du jet, les champs de vitesse moyennés en phase permettent de comprendre la formation

tourbillonnaire en amont et aval pour chaque fréquence. Lespseudo-lignes de courant ainsi que le critèreQ2D sont

présentés sur les figures 3.33(a) à (o) pour la fréquence de 0,25 Hz. Sur la figure 3.33(a), la phase de poussée

du fluide débute. Deux zones de critèreQ2D positives sont localisées de part et d’autres de la sortie dujet à

l’instant t/T = 0,22 sur la figure 3.33(c) aux abscissesx/L = 0 et x/L = 1,05. Les pseudo-lignes de courant

matérialisent ces deux tourbillons à l’instantt/T = 0,32 sur la figure 3.33(d). Ils sont formés par le cisaillement

entre la vitesse du jet et celle de l’écoulement transverse.Ces instabilités sont liées à l’excitation du jet et la forme

du carré d’injection. Néanmoins, le tourbillon en aval se développe plus rapidement car la vitesse du jet croît et

celle dans la zone de recirculation est faible. Du fluide provenant du noeud en aval de la sortie du jet est entraîné

par ce tourbillon. De plus, une zone de cisaillement au pointselle en amont du jet empêche le développement

du tourbillon en amont, le tourbillon de bec. Le tourbillon en fer à cheval, quant à lui, est identifiable. Avec

l’augmentation de la vitesse du jet, le tourbillon en fer à cheval se retrouve décalé vers la gauche de l’écoulement.

Le tourbillon en aval voit sa taille croître sur la figure 3.33(e). Le tourbillon de bec se déplace vers le haut et prend

de l’ampleur (cisaillement maximal en amont du jet). Lorsque la vitesse du jet est maximale, le rapport d’injection

ponctuel est proche de deux. A ce rapport d’injection, Fraticelli (2008) conclut à la formation de structures sur

la frontière supérieure à une abscisse plus faible que pour le cas de référence deR = 1. La diminution de la

vitesse du jet provoque un cisaillement moins important et le tourbillon en fer à cheval prend de l’ampleur. A

t/T = 0,58, son foyer àx/L = 1,3 est au même niveau que celui du tourbillon de bec sur la figure3.33(i). Le


(a) t/T = 0,04 (b) t/T = 0,12 (c) t/T = 0,22

(d) t/T = 0,32 (e) t/T = 0,40 (f) t/T = 0,42

(g) t/T = 0,48 (h) t/T = 0,52 (i) t/T = 0,58

(j) t/T = 0,64 (k) t/T = 0,70 (l) t/T = 0,80

(m) t/T = 0,86 (n) t/T = 0,92 (o) t/T = 0,98

FIG. 3.33 – Pseudo-lignes de courant et critèreQ2D sur les champs moyennés en phase à une fréquence de 0,25 Hz


fluide de l’écoulement transverse s’engouffre sous le tourbillon de bec pour rentrer dans l’orifice du jet sur la

figure 3.33(j). Ce phénomène est lié à l’inversion du gradient de pression dans la couche limite de l’écoulement.

Le blocage de l’écoulement transverse diminue impliquant une diminution de la hauteur de la structure en fer à

cheval. Le tourbillon de bec se détache de la zone amont de la sortie du jet pour être convecté dans l’écoulement.

De la même manière, le tourbillon en aval à déjà commencé son ascension sur la frontière inférieure du jet. A

t/T = 0,8 sur la figure 3.33(l), le tourbillon de bec se situe àz/L = 0,2 alors que le tourbillon aval est localisé à

z/L = 0,45. La fin de la période d’injection est matérialisée par une diminution de la largeur du jet, une progression

des tourbillons sur les frontières amont et aval du jet et la formation de zone tourbillonnaire liée à l’entraînement

du tourbillon aval. La plus importante est celle située à (1 ;0,45) àt/T = 0,98 sur la figure 3.33(o). Ce tourbillon

possède une vitesse d’ascension supérieure à celle du tourbillon de bec. En effet, il est convecté sous l’effet des

vitesses ascendantes dans le sillage à l’inverse du tourbillon de bec qui subit l’effet inverse à cause des vitesses

descendantes présentes en amont du jet. Le tourbillon aval se retrouve sur la période suivante à la même hauteur

que le tourbillon de bec àt/T = 0,12 sur la figure 3.33(b). Au moment de leur interaction sur la figure 3.33(d) à

z/L = 0,9, la quantité de mouvement du tourbillon de bec entraîne le tourbillon en aval. Cet ensemble tourne donc

dans le sens trigonométrique et est convecté par la vitesse du courant principal. Ce mécanisme est quantifié par le

calcul des circulations induites par ses deux tourbillons.La circulation du tourbillonΓT est définie selon l’équation

3.9 sur un contour fermé.

ΓT =Z

ST

(−→∇ ∧−→

U ) ·−→n dST (3.9)

Dans cette équation,ST est la surface de la zone de vorticité représentant le tourbillon. Elle est calculée sur les

deux tourbillons sur le champ moyenné en phase de la figure 3.33(e) àt/T = 0,4. On détermine une circulation

adimensionnée de 1,42 pour le tourbillon de bec et de -0,47 pour le tourbillon formé dans la zone de recirculation.

Le tourbillon de bec entraîne donc l’autre structure dans lesens trigonométrique grâce à une circulation plus im-

portante.

Pour les deux autres fréquences de pulsation, les champs moyens de l’écoulement ont permis de mettre en

évidence les foyers du tourbillon en fer à cheval ainsi que celui du tourbillon de bec. Les champs de critèreQ2D sur

(a) jet pulséf = 1 Hz - t/T = 0,70 (b) jet pulséf = 10 Hz -t/T = 0,65

FIG. 3.34 – Pseudo-lignes de courant et critèreQ2D sur les champs moyennés en phase à une fréquence de 0,25 Hz

des moyennes de phase sont présentés sur la figure 3.34(a) àt/T = 0,7 et 3.34(b) àt/T = 0,65 pour la fréquence

de 1 Hz et 10 Hz respectivement. On distingue une séparation entre les tourbillons formés en aval de l’orifice

alimentant la couche cisaillée sur la frontière inférieuredu jet pour la fréquence de 1 Hz. Au contraire, une zone

tourbillonnaire est localisée sur la frontière inférieuredu jet pour la fréquence de 10 Hz où le temps de pulsation

ne permet pas une séparation de ces structures.


4.3 Structures instationnaires dans la région de sillage

Le sillage est l’endroit où de multiples structures se forment. On retrouve une zone de recirculation alimentée

par du fluide arrivant hors du plan de mesure et les tourbillons ascendants. Toutes ces structures mènent à l’entretien

des tourbillons contrarotatifs dominant l’écoulement dans le sillage.

4.3.1 Dynamique tourbillonnaire dans les plans longitudinaux

Afin de comprendre la dynamique tourbillonnaire dans les différents écoulements engendrés par la pulsation,

les figures 3.35(a) à (o) présentent le produit de la partie positive du critèreQ2D et de la vorticitéωy sur des champs

instantanés de vitesse pour les trois fréquences de pulsation ainsi que pour le jet continu. Ces zones indiquent les

structures tournant dans le sens horaire en bleu et dans le sens antihoraire en rouge. Il apparaît des comportements

différents suivants les écoulements étudiés. On peut observer une ressemblance entre le jet continu et le jet pulsé à

10 Hz sur les figures 3.35(a) et 3.35(d). On retrouve la couchecisaillée formée à l’aval de la sortie du jet. Puis, une

structure se détache àx/L = 1,75 pour le jet continu au contraire du jet pulsé à 10 Hz où le tourbillon est lâché à

x/L = 2. Ce tourbillon pénètre plus en hauteur dans l’écoulement pour le cas pulsé. Une différence est observable

sur la propagation de la zone tourbillonnaire. Sur la figure 3.35(e), l’anneau a perdu àx/L = 4 de son intensité

tourbillonnaire, à l’inverse du tourbillon du jet continu sur la figure 3.35(c). Cela s’explique par la déstructuration

du tourbillon dans l’envergure du jet. Sur ces deux exemples, on ne retrouve aucune trace de tourbillon tournant

dans le sens antihoraire sur la frontière supérieure du jet.Pour le jet à 1 Hz sur la figure 3.35(g), la fréquence

de pulsation étant plus faible que les deux cas précédents, on distingue une séparation entre les tourbillons for-

més en aval du jet. Ces tourbillons tournant dans le sens horaire dès leur formation dominent le sillage du jet.

On identifie quelques traces de zones tourbillonnaires sur la frontière supérieure du jet provenant du tourbillon

de bec. On observe également une formation tourbillonnaireà z/L = 0,3 à l’endroit de formation du tourbillon

aval. La trajectoire de ces tourbillons indique une ligne secondaire de formation tourbillonnaire pour le jet pulsé

à 1 Hz qui se déplace parallèlement à la plaque plane de la veine d’essai. Cette caractéristique a déjà été mis en

évidence par Tomaret al. (2004) et Gordonet al. (2004) sur des jets synthétiques pour un nombre de Strouhal

de 0,19 ou encore Eroglu & Breidenthal (2001) pour des jets pulsés àSt= 0,28. Tomaret al. (2004) déterminent

un nombre de Strouhal critique pour la formation de cette double trajectoire puis, une augmentation de l’angle

entre les deux trajectoires avec une croissance du taux d’injection. Eroglu & Breidenthal (2001) obtiennent des

trajectoires multiples et une pénétration maximale pour unStrouhal caractéristique en fixant le taux d’injection.

Dans notre exemple, le nombre de Strouhal est supérieur à ceux relevés dans la littérature et vaut 1,76. De plus,

la pénétration de la trajectoire principale n’est pas augmentée dans l’écoulement. Cette deuxième formation tour-

billonnaire n’apparaît pas liée à la pulsation du jet car aucune trace n’est visible sur les champs moyennés en phase

sur la figure 3.28(c). On retrouve également un tourbillon tournant dans le sens trigonométrique dans la zone de

recirculation entrex/L = 1 etx/L = 2. Ce tourbillon est également visible sur le jet continu. Pour la fréquence de

0,25 Hz, on retrouve la formation en amont et aval du jet et la multitude de petites structures dans le sillage du

jet. Le tourbillon formé en aval est le seul à tourner dans le sens horaire et il domine la frontière supérieure du

jet jusqu’àx/L = 2 sur la figure 3.35(m). On peut observer également les dipôles tourbillonnaires dominés par le

tourbillon de bec jusqu’à l’abscissex/L = 2,5.

Ces analyses moyennées en phase et instantanées des régionsproches de la sortie du jet et du sillage confortent

les observations précédentes sur les formations tourbillonnaires et la domination des structures les plus énergé-

tiques dans l’écoulement. Néanmoins, il reste à comprendrela contribution du forçage sur ces structures, sur leur

expansion et l’origine de la seconde trajectoire sur le jet pulsé à 1 Hz. Une étude fréquentielle est donc réalisée sur

les champs de vitesse.


(a) jet continut = 0 s (b) jet continut = 0,5 s (c) jet continut = 1 s

(d) jet pulséf = 10 Hz -t = 0 s (e) jet pulséf = 10 Hz -t = 0,8 s (f) jet pulsé f = 10 Hz -t = 1,6 s

(g) jet pulséf = 1 Hz - t = 0 s (h) jet pulséf = 1 Hz - t = 0,64 s (i) jet pulsé f = 1 Hz - t = 1,28 s

(j) jet pulsé f = 0,25 Hz -t = 0 s (k) jet pulséf = 0,25 Hz -t = 0,56 s (l) jet pulsé f = 0,25 Hz -t = 1,12 s

(m) jet pulséf = 0,25 Hz -t = 1,68 s (n) jet pulséf = 0,25 Hz -t = 2,24 s (o) jet pulséf = 0,25 Hz -t = 2,8 s

FIG. 3.35 – Champs de vitesse dans le plany/L = 0 - Produit de la partie positive du critèreQ2D et de la vorticitéωy (structure tournant dans le sens horaire en bleu et trigonométrique en rouge)

4.3.2 Etude fréquentielle des zones tourbillonnaires

Une façon d’analyser les tourbillons dans l’écoulement estune analyse fréquentielle des structures tourbillon-

naires dans des zones de fortes variations des fluctuations de vitesse. Cette étude des fréquences présentes dans

l’écoulement est faite au moyen d’une transformée de Fourier rapide (FFT). Elle est réalisée sur les champs de

vitesse résolus en temps issus de données de SPIV. Pour les trois fréquences de pulsation ainsi que pour le jet

continu, les champs de la norme des écarts-type de la vitessedans le plany/L = 0 sont présentés sur les figures

3.36(a) à (d). Les variations de la vitesse sont localisées dans le sillage du jet. Le jet continu présente les variations

les plus grandes dans le sillage comparé aux jets pulsés (zone maximale entrex/L = 1,8 et x/L = 3,8 mais de

faible épaisseur). Dans cette zone, la norme des écarts-type est supérieure à 60% de la vitesse de référence. La


(a) jet continu (b) jet pulséf = 0,25 Hz

(c) jet pulséf = 1 Hz (d) jet pulséf = 10 Hz

FIG. 3.36 – Champs de la norme des écarts-type de la vitesse pour les trois fréquences de pulsation ainsi que pourle jet continu dans le plany/L = 0

sortie du jet, quant à elle, ne présente pas de variations énergétiques au contraire des jets pulsés où l’on y trouve

les fluctuations maximales. Pour la fréquence de 0,25 Hz, on observe une petite zone de forte variation en amont

et une grande zone en aval de la sortie du jet. Cette dernière s’étend jusqu’àz/L = 1,4. Elles sont englobées par

des contours d’écart-type décroissants formant le sillagedu jet. Le jet à 1 Hz présente une zone de moyenne in-

tensité d’écart-type (40% de la vitesse de référence) sous la frontière inférieure du jet ainsi qu’une seconde zone

parallèle à la plaque plane de plus faible intensité. Cette zone représente la seconde trajectoire où se forment des

tourbillons déjà mis en évidence dans la partie précédente.Enfin, le jet pulsé à une fréquence de 10 Hz montre

le champ moyen où l’on distingue des fluctuations dans tout l’espace. On retrouve des traces de fluctuations dans

le sillage, au niveau de la sortie du jet mais également en amont du jet lorsque la vitesse du courant principal est

constante. Les caractéristiques de l’écoulement principal sont donc modifiées en amont par la pulsation du jet et

notamment sur la vitesse longitudinale à l’écoulement. La variation de cette vitesse au pointz/L = 0,2 au-dessus

de la sortie du jet par exemple est de plus ou moins 0,3 cm/s ce qui correspond à des variations de 20% par rapport

à la vitesse de référence. Une onde de pression se propage dans l’écoulement sous l’effet de l’apport de quantité de

mouvement rapide dans le jet et du confinement de l’écoulement. Pour les jets pulsés, l’énergie cinétique est donc

transférée du sillage vers la zone de sortie du jet comparée au jet continu.

Les zones de maximum d’écart-type du jet représentent la trajectoire des tourbillons formés par la pulsation

du jet. Dans notre cas, on identifie des points dans ces zones afin d’évaluer le spectre des signaux de fluctuation

de vitesse. Ces points sont représentés sur les figures 3.36(a) à (d) pour les trois cas étudiés. Ensuite, une FFT est

réalisée sur ces signaux de vitesse. Elle est effectuée sur les trois composantes de la vitesse. Le problème se pose

pour la fréquence de 10 Hz où l’échantillonnage en temps n’est pas assez conséquent. La fréquence d’acquisition

des images est de 12,5 Hz et donc pas assez importante pour capter des phénomènes àdes fréquences de 10 Hz et

donc les signaux ne sont pas analysés.


Tout d’abord, les signaux du jet continu sont comparés. On neretrouve aucune fréquence caractéristique au point

1 proche de la sortie du jet. Puis, en s’intéressant à la composantew′, on identifie une fréquence caractéristique de

0,37 Hz puis 0,28 Hz au point 3 et 4. Cette fréquence est en adéquation avec lafréquencefC déterminée dans le

jet non forcé par Fraticelli (2008). Ensuite, les résultatsdes FFT normalisées pour les jets pulsés à une fréquence

de 0,25 et 1 Hz sont présentés sur les figures 3.37(a) à (f). Proche de la sortie du jet, on retrouve la fréquence

(a) f = 0,25 Hz Point 1 (b) f = 0,25 Hz Point 4 (c) f = 1 Hz Point 1

(d) f = 1 Hz Point 4 (e) f = 1 Hz Point 6 (f) f = 1 Hz Point 8

FIG. 3.37 – Signaux des FFT normalisées pour la composanteu′, v′ etw′ pour la fréquence de 0,25 Hz et de 1 Hz

de pulsation distinctement avec une amplitude maximale pour la composantew′, puisu′ et enfinv′ pour les deux

fréquences de pulsation. Pour la fréquence de pulsation de 0,25 Hz sur la figure 3.37(a) au point 1, on distingue la

présence de pic bien distinct à la fréquence de pulsation ainsi que des sur-harmoniques de cette fréquence. Dans

le sillage, au point 4 sur la figure 3.37(b), on trouve toujours la même distinction pour les signaux fréquentiels

mais légèrement plus bruités. Ces pics secondaires correspondent aux fusions entre les tourbillons formés avant

le passage à ce point dans le sillage. Pour la fréquence de 1 Hz, la pulsation du jet présente un pic unique sur la

figure 3.37(c) à proximité de la sortie du jet. Avec une augmentation de l’abscisse curviligne suivie par les tour-

billons, la répétition des fluctuations de vitesse devient moins évidente. La composantew′ atteint un maximum de

0,46 Hz au point 4 sur la figure 3.37(d) et 0,31 Hz au point 6 sur la figure 3.37(e). Au point 4, on identifie toujours

un pic secondaire à 1 Hz. La FFT met en évidence le glissement de la fréquence de pulsation vers la fréquence

caractéristiquefC des tourbillons de sillage du jet non forcé. Les effets de l’excitation dominent essentiellement

la sortie du jet et se dissipent par la suite. La seconde trajectoire est également étudiée dans cette partie. Au point

7, la fréquence de 1 Hz domine, à elle seule, cette région tourbillonnaire. Ces tourbillons sont donc formés à la

fréquence de pulsation mais ne sont pas visibles sur les moyennes de phase étudiées précédemment. Au point 8, la

fluctuation de vitesseu′ est répétée à une fréquence de 0,19 Hz sur la figure 3.37(f) (on retrouve également un pic

secondaire à 1 Hz). Ces fréquences correspondent au battement du sillage contrôlé par la pulsation et la fréquence

naturelle du jet déterminée dans le jet continu.


Les fluctuations de vitesse sont étudiées dans les plans parallèles au plan médian. Pour les trois fréquences de

pulsation, les variations à proximité de la sortie du jet sont essentiellement localisées en aval de l’orifice. Pour la

fréquence de 0,25 Hz sur le plany/L = 1/6, on ne distingue aucune variation dans la zone de recirculation et de

petites variations dans le sillage loin du jet àz/L = 1. Cette zone est plus accentuée dans le plany/L = 1/3 sur la

figure 3.38(a) ainsi que dans le plany/L = 1/2. Elle est plus intense et présente une branche étroite la reliant avec

(a) f = 0,25 Hz -y/L = 1/3 (b) f = 1 Hz -y/L = 1/6

FIG. 3.38 – Champs de la norme des écarts-type de la vitesse pour deux fréquences de pulsation

l’aval de la sortie du jet. Ce lien n’est plus visible sur le plany/L = 1/2. Pour la fréquence de 1 Hz, la double tra-

jectoire du jet est plus marquée sur le plany/L = 1/6 sur la figure 3.38(b). La zone dans la couche de cisaillement

sous la trajectoire principale du jet diminue en intensité avec l’augmentation de la distance au plan médian et est

décalée vers l’aval.

On retrouve donc un écoulement entièrement dominé par la fréquence de pulsation du jet pour 0,25 Hz dans

la région proche de l’orifice et dans le sillage. A l’inverse pour la fréquence de 1 Hz, le forçage a une influence

localisée proche de la sortie du jet. Le long de la trajectoire des tourbillons formés par l’excitation, on retrouve la

fréquence de pulsation étendue sur une plage entre 0 et 1 Hz avec une fréquence dominante de 0,31 Hz (fréquence

proche de celle des structures dans le sillage du jet continu).

4.3.3 Tourbillons ascendants

L’objectif est de comprendre la formation des tourbillons dans le sillage du jet. Afin d’y parvenir, on explore

l’écoulement pariétal à l’aide du plan de mesure horizontalz/L = 1/15. Ce plan est présent uniquement pour la

fréquence de 1 Hz. Les pseudo-lignes de courant de champs instantanés de vitesse sont présentés sur les figures

3.39(a) et (b). Ces topologies de l’écoulement mettent en évidence une dissymétrie de l’oscillation par rapport au

plan médiany/L = 0. Les tourbillons de la structure en fer à cheval qui contourne le jet sont coupés par le plan

z/L = 1/15. Les pseudo-lignes de courant sur ces figures représentent la trajectoire du fluide contenu dans ces

tourbillons. Le premier instant sur la figure 3.39(a) correspond à une vitesse minimale du jet alors que le deuxième

instant caractérise une vitesse maximale du jet sur la figure3.39(b). On retrouve sur les deux instants une structure

entretenue par le fluide à la fréquence d’excitation du jet àx/L = 0,85 sur la figure 3.39(a) et àx/L = 0,95 sur la

figure 3.39(b). Puis, le fluide du jet alimente une structure en aval de l’orifice àx/L = 2,1 à l’instantt/T = 0 et

deux structures à l’instantt/T = 0,5 àx/L = 1,8 et 3,5. Le fluide ne provenant pas de la structure en fer à cheval

contourne cette enveloppe de fluide puis alimente des tourbillons instationnaires derrière le jet. Le point situé à

x/L =−0,5 sur la figure 3.39(a) est un point selle séparant le fluide provenant du jet et de l’écoulement transverse.

Ce point n’est plus visible sur la figure 3.39(b) lorsque la vitesse du jet est maximale. Il est décalé vers la zone

amont. Le fluide du courant principal contournant le jet n’est même plus visible sur ce plan de mesure à l’instant

t/T = 0,5. L’allée tourbillonnaire formée derrière le jet est alimentée soit par du fluide de l’écoulement transverse


(a) t/T = 0 (b) t/T = 0,5

FIG. 3.39 – Pseudo-lignes de courant de champs instantanés de vitesse dans le planz/L = 1/15 pour le jet à 1 Hz- Produit de la partie positive du critèreQ2D et de la vorticitéωz (structure tournant dans le sens horaire en bleu etantihoraire en rouge)

soit par du fluide du jet suivant l’instant de pulsation. Cette allée est comparable à une allée de Von Kármán générée

derrière un cylindre par exemple. Le fluide alimentant ces tourbillons est redirigé vers le haut car la plaque plane ne

leur laisse pas d’autre issue. Ces tourbillons de sillage sont nommés tourbillons ascendants. Ils ont déjà été évoqués

sur le jet continu sur la figure 3.4(b) extrait de Fraticelli (2008) où le centre du tourbillon est matérialisé par un

point rouge. Au cours de leur progression vers la couche cisaillée inférieure du jet, ces tourbillons se connectent à

des structures émanant du tourbillon de bec provenant des faces latérales au jet. Ces structures sont visibles sur le

champ de vitesse de tomo-PIV du jet continu sur la figure 3.3 etils sont nommés S1 et S2.

4.3.4 Tourbillons contrarotatifs

Les champs moyennés en phase dans le planx/L = 4 permettent de visualiser ces structures tourbillonnaires.

Pour les fréquences de 1 Hz et 10 Hz sur les figures 3.40(a) et 3.40(b) respectivement, le champ de vitesse ne varie

quasiment pas au cours de la pulsation. Le schéma des structures présentes dans ce plan est similaire à celui du

(a) f = 1 Hz (b) f = 10 Hz

FIG. 3.40 – Champ moyen de vitesse et contour de critèreQ2D dans le planx/L = 4

jet continu. Tout d’abord, des enroulements tourbillonnaires sont visibles de part et d’autre de l’axe du jet compris

entre les hauteursz/L = 0,5 etz/L = 2. Ces tourbillons représentent les tourbillons contrarotatifs visibles essen-

tiellement dans des coupes de l’écoulement. Pour la fréquence de 1 Hz, ces tourbillons sont quasi-symétriques

dans l’écoulement. Au contraire de la fréquence de 10 Hz, l’axe entre les deux tourbillons tend à être dévié vers la

gauche. De plus, le tourbillon de gauche n’est pas vraiment circulaire. Cette dissymétrie est également observable

sur les deux petits tourbillons sous les tourbillons contrarotatifs. Ces tourbillons représentent la structure en ferà


cheval qui se reconnecte dans le sillage. La couche limite tridimensionnelle soulevée lors du croisement entre le jet

et le courant principal tend à le contourner puis à se rejoindre dans le sillage. La proximité de ces deux tourbillons

pour les deux cas d’écoulements permet d’affirmer que le tourbillon en fer à cheval est reconnecté àx/L = 4. Pour

la fréquence de 0,25 Hz, le schéma des structures tourbillonnaires est plus complexe. Les variations temporelles

laissent entrevoir le passage de bouffée de fluide correspondant à une période de pulsation. Les figures 3.41(a) à (d)

présentent l’évolution des tourbillons dans le plan orthogonal à l’écoulementx/L = 4. A l’instantt/T = 0,02 sur la

(a) t/T = 0,02 (b) t/T = 0,28

(c) t/T = 0,52 (d) t/T = 0,78

FIG. 3.41 – Champ de vitesse moyen et contour de critèreQ2D dans le planx/L = 4 pour f = 0,25 Hz

figure 3.41(a), on retrouve une formation similaire aux jetspulsés à 1 et 10 Hz. Les tourbillons contrarotatifs sont

présents ainsi que le tourbillon en fer à cheval qui est reconnecté sous le jet. At/T = 0,28, on observe la formation

de tourbillons au-dessus des tourbillons contrarotatifs sur la figure 3.41(b). Ces petits tourbillons tournent dans le

même sens que les deux précédents. On observe ensuite une déstructuration des tourbillons contrarotatifs sur la

figure 3.41(c). Le jet se retrouve à sa position la plus étiréedans la largeur de la veine. Sa largeur est comprise entre

y/L = −2 ety/L = 2. Il est à noter également que entre les instantst/T = 0,28 ett/T = 0,52, le tourbillon en fer

à cheval est d’intensité plus faible. Cela est lié à la diminution de la vitesse du jet. A l’instant suivantt/T = 0,78

sur la figure 3.41(d), des restes de petites structures sont visibles avant l’apparition des tourbillons contrarotatifs

marquant le départ de la bouffée fluide suivante. A cet instant, le tourbillon en fer à cheval est reconnecté et il est

de forte intensité.

Les champs instantanés de vitesse mesurés dans le planx/L = 4 présentent des tourbillons en rotation autour de

centres situés dans les grands lobes identifiés sur les champs de vitesse moyennés en phase. Les champs instantanés

présentent des topologies bien différentes. Dans le jet continu, aux abscissesx/L = 1, x/L = 2 et x/L = 3, on

retrouve les structures décrites par Brizziet al. (1996) sur les figures 3.5(a) et (b) pour un jet rond où deux bras

relient des tubes tourbillonnaires et le tourbillon de bec.Ces structures sont présentées sur la figure 3.4(b) pour le

jet continu carré et sont identifiables dans les régions de vitesse longitudinale positive. Lors de l’étude du jet pulsé,


des champs instantanés de vitesse pour la fréquence de 1 et 10Hz présentent les zones du produit entre la valeur

positive du critèreQ2D et la vorticitéwx dans le planx/L = 4 sur les figures 3.42(a) à (f). On observe une multitude

de tourbillons contrarotatifs convectés par l’écoulementformant les deux tourbillons contrarotatifs observés sur

les champs moyennés en phase.

(a) jet pulséf = 1 Hz (b) jet pulséf = 1 Hz (c) jet pulséf = 1 Hz

(d) jet pulséf = 10 Hz (e) jet pulséf = 10 Hz (f) jet pulsé f = 10 Hz

FIG. 3.42 – Champs instantanés de vitesse dans le planx/L = 4 - Produit de la partie positive du critèreQ2D et dela vorticitéωw (structure tournant dans le sens horaire en bleu et antihoraire en rouge) - Série espacée de 800 ms

5 Conclusion sur l’influence de la pulsation du jet

L’analyse des grandeurs statistiques des champs de vitessea permis de mettre en évidence plusieurs phéno-

mènes sur l’influence de la pulsation d’un jet débouchant dans un écoulement transverse. La première partie est une

étude qualitative réalisée au moyen de visualisations par colorants. Elle révèle une distinction entre deux régimes

d’écoulements avec un seuil pour une fréquence caractéristique de transitionfT = 0,31 Hz. Pour des fréquences

inférieures à ce seuilfT , l’écoulement est dominé par le tourbillon formé en amont dela sortie du jet, le tourbillon

de bec. Il est ensuite propulsé dans l’écoulement. Les structures sont de nature répétitives. Elles sont également

distinctes et bien séparées sur les premiers diamètres. Le jet pénètre en hauteur dans l’écoulement lors de sa sortie

de l’orifice. Au contraire, pour les fréquences supérieuresà 0,31 Hz, le jet se courbe plus rapidement dans l’écoule-

ment. En sortie du jet, le tourbillon de bec n’est pas expulsédans l’écoulement mais seulement entretenu. Le jet est

dominé par le tourbillon en aval de l’orifice formé à la fréquence de pulsation. Les anneaux tourbillonnaires sont de

plus en plus resserrées au-dessus du jet et interagissent entre eux. Le sillage se compose de zones filamentaires dès

lors que l’on s’éloigne de la sortie du jet. Néanmoins avec l’augmentation de la fréquence, des grosses structures

apparaissent dans le sillage au détriment des plus petites et sont semblables à celles du jet continu (exemple de la

fréquence de 10 Hz).

Au vu de cette analyse, trois fréquences ont été extraites afin de quantifier les phénomènes mis en oeuvre dans

ces différents écoulements : 0,25 Hz, 1 Hz et 10 Hz. Une caractérisation des conditions aux limites pour ces trois

fréquences est établie en quantifiant le déphasage des signaux de vitesse entre la pompe pulsée et la sortie du jet

ainsi que les profils de vitesse au niveau de l’orifice. Ce profil a permis de déterminer une vitesse débitante et ca-

ractéristique du jet basée sur la quantité de mouvement. Il apparaît que le choix entre ces deux vitesses ne présente

pas de différences pour la suite de l’analyse.

5. Conclusion sur l’influence de la pulsation du jet 99

L’étude des champs moyens de l’écoulement a permis de mettreen évidence une similitude dans les jets pul-

sés à 1 et 10 Hz au niveau de l’organisation du sillage du jet dans le plany/L = 0. L’aspect tridimensionnel de

l’écoulement a été mis en avant par des mesures dans des planslongitudinauxy/L = 1/6, y/L = 1/3 ety/L = 1/2.

Enfin, un modèle a été proposé lors de l’étude de l’axe du jet formé par le maximum de vitesse. Ce modèle prend

en compte la fréquence de pulsation du jet. Il modélise l’axedu jet dans le sillage mais pas la zone proche de la

sortie où les comportements sont très différents d’un jet à l’autre.

La dernière partie présente les structures instationnaires dans l’écoulement. Le fait de pulser le jet implique la

formation de tourbillons à proximité de la sortie où l’on ne retrouve plus aucune structure stationnaire comme le

tourbillon de bec et le tourbillon en fer à cheval dans le jet continu. Les jets à 1 et 10 Hz présentent une formation

tourbillonnaire en aval de la sortie du jet qui domine l’écoulement par la suite. Ces structures ont été mises en

évidence sur des champs moyennés en phase. Les changements temporels pour ces deux fréquences sont faibles

comparés à ceux observés dans le jet à 0,25 Hz. Dans cet écoulement, on retrouve une formation tourbillonnaire en

amont et aval de la sortie du jet. Le tourbillon en amont, nommé tourbillon de bec, est propulsé dans l’écoulement

et se retrouve en concurrence avec un tourbillon formé dans la zone de recirculation sous le jet. Il l’entraîne et

domine ensuite la frontière supérieure du jet. Une étude fréquentielle réalisée sur des points dans des zones de

fortes fluctuations a permis de quantifier les conclusions précédentes. On retrouve des fréquences caractéristiques

de la pulsation dans le jet à 0,25 Hz sur tout le domaine. Cet écoulement est donc entièrement dominé par la

fréquence de pulsation du jet. Pour le jet à 1 Hz, on identifie une fréquence caractéristique de la pulsation proche

de l’orifice. Cette fréquence est ensuite noyée dans une gamme fréquentielle comprise entre 0 et 1 Hz. Une seconde

trajectoire pour cet écoulement est également mise en évidence avec une direction parallèle à la plaque plane. Dans

le sillage, on se rapproche d’une fréquence proche de la fréquence fC = 0,28 Hz, caractéristique des structures

obtenues dans le jet continu. Des mesures pariétalesz/L = 1/15 ont montré la présence de tourbillons ascendants

dans le sillage. Enfin dans le plan orthogonal à l’écoulementx/L = 4, on retrouve comme pour le jet continu une

multitude de tourbillons contrarotatifs englobés dans desgrands lobes. Ces tourbillons observés dans des champs

instantanés sont visibles sous la formation de deux tourbillons contrarotatifs uniques sur des champs moyens. Ce

sont les tourbillons dominant l’écoulement dans le lointain et prenant naissance dès la sortie de l’orifice.

CHAPITRE

4

Influence de la pulsation du jet sur le mélange

Sommaire1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 103

1.1 Etude de l’écoulement moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 104

1.2 Analyse de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 106

2 Critères de mélange : outils pour la comparaison . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1062.1 Surface et longueur de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 106

2.2 Critère de mélangeFm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3 Présentation des outils fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 109

2.4 Taux de production du gradient de concentration . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 114

3 Applications des outils de quantification au jet pulsé dans un écoulement transverse . . . . . 1153.1 Mélange dans le plan longitudinal à l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 115

3.2 De la concentration au mélange dans l’écoulement . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 118

3.3 Statistiques vitesse-concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 123

3.4 Extension du mélange dans le plan orthogonal à l’écoulement . . . . .. . . . . . . . . . 125

4 Conclusion sur le mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 130

101

1. Introduction 103

1 Introduction

L’étude du mélange caractérise la répartition de fluide provenant du jet ou de l’écoulement transverse lors de

leur interaction. Les mesures de concentration sont des mesures planaires dans cette thèse permettant de recueillir

un champ de concentration mais on peut faire également des mesures ponctuelles de concentration. En un point de

l’écoulement, la variation de la concentration peut être importante. Les différentes études sur le mélange d’un jet

dans un écoulement transverse se basent souvent sur l’analyse du champ moyen. Salewskiet al. (2008) réalisent

plusieurs expériences sur la forme de l’orifice du jet (carrée, ronde, elliptique et diamant) dans un écoulement

transverse àRe= 10000 etR= 4 à l’aide de mesures couplées de PIV et de PLIF. Ils ont mis en évidence une

efficacité de mélange pour l’orifice carré et elliptique de fort aspect au détriment des autres formes. Meyeret al.

(2000) étudient un jet débouchant dans un courant principalpour un nombre de Reynolds de 675 et 33650 à un taux

d’injection de 3,3. Une zone plus mélangée apparaît dans le cas laminaire avec une augmentation de la pénétration

du jet. Ces deux études traitent d’un jet continu où le champ moyen traduit l’écoulement étudié. Au contraire dans

ce travail, les critères de mélange employés sont calculés sur des champs instantanés afin de prendre en compte

les variations liées à l’excitation du jet. Les mesures simultanées de PLIF dans deux plans orthogonaux de l’écou-

lement sont nécessaires pour comprendre le processus de mélange dans les trois directions de propagation. Des

exemples de champs instantanés de concentration sont présentés sur les figures 4.1(a) et (b) pour la fréquence de

0,25 et de 1 Hz respectivement. Le champ de concentration se présente sous la forme d’une image pixélisée. La

(a) f = 0,25 Hz (b) f = 1 Hz

FIG. 4.1 – Exemple de champs de concentration instantanés dans le plany/L = 0 etx/L = 3,95

coloration de l’image tient compte de la valeur de la concentration en chaque point. La palette de couleur s’étend

de la zone bleue de concentration normalisée nulle (région du jet) à la zone rouge de concentration normalisée

maximale (région de l’écoulement principal). Entre ces deux couleurs, les zones de mélange sont représentées par

une concentration normalisée comprise entre zéro et un. Lesdeux plans orthogonaux de l’écoulement sont visibles

et localisés ày/L = 0 (plan longitudinal médian) etx/L = 3,95 (plan orthogonal à ce plan médian). On retrouve

les caractéristiques de chaque écoulement. Pour la fréquence de 0,25 Hz, les deux tourbillons formés en amont et

aval de la sortie du jet sont visibles ainsi que les différentes bouffées de fluide liées à la période de pulsation. Ils

se déstructurent sur le plan orthogonal à l’écoulement. Pour la fréquence de 1 Hz, le tourbillon ne se forme qu’à

l’aval du jet alors que le jet pénètre moins en hauteur dans l’écoulement. L’écoulement est semblable au jet continu

dans sa globalité.

Dans un premier temps, les caractéristiques des différentsécoulements sont observées sur les champs moyens

104 Chapitre 4 - Influence de la pulsation du jet sur le mélange

de concentration. Ensuite, ce chapitre est découpé en troisparties. La première partie est une définition des outils

géométriques et cinématiques utilisés afin de caractériserl’influence de la pulsation du jet sur le mélange entre

le jet pulsé et l’écoulement transverse. La seconde est une analyse du mélange à partir de la concentration et

des mesures couplées sur le plan longitudinal médiany/L = 0. Dans une dernière partie, le plan orthogonal à

l’écoulementx/L = 3,95 est utilisé pour caractériser le mélange dans la direction transversale du jet.

1.1 Etude de l’écoulement moyen

Les champs moyens de concentration pour les trois fréquences de pulsation ainsi que pour le jet continu sont

présentés sur les figures 4.2(a) à (d). Ces champs de concentration mettent en évidence un cône potentiel (en bleu)


(c) f = 1 Hz (d) f = 10 Hz

FIG. 4.2 – Champ de concentration pour les trois cas pulsés ainsique le jet continu dans le plany/L = 0

au sein duquel la concentration reste proche de la concentration initiale en sortie du jet. La base du cône coïncide

avec l’orifice du jet. Le sommet a pour coordonnée (1,7 ;1,2) pour le jet continu, (0,75 ;0,35) pour le jet à 0,25 Hz,

(1,6 ;1,15) pour le jet à 1 Hz et (3 ;1,5) pour le jet à 10 Hz. Pourle jet continu, les iso-contours de concentration sont

disposés de façon quasi-symétrique en dessous et au-dessusde l’axe du maximum de concentration matérialisé par

une droite noire. La concentration décroît lorsque que l’abscisse augmente. La symétrie de part et d’autre de l’axe

est brisée par une protubérance dans la zone de recirculation. Le milieu de cette zone (2 ;0,5) correspond à une

concentration comprise entre 0,6 et 0,7. Cette zone est alimentée périodiquement par unelamede fluide provenant

de l’écoulement transverse et est entraînée par les battements du sillage. A l’inverse, dans les cas pulsés, on ne

retrouve pas la symétrie des iso-contours mais une augmentation de ces zones sous l’axe du maximum de concen-

tration. La protubérance, quant à elle, dans le champ moyen de concentration est une zone où la concentration est

faible. Son milieu est localisé à (1,25 ;0,55) pour le jet à 0,25 Hz, à (1,8 ;0,6) pour le jet à 1 Hz et à (2 ;0,55) pour

le jet à 10 Hz. La concentration fluctue à cet endroit entre 0,1et 0,2. Dans les cas pulsés, cette zone correspond à

une alimentation de fluide par la pulsation du jet. La différence fondamentale entre le jet non forcé et le jet pulsé

1. Introduction 105

provient de la gamme de concentration présente dans cette zone.

Les champs de la norme des écarts-type de la concentration sont présentés pour les trois fréquences de pulsation

ainsi que pour le jet continu sur les figures 4.3(a) à (d). Pourle jet continu, trois zones au niveau des fluctuations

sont identifiées. Une zone dans le sillage où l’on retrouve unmaximum de fluctuation au niveau de la protubérance

évoquée précédemment. Une seconde zone située sur la frontière supérieure du jet. Elle prend naissance au point

(0 ;0) et s’élargit progressivement pour atteindre un maximum au point (2,8 ;1,9) avec une valeur de 0,38. La

dernière zone est localisée sur la frontière inférieure du jet. Elle atteint un maximum au point (3,25 ;1,3) avec une

valeur de 0,34. Pour le jet à une fréquence de 0,25 Hz, la zone de fluctuations couvre la totalité de la sortie du


(c) f = 1 Hz (d) f = 10 Hz

FIG. 4.3 – Champ de la norme des écarts-type de la concentration pour les trois cas pulsés ainsi que le jet continudans le plany/L = 0

jet avec des maximums atteints au niveau de la formation du tourbillon de bec à (0,3 ;0,6) avec une valeur de 0,5

et à (0,95 ;0,15) avec une valeur de 0,49 (lieu de formation dutourbillon aval). Pour le jet à 1 Hz, on retrouve

une zone sur la partie supérieure du jet allant du point (0,0)au point (3,7 ;1,75) avec des maximums de 0,45. Une

petite zone de fortes fluctuations est localisée en sortie dujet à (0,95 ;0) avec une valeur de 0,42 correspondant

à la formation du tourbillon aval. On remarque également unezone avec la même intensité ayant pour centre

(1,7 ;0,2) identifiant la deuxième trajectoire du jet forméede tourbillons à la fréquence de pulsation introduite dans

le chapitre 3. Pour la fréquence de 10 Hz, la partie supérieure du jet s’étend de la sortie de l’orifice et s’élargit

sur tout le champ de concentration avec des maximums de 0,45.La zone de sillage ne présente pas de fortes

fluctuations mais il est à noter qu’elle s’étend de la frontière inférieure jusqu’à la paroi de la veine d’essai. A la

vue de ces premières analyses, on retrouve les fortes fluctuations spatiales sur le jet pulsé à 0,25 Hz dès la sortie

de l’orifice. Les fluctuations de la concentration ont des valeurs plus importantes dans les cas pulsés comparées au

cas non forcé. Ces zones sont propices au mélange entre les deux fluides.


1.2 Analyse de la trajectoire

L’axe du jet, défini comme le maximum de concentration, est extrait des champs moyens de l’écoulement sur

les figures 4.2(a) à (d) où il est matérialisé par une ligne noire. Ces quatre axes sont représentés sur la figure

4.4 afin de pouvoir les comparer. On ne retrouve pas l’ordre établi avec le maximum de vitesse dans le chapitre

x/L

z/L

0 1 2 3 4 50

1

2

3jet continuf=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

FIG. 4.4 – Ligne du maximum de concentration du jet continu et desjets pulsés dans le plany/L = 0

précédent où les axes des jets pulsés sont toujours supérieurs à celui du jet continu. Néanmoins, la pénétration

maximale est toujours pour le jet pulsé à 0,25 Hz. Elle n’est pas oblique dès sa sortie de l’orifice mais secourbe

plus rapidement que les trois autres axes avant de les croiser au point (1,35 ;-1) et atteindre ensuite une valeur

supérieure à l’abscissex/L = 5. Le point de départ de cet axe ne coïncide pas avec le milieu de l’orifice comme

les deux autres cas pulsés ainsi que le cas continu. Pour ces trois autres exemples, la pénétration sur les premiers

diamètres est semblable jusqu’à une abscisse de (3,2 ;1,5).A ce point, l’axe du jet à 10 Hz présente un plateau à

z/L = 1,55. A l’inverse, l’axe du jet continu passe au-dessus de celui du jet à 1 Hz sur les deux derniers diamètres

du champ de concentration.

2 Critères de mélange : outils pour la comparaison

Les critères de mélange présentés dans cette partie sont appliqués sur le champ de concentration de l’écoule-

ment. Le critère de taux de production du gradient de concentration nécessite la connaissance de la vitesse et la

concentration au même point dans l’écoulement. La description des critères de mélange est détaillée dans cette

partie.

2.1 Surface et longueur de mélange

La surface et la longueur de mélange sont des grandeurs calculées sur des champs instantanés de concentration.

Plusieurs étapes sont nécessaires aux calculs de ces grandeurs. Tout d’abord, il faut seuiller l’image normalisée à

l’aide d’une limitecs comprise entre zéro et un. Cette étape, nommée binarisation, consiste à segmenter la valeur

des pixels du champ de concentration en deux classes. La valeur d’un pixelc(−→x ) devient un pixel binarisécb(−→x )

et il est définie par :

− si c(−→x ) ≤ cs =⇒ cb(−→x ) = 1

− si c(−→x ) ≥ cs =⇒ cb(−→x ) = 0

Ce choix est effectué afin d’accroître progressivement les pixels du jet avec l’augmentation du seuilcs. Le champ

ainsi obtenu est composé exclusivement de pixels ayant une valeur de zéro ou de un. Un exemple est appliqué sur

2. Critères de mélange : outils pour la comparaison 107

le champ de concentration normalisé de la figure 4.5(a). La surface du jet est visible sur la figure 4.5(b). Le nombre

(a) Champ de concentration (b) Surface du jet (c) Contour du jet

FIG. 4.5 – Exemple de surface et contour obtenu sur un champ de concentration avec un seuilcs = 0,8

de pixels blancs sur cette figure correspond à la surface du jet pour le seuilcs choisi. Elle est notéeSj et elle est

adimensionnée par le carré de la longueur caractéristique de l’écoulement. Le second objectif est de détecter le

contour de cette surface du jet. Cela consiste à repérer les points de l’image qui correspondent à un changement

brutal de l’intensité lumineuse à l’aide de filtre de type Sobel, Canny ou encore Laplacien. Sachant que les pixels

présents dans l’image ont des valeurs binaires, il est facile d’en extraire le contour. Le filtrage utilisé est basé sur

un filtre LaplacienFL avec les coefficients de l’équation 4.1.

FL =

0 −1 0

−1 4 −1

0 −1 0

(4.1)

Les valeurs appliquées pour ce filtre permettent de donner unpoids au pixel de contour qui donne un renseignement

supplémentaire afin d’affiner la longueur du contour. Sur le même champ de concentration que le calcul de la

surface, le contour est extrait sur la figure 4.5(c). Le nombre de pixels blancs sur cette figure est le contour du

jet. Il est notéL j et il est adimensionné par la longueur caractéristique. Le filtre quantifie les pixels de la manière

suivante : soit sa valeur est positive est le pixel est un pixel de contour, soit sa valeur est négative ou nulle est le pixel

n’appartient pas au contour. De plus, le filtre Laplacien donne une information supplémentaire sur la position du

pixel par rapport à ses voisins. Lorsqu’il est appliqué, le filtre renvoie des valeurs positives entières comprises entre

zéro et quatre. Si la valeur est de un, ce pixel du jet possède un côté en contact avec un pixel du courant principal.

De même, pour des valeurs supérieures, le résultat du filtre indique le nombre de côté du pixel de contour du jet

en contact avec les pixels correspondant à l’écoulement transverse. Un exemple de détermination du contour du

jet avec ce type de filtrage est illustré sur les figures 4.6(a)à (c) avec les différentes étapes de la procédure. Le

(a) Image binarisée (b) Résultat du filtre Laplacien (c) Détermination du contour

FIG. 4.6 – Exemple de détermination du contour d’une image

comptage du nombre de pixels positifs donne une sous-estimation de la longueur de mélangeL j entre le jet et

l’écoulement transverse. Inversement, en ajoutant les valeurs des pixels après filtrage, on obtient une surestimation


de cette longueur de mélange. Pour affiner les résultats, la valeur du pixel de contour est déterminée en fonction de

son nombre de voisin de la manière suivante :

− si cb(i, j) = 1 =⇒ L j = 1

− si cb(i, j) = 2 =⇒ L j =√

2

− si cb(i, j) = 3 =⇒ L j =√

5

− si cb(i, j) = 4 =⇒ L j = 0 (pixel isolé)

Seuls, les pixels avec une valeur de 2 et 3 sont modifiés au profil d’une longueur plus représentative de la réalité.

Les pixels avec une valeur de 4 sont supprimés par la suite (pixel isolé). Ce nombre de pixels isolés sur une image

est négligeable (environ 10 pixels par image). Cette longueur de contour approchée par les valeurs modifiées des

pixels se situe entre les deux estimations évoquées précédemment avec une légère surestimation du résultat et

semble se rapprocher de la valeur réelle du contour. Néanmoins, quel que soit le choix de la longueur, la tendance

donnée par les estimations est la même après application desnouvelles valeurs de contour lors d’une comparaison

des différents cas entre eux. Le classement de la longueur des contours en fonction de la pulsation du jet n’est pas

altéré. De la même manière, la surface du jet est affinée en fonction de la valeur après filtrage :

− si cb(i, j) = 1 =⇒ Sj = 1

− si cb(i, j) = 2 =⇒ Sj = 0,5

− si cb(i, j) = 3 =⇒ Sj = 0,5

Seuls, les pixels avec une valeur de 2 et 3 sont modifiés. Cettenouvelle surface améliore celle plus pixelisée déter-

minée précédemment et tend à se rapprocher de la surface réelle.

Avec ces deux paramètres, une relation entre le contour et lasurface permet de caractériser le degré d’irrégu-

larité du périmètre de la forme étudiée. Ce degré de complexité peut être caractérisé par une dimensionD j issue

de la relation de proportionnalitéL j ∝√

SjD j . Pour les formes simples comme un cercle ou un carré par exemple,

ce degréD j est égal à un, correspondant à la dimension d’une ligne. Lorsque le contour devient de plus en plus

tortueux avec une surface équivalente, la dimensionD j approche une valeur de deux. Lovejoy (1982) utilise cette

dimension afin d’analyser les régions pluvieuses et nuageuses sur des images de satellites à des échelles diffé-

rentes. Plus récemment, Catrakis & Dimotakis (1998) utilisent le rapport adimensionnéL j/√

Sj pour caractériser

les propriétés complexes de jets turbulents. Catrakiset al. (2002) emploient ce rapport afin de différencier les

jets à la transition laminaire-turbulent. Le but dans notreétude est d’utiliser un paramètre adimensionné afin de

caractériser les différents cas pulsés. Le rapport entre lecontour et la racine carrée de la surface mesure le degré

d’irrégularité de l’écoulement. Pour deux formes ayant unesurface identique, le plus grand rapportL j/√

Sj in-

dique le cas avec le contour le plus morcelé. Inversement pour deux écoulements ayant le même contour, celui

ayant le rapport maximal implique une complexité plus importante. Pour le calcul de ce rapport, chaque paramètre

n’est pas adimensionné séparément mais la façon de calculerce rapport le rend sans dimension. Tous les critères

utilisés dans ce travail sont calculés sur les champs instantanés puis ils sont moyennés.

2.2 Critère de mélangeFm

Un des indicateurs de mélange utilisé est le critèreFm (équation 4.2) calculé avec la concentrationc(−→x ) au point−→x du champ de concentration. Ce degré de mélange est formulé par Cetegen & Mohamad (1993) en mécanique

des fluide pour étudier la formation d’un tourbillon sur une étude expérimentale dans un canal hydrodynamique.

Fm(t) =4Sc

Z−→x ∈Sc

c(−→x ) ·(1−c(−→x ))dSc (4.2)


En choisisant la surfaceSc équivalente à un pixel, l’équation 4.2 devient facilement calculable avec l’expression

4.3.

Fm(t) = 4·c(−→x ) ·(1−c(−→x )) (4.3)

Ce critère est maximal et tend vers un lorsque la concentration est proche de 0,5. Dans ce cas, la concentration

de chacun des deux fluides est identique. A l’inverse, si la concentration est égale à zéro (concentration du jet

dominante) ou à un (concentration de l’écoulement transverse dominante), le critèreFm est nul. Ce critère identifie

donc les zones de présence des deux fluides que sont l’eau colorée ou l’eau pure. Néanmoins, ce critère ne fait pas

la différence entre les zones mélangées à tout instant et leszones où la concentration varie très rapidement de zéro

à un (zone intermittente) lorsqu’il est appliqué sur le champ moyen de concentration. Afin de s’affranchir de ces

variations, il suffit de calculer le critèreFm à chaque instant et de le moyenner. Cette grandeur moyenne dumélange

< Fm > met donc en évidence des zones où le mélange se fait. Elle peutêtre calculée à partir des statistiques de la

concentration selon l’équation 4.4.

< Fm >= 4· < c(−→x ) > ·(1− < c(−→x ) >)−4· < c′2(−→x ) > (4.4)

Dans cette équation,< c(−→x ) > est la concentration moyenne et< c′2(−→x ) > la variance de la concentration. Dans

cette étude, le critèreFm est calculé sur les champs instantanés de concentration. Ensuite, des moyennes de phase

de ce critère sont présentées en fonction de la période de pulsation afin de comprendre la répartition spatiale de ce

critère.

2.3 Présentation des outils fractals

On nomme fractale, une courbe ou une surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des

règles déterministes impliquant une homothétie interne. Le termefractaleest un néologisme créé par Mandelbrot

en 1974 à partir de la racine latinefractus(irrégulier ou brisé). Le concept mathématique est beaucoup plus ancien

puisque les premiers travaux datent du XIXème siècle lorsque Peano découvrait des objets que l’on n’appréhendait

plus par la géométrie euclidienne. C’est au XXème siècle queles premières théories sont développées avec les

travaux de Cantor ou Hausdorff. Mandelbrot complète et unifie ses théories dans deux ouvrages de référence : la

théorie des fractals (Mandelbrot, 1975) et les fractals dans la nature (Mandelbrot, 1982). Un objet fractal possède

au moins l’une des caractéristiques suivantes :

− Il a des détails similaires à des échelles petites et grandes.

− Il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes de géométriques traditionnels.

− Il est exactement ou statistiquement auto-similaire (toutest similaire à une de ses parties).

− Sa dimension est strictement supérieure à sa dimension topologique.

Par opposition à la dimension topologique introduite par Euclide, qui correspond au nombre de coordonnées as-

sociées aux éléments de l’ensemble, la dimension fractale est une mesure de la complexité ou de l’irrégularité

de l’ensemble. Un exemple historique est la longueur des côtes britanniques. Mandelbrot (1967) publia un article

devenu célèbreHow Long is the coast of Britain ?dans lequel il affirmait que toute côte a une longueur infinie.En

effet, si nous procédons à une reconnaissance aérienne en survolant la côte à des altitudes différentes, les mesures

obtenues seront différentes, puisque plus l’avion descend, plus sont visibles dans les photographies de nouveaux

détails géographiques. Un nombre encore plus grand de détails sera présent dans le parcours (imaginaire) d’un

escargot sur la ligne côtière.

La dimension topologique se traduit, pour une ligne ou une courbe régulière par une dimension de 1, pour un

rectangle par une dimension de 2 et pour un cube par une dimension de 3. En considérant un segment de lon-

gueur 1, il peut être pavé par un nombre fini quelconqueN(r) d’éléments de longueur 1/r. De la même manière,


un rectangle est pavé deN(r) parties d’aires 1/r2 avec un rapport d’homothétie de 1/r. On peut généraliser au

parallélépipède, qui est pavé de 1/r3 parties homothétiques de rapport 1/r. Dans ces trois exemples, la dimension

de l’objet considérée peut être donnée par la puissance du rapport d’homothétie. Cette valeur représente la dimen-

sion topologique de l’objet considéré. Pour une fractale, sa dimension est fractionnaire et elle est caractérisée par

l’équation 4.5. Elle est nomméeD f .

D f =logN(r)log(1/r)

(4.5)

Dans cette équation, 1/r est un rapport d’homothétie etN(r) le nombre d’éléments créé par l’opération d’homo-

thétie.

Les fractals sont répartis en trois catégories :

− Les systèmes de fonctions itérées (ayant une règle de remplacement géométrique fixe).

− Les systèmes définis par une relation de récurrence en chaquepoint de l’espace.

− Les fractales aléatoires, générées par des processus non déterministes.

Des exemples de fractals sont présentés sur les figures 4.7(a) à (c). Par exemple, le flocon de von Koch sur la

figure 4.7(a) est construit en divisant une ligne en trois parties. La partie du centre est remplacée par un triangle

équilatéral et ainsi de suite. Le triangle de Sierpinski sur la figure 4.7(b) est, quant à lui, obtenu en ôtant un triangle

équilatéral inversé par rapport au triangle de base. Le dernier exemple est le pavage de Penrose sur la figure 4.7(c).

Dans la nature, des objets sont également des fractals ayantune structure auto-similaire : les nuages, les flocons de

(a) Courbe de von KochD f = 1,26 (b) Triangle de SierpinskiD f = 1,58 (c) Pavage de PenroseD f = 1,97

FIG. 4.7 – Exemples de fractals ordonnées par dimension de Hausdorff D f

neige, les montagnes, les brocolis par exemple. Si l’on zoome sur une partie d’un de ces objets, on constate qu’il

ressemble à l’objet original. Cette vision n’est plus perceptible par l’oeil humain au-delà d’une certaine échelle.

La mesure de la dimension fractale semble simple lorsque l’on connaît la façon de construire une figure. Cela se

complique lorsque l’on veut déterminer la dimension d’un contour ou d’une surface sans connaître sa construction.

Dans notre étude, l’utilisation de la dimension fractale n’a pas pour but de montrer que le contour du jet constitue

un ensemble fractal parce qu’on ne peut pas l’observer à une échelle plus petite que la précision spatiale liée au

moyen de mesure. Elle est donc utilisée comme paramètre de caractérisation de l’organisation du contour à une

échelle propre à l’image étudiée. Les outils utilisés pour caractériser notre écoulement sont présentés dans la suite

de cette section. Ces outils ont déjà été employés au sein du laboratoire pour comparer les représentations bi- et


tridimensionnelles des sols argileux par analyse d’images(Moreau, 1997). Plus récemment, de Melo (2007) utilise

des critères fractals pour caractériser différents types de texture sur des images prises par satellites ou encore des

radiographies de tumeur.

2.3.1 Dimension de boîte

La dimension de boîte est un paramètre fractal classique pour caractériser la manière dont un objet remplit

l’espace. Elle consiste à déterminer un nombre de lignes, deboîtes ou de cubes (selon la dimension) pour couvrir

respectivement une courbe, une surface ou un volume. Ce nombre d’objets nécessaires est notéN(k) et le côté de

la boîte, du cube ou la ligne est noték. Cela correspond à une boîte d’airek2 ou un cube de volumek3. Pour couvrir

un objet, la dimension de l’élément doit être inférieure ou égale à la dimension de l’objet. De la même façon que

dans l’équation 4.5, la dimension de boîteDB est déterminée par la limite de cette quantité lorsquek tend vers zéro

(équation 4.6). La dimension de boîte mesure la vitesse à laquelleN(k) tend vers l’infini. Plus précisément,N(k)

est proportionnel à log(k).

DB = limk→0

(

logN(k)log(1/k)

)

(4.6)

En pratique, cette dimension est calculée sur des images en noir et blanc. Les images en niveaux de gris sont

binarisées avec une valeur seuil comprise entre zéro et un. La méthode consiste à diviser l’image en un ensemble

de boîtes carrées de taillek. Les boîtes ne doivent pas se recouvrir entre elles. Puis, oncomptabilise le nombre

de boîtesN(k) comportant au moins un élément, c’est-à-dire le nombre de boîtes non vides. On détermine la

dimension de boîteDB par régression linéaire des données sur le graphe logN(k) en fonction de log(1/k) sur

une portion qui semble affine. La dimensionDB est la pente de la droite obtenue. Le même type de calcul peut

aussi caractériser l’image en niveaux de gris. La dimensionde l’élément n’est plus un carré mais un volume où la

troisième composante est le niveau de gris.

2.3.2 Lacunarité

Les paramètres fractals du premier ordre (dimension fractale) mesurent la variation de la distribution lumineuse

avec les changements de résolution. Le but est d’utiliser unparamètre du second ordre pour évaluer l’homogénéité

de la répartition des intensités lumineuses dans l’image. Ce paramètre, appelé lacunarité et notéL(k), est totalement

indépendant des dimensions fractales. Grâce à la lacunarité, deux images de même dimension fractionnaire peuvent

différer énormément. Le calcul de la lacunarité est appliqué sur des images en niveaux de gris. Si l’on suppose

une image totalement homogène, l’intensité lumineuse présente dans l’image est notée ¯c et représente l’intensité

moyenne de l’image. La lacunarité décrit la dispersion des intensités lumineuses réellement présentes dans des

fenêtres de taillek par rapport à ¯c. Elle est montrée dans l’équation 4.7 et traduit une variance à l’échellek.

L(k) =Nb

∑m=0

(

c(m,k)c

−1

)2

(4.7)

Dans cette équation, ¯c(m,k) est l’intensité lumineuse moyenne présente dans la boitem de taillek et Nb est le

nombre total de boîtes recouvrant l’image. La lacunarité est une fonction de trois paramètres : la taille de la boîte

k, la fraction d’occupation de l’espace (rapport des pixels blancs et noirs) et la distribution spatiale de la caracté-

ristique à quantifier. Lorsque la taille de la boîtek augmente, la variance diminue. Ainsi, une même image possède

une lacunarité plus faible lorsquek croît. Un exemple de calcul de lacunarité extrait de Plotnick et al. (1993) est

représenté pour quatre images synthétiques binarisées surla figure 4.9. Ces quatre images ont la même fraction

spatiale occupée par les pixels blancs. La taille des carrésest identique sur chaque image avec de petites formes

sur la figure 4.8(a), des moyennes sur la figure 4.8(b) et de grandes sur la figure 4.8(c) excepté sur la figure 4.8(d)

où l’on distingue deux tailles de structures. La valeur de départ de la lacunarité est identique pour les quatre cas

car elle possède la même fraction d’occupation des pixels blancs. La lacunarité diminue ensuite rapidement vers


(a) Petite (b) Moyenne (c) Grande (d) Mixte

FIG. 4.8 – Exemples d’images synthétiques pour déterminer la lacunarité (Plotnicket al., 1993)

zéro suivant le cas de figure (à la taille de boîte de 36 pour lesgrandes structures, 6 pour les moyennes et 1 pour

les petites). La valeur à laquelle commence cette décroissance correspond à la taille des structures présentes dans

FIG. 4.9 – Résultats des courbes de lacunarité pour les exemplesde la figure 4.8 (Plotnicket al., 1993)

l’image. A l’inverse, l’image mixte présente une courbe de lacunarité différente des exemples simples. Elle est

donc assimilable à un cas fractal dans lequel la courbe est linéaire exceptée à proximité du point où elle est égale

à zéro.

Vehel (1990) établit un rapport de recherche en utilisant lalacunarité et la dimension de boîte pour effectuer

une classification automatique de maladies pulmonaires à partir d’images issues de scintigraphie. La lacunarité est

également appliquée pour différencier les structures avecdes changements temporels dans le transport sédimen-

taire (Plotnicket al., 1996) ou encore la géométrie spatiale dans les milieux poreux hétérogènes (Kimet al., 2007).

Plus récemment, Luo & Lin (2009) comparent des images extraites de tomographie à rayon X de sols poreux avec

la lacunarité. Ils classifient les milieux ayant un transport préférentiel.

Dans notre analyse, la lacunarité permet de mesurer la distribution de trous dans l’image : elle est élevée lorsque

l’image se compose de grands contrastes à l’échellek. A l’inverse, plus l’image est homogène et plus la lacunarité

tend vers zéro. Elle permet également de comparer la valeur àk = 0 afin de classer les écoulements suivant leur

complexité.


2.3.3 Entropie de configuration

Pour caractériser l’organisation d’une image, l’entropieest une grandeur sans dimension, mesurable, qui per-

met d’évaluer l’évolution d’un système entre deux états. Cette notion a été introduite au XIXème siècle pour décrire

l’évolution des systèmes thermodynamiques en caractérisant le désordre du système. En traitement d’images, l’en-

tropie est utilisée pour caractériser le désordre des niveaux de gris d’une image (entropie spatiale). Elle mesure

le manque d’information dans l’image, qui est la différenceentre son entropie et celle du niveau de référence (où

le désordre est maximal). Afin de décrire les propriétés optiques de milieux inhomogènes, Andraudet al. (1994)

utilisent l’entropie de configuration géométriqueH(k) dans l’équation 4.8 sur des représentations binaires.

H(k) = −k2

∑n=0

P(n,k) · logP(n,k) (4.8)

Dans cette équation,P(n,k) est la probabilité qu’il y aitn points dans une boîte de taillek (n varie entre zéro etk2

points au maximum). Par exemple, pour des tailles de boîtek de 4 pixels (16 pixels au total dans la boîte), il existe

17 probabilités de présenceP(n,k) que la boîte contienne 0 pixel blanc jusqu’à être remplie complètement de 16

pixels blancs. Afin de pouvoir comparer les valeurs suivant le cas, l’entropie est normalisée par sa valeur maximale

théorique selon l’équation 4.9.

H∗(k) =H(k)

log(k2 +1)(4.9)

L’entropie est représentée en fonction de la dimensionk de la boîte d’observation. Cette courbe de l’entropie passe

par un maximumH∗max correspondant à une valeur dek optimum appeléelopt (longueur caractéristique). Elle dé-

termine la taille de la fenêtre de l’image dans laquelle il faut l’étudier pour recueillir un maximum d’information.

Cette fenêtre optimale peut être considérée dans une image avec des motifs périodiques comme le motif de base

du milieu. Cela équivaut à déterminer la taille de boîtekopt pour laquelle le désordre est maximum dans l’image.

Un exemple extrait de Andraud (1996) est présenté sur la figure 4.10(a) représentant des images simulées de

disques de diamètre 11 pixels. Ces images sont générées avecdes concentrations différentes comprises entre 0,1 et

(a) Images simulées de concentrations différentes (b) Entropie de configuration normalisée calculée sur l’image deconcentration 0,3

FIG. 4.10 – Exemples de calcul de l’entropie de configuration surdes images simulées (Andraud, 1996)


0,9. Un exemple de courbe d’entropie de configuration normalisée est présenté sur la figure 4.10(b) pour l’image

à une concentration de 0,3. L’entropie maximaleH∗max atteint 0,92 pour une longueur optimalelopt de 21 pixels.

Ces valeurs optimales sont présentées sur la figure 4.10(a) en dessous des images simulées. On peut constater

que la longueur optimale est minimale pour une concentration de 0,5 ce qui correspond à une entropie maximale.

Ces deux grandeurs évoluent donc en sens inverse. La longueur caractéristique possède l’avantage de donner une

mesure non ambiguë puisque l’entropie normalisée présenteune valeur maximale très nette. D’un point de vue phy-

sique, l’entropie génère des variations qui s’expliquent très simplement : un milieu très ramifié, très désordonné a

une longueur optimale très petite dans l’image (il faudra leconnaître dans son détail afin de le caractériser) et à

l’inverse un milieu dilué ne nécessite qu’une analyse à plusgrande échelle.

Dans notre étude, la détermination de l’entropie de configuration consiste à recouvrir la totalité de l’image par

des boîtes de taillek sans recouvrement des boîtes entre elles. Ensuite, on calcule la probabilité de présenceP(m,k)

qu’il y ait m points de l’objet dans une fenêtre de taillek. On réitère l’opération pour des boîtes de taille variable

afin de déterminer le graphiqueH∗(k) en fonction dek.

2.4 Taux de production du gradient de concentration

Un autre critère de mélange est le taux de production du gradient de concentrationΓ. Il nécessite la connais-

sance de la vitesse, de la concentration et de leurs gradients en un point de l’écoulement. Il est à rappeler que nos

mesures couplées ne sont pas tout à fait simultanées. Effectivement, le champ de vitesse est calculé entre les deux

images de particules alors que le champ de concentration estobtenu sur le premier pulse laser des deux flashs de

SPIV. Les mesures de vitesse et de concentration sont donc espacées de 10 ms ce qui correspond à un déplace-

ment de 0,04 pixels pour la vitesse maximale. Ce déplacementest donc négligeable et les champs sont considérés

comme simultanés.

Dans un écoulement, l’étirement local est dû exclusivementau tenseur des déformations qui est la partie sy-

métrique du gradient de vitesse. Ce gradient de vitesse se décompose en deux tenseurs :⇒

∇V=⇒S +

⇒Ω avec

⇒S le

tenseur des déformations (partie symétrique) et⇒Ω le tenseur de rotation (partie anti-symétrique). Ils s’expriment

en fonction du gradient de vitesse et de sa transposée (équation 4.10).

⇒S=

12(⇒

∇V +(⇒

∇V)T)⇒Ω=

12(⇒

∇V −(⇒

∇V)T) (4.10)

Il est possible de décrire l’évolution d’un gradient dans unchamp de concentration convecté par un écoulement

en utilisant la description cinématique de celui-ci. Pour étudier la production du gradient de concentration, Ottino

(1989) propose une relation entre le gradient de concentration et le champ de vitesse par l’intermédiaire du tenseur

des déformations⇒S. Le changement instantané du gradient de concentration estdonné par l’équation 4.11.

γ(−→x , t) =∂η∂t

= −η ·−→mT ⇒S−→m (4.11)

Dans cette équation,η est la norme du gradient de concentration et−→m =−→∇C/η (vecteur unitaire du gradient de

concentration). Ce critèreγ(−→x , t) est une production locale donc dépendante de l’espace et du temps. L’évolution

de la production du gradient de concentration dans le temps est obtenue en intégrant cette relation sur l’espace

(équation 4.12).

Γ(t) =Z−→x ∈Sc

γ(−→x , t)dSc (4.12)

Ce critère montre que le transport purement convectif d’un scalaire passif est lié à l’étirement d’un fort gradient

de concentration. Il quantifie l’étirement le long de fort gradient de concentration. Il est responsable du mélange

lorsqu’il est associé au repliement. Betaet al. (2003) observent dans leur écoulement turbulent des structures qui

3. Applications des outils de quantification au jet pulsé dans un écoulement transverse 115

s’étendent et s’étirent au cours du temps. Ces mécanismes tendent à maximiser la longueur de l’interface entre les

régions mélangées ou non. Ils sont responsables de la production du gradient de concentration. C’est pourquoi son

évolution est importante et peut être reliée à la longueur demélangeL j .

3 Applications des outils de quantification au jet pulsé dans un écoule-ment transverse

Cette partie présente tout d’abord des statistiques des critères précédemment développés obtenus sur les champs

instantanés de vitesse et de concentration issus des mesures couplées dans le plany/L = 0 afin de quantifier le mé-

lange. Ensuite, l’évolution spatiale de ces critères identifie les régions où le mélange domine. Le champ de vitesse

permet également d’expliquer la présence des zones de mélange dans l’écoulement. Enfin, le plan orthogonal

x/L = 3,95 est étudié afin de quantifier le mélange dans la direction transversale du jet.

3.1 Mélange dans le plan longitudinal à l’écoulement

Le premier critère utilisé est le contour du jet. Cette quantité est calculée avec différents seuilscs et elle est pré-

sentée sur la figure 4.11(a) pour les trois écoulements pulsés et le jet continu. Plus le périmètre est important, plus

cs

<L j>

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

15

20

25

30

35

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hzjet continu

(a) Contour adimensionné du jet< L j >

t/T

L j

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

20

25

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(b) ContourL j en fonction d’une période de pulsation

FIG. 4.11 – Grandeurs de mélange calculées dans le plan médiany/L = 0 en fonction du seuilcs pour les troisfréquences

il y a de mise en contact des fluides non mélangés et plus les processus diffusifs sont efficaces. Un contour signi-

ficatif indique donc une opportunité plus importante pour leprocessus de mélange. Pour le jet continu, le contour

du jet croît jusqu’à un seuil de 0,7 puis il amorce une décroissance. Cette augmentation s’explique par le fait que

le jet a commencé à se mélanger avec l’écoulement transverse. Ainsi, lorsque la concentration seuil est faible, la

frontière du jet peu mélangé présente une longueur plus faible que celle du jet avec un peu plus de fluide provenant

de l’écoulement transverse. A l’inverse pour les 3 fréquences de pulsation, le seuilcs a la même influence sur le

contour car la variation entre les différents cas est constante. Cela se traduit par un parallélisme des courbes entre

elles. Seul, le jet à 1 Hz présente un morcellement supérieurde sa surface pour le seuil de 0,8 où il croît. Cela se

traduit par la présence d’une zone dans le sillage du jet soussa frontière inférieure où la concentration est comprise

entre 0,7 et 0,8. Dans cette zone, les structures sont de plusen plus complexes avec l’augmentation du seuil. Le

contour du jet à 0,25 Hz est supérieur aux deux autres cas (environ 40%). Il est plus important lorsque la fréquence


d’excitation est faible. Cela peut être expliqué par une pénétration plus importante du jet dans l’écoulement trans-

verse, des périodes d’injection distinctes et bien séparées. Au contraire, les jets à 1 Hz et 10 Hz se courbent plus

rapidement dans l’écoulement et le jet est seulement délimité par une frontière inférieure et supérieure. L’évolu-

tion inverse entre le jet continu et les jets pulsés peut êtreexpliquée par les champs moyens de concentration sur

les figures 4.3(a) à (d). On retrouve sur les trois écoulements pulsés une zone de faible concentration sous le jet

alors que le jet continu présente une protubérance avec une valeur de 0,7 correspondant au seuil maximal avant sa

décroissance. Les jets pulsés présentent donc un mélange plus rapide que le cas non forcé avec la formation des

tourbillons formés par l’excitation du jet dès leur sortie de l’orifice carré. Le contour est représenté pour un seuil

de 0,7 sur une période de pulsation adimensionnéet/T sur la figure 4.11(b). Le maximum du contour est obtenu

lors du maximum de vitesse sur la période d’injection pour lejet à 0,25 Hz. Pour les deux autres jets à 1 et 10 Hz,

le contour n’évolue pas dans le temps ou très peu.

La surface< Sj > du jet est présentée sur la figure 4.12(a) pour les trois jets pulsés ainsi que pour le jet

continu. Cette surface, définie par le fluide du jet, est une fonction croissante du seuilcs. La pente de ces courbes

cs

<S

j>

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.81

2

3

4

5

6

7f=0,25Hzf=1Hzf=10Hzjet continu

(a) Surface adimensionnée du jet< Sj >

cs

<L j/S

j1/2>

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.85

10

15

20


(b) Rapport< L j/√

Sj >

FIG. 4.12 – Grandeurs calculées dans le plan médiany/L = 0 pour les trois fréquences

est quasiment égale pour les quatre cas étudiés. L’augmentation de la surface en fonction du seuil s’explique par

la prise en compte progressive de la fraction de fluide provenant de l’écoulement transverse. La surface maximale

est déterminée pour le jet à 0,25 Hz. En dessous de ces valeurs maximales, les surfaces des jets à 1 et 10 Hz sont

quasiment égales pour tous les seuils étudiés. On retrouve la surface du jet continu avec une valeur inférieure à

celle des écoulements pulsés. La surface traduit une aire des écoulements pulsés à un seuilcs donné supérieure à

celle de l’écoulement non forcé, allant dans le sens d’une quantité de mouvement injectée supérieure dans les cas

pulsés. Au niveau des écoulements forcés, la différence dessurfaces peut être provoquée par une augmentation du

jet dans la direction transversale et donc une diminution desa section dans le plan médiany/L = 0.

Enfin, le rapport entre le contour et la racine carrée de la surface du jet< L j/√

Sj > est présenté sur la figure

4.12(b). Sachant que la surface pour les quatre écoulementsaugmente en fonction du seuil, on retrouve la même

tendance pour le rapport< L j/√

Sj > que pour le contour du jet. L’écoulement le plus complexe estle jet continu

avec une augmentation de son rapport sur les seuils étudiés jusqu’à 0,7. Cela correspond aux observations précé-

dentes sur une surface plus faible et une longueur de fluide non mélangée en augmentation. Pour les écoulements

pulsés, il apparaît que l’écoulement le plus complexe est lejet pulsé à 0,25 Hz pour tous les seuils. Ceci semble


cohérent car son contour est relativement supérieur aux deux autres cas pulsés. Le jet à une fréquence de 10 Hz est

l’écoulement le plus régulier par rapport aux trois fréquences d’excitation.

Dans la suite de ce chapitre, les différents critères ont étécalculés en fonction du même seuilcs. Au-dessus du

seuil de 0,8 et en dessous de 0,2, l’image seuillée ne représente plus la globalité de l’écoulement. Le seuil de 0,7

est choisi comme seuil représentatif des différents écoulements.

log(1/k)

log

N(k

)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

DB=1,27

FIG. 4.13 – Graphe logN(k) en fonction de log(1/k) afinde déterminerDB pour un champ instantané du jet pulséà 0,25 Hz

La dimension fractale de boîteDB est calculée sur

des images de dimension 1024×512. Le filtre Lapla-

cien a été appliqué pour en extraire le contour de la

surface seuillée. L’image est recouverte de boîtes de

différentes dimensions égales à 2k aveck variant de 0 à

8. Pour chaque image,N(k) est déterminé en comptant

le nombre de boîtes non vides en fonction de la di-

mension de la boîte. Enfin, une régression linéaire du

graphe logN(k) en fonction de log(1/k) permet d’ob-

tenir la dimension fractaleDB. Un exemple est pré-

senté sur la figure 4.13 pour un champ instantané du jet

pulsé à 0,25 Hz. Cette dimension permet de quantifier

une propriété du contour du jet. La dimension fractale

pour la fréquence de 0,25 Hz est présentée sur la fi-

gure 4.14(a) en fonction du numéro de l’image servant

au calcul. L’histogramme de la figure 4.14(b) indique

la répartition des dimensions fractales pour les 5050

images de contour du jet pour cette même fréquence

de 0,25 Hz. La dimension fractale est de 1,236 avec un écart-type de 0,015. Le tableau 4.1 rassemble les résultats

pour les trois fréquences de pulsation. Le classement des dimensions fractales par ordre décroissant est 0,25 Hz,


dim

ensi

onfra

ctal

eD

B

1000 2000 3000 4000 50001.1

1.15

1.2

1.25

1.3

Dimension fractale moyenne : <D B> = 1,236Ecart-type = 0,015

(a) Dimension fractale

dimension fractale D B

1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28

200

400

600

800

1000

1200

(b) DistributionDB

FIG. 4.14 – Dimension de boîteDB et sa distribution pour le jet pulsé à 0,25 Hz

1 Hz et 10 Hz. Cette dimension donne la même information que lecontour du jet. A un seuil de 0,7, la dimension


Fréquencef Dimension fractale< DB > Coefficient régression Ecart-type0,25 Hz 1,236 0,993 0,015

1 Hz 1,195 0,994 0,01710 Hz 1,184 0,995 0,030

TAB . 4.1 – Statistiques sur les dimensions fractales calculéespour les 3 fréquences de pulsation

dominante extraite du contour est déterminée pour le jet pulsé à 0,25 Hz alors que les deux autres dimensions sont

proches. Cette dimension quantifie l’irrégularité de la frontière du jet et donc elle peut être considérée comme une

opportunité de mélange entre les deux fluides.

En conclusion, il apparaît que le jet avec le plus grand contour est aussi l’écoulement possédant la dimension

fractale la plus grande calculée sur le contour. Ces deux critères prouvent que le jet à une fréquence de 0,25 Hz

possède une opportunité de mélange supérieure aux deux autres cas sur le plan longitudinal à l’écoulement. Le

rapport< L j/√

Sj > classe cet écoulement comme le plus complexe. Le jet à une fréquence de 10 Hz s’avère être

le plus régulier. Il est donc considéré comme le plus homogène.

3.2 De la concentration au mélange dans l’écoulement

Les critères utilisés pour quantifier le mélange dans l’écoulement sont le critère de fraction de mélangeFm et

la production du gradient de concentrationΓ. La production du gradient de concentration est une grandeur mesu-

rant l’étirement dans les zones de forts gradients et donc elle est à relier à la longueur de mélangeL j . Ce critère

est intéressant car il fait le lien entre les champs de concentration et de vitesse. Le deuxième critère quant à lui

quantifie le mélange entre les deux fluides dans l’écoulementavec la connaissance du champ de concentration. Ils

sont présentés sur les figures 4.15(a) et (b) pourΓ(t) et Fm(t) respectivement pour les trois écoulements pulsés et

le jet continu.Γ évolue sur une période de pulsation pour le cas à 0,25 Hz et il est quasi-constant pour les deux

autres fréquences. Dans ce cas, le maximum est détecté durant la phase d’injection du fluide. Cela est comparable

au maximum du contourL j pour le seuil de 0,7 sur la figure 4.11(a). Le jet à 0,25 Hz présente une valeur deΓ

t/T

Γ(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

15

20

25

30

35


(a) CritèreΓ(t)

t/T

Fm(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.16

0.18

0.2

0.22

0.24


(b) CritèreFm(t)

FIG. 4.15 – Grandeurs de mélange calculées dans le plan médiany/L = 0 pour les trois fréquences de pulsationainsi que pour le jet continu en fonction de la période de pulsation adimensionnée


plus importante que les trois autres écoulements sur toute la période de pulsation traduisant un étirement plus im-

portant dans les zones de fort gradient de concentration. CecritèreΓ pour le jet continu est quasiment équivalent à

celui pour le jet à 1 Hz. Ces deux écoulements ont une valeur deΓ supérieure au jet à 10 Hz. Il apparaît donc une

opportunité de mélange des deux fluides dans l’écoulement pour une valeur dominante deΓ. A l’inverse, le critère

de fraction de mélangeFm présente l’écoulement avec les zones les plus mélangées surle champ de concentration

globale. Il apparaît clairement que la fréquence de 10 Hz possède un taux de mélange plus important que les deux

autres fréquences de pulsation (environ 30%). L’écoulement non forcé se place entre ces deux limites et possède

un taux de mélange inférieur de 14%. Enfin, le critèreFm pour la fréquence de 0,25 Hz est supérieur à celui de la

fréquence de 1 Hz sur les trois quarts de la période de pulsation. Seulement pour cette fréquence, on retrouve une

variation sur la période de pulsation avec un palier pour le taux de mélange sur une demi-période d’injection. Cette

période correspond à la phase de pulsation du jet.

Pour les outils fractals, la lacunarité et l’entropie de configuration ont été également calculées sur ces trois

fréquences de pulsation dans le plan longitudinal à l’écoulement. Pour ces deux critères, les boîtes utilisées ont une

taille en puissance de 2 allant de 1 à 512. La lacunarité est appliquée sur les champs de concentration normalisée

comprise entre zéro et un. L’entropie de configuration, quant à elle, est obtenue avec la probabilité de présence

déterminée sur les images binarisées. Ces grandeurs sont calculées sur les champs instantanés et une moyenne sur

le nombre d’instants est effectuée. Elles sont présentées sur les figures 4.16(a) et (b) en fonction de log(k) et dek

respectivement pour la lacunarité et l’entropie de configuration. La lacunarité mesure l’homogénéité de l’image par

log(k)

L(k)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(a) LacunaritéL(k) en fonction de log(k)

k

H* (k

)

100 200 300 400 500

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(b) EntropieH∗(k) en fonction dek

FIG. 4.16 – Paramètres de mélange pour les trois fréquences de pulsation

rapport à la concentration moyenne. Cette grandeur peut être comparée au critère de mélangeFm qui caractérise les

zones les plus mélangées donc ayant une variation de concentration importante. Le jet à une fréquence de 10 Hz

possède une lacunarité supérieure aux deux autres. Cette augmentation est constante jusqu’à une taille de boîte de

64×64 pixels et elle se situe aux alentours de 35%. Pour les deux autres fréquences de pulsation, la lacunarité

est légèrement supérieure pour la fréquence de 1 Hz comparéeà la fréquence de 0,25 Hz. Ce critère de lacunarité

donne un résultat similaire au critère de mélangeFm pour lequel le jet à une fréquence de 10 Hz possède un taux

de mélange global plus important que les deux autres écoulements où il est quasiment identique.

L’entropie de configuration caractérise le désordre dans l’image. Elle est représentée sur la figure 4.16(b) en

fonction de la taille de la boîtek. Le critère croît sur la première partie, passe par un maximum H∗max et décroît

ensuite vers zéro. Le maximum correspond à la taille de la boîte où le désordre est optimal dans l’image. Sachant

que l’entropie est normalisée, ces trois valeurs peuvent être comparées entre elles. L’écoulement ayant l’entropie


la plus grande peut être considérée comme celui étant le plusdésordonné. Il apparaît que l’on retrouve le même

classement que pour les rapports< L j/√

Sj > qui caractérisent l’écoulement le plus complexe. Le jet à 0,25 Hz

est le plus désordonné avec un maximum de 0,31, suivi par le jet à 10 Hz avec une valeur de 0,28 et 1 Hz avec

une valeur de 0,26. Ce maximum est localisé pour une valeur dekopt de 62, 73 et 67 respectivement pour le jet à

0,25 Hz, 10 Hz et 1 Hz. Il a été affiné avec des tailles de boîtes proches de la taille optimale. Ces trois dimensions

sont assez proches l’une de l’autre et correspondent à des valeurs maximales de l’entropie de configuration très

faibles. Effectivement, on retrouve des zones noires dans l’image sans présence de contour. Ces faibles valeurs

indiquent une image peu désordonnée et traduisent une échelle caractéristique du désordre pour des tailles de boîte

d’environ 0,4L. Seule la valeur maximale de l’entropie est intéressante dans cette étude et la valeur dekopt n’a pas

pu être interprétée.

Ces différents critères quantifient le mélange mais pas sa répartition spatiale. L’évolution de ces scalaires dans

le temps ne permet pas de comprendre le mécanisme lié à l’étirement tourbillonnaire et aux zones de mélanges. Des

champs moyennés en phase de critèreγ(~x, t) etFm(~x, t) sont présentés pour les trois fréquences à des instants diffé-

rents pour quantifier la répartition spatiale de ces critères. Sur les deux critères présentés, le jet pulsé à 0,25 Hz est

le seul pour lequel la variation temporelle est non négligeable. Les figures 4.17(a) à 4.17(f) présentent l’évolution

des deux critères pour cette fréquence afin de comprendre le processus de mélange. Il apparaît que les régions po-

sitives du critèreγ(~x, t) représentent les couches de cisaillement dans l’écoulement alors que les régions négatives

ont tendances à être localisées lors de la formation tourbillonnaire. Ces dernières sont les zones qui contribuent le

plus au mélange avec la formation de tourbillons impliquantun entraînement du fluide de l’écoulement transverse.

Ces zones négatives représentent donc des zones de mélange quasi-instantanées, à l’inverse des zones rouges qui

impliquent la formation de région où le mélange s’effectuera plus loin dans l’écoulement. A l’instantt/T = 0,4

sur la figure 4.17(a), les vitesses du jet et de l’écoulement transverse sont quasiment égales. La vitesse du jet passe

par un palier avant de devenir plus importante que celle du courant principal. Les zones de fort cisaillement do-

minent l’écoulement correspondant à un critèreΓ maximal à cet instant sur la figure 4.15(a). La bouffée de fluide

s’étant échappée de la période de pulsation précédente est visible sur la figure 4.17(b) par une zone rouge située

à x/L = 1. Le tourbillon formé à l’aval de la sortie du jet se scinde endeux à cause d’une zone de cisaillement.

Cette zone bleue sur le champ deγ(~x, t) provient du fluide hors plan car elle apparaît progressivement pendant la

période d’injection. Elle se développe entre l’abscissex/L = 1 etx/L = 2 sur la figure 4.17(c). Cette augmentation

de la zone négative implique une diminution deΓ entre les instantst/T = 0,4 et t/T = 0,6 et se traduit par une

augmentation de la zone de mélange sur la figure 4.17(d). Cette zone est convectée ensuite dans l’écoulement et

tend à disparaître sur la figure 4.17(f). Le critèreΓ passe par un deuxième maximum sur la figure 4.15(a) impli-

quant que les régions négatives sont moins présentes sur leschamps deγ(~x, t) sur la figure 4.17(e). La poussée du

fluide atteignant son maximum àt/T = 0,72, une région négative proche de la sortie du jet est également localisée

à cause de la diminution de ce critère sur la période de pulsation jusqu’àt/T = 1. Enfin la vitesse du jet devenant

inférieure à celle du courant principal, le cisaillement reprend ses droits sur les régions tourbillonnaires. Le critère

augmente entret/T = 0 ett/T = 0,4.

Pour les deux autres cas pulsés, les figures 4.18(a) et (b) pour le jet à 1 Hz ainsi que les figures 4.19(a) et (b)

pour le jet à 10 Hz présentent les champs moyennés en phase descritèresFm(~x, t) et γ(~x, t). Un seul instant sur la

période de pulsation est choisi car la variation temporellede ces critères est faible. Pour la fréquence de 1 Hz, le

critèreΓ est localisé dans sa partie positive autour des zones de formation tourbillonnaire. Les zones négatives de

ce critère représentent la location des tourbillons liés à la pulsation du jet. Cette organisation est visible sur la figure

4.18(a). Les zones deΓ positives représentent également le cisaillement entre lejet et l’écoulement transverse sur

la frontière supérieure du jet. Par analogie, la présence dutourbillon formé à la fréquence de 1 Hz implique une


(a) γ(~x, t) - t/T = 0,4 (b) Fm(~x, t) - t/T = 0,4

(c) γ(~x, t) - t/T = 0,6 (d) Fm(~x, t) - t/T = 0,6

(e) γ(~x, t) - t/T = 0,78 (f) Fm(~x, t) - t/T = 0,78

FIG. 4.17 – Moyennes de phase dans le plany/L = 0 pour f = 0,25 Hz

(a) γ(~x, t) - t/T = 0,8 (b) Fm(~x, t) - t/T = 0,8

FIG. 4.18 – Moyennes de phase dans le plany/L = 0 pour f = 1 Hz


région de fort critèreFm sur la figure 4.18(b). Le critère de mélange est étendu dans lesillage du jet mais avec une

zone d’intensité de l’ordre de 0,6 entourée de zone de plus faible intensité. Ces contours d’intensité ne sont pas

identifiables en dessous d’une certaine hauteur proche de laplaque plane. La plus forte intensité se situe à la sortie

du jet àx/L = 1,2. Elle est conditionnée par la pulsation. De la même façon pour la fréquence de 10 Hz, la région

(a) γ(~x, t) - t/T = 0,95 (b) Fm(~x, t) - t/T = 0,95

FIG. 4.19 – Moyennes de phase dans le plany/L = 0 pour f = 10 Hz

négative deΓ met en évidence la région de formation tourbillonnaire. A lavue de ces champs moyennés en phase,

le critèreγ(~x, t) représente l’instabilité de couche de cisaillement dans sapartie positive et la zone tourbillonnaire

due à la pulsation dans sa partie négative sur la figure 4.19(a). Le tourbillon n’est pas distinguable à l’aval de la

sortie du jet mais une ligne courbe représentant la frontière inférieure jusqu’à une hauteur dez/L = 0,5. Le critère

Fm est maximal dans cette zone de courbure du jet. Le mélange estégalement présent sous le jet de la plaque plane

à sa frontière inférieure avec des zones de plus fortes intensités que le jet pulsé à 1 Hz sur la figure 4.19(b).

Enfin, les figures 4.20(a) et (b) présentent les résultats pour le jet continu. On ne retrouve aucune zone négative

(a) γ(~x, t) (b) Fm(~x, t)

FIG. 4.20 – Grandeurs de mélange calculées dans le plan longitudinal à l’écoulement pour le jet continu

du critèreΓ sur la figure 4.20(a) impliquant un mélange qui ne s’effectuepas directement au niveau de la sortie du

jet. La partie la plus mélangée est localisée dans le sillagedu jet avec une zone de forte intensité à la formation des

tourbillons sur la couche cisaillée inférieure du jet àx/L = 1,5.

Le mélange entre le jet et l’écoulement transverse se développe depuis la sortie du jet jusqu’à la limite de l’écou-

lement à droite du domaine. Le critère de mélangeFm est calculé sur des bandes verticales de largeurx/L = 1/3

afin de caractériser son évolution spatiale et est présenté sur la figure 4.21. On peut observer une forte augmen-

tation de ce critère dès l’abscissex/L = 0. Pour le jet continu et le jet à 10 Hz, on observe une forte croissance


x/L

<F

m>

0 1 2 3 4 5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


FIG. 4.21 – Evolution du critère de mélangeFm en fonction dex/L

jusqu’au pointx/L = 2 liée à la zone fortement mélangée sous le jet. Pour les deux autres fréquences, la fraction

de mélange croît plus lentement. Sur la portion entrex/L = 2 etx/L = 3, on observe une décroissance de ce critère

pour le jet continu et le jet à 10 Hz liée à l’instationnarité de la zone de recirculation. Cette décroissance s’arrête à

x/L = 3, lieu où le tourbillon en fer à cheval se reconnecte. On retrouve pour le jet à 10 Hz le lieu où les fluctua-

tions turbulentes ne sont plus visibles dans la zone de faible vitesse sous le jet. Pour le jet continu et le jet à 10 Hz,

l’inversion de la pente après l’abscissex/L = 3 correspond à l’étirement induit de l’enroulement tourbillonnaire

du jet. Cette augmentation est plus importante dans le cas non forcé. Pour les jets à 0,25 et 1 Hz, on distingue une

augmentation constante sur toute la longueur d’évolution du critère avec une légère diminution pour le jet pulsé à

10 Hz. L’évolution du critère de mélangeFm montre que l’excitation du jet à une fréquence importante provoque

un mélange plus rapide dans l’écoulement dans le plan médiany/L = 0. Néanmoins, l’extension du scalaire dans

la direction transversale ne permet pas de conclure sur une amélioration du mélange dans l’écoulement.

En conclusion, il apparaît que le critèreγ(~x, t) tend à présenter l’endroit où la formation tourbillonnaireliée à la

pulsation se forme. Par analogie, le critèreFm(~x, t) présente cette zone comme le départ de la zone la plus mélangée

dans l’écoulement pour les trois cas pulsés. A l’inverse pour le jet non forcé, le critèreFm(~x, t) est dominant à la

formation des tourbillons sur la frontière inférieure du jet. Le jet à 10 Hz est celui où le critèreFm propose un taux

de mélange plus important par rapport aux trois autres cas. Le champ de ce critère permet de distinguer des zones

mélangées plus grandes et de plus forte intensité que sur lesdeux autres cas. Le critèreFm tient compte des effets

tridimensionnels, alors queΓ n’en tient pas compte ce qui indique que les zones mélangées sous le jet sont liées

à ces effets. Le champ de vitesse permet également d’extraire des informations pertinentes pour comprendre la

répartition du processus de mélange.

3.3 Statistiques vitesse-concentration

Les critères utilisés lors de l’étude du mélange permettentd’obtenir des conclusions sur la répartition et le taux

de mélange dans l’écoulement. Il apparaît que le jet à une fréquence de 10 Hz possède le meilleur taux de mélange

comparé aux deux autres cas. D’un point de vue spatial, les zones les plus mélangées sont localisées sous le jet

avec des maximums lors de la formation des tourbillons liés àl’excitation du jet. Afin de comprendre plus en détail

le processus de mélange, le champ de vitesse est nécessaire.Un critère déjà utilisé pour déterminer la présence


de tourbillons dans l’écoulement est le critèreQ2D. Dans une zone positive de ce critère, le taux de rotation est

supérieur au taux de déformation et prédit donc la présence d’un tourbillon dans l’écoulement. Pour les champs de

concentration, le critèreFm déjà utilisé quantifie les zones de mélanges de l’écoulement. En multipliant ces deux

grandeurs, on obtient un critèreQFm qui est maximal dans les zones tourbillonnaires lorsque la concentration en

un point est constituée identiquement des deux entités que sont le jet et l’écoulement transverse.

Les figures 4.22(a) à (f) à gauche présentent le critèreQFm pour les fréquences de 0,25 Hz, 1 Hz et 10 Hz de

haut en bas respectivement. Ces champs sont les moyennes de ce critère calculées sur les champs instantanés de

vitesse et de concentration. Lorsqu’il est positif, le champ QFm quantifie les régions où le taux de mélange domine

(a) QFm - f = 0,25 Hz (b) v′c′ - f = 0,25 Hz

(c) QFm - f = 1 Hz (d) v′c′ - f = 1 Hz

(e) QFm - f = 10 Hz (f) v′c′ - f = 10 Hz

FIG. 4.22 – Grandeurs couplées de concentration-vitesse pour les trois fréquences de pulsation (critèreQFm àgauche et transport des fluctuationsv′c′ à droite)

l’écoulement en présence de zone tourbillonnaire. Sur la figure 4.22(a), une partie positive d’intensité forme le

contour d’un cône s’élevant jusqu’à environz/L = 1. Puis, un contour d’intensité plus grande tend à se courber

avec l’écoulement au-dessus de ce cône. De plus, deux régions fortement intenses sont présentes à l’amont et


l’aval de la sortie du jet àx/L = 0 etx/L = 1. La zone à l’aval de la sortie du jet apparaît plus intense que la zone

en amont. Ces deux zones quantifient la formation tourbillonnaire en sortie du jet. Son évolution est représentée

par le contour du cône. Son sommet correspond à la fusion des deux tourbillons ce qui explique l’augmentation

d’intensité de ce critère sur un demi-diamètre de long à partir du sommet du cône. Leur appariement est ensuite

convecté par l’écoulement transverse. Le champ de vitesse sous le jet présente une zone de vitesse moyenne as-

cendante convectant les structures vers la frontière supérieure du jet. Les deux autres fréquences présentent des

aspects différents du critèreQFm. Pour la fréquence de 1 Hz, la zone de forte intensité correspond à la formation

tourbillonnaire à la fréquence d’excitation du jet sur la figure 4.22(c). Un contour allant de cette zone intense

jusqu’à l’abscissex/L = 2 en suivant la frontière inférieure du jet délimite la seulezone positive de ce critère.

Deux petites zones négatives entourent la formation tourbillonnaire correspondant à une zone de cisaillement de

l’écoulement. Pour la fréquence de 10 Hz, on retrouve la mêmeconfiguration que la fréquence de 1 Hz mais avec

une intensité plus importante sur la frontière inférieure du jet allant jusqu’àx/L = 2 sur la figure 4.22(e). Cette

forte zone tourbillonnaire combinée à une forte zone du tauxde mélange est le point d’entrée pour la formation

du mélange. La moyenne de la vitesse ne présente pas de composante ascendante. Le mélange s’étend donc de la

plaque plane à la frontière supérieure du jet sur la figure 4.19(b). De plus, cette zone n’est pas influencée par la

vitesse ascendante et longitudinale, les structures s’y créant ont tendance à stagner sous le jet. Des phénomènes

lents sont donc liés à cette fréquence de pulsation et peuvent influer les résultats. Ce type de conclusion a déjà

été évoqué dans le chapitre précédent avec la forte dissymétrie des tourbillons contrarotatifs observés dans le plan

orthogonal à l’écoulementx/L = 4.

Le second critère utilisé est le transport turbulent des fluctuations de vitessev′c′ où v′ est la fluctuation de la

composante hors plan de mesure. Les champs moyens dev′c′ calculés avec les champs instantanés de vitesse et

de concentration sont présentés sur les figures 4.22(a) à (f). Pour la fréquence de 0,25 Hz, les zones de transport

turbulent sont très intenses. Une petite zone se situe à la sortie du jet. Elle implique un transport du tourbillon

formé par l’excitation dès sa formation. Ensuite, une fortezone se situe sous le jet entre les abscissesx/L = 1 et

x/L = 3 sur la figure 4.22(b). Cette forte zone de variation indiqueun transport de la fluctuation de concentration

hors du plan de mesure. A cette fréquence, le mélange apparaît fortement tridimensionnel. Le jet à 1 Hz présente

deux zones de moyenne intensité du critèrev′c′ sur la figure 4.22(d). Ces zones sont couplées avec des zones de

fortes vitesses ascendantes. Les fluctuations de concentration sont donc convectées modérément dans la troisième

direction du champ tridimensionnel. Comme la fréquence de 0,25 Hz, le tourbillon en sortie du jet est également

compris dans une petite zone de transport turbulent. A l’inverse, le jet à 10 Hz ne présente pas cette zone de

transport à la création du tourbillon en aval. Seule, une zone de fort transport turbulent se situe àx/L = 2,5. Cette

zone est matérialisée par de très faibles vitesses favorisant la diffusion du mélange. Au contraire pour la fréquence

de 1 Hz, cette zone est composée de vitesse ascendante plus importante favorisant le transport des poches de fluide.

3.4 Extension du mélange dans le plan orthogonal à l’écoulement

Après les manipulations couplées de vitesse et de concentration, un problème inhérent à l’enregistrement des

données a été constaté. Lorsque l’on visualise une série d’images dans le plan orthogonal, on observe la propaga-

tion de colorant s’écoulant dans le sens de l’écoulement transverse en plus du plan de mesure. Sa concentration

est très faible mais suffisante pour fausser les résultats sur le critère de mélange et les outils fractals. Cette concen-

tration est due à l’excitation de la Rhodamine 6G hors du plande mesure. Dans le chapitre sur les techniques de

mesures, la fluorescence hors plan est décrite et une évaluation de celle-ci est faite dans le plan longitudinal à

l’écoulement. Cette valeur est déduite également sur le plan orthogonal à l’écoulement et les profils de concentra-

tion à leur intersection sont cohérents. Il semble que cettevaleur sous-estime la fluorescence hors plan dans le plan

orthogonal. De plus, la caméra pour l’enregistrement des images est localisée avec un angle par rapport au plan


laser. Elle traverse donc le jet afin de visualiser le plan de mesure. C’est à cet endroit que le niveau de concentration

est le plus modifié sur l’image. Une deuxième correction est appliquée en filtrant les valeurs de concentration au-

dessus d’un certain seuil (la dynamique est ensuite étalée entre zéro et un). Cette valeur est choisie manuellement

au regard du champ de concentration et est égale à 0,85. Cettecorrection est utilisée seulement sur les champs de

concentration orthogonauxx/L = 3,95 afin d’obtenir des valeurs dans ce plan de même amplitude que dans les

mesures dans le plan longitudinal.

Cette partie traite du mélange dans le plan orthogonal à l’écoulementx/L = 3,95. Tout d’abord, le contour et

la surface du jet sont calculés de la même façon que pour le plan précédent. La figure 4.23(a) présente l’évolution

du contour du jet en fonction du seuilcs de binarisation de l’image. Le jet à une fréquence de 0,25 Hz présente un

cs

<L j>

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.86

8

10

12

14

16

18f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(a) Contour adimensionné du jet< L j >

cs

<S

j>

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.5

1

1.5

2

2.5

3

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(b) Surface adimensionnée du jet< Sj >

FIG. 4.23 – Grandeurs de mélange calculées dans le plan orthogonal x/L = 3,95 pour les trois fréquences

contour supérieur aux deux autres cas pulsés qui ont quasiment la même évolution. Comme dans le plan longitudi-

nal à l’écoulement, le contour diminue avec l’augmentationdu seuilcs. Le contour du jet à 0,25 Hz augmente sur

la portion allant de 0,2 à 0,3. Puis, il décroît jusqu’à 0,7. Cette augmentation du contour du jet est due à la présence

de petites structures apparaissant à ce seuil de 0,3 (jet morcelé). Une augmentation du contour pour un seuilcs de

0,8 pour le jet à 1 Hz est observée. La surface du jet est présentée sur la figure 4.23(b) pour les trois fréquences de

pulsation. Une augmentation de cette grandeur est trouvée qui tient compte progressivement de la fraction de fluide

provenant de l’écoulement transverse. Le jet a 10 Hz possèdela surface la plus grande dans ce plan orthogonal. On

remarque une surface très faible pour le jet à 0,25 Hz qui déplace la surface du jet à 1 Hz à partir du seuil de 0,7.

La pente de croissance du jet à 0,25 Hz est donc plus importante que les trois autres écoulements. Enfin, le rapport

surface sur contour est présenté sur la figure 4.24(a). Le jetà 0,25 Hz apparaît être le jet le plus complexe ce qui

reste corrélé avec son contour très supérieur aux deux autres. La différence entre les deux autres fréquences de

pulsation indique que le jet à 10 Hz est l’écoulement le plus régulier dans ce plan de mesure. Ce classement entre

les trois écoulements est similaire au plan longitudinal à l’écoulement. En conclusion, le jet à 0,25 Hz possède une

opportunité de mélange supérieure aux autres cas pulsés.

Afin de conforter les résultats précédents, la dimension fractale du contour du jet est calculée sur des champs

binarisés de 512×512 pixels à un seuil de 0,7. les boîtes utilisées ont une taille en puissance de 2 allant de 1 à 256.

La régression linéaire sur le graphe logN(k) en fonction de log(k) permet de déterminer la dimension fractaleDB

de chaque écoulement. Elle est présentée dans le tableau 4.2pour les trois fréquences de pulsation. Le jet à une


cs

<L

j/Sj1/

2 >

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.84

6

8

10

12

14

16 f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(a) Rapport< L j/√

D j > en fonction du seuilcs

t/T

Fm(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.05

0.1

0.15

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(b) Taux de mélangeFm(t) en fonction det/T

FIG. 4.24 – Grandeurs calculées dans le plan orthogonalx/L = 3,95 pour les trois fréquences de pulsation

Fréquence f Dimension fractaleDB Coefficient régressionRf σ f

0,25 Hz 1,162 0,995 0,0361 Hz 1,115 0,995 0,03310 Hz 1,103 0,996 0,040

TAB . 4.2 – Statistiques sur les dimensions fractales calculéessur les 3 fréquences de pulsation

fréquence de 0,25 Hz possède la plus grande dimension fractale. Son contourest donc le plus morcelé des trois

écoulements. Ces dimensions suivent le même classement quele contour pour le même seuilcs. La différence avec

la dimension fractale calculée dans le plan longitudinal à l’écoulement est l’augmentation de la variance de la série

de valeurs déterminées pour chaque champ instantané impliquant une variation plus importante du contour du jet

pour les trois fréquences de pulsation.

Le critère de mélange est calculé dans le plan orthogonal à l’écoulement. Il est présenté sur la figure 4.24(b)

pour les trois fréquences de pulsation en fonction de la période d’injection adimensionnée. Sur cette figure, le

critère de mélangeFm(t) pour la fréquence de 0,25 Hz évolue entre 2,6 et 4,1 en décrivant une sinusoïde. Il passe

par un maximum à t/T=0,8. Pour les deux autres fréquences, l’évolution du critèreFm(t) est quasi-constante sur la

période de pulsation. Néanmoins, le taux de mélange du jet à 10 Hz est supérieur à celui de la fréquence de 1 Hz.

Ce plan de mesure orthogonal à l’écoulement permet de caractériser le jet avec le taux de mélange le plus grand

car toutes les zones mélangées passent par ce plan. Sur une période de pulsation, le critèreFm est moyenné pour les

trois fréquences de pulsation afin de pouvoir les comparer. Pour les jets à 1 et 10 Hz, le critèreFm n’évolue pas au

contraire du jet à 0,25 Hz où sa valeur moyenne est représentée par le trait rouge sur la figure 4.24(b). Il apparaît

que le jet pulsé à 0,25 Hz possède le plus fort taux de mélange à cette abscisse dex/L = 3,95. Enfin, il est à noter

que le plan de mesurey/L = 0 n’apparaît pas comme le plan optimal pour les conclusions du jet à la fréquence

0,25 Hz. Des mesures de concentration volumique serait donc une alternative à la quantification du mélange.

A la vue de la grande variation du critère de mélangeFm pour la fréquence de 0,25 Hz, il est intéressant de pré-

senter son évolution spatiale sur des champs moyennés en phase sur les figures 4.25(a) à (d). Sur la figure 4.25(a),

le critèreFm se situe àt/T = 0,4 correspondant au minimum de sa variation. A cet instant, les deux tourbillons


(a) t/T = 0,4 (b) t/T = 0,58

(c) t/T = 0,76 (d) t/T = 0,98

FIG. 4.25 – Champs de moyenne de phase du taux de mélangeFm(~x, t) pour la fréquence de 0,25 Hz dans le planorthogonalx/L = 3,95

contrarotatifs représentent deux zones concentrées où le mélange est dominant. Cette zone se cantonne entre les

abscissesy/L = −0,8 et y/L = 0,7 sur une hauteur de 1,1D. Ensuite, l’augmentation du critère de mélange est

présentée sur la figure 4.25(b) àt/T = 0,58. Cet instant correspond au passage d’une bouffée déstructurée de

fluide convectée par l’écoulement transverse. Le mélange s’étend ensuite sur la largeur du jet pour atteindre un

maximum du taux de mélangeFm à t/T = 0,76 sur la figure 4.25(c). Cela est cohérent avec les mesures devi-

tesses qui indiquent la présence de tourbillons jusqu’ày/L = 1,9. Néanmoins, il apparaît pour les deux instants

t/T = 0,58 ett/T = 0,76 que le mélange est dissymétrique. La bouffée de fluide étant passée, le critèreFm tend à

diminuer en suivant une sinusoïde. D’un point de vue spatial, les zones de mélange se rétrécissent avant le passage

d’une nouvelle période d’injection sur la figure 4.25(d). Les grandes variations deFm pour la fréquence de 0,25 Hz

sur la figure 4.24(b) sont assimilables au passage des bouffées de fluide fortement mélangées et étirées dans la

largeur. Cette largeur maximale est de 3,4L. Entre deux bouffées, il n’existe plus de structuration contrarotative de

l’écoulement. La conclusion de la partie précédente sur le fort transport turbulent à cette fréquence de pulsation est

vérifiée par l’extension du mélange dans la direction transversale du jet.

L’évolution du taux de mélange pour les deux autres fréquences de pulsation est présentée sur les figures

4.26(a) et (b) sur des champs moyennés en phase. Tout d’abord, on retrouve une zone de mélange restreinte avec

une largeur de 2,3L pour la fréquence de 1 Hz sur la figure 4.26(a). Cette zone est légèrement plus étendue 2,5L

pour la fréquence de 10 Hz mais sa hauteur est moins importante. Ces deux zones sont assimilables au passage des


(a) 1 Hzt/T = 0,04 (b) 10 Hzt/T = 0,2

FIG. 4.26 – Champ du taux de mélangeFm(~x, t) dans le plan orthogonalx/L = 3,95

régions mélangées sous le jet. Les hauteurs de ces zones correspondent au contour sur le taux de mélange dans le

plan longitudinal à l’écoulement sur les figures 4.18(b) et 4.19(b) pour 1 Hz et 10 Hz respectivement. Néanmoins,

une dissymétrie de l’écoulement à 10 Hz se retrouve sur la figure 4.26(b) déjà observée dans les champs de vitesse

dans le plan orthogonalx/L = 4 avec un phénomène d’oscillation suivanty.

Pour les outils fractals, la lacunarité et l’entropie de configuration ont été également calculées sur ces trois fré-

quences de pulsation dans le plan orthogonal à l’écoulement. Pour ces deux critères, la même technique que pour

le plan précédent est appliquée avec des boîtes de taille en puissance de 2 allant de 1 à 256. Ils sont présentés sur

les figures 4.16(a) et 4.16(b) en fonction de log(k) et dek respectivement pour la lacunarité et l’entropie de confi-

guration. La lacunarité ne permet pas d’obtenir les mêmes conclusions que le critère de mélangeFm sur ce plan de

log(k)

L(k)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(a) LacunaritéL(k) en fonction de log(k)

k

H* (k

)

50 100 150 200 2500.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24 f=0,25Hzf=1Hzf=10Hz

(b) EntropieH∗(k) en fonction dek

FIG. 4.27 – Paramètres de mélange pour les trois fréquences de pulsation

mesure. Pour les fréquences de 10 Hz et 1 Hz, la lacunarité propose le même classement que le taux de mélange,

le jet à 10 Hz possédant le meilleur mélange. A l’inverse, le jet à 0,25 Hz est celui présentant la lacunarité la plus

faible alors qu’il a un taux de mélangeFm supérieur aux deux autres cas pulsés. Pour les jets à 1 Hz et 10Hz, la

lacunarité n’évolue pas significativement autour de la valeur moyenne. Au contraire pour la fréquence de 0,25 Hz,

elle évolue entre 0,01 et 0,15. En considérant l’instant où le mélange est maximum, la lacunarité du jet à 0,25 Hz

serait la plus grande. Il apparaît que la lacunarité moyennene traduit pas le jet avec le taux de mélange maximum


lorsque de grandes variations sont présentes sur une série d’image. Le jet à 0,25 Hz possède un meilleur mélange

mais par bouffée de fluide sur des instants courts.

L’entropie de configuration caractérise le désordre dans l’image. Elle est représentée sur la figure 4.27(b) en fonc-

tion de la taille de la boîtek. Le critère croît sur la première partie, passe par un maximum H∗max et décroît ensuite

vers zéro. Il apparaît que l’on retrouve le même classement que pour les rapports< L j/√

Sj > qui caractérisent

l’écoulement le plus complexe. Le jet à 0,25 Hz est le plus désordonné avec un maximum de 0,24, suivi parle jet

à 1 Hz avec une valeur de 0,2 et 10 Hz avec une valeur de 0,19. Ce maximum est localisé pour une valeur dekopt

de 60, 69 et 71 respectivement pour le jet à 0,25 Hz, 1 Hz et 10 Hz. Ces trois dimensions sont assez proches les

unes des autres et correspondent à des valeurs maximales de l’entropie de configuration très faibles.

4 Conclusion sur le mélange

Cette étude a mis en évidence des informations sur le mélanged’un jet pulsé débouchant dans un courant

principal à l’aide de mesures couplées dans le plan longitudinal y/L = 0 ainsi que le plan orthogonal à celui-ci

x/L = 3,95.

Dans le plan médiany/L = 0, l’étude des champs de concentration met en évidence troisaspects sur la struc-

turation globale de l’écoulement. Tout d’abord, on identifie un cône potentiel plus ou moins important en sortie

du jet où la concentration est quasiment constante. Ce cône est très faible pour le jet à 0,25 Hz et s’étend jusqu’à

x/L = 3 pour le jet à 10 Hz. Autour de ce cône, les iso-contours de concentration ont une organisation symétrique

de part et d’autre de l’axe du maximum de concentration pour le jet continu. Cette organisation n’est plus visible

sur les écoulements pulsés avec une dominance des iso-valeurs sous cet axe. Enfin, une protubérance est localisée

dans la zone de recirculation pour les quatre écoulements avec une différence dans l’intensité de cette zone entre

les écoulements pulsés (fluide provenant de la pulsation du jet) et le jet continu (fluide provenant de l’écoule-

ment transverse). Les champs de fluctuations présentent uneforte variation spatiale dans l’écoulement pour le jet

à 0,25 Hz. Les deux autres cas pulsés ont un champ global semblable au jet continu avec des zones de fluctuations

plus importantes dans le sillage du jet. L’étude de l’axe du maximum de concentration indique pour les quatre

écoulements une évolution quasi-similaire avec une pénétration maximale pour le jet à 0,25 Hz.

Les différents critères géométriques mis en place pour caractériser le mélange entre les deux fluides ont mis en

évidence une opportunité de mélange plus importante pour lejet à 0,25 Hz avec un contour plus tortueux et une

dimension fractale plus importante. A la vue de ces résultats, une différence réside dans l’augmentation du contour

du jet pour le jet continu alors que les périmètres des écoulements pulsés décroissent pour un seuil donné. Ce phé-

nomène est lié à la zone de forte concentration sous le jet pour l’écoulement non forcé à l’inverse des tourbillons

formés par l’excitation du jet.

Les critères de fraction de mélangeFm et de production du gradient de concentrationΓ sont utilisés afin de

comprendre l’organisation du mélange. Les zones les plus mélangées sont localisées au niveau des zones de for-

mation des tourbillons en amont et aval de la sortie du jet pour les écoulements pulsés et au niveau des zones de

déclenchement des tourbillons dans la couche cisaillée pour le jet continu. Le jet à 10 Hz présente le mélange le

plus important. Pour cet écoulement, la zone de sillage s’étend de la frontière inférieure du jet à la plaque plane.

Dans cette zone, on localise une poche de fluide où les vitesses sont très faibles. Celle-ci facilite la diffusion du

mélange. Au niveau du critère de mélange, on retrouve le jet continu avec une valeur supérieure aux deux autres

cas pulsés. Le jet à 0,25 Hz présente une intermittence dans sa phase de mélange où il possède une valeur deFm

supérieure à celle du jet à 1 Hz lors de la poussée du jet.

4. Conclusion sur le mélange 131

L’évolution de ce critère de mélangeFm en fonction de l’abscissex/L conduit à une similarité dans les méca-

nismes mis en oeuvre dans le mélange du jet à 10 Hz et du jet continu. On retrouve une croissance rapide proche

de la sortie du jet liée aux zones fortement mélangée sous le jet, puis une décroissance lors de la fermeture de la

zone de sillage et de nouveau une augmentation liée à l’étirement induit des grosses structures dans le sillage. Les

deux autres écoulements pulsés présentent une augmentation moins brutale que dans les exemples précédents et

aucune diminution de son évolution sur tout le domaine.

La dernière partie de ce chapitre s’attache à comprendre l’extension du mélange dans le plan orthogonal à

l’écoulementx/L = 3,95. On distingue une longueur de contour très supérieure pour le jet pulsé à 0,25 Hz pour

tous les seuils de l’image. Cette tendance est moins évidente sur le calcul de la dimension fractale. Le critère de

mélangeFm montre de fortes variations à cette fréquence de pulsation sur une période d’injection. Dans ce plan,

on peut observer les bouffées de fluide avec une largeur minimale équivalente à un diamètre jusqu’à une extension

sur tout le domaine de mesure (environ 3 diamètres). Les champs de fluctuations turbulentes dans le plan médian

y/L = 0 ont permis de mettre en évidence cette expansion du mélangedans la direction transversale au jet. Pour

les deux autres fréquences, on retrouve une zone de mélange localisée aux niveaux des structures contrarotatives

dominant l’écoulement.

CHAPITRE

5

Analyse et reconstruction de l’écoulement

Sommaire1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1352 Introduction à la snapshot POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1363 Snapshot POD : analyse des modes spatiaux et des coefficients temporels . . . . . . . . . . . 137

3.1 Application au jet continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 138

3.2 Application au jet pulsé à 1 Hz : organisation des modes spatiaux . . . . .. . . . . . . . 139

3.3 Influence de la composante de vitesse hors plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 143

3.4 Influence de la fréquence d’acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 144

3.5 Décomposition sur le plan orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 147

4 Applications aux jets pulsés à0,25 Hzet 10 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475 Snapshot POD multiplan : influence des modes spatiaux . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 151

5.1 Reconstruction volumique des modes forcés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 151

5.2 Comparaison avec les plans transversaux . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 153

6 Modélisation des modes naturels de sillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1557 Conclusion sur la reconstruction d’écoulements . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 156

133

1. Préambule 135

1 Préambule

Le but de ce chapitre est de reconstruire un modèle tridimensionnel de l’écoulement à l’aide de données ex-

périmentales obtenues dans plusieurs plans éparses de l’écoulement. Afin d’y parvenir, une technique de décom-

position des champs de vitesse est utilisée : la décomposition orthogonale aux valeurs propres, notée par la suite

POD1. Elle consiste à déterminer un ensemble de fonctions propres optimales au sens de l’énergie correspondant

à des réalisations préférentielles d’une variable aléatoire. Cette technique de décomposition permet de modéliser

et d’analyser des événements de nature diverse dans le domaine des statistiques, de l’économie ou encore dans le

domaine de l’industrie. En mécanique des fluides, cette méthode est appliquée en prenant par exemple les champs

de vecteurs comme variables aléatoires. Le but principal ici est la modélisation de l’écoulement. Actuellement, les

applications sont orientées vers le contrôle d’écoulements en construisant un modèle réduit du système à travers

une projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes sur la base POD par exemple.

Le concept mathématique de base de la POD classique, introduit par Lumley (1967), est l’extraction des modes

les plus énergétiques à partir de champs de vitesse. Lors de son apparition, cette technique dépassait tous les

moyens informatiques existants, l’obligeant à demeurer d’un point de vue théorique. Au début des années 1990,

elle a revu le jour dans le domaine numérique avec l’évolution grandissante des moyens informatiques. Les pre-

mières applications sont obtenues sur des données numériques car les moyens de mesure étaient encore lourds

pour la mise en oeuvre d’une expérimentation. Néanmoins, l’essor des mesures optiques et des systèmes d’enre-

gistrement des données a permis l’acquisition de données exploitables par la POD en mécanique des fluides. D’un

point de vue mathématique, Sirovich (1987) propose une approche différente : la snapshot POD. Elle est appliquée

lorsque la résolution spatiale des données est supérieure àl’échantillonnage temporel. Sa décomposition est basée

sur la résolution d’un problème intégral. Une revue de Cordier & Bergmann (2002) permet de comprendre plus en

détails le principe de la POD et ses applications.

Des travaux ont déjà été réalisés sur les jets en utilisant l’outil de POD afin d’extraire des caractéristiques de

l’écoulement. Bernero & Fielder (2000) étudient à l’aide dela POD sur des mesures de PIV la transition de jets à

contre-courant. Cette transition, matérialisée par des changements de pénétration du jet, est déterminée pour un rap-

port d’injectionR= 1,3. La POD appliquée sur les champs fluctuants, permet de mettre en évidence la description

de ce phénomène de transition sur les deux premiers modes spatiaux. Puis, une description du lâcher tourbillon-

naire sur les deux suivants. L’analyse POD leur donne des informations supplémentaires sur les fréquences des

phénomènes qui sont décorrélés temporellement. Dano & Liburdy (2007) utilisent la POD couplée à un algorithme

de détection de tourbillons pour étudier différentes configurations de buse de jets confinés dans un courant princi-

pal. L’objectif est d’identifier d’éventuelles différences qui entraînent des écarts dans la surface d’interaction entre

les tourbillons. Récemment, Meyeret al. (2007) ont utilisé la POD pour analyser les structures dynamiques de

l’écoulement pour un jet turbulent dans un courant principal. Ils ont interprété les modes comme la décomposition

de phénomènes non couplés et liés à la formation tourbillonnaire dans l’écoulement. Deux modes consécutifs dé-

crivent les tourbillons de la couche cisaillée supérieure et les deux suivants des tourbillons dans le sillage du jet.

Ces deux phénomènes sont donc découplés. L’objectif, dans cette thèse, est donc d’étudier les écoulements pulsés

afin d’interpréter les premiers modes spatiaux et éventuellement les lier à un phénomène tourbillonnaire dans le jet.

Au cours de ces dernières années, des travaux s’intéressentégalement à modéliser les écoulements en utilisant

la POD afin de l’intégrer à des projections de type POD-Galerkin. Braud (2003) présente l’exploitation de données

PIV par l’outil POD et construit des tenseurs de corrélations tridimensionnels. Elle réalise trois analyses sur un

1Acronyme de l’anglaisProper Orthogonal Decomposition

136 Chapitre 5 - Analyse et reconstruction de l’écoulement

écoulement de type couche de mélange-sillage : une premièrequi permet d’analyser les tranches bidimensionnelles

de l’écoulement, une seconde en prenant en compte l’espace tridimensionnel et une dernière afin de réaliser une

projection de Galerkin. Perret (2004) présente cette approche POD-Galerkin pour la construction de systèmes dy-

namiques d’ordre bas pour l’analyse d’écoulements turbulents. Cette méthode est basée sur une identification des

coefficients temporels sur des mesures couplées d’accélération et de vitesse. Elle est appliquée également sur des

données expérimentales d’une couche de mélange supersonique (Perretet al., 2006). Druaultet al.(2005) utilisent

la POD pour décomposer un écoulement de couche de mélange plane turbulente en une partie cohérente issue des

premiers modes POD et une partie résiduelle incohérente déduite du résidu de ces modes. Cette décomposition

permet d’entrevoir l’amélioration de certaines procédures de génération des conditions d’entrée des simulations

numériques. Druault & Chaillou (2007) ont présenté une nouvelle application de la POD pour la reconstruction

tridimensionnelle de champs moyens dans un écoulement turbulent dans des plans orthogonaux et longitudinaux

de moteurs à combustion interne. Pasturet al. (2008) ainsi que Podvinet al. (2006) utilisent des données par-

tielles obtenues dans un plan de mesure bidimensionnel et des informations statistiques tridimensionnelles issues

de simulation numérique afin de reconstruire un écoulement en cavité. Cette modélisation est effectuée sans perte

d’information majeure sur les structures de l’écoulement.Favier (2007) utilise la projection de Galerkin sur des

modes spatiaux issus de la décomposition de données numériques et expérimentales. Les trois configurations étu-

diées sont l’écoulement derrière un cylindre en simulationnumérique directe (DNS), l’écoulement autour d’un

profil NACA012 par PIV et l’écoulement décollé autour de ce profil par DNS. Ces expériences permettent une

comparaison de l’efficacité des modèles d’ordre réduit selon la complexité de la dynamique à reconstruire et per-

mettent de comparer les différentes méthodes de calibration des modèles dynamiques développés.

Dans un premier temps, la méthode POD est appliquée sur un plan médian de mesurey/L = 0. A partir des

décompositions sur les écoulements du jet continu et pulsé (champs moyennés en phase et instantanés), les modes

naturels et forcés de l’écoulement sont mis en évidence. Lesdonnées sont analysées également en fonction des

différents plans de mesure et de l’ajout de la troisième composante de la vitesse. Dans une deuxième partie, en

tenant compte de la phase du jet, une reconstruction tridimensionnelle de l’écoulement à partir des quatre plans de

mesure est proposée. Enfin dans une dernière partie, l’ajoutdes modes naturels sur cette reconstruction est effectué

et offre une modélisation complète de l’écoulement.

2 Introduction à la snapshot POD

Le principe mathématique de la snapshot POD est expliqué brièvement dans cette partie. Toute réalisation

d’un champ aléatoire−→u (−→x , t) peut être exprimée à partir de l’ensemble discret de solutions déterministes selon

l’équation 5.1.

−→u (−→x , t) =∞

∑n=1

an(t) ·−→Φ n(

−→x ) (5.1)

Dans cette équation,−→Φ n(

−→x ) est la base spatiale orthonormée,an(t) les modes temporels non corrélés entre eux. La

base de décomposition du modèle dynamique est la base où la projection de l’énergie cinétique est maximale. Pour

y parvenir, il faut maximiser la projection des réalisations−→u (−→x , t) sur−→Φ n(

−→x ). Nous obtenons donc des systèmes

dynamiques d’ordre bas ce qui nous permet de reconstituer unchamp de vitesses instantanées avec un minimum

de modes spatiaux-temporels. Ainsi,−→u exp(−→x , t), le modèle dynamique issu d’un champ de vitesses expérimental

−→u (−→x , t) s’écrit sous la forme de la série finie selon l’équation 5.2.

−→u exp(−→x , t) =

Nt

∑n=1

an(t) ·−→Φ n(

−→x ) (5.2)

3. Snapshot POD : analyse des modes spatiaux et des coefficients temporels 137

Dans cette équation,Nt est le nombre de modes spatio-temporels issu de la décomposition de l’écoulement. Il est

inférieur ou égal au nombre de champs de vitesse instantanésdécomposés. La relation entre les champs instantanés

de vitesse et les modes propres est donnée par l’équation 5.3.

1Nt

ZT

an(t)−→u (−→x , t)dt = λn

−→Φ n(

−→x ) (5.3)

Dans cette équation,T représente la durée total d’acquisition de la séquence décomposée.λn est lan-èmevaleur

propre de lan-èmefonction propre. De l’expression 5.3 découle un problème aux valeurs propres. L’introduction

d’un tenseur de corrélation permet de résoudre ce problème.Ce tenseur de corrélationC(t, t ′) est définit selon

l’équation 5.4.

C(t, t ′) =1Nt

ZSc

−→u i(−→x , t) ·−→u i(

−→x , t ′)dSc (5.4)

Dans cette équation,i représente l’indice de chaque composante du vecteur−→u et Sc la surface de l’écoulement

étudiée. La relation 5.3 aboutit à une nouvelle équation 5.5.ZT

C(t, t ′)an(t′)dt = λnan(t) (5.5)

Finalement, la base spatiale−→Φ n(

−→x ) s’obtient selon l’équation 5.6.

−→Φ n(

−→x ) =1N

ZT

λ−1n an(t)

−→u (−→x , t)dt (5.6)

On impose aux fonctions propres de former une famille orthogonale selon l’équation 5.7.ZSj

−→Φ n(

−→x ) ·−→Φ m(−→x )dx= λmδnm (5.7)

Par voie de conséquences, les modes temporelsan(t) forment une famille orthonormale selon l’équation 5.8.

1Nt

ZT

an(t) ·am(t)dt = δnm (5.8)

Les caractéristiques principales de la méthode des snapshots sont les suivantes :

− Les fonctions propres ne dépendent que du temps.

− Il n’est pas nécessaire de faire appel à une hypothèse d’homogénéité pour éventuellement diminuer la

taille du problème aux valeurs propres.

− Les réalisations sont supposées linéairement indépendantes.

− La taille du problème aux valeurs propres est égale àNt .

3 Snapshot POD : analyse des modes spatiaux et des coefficients tempo-rels

L’objectif de cette partie est de comprendre les modes spatiaux et les coefficients temporels obtenus lors de

la décomposition POD sur les trois fréquences de pulsation.La majeure partie des analyses est réalisée sur le cas

pulsé à 1 Hz issu de données de SPIV à une fréquence d’acquisition faible assurant leur indépendance statistique.

Ce jeu de données est tout d’abord comparé au jet non forcé surle plan médian de l’écoulement. Puis, une analyse

des paramètres pouvant influencer les résultats est effectuée tels que la composante de la vitesse hors plan ou la

fréquence d’acquisition des données. La snapshot POD est également appliquée sur les deux autres fréquences de

pulsation et enfin sur un plan orthogonal à l’écoulement.


(a) Mode 1

(b) Mode 2 (c) Mode 3

FIG. 5.1 – 3 premiers modes des champs instantanés pour le jet continu dans le plany/L = 0

3.1 Application au jet continu

Tout d’abord, la snapshot POD est appliquée sur le plan symétrique longitudinal à l’écoulementy/L = 0. Le

tenseur de corrélation est construit avec deux composantes(Vx etVz) de la vitesse sur les champs instantanés pour

le cas continu. Les trois premiers modes sont présentés sur les figures 5.1(a) à (c). La norme des vecteurs propres

est représentée sur ces figures. Le premier mode sur la figure 5.1(a) correspond à la moyenne de l’écoulement.

Les deux autres modes associés ensemble décrivent des tourbillons dans le sillage du jet. Ces deux modes appar-

tiennent à un couple de valeurs propres approximativement de même amplitude. On peut observer l’énergie des

valeurs propres des différents modes issus de cette décomposition sur la figure 5.6. On constate que ces valeurs

propres, tracées en représentation semi-logarithmique, décroissent très rapidement. La représentation énergétique

présente également des couples de valeurs propres approximativement de même amplitude. Ce phénomène est

caractéristique d’une décomposition issue de la snapshot POD et traduit une organisation physique privilégiée de

l’écoulement. Cela se retrouve directement dans la structuration des modes spatiaux (structure extraite au même

endroit pour des modes du même couple). Les modes 2 et 3 des figures 5.1(b) et (c) représentent environ 10% de

l’énergie fluctuante alors que les deux modes suivants (modes 4 et 5) correspondent à seulement 4% des fluctua-

tions.

Deux diagrammes de phase montrent la relation entre les deuxmodes spatiaux mis en évidence. La figure 5.2(a)

représente le coefficient temporela1 en fonction dea2 relatifs aux modes 1 et 2 et la figure 5.2(b) représente le

coefficient temporela2 en fonction dea3 relatifs aux modes 2 et 3. Une ligne rouge relie les coefficients temporels

sur les premiers instants de la décomposition. Ce schéma correspond à une évolution circulaire pour les coefficients

a2 et a3 alors que la représentation pour les coefficientsa1 et a2 semble aléatoire. La description d’une période de

ce phénomène est réalisée avec environ huit points. Cette résolution temporelle d’acquisition est donc faible pour

la description des modes naturels. Néanmoins, on peut s’apercevoir que les coefficients temporels alimentent de

manière quasi identique la totalité de la forme circulaire.Récemment, Meyeret al.(2007) obtiennent une évolution

circulaire sur un diagramme de phase de deux coefficients temporels de même énergie. Ces coefficients décrivent


a1

a 2

0.94 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06

-2

-1

0

1

2

(a) a1 en fonction dea2

a2

a 3

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(b) a2 en fonction dea3

FIG. 5.2 – Diagrammes de phase issus de la décomposition POD appliquée sur le cas non forcé

une forme circulaire et sont localisés presque tous dans unecouronne centrée sur le point (0,0). Ils concluent

à une relation entre cette description circulaire du signaltemporel et la ressemblance physique des modes dans

l’écoulement. Dans notre cas, le niveau énergétique et l’évolution des coefficients temporels démontrent que les

modes de sillage interagissent ensemble. Ces deux coefficients décrivent donc le mouvement des tourbillons de

sillage derrière le jet. Cette analyse est cohérente avec les conclusions de Megerianet al. (2007). Ils suggèrent que

la compréhension des instabilités des couches cisaillées d’un jet non forcé est importante afin de pouvoir par la

suite expliquer les phénomènes présents dans les écoulements pulsés.

3.2 Application au jet pulsé à1 Hz : organisation des modes spatiaux

De la même manière que pour le jet non forcé, la snapshot POD est appliquée sur le plan symétrique longitudi-

nal à l’écoulementy/L = 0 et le tenseur de corrélation est construit dans un premier temps avec deux composantes

(Vx etVz) de la vitesse sur les champs de vitesse instantanés et moyennés en phase. Dans ces deux configurations,

les modes spatiaux issus des snapshot POD sont comparés. Le premier mode obtenu est toujours très similaire au

champ de vitesse moyen. Par la suite, ce mode 1 n’est jamais discuté car il n’a pas d’intérêt dans la compréhension

de l’organisation. Les calculs auraient pu être réalisés sur les champs fluctuants de vitesse afin de s’affranchir de

ce premier mode.

Les figures 5.3(a) à (e) présentent les cinq premiers modes spatiaux obtenus par snapshot POD appliquées aux

champs instantanés de vitesse. A la vue de ces 5 modes spatiaux, on distingue une ressemblance entre le couple

de modes 2-3 issus du jet continu sur les figures 5.1(b) et (c) et le couple de modes 3-4 issus du jet pulsé sur les

figures 5.3(c) et (d). Les modes 2 et 5 sur les figures 5.3(b) et (e), quant à eux, semblent isolés (ils ne fonctionnent

pas par paire et n’ont pas la même énergie). Leur structure correspond à des tourbillons à proximité de la sortie

du jet au contraire des tourbillons de sillage. La fréquenced’acquisition des données est une limite à une analyse

complète des coefficients temporels. Tout d’abord, les données sont enregistrées de la manière suivante : à chaque

sinusoïde de débit, un seul point sur celle-ci est mesuré et la fréquence d’acquisition n’est pas constante. Les 200

points du même instant sont enregistrés à la suite, puis on passe au point suivant sur la sinusoïde. Cette démarche

conduit à des données statistiques indépendantes non résolues en temps.


(a) Mode 1


(d) Mode 4 (e) Mode 5

FIG. 5.3 – 5 premiers modes spatiaux issus d’une décomposition des champs instantanés pour un jet pulsé à f=1 Hzdans le plany/L = 0

Pour comprendre l’apparition de ces modes spatiaux avec desstructures à proximité de la sortie du jet, la

snapshot POD est appliquée sur les champs de vitesse moyennés en phase. Les figures 5.4(a) à (c) présentent les

trois premiers modes issus de la décomposition POD. Les modes 2 et 3 sur les figures 5.4(b) et (c) ressemblent

aux modes 2 et 5 sur les figures 5.3(b) et (e) issus de la POD sur les champs instantanés. Ces modes spatiaux ne

présentent pas de structures dans le sillage du jet. Les coefficients temporelsa2 et a3 de la POD issus des champs

moyennés en phase sont proches d’un signal sinusoïdal de fréquence 1 Hz. Les figures 5.5(a) et (b) présentent cette

évolution sur la période de pulsation issue des vingt champsmoyennés en phase. Cette fréquence correspond à la

fréquence d’excitation des tourbillons à proximité de la sortie du jet. Les champs moyennés en phase représentent

des moyennes conditionnées par le forçage du jet. Il est à noter que seule la fréquence d’excitation du jet est iden-

tifiable car la moyenne sur les champs de vitesse fait disparaître les fluctuations dans le sillage.

L’évolution de l’énergie des valeurs propres de la matrice de corrélation spatiale associée avec ces modes est

présentée sur la figure 5.6 pour les deux décompositions du jet pulsé et celle du jet non forcé (l’axe de l’éner-

gie est en échelle logarithmique). La diminution de l’énergie décrite par ces valeurs est montrée pour les champs

moyennés en phase (bleu), pour les champs instantanés (vert) et le jet continu (rouge). Le premier mode de chaque

décomposition possède la même énergie. On retrouve ensuiteà une énergie plus faible les modes 2 de la snapshot

issus des champs instantanés et moyennés en phase pour le jetpulsé. De la même manière, on retrouve le mode


(a) Mode 1


FIG. 5.4 – 3 premiers modes spatiaux issus d’une décomposition des champs moyennés en phase pour un jet pulséà f = 1 Hz dans le plany/L = 0

t/T

a 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1

(a) Coefficienta2

t/T

a 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

(b) Coefficienta3

FIG. 5.5 – Evolution des coefficients temporels issus des champsmoyennés en phase pour un jet pulsé àf = 1 Hzdans le plany/L = 0

3 issu des champs moyennés en phase et le mode 5 des champs instantanés avec une énergie similaire. Intercalé

entre ces modes, on retrouve le couple de modes représentantles structures dans le sillage du jet. Il est à noter

que les modes 2 et 3 issus du jet continu sont également présents dans l’intervalle énergétique représentant les

structures liées à la pulsation du jet. De plus, l’énergie duquatrième mode moyenné en phase est très faible et

elle ne correspond pas à un mode classé dans les dix premiers.Cette évolution de l’énergie est cohérente avec les

observations sur les modes spatiaux.

Afin de quantifier ces observations, un coefficient de corrélation équivalent à un produit scalaire est calculé


numéro du mode

éner

gie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

jet continuchamps instantanés (jet pulsé)moyenne de phase (jet pulsé)

FIG. 5.6 – Energie des valeurs propres issues des trois snapshotPOD sur le plan longitudinaly/L = 0 pour lafréquence de 1 Hz

entre ces modes spatiaux issus des différentes snapshot POD. On obtient une projection d’un coefficient sur l’autre

équivalent au calcul de l’équation 5.7. Les figures 5.7(a) et(b) représentent ce coefficient de corrélation pour deux

configurations. Tout d’abord, la figure 5.7(a) compare les 5 premiers modes des champs instantanés du jet pulsé à

numéro mode (champs jet continu)

num

éro

mod

e(c

ham

psin

stan

tané

s)

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

10.90.80.70.60.50.40.30.20.1

(a) Champs instantanés jet pulsé/continu

numéro mode (champs moyennés en phase)

num

éro

mod

e(c

ham

psin

stan

tané

s)

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

10.90.80.70.60.50.40.30.20.1

(b) Champs jet pulsé instantané/moyenné en phase

FIG. 5.7 – Coefficient de corrélation entre les 5 premiers modes spatiaux

1 Hz et ceux du jet continu. On retrouve une forte corrélationentre les modes décrivant le sillage du jet. Elles cor-

respondent à environ 80% du niveau de corrélation. De la mêmemanière, la figure 5.7(b) indique une corrélation

supérieure à 97% entre les champs instantanés et moyennés enphase du jet pulsé.

La snapshot POD permet donc de distinguer une organisation dans les modes spatiaux issus de cette décompo-

sition. Les modes avec des structures proches de la sortie dujet sont appelésmodes forcéscar ils apparaissent avec

la variation de la vitesse du jet. A l’inverse, les modes relatifs aux structures dans le sillage sont appelésmodes

naturels. Dans ce cas, la distinction entre les modes naturels et forcés est possible car la fréquence de forçage est


assez éloignée de la fréquence naturelle du jet qui se trouveà environ 0,28 Hz.

Afin de corroborer ces conclusions, la snapshot POD est appliquée sur les champs instantanés de vitesse issus

d’une même phase. L’organisation des modes spatiaux est présentée sur la figure 5.8(a) à (c). Aucun mode forcé

(a) Mode 1


FIG. 5.8 – 3 premiers modes spatiaux issus de la décomposition des champs instantanés d’une même phaset =50 ms pour un jet pulsé àf = 1 Hz dans le plany/L = 0

n’apparaît dans les trois premiers modes. Les modes 2 et 3 de cette décomposition sont assimilables à des modes

comportant des structures dans le sillage du jet. Cette différence confirme que les modes forcés sont obtenus par la

pulsation du jet et sont donc non visibles sur ces champs instantanés de vitesse issus de la même phase.

3.3 Influence de la composante de vitesse hors plan

L’étude précédente sur les modes spatiaux a été réalisée en construisant la matrice de corrélation de l’équation

5.4 avec les deux composantes de la vitesseVx et Vz dans le plan de mesure. Sachant que les champs de vitesse

sont des mesures de SPIV, la suite du travail consiste à tenircompte de la troisième composante de la vitesseVy

dans le calcul du tenseur de corrélation. L’organisation des modes de cette nouvelle décomposition est identique et

elle est présentée sur les figures 5.9(a) à (d). Le mode 2 sur lafigure 5.9(a) ressemble parfaitement au mode 2 de

la figure 5.3(b). Ce mode spatial est décrit uniquement au-dessus de l’orifice du jet, ainsi la troisième composante

n’influence par l’écoulement à cet endroit. De la même manière, les deux modes naturels sur les figures 5.9(b) et

(c) décrivent les tourbillons de sillage dans les mêmes zones que les modes naturels du jet. La différence provient

du mode 5 sur la figure 5.9(d) qui présente des zones dans le sillage du jet non visible sur la figure 5.3(e). Ce mode

représente les pulsations à la sortie du jet ainsi que des structures dans le sillage. Les contours sous le jet corres-

pondent à l’influence du tourbillon en fer à cheval. Cette structure contourne le jet lors de sa sortie avant de se

reconnecter ensuite dans le sillage. Cette contribution apparaît sur un mode forcé car la reconnection du tourbillon

en fer à cheval est corrélée avec la période de pulsation du jet. Elle est également identifiable sur la décomposition

issue des champs moyennés en phase.

La dernière comparaison étudiée est l’organisation des modes sur les autres plans de mesure parallèles au plan


(a) Mode 2 (b) Mode 3

(c) Mode 4 (d) Mode 5

FIG. 5.9 – Modes spatiaux issus de la décomposition des champs instantanés calculés avec 3 composantes de lavitesse pour un jet pulsé àf = 1 Hz dans le plany/L = 0

médian. L’organisation des modes naturels et forcés est similaire à celle du plan de symétriey/L = 0 excepté pour

le plany/L = 0,41 où l’on ne retrouve pas le deuxième mode forcé. La contribution de la troisième composante

dans les modes spatiaux est plus grande sur ces quatre plans comparée à celle du plan symétrique. Elle est présente

dans le sillage de l’écoulement sous la frontière inférieure du jet. Cela est lié à la forte tridimensionnalité de

l’écoulement.

3.4 Influence de la fréquence d’acquisition

La snapshot POD appliquée sur les champs enregistrés avec une fréquence d’acquisition faible permet de déter-

miner une organisation des modes spatiaux. Néanmoins, l’analyse reste incomplète sur les coefficients temporels

associés à ces modes. Des mesures de SPIV sont réalisées avecune fréquence d’acquisition de 12,5 Hz : les champs

de vitesse sont résolus en temps. La même étude est effectuéesur les champs instantanés et moyennés en phase

à l’aide de la snapshot POD afin de déterminer l’influence de lafréquence d’acquisition dans l’organisation des

premiers modes. L’étude permet également de caractériser la ou les fréquence(s) des modes naturels à l’aide des

coefficients temporels associés à ces modes. Le tenseur de corrélation est construit avec les trois composantes de la

vitesse. On retrouve tout d’abord, les deux modes forcés surles figures 5.10(a) et (b) pour la décomposition ortho-

gonale sur les champs instantanés du jet pulsé à 1 Hz. Ces modes sont classés en deuxième et dixième position au

niveau énergétique. Comme précédemment, le mode 2 sur la figure et 5.10(a) correspond au mode 2 de la décom-

position précédente sur la figure 5.3(b) et le mode 10 sur la figure 5.10(b) est sensiblement identique au mode 5

sur la figure 5.3(e). Ces deux modes 2 et 10 sont également les modes 2 et 3 sur la snapshot POD issue des champs

moyennés en phase. L’évolution de l’énergie des valeurs propres pour ces deux décompositions est présentée sur la

figure 5.11. Au niveau de la décroissance de l’énergie, on peut observer la correspondance entre ces modes forcés.

Une transformée de Fourier rapide (FFT) sur le signal des coefficients temporelsa2 et a10 permet de mettre en

évidence une fréquence caractéristique de 1 Hz correspondant à la fréquence d’excitation du jet. Néanmoins, cette

organisation présente des différences avec la décomposition obtenue à la fréquence d’acquisition plus faible. Sept

modes sont maintenant intercalés entre ces modes forcés. Ils sont considérés comme des modes naturels et modes



FIG. 5.10 – 2 modes forcés issus de la snapshot POD des champs instantanés pour un jet pulsé à f=1 Hz dans leplany/L = 0 pour une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz

numéro du mode

éner

gie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101 champs instantanés (vitesse acquisition 12,5Hz)moyennes de phase (vitesse acquisition 12,5Hz)champs instantanés (vitesse acquisition faible)moyennes de phase (vitesse acquisition faible)

FIG. 5.11 – Energie des valeurs propres issues des deux snapshotPOD sur le plan longitudinaly/L = 0 pour lafréquence de 1 Hz avec une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz

mixtes même si la décomposition sur le jet continu n’a pas étéréalisée à cette fréquence d’acquisition. On retrouve

des modes naturels fonctionnant par paire sur les figures 5.12(a) à (d). Ces modes d’énergie quasi identique sont

les suivants dans la hiérarchie énergétique : il s’agit du couple de modes 4 et 5 sur les figures 5.12(a) et (b), ainsi

que du couple de modes 6 et 7 sur les 5.12(c) et (d). Ils représentent des structures dans le sillage du jet. La relation

entre deux modes naturels est étayée avec le diagramme de phase dea4 en fonction dea5 sur la figure 5.13(a).

Sur ce diagramme, une ligne rouge représente le lien entre les premiers instants temporels. On peut remarquer une

organisation circulaire des coefficients temporels. De plus, chaque groupe de couleur sur le graphique identifie les

points appartenant au même instant sur la sinusoïde de débit. Ces groupes de points se trouvent étalés sur toute la

zone circulaire ce qui implique que les modes naturels ont une fréquence de propagation différente de celle liée à la

pulsation du jet. Une FFT sur les signaux des coefficients temporels est effectuée. On retrouve une réponse fréquen-

tielle identique pour les coefficientsa4 et a5 avec une fréquence dominante de 0,31 Hz. De la même manière, le

diagramme de phase du coefficienta6 en fonction dea7 présente une évolution circulaire. Les FFT sur ces signaux

sont également identiques avec une fréquence dominante de 0,42 Hz. Ces deux fréquences obtenues lors de FFT

sont noyées dans une bande allant de 0,1 à 0,5 Hz (proche de la fréquence caractéristique des structuresdans le jet

continu). Elles correspondent aux fréquences déjà déterminées dans le sillage du jet au chapitre 3 dans les zones

de fortes fluctuations derrière le jet. Il est à noter également un positionnement spatial différent des structures des




FIG. 5.12 – 2 couples de modes naturels issus de la snapshot POD des champs instantanés pour un jet pulsé àf=1 Hz dans le plany/L = 0 pour une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz

a4

a 5

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

(a) a4 en fonction dea5

a2

a 10

-1 0 1

-1

0

1

2

(b) a2 en fonction dea10

FIG. 5.13 – Diagramme de phase des coefficients temporels pour lejet pulsé à 1 Hz

modes 4 et 5 comparés à celui des modes 6 et 7. Les modes 4 et 5 sont situés plus en aval de l’écoulement dans

le sillage du jet que les modes 6 et 7. La diminution de la fréquence obtenue précédemment allant de la fréquence

de pulsation en sortie à la fréquence caractéristique des modes naturels le long de l’axe du jet est identique à la

vue de la position spatiale de ces modes. Cette décomposition met en évidence deux zones tourbillonnaires à des

fréquences différentes : l’une avec les modes 4 et 5 où la formation est localisée entrex/L = 3,2 etx/L = 5,2 et

la seconde avec les modes 6 et 7 aux abscissesx/L = 2,6 etx/L = 4. Elles sont toutes les deux formées par des

tourbillons se propageant dans le sillage du jet. A l’inverse, une représentation du diagramme de phase dea2 en

fonction dea10 indique également une relation circulaire entre ces coefficients sur la figure 5.13(b). De plus, les

points au même instant sur la sinusoïde de débit sont localisés dans le même quartier sur le diagramme. Les modes

4. Applications aux jets pulsés à0,25 Hzet 10 Hz 147

forcés sont donc contrôlés par la pulsation du jet.

(a) Mode 3


FIG. 5.14 – 3 modes mixtes issus de la décomposition des champs instantanés pour un jet pulsé àf = 1 Hz dans leplany/L = 0 pour une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz

Trois autres modes sont intercalés entre les modes forcés. Ils sont présentés sur les figures 5.14(a) à (c). Ils sont

nommésmodes mixtescar une FFT sur le signal de leur coefficient temporel fait apparaître un pic de fréquence à

1 Hz et une bande de fréquence dans la zone comprise entre 0,2 et 0,4 Hz. Le mode 3 sur la figure 5.14(a) représente

une zone de cisaillement sous le jet. De plus, ce mode est isolé énergétiquement sur la figure 5.11. Dans cette

zone, la vitesse longitudinale de l’écoulement décroît surla durée d’acquisition des données (phénomène basse

fréquence). Cette durée d’acquisition est donc trop faiblecar ce mode n’est pas visible sur les données statistiques

à une cadence d’enregistrement plus faible. Les modes 8 et 9 sur les figures 5.14(b) et 5.14(c) présentent des

structures dans le sillage du jet qui ont des énergies quasiment égales aux modes naturels 6 et 7. Les coefficients

temporels associés à ces modes présentent également des pics de fréquence allant de 0 à 1 Hz.

3.5 Décomposition sur le plan orthogonal

La snapshot POD a été appliquée sur les plans orthogonaux à l’écoulement (x/L = 2,05 et x/L = 2,88).

Le tenseur de corrélation est construit avec les trois composantes de la vitesse. Aucun mode n’est assimilable

à des modes forcés sur ces plans. L’évolution de l’énergie est représentée pour les valeurs propres issues des trois

snapshot POD dans le planx/L = 2,88 sur la figure 5.15. Sur cette figure, le deuxième mode issu des champs

moyennés en phase possède une énergie plus faible que les dixpremiers modes des champs instantanés pour le jet

pulsé à 1 Hz. Les plans orthogonaux sont situés trop loin de lasortie du jet pour faire apparaître des modes forcés

du jet.

4 Applications aux jets pulsés à0,25 Hzet 10 Hz

Pour les deux autres fréquences de pulsation du jet, le même type d’analyse est effectué sur les champs instan-

tanés de vitesse et moyennés en phase dans le plan longitudinal médiany/L = 0 de l’écoulement. Le premier mode


numéro du mode

éner

gie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

jet continuchamps instantanés (jet pulsé)moyenne de phase (jet pulsé)

FIG. 5.15 – Energie des valeurs propres issues des trois snapshot POD sur le plan orthogonalx/L = 2,88 pour lafréquence de 1 Hz

de chaque décomposition n’est pas présenté car comme pour l’analyse précédente, il représente le champ moyen

de l’écoulement. La première étude se focalise sur la fréquence de pulsation de 0,25 Hz. Lors des décompositions

sur les champs instantanés et moyennés en phase, les premiers modes sont identiques dans les deux cas. Ils sont

présentés sur les figures 5.16(a) à (f). On peut observer une ressemblance entre les modes 2 et 3 d’un côté, les

modes 4 et 5 d’un autre côté et les modes 6 et 7. Tout d’abord, les modes 2 et 3 décrivent la zone au-dessus de

l’orifice du jet et s’étendent ensuite sur toute la zone de mesure. Ils présentent les tourbillons formés en amont

et en aval de la sortie du jet et leur progression dans l’écoulement. Les deux couples de modes suivants illustrent

également ces tourbillons avec des intensités moins importantes dans le jet. Il est à noter que les modes 6 et 7 ne

sont pas présents sur tout le champ. Cette similitude entre ces trois couples de modes est également visible sur la

répartition énergétique des valeurs propres liées à ces modes. Cette décroissance est présentée sur la figure 5.17(a)

pour la fréquence de 0,25 Hz avec les courbes des deux décompositions. On peut remarquer que les deux courbes

possèdent les mêmes paliers énergétiques sur les premiers modes. De plus, on retrouve une diminution de l’énergie

avec des paliers successifs composés de couple de modes. A partir du mode 7, l’énergie issue de la décomposition

sur les moyennes de phase décroît plus rapidement que celle obtenue sur les champs instantanés. La ressemblance

de ces premiers modes ainsi que la correspondance énergétique entre eux corroborent les conclusions obtenues

dans les chapitres précédents. De plus, l’étude fréquentielle sur les coefficients temporels des sept premiers modes

fait ressortir une fréquence de 0,25 Hz dominante pour chacun d’eux. Lors du forçage de l’écoulement à une fré-

quence proche de celle des modes naturels du jet, on agit sur tout l’écoulement et pas seulement à la sortie de

l’orifice comme pour le jet à 1 Hz. Ces modes spatiaux obtenus avec cette décomposition ne peuvent pas être clas-

sés en mode naturel ou forcé du jet.

Pour la fréquence de 10 Hz, on se retrouve dans une configuration identique à celle du jet pulsé à 1 Hz. La

décomposition sur les moyennes de phase est présentée sur les figures 5.18(a) et (b) avec les modes 2 et 3. Ces deux

modes forcés sont localisés à proximité de la sortie et représentent les variations liées à la fréquence de forçage. Il

est à noter que le mode 3 possède une intensité moins importante et une représentation spatiale limitée comparée

au mode 2. La décroissance de l’énergie pour le jet à 10 Hz est présentée sur la figure 5.17(b). La décomposition

sur les champs instantanés de vitesse est présentée sur les figures 5.19(a) à (f). Sur la figure 5.17(b), les modes

4. Applications aux jets pulsés à0,25 Hzet 10 Hz 149



(e) Mode 6 (f) Mode 7

FIG. 5.16 – Modes 2 à 7 issus de la décomposition des champs instantanés ou moyennés en phase pour un jet pulséà f = 0,25 Hz dans le plany/L = 0 pour une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz

numéro du mode

éner

gie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-2

10-1

100

101

champs instantanésmoyennes de phase

(a) f = 0,25 Hz

numéro du mode

éner

gie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

champs instantanésmoyennes de phase

(b) f = 10 Hz

FIG. 5.17 – Energie des valeurs propres issues des snapshot POD sur le plan orthogonaly/L = 0 pour deuxfréquences de pulsation



FIG. 5.18 – Modes spatiaux issus de la décomposition des champs moyennés en phase pour un jet pulsé àf = 10 Hzdans le plany/L = 0 pour une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz



(e) Mode 6 (f) Mode 7

FIG. 5.19 – Modes spatiaux issus de la décomposition des champs instantanés pour un jet pulsé àf = 10 Hz dansle plany/L = 0 pour une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz

5. Snapshot POD multiplan : influence des modes spatiaux 151

2 issus des deux décompositions ont la même énergie. Ils correspondent donc à un mode forcé de l’écoulement.

A l’inverse, les modes 3 à 7 représentent des modes naturels de l’écoulement avec des structures situées dans

le sillage du jet. Le mode 3, nommé mode forcé, issu de la décomposition sur les champs moyennés en phase

n’apparaît pas sur les sept premiers modes de la décomposition sur les champs instantanés. Le jet à 10 Hz présente

une organisation similaire à l’écoulement généré par la pulsation de 1 Hz avec un recul des structures apparaissant

dans les modes spatiaux naturels par rapport à ceux de la décomposition à 1 Hz. Néanmoins, son analyse est limitée

à ces observations sur les modes spatiaux et la décroissancede l’énergie de ces modes. Le problème est toujours

lié à la fréquence d’acquisition qui ne permet pas de réaliser une étude fréquentielle sur les signaux des coefficients

temporels.

5 Snapshot POD multiplan : influence des modes spatiaux

5.1 Reconstruction volumique des modes forcés

L’organisation des premiers modes spatiaux étant comprise, l’objectif est de reconstruire l’écoulement afin

d’avoir des données volumes cohérentes et représentatives. L’analyse se base sur le jet à 1 Hz car sa décomposi-

tion est plus complexe. Le jet à 0,25 Hz est par la suite reconstruit et discuté. Pour le jet à 1 Hz, les quatre plans

de mesure parallèles utilisés sont ceux obtenus avec les données statistiquement indépendantes de SPIV et sont

situés ày/L = 0, y/L = 0,05, y/L = 0,17 ety/L = 0,41. L’idée est de construire le tenseur de corrélation avec

des informations obtenues dans ces quatre plans. Cette opération est possible sur les champs moyennés en phase

mais elle est impossible sur les champs instantanés car les mesures ne sont pas simultanées. Grâce aux moyennes

de phase, l’évolution du champ de vitesse tridimensionnel est obtenue. La snapshot POD permet d’établir des

modes spatiaux volumiques avec une résolution transversale très faible. Une interpolation linéaire entre les plans

permet de les obtenir sur un maillage régulier. Comme lors del’application sur un plan de mesure, les moyennes

de phase traduisent le forçage du jet. Les trois premiers modes spatiaux représentent plus de 99,9% de l’énergie

totale. Une reconstruction est effectuée sur les vingt instants de la sinusoïde. Quatre instants sont présentés sur les

figures 5.20(a) à (d). Les iso-contours représentent la norme de la vorticité adimensionnée et les vecteurs vitesse

(1 sur 3) sont colorés par la norme de la vitesse de l’écoulement. Sur la figure 5.20(b), la vitesse du jet commence

à augmenter. La frontière inférieure du jet proche de l’orifice est composée de tourbillons formés par l’excitation.

Sur la figure 5.20(b), le tourbillon en aval du jet commence à se former ainsi que le tourbillon de bec dans la zone

amont. Celui-ci n’est plus visible sur la figure 5.20(d) alors que le tourbillon aval a commencé son ascension dans

l’écoulement. On identifie toujours sur ces représentations volumiques la deuxième trajectoire du jet se formant à

la fréquence d’acquisition de 1 Hz.

Une comparasion est ensuite effectuée entre la reconstruction avec les quatre premiers modes et les champs

de vitesse initiaux sur les vingt instants de la sinusoïde. Elle est réalisée pour un mode tout d’abord, puis avec les

deux premiers modes jusqu’aux quatre modes correspondant quasiment au maximum d’énergie. Le coefficient de

corrélation entre les données reconstruites et initiales est présentée sur la figure 5.21 en fonction de la période adi-

mensionnée. Le but est de comprendre le rôle de chaque mode spatial obtenu lors de la décomposition orthogonale.

Sur cette figure, on retrouve tout d’abord la reconstructionavec 20 modes qui correspond à une corrélation de un

car elle correspond à la totalité du nombre de modes spatiauxextraits. Pour comprendre cette figure, il est à noter

que les mesures de SPIV ont été réalisées au début de la thèse avec une autre pompe pour pulser le jet. Dans ce

cas, la sinusoïde de débit commence à l’instantt/T = 0,05. La vitesse du jet est supérieure à celle de l’écoulement

transverse sur la partie det/T = 0,05 àt/T = 0,5 et inversement sur la deuxième partie de la période de pulsation.

Le premier mode seul représente entre 79 et 95% de la reconstruction totale suivant l’instant d’injection. Sa contri-

bution est la plus faible lorsque la vitesse du jet est inférieure à celle du courant principal. D’après le graphique, il


(a) t/T = 0,12 (b) t/T = 0,24

(c) t/T = 0,32 (d) t/T = 0,72

FIG. 5.20 – Iso-contours de la norme de la vorticité adimensionnée et vecteurs vitesse (1 sur 3) colorés par lanorme de la vitesse pour le jet pulsé à 1 Hz

t/T

coef

ficie

ntde

corré

latio

n

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Mode 1Mode 1+2Mode 1+2+3Mode 1+2+3+4Mode 1+...+20

FIG. 5.21 – Coefficient de corrélation entre la reconstruction avecn modes et les données initiales pour les quatreplans de mesure longitudinaux

5. Snapshot POD multiplan : influence des modes spatiaux 153

peut être déduit que les modes 2 et 3 influent sur l’injection du jet. Le mode 2 domine dans les instants où la vitesse

du jet est maximale ou minimale sur la sinusoïde de débit. A l’inverse, le mode 3 agit lorsque la vitesse du jet est

proche de celle de l’écoulement transverse. La zone privilégiée du mode 3 se situe à l’endroit de la formation du

jet et il domine l’écoulement à l’instantt/T = 0,6. Cet instant correspond à la propagation du tourbillon en aval

formé à la fréquence de 1 Hz sur la frontière inférieure du jet. En conclusion, le forçage peut être essentiellement

décrit par une balance entre les modes 2 et 3 durant la périoded’injection : le mode 2 quantifiant la variation de la

vitesse sur l’orifice de sortie alors que le mode 3 influence laformation tourbillonnaire en aval de cet orifice.

La reconstruction pour le jet à 0,25 Hz est effectuée de la même manière avec la snapshot POD multiplans sur

les mesures de SPIV à une fréquence d’acquisition de 12,5 Hz. Les plans de mesure sont donc différents et sont

localisés ày/L = 0, y/L = 1/6, y/L = 1/3 et y/L = 1/2. Les sept premiers modes ont permis de construire les

modes spatiaux volumiques. Quatre instants sont illustréssur les figures 5.22(a) à (d) où la norme de la vorticité

adimensionnée et les vecteurs vitesse dans l’écoulement sont représentés. On remarque que l’intensité tourbillon-

(a) t/T = 0,18 (b) t/T = 0,42

(c) t/T = 0,7 (d) t/T = 0,94

FIG. 5.22 – Iso-contours de la norme de la vorticité adimensionnée et vecteurs vitesse (1 sur 3) colorés par lanorme de la vitesse

naire est située sur tout le champ volumique. On identifie maintenant les formations du tourbillon de bec et du

tourbillon aval sur la figure 5.22(b).

5.2 Comparaison avec les plans transversaux

La reconstruction obtenue par snapshot POD multiplans est comparée aux plans de mesure transversaux de

l’écoulement afin de valider la qualité des résultats. Pour la fréquence de 1 Hz, le plan de SPIV est enregistré à

x/L = 2,05. Les figures 5.23(a) à (c) présentent une comparaison des trois composantes de la vitesse entre ces deux


sources de données différentes à l’instantt/T = 0,15. Les données de la reconstruction sont à gauche et les me-

(a) Vx/Ure f (b) Vy/Ure f (c) Vz/Ure f

FIG. 5.23 – Comparaison des trois composantes de la vitesse entre les données reconstruites par POD multiplans(à gauche) et le plan de mesure transversalx/L = 2,05 (à droite) pour la fréquence de 1 Hz àt/T = 0,15

sures expérimentales sont à droite. Les comparaisons sur les trois composantes sont assez similaires. On retrouve

un bon accord sur les trois vitesses avec un léger décalage sur le plan le plus à l’extérieur de la reconstruction.

Effectivement ày/L = 1/2, les structures sont décrites avec une petite augmentation dans leur localisation verti-

cale. Cette erreur est peut être liée à un léger décalage de lamire de calibration par exemple. Le planx/L = 2,88

présente également un bon accord pour les trois vitesses dans l’écoulement mais avec des écarts légèrement plus

importants que les comparaisons des figures 5.23(a) à (c). Ilest à noter également la très faible résolution spatiale

dans la direction transversale avec seulement quatre planssur 0,5D. De plus, cette résolution est non homogène et

les plans longitudinaux sont situés plus proches du plan médian.

La comparaison entre les modes reconstruits et le plan de mesure transversal est également effectuée pour le jet

à 0,25 Hz. Elle est réalisée avec le plan situé àx/L = 4. Les figures 5.24(a) à (c) présentent cette comparaison sur

les trois composantes de la vitesse. Les contours sur les trois vitesses sont correctement modélisés. La vitesseVz,

(a) Vx/Ure f (b) Vy/Ure f (c) Vz/Ure f

FIG. 5.24 – Comparaison des trois composantes de la vitesse entre les données reconstruites par POD multiplans(à gauche) et le plan de mesure transversalx/L = 4 (à droite) pour la fréquence de 0,25 Hz àt/T = 0,2

quant à elle, apparaît différente sur la partie supérieure du jet. Ces écarts dans la modélisation de l’écoulement sont

liés à la position du plan de mesure transversal. Il est situéloin de la sortie du jet dans une zone où l’écoulement

est fortement perturbé. Dans le cas précédent pour la fréquence de 1 Hz, le plan de mesure est plus rapproché et

les variations temporelles de la structure du jet sont beaucoup moins conséquentes. Il est à noter également que la

faible résolution transversale liée aux fortes variationsdu jet implique une modélisation plus complexe que pour la

6. Modélisation des modes naturels de sillage 155

fréquence de 1 Hz.

6 Modélisation des modes naturels de sillage

La modélisation du jet pour la fréquence de 0,25 Hz est représentative de l’écoulement car les modes forcés

et naturels sont confondus. A l’inverse pour la fréquence de1 Hz, seul l’écoulement forcé est modélisé sans tenir

compte des modes naturels dans le sillage du jet. Une méthodeest employée afin de construire des modes volu-

miques naturels du jet. Elle se base sur la connaissance de lafréquence naturelle du jet dans le sillage identifiée à

0,28 Hz sur les coefficients temporels des modes 2 et 3 de la décomposition sur le jet continu. Afin d’intégrer les

modes naturels dans la modélisation, on réalise une snaspshot POD sur les champs instantanés des plans longitudi-

naux de l’écoulement. Sur ces quatre plans, on retrouve une organisation en modes forcés et naturels équivalente.

Les modes forcés sont calés temporellement entre les différents plans (réalisation d’une snapshot multiplan) mais

pas les modes naturels où la répartition de leurs coefficients sur un diagramme de phase est aléatoire. La figure

5.2(b) présente cette répartition des coefficientsa2 eta3 issue de la décomposition sur le jet continu. Le but est donc

de recaler les coefficients des deux modes naturels sur les quatre plans longitudinaux pour qu’ils aient le même

départ correspondant à une propagation simultanée des tourbillons de sillage. Pour ce faire, le plan orthogonal à

l’écoulementx/L = 2,88 est utilisé. Dans ce plan, les modes 2 et 3 sont des modes naturels représentant le passage

de ces tourbillons de sillage. Un diagramme de phase modélisé est obtenu pour ces deux coefficientsa2 en fonc-

tion dea3 en prenant des quartiers angulaires de 18 correspondant à la fréquence d’acquisition des données. Une

moyenne des points situés dans chaque portion est effectuée. Il est à noter que le nombre de points dans chaque

quartier est sensiblement identique. L’étape suivante consiste à moyenner les coefficients temporels des modes

naturels dans le plany/L = 0 de la même façon. Les figures 5.25(a) et (b) présentent les diagrammes de phase

moyennés pour les planx/L = 2,88 ety/L = 0 respectivement. Ayant l’évolution de ces coefficients surla période

a2

a 3

-2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2 point de référence

(a) Diagramme de phase dans le planx/L = 2,88

a2

a 3

-2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2 point de départ

(b) Diagramme de phase dans le plany/L = 0

FIG. 5.25 – Diagrammes de phase ayant servi au recalage des modesnaturels pour le plany/L = 0

d’injection, on reconstruit les modes naturels de l’écoulement dans les deux plans. On choisit ensuite un point de

départ arbitraire sur le diagramme de phase du planx/L = 2,88 comme étant l’instant de référence. On extrait donc

le profil de vitesse à cet instant que l’on compare à ceux obtenus dans le plany/L = 0 à l’aide d’une corrélation

du signal de vitesse. On obtient donc le profil le plus ressemblant au profil de référence qui nous donne le point de

départ sur le diagramme de phase des coefficients temporels des modes naturels sur le plany/L = 0. Cette étape de


recalage des modes naturels est de nouveau réalisée sur les autres plans longitudinaux en gardant le même point

de départ sur le plan de référencex/L = 2,88. A ce stade, les deux modes naturels sur les différents plans ont

tous le même point de départ sur le diagramme de phase. La modélisation des coefficients temporels consiste à

approximer leur évolution sur un cercle déjà obtenu sur les diagrammes de phase moyennés. Ayant déterminé le

départ de l’évolution circulaire, il faut maintenant trouver l’espacement angulaire entre deux points de ce cercle.

FIG. 5.26 – Signaux des modes naturels à 0,28 Hz etdes modes forcés à 1 Hz pour le jet pulsé à 1 Hz

Connaissant les deux fréquences caractéristiques des

modes à reconstruire, 1 Hz pour les modes forcés et

0,28 Hz pour les modes naturels, il faut déterminer un

nombre de période afin de décrire toute la dynamique tour-

billonnaire que ce soit dans le sillage et à la sortie du jet.

La figure 5.26 présente le problème avec une sinusoïde à

1 Hz et une à 0,28 Hz représentant l’évolution des diffé-

rents phénomènes présents dans l’écoulement. On définit

un temps minimal afin de définir tout le signal de 25 s cor-

respondant à 25 périodes à 1 Hz et sept périodes à 0,28 Hz.

Les deux modes forcés sont définis par 20 points sur la

période de pulsation équivalent aux points ayant servis à

l’acquisition. Pour décrire 25 périodes, on obtient un si-

gnal défini sur 500 points. Les modes naturels, quant à

eux, sont décrits par sept sinusoïdes et vont être modéli-

sés pour les mêmes 500 points que ceux des modes forcés.

On détermine donc un quartier angulaire de 5,04 entre chaque point sur le diagramme de phase. Cette modélisa-

tion est matérialisée sur le diagramme de phase de la figure 5.25(b) pour les coefficients temporels du plany/L = 0.

La flèche indique le sens de rotation pour son évolution. La détermination du commencement sur le diagramme de

phase ainsi que la modélisation de celui-ci sont effectuéessur les trois autres plans. Ayant l’évolution temporelle de

ces modes naturels et des modes forcés par la décomposition sur les moyennes de phase, les 500 champs de vitesse

reconstruits sur les quatre plans de mesure nécessaire à la description d’un cycle complet de l’écoulement sont

utilisés pour réaliser une snapshot POD multiplan. De cettedécomposition, on obtient cinq modes volumiques :

le mode 1 représentant la moyenne, les modes 2 et 5 décrivant le forçage et les modes 3 et 4 les tourbillons dans

le sillage du jet. De plus, l’énergie de ces cinq premiers modes correspond à plus de 99,99% de l’énergie totale

de la décomposition sur les champs reconstruits. Les champsde vitesse reconstruits sont présentés sur les figures

5.27(a) et (d). Ils correspondent exactement au même instant que les figures 5.20(a) à (d) sur la reconstruction avec

les modes forcés uniquement. Les iso-contours de la norme dela vorticité adimensionnée et les vecteurs vitesse

sont illustrés sur ces champs volumiques. Comme précédemment, on identifie toujours la couche de mélange sous

le jet constituée de nombreux rouleaux tourbillonnaires. On localise également le tourbillon en fer à cheval et le

tourbillon formé en aval par l’excitation du jet. L’ajout par rapport à la reconstruction précédente est la présence de

tourbillons naturels du jet dans le sillage de l’écoulement. A t/T = 0,32 ett/T = 0,72 sur les figures 5.27(a) et (c),

on identifie ces tourbillons avec quasiment la même intensité et localisation. Ces structures sont donc convectées

moins rapidement que celles formées à la sortie du jet.

7 Conclusion sur la reconstruction d’écoulements

Ce chapitre propose une technique afin de modéliser l’écoulement généré par un jet pulsé dans un courant

principal. Elle se base sur la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD). Cette décomposition est,

tout d’abord, réalisée sur les champs instantanés du jet continu. Les caractéristiques principales sont la présence

7. Conclusion sur la reconstruction d’écoulements 157

(a) t/T = 0,32 (b) t/T = 0,12

(c) t/T = 0,72 (d) t/T = 0,24

FIG. 5.27 – Iso-contours de la norme de la vorticité adimensionnée et vecteurs vitesse (1 sur 3) colorés par lanorme de la vitesse pour le jet pulsé à 1 Hz

de deux modes décrivant les tourbillons dans le sillage du jet avec une fréquence caractéristique de propagation

de 0,28 Hz. L’étude consiste ensuite à appliquer cette décomposition sur les champs instantanés et moyennés en

phase sur le jet pulsé à 1 Hz. On distingue une organisation des modes spatiaux avec des modes forcés décrivant la

pulsation du jet et des modes naturels comparables à ceux du jet continu. La snapshot POD est réalisée aussi sur

les plans transversaux. Aucun mode spatial n’est visible dans ces plans lorsqu’ils ne sont pas localisés à proximité

de la sortie du jet.

Cette organisation est également observée sur les autres plans longitudinaux de l’écoulement ce qui a permis

de construire le tenseur de corrélation en prenant en compteles quatre plans de mesure parallèles entre eux. De

cette décomposition, on construit des modes spatiaux volumiques. L’influence des premiers modes est décrite avec

un phénomène de balance entre les modes 2 et 3 qui contribuentchacun leur tour à la formation tourbillonnaire

pendant la période de pulsation. Les données reconstruitessont ensuite comparées à des plans de mesure transver-

saux. On retrouve un bon accord sur les trois composantes de la vitesse.

L’application de la décomposition sur le jet à 0,25 Hz ne révèle pas de distinction entre des modes forcés et

des modes naturels. Contrairement au jet à 1 Hz, les modes sont localisés sur tout le domaine et représentent les

tourbillons formés en amont et aval de l’orifice. La reconstruction avec les modes issus de la snapshot POD multi-

plans présente des zones tourbillonnaires dans le sillage ainsi que proche de l’orifice du jet. Pour le jet à 1 Hz, une

technique est mise en oeuvre afin de modéliser les modes naturels de l’écoulement. Associée à la représentation des

phénomènes de forçage, on obtient une modélisation simplifiée volumique de l’écoulement qui représente 99,9%


de l’énergie initiale. Cette technique de reconstruction semble une bonne alternative à des mesures volumiques afin

de représenter des écoulements fortement tridimensionnels.

Conclusion

Ce travail, réalisé au Laboratoire d’Etudes Aérodynamiques (LEA) de l’université de Poitiers, avait pour ob-

jectif l’étude d’un jet pulsé débouchant dans un courant principal à faible nombre de Reynolds. Suite à l’étude

du jet continu (Fraticelli, 2008), l’idée était de pulser lejet afin d’améliorer l’efficacité de mélange entre les deux

fluides. Pour modifier la vitesse du jet, seule la fréquence depulsation varie dans une gamme comprise entre 0

et 10 Hz, la vitesse moyenne du jet et l’amplitude étant fixéespar ailleurs. Dans un premier temps, la dynamique

tourbillonnaire du jet a été décrite et analysée afin de comprendre l’influence de la fréquence de pulsation sur le

comportement du jet. Ensuite, le mélange entre les deux fluides a été quantifié à l’aide de critères géométriques et

cinématiques. Enfin, une modélisation a été proposée afin de reconstruire un écoulement fortement tridimension-

nel au moyen de données 2D-3C. Ce travail s’est appuyé principalement sur des visualisations de l’écoulement par

émission de colorant pour la partie qualitative, sur des mesures de vitesse par vélocimétrie par image de particules

(PIV et SPIV) et des mesures de concentration par fluorescence induite par laser (PLIF). Ce travail a été l’occasion

de la conception, la réalisation et la mise au point d’une technique de mesure couplée de vitesse et concentration

dans deux plans orthogonaux.

L’analyse des grandeurs statistiques des champs de vitessea permis de mettre en évidence plusieurs phéno-

mènes sur l’influence de la pulsation d’un jet débouchant dans un écoulement transverse. Tout d’abord, le fait de

pulser le jet oblige toutes les structures de l’écoulement àvarier au cours du temps : plus aucune structure station-

naire n’est présente dans ce type d’écoulement comme le tourbillon en fer à cheval et le tourbillon de bec dans la

zone amont à proximité de la sortie du jet. Les visualisations par colorants ont permis de déterminer des carac-

téristiques principales dans des gammes spécifiques de fréquence. Elle révèle une distinction entre deux régimes

d’écoulements avec un seuil pour une fréquence caractéristique de transitionfT = 0,31 Hz. Ce seuil est proche de

la fréquence caractéristique observée dans le jet continu (0,28 Hz qui décrit les tourbillons naturels dans le sillage

de l’écoulement).

Pour des fréquences inférieures à ce seuilfT , le jet pulsé à 0,25 Hz a été étudié. Dans cet écoulement, deux tour-

billons se forment de part et d’autre de l’orifice lors de la phase d’injection du fluide : le tourbillon de bec en amont

et le tourbillon aval formé à la fréquence d’excitation du jet. La dynamique tourbillonnaire a été mise en évidence

sur des champs de vitesse moyennés en phase. Elle est caractérisée par des lâchers tourbillonnaires successifs à des

instants différents dans la période de pulsation entraînant des mécanismes tels que le basculement, la combinaison

159

160 Conclusion

ou encore la mise en concurrence de ces deux tourbillons. Cesphénomènes sont quantifiés avec le critèreQ2D

et la circulation autour de la structure tourbillonnaire. L’écoulement est par la suite dominé par le tourbillon de

bec sur la frontière supérieure du jet qui est propulsé dans l’écoulement sous l’effet d’un gradient inverse dans la

couche interne de l’écoulement. Les variations temporelles importantes à cette fréquence de pulsation conduisent

à une structuration tourbillonnaire répétitive, distincte et bien séparée sur les premiers diamètres. Le jet pénètre en

hauteur dans l’écoulement dès sa sortie de l’orifice et sa pénétration reste supérieure aux autres cas étudiés dans

le sillage. L’augmentation de la pénétration du jet pour lesjets inférieurs à ce seuil reste très faible comparée à

celle déjà observée dans la littérature pour des rapports cycliques d’injection (rapport entre le temps de pulsation

et la fréquence) très faibles (Johariet al., 1999) ou des excitations de formes carrées à des sous-harmoniques de la

fréquence naturelle du jet (Shapiroet al., 2003). Le forçage avec des signaux carrés apparaît optimales de part sa

perturbation plus importante de la structuration du jet (M’Closkeyet al., 2002).

A l’inverse, pour les fréquences supérieures à 0,31 Hz, le jet se courbe plus rapidement dans l’écoulement. En

sortie du jet, le tourbillon de bec n’est pas expulsé dans l’écoulement mais seulement entretenu. Le jet est dominé

par le tourbillon en aval du jet formé à la fréquence de pulsation. Sa dimension diminue lorsque la fréquence de

pulsation du jet croît. Pour le jet à 1 Hz, les tourbillons en aval se détachent de l’orifice de sortie dans la couche

cisaillée inférieure du jet. D’autres tourbillons émanantde l’orifice forment une seconde trajectoire parallèle à la

plaque plane. Ce jet à trajectoires multiples est mis en évidence sur des champs instantanés de vitesse. Cela a déjà

été évoqué pour des jets synthétiques (Tomaret al., 2004) pour un nombre de Strouhal de 0,19 ou encore des jets

pulsés (Eroglu & Breidenthal, 2001) pourSt = 0,28. Pour le jet à 1 Hz, le nombre de Strouhal est supérieur à

ceux relevés dans la littérature et vaut 1,76. Des mesures pariétales ont montré la présence de tourbillons ascen-

dants dans le sillage. Ces tourbillons, qui ont une vitesse croissante, s’étendent de la plaque plane de la veine à

la frontière inférieure du jet. Enfin, les dernières structures mises en évidence sont les tourbillons contrarotatifs

dominant l’écoulement dans le sillage. Comme pour le jet continu, ils forment deux lobes de sens de rotation op-

posé en moyenne mais ils sont constitués d’une multitude de tourbillons contrarotatifs, observables sur les champs

instantanés de vitesse dans une tranche de l’écoulement. Ces tourbillons formant l’enveloppe du jet sont de plus

en plus resserrés sur sa frontière supérieure et interagissent entre eux. Le sillage se compose de zones filamen-

taires dès lors que l’on s’éloigne de la sortie du jet. Néanmoins avec l’augmentation de la fréquence de pulsation,

des grosses structures apparaissent dans le sillage au détriment des plus petites et sont semblables à celles du jet

continu (exemple de la fréquence de 10 Hz). Pour cet écoulement, la formation des tourbillons en aval du jet est

visible mais leur taille est très petite. Les tourbillons contrarotatifs sont également mis en évidence sur des champs

instantanés de vitesse dans une couple de l’écoulement avecle même comportement que le jet à 1 Hz. L’aspect

tridimensionnel des écoulements pulsés a été mis en avant par des mesures dans des quatre plans longitudinaux

situés sur une demi-section de l’orifice pour les trois fréquences de pulsation.

L’étude de l’axe du maximum de vitesse met en exergue une augmentation de la pénétration dans l’écoulement

pour les jets à fréquence faible. Un modèle a été proposé dansce manuscrit afin de prendre en compte la fréquence

de pulsation du jet. Il modélise l’axe du jet en fonction de lafréquence de pulsationf dans la zone de sillage.

Enfin, une étude fréquentielle réalisée sur des points dans les zones de fortes fluctuations a permis de quantifier des

fréquences caractéristiques de la pulsation dans le jet à 0,25 Hz sur tout le domaine. Cet écoulement est donc en-

tièrement dominé par cette fréquence. Pour le jet à 1 Hz, on identifie une fréquence caractéristique de la pulsation

à proximité de l’orifice. Cette fréquence est ensuite noyée dans une gamme fréquentielle comprise entre 0 et 1 Hz.

Dans le sillage, on se rapproche d’une fréquence proche de lafréquence 0,28 Hz caractéristique des structures

obtenues dans le jet continu.

La deuxième partie a permis d’extraire des informations surle mélange du jet pulsé débouchant dans le courant

Conclusion 161

principal à l’aide de mesures couplées dans le plan longitudinal médian ainsi que dans un plan orthogonal situé à

environ quatre diamètres de l’orifice. L’étude des champs deconcentration dans ce plan médian a mis en évidence

trois aspects sur la structuration globale de l’écoulement: un cône potentiel où la concentration est quasi-uniforme

avec des dimensions variables suivant la fréquence de pulsation, une dissymétrie des iso-contours de concentration

autour de l’axe du maximum de concentration et enfin une protubérance localisée dans la zone de recirculation.

Les différents critères géométriques mis en place pour caractériser le mélange entre les deux fluides ont permis de

quantifier une opportunité de mélange plus importante pour le jet à 0,25 Hz comparé aux deux autres cas pulsés

avec un contour plus tortueux et une dimension fractale plusgrande. A la vue de ces résultats, une différence réside

dans l’augmentation du contour pour le jet continu alors queles périmètres des écoulements pulsés décroissent sui-

vant le seuil de binarisation. Ce phénomène est lié à la concentration de la protubérance sous le jet. Les critères de

fraction de mélangeFm et de production du gradient de concentrationΓ sont utilisés afin de comprendre l’organi-

sation du mélange. Les zones les plus mélangées sont localisées à la formation des tourbillons en amont et aval de

la sortie du jet pour les écoulements pulsés et au déclenchement des tourbillons dans la couche cisaillée pour le jet

continu. Le jet à 10 Hz présente le mélange le plus important sur le plan médian. Pour cet écoulement, la zone de

sillage s’étend de la frontière inférieure du jet à la plaqueplane, où les vitesses sont très faibles. Celles-ci facilitent

sa diffusion. Au niveau du critère de mélange, le jet continupossède une valeur supérieure aux deux autres cas

pulsés. Le jet à 0,25 Hz présente une intermittence dans sa phase de mélange avec une valeur deFm supérieure

à celle du jet à 1 Hz lors de la phase de poussée du jet. L’évolution de ce critère de mélangeFm en fonction de

l’abscissex/L conduit à une similarité dans les mécanismes mis en oeuvre dans le mélange du jet à 10 Hz et du jet

continu. On retrouve une croissance rapide proche de la sortie du jet lié à la zone de mélange sous le jet, puis une

décroissance lors de la fermeture de la zone de sillage et de nouveau une augmentation liée à l’étirement induit des

grosses structures dans le sillage. Les deux autres écoulements pulsés présentent une augmentation moins brutale

que dans les exemples précédents et aucune diminution de sonévolution sur tout le domaine.

Enfin, le mélange est examiné sur le plan orthogonal à l’écoulement. Le jet à 0,25 Hz est le plus mélangé et aussi

celui qui possède de grandes variations dans son évolution temporelle et spatiale sur la période de pulsation avec

une expansion transversale comprise entre 1,5 et 4 diamètres. Cette conclusion a été mise en évidence par le trans-

port turbulent dans le plan médian. Pour les deux autres fréquences de pulsation, le mélange est localisé dans les

tourbillons contrarotatifs et est donc très limité. Les conclusions importantes sont un mélange plus rapide et plus

important pour le jet à 10 Hz dans le plan médian mais il reste limité dans une zone de recirculation sous le jet

(poche de fluide) et dans son expansion transversale. Le jet à1 Hz présente le même type de caractéristique avec

un mélange moins efficace lié à des vitesses ascendantes dansle sillage menant à une convection des zones mé-

langées. A l’inverse, le jet à 0,25 Hz présente des zones de mélange localisées lors des formations tourbillonnaires

amont et aval. Puis, elles sont convectées dans l’écoulement et étirées dans l’envergure du jet où son mélange est

maximal. Ce jet présente des bouffées de fluide fortement et très peu mélangées (intermittence du mélange).

En parallèle à ces analyses, une modélisation de l’écoulement généré par le jet pulsé dans le courant transversal

est proposée. Elle se base sur la décomposition orthogonaleaux valeurs propres (POD) appliquée sur les champs

instantanés et moyennés en phase des différents écoulements. Pour le jet à 1 et 10 Hz, on distingue une organi-

sation des modes spatiaux avec des modes forcés décrivant lapulsation du jet et des modes naturels comparables

à ceux du jet continu (représentatifs des tourbillons dans le sillage du jet). L’application de la décomposition sur

le jet à 0,25 Hz révèle une similitude entre les modes forcés et naturels du jet. Contrairement au jet à 1 Hz, les

modes forcés sont localisés sur tout le domaine et représentent les tourbillons formés en amont et aval du jet.

Cette organisation est également observée sur les autres plans longitudinaux de l’écoulement ce qui a permis de

construire un tenseur de corrélation en prenant en compte les quatre plans de mesure parallèles entre eux avec des

162 Conclusion

champs moyennés en phase. De cette décomposition, on construit des modes spatiaux volumiques. Les données

reconstruites sont ensuite comparées à des plans de mesure transversaux. On retrouve un bon accord pour ces

comparaisons sur les trois composantes de la vitesse. La reconstruction avec les modes issus de la snapshot POD

multiplan présente des zones tourbillonnaires dans le sillage ainsi que proche de l’orifice du jet pour la fréquence

de 0,25 Hz. Pour le jet à 1 Hz, l’intégration des modes naturels de l’écoulement dans le modèle a permis de mettre

en évidence les structures dans le sillage qui se propagent àla fréquence naturelle du jet. Cette technique de re-

construction semble une bonne alternative à des mesures volumiques pour représenter des écoulements fortement

tridimensionnels dans le cas d’écoulements pulsés.

Ces études qualitative et quantitative de la dynamique tourbillonnaire ainsi que l’étude du mélange ont permis

de mettre en évidence des caractéristiques pour les jets pulsés comparés au jet continu. Néanmoins, ce travail a

été effectué sur une gamme de fréquences pour une amplitude et un nombre de Reynolds fixes. La variation de

ces deux paramètres ainsi que le rapport cyclique d’injection pourrait permettre de déterminer des jets possédant

des mélanges plus efficaces. Une étude paramétrique pourrait être envisagée en fonction du nombre de formation

(Gharib et al., 1998) et du nombre de Strouhal. Une perspective intéressante serait également l’utilisation de

signaux différents pour l’excitation du jet. Les signaux serapprochant le plus d’une forme carrée semblent perturber

d’avantage l’écoulement (Shapiroet al., 2003). Afin de caractériser plus finement les écoulements, on pourrait

également développer d’autres outils afin de quantifier le mélange. Une approche lagrangienne peut être mise en

oeuvre afin de détecter les structures dans l’écoulement et de déterminer des lignes de séparation sur le champ

de vitesse. Ces lignes peuvent être vues comme des barrièresde mélange et permettent de quantifier les échanges

aux frontières. Le couplage vorticité-concentration permettrait également de comprendre les mécanismes liés au

processus de mélange, tout comme le calcul de l’entraînement de fluide frais du courant principal par le jet. Enfin,

d’un point de vue des mesures optiques, les résultats des mesures tomographiques mises en oeuvre dans la fin

de ce travail peuvent servir à la validation du modèle de l’écoulement réalisé à l’aide de champs 2D-3C mais

également afin de comprendre les structures tourbillonnaires formées dans le sillage sur des volumes instantanés.

Les mesures de LIF-3D (Tian & Roberts, 2003) sont également d’autres mesures susceptibles d’être effectuées au

sein du laboratoire pour comprendre la répartition et l’extension du mélange sur les trois directions de l’écoulement.

Annexe : Conditions d’entrée du jet pulsé

Cette annexe présente les profils de vitesse à la sortie de l’orifice du jet en présence du courant principal. Les

mesures sont réalisées par PIV sur six plans longitudinaux àl’écoulement au niveau de l’orifice (0, 5, 8, 12, 14,

et 14,5 mm par rapport au plan médiany/L = 0). Les plans sont choisis sur un demi-carré d’injection. Ils sont

moins espacés et plus nombreux dans les zones où les changements de vitesse sont brutaux, typiquement proche

de l’arête externe du carré d’injection.

163


Profils de vitesse moyennés en phase du jet pulsé à0,25 Hz

YX

Z

Jet pulsé

Ecoulement transverse

(a) t/T = 0

Y

Z

Jet pulsé


(b) t/T = 0,15

YX

Z

Jet pulsé


(c) t/T = 0,25

Y

Z

Jet pulsé


(d) t/T = 0,4

Y

Z

Jet pulsé


(e) t/T = 0,5

YX

Z

Jet pulsé


(f) t/T = 0,65

Y

Z

Jet pulsé


(g) t/T = 0,9

YX

Z

Jet pulsé


(h) t/T = 0,95

166 Annexe : Conditions d’entrée du jet pulsé

Profils de vitesse moyennés en phase du jet pulsé à1 Hz

Y

Z

Jet pulsé


(i) t/T = 0

YX

Z

Jet pulsé


(j) t/T = 0,1

Y

Z

Jet pulsé


(k) t/T = 0,25

YX

Z

Jet pulsé


(l) t/T = 0,35

Y

Z

Jet pulsé


(m) t/T = 0,5

YX

Z

Jet pulsé


(n) t/T = 0,65

Y

Z

Jet pulsé


(o) t/T = 0,8

YX

Z

Jet pulsé


(p) t/T =,9


Profils de vitesse moyennés en phase du jet pulsé à10 Hz

Y

Z

Jet pulsé


(q) t/T = 0

YX

Z

Jet pulsé


(r) t/T = 0,1

Y

Z

Jet pulsé


(s) t/T = 0,2

YX

Z

Jet pulsé


(t) t/T = 0,35

Y

Z

Jet pulsé


(u) t/T = 0,5

YX

Z

Jet pulsé


(v) t/T = 0,6

Y

Z

Jet pulsé


(w) t/T = 0,75

YX

Z

Jet pulsé


(x) t/T = 0,9

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