Étude en courbure des guides d’ondes a grande distance, cas des guides métalliques

~TUDE EN COURBURE DES GUIDES D'ONDES A GRANDE DISTANCE, CAS DES GUIDES M~TALLIQUES

p a r

et Marc B R A Y E R

Docteur ~s sciences physiques *

Jeanine Y H U E L

Ing6nieur E.P.F. **

R~SUM]~. - - La premiere partie de cette ~tude est relative aux propri~tds spectrates en courbure des guides circulaires ?t grande distance. Les structures dludi~es peuvent dtre hdlico'idales, ?t revgtement di~lectrique ou mdtal- liques pures. Aprds avoir oblenu les solutions d'ondes en courbure, les auleurs ddterminent leurs coefficients de coupIage, et introduisent une m~thode de calcuI des amplitudes d'ondes et des vaIeurs propres du spectre de la structure. En application, ils donnent un certain hombre de rdsultats numdriques concernant les propridl~s des guides m~lalliques nus et d revgtement didlectrique. Les propri~t~s en courbure des structures hdlicoi'dales seronl ~tudides dans unc publication ult~rieure. Dans la seconde partie, its ~tudient sgstdmatiquemenl l 'optimalisation d'un franchissement de courbure en calculant successivemcnt : le profil optimal du parcours, sa meiUeure ouverture possible et le meiIleur emplacement du point d'arriv~c, comple tenu des rdsultats prdc~dents.

PLAN. - - Introduction �9 I : Courbure des guides d grande distance 1.1. Les dquations de Kirchoff en courbure ; II.2. Introduction aux coefficients de couplage ; 1.3. Calcul des coefficients de couplage en l'absence de revgtemenl intdrieur; 1.4. ,V1odifications apport~es par tes couches didlectriques; 1.5. Retour sur les ~quations diffdrenlielles du couplage ; 1.6. Applications du guide mdtaIlique nu ; 1.7. Applications au guide ~t rev~tement. �9 I I : Optimal isa t ion des f ranchissements de courbure II.1. Gdn~ralit~s ; II.2. Recherche du profil optimal avec ouverture constante; II.3. Recherche de la meilIeure ouverture d'un profil optimal; 11.3. Exemple d'optimalisation du point d'arrivde. Conclusion. 4 annexes. Bibliographic (10 r6f.).

INTRODUCTION

Les guides d 'ondes circulaires sont utilis6s en t~l~communicat ions pour leur 6norme capacit~ de

trafic. Ils sont donc pr6vus pour des moyennes et longues distances, et les lignes ainsi pos6es com-

p rennen t un assez grand nombre de changements cont inus de direction. Erl outre, chaque t ron$on rectiligne conserve une ondula t ion r6siduelle, de

caract~re al6atoire, qui finit par d6terminer, aux fr6quences 61ev6es, les qualitds m~mes de la ligue. On comprend ainsi qu' i l soit indispensable d '6valuer les possibilit6s de t ransmiss ion en courbure de l 'onde Hol , et que leur 6tude th6orique et exp~ri- menta le soit un facteur d6 te rminan t pour le choix du guide et ses conditions d 'exploi tat ions.

La premiere partie de cette 6tude est consacr6e aux propri6t6s g6n6rales en courbure des structures

parois d ' imp6dances (h~licoidales ou h rev~tement di61ectrique), On montre rap idement , apr~s t rans-

format ion des 6quations de Maxwell, que toute onde en propagat ion dans une courbure se repr6sente par un d6veloppement de Fourier const rui t sur les modes

propres d ' u n guide t angen t associ6. I1 en r6sulte

l 'existence, dans des condit ions bien pr6cises, d ' un certain nombre de couplages qui con t r ibuen t ~ la

format ion m~me de son spectre. Les 6quations de Kirchoff, qui r~gissent les lois de propagat ion dans le guide, sont alors profond6ment modifi6es, et les valeurs propres associ6es ne s 'ob t i ennen t qu'apr6s r6solution

d ' u n syst~me diff6rentiel dont la solution d6pend des condit ions initiales d6finissant l 'exci tat ion de la courbure.

En applicat ion de cette th6orie, et pour en confirmer

la validit6, on 6tudie tou t d 'abord le guide m6tal l ique nu en l 'absence de rev~tement. Le ph6nom~ne de conversion-reconversion H01 - - E n y est correctement restitu6 et les angles de Jouguet sont conformes aux pr6visions. On donne ensuite l '6volut ion de l 'onde principale H01 en fonction de la courbure, et l ' on pr6- cise enfin quelques-unes de ses possibilit6s d'affaiblissement.

Le probl~me 6taut pos~, on 6tudie la solution apport6e par la raise en place d ' u n rev~tement di- 61ectrique. Elle est excellente en g6n6ral, et le n iveau de sortie d ' u n coude de 90 ~ baisse que d 'envi-

ron 5 % pour un rayon de courbure R de 30 m~tres. Toutefois, l '6tude de quelques modules en fonction

de la [r6quence confirme que les parasites indui ts n ' y sont pas assez absorb6s, d'ofl la n6cessit6 de leur

* Ing6nieur contractuel au CNET-Lannion, groupement TRANSMISSIONS, SYSTI~MES DE MODULATION ET ACOUSTIQUE, d6partement I~QUIPEMENTS DE TRANSMISSIONS ET LASERS.

** Ing~nieur eontractuel au CNET-Lannion, groupement CALCUL ~LECTRONIQUE ET INFORMATIQUE, d6partement CALCU- LATEURS ET SYST~MES INFORMATIQUES.

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fi l trage ul t6r ieur sur la ligne. En ce sens le guide h61icoidal est b ien meil leur, mais il doi t conserver , comme le pr6c6dent , un cer ta in d6phasage diff6rentiel si l 'on veu t am61iorer le n iveau d 'ensemble ~ sa sortie. En fait , on ne t rouve ra , dans cet art icle, que quelques indicat ions sommaires sur les propri6t6s des s t ructures h61icoidales, car elles fe ront l ' ob je t d 'une au t re publication qui leur sera ea t i6 remen t consacr6e clans les d6tails.

Get ar t ic le se te rmine , en seconde par t ie , pa r une br6ve recherche de l ' op t ima l i sa t ion d ' un franchisse- m e n t de courbure. On donne success ivement : le profil op t ima l du parcours , .sa meil leure ouver tu re possible, et l ' emp lacemen t op t imal du po in t d 'a r r iv6e darts le cadre d 'une cont ra in te tr~s simple qui lui est impos6e.

PREMI/~RE PARTIE

COURBUI:tE D E S G U I D E S A GI:tANDE D I S T A N C E

1.1. Les 6quations de Kirchoff en courbure.

Principales notations.

a) Opdrateurs transversaux.

' 1 bU l

V S U = I el bxl '

t 1 bU

, e2 ()X 2

"-~ - ~ 1 F be2 v l be1 V2 ] Vt.y=---k ~ ~ + - - j , ele2 ~x 2

V~u = Vt . V t u ,

= V t ( V t �9 V) - - P t . V t ( V t -

It : dyade t ransversa le unit6,

re dyade t ransversa le de ro ta t ion + -~- ; elle a -+.-~

Pt :

pour mat r i ce repr6sen ta t ive : ~ - - ~ ] .

b) Paramdtres g~om~triques.

x~, i = 1, 2, 3 : coordonn6es eyl indr iques g6n6ralis6es,

et(x~, x2), i = 1, 2, 3 : 616ments m~tr iques fondamentaux .

~(Xl , X2, ) = ez(xl , x2) - - 1 ,

R : r ayon de courbure ,

(9 : ouver tu re de la courbure ,

cl : r ayon 61ectrique du guide. Le rayon v6r i table est, selon le cas :

cl (absence de rev6tement ) ,

b e ( rev~tement simple),

a t ( rev6tement double).

S t : sect ion droi te int6rieure to ta le ,

(St)t : sect ion droi te int6rieure par t ie l le correspon- d a r t /~ la couche n ~ i .

En seconde par t ie seu lement :

0 : ouver ture de la courbure ,

0m = 00/2 : angle polaire du po in t d 'ar r iv6e.

R 1 ~ 4~J/)~ .

c) Paramdtres de propagation.

v, • : indice (de mode) double cont rac t6 :

v =- mn avec i m : indice de sym6tr ie /> 0.

n : indice de rang /> 1,

X ~ m~/2 ~ ou p q ,

N, K : indice simple de po la r i sa t ion ~> 1.

Dans les appl ica t ions num6riques on dis t ingue les indexat ions :

[mR] : relat i f h u n mode Hmn ou HEron,

(mR) : re la t i f h u n mode Emn ou E H m n ,

{mR} : re la t i f h l ' ensemble des modes HEron et

EHmn �9

Y~,N= ~ , N + j ~v,N : exposan t l in6ique de p ropaga t ion ,

S~,N : cons tan te radia le int6rieure de p ropaga t ion ,

p~,N : coefficient magn6t ique interne,

z, ~z : pa ram~tres 61ectromagn6tiques du milieu interne,

(s0~,N : cons tan te radia le associ6e h la couche i,

(pt)v,N : coefficient magn6t ique de couche i,

r : pa ram6t res 61ectromagn6tiques de la couche i.

On rappel le les re la t ions fondamenta les :

s~,N = "~,N + r = y~,N + k ~ ,

(sO~,N = "(~,N + r = ~ , N + (kO 2 ,

e,h /v,N : fonct ion d 'onde 61ectrique, magn6t ique , de domaine int6rieur,

e h (h)~',iv : fonct ion d 'onde de couche i.

V(x3)~,~r, I(xs)~,n : ampl i tudes h6t6rog6nes,

A(x3)~,N, B(Xa)~,N : ampl i tudes homog6nes.

F~,N = a~,N + j b~,N : va leur p ropre en courbure.

S i e a --> 1, l ~ , N - - ~ yv ,N.

ZNK , yNK : immi t t ances de Kirchoff ] (cf.

DZ NK, D yNK : immi t t ances add i t ionne l les ] annexe A)

• NK % • : coefficient de couplage,

Z L , ( Z t , Yz) : paroi d ' immi t t ances effectives,

ZK, (Zk , Y~) : paroi d ' immi t t a nc e s ramen6es.

Les s t ruc tures guides d 'ondes ~ grande dis tance sont ac tue l lement r6alis6es en t rois versions diff6- rentes :

- - guide h61icoidal h couche absorban te ,

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t. 27, n ~ 9-10, 19721 C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 3/30

- - guide h61icoidal h @ran,

- - guide m6tall ique h rev~tement di61ectrique et leurs propri6t6s en t ransmiss ion ont 6t6 r6cem- ment 6tudi6es dans cette revue [1].

On a montr6 que l 'onde la plus g6u6rale qui puisse st propager a pour repr6sentat ion spectrale (au facteur exp(jcot) pros) le d6veloppement :

E t = E u215 6)) (eti)• , •

E z - - j o ~ ~ t . P t . H t ,

(1) H t = Y~ Ix,K(z, 6)) (hti)• ,

•

H z - - V t . P t . E t �9

Les sommatious s '6 tendent h une double infinit~ de modes propres (• -- pq) , et d ' au t re part , ~ un certain nombre K de polarisations 6ventuel lement disponibles sur les fonctions d'ondes. Par convent ion, l ' indice i est toujours sous-entendu dans le milieu interne de

propagat ion. I1 est par contre indispensable (i = 1,2) dans une couche di61ectrique int6rieure.

Les ampli tudes d 'ondes V(z, r et I(z , (o)~,~v sont solutions du syst6me diff6rentiel de Kirchoff :

(2)

~V~,N(z, r ,~,~ + _ _ Iv,N(Z, co) = 0 ,

bz j ~

blv,N(Z, 6)) + j co ~ V~,2v(z, co) = O,

3z

et leur aspect d 'ondes progressives directes ou r6tro- grades est bien connu.

T a n t que les 6quatious de Maxwell res tent rappor-

t6es h u n r6f6rentiel cylindrique ordinaire, les rela- t ions pr6c6dentes ne peuven t s 'appl iquer qu'~ une

s t ructure rectiligne. Pour l '6tudier en courbure, il faut introduire un syst~me de coordonn6es curvilignes (x 1 , x~, xa) dont les 616ments m~triques e..(x~, x~, xa) t i ennen t compte de la d6formation g6om~trique uti- lis6e. Dans le cas d 'une courbure circulaire, les 616- ments ei ne d6pendent plus de xa, et un r6f6rentiel cylindrique g6n6ralis6 suffit.

A l 'aide de ces nouvelles coordonn6es, on pourrai t logiquement s 'a t tendre /~ ce que les 6quations de Maxwell conduisent {t un d~veloppement de la forme (1) faisant in tervenir de nouveaux modes propres en courbure. I1 n ' en est malheureusement rien car il est impossible, en g~n6ral, d 'explici ter d i rectement les solutions d 'ondes correspondantes (cf. annexe A).

On est doric amen6 h les reconstruire h l 'aide d ' un d6veloppement de Fourier bas6 sur les modes propres du guide rectiligne t angen t associ6. Tous calculs faits, c 'est le d6veloppement (A-3) qui rein-

place (1) en courbure, et le sysDme de Kirchoff (A-17) qui remplace (2).

Les immit tances additionnelles D Z ~ et D Y~5~ qui

y sont introduites, t enden t n6cessairement vers z6ro lorsque la courbure impos~e disparait . E n cons6quence,

et pour 6viter toute erreur au voisinage de cette

l imite impor tante (on dolt connai t re Azr mieux que 10-5), chacune des int6grales doubles h util iser n ' es t pas obtenue par une m~thode d 'approximat ion , mais r igoureusement calcul6e apr~s double int6grat ion partielle sur les variables transversales.

En guide rectiligne, la r6solution de (2) n ' impose que la connaissance des valeurs propres yv,N. En courbure, il faut d 'abord r~soudre (A-17) a va n t d 'ent reprendre la recherche num6rique des nouvelles valeurs propres Fv,N. Ce syst~me de Kirchoff ne les intro-

duisant pus directement, nous verrons comment le

t ransformer p a s h pas pour met t re en 6vidence un proc6d6 de calcul simple et rapide des Fv,N.

ANNEXE A

I. Avec un rdf@entiel cylindrique ordinaire il est toujours possible de transformer convenablement les 6quations de Maxwell en sdparant les composantes transversales et longitudinales du champ 61ectromagn6tique (cf. [1] : annexe A).

En passant aux coordonndes cylindriques gdn6ralisdes :

x~, e t ( x l , x~ ) , i = 1, 2, 3,

il suffit de bien regrouper certains 616ments mdtriques fondamentaux pour retiouver cette transformation sous la forme :

bEt (A-I-A)

eabxa

b H t (A-I-B)

e a b X a

(A-I-C)

(A-I-D)

. i '

- - ] ( ~ + r e--a

" l "+ ' ' ,I . . . . . . . V t ( e a V t ' P t " E t , ]r162 Pt" + r ea

Ea = " �9 V t . P t . H t , Jr

-+- -.r __~_

H a - - jr V t ' P t ' E t "

_+_ _+_ b E 3 (A-2-A) V t . (eaEt) q- - - O,

bx a

+ - ~ bH 3 (A-2-B) Vt . (eaHt) + - - O.

bx 3

On pent ensuite introduire les opdrateurs Pt et - - - - - e 3 b x 3

pour 61iminer l 'un des champs transversaux des deux premi6res relations (A-l). Cela conduit fi l'6quation r6sol- vante aux composantes transversales :

+ + - + ~ / I \ 2 _ _ ~ _,_+_ _+ V,(V,e.. l,.) + [ 7 ) l,.) V,e.--

e8 -4-

- - (Vt" P t" ) P t " V t e a t ~ = O . ea H t

La courbure imposant i~ ea d'etre une certaine fonction des coordonn6es transversales, le sous-espace longitudinal des solutions d'ondes n'est plus ind@endant du sous- espace transversal associ6. I1 en r6sulte, en g6u@al, l'inexistence d'une 6quation rdsolvante aux composantes longitudinales, et celles-ci s 'obtiennent des 6quations de Maxwell (A-t-C) et (A-I-D).

La solution de l'6quation diff6rentielle anx composantes transversales est indispensable pour obtenir les expressions formelles des modes propres en courbure. Mais comme il est gdndralement impossible d'y introduire h cause de e a

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4 /30 M. BRA~ER ET J. YHUEL [ANNAI,~S DES Tr~Lg:COMMU~IC~"rloN~

touter les constantes auxiliaires ndcessaires a la sdparation des variables, cette solution analyt ique n'existe prati- quement jamais. Lorsqu'une sdparation est possible c'est le car no tamment de certaines coordonn~es toro'~dales), il reste h r6soudre d ' impor tants probl6mes de formation de fonctions-biblioth6ques et de passages ~ la limite pour que les valeurs numdriques obtenues soient compatibles avec celles du cas rectiligne.

Finalement , il est prdfdrable de rechercher les solutions d'ondes en courburo ~ l 'aide d 'un ddveloppement de Fourier construi t sur les modes propres du guide rectiligne tangent associ6. Ce developpement conserve ~videmment la forme (1) et s'dcrit, en coordonndes gdndralisdes :

Et = Z V• , (o) (etl)• , X,K

E~= j ~ i Z (HL~ zi

(h-3) -~ Ht = ~ I• w) (htl)• ,

•

(h)x ,~ , • r176

avec

(h-~)

(A-S)

- - ~ h 7 (v~),~,~__v~,~ v d h ) • �9 A

Les amplitudes d'ondes, qui vdrifient ndcessairement les 6qua'fions de Maxwell transform6es (A-l), ne sont plus solutions de (2) mais d 'un nouveau syst6me diffdrentiel que nous allons rechercher.

II. On commence par contracter (A-I) sour la forme :

k ~E t ~ ~ -+ ~x a -- jta~l ea Pt" Ht + Vt(eaEa) ,

(A4)

bHt = _ j o ~ r E~ + Vt(eaH,) . ~x a

Ensuite on explicite touter les composantes de champs avec (A-3) pour obtenir l 'amorce d 'un syst6me diffdrentiel :

x,g oxa x,Kl_

Ces ddveloppements restent compatibles avec la relation d'orthogonalit6 du guide rectiligne (cf. [1] : w 1.2.2 et 1.3.3) mire ici sour la forme : (A-S)

- - Zi gJ iff'st)i (~l)• (ht-~Ov,N e~ e~ dxa dx~ = 8• ,

et on ach6ve la formation du syst6me en effectuant :

1. une postmultiplication de la premi6re dquation (A-7) par l 'op6rateur :

�9 Pt" (hQ)~,N ,

2. une pr6multiplication de la seconde par l 'op6rateur :

(etl) ~,N" PC" ,

3. une application aux deux cas de l 'opdrateur int6gral :

- - ~ { . . . . . . . . . . } el e~ dx~ d x ~ . (st)~

Apr6s quelques r6arrangements ce syst6me s'6crit :

(h-9)

) + E i ' ~ {Pt ' (ht t )v ,N}" e3Pt'(htO• ~ x,Kl_ i St) l

( s l ) ~ , x ~ l ~ - - - - Vt(e3(g)x,.) ele~ dxldx~ I~,~ = O,

et prend la forme condensde :

i ~ V~,N(xs , o) ~ + Z z ~ l~.r~(x~, o) = o, •

(h-~Ol ,; ( b l , ,N (x , , o) + Z Y ~ V• o~) = O.

~Xa •

III . On rdsout le syst~me de Kirchoff (A-10) en imposant en un point x o (le plus souvent pris comme origine) certaiues conditions initiales qui d6finissent avec precision l 'excitat ion de la courbure (cf. 1.5).

I1 ne contient que des termes d ' immit tances (*) et un regroupement partiel, fi l 'aide de l ' identi t6

(P t 'A t ) �9 Pt" Bt =- A t . Bt ,

permet d ' introduire les fonctions d 'ondes dans ses coeffmients :

vkN ++--+ I i -+- , o~/:,u ~ Pt . v g ~ ) ~ , u I " ? e :vt(h) : ,~ + ,

(Aqa) Y~ K ++ -)- h ' p -

e~(pi)• ~ .o _ - t , V t t / i ) •

(l)• 2 _~ i - ' e - ~ ' " ' e e Vt~ ,l~i • I ~ ~ dx~dx,,

: I -

I I e' (A-12) -++- --+- /~ (st) ~,K

ea(Pi)• Pt" Vt(/i)• + (91)• 8r x r - I~ i

++ + (~) ) I Pt 'Vt(ea • e xe~dx tdx~,

a v e c l a relation d'orthogonalit6 :

Si la structure devient rectiligne (e~--~ 1), la relation (A-13) simplifie profond6ment les coefficients prde6- dents qui deviennent :

g

Z~x - - (A-lt~) N K Y• j6aE ~vx ~NK ,

Yv• = ]r 8~• 8NK. (A-15) NK

(*) Des termes de transf6rances seraient indispensables en milieu anisotrope ou avec une paroi d'imp6danees ~ dyade representative non diagonale.

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t. 27, n ~ 9-10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E ~ / 3 0

En rdintroduisant ces formes limites dans (A-10) on retrouve le syst6me (2) comme pr6vu.

Dans le cas g6n6ral off e a est quelconque, il est plus intdressant de conserver la forme initiale (2) et d'y introduire des termes correctifs qui tiennent compte de la perturbation apportde par la courbure. En posant :

(A-~6) e~(x~, x~) -- ~ + ~(x~, x~)

dans (A-10), on obtient facilement le nouveau systbme de Kirchoff sous la forme :

i 3V'~'N Y2v'N Iv, N + E D z ~ K I • = 0, (A-17) ~ § ~ •

"61v, N -~x + i , ~ V ~ , u + Z D r ~ V ~ , , , = o.

~,K

Les immittances additionnelles DZ~ K et D y~K restent donndes par (A-II) et (A-12), mais h la stricte condition d'y remplaeer es(x ~ , x2) par ~(x~, x~). Elles rdalisent un certain couplage entre l'onde prineipale ~ et le reste du spectre associd h • En particulier, si les termes diago-

naux DZv NN et D y NN ne peuvent s'annuler, l'onde principale peut s'autotransformer tout le long de la courbure. Par chance pour le guide circulaire ~ grande distance, ces termes sont toujours identiquement nuls, et il sufflt d'agir sur les termes non diagonaux de eouplage parasite pour obtenir la meilleure protection possible de l'onde H0~.

1.2. Introduction aux coefficients de couplage.

Les solutions V(x 3 , r I (x 3 , 6))v,N du syst6me de Kirchoff ne poss~dent pas la m6me dimension et s ' expr iment respect ivement en volt, et en ampere, dans le systbme S.I. Elles sout appel6es, pour cette

raison, ampli tudes d 'ondes h6t6rog~nes. En prat ique, il est beaucoup plus int6ressant de les

normaliser en leur faisant correspondre de nouvelles

ampli tudes A(xa, r et B(x s , r unid imen- sionnetles, qui v6rifieut les relations :

Vv,N(X3,(0 ) (Kv,N) 112 [Av,N(Xa,O~) •

(3) Iv,N(X3,s = (K%N)_I]2[Av,N(Xs,O.))__Bv,N(X3,O.))] "

La grandeur Kv,N d6pend du mode v, de la fr6- quence, et doit 6tre homog6ne h une imp6dance pour que A e t B puissent se mesurer en (watt) 1/2 (*).

Au sens de la th6orie de Kirchoff cette imp6dance s ' identifie h l ' imp6dance caract6ristique de la ligne fictive associ@ au mode v. E n in t roduisan t (3) dans (A-10), et en add i t ionnan t et sous t rayant ligne h ligne, on forme le syst~me diff6rentiel aux coeffmients de couplage :

bAv,N ~. [+cNK _ NK + . . . . A~,K + c ~ B• = O, • (4)

i ?B~, N _ NK • +cNK - - - - Y ~ [ C,~• A• , v• Bx,K] = 0 ; ~X3 •

o r i on a p o s 6 :

(5) 1

:i: cNK --~ [ yNK ( Kv,K K• l2 ~ zNK( K%NK•

Les coefficients de couplage -~cv• s 'expr iment en

(m6tre) -1 et sont homog~nes aux valeurs propres yv,y du guide rectiligne. On verra au w I-5 comment une t ransformat ion simple de (4) peu t met t re en 6vidence

les valeurs propres Pv,N en courbure. Pour obtenir les valeurs exactes des imp6dances

Kv,N, il suffit d 'observer que les relations (3) sont tr6s g6n6rales et s ' appl iquent en permanence pour t ransmet t re l '6nergie, que le guide soit courb6 ou non.

Si l 'on passe h la l imite du guide rectigline, les amplitudes h~t6rog~nes sont solutions de l '6quat ion (cf. [1] :

w 1.2.2) :

"02 I V'c'N = ~z 2 -- ~2'N Iv,N O,

et p rennen t la forme explicite, compatible avec (2) :

Vv,N(Z , Co) = av,N e-- gv,N z + bv,N eYv, NZ ,

(6) Iv N(z, ca)) = jO.)~ [av,N e--"('~,N Z -- b v N eVv,NZ] �9 ' "~v,N

Les relations (6) et (3) ne peuvent etre identifi6es

(x s --- z) qu 'avec la condit ion n6cessaire et suffisante :

jco~ K v , u = 1, yv, N

qui donne imm~dia tement :

yv,N (7) Kv'N -- jr162

Mais nous avons montr6, en d iseutant les 6quations earact6ristiques des s tructures h grande distance, que

les yv,N (~ l ' inverse des pv,N) ne peuven t d6pendre de N car les signes introdui ts par le choix d 'une polari-

sation in t e rv iennen t tous en puissance paire. On peut done sous-entendre l ' indice de polarisation N

et 6erire :

(8) K v j ~

Avec cette expression, (5) se t ransforme aussit6t

e n :

(9) cv• = ~--(yvy• - 1 1 2 yvY•215 • ](~162215 ,

et comme on peut y poser (cf. annexe A, w I I I ) :

zNK = V ~ ~v• ~NK + DZvNx K V• (lo) i~r NK Yv• __ jO.)r By• ~NK • D Yv• '

on obt ient f inalement l 'expression formelle et g6n6rale des coefficients de couplage en courbure, valable pour toute s t ructure guide d'ondes h grande distance :

.:kcNK 1 y• [ v• = 2 (Vv (Vv ~: ~/x) y• 3v• 3NK -[-

t (11) 1

yv y• D N K r NK I jcoe Yv• • jcoe DZ,~• ] .

1.3. Calcul des coefficients de couplage en l'absence de rev~tement int6rieur.

(*) Parce que le flux de puissance d'un vecteur de Poynting 616mentaire est proportion• fi Vv,N * Iv,N .

I1 ne sera question, dans ce paragraphe, que des structures ne poss6dant aucune couche di61ectrique

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int6rieure (guide h61icoidal et guide m6tall ique nu). Leur spectre a 6t6 6tudi6 en d6tail dans la r6f6rence [1 ] et nous en ret iendrons sys t6mat iquement les nota t ions et les pr inc ipaux r6sultats.

On admet que le guide est un i form6ment courb6 dans le sens de sa longueur, de fa~on que son axe

d6crive un arc de circonf6rence de centre O et de

rayon R (Fig. 1). E n tou t point M de cette circonf6-

I '

'-I

X3

C Fro. 1 . - l:/6f6rentiel utilis6 en courbure eireulaire.

Le rayon R est alg6brique. I1 a l e signe de l'orientation de O d a n s le plan oseulateur de la eourbure.

rence l 'angle d 'ouver ture est 0 , et l 'abscisse curviligne x a = R 0 . La longueur totale du coude est mesur6e par L.

Pour d6crire cette courbure, le r6f6rentiel pseudo-

toroidal s ' impose et s '6crivent :

X l = r ,

X 2 = O,

x 3 = RO,

avec

ses eoordonn6es g6n6ralis~es

e l = 1,

e 2 : r ,

r e s = 1 - - ~ - cos0 ,

r (12) ~(r, 0) -- R cos 0 .

e ,h Les fonctions d 'ondes /v,iv sont d6finies pour la

famille du mode v e t un certain type N de polarisation. Comme ehaque famille poss~de son 6quation carac- t6ristique particuli~re, il est normal de d6composer le calcul des coefficients de couplage (de l 'onde Ho0 en trois parties distinctes, bien s6par&s :

- - couplage sur Hon, - - c o u p l a g e sur Eon, - - couplage sur modes hybrides.

E n fait, grfice au formalisme en p in t rodui t par H. Unger [2], il sera possible de d6duire les eouplages Eon du cas hybride en imposant a rb i t ra i rement :

m = p• = 0.

L 3 . 1 . C o u p l a g e s u r o n d e s Hon �9

C'est le couplage interne h la famille H 0 munie de la repr&enta t ion suivante de ses modes :

v =- [01] (mode principal H01),

• -= [On], n = 2, 3 . . . . (modes parasites Hon ).

Leurs fonctions d 'ondes ne d6pendant pas de 0, les

indices de polarisation N et K doivent ~tre pris s t r ic tement invar iants et identiques. On peut alors les sous-entendre ( ~ N N - + 1) et poser directement :

Jo(sor) /~ = No Jo(soci) /e ~ 0

Jo(sxr) / ~ = N ~ - - , 1~--0 ,

Jo(sxci)

po= 17 p x = 1,

off Jm(z) repr6sente la fonction de Bessel complexe

de premibre esp~ce. Avec ces notat ions , et compte tenu de (12), on

obt ient de (A-11) transform6e :

jco~z { ' y o y • No Nx (13) DZo•

R \ - - ~ - - j Jo(sr •

[scxffsJ'o(sor)J'o(sxr) cosO r2 dr dO~ �9

De m6me, avec

1 n ~0 ( / ~ c o s O ) ,

- ~ - cos 0 ~- (rl~),

on d6duit de (A-12) :

joz No Nx (14) D Y o x - - R Jo(soci) Jo(s• •

En in t6grant par t ie l lement sur 0, on v~rifle que chacune de ees immit tanees reste iden t iquement nulle h cause du faeteur eommun :

s 2 = cos0 dO = 0 I

Les coefficients de eouplage p rennen t alors la forme r6duite (off on a r6tabli l ' indice de polarisation pour raison d ' u n i f o r m i t 0 :

+ N N COO = ~'V ,

(15) v -= [0n] , _ ~ N 0 COO =

(16) • xNN__0, •

Ceci d6montre, pour toute s t ructure guide d 'ondes h paroi d ' imp6dances diagonale, l ' inexistence du

couplage direct Hol ~-~ Hon. Ce r&ul t a t 6tait pr6vi- sible a priori parce qu 'une sym6trie de r6volut ion

est invar ian te quel que soit le parcours curviligne

impos6 au guide. I1 ne faut cependant pas en conclure

que les parasites Hon ne sont pas excit6s en courbure, car ils s ' in t roduisent indirectement par la chaine

H01 ~-. hybride .-~ Hon. Mais ils sont alors du second ordre et g6n6ralement n6gligeables en prat ique.

L ' annu l a t i on de _co oNiv provient de la sym6trie de r6flexion que poss~dent ces s tructures h grande

368 - -

t 27, n ~ 9-10, 1972] COURBURE DES GUIDES D'0NDES A GRANDE DISTANCE 7/30

distance. Elle prouve s implement qu 'une onde r~fl6- ehie ne se couple jamais h l ' ine idente qui lui donne naissanee, m~me en courbure.

L3.2. Couplage sur hybrides (p # 0). P a r a d o x a l e m e n t le couplage hybr ide n ' e s t j amais

nul parce qu 'une onde Hon pure n 'ex is te pas [3, 4, 5]. Cela p rov ien t des 6quations de Maxwell elles-m6mes qui imposent , h cause de la courbure, une cer taine composante E a au champ 61ectromagn6tique.

Chaque mode Hon du guide rect i l igne se t ransforme donc, en courbure, en une onde hybr ide tr~s d6g6n6r6e (quasi Hon ). Elle est d6termin~e par (A-3) don t les te rmes • =~ v prov iennent d 'une f ract ion d'Snergie

indui te pa r l 'onde Hox iuitiale. Les coefficients ~ NK Cv•

ne peuven t donc 6tre tous nuls. I1 n ' y a pas contradict ion des r6sul tats pr6c6dents pu i squ 'un couplage interne H o ne peu t g6n6rer uu champ 61ectrique long i tud ina l et ne saura i t donc s~ d~duire des ~qua- t ions de Maxwell.

A v a n t d 'S tudier les couplages p rop remen t dits , il fau t d6finir le jeu des polar isa t ions N, K n@essaires h leur formulat ion. On sait , en modes hybr ides , que les deux polar isa t ions 616mentaires cos p0 et sin p0 suffisent pour repr6senter n ' impor t e quelle onde h polar i sa t ion cons tante se p ropagean t dans le guide. L ' indice K qui leur est associ6 doit donc prendre les valeurs K 1 , K~ conformgment au t ab leau I.

TABLEAU I Choix des polarisations hgbrides

t~,K

cos p 0 F(r)• sin p 0

sin p 0 F(r)• cos p 0

K

K 1 -~ 1

K~ = 2

avec Jv(s•

F(r)• = Nx,K jv(s• D

Les modes H o n e poss~dent qu 'une seule polar i sa t ion possible, ind6pendante de 0. Mais tandis que le choix des K , peu t 6tre arbi t ra i re , celui des Ni en devient d6pendan t (ou vice versa). Les fonctions d 'ondes H o 6 tan t du t ype h e t paire (m -- 0) on doit re tenir le choix donn6 t ab leau II.

TABLEAU II Choix des polarisations H o

/~,N N

0 Nr I = 1

N v , N J~ jo(%Ci ) N 2 = 2

Cela 6tant , on observe imm6dia t emen t que K n ' in te r - v ien t que par sa seule ident i t6 avec l ' indice perma- nen t N~ (le cas N 1 ~tant sans int6r~t pra t ique) . I1 est alors bien plus simple de con t rac te r les indices K/

et Ni dans leur @ri ture d 'or igine en posan t :

N : (constant , arbi t ra i re)

i K (arbi t ra i re , mais ve N) K : N ( ident ique h N)

Avec cet te convent ion, les op6rateurs 8NK fonet ionnent eor ree tement et les immi t t anees addi t ionnel les prennent la forme tr6s g6n6rale :

NK f f (DZ, Y)v• = E f(r) g(0) d S , J J

off g(0) s '6crit avee deux lignes superpos6es associ6es respec t ivement aux deux valeurs (sous-entendues dans l ' int6grale) de K :

i g~(O) ~ ~: } g(0) K

gg0) ~- ~ i "

Remarque.

On aura i t pu in t roduire d i rec tement eet te forme simplifi6e d '6cr i ture et renoneer aux t ab l eaux I e t II . Mais dans le eas des eouplages hybr ides .-~ hybr ides , dont nous pr6ciserons les r6sul ta ts f ondamen taux , ees t ab l eaux sont tr~s uti les et le jeu des qua t re indices K x , K2 , N~, N 2 est comple t te rme h terme. La forme eontraet~e peu t encore s 'ut i l iser , mais sous forme d 'un v6r i table t ab leau 2 • 2 :

g(0) ~- [ gKl(0)

gK~(O) gNu(O) ] gNl(0)

h qua t re sorties ind6pendantes . I1 r6sulte de cet te discussion que les couplages

hybr ides s 'effeetuent f inalement mode par mode dans la famille H o. On peu t done convenir de la repr6- senta t ion des modes :

v ~- 10n], I+- HEpq ,

( ) +--EHpq, off la va leur de n peu t ~tre ehoisie, 6gale ou diff6rente de l , selon que l 'on eherehe les eouplages avee l 'onde H o pr incipale ou ses modes sup6rieurs.

Les immi t t anees addi t ionnel les s ' ob t i ennen t eomme pr6c6demment :

(17) ~Z NK / ) -y~ - - j(o[s "yv 2 Nv,N N • [

[ I t + R k Jo(s~cl) Jv(s•

y• ',, 2 , s • ] p• ~ - ' I 2 - , k j I8 '

NK (18) DYv• = R

Nv,N N• [ Jo(s~c 0 Jv(s• 0 11 p• 12 +

,/ S• ' ,2 ] pn,K I\-~ , 14] ,

a v e c

11 = J)"St s v Jo ( s , r ) Jp ( s • cos0 r d r dO

ffs (siu 12 = s~ s• Jo(s~r) J;is• \ cos p 0 / c o s 0 r ~ dr dO, t

I a = St s~ Jo(s , r ) Jp(s• ~ ksin p0 cos0 r dr dO,

.o) b ( s in 14 = t s~ Jo(s~r ) yf (rJv(s• pO c o s 0 r d r d 0 .

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8/30 M. B R A Y E R ET J . Y H U E L [ANNALES DES TELECOMMUNICATIONS

En d6veloppant :

b ( c o s p O ) ( - - s i n p O ~ _ ( c o s p O ~ ~0 ksin p0 c~ = p c o s p 0 ] c~ \ s i n p 0 ] s in0 '

on int~gre partiellement sur 0 les intdgrales I~ pr~- c~dentes. A l'aide des relations :

~00 2rr /COS p0 ' 0 sin dO \s in p0 ~'~)

(19) [cos OU 0 l 0 ,

~ • VP~i 1,

on constate que le couplage direct du mode v -= [On] n 'est possible qu 'avec la famille hybride d'indice • = {lq}. Ce r6sultat est g6n6ral et s ' interprbte trbs facilement. En effet, tou t mode {ran} dont on recherche les propri6t6s en courbure est perturb6 dans son plan de section droite par un facteur en f(r) cos0. Les variations angulaires de l 'onde r6sultante sont alors

c o s proportionnelles h ( m • 1)0.(*) I1 est donc naturel

sin que ce soient les modes hybrides de sym6trie p = m • 1 qui se couplent au mode initial puisque ce sont les seuls qui peuvent entretenir sa perturbation. Dans le cas particulier de l 'onde Ho~ il vient m = 0, d 'oh p = • 1 comme le confirme (19).

Avec cette valeur r6siduelle de p et grace h :

~0 / • l s i n 2 0 = COS20] '

on peut repreudre l ' int~gration partielle sur 0. En tenant compte cette fois de :

~o 2n sin 2 0 (2O-a) dO = 0

cos 2 0

fo (20-b) cos ~0 d 0 = ~ ,

on v6rifie rapidement , dans le calcul de (17) et (18), que la contr ibution des termes de la ligne sup~rieure est ident iquement nulle, ce qui entraine :

NK DZ[on]llq} = 0, Vn et q,

NK D Yion]llq} = 0,

d'ofi, avec (11) :

I K =/= N , (21) • N~ = 0, v• ~r :/=V.

En revanche, les termes de la ligne inf6rieure ne sont jamais tous nuls, ce qui permet d'6crire :

DzNN jo)[_CR '/ ~'v \' 2 Jo(svcl)Nv'N N•215 ~[ (22) [0n]{ l q } = - - ' \ k - - / ~ J1 §

(*) Comme produit de cos (toO) par cosO. s in

(23)

p~,N

a v e c

NN jO)~ D Y[o~]{aq}= --~ 7: Nv,NN• [ (

Jo(svc~) J!(s~ci) 1 +

J 2 , ,~ - [ 0 n l , ~x ~- { l q } ,

~oo ci Jl(s• r J1 = svJ~(svr) d r ,

J2 = Sv S• Jo(svr) J~(s• r ~ dr .

Pour achever la formation de ces immit tanccs il faut calculer les valeurs exactes de J1 et J~ .

Pour J1 , on par t de la formule :

~o ci j~(svr) Jl(S• r dr = --~o c~ jl(s~r) Jl(S• r dr = -

[(s• Jl(SvCi) J~(s• Jl(S• Jl(svcl) ] 2 2

S v - - 8•

qui, h l 'aide de la t ranscendante

J ~ ( s r ) U ~ ( s r ) -

s r J m ( s r ) '

se transforme en :

cl J;(s~r) Jl(s• = Jo(s~c0 Jl(S• ~ 1 + v - - S x

Vo(sve l : ) { 1 + (s• 2 C l ( S • .

Pour obtenir J2 on int~gre tou t d 'abord par parties sous la forme

s• J;(svr) J~(s• r 2 d r = et d ,~o J;(svr) dr (Jl(s•

l c / f ' c i d = r2Jo(svr)Jl(s• -- | - - (r 2J;(s~r)) Jl(s• dr ,

Jo J o dr

puis, avec la t ransformat ion issue de l '6quation de Bessel :

d 2 ! ! dr (r Jo(svr))= 2 r Jo(svr ) § svr 2 Jl)'(s~r),

= r Jo(svr) -- svr 2 Jo(s~r) ,

on d6compose l ' int6grale r6siduelle en une int6grale du type J1 et une int6grale de Bessel-Lommel dont la solution est :

g [ c~ Jo(s~r) Jl(S• r) r ~ dr = J~ Jl(S• s~ c~ 1 +

S v - -

2 ( s • 2 (S• 2 Ul(S• �9 - r

( s ~ c 0 2 - (s~c~p [ 2(s c )2 ]]

U o ( s v c l ) (1 -~- (s• 2 Ul(s• _ - - (svel:) 2 (s~e~)2_(s•

En regroupant tous ces r6sultats, on est finalement conduit h expliciter (22) sous la forme :

NN Cl ,/"~v \ 2 DZ[on]{Iq} : -- j ~ . -~ 7r Nv,N N• ,\ - - ~ J X

(24) (svci)2 [1 § A B _ o • ( 'Y•

] ' ( s ~ c ~ ) ~ - (s~c~) 2 \ k /

- - 3 7 0 - -

t. 27, n ot 9-10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 9/30

a v e c

A =

B =

C =

De

(25)

[oa l , ~ ~- {lq), W 0 ( s v c i ) [1 -~ ( S • 2 U l ( S • ,

1 -- ~x,N (SvCi)2 (SxCi) 2 ,

(s• 2 Uo(s~c0-Ul(s • 0 ( s ~ c t ) 2 _ (s• ~ '

m 6 m e ~ p a r t i r de (23) on o b t i e n t :

ci (~ci) ~ NN jo~z ~ ~ ~'v,N Nx,N D Y[on]{iq} : (s~ci) ~ __ (s• ~ X

a v e c les m~lnes r e g r o u p e m e n t s que ci-dessus.

Les coeff icients de couplage son t alors, avec (11) :

I v ~ [On], !~: XN 0 Cv•

x=- {pq}, p ~= l ,

, \ N ~s~c ~ ~ 2

C[on]{lq}= "~• 2 R v'NN• (svci)2--(SxCi)2 X (26)

(-~• l + A U - - ~ • ~ C +

./s• '..2 ] ~ -= [Onl, u215215 ,,.,~ ~ o + a ) l , �9 x ~ { lq} .

1.3.3. Couplage sur E o n .

La fami l le E 0 pos sddan t le m d m e indice de sym6t r i e

que les modes H o u , les rdsu l ta t s prdcddents p e r m e t t e n t

de p rdvo i r que les couplages son t imposs ib les . P lus

prdc isdment , les fonc t ions d ' ondes E o son t du t y p e e

a v e c p = p• 0. Le t ab l eau I c o n f i n n e alors que leur

p o l a r i s a t i on est du t y p e K de sor te que l ' a n n u t a t i o n

du coup lage n ' e s t q u ' u n cas p a r t i c u l i e r de (21).

L3.4. Remarques compldmentaires.

A. Les couplages Hon ~ hybrides n 'exis tent qu 'avec une polarisation bien ddterminde re la t ivement au plan osculateur de la courbure. En ce sens, les guides ~t parois d ' impddances ne se conduisent pas diffdremment du guide mdtall ique iddal. Cela est dfi ~ ce que la t ransformation de l 'onde Hon en courbure n 'est pus arbitraire et conserve le plan osculateur comme plan de symdtrie (Fig. 2). L'al lure du mode HEon se rapproche d ' au tan t plus de la symdtrie de rdvolution que les coefficients de couplage sont faibles, ou le rayon de eourbure important .

Bien que l 'onde Ho~ soit en couplage avec l 'ensemble des parasites {1 q}, le module des coefficients de couplage et leur contribution h la formation du spectre bais- sent rapidement avec q. I1 en rdsulte que les seuls pre- miers rangs interviennent en pratique. A l ' inverse du guide iddal off ils sont toujoms nuls, les couplages EHlq (q = 2,3, ...) d 'une structure ~t paroi d ' impddances ne sont plus sys tdmat iquement ndgligeables, mais restent en gdndral ne t tement infdrieurs au premier q = 1.

I1 est possible de ddmontrer la symdtrie des coefficients de couplage :

(~7) • my N~ (v # • Cvx .... :~ #• .

Par exemple, on peut reprendre le calcul de (A-II) et (A-12) en permutant la sp@ialisation des indices ~ et x.

( a ) (b)

Fro. 2. - - Transformation du mode Hol en courbure. (a) : mode Hol initial (guide rectiligue). (b) : mode HEol (guide en courbure eirculaire).

La r6partition des champs de la figure (b) n'est pas inva- riante et oscille avec l'abscisse curviligne tout le long de la courbure. Dans le cas d'une d6g6n6rescence H o l - E n parfaite, il y aurait transformation compl6te de l'onde H01 tous

les (p + 1/2) angles de Jouguet.

En reformant les tableaux I e t II et une nouvelle sdrie d'intdgrales, on retrouve p a s h pas des immittances additionnelles analogues aux prdcddentes, fi la permutat ion compldte des indices prds, ce qui confirme (27).

B. I1 est trds intdressant de rechercher les limites des coeffmients de couplage lorsque la paroi d ' impddances tend vers uue paroi mdtall ique isotrope et parfaite (guide iddal). Cette paroi est ddfinie par :

i Z t ----~ O,

! Yz--+ cx);

et les consdquences spectrales de ces limites sont rassem- bides tableau III .

TABLEAU III Principales limites spectrales lorsque Z t --+ 0 el Yz --> oo

Structure normale Guide id6al

a) Hon pv = 1

N v :;~-0

J~(s~ct) 7/= 0

b) Eon Px = 0

N• #-0

do(s• ~ 0

c) Hybridespq : ?• # 0

N• ~ 0

J~(s~c~) ~ o Jp(s• 0 =/= 0

Pv = 1

N,~ :/: 0

Jd(%c0 = 0

p• = 0

Nx = 0)mai s N• __>limite Jo(sxci) = 0t J o ~ finie

HEpq --> Hpq

p• ~> cx) ~ limite N• -~ 0 1 mais p• N• ---> finie

J~(s• = 0

EHpq -+ Epq

P x-->O t mais N• --> timite Nx-+O / Jp(sxci) finie Jp(sxcf) = 0

Les modes hybrides 6clatant en deux families, on doit distinguer les couplages limites :

- - couplage type E : Hon r lim {EHpq},

- - couplage type H : Hon '~ lira {HEvq} ;

dont les immit tances additionnelles sont :

a) couplage type E :

DZ[onl(lq) rr Jo(sv~t) l im J1(s• [ J1] '

Dr[on](lq) = ~ - r~ Jo(svcl~lim ~ [J1];

- - 3 7 1 - -

10/30 M. B R A Y E R ET J . Y H U E L [ANNALES DES T~Lt~COM . . . . . CATIONS

b) couplage type H : f7 fh DZNN jco~(u n N~ l i m { ~ • 2 1 5

[Onl[lq] -- R \ k / Jo(svcl) J~(s• [ - - - - - ] . .'i

D z N N jr162 N~ lim{~•215 [-(s• [O~][lq] = jo(svcl) Jl(S• k \ k, } 1 + [------7

( Y • 7 E~ I--I Non Mais comme on a :

J~(svc/) = -- Jl(SvCi) = 0,

Jl(sxci) : O,

l'intdgrale J~ prend les valeurs :

0 , si '~ =/= •

J1 = s~(ci) ~ 2 J~(svci), si v = • :~ n = q,

de sorte que le couplage direct type E n e subsiste qu'entre les modes ddgdndrds Hon et El n. En particulier, l'onde principale Hol est en couplage unique, mais total, avec l'onde E l l .

Pour les couplages type H aucune ddgdndrescence n'est fi craindre et Jx comme J2 restent finis. L'onde Hol reste alors en couplage faible avec l'ensemble du spectre Hiq. Nota : Ces rdsultats concernent le guide iddal. Dans le cas d 'un guide rdel, la ddgdndrescence est levde et v diff6re toujours de • L'intdgrale J1, diffdrente de zdro, reste cependant ndgligeable tant que Jl(SvCi ) et Jl(s• le sont elles-m~mes, et le couplage type E n'existe encore qu'avec le seul mode E l l . Plus la paroi d'impddances se transforme, plus J l prend des valeurs signifi- catives, et plus le couplage type E supdrieur prend de l'importance.

Tous calculs faits, les valeurs limites des coefficients de couplage sont les suivantes :

a) couplage type E

+ N N ~-- R ( s c i ) ' (28) C[~ ~ [on]

b) couplage type H

NN ci (u • T• (29) q-C[on]Dql -- ~/2R (Yv y• X

(s~ci) ( s • 1

[ ( s ~ c ~ p - ( s~c~V] ~ ( s ~ c ~ p - l ) ~ l ~ ' ~ - [ 0 ~ ] , • - [ l q ] .

Elles sont identiques aux formules elassiques du guide iddal, ~ un probl6me de notations prbs [6, ?, 8].

C. Jusqu'ici nous n'avons envisagd que les couplages ddpendant de la famille Ho. Mais il existe aussi un ensemble dual lid h la famille E o , et toute une infinit6 de couplages hybride ~ hybride, dont nous allons donner les principaux rdsultats.

Pour l'ensemble dual ils sont imm6diats puisque ce sont les mSmes symdtries qui sont utilisdes : le couplage interne Eo est nul et les couplages Eon +-~ hybrides ne sont possibles qu'avec p = • I e t la polarisation type K.

Les couplages hybrides avee , - {mn} et • =- {pq} n'existent que pour p = m • 1, n e t q arbitraires. Ils sont alors du type K K ou NN, les types croisds 6tant identiquement nuls.

La totalit6 du spectre polarisable d 'un guide ~ paroi d'imp6dances se d6compose ainsi en deux sous-ensembles inddpendants (Fig. 3). L'un d'eux comprend toutes les chaines possibles issues de la famille H o et du type NN. L'autre regroupe les chaines duales du type K K prove- venant de ta famille Eo. Aucun couplage n'est possible entre ces deux ensembles. Lorsque les ondes hybrides se

f? f~ f? f~

cos mO sin me ~ cos pO sin pO

sin mO cos me = = sin pO cos pE

Hybr ides rnn Hybr ides p q

FIG. 3. - - S c h 6 m a g 6 n 6 r a l des c o u p l a g e s d u g u i d e h p a r o i d'imp6dances en courbure.

]e,h : fonction d'onde 61ectrique, magn6tique

Polarisation ~ ligne sup6rieure : type K, ligne inf6rieure type N.

ddcomposent en modes E et H, les lois d'association prdcddentes @latent (h cause des termes principaux in- tervenant darts les limites) selon le processus ci-apr6s :

Hm ~-~ H p , m~mes polarisations, Em e-~ Ep m~mes polarisations,

Hm ~ Ep polarisations opposdes.

On gdndralise ainsi, ~ partir du guide h paroi d'impSdances, un important rdsultat ddmontrd par Y. Shimizu sur le guide mdtallique [6]. A cause des relations

f /cos \ s in 2 pO] cos 0 dO = O,

/: 2~ pOcospOcos dO : 0 s i n 0

les immittances diffdrentielles d 'un mode hybride quelconque restent identiquement nulles et il vient, pour compldter (15) :

+ N N + K K

(30) v -- {pq}. - c r y : : o ,

1.4. Modifications apport6es par les couches di61ectriques.

La mise en place d ' u n rev6tement di61ectrique, simple ou multiple, n ' a d ' influence que sur les pro- pri6t6s radiales des fonctions d'ondes. Les r6sultats fondamen taux du paragraphe pr6c6dent, bas6s sur leurs var ia t ions angulaires, ne seront donc pas remis en cause. Cependant les valeurs num6riques, et par cons6quent l ' influence m6me des coefficients de couplage, sont profond6ment modifi6es.

Les immit tances diff6rentielles se calculent couche par couche avec la m6me m6thode que pr6c6demment. Les fonctions d 'ondes h retenir sont donn6es dans

les t ab leaux IV h VII , selon le nombre de couches

int6rieures.

TABLEAU I V

Choix des polarisalions hybrides ( u n e c o u e h e i n t 6 r i e u r e )

e ( l i ) •

F~(r)• cos pO sin pO

F h , , s in pO I (r)• K cos pO

K

K1 ~ 1

K 2 : 2

- - 3 7 2 - -

t. 27, n o- 9-10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 11130

avee : a) mi l ieu in te rne , r ~< c~.

e h Jvis• . F~',~(r) = N• J~(s• '

b) couche d i~lec t r ique , c~ ~< r ~<

/ S \ 2

F~e(r)• K = N• ,\~-~,,-2 ) • R~'p(s2• '

/ s ~ ~ F~(r)~,g = N ~ , ~ : --s~ / ~ I ~ , ~ ( % r ) .

b~.

TABLEAU

Choix des polarisations hybrides (deux couches intdrieures)

comme en tableau IV avec en suppldment :

c) couche di61ectrique, bi ~< r ~< a i .

V~(r)• = N• K (--S-\I 2 R[,p(s l• ' ~\ S 1 /"•

F#I'(r)• = N• :~ ,,! ~ • Rhl,p(Sl• r)"

TABLEAU VI Choix des polarisalions H o

(une couche int6rieure)

/~,N

0

V~(r) v,N

N

N 1 = 1

N 2 = 2

a v e c : a) mi l i eu in te rne , r ~<

Jo(s~r) Fh,N(r) = Nv,N -Jo(s~c~)

b) couche di61ectr ique,

c l .

_ _ _ �9

c I <. r ~ b I .

Rh, o(s2vr) �9

on fo rme auss i t6 t les fonc t ions R c o m p a t i b l e s en

p o s a n t :

e,h e,h e,h Pt2,p(s2F ) = O2,p(S2F)/O2,p(32Ci) , e,h e,h e,h Ol,v (sF) 02,p(s2bt)

Rl,p(Slr) -- e,h e,h " Ol,v(slbt) O2,v(s~ci)

Ces t r a n s c e n d a n t e s p e u v e n t t o u j o u r s se r6dui re

des combina i sons l in6aires des fonc t ions de H a n k e l

Hill(sir ) et H[p2](sF). El les son t donc d6r ivab les p a r

r a p p o r t h leur a r g u m e n t sous la n o t a t i o n :

d

d(sir) ( ) = ( ) ' '

et leur in t6g ra t ion , a v e c des fonc t ions de poids en r

o u r ~ , es t t o u j o u r s poss ible en t re d e u x f ront i~res de

couche .

Nous ne d6ve loppe rons pas les calculs , longs e t

f a s t id ieux , de rou t e s les in t6grales , e t nous d o n n e r o n s

en a n n e x e les va leu r s exac t e s des i m m i t t a n c e s add i -

t ionne l les h u t i l i se r dans c h a q u e cas.

Les coeff icients de coup lage qui leur c o r r e s p o n d e n t

son t donn6s, p o u r ~ =/: • pa r (11) qu i s '6cr i t encore :

(31) +oN N = - - 1 [ D Y N N v • D z N ~ _ ] ~ 2 (Y~ ~,• j~oz ~ jr ~ .

Y~

Cet te express ion s ' exp l i c i t e sous une fo rme dif f6rente

selon que l ' on r eg roupe plus ou moins c o m p l ~ t e m e n t

les t e r m e s h o m o l o g u e s des d e u x i m m i t t a n c e s . Si l ' o n

v e u t m e t t r e en 6vidence le t e r m e (y• • y~), il es t bon

d 'u t i l i se r la r e l a t ion :

(~,~/kd2 = (sqlkl) ~ - 1 ,

mais de t o u t e fa~on, c o m m e en (26), on n ' o b t i e n d r a

j a m a i s le f a c t eu r g6n6ral. Lors des app l i ca t i ons

num6r iques sur ca l cu la t eu r , il es t pr6f6rable de

r e g r o u p e r ce r ta ines t r a n s c e n d a n t e s de couche en

f a i s an t @la t e r les op6ra teurs I f(r)i r=~2 i n t r o d u i t s i - + ~ r r L

en annexe .

P o u r ~ = • on p e u t r6ut i l iser (15) e t (30).

TABLEAU V I I

Choix des polarisations H 0 (deux couches int6rieures)

comme en tableau VI avec en suppl6ment :

c) couche di61ectrique, bl ~< r ~< a l .

2

Fhi~,N(r) = N~,N ~ Rhi,o(S~J).

e,h Darts ces t a b l e a u x les fonc t ions Rt ,p(str) r e p r 6 s e n t e n t

t o u t e t r a n s c e n d a n t e rad ia le exacte que l ' o n p e u t f o r m e r

l ' i n t6 r i eu r de la couche i. El les n ' o n t pas beso in

d '6 t r e normal i s6es mais d o i v e n t v6r i f ie r la c o n d i t i o n

de compa t ib i l i t 6 :

e , h R2,v(s2c 0 = 1 ,

e,h e h R1,v(sibl) = Rl:p(S2bl) .

En fair, si e,h Oi,p(Sir ) est l ' une des so lu t ions d isponibles ,

A N N E X E B

Cas d'un rev6tement simple

On g6n6ralise la contraction du domaine int6rieur :

Um(svr) ==- J~n(svr) l(svr) Jm(svr),

en posant, dans chaque couche : w e , l l ~ ~ e , M e , h i,mts%r) -~ Ri.m (s%r)/(s%r)Ri.,,,(s%r).

II vient alors :

(B-I)

NN . C~ ( u DZ[on]{aq} = -- ](oiz - ~ Nv,NN• ~ - D +

\ / L

-7- p ,N L-7- ) x ,: , s:, i

- - 373 - -

12/30 M. B R A Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES TI~LI~"COMMUNICATIONS

r - NN . Ci l

D Yfon]{iq} = ]~r ~ ~ N,~,NNx,N [ L +

Yx 2 - - - - - F + r ( s~sx ~2 ~ • E + ~[z \ s~ s2x /

- - \ [.t / ~x,N t s - ~ - - ] H + \ 2 V ' 2 X /

~x,u \ ~-r j \ s% s2x /

avec ~ =- [On], • {lq},

A = Uo(svci)[t + (sxc~) ~ Ul(SxC~)],

D I t - - f yx \2 ] (s~c~) 2 [l + A] : px= j (sxc,)= '

~ [(s,c~)~+(s~c~)~, E = (s~c~) 2 Uo(s~c~ ) + 2- 2 ~ . ~ t -

( s ~ ) -(sxc~) L(s~c~) -(sxc~)

2(svcl)~A ] ] (sxe~) 2 U~(sx~) - ( s ~ ) 2 Co(s~c~) + (s~c~) 2 _ (sxc~) 2

A~(r)= W~,o(s%r ) [ l + (s2xr) ~ W~e,1 (s2xr)],

(s~c,) ~ (s2r) ~ - -l~=b~ F = (s.~)~--(s2c~)~ a,",o (s2 r)a~,i(%r)[~ +A~(r)]J~=c~, H = Dual de F avec e--+ h jour les modes •

r h' h ~ r : b l

- , ~ , , , - , 2 ~,xl ~ L(s2c~)~-(s~c~)~

(s2r) x W2,, (s2xr)--(s2r)'~W2,o (s2 r ) + 2(s2r ) e v A2(r) I r= cl

(s~c~V L = (l + ~x,N) (s~ci) ' - - (sxci) ~ [l + A ] ,

off l'opdrateur

i f(r)]:----:2 ~ f(r,)--f(rl, repr6sente une diff6rence aux fronti6res de la eouche.

ANNEXE C

Cas d'un rev~tement double

ff( est 6videmment additif dans les L'op6rateur El $t)~

relations (A-II) et (A-12). On peut donc retenir les expressions formelles (B-l) et (B-2) pour leur ajouter

les termes qui correspondent ~ la contribution de JJ(st)~

dans la seconde couche di61ectrique. Bien entendu routes les valeurs num6riques des yv, yx, (s~)~, ... ne peuvent provenir que de la seule 6quation caractdristique prdvue pour le double rev6tement.

Le terme compldmentaire ~ (B-l) est :

(c4)

~- P• \ k / \ s % s i x /

tandis que celui ~ associer ~. (B-2) s'dcrit :

L r \sx, s, x / Q §

(C-2) -~- Px,g \ s~ six /

Ix1 - - - Px,N

S +

S~ S x g

avec, pour expliciter ces quantitds : Al(r ) ~ Dual de A2(r ) avec 2--+ I ; Q = Dual de F avec c~--+ b/, 2 ~ 1; S = Dual de Q avee e - + h pour les modes • P = Dual de G avec ci--+ b$, 2 - + I ; T = Dual de K avec c~--+ bi , 2--> 1.

1.5. Retour sur les 6quat ions diff6rentielles du couplage .

Les • NN 6tant connus, on peut r6soudre (4) sous

une forme restreinte (il n ' y a plus de sommat ion sur K) et l ' indice N, d6sormais superflu, peut ~tre sous-entcndu :

5A,

I - 5x3 + Y~x [ +cvx Ax § -Cvx Bx] = 0,

(32) f 5B~

. . . . . Z [-cvxAx + +cvxBx] = 0. ~x3 z

La sommat ion sur • s '6tend h l 'cnsemble du spectre

susceptible de r6agir avec le mode H01 , et v en fait le d6compte mode par mode. En prat ique, lc nombre M de modes parasites est toujours fini, de sorte qur (32) se r6duit h u n syst~me diff6rentiel lin6aire ~ 2 (M + 1) 6quations que l 'on 6crit symbol iquement :

dA (33) - - + C . A(x3) = 0

dx 3

avec

A(x3) = (Av(xs) t , 2(M + 1) composantes, \B~(x~)/

V ' 1 +Cv• i -Cv•

C = , 2 ( M § 1) • 2(M + 1). L- -c~x i - +c~xj

Sa r6solution num6rique cst possible dbs qur l 'on connai t le vecteur A(x0) rcpr6sentant les condit ions initiales impos6es en x 0 . Par exemple, si l 'on sait calculer l 'exponentiel le matricielle (non diag0nale) construi te sur C, on obt ient la solution :

(34) A(x3) = e-(xa-xo) C . A(xo).

Plus g6n6ralement, d 'aut res m6thodes permet t ra ien t de d6finir un op6rateur T(xa) tel que

(35) h(x3) : T(x3) . A(xo).

L ' inconv6nien t majeur de ces solutions directes est qu'elles ne sont pas explicites en x 3 et que le calculateur est seul capable de donner des renseignements sur leurs variat ions.

Pour obtenir une solution ana ly t ique on in t rodui t le d6veloppement :

2 ( M + l }

(36) A(x3) = E Kk Vk e • k=l

qui transforme (33) en la somme ( I e s t la matrice unitaire) :

2 ( M + l }

(37) ~ Kk e:i:l'k(x3-xo ) ( C :j: Fk I ) �9 V k = O . k : l

- - 374 - -

t. 27, ~o, 9-10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 13/30

On voi t imm6dia tement que la condi t ion :

(38) (C ~ Fe I ) . V e - O, V k ,

r6sout le syst~me en eonservant les eonstantes K~

disponibles pour satisfaire aux conditions initiales.

L ' in terpr6ta t ion de (38) est imm6diatc puisqu 'el le

pose le probl6me classique de la recherche des valeurs

propres de l 'op~rateur C. Celui-ci 6tant d i rec tcment

eonstrui t sur les matrices de eouplage, ses valeurs

propres ['~ s ' ident if icnt aux valeurs propres en

eourbure que l 'on eherehe h obtenir.

Remarque imporlante.

En toute rigueur ee ra isonnement est incorrect

en ee sens que C correspond globalement aux deux

sens de propagat ion, tandis que les l~k en courbure

(eomme les yk auxquels ils doivent se r6duire si

R - - ~ ~ ) correspondent, par d6finition m~me, h une

onde progressive pure. On devra i t alors reprendre

le probl6me en cherchant s6par6ment les solutions

partielles en +F~ et - F k et former la nouvelle solution

g6n6rale par une somme de leurs exponentielles.

En prat ique, 6tant donn6 que -F~ diffbre trbs peu

de +Fe (*), on se borne au calcul direct des seules

ondes progressives Av. Les ondes r6trogrades s'ob-

t iennent alors de (32) avec l ' approx imat ion - F e -- +Fk

~- Fk . Un avantage non n6gligeable de cet te simpli-

fication est la r6duetion de moiti6 de l 'ordre des

matrices h utiliser.

On conserve done (33) mais en posant eet te lois :

A(xa) = A~(x3), (M + 1) composantes,

C - = + C - [ + c ~ • matr ice d ' o r d r e ( M S 1 ) • ( M + I ) .

Sa solution g6n6rale prend la forme :

M + I

(39) A(x3) -- ~ K k V,~ e-r~(za-xo) , k 1

off les F~ s 'obt iennent des relations (38) en n 'y con-

servant que la ligne inf6rieure.

Les param~tres proprcs (V~, Pc) sont d6termin6s

par un programme de calcul sp6cialis6. Actue l lement ,

sur l 'o rd ina teur (**) du C.N.E.T., on les obt ient en

mode complcxe, double pr6cision, avec M ~< 20, grfice

h l 'emploi d 'un programme type MATSUB modifi6.

La d6terminat ion des coefficients inconnus K k se

fait h par t i r de (39) en r6solvant le syst~me non

homog~ne :

(40) A(xo) = E K~ V~. /~=1

Pour calculcr les ampli tudes d 'ondes r6trogrades

on utilise le syst~me dif%rentiel issu de (32) :

dB (41) -- + C . B(x3) -- - C . A(x3) .

dx 3

Sa solution homog~ne est de la forme : M + I

(42) Bl(x3) = ~ LkVk eF~(~-x0) ,

(*) D'autant plus que -Yk -- +Yk ~- Yk h cause de la sym6trie de rdflexion dans le guide rectiligne.

(**) CII 10070.

off les L~ d6pendent des conditions initiales B(x0).

Sa solution particuli~re, compat ible avec (39), s '6crit :

t M+I V t ~ * . - C . Vk (43) B2(x3)=-- v 12

oll Vt~ * est le conjug6 du vecteur transpos6 de V k .

La solution g6n6ralc prend alors la forme contract6e :

M + I

(44) B(xa)= Z [Lk eCk(xa--x~ -- K~ e-rk(x~-/")] Vk

ou K~ s 'obt ient imm6dia tement de (43).

Avee (39) et (44) on poss~de des expressions expli-

cites dont la pr@ision est la rgement sulIlsante pour

rcnseigner les ampli tudes h6t6rog~nes de Kirehoff

n6cessaires an calcul du champ 61ectromagn6tique en

eourbure. Ce probl~me fondamenta l peut 6tre ainsi

consid6r6 comme p ra t iquemen t r6solu.

1.6. A p p l i c a t i o n s a u gu ide m 6 t a l l i q u e n u .

Le guide m~tal l ique nu tol~re un ph~nom~ne de

conversion-reconversion de tr~s forte ampl i tude et son

emploi en t616eommunications est interdit . Cependant ,

l '6tude de ses vatcurs propres permet de suivre

l '6volut ion naturel le des couplages, et pose correcte-

men t le probl~me de la t ransmission en courbure de

l 'onde H01. A l 'aide des r6sultats obtenus, on contr61e

tr~s faei lcment les solutions apport6es par une modifi-

cat ion de la paroi d ' impSdanees du guide. En par t i -

culier, on v6rifiera que l 'am61ioration eonsid6rable

due fi un rev6 tement di61eetrique ne provien t pas de

l ' absorpt ion sys t6mat ique des modes parasites, et on

peut expl iquer par lfi-m6me l ' augmenta t ion sensible

du niveau de sortie eonstat6e sur eertains guides

h61icoidaux r6eents.

Nous avons re tenu pour modgle un guide en euivre

d 'exeel lente qualit6 (ah = 5.107 siemens/m~tre), de

50 mm de diam~tre nominal et eouvrant la bande 30-

80 GHz. Quelques coefficients de couplage calculus

sont donn6s dans le tableau V I I I , en valcurs norma-

lis6es (+c~• au lieu de +c,• h 35 GHz.

TABLEAU VIII

Coef/icienls de couplage normalisds (34,38 GHz)

N N • +c[ol]• (rad)

EH (11) 5,7647.10 -4 (12) 3,0177.10 -s (13) 1,3723.10 -9 (14) 5,9430.10 -11

[11] 7,6419.10 -4 [12] - - 1,8899.10 -4 [13] - - 5,2157.10 -6 [14] - - 1,4273.10 -6

HE

+ j 3,32231 ] 1,3669.10 -11

- - j 2,9466.10 -13 - - j 4,7796.10 -14

j 3,3069 j 5,4172

- - j 0,4606 - - j 0,1340

Ces r~sultats sont en tr~s bon accord avec les for-

mules (28) et (29) puisqu'el les donncnt , /~ la m6mc

- - 375 - -

14130 M. B I : I A Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES T~LfZCOMMUNICATIONS

f r6quence : j 3,3217 (EHn) et - - i 3,3077, - - j 5,4273,

- - j 0,4607, - - j 0,1339 (HE~n).

Les couplages E H sup6r ieurs son t r 6e l l emen t n~gli-

geables, conform6ment aux pr6visions th6oriques, e t il es t r e m a r q u a b l e q u ' u n e in t6gra le de Bessel puisse

g6n6rer de fa$on con t inue , pa r le s imple j eu de ses

a r g u m e n t s , un v6 r i t ab le o p 6 r a t e u r n u m 6 r i q u e de Dirac .

Le coeff ic ient de coup lage de plus g r a n d m o d u l e

p r o v i e n t du m o d e HE~2. I1 n ' e s t c e p e n d a n t pas le

plus i m p o r t a n t car , c o n f o r m 6 m e n t a u x r6su l t a t s de

l ' a n n e x e D, l ' a m p l i t u d e des so lu t ions de (33) d6pend es-

sent ie l lement des quot ien ts : +c~•215 et +c~• dont l ' influence fi la d6g6n6rescence est 6vidente. Pour pr6ciser ce probl~me on donne, t ab leau IX, quelques valeurs propres calcul6es pour un rayon de courbure de 50 m.

T A B L E A U I X

Valeurs propres du guide rectiligne en courbure (34,38 GHz)

Mode yv(m -1) ]r~(m -1)

Ho~ 2,56364.10 -4 + j 703,498 2,84484.10 -a + j 703,434 EHn 5,65945.10 -3 -I- j 703,503 3,07125.10 -3 -[- j 703,567 HE n 2,38679.10 -3 -[- j 716,226 2,38657.10 -a + j 716,226 HE~2 7,18768.10 -3 + j 687,693 7,18694.10 -a + j 687,693

AT = '~(11) - - "~[01] = AF = I~(11) - - 1~[01] :

5,40309.10 -a - I - j 5.10 -3 2,2641.10 -~ + j 0,133

L a dUgUnUrescence en e o u r b u r e y res te i m p o r t a n t e ,

b ien que b e a u e o u p mo ins p rononc6e q u ' e n gu ide

rec t i l igne . E l le dUpend de la v a l e u r de R, ma i s de

r o u t e fa~on Ay e n t r a i n e une a m p l i f i c a t i o n considUrable

de F a c t i o n de +c[ol](11) , e t le gu ide mUta l l ique prUsente

tou jou r s , h mo ins q u e R ne soi t tr~s i m p o r t a n t , un

phUnom~ne de c o n v e r s i o n - r e c o n v e r s i o n excep t ionne l .

II s ' exp l i que pa ree que , clans (39), les d e u x ondes

d ' a m p l i t u d e p r e s q u e 6gale b a t t e n t en t r e elles a v e e des phases tr~s vo is ines diffUrent de Im (AF) .

On le vUrifie en r a s s e m b l a n t , dans le t a b l e a u X, les

p r emie re s c o m p o s a n t e s Ks(V~) l des p r i n c i p a u x vec-

t eurs V~.

On y cons t a t e auss i t6 t que les seules c o m p o s a n t e s

s ign i f iea t ives c o r r e s p o n d e n t h k = i = 1 e t 3 (modes

Ho l et EHn) . I1 en rUsulte que la so lu t ion gUn~rale (39)

res te tr~s p roehe de la so lu t ion s impli f i6e de l ' a n n e x e D.

C o m m e on a en ou t r e 2+c[ofl(n) = 2,3058.10 -5 +

j 0,13289, le t a b l e a u I X p e r m e t de poser : A F ~ 2 c

e t les a m p l i t u d e s d ' o n d e s Al(xa) e t Aa(xa) ne p e u v e n t

~tre, c o m m e en (D-8), ose i l l an tes amor t i e s . Cela es t

conf i rm6 p a r la f igure 4 qui donne , en fone t i on de

l ' o u v e r t u r e , le m o d u l e earr6 des q u a t r e p r emie re s

10

10 ~

1r

H~

/',,, / \ ',

" i/ u |

EI-I.

'"I ...... ........................... HE,2

\ / \ ,.. / / ", ~ ...." x �9 \ :... / x \ / / \ / HE. k / / /

l ", ,,( | o o a o o 1 0 o ~ - 1 ~ o ~

Fro. 4. - - Niveau relatif des amplitudes d'ondes dans un guide mUtallique nu en fonction de l'angle d'ouverture.

Rayon de courbure : 50 m, f ~ 35 GHz, diam~tre du guide : 50 ram.

T A B L E A U X

Principales composantes de l'amplilude d'onde A(x3)

(Ces quantitUs complexes a + j b sont donndes ici en : a) b)

i : k :

1 [01]

2 [11]

3 ( 1 1 ) - -

4 [12] - -

1 2 3 4 [01] [11] (11) [12]

0,5188 2,7002.10 -5 0,4811 4,6991.10 -5 2,0297.10 -2 2,1517.10-s 2,0297.10 -2 - - 6,0274.10-9

2,6825.10 -a - - 5,1963.10-a 2,5137.10 -a 1,0892.10 -v 1,0442.10-a - - 2,0703.10-6 1,0649.10 -4 1,7568.10 -11

0,5001 1,4102.10 -7 0,5001 - - 1,9749.10 -7 7,6529.10 -4 0,5163.10 -11 7,6529.10-4 - - 2,1164.10-n

3,5710.10 -a - - 1,0253.10-v - - 3,2837.10-a 6,8549.10 -a 1,3935.10-4 - - 8,4121.10-11 __ 1,3891.10-a - - 4,3960.10-7

- - 376 - -

t. 27, n ~ 9-10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 15i3o

ampli tudes (*). Le couplage (total) Hol -- EHll y est manifeste et le ph6nom~ne de conversion- reconversion qui en r6sulte poss~de un angle de Jouguet de 53~ (contre 54 ~ avee (D-9)). Les deux modes ont des lois d ' a t t6nua t ion presque identiques, mais les min imums H01 ne peuven t a t te indre le n iveau de leurs homologues EH11 ~t cause des reconversions r6siduelles p rovenan t des parasites seeondaires. Ces

derniers oseillent d ' a u t a n t plus rap idement que leur rang est plus 61ev6, et b a t t e n t entre eux comme tous les termes cons t i tuan t l ' ampl i tude d 'onde (39). La figure 4 pr6eise ainsi la premibre demi-p6riode d 'une

oscillation HE12 et l 'enveloppe f luctuante de deux

modes HEln. Firtalement, e'est la seule d6g6n6rescenee Hol--EHll,

et non la valeur partieuli~re d ' un coefficient de eouplage, qui est la cause du ph6nom~rte de conversion-

reconversion en courbure. Sa suppression est done indispensable darts toute s t ructure guide d 'ondes

pr6vue pour liaison h grande distance. Darts le guide h rev6tement , elle est r6alis6e par une valeur impor- t au te du d6phasage diff6rentiel. Le rSle privil6gi6 du parasite EHi~ disparatt (son ampl i tude ne d@asse plus gu~re 10-3), tandis que le niveau moyen de l 'onde prineipale se eonfond avee une exponentielle. Toute- fois, les valeurs re la t ivement faibles des affaiblisse- merits lin6iques ~• pe rmet ten t toujours des ba t t emen t s qui er6ent des ondulat ions r6siduelles clans eertains eas (cf. w 1.7).

Avee un guide h61ieoidal, e 'est l 'affaiblissement diff6rentiel, presque toujours eonsid6rable, qui neu-

tralise l ' ae t ion direete du eouplage, quel que soit le

mode, et 6touffe les ondulat ions de (39) d~s le d6part. I , 'onde Ho~ sort in t r ins~quement pure, mais dolt renouveler sans eesse le t aux de puissance parasite qui l 'aeeompagne, de sorte que son affaiblissement global est quelque peu plus impor t an t que dans le cas pr@6dent. On paye ainsi par une fract ion de dB/radian suppl6mentaire une bien meilleure stabilit6 dans le f ranehissement de la eourbure.

Les ph6nom~nes de b a t t e m e n t s ' in terpr~tent ais6- merit dans le p lan eomplexe des ampli tudes d'ondes. Par exemple la figure 5, qui reprodui t le trae6 des

ampli tudes fondamentales A[0~] et A ( m , permet de v6rifier que l 'onde A(11) poss~de un retard de phase d 'envi ron 7:]2 eonform6ment aux r6sultats de l ' annexe D.

L '6tude d ' u n eoude eireulaire en fonetion de la fr6- quenee s 'ob t ien t darts les m6mes eonditions, eomme le prouve la figure 6. Le ph6nom~ne est eependant dilat6 sur l '6ehelle des fr~quenees. Ce coude de 46 ~ pourra i t 6tre utilis6 ~ 40, ou 80 GHz, suivi d ' u n

simple filtre de modes ~ la sortie. Err ee sens, la raise

(*) Dans cet exemple, la courbure est excit6e par le mode Hol de sorte qu'on a pos6

(i) A(o) =

pour d6finir les conditions initiales.

!Ym( )

1

FIG. 5. - - Repr6sentation eomplexe des amplitudes d'ondes homog~nes.

(Les points de caleul sont ~quidistants d'environ 0,48 m.) Rayon de courbure : 25 m, f ~-~ 35 GHz,

A [ol l : - - , A(xl) : . . . . . . . . . . . .

10 ~

1 6

1 6

10-'

\ ]]/// ~ / ~EH 11 / \ / ',

/ \ / ',

I /"- i ! / t / I i

11

f(GHz)

Fro. 6 . - Niveau relatif des amplitudes d'ondes dans un coude m~tallique de 460 en fonction de la fr6quence.

Rayon de courbure �9 50 m, diam~tre du guide : 50 mm.

en place d ' u n rev6tement di61ectrique n ' au ra i t pas d ' au t re bu t que de casser la conversion h 60 GHz, et

de permet t re l '6 ta lement des cr6neaux sur toute la bande initiale.

- - 3 7 7

1 6 / 3 0 M . B R A Y E R E T J . Y H U E L [ A N N A [ . ~ S I ) E + IFEL]~ . . . . . . . . . . . . (:_~.'| . . . . .

T o u s l e s p l l6nom~nes de coup lage d 6 p e n d e n t du

r a y o n de cou rbu re qu i ag i t non s e u l e m e n t sur l ' a m p l i -

t u d e des +c~• (par uue loi en 1]R) , mais aussi sur

l ' ~vo lu t i on des va l eu r s p rop re s I ~ qu i i n t e r v i e n n e n t

dans (39). D a n s le cas d ' u n guide m~ ta l l i que l ' ex is -

t ence m 6 m e de la c o n v e r s i o n - r e c o u v e r s i o n p e u t ~tre

remis en cause c o m m e le m o n t r e la f igure 7. L o r s q u e R

10 m

10-'

111- ~

l d '

0 o

+'.+" I .... \~ b

/ I \ -

c

~ . . ~ ~ ": // l

I I ~ + d

~": ':~:72 e f

O n t I t i , , ~ . . . . : L

5 0 ~ 100 ~ 150 ~

FIG. 7. ~ Influence du rayon de courbure sur l 'amplitude d'onde H m du guide m6tallique.

~ 35 GHz, rayon de courbure : a ~ 5 m, b = 50 m, c ~ 150 m, d ~ 300 m, e = 500 m, [ ~ 1 000 m.

res te fa ib le (disons < 150 m) les m i n i m u m s son t tr~s

p ro fonds e t l ' ang l e de J o u g u e t t o u j o u r s respectS.

E n t r e 300 e t 500 m, les ph~nom~nes ~vo luen t rapi -

d e m e n t e t l ' o n d e Ho~ c o m m e n c e ~ f luc tuer a u t o u r

d ' u n e exponen t i e l l e m o y e n n e . P o u r R = 1 000 m,

le s ignal de sor t ie es t une onde p rogress ive pu re d o n t

l ' a f f a ib l i s semen t es t i m p o r t a n t (1,08.10 -a N / m soi t

nn peu mo ins de 1/2 (~[ozi + ~(lZ)) = 1,31.10 -a N / m ) . C 'es t

p r e sque un m a x i m u m et l ' o n d e H m r ep rend son

a f fa ib l i s semen t l in6 ique n o r m a l d~s que R a t t e i n t

3 000 m. Au-de l~ de ce t t e l imi t e , l ' i n f luence de la

cou rbu re n ' e x i s t e plus.

Ce t te v a l e u r l im i t e de R e s t cons id6rable e t con-

d a m n e le guide m ~ t a l l i q u e sans appel . E l le es t for te -

m e n t r6du i te a v e c un guide ~ pa ro i d ' i m p 6 d a n c e s ,

e t des s t r u c t u r e s h61ieoidales r6centes o n t pe rmi s

de la r a m e n e r ~ une c e n t a i n e de m~tres env i ron .

U n e e x p l i c a t i o n s implif i6e de ces ph6nom~nes est

donn~e en a n n e x e D off on m o n t r e que la f o r m a t i o n

de l ' o n d e p r inc ipa le d~pend d i r e c t e m e n t des va l eu r s

p rop res F , . P o u r m i e u x su ivre leurs va r i a t i ons on a

rassembl6, en f igures 8 e t 9, les t ro is p r inc ipa les

d ' e n t r e elles : F[o fl , I~(n) e t l~[~] . On r e t r o u v e t o u t

"]m

1+

, + [n] =s~. ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EH.<~,+)

H~(~)

Hm<~)" _ . . . . . . . . . . . . . . . . . E H u ( ~ I

�9 /

t

fill .....

R i m )

"+-' ~b ~ Io' -,o' ,+~ ~'

Fz+. 8. - - Evolution de la partie r+elle de quetques va]eurs propres en courbure.

] ~ 35 GHz, Met : guide m~tallique nu, Die]: guide h rev~tement di61ectrique (~r = 3,14 - - j 0,05 ;

e = ( b i - c i ) : : 62 microns), H~l : guide h61icoiMal, diam6tre des guides : 50 mm.

750

700

650

EH. ~ - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H E ~ ~ <D~J

.... 'HE,, m+tl

HE,~

m(m) +~' lb ~ 1~ +o+ 1; + lb"

FIG. 9. - - Evolution de la partie imaginaire de quelques valeurs propres en courbure.

[ ~ 35 GHz ; M~t : guide m6tallique nu ; Diel : guide h rev~tement di61ectrique (~r -- 3,14 - - j 0,05 ; e = (b i - - ci) 62 microns; H~[ : guide hdlicoidal ; diam6tre des guides :

50 ram.

d ' a b o r d l ' ex i s t ence de la v a l e u r l imi te de R p o u r

l aque l le P[0fl se con fond a v e c Y[ofl. Ensu i t e , pour

R d6crotssant , la c o u r b u r e c o m m e n c e k r~agir , t and i s

que les pa r t i e s r6elles des I~v se d 6 t a c h e n t l e n t e m e n t

de leurs a s y m p t 6 t e s . C 'es t la phase exponen t i e l l e des

s i gnaux qui se p ro longe sur un peu plus de la pa r t i e

l in6aire de Re(P[01] }. On p e u t dire que ce t affaiblis-

s e m e n t va r i ab l e a p o u r r61e de doser le t a u x d ' ondes

pa ras i t e s n@essa i re au f r a n c h i s s e m e n t de la c o u r b n r e :

p lus R d iminue , p lus le dosage est i m p o r t a n t , ma i s

plus les pe r t e s paras i tes a u g m e n t e n t e t p lus Re{F[0f l}

ne cesse de crot t re . L o r s q u e R d e v i e n t inf6r ieur h

500 m, les a f fa ib l i s sements se s t ab i l i s en t pa rce que les

coeff icients de coup lage c o m m e n c e n t h i n t e r v e n i r

- - 3 7 8 - -

t . 27, n ~ 9-10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 17/30

directemertt sur les ~v : c 'est la phase oscillatoire des s ignaux de sortie qui subsiste jusqu '~ la l imite R = c~.

En prat ique, la phase exponentiel le est la seule utile dans les s tructures h grande distance. Avec un guide h61icoidal s tandard, ses fluctuatio:ls n ' appa- raissent que lorsque R vau t un m~tre environ. On peut l'am61iorer en d i m i n u a n t le diam~tre nomina l dans le rappor t m6me des courbures, mais cela s'effectue toujours au d6t r iment de l 'affaiblissement de l 'onde Hol .

Lorsque R d@rolt encore, les affaiblissements propres se modif ient car l 'ensemble de la courbure se pr6sente p lu t6 t comme un obstacle r6parti qu 'une ligne de t ransmiss ion proprement dite. On v6rifie ainsi que, dans un coude m6tall ique, le mode EH~x

passe plus faci lement que le H o l , tandis que le mode H E ~ est ne t t emen t perturb6.

La limite R = c~ (prise ~ l 'angle de Jouguet si le guide est m6tallique) peut donner une premiere id6e des propri6t6s d ' un coude h miroir. Cette approche est cependant trop lointaine pour met t re en 6videnee la sym6trie rigoureuse de 45 ~ n6cessaire ~ son fonc- t ionnement . Par contre, il peu t ~tre int6ressant de eomparer les rendements de ces deux coudes, notam- m e n t en largeur de bande (Fig. 10).

(a) ( b )

FIG. 1 0 . - Coudes /~ variation brusque. (a) : courbure continue R = ci, (b) : coude h miroir.

En t616communications, il est indispensable de bien connaRre les pertes de t ransmiss ion de la ligne, rapport6es h l 'un i t6 d 'emploi : dB/km ou dB/radian

selon le cas. Malheureusement , les ph~nom~nes parasites de conversion compl iquent inu t i l ement le pro- blame, et une d6finition tr~s g6n6rale de l 'affaiblissement lin6ique en courbure reste encore h obtenir.

La perte totale de t ransmission h t ravers un coude de longueur L = x a -- x o s 'ob t ien t h par t i r de (39) sous la forme :

i 1 A oll (x )p 1 (45) Pdu -- 10 lOglO i ]A[ot ] (x~ P i '

I Pto j(x3) t - - 10 loglo P [ o l ] ( X o ) "

On peut lui faire correspondre un affaiblissemettt lin6ique en posant :

1 ( P[0x] (Xo) ~i. (46) ~app-- 2L l~ , P[01](Xs ) / / '

mais cette quant i t6 , qui repr6sente l 'affaiblissement apparen t fi la sortie du guide, n ' es t mani fes tement

pas une eonstante (Fig. 11) et ne pr6sente d ' int6r~t qu ' au voisinage des angles de Jouguet . Cela provient

1r

tb,l

l O

ld

O* ' . . . . . . . . 50 ~ 100~ 150~

|

FIO. 1 1 . - Lois d'affaiblissement du guide m6tallique nu en fonction de l'angle d'ouverture.

f ~ 35 GHz, rayon de courbure : 50 m. Les fl~ches d6signent les valeurs exactes de Re {Yv, Fv}

selon le cas.

de ee que le signal de sortie devrai t s'6crire :

A(L) = e -aL f(L)

off a repr6sente raffa ibl issement effectif de la eourbure

et f(L) une loi de var ia t ion t e n a n t compte de tous les ph6nom~nes r6actifs de ba t t emen t s subis par l 'onde au cours de son t ransi t . Ce n 'es t que lorsque f(L)--~ Cte que ~ p p tend eorrectement vers son enveloppe inf6-

rieure a ; d a n s le eas g6n6ral ~app repr6sente toujours

le eas pire. On utilise 6galement une autre expression de

l 'affaiblissement lin6ique en eourbure sons la forme de la moyenne pond6r6e (6nerg6tique) des affaiblis-

sements lin6iques du spectre :

(47) 0~L (X3) = • pv(xa) v

Cette quant i t6 est plus sage que la pr6c6dente, mais

fluctue encore entre r162 et cr en cas de reconversion. Pour am61iorer son centrage on peut retenir sa valeur

moyenne progressive < ~L > comme l ' ind ique la figure 11 (traits pleins). On remarquera que cette

quant i t6 reste tr~s proche du brian 6nerg6tique de la courbure (en pointill6 fgure 11) d6fini par :

1 l IA oll(Xo)l ) (48) B = 2 L l~ Z Pv(xa) )"

,/

- - 379 - -

1 8 / 3 0 M. BRAYER ET J . YHUEL [A3NSLES Dt.:S T/~LECOMMUNICATmNS

On am~liore encore la stabilit6 de (47) en rempla- ~ant sys t6mat iquement les Tv par les valeurs propres Fv eorrespondantes. On obt ient ainsi l 'affaiblissement propre pond6r6 ~p et sa valeur moyenne < ~p (Fig. 11) qui sont presque des eonstantes.

Toutes ees quant i t6s convergeant vers Re{F[0~] } on pourrai t penser que le probl~me est enfin r6solu. E n r6alit6, il ne l 'est pas encore ear, dans les s tructures h rev~tement , l ' a rnpl i tude est form6e d 'une somme d'exponentiel les dont la part ie d 'onde H01 prineipale ne d6pend pas toujours de la seule valeur propre Plo~]. I1 en r6sulte qu ' une eertaine loi de portd6ration doit

~tre raise en place, en g6n6ral, pour l ' in te rpr6 ta t ion eorrecte des r6sultats exp6rimentaux.

Pour eonelure ee bref aper~u des propri6t6s du guide m6tall ique, nous allons donner quelques indications sur ses serpentines eireulaires (Fig. 12). A ehaque demi-

FIG. 1 2 . - Formation d'un serpentine circulaire.

p6riode, le rayon de courbure change de signe et le sens du eouplage s ' inverse pour les termes non diagonaux de la matrice C. I1 peut en r6sulter, mais non n6ces- sairement, un ehangement de sens dans la loi de conversion-reconversion r6gissant l 'onde principale (cf. annexe D). Lorsqu' i l existe, le serpentine rest i tue

chaque 6tape une part ie impor tan te du signal incident, et le n iveau moyen h la sortie de la ehaine est sup6rieur h celui qu 'on aurai t au m6me point de conversion sur courbure uniforme. Cela est c lairement i!lustr6 figure 13 off le t aux d'am61ioration, au premier angle de Jouguet , passe de 1,08 (20 o) h 1,16 (15o).

IAI'

- /

if

V

i

15"

O O* 50* 1OO* 150 ~

Fro. 13. - - Lois de reconversion d'un serpentine circulaire sur guide m6tallique nu.

(En pointill6 : courbure continue pour contr61e.) /' ~-~ 35 GHz, rayon de courbure : 50 m, angle d'ouverture :

15 et 20 o.

Avec les structures h paroi d ' imp6dances, ce t aux reste en g6n6ral inf6rieur h l 'uni t6 et l 'affaiblissement du serpentine est toujours 16g~rement sup6rieur h celui de la courbure cont inue 6quivalente. Cela s 'explique, comme pr6c6demment, par le fait que la puissance de reconversion ne s 'emmagasine plus par t ie l lement dans le mode principal, mais se dissipe au contraire rap idement h l ' int6rieur de chaque demi- p6riode. Les changements de signe de la courbure correspondent alors h un d6faut suppl6mentaire impos6 /~ celle-ci.

ANNEXED

Etude du couplage de deux amplitudes d'ondes

I. Le syst6me diffdrentiel (33) poss6de une solution formelle rigoureuse lorsque M = 1. En effet, sa forme d6velopp6e

f dA 1 (D-t) i ~ + 71A1 -]- c12A2 = 0,

t dA 2 -~ c21A 1 ~- 72A2 : 0,

a pour dquation caract6ristique :

(D-2) DdL[ 7 1 - F C12 ] = 0 C21 72 - - r "

C'est un polynSme du second degr6 en F qui poss6de toujours deux racines complexes, F 1 et F 2 . La solution gdudrale de (D-l) correspondant aux conditions initiales ddfinies par

A(0) : ~ AI(0)~ \ i 2 ( 0 ) / '

s'dcrit alors :

1 AI(X3) - - 2 (1~1 - - F2)

(9-3) C21

A2(x3) - - ( 1 - 1 - r2)

avec

[A e -rlx8 -]- ,~ e -r2x3]

[C e -rlx3 - - ~])e -r2x3]

A = [(1~1 -- I'2) + (71 -- 72)] AI(0) + 2 c12A2(0),

.% = [ ( r l - r2) - ( 7 1 - 7~)] h i ( o ) - 2 c12Ad0),

(D-A.) [(F1 -- r2) -- (71 -- 72)] C = Alt0) + A2(0),

2 c21

[ ( r l - - r2) + (71 - - 72)] = AI(O) -- ADO).

2 c21

Les valeurs propres F1, F, doivent 6tre choisies avec discernement parmi les racines de (D-2) mises sous la forme :

(D-5) r & - - (71 -~- 72) _4_ ( 7 1 - - 72) t l ~_ ~C12 C21 t 112 )

II. Pour dclairer ce choix des Fv nous allons envisager le eas du guide mdtallique nu dans lequel on impose : C12 : C21 : e et (71 - - 72) ~ 0.

La valeur asymptotique de

{1 + a c 2 / ( y 1 - 72)}112

donne avec bonne precision :

(71 + 7~) F+ -- 2 -4- c,

(D-6) (Y, + 72) r _ - - C ,

2

- - ' 3 8 0 - -

t. 27, n ~ 9-10, 1972] COURBURE DES GUIDES D'ONDES A GRANDE DISTANCE 19/30

et un simple coup d'ceil sur le tableau IX montre qu 'on conduit ~ : doit prendre alors : ( Y t - Y~)

F+ + K

E H ~ t : F z : F + , I ::~ F~ -- F~ : 2 c , (D-t0) ( Y l + Y~) I ' _ _ K ,

2 d'ofl :

A ~ 2 c [A2(0) - - At(0)] , 6~ ~ - - 2c [At(0 ) + Az(0)], (3 ~ Ado) - A,(O), if) ~ At(0 ) + A~(0) ;

soit f inalement en regroupant les exponentielles de (D-3) :

At(x:~) =e-(Yt+Y~)xa/2 [ At(0 ) ch(cx~)--h2(0)sh(cxa)], ( 9 -7 )

A,(xa) = e - (vl+v*)xa[2 [--At(0) sh (CXa) + A2(0)ch(cxa)].

En posant c ,-~ ] C / R , et avec les conditions uormales d 'exci tat ion : A(0) = 1, A(0) = 0, (D-7) se r6duit h :

= 2 ( cos \ R / '

(D-8) A~(xa) = - - j e--(vt+v2)xa/2 sin ( 5;--~3 ) .

Ce sont les 6quations monomode simplifi6es du guide m6tallique en courbure. On y remarque que l 'onde parasite est excit~e en quadrature retard et qu'elle poss~de la m~me at tenuat ion que l 'onde Hol transform~e. L'6nergie trans- port6e par celle-ci varie comme :

/ C x ~ \ e--(CCl+CC~)x3 cos ~ ( \ - - ~ ; ,

et l 'ouverture telle que l 'onde principale ~etrouve son max imum d'dnergie, h l ' a t t6nuat ion pros, est appel6e angle de Jouguet. Elle correspond h

C ( x 3 ) J - - C ~ j ~ p ~ , (p ~ 1, 2 .... ).

R

Comme (28) donne : C - - k c J ~ / 2 (Slot ] ei), l 'angle de Jouguet devient :

~/2is[0t] ci) 3,83t7

L'angle de Jouguet dSpend de la fr6quence et du rayon du guide, et ses premieres valeurs sont donn~es figure D-I sur la bande 20-150 GHz pour les diam~tres nominaux de 50 et 70 mm.

flOHz)

150.

100.

70'

5O,

30

2O

Diam~tre

~ t t n ~ $Omm m

Io. ,o. ~o. do. ,~o. ,~r ,io o ,Io. ,~o. ~oo.

F ~ . D-1. - - Diagramme des angles de Jouguet. 50 ram, �9 . . . . . . . . 70 ram.

Si l 'on impose c21 = - - Ca2 au lieu de c~2 , les relations (D-8) restent valables avec [ct2]=lc~l[ ~ c ] B .

III . On a admis darts le paragraphe pr6c6dent la condition ]c[(Yi -- "~2)1 >~ t . Celt suppose R assez faible, par exemple inf~rieur fi 500 m. Si B est important , ou encore s i l a d~g~n~rescence est bien levee, on a au contraire : lc/($1 - - T2) l ~ I de sorte que la nouvelle approximation

l /iV2 II12 2C2

I + (vt--w) ~ ~ 1 + (Vl-V~)~ '

avec

2 ( u 7~) 2 "

La limite c--~ 0 entraine : F t ~ u et 17~ ~ y~ de sorte qu 'on doit poser ici :

Hot : F i = F+ ,

E H l t : F2 = F _ .

11 vient alors :

A = 2 ( u [1 + ~]AI(0 ) + 2cA~(0),

= 2 c4A1(0) - - 2 cA2(0 ) ,

e - AdO) + 4AAo), = At(0) - - [4 + 4-1]A2(0) ,

en prenant comme param6tre :

C 4 = -

(vl - V2) "

Avec ces coefficients (D-3) se transforme :

A, , (71 -- 72) e--(yl+V2)x3/2 i tx.~= ~-f f~r~) [At(0) [(1 + 2 4 ~) •

ch K x 3 -- sh K x3] -- 2 A2(0 ) 4 sh K x3], (D-It)

( u A2(xz) = (FI - - F2) e-(vt+v2)x3[2 [ - 2At(0)~sh K x 3 +

A2(0)[(1 + 2 4 ~ ) c h K x a + s h K x a ] ].

Avec l 'excitat ion normale, et apr6s quelques transfor- mations (D-11) peut s'6crire :

At(xs) -- (YI - - u ~.~) e - r txs + 42 e-r~x3] ( r t - r~) [(1 + (D-12)

C [ e _ r i x 3 _ e_r2xa ] . A2(x3) = ( F , - - F2)

Ce sont les ~quations monomode simplifi~es du guide paroi d' impddances, ou du guide m~tallique ~ tr6s faible

courbure. L'onde principale, d~s que ]41 ~ I ne d6pend pra t iquement plus que de l 'exponentielle en F t .

Les relations (D-12) et (D-8) correspondent aux deux phases limites du couplage : phase exponentielle et phase oscillatoire. Leur raccordement n 'est possible qu 'avec l 'expression g~n~rale (D-3). On notera que, dans le guide

rev~tement, la condition [4] ~ I cesse d'etre valable avec certains modes, pour les faibles valeurs de R. I1 en r~sulte des fluctuations du signal de sortie qui peuvent devenir importantes, no tamment en fonction de la frdquence.

Si c21 = - - c'2, les relations (D-12) restent encore valables en posant directement :

( ' ~ 1 - "~2) F1 21C1212 " ] K

2 [ (Yi-- 72) 2 J '

- Ict l

(YI - - V~)2 ,

C = C21.

IV. L'6tude d 'un serpentine s 'obt ient en r6alisant avec (D-3) et (D-C) un processus itdratif. A chaque demi- p6riode les cij changent de signe, tandis que x 3 = I]2 reste invariant . Les formes limites de (D-3) peuvent 6tre aussi utilis6es et on obt ient ainsi, pour le guide m6tallique

- - 3 8 1 - -

20/30 M. B R A Y E R E T J . Y H U E L [.~NNALES OES T/~L~COMMUNICATmNS

(en prenant x',z comme longueur arbitraire sur la seconde demi-pdriode) :

Al (X3-~ x~)=e--(Yl+ Y,z)(Xs+Xa) [2 cos ( C[x3~ x3]> , {D-13/

Az(xa + x;) =_je- ( ' l+ V~)(xs+ x~) /2 sin ( C [ x ~ x~-]] .

La pdriode complbte correspond f i x 3 = x~ = l[2, et il reste :

i h~(/) = e -(v~+v2) l / 2 , (D-la) A2(I) 0 .

I1 y a donc reconversion totale de l 'aide principale fi un affaiblissement pr6s. Selon (D-I~) cet affaiblissement serait identique ~ celui de la courbure uniforme. Mais cela est en contradiction avec la figure 13 et montre ainsi les erreurs importantes qu 'apporte parfois la thdorie monomode simplifide.

Avec un guide place de (D-t3) :

Al(X,z+x+) . . . .

[(I + 2~4) ch

A2 (x,z-}- x~ )

paroi d ' imp6dances on obtient, ~ la

(~'1-- YZ) 'z e--(i.l+~.2)(xa+x~)[2 X

K[x 3 + xg]--(l + 2~2)shK[x3 + x;] + 2~,z(~ + ~,z) ch K[x~--x+]],

C(~fl - - ~f2) e--(3,1+,f2)(xa+x~)/2 (FI__ F2)2 X

[-- 2 ch K[xa + x's]--2chK[x~--x3] + 2(t + 2~ 2) sh K[x~--Xa]].

Pour la pdriode compl6te, il reste :

A d l ) = (YI--Y~)~ ( r~r~) ,z [(1 +~2q- ~+e-r l / - -~2(l- -~2)e-r2/+

(D-16) 2~(2 + ~2)e--(ri+r2/)] 2] ,

A~(/)= c(Y1 -- Y2) [_ e--rtl at2/ e--(r1+r~)l/2] (Pl - - 11~) 'z - - + "

Pour savoir si le serpentine procure un gain sur la courbure continue, il suffit de comparer les sorties de (D-16) avec celles de (D-12) dans laquelle on fait x a = 1. On trouve ainsi, avec un guide h6licoidal s tandard, et selon le mode les rdsultats du tableau D-I.

T A B L E A U D - 1

Taux d'amdlioration .~ : serpentine/courbure continue (180 , R = 50 m)

Fr6quence (GHz)

35 50 75

EHll

1,00006 0,99994 1,00408

Mode auxiliaire

I

I HEll

0,99805 0,98945 1,00595

HEI~

0,99664 0,98689 1,01041

Ce gain est pra t iquement nul, quel que soit le mode. Le calcul exact confirme d'ailleurs que z reste ldg6rement infdrieur h 1, quel que soit l 'angle d 'ouverture.

pou r R d6passan t 25 m~tres , d e v i e n t quas i d iagona le m o ins de 10 -2 . Les va leu r s propres I'v son t alors

tr6s proches des Tv g6n6rat r ices (Tab leau X I ) , e t la f rac t ion d '6nergie pr61ev6e h l ' onde Hol reste a insi r e l a t i v e m e n t faible.

T A B L E A U X I

Valeurs propres d'un guide & revilement en courbure (34,38 GHz, R = 50 m)

(e 2 : 2 , 3 7 - j 0,02 e = 250 ~m)

Mode y~ (m -1) F~ (m -1)

Hol 3,29333.10 -4 + j 703,830 3,33627.10 -4 + j 703,830 EHII 3,03606.10 -2 + j 708,091 3,03570.10 -2 + j 708,092 HE u 4,57910.10 -2 + j 719,731 4,57917.10 -2 + ] 719,732 HEI, z 1,82890.10 -'z + j 688,510 1,82742.10 -'z + J 688,509

A ' ~ = "~(11) - - Y[01] A17 = r (11) - - P[Ol] = 3,00313.10 -'z + j 4,261 3,00234.10 -2 + j 4,262

Ces excel lents r6su l ta t s c o r r e s p o n d e n t h une couche r e l a t ivement 6paisse (250 microns). Pour connai t re l ' influence d 'une couche mince, nous avons 6tudi6 le r eve t emen t progressif d ' un coude m6tal l ique de 31 ~ Ce coude, de 50 mbtres de r ayon de courbure , a 6t6 choisi vo lon ta i r emen t au premier demi -ang le de Jou - guet pour que l ' a m p l i t u d e de l 'onde H m y soit p ra t ique - m e n t nulle ~ la fr6quence de t r a va i l (30,58 GHz). Le di61ectrique utilis6 est un nylon de pe rmi t t iv i t6 re la t ive z2 = 3,14 - - j 0,05, et l '6paisseur de la couche est var iable entre 0 et 62 microns. Les r6sul ta ts obtenus sont donn6s figure 14, et on remarque qu 'une

11 ilAl' ""['q"31

"N

"'x %\

\ \

,

",,,. \

2,60

2,50

1.7. A p p l i c a t i o n s au gu ide ~ r e v ~ t e m e n t .

La raise en place d ' un rev6 tement di61ectrique int6- r ieur am61iore c o n s i d 6 r a b l e m e n t los propr i6t6s en eou rbu re du guide m6ta l l i que . Cela p r o v i e n t de ce que tous les d6phasages diff6rentiels son t l a r g e m e n t sup6- r ieurs h l ' un i t6 , de sorte que la ma t r i ce de couplage ,

10 20 30 40 50 60

Fro. 1 4 . - Influence de l'~paisseur d 'un rev~tement di61ectrique.

f ~-~ 30 GHz, angle d'ouverture : 31 ~ rayon de courbure : 50 m, diam~tre du guide : 50 ram.

- - 382 - -

t. 27, n ~ 9-.10, 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 21/30

dizaine de mic rons suffisent p o u r s t oppe r la conve r s ion

et r e s t i t ue r h l ' o n d e p r inc ipa le l '6nerg ie e m m a g a s i n 6 e

dans le pa r a s i t e E H n . Le p h 6 n o m 6 n e se s tabi l ise

ensu i te r a p i d e m e n t , e t le f o n c t i o n n e m e n t du coude

d e v i e n t n o r m a l au-de lh de 40 microns . On n o t e r a

que le coeff icient de coup lage +e[ofl(n) va r ie len te -

m e n t , sans aucune p e r t u r b a t i o n , et d6crot t f i n a l e m e n t

apr~s une 16g~re remont6e . La p r o t e c t i o n ob te rme n ' e s t

6 v i d e m m e n t suff isante q u ' h la c o n d i t i o n que l ' o n d e

p r inc ipa le ne puisse se c o n v e r t i r pour une o u v e r t u r e

dif f6rente de 31 ~ P o u r le v6rif ier , u n ce r t a in n o m b r e

de t rac6s son t rassembl6s , f igure t5 , e t c o r r e s p o n d e n t

1,GO

0,95

0,90

0,85

0 , 8 0 �84

0,75.

IAI'

L / lit ,?'.,

/% \ \ \~,.If\

\

J i \

i ' i / if 19 i

Fio. 15. - - Niveau relatif des amplitudes d'ondes dans un guide h revt~tement di61ectrique.

Diam6tre du guide : - - - - - 50 ram, - . . . . . . . . . 70 ram, / ~ 35 GHz,

rayon de courbure : 50 m,

caract6ristiques du revStement : (a) : r = 3,14 - - j 0,05, e = 62 microns, (b) : $2 -- 3,14 - - j 0,5 , e -- 87 microns, (d) : r -- 3,14 - - j 0,2 , e 40 microns, (e) : ~ 3,14 - - j 0,05, e -- 12 microns.

Pour contr61e : (c) : guide h61icoidal staudard, type 6cran, en 50 mm de diam~tre.

(f) guide m6tallique nu (trac6 partiel).

des 6paisseurs e t des m a t 6 r i a u x diff6rents , en guides

de 50 e t 70 m m de d iam6t re . I1 y a p p a r a l t n e t t e m e n t

q u ' u n r e v ~ t e m e n t de 62 mic rons p r o c u r e au guide de

50 m m ( r e s p e c t i v e m e n t 87 ~zm ~ 70 ram) un exce l l en t

f o n c t i o n n e m e n t en courbure , e t avec un u i v e a u de

sor t ie l~g~rement sup6r ieur h celui d ' u n guide h61i-

coYdal s t a n d a r d de m 6 m e d iam~tre . Une 6paisseur

de 40 mic rons est encore suff isante, q u o i q u e un peu

faible , sur guide de 70 ram, e t une 6paisseur de

12 mic rons , m a n i f e s t e m e n t i ncapab le d ' e m p 6 c h e r les

b a t t e m e n t s r6siduels , p e r m e t malgr6 t o u t un n i v e a u

de sor t ie p a r t o u t sup6r ieur h celui de l ' ang le de

J o u g u e t du guide m 6 t a l l i q u e nu (*). F i n a l e m e n t ,

ces r6su l ta t s c o n f i r m e n t que les couches minces con-

v i e n n e n t p a r f a i t e m e n t au f r a n c h i s s e m e n t des cour-

bures fa ibles et m o y e n n e s .

P o u r i n t e rp r6 t e r l ' ex i s t ence des o n d u l a t i o n s r6si-

duel les , on a regroup6 , duns le t a b l e a u X I I , les

c o m p o s a n t e s d iagona les ( K ~ V D k c o r r e s p o n d a n t a u x

t rac6s (a), (b), (d) e t (e) de la figure 15.

I1 m o n t r e que le pa ras i t e E H n p r e n d de plus en

plus d ' i m p o r t a n c e lo r sque r 6 p a i s s e u r r e l a t i v e e /c l

d6croi t , alors q u ' a u con t ra i re , l ' a m p l i t u d e des

modes H E n et H E z ~ d iminue .

I1 en rbsul te que , p o u r une couche d '6pa i s seur

suff isante, ces pa ras i t e s son t d ' a m p l i t u d e s ~ peu pros

6gales e t b a t t e n t en t r e e u x a v e c des f l uc tua t ions

b ien modnl6es c o m m e le conf i rme le t rac6 (a).

Lo r sque r 6 p a i s s e u r d iminue , l ' a m p l i t u d e de la c o m p o -

sau te E H n 6merge p e t i t ~ p e t i t de l ' e n s e m b l e des

paras i tes , de sor te que les osci l la t ions se s imp l i f i en t

e t r e j o i g n e n t p r o g r e s s i v e m e n t le b a t t e m e n t l im i t e

e x c e p t i o n n e l de d e u x m o d e s c o r r e s p o n d a n t au ph6no-

mbne de c o n v e r s i o n - r e c o n v e r s i o n du guide m 6 t a l l i q u e

n u .

E n p r a t i q u e , ces f l uc tua t ions ne soa r pas g~nantes .

e t p e u v e n t s '61iminer p a r f i l t rage d~s la sor t ie du coude ,

La f igure 16 pr6cise les va r i a t i ons de l 'af fa ibl isse-

m e n t ~app en fonc t i on de la f r6quence , p o u r un

r e v 6 t e m e n t de 62 mic rons d '6paisseur . Les rOsultats

son t exce l len ts d6s que R d6passe 50 m6tres . E n de9h,

les coefficients de coup lage cessent d ' e t r e n6gl igeables

et les b a t t e m e n t s r6appara i s sen t . Ils n ' o n t pas la

m 6 m e al lure que p r 6 c 6 d e m m e n t car les d6phasages

diff6rentiels , ~ cause de la loi de d ispers ion, d i m i n n e n t

p r o g r e s s i v e m e n t a v e c la f r6quence alors qu ' i l s r e s t e n t

i n v a r i a n t s cn f o n c t i o n de l ' o u v e r t u r e @. La r e m o n t 6 e

a n o r m a l e du t rac6 R = 10 m, en d6bu t de bande ,

s ' e x p l i q u e p a r nne r d s o n a n c e du m o d e E H n . Ce

ph6nom~ne ne p r o v i e n t pas d ' u n e v a l e u r excep t i on -

hel le de l ' a m p l i t u d e d ' o n d e A ( n ) , mais p lu tOt du

fa i r qu ' e l l e se p r6sen te en q u a d r a t u r e a v e c sa phase

hab i tue l l e , ce qui absorbe une ce r t a ine f r ac t i on

d '6nergie ( res t i tuab le ) en p r o v e n a n c e de l ' o n d c

pr inc ipa le .

U n second r e v 6 t e m e n t a 6t6 6tudi6, d o n t la f igure 17

pr6cise le n o u v e l a f fa ib l i ssement . Son 6paisseur de

250 mic rons am61iore n e t t e m e n t le n i v e a u re la t i f et

la s tab i l i t6 de l ' o n d e p r inc ipa le , au moins j u squ '~

R = 30 m~tres . A u x rayons inf6rieurs, le gain corres-

p o n d a n t d iminue r a p i d e m e n t avec la f r6quence ,

(*) Le trac6 du module utilis6 au tableau X[ est eonfondu avec le profil moyen de (a) et n 'a pu gtre report6 sur la tigure 15; mais il est presque aussi plat que le trac6 (c),

- - 3 8 3 - -

2 2 / 3 0 M. B R A Y E R ET J. Y H U E L [Ax~A,.,.:s DES TI~L~ICOMMUNICATIONS

T A B L E A U X I [

Principales composantes diagonales de l'amplitude d'ondes A(xa)

(Ces q u a n t i t 6 s c o m p l e x e s a § jb s o n t d o n n 6 e s ici e n : a) b)

k (a) (b) (d) (e)

U o l

EHlx

EH12

EHla

EH14

HEll

HE12

HEza

HE14

0 , 9 9 8 8 0 , 9 9 8 1 0 , 9 8 4 7 0 , 9 3 9 3 - - 4 , 3 8 2 8 . 1 0 - s - - 4 , 2 3 7 3 . 1 0 - 4 - - 1 , 8 2 9 2 . 1 0 - a - - 3 , 0 9 3 5 . 1 0 - a

3 , 3 1 9 9 . 1 0 - 2 3 , 3 6 8 2 . 1 0 - 2 0 , 1 2 0 2 0 , 2 3 9 0 6 , 5 9 5 9 . 1 0 - 4 6 , 3 5 1 1 . 1 0 - 3 7 , 4 4 3 5 . 1 0 - a 5 , 7 1 1 8 . 1 0 - a

- - 3 , 3 0 2 3 . 1 0 - 7 - - 3 , 7 7 3 4 . 1 0 - 6 - - 1 , 3 1 7 1 . 1 0 - 6 - - 1 , 1 1 0 3 . 1 0 - 7 8 , 0 5 4 8 . 1 0 - s 4 , 7 2 4 3 . 1 0 -7 3 , 3 7 7 1 . 1 0 -7 1 , 0 3 7 9 . 1 0 -7

- - 1 , 1 3 0 2 . 1 0 - s - - 1 , 0 2 1 3 8 . 1 0 - 7 - - 6 , 0 0 5 1 . 1 0 - s - - 1 , 0 6 4 0 . 1 0 - s 8 , 4 3 1 4 . 1 0 - 9 4 , 0 3 8 3 . 1 0 - s 3 , 7 8 9 9 . 1 0 - s 1 , 2 2 5 4 . 1 0 - s

- - 1 , 3 1 5 8 . 1 0 - 9 - - 1 , 2 1 9 8 . 1 0 - s - - 6 , 9 2 7 6 . 1 0 - 1 2 - - 1 , 7 3 0 1 . 1 0 - 9 1 , 6 1 2 5 . 1 0 - 9 1 , 0 0 7 9 . 1 0 - s 6 , 9 2 5 9 . 1 0 -a~ 2 , 3 3 9 3 . 1 0 -9

- - 4 , 6 0 1 7 . 1 0 - 3 - - 1 , 6 8 4 9 . 1 0 - 2 - - 1 , 6 2 8 2 . 1 0 - 2 - - 5 , 3 5 3 1 . 1 0 - a 2 , 5 1 3 6 . 1 0 - e 7 , 2 8 2 0 . 1 0 -5 2 , 3 0 8 9 . 1 0 - 5 1 , 1 5 5 5 . 1 0 -6

5 , 9 0 6 3 . 1 0 - a 2 , 1 6 5 7 . 1 0 -2 2 , 1 0 7 8 . 1 0 -2 6 , 5 9 7 8 . 1 0 - a - - 1 , 6 8 1 1 . 1 0 - 6 - - 5 , 9 7 7 1 . 1 0 - 5 - - 4 , 5 0 5 7 . 1 0 - 5 - - 2 , 2 2 3 8 . 1 0 - 5

1 , 1 3 3 1 . 1 0 - a 4 , 3 1 6 7 . 1 0 - 4 4 , 2 2 3 0 . 1 0 - 4 1 , 2 6 9 8 . 1 0 - 4 - - 3 , 8 7 7 2 . 1 0 - s - - 9 , 5 5 6 9 . 1 0 - 7 - - 9 , 2 8 4 6 . 1 0 - 7 - - 4 , 4 2 0 9 . 1 0 - 7

1 , 4 6 6 0 . 1 0 - 5 6 , 0 2 4 5 . 1 0 - 5 5 , 8 8 7 2 . 1 0 - 5 1 , 6 4 0 8 . 1 0 - 5 - - 7 , 1 5 6 0 . 1 0 - 9 - - 1 , 6 1 4 7 . 1 0 - 7 - - 1 , 4 4 1 0 . 1 0 - 7 - - 5 , 9 5 9 2 . 1 0 - s

ld

1 6 3 .

16'.

( ~ app.

(N/m)

30m

~ ' ~ ' ~ / - , ' / 5 0 m

f (GHz)

3o 4'o 6b 7b sb" FiG. 16. - - A f f a i b l i s s e m e n t a p p a r e n t d e l ' o n d e H o l e n f o n c -

t i o n d e l a f r 6 q u e n c e . C a r a c t 6 r i s t i q u e d u r e v ~ t e m e n t : ~2 = 3 ,14 - - j 0 ,05 ,

e = 62 ~ m , a n g l e d ' o n v e r t u r e : 45 o, r a y o n d e c o u r b u r e : 5, 10, 30 , 50 , 1 0 0 m e t l ' i n f i n i ( g u i d e r e c t i l i g n e ) , d i a m ~ t r e d u

g u i d e : 50 m m .

O(app.

( N / m )

5m

1Om

3Om

/ l O O m .,.,-,-.- r

5m

lore

f (GHz J ! t

30 4'o 5'0 do 70 so FIG. 17. - - A f f a i b l i s s e m e n t a p p a r e n t d e l ' o n d e Hoz e n f o n c -

t i o n d e l a f r 6 q u e n c e . C a r a c t 6 r i s t i q u e d u r e v ~ t e m e n t : ~2 ~ 2 ,37 - - | 0 ,02 ,

e = 2 5 0 ~ m , a n g l e d ' o u v e r t u r e : 45 o, r a y o n d e c o u r b u r e : 5, 10, 30 , 50, 100 m e t l ' i n f i n i ( g u i d e r e c t i l i g n e ) , d i a m ~ t r e d u

g u i d e : 5 0 r a m .

t . 27 , n ~ 9 -10 , 19721 G O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 23/30

pr incipalement h cause de la baisse de ~(n) (cf. l l ] , fig. 24-C).

Remarque importante .

Ces conclusions out 5t6 v6rifi6es exp6r imenta lement et nous reviendrons, clans une prochaine publicat ion,

ce problbme fondamental .

Dans les deux exemples pr6c6dents, les f luctuations r6guli~res et bien 6tal6es en fonction de la fr6c[uence peuven t apparai t re quelque peu surprenantes. Ea effet, les mesures exp6rimentales que nous connaissons ne compor tent jamais d'oscillations aussi importaates , mais plutSt des f luctuations h caract~re ne t t emen t al6atoire, avec quelques br6ves impulsions r6siduelles. On pourrai t donc penser que la propagat ion sur les guides r6els est en contradict ion avec la th6orie g6n6- rule. En r6alit6, il n ' en est rien et nous pensons, bien au contraire, liue ces trac6s en fonction de la fr6quence, appor ten t une preuve indirecte, mais suffisante, de l 'organisat ion v@itab lement al6atoire des couplages

dans les structures r6elles.

Les valeurs propres riot] d ' u n module ue f luctuent jamais, comme le confirme le true6 (en pointill6,

figure 16) de a 0 = Re{P[01] } pour R = 30 m. C'est la diff6rence (~app -- %) qui est seule f luctuante, et la figure 16 montre qu'elle n 'es t pas n6gligeable pour cette valeur usuelle de la courbure. Cela signifie que,

dans (39) et comme le confirme le tableau XI I , les

ampli tudes des modes E H n , H E n et HE12 tie sont pas assez faibles pour ignorer leurs ba t temeuts suc- cessifs avec l 'onde principale H01. Les coefficients Kk 6taut constants , ces ba t t emen t s par somme d'exponentielles h arguments complexes sont inSvitabies pour le calculateur. Darts les guides ~ rev~tement r6els, l '6paisseur de la couche et le mat6r iau lui-m~me ne ne peuven t ~tre v6r i tab lement homog6nes. I1 en r6sults utte fine, mais continue, rdorganisat ion des couplagee tou t le long de la courbure et les phases Pk(x 3 - - xo) p r ennen t rap idement une or ig ine al6atoire. Les bat te- ments de (39) disparaissent donc au profit d ' u n affaibl issement moyen suppldmentaire et de quelques impulsions localis6es dues aux composantes p6rio-

diques r6siduelles.

F ina lement , si l 'on ne dolt pas a t tacher une signifi- cat ion pr6cise aux fluctuations des trac6s pr6c6dents, on dolt admet t re en revanche, m6me en r6gime alga- toire, l 'existence des ondes parasites qui leur donnen t naissance. Comme les ampli tudes des oscillations des figures 16 ou 17 sont une mesure de l '6cart quadra- t ique moyen des fluctuations r6elles de l'affaiblissement, on justifie par lit-m~me le filtrage s6v6re eL syst6matique actuel lement utilis~ sur les guides "a

rev~tement en plagant un guide hdlicoidal en alter-

nances toutes les 4 ou 5 jonetions.

Le guide fi rev6tement peut poss6der un niveau de sortie plus impor tan t que le guide h61icoidal associ6. Nous en avons d6]& donn6 les raisons 6nerg6ticiues, mais la c16 du probl6me s 'obt ient figures 8 et 9 off

sont superpos6s les trac6s du module de la figure 16

et ceux d ' un guide h6licoidal type-6cran. On y v6rifie que l 'affaiblissement suppl6mentaire en courbure, qui varie comme Re{r[oz]}, d6marre d ' a u t a n t plus tard que t o u s l e s d6phasages diff6rentiels sont impor tan t s

(la courbure exige Im{Floz]- F~} # 0), et que les asympt6tes ~• correspondants aux modes parasites ne sont pas trop 61ev6es. On en d6duit que le n iveau de sortie d ' un guide h61icoidal peut s'am61iorer si son filtrage est 16g~rement r6duit, et sur tout si son d6pha-

sage diff6rentiel avec le mode EH11 est m a i n t e a u sup6rieur au moins ~ l 'uuit6. In tu i t ivement , on retrouvc ainsi les propri6t6s des coudes ~ disques altern6s qui furent jadis propos6s comme solution pour les fortes courbures.

Nous avons signal6, au paragraphe 1.6, que la quant i t6 Re{P[01] } ne permet ta i t pas de r6soudre, dans tons les cas, le probl~me de l 'affaiblissement lin6ique en courbure. Cela est par t icul i~rement vrai

pour le guide h rev~tement comme le confirme la figure 18. La v6ritable difficult6 n 'es t pas dans les

101

10 0

16'

1(r

(N/m)

a ..... b """"-

,'J i ~g T ...... \

I ".. '".

0,1 1 10 1{~3 . . . . " 1 0 6 0

R(m)

Fro. 18. - - Lois d'affaiblissement d'un guide h rev(~tement en fonction du rayon de courbure.

~ a p p ,

. . . . . . . . . . - - . 051.

. . . . . . . . . :Re{ r[ol] } . (a) : ~2 = 3,14 - - ] 0,05, e = 62 ixm, (b) : ~2 -- 2,37 - - j 0,02, e = 250 tim.

[ ~ 35 GHz.

f luctuations de ~app, plus ou moins gloign6es de la

r6alit6 comme nous venons de le voir, mais dans la

distance croissante entre ~app et Re{r[01] ) lorsque R diminue. Ce d6saccord provient de la remont~e tr~s rapide du ni•eau des modes parasites aux fortes courbures, mais le calcul ne peut saisir d i rectement la valeur correcte de l 'affaiblissement qui en r6sulte. II

- - 385 - -

24/30 ~. BRAYER ET J. YHUEL [A ..... ~:S DeS TP~,.f':COMM(Y:X,CATIONS

faut en effet lisser le trac~ de ~app, en d~duire le profil

moyen, le comparer aux r~sultats exp6r imentaux, en

d~duire une ~ventuelle loi de pond~rat ion parce que

~a~, ~ est toujours pessimiste, avan t d 'obteni r

les var iat ions convenables de co(R) ou ~r A l ' inverse

de '~pp, celles de ~L prennent un re tard croissant

parce que la pa r t d'~nergie correspondant au mode

principal diminue sans cesse, tandis que celle des

parasites ne cesse d ' augmente r , f luctuations comprises.

Elles convergent donc vers les ~• et ne sont pas

int~ressantes ici, le profil utile ~tant quelque par t

au-dessus de Re{F[0~] }.

Pour te rminer cet te rapide ~tude du guide h rev~-

tement , nous donnons en fgu re 19 quelques ampli-

lal"

R(m)

~ H E ~

/ /~ ',I / ! 'i

/ I I

i / -~1

/ ! / !

/,')/ / ~

/ , I

Fro. 1 9 . - Niveau relatif des amplitudes d'ondes A[0fl, Ah, ] , A(n ) dans un coude "3 rev~tement de 900 .

Caract6ristique du rev~tement : ~ : 3,14 - - j 0,05, e : 62, ~ 35 GHz.

tudes d 'ondes, calcul6es h 35 GHz, et relat ives h u n

coude d 'ouver tu re constante (90 ~ dont le rayon de

courbure R d~croit sys t~mat iquement . Au-delh de

R = 100 m~tres, la d~croissance de ]A[ol]j~ est nor-

male et p rovien t du te rme exp (-- a[0fl=R). En de~h

de 30 m~tres, elle est due h l ' impor tance croissante

des modes parasites, et une phase oscillatoire com-

mence h se superposer doucement h la phase exponen-

tielle pr~c6dente. Un 16ger d6but de reconversion se

produi t h 5 m~tres, et le lecteur suivra de lui-m~me,

pas h pas, l ' influence simultan6e des modes E H n

et HEle sur le niveau de sortie de l 'onde principale.

I1 notera que ce n iveau est mani fes tement meil leur

h R = 1 m q u e pour R = 3 m, et que la figure 18

coufirme n e t t e m e n t l ' invers ion d 'affaibl issement cor-

respondante. Par contre, la loi d 'affaibl issement est

redevenue normale h 90 ~ d 'ouver ture , alors qu 'el le

res ta i t encore anormale ~ 45 ~ comme le prouve la

figure 16. Le re l iquat de cet te anomalie est d 'ai l leurs

visible, figure 18, sur le trac6 de ~L.

DEUXI]~ME PARTIE

O P T I M A L I S A T I O N D E S F R A N C H I S S E M E N T S D E C O U R B U B E

I L l . G~n6ral i t6s .

Le trac~ d 'une ligne h grande distance, sans ~tre

r6ellement impos~ a priori, doit respecter un certain

nombre de contraintes plus ou moins s~v~res n~ces-

s i tant chacune, au min imum, un ou deux changements

de direction importants .

Ces franchissements de courbure ont d~jh fait

l ' ob je t d '~tudes tr~s int~ressantes [9, 10], et nous

reviendrons ul t~r ieurement sur quelques cas concrets relatifs au guide h~licoYdal.

Darts cet te seconde part ie, nous n 'al lons envisager

que la recherche syst~matique de leur optimalisat ion.

On peut poser le probl~me de la fa~on suivante : une

s t ructure guide d 'ondes ~tant donn~e (guide h~licoYdal

ou guide h rev~tement di~lectrique), on se propose

de relier les points A et B, sur le terrain, par un

parcours curvil igne de sorte que son affaiblissement

global soit minimal (Fig. 20).

C

R ( 1 - c o s H ) .

A . .~02A, a / ( a l +Rsin~) )

F~G. 20. - - G6om6trie des franchissements

b

4

de courbure.

I1 peut 6tre r~solu en trois ~tapes, plus ou moins

ind~pendantes, qui se posent trbs f r6quemment en

prat ique.

a) Probl~me I : L 'ouve r tu re 0 de la courbure

6tant impos~e (ainsi que le point

d 'arr iv~e B), d~terminer le profil

curvil igne AB pr~sentant le mi-

n imum d'affaibl issement.

b) Probl~me II : En conservant ce profil et le

point B, rechercher l 'ouver-

ture 0 opt imale qui am61iore au

mieux cet affaiblissement.

c) Problbme I I I : En p a r t a n t de la solution pr6-

c6dente, rechercher l ' emplace-

- - 386 - -

t. 27, n ~ 9- |0 , 1972] C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 2 5 / 3 0

ment du point B pe rme t t an t d 'ob ten i r l 'affaiblissement optimal darts le cadre de certaines restrictions impos~es h l ' avance (he serait-ce que pour 6viter la solution banale B --> A !).

La loi d 'affaiblissement sur AB a 6videmment la forme :

(49) N = ~AB + A~(R0) ,

off l 'affaiblissement lin6ique et son suppl6ment en eourbure d6pendent de la fr6quenee. Ce dernier d6pend, en outre, de la eourbure et peut s'6erire tr~s g6n6ra-

lement :

K(R) (50) A~ = - -

R 2

En prat ique, la fonction K(R) ( tout au moins pour les courbures moyennes) est assez proche d 'une constaute. PlutSt que d 'en introduire une repr6sen- ta t ion plus ou moins arbitraire, nous avons pr6f6r6 l ' admet t re localemeut telle, qui t te h soumettre les r6sultats obtenus h une loi num6rique de relaxat ion p e r m e t t a n t de v6rifier r igoureusement une loi exp6ri-

mentale de variat ions. Avec cette hypoth~se, il v ient f inalement :

~-~ K0 (51) N = ccAB + -~R--'

(52) N(O,R)=Ma~(R,O)+ I(R,O)I+O~R+ I~ ], off chaeune des variables ind6pendantes R,O doit respecter certaines contraintes propres ~ la g6om6trie

du probl~me h r6soudre.

II.2. Recherche du profil optimal avec ouver- t u r e c o n a t a n t e .

C'est le probl6me I. I1 n ' es t possible que pour

0m ~< 0 ~ 7~, off 0m repr6sente l 'angle polaire du point d 'arriv6e d6fini par :

tg Om b'lb. En ut i l i san t les relations g6om6triques 6videntes :

b' -- R(1 -- cos 0) b' (53) t(R, 0 ) - sin0 -- sin0 Rtg0/2 ,

(54) at(R, 0 ) = b - - b ' c o t g O - - R t g O [ 2 ,

[b' cos0 + R ( 1 - - c o s 0 ) ] - - b sin 0 . . . . '

on obt ient l 'expression suivante de l 'affaiblissement :

0 I t g 0 / 2 ~ K0 (55) N ( R ) = ~ t b + ~ b ' t g ~ + ~ R O . _ l - - 0 ~ J + R - "

off 0 n 'es t q u ' u n param~tre impos6. t g 0 / 2 0/2 6 tan t tou jours > 1 sur l ' in te rva l le de d6finition, la

dN d6riv6e ~ R - y reste n6gative. Le profil optimal

correspond alors au rayon R le plus grand possible, compte tenu de ce que a, et l ne doivent en aucun cas prendre de valeurs n6gatives.

A l 'aide des condit ions g~om6triques correspondantes :

b' (56) 1 ~> 0 ~ R ~< "1 --- cos 0 - - R a l '

b -- b' eotg0 b sin0 -- b'cos0 (57) al>~ 0 ~ R ~< t g 0 / 2 1 - - cos0 Rl ,

cette double condit ion se t radui t par :

(58) R ~< inf {Ral , R l } .

Un ra i sonnement simple mont re que le choix pr6c6- dent s 'organise en 0, de sorte qu 'on peut remplacer (58) par une seule des deux relations :

(59) b' ~< b tg 0/2 ~ R <. Ral ,

(60) b' 1> b tg 0/2 ~ R ~< R t .

L'6galit6 : R = Rax = R l n'es t possible que pour une ouverture 0 o telle que b' = b tg(0o/2) ee qui entraine aussit6t :

(61) 0 o = 20m �9

F ina lement on est amen6 h consid6rer, pour la

recherche du profil optimal, trois domaines d 'existence dont nous allons r6sumer rap idement les propri~t6s (Fig. 21) :

A ,0o m X

/ Fia. 21. - - Domaines d'existenee des profils eurvilignes APB.

a) 0 o < 0 ~<~

Le profil opt imal correspond

0 l = 0 , a , = b - - b ' c o t g - . ~ - ,

b' b tg(0o/2 ) R = Ral - - 1 - - c o s 0 -- 1 - - c o s 0 '

et trois exemples en sont donn6s figure 22 pour

0 o = ~z]2 ; 0 = 120, 150 et 180 o. La loi d 'affaiblissement correspondante est :

F (62) N = ~[_b + b' cotg ~

- - 387 - -

26/30 M. B ~ A . Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES TI::LI~.COMMI'NICA'IIONS

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

~ B

A

/

/

x

FIG. 22. - - Exemples de profils optimaux pour 0 o = n]2. On notera que l'6chelle est rdduite par le param6tre b.

,] B

0 , 5 �84

b) 0 -- 0o

On a ee t t e lois :

b l = a 1 = 0 , e t R = s i n 0 "

Le prof i l o p t i m a l es t p u r e m e n t e i reula i re e t il v i e n t :

Oo ? o (63) N O = ~b sinO0- ~ + - - s i n 0 o ,

c) O~ ~< 0 ~< 0o:

Le prof i l op t ima l es t d6fini pa r

0 l= b'cotg ~ - - - b , a 1 = O,

b sin 0 - - b' cos 0 R= RI = 1 - - c o s O '

et un e x e m p l e en es t donn6 figure 22 p o u r 0 = 60 ~

L ' a f f a ib l i s s emen t c o r r e s p o a d a n t es t :

(64) N = ~ b ' c o t g O ( 1 - - ~ - ) + ~ b \ 2 t - g t ) / ~ / 0 / 2 - - 1 ) +

K0 tg 0/2 b - - b' eo tg 0

I1 ex is te un cas p a r t i e u l i e r off t o u s l e s prof i ls son t

n6ees sa i r emen t de ee de rn ie r t y p e : e ' e s t le eas 0 o =

i l lustr6 f igure 23. Les g randeu r s g6om6t r iques qu i

i n t e r v i e n n e n t dans ees dif f6rents t rae6s son t donn6es

f igure 24 p o u r 0o = r : ]2 . On y r e m a r q u e que 1]R et l son t h v a r i a t i o n s r ap ide s d6s le f r a n e h i s s e m e n t

d ' u n 16get pa l ie r h gauche de 0o , de sor te que ee t t e

r6gion p e u t p e r m e t t r e l ' o p t i m a l i s a t i o n de (51) e o m m e

nous al lons le v6rif ier .

I I . 3 . R e c h e r c h e d e l a m e i l l e u r e o u v e r t u r e

d ' u n p r o f i l o p t i m a l .

Les prof i ls s ' 6 e h a n g e a n t e o n t i n f l m e n t l o r sque 0

va r i e de 0m ~ ~:, ]a v a t e u r o p t i m a l e de leur o u v e r t u r e

se d6 t e rmine p a r l ' e x p l o r a t i o n success ive de leurs

d o m a i n e s d ' ex i s t enee .

A 0,5 ~.

Fro. 23. - - Exemples de profils optimaux pour 0 o = n. L'6chelle est ici r6duite par le param6tre b ' .

(11 R :.

i o. ! I

/ /

/ /

/ /

/ /

/

i /

/

0,5 R : / : / - / : /

/ I

:" / / :- /

/ " / - /

45 ~ 6 0 ~ 9 0 ~ 120 ~ 150 ~ 180 ~

FIG. 24. - - Variations relatives des grandeurs g6om6triques R, a 1 , I.

C o m m e d N ] d 0 est pos i t i ve sur [0o, n] , l 'affaibl is-

s e m e n t (62) es t m i n i m a l p o u r la l imi t e inf6r ieure du

388 - -

t. 27, n ~ 9-10, 1972 i C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 27/30

domaiue, et N se r~duit h N o en englobant , par conti- nuitY, le cas 0 ~ 0 o. Lc probl~me se ram~ne doric h l 'existence d ' u n m i n i m u m de (64) sur l ' interval le

[0~, 0o]- Nous en avons effectu~ la recherche directe sur

calculateur, en t r ans fo rman t (64) sous la forme :

(65) N ( 0 ) ~ o ~ t ~ [ s i n ( ~ ~ O-) t g 0 ) §

cos (02o) [2 0/2 1 ~ § 2U(0]2) tg0 /2 ] t ~ cos(0o/2) ~(6~(0o/2) cotg0]'

avec

K ~ = A B , U

o~ ~ �9

Ce m i n i m u m existe toujours et la so lu t i on0 corres- pondan te est donn6e figure 25, cn valeur normalis~e

par rappor t h 00-

0,9

0,8

0,7

U 102

,~v "'~:'510

...................................................... 0,20

�9 0 ,1

. . . . . . . . . . . . . . . . . ~ ~ 0,05

0 ~ ....................................... .................................................... 9,025

0,004

o,% ~b ~;o io ~o ~;o ~ ; 0 ~ ~o ~o.

F~G. 25. - - Valeur normalis~e de l'ouverture optimale dans l'intervalle [0 m , 0o].

K Le param~tre [7 = -- d~pend du guide et du point B.

E x e m p l e d ' app l i ca t ion .

Un guide h~licoidal a pour param~tres exp~ri- m e n t a u x : ~ - 3,1.10 -a Np/m, Am ~ 3,5.10 -a N/pm (pour R ~ 10 m). On en d~duit K = 0,35 Np.m, d'ofi

les valeurs de 0~ avec 0 o ~ 7:[2 ( tableau XII I ) .

TABLEAU XIII Angle d'ouverture optimal pour 0 o = 900

U p~,,~) (}N O (degr0

1,25 0,50 0,10 0,025 0,004

30 47,5

106 212 531

0,75 0,74 0,675 0,565 0,5425

67,50 66,60 60,75 50,85 48,825

faut U = 0,07716 d'ofl ? = 120,96 m ; le trac~ 60 ~ de la figure 22 serait ainsi le meilleur trac~ possible si l 'abscisse de B valai t b = 120,96/%/2- = 85,54 m .

Fiaa lemeut , pour B imposS, l 'ouver ture optimale

est toujours inf~rieure h 0 o = 2 0m �9 Elle s ' interpr~te

faci lement h l 'aide des variat ions de AB ct de R.

Pour 0 = 7: la longueur L de AB est maximalc ; si 0 diminue, L diminue tandis que R crolt, d'ofl une baisse syst~matique de (51) qui se prolonge jusqu ' en

0 o . Lorsque 0 d~croit encore, A B e t K0 d iminuent , mais KO]R devieut rap idement une fonction croissante de 0, de sorte que le second termc de (51) (effet de courbure) devient prSpond~rant sur le premier (pertes lin~iques globales). C'est juste avan t la remontSe de

K O / R que s 'obt ieut la valeur de 0, lorsque les deux termes de (51) s '~quil ibrent h peu pros (*).

Si l ' on impose un parcours symStrique, avec l = a I ,

cela implique 0 ~ 0 o et l 'opt imal isat ion ne s 'ob t ien t

que pour O = 0 o comme l 'a d~montr~ di rectement G. Comte [10]. C'est la dissym~trie et le rejet du parcours lin~aire derriere la courbure qui permet d'am~liorer quelque peu ce r~sultat.

On pourra i t reprendre l '~tude pr~c6dente en imposant au d~part R a u lieu 0. La valeur caractSris- t ique est cette lois R o ~ b ' / 2 , et, tous calculs faits, on retrouve les r~sultats num~riques ci-dessus.

II.4. Un exemple d'opt imal isat ion du point d'arriv6e.

Le problbme I I I correspond au eas g6n6ral. I1 ne peut 6tre r6solu que par uu programme de calcul sp6cialis6 faisant in tervenir toutes les variables

g6omStriques et leurs relations de d0pendance. Nous avons retenue, pour ce paragraphe, une relat ion trbs simple mais qui donne des r~sultats g6n6raux int6res-

sants pour les applications. On par t d ' un profil AB ~

dont l 'ouver ture 0 est arbitraire, et peut m6me 6tre optimalis6e au sens du paragraphe pr6c6dent. On recherche un nouveau point d 'arriv6e B, homoth6- t ique du pr~c6dent, conservant l 'ouver ture 0 et am61iorant le mieux possible l 'affaiblissement global du parcours.

Le module t de la t ransformat ion est d6fini par (Fig. 26) :

b ~ l b ~ b' ~ t b ' ~ R ~ t R ~

de sorte que si l 'affaiblissement en B ~ est :

K0 (66) N ~ ~[a~ + l~ + R~ + R ~ '

NO= ~x0(0) + Kx~

celui associ6 en B s'6crit imm6dia tement :

K Plus le point B se rapproche de A, plus l 'angle 0- (67) N = a t x~ + ~-x~ .

augmente sans toutefois d6passer la l imite de 68~ (*) Et non rigoureusement, car ils sont tous deux, ainsi

correspondant h U ~ oo. Pour avoir 0 = 600, il que leur produit, fonction de 0.

- - 389 - -

28/30 M . B R A Y E R E T J , Y H U E L [ANNALES DES TI::L~COMMUNICATIONS

bW

O. b

'1

b ~ b

FIG. 2 6 . - Transformation du point B ~ par homoth6tie.

Le p rodu i t des deux te rmes ne d6pendant plus de t, cet affaibl issement sera min imal pour leur 6galit6, c 'es t-h-dire pour :

( 6 8 ) t = - x ~ ( O ) "

a) Pour in te rpr6 te r ce r6sul ta t , adme t tons t ou t d ' a b o r d que 0 = 0 o . Le profi l op t imal en B ~ est circulaire, et on a :

b~ 0 o s in0 o x~ = -s in0o ' xO _ bO ,

sinOo / K 1 / K l - - bO ~ = -Ro ~ - .

Le profil au po in t B op t ima l est encore circulaire et son rayon

(69) R= tR~ ~ K = R1,

n 'es t au t re que le r ayon R~ in t rodu i t pa r E. Ju l ie t dans son 6tude des lois d 'a f fa ib l i ssement en fonct ion du rayon de courbure [9]. I1 est d 'une grande importance th6or ique car il ne d6pend que du guide, et pe rme t de fixer un po in t d 'arr iv6e, quelle que soit l ' ouver tu re choisie. En outre, il commande tous les rayons t ransform6s comme nous allons le v6rifier.

b) Si 0 o < 0 ~< 7z, on a a , re: 0 et

x~= b ~ t g 0 ~ 0 0(1 - - c o s 0 )

b ~ tg 0o/2

d'ofl, apr~s quelques t r ans fo rmat ions

(70) R = t R ~ sin 0 [ - t g 012 1 ] ) - 1 1 ~ + 0 L tg0o /2

c) De m6me, si 0m ~< 0 < 0 o, il v ient l ~ 0 et

F ( 0 ) 0 1 xO= bO tg0o /2 -- t g O tg012 tg 0/2 1 + 1 ,

0 tg 0/2

x ~ b ~ 1 t g 0 ] tg 00/2 '

d 'ofl

. t g 0 / 2 ] /-11 ~ t g 0 [ l t ~ 0 ] 2 J

(71) R=tR ~ 1 1 + 0 r - t g 0 ~ i ]

L 3

Si 0 o = 7z, la re la t ion (71) est la seule va lab le et se t rans forme (apr~s passage aux l imites) en :

(72) R = t R o = B 1 (1 -- t~0_0 ) - 1 / 2 .

En appl ica t ion de ces r6sul ta ts , on a t ransform6 figure 27 les profils de la figure 22 en posan t arbi-

,,.~ 0 o

78o

A x"

Fra. 27. - - Optimalisation des profils de la figure 22.

t r a i r e me n t b ~ : b '~ : 1. Le po in t B du profi l circulaire a pour eoordonn6es b : b'= ~/~[~. Les aut res pro- v iennent de l ' inf ini (0 ~ 0m), passen t pa r un min i mum pour 0 ~ 78 ~ et re jo ignent le po in t l imite 0 = 180 ~ I1 en r6sulte, en g6n6ral, que deux profils sont opt i - malis6s pa r le m~me po in t B comme, pa r exemple, 47 et 180 ~

La f g u r e 28 donne les var ia t ions (normalis~es pa r r a ppo r t h ~/K[a = R1) de t et du rayon R pour 0o = ~12.

La figure 29 correspond h l ' op t ima l i sa t ion des profils de la figure 23 pour 0 o = ~.

Jusqu ' i c i l ' ouve r tu re 0 en B ~ est a rb i t ra i re . Si Yon

impose l ' ouver tu re op t imale (~)o, la t r ans fo rmat ion s 'effectue pa r (71) avec p l po. Mais eomme U ~ U ~ le profi l t ransform6 en B ne correspond plus fi l 'ouver-

ture op t imale 0 en ce point . Pour eontr61er le d6saccord nous avons report6, en figure 30, les var ia t ions de (65) en p renan t tour h tour comme pa ram~t re :

1. l ' ouver tu re ~)o en B ~ ,

2. l ' o u v e r t u r e O effective pour chaque va leur de p.

On eonsta te imm6d ia t e me n t que non seulement les abscisses des min immns , done les 0 cor respondants , res tent tr~s voisines, mais encore que les valeurs prises en ces poin ts ne different gu~re. On peu t done, en pra- t ique, reehereher le profi l op t ima l au sens du pro-

- - 390 - -

t . 27, n ~ 9-10, 19721 C O U R B U R E D E S G U I D E S D ' O N D E S A G R A N D E D I S T A N C E 29/30

t 15 �84

R

\ x VK/-< \ /

\ /

R

8 0 ~

F ro . 2 8 . - V a r i a t i o n s n o r m a l i s ~ e s de t e t R ( 0 o ~ 90~

Y

N

10

e

o o,, ~ I~ F r o . 30. - - V a r i a t i o n s d e l ' a f f a i b l i s s e m e u t g l o b a l e n f o n c t i o n

d e l a d i s t a n c e n o r m a l i s 6 e .

(a) 0o = r : ] 2 (b) 0 o

P a r a m 6 t r e : (0) ~ . . . . . . . . 0.

blame I I I pa r la chalne su ivante des calculs :

0OB0 i -+ (0)o_+ B = tBO-+0 -,

qui opt imal ise deux fois l ' ouver tu re . Le cas 5ch6ant, une m6thode de r e l axa t ion per-

m e t t r a i t de boucler cet te chalne pour obteni r B et ()- avec la pr6cision d6sir6e.

A l ' appu i de ces r6sul ta ts , on voi t qu ' i l suffit d 'op t imal i se r un po in t B pour un guide module bien ehoisi. T o u s l e s au t res guides du m6me type le sont alors pa r homoth6t ie directe, h pa r t i r du po in t pr6- c6dent, sans erreur appr6ciable.

Pour conclure on donne figure 31 les coordonn6es semi-polaires des points B o p t i m a u x associ6s h une

Y

4o"

1 ~ 30"

1 2

Fro . 31. - - D i a g r a m m e s e m i - p o l a i r e d u l ieu d e B o p t i m a l .

FIG. 29. - - O p t i m a l i s a t i o n des p ro f i l s de l a f i g u r e 23.

direct ion quelconque. Pa r exemple, si 0 m - - 5 0 ~ ,

le p op t ima l du guide h61icoidal du pa rag raphe II .3 vau t 49,89 m e t l ' ouver tu re associ6e 73~ ; lc profil co r respondan t est indiqu6 figure 31.

- - 3 9 1 - -

30/30 M. B R A Y E R E T J . Y H U E L [ANNALES DES TEL:~COMMUNICATtONS

C O N C L U S I O N

I1 sera i t i noppor tun de conclure une ~tude re la t ive aux propri~t~s en courbure des guides i~ grande dis- t ance sans avoi r r~el lement envisag~ celles des structures h~licoidales. Nous nous l imi terons donc h quelques remarques gdn~rales, la v6r i table conclusion ~tant report~e h une prockaine publ ica t ion .

Tout d ' a b o r d la r e s t i t u t ion fid~le de cer ta ines propri~tds fondamenta le s du guide m~tal l ique repose, puisque tou tes los int~grales d~finissant les coefficients de courbure on t ~t~ explicitdes, sur la bonne pr6cision du p rog ramme de calcul (*) utilis~ pour la recherche des va leurs propres de la mat r i ce de courbure. On peu t en conclure que t ou t module correct de guide h~licoidal cont r ibue , de m~me, ~ donner des rdsul- t a t s sa t isfa isants .

Les quelques exemples que nous venons de donner m o n t r e n t qu ' i l exis te des solut ions int~ressantes au probl~me de la t r ansmiss ion en courbure de l 'onde Ho~. Apr~s tou t , une courbure non localis~e p e u t etre consid~r~e comme un cas par t i cu l ie r de s t ruc ture non uniforme, e t il est ~vident q u ' u n profi l progressif e t bien 6tudi6 dev ra i t pe rme t t r e , comme dans une t ran- s i t ion circulaire correcte, de r6duire h quelques pour eent les pe r tu rba t i ons de l 'onde H0~.

Si le guide h r ev6 temen t donne sat isfact ion, c 'es t parce qu ' i l s6pare convenab lemen t les phases l in6iques des ondes en p r o p a g a t i o n et neutra l ise ainsi, en quelque sorte, leurs eoefficients de couplage. I1 agi t princi- pa l emen t sous forme r~act ive, mais on lui reproehe, en consequence, d ' exc i t e r darts la ligne un cer ta in t a u x d 'ondes paras i tes qui p e r t u r b e n t pe t i t ~ pe t i t l ' infor- mar ion t r ansmise p a r l 'onde pr incipale . I1 fau t done lui assurer un f i l t rage sys t6mat ique suppl~mentai re .

Iuversement le guide h61icoidal, qu ' i l soit eourb6 ou non, est tou jours au to- f i l t ran t . Mais il s 'oppose alors, pa r pr inc ipe m~me, h la t r ans fo rma t ion en courbure de l 'onde H0~, qui doi t 6tre r~g~n6r6e en eours de t rans i t . Le b i lan global, m~me avec un affaiblissement lin~ique mei l leur que dans le eas d ' u n rev~- t ement , peu t ~tre /~ son d6savantage aux courbures moyennes . Cependant , s ' i l pen t ~tre muni d ' u n d~phasage diff6rentiel suffisant ( tout par t i cu l i6 rement avec l 'onde E H n ) , il cumule les avan tages d ' u n fil- t r age cont inu et d ' une r6duct ion impor t an t e des

(*) Programme d'origine am6ricaine dont le nom de code est MATSUBC.

couplages. I1 devra i t deveni r alors excel lent et am~- l iorer sens ib lement sa r~ponse globule en courbure , t ou t au moins aux fr6quenees basses de sa bande d 'u t i l i sa t ion . Certaines recherches r~centes sur un guide-~crau de fabr ica t ion semi -au tomat ique et h61ice renforc6e sont pleines de promesses, mats nous ne pourrons donner une expl ica t ion d~finit ive que lo r squ 'un nombre suffisant de po in ts exp6r imen taux aura 6t~ obtenu.

Manuscri t rer le 1 er mars 1972.

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Étude en courbure des guides d’ondes a grande distance, cas des guides métalliques

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