etude du transfert thermique dans les milieux poreux...

N° d’ordre 2008-ISAL-0037 Année 2008

Thèse

Etude du transfert thermique dans les milieux poreux anisotropes. Application aux isolants thermiques en fibres de silice

Présentée devant L’institut national des sciences appliquées de Lyon Pour obtenir Le grade de docteur Formation doctorale Thermique et Energétique École doctorale Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique Par Hervé Thierry KAMDEM TAGNE

Soutenue le 03 juillet 2008 devant la Commission d’examen

Jury MM.

P. BOULET Professeur (U.H.P., Nancy), Rapporteur G. JEANDEL Professeur (U.H.P., Nancy), Rapporteur J.-M. GOYHENECHE Ingénieur chercheur HDR (CEA-CESTA, Bordeaux) J.-B. RIEUNIER Chef de service à Saint-Gobain (Rantigny) J.-F. SACADURA Professeur Emérite (INSA de Lyon), Président D. BAILLIS Professeur (INSA de Lyon), Directeur de thèse

Laboratoire de recherche : Centre de Thermique de Lyon (CETHIL)

Ecole doctorale ___________________________________________________________________________

ECOLES DOCTORALES 2007 SIGLE ECOLE DOCTORALE NOM ET COORDONNEES DU

RESPONSABLE

CHIMIE

CHIMIE DE LYON http://sakura.cpe.fr/ED206 M. Jean Marc LANCELIN Insa : R. GOURDON

M. Jean Marc LANCELIN Université Claude Bernard Lyon 1 Bât CPE, 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72.43 13 95 Fax : [email protected]

E.E.A.

ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE http://www.insa-lyon.fr/eea M. Alain NICOLAS Insa : D. BARBIER [email protected] Secrétariat : M. LABOUNE AM. 64.43 – Fax : 64.54

M. Alain NICOLAS Ecole Centrale de Lyon Bâtiment H9 36 avenue Guy de Collongue 69134 ECULLY Tél : 04.72.18 60 97 Fax : 04 78 43 37 17 [email protected] Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN

E2M2

EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION http://biomserv.univ-lyon1.fr/E2M2 M. Jean-Pierre FLANDROIS Ins fibres orientées aléatoirement dans le plan; a : H. CHARLES

M. Jean-Pierre FLANDROIS CNRS UMR 5558 Université Claude Bernard Lyon 1 Bât G. Mendel, 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cédex Tél : 04.26 23 59 50 Fax 04 26 23 59 49 06 07 53 89 13 [email protected]

EDIIS

INFORMATIQUE ET INFORMATION POUR LA SOCIETE http://ediis.univ-lyon1.fr M. Alain MILLE Secrétariat : I. BUISSON

M. Alain MILLE Université Claude Bernard Lyon 1 LIRIS - EDIIS Bâtiment Nautibus 43 bd du 11 novembre 1918 69622 VILLEURBANNE Cedex Tél : 04.72. 44 82 94 Fax 04 72 44 80 53 [email protected] - [email protected]

EDISS

INTERDISCIPLINAIRE SCIENCESSANTE Sec : Safia Boudjema M. Didier REVEL Insa : M. LAGARDE

M. Didier REVEL Hôpital Cardiologique de Lyon Bâtiment Central 28 Avenue Doyen Lépine, 69500 BRON Tél : 04.72.68 49 09 Fax :04 72 35 49 16 [email protected]

Matériaux

MATERIAUX DE LYON M. Jean Marc PELLETIER Secrétariat : C. BERNAVON 83.85

M. Jean Marc PELLETIER INSA de Lyon MATEIS Bâtiment Blaise Pascal 7 avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cédex Tél : 04.72.43 83 18 Fax 04 72 43 85 28 [email protected]

Math IF

MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE FONDAMENTALE M. Pascal KOIRAN Insa : G. BAYADA

M.Pascal KOIRAN Ecole Normale Supérieure de Lyon 46 allée d’Italie, 69364 LYON Cédex 07 Tél : 04.72.72 84 81 Fax : 04 72 72 89 69 [email protected] Secrétariat : Fatine Latif - [email protected]

MEGA

MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUEM. Jean Louis GUYADER Secrétariat : M. LABOUNE PM : 71.70 –Fax : 87.12

M. Jean Louis GUYADER INSA de Lyon Laboratoire de Vibrations et Acoustique Bâtiment Antoine de Saint Exupéry 25 bis avenue Jean Capelle 69621 VILLEURBANNE Cedex Tél :04.72.18.71.70 Fax : 04 72 18 87 12 [email protected]

ScSo

ScSo* M. BRAVARD Jean Paul Insa : J.Y. TOUSSAINT

M. BRAVARD Jean Paul Université Lyon 2 86 rue Pasteur, 69365 LYON Cedex 07 Tél : 04.78.69.72.76 Fax : 04.37.2 .04.48 [email protected]

* ScSo : Histoire, Geographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie, Anthropologie Hervé Thierry Kamdem Tagne iii Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

___________________________________________________________________________

Hervé Thierry Kamdem Tagne iv Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

Dédicace ___________________________________________________________________________

DEDICACE A

Mes parents KAMDEM Didier et MOPO Catherine Ma grand mère FENKAM Geneviève Té TAMO KENMEUGNE Oscar Mes tantes

WOKAM Madeleine, SIPOWA Marguerite, TCHUENDEM Christine, BEUMO Hélène, YIMKO Monique

Mon oncle SOTCHIE Apollinaire Anatole & Christel NENGSU et toute la famille La famille KAMDEM Clément : Claude, Paule, Marc,Guy, Nathalie Mes frères et sœurs

KAMDEM TAMO Serge, KAMDEM NGUEBU Edith, KAMDEM TAMTO Olivier, OUHOKAM KAMDEM Freddy, KAMMEUGNE KAMDEM Guylaine, KAMMEUGNE KAMDEM Nathalie, GUEMMEUGNE KAMDEM, Mireille, KENMEUGNE KAMDEM Sandrine

Mes cousin(ne)s

DJOUGUEM MOYOPO Clovis, DJOUGUEM KWOKAM Yves, DJOUGUEM TAGNE Lionel, DJOUGUEM NGUIADEM Edwige, DJOUGUEM SIMO Romuald, DJOUGUEM KENMOGNE Josée, DJOUGUEM TCHUENTÉ Liliane

Ma cousine CHEKO Marlyse et mes cousins KAMGAING Pascal & Fotso Tagne Mathieu Mes oncles TCHUENTE Yves, TCHUENTE Joachim Maître SONKE Benjamin La famille CHEDJOU Jean Chamberlain La famille Christophe BAILLIS, et la famille Joana RANDRIANALISOA Messieurs Dountsop Bruno, Mané Olivier,Fokouo Roger, Fokou Abraham Familles KAGOU Armand, KOUATHIO David et NJANKO Théophile Messieurs KAMWA. Casimir et BOGNING Jean Roger Messieurs KAPTUE Armel, KUATE Gilbert, MTOPI Blaise

Toute ma reconnaissance.

A la mémoire de : Mon grand père TAGNE Titus, Mon cousin KAMTCHUENG Michel, Mon frère FODJO Lucas

Hervé Thierry Kamdem Tagne v Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

Avant propos ___________________________________________________________________________

Hervé Thierry Kamdem Tagne 1 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

AVANT PROPOS

Ces travaux de thèse ont été effectués au Centre de Thermique de Lyon (CETHIL), de l’Institut des Sciences Appliquées de Lyon (INSA). J’ai eu grand plaisir a être accueilli par Monsieur le Professeur Jean-François SACADURA ancien directeur du CETHIL, par Monsieur le Professeur Martin RAYNAUD et tout son équipe de recherche à mon arrivée. J’ai éprouvé un réel plaisir à profiter de l’expérience de Madame Dany ESCUDIE qui a pris la continuité de la direction du CETHIL : ses conseils et ses encouragements ont été pour moi une véritable source de motivation. Je tiens sincèrement à les remercier et à leur adresser ma profonde gratitude.

J’ai bénéficié du soutien financier du service culturel et d’action de l’ambassade de

France au Cameroun et du laboratoire CETHIL que je remercie très sincèrement. Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Madame le Professeur Dominique

BAILLIS, ma directrice de recherche : j’ai éprouvé un réel plaisir à travailler avec elle tout au long de ces années de thèse. Ses qualités scientifiques et son intérêt lors de nos échanges fructueux sont des facteurs dominants de la rédaction de ce mémoire. Elle a su m’encourager par un enthousiasme constant et m’a communiqué une vision précise des problèmes de transferts de chaleurs dans les milieux semi – transparents.

Je remercie très sincèrement Monsieur le Professeur Jean-François SACADURA

d’avoir accepté de présider ce jury de thèse, pour l’intérêt qu’il a porté à ce travail et pour les discussions que nous avons eu concernant certains aspects de ce travail.

Que Monsieur le Professeur Gérard JEANDEL du Laboratoire d’Energétique et de

Mécanique théorique et Appliquée (LEMTA) de l’Université Henri Pointcaré (U.H.P.), Nancy, soit vivement remercié pour l’honneur qu’il me fait d’accepter de participer à mon jury de thèse et d’être l’un des rapporteurs.

Je tiens à assurer toute ma reconnaissance à Monsieur le Professeur Pascal BOULET,

du LEMTA, U.H.P., Nancy, d’avoir bien voulu faire partie de mon jury de thèse et d’être l’un des rapporteurs.

Je remercie très sincèrement Monsieur Jean - Marc GOYHENECHE, Ingénieur –

chercheur HDR au CEA CESTA, Bordeaux, pour avoir accepté d’être membre de mon jury de thèse.

Je tiens également à remercier Monsieur Jean –Baptiste RIEUNIER, chef de service à

Saint- Gobain Recherche, Rantigny, pour avoir accepté l’invitation à mon jury de thèse ainsi que pour la fourniture de nos échantillons et de leurs caractéristiques.

Je suis très sensible de l’intérêt manifesté au cours de mes travaux par Monsieur le

Professeur Leonid A. DOMBROVSKY à “Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences” et Monsieur Laurent GREMILLARD, Chargé de recherche au laboratoire Matériaux : Ingénierie et Science (MATEIS), INSA- Lyon.

Avant propos ___________________________________________________________________________


Messieurs Frédéric ANDRE, chargé de recherche ; Rémi COQUARD et Jaona RANDRIANALISOA, post doctorants au CETHIL ; m’ont été d’un apport considérable : j’ai beaucoup apprécié les discussions que nous avons échangé.

L’accueil et les discussions au laboratoire CETHIL sont les raisons pour lesquelles je

souhaite vivement dire un grand merci à toutes les personnes que j’ai connu au cours de ces années de thèse. Je citerai notamment :

Agnès DELMAS, Philippe GERVAIS, Frédéric LEFEVRE, Stéphane LEFEVRE, Maîtres de conférence ; Séverine GOMES, Rodolphe VAILLON, Chargés de recherche ; Agnès BAILLY, Florence CANALE, Habiba NOUAR-OCHI, Joëlle JAILLET, Secrétaires ; Guillaume CHAREYRE, ingénieur de recherche ; Bernard LACROIX technicien ; Mes collègues doctorants : Charles CRESPY, Rabie EL OTMANI, Ségolène GAUTHIER, Benoît GAY, Aurélie KAEMMERLEN, Mathilde LORETZ, Julien RANC, Matthieu ZINET ; Corine LORMEL, post-doctorante.

J’ai eu le plaisir de rencontrer Madame Nadège OUAKIL et Monsieur Robert

ABRAHAM : j’ai beaucoup apprécié les moments passés ensemble. Je souhaite également exprimer mes remerciements à toute ma famille, à la famille

Anatole NENGSU, Messieurs Jean Chamberlain CHEDJOU et Casimir KAMWA ; pour leur soutien constant au cours de ces années de thèse.

J’adresse enfin mes sincères remerciements à toutes les personnes rencontrées pendant ce travail et que je n’ai pas cités ici.

Résumé ___________________________________________________________________________


Etude du transfert thermique dans les milieux poreux anisotropes. Application aux isolants thermiques en fibres de silice ______________

RESUME Ce travail de thèse porte sur les travaux effectués sur la modélisation du transfert de

chaleur couplé conduction/rayonnement monodimensionnel en régime permanent dans des milieux anisotropes fibreux en situation de symétrie azimutale, soumis à des conditions de flux collimaté ou de températures imposées aux frontières. Cette recherche s’articule autour de deux objectifs principaux :

(i) modéliser le transfert radiatif dans un milieu anisotrope par un problème équivalent à un milieu isotrope ou/et simplifier l’anisotropie de diffusion dans les milieux anisotropes par l’utilisation de fonctions de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein ;

(ii) étudier la validité de l’hypothèse de milieu isotrope pour l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes et la correspondance entre les propriétés radiatives des milieux anisotropes et les propriétés radiatives isotropes obtenues par la méthode d’identification.

L’analyse numérique du transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux fibreux montre qu’un tel milieu anisotrope peut être substitué pour les besoins de la modélisation par un milieu isotrope équivalent.

Dans le cas où le milieu anisotrope est soumis à des températures imposées, les approximations de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein permettent d’obtenir des solutions précises si les propriétés radiatives du problème isotrope équivalent sont des moyennes pondérées des propriétés radiatives suivant toutes les directions de diffusion ou si le problème radiatif simplifié conserve la nature anisotrope des propriétés radiatives. Ces conclusions ont été validées expérimentalement par une bonne prédiction de la conductivité thermique d’un milieu fibreux constitué de laine de verre.

Lorsque le milieu anisotrope est sous incidence inclinée, l’utilisation des approximations de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein sont applicables pour la détermination des propriétés radiatives des milieux anisotropes par la méthode d’identification des paramètres seulement si le milieu est optiquement épais et purement diffusant. Ces approximations de diffusion ne sont plus adaptées dès lors que le milieu anisotrope est absorbant/diffusant ou optiquement mince à cause du rôle important de la rétro diffusion du milieu. Des fonctions de phase plus complexes sont alors nécessaires.

L’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes purement diffusants et optiquement épais en utilisant les hypothèses de milieu isotrope et de diffusion isotrope montre que les propriétés radiatives isotropes équivalentes correspondent aux moyennes pondérées des propriétés radiatives des milieux anisotropes suivant toutes les directions du rayonnement. Mots-clés : transfert de chaleur, rayonnement, conduction, milieu semi – transparent, milieu isotrope, milieu anisotrope, milieu fibreux, propriétés radiatives, diffusion isotrope, fonction de phase de Henyey-Greenstein, identification.

Abstract ___________________________________________________________________________

Thermal heat transfer analysis of anisotropic porous media. Application to silica fiber glass thermal insulation ________________

ABSTRACT

This thesis reports our work on the modelling of steady state coupled conductive/radiative heat transfer in plane anisotropic medium. We have been mainly interested in anisotropic fibrous medium with azimuthally symmetry with incident collimated radiative heat flux or with diffuse imposed temperatures boundaries conditions. The aims of this work are twofold:

(i) to model the radiative heat transfer problem in an anisotropic medium by an equivalent model to an isotropic medium or/and to simplify the scattering phase function of anisotropic medium by the use of isotropic or Henyey-Greenstein scattering phase functions;

(ii) to study the applicability of the equivalent isotropic medium assumption in the identification of radiative properties of anisotropic fibrous medium and the relation between anisotropic radiatives properties and estimated isotropic radiative properties.

Numerical analysis of radiative heat transfer through anisotropic fibrous medium shown that anisotropic medium can be assumed an equivalent isotropic medium.

Radiative models using isotropic or Henyey-Greenstein scattering function is sufficient to model radiative heat transfer in anisotropic medium with diffuse temperatures boundaries conditions if the equivalent isotropic radiative properties are weighted mean properties or if the simplified heat transfer problem preserves the anisotropic properties of the medium. These conclusions were validated from experimental thermal conductivity of fibrous glass medium.

Numerical study of radiative heat transfer in fibrous media under collimated incidence also shows that the use equivalent isotropic medium assumption is applicable for the identification of the radiative properties of anisotropic medium. The isotropic or Henyey-Greenstein scattering phase functions can be used in the inverse process only if the medium is optically thick and purely scattering. For absorbing anisotropic medium or optically thin medium, the use of these approximate scattering phase function are note suitable due to the the backscattering effet.

The identification of radiative properties of a pure scattering optically thick fiber glass medium indicate that the estimated radiative properties assuming an equivalent isotropic medium and isotropic scattering phase function assumptions corresponds to weighted mean radiative properties. Key words: heat transfer, radiation, conduction heat transfer, semi – transparent medium, isotropic medium, anisotropic medium, fibrous medium, isotropic scattering, Henyey-Greenstein scattering, radiative properties, identification.


Nomenclature ___________________________________________________________________________

NOMENCLATURE Lλ luminance monochromatique dΦ puissance rayonnante dA aire de la surface

( )dN r densité de distribution radial des fibres dans le milieu

fdO densité d’orientation spatiale des fibres dans le milieu P fonction de phase T température, transmittance t transmissivité R réflectance R rayon de la fibre d diffus

, ,x y z Coordonné du référentiel q densité de flux radiatif S coordonné curviligne de la trajectoire du rayonnement, surface du milieu plan sp spéculaire a coefficient de la fonction de Legendre b paramètre de rétro - diffusion, facteur de rétro - diffusion P polynôme de Legendre de première espèce d’ordre

,mY fonction harmonique sphérique g biais de diffusion, facteur d’asymétrie n vecteur unitaire normale à la surface n indice de réfraction

rk conductivité w poids de la quadarture ( )i jz z aire d’échange total entre les éléments de surface et iz jz Symboles Grecs ∆ vecteur nabla

, ,a e sσ coefficients d’absorption, d’extinction et de diffusion ω albedo Ω angle solide θ angle polaire ϕ angle azimutal κ coefficient d’absorption

cosµ θ= cosinus directeur de l’angle θ, direction de la quadrature Θ angle de diffusion entre la direction incidente et diffusée du rayonnement ρ réflectivité λ longueur d’onde δ symbole dde kroneker τ épaisseur optique ε paramètre de correction de la fonction de phase


Nomenclature ___________________________________________________________________________

Indices a absorption b Corps noir C collimaté e extinction HG Henyey-Greenstein s diffusion, surface t transmis r réfléchie, radiative f fibre

R Rosseland i incident hm hémisphérique

y épaisseur du milieu ⊥ perpendiculaire λ monochromatique 0 origine du repère 1,2 Exposant ′ direction de diffusion ″ bidirectionnelle + direction positive, hémisphère avant - direction négative, hémisphère arrière * propriétés réduites isotropes 0 direction incidente normale du rayonnement


Sommaire ___________________________________________________________________________

SOMMAIRE ECOLES DOCTORALES 2007 III

DEDICACE V

AVANT PROPOS 1

RESUME 3

ABSTRACT 4

NOMENCLATURE 5

SOMMAIRE 7

LISTES DES FIGURES ET DES TABLEAUX 11

LISTE DES FIGURES 11

LISTE DES TABLEAUX 16

INTRODUCTION 17

CHAPITRE I 24

MODELISATION DU PROBLEME RADIATIF DANS LES MILIEUX FIBREUX 24

I.1 TRANSFERT RADIATIF DANS LES MILIEUX FIBREUX 24 I.1.1 EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF 25

I.1.1.1 Transfert radiatif dans un milieu monodimensionnel 28 I.1.1.2 Representation de l’indicatrice de diffusion 29

I.1.1.2.1 Fonction de phase pour les milieux isotropes 29 I.1.1.2.2 Fonction de phase pour les milieux anisotropes 31

I.1.2 - CONDITIONS AUX LIMITES 32 I.1.2.1 Températures imposées aux frontières 32 I.1.2.2 Flux radiatif incident collimate 33

I.2 RESOLUTION DE L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF 33 I.2.1- RESOLUTION ANALYTIQUE 33

I.2.1.1 Méthode à deux flux 34 I.2.1.2 Methode de Rosseland 34

I.2.2- RESOLUTION NUMERIQUE 36 I.2.2. 1 Méthode de monte carlo 36 I.2.2.2 Méthode des zones 36 I.2.2.3-Méthode des ordonnees discretes 37

I.2.2.3.1 Discrétisation angulaire 37 I.2.2.3.1.1 Choix de la quadrature 37 I.2.2.3.1.2 Discrétisation angulaire de l’équation de transfert radiatif 38 I.2.2.3.1.3 Re - normalisation de la fonction de phase 39

I.2.2.3.2 Discrétisation spatiale 40 I.2.2.3.2.1 La méthode des volumes de contrôle 40

I.2.2.3.2.1.1 Principe de la méthode 40 I.2.2.3.2.1.2 Maillage 41 I.2.2.3.2.1.3 Calcul des luminances 42 I.2.2.3.2.1.4 Algorithme de résolution de l’équation de transfert radiatif 44


Sommaire ___________________________________________________________________________

I.2.2.5-Méthode des harmoniques sphériques 44 I.2.2.5.1 Discrétisation en système d’équation différentielle de l’équation de transfert radiatif 45 I.2.2.5.2 Conditions aux limites pour la méthode des Harmoniques sphériques 48

I.2.2.5.2.1 Conditions aux limites de Mark 48 I.2.2.5.2.2 Conditions aux limites de Marshak 49

CONCLUSION 50

REFERENCES 51

CHAPITRE II 54

REDUCTUON DE L’ANISOTROPIE DANS LES MILIEUX SEMI - TRANSPARENTS 54

II. 1 DIFFUSION ISOTROPE DANS LES MILIEUX SEMI - TRANSPARENTS 55 II.1.1 DIFFUSION ISOTROPE DANS LES MILIEUX ISOTROPES : L’APPROXIMATION DE TRANSPORT 55 II.1.2 DIFFUSION ISOTROPE DANS UN MILIEU SEMI – TRANSPARENT ANISOTROPE 57 II.1.3 DIFFUSION ISOTROPE DANS UN MILIEU SEMI – TRANSPARENT ISOTROPE EQUIVALENT A UN MILIEU ANISOTROPE 60

II.1.3.1 Propriétés radiatives moyennes arithmétiques 61 II.1.3.2 Propriétés radiatives moyennes pondérées 62

II.2 DIFFUSION ANISOTROPE DANS LES MILIEUX SEMI - TRANSPARENTS 64 II.2.1 DIFFUSION ANISOTROPE DANS LES MILIEUX ISOTROPES 65 II. 2.2 DIFFUSION ANISOTROPE DANS LES MILIEUX ANISOTROPES 67

II. 2.2.1 Diffusion anisotrope directionnelle 67 II. 2.2 .2 Diffusion anisotrope dans un milieu isotrope équivalent 67

II. 2.2 .2.1 Propriétés moyennes arithmétiqques 67 II. 2.2 .2.2 Propriétés moyennes pondérées 68

CONCLUSION 69

REFERENCES 70

CHAPITRE III 73

TRANSFERT DE CHALEUR COUPLE CONDUCTION RAYONNEMENT DANS LES MILIEUX SEMI- TRANSPARENTS 73

III.1 TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION ET RAYONNEMENT 74

III.2 CONDUCTIVITE THERMIQUE EQUIVALENTE DES MILIEUX ISOLANTS 76 III.2.1 CONDUCTIVITE THERMIQUE PHONIQUE 77 III.2.2 CONDUCTIVITE THERMIQUE RADIATIVE 77

III.3 RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME COUPLE CONDUCTION RAYONNEMENT 78

CONCLUSION 80

REFERENCES 81

CHAPITRE IV 83

PROPRIETES RADIATIVES DES MILIEUX FIBREUX 83

IV.1 THEORIE ELECTROMAGNETIQUE D’INTER-ACTION RAYONNEMENT/PARTICULE 84 IV.1.1 PRORIETES RADIATIVES D’UNE FIBRE ISOLEE 84 IV.1.2 DISTRIBUTION DES FIBRES DANS UN MILIEU ISOLANT 86


Sommaire ___________________________________________________________________________

IV.1.2.1 Distribution radiale des fibres 86 IV.1.2.2 Distribution spatiale des fibres 87 IV.2.2.1 Fibres orientées aléatoirement dans l’espace 89 IV.2.2.2 Fibres orientées aléatoirement dans un plan 89

IV. 1 .3 PREDICTION DES COEFFICIENTS D’ABSORPTION, D’EXTINCTION ET DE DIFFUSION 90 IV. 1.3.1 Cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace 90 IV. 1.3.2 Cas des fibres orientées aléatoirement dans un plan 91

IV. 1.4 PREDICTION DE LA FONCTION DE PHASE D’UN MILIEU FIBREUX 92 IV.1.4.1 Fonction de phase d’une fibre 93 IV.1.4.2 Fonction de phase d’un milieu composé de fibres orientées aléatoirement dans l’espace 94 IV.1.4.3 Fonction de phase d’un milieu composé de fibres orientées aléatoirement dans un plan 94

IV.1.5 BIAIS DE DIFFUSION - FACTEUR D’ASYMETRIE 95 IV.1.5.1 Facteur d’asymétrie des fibres orientées aléatoirement dans l’espace 96 IV.1.5.2 Biais de diffusion des fibres orientées aléatoirement dans un plan 97

IV.2 IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES DES MILIEUX FIBREUX 98 IV.2.1 PRINCIPE DE LA METHODE INVERSE 100 IV.2.2 METHODOLOGIE EXPERIMENTALE 101 IV.2.3 METHODOLOGIE THEORIQUE 101 IV.2.4 COEFFICIENT DE SENSIBILITE & NOMBRE DE CONDITIONNEMENT 102

CONCLUSION 103

REFERENCES 104

CHAPITRE V 108

APPLICATIONS 108

V.1 MODELISATION DU TRANSFERT RADIATIF DANS LES MILIEUX ANISOTROPES GRIS 108 V.1.1 FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS L’ESPACE 111 V.1.2 FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS LE PLAN PARALLELE AUX FRONTIERES 114

V.2 MODELISATION DU TRANSFERT COUPLE CONDUCTION/RAYONNEMENT DANS LES LAINE DE VERRE 122

V.2.1 DESCRIPTIF DES LAINES DE VERRE 122 V.2.2 PROPRIETES RADIATIVES DES LAINES DE VERRE 125 V.2.3 CALCULS DES FLUX RADIATIF, CONDUCTIF ET TOTAL 126 V. 2.4 CONDUCTIVITE THERMIQUE EXPERIMENTALE ET THEORIQUE 139

V.2.4.1 Mesure de la Conductivité thermique 139 V.2.4.2 Prédiction theorique de la conductivité thermique 141

V.3 IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES 144 V.3.1 DESCRIPTIF DE L’ECHANTILLON 144 V.3.2 PROPRIETES RADIATIVES 146 V.3.3 TRANSMITTANCE - REFLECTANCE : THEORIQUE MIE-KERKER ET EXPERIMENTALE 153 IV.3.4 COMPARAISON THEORIE DE MIE –KERKER/MODELES DE DIFFUSION APPROCHEES ET/OU MILIEU ISOTROPE EQUIVALENT 156 V.3.5 STRATEGIES D’IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES DES MILIEUX ANISOTROPES 160

V.3.5.1 Approche directionnelle - hémisphérique 160 V.3.5.2 Approche bidirectionnelle 175

REFERENCES 184

CONCLUSION 186

ANNEXE 188


Sommaire ___________________________________________________________________________

A.I REFLEXION ET TRANSMISSION A L’INTERFACE AIR/MILIEU 188 A.I.1 COEFFICIENTS DE REFLEXION ET DE TRANSMISSION BIDIRECTIONNELS 188 A.I.2 REFLECTIVITE ET TRANSMITTIVITE DIRECTIONNELLE – HEMISPHERIQUE 190 A.I.3 SURFACE SPECULAIRE - SURFACE DIFFUSE 191 A.I.4 LUMINANCES TRANSMISSES ET REFLECHIES 192 A .I. 5 TRANSMITTANCE ET REFLECTANCE 195

RÉFÉRENCE 196 A.II DIFFUSION DU RAYONNEMENT PAR UN CYLINDRE INFINI 197

RÉFÉRENCE 199 A. III COORDONNEES D’UNE FIBRE DANS UN SYSTEME 200

A.IV MESURES DIRECTIONNELLES - HEMISPHERIQUES 201 A.IV.1 MONTAGE EXPERIMENTAL 201 A.IV.2 PRINCIPE DE MESURE 202

A.V EQUATION DE TRANSFRT RADIATIF DU CHAMP DE LUMINANCE DIFFUSE 204

A.VI LIMITES D’APPLICABILITES DES FONCTIONS DE DIFFUSION ISOTROPE ET HENYEY -GREENSTEIN 205

A.V.1 MILIEU PUREMENT DIFFUSANT 206 A.VII.2 MILIEU ABSORBANT/DIFFUSANT 210 A.VI.3 MILIEU QUASI- ABSORBANT 212 A.VI.4 IDENTIFICATION DE L’ALBEDO 214 CONCLUSION 216 REFERENCE 216


Listes des figures ___________________________________________________________________________

LISTES DES FIGURES ET DES TABLEAUX

LISTE DES FIGURES Introduction Figure 0. 1 : Contribution des différents modes de transfert d’énergie dans les isolants fibreux sous pression atmosphérique (Hass et co – auteurs, 1997) 17 Figure 0. 2 : Influence de l’anisotropie du milieu sur la conductivité thermique totale d’un milieu de fibres de carbure de silicium dopé à l’aréogel de silice (Lee et Cunington, 2000) 18 Figure 0. 3 : Comparaison des conductivités expérimentale et théoriques d’un milieu anisotrope de fibre de verre (Lee et Cunnigton, 2000) 19 Chapitre I Figure I- 1 : Phénomènes d’émission, d’absorption et de diffusion du rayonnement dans un milieu semi – transparent 24 Figure I- 2 : Définition de la luminance dans la direction i∆ 25 Figure I- 3 : Tranche plane semi transparente 28 Figure I- 4 : Délimitation d’un élément de volume de contrôle 41 Chapitre III Figure III- 1 : Transfert couplé conduction/rayonnement dans une tranche plane semi -transparente 74 Figure III- 2 : Distances associées aux interfaces d’un volume de contrôle 79 Chapitre IV Figure IV- 1: Diffusion du rayonnement par une fibre 85 Figure IV- 2 : Orientation d’une fibre dans un milieu 87 Chapitre V Figure V- 1: Variation des coefficients d’extinction et de diffusion d’un milieu de fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières. 109 Figure V- 2 : Variation de la fonction de phase des milieux fibreux diffusant en fonction de l’angle de diffusion pour différent angle d’incidence θ. 110 Figure V- 3 : Variation de la fonction de phase des milieux fibreux absorbant/diffusant en fonction de l’angle de diffusion pour différent angle d’incidence θ. 110 Figure V- 4: Variation de l’erreur relative sur le flux radiatif en fonction de la quadrature : fibres orientées aléatoirement dans l’espace. 112 Figure V- 5 : Variation du biais de diffusion en fonction de la direction du rayonnement incident 114

Hervé Thierry Kamdem Tagne 11

Figure V- 6 : Erreur relative sur le flux radiatif du problème radiatif à diffusion isotrope (a) ou à diffusion de Henyey-Greenstein (b) en fonction de la quadrature ; épaisseur 0,1cm. 116

Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon


Figure V- 7 : Erreur relative sur le flux radiatif du problème radiatif à diffusion isotrope (a) ou à diffusion de Henyey-Greenstein (b) en fonction de la quadrature ; épaisseur 1,0cm. 117 Figure V- 8 : Erreur relative sur le flux radiatif du problème radiatif à diffusion isotrope (a) ou à diffusion de Henyey-Greenstein (b) en fonction de la quadrature ; épaisseur 3,0cm. 118 Figure V- 9 : Photo MEB de laine de verre 122 Figure V- 10 : Histogramme de la distribution des diamètres 123 Figure V- 11 : Indices optiques du verre en fonction de la longueur d’onde 124 Figure V- 12 : Variation des coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de la longueur d’onde : comparaison des moyennes arithmétiques et pondérée P1 125 Figure V- 13 : Facteur d’asymétrie en fonction de la longueur d’onde 126 Figure V- 14 : Influence du nombre de directions de la quadrature sur la solution du problème de transfert radiatif. 127 Figure V- 15 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion isotrope ; échantillon E1. 128 Figure V- 16 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion isotrope ; échantillon E2. 129 Figure V- 17 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion isotrope ; échantillon E3. 130 Figure V- 18 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et la fonction de diffusion de Henyey-Greenstein ; échantillon E1. 131 Figure V- 19 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et la fonction de diffusion de Henyey-Greenstein ; échantillon E2. 132 Figure V- 20 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et la fonction de diffusion de Henyey-Greenstein ; échantillon E3. 133 Figure V- 21 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion de Rosseland ; Echantillon E1. 135 Figure V- 22 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion de Rosseland ; Echantillon E2. 136 Figure V- 23 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion de Rosseland ; Echantillon E3. 137 Figure V- 24 : Variation du flux en fonction de la position dans le milieu : comparaison méthode des ordonnées discrètes et approximation de diffusion de Rosseland pour différentes milieu équivalent isotrope; Echantillon E2. 138 Figure V- 25 : Illustration des dispositifs utilisés pour les mesures par plaques chaudes gardées ( R. Coquard, 2004) 140 Figure V- 26 : Histogramme de l’erreur relative sur la conductivité radiative : échantillon E1 142 Figure V- 27 : Histogramme de l’erreur relative sur la conductivité radiative : échantillon E2. 143



Figure V- 28 : Histogramme de l’erreur relative sur la conductivité radiative : échantillon E3 143 Figure V- 29 : Histogramme des diamètres de la laine de verre dense 145 Figure V- 30 : Variation des coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de la longueur d’onde. 146 Figure V- 31 : Variation du facteur d’asymétrie en fonction de la longueur d’onde : influence des hypothèses de milieu isotrope équivalent. 147 Figure V- 32 : Facteur d’asymétrie en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, µm025,3=λ . 147 Figure V- 33 : Coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, µm025,3=λ . 148 Figure V- 34 : Fonction de phase en fonction de l’angle de diffusion : influence de la direction du rayonnement incident et comparaison modèles anisotropes et isotropes,

µm025,3=λ . 149 Figure V- 35 : Facteur d’asymétrie en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 6,15µmλ = . 149 Figure V- 36 : Coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 6,15µmλ = . 150 Figure V- 37 : Fonction de phase en fonction de l’angle de diffusion : influence de la direction du rayonnement incident et comparaison modèles anisotropes et isotropes,

6,15µmλ = . 150 Figure V- 38 : Coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 7,407µmλ = . 151 Figure V- 39 : Fonction de phase en fonction de l’angle de diffusion : influence de la direction du rayonnement incident et comparaison modèles anisotropes et isotropes,

7,407µmλ = . 151 Figure V- 40 : Facteur d’asymétrie en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 7,407µmλ = . 152 Figure V- 41 : Transmittance normale en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker/Expérimentale. 153 Figure V- 42 : Transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker/Expérimentale. 154 Figure V- 43 : Réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie- Kerker/Expérimentale. 154 Figure V- 44 : Transmittance et réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie- Kerker/Expérimentale. 155 Figure V- 45 : Transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion de Henyey-Greenstein. 157 Figure V- 46 : Réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion de Henyey-Greenstein. 157 Figure V- 47 : Transmittance et réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion de Henyey-Greenstein : [ ]6,8 8,5λ ∈ . 158



Figure V- 48 : Transmittance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion isotrope. 159 Figure V- 49 : Réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion isotrope. 160 Figure V- 50: Transmittance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo : milieu isotrope de propriétés moyennes pondérées P1. 161 Figure V- 51: Réflectance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo: milieu isotrope de propriétés moyennes pondérées P1. 162 Figure V- 52: Transmittance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo : milieu isotrope de propriétés moyennes arithmétiques 163 Figure V- 53: Réflectance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo : milieu isotrope de propriétés moyennes arithmétiques. 163 Figure V- 54 : Ecart relatif sur le coefficient d’extinction réduit moyenne pondérée P1 164 Figure V- 55 : Ecart relatif sur l’albedo réduit moyenne pondérée P1 165 Figure V- 56 : Ecart relatif sur le coefficient d’extinction réduit moyenne arithmétique 165 Figure V- 57 : Ecart relatif sur l’albedo réduit moyenne arithmétique 166 Figure V- 58 : Coefficients d’extinction réduits : comparaison propriétés identifiées, propriétés moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 167 Figure V- 59 : Albedo réduits : comparaison propriétés identifiées, propriétés moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 167 Figure V- 60 : Comparaison de l’indice d’absorption de la laine de verre 168 Figure V- 61 : Influence de l’indice d’absorption sur les coefficients d’extinction réduits : moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 169 Figure V- 62 : Influence de l’indice d’absorption sur l’albedo réduits moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 170 Figure V- 63 : Influence de l’indice d’absorption sur la transmittance directionnelle – hémisphérique. 171 Figure V- 64 : Influence de l’indice d’absorption sur la réflectance directionnelle – hémisphérique. 171 Figure V- 65 : Transmittance normale : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent 172 Figure V- 66 : Transmittance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent 173 Figure V- 67 : Réflectance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent 173 Figure V- 68 : Transmittance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion isotrope et/ou milieu isotrope équivalent 174 Figure V- 69 : Réflectance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de isotrope et/ou milieu isotrope équivalent 174 Figure V- 70 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison des différents modèles à 3,025µmλ = . 176 Figure V- 71 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison de Mie-Kerker, modèles approchés à 6,15µmλ = . 177



Figure V- 72 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison de Mie-Kerker, modèles approchés à 7,407µmλ = . 177 Figure V- 73 : Coefficients d’extinction et de diffusion : comparaison de la théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, propriétés identifiés à µm5=λ . 178 Figure V- 74 : Facteur d’asymétrie : comparaison de la théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, propriétés identifiés à µm5=λ . 179 Figure V- 75 : Fonction de phase pour différents angle de diffusion: comparaison de la théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, propriétés identifiés à 5 , 0µmλ θ= = ° . 179 Figure V- 76 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, identification à

05,05 , 0µmλ θ= = ° . 180 Figure V- 77 : Coefficients de sensibilités normalisés (Nicolau, 1994):

115; 0,86;y gτ = = 1 2 20,95; 0,90; 0,95; 0,60gω γ γ= = = = − 181 Figure V- 78 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, modèle identifie modifié à 05,05 , 0µmλ θ= = ° . 182 Annexe A.VI Figure A.VI- 1 : Fonction de phase des milieux fictifs (F1,F2,F3,B1,B2) pour différent angle de diffusion 205 Figure A.VI- 2 : Transmittances et réflectances directionnelles - hémisphériques en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions de diffusion F1, F2, F3 ; 1ω = . 207 Figure A.VI- 3 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux F1, F2, F3 : 1ω = . 207 Figure A.VI- 4 : Erreur relative sur la réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux F1, F2, F3 : 1ω = . 208 Figure A.VI- 5 : Transmittances et réflectances directionnelles - hémisphériques en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions de diffusion B1, B2 ; 1ω = . 209 Figure A.VI- 6 : Erreur relative sur la transmittance et la réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux B1 et B2 : 1ω = . 209 Figure A.VI- 7 : Transmittance et réflectance directionnelle - hémisphérique adimensionné en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux de diffusion F2, F3 et B1 : 0,5ω = . 210 Figure A.VI- 8 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle - hémisphérique adimensionné en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 :

0,5ω = 211 Figure A.VI- 9 : Erreur relative sur la réflectance directionnelle-hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 : 0,5ω = 211 Figure A.VI- 10 : Transmittance et réflectance directionnelle - hémisphérique adimensionné en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux de diffusion F2, F3 et B1 : 0,1ω = . 213 Figure A.VI- 11 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle – hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 : 0,1ω = 213



Figure A.VI- 12: Erreur relative sur la réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 : 0,1ω = 214 Figure A.VI- 13 : Transmittance et réflectance directionnelle - hémsiphérique en fonction de l’albedo de diffusion du milieu pour les fonctions de phase F2, F3 et B1 : 5Lτ = . 214 Figure A.VI- 14 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle - hémisphérqiue en fonction de l’albedo de diffusion du milieu pour les fonctions de phase F2, F3 et B1 : 5Lτ = . 215 Figure A.VI- 15 : Erreur relative sur réflectance directionnelle - hémsiphérique en fonction de l’albedo de diffusion du milieu pour les fonctions de phase F2, F3 et B1 : 5Lτ = . 215

LISTE DES TABLEAUX Chapitre V Tableau V- 1: caractéristique des quatre milieux fibreux de type laine de verre 108 Tableau V- 2 : Propriétés radiatives des milieux fibreux : fibres orientées aléatoirement dans l’espace 109 Tableau V- 3 : Flux radiatif adimensionné le cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace 113 Tableau V- 4 : Temps de calcul machine nécessaire pour obtenir la convergence pour les trois fonctions de phase : cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace 113 Tableau V- 5 : Propriétés radiatives moyennes arithmétiques 115 Tableau V- 6 : Propriétés radiatives moyennes pondérées P1 115 Tableau V- 7 : Flux radiatif adimensionné ; épaisseur 0,1 cm. 119 Tableau V- 8 : Flux radiatif adimensionné ; épaisseur 1,0 cm. 119 Tableau V- 9 : Flux radiatif adimensionné ; épaisseur 3,0 cm. 120 Tableau V- 10 : Temps machine nécessaire pour obtenir la convergence des problèmes radiatifs : fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, épaisseurs 0,1cm. 120 Tableau V- 11 : Temps machine nécessaire pour obtenir la convergence des problèmes radiatifs : fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, épaisseurs 1,0 cm 120 Tableau V- 12 : Temps machine nécessaire pour obtenir la convergence des problèmes radiatifs : fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, épaisseurs 3,0 cm. 121 Tableau V- 13 : Caractéristiques des laines de verre légères 124 Tableau V- 14 : Conductivité thermique des laines de verre 141 Tableau V- 15 : Conductivité thermique des milieux fibreux : utilisation de l’hypothèse de diffusion isotrope. 141 Tableau V- 16 : Conductivité thermique des milieux fibreux : utilisation de l’hypothèse de diffusion anisotrope. 142 Tableau V- 17 : Caractéristiques de la laine de verre dense étudiée 145 Annxe A.VI Tableau A.VI- 1 : Coefficients d’expansions des fonctions de Legendre 217 Hervé Thierry Kamdem Tagne 16 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

Introduction ___________________________________________________________________________

INTRODUCTION

L’isolation thermique joue un rôle primordial dans le contexte actuel des économies d'énergie et de la préservation de l'environnement... Les isolants alvéolaires (mousses de polystyrène expansé, mousse de polyuréthane, liège,…) et les isolants fibreux sont largement utilisés pour l’isolation thermique des bâtiments, des installations techniques telles que les tuyauteries ou encore dans le transport frigorifique. L’optimisation des capacités isolantes de ces milieux fait appel à la modélisation de leurs propriétés thermiques et à la compréhension des mécanismes de transferts de chaleurs dans ces milieux.

Les isolants alvéolaires sont des milieux poreux de structure solide cellulaire (fermé ou ouverte) tandis que les isolants fibreux sont constitués de fibres cylindriques réparties de manière plus ou moins aléatoire dans l’air. Ce sont des milieux semi –transparents absorbants, émettants et diffusants (Kunitomo, 1984; Glicksman et co-auteurs, 1997). Ils sont le siège de plusieurs mécanismes thermiques notamment : la conduction thermique dans la phase solide, la conduction thermique due au gaz qui occupe les pores, la convection et le rayonnement thermique se propageant dans l’air et interagissant avec la phase solide. La figure 0.1, illustre la contribution de chaque mode de transfert dans un isolant fibreux à la pression atmosphérique (Hass et co-auteurs, 1997).

Rayonnement

Température moyenne, °C

Conduction par le gaz

Conduction par la matrice lid

% des modes de Transfert de chaleur

Convection naturelle

Figure 0. 1 : Contribution des différents modes de transfert d’énergie dans les isolants fibreux sous pression atmosphérique (Hass et co – auteurs, 1997)

Pour les isolants de porosité supérieure ou égale à 99,5% et à température ambiante, la

conduction thermique du gaz avec une contribution de 60% et le rayonnement thermique avec 40-50% sont les modes de transfert de chaleur dominants ; le transfert thermique par


Introduction ___________________________________________________________________________

conduction des fibres est faible. L'apport de la convection thermique peut souvent être négligé. Dans l’optique d’optimiser l’efficacité énergétique des isolants et principalement des isolants fibreux, il importe donc de maîtriser et de contrôler les transferts de chaleur par rayonnement et par conduction thermique.

La minimisation du transfert conductif est difficile (Tong et Tien 1980). La réduction du transfert radiatif par une modification des propriétés des fibres ou de la composition du milieu isolant semble être l’approche la plus indiquée. Les principaux modèles de transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux fibreux sont rappelés par Tong et Tien (1980), Baillis et Sacadura (2000). La modélisation du transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux semi- transparents isotropes a fait l’objet d’une grande attention dans la communauté scientifique. Pour ces milieux, les propriétés radiatives sont indépendantes de la direction du rayonnement incident et le transfert radiatif est décrit par une équation de type intégro – différentielle. Dans le cas des milieux fibreux, la complexité de l’équation du transfert radiatif est accentuée par le fait que les propriétés radiatives de ces milieux dépendent de la direction de propagation du rayonnement (Zhang et co-auteurs, 2002). L'orientation des fibres influence fortement le transfert thermique. Comme le montre par exemple la figure 0.2, la conductivité thermique totale d’un milieu fibreux peut être réduite de moitié si l’orientation des fibres est dans des plans parallèles aux frontières du milieu (milieu anisotrope) au lieu d’être dans l’espace (milieu isotrope).

Température moyenne, K

Fibres dans le plan

Fibres dans l’espace

50%/50% Fibres dans espace/plan

fv=0,00139 Porosité : 99,81%

Figure 0. 2 : Influence de l’anisotropie du milieu sur la conductivité thermique totale d’un milieu d’aérogel de silice dopé aux fibres de carbure de silicium (Lee et Cunington, 2000)


Malgré l’amélioration significative de la compréhension des mécanismes de transfert de chaleur par rayonnement, et malgré l’augmentation rapide de la puissance des outils de calcul numérique, le traitement du transfert radiatif dans les milieux fibreux reste généralement simplifié. Le modèle de diffusion de Rosseland (Dombrovsky, 1996 ; Marschall


Introduction ___________________________________________________________________________

et Milos, 1997 ; Zverev et co-auteurs, 2008), ou le modèle à deux flux (Jeandel et co-auteurs, 1988 ; Anderson et Dyrbol, 1998, Wu et co-auteurs, 2007) couramment utilisés dans la littérature sont basés sur des hypothèses simplificatrices permettant de résoudre analytiquement l'équation de transfert radiatif. Ces modèles peuvent engendrer des erreurs considérables lorsqu’ils sont appliqués aux milieux anisotropes tels que les milieux fibreux. Lee et Cunnington (2000) montrent que les erreurs associées à ces modèles sont de l’ordre de 20-60% sur conductivité thermique totale d’un milieu anisotrope de fibre de verre (figure 0.3).

Deux flux Rosseland Expérimentale

Température moyenne, K

Porosité : 93,23%

Figure 0. 3 : Comparaison des conductivités expérimentale et théoriques d’un milieu anisotrope de fibre de verre (Lee et Cunnigton, 2000)

Les erreurs des modèles de diffusion de Rosseland ou du modèle à deux flux telle

que rapportées par Lee et Cunnington (2000) (Figure 0.3) peuvent être dues au mauvais choix des propriétés radiatives isotropes équivalentes. D’autres hypothèses telles que la fonction de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein (Henyey et Greenstein, 1941) sont souvent utilisées pour la réduction du problème radiatif dans les milieux semi-transparents isotropes. Ces hypothèses font appels aux fonctions de diffusions dépendant uniquement de l’angle entre le rayonnement incident et le rayonnement diffusé. Cependant, les propriétés radiatives des milieux anisotropes dépendent de la direction du rayonnement et la fonction de diffusion dépend à la fois de la direction du rayonnement incident et de l’angle entre le rayonnement incident et le rayonnement diffusé. Les difficultés et les questions liées à la simplification du problème radiatif dans les milieux anisotropes sont les suivantes :

Comment appliquer les modèles de diffusion de Rosseland aux milieux

anisotropes ? Les fonctions de diffusions isotropes et de Henyey-Greensetin permettant de

simplifier l’analyse du transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux


Introduction ___________________________________________________________________________

isotropes peuvent-elles être utilisées lorsque le milieu est anisotrope ? et si oui comment obtenir les propriétés réduites ?

Peut on considérer un milieu équivalent isotrope et comment obtenir ses propriétés radiatives isotropes ?

La résolution de l'équation intégro – différentielle du transfert radiatif dans les milieux

semi-transparents est fortement dépendante des propriétés radiatives du milieu. Les propriétés radiatives des milieux semi – transparents peuvent être déterminées à partir de la théorie électromagnétique ou par méthode inverse (Baillis et Sacadura 2000). Dans le premier cas, les propriétés morphologiques et optiques du milieu doivent être connues. La méthode de détermination des propriétés radiatives par méthode inverse comporte une limitation principale : la difficulté de déterminer un grand nombre de paramètres modélisant le transfert de chaleur dans le milieu. Les propriétés radiatives issues de cette approche sont généralement isotropes (Nicolau et co-auteurs, 1994 ; Hendricks et Howell, 1996; Milandri et co- auteurs, 2002) et donc appropriées aux milieux isotropes. La détermination des propriétés radiatives anisotropes est une opération très complexe du fait du grand nombre de paramètres que cela implique (Zeghondy et co-auteurs, 2006). Les principales difficultés et questions qui se posent quand à l'application de la méthode inverse aux cas des milieux anisotropes sont les suivantes :

L’hypothèse de milieu isotrope est elle réaliste pour l’identification des propriétés

radiatives des milieux anisotropes ? Quelle correspondance y a-t-il entre les propriétés radiatives des milieux anisotropes et

les propriétés radiatives isotropes équivalentes déduites de la méthode d’identification des paramètres ? A travers ce travail de thèse, nos objectifs sont de répondre à ces questions liées aux

problèmes de simplification de la résolution de l’équation de transfert radiatif et de l’applicabilité de la méthode d’identification de paramètres radiatifs dans le cas des milieux anisotropes tels que les fibreux.

Notre étude porte sur la modélisation plus ou moins simplifiée des transferts de chaleur par rayonnement et conduction dans les milieux fibreux monodimensionnels, en régime permanent et en présence de la symétrie azimutale. Ces milieux présentent la caractéristique d’être des milieux isotropes lorsque les fibres du milieu sont orientées aléatoirement dans l’espace et des milieux anisotropes (à symétrie azimutale) lorsque les fibres sont orientées aléatoirement dans des plans. Nos efforts portent plus particulièrement sur la détermination des propriétés radiatives appropriées aux modèles plus ou moins simplifiés. Ce travail est scindé en cinq chapitres.

Le premier chapitre présente les mécanismes de transfert de chaleur par rayonnement

dans les milieux semi – transparents poreux isotropes ou anisotropes. Nous abordons ensuite la résolution de l’équation radiatif dans un milieu monodimensionnel possédant une symétrie azimutale. Nous présentons plus particulièrement la méthode des ordonnées discrètes retenue dans ce travail. Nous présentons également la méthode des harmoniques sphériques, très utilisée pour la résolution de l’équation de transfert radiatif dans les milieux isotropes. Nous proposerons une extension de cette méthode à la résolution de l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes.


Introduction ___________________________________________________________________________

Dans le deuxième chapitre, trois méthodes de simplification du transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux semi – transparents anisotropes sont adoptées :

Une approche directionnelle : les propriétés du milieu restent directionnelles et la fonction de diffusion est simplifiée mais directionnelle,

Une approche moyenne arithmétique : le problème radiatif dans un milieu anisotrope est supposé équivalent à un problème radiatif dans un milieu isotrope. Les propriétés radiatives équivalentes sont calculées à partir de moyennes arithmétiques suivant toutes les directions des propriétés directionnelles du milieu anisotrope,

Une approche moyenne pondérée : le problème radiatif dans un milieu anisotrope est supposé équivalent à un problème radiatif dans un milieu isotrope. Les propriétés radiatives équivalentes sont calculées à partir de moyennes pondérées suivant toutes les directions des propriétés directionnelles du milieu anisotrope.

Le principe guidant la formulation de ces différentes approches est d’étendre les méthodes de résolution du transfert radiatif appliquées aux milieux isotropes à des milieux anisotropes. Le développement des approches utilisant un milieu isotrope équivalent vise à : réduire le temps de résolution du problème radiatif, permettre l’utilisation des codes existants de résolution du problème radiatif, simplifier la modélisation des transferts de chaleur couplés, utiliser les principes d’identification élaborés pour les milieux isotropes. La technique de simplification du transfert radiatif dans les milieux anisotropes par une approche directionnelle a pour but de réduire le temps de résolution du problème radiatif tout en permettant une caractérisation fine des propriétés radiatives des milieux anisotropes.

Le troisième chapitre est consacré à la modélisation du transfert couplé

conduction/rayonnement monodirectionnel en régime permanent dans les milieux anisotropes présentant une symétrie azimutale. Nous avons retenu la méthode des volumes de contrôle comme technique de résolution de l’équation du transfert de chaleur par conduction. Nous présentons aussi l’adaptation des modèles de diffusion de Rosseland et de Deissler pour la résolution du transfert radiatif dans le cas des milieux anisotropes.

Nous abordons dans le quatrième chapitre, la détermination des propriétés radiatives

des milieux anisotropes fibreux. Deux approches sont présentées : L’approche microscopique basée sur la résolution des équations de Maxwell. Cette

approche nécessite la connaissance de la microstructure du milieu étudié. Nous supposons que les fibres du milieu sont cylindriques, infiniment longues et orientées aléatoirement soit dans l’espace soit dans le plan perpendiculaire aux frontières. Nous supposons aussi que l’interaction rayonnement - fibre n’est pas influencé par les fibres environnantes. Nous proposons d’étendre la définition du facteur d’asymétrie, caractérisant la direction de diffusion préférentielle des milieux isotropes (en avant ou en arrière) en un facteur d’asymétrie directionnel pour les milieux anisotropes fonction de l’orientation du rayonnement.

L’approche macroscopique dont le principe repose sur la détermination des propriétés radiatives des milieux isotropes par minimisation de l’écart quadratique entre des transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques théoriques et expérimentales. Le cinquième chapitre porte sur l’application des modèles développés dans les quatre

premiers chapitres au cas de milieux anisotropes fibreux de laine de verre. Nous avons procédé en trois étapes :


Introduction ___________________________________________________________________________

L’étude d’un problème de transfert purement radiatif dans les milieux anisotropes fictifs soumis à des températures imposées est considérée afin de justifier et de valider le cas échéant les approches de simplification du transfert radiatif.

Le transfert couplé conduction/rayonnement dans un milieu anisotrope constitué de laine de verre soumise à des températures imposées à ses frontières est étudié. L’influence sur les flux conductif, radiatif et total des différentes approches simplificatrices du transfert radiatif dans ces milieux est étudiée. Une confrontation des résultats de conductivités thermiques prédites par les différents modèles et ceux obtenus expérimentalement par la méthode «des plaques chaude gardées » est menée.

L’application des différentes approches simplificatrices du transfert radiatif au cas de laine de verre soumise à un flux radiatif collimaté normal sur l’une de ses frontières est discutée. Nous portons plus particulièrement notre attention sur la comparaison théorie/expérience de la transmittance normale, la transmittance et la reflectance directionnelle – hémisphérique. Des conclusions sur les stratégies d’identification des propriétés radiatives anisotropes ou isotropes sont dégagées. La validité des propriétés radiatives estimées en faisant appel à l’hypothèse de milieu isotrope pour la modélisation du transfert radiatif dans les milieux anisotropes fibreux est discutée.

REFERENCE ANDERSEN, F.M.B. AND DYRBOEL, S., 1998, Modelling Radiative Heat Transfer in

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Chapitre I Modélisation du problème radiatif dans les milieux fibreux ___________________________________________________________________________

CHAPITRE I

MODELISATION DU PROBLEME RADIATIF DANS LES MILIEUX FIBREUX

Le problème radiatif dans les milieux poreux semi – transparents est décrit par

l’équation de transfert radiatif. Cette équation rend compte de la relation qui existe entre les différents phénomènes : émission du milieu, absorption et diffusion du rayonnement à chaque position le long de son parcours dans un milieu semi - transparent. L’établissent de l’équation de transfert radiatif dans les milieux isotropes est exposé dans de nombreux ouvrages : Chandrasekhar (1960), Ozisik (1973), Siegel et Howell (2002), et Modest (2003). Cette équation traduit localement le bilan d’énergie radiative dans un volume élémentaire. Dans ce chapitre, nous présentons l’équation de transfert radiatif dans les milieux poreux semi – transparents anisotropes. Les propriétés radiatives intervenant dans l’équation de transfert radiatif sont supposées connues. Nous discutons aussi des principales méthodes de résolution de l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes et principalement la méthode des ordonnées discrètes et la méthode des harmoniques sphériques.

I.1 TRANSFERT RADIATIF DANS LES MILIEUX FIBREUX Considérons un milieu semi – transparent bordé par des frontières : figure I.1. Le

milieu étant semi – transparent, il peut émettre, absorber ou diffuser la luminance.

),( ∆sLλ

λλ dLsL +∆),(

),( ∆′sLλ

∆∆

ΩdΩd

Ω′d

),(, bb sL ∆λ

Figure I- 1 : Phénomènes d’émission, d’absorption et de diffusion du rayonnement dans un milieu semi – transparent



La luminance monochromatique (Figure I.2), , en un point P dans une direction λL ∆ traduit le rapport de la puissance rayonnante monochromatique, λΦd , par unité de longueur d’onde à travers l’unité de surface projetée perpendiculaire à la direction ∆ , dans un angle solide unitaire, centré sur ∆

idΩ iθ

),( izL ∆i∆

dA

n

P

Figure I- 2 : Définition de la luminance dans la direction i∆

, ( , )

( , )cos

i ii

i i

d zL z

d dAdλ

λ θ λΦ Ω

∆ =Ω

/I.1/

où λ est la longueur d’onde du rayonnement. Dans le cas ou les propriétés radiatives du milieu sont indépendantes de la longueur d’onde, le milieu est dit gris.

I.1.1 EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF

Dans les milieux anisotropes tels que les milieux fibreux, les propriétés radiatives du milieu varient avec la direction du rayonnement incident et l’équation de transfert radiatif s’écrit (Lee ,1986 ; Siegel et Howell, 2002)

, , , ,4attenuation par absorptiongain due à l'émission gain par diffusionet diffusion

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) /4a b S e sdL L T L S P L S ddS

λλ λ λ λ λ λ λπ

σ σ σ′Ω =

′ ′ ′ ′= Ω − Ω ∆ + Ω Ω Ω ∆ Ω∫ π

/I.2/


où est la longueur mesurée selon la direction S ∆ centrée autour de l’angle solide , est la luminance monochromatique du corps noir à la température

locale TΩ , ( )b SL Tλ

s et est donnée par la loi de Planck (Siegel et Howell, 1992) :




]( )[ 12)( /52

1, 2 −

=STncsb en

CTL λλ λ /I.3/

avec

n, l’indice de réfraction du milieu supposé homogène,

sr/m.W 1059552197,0hcC 216201

−×==

K.m 1069,14387k/hcC 602

−×==

s/m 1099792458,2c 80 ×= : la vitesse de propagation de la lumière

: la constante de Planck s.J 106260755,6h 34−×=

: la constante de Boltzmann k/J 10380658,1k 23−×=

Le coefficient σe, λ est appelé coefficient monochromatique d’extinction. Il dépend des caractéristiques du milieu (température, pression, composition chimique …). C’est en fait la somme des coefficients monochromatiques d’absorption σa,λ et de diffusion σs,λ du milieu :

, , ,( ) ( ) ( )e a sλ λ λσ σ σΩ = Ω + Ω /I.4/

le rapport du coefficient de diffusion par le coefficient d’extinction traduit la contribution de la diffusion par rapport à l’atténuation totale du rayonnement thermique par le milieu : albedo de diffusion

, ,( ) ( ) / ( )s eλ λ λω σ σΩ = Ω Ω /I.5/

( , )Pλ ′Ω Ω est la fonction de phase ou indicatrice de diffusion du milieu. Elle s’interprète physiquement comme étant le rapport de l’intensité du rayonnement diffusé suivant une direction par l’intensité du rayonnement diffusé si la diffusion était isotrope suivant la même direction (Siegel et Howell, 2002). Dans le cas des milieux isotropes, cette fonction est définie de sorte que :

4

4

0

1 ( , ) 1 41 ( , ) 1

41 ( )sin 1 2

P d

P d

P d

λπ

λπ

π

λ

π

π

⎧ ′ ′Ω Ω Ω =⎪⎪⎪ ′Ω Ω Ω =⎨⎪⎪ Θ Θ Θ =⎪⎩

∫

∫

∫

/I.6/

La quantité ( , ) / 4P dλ π′ ′Ω Ω Ω représentant la probabilité pour qu’un faisceau

incident dans l’angle solide élémentaire Ω′d centré sur la direction ∆′ , soit diffusé dans l’angle solide élémentaire Ωd centré sur la direction ∆ . Dans le cas des



milieux anisotropes, la condition de normalisation peut aussi s’écrire (Lee, 1989 ; Boulet, 1992)

4

4

4

1 ( ) ( , ) ( ) 4

1 ( ) ( , ) ( ) 41 ( , ) 1

4

s s

s

s

P d

P d

P d

λπ

λπ

λπ

σ σπ

σ σπ

π

⎧ ′ ′Ω Ω Ω Ω = Ω⎪⎪⎪ ′ ′ ′Ω Ω Ω Ω = Ω⎨⎪⎪ Ω Θ Ω =⎪⎩

∫

∫

∫

s /I.7/

où ( , ) ( , )s sϕ ′Ω = Θ = Ω Ω est l’angle de diffusion et l’angle solide élémentaire de

diffusion sdΩ est défini par la relation sins sd d dϕΩ = Θ Θ , Pour développer l’équation de la conservation de l’énergie radiative, considérons

l’intégration de l’équation /I.2/ sur tout l’angle solide π=Ω 4 , il vient :

, ,4 4 4

,4 4

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )

1 ( ) ( , ) ( , )4

e a

s

dL S d L S d LdS

L S P d d

λλ λ λ λπ π π

λ λ λπ π

σ σ

σπ

,b ST d∆Ω = − Ω ∆ Ω + Ω Ω

′ ′ ′+ Ω ∆ Ω Ω Ω

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ′Ω /I.8/

L’utilisation des équations /I.4/ et /I.7/ permet d’écrire l’équation de la conservation de l’énergie radiative

[ ], , ,4

4 ( ) ( ) ( ,a b aq L T S L Sλ λ λ λ λπ

πσ σ∇ ⋅ = − Ω ∆ Ω∫ )d

Ω

/I.9/ où est l’opérateur nabla, ∇

λq la densité de flux radiatif définit par la relation :

4

( , )q L S dλ λπ

= ∆ ∆∫ /I.10/

et le coefficient moyen d’absorption ;

∫ ΩΩ=π

λλ σπ

σ4

,, )(41 daa /I.11/

Dans le cas d’un transfert purement radiatif en régime permanent établi, on parle d’équilibre radiatif : et l’équation /I.9/ devient 0q =⋅∇ λ

, , ,4

4 ( ) ( ) ( , )a b S aL T L S dλ λ λ λππσ σ− Ω ∆ Ω∫ 0= /I.12/



Cette équation traduit le principe de la conservation de l’énergie : pour un milieu en équilibre radiatif, le rayonnement absorbé en tout point du milieu est égal au rayonnement émis en ce même point.

I.1.1.1 TRANSFERT RADIATIF DANS UN MILIEU MONODIMENSIONNEL

Considérons une tranche plane infinie dans les directions x et . Le transfert radiatif ne s’effectue que dans la direction plus petite que les deux autres directions : le transfert radiatif est dit monodimensionnel (Figure I.3)

zy

dy ds

0

y

1−=µ

1=µ

0<µ

0>µ

y

θ

Figure I- 3 : Tranche plane semi transparente

La variation de l’angle solide est donnée par la relation Ω

sind d d d dθ θ ϕ µ ϕΩ = = − /I.13/

où

,θ ϕ sont respectivement les coordonnées polaire et azimutal de l’angle solide Ω

cosµ θ=

La dérivée curviligne peut s’écrire

d dy µds y ds y

∂= =

∂ ∂∂ /I.14/

L’équation du bilan radiatif /I.2/ en géométrie monodimensionnel s’écrit



, , , ,4

( , ) 1( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )4a b e s

L yµ L L y P L yy

λλ λ λ λ λ λ λπ

σ σ σπ ′Ω =

∂ ∆ d′ ′ ′= Ω − Ω ∆ + Ω Ω → Ω ∆∂ ∫ ′Ω

1dµ…

/I.15/ En considérant que les fibres sont reparties aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, les propriétés radiatives sont indépendantes de l’azimut et nous pouvons écrire

( , ) ( , )L y L y µλ λ∆ ≡ /I.16/ 1

42d

ππ

−Ω ≡∫ ∫… /I.17/

, , , , , ,( ) ( )a e s a e s µλ λσ σΩ ≡ /I.18/

( , ) ( , )P P µλ λ′Ω Ω ≡ µ′ /I.19/ Dans ce travail, nous considérons le cas d’une symétrie azimutal. L’introduction des relations /I.16-19/ dans l’équation du bilan radiatif /I.15/ permet d’écrire l’équation de transfert radiatif dans une tranche plane en présence d’une symétrie azimutale

[ ] 1

, , , ,1

( , ) 1( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )2a b e s

L y µµ µ L T y µ L y µ µ P µ µ L y µ dµy

λλ λ λ λ λ λ λσ σ σ

−

∂ ′ ′ ′= − + →∂ ∫ ′

/I.20/ Lorsque les propriétés radiatives du milieu sont isotropes, on a

, , , , , ,( )a e s a e sµλ λσ σ≡ /I.21/ L’utilisation de la relation précédente dans la relation /I.20/ permet d’écrire l’équation de transfert radiatif dans une tranche plane isotrope en présence d’une symétrie azimutale

[ ]1,

, , , 1

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )2s

a b eL y µ L T y L y µ P µ µ L y µ dµ

yλλ

λ λ λ λ λ

σµ σ σ

−

∂ ′ ′= − + →∂ ∫ ′ /I.22/

I.1.1.2 REPRESENTATION DE L’INDICATRICE DE DIFFUSION

Lorsqu’un rayonnement traverse un milieu poreux semi transparent, il est partiellement diffusé dans toutes les directions de l’espace. Cette diffusion résulte de la présence des particules dans le milieu. La distribution angulaire de la diffusion du milieu est décrite par la fonction de phase ou indicatrice de diffusion. La formulation de la fonction de phase est fortement influencée par l’anisotropie du milieu.

I.1.1.2.1 FONCTION DE PHASE POUR LES MILIEUX ISOTROPES Dans le cas où les propriétés radiatives du milieu sont isotropes, la fonction de phase

peut s’écrire sous forme de combinaison linéaire des fonctions harmoniques sphériques (Mengüc et Viskanta, 1985)



, , ,0

( , , , ) ( , ) ( , )m mm

P a Yλ λ Yθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ∞

= =−

′ ′ = ∑ ∑ ′ ′ /I.23/

où ( , ), ( , )θ ϕ θ ϕ′ ′ sont les directions incidente et de diffusion du rayonnement,

,a λ sont des moments constants souvent déterminés à partir de la théorie électromagnétique de diffusion des ondes appliquée au cas de particules sphériques, , 0, 1a λ =

,mY représente la fonction harmonique sphérique et donnée par

( )( )

( ) / 2,

!2 1( , ) ( 1) cos exp( )4 !

m m mm

mY

mP imθ ϕ

π+ −+

= −+

θ ϕ /I.24/

,l mY est la fonction harmonique sphérique complexe conjuguée

(cos )mP θ est la fonction de Legendre obtenue à partir des dérivées des polynômes de Legendre par la relation

2 ( )( ) (1 )m

mm

d P µP µ µd µ

= − , cosµ θ= /I.25/

P désigne le polynôme de Legendre de première espèce d’ordre avec les premiers polynômes donnés par les relations ( Abramowitz et Stegun, 1972)

0 ( ) 1P µ = /I.26/

1( )P µ µ= /I.27/ 2

2 ( ) (3 1) / 2P µ µ= − /I.28/ Dans le cas particulier de la symétrie azimutale, la fonction de phase ne dépend que de l’angle entre le rayonnement incident et le rayonnement diffusé. La fonction de phase /I.23/ peut s’écrire sous la forme de combinaison linéaire de polynômes de Legendre (Chu et Churchill, 1955)

∑∞

=

Θ+=Θ1

,,0 )(cos)( PaaP λλλ /I.29/

avec Θ l’angle de diffusion entre la direction incidente et diffusée du rayonnement La fonction est définie par la relation (Hottel et Sarofim, 1967) (cos )P Θ

1(cos ) (cos ) (cos ) ( , , , ) cos ( )

mP P P f m mθ θ θ θ ϕ

=

′ ′ ϕ′Θ = + ∑ −

=

/I.30/

et /I.31/ 2

0cos ( ) 0m d

πϕ ϕ ϕ′ ′−∫



Les moments ,a λ de la fonction de phase /I.29/ peuvent être calculés à partir de la relation (Crosbie et Davidson, 1985)

, 0

2 1 ( ) ( )2

a P Pπ

λ+

= Θ Θ∫ dΘ

La fonction de phase /I.29/ permet d’approcher n’importe quelle fonction de phase lorsque le nombre de termes pris en considération est assez important.

Remarque : Les fonctions de phase des milieux isotropes vérifient les relations de symétrie suivantes

( , , , ) ( , , , )P Pλ λθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ′ ′ ′ ′= /I.32/

( , , , ) ( , , , )P Pλ λθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ′ ′− = − ′ ′ /I.33/

( , , , ) ( , , , )P Pλ λθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ′ ′ ′ ′= − − /I.34/

I.1.1.2.2 FONCTION DE PHASE POUR LES MILIEUX ANISOTROPES

Les travaux sur l’approximation de la fonction de phase des milieux anisotropes sont quasiment inexistants. Les seuls à s’être intéressés à ce problème sont Heino et co-auteurs (2003). Ces auteurs décrivent l’anisotropie de diffusion dans les milieux anisotropes par une fonction développement en série de fonctions harmoniques sphériques en introduisant un facteur de biais de diffusion.

, ,0

( , , , ) ( , ) ( , )mm m

mP g Yλ Yθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ

∞

⊥= =−

′ ′ ′ ′= ∑ ∑ /I.35/

où est le biais de diffusion du rayonnement dans la direction perpendiculaire à l’axe de la fibre.

⊥g

La fonction de phase, développement en série des harmoniques sphériques, proposée par Heino et co-auteurs (2003) dépend d’un facteur constant. ⊥g

Dans l’optique d’avoir une fonction phase des milieux anisotropes sous forme de développement série des fonctions harmoniques sphériques semblable de celle des milieux isotropes, nous proposons une fonction de phase des milieux anisotropes s’écrivant comme une combinaison linéaire des moments dépendants de la direction du rayonnement incident appelée : fonction directionnelle développement en série de fonction harmoniques sphériques

, , ,0

( , , , ) ( , ) ( , ) ( , )m mm

P a Yλ λ Yθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ∞

= =−

′ ′ = ∑ ∑ ′ ′ /I.36/

avec , ( , )a λ θ ϕ les moments directionnels de la fonction de la phase

0, ( , ) 1a λ θ ϕ =



De manière semblable à la fonction de phase des milieux isotropes /I.29/, cette fonction de phase peut aussi s’écrire sous forme développement en série directionnelle de polynômes de Legendre pour les milieux anisotropes s’écrit


P Θ,0

( , , , ) ( , ) ( )P aλ λθ ϕ θ ϕ θ ϕ∞

=

′ ′ = ∑ /I.37/

avec

, 0

2 1( , ) ( , , ) ( )2

a Pπ

λ θ ϕ θ ϕ+= Θ∫ P dΘ Θ

Dans le cas où le milieu présente une symétrie azimutale, l’intégration azimutale de la relation précédente sur [ ]0, , 2π et tenant compte des relations /I.30-31/ donne

,0

( , ) ( ) (cos ) (cos )P a P Pλ λθ θ θ θ∞

=

′ = ∑ θ ′ /I.38/

où 0, ( ) 1a λ θ = Remarque : Les fonctions de phase des milieux anisotropes vérifient les relations de symétrie définies par les équations /I.33-34/ mais ne vérifient pas la relation /I.32/

( , , , ) ( , , , )P Pλ λθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ′ ′ ′ ′≠ /I.39/

I.1.2 – CONDITIONS AUX LIMITES La résolution de l’équation de transfert radiatif nécessite la connaissance des

conditions aux limites. Dans cette section, nous considérons les conditions aux limites simples telles que les températures imposées aux frontières ou les frontières transparentes soumises à un flux de rayonnement collimaté.

I.1.2.1 TEMPERATURES IMPOSEES AUX FRONTIERES

Dans le cas des températures imposées aux frontières supposées noires, non réfléchissantes (uniquement absorbantes), les conditions aux limites radiatives sont données par les relations (Ozisik, 1973)

, 0(0, ) ( )bL Lλ ∆ = Tλ

λ

/I.40/

,( , ) ( )b yL y L Tλ ∆ = /I.41/ où

0 , yT T désignent respectivement la température aux frontières 0 et à l’épaisseur du milieu. y



I.1.2.2 FLUX RADIATIF INCIDENT COLLIMATE


0

Les conditions aux limites générales dans le cas d’un milieu semi – transparent avec interface à transmission et réflexion spéculaire et/ou diffuse ; soumis à un flux radiatif incident collimaté dans un angle solide 0 2 (1 cos )π θΩ = − , sont données à l’annexe I. Les milieux fibreux étant très poreux, le flux incident collimaté à l’interface est entièrement transmis à l’intérieur du matériau. Les conditions aux limites s’écrivent

,0 0(0, ) ( ) 0

( , ) 0 0L L µL y µ

λ λ

λ

δ∆ = Ω − Ω >⎧⎨ ∆ = <⎩

/I.42/

Le rapport du flux monochromatique transmis à travers le milieu semi - transparent au flux monochromatique incident sur le milieu est la transmittance monochromatique directionnelle hémisphérique, donnée par la relation suivante :

2,

,0 0 0

( , ) cos

coshm

L y dT

Lλπ

λλ

θ

θ

∆ Ω=

Ω∫ /I.43/

De même, le rapport du flux monochromatique réfléchi à l’interface du milieu au flux monochromatique incident sur le milieu est la réflectance monochromatique directionnelle hémisphérique :

2,

,0 0 0

(0, ) cos

coshm

L dR

Lλπ

λλ

θ

θ

∆ Ω=

Ω∫ /I.44/

I.2 RESOLUTION DE L’EQUATION DU TRANSFERT RADIATIF

Nous discutons dans cette section, des différentes méthodes de résolution de l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes. Les méthodes s’applique généralement aux cas des milieux isotropes, nous recherchons dans quelle mesure ces méthodes peuvent s’appliquer aux milieux anisotropes. Deux approches de résolution de l’équation de transfert radiatif sont abordées : l’approche analytique et l’approche numérique.

I.2.1- RESOLUTION ANALYTIQUE

L’approche analytique vise pour la plupart des cas, un double objectif : (i) obtenir un modèle facilement programmable et utilisable pour de rapides tests, (ii) pouvoir déterminer la conductivité thermique radiative équivalente des milieux semi transparents. Cette approche nécessite généralement des conditions aux limites simples telles que des températures imposées aux frontières. Nous présentons deux méthodes analytiques très utilisées : la méthode à deux flux et la méthode de Rosseland.



I.2.1.1 METHODE A DEUX FLUX

Ce modèle a été proposé pour la première fois par Schuster et Scharzchild (Hottel et Sarofim, 1967 ; Siegel et Howell, 2002). Cette approximation suppose isotrope la luminance dans les deux hémisphères de diffusion. Plusieurs variantes de cette approximation sont fréquemment rencontrées dans la littérature. Les plus simples sont basées sur l’omission de la diffusion ou sur l’hypothèse de diffusion isotrope du milieu (Dombrovsky et co-auteurs, 2007). Une autre approche consiste à prendre en compte l’anisotropie de diffusion et à introduire le paramètre de rétro-diffusion. Dans tous les cas, l’équation de transfert radiatif se ramène à un système de deux équations différentielles couplées :

, , , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e a b sdLµ µ L µ L T µ b µ L b µ Ldy

λλ λ λ λ λ λ λ λσ σ σ

++ +⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦ λ

− , /I.45/ 10 ≤< µ

, , , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e a b sdLµ µ L µ L T µ b µ L b µ Ldy

λλ λ λ λ λ λ λ λσ σ σ

−−

λ+⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦ 01 ≤<− µ− , /I.46/

avec ,L Lλ λ

+ − la luminance monochromatique dans les hémisphères supérieur et inférieur respectivement, est le paramètre de rétro diffusion définie par (Lee ; 1988, 1990)

( )b µλ

Plusieurs travaux basés sur cette approche mais avec différents principes de calcul du facteur de rétro- diffusion existent dans la littérature (Tong et Tien, 1980 ; Anderson et Dyrbol, 1998). Dans le cas des milieux anisotropes, le facteur de rétro - diffusion est obtenu par intégration du paramètre de rétro – diffusion suivant toutes les directions incidentes (Lee, 1989 ; Jeandel et co-auteurs, 1993). Notons que Lee et Cunnington (2000) montrent que l’utilisation de l’approximation à deux flux pour modéliser le transfert radiatif dans les milieux fibreux présente de grands écarts avec la solution exacte.

I.2.1.2 METHODE DE ROSSELAND

Dans le cas des milieux isotropes optiquement épais ( 1yτ >> , avec ,y e yλτ σ= ⋅ ), la densité de flux radiatif peut être approchée par une loi semblable à la loi de Fourier caractérisant le transfert de chaleur par conduction

r rdTq kdy

= − /I.47/

avec rk , la conductivité radiative, calculée par la relation

3

,

163

Br

e R

Tk σσ

= /I.48/



où ,e Rσ le coefficient de Rosseland de formulation

2,

0, ,

( )1( )

b

e R e b

dL Tn ddL T

λλ

λ

λσ σ

∞= ∫ /I.49/

[ ]

1/ 4, 21 2

25/ 2 6 5/ 42

( ) exp( / )( / )( ) 2 ( ) exp( / ) 1

b B

b b

dL T C n TC CdL T n L T C n T

λ λ

λ λ

λσ πλ λ

=−

Les constantes C1 et C2 sont définies à l’équation /I.3/. La luminance du corps noir est donnée par la relation (Ozisik, 1973)

2 4( ) /b BL T n Tσ π= /I.50/ avec la constante de Stefan –Boltzmann, 8 25,6696 10 /( )B W m Kσ −= × ⋅ 4

n , l’indice effectif du milieu, 1n = dans le cas des milieux fortement poreux.

L’utilisation de la relation /I.47/ pour le calcul du flux radiatif dans les milieux isotropes optiquement épais est très courante dans la littérature (Siegel et Howell, 2002). L’application de cette méthode aux milieux anisotropes tels que les fibres nécessite cependant une prise en compte de l’orientation des particules dans le calcul du coefficient de Rosseland. Lee et Cunnington (2000) considèrent que le coefficient de diffusion intervenant dans la méthode de Rosseland peut être calculé par la relation

0, , (1 )e s g ,aλ λ λ λσ σ= − +σ /I.51/ où

0,s λσ est le coefficient de diffusion du milieu fibreux calculé dans la direction

du rayonnement incident sur le milieu; gλ le facteur d’asymétrie déterminé par la relation

1 1

,0 0 1,

1 ( , )s i s i i ss

g P µ µ µ dµ dµλ λ λλ

σσ −

= ∫ ∫ ≺ /I.52/

avec

2

, ,0

1( , ) ( , )2s i s s iP µ µ P d

π

λ λ λ λ iσ σ ϕπ

= Ω Θ∫≺ ≺ /I.53/

Lee et Cunnington (2000) montrent par ailleurs que l’utilisation du modèle de Rosseland conduit à des écarts importants plus particulièrement aux températures élevées sur la conductivité radiative des milieux anisotropes fibreux. Le facteur d’extinction de la relation /I.51/ ne prend pas en compte toutes les directions puisque qu’il est calculé pour la direction d’incidence sur le milieu. Afin de tenir compte de toutes ces directions, nous allons définir au chapitre suivant un facteur d’extinction équivalent moyenné suivant toutes les directions d’incidence du rayonnement.

0µ =



I.2.2- RESOLUTION NUMERIQUE

La présence du terme intégral de l’équation de transfert radiatif rend les solutions analytiques possibles uniquement sous certaines hypothèses simplificatrices telles que des fonctions de phase isotropes ou linéaires. Les méthodes de résolution numériques de l’équation de transfert radiatif sont généralement basées sur l’hypothèse de milieux isotropes. Les principales méthodes de résolution numériques de l’équation de transfert radiatif sont données dans les ouvrages de Siegel et Howell (2002) et de Modest (2003). Nous rappelons ci- dessous le principe de ces méthodes de résolution de l’équation de transfert radiatif. Nous abordons aussi l’extension de certaines de ces méthodes à la résolution du problème radiatif dans les milieux anisotropes.

I.2.2. 1 METHODE DE MONTE CARLO

La méthode de Monte Carlo est largement utilisée pour résoudre le problème de transfert radiatif dans les milieux isotropes semi – transparents. A titre d’exemple on peut citer les travaux de Al Abed et Sacadura, 1983; Nisipeanu et Jones, 2000. Cette méthode consiste à quantifier l’énergie radiative émise par le milieu ou par ses frontières en un très grand nombre de « paquets de photons » transportant chacun la même quantité d’énergie. On suit ensuite chaque « paquet de photons » tout au long de son trajet, depuis le lieu de son émission jusqu’à celui de son absorption ou bien jusqu’à ce qu’il sorte du milieu. Les différentes directions d’émission de chaque « paquet de photons » sont choisies de manière aléatoire : chaque événement devant être indépendant du précédent. Les résultats obtenus par la méthode de Monte Carlo peuvent être précis à condition de générer correctement les nombres aléatoires et d’en prendre un très grand nombre. Les résultats obtenus par cette méthode sont généralement utilisés comme référence pour la validation d’autres méthodes de traitement du problème radiatif. Elle présente néanmoins un inconvénient puisqu’elle est lourde en temps de calcul.

I.2.2.2 METHODE DES ZONES

Cette méthode a été proposée par Hottel et Cohen pour prédire les effets du rayonnement sur les profils de température dans une chambre de combustion (Hottel et Sarofim, 1967). Elle consiste à décomposer un milieu et ses frontières en N éléments de surface et M éléments de volume afin de calculer le flux radiatif net échangé entre tous ces éléments.


4

)

( )2 4( )i jz z i j B i jq Z Z n T Tσ= − /I.54/ où ( i jZ Z est appelée l’aire d’échange total entre les éléments et iz jzn l’indice de réfraction du milieu, Bσ la constante de Boltzmann.

( i j )Z Z représente le flux radiatif échangé entre les éléments et après transmission directe, réflexion sur les éléments de surface et diffusion sur les éléments de volume. La

iz jz



méthode des Zones est généralement appliquée pour le calcul d’échange radiatif en milieu gris. Dans ce cas, l’aire d’échange total entre les éléments et est indépendant de la température (Hottel et Sarofim, 1967 ; Goyhénèche, 1997). Notons que l’aire d’échange total est une fonction des propriétés radiatives du milieu (coefficients d’absorption, d’extinction et de diffusion ; fonction de phase), de la géométrie du milieu et de ses frontières (Hottel et Sarofim, 1967 ; Goyhénèche et Sacadura, 2002). Récemment, Yuen et Cunnington (2007) ont utilisé cette méthode pour modéliser le transfert couplé conduction/rayonnement dans un milieu fibreux en régime transitoire. Ces auteurs supposent cependant que les propriétés radiatives du milieux sont isotropes et la diffusion du milieu linéaire.

iz jz

I.2.2.3-METHODE DES ORDONNEES DISCRETES

Introduite en transfert radiatif par Chandrasekhar (1960), cette méthode est basée sur la discrétisation angulaire, qui permet la transformation de l’équation intégro–différentielle en un système d’équations aux dérivées partielles. Cette méthode est aussi appelée la méthode de quadrature ou la méthode , ou est le nombre de directions (ou quadratures). Cette méthode étant celle que nous utiliserons nous la détaillons d’avantage que les autres.

SN N

I.2.2.3.1 DISCRETISATION ANGULAIRE

Le principe de la transformation consiste à choisir un nombre de directions paires , chacune d’elle étant affectée d’une pondération. Le terme intégral de l’équation de transfert radiatif est remplacé par une somme quadratique effectuée sur les luminances selon les directions choisies.

Nd

I.2.2.3.1.1 CHOIX DE LA QUADRATURE

Plusieurs types de quadratures sont généralement utilisés pour la transformation de l’équation de transfert radiatif en un système d’équation aux dérivées partielles. Nous énumérons ci-dessous deux d’entre elles largement utilisées :

Les quadratures de Gauss (G-N)

Les quadratures de Gauss sont définies par les relations du type 1

11

( ) ( )Nd

i ii

f d w fµ µ−

=

= ∑∫ µ /I.55/

Pour les directions appartenant à l’intervalle Nd iµ ] [1,...,1− et les pondérations iw sont choisies de telle façon que la relation /I.55/ soit exacte pour tout polynôme de degré 2 1Nd − . Les directions sont les racines des polynômes de Legendre et les poids sont déduits de la relation (Chandrasekhar, 1960) :

iµ ( )NdP µ iw

1

1

( )1( )

Ndi

Nd i i

P µw dP µ µ µ−

=′ −∫ µ Nd , 1, ,i = … /I.56/

où ( )( ) NdNd

dP µP µdµ

′ =



Notons que les directions sont symétriques par rapport à l’axe monodimensionnel : 0µ =

( ) ( )1 2 / 2, / 2 1 1 2 / 2, / 2 2 1, , , , , , , , , , ,Nd Nd Nd Nd Ndµ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ+ = − − −

= 1,i Nd=

/I.57/ où

/ 2Nd est le nombre de directions positives.

Quadratures de Fiveland (FV-N)

Les directions sont symétriques par rapport à l’axe monodimensionnel . Les pondérations et les directions sont définies sur l’intervalle [-1,…,1]. Les pondérations d’égales valeurs, sont positives et inversement proportionnelles au degré de la quadrature :

, . Les directions positives et les pondérations doivent vérifier la relation

0µ =

2 /iw Nd

/ 21

01

Ndi i

k kk

d wµ µ µ=

= ∑∫ , /I.58/ 1,..., / 2i Nd=

Les directions négatives s’obtiennent en utilisant la relation /I.57/. Pour le calcul des flux surfaciques, Fiveland (1987) montre que les quadratures (FV-2 à FV-12) sont plus précises que celles de Gauss (G-2 à G-12) appliquées à l’intervalle [ ]1,..,1− . Cependant dans des situations de forte diffusion, le terme comportant l’indicatrice de diffusion devient très important et la quadrature de Gauss présentera une meilleure précision (Kumar et co-auteurs, 1990). Les milieux fibreux étant fortement anisotropes, une attention particulière sera accordée à la quadrature de Gauss pour la discrétisation angulaire. I.2.2.3.1.2 DISCRETISATION ANGULAIRE DE L’EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF

Le choix de la quadrature étant fait, l’étape suivante de la méthode des ordonnées

discrètes consiste en la discrétisation angulaire de l’équation de transfert radiatif /I.20/ et des conditions aux limites :

[ ], , , ,1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )Nd

ii a i b e i i j s j i j

j

L y L T y L y w µ P µ µ L yy

λλ λ λ λ λ λ λ

µjµ σ µ σ µ µ σ µ

=

∂= − +

∂ ∑

1 i Nd≤ ≤ /I.59/

Le nombre de directions de la quadrature étant défini de telle sorte que les directions sont positives pour et négatives pour

Nd1,..., / 2i Nd= / 2,...,i Nd Nd= . Les conditions aux limites

/I.42/ deviennent

,0 0(0, ) ( )i iL Lλ λµ δ µ µ= − 0 i 1µ< ≤ /I.60/ ( , ) 0iL yλ µ = 1 i 0µ− ≤ < /I.61/



I.2.2.3.1.3 RE - NORMALISATION DE LA FONCTION DE PHASE Lors de la transformation du terme intégrale de l’équation /I.20/ en somme de

quadrature, la condition de conservation de l’énergie peut ne plus être satisfaite. Dans le cas des milieux anisotropes, cela se traduit par :

1

ˆ( , ) 2, 1,...,Nd

j i j ij

w P µ µ i Ndγ=

= ≠ =∑ /I.62a/


d

Nd

1( ) ( , ) 2 ( ), 1,...,

Nd

j s j i j i s ij

w µ P µ µ µ i Nσ γ σ=

= ≠ =∑ /I.62b/

Afin de satisfaire la condition de normalisation /I.6-7/, trois méthodes peuvent être utilisée

Méthode de Wiscombe (1976 ) Dans ce cas, la correction est appliquée à tous les coefficients bidirectionnels de la fonction de phase (Wiscombe, 1976 ; Altimir, 1981 ; Farhat et co-auteurs, 2006, Boulet et co-auteurs, 2007)

1(1 ) ( ) ( , ) 2 ( ), i 1,...,

Nd

j i j s j i j s ij

w µ P µ µ µε ε σ σ=

+ + = =∑ /I.63b/

où ,i jε est le facteur de correction associé à la direction ,i jµ

La relation précédente pour forme un système d’équations dont la résolution permet de calculer les coefficients bidirectionnels de la fonction de phase normalisée.

1,...,i = Nd

Méthode de Kim et Lee (1988)

Dans cette approche, la correction avec un poids identique est appliquée pour toutes les directions de diffusion jµ

1( ) ( , ) 2 ( ), i 1,...,

Nd

i j s j i j s ij

w µ P µ µ µ Nε σ σ=

= =∑ d /I.64/

Le facteur de correction associé à chaque direction incidente est dans ce cas (Kim et Lee (1988 , Hafermann et co-auteurs, 1993 ; Vaillon et co-auteurs, 2000)

12 ( ) / ( ) ( , ), 1,...,

Nd

i s i j s i i jj

µ w µ P µ µ i Nε σ σ=

= ∑ d= /I.65/



Méthode de Mishchenko et co-auteurs (1999) Mishchenko et co-auteurs (1999) proposent de corriger uniquement le pic de diffusion vers l’avant des coefficients bidirectionnels de la fonction de phase. Dans le cas d’une diffusion vers l’arrière, cette méthode peut s’appliquer en corrigeant uniquement les pics de diffusion vers l’arrière de la fonction de phase. Ainsi, le facteur de correction à appliquer aux pics de diffusion avant ou arrière de la fonction de phase est donné par la relation

1 (2 ) / ( ) ( , ) i diffusion avant 1 (2 ) / ( ) ( , ) i diffusion arrière

i i s i i ii

i i s i i i

w µ P µ µ sw µ P µ µ s

γ σε

γ σ+ −⎧

= ⎨ + − −⎩ /I.66/

où iγ est défini à l’équation /I.62b/.

Remarque

La fonction de phase corrigée par les relations /I.64-66/ est de nouveau re -normalisée en utilisant l’une des méthodes précédentes afin de vérifier l’équation /I.62a/.

Dans le cas des milieux isotropes, les coefficients de diffusion sont indépendants de la direction du rayonnement et les équations de re -normalisation précédentes prennent les formes classiques définies par Wiscombe (1976), Kim et Lee (1998) ou Mishchenko et co-auteurs (1999).

I.2.2.3.2 DISCRETISATION SPATIALE Plusieurs méthodes sont couramment utilisées dans la littérature pour la discrétisation

spatiale de l’équation de transfert radiatif. Nous citerons entre autre : la méthode des différences finies (Fiveland, 1987 ; Milandri, 2001), la méthode des volumes finis (Raithby et Chui, 1990 ; Chai et co-auteurs, 1994), la méthode des volumes de contrôles (Fiveland, 1988 ; Doermann, 1995 ; Moura, 1998). Nous présentons dans ce travail, plus particulièrement la méthode des volumes de contrôle appliquée à la résolution du transfert radiatif dans les milieux anisotropes : cette méthode étant celle que nous utiliserons. I.2.2.3.2.1 LA METHODE DES VOLUMES DE CONTROLE

Cette méthode, décrite dans l’ouvrage de Patankar (1980), a été utilisée par Doermann (1995) pour la modélisation des transferts couplés conduction/rayonnement dans des milieux semi - transparents isotropes de type mousse à pores ouverts et par Moura (1998) pour la caractérisation des propriétés radiatives de milieux isotropes semi – transparents en situation de flux incident collimaté et de symétrie non azimutale.

I.2.2.3.2.1.1 Principe de la méthode

Le domaine de calcul est divisé en éléments de « volumes » juxtaposés uniformes

ou non : les volumes de contrôle (figure I.4). Le centre de chaque élément de volume constitue un nœud. Le système d’équations différentielles est ensuite intégré sur chaque élément de volume.

ny



Pw e EW

Element de volume de contrôle

iy∆

y

Figure I- 4 : Délimitation d’un élément de volume de contrôle

où

e et w désignent les notations des frontières des faces fictives est et ouest respectivement, E, P, et W sont les nœuds des volumes de contrôles, ∆yi est la dimension d’un élément de volume i.

I.2.2.3.2.1.2 Maillage Trois types de maillage uniforme ou variables peuvent être utilisés : Le maillage uniforme

Dans ce cas, tous les volumes ont les mêmes dimensions. Les nœuds de chaque

élément de volume de contrôle se situent à mi-distance des faces des volumes qui les entourent.

/( 1)iy y ny∆ = − /I.67/

où y est l’épaisseur du milieu, iy∆ la longueur d’un élément de volume

ny est le nombre total de nœuds

Le maillage raffiné près d’une frontière

Un type de maillage irrégulier prés d’une frontière est décrit par la relation (Moura, 1998) :

( 1)cos cos

2 2 2iy i iy

ny nyπ π⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡−

∆ = −⎨ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

⎤⎬⎥

⎦ /I.68/



Le maillage raffiné près des deux frontières

Le maillage irrégulier raffiné prés des deux frontières est décrit par la relation de type Tchebycheff (Doermann, 1995 ; Moura, 1998) :

( 1)cos cos

2iy i iy

ny nyπ π⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡−

∆ = −⎨ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

⎤⎬⎥

⎦ /I.69/

I.2.2.3.2.1.3 Calcul des luminances En considérant le principe de discrétisation de la méthode des volumes de contrôle, le

système d’équations /I.59/ est intégré sur chaque élément de volume. On obtient le système d’équations algébriques

1( ) ( ) ( ) ( , )

Ndi

i a i b e i i j s j i jv v vj

L d L d L d w P µ µy ν jL dµ ν σ µ ν σ µ ν σ µ ν

=

∂= − +

∂ ∑∫ ∫ ∫ ∫ /I.70/

avec 1 i Nd≤ ≤

yν = ∆ le volume de contrôle Les indices λ et ont été omis dans l’écriture de la luminance monochromatique (

) pour alléger l’expression de la relation /I.70/. Nous utiliserons cette simplification dans la suite du travail. La première intégrale de la relation /I.70/ est remplacée par une intégrale linéique

y( , )iL y µ Lλ ≡ i

, ,(ii i i e

L d L Lyν

µ ν µ∂= −

∂∫ )i w /I.71/

où , ,,i e i wL L sont respectivement les luminances sur les faces fictives "est" (notée

e) et "ouest" (notée w) de l’élément de volume concerné (Figure I.4) Les luminances sont supposées constantes lors de l’évaluation des autres intégrales et égales à la valeur de la luminance au nœud considéré

,i i PvL d L yν = ∆∫ /I.72/

,b b PvL d L yν = ∆∫ /I.73/

En considérant les relations /I.71-73/ , l’équation discrétisée de l’équation de transfert radiatif s’écrit :

, , , ,1

( ) ( ) ( ) ( ) ( , )2

Nd

i i e i w a i b P e i i P j s j i jj

yL L y L y L w P µ µ Lµ σ µ σ µ σ µ=

∆− = ∆ − ∆ + ∑ ,j p /I.74/



L’équation précédente peut être réécrite


y

, , , ,( ) ( ) i i e i w e i i P i PL L µ y L Sµ σ− = − ∆ + ∆ /I.75/

avec le terme source

, ,1

( ) ( ) ( , )Nd

i p a j b P j s j i j j Pj

S L w P µ µσ µ σ µ=

= + ∑ ,L

,

/I.76/

Les équations précédentes introduisent de nouvelles inconnues, les luminances sur les faces des volumes de contrôles. L’expression du profil de variation de la luminance à l’intérieur de chaque élément de volume de contrôle est donc nécessaire afin de permettre la détermination de ces luminances. Cette expression peut être considérée comme linéaire (Moura, 1998)

, , (1 )i P i e i wL fL f L= + − /I.77/ où

f est un facteur de pondération. L’équation du profil de la variation de la luminance dans un élément de volume de contrôle /I.77/ et l’équation /I.75/ permettent d’obtenir la luminance aux nœuds des volumes de contrôles. Ainsi, on a :

pour , ,,0

( )i p i i w

i i pe i i

fS y LL

f µ yµ

µσ µ

∆ +≥ =

∆ + /I.78/

pour , ,,

e

(1 ) 0

(1 ) ( )i P i i e

i i pi i

f S y LL

f µ yµ

µσ µ

− ∆ −≤ =

− ∆ − /I.79/

La connaissance du facteur de pondération f permet de déterminer la luminance en un point

de l’élément de volume de contrôle. Différentes expressions du facteur de pondération P f sont proposées dans la littérature (Chai et co-auteurs, 1994 ; Moura, 1998). L’expression du facteur de pondération la plus utilisée est celle qui impose la luminance au centre du nœud de l’élément du volume de contrôle égale à la demi -somme des luminances sur les faces : le schéma diamant. Dans ce cas, et la relation /I.98/ s’écrit 2/1=f

, , ,(i P i e i wL L L= + ) 2 /I.80/

Dans le cadre de ce travail, nous considérerons la variation linéaire définie par la relation /I.80/ pour le calcul de la luminance en un point . P



I.2.2.3.2.1.4 Algorithme de résolution de l’équation de transfert radiatif

Le processus de résolution de l’équation de transfert radiatif par la méthode des ordonnées discrètes couplée à la méthode des volumes de contrôle est progressive et itérative. L’algorithme de calcul des luminances aux différents nœuds du domaine de calcul est le suivant :

a. entrée des données géométriques et des conditions aux limites (épaisseurs, températures des faces)

b. choix de la quadrature c. construction du maillage et initialisation du champ de températures et/ou des

luminances d. entrée des propriétés radiatives du milieu e. résolution de l’équation de transfert radiatif. Elle se déroule de manière progressive.

Connaissant la luminance de l’une des faces "est" ou "ouest", la luminance au nœud P est déduite et la luminance à la face "ouest" ou "est" est calculée en utilisant la loi de variation de la luminance à l’intérieur de l’élément de volume de contrôle. On passe ensuite à l’élément de volume de contrôle adjacent et ainsi de suite jusqu’à la détermination du champ de luminance dans tout le domaine. Pour chaque calcul, on suit le sens de propagation de la luminance dans le milieu. Pour une direction donnée iµ , on commence par l’élément dont la face peut émettre du rayonnement dans cette direction, puis on passe à l’élément adjacent. Le terme source utilisé est évalué à partir de la relation /I.76/.

f. calcul du critère de convergence : 1, , /it it it

i p i p i pL L L 1,

+ +− , à chaque itération it g. le point e est repris jusqu'à ce que le critère de convergence (point f) soit inférieur ou

égal à 10-6% Remarque Dans le cas d’un milieu non gris, le domaine spectral est subdivisé en nb bandes

d’amplitude iλ∆ , nbi ,,1…= tel que où λλλλ ∆=−=∆∑=

minmax1

nb

ii minmax ,λλ sont les

longueurs d’onde maximale et minimale du domaine spectral d’étude. A l’intérieur de chaque intervalle d’amplitude iλ∆ , les propriétés radiatives, notées ii

Psea λλσ ∆∆ ,,,, , sont supposées constantes et l’équation de transfert radiatif est résolue pour chaque bande iλ∆ , . nbi ,,1…=

I.2.2.5-METHODE DES HARMONIQUES SPHERIQUES Dans la section précédente, la résolution de l’équation de transfert radiatif par la

méthode des ordonnées discrètes montre que les équations discrétisées des milieux anisotropes sont aisément étendues au cas des milieux anisotropes. De même que pour la méthode de ordonnées discrètes, nous décrivons plus particulièrement la méthode des harmoniques sphériques ; cette méthode étant utilisée par la suite au chapitre II pour la réduction du problème radiatif dans les milieux anisotropes. La résolution de l’équation de



transfert radiatif pour les milieux isotropes par la méthode des harmoniques sphériques est détaillée dans les ouvrages de Siegel et Howell (2002) et Modest (2003) ou dans les publications de Bayazitoglu et Higenyi (1979), Mengüç et Viskanta (1985), Yang et Modest (2007). Cette méthode est utilisée pour résoudre l’équation de transfert radiatif dans les milieux isotropes semi – transparents. La question posée est de pouvoir étendre cette méthode aux milieux anisotropes tels que les milieux fibreux. Nous proposons ci-dessous d’adapter la méthode des harmoniques sphériques au cas de milieux anisotropes.

I.2.2.5.1 DISCRETISATION EN SYSTEME D’EQUATIONS DIFFERENTIELLES DE L’EQUATION DE TRANSFERT RADIATIF

La méthode des harmoniques sphériques ou méthode NP permet de résoudre

l’équation de transfert radiatif dans les milieux isotropes en transformant le problème radiatif en un système d’équations aux dérivées partielles. La luminance est approchée par une somme d’harmoniques sphériques (Mengüç et Viskanta, 1985)

0( , ) ( ) ( )m m

mL S I S Y

∞

= =−

∆ = ∆∑ ∑ /I.81/

avec ( )mI S un coefficient dépendant uniquement de la position dans le milieu,

mY la fonction harmonique sphérique définie par l’équation /I.24/ Dans l’approximation , la sommation est tronquée pour . Dans une tranche plane présentant une symétrie azimutale, la luminance est approchée par une somme de polynômes de Legendre (Modest, 2003)

NP N>

0( , ) ( ) ( )

N

L y µ I y P µ=

= ∑ /I.82/

La fonction de phase est aussi développée sous la forme d’une série de polynômes de Legendre. Dans le cas d’un milieu anisotrope présentant une symétrie azimutale, l’équation de transfert radiatif est donnée par la relation /I.20/. Nous considérons que la fonction de phase peut être développée en série directionnelle de polynômes de Legendre /I.38/. Le terme intégral de l’équation de transfert radiatif /I.20/ s’écrit

1 1

1 10 0

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N M

s m s mm

mµ P µ µ L y µ dµ I y P µ µ a µ P µ P µ dµσ σ− −

= =

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ∑ ∑∫ ∫ ′ /I.83/

où M est le degré d’anisotropie de la fonction de phase

Posons

1 1

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ms m m mµ a µ P µ P µ dµ a P µ P µ dµσ σ

− −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′=∫ ∫≺ ′ /I.84/



En utilisant la relation d’orthogonalité des polynômes de Legendre (Abramowitz et Stegun, 1972)

122)()(

1

1 +=′′′∫− m

µdµPµP mm

δ /I.85/

Le terme intégral de l’équation de transfert radiatif /I.83/ devient

,0 0

2( ) ( )2 1

N Mm

s m mm

I y a Pmδσ

= = +∑ ∑≺ µ /I.86/

En considérant les relations /I.82/ et /I.86/, l’équation de transfert radiatif /I.20/ est réécrite de la manière suivante

,0 0 0

21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

N N Mm

s me a bm

dI1 mµ P µ I y µ P µ µ L T I y a P µ

dy mδσ σ σ

= = =

⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ +⎣ ⎦

∑ ∑ ∑≺ /I.87/

soit

,0 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1

N N

se a bdI I y P µµ P µ I y µ P µ µ L T ady

σ σ σ= =

⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ +⎣ ⎦

∑ ∑≺ /I.88/

Dans la méthode des harmoniques sphériques, on suppose que les coefficients d’expansion de la fonction de phase lorsque . De plus, pour 0=a M> MN << , on a . En considérant la relation de récurrence entre les polynômes de Legendre suivante (Abramowitz et Stegun, 1972)

( ) 0I y =

)()1()()()12( 11 µPµPµµP +− ++=+ /I.89/

la relation /I.88/ devient

1 10

,0

1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1

( ) ( )2 1

N

e a b

N

s

dI P µ P µ I y µ P µ µ L Tdy

I y P µa

σ σ

σ

− +=

=

⎡ ⎤+ + + =⎢ ⎥+⎣ ⎦

++

∑

∑≺

/I.90/ Ainsi l’utilisation de la relation /I.89/ introduit 1+N nouvelles variables en I . La relation /I.90/ doit donc être transformée en 1+N équations indépendantes de la direction µ . Multiplions la relation /I.90/ par le polynôme de Legendre et intégrons ensuite sur toutes les directions µ, nous obtenons

)(µPk

1 1 1

1 11 1 10

1 1,

1 10

1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1

N

k k e k

Ns

b a k k

dI P µ P µ dµ P µ P µ dµ I y µ P µ P µ dµdy

a I yL T µ P µ dµ P µ P µ dµ

σ

σσ

− +− − −=

− −=

⎡ ⎤+ + + =⎢ ⎥+⎣ ⎦

++

∑ ∫ ∫ ∫

∑∫ ∫≺

Nk ,,2,1,0=

/I.91/



Posons maintenant

∫∫ −−=

1

1,

1

1)()()( dµµPdµµPµ kkaka σσ /I.92/

∫∫ −−=

1

1,

1

1)()()()()( dµµPµPdµµPµPµ kkeke σσ /I.93/

La relation /I.91/ devient

,1 1, 0

( ) ( )1 ( ) ( )2 3 2 1 2 1

s kkk ke kk k ak k b

dI y dI yk k a I y Lk dy k dy k

σσ σ+ −⎛ ⎞+

+ + − =⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠

≺ Tδ /I.94/

Nk ,,2,1,0= Le système d’équation différentielle précédent obtenu par application de la méthode des harmoniques sphériques à l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes est semblable au système d’équations différentielles obtenu en appliquant la méthode des harmoniques sphériques à l’équation de transfert radiatif dans les milieux isotropes. Dans le cas de l’approximation P1, la sommation des harmoniques sphériques est tronquée lorsque

. Ainsi, pour et , l’équation /I.94/ donne respectivement 1N > 0=k 1=k

( )1,00,00 0 ,0

1 ( ) ( ) ( )3

se adI y a I y L

dyσ σ σ+ − =≺ b T /I.95/

( )0,11,11 1

( ) / 3 ( ) 0sedI y a I y

dyσ σ+ − =≺ /I.96/

Compte tenu de la relation /I.84-85, I.92-93/, on a

1 1,00,00 1 1

1

,01

1 1( ) ( )2 21 ( )2

se e

a a

a µ dµ

µ dµ

σ σ σ σ

σ σ

− −

−

− = −

= =

∫ ∫

∫

≺ s µ dµ /I.97/

∫∫

−

−= 1

1

2

1

1

2

11,

)(

dµµ

dµµµee

σσ /I.98/

Les relations /I.84-85/ permettent d’écrire

[ ]11,1

1

2

1

1

21

11,

3/)()(3/ s

ss g

dµµ

dµµµaµa ≺≺ σ

σσ ==

∫∫

−

− /I.99/

En considérant comme pour les milieux isotropes que le biais de diffusion est lié au premier moment de la fonction de phase par la relation

g

/I.100/ 3/)()( 1 µaµg =



Les équations /I.95-96/ sont réécrites sous la forme

1,0 0 ,0

1 ( ) ( ) ( )3 a a

dI ybI y L

dyσ σ+ = T /I.101/

( )0,11 1,11

( ) ( ) 0e sdI y g I y

dyσ σ+ − =≺ /I.102/

En différentiant la relation /I.101/ et en substituant la relation /I.102/ dans la relation différenciée obtenue, on a l’équation différentielle de second ordre

( )2

1,0 ,11 1 ,0,112

( )( ) 3 ( ) 3 ba e as

dL Td I y g I ydy dy

σ σ σ σ− − =≺ /I.103/

L’utilisation de la relation /I.82/ dans la relation du flux radiatif /I.10/ permet d’obtenir

13( )

4I y q

π= /I.104/

La substitution de la relation /I.104/ dans la relation /I.103/ donne la relation

( )2

,0 ,11 ,0,112

( )( ) 3 ( ) 4 ba e as

dL Td q y g q ydy dy

σ σ σ πσ− − =≺ /I.105/

Ainsi, nous venons de démontrer la relation différentielle décrivant le transfert radiatif dans un milieu anisotrope plan par la méthode des harmoniques sphériques d’ordre un.

I.2.2.5.2 CONDITIONS AUX LIMITES POUR LA METHODE DES HARMONIQUES SPHERIQUES

La résolution des équations ordinaires donnée par le système différentielle /I.94/ nécessite conditions aux limites. Ces conditions peuvent être les conditions aux limites de Mark ou de Marshak (Modest 2003)

1+N1+N

I.2.2.5.2.1 CONDITIONS AUX LIMITES DE MARK

Pour un milieu plan d’épaisseur , les conditions aux limites s’écrivent y

)(),0(1

µLµL S= /I.106/ 10

0 << µ

2( , ) ( )SL y µ L µ= 1 <<− µ /I.107/

où 21

, SS LL désignent respectivement, la luminance à l’interface et du milieu.

1S 2S



Il faut donc conditions aux limites pour résoudre le système d’équations /I.94/ soit conditions à chaque frontière

1+N2/)1( +N 0=y et y y= . Mark suggère de remplacer les

équations /I.106-107/ par les équations

)(),0(1 iSi µLµL = 2/)1(,...,2,1 += Ni /I.108/

2( , ) ( )i SL y µ L µ− = − i 2 /)1(,...,2,1 += Ni /I.109/

où iµ sont les racines positives du polynôme de Legendre . 0)(1 =+ iN µP

Dans le cas de l’approximation , les racines positives du polynôme de Legendre sont 1P 2P

013)( 22 =−= ii µµP /I.110/

soit

1/ 3iµ = ± /I.111/ En supposant les frontières du milieu noires, la relation précédente et la relation /I.82/, les conditions aux limites /I.108-109/ s’écrivent

1,10 3/)0()0()3/1,0( SbLIIµL =+== /I.112/

20 1( , 1/ 3) ( ) ( ) / 3 b SL y µ I y I y L= − = − = , /I.113/

I.2.2.5.2.2 CONDITIONS AUX LIMITES DE MARSHAK

Marshak (Modest, 2003 ; Ozisik, 1973) propose de faire satisfaire aux équations des conditions aux limites /I.106-107/, les moments d’ordre 2 1i − avec . Ainsi, les relations /I.106-107/ deviennent

2/)1(,...,2,1 += Ni

∫∫ −− =1

0 1212

1

0)()()(),0(

1dµµPµLdµµPµL iSi 2/)1(,...,2,1 += Ni /I.114/

2

0 0

2 1 2 11 1( , ) ( ) ( ) ( )i S iL y µ P µ dµ L µ P µ dµ− −− −

=∫ ∫ 2/)1(,...,2,1 += Ni /I.115/

Dans la pratique, les polynômes de Legendre apparaissant dans les équations précédentes sont remplacés par le polynôme (Yuen et Tien, 1980). Dans le cas de l’approximation P1 et en considérant une fois de plus le cas d’un milieu plan de frontières noires, les conditions aux limites de Marshak déduites des relations /I.106-107/ sont (Modest, 2003)

12 −iµ

1,10 3/)0(2)0( SbLII =+ /I.116/

20 1( ) 2 ( ) / 3 b S,I y I y L− = /I.117/



CONCLUSION

Nous avons exposé dans ce chapitre les principaux mécanismes de transfert radiatif dans les milieux fibreux. Nous avons vu que le transfert radiatif dans les milieux fibreux est régi par une équation de type intégro- différentielle : l’équation de transfert radiatif. Une des principales difficultés de la résolution de cette équation provient de la prise en compte de l’anisotropie du milieu. L’équation de transfert radiatif nécessite certaines simplifications pour faciliter sa résolution. Nous avons aussi présenté plus particulièrement deux méthodes numériques de résolution de l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes : la méthode des ordonnées discrètes et la méthode des harmoniques sphériques.



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Chapitre II Réduction de l’anisotropie dans les milieux semi - transparents ___________________________________________________________________________

CHAPITRE II

REDUCTUON DE L’ANISOTROPIE DANS LES MILIEUX SEMI - TRANSPARENTS

Parmi les difficultés liées à la résolution de l’équation du transfert radiatif, on peut

citer : (1) la dépendance de la luminance en fonction de la position, de la direction du rayonnement et de la longueur d’onde ; (2) l’anisotropie du milieu avec des propriétés radiatives dépendantes de la direction du rayonnement incident ; (3) l’anisotropie de diffusion du rayonnement; (4) le couplage du problème radiatif avec les autres modes de transfert de chaleur à travers le terme d’émission. La complexité du problème radiatif est réduite si on simplifie l’anisotropie de diffusion du matériau. L’anisotropie de diffusion du milieu est caractérisée par la fonction de phase ou indicatrice de diffusion. Cette fonction peut présenter de fortes oscillations angulaires et/ou un pic très pointu de diffusion vers l’avant. Ces deux phénomènes compliquent énormément l'analyse du transfert radiatif dans les milieux semi – transparents. Afin de contourner ces difficultés, la fonction de phase peut être développée en série de polynômes de Legendre (Siegel et Howell, 2002 ; Modest, 2003). Malgré cette simplification, l'effort exigé pour inclure les informations angulaires de la fonction de phase est prohibitif dans beaucoup de cas et en particulier lorsque le paramètre de taille est largement supérieur à 1 (Crosbie et Davidson, 1985). Afin de réduire la difficulté de résolution du problème radiatif liée à la complexité de l’anisotropie de diffusion, une majorité d’auteurs utilisent des fonctions de phase plus simples comme la fonction isotrope, la fonction de diffusion de Henyey-Greenstein ou la fonction delta-M avec M le degré de la fonction de diffusion associée à la fonction Dirac-Delta.

L’utilisation de la fonction de phase Delta-M permet de transformer un problème radiatif de degré d’anisotropie de diffusion quelconque en un problème radiatif de degré d’anisotropie M . Cependant, le degré d’anisotropie M de la fonction de diffusion Delta-M nécessaire pour prédire avec une bonne précision le transfert radiatif dans les milieux semi – transparents peut être aussi très élevé (Crosbie et Davidson, 1985 ; Kim et Lee, 1990a). La complexité du problème radiatif est grandement simplifiée si on considère que le milieu présente une fonction de diffusion isotrope. L’hypothèse de diffusion isotrope par le milieu semi - transparent suppose que le milieu redistribue l’énergie avec une probabilité égale suivant toutes les directions de diffusion. Les milieux réels présentant généralement une fonction de phase anisotrope, l’hypothèse de diffusion isotrope nécessite la transformation du problème de diffusion anisotrope en un problème de diffusion isotrope équivalent.

La transformation du problème radiatif en un problème réduit considère généralement des milieux constitués de particules homogènes sphériques avec une fonction de phase facilement étendue en série de polynômes de Legendre. Très peu de travaux ont été faits pour les milieux ayant des particules non - sphériques comme par exemple des fibres. Cela est probablement dû à la difficulté de déterminer les moments de la fonction de phase de ces particules. D’autre part, certaines simplifications de l’anisotropie de diffusion utilisées pour des milieux constitués des particules sphériques ne sont pas appropriées lorsque le milieu est constitué de particules non sphériques asymétriques et ayant des propriétés radiatives fonction de la direction du rayonnement incident (Tong et Tien, 1980). Il se pose alors la question de savoir comment simplifier un problème radiatif pour les milieux anisotropes ?



En ce qui concerne les milieux fibreux, deux cas se présentent : le cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace (milieux isotropes) avec des propriétés indépendantes de la direction incidente du rayonnement et le cas des fibres orientées dans un plan (milieux anisotropes) où les propriétés radiatives sont fortement influencées par la direction incidente du rayonnement. Dans le premier cas, quelques exemples de problèmes résolus en faisant appel à la simplification du problème radiatif ont été abordés par certains auteurs. Par contre, le second cas, où les propriétés radiatives sont directionnelles, a toujours et exclusivement été étudié en considérant les propriétés radiatives issues de la théorie de Mie-Kerker. Dans ce chapitre, nous proposons la transformation d’un problème radiatif des milieux anisotropes à diffusion quelconque en un problème radiatif réduit à diffusion plus simple. Nous distinguons deux approches : l’une basée sur une diffusion isotrope, l’autre sur une diffusion anisotrope de type Henyey-Greenstein.

II. 1 DIFFUSION ISOTROPE DANS LES MILIEUX SEMI - TRANSPARENTS

L’hypothèse de diffusion isotrope est retenue dans bien des travaux que ce soit dans

l’approche directe de résolution du problème radiatif (Anderson et Dyrbol, 1998; Tong et co-auteurs, 1990) ou pour les problèmes d’identification des propriétés radiatives par méthodes inverses (Yeh et Roux, 1989; Petrov, 1997; Litovsky et co-auteurs, 2003/2004). L’utilisation de la fonction de phase isotrope pour réduire l’anisotropie de diffusion dans les milieux semi transparents nécessite une transformation des paramètres radiatifs intrinsèques du milieu en des paramètres réduits isotropes équivalents (Lee et Buckius, 1982).

II.1.1 DIFFUSION ISOTROPE DANS LES MILIEUX ISOTROES : L’APPROXIMATION DE TRANSPORT

Afin de simplifier l’anisotropie de diffusion dans les milieux semi transparents isotropes, la fonction de phase peut être remplacée par la somme de deux fonctions Dirac, une pour la diffusion vers l’avant, une autre pour la diffusion vers l’arrière et d’une fonction isotrope (Siewert et Williams, 1977)

( , ) 2 ( ) 2 ( )f bP µ µ µ µ µ µ iγ δ γ δ′ ′= − + + γ′ + /II.1/ où les facteurs de diffusion avant fγ , arrière bγ et isotrope iγ sont liés par la relation

1f b iγ γ γ+ + = /II.2/ L’introduction de la fonction précédente dans l’équation de transfert radiatif des milieux isotropes, relation /I.22/, permet d’obtenir

1

1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2i s

a b e s f s bL y µ L L y µ L y µ L y µ dµ L y µ

yγ σµ σ σ σ γ σ γ

−

∂ ′ ′= − + + + −∂ ∫ /II.3/



Soit

1

1

( , ) (1 ) (1 ) ( , ) ( , ) ( , )2i s

e b e f s bL y µ L L y µ L y µ dµ L

yy µγ σµ σ ω σ ωγ σ γ

−

∂ ′ ′= − − − + + −∂ ∫ /II.4/

avec es σσω /= /II.5/

En utilisant la relation /II.2/, la relation précédente peut encore se mettre sous la forme

( )* * 1 1* * * * *

1 2* 1 1

( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) (2b

L µ L L µ L µ dµ L µ dµ L µτ ωµ ω τ τ α τ ατ − −

∂ ′ ′ ′ ′= − − + + + −∂ ∫ ∫ , )τ

/II.6/ avec

* *e yτ σ= /II.7/

* (1 )s s fσ σ γ= − /II.8/ * * (1 )e a e e fσ σ σ σ γ ω= + = − /II.9/

)1/()1(* ωγγωω ff −−= /II.10/

1 / 2(1 )b fα γ ω ωγ= − − /II.11/

2 /(1 )b fα γ ω γ ω= − /II.12/ La présence du terme de diffusion arrière pondéré par le facteur 2α rend difficile la résolution de cette équation par certaines méthodes de résolution de l’équation de transfert radiatif telles que la méthode des ordonnées discrètes. Afin de mettre l’équation /II.6/ sous la forme canonique de l’équation de transfert radiatif, il est indispensable d’utiliser la transformation proposée par Inonu (Siewert et Williams, 1977). Le problème devient plus simple lorsque la fonction de phase est approchée par la fonction Delta. Dans ce cas, le terme de rétro- diffusion est négligé, 0=bγ , ce qui n’est valable que si le milieu diffuse uniquement vers l’avant. L’approche classique consiste à faire respecter par la suite la fonction de phase approchée Delta, le moment d’ordre 1

0( ) cos sin / 2g P d

π= Θ Θ Θ Θ∫ /II.13/

Le facteur de pondération vers l’avant est dans ce cas égal au facteur d’asymétrie, g, de la fonction de phase

f gγ = /II.14/ En considérant les simplifications de la fonction approchée Delta, l’équation de transfert radiatif donnée par la relation /II.6/ prend la forme canonique de l’équation de transfert radiatif : c’est le modèle de transport

( )* * 1* * ** 1

( , ) 1 ( , ) ( ,2b

L µ L L µ L µ dµτ ωµ ω τ ττ −

∂ )′ ′= − − +∂ ∫ /II.15/



En introduisant les relations /II.13-14/ dans les relations /II.8-10/, les paramètres réduits associés à ce modèle sont les coefficients d’extinction et l’albedo de diffusion réduits donnés respectivement par

* (1 )s sgσ σ= − /II.16/

ee g σωσ ) 1(* −= /II.17/ ) 1/()1(* gg ωωω −−= /II.18/

Notons enfin que ce modèle suppose les propriétés radiatives du milieu indépendantes de la direction du rayonnement incident. Remarque : Les résultats précédents, relations /II.16-18/, de la simplification de l’anisotropie de diffusion à un milieu équivalent à diffusion isotrope peuvent être déduites par d’autres approches notamment par transformation successive de l’équation du transfert radiatif lorsque la diffusion du milieu est linéaire (McKeller et Box, 1980) ou en utilisant l’approximation P1 quelque soit l’anisotropie de diffusion du milieu. Ces méthodes seront décrites dans les paragraphes suivants dans le cas des milieux anisotropes à diffusion anisotrope.

II.1.2 DIFFUSION ISOTROPE DANS UN MILIEU SEMI – TRANSPARENT ANISOTROPE

Afin de traiter le cas d’un milieu anisotrope nous proposons une nouvelle approche s’appuyant sur celle de McKellar et Box (1980) établie dans le cas d’un milieu isotrope. En considérant un milieu plan absorbant/diffusant, Mckellar et Box (1980) définissent les conditions pour lesquelles deux groupes distincts d’équation de transfert radiatif sont équivalents. Dans leur analyse, les fonctions de phase sont des fonctions développement en série de polynômes de Legendre et les conditions d’existence du groupe de transformations équivalentes lient les moments des fonctions de phase du problème radiatif à diffusion anisotrope et à diffusion anisotrope réduit. De cette approche, la différence du nombre de termes des fonctions de phase expansion en série des polynômes de Legendre du problème anisotrope et du problème anisotrope réduit doit être limitée à un. Ainsi, la réduction du problème radiatif en un problème à diffusion isotrope n’est possible que si le milieu présente une anisotropie de diffusion linéaire (Lee et Buckius, 1982). Il est aussi important de signaler que dans l’étude de Mckellar et Box (1980), le milieu est supposé isotrope et par conséquent les propriétés radiatives sont supposées indépendantes de la direction du rayonnement incident. Nous considérons, dans cette section, que les propriétés radiatives du milieu dépendent de la direction du rayonnement incident. L’équation de transfert radiatif /I.15/ est réécrite sous la forme suivante :

[ ] 4

( , ) 1( ) 1 ( ) ( , , , ) ( , )4e b e s

L y L K L yy π

µ σ ω σ σπ

∂ Ω d′ ′ ′= Ω − Ω + Ω Ω Ω Ω∂ ∫ /II.19/

avec ω , l’albedo de diffusion et la fonction Kernel défini respectivement par K

)(/)()( ΩΩ=Ωes

σσω /II.20/

( , , , ) ( ) ( , ) 4 ( ) ( )e s s eK Pσ σ σ πσ δ′ ′ ′ ′Ω Ω = Ω Ω Θ − Ω Ω − Ω′ /II.21/



Pour un albedo de diffusion *ω et la fonction de phase , l’équation du transfert radiatif s’écrit

*P

* * * * *

4

( , ) 1( ) 1 ( ) ( , , , ) ( , )4e b e s

L y L K L yy π

µ σ ω σ σπ

∂ Ω d′ ′⎡ ⎤= Ω − Ω + Ω Ω Ω Ω⎣ ⎦∂ ∫ ′

′

/II.22/

avec * * * * * *( , , , ) ( ) ( , ) 4 ( ) ( )e s s eK Pσ σ σ πσ δ′ ′ ′ ′Ω Ω = Ω Ω Θ − Ω Ω − Ω /II.23/ Pour transformer un problème radiatif défini par les variables τ ,

eσ ,

sσ ,ω , en un

problème radiatif de propriétés radiatives réduites

P*τ , *

eσ , *

sσ , *ω , *P ; la relation suivante est

utilisée * *( ) ( )e ey yτ σ ατ ασ= Ω = = Ω /II.24/

où )(Ω= αα est le facteur de transformation Soit

*( ) ( )e eσ ασΩ = Ω /II.25/ En substituant l’équation /II.24/ dans la relation /II.19/ et en comparant à la relation /II.22/ on déduit les relations

[*1 ( ) 1 (ω α ω⎡ ⎤− Ω = − Ω⎣ ⎦ ])

)

/II.26/ * * * *( , , , ) ( , , ,e s e sK Kασ σ σ σ′ ′Ω Ω = Ω Ω /II.27/

En considérant les relations /II.21/ et /II.23/, la relation /II.27/ est réécrite sous la forme

* *( ) *( , ) ( ) ( , ) 4 ( )(1 ) ( )s s eP Pσ σ πσ α δ′ ′ ′ ′ ′ ′Ω Ω Θ = Ω Ω Θ + Ω − Ω − Ω /II.28/ Afin de déterminer les paramètres du problème anisotrope réduit *τ , *

eσ , *

sσ , *ω et *P nous

proposons de former un système de 1N + équations obtenues par évaluation des moments d’ordre inférieur ou égal à de la relation /II.28/. L’ordre est le nombre de termes de la fonction réduite

N N*P . Dans le cas de la transformation isotrope, et . Par

application de l’opérateur

1),(* =ΘΩP 1N =

∫ Ωππ 4...

41

sd et ∫ ΩΘππ 4

cos...41

sd , l’évaluation du moment

d’ordre zéro et un donne respectivement

*

4 4

*

4

1 1( ) ( ) ( , )4 4

( )(1 ) ( )

s s s s

e s

d P d

d

π π

π

σ σπ π

σ α δ

′ ′ ′Ω Ω = Ω Ω Θ Ω

′ ′+ Ω − Ω − Ω

∫ ∫

∫ Ω /II.29/

*

4 4

*

4

1 1( ) cos ( ) ( , ) cos4 4

( )(1 ) ( ) cos

s s s s

e s

d P d

d

π π

π

σ σπ π

σ α δ

′ ′ ′Ω Θ Ω = Ω Ω Θ Θ Ω

′ ′+ Ω − Ω − Ω Θ Ω

∫ ∫

∫ /II.30/

où sins sd d dϕΩ = Θ Θ



En utilisant la relation suivante (Wiscombe, 1977)

(1 cos ) 2 ( ) ( ) 2 ( )µδ πδ µ δ ϕ ϕ πδ′ ′− Θ = − − = Ω − Ω′ /II.31/ Les relations /II.29-30/ deviennent

*

4 4

*

4

1 1( ) ( ) ( , )4 4

1 ( )(1 ) (1 cos )2

s s s s

e s

d P d

d

π π

π

σ σπ π

σ α δπ

′ ′ ′Ω Ω = Ω Ω Θ Ω

′+ Ω − − Θ Ω

∫ ∫

∫ /II.32/

*

4 4

*

4

1 1( ) cos ( ) ( , ) cos4 4

1 ( )(1 ) (1 cos ) cos2

s s s s

e s

d P d

d

π π

π

σ σπ π

σ α δπ

′ ′ ′Ω Θ Ω = Ω Ω Θ Θ Ω

′+ Ω − − Θ Θ Ω

∫ ∫

∫/II.33/

La fonction Delta – Dirac vérifie la relation

1

1( cos ) ( , cos ) cos ( , )a dδ

−− Θ Γ Ω Θ Θ =Γ Ω∫ a /II.34/

Dans le cas des milieux anisotropes, le facteur d’asymétrie défini par la relation /II.13/ dépend de la direction du rayonnement incident : c’est le biais de diffusion de la fonction de phase défini par (Heino et co-auteurs, 2003)

P

4

1( ) ( , ) cos4 sg P

ππ′ ′Ω = Ω Θ Θ Ω∫ d /II.35/

Dans le cas d’une diffusion isotrope, l’utilisation de la relation précédente conduit à

( ) 0g ′Ω = /II.36/ Les relations /II.32-3 3/ deviennent

* *

*

( ) ( ) ( )(1 )( ) ( ) ( )(1 ) 0

s s e

s egσ σ σσ σ

′ ′ ′⎧ Ω − Ω = Ω −⎨ ′ ′ ′Ω Ω + Ω − =⎩

αα

′

/II.37/

En substituant /II.37a/ dans /II.37b/, on obtient le coefficient de diffusion réduit

[ ]* ( ) ( ) 1 ( )s s gσ σ′ ′Ω = Ω − Ω /II.38/ En considérant les relations /II.24/ et /II.37b/, on a

* *

( ) ( ) ( )1 1( ) ( )

e s

e e

gσ σασ σ

′ ′Ω − Ω Ω− = − =

′ ′Ω Ω′

/II.39/



En remplaçant ( )sσ ′Ω par ( ) ( )eω σ′Ω Ω , on obtient le coefficient d’extinction réduit :

[ ]*( ) 1 ( ) ( ) (e egσ ω σ′ ′ ′Ω = − Ω Ω Ω )′ /II.40/

Le rapport du coefficient de diffusion réduit, /II.38/, par le coefficient d’extinction réduit, /II.40/, donne l’albedo réduit

[ ]**

*

( ) 1 ( )( )( )( ) 1 ( ) ( )

s

e

gg

ωσωσ ω

′ ′Ω − Ω′Ω′Ω = =′ ′Ω − Ω Ω′

/II.41/

Des relations /II.24/ et /II.40/, on déduit le facteur de transformation

[ ]( ) 1/ 1 ( ) ( )gα ω′ ′Ω = − Ω Ω′ /II.42/

Les relations /II.38/ et /II.40-41/ définissent les propriétés radiatives réduites Directionnelles du transfert radiatif dans les milieux semi – transparents anisotropes à diffusion ISotropes (DIS). Remarque Les propriétés radiatives réduites directionnelles du transfert radiatif dans les milieux anisotropes à diffusion isotrope ont été établies sans aucune hypothèse sur l’anisotropie de diffusion du milieu et/ou sur l’anisotropie du milieu. On note que dans le cas des milieux isotropes, l’utilisation des relations /II.40, II.42-43/ sont identiques aux relations /II.16-18/ obtenues en supposant que l’anisotropie de diffusion du milieu ne présente pas de rétro diffusion.

II.1.3 DIFFUSION ISOTROPE DANS UN MILIEU SEMI - TRANSPARENT ISOTROPE EQUIVALENT A UN MILIEU ANISOTROPE

L'analyse du problème radiatif dans les milieux semi – transparents est considérablement simplifiée lorsque les propriétés radiatives du milieu sont indépendantes de la direction du rayonnement incident. Ainsi, l’hypothèse de milieu isotrope est couramment formulée pour le traitement du transfert radiatif dans les milieux anisotropes constitués de fibres (Tong et Tien, 1980 ; Sacadura, 2006). L’objectif de cette section est de rechercher les propriétés radiatives équivalentes isotropes modélisant le transfert radiatif à diffusion isotrope dans un milieu isotrope équivalent à un milieu anisotrope.



II.1.3.1 PROPRIETES RADIATIVES MOYENNES ARITHMETIQUES L’hypothèse de milieu équivalent de propriétés radiatives moyennes arithmétiques est

utilisée par Brige (2005) pour modéliser les transferts radiatifs dans des milieux anisotropes constitués de fibre de laine de verre. Cet auteur considère que la moyenne doit être effectuée suivant les angles polaires θ d’orientation du rayonnement incident sur le milieu fibreux. Dans cette étude, nous considérons que le milieu anisotrope est équivalent à un milieu isotrope dont les propriétés radiatives sont les moyennes arithmétiques des propriétés radiatives du milieu suivant toutes les directions ( , )µ ϕΩ = du rayonnement incident sur le milieu anisotrope. Ainsi, les coefficients d’absorption, d’extinction et de diffusion moyens sont donnés respectivement par

πσσ

π4/)(

4 ,,,, ∫ ΩΩ=

dseasea /II.43/

et l’albedo moyen s’obtient en prenant le rapport du coefficient de diffusion moyen par le coefficient d’extinction moyen

es/σσ=ω /II.44/

Nous considérons que la fonction de phase du milieu anisotrope définie par la relation /I.37/ peut être approchée par une fonction de phase moyenne arithmétique suivant toutes les directions par la relation

,0

( ) ( )P a Pλ

∞

=

Θ = Θ∑ /II.45/

où les moments moyens sont les moyennes arithmétiques des moments directionnelle

4( ) / 4a a d

ππ= Ω Ω∫ /II.46/

Le facteur d’asymétrie moyen arithmétique g déduit de la relation /II.46/ et du biais de diffusion (/II.35/) s’écrit

[ ]1 1 4

4

/ 3 ( ) / 3 / 4

( ) / 4

g a a d

g dπ

π

π

π

= = Ω Ω

= Ω Ω

∫∫

/II.47/

En considérant les propriétés radiatives moyennes arithmétiques des propriétés radiatives suivant toutes les directions d’incidence, l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes /I.15/ prend la forme de l’équation de transfert radiatif des milieux isotropes /I.22/. Les propriétés radiatives du problème radiatif équivalent à diffusion isotrope sont alors obtenues en suivant la démarche décrite dans le paragraphe (§ II.1.2). Le facteur de transformation déduit de la relation /II. 42/ est

)g1/(1 ω−=α /II.48/



Par conséquent les coefficients d’extinction et de diffusion réduits ainsi que l’albedo réduit Moyennes arithmétiques du problème radiatif à diffusion ISotrope (MIS) dans un milieu isotrope équivalent à un milieu anisotrope sont respectivement

e

*

e)g1( σω−=σ /II.49/

* (1 )s s gσ σ= − /II.50/ )g1/()g1(* ω−−ω=ω /II.51/

II.1.3.2 PROPRIETES RADIATIVES MOYENNES PONDEREES

En supposant les propriétés radiatives d’un milieu plan absorbant/diffusant isotrope, Lee et Buckius (1982) comparent les équations différentielles régissant le transfert radiatif dans les milieux semi transparents isotropes à diffusion isotrope et à diffusion anisotrope obtenues à partir de la méthode des harmoniques sphériques d’ordre un et déduisent les paramètres radiatifs réduits de transformation d’un problème radiatif à diffusion anisotrope quelconque en un problème radiatif à diffusion isotrope. Nous généralisons cette approche au cas des milieux anisotropes. L’équation différentielle modélisant le transfert radiatif dans un milieu plan anisotrope obtenu par la méthode des harmoniques sphériques d’ordre un est donnée par la relation /I.105/

2

, 1 12 3( ) 4 be P s P a a

dLd q g qdy dy

σ σ σ πσ− − =≺ /II.52/

avec

∫=1

0)(

dµµaa σσ /II.53/

∫=1

0

21, )(3

dµµµePe σσ /II.54/

∫=1

0

21 )()(3

dµµµgµg sPs σσ≺ /II.55/

Ainsi, les coefficients d’absorption, d’extinction et de diffusion équivalents sont respectivement

aeq,aσ=σ /II.56/

1P,eeq,eσ=σ /II.57/

eq,aeq,eeq,sσ−σ=σ /II.58/

Le facteur d’asymétrie équivalent défini en considérant les relations /II.55/ et /II.58/ s’écrit

eq,s1Pseq/gg σσ=≺ /II.59/

En remplaçant les relations /II.56-59/ dans la relation /II.52/, on obtient l’équation de transfert radiatif de l’approximation P1 pour un milieu équivalent isotrope

2

, , , ,2 3( ) 4 be eq s eq eq a eq a eq

dLd q g qdy dy

σ σ σ πσ− − = /II.60/



Considérons les variables adimensionnées suivantes

0/q q q′ = /II.61/

,e eq yτ σ= /II.62/

0/b bL L qπ′ = /II.63/ où est le flux incident à la frontière 0q 0=τ .

La relation /II.60/ devient

2

2 3(1 )(1 ) 4(1 ) beq eq eq eq

dLd q g qd d

ω ω ωτ τ

′′′− − − = − /II.64/

où

eq,eeq,seq/σσ=ω /II.65/

En considérant aussi les relations suivantes

/ yτ τ τ′ = /II.66/ ,y e eq yτ σ= /II.67/

La relation /II.64/ s’écrit

22

eq2 3(1 )(1 ) 4(1 ) beq eq y eq y

dLd q g qd d

ω ω τ ω ττ τ

′′′− − − = −

′ ′ /II.68/

En considérant que tout problème radiatif décrit par les mêmes équations adimensionnées et conditions aux limites appartiennent à un même groupe de problèmes, il est nécessaire de rechercher les paramètres permettant de transformer l’équation différentielle /II.68/, régissant le transfert radiatif dans les milieux à diffusion anisotrope, en l’équation différentielle décrivant le transfert radiatif dans les milieux semi – transparents à diffusion isotrope. Les conditions aux limites associées au problème radiatif à diffusion anisotrope sont les conditions de Marshak (Modest, 2003) et sont identiques à celles du problème radiatif à diffusion isotrope. Elles n’interviennent donc pas dans le processus de transformation du problème radiatif à diffusion anisotrope en un problème radiatif à diffusion isotrope. Dans le cas de l’hypothèse de diffusion isotrope, l’équation différentielle régissant le transfert radiatif obtenue par la méthode des harmoniques sphériques d’ordre un peut être déduite de l’équation /II.68/ en considérant un facteur d’asymétrie 0eqg =

22

2 3(1 ) 4(1 ) by y

dLd q qd d

ω τ ω ττ τ

′′′− − = −

′ ′ /II.69/



En comparant, les relations /II.68/ et /II.69/, on déduit les équivalences suivantes de transformation du problème radiatif à diffusion anisotrope en un problème radiatif à diffusion isotrope

(1 )y eq eqi ag yτ ω τ≡ − /II.70/

(1 ) (1 )y eqi ayω τ ω− ≡ − τ /II.71/

où les indices désignent respectivement milieu à diffusion isotrope et anisotrope. ,i a

En considérant la relation /II.67/, les relations précédentes s’écrivent

1, ,(1 )e P eq eq e eqi ay gσ ω σ≡ − y /II.72/

, 1 ,(1 ) (1 )e P eq e eqi ayω σ ω σ− ≡ − y /II.73/

On déduit les paramètres radiatifs réduits, moyennes pondérées du problème radiatif à diffusion ISotrope ( )

P1P1IS

*, 1 (1 )e P eeq eq eqgσ σ ω= − /II.74/

)g1/()g1(eqeqeqeq

*

1Pω−−ω=ω /II.75/

Remarque

Les propriétés radiatives réduites moyennes pondérées sont obtenues sans hypothèse sur l’anisotropie de diffusion du milieu et/ou l’anisotropie du milieu. Notons que dans le cas des milieux isotropes, les propriétés radiatives équivalentes obtenues sont égales aux propriétés radiatives du milieu isotrope et les paramètres réduits du problème radiatif à diffusion isotrope sont identiques à ceux obtenues à partir des relations /II.38, II.40-41/ ou des relations /II.49-51/ et /II.16-18/.

P1

II.2 DIFFUSION ANISOTROPE DANS LES MILIEUX SEMI - TRANSPARENTS

Le traitement du problème radiatif est facilité lorsque la fonction de phase du milieu est approchée par une expression plus simple. Dans le cas où la diffusion est approchée par une fonction isotrope, les paramètres radiatifs réduits du problème doivent être déterminés comme nous venons de l’expliquer dans la section précédente. Cependant l’utilisation de cette hypothèse simplificatrice peut s’avérer insuffisante dans bien des cas notamment lorsque la condition aux limites est de type collimaté (Kim et Lee, 1990b). Il est donc important de pouvoir réduire l’anisotropie de diffusion des milieux isotropes ou anisotropes par des fonctions de diffusion anisotropes moins complexes que la fonction de diffusion obtenue par résolution des équations de Maxwell régissant l’interaction rayonnement – matière mais plus représentatives et mieux adaptées que la fonction de phase isotrope.

Nous présentons ci-dessous, les modèles d’approximation de l’anisotropie de diffusion dans les milieux isotropes. Nous discutons par la suite de la simplification de l’anisotropie de diffusion dans les milieux anisotropes. Hervé Thierry Kamdem Tagne 64 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon


II.2.1 DIFFUSION ANISOTROPE DANS LES MILIEUX ISOTROPES

Différentes représentations de la fonction de phase permettent de simplifier la

complexité du problème radiatif. Ainsi, la fonction de phase a été initialement développée en série d’harmoniques sphériques ou de polynômes de Legendre comme nous l’avons indiqué au chapitre I (Clark et co-auteurs, 1957 ; Chu et Churchill, 1955 ; Mengüc et Viskanta, 1985). Cette représentation permet d’approcher avec une bonne précision n’importe qu’elle fonction de phase mais ne simplifie pas la résolution de l’équation de transfert radiatif (Kim et Lee, 1988).

Afin de simplifier la résolution de l’équation de transfert radiatif tout en approchant au mieux la fonction de phase du milieu, Wiscombe (1977) a suggéré l’utilisation de la fonction Delta-M où M est le degré d’anisotropie d’une fonction de phase moins anisotrope que la fonction de phase du milieu. Dans cette approximation, la fonction de phase est remplacée par la somme d’une fonction Delta et d’une fonction anisotrope de degré inférieur à la fonction phase du milieu. Deux cas limites de cette fonction de phase sont très utilisés dans la littérature : la fonction Delta où 1M = définie dans la section précédente et la fonction Delta - Eddington. La fonction Delta-Eddington, définie par Joseph et co-auteurs (1976), est la somme de la fonction Delta et d’une fonction combinaison linaire des deux premiers polynômes de Legendre. Ce modèle transforme donc un problème à diffusion anisotrope en un problème à diffusion linéaire. Récemment, Bai et Fan (2006), Yuen et co-auteurs (2003, 2007) ont utilisé la fonction de phase Delta-Eddington pour simplifier l’anisotropie de diffusion dans les milieux composés de fibres orientées aléatoirement dans l’espace.

L’approximation Delta-M permet d’approcher les fonctions présentant une diffusion vers l’avant mais ne peut modéliser la diffusion couplée avant et arrière de certaines particules. Pour rendre compte de ce problème de diffusion couplée, Modest et Azad (1980) ont proposé une fonction de phase combinaison d’une fonction Delta-dirac avant, d’une fonction anisotrope et d’une fonction Delta-dirac- arrière. Houston (1980) et Houston et Korpela (1982) ont proposé une fonction Delta- M avec 31 ≤≤ M afin de faciliter la résolution de l’équation de transfert radiatif par la méthode des ordonnées discrètes. Ces auteurs négligent donc la rétrodiffusion qui peut exister pour certaines longueurs d’onde. La difficulté majeure de l’utilisation des fonctions de diffusion approchées Delta-M et de la fonction définie par Modest et Azad (1980) réside dans le calcul des paramètres de pondération de diffusion avant fγ et arrière bγ . Le choix de ces paramètres est pour la plus part du temps arbitraire et très subjectif. Afin de s’affranchir de ces difficultés, la fonction de phase de Henyey-Greenstein (Henyey et Greenstein, 1941 ; Modest, 2003) est très utilisée pour modéliser la diffusion dans les milieux isotropes. Proposée par Henyey et Greenstein (1941), cette fonction ne dépend que du facteur d’asymétrie g

2

2 3/ 20

1( ) (2 1) (cos )(1 2 cos )HG

gP gg g

∞

=

−Θ = = + Θ

+ − Θ ∑ P /II.76/

Uny (1986), Sacadura et co-auteurs (1986) utilisent cette fonction de diffusion de Henyey-Greenstein pour résoudre le problème inverse d’identification des propriétés radiatives des milieux fibreux supposés isotropes. Van de Hulst (Joseph et co-auteurs, 1976) ont montré que pour le calcul du flux radiatif, la fonction de Henyey - Greenstein permet de modéliser avec une bonne précision les transferts radiatifs dans les milieux isotropes. Cette fonction permet Hervé Thierry Kamdem Tagne 65 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon


d’approcher d’une part les fonctions ayant une forte diffusion vers l’avant lorsque 10 ≤≤ g , et les fonctions présentant une forte diffusion vers l’arrière lorsque 01 ≤≤− g . Cependant, elle ne permet pas de représenter la diffusion d’un milieu dont la fonction de phase présente à la fois un pic de diffusion vers l’avant et un pic de rétro - diffusion. Pour rendre compte du problème de diffusion vers l’avant et de rétro- diffusion dans les milieux isotropes, la double fonction de Henyey Greenstein est aussi utilisée dans la littérature (Mishchenko et co-auteurs, 1999, Hespel et co-auteurs, 1999, 2003)

1 2( ) ( , 0) (1 ) ( , 0)dHG f HG f HGP P g P gγ γΘ = Θ > + − Θ < /II.77/

où [ ]0, ,1fγ ∈ représente la fraction d’énergie diffusée vers l’avant

Dans le cas d’un milieu constitué de bulles de verre, Randrinalisoa et co-auteurs (2006) ont proposé une nouvelle fonction de phase basée sur une combinaison de fonctions doubles Henyey-Greenstein restreinte chacune dans un demi espace

)()()( ]0,,1[,cos]1,,0[,cos Θ+Θ=Θ −ΘΘd

HGbd

HG PPP γδδ /II.78/ avec

⎩⎨⎧ ∈Θ

=Θ ailleurs ,0],[os si ,1

],[,cos

bacbaδ ,

le terme de pondération vers l’arrière 03,0=bγ et le facteur d’asymétrie des deux fonctions de Henyey-Greenstein positif : ]1,,0[, 21 ∈gg .

Afin de mieux modéliser la diffusion vers l’avant, la rétrodiffusion et l’anisotropie de diffusion des milieux fibreux supposés isotropes, Nicolau et co-auteurs (1994 a&b) ont proposé une fonction de phase comportant deux fonctions de Henyey-Greenstein et une isotrope.

1 2( ) ( , 0) (1 ) ( , 0) 1i f HG f HGP P g P g iγ γ γ⎡ ⎤Θ = Θ > + − Θ < + −⎣ ⎦ γ /II.79/ où

[ ], 0, ,f iγ γ ∈ 1

Ces auteurs proposent de déterminer les paramètres 1 2, , ,f i g gγ γ à partir d’une méthode d’identification des paramètres. La fonction de diffusion définie par la relation /II.79/ a été utilisée par plusieurs auteurs sous différentes variantes et combinaisons avec d’autres fonctions dans le but de déterminer les propriétés radiatives des milieux fibreux supposés isotropes (Moura, 1998 ; Milandri, 2000). Milandri et co-auteurs (2000, 2002) combinent à la fonction combinaison définie par Nicolau et co-auteurs (1994), une fonction modélisant un pic de diffusion vers l’avant, décrite par la fonction de Lorentz.



II. 2.2 DIFFUSION ANISOTROPE DANS LES MILIEUX ANISOTROPES

Très peu de travaux ont été effectués sur la simplification de l’anisotropie de diffusion dans les milieux anisotropes tels que les milieux fibreux. Aussi la question suivante se pose : les modèles utilisés pour simplifier l’anisotropie de diffusion dans les milieux isotropes peuvent ils être étendus aux milieux anisotropes ?

II. 2.2.1 DIFFUSION ANISOTROPE DIRECTIONNELLE

Dans le cas des milieux fibreux anisotropes, Heino et co-auteurs (2003/2004) ont proposé une fonction expansion en série d’harmoniques sphériques centrée sur le biais de diffusion du rayonnement dans la direction perpendiculaire à l’axe de la fibre. Cette fonction ne prend donc pas en compte les propriétés directionnelles de la fonction de phase des milieux anisotropes. Afin d’avoir une fonction de phase des milieux anisotropes dépendant à la fois de la direction du rayonnement incident et de l’angle entre le rayonnement incident et le rayonnement diffusé, la fonction développement en série directionnelle , /I.36-38/, peut être utilisée. L’utilisation de cette fonction présente un grand inconvénient : la difficulté de pouvoir calculer l’ensemble moments directionnels de la fonction de phase. Afin de simplifier le problème radiatif anisotrope traité tout en gardant le caractère anisotrope de la fonction de phase, nous considérons que l’anisotropie de diffusion dans les milieux anisotropes est donnée par la fonction de Henyey-Greenstein (Henyey et Greenstein, 1941) avec un facteur d’asymétrie égal au biais de diffusion dans chaque direction : c’est la fonction Directionnelle Henyey-Greenstein (DHG)

( )2

, 3/ 22

1 ( ), ,1 ( ) 2 ( ) cos

DHGgP g

g gλ

− ΩΩ Θ =

⎡ ⎤+ Ω − Ω Θ⎣ ⎦ /II.80/

avec le biais de diffusion 1)(1 ≤Ω≤− g

II. 2.2 .2 DIFFUSION ANISOTROPE DANS UN MILIEU ISOTROPE EQUIVALENT

La fonction de phase définie par la relation /II.80/ comporte un grand nombre de paramètres à déterminer lorsque le milieu est anisotrope. Une autre approche de simplification serait de rechercher un problème radiatif équivalent à un milieu isotrope.

II. 2.2 .2.1 PROPRIETES MOYENNES ARITHMETIQQUES Comme dans le paragraphe II.1.3.1, nous supposons que le milieu anisotrope est

équivalent à un milieu isotrope de propriétés radiatives définies par les relations /II.43-44/ et de fonction de phase définie par la relation /II.45/. La fonction de phase /II.45/ nécessite le calcul d’un grand nombre de moments moyens a . Afin de simplifier le problème, nous



supposons que cette fonction de phase peut être approchée par la fonction de phase de Henyey-Greenstein avec un facteur d’asymétrie moyen donné par la relation /II.47/ : on définit donc le problème radiatif dans un milieu équivalent isotrope à diffusion donnée par la fonction de Henyey-Greenstein et de propriétés radiatives moyennes arithmétiques sur toutes les directions du rayonnement incident.

II. 2.2 .2.2 PROPRIETES MOYENNES PONDEREES Nous supposons que le problème de transfert radiatif dans un milieu isotrope

équivalent au problème de transfert radiatif dans un milieu anisotrope présente une diffusion donnée par la fonction de Henyey et Greenstein /II.76/. En comparant l’équation différentielle obtenue à partir de l’approximation P1 modélisant le transfert radiatif dans un milieu isotrope et l’équation différentielle /II.68/ obtenue elle aussi à partir de l’approximation et modélisant le transfert radiatif dans les milieux anisotropes, on déduit les équivalences suivantes de transformation du problème radiatif dans un milieu anisotrope à diffusion anisotrope en un problème radiatif équivalent dans un milieu isotrope à diffusion de Henyey-Greenstein

P1

,(1 ) (1 )e eq eq e emi mag y g yω σ ω σ− ≡ − q /II.81/

,(1 ) (1 )e eq e emi may yω σ ω σ− ≡ − q /II.82/

où

,mi ma désignent respectivement, milieu isotrope et milieu anisotrope. On déduit par conséquent les paramètres moyens pondérés P1

, ,e mi e eqσ σ= /II.83/

mi eqω ω= /II.84/

mi eqg g= /II.85/

Les paramètres équivalents , , ,e eq eq eqgσ ω obtenus à partir de la méthode P1 sont donnés respectivement par les relations /II.54/, /II.65/, /II.59/.



CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons abordé le problème de la simplification du transfert radiatif dans les milieux semi – transparents. La réduction du problème de transfert radiatif dans les milieux anisotropes à diffusion anisotrope peut se faire de deux manières distinctes : (1) en approchant la diffusion du milieu par une diffusion plus simple, ou (2) en recherchant les paramètres radiatifs d’un milieu équivalent isotrope à diffusion plus simple. Nous avons distingué deux cas d’approximations de l’anisotropie de diffusion : l’approximation de diffusion isotrope et l’approximation de diffusion de Henyey-Greenstein.

Dans le cas de l’approximation de diffusion isotrope, trois approches se dégagent :

o L’approche directionnelle où les propriétés radiatives intrinsèques du milieu

anisotrope restent directionnelles, o L’approche moyenne arithmétique où les propriétés radiatives du milieu isotrope

équivalent sont des moyennes arithmétiques des propriétés radiatives suivant toutes les directions,

o L’approche moyenne pondérée déduite de la méthode P1 de résolution de

l’équation de transfert radiatif.

Dans le cas de l’approximation de diffusion anisotrope nous avons discuté deux modèles :

o Le premier modèle consiste à considérer une fonction de phase de Henyey-

Greenstein directionnel, o Le second modèle consiste à définir un problème de transfert radiatif équivalent à

un milieu isotrope à diffusion de Henyey-Greenstein.



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Chapitre III Transfert de chaleur couplé conduction rayonnement dans les milieux semi transparents

___________________________________________________________________________


CHAPITRE III

TRANSFERT DE CHALEUR COUPLE CONDUCTION RAYONNEMENT DANS LES MILIEUX SEMI- TRANSPARENTS

La majeure partie des travaux de transfert couplé conduction/rayonnement concerne les milieux isotropes diffusant ou non diffusant (Amlin et Viskanta , 1979 ; Kunc et co-auteurs, 1991). Afin de simplifier la résolution du problème couplé conduction-rayonnement, le milieu semi-transparent est considéré comme non diffusant (Weston et Hauth, 1973), à diffusion linéaire (Bai et co-auteurs, 2006; Yuen et co-auteurs, 2007) ou à diffusion isotrope (Spinnler et co-auteurs, 2003). Dans le cas ou la fonction de diffusion du milieu est approchée par une fonction linéaire ou isotrope, les propriétés équivalentes réduites doivent être utilisées. Lee et Buckius (1986) montrent que pour les transferts couplés conduction/rayonnement dans les milieux isotropes, l’utilisation de l’hypothèse de diffusion isotrope avec des corrections appliquées aux propriétés radiatives donne un bon accord avec la solution exacte du problème.

Une autre approche simplificatrice pour résoudre le problème de transfert couplé

conduction rayonnement dans les milieux semi transparents isotropes consiste à approcher le transfert radiatif par un modèle de diffusion. Dans ce modèle, la conductivité radiative du milieu est décrite par des relations simples telles que la conductivité radiative de Rosseland (Goyhénèche, 1997 ; Brige, 2005). Le transfert de chaleur couplé est, dans ce cas, remplacé par un problème de transfert de chaleur par conduction ayant une conductivité thermique équivalente. Cette approche donne généralement de bons résultats lorsque le milieu est optiquement épais.

L’étude du transfert de chaleur couplé conduction/rayonnement dans les milieux

anisotropes a été abordé au cours des deux dernières décennies par quelques auteurs. On peut citer notamment Boulet et co-auteurs (1992, 1993), Lee et Cunnington (2000), Milandri et co-auteurs (2000, 2002), Asllanaj et co-auteurs (2001, a&b), Brige (2005). Pour ces milieux, la résolution du problème couplé est plus complexe du fait de la dépendance des propriétés radiatives du milieu en fonction de la direction du rayonnement.

Dans ce chapitre, nous décrivons le mécanisme de transfert couplé

conduction/rayonnement dans les milieux semi – transparents. Les méthodes décrites dans les chapitres précédents seront utilisées pour la modélisation de l’équation du transfert radiatif. L’équation du transfert couplé conduction rayonnement sera résolue numériquement par la méthode des volumes de contrôle.



___________________________________________________________________________


III.1 TRANSFERT DE CHALEUR PAR CONDUCTION ET RAYONNEMENT

Le problème physique traité est celui d’une tranche plane d’un échantillon semi – transparent absorbant/ diffusant d’épaisseur soumis à des températures et aux faces. y 0T lyT

Face froide

Face chaude

y

y

yT

0T

Figure III- 1 : Transfert couplé conduction/rayonnement dans une tranche plane semi -transparente

Le transfert de chaleur par rayonnement et conduction dans la tranche plane est monodimensionnel. Nous supposons aussi que la symétrie azimutale prévaut dans tout le domaine de l’étude. L’équation de transfert couplé conduction/rayonnement dans les milieux semi – transparents, avec source de chaleur interne Φ est donnée par la relation (Siegel et Howell, 1993)

p cTC q qt

ρ ∂= −∇ ⋅ − ∇ ⋅ + Φ

∂ r

T

/III.1/

où rq le flux radiatif donné par la relation /I.10/

cq le flux conductif donné par la loi de Fourier (Ozisik, 1993)

c cq k= − ∇ /III.2/

Pour un transfert monodimensionnel et en remplaçant la variation du flux radiatif par la relation /I.9/, l’équation précédente s’écrit

, ,0 24 ( ) ( ) ( , )p c a b a

T TC k L T L y d dt y y λ λ π

ρ π σ σ∞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤= − − Ω Ω Ω⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ λ + Φ /III.3/



___________________________________________________________________________


En présence de la symétrie azimutale et dans le cas du régime permanent, la relation précédente sans le terme de source de chaleur interne devient

1

, , ,0 14 ( ) 2 ( ) ( , )c a b a

Tk L T µ L yy y λ λ λ λ µ dµ dπσ π σ

∞

−

⎛ ⎞∂ ∂ ⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ λ /III.4/

Dans le cas d’un milieu gris, les propriétés radiatives sont indépendantes de la longueur d’onde et l’équation précédente devient

1

14 ( ) 2 ( ) ( , )c a b a

Tk L T µ L yy y

πσ π σ−

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ µ dµ /III.5/

Les conditions aux limites thermiques sont données par les relations suivantes

0( ) en 0( ) en y

T y T yT y T y y

= =⎧⎨ = =⎩

/III.6/

Considérons les variables réduites suivantes

0

TTT

= la température réduite

2 40

LLn Tσ

= la luminance réduite

cc

c

kkk

= la conductivité thermique réduite

ck est la conductivité thermique de référence calculée à la température moyenne

du milieu 0( ) / 2yT= +T T , yyy

= la coordonnée réduite du milieu

La relation /III.5/ devient

21

, ,0 1_

(1 )( ) ( ) ( , )

2y

c b aC R

Tk L T µ Ly y N

λλ λ λ

ω τ π y µ dµ dπ σ λ∞

−

−⎛ ⎞∂ ∂ ⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫ ∫ /III.7/

où , ,( ) ( ) /a aµ µ ,aλ λ λσ σ σ= /III.8/

, ,/s eλ λω σ σ= /III.9/ l’épaisseur optique du milieu y e yτ σ= /III.10/

_C RN le nombre de Planck ou le paramètre de couplage conduction/rayonnement est un

nombre sans dimension défini par ,

_ 2 304

c eC R

kN

n Tλσ

σ= /III.11/



___________________________________________________________________________


Dans le cas d’un milieu gris, l’équation /III.9/ s’écrit

1

1_

(1 ) ( ) ( ) ( , )2c b a

C R

Tk L T µ LN

ω ππ σ ττ τ −

⎛ ⎞∂ ∂ − ⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫ µ dµ /III.12/

où y yτ τ= /III.13/

Les conditions aux limites thermiques réduites sont

0

( ) 1 en 0

( ) en 1y

T y yT

T y yT

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩

/III.14/

Le flux d’énergie total exprimé en fonction des variables s’écrit

2 40

tt c

q jq j q j q jn Tσ

⋅⋅ = = ⋅ + ⋅r /III.15/

avec le flux conductif réduit

4c C cTq j N ky

∂⋅ = −

∂ /III.16/

avec 2 304

cC

kNn T yσ

=

le flux radiatif total réduit

1

0 12 ( , )rq L y µ dµdπ λ

∞

−= ∫ ∫ /III.17/

III.2 CONDUCTIVITE THERMIQUE EQUIVALENTE DES MILIEUX ISOLANTS La conductivité thermique équivalente caractérise le transfert thermique à l’intérieur des milieux semi – transparents. Sa valeur dépend donc de l’importance de chacun des modes de transfert thermique dans le matériau : conduction, rayonnement. En supposant que l’ensemble du transfert de chaleur dans les milieux semi – transparents peut être décrit par un problème conductif équivalent, la conductivité thermique équivalente en régime permanent est liée au flux thermique total par une relation semblable à la loi de Fourier

tk

t tTq j ky

∂⋅ = −

∂ /III.18/

avec t ck k k= + r /III.19/

où la conductivité thermique radiative rk



___________________________________________________________________________


m

III.2.1 CONDUCTIVITE THERMIQUE PHONIQUE

La conductivité thermique des milieux poreux semi - transparents dépend de la conductivité des phases fluide et solide, de la proportion et de la répartition de chaque phase. Dans le cas d’un milieu de fibres de verre réparties aléatoirement dans l’espace, Houston (1980), Houston et Korpela (1982) évaluent la conductivité thermique phonique par la relation

3 5 5( ) 4,98.10 7.10 8,55.10g

ck T T ρ− − −= + + /III.20/ où mρ est la masse volumique du milieu fibreux

Dans la relation précédente, la conductivité de l’air est donnée par une relation linéaire et représentée par les deux premiers termes, le troisième terme étant la conductivité de la phase solide. Banner et co – auteurs (Banner et co – auteurs, 1989; Boulet, 1992) proposent la formulation suivante pour la conductivité thermique dans les milieux fibreux de verre :

3 0,81 0,91 210 0,2572 0,0527 (1 0,13.10 )c mk T ρ −× = + + T /III.21/

Différents modèles de la conductivité thermique phonique des milieux fibreux sont utilisés dans la littérature. Certains de ces modèles sont des corrélations en parallèle ou série – parallèle des conductivités des phase solide et gazeuse du milieu semi – transparent (Daryabeigi, 1999, 2003 ; Lee et Cunnington, 2000) ; des modèles permettent de prendre en compte l’orientation des fibres dans le milieu (Bhattacharyya, 1980). Dans le cadre de ce travail appliqué aux fibres de verre, nous utiliserons la conductivité thermique phonique donnée la relation /III.21/.

III.2.2 CONDUCTIVITE THERMIQUE RADIATIVE Lorsque le transfert radiatif dans les milieux semi – transparents est approché par un

modèle de diffusion, le flux radiatif à travers le milieu peut être décrit par une loi semblable à la loi de Fourier caractérisant le transfert de chaleur par conduction

r rTq j ky

∂⋅ = −

∂ /III.22/

La conductivité radiative est généralement approximée par la loi de Rosseland (/I.47-48/) ou par le modèle de Deissler (Goyhénèche, 1997 ; Brige, 2005)

rk

2 3

1 2

41 1 1 3 (1 ) / 4

Br

e

n T ykg y

σ

σ ωε ε

=+ − + −

/III.23/

Dans le cas d’une tranche plane bordée de frontières noires, la relation précédente devient

2 341 3 (1 ) / 4

Br

e

n T ykg y

σσ ω

=+ −

/III.24/



___________________________________________________________________________


Les relations /III.23-24/ ont été écrites dans le cas de milieux isotropes. Afin de tenir compte la nature anisotrope des milieux semi – transparents, notamment des milieux fibreux nous proposons que les propriétés radiatives intervenant dans ces relations soient des moyennes suivant toutes les directions du rayonnement tels que les moyennes arithmétiques ou les moyennes pondérés P1 définies au chapitre II.

III.3 RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME COUPLE CONDUCTION RAYONNEMENT

La résolution de l’équation de transfert radiatif par la méthode des ordonnées discrètes associée à la méthode des volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale du domaine de calcul (cf. chapitre I) permet la détermination de la luminance, du flux radiatif et de la divergence du flux radiatif. Pour la résolution de l’équation couplé conduction/rayonnement, nous adoptons aussi la méthode des volumes de contrôle. On subdivise le domaine de calcul en un certain nombre de volumes de contrôle. Le maillage utilisé pour résoudre le problème couplé conduction/rayonnement coïncide avec le maillage utilisé pour résoudre le problème de transfert radiatif. L’équation différentielle /III.7/ est intégrée sur chaque élément de volume de contrôle

c cw e

T Tk ky y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

pyS∆ /III.25/

avec le terme source définit par pS

21

, ,0 1_

(1 )( ) ( ) ( , )

2y

p b p aC R

S L T µ L yN

λλ λ λ

ω τ π µ dµ dπ σ∞

−

− ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ λ /III.26/

En exprimant les dérivées sous la forme discrète, on obtient

, ,P W E P

c w c e pw e

T T T Tk kdy dy− −

− = yS∆ /III.27/

où , ,P E WT T T sont respectivement les températures aux nœuds , ,P E W

les conductivités du milieu aux interfaces sont définies respectivement par (Patankar, 1980 ; Doermann, 1995)

, ,c w c ek k ,

1

1,

1( ) ( )

e ec e

c P c E

f fkk T k T

−

− ⎛ ⎞−= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ /III.28/

avec e

ee

dyf

dy+

= , les distances sont définies sur la figure III.2 ci-dessous , eedy dy+



___________________________________________________________________________


e

w

yy∆

W P Eew

edywdy+e

dy−edy+w

dy−wdy

Figure III- 2 : Distances associées aux interfaces d’un volume de contrôle

,c wk est calculé de la même façon où e et w désignent les notations des frontières des faces fictives est et ouest respectivement, E, P, et W sont les nœuds des volumes de contrôles, y∆ est la dimension d’un élément de volume

La relation /III.27/ est écrite sous la forme

p P e E w W Pa T a T b T S y= + + ∆ /III.29/ avec

, /e c ea k dy= /III.30/

, /w c wa k dy= /III.31/

P e wa a a= + /III.32/ le terme intégral de la relation /III.25/ est remplacé par une somme de quadratures conformément à la méthode des ordonnées discrètes et le domaine spectral est subdivisé en bandes d’amplitudes nb iλ∆ . Le terme source de la relation /III.30/ s’écrit

2

, ,1 1_

(1 )( ) ( ) ( , )

2i

i i i

nb Ndy

p b P a ji jC R

S L T µ LN

λλ λ λ

ω τ ππ σ∆∆ ∆ ∆

= =

− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑ jy µ /III.33/

où , , , ,

i ia aL L

λ λ idω σ ω σ∆ ∆

= ∫ λ

, )jy µ

/III.34/

Le flux radiatif total s’écrit alors

1 12 (

i

nb Nd

r j ji j

q µ w L λπ ∆= =

= ∑∑ /III.35/



___________________________________________________________________________


La méthode de résolution numérique de l’équation du transfert de chaleur couplé conduction/rayonnement dans les milieux semitransparent suit les étapes suivantes

1- Initialisation d’un champ de température et de luminance 2- Résolution de l’équation de transfert radiatif 3- Calcul de la luminance, du flux radiatif, de la divergence du flux radiatif et du terme source (relation /III.33/) 4- Résolution de l’équation de transfert de chaleur par la méthode de résolution des systèmes tri diagonaux T.D.M.A 5- calcul du critère de convergence 1 1/it it it

p p pT T T+ +− 6- les points 2 à 5 sont repris jusqu'à ce que le critère de convergence soit inférieur ou égal à 10-6%

CONCLUSION La modélisation du transfert de chaleur par conduction et rayonnement dans les milieux semi – transparents tels que les milieux fibreux a été décrite dans ce chapitre. Nous utilisons la méthode des volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale de l’équation du transfert couplé conduction rayonnement dans une tranche plane en régime permanent. Le système d’équations obtenues après discrétisation est résolu par la méthode T.D.M.A (Tri- Diagonal Matrix algorithm).



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SPINNLER M, WINTER ERF, VISKANTA R, SATTELMAYER T., 2003, Theoretical studies of high temperature multilayer thermal insulation using radiation scaling. ECTP 2003; 173-183.

WESTON, K.C., HAUTH, J.L., 1973, Unsteady, combined radiation and conduction in an absorbing, scattering and emitting medium, Journal of Heat Transfer, pp. 357-364.



Chapitre IV Applications ___________________________________________________________________________

CHAPITRE IV

PROPRIETES RADIATIVES DES MILIEUX FIBREUX

Dans les chapitres précédents, nous avons vu que la modélisation du transfert radiatif dans les milieux poreux semi transparents nécessite la connaissance des propriétés radiatives du milieu : coefficients d’absorption, d’extinction, et de diffusion, fonction de phase, facteur d’asymétrie et moments de la fonction de phase. Ces propriétés radiatives peuvent être obtenues par deux approches : l’approche microscopique basée sur la résolution des équations de Maxwell et l’approche macroscopique basée sur la minimisation des écarts quadratiques entre des valeurs théoriques et expérimentales de transmittance et réflectance (Baillis et Sacadura, 2000).

L’approche macroscopique ne nécessite pas la connaissance au préalable des propriétés géométriques ou thermophysiques intrinsèque du matériau. Elle présente cependant un inconvénient principal : la difficulté à identifier simultanément plusieurs paramètres. L’approche microscopique est utile pour optimiser les propriétés radiatives des matériaux et mieux comprendre l’interaction rayonnement particules. Cependant cette approche présente de nombreux inconvénients : les propriétés thermophysiques telles que la porosité, l'indice complexe de réfraction, la géométrie et les dimensions des particules, etc... doivent être connues ou déterminées au préalable.

La théorie électromagnétique d’interaction rayonnement - matière est décrite par les équations de Maxwell. Cette théorie est généralement applicable pour les particules de géométrie régulière : sphérique, cylindrique, etc… Dans le cas des milieux denses et donc de faible porosité, l’interaction du rayonnement par une fibre est influencée par les fibres environnantes et la diffusion est dite dépendante (Kumar et White, 1995 ; Yamada, et co-auteurs, 1986). Pour un milieu très poreux, comme c’est le cas des milieux fibreux, la diffusion par les particules peut être considérée comme indépendante.

La détermination des propriétés radiatives des isolants fibreux a été entreprise par plusieurs chercheurs au cours de ces dernières décennies. Les propriétés calculées sont les coefficients d’absorption, d’extinction et de diffusion ; et la fonction de phase. Tong et Tien (1980) ont proposé de calculer les propriétés radiatives des milieux fibreux en considérant la moyenne sur tous les angles d’incidence des propriétés radiatives d’une fibre. Un modèle plus rigoureux du calcul des propriétés radiatives a été présenté par Houston (1980), Houston et Korpela (1982). Ces auteurs supposent les fibres orientées aléatoirement dans l’espace et les propriétés radiatives obtenues sont par conséquent isotropes. Lee (1986,1990) présente une théorie plus générale du calcul des propriétés radiatives des milieux fibreux qui tient compte de l’orientation des particules dans le milieu. La formulation des auteurs précédents ne donnent aucune précision sur le mode de calcul de la distribution du rayon des particules et/ou la distribution d’orientation des fibres dans le milieu. Par contre, les travaux de Yamada et co-auteurs (1992, 2000) décrivent le principe de calcul des propriétés radiatives fonction des distributions du rayon et d’orientation des fibres dans le milieu.

D’autres propriétés radiatives telles que le facteur de rétrodiffusion intervenant dans la méthode à deux flux et le facteur d’asymétrie ont aussi fait l’objet de nombreux travaux. Tong et Tien (1980) et Wang et Tien (1983) présentent une formulation de calcul des coefficients d’absorption, d’extinction et de diffusion ; du facteur de rétro - diffusion moyenne arithmétique suivant tous les angles d’incidence des propriétés radiatives d’une fibre. Ces auteurs considèrent les fibres orientées aléatoirement dans l’espace. Un modèle plus



général du calcul du facteur de rétro – diffusion tenant compte de l’orientation des fibres dans le milieu a été présenté par Lee (Lee, 1988, 1989; Boulet, 1992 ; Jeandel et co-auteurs, 1993). Marshall et Milos (1997) ont utilisé le modèle proposé par Lee (1986) pour déterminer le facteur d’asymétrie d’un milieu de fibres orientées aléatoirement dans l’espace. Mathes et co-auteurs (1990) ont proposé un modèle de calcul du facteur d’asymétrie, moyenne arithmétique sur tous les angles d’incidence de l’intensité de diffusion par une fibre. En se basant sur la théorie de diffusion du rayonnement par une fibre, Dombrovsky (1994) a proposé une expression analytique de calcul du facteur d’asymétrie d’une fibre. Le calcul des moments de la fonction de la phase des milieux fibreux est rare et quasi inexistant dans la littérature.

Dans ce chapitre, nous présentons la théorie de diffusion du rayonnement par une fibre isolée. Nous utiliserons la formulation de Lee (1986) pour la modélisation des coefficients d’absorption, d’extinction, et de diffusion, et la fonction de phase de phase des milieux fibreux. Enfin nous établirons un modèle de prédiction du biais de diffusion et des moments de la fonction de phase des milieux anisotropes. Nous supposerons que les fibres ont un diamètre de l’ordre de 15µm et quelques centimètres de long. Les fibres sont considérées comme infiniment longues : leurs longueurs étant largement supérieures à la longueur d’onde du rayonnement incident qu’elles diffusent. La théorie électromagnétique de diffusion du rayonnement par les cylindres infiniment long est donc applicable. Les sources de chaleur thermique étant non polarisées, nous supposerons non polarisé le rayonnement incident au niveau de chaque fibre. Nous tiendrons aussi compte de l’orientation des fibres et de la distribution du rayon des fibres dans le milieu.

IV.1 THEORIE ELECTROMAGNETIQUE D’INTERACTION RAYONNEMENT/PARTICULE

IV.1.1 PROPRIETES RADIATIVES D’UNE FIBRE ISOLEE La résolution du problème de diffusion du rayonnement électromagnétique par des fibres cylindriques homogènes infiniment longues et sous incidence perpendiculaire a été étudiée pour la première fois par Lord Rayleigh en 1881 bien avant la théorie de diffusion par les particules sphériques de Mie en 1908 (Bohren et Huffman, 1983; Van de Hulst, 1981). Cette théorie a été étendue en 1955 au cas d’incidence oblique par Wait (Lind et Geenberg, 1966 ; Kerker, 1969). Les contours de la programmation numérique sont présentés dans les travaux de Lind et Greenberg (1966), Liou,(1972), Swathi et Tong (1988) ou Youssif et Boutros (1992). La figure IV.1 présente la répartition du phénomène de diffusion du rayonnement par une fibre cylindrique infiniment longue sous incidence oblique. La fibre de rayon r et d’indice complexe de réfraction est placée dans le vide. Pour un rayonnement incident de longueur d’onde

mλ et de direction définie par l’angle φ le rayonnement diffusé par la fibre

décrit un cône de demi - angle au sommet / 2π φ− et d’angle azimutal θ après diffusion par la fibre. Le calcul des sections transversales d’absorption et de diffusion s’obtient en prenant la demi - somme des sections des deux modes de polarisation du rayonnement incident : la polarisation transverse et perpendiculaire du champ magnétique du rayonnement. Hervé Thierry Kamdem Tagne 84 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon


Fibre φ

ηΘ

incidentt Rayonnemen

diffusét Rayonnemen

Figure IV- 1: Diffusion du rayonnement par une fibre

Le calcul des coefficients d’efficacité d’extinction, de diffusion ; et de la distribution angulaire du rayonnement diffusé par une fibre à partir de cette théorie donne les résultats suivants : - Le coefficient d’efficacité d’extinction

( ), 0 01

1( , ) Re 2H E E H E He n

nQ m a b a a b bλ α φ

α

∞

=

⎡= + + + + +⎢

⎣ ⎦∑ n n n

⎤⎥ /IV.1/

où 2 /rα π= λ est le paramètre de taille, λ la longueur d’onde du rayon incident

m l’indice complexe de réfraction, définit le mode transverse du champ magnétique, définit le mode perpendiculaire du champ magnétique,

HE

Les termes a a sont donnés par la théorie de diffusion du rayonnement par une fibre : annexe II (Lind et Greenberg, 1966 ; Kerker, 1969).

, , ,E H E Hn n n nb b

- Le coefficient d’efficacité de diffusion

( )2 2 2 2 2 2

, 0 01

1( , ) 2H E E H E Hs n n

nQ m a b a a b bλ α φ

α

∞

=

⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ n n

)

/IV.2/

Les sections transversales d’extinction et de diffusion s’obtiennent respectivement en utilisant la relation

, , , ,( , ) 2 ( ,e s e sC m rQ mλ λα φ α= φ /IV.3/

Soit et iq sq respectivement le flux d’énergie incident et diffusé par unité de temps et de longueur du cylindre et suivant la direction azimutale η , alors on a :

2 ( , )s iq i qλ φ ηπ

= /IV.4/

avec Hervé Thierry Kamdem Tagne 85 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon


( , )i φ η donnée par la relation

2 2

01 1

2

01 1

1( , ) 2 cos( ) 2 sin( )2

1 2 sin( ) 2 cos( )2

E E E

H E Hn

i b b a

b a a

φ η η η

η η

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑

∑ ∑2

/IV.5/

L’énergie totale par unité de temps diffusée par une fibre de longueur se définit comme étant le produit de la longueur d’une fibre par l’intégrale sur l’angle η de la densité du flux d’énergie diffusée par unité de temps

2

20

( , )s iq q i dπλ φ η η

π= ∫ /IV.6/

Par définition, l’énergie totale par unité de temps diffusée par une fibre de longueur s’écrit (Boulet, 1992)

, ( , )s s iq C mλ qα φ= /IV.7/ En substituant la relation /IV.6/ dans la relation précédente, on a

2

, 20

( , ) ( , )sC m i dπ

λλα φ φ η

π= ∫ η /IV.8/

La fonction de distribution ( , )i φ η étant symétrique par rapport à η , il vient

, 20

2( , ) ( , )sC m i dπ

λλα φ φ η

π= ∫ η /IV.9/

IV.1.2 DISTRIBUTION DES FIBRES DANS UN MILIEU ISOLANT Les particules d’un milieu semitransparent peuvent avoir des diamètres variables et

présenter différentes orientations dans un repère orthonormé : on parle dans le premier cas de distribution radiale des particules et dans le second cas de distribution spatiale des particules.

IV.1.2.1 DISTRIBUTION DU RAYON DES FIBRES

Les fibres formant le milieu isolant peuvent avoir de rayons variables. On définit la fonction de distribution du rayon des fibres N(r) comme étant le nombre de fibres par unité de volume ayant un rayon compris entre r et drr + (Hansen et Travis, 1974). La fonction de distribution des fibres est liée à la masse volumique des fibres par la relation (Houston, 1980):



2

0 ( )m f r N r drρ π ρ

∞= ∫ /IV.10/

où est la longueur moyenne des fibres, fρ et mρ représentent la densité de la fibre et celle du milieu respectivement, le rapport /v mf fρ ρ= est la fraction volumique des fibres dans le milieu, et la porosité déduite de la relation

1p vfε = − /IV.11/ Pour faciliter la programmation, il est utile de se donner une fonction de distribution analytique. Dans le cas d’une distribution uniforme du rayon des fibres, qui sera employée pour nos calculs, la fonction de distribution s’écrit :

2/ vN f rπ= /IV.12/

IV.1.2.2 DISTRIBUTION SPATIALE DES FIBRES

Dans un milieu fibreux, trois types de distributions spatiales peuvent généralement se présenter : fibres orientées aléatoirement dans l’espace, fibres orientées aléatoirement dans des plans et fibres tissées. Dans cette étude, nous considérons uniquement les deux premiers cas. La représentation spatiale des fibres utilisée est celle proposée par Lee (1986,1990). Cette représentation a aussi été utilisée par Yamada et co-auteurs (1992), Boulet (1992), Milandri (2000). La figure IV.2 représente une fibre placée dans un référentiel ( , , )X Y Z .

η

sθ

iθ

fθ

iϕ

sϕ

fϕ

Z

X

Y

sR

fRiR

Θ


Figure IV- 2 : Orientation d’une fibre dans un milieu



Les vecteurs iR et sR indiquent respectivement la direction incidente et diffusée du

rayonnement. Le vecteur fR indique l’orientation de la fibre dans l’espace. Les

vecteurs iR , sR , et fR sont donnés respectivement par les relations

sin sin cos sin cosi i i i i iR i j kθ ϕ θ θ= + + ϕ /IV.13/

sin sin cos sin coss s s s s sR i j kθ ϕ θ θ= + + ϕ /IV.14/

sin sin cos sin cosf f f f f fR i j kθ ϕ θ θ ϕ= + + /IV.15/ Les relations suivantes peuvent être obtenues de la figure IV.2 et de l’annexe III

cos( / 2 )i f s fR R R R π φ⋅ = ⋅ = − /IV.16/

cosi sR R⋅ = Θ /IV.17/

( ) ( ) 2sin sin cos cosi f s fR R R Rφ φ η− ⋅ − = φ /IV.18/

En explicitant les relations /IV.16-18/, on obtient

2 2

2 2

sin cos cos (1 cos )(1 cos ) cos( )

cos cos (1 cos )(1 cos ) cos( )

i f i f i f

s f s f s f

φ θ θ θ θ ϕ ϕ

θ θ θ θ ϕ

= + − −

= + − − ϕ

−

− /IV.19/

2 2cos cos cos (1 cos )(1 cos ) cos( )i s i s i sθ θ θ θ ϕΘ = + − − −ϕ /IV.20/

2 2cos (cos sin ) / cosη φ φ= Θ − /IV.21/ En faisant appel aux travaux de modélisation des propriétés radiatives de Lee (1986, 1990) et Yamada et co-auteurs (1992), la densité de distribution spatiale des fibres s’écrit :

( , ) sin ( )f f f f f f idO p d dθ ϕ θ θ ϕ ϕ= − /IV.22/ où

( , )f fp θ ϕ représente la probabilité de présence des fibres.

[ ]0, ,fθ π∈ , [ ]( ) 0, , 2f iϕ ϕ π− ∈ … La fonction de distribution des fibres doit être normalisée de sorte que

41fdO

π=∫ /IV.23/



IV.2.2.1 FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS L’ESPACE Dans le cas des fibres orientées de manière aléatoire dans l’espace, les propriétés

radiatives du milieu sont indépendantes de l’orientation des fibres ( , )f fθ ϕ . La condition de normalisation /IV.23/ impose

( , ) 1/ 4f fp θ ϕ π= /IV.24/

Puisqu’il n’y a pas de direction préférentielle des fibres dans le milieu, le calcul de la fonction de distribution peut se faire en considérant la direction / 2fθ π φ= − (Lee, 1986). La fonction de distribution spatiale se réduit à

cos / 2fdO dφ φ= − /IV.25/ L’intégrale des propriétés radiatives suivant fθ de à 0 π est remplacée par une intégration suivant l’angle φ de / 2π− à / 2π . En considérant la symétrie de diffusion du rayonnement dans les intervalles [ ]/ 2,0φ π∈ − et [ ]0, / 2φ π∈ , la fonction de distribution spatiale des fibres orientées aléatoirement dans l’espace s’écrit

cosfdO dφ φ= [ ]0, / 2φ π∈ /IV.26/

IV.2.2.2 FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS UN PLAN

Dans le cas des fibres orientées aléatoirement dans le plan de direction ( , )fi fθ ϕ , la probabilité de présence des fibres est

( )( , )

sinf fi

fi ffi

pδ θ θ

θ ϕπ θ

−= /IV.27/

où fiθ est l’angle d’orientation de la fibre dans le milieu

pour des raisons de symétrie [ ]( ) 0, ,f iϕ ϕ π− ∈ … La fonction de distribution des fibres devient

( ) ( )f f fi f idO d /δ θ θ ϕ ϕ π= − − /IV.28/ avec

[ ]0, ,fϕ π∈ …



IV. 1 .3 PREDICTION DES COEFFICIENTS D’ABSORPTION, D’EXTINCTION ET DE DIFFUSION

Dans cette étude nous supposons que les fibres interagissent avec le rayonnement comme si la présence des fibres environnantes n’influençait pas la diffusion. Les propriétés radiatives peuvent être obtenues à partir des propriétés d’une fibre en ajoutant les effets liés à l’ensemble de toutes les fibres contenues dans un volume élémentaire (Brewster, 1992). En considérant les travaux de Lee (1986, 1990) et Yamada et co-auteurs (1992), les coefficients d’extinction et de diffusion s’écrivent respectivement en tenant compte des distribution de tailles et de l’orientation des particules


O dr , , , ,0

( , ) ( , , )f

i i i i f f fe s e sOC O L dλ λσ θ ϕ θ ϕ

∞

= ∫ ∫ /IV.29/

où ( )fL N r= est la longueur totale de toutes les fibres par unité de volume ayant un rayon compris en et r r dr+ .

Le coefficient d’absorption s’obtient en soustrayant le coefficient de diffusion du coefficient d’extinction

, , ,( , ) ( , ) ( , )a i i e i i s i iλ λ λσ θ ϕ σ θ ϕ σ θ ϕ= − /IV.30/

IV. 1.3.1 CAS DES FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS L’ESPACE

Dans le cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace, l’utilisation des relations /IV.26, IV.29/ permettent d’écrire

/ 2

, , , ,00

( ) ( ) cosfe s e sC L r dπ

λ λ drσ φ φ∞

= ∫ ∫ φ /IV.31/

Ces propriétés sont indépendantes de la direction incidente du rayonnement. Pour des fibres de distribution radiale uniforme, la substitution de la relation /IV.12/ dans la relation précédente donne

/ 2

, , , ,2 0( ) cosv

e s e sf C dr

π

λ λσ φ φπ

= ∫ φ /IV.32/

Lorsque la distribution radiale des fibres est donnée par un histogramme, la relation /IV.31/ devient

/ 2

, , , ,2 01

( ) cosfn

v ie s e s

i i

f C dr

π

λ λχσ φ φ

π=

= ∑ ∫ φ /IV.33/

avec fn le nombre de distribution de rayon contenu dans l’histogramme,

iv v if f χ= la fraction volumique des fibres de rayon , ir iχ la fraction de fibre

de rayon définie telle que ir1

1fn

ii

χ=

=∑ .



IV. 1.3.2 CAS DES FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS UN PLAN

Lorsque les fibres sont orientées aléatoirement dans un plan, l’introduction de la fonction de distribution /IV.28/ dans la relation /IV.29/ permet d’obtenir la relation

, , , ,00

1( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( )i i i f f f f fi fe s e sC L r dπ

λ λσ θ θ ϕ θ ϕ δ θ θ ϕ ϕπ

∞

= −∫ ∫ i dr− /IV.34/

En différentiant la relation /IV.19/, il vient

2 2cos (1 cos )(1 cos ) sin( ) ( )i f i f fd d iφ φ θ θ ϕ ϕ ϕ= − − − −ϕ

2

/IV.35/ En considérant la relation /IV.19/, l’utilisation de la relation trigonométrique liant les fonctions sinus et cosinus permet d’obtenir la relation

2 2sin ( ) 1 cos ( ) ( )( ) /i f i f a b a b aϕ ϕ ϕ ϕ− = − − = − + /IV.36/ avec

2 2(1 cos )(1 cos )

sin cos cos i f

i f

a

b

θ θ

φ θ θ

⎧ = − −⎪⎨

= −⎪⎩

De la relation précédente, on déduit

2 2(1 cos )(1 cos ) sin( ) (sin sin )(sin sin )i f i fθ θ ϕ ϕ φ φ φ φ+ −− − − = − − /IV.37/ avec

2 2sin cos cos (1 cos )(1 cos )i f i fφ θ θ θ θ± = ± − − /IV.38/ En tenant compte de la relation /IV.37/, la relation /IV.35/ devient

cos( )(sin sin )(sin sin )i f

dd φ φϕ ϕφ φ φ φ+ −

− =− −

/IV.39/

La relation /IV.34/ donnant les coefficients d’extinction et de diffusion pour les fibres orientées aléatoirement avec l’hypothèse de symétrie azimutale s’écrit

, ,

, ,0

( ) ( ) ( ) cos1( )(sin sin )(sin sin )

f f fie sie s

C L rd dr

φ λλ φ

φ δ θ θ φσ θ φ

π φ φ φ φ+

−

∞

+ −

−=

− −∫ ∫ /IV.40/

où les bornes d’intégrations φ± correspondant aux angles respectifs

,0i fϕ ϕ π− = , obtenues à partir de l’équations /IV.19/ sont données par la relation /IV.38/.



Le coefficient d’absorption azimutal s’écrit

, , ,( ) ( ) ( )a i e i s iλ λ λσ θ σ θ σ θ= − /IV.41/ Dans le cas d’une distribution radiale uniforme des fibres dans le milieu, l’introduction de la relation /IV.12/ dans la relation /IV.40/ donne

, ,

, , 2 2

( ) ( ) cos( )

(sin sin )(sin sin )f fie sv

ie s

Cf dr

φ λλ φ

φ δ θ θ φσ θ φ

π φ φ φ φ+

−+ −

−=

− −∫ /IV.42/

Pour une distribution radiale des fibres dans le milieu donnée par un histogramme, la relation /IV.40/ s’écrit

, ,

, , 2 21

( ) ( ) cos( )

(sin sin )(sin sin )

fnf fie sv i

ie si i

Cf dr

φ λλ φ

φ δ θ θ φχσ θ φπ φ φ φ φ

+

−= + −

−=

− −∑ ∫ /IV.43/

IV. 1.4 PREDICTION DE LA FONCTION DE PHASE D’UN MILIEU FIBREUX

La fonction de phase du milieu est le rapport de l’énergie par unité d’angle solide du rayonnement diffusé suivant une direction par l’énergie par unité d’angle solide diffusé si la diffusion était isotrope (Siegel et Howell, 1992). Dans le cas où les fibres interagissent avec le rayonnement comme si la présence des fibres environnantes n’influençait pas la diffusion, la fonction de phase du milieu s’obtient à partir de la fonction de phase d’une fibre en tenant compte des effets liés à l’ensemble de toutes les fibres de morphologie différente contenues dans un volume élémentaire (Brewster, 1992).

,0

,

,0

( , , ) ( , , , , )( , , , )

( , , )

f

f

s i i f i i s s f f fO

s i i s s

s i i f f fO

C O p O L dOP

C O L dO dr

λ λ

λ

λ

θ ϕ θ ϕ θ ϕθ ϕ θ ϕ

θ ϕ

∞

∞=∫ ∫

∫ ∫

dr /IV.44/

où

( , , , , )i i s s fp Oλ θ ϕ θ ϕ est la fonction de phase d’une fibre. Les fonctions de distribution radiale et spatiale décrivant la morphologie d’un milieu fibreux étant connues, la détermination de la fonction de phase du milieu nécessite la connaissance de la fonction de phase d’une fibre.



IV.1.4.1 FONCTION DE PHASE D’UNE FIBRE Pour déterminer la fonction de phase d’une fibre, nous partons de la relation donnant

la section de diffusion par un rayonnement de longueur d’onde λ /IV.9/. La transformation de cette relation du système de coordonnés au système ( , )φ Θ( , )φ η en utilisant la relation /IV.21/ donne

2

, 2 0

2

2 20

2( , ) ( , )

2 ( , ) sinsin cos

sdC m i dd

i d

π φ

λ

π φ

λ ηα φ φ ηπ

λ φ ηπ η φ

−

−

= ΘΘ

Θ= Θ

∫

∫ /IV.45/

Pour un angle d’incidence [ ]0,..., / 2φ π∈ , l’angle maximum de diffusion est 2π φΘ = − . La condition de normalisation prend la forme

2

0( , ) sin 2p d

π φ

λ φ−

Θ Θ Θ =∫ /IV.46/

En comparant les relations /IV.45/ et /IV.46/, on déduit la fonction de phase d’une fibre

2 2,

4 ( ,( , )( , ) sin coss

ipC mλ

λ

)λ φ ηφπ α φ η φ

Θ = ⋅ /IV.47/

L’utilisation de la relation trigonométrique liant les fonctions sinus et cosinus permet de réécrire la relation /IV.21/ sous la forme

2sin cos (1 cos )(1 cos 2sin )2η φ = − Θ + Θ − φ /IV.48/ L’introduction de la relation précédente dans la relation /IV.47/ permet d’obtenir l’expression de la fonction de phase d’une fibre suivante

2,

4 ( , )( , )( ,s

pC mλ

λ )λ φφ

π α φΓ Θ

Θ = ⋅ /IV.49/

avec

2( , ) ( , ) / (1 cos )(1 cos 2sin )iφ φ η φΓ Θ = − Θ + Θ − /IV.50/ L’expression donnant la fonction de phase d’une fibre étant connue, nous pouvons procéder au calcul de la fonction de phase d’un milieu fibreux.



IV.1.4.2 FONCTION DE PHASE D’UN MILIEU COMPOSE DE FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS L’ESPACE Les fibres étant orientées aléatoirement dans l’espace, il n’y a pas de direction privilégiée. L’introduction de la relation de distribution radiale /IV.26/ et de la relation de la fonction de phase d’une fibre /IV.49/ dans /IV.44/ donne

/ 2

, 2 0, 0

4( ) ( , ) ( ) coss fs

P Lπ

λλ

λ r d drφ φ φπ σ

∞

Θ = Γ Θ∫ ∫ /IV.51/

Dans le cas des fibres de distribution radiale uniforme, la relation /IV.12/ permet d’écrire la relation précédente sous la forme

/ 2

, 3 2 0,

4( ) ( , ) cosvs

s

fPr

π

λλ

dλ φ φ φπ σ

Θ = Γ Θ∫ /IV.52/

où le coefficient de diffusion ,s λσ est calculé à partir de la relation /IV.32/

Lorsque la distribution radiale des fibres dans le milieu est donnée par un histogramme, la relation /IV.44/ devient

/ 2

, 3 2 01 ,

4( ) ( , ) cosfn

v is

i i s

fPr

π

λλ

χ λ dφ φ φπ σ=

Θ = Γ Θ∑ ∫ /IV.53/

avec ,s λσ calculé à partir de la relation /IV.33/

IV.1.4.3 FONCTION DE PHASE D’UN MILIEU COMPOSE DE FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS UN PLAN La fonction de phase d’un milieu de fibres orientées aléatoirement dans un plan s’obtient en combinant les relations /IV.28/, /IV.44/ et /IV.49/. On obtient dans ce cas la relation

, 3 0 0,

4( , , ) ( ) ( , ) ( ) ( )( , )s i i f f fi f i

s i i

P L rπ

λλ

d drλθ ϕ φ δ θ θ ϕ ϕπ σ θ ϕ

∞Θ = Γ Θ − −∫ ∫ /IV.54/

La dépendance relative à la direction azimutale incidente iϕ peut être levée en adoptant la transformation de la relation /IV.39/. L’expression de la fonction de phase /IV.54/ devient

, 3 0 _,

( ) ( , ) ( ) cos4( , )( ) (sin sin )(sin sin )

f f fis i

s i

L rP d

φ

λ φλ

drφ δ θ θ φλθ φ

π σ θ φ φ φ φ+∞

+ −

Γ Θ −Θ =

− −∫ ∫ /IV.55/



Dans le cas des fibres de distribution radiale identique, l’introduction de la relation /IV.12/ dans la relation précédente donne

, 4 2 _,

( , ) ( ) cos4( , )( ) (sin sin )(sin sin )

f fivs i

s i

fP dr

φ

λ φλ

φ δ θ θ φλθ φπ σ θ φ φ φ φ

+

+ −

Γ Θ −Θ =

− −∫ /IV.56/

avec ,s λσ calculé à partir de la relation /IV.42/

Pour une distribution radiale des fibres donnée par un histogramme, la relation /IV.54/ s’écrit

, 4 2 _1 ,

( , ) ( ) cos4( , )( ) (sin sin )(sin sin )

fnf fiv i

s ii i s i

fP dr

φ

λ φλ

φ δ θ θ φχ λθ φπ σ θ φ φ φ φ

+

= + −

Γ Θ −Θ =

− −∑ ∫ /IV.57/

où le coefficient de diffusion , ( )s iλσ θ est calculé à partir de la relation /IV/43/

IV.1.5 BIAIS DE DIFFUSION - FACTEUR D’ASYMETRIE

Le facteur d’asymétrie est un paramètre important de la diffusion du rayonnement par les particules. Il désigne le poids de la direction de diffusion préférentielle (en avant ou en arrière) du rayonnement lors de l’interaction rayonnement – particule. Ce paramètre est généralement défini dans le cas des milieux isotropes. Pour les milieux anisotropes, le facteur d’asymétrie est fonction de la direction du rayonnement : nous l’appellerons biais de diffusion (Heino et co-auteurs, 2003) ou facteur d’asymétrie directionnel. Dans cette section, nous partons de la définition du facteur d’asymétrie d’un milieu isotrope pour déterminer le biais de diffusion d’un milieu anisotrope fibreux. La définition du facteur d’asymétrie est donnée par la relation (Siegel et Howell, 1992 ; Brewster, 1992)

,0

1 ( ) cos sin2 sg P d

π

λ= Θ Θ Θ∫ Θ /IV.61/

Introduisons la fonction de phase des milieux fibreux /IV.44/ dans la relation /IV.61/, il vient

,0 0

,0

( , , ) ( , ) ( ) cos sin

2 ( , , ) ( )f

f

s i i f f fO

s i i f f fO

C O p L r dO drg

C O L r dO dr

π

λ λ

λ

θ ϕ φ

θ ϕ

∞

∞

dΘ Θ Θ Θ=

∫ ∫ ∫∫ ∫

/IV.62/

Pour un rayon incident faisant un angle φ avec l’axe de la fibre, la diffusion par la fibre est contenu dans un cône d’angle de diffusion maximal 2π φΘ = − . Permutons l’ordre d’intégration de la relation précédente de manière à calculer la moyenne suivant l’angle de diffusion avant celle sur les orientations, la relation /IV.62/ devient




2

,0 0

,0

( , , ) ( , ) ( ) cos sin

2 ( , , ) ( )f

f

s i i f f fO

s i i f f fO

C O p L r d dO drg

C O L r dO dr

π φ

λ λ

λ

θ ϕ φ

θ ϕ

∞ −

∞

Θ Θ Θ Θ=

∫ ∫ ∫∫ ∫

/IV.63/

Dans la relation précédente, la section transversale de diffusion dépend de la direction du rayonnement incident et de l’orientation des fibres dans le milieu. Le biais de diffusion va dépendre aussi de la direction du rayonnement incident et de l’orientation des fibres. La section transversale étant indépendante de l’angle de diffusion, elle peut être sortie de l’intégration relative à l’angle de diffusion. La relation /IV.63/ s’écrit

,0

,0

( , , ) cos ( )( , )

( , , ) ( )f

f

s i i f f fOi i

s i i f f fdO

C O L r dO drg

C O L r dO dr

λ

λ

θ ϕθ ϕ

θ ϕ

∞

∞

Θ=

∫ ∫∫ ∫

≺ /IV.64/

avec le biais de diffusion par une fibre cos Θ≺ défini par la relation

2

0

1cos ( , ) cos sin2

p dπ φ

λ φ−

Θ = Θ Θ Θ Θ∫≺ /IV.65/

De la relation /IV.64/ on peut conclure que le biais de diffusion d’un milieu fibreux est fonction du biais de diffusion d’une fibre. On note que la relation /IV.65/ est également identique à celle proposée par Marshall et Milos (1997). Afin de faciliter l’intégration numérique, l’utilisation des relations /IV.21/ et /IV.47/ dans la relation /IV.65/ permet d’obtenir une expression simple du biais de diffusion d’une fibre

2 22 0

,

2cos ( , )(sin cos cos )( )s

iC

π

λ

dλ φ η φ φ ηπ φ

Θ = +∫≺ η /IV.66/

IV.1.5.1 FACTEUR D’ASYMETRIE DES FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS L’ESPACE

En considérant les relations /IV.26/ et /IV.66/, la relation /IV.64/ devient

/ 2 2 2

2 0 0 0,

2 ( ) ( , )(sin cos cos )cosfs

g L r iπ π

λ

d d drλ φ η φ φ η φ η φπ σ

∞= +∫ ∫ ∫ /IV.67/

Dans le cas des fibres de distribution radiale uniforme, la relation précédente devient

/ 2 2 23 2 0 0

,

2 ( , )(sin cos cos )cosv

s

fg ir

π π

λ

d dλ φ η φ φ η φ ηπ σ

= +∫ ∫ φ /IV.68/

où le coefficient de diffusion ,s λσ est calculé à partir de la relation /IV.32/.



Lorsque la distribution radiale des fibres est donnée par un histogramme, la relation /IV.64/ s’écrit

/ 2 2 23 2 0 0

1 ,

2 ( , )(sin cos cos )cosfn

v i

i i s

fg ir

π π

λ

λ χ d dφ η φ φ µ φ ηπ σ=

= +∑ ∫ ∫ φ /IV.69/

avec ,s λσ est calculé à partir de la relation /IV.33/.

IV.1.5.2 BIAIS DE DIFFUSION DES FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS UN PLAN

Le biais de diffusion dans le cas où les fibres du milieu sont orientées aléatoirement

dans un plan est calculé est introduisant la relation /IV.28/ dans la relation /IV.64/. La relation /IV.64/ s’écrit

2 23 0 0 0

2( , ) ( ) ( , )(sin cos cos ) ( ) ( )( , )i i f f fi i f

s i i

g L r i dπ π

d drλθ ϕ φ η φ φ η δ θ θ η ϕ ϕπ σ θ ϕ

∞= + −∫ ∫ ∫ −

/IV.70/ La dépendance relative à l’azimut peut être levée en considérant la relation /IV.39/. La relation précédente devient

2 2

3 0 0

( ) ( , )(sin cos cos ) ( )cos2( )( ) (sin sin )(sin sin )

f fi

s i

L r ig d

φ π

φ

φ η φ φ η δ θ θ φλ fi d drθ η φπ σ θ φ φ φ φ

+

−

∞

+ −

+ −=

− −∫ ∫ ∫ /IV.71/

Pour les fibres d’égale distribution radiale, le biais de diffusion /IV.71/ s’écrit

2 2

4 2 0

( , )(sin cos cos ) ( ) cos2( )( ) (sin sin )(sin sin )

f fivi

s i

ifg dr

φ π

φ

φ η φ φ η δ θ θ φλ dθ η φπ σ θ φ φ φ φ

+

−+ −

+ −=

− −∫ ∫ /IV.72/

avec ,s λσ est calculé à partir de la relation /IV.42/

Lorsque la distribution radiale des fibres dans le milieu est donnée par un histogramme, la relation /IV.64/ s’écrit

2 2

4 2 01

( , )(sin cos cos ) ( ) cos2( )( ) (sin sin )(sin sin )

fnf fiv i

ii i s i

ifg dr

φ π

φ

φ θ φ φ θ δ ζ ζ φλ χ dθ θ φπ σ θ φ φ φ φ

+

−= + −

+ −=

− −∑ ∫ ∫ /IV.73/

où le coefficient de diffusion ,s λσ est calculé à partir de la relation /IV.43/




IV.2 IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES DES MILIEUX FIBREUX

La détermination des propriétés radiatives par la théorie électromagnétique d’interaction rayonnement particules est fortement dépendante des propriétés thermophysiques du matériau. Ces propriétés ne sont pas toujours disponibles ou sont difficilement accessibles. La méthode d’identification des propriétés radiatives permet de résoudre ce problème. Cette méthode comporte cependant un inconvénient majeur : la difficulté de déterminer un nombre important de paramètre. Pour mieux représenter l’anisotropie de diffusion dans les milieux isotropes, la fonction de phase a été développée en série de polynômes Legendre. L’identification dans ce cas est difficile et limité aux premiers termes de la fonction de phase (Neto et Osizik, 1995 ; Chalhoub et Campos, 2001 ; Hespel et co-auteurs, 1999, 2003). L’utilisation d’une fonction développement en série de polynôme de Legendre directionnelle pour modéliser le problème d’identification des paramètres dans les milieux anisotropes serait irréaliste compte tenu du trop grand nombre de paramètres à identifier.

La méthode d’identification de paramètres est basée sur la minimisation de l’écart quadratique entre des mesures et des données théoriques de transmittance et réflectance hémisphériques et/ou bidirectionnelles. En considérant des mesures de réflectance- directionnelle - hémisphériques et/ou hémisphérique –directionnelle, Yeh et co-auteurs (1986, 1988) ont déterminé l’épaisseur optique et l’albedo d’un milieu très poreux composés de fibres de verre. Les fibres du milieu sont supposées réparties aléatoirement dans l’espace et la diffusion isotrope. Cette approche a été aussi utilisée plus récemment par Roux (2003) pour l’évaluation des propriétés radiatives des milieux composés de fibres de verre. La méthode de minimisation utilisée par ces auteurs est une méthode itérative basée sur la résolution du système de Cramer des écarts théories/mesures.

A partir des données simulées de transmittance et réflectance hémisphériques, Mengüç et co-auteurs (1991, 1993) ont identifié l’albedo et le facteur d'asymétrie de la fonction de phase des milieux semi- transparents. Dans leur analyse, l’anisotropie de diffusion des milieux fictifs est approchée par des fonctions de diffusion isotrope, linéaire, de Rayleigh ou par une fonction de diffusion en « escalier ». L’optimisation du problème radiatif inverse se fait par l’algorithme de Levenberg-Marquardt. Leurs études montrent qu’il est possible d’estimer les deux propriétés radiatives : albedo et facteur d’asymétrie ; avec une bonne précision.

Afin de prendre en compte une diffusion plus précise du milieu, Hendricks et Howell (1996 a & b) modélisent l’anisotropie du milieu par une fonction Henyey-Greenstein couplée a une isotrope. L’identification porte sur la minimisation des écarts mesures/théorie de transmittance et réflectance directionnelle -hémisphériques de plusieurs épaisseurs. Ces auteurs utilisent l’algorithme de Levenberg-Marquardt pour la minimisation des écarts sur les valeurs théoriques et expérimentales de plusieurs échantillons de céramiques réticulés fortement poreuses. Les propriétés radiatives identifiées sont le coefficient d’absorption, le coefficient d’extinction et les paramètres de la fonction de phase.

La méthode d’identification des propriétés radiatives des milieux poreux basée sur l’utilisation de mesures bidirectionnelles a été proposée par Uny (1986), Sacadura et co-auteurs (1986) pour la caractérisation des propriétés radiatives d’un milieu fibreux de laine de verre. Ces auteurs déterminent le coefficient d’extinction, l’albedo de diffusion et le facteur



d’asymétrie de la fonction de Henyey-Greenstein. La méthode de Hooke et Jeeves est utilisée pour minimiser l’écart entre les valeurs théoriques et expérimentales.

L’approximation de la fonction de phase du milieu peut conduire à des erreurs non négligeables sur l’identification des propriétés radiatives du matériau (Kamdem-Tagne et Baillis, 2005 ; Dombrosky et co-auteurs, 2006). Pour un meilleur traitement du problème d’identification des propriétés radiatives à partir des mesures bidirectionnelles dans les milieux semi - transparents avec un nombre acceptable de paramètre, Nicolau et co-auteurs (1994, a & b) ont proposé l’utilisation d’une fonction de phase combinaison de deux fonctions Henyey-Greenstein et d’une isotrope pour modéliser l’anisotropie de diffusion du milieu. La minimisation de l’écart est basée sur la méthode des moindres carrés associée à la méthode de linéarisation de Gauss. Afin de contourner la difficulté liée à l’identification simultanée de plusieurs paramètres, ces auteurs ont utilisé la loi de Beer pour déterminer l’épaisseur optique et ont imposé un facteur d’asymétrie spécifique à la fonction de phase de diffusion vers l’arrière. Cette approche a été utilisée par Milandri et co-auteurs (2000, 2002) pour la caractérisation de laines de verre supposées isotropes.

Baillis et co-auteurs (2002) ont utilisé une combinaison de mesures bidirectionnelles et directionnelles – hémisphériques pour l'identification de l’épaisseur optique, l’albedo et le facteur d'asymétrie de la fonction de Henyey-Greenstein de mousses de carbone à pores ouverts. Ces auteurs mettent en évidence des écarts importants sur le coefficient d’extinction et l’albedo réduits obtenus à partir des mesures combinées bidirectionnelles/directionnelles - hémisphériques et ceux obtenus à partir des mesures directionnelles -hémisphériques en supposant une fonction de phase isotrope.

Afin de faciliter l’identification des paramètres, l’hypothèse de milieu isotrope est utilisée dans l’ensemble des travaux d’optimisation des propriétés radiatives des milieux semi – transparents. Dans l’optique d’identifier les propriétés radiatives d’un milieu anisotrope fibreux constitué de laine de verre, Moura (1998) propose une procédure d’identification pour différentes directions d’incidence du faisceau sur l’échantillon. Cet auteur montre que la convergence du processus d’itération est liée aux paramètres initiaux des premières itérations. Pour améliorer la convergence du processus de détermination des propriétés radiatives par métrologie inverse, Randrianalisoa et co-auteurs (2006, a&b) propose une identification en deux étapes : la première étape consiste en l’estimation du coefficient d’extinction par la loi de Beer pour initialiser le processus d’inversion et la seconde en une estimation simultanée de tous les paramètres du problème d’identification. La problématique de la convergence des processus d’identification des paramètres radiatifs est discutée également par Howell et co-auteurs (2000).

La synthèse bibliographique ci-dessus, permet de dégager des principales interrogations liées à détermination des propriétés radiatives par métrologie inverse :

o Quelle est la pertinence des paramètres radiatifs des milieux anisotropes identifiés en supposant les milieux isotropes ?

o Quels sont les modèles de fonction de phase les mieux adaptés afin de permettre de mieux modéliser l’anisotropie de diffusion dans le milieu et de faciliter le processus d’inversion ?

o Quelle stratégie expérimentale est la mieux appropriée pour l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes ? : directionnelles – hémisphériques ?, et/ou bidirectionnelles ?

Nos objectifs sont de répondre à ces questions. Nous rappelons ci-dessous la méthodologie adoptée pour l'évaluation simultanée des propriétés radiatives et de la fonction de phase représentant l’anisotropie de diffusion du milieu.



IV.2.1 PRINCIPE DE LA METHODE INVERSE

La méthode d’identification des propriétés radiatives des milieux semi - transparents minimise la fonction F représentant l’écart quadratique entre des transmittances et/ou réflectances expérimentales et théoriques

22

, , , , , ,1 1 1

22, , , , , ,

1

( ) ( )

( )

Nech NFmes NcolEX Cal

Jpar Jech Jmes Jcol Jech Jmes Jcol Jech Jmes Jcol JparJech Jmes Jcol

NcolEX Cal

Jech Jmes Jcol Jech Jmes Jcol Jech Jmes Jcol JparJcol

F ξ ϖ ξ

ϖ ξ

= = =

=

⎡ ⎤= Ψ − Ψ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ Ψ − Ψ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

1 1

Nech NBmes

Jech Jmes= =∑ ∑ ∑

/IV.74/

avec ,...,1 NparJpar =où le nombre de paramètre à identifier NparNech désigne le nombre d’échantillons, Ncol le nombre d’incidence collimatée considéré, NFmes , le nombre de mesures vers l’avant , NBmes le nombre de mesures vers l’arrière,

Jparξ le vecteur des paramètres à déterminer,

JcolJmesJech ,,ϖ le poids de minimisation, Ψ la valeur théorique ou expérimentale des transmittances et reflectances.

Dans le cadre de ce travail le poids de minimisation est défini par la relation

( αϖ EXJcolJmesJechJcolJmesJech ,,,, /1 Ψ= ) /IV.75/

avec 10 ≤≤ α

La fonction à minimiser /IV.1/ peut encore se mettre sous la forme

22

1

ˆ ˆ( ) ( )NTmes

EX CalJpar JTmes JTmes JTmes Jpar

JTmesF χ ϖ χ

=

⎡ ⎤= Ψ − Ψ⎣ ⎦∑ /IV.76/

avec NcolNBmesNFmesNechNTmesJTmes ×+×== )(,...,1

La minimisation de la fonction F revient à déterminer les paramètres Jparξ tels que

1 2( , ,..., )0i Npar

Jpar

F ξ ξ ξξ

∂=

∂ , NparJpar ,...,1= /IV.77/

soit

2

1

ˆ ( )ˆ ˆ ( ) 0 CalNTmesJTmes JparEX Cal

JTmes JTmes JTmes JparJTmes Jpar

ξϖ ξ

ξ=

∂Ψ⎡ ⎤Ψ − Ψ =⎣ ⎦ ∂∑ Npar,...,1, Jpar = /IV.78/



où

,ˆ ( ) /Cal JTmes Jpar Jparξ ξ∂Ψ ∂

est le Jacobien déterminé par différences finies en utilisant le sous programme DFDJAC de la bibliothèque fortran IMSL

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) (Cal Cal Cal

JTmes Jpar JTmes Jpar JTmes Jpar Jpar

Jpar Jpar

ξ ξ ξξ ξ

∂Ψ Ψ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ − Ψ ⋅⋅⋅ − ∆ ⋅⋅⋅=

∂ ∆

)ξ /IV.79/

Le système d’équations non linéaires /IV.74/ou /IV.76/ est résolu par l’algorithme de Hanson – Krogh DB2NLS de la bibliothèque Fortran ISML adapté à la résolution des systèmes d’équations non linéaires soumis aux contraintes linéaires. Cet algorithme résout le problème non linéaire par la méthode de décomposition QR où Q est une matrice orthogonale obtenue par produits successifs de matrices orthogonales élémentaires (méthode de Householder) et R une matrice triangulaire supérieure.

IV.2.2 METHODOLOGIE EXPERIMENTALE

Les mesures utilisées dans le processus d’identification de paramètre peuvent être de nature directionnelles - hémisphériques et/ou bidirectionnelles. L’obtention des mesures bidirectionnelles requiert un montage nécessitant un alignement minutieux et est plus difficile à mettre en œuvre que le montage d’obtention des mesures directionnelles - hémisphériques. Des mesures bidirectionnelles ont été effectuées sur des échantillons de laine de verre dense mais trop peu d’énergie a été détectée. Dans ce travail, nous utiliserons les mesures hémisphériques. La méthodologie d’acquisition des mesures hémisphériques est décrite en annexe IV.

IV.2.3 METHODOLOGIE THEORIQUE

La procédure théorique utilisée pour la modélisation du transfert radiatif dans les milieux semi – transparents a été détaillée au chapitre I. Le milieu est ici supposé isotrope et la fonction de phase est donnée par la fonction de Henyey-Greenstein (/II.76/). Le rayonnement incident étant modulé, le rayonnement ambiant n’est pas pris en compte et le transfert radiatif est décrit par l’équation /I.22/

1

, 1

( , ) ( , ) ( ) ( , )2e

L µ L µ P µ µ L µ dµλ λλ λ λ

τ ωµ σ τ ττ −

∂ ′ ′ ′= − + →∂ ∫ /IV.80/

où ,e yλτ σ= est l’épaisseur optique, , / ,s eλ λ λω σ σ= est l’albedo.

Les milieux fibreux étant poreux, les conditions aux limites /I.40-41/ se réduisent à

)(),0( 00 µµLL ii −= δµλ pour /IV.81/ 0>iµ

( , ) 0iL y µλ = pour 0<iµ /IV.82/



Nous avons adopté la méthode différentielle des ordonnées discrètes pour la résolution de l’équation de transfert radiatif. La détermination des propriétés radiatives est une estimation simultanée de trois paramètres, le coefficient d’extinction eσ , l’albedo ω de diffusion, et le facteur d’asymétrie g de la fonction de phase

[ ], , j e gξ σ ω= /IV.83/ avec

max,/~eee σσσ = /IV.84/

où max,eσ est le coefficient d’extinction de l’épaisseur optique maximal

pouvant être estimé 40max, =Lτ , [ ], , 0,...,1e gσ ω ∈ .

Dans le cas où la fonction de phase est approchée par une fonction isotrope, l’identification est réduite à l’estimation du coefficient d’extinction et de l’albedo de diffusion.

IV.2.4 COEFFICIENT DE SENSIBILITE & NOMBRE DE CONDITIONNEMENT

Les coefficients de sensibilité représentent le taux de variation de transmittance ou de réflectance dû à une variation du paramètre à identifier Jparξ . Ils permettent de mettre en évidence les mesures les plus importantes à exploiter. Les coefficients de sensibilité sont définis comme étant la dérivée partielle par rapport à chaque élément du vecteur de paramètres

,ˆ ( ) /Cal JTmes Jpar Jparsens ξ ξ= ∂Ψ ∂ /IV.85/

Pour permettre une étude comparative de la sensibilité de divers paramètres, il est plus utile d’étudier le coefficient de sensibilité normalisé

,

,

ˆ ( )ˆ ( )

Jpar Cal JTmes Jpar

JparCal JTmes Jpar

sensξ ξ

ξξ∂Ψ

=∂Ψ

/IV.86/

Le nombre de conditionnement permet de juger le degré de fiabilité du processus

d’identification. Le nombre de conditionnement de la matrice de sensibilité peut être calculé par la relation (Howell et co-auteurs, 2001) :

21( / )rNC s s= /IV.87/

avec Nparr ≤≤1


Le rang r de la matrice de sensibilité représente le plus grand ordre de la matrice carrée inversible extraite de la matrice de sensibilité. C’est le nombre de colonnes de la matrice de sensibilité linéairement indépendantes et est calculé à partir de sa matrice ligne – réduite échelonnée. Le rang et les valeurs singulières Nparsss <⋅⋅⋅<< 21 de la matrice de sensibilité sont déterminées par décomposition SVD (singular value décomposition) de la matrice de sensibilité et calculées par le sous programme DSVD de la librairie IMSL. Lorsque , la matrice de sensibilité est mal conditionnée et une dépendance linéaire existe entre deux ou plusieurs coefficients de sensibilité. Le problème inverse sera bien conditionné lorsque

.

NC → ∞

1NC →



CONCLUSION

Les propriétés radiatives des milieux fibreux ont été déterminées à partir de la théorie électromagnétique et tiennent compte de la distribution de taille et de l’orientation des fibres dans le milieu. Les propriétés radiatives du milieu à savoir les coefficients d’extinction et de diffusion ; et la fonction de phase sont déterminées à partir des propriétés radiatives d’une fibre : sections d’extinction et de diffusion ; et fonction de phase d’une fibre. Nous montrons que le facteur d’asymétrie d’un milieu composé de fibres orientées aléatoirement dans l’espace est fonction du facteur d’asymétrie d’une fibre. Lorsque les fibres sont orientées aléatoirement dans un plan, le facteur d’asymétrie est directionnel et dépend par conséquent de la direction du rayonnement dans le milieu : c’est le biais de diffusion. Nous avons aussi présenté une méthode d’identification des propriétés radiatives. Ces deux méthodes seront comparées dans le chapitre suivant. Nous étudierons plus particulièrement la pertinence des paramètres identifiés lorsque les milieux anisotropes sont supposés isotropes.



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Chapitre V Applications ___________________________________________________________________________

CHAPITRE V

APPLICATIONS

Dans ce chapitre dédié aux applications lors de l’étude du transfert thermique couplé conduction/rayonnement, nous allons considérer le régime stationnaire. Les hypothèses de symétrie azimutale, de transfert thermique monodimensionnel, ou de propriétés radiatives grises par bandes seront aussi utilisées. La résolution de l’équation de transfert radiatif est effectuée par la méthode des ordonnées discrètes couplée à la méthode des volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale du domaine d’étude. Nous utiliserons aussi la méthode des volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale de l’équation du transfert couplé conduction/rayonnement.

Tout au long de ce chapitre, nous étudierons la validité des hypothèses de milieux isotopes équivalents et/ou des modèles de diffusion approchées isotrope et Henyey-Greenstein pour la modélisation du transfert de chaleur par rayonnement ou couplé conduction/rayonnement dans les milieux anisotropes de type fibreux.

V.1 MODELISATION DU TRANSFERT RADIATIF DANS LES MILIEUX ANISOTROPES GRIS

Considérons des milieux fibreux supposés gris en situation d’équilibre radiatif et avec des conditions aux limites de températures imposées aux frontières. Nous avons choisi d’étudier le cas du rayonnement pur dans un premier temps. Nous considérons que les fibres peuvent être orientées aléatoirement dans l’espace ou dans des plans parallèles aux frontières. Nous supposons aussi une distribution radiale uniforme des fibres dans le milieu. Les caractéristiques des milieux fibreux à étudier sont

épaisseur du milieu : (0,1; 1,0; 2,0) cmmasse volumique des fibres : 2550 kg/m3

masse volumique du milieu : 10 kg/m3

Le rayon des fibres et les indices optiques des quatre milieux fibreux sont donnés dans le tableau V.1 ci-dessous

Tableau V- 1: caractéristique des quatre milieux fibreux de type laine de verre


Milieu λ(µm) m (Hsieh et Su, 1979) r(µm)1 4.00 i31069.1497.1 −×− 1.0 2 4.00 i31069.1497.1 −×− 3.0 3 9.18 i08.105.1 − 1.0 4 9.18 i08.105.1 − 3.0



Les milieux 1 et 2 sont des milieux purement diffusants tandis que les milieux 3 et 4 sont des milieux absorbants/diffusants. La modélisation du transfert radiatif utilisant l’approximation de diffusion isotrope nécessite la détermination des propriétés radiatives réduites. Ces propriétés sont déduites des relations du chapitre II. Dans le cas des milieux ayant les fibres orientées aléatoirement dans l’espace, les propriétés radiatives du milieu sont données dans le tableau V.2.

Tableau V- 2 : Propriétés radiatives des milieux fibreux : fibres orientées aléatoirement dans l’espace

Fibre orientée aléatoirement dans l’espaceMilieu

eσ

sσ ω g

1 3944.82 3942.17 0.99932 0.79801 2 1800.88 1797.87 0.99833 0.81114 3 4004.00 1636.31 0.40867 0.50118 4 1641.17 896.534 0.54627 0.75504

Dans le cas des fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, les coefficients d’extinction et de diffusion varient en fonction de la direction du rayonnement incident comme le montre la figure V.1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

Milieu 4

Milieu 2Milieu 3

Milieu 1

Extinction Scattering

Coe

ffici

ents

d'e

xtin

ctio

n/Sc

atte

ring

(m-1)

Direction incidente , µ

Figure V- 1: Variation des coefficients d’extinction et de diffusion d’un milieu de fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières.

La résolution du problème radiatif fait appel au calcul de la fonction de phase des

milieux fibreux étudiés. Les figures V.2 et V.3 présentent les variations de la fonction de phase des milieux purement diffusants (milieu 1 et 2) et absorbant/diffusant (milieu 3 et 4) en fonction de l’angle de diffusion. Hervé Thierry Kamdem Tagne 109 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon



0 3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 1 8 0-2

-1

0

1

2

3

3 0 6 0 9 0 1 2 0 1 5 0 1 8 0

M ilie u 1

A n g le d e d iffu s io n , Θ

M ilie u 2

F ib re o re in tée a lé a to ire m en t d a n s l 'e sp ac eF ib re o rien tée a lé a to ire m en t d a n s le p la n : θ f= 9 0 °

θ = 6 .7 0 ° θ = 3 3 .0 ° θ = 5 9 .3 ° θ = 8 5 .6 °

A n g le d e d iffu s io n , Θ

ase)

de

ph

LOG

(fonc

tion

Figure V- 2 : Variation de la fonction de phase des milieux fibreux diffusant en fonction de l’angle de diffusion pour différent angle d’incidence θ.

0 30 60 90 120 150 180-1

0

1

2

3

30 60 90 120 150 180

M ilieu 3

LOG

(fonc

tion

de p

hase

)

A ng le de d iffusion , Θ

M ilieu 4

F ib re o rien tée a léa to irem en t dans l'espaceF ib re o rien tée a léa to irem endan s le p lan : θ f= 9 0°

θ = 6 .70° θ = 33 .0° θ = 59 .3° θ = 85 .6°

A ngle de d iffusion , Θ

Figure V- 3 : Variation de la fonction de phase des milieux fibreux absorbant/diffusant en fonction de l’angle de diffusion pour différent angle d’incidence θ.

Les figures V.2 et V.3 montrent la dépendance de la fonction de phase en fonction de la direction θ du rayonnement incident pour des milieux composés de fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières du milieu. On note aussi la présente de la rétro diffusion pour certaines directions de diffusion.



Les propriétés radiatives, coefficient d’extinction , coefficient de diffusion, fonction de phase des quatre milieux étudiés étant à présent présentées, nous pouvons procéder à la résolution de l’équation du transfert radiatif. Le domaine spatial des différents milieux est divisé en 100 éléments de volumes de contrôle. Nous étudions principalement l’erreur relative sur le flux radiatif due à l’utilisation des différentes hypothèses simplificatrices de modélisation du transfert radiatif dans les milieux anisotropes de type fibreux : milieu isotrope équivalent et/ou approximation de la fonction de phase par la fonction isotrope ou la fonction de Henyey-Greenstein. La résolution du problème de transfert radiatif avec les propriétés de Mie-Kerker est notre référence. Elle est obtenue avec une quadrature de Gauss à 60 directions et l’intégration azimutale de la fonction de phase est réalisée en utilisant la quadrature de Gauss à 60 directions. Le milieu étant en équilibre radiatif, le flux radiatif est constant et le flux radiatif adimensionné est calculé par la relation suivante

4 40/ (r r B yQ q T Tσ= − ) /V.1/

V.1.1 FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS L’ESPACE Nous étudions la validité des modèles approchés en évaluant l’erreur relative du flux radiatif issu de ces modèles par rapport au modèle de référence utilisant les propriétés radiatives de Mie-Kerker. Les figures V.4 (a) et (b) montrent les variations de l’erreur relative sur le flux radiatif adimensionné en fonction de la quadrature utilisée pour résoudre le problème radiatif à diffusion simplifiée isotrope ou de Henyey-Greenstein lorsque les fibres sont orientées aléatoirement dans l’espace.

10-2

10-1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

102

10 20 30 40 50 60

Milieu 1

Milieu 2

100

X I

QIs

otro

pe-Q

Mie

-Ker

kerI/Q

Mie

-Ker

ker

Milieu 3

Epaisseur (cm) 0,1 1,0 3,0

Quadrature Gauss

Milieu 4

Quadrature Gauss

a) Diffusion isotrope



10-3

10-2

10-1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

10 20 30 40 50 60

100X

IQH

G-Q

Mie

-Ker

kerI/Q

Mie

-Ker

ker

Milieu 1

Milieu 2

Epaisseur (cm) 0,1 1,0 3,0

Milieu 3

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss

b) Diffusion de Henyey-Greenstein

Figure V- 4: Variation de l’erreur relative sur le flux radiatif en fonction de la quadrature : fibres orientées aléatoirement dans l’espace.

Les résultats du problème radiatif utilisant la fonction de phase isotrope ou la fonction

de Henyey-Greenstein sont en parfait accord avec les résultats du problème radiatif utilisant les propriétés de Mie-Kerker pour les quadratures supérieures à 12. L’erreur relative est inférieure à pour toutes les épaisseurs, les quatre milieux et les deux fonctions phases approchées de la diffusion. Notons aussi qu’une meilleure précision est obtenue lorsque la diffusion du milieu est approchée par une fonction de Henyey-Greenstein au lieu d’une fonction isotrope.

2%

Le tableau V.3 donne une comparaison entre les flux radiatifs adimensionnés lorsque

les fonctions de diffusion de Mie-Kerker, Henyey-Greenstein et isotrope sont utilisées pour la résolution du problème de transfert radiatif. Les solutions des problèmes à diffusion de Henyey-Greenstein et isotropes sont obtenues avec la quadrature de Gauss à 12 directions.


Tableau V- 3 : Flux radiatif adimensionné le cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace

On note un bon accord sur le flux radiatif prédit par les modèles utilisant les

approximations de diffusion isotrope et de Henyey-Greenstein et le modèle utilisant les propriétés radiatives de Mie-Kerker pour les quatre milieux : l’erreur relative commise sur le flux radiatif adimensionné est inférieure à 0 ,2%.

Le tableau V.4 donne le temps machine (CPU time : obtenu avec un processeur

Celeron-M, FSB 400 MHz) nécessaire pour obtenir la convergence de la solution du problème de transfert radiatif pour les différentes approximation de la fonction de phase lorsque les fibres sont orientées aléatoirement dans l’espace. Tableau V- 4 : Temps de calcul machine nécessaire pour obtenir la convergence pour les trois fonctions de phase : cas des fibres orientées aléatoirement dans l’espace

Flux radiatif adimensionné

Epaisseur 0 ,1 (cm) 1,0 (cm) 3,0 (cm) Milieu Mie-

Kerker HG Isotrope Mie-


Kerker HG Isotrope

1 0,5993 0.6009 0,6058 0,1415 0.1418 0,1417 0,0525 0.0526 0,0525 2 0,7625 0.7624 0,7737 0,2748 0.2754 0,2753 0,1139 0.1142 0,1140 3 0,2895 0.2896 0,2897 0,0400 0.0401 0,0401 0,0138 0.0138 0,0138 4 0,5607 0.5611 0,5626 0,1205 0.1205 0,1206 0,0439 0.0439 0,0439

Temps machine, (CPU time, s)

Epaisseur 0 ,1 (cm) 1,0 (cm) 3,0 (cm) Milieu Mie-



Kerker HG Isotrope

1 2366 32 1 2414 32 1 2700 28 42 3481 11 2 3495 11 2 3563 9 23 2310 109 1 2460 109 7 3454 97 434 2839 16 1 2863 16 1 3011 14 5


Du tableau précédent, on peut noter que les résultats du problème radiatif à diffusion isotrope et de Henyey-Greenstein sont obtenus respectivement après [ ]1 43 s− et [ ]9 110 s− tandis

qu’il faut [ ]2300 3600 s− pour obtenir la convergence du problème radiatif utilisant les propriétés de Mie-Kerker. Les modèles de solution du problème de transfert radiatif utilisant les approximations de diffusion isotrope et de Henyey-Greenstein sont donc respectivement 80 et 30 fois plus rapides que la solution du problème radiatif faisant appel à la fonction de phase de Mie-Kerker.



V.1.2 FIBRES ORIENTEES ALEATOIREMENT DANS LE PLAN PARALLELE AUX FRONTIERES

Dans le cas de fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, nous

reconsidérons le problème de transfert radiatif dans les quatre milieux fibreux gris de propriétés radiatives définies au tableau V.1. Nous supposons que les milieux anisotropes peuvent être approchés par:

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Milieu 1 Milieu 2 Milieu 3 Milieu 4

Bia

s de

diffu

sion

Direction incidente, µ

1. Un milieu anisotrope de propriétés radiatives directionnelles (figure V.1) et dont l’anisotropie de diffusion est définie par une fonction de phase simplifiée isotrope ou de type Henyey-Greenstein avec un facteur d’asymétrie directionnelle pour chaque direction du rayonnement (figure V.5). Nous nommerons ces modèles de propriétés radiatives Directionnelle par DIS lorsque la fonction de phase du milieu est supposée ISotrope et DHG lorsque la fonction de phase est approchée par la fonction Henyey-Greenstein pour chaque direction du rayonnement incident.

Figure V- 5 : Variation du biais de diffusion en fonction de la direction du rayonnement incident

2. Un milieu isotrope dont les propriétés radiatives sont les Moyennes arithmétiques sur toutes les directions des propriétés radiatives du milieu (Tableau, V.5) et de fonction de phase approchée par une fonction ISotrope : c’est le modèle MIS ; ou par une fonction de type Henyey-Greenstein : c’est le modèle ( )HG g où g est le facteur d’asymétrie moyen calculé par la relation /II.49/.



Tableau V- 5 : Propriétés radiatives moyennes arithmétiques

Fibres orientées aléatoirement dans le plan θf=90°

Milieu

eσ s

σ ω g

1 3944,80 3942,14 0,99932 0,79798 2 1800,93 1797,88 0,99830 0,81090 3 4003,91 1636,30 0,40867 0,48348 4 1640,88 896,505 0,54635 0,75710


)

3. Un milieu isotrope de propriétés radiatives moyennes pondérées P1 des propriétés radiatives du milieu (Tableau V.6) et de fonction de phase approchée ISotrope pour le modèle P1IS ou de type Henyey-Greenstein pour le modèle avec le facteur d’asymétrie

1( PHG g

1Pg est calculé à partir de la relation /II.61/.

Tableau V- 6 : Propriétés radiatives moyennes pondérées P1

Fibres orientées aléatoirement dans le plan θf=90°

Milieu

, 1e Pσ , 1s Pσ 1Pω 1Pg 1 3932,89 3930,24 0,99932 0,77697 2 2178,47 2175,44 0,99861 0,81227 3 3896,10 1528,53 0,39232 0,35025 4 1763,61 1019,25 0,57793 0,66735

Les figures V.6-8 présentent les variations de l’erreur relative sur le flux radiatif

adimensionné en fonction de la quadrature de résolution des problèmes radiatifs à diffusion isotrope (a) ou de type Henyey-Greenstein (b) pour les épaisseurs ( ) respectivement. Les fibres sont orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières.

0,1; 1,0; 3,0 cm




10-2

10-1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

102

10 20 30 40 50 60

Milieu 1

Milieu 2

Milieu 3

DIS P1IS MIS

100X

IQIs

otro

pe-Q

Mie

-Ker

kerI/Q

Mie

-Ker

ker

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss


10-2

10-1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

10 20 30 40 50 60

100X

IQH

G-Q

Mie

-Ker

kerI/Q

Mie

-Ker

ker

Milieu 1

Milieu 2

DHG HG(gP1) HG(g)

Milieu 3

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss


Figure V- 6 : Erreur relative sur le flux radiatif du problème radiatif à diffusion isotrope (a) ou à diffusion de Henyey-Greenstein (b) en fonction de la quadrature ; épaisseur 0,1cm.



10-2

10-1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

102

10 20 30 40 50 60

Milieu 1

Milieu 2

Milieu 3

DIS P1IS MIS

100

X IQ

Isot

rope

-QM

ie-K

erke

rI/QM

ie-K

erke

r

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss


10-1

100

101

102

103

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

102

10 20 30 40 50 60

Milieu 1

Milieu 2

DHG HG(gP1) HG(g)

100X

IQH

G-Q

Mie

-Ker

kerI/Q

Mie

-Ker

ker

Milieu 3

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss



Chapitre V Applications

___________________________________________________________________________

10-2

10-1

100

101

102

0 10 20 30 40 50 6010-3

10-2

10-1

100

101

102

10 20 30 40 50 60

Milieu 1

Milieu 2

Milieu 3

DIS P1IS MIS

100

XIQ

Isot

rope

-QM

ie-K

erke

rI/QM

ie-K

erke

r

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss


10-2

10-1

100

101

102

103

0 10 20 30 40 50 6010-2

10-1

100

101

10 20 30 40 50 60

Milieu 1

Milieu 2

DHG HG(gP1) HG(g)

100X

IQH

G-Q

Mie

-Ker

kerI/Q

Mie

-Ker

ker

Milieu 3

Quadrature de Gauss

Milieu 4

Quadrature de Gauss





Il ressort des figures V.6-8 que les résultats du modèle de transfert radiatif à diffusion isotrope ou Henyey-Greenstein utilisant les propriétés radiatives moyennes arithmétiques (MIS et ( )HG g : en vert sur les figures) présentent des grands écarts par rapport aux résultats du problème radiatif de références calculés à partir de la théorie de Mie-Kerker : l’erreur relative varie entre 3-20%. Ce modèle est donc peu précis pour l’analyse du transfert radiatif dans les milieux fibreux.

Les résultats des modèles de transfert radiatif issus des propriétés radiatives directionnelles (DIS et DHG) ou de propriétés radiatives moyennes pondérées déduites de la méthode P1 (P1IS et ) sont en bon accord avec les résultats du problème radiatif utilisant la théorie de Mie-Kerker pour les quadratures supérieures à 12 : l’erreur relative est inférieure à 2% pour tous les cas étudiés.

1( PHG g )

)

Les tableaux V.7-9, donnent le flux radiatif adimensionné dans le cas de fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières pour les trois épaisseurs

respectivement et pour les différents modèles de transfert radiatif. Les solutions des problèmes radiatifs à diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein sont obtenues avec 12 directions de la quadrature de Gauss. Comme nous l’avons observé dans l’analyse des résultats des variations de l’erreur relative en fonction de la quadrature, des écarts apparaissent entre le flux adimensionné du modèle utilisant les propriétés moyennes arithmétiques (MIS et

(0,1; 1,0; 3,0 cm

( )HG g ) et le flux du problème radiatif issu de la théorie de Mie-Kerker. Les résultats du flux radiatif adimensionné obtenus avec les propriétés radiatives directionnelles (DIS et DHG) ou les moyennes pondérées P1 (P1IS et ) sont en bon accord avec les résultats du problème radiatif de référence utilisant la théorie de Mie-Kerker.

1( PHG g )

Tableau V- 7 : Flux radiatif adimensionné ; épaisseur 0,1 cm.


Henyey-Greenstein Isotrope

Milieu Mie- Kerker DHG P1HG MHG DIS P1IS MIS

1 0,57852 0,58252 0,57977 0,60095 0,58973 0,58404 0,60585 2 0,74764 0,75126 0,73198 0,76220 0,76012 0,74198 0,77348 3 0,27913 0,27905 0,27899 0,28787 0,27957 0,27904 0,28797 4 0,54058 0,54209 0,53383 0,56163 0,54386 0,53524 0,56315



Henyey - Greenstein Isotrope

Milieu Mie- Kerker DHG P1HG MHG DIS P1IS MIS

1 0,12988 0,12989 0,13065 0,14185 0,13006 0,13059 0,14172 2 0,24302 0,24411 0,24121 0,27513 0,24503 0,24103 0,27504 3 0,03811 0,03801 0,03806 0,03975 0,03796 0,03807 0,03975 4 0,10941 0,10935 0,10880 0,12077 0,10957 0,10882 0,12078





Flux radiatif adimensionné Henyey-Greenstein Isotrope

Milieu Mie-

Kerker DHG P1HG MHG DIS P1IS MIS 1 0,04770 0,04764 0,04802 0,05260 0,04762 0,04797 0,05252 2 0,09727 0,09765 0,09709 0,11407 0,09776 0,09690 0,11388 3 0,01306 0,01302 0,01304 0,01363 0,01300 0,01304 0,01363 4 0,03948 0,03942 0,03930 0,04403 0,03950 0,03931 0,04403

Les tableaux V.10-12 comparent le temps machine (CPU time) nécessaire pour obtenir la convergence du problème radiatif utilisant les propriétés de la théorie de Mie-Kerker et les problèmes radiatifs à diffusion isotrope ou Henyey-Greenstein.

Tableau V- 10 : Temps machine nécessaire pour obtenir la convergence des problèmes radiatifs : fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, épaisseurs 0,1cm.

Temps machine (CPU time, s) Henyey-Greenstein Isotrope

Milieu Mie-

Kerker DHG P1HG MHG DIS P1IS MIS 1 3781 123 445 178 42 147 78 2 3307 128 1227 392 57 607 191 3 3307 191 826 230 37 359 70 4 4364 113 880 181 46 431 85

Tableau V- 11 : Temps machine nécessaire pour obtenir la convergence des problèmes radiatifs : fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, épaisseurs 1,0 cm


Milieu Mie-




Tableau V- 12 : Temps machine nécessaire pour obtenir la convergence des problèmes radiatifs : fibres orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières, épaisseurs 3,0 cm.


Milieu Mie-


On peut noter sur les tableaux V.10-12 que les solutions des problèmes radiatifs à diffusion isotrope nécessitent [ ]41 81 s− pour le modèle DIS, [ ]130 600 s− pour le modèle P1IS et

[ ]80 190 s− pour le modèle M1IS ; les solutions des problèmes radiatifs à diffusion de

Henyey-Greenstein nécessitent [ ]110 190 s− pour le modèle DHG, [ ]400 1300 s− pour le

modèle P1HG et [ ]180 400 s− et pour le modèle M1HG. Les modèles de résolution de transfert radiatif utilisant les approximations isotropes DIS, P1IS et MIS sont respectivement 50, 10 et 25 fois plus rapide que la solution du problème radiatif de propriétés radiatives issus de la théorie de Mie-Kerker tandis que les modèles utilisant la fonction de phase de Henyey-Greenstein DHG, P1HG et MHG sont respectivement 25, 5 et 10 plus rapide que le problème radiatif utilisant les propriétés radiatives de Mie-Kerker.

Dans cette section, nous avons analysé l’influence de l’utilisation des fonctions de phase approchées isotrope et Henyey-Greenstein sur le transfert radiatif dans les milieux anisotropes et principalement fibreux. Nous avons considéré des milieux fibreux gris en équilibre radiatif et soumis à des conditions aux limites de températures imposées aux faces supposées noires.

Il ressort de la comparaison entre les flux radiatifs adimensionnés obtenues en

utilisant la théorie de Mie-Kerker et en supposant les approximations de diffusion isotrope, de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou de milieu isotrope équivalent que les modèles simplifiés sont valables puisque les résultats sont en bon accord. Cependant, la modélisation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes par un modèle de transfert radiatif dans un milieu isotrope de propriétés radiatives moyennes arithmétiques sur toutes les directions des propriétés radiatives du milieu est peu précis (Kamdem-Tagne et Baillis, 2005).



V.2 MODELISATION DU TRANSFERT COUPLE CONDUCTION/RAYONNEMENT DANS LES LAINES DE VERRE

Afin d’étudier l’influence des modèles plus ou moins simplifiés, nous avons dans une première étape supposé le cas de l’équilibre radiatif et considéré des milieux anisotropes gris. Nous étudions maintenant les milieux non gris de type laine de verre. La modélisation et la résolution du transfert couplé conduction/rayonnement dans les milieux fibreux a été entreprise par Boulet et co-auteurs (1992, 1993), Lee et Cunnington (2000). Ces auteurs montrent une bonne concordance entre les résultats expérimentaux et des résultats de prédiction basés sur l’utilisation des propriétés radiatives de Mie-kerker. Cependant la prédiction du transfert radiatif dans ces milieux utilisant la théorie de Mie-Kerker nécessite un temps de calcul important (Dombrovsky, 1996 ; Asllanaj et co-auteurs, 2001 a & b) d’où la nécessité de simplifier la résolution du problème radiatif.

V.2.1 DESCRIPTIF DES LAINES DE VERRE

Les échantillons de laine de verre ont été fournis par la société Saint-Gobain, Centre de Recherche de Rantigny. Ce sont des formettes de fibres composées de 60-65% de SiO2, 14-16% de Na2O, 7-10% de CaO, 4-7% de B2O3, 2-4% de Al2O3 et MgO. La masse volumique du verre est de 2520 kg/m3 et les fibres sont orientées aléatoirement dans des plans comme le montre la figure V.9 ci-dessous

Figure V- 9 : Photo MEB de laine de verre




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Fréq

uenc

e de

s fib

res,

X i (%)

Diamètre des fibres (µm)

Nous disposons de trois types de laines de verre légères d’épaisseur de 4 et de masse volumique11 , et respectivement. La porosité des milieux fibreux est : 99,55% ; 99,01% ; 98,02% respectivement pour ces échantillons. La distribution des diamètres de fibre des laines de verre légères est donnée par l’histogramme de la figure V.10.

,0 cm3, 25 /kg m 325,0 /kg m 350,0 /kg m

Figure V- 10 : Histogramme de la distribution des diamètres

Un paramètre important dans la prédiction des propriétés radiatives des milieux semi – transparents de distribution de diamètre non uniforme est le rayon effectif r donné par la relation (Hansen et Travis, 1974 ; Brewster, 1992)

32

2

1

2

1

3

32 2

( )

( )

r

rr

r

r N r drr

r N r dr=

∫∫

/V.2/

où est la distribution des diamètres des fibres ( )N r Dans le cas de milieux fibreux avec une distribution discrète, la distribution pour chaque rayon est donnée par la relation /IV.12/

2( ) ii i

i

fvN rr

χπ

= /IV.3/

avec iχ la fréquence des fibres de rayon et ir fv la fraction volumique du milieu fibreux.

Des relations /V.2-3/, il vient, 3

132

2 1

1

( )

( )

Ndis

i i i Ndisi

i iNdisi

i i ii

r N rr r

r N rχ=

=

=

= =∑

∑∑

/V.4/



Ainsi le rayon effective des échantillons de laines légères déduit de l’histogramme de la figure V.9 est de1

32r,85µm . La figure V.11 représente les variations de l’indice optique en

fonction de la longueur d’onde. Ces indices ont été fournis par Saint-Gobain.

0 10 20 30 40 50 600,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

n k

Indi

ces o

ptiq

ues:

n λ,kλ

Longueur d'onde [µm]

Figure V- 11 : Indices optiques du verre en fonction de la longueur d’onde

Les principales caractéristiques des différents échantillons de laine de verre légères sont

récapitulées dans le tableau V.13 ci-dessous

Tableau V- 13 : Caractéristiques des laines de verre légères

Echantillon Epaisseur

(cm) Masse

volumique(kg/m3)

Porosité(%)

Rayoneffectif (µm)

E1 4,0 11,25 99,55 1,85 E2 4,0 25,00 99,01 1,85 E3 4,0 50,00 98,02 1,85

Dans toute la suite, nous considérerons que les fibres ont un rayon constant . 32r r=




V.2.2 PROPRIETES RADIATIVES DES LAINES DE VERRE

La figure V.12 montre les variations des coefficients d’extinction et de diffusion moyens des échantillons avec la longueur d’onde.

0 10 20 30 40 50 600,01

0,1

1

10

Extinction

Diffusion

Coef

ficie

nts d

'extin

ctio

n,di

ffusio

nπσ

e,s/2

rN(r

)

Longueur d'onde (µm)

Moyenne arithmétique Moyenne pondérée P1

Figure V- 12 : Variation des coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de la longueur d’onde : comparaison des moyennes arithmétiques et pondérée P1

Ces milieux fibreux sont purement diffusants lorsque la longueur d’onde est inférieure à 4,0µm , et absorbants/diffusants dans le reste du domaine spectral. Pour la longueur d’onde de 7,9µm , les valeurs des coefficients d’extinction et de diffusion chutent : c’est le phénomène de Christiansen dû à la valeur de l’indice complexe de réfraction du milieu proche de celui de l’air à cette longueur d’onde. On observe sur la figure V.12 un faible écart entre les valeurs moyennes arithmétiques et pondérées P1 lorsque 25µmλ < . Pour 25µmλ > les valeurs moyennes pondérées P1 d’extinction et diffusion sont supérieures aux valeurs moyennes arithmétiques.

L’un des paramètres nécessaire pour le calcul des propriétés radiatives des modèles de transfert radiatif à diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein est le facteur d’asymétrie. Les variations de ce paramètre en fonction de la longueur d’onde sont données sur la figure V.13 en considérant des moyennes arithmétique et pondérée P1.

On note que l’écart entre les facteurs d’asymétries calculés à partir des hypothèses de moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 est relativement faible pour 4µmλ < et



devient de plus en plus important lorsque λ augmente. Cela traduit la forte dépendance de la fonction de phase de Mie-Kerker et du biais de diffusion des fibres orientées dans le plan parallèle aux frontières en fonction des directions du rayonnement incident quand λ augmente et est supérieur à 4µm .

0 10 20 30 40 50 600,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Fact

eur d

'asym

étrie

Longueur d'onde (µm)

Moyenne arithmétique Moyenne pondérée P1

Figure V- 13 : Facteur d’asymétrie en fonction de la longueur d’onde

Les paramètres radiatifs de modélisation du transfert couplé conduction rayonnement étant connus, nous pouvons analyser l’erreur due à la simplification de l’anisotropie de diffusion sur la prédiction de la conductivité thermique totale du milieu fibreux. Le milieu semi transparent est soumis à une différence de température de par rapport à une température moyenne de . Afin de simplifier le calcul des propriétés radiatives, nous supposons que les fibres du milieu ont un rayon uniforme et donné au tableau V.13.

2K296K

V.2.3 CALCULS DES FLUX RADIATIF, CONDUCTIF ET TOTAL

L’équation du transfert radiatif est résolue par la méthode des ordonnées discrètes couplée à la méthode des volumes de contrôle pour la discrétisation spatiale. La quadrature de Gauss est utilisée pour la discrétisation angulaire du problème de transfert radiatif et le domaine spatial est divisé en 80 éléments de volume de contrôle uniformes. L’équation du transfert couplé conduction/rayonnement est résolue par la méthode des volumes de contrôle décrite au chapitre III. La figure V.14 présente les variations du flux radiatif en fonction de la



position dans le milieu de l’échantillon E1. Cette figure montre aussi l’influence du nombre de directions de la quadrature nécessaire pour obtenir la convergence du problème de transfert radiatif dans un milieu fibreux de propriétés radiatives calculées par la théorie de Mie-Kerker.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,040,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

Flux

radi

atif

(W.m

-2)

Position dans le milieu (m)

Directions de Gauss 12 24 40 60

Figure V- 14 : Influence du nombre de directions de la quadrature sur la solution du problème de transfert radiatif.

On constate qu’il faut au minimum 40 directions de la quadrature de Gauss pour obtenir la convergence de la solution de l’équation de transfert radiatif. Nous utiliserons une quadrature de Gauss avec 60 directions pour la discrétisation angulaire du problème de transfert radiatif avec fonction de phase de Mie-Kerker. Nous avons montré dans la section précédente que le nombre de directions de quadrature nécessaire pour résoudre le problème de transfert radiatif avec les hypothèses simplificatrices de milieu isotrope et/ou diffusion isotrope ou de type Henye-Greenstein était inférieur à celui du problème radiatif faisant appel à la fonction de phase de Mie-Kerker. Une quadrature de 24 directions est suffisante pour la résolution du problème de transfert radiatif basé sur les hypothèses simplificatrices.

Les figures V15-20 présentent les variations des flux radiatif, conductif et total des échantillons E1 et E2, E3 en fonction de la position dans le milieu. Ces figures montrent aussi l’effet de l’utilisation de l’approximation de diffusion isotrope sur les flux (figures V.15-V.17) et l’effet de l’utilisation de l’approximation de diffusion de Henyey-Greenstein sur les flux (figures V.18-20).


0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

Flux conductif

Flux total

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)

position dans le milieu (m)

Fl

ux ra

diat

if (W

.m-2)

Fonction de diffusion: Mie-Kerker

Isotrope DIS P1IS MIS

Figure V- 15 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion isotrope ; échantillon E1.



0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1,35

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

Flux total

Flux conductif

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m


-2)


Flux

radi

atif

(W.m

)

Fonction de diffusion:

-2 Mie-Kerker




___________________________________________________________________________


0,00 0,01 0,02 0,03 0,041,40

1,45

1,50

1,55

0,075

0,100

0,125

Flux total

Flux conductif

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)


Fonction de diffusion:

Flux

radi

atif

(W.m

-2

)

Mie-Kerker




0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

Flux conductif

Flux total

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)


Flux

radi

atif

(W.m


-2)


Henyey-Greenstein (HG) DHG HG(gP1) HG(g)

Figure V- 18 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et la fonction de diffusion de Henyey-Greenstein ; échantillon E1.


0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1,35

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,24

Flux conductif

Flux total

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)


Fl

ux ra

diat

if (W

.m


-2)


Henyey-Greenstein (HG) DHG HG(g

P1)

HG(g)



0,00 0,01 0,02 0,03 0,041,40

1,45

1,50

1,55

0,075

0,100

0,125

Flux total

Flux conductif

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)


Fl

ux ra

diat

if (W

.m-2)


Henyey-Greenstein (HG) DHG HG(gP1) HG(g)




La représentation de la variation des flux radiatif, conductif et total en fonction de l’épaisseur du milieu montre :

1) un bon accord entre le modèle de transfert radiatif utilisant la fonction de

phase de Mie-Kerker et le modèle approché basés sur l’hypothèse de diffusion isotrope ou Henyey-Greenstein avec des propriétés radiatives directionnelles : l’erreur relative sur le flux radiatif est inférieure à 2% ;

2) un bon accord entre le modèle de transfert radiatif utilisant la fonction de Mie-Kerker et le modèle faisant appel à l’hypothèse de milieu isotrope de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein et de propriétés radiatives moyennes pondérées P1 des propriétés radiatives du milieu : l’erreur relative est inférieure à 2% ;

3) une prédiction érronée du flux radiatif par le modèle de transfert radiatif dans un milieu isotrope à diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein et de propriétés radiatives moyennes arithmétiques sur toutes les directions des propriétés radiatives du milieu. L’écart entre ce modèle et le modèle utilisant la fonction de Henyey-Greenstein est d’environ 10%.

Ces conclusions confirment celles de la section précédente établies en considérant un

problème de transfert radiatif pur dans le cas d’un milieu gris. Notons aussi que ces conclusions sont les mêmes si le milieu est soumis à une différence de température plus importante mais de valeur moyenne . 296K Bien que la résolution de l’équation de transfert radiatif est facilitée par l’utilisation des hypothèses de milieu isotrope et/ou de fonction de phase isotrope ou de type Henyey-Greenstein, la résolution du problème de transfert radiatif reste délicat compte tenu de l’équation intégro-différentielle de transfert radiatif à résoudre. Les difficultés lièes à la manipulation de cette équation peuvent être levées en utilisant des modèles analytiques tels que le modèle de diffusion de Rosseland. L’utilisation du modèle de Rosseland pour la modélisation du transfert radiatif dans les milieux anisotropes présente un inconvénient majeur : ce modèle a été établi pour les milieux isotropes. Afin d’adapter cette méthode au cas des milieux anisotropes, nous avons suggéré au chapitre III, l’utilisation des hypothèses de milieux isotropes équivalents de propriétés radiatives moyennes arithmétiques ou moyennes pondérées P1. Nous évaluons ci-dessous la validité de ces hypothèses lorsque le transfert radiatif dans ces milieux fibreux anisotropes est modélisé par l’approximation de Rosseland.

Les figures V.21-23 présentent une comparaison entre le flux radiatif prédit par la

méthode des ordonnées discrètes avec diffusion anisotrope de Mie-Kerker et la méthode de Rosseland. Ces figures montrent que, quel que soit le modèle de propriétés radiatives moyennes (arithmétiques ou pondérées P1) utilisé, le flux radiatif prédit par la méthode de Rosseland présente des écarts comparativement au flux radiatif calculé par la méthode des ordonnées discrètes. L’erreur relative varie de [ ]0, ,55 %… , [ ]0, ,70… % lorsque les propriétés radiatives du modèle de Rosseland sont des moyennes arithmétiques ou des moyennes pondérées P1 respectivement. On note cependant que l’utilisation des propriétés radiatives moyennes arithmétiques dans le modèle de Rosseland donne une meilleure prédiction du flux radiatif que l’utilisation des propriétés radiatives moyennes pondérées P1. Le flux total prédit par le modèle de Rosseland avec des propriétés radiatives moyennes arithmétiques est très proche de celui obtenu par la méthode des ordonnées discrètes.




,3

,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1

1

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Flux conductif

Flux total

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)

Position dans le milieu,m

Fl

ux ra

diat

if (W

.m)

-2 Diffusion anisotrope: Mie-Kerker

Rosseland: moyennes pondérées P1 Rosseland: moyennes arithmétiques

Figure V- 21 : Flux radiatif et conductif en fonction de la position dans le milieu : comparaison influence fonction de phase Mie-Kerker et approximation de diffusion de Rosseland ; Echantillon E1.



0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1,35

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

0,15

0,20

Flux conductif

Flux total


Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)

Flux

radi

atif

(W.m

-2

)

Diffusion anisotrope: Mie-Kerker

Rosseland: moyennes pondérées P1 Rosseland: moyennes arithmétiques



___________________________________________________________________________


0,00 0,01 0,02 0,03 0,041,40

1,45

1,50

1,55

0,075

0,100

0,125

Flux total

Flux conductif

Flux

con

duct

if et

tota

l (W

.m-2)


2 )Fl

ux ra

diat

if (W

.m-

Diffusion anisotrope: Mie-Kerker Rosseland: moyennes pondérées P1 Rosseland: moyennes arithmétiques




0,00 0,01 0,02 0,03 0,04

1,35

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

0,15

0,20

0,25

Fl

ux c

ondu

ctif

et to

tal (

W.m

-2)

Conductif

Total


Fl

ux ra

diat

if (W

.m-2)

Ordonées discrétes Modéle de Rosseland Mie-Kerker HG( g

P1

) moyennes pondérées P1 HG(g) moyennes arithmétiques

Le flux radiatif et total prédit par le modèle de Rosseland avec les propriétés radiatives moyennes arithmétiques sous estime les flux radiatif et total prédit par le modèle de transfert radiatif utilisant l’hypothèse de milieu isotrope à diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein comme le montre la figure V.24 ci-dessous

Figure V- 24 : Variation du flux en fonction de la position dans le milieu : comparaison méthode des ordonnées discrètes et approximation de diffusion de Rosseland pour différentes milieu équivalent isotrope; Echantillon E2.


Comme le montre la figure V.24, le relatif bon accord sur les flux radiatif et total obtenu par la méthode Rosseland ne saurait être une validation de cette méthode pour la prédiction du transfert radiatif dans les milieux anisotropes. La divergence du modèle Rosseland utilisant les propriétés moyennes P1 par rapport au modèle faisant appel aux propriétés de Mie-Kerker ou de l’hypothèse de milieu isotrope de propriétés radiatives moyennes pondérées P1 nous permet de conclure que le modèle de Rosseland doit être utilisé avec précaution pour modéliser le transfert radiatif dans les milieux anisotropes fibreux. V. 2.4 CONDUCTIVITE THERMIQUE EXPERIMENTALE ET THEORIQUE

La conductivité thermique est un paramètre représentatif du comportement thermique des matériaux. Ce paramètre peut être déterminé à partir d’une expérience ou à partir de modèle théorique. Nous discutons ci-dessous la validité des hypothèses de milieu isotrope et/ou de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein formulées pour la prédiction de la conductivité thermique des isolants fibreux.

V.2.4.1 MESURE DE LA CONDUCTIVITE THERMIQUE La conductivité thermique peut être obtenue expérimentalement par les méthodes

photothermiques impulsionnelle ou périodique (Goyhénèche, 1997) ; ou par les méthodes de plaque chaude gardée ou par des mesures fluxmétriques (Coquard et Baillis, 2007). Dans le cas des mesures photothermiques, la conductivité thermique équivalente ou apparente est déduite de la diffusivité thermique apparente du matériau. Dans le cadre de notre étude, la conductivité thermique est déduite de la méthode de plaque chaude gardée ou par mesure fluxmétrique. Ces méthodes consistent à mesurer le flux thermique traversant un échantillon plat dont la température de l’une des faces est contrôlée (face chaude) et dont la face opposée (face froide) est en contact avec un récepteur thermique (Figure V.25). L’échantillon dont on désire connaître la conductivité thermique équivalente est découpé en plaque parallélépipédique de base carrée (dimension 300 mmx300 mm pour le dispositif du CSTB Grenoble) et d’épaisseur . Les dimensions des plaques perpendiculaires au gradient de température doivent être nettement plus importantes que l’épaisseur d’isolant pour s’assurer que le transfert thermique qui s’établit au sein de l’isolant est monodimensionnel en géométrie cartésienne et que les effets de bords sont négligeables. Dans le cas où un dispositif de garde est utilisé pour annuler les pertes thermiques sur les bords de l’échantillon, on parle de mesures par « plaques chaudes gardées ». En revanche, lorsqu’une simple isolation (plaques de polyuréthane) est utilisée pour limiter les pertes thermiques, on parle de mesures fluxmétriques.

y

L’échantillon est placé entre deux plaques planes en regard de températures et 0T yT

différentes. Un flux de chaleur s’installe alors entre les deux plaques. L’obtention d’un régime quasi-permanent ou permanent permet le calcul, à partir de la mesure des températures et du flux thermique, d’une conductivité thermique équivalente. Le temps d’attente nécessaire pour que le transfert de chaleur au sein de l’isolant atteigne le régime établi dépend des conditions de mesures et des caractéristiques du milieu isolant. En pratique, pour s’assurer que le régime



établi est atteint, les mesures sont effectuées lorsque les fluctuations sur la valeur de mesurée restent inférieures à une valeur limite suffisamment petite pendant un laps de temps prédéfini. Lorsque le transfert thermique est parfaitement établi (plus de variations temporelles de température ni de flux au sein de l’isolant), la conductivité thermique équivalente est déduite des mesures du flux de chaleur au niveau des deux plaques, En effet, on a la relation :

tq

. .t t

t t t

q y q yTq k ky T

∆∆= − ⇔ = =

∆ ∆ T∆ /V.5/

où qt (W/m²) est la moyenne des flux thermiques surfaciques et mesurés au

niveau des plaques chaude et froide respectivement : 0Tq

yTq

0

2yT T

t

q qq

+= /V.6/

Figure V- 25 : Illustration des dispositifs utilisés pour les mesures par plaques chaudes gardées ( R. Coquard, 2004)



La conductivité thermique équivalente des laines de verre est déduite de la relation

/V.5/. Les mesures de conductivité thermique équivalente du milieu fibreux de 11,25 kg/m3 ont été effectuées par Saint-Gobain par méthode de plaque chaude gardée tandis que ceux des échantillons de laine de verre de masse volumique 25 et 50 kg/m3 ont été réalisé par Coquard∗ au Centre Scientifique et Technique du Bâtiment par mesure fluxmétrique. Le milieu semi transparent est soumis à une différence de température de 2 par rapport à une température moyenne de . Les valeurs de la conductivité thermique expérimentale des laines de verre sont résumées dans le tableau ci-dessous :

K296K

Tableau V- 14 : Conductivité thermique des laines de verre

Masse volumique (kg/m3) 11,25 25 ,00 50,00 Conductivité thermique totale (mW/m/K) 40,0 33,3 31,4

L’incertitude sur les valeurs de conductivité thermique équivalente mesurées à l’aide du dispositif flux métrique a été estimée à 10%± .

V.2.4.2 PREDICTION THEORIQUE DE LA CONDUCTIVITE THERMIQUE

La prédiction de la conductivité thermique totale des milieux fibreux nécessite la

modélisation et la résolution du transfert couplé conduction/rayonnement dans ces milieux. La résolution du problème couplé conduction/rayonnement sera effectuée en utilisant les approximations de diffusion isotrope et de Henyey-Greenstein. Nous utiliserons la théorie de Mie-Kerker pour prédire les propriétés radiatives du milieu fibreux. La conductivité thermique phonique du milieu est déduite de la relation /III .21/. Les tableaux V.15-16 présentent la conductivité thermique équivalente des échantillons E1, E2, E3. La conductivité thermique de ces milieux a été prédite en formulant les hypothèses de diffusion isotrope, de diffusion anisotrope de Henyey-Greenstein et/ou de milieu isotrope.

Tableau V- 15 : Conductivité thermique des milieux fibreux : utilisation de l’hypothèse de diffusion isotrope.

Conductivité thermique équivalente totale

Fonction de phase Rosseland Isotrope

Echantillon (masse volumique :

kg/m3) Expérimentale

Mie-Kerker DIS P1IS MIS

Moyenne P1

Moyenne arithmétique

E1(11,15) 40,0 35,86 35,98 35,92 36,58 35,98 35,17 E2(25,0) 33,3 31,48 31,58 31,55 31,86 31,47 31,10 E3(50,0) 31,4 30,57 30,61 30,60 30,76 30,53 30,35


∗ Post- doctorant, au CETHIL



Tableau V- 16 : Conductivité thermique des milieux fibreux : utilisation de l’hypothèse de diffusion anisotrope.

Conductivité thermique équivalente totale(mW/m.K)

Fonction de phase Henyey-Greenstein

Echantillon (masse volumique :

kg/m3)

Expérimentale

Mie-KerkerDHG ( )eqHG g ( )HG g

E1(11,15) 40,0 35,86 35,89 35,92 36,59 E2(25,0) 33,3 31,48 31,48 31,55 31,87 E3(50,0) 31,4 30,57 30,58 30,60 30,76 Les tableaux V.15-16 montre un bon accord entre la conductivité thermique

expérimentale et la conductivité thermique totale théorique obtenue en utilisant les fonctions de diffusion de Mie-Kerker et les modèles de transfert radiatif basés les hypothèses de milieu isotropes et/ou diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein : les écarts relatifs restent inférieurs à 10% pour les cas étudiés. Nous avons représenté sur les histogrammes (Figures 26-28) les erreurs relatives sur la conductivité radiative suivant la fonction de phase utilisée pour résoudre le problème de conduction/rayonnement par rapport à la conductivité radiative de la solution de référence de Mie-Kerker. Ces histogrammes montrent l’erreur relative commise sur la conductivité radiative en utilisant les différentes approximations théoriques. Les écarts restent inférieurs à 10% par rapport à la solution de référence calculée à partir de la théorie de Mie-Kerker.

DIS P1IS MIS Rosseland (g moy. arith.)

Rosseland (g moy. p1)

-- DHG HG(g moy. P1)

HG(g moy. arith.)

0

2

4

6

8

10

Erre

ur re

lativ

e su

rla

con

duct

ivité

radi

ativ

e (%

)

Approximation de la diffusion

Figure V- 26 : Histogramme de l’erreur relative sur la conductivité radiative : échantillon E1







HG(g moy. arith.)

0

2

4

6

8

10

Erre

ur re

lativ

e su

rla

con

duct

ivité

radi

ativ

e (%

)





HG(g moy. arith.)

0

2

4

6

8

10

12

Erre

ur re

lativ

e su

r la

con

duct

ivité

radi

ativ

e (%

)


Figure V- 27 : Histogramme de l’erreur relative sur la conductivité radiative : échantillon E2.

Figure V- 28 : Histogramme de l’erreur relative sur la conductivité radiative : échantillon E3


V.3 IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES

La méthode d’identification des paramètres est utilisée pour déterminer expérimentalement les propriétés radiatives des milieux semi transparents (chap IV). Elle est basée sur la minimisation des écarts de transmittances et réflectances théorie – expérience. Dans cette approche, les valeurs expérimentales sont obtenues à partir de mesures directionnelles – hémisphériques et/bidirectionnelles. Les valeurs théoriques nécessaire à l’identification des paramètres radiatifs sont obtenues par simulation du problème radiatif sous incidence collimatée. La modélisation du problème radiatif fait généralement appel à des fonctions de phase de type isotrope ou Henyey-Greenstein pour la plupart des cas. Nous avons montré dans la section précédente qu’il était possible de modéliser le problème de transfert radiatif dans les milieux anisotropes soumis à des conditions aux limites diffuses par un problème de transfert radiatif dans un milieu isotrope équivalent. Nous discuterons dans cette section, la validité des hypothèses simplificatrices de diffusion isotrope ou de type Henyey-Greenstein et/ou de milieu isotrope pour la modélisation du transfert radiatif dans les milieux anisotropes fibreux sous incidence collimatée. Nous discuterons aussi de la relation entre les propriétés radiatives des milieux anisotropes issues de la théorie de Mie-Kerker et les propriétés radiatives identifiés basées sur l’hypothèse de milieu isotrope.

V.3.1 DESCRIPTIF DE L’ECHANTILLON

Les échantillons précédents étant de grandes dimensions et ne pouvant pas être découpé n’ont pas été utilisés pour les mesures en transmittance et réflectance. Nous disposons d’un échantillon de laine de verre dense fourni par la société Isover Saint-Gobain, centre de recherche de Rantigny. La composition chimique de la laine de verre est : de SiO%6560 − 2,

de Na%1614 − 2O, de CaO, %107 − %74 − de B2O3, %42 − de Al2O3 et MgO. L’échantillon a une épaisseur de 1mm et une masse volumique 141 kg /m3 soit une porosité de 94,41%. La distribution des diamètres des fibres est donnée par l’histogramme de la figure V.29. La distribution des diamètres des fibres de l’histogramme de la figure V.29 est une fonction du pourcentage des volumes des diamètres des fibres contenu dans un intervalle. Le calcul du rayon effectif d’une distribution uniforme nécessite la connaissance de la distribution des diamètres en fonction de la fraction volumique des fibres. La distribution des diamètres des fibres en fonction de la fraction des fibres est déduite de la distribution en fonction du pourcentage en volume des fibres par les relations :

32a

trr NN

ii/=χ /V.7/

∑∞

=

=1

1i

riχ /V.8/

∑∞

=

=1

/i

rrrrr iiiiiNVNVϑ /V.9/

avec ir

χ la fraction des fibres de rayon , le nombre de fibre de rayon et le nombre total de fibre, le volume d’une fibre de rayon ,

ir tr NNi,

ir irV ir ir

ϑ le pourcentage en volume des fibres.



1,4-22-33-44-55-66-77-88-99-1010-1111-1212-1313-1414-1515-1616-1717-1818-1919-20

0

2

4

6

8

10

12

14

% v

olum

e

Diamètre des fibres (µm)

Figure V- 29 : Histogramme des diamètres de la laine de verre dense

Nous avons procédé au calcul du rayon effectif r en considérant les bornes minimale (

32

0,5µm− ) et maximale ( 0,5µm+ ) de rayons sur chaque intervalle : ± étant la précisions sur la détermination du rayon. L’intervalle de rayon effectif correspondant est [ . Les indices optiques de l’échantillon de la laine de verre dense sont identiques à ceux de la laine de verre légère de la figure V.11. Les principales caractéristiques de la laine de verre dense sont récapitulées dans le tableau V.17 ci –dessous

µm5,0

]µm0,530,3 …

Tableau V- 17 : Caractéristiques de la laine de verre dense étudiée

Echantillon Epaisseur (cm) Masse volumique

(kg/m3) Porosité

(%) rayon

effectif (µm) E4 0 ,1 141,0 94,41 [ ]3,3 5,0




V.3.2 PROPRIETES RADIATIVES Les fibres du milieu sont orientées aléatoirement dans le plan parallèle aux frontières

et la distribution de diamètres de fibre est donnée par la figure V.29. Afin de simplifier, le calcul des propriétés radiatives, nous supposons que les fibres du milieu ont une distribution de taille uniforme dont les propriétés sont résumées dans le tableau V.17. Le calcul des propriétés radiatives par la théorie de Mie-Kerker dans les parties suivantes ont été effectués avec un rayon (celui-ci étant le mieux appropriés par rapport aux résultats expérimentaux de transmittances et réflectances). La figure V.30 montre les variations des coefficients d’extinction et de diffusion moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 sur toutes les directions, des milieux isotropes équivalent au milieu anisotrope. Cette figure montre aussi les variations des coefficients d’extinctions et de diffusion réduits isotrope moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1. L’épaisseur du milieu étant de 1 mm, on note que les milieux isotropes équivalents sont optiquement épais

32 3, 4r = µm

[ ]4, 40yτ ∈ et les milieux isotropes réduits équivalents optiquement minces [ ]0,55,2∈yτ .

10

20

30

40

2

3

4

5

2 3 4 5 6 7 8

10

20

30

40

3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

Coef

ficie

nts d

'extin

ctio

n(1

/mm

)

σe,P1

σe

σ*e,P1

σ*e

Coe

ffici

ents

de d

iffus

ion

(1/m

m)


σs,P1

σs


σ*s,P1

σ*s

Figure V- 30 : Variation des coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de la longueur d’onde.

La figure V.31 présente les variations du facteur d’asymétrie des milieux supposés isotropes en fonction de la longueur d’onde.


2 3 4 5 6 7 80,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Fact

eur d

'asym

étrie


gP1

g

Figure V- 31 : Variation du facteur d’asymétrie en fonction de la longueur d’onde : influence des hypothèses de milieu isotrope équivalent.

Les facteurs d’asymétrie du milieu isotrope de propriétés radiatives moyennes arithmétiques sont supérieurs à ceux du milieu isotrope de propriétés moyennes pondérées. Cette figure traduit aussi la dépendance très importante de la fonction de phase en fonction de la direction du rayonnement incident notamment pour [ ]25,45,2∈λ et [ ]85,5∈λ notamment lorsque 1Pg ≠ g . La figure V.32, compare le facteur d’asymétrie des différents modèles pour 3,025µmλ = .


0 30 60 90,5

0,6

0,7

0,8

0

Fact

eur d

'asym

étrie

Angle polaire,θ (°)

Directionnelle Moyenne pondérée P1 Moyenne arithmétique

Figure V- 32 : Facteur d’asymétrie en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, µm025,3=λ .



Les coefficients d’extinction et de diffusion pour les trois modèles : directionnel, moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 pour 3,025µmλ = sont représentés sur la figure V.33.

0 30 60 9012

13

14

15

16

30 60 9012

13

14

15

16

Coefficients d'extinction (1/mm

)

Angle polaire, θ (°)

Coe

ffici

ents

de d

iffus

ion

(1/m

m)


Directionnel, Mie-Kerker Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétiques

Figure V- 33 : Coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, µm025,3=λ .

La figure V.33 montre la très grande dépendance des coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’orientation du rayonnement avec un pic au environ de 60°. Les variations des différentes approximations de la fonction de phase pour quatre orientations du rayonnement incident sont représentés sur la figure V.34. La fonction de phase de la théorie de Mie-Kerker de la figure V.34 présente des petites oscillations de faibles amplitudes et une retro- diffusion pour les angles d’incidence de 5,15 et 45°. On peut noter que la fonction directionnelle de Henyey-Greenstein approche convenablement la fonction de Mie-Kerker pour l’angle polaire du rayonnement incident égale à 75°.

Pour vérifier ces tendances du comportement des modèles approchés utilisant les hypothèses de fonction de Henyey-Greenstein et/ou de milieu isotrope, les figures V.35-V.40 présentent le facteur d’asymétrie, les coefficients d’extinction et de diffusion, et les différentes fonctions de phase pour les longueurs d’ondes 6,15 et 7, 407 µmλ = .


-1

0

1

2

3

0 30 60 90 120 150 180-2

-1

0

1

2

30 60 90 120 150 180

θ=5°

Log(

fonc

tion

de p

hase

)

Mie-Kerker DHG HG(gP

1

) HG(g)

θ=15°

θ=45°

LOG

(fonc

tion

de p

hase

)

Angle de diffusion, Θ (°)

θ=60°

Angle de diffusion, Θ(°)

Figure V- 34 : Fonction de phase en fonction de l’angle de diffusion : influence de la direction du rayonnement incident et comparaison modèles anisotropes et isotropes,

µm025,3=λ .


900 30 600,885

0,890

0,895

0,900

0,905

0,910

Fact

eur d

'asym

étrie

Angle poalire, θ(°)

Directonnelle Moyenne pondérée P1 Moyenne arithmétique

Figure V- 35 : Facteur d’asymétrie en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 6,15µmλ = .


___________________________________________________________________________

0 30 60 90

23

25

28

30

30 60 90

24

26

28

30

Coe

ffici

ents

de d

iffus

ion

(1/m

m)


Directionnel,Mie-Kerker Moyenne pondérée P1 Moyenne arithmétique

Coefficients d'extnction (1/mm

)


Figure V- 36 : Coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 6,15µmλ = .

-1

0

1

2

3

0 30 60 90 120 150 180-2

-1

0

1

2

3

30 60 90 120 150 180

θ=5°

Mie-Kerker DHG HG(gP1

) HG(g)

θ=15°

θ=45°

LOG

(fonc

tion

de p

hase

)


θ=75°



6,15µmλ = .



___________________________________________________________________________

0 30 60 90

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

30 60 90

10,0

10,5

11,0

11,5

Coe

ffici

ents

de d

iffus

ion

(1/m

m)


Directionnel, Mie-Kerker Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétiques

Coefficients d'extinction (1/m

m)

Angle polaire, (°)

Figure V- 38 : Coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 7, 407µmλ = .

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 30 60 90 120 150 180

-3

-2

-1

0

1

2

3

30 60 90 120 150 180

-3

-2

-1

0

1

2

3


θ=5°

Mie-Kerker DHG HG(gP1) HG(g)

θ= 15°

θ

LOG

(Fon

ctio

n de

pha

se)


θ=75°


= 45°


7, 407µmλ = .



90

0 30 600,885

0,890

0,895

0,900

0,905

0,910

0,915

0,920

0,925

Fact

eur d

'asym

étrie


Directionnelle, Mie-Kerker Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétiques

Figure V- 40 : Facteur d’asymétrie en fonction de l’angle polaire du rayonnement incident : comparaison propriétés anisotropes et isotropes, 7, 407µmλ = .

Comme on pouvait le prévoir à partir de la figure V.31, l’influence de la direction du

rayonnement incident est très faible sur le facteur d’asymétrie directionnel pour 6,15µmλ = . Les différentes fonctions de Henyey-Greenstein moyennent relativement bien la fonction de phase donnée par la théorie de Mie-Kerker. On note aussi la présence d’oscillations de faible amplitude et de la retro-diffusion pour les angles d’incidence de 5 et 15° pour la fonction de phase de Mie-Kerker. La dépendance des coefficients d’extinction et de diffusion en fonction de l’orientation du rayonnement devient effective à partir de 45°.

La figure V.38 montre une forte dépendance des coefficients d’extinction et de

diffusion avec l’orientation du rayonnement pour 7,407µmλ = . Le facteur d’asymétrie directionnel à cette longueur d’onde varie peu avec la direction du rayonnement incident ce qui se traduit par un facteur d’asymétrie obtenue en considérants les moyennes arithmétiques proche de celui considérant une moyenne pondérée P1. La fonction de phase issue de la théorie de Mie-Kerker, figure V.39, montre une forte diffusion vers l’avant avec des oscillations d’amplitude non négligeables. Cette fonction de phase présente aussi une forte dépendance avec l’orientation du rayonnement pour les angles de diffusion arrière [ ]90 , ,180Θ∈ . ° °



V.3.3 TRANSMITTANCE - REFLECTANCE : THEORIE MIE-KERKER ET EXPERIMENTALE

Les différentes mesures de transmittance normale, transmittance et réflectance

directionnelle – hémisphériques sont obtenues avec un spectromètre à transformée de Fourier de fabrication BIORAD, modèle FTS 60A. Le faisceau incident collimaté a un angle de divergence °= 27,10θ lors de la mesure de la transmittance normale. Pour les mesures, hémisphérique, ce spectromètre est couplé à une sphère intégrante de fabrication LABSPHERE dont la paroi intérieure est revêtue d’or avec un caractère Lambertien dans l’infrarouge (Annexe IV). Le faisceau collimaté incident est quasi–normal lors de la mesure de la transmittance directionnelle – hémisphérique : nous avons considéré le même angle de divergence que pour la mesure de la transmittance normale. Le faisceau incident à une inclinaison de 10 pour la mesures de la réflectance directionnelle – hémisphérique. Une série de cinq mesures de transmittance ou de réflectance est effectuée et la valeur moyenne est considérée. L’erreur relative commise sur les mesures directionnelles hémisphériques est de

et celle sur la transmittance normale est de

°

10%± 15%± . Les transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques théoriques sont

obtenues en résolvant l’équation de transfert radiatif sous incidence collimatée par la méthode des volumes de contrôle. Le nombre de directions de la quadrature requis pour obtenir la convergence de la solution théorique de l’équation de transfert radiatif est très élevé lorsque le milieu est optique épais et fortement diffusant. C’est le cas des longueurs d’ondes avoisinant 2,5µmλ = . Dans une grande partie de la bande spectrale, une quadrature moins fine de directions est suffisante pour résoudre le problème radiatif. Nous avons choisi de travailler avec le même nombre de 80 directions de la quadrature de Gauss sur toute la bande spectrale d’étude. Les figures V.41-V.43 comparent les transmittances normales, les transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques théoriques et expérimentales. Les transmittances et réflectances théoriques ont été obtenues en considérant le problème anisotrope de référence de propriétés radiatives données par la théorie de Mie-Kerker.

48

3 4 5 6 70,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

7,5 8,0 8,50

1

2

3

4

5

Tran

smitt

ance

nor

mal

e (%

)


Expérimentale Théorie de M ie-Kerker

Transmittance norm

ale (%)


Figure V- 41 : Transmittance normale en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker/Expérimentale.


3 4 5 6 70

10

20

30

40

Tran

smitt

ance

hém

isph

ériq

ue (%

)


ExpérimentaleThéorie de Mie-KerkerDistribution discréte

rayon borne inférieure rayon moyen rayon borne supérieure

Distribution uniforme r32=3,4 µm

Figure V- 42 : Transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker/Expérimentale.

3 4 5 6 70

20

40

60

80 Expérimentale

Théorie de Mie-KerkerDistribution discréte

rayon bornes inférieures rayon moyen rayon bornes supérieures

distribution uniforme r32=3,4µm

Réfle

ctan

ce h

émisp

hériq

ue (%

)


Figure V- 43 : Réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie- Kerker/Expérimentale.



___________________________________________________________________________

7,0 7,5 8,0 8,50,00

0,04

0,08

0,12

0,16

7,5 8,0 8,50

1

2

3

4

Tran

smitt

ance

hém

isph

ériq

ue (%

)


ExpérimentaleThéorie de Mie-KerkerDistribution discréte

rayon borne inférieure rayon moyen rayon borne supérieure

Distribution uniforme r32=3,4 µm

Réflectance hém

isphérique (%)


Figure V- 44 : Transmittance et réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie- Kerker/Expérimentale.

En considérant les résultats théoriques obtenus en utilisant le rayon effectif r32, on note

sur les figures V.41-43, un mauvais accord quantitatif et qualitatif de la prédiction des transmittances et réflectances de la théorie de Mie-Kerker et celles obtenues expérimentales pour les longueurs d’ondes [ ]µm8,45,2∈λ . Ce désaccord a été aussi observé par Cunnington et Lee (1996) pour des milieux isolants constitués de fibres silice pure . Comme le montre les courbes des figures V.42-V.43, la théorie de Mie - Kerker prévoit un milieu purement diffusant avec T R

2SiO

1hm hm+ ≈+ <

pour cette bande spectrale tandis les mesures expérimentales montrent que la laine de verre absorbe du rayonnement : T R . Pour des laines de verre de distribution radiale différente mais de composition semblables à celle de notre étude avec 4 de bore, Nicolau (1994) et Moura (1998) trouvent un albedo

1hm hm

,5%[ ]0,5 0,98ω ∈ et [ ]0,7 ,0,95ω ∈ respectivement à partir de la méthode d’identification

des paramètres basée sur des mesures de transmittances et réflectances bidirectionnelles. L’écart sur les transmittances et réflectances théoriques et expérimentales des figures V.41-V.43 peut s’expliquer par la précision de l’indice d’absorption de la laine de verre utilisé dans le modèle théorique.

Un bon accord théorie de Mie-Kerker/expérience est observé pour [ ]4, 48 6,64 µmλ ∈ avec une erreur relative de même ordre de grandeur que l’erreur

relative expérimentale de . Pour 10%± [ ]6,64 8,0 µmλ ∈ les transmittances et réflectances calculées à partir de la théorie de Mie-Kerker sont en bon accord qualitatif avec les mesures expérimentales : figure V.44. L’écart relatif entre la prédiction et l’expérience est cependant



considérable : l’erreur relative varie de [ ]10 50 % . En général, la prédiction de Mie-Kerker surestime les valeurs expérimentales. Les transmittances théoriques et expérimentales présentent un pic au voisinage de 7,70µmλ = . Pour 7,8µmλ = , la réflectance directionnelle – hémisphérique s’annule : c’est l’effet Christiansen. Dans ce cas le module de l’indice complexe de réfraction de la laine de verre est proche de celui de l’air . Les efficacités d’extinction et de diffusion deviennent très faibles. Dans la bande spectrale

1≈n

[ ]6,64 8,0 µmλ ∈ , la laine de verre est absorbante/diffusante ou quasiment absorbante et les effets liés à la morphologique du milieu anisotropes et de la fonction de phase sont importants. Plusieurs causes peuvent expliquer la mauvaise précision de la théorie de Mie-Kerker. Nous pouvons citer principalement :

o Indice optique pas suffisamment précis ce qui expliquerait le fait que la réflectance directionnelle – hémisphérique théorique ne s’annule pas à la longueur d’onde de Christiansen;

o Effets importants de la distribution radiale des fibres. Nous avons considéré dans cette étude une distribution radiale uniforme de rayon effectif .Il est important de signaler que vu la grande variance des rayons des fibres de l’histogramme de la figure V.29 il est pratiquement impossible de prendre en compte la distribution radiale discrète dans le modèle théorique ;

32a

o Il est aussi à signaler que la présence des fibres d’orientation autre que dans le plan peut justifier l’écart théorie/expérience.

Nous avons aussi representé sur les figures V.42-44, les transmittances et réflectances directionnelles hémisphériques obtenus en utilisant la distribution discrète des fibres dans le milieu. Trois distibutions ont été considéré en utilisant : (1) les rayons supérieurs (+l’erreur de 0,5µm) de chaque intervalle, (2) le rayon moyen sur chaque intervalle et (3) les rayons inférieurs (-l’erreur de 0,5µm ) de chaque intervalle. On note la difficulté de pourvoir déterminer la distribution réelle de ce milieu.

Les difficultés ci-dessus liées à la connaissance des indices optiques et de la distribution de taille des particules du milieu conduisent un certain nombre de chercheurs à choisir la méthode d’identification pour la détermination des propriétés radiatives. Cependant la validité des propriétés radiatives est un sujet très actuel. Dans le but de chercher un lien entre les propriétés radiatives de la théorie électromagnétique et de la méthode d’identification de paramètres, nous procédons à la comparaison des transmittance et réflectance issues de la théorie de Mie-Kerker et des modèles approchés de diffusion de Henyey-Greenstein et/ ou de milieu isotrope équivalent.

IV.3.4 COMPARAISON THEORIE DE MIE –KERKER/MODELES DE DIFFUSION APPROCHEES ET/OU DE MILIEU ISOTROPE EQUIVALENT


Le problème d’identification faisant appel aux transmittances et réflectances théoriques obtenues en résolvant l’équation de transfert radiatif sous incidence collimatée, la comparaison des résultats de la théorie de Mie-Kerker et des modèles de diffusion approchés et/ou milieu isotrope constitue la première étape indispensable à la validité des hypothèses simplificatrices de cette méthode. Nous avons considéré que la divergence du faisceau collimaté est de 1,27° pour les transmittances et 10° pour la réflectance. Les figures V. 45-V.47 présentent l’influence des hypothèses de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou de milieu




3 4 5 6 70

10

20

30

40

Tr

ansm

ittan

ce h

émisp

hèriq

ue


Milieu anisotrope Théorie de Mie-Kerker DHG

Milieu isotrope HG(gP1

) HG(g)

isotrope sur la prédiction de la transmittance et de la réflectance directionnelle- hémisphérique.

3 4 5 6 70

20

40

60

80

Réf

lect

ance

hém

isph

ériq

ue (%

)



Milieu isotrope équivalent HG(gP

1

) HG(g )

Figure V- 45 : Transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion de Henyey-Greenstein.

Figure V- 46 : Réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion de Henyey-Greenstein.



7 80

2

4

6

8

6,8 7,0 7,5 8,00

1

2

3

4Milieu isotrope

HG(gP1

) HG( g )

Tr

ansm

ittan

ce h

émisp

hèriq

ue (%

)



Réflectance hém

isphérique (%)


Figure V- 47 : Transmittance et réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion de Henyey-Greenstein : [ ]6,8 8,5λ ∈ .

La comparaison des transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques

obtenues par la théorie de Mie-Kerker et les modèles approchés de milieu isotrope équivalent et/ou fonction de phase de Henyey-Greenstein des figures V.45-47 montre que le modèle de milieu isotrope équivalent de propriétés radiatives moyennes arithmétiques sur toutes les directions du rayonnement incident surestime la transmittance directionnelle- hémisphérique avec une erreur relative de [ ]20 30 %− et sous estime la réflectance directionnelle- hémisphérique avec une erreur relative de 10%≈ pour µmµm 0,70,2 <≤ λ . Les transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques obtenues en utilisant les hypothèses de diffusion de Henyey-Greenstein et milieu isotrope de moyenne pondérée P1 ou anisotrope de propriétés directionnelles de la théorie de Mie-Kerker sont en bon accord avec théorie de Mie-Kerker dans même bande spectrale 2,0 6,8µm µmλ≤ < : les erreurs relative sont inférieures à 10% sur les transmittances et réflectances directionnelles hémisphériques. Le modèle anisotrope de fonction de diffusion la fonction de phase de Henyey-Greenstein sont aussi en bon accord avec la théorie de Mie-Kerker : erreur relative sur les transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques inférieur à 8% . Dans la bande spectrale µmµm 0,7<0,2 ≤ λ , la laine de verre est soit purement diffusant ou faiblement absorbante : 0,85ω ≥ . Les trois modèles approchés de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou de milieu isotrope présentent des écarts considérables lorsque la laine de verre est absorbante/diffusante pour [ ]6,8 8,0 µmλ ∈ : erreurs relative [ ]10 60 %∈ → . La retro-



diffusion présente dans certaines directions de la fonction de Mie-Kerker joue un rôle considérable dans le transfert radiatif. Effet, comme le montre la figure V.39 pour la longueur d’onde 7,407µmλ = , les différentes fonction de Henyey-Greenstein ne moyennes pas la lobe de retro-diffusion/diffusion-avant et/ou diffusion isotrope.

L’hypothèse de diffusion isotrope est largement utilisée pour simplifier l’identification des propriétés radiatives des milieux semi- transparents et en particulier la caractérisation des milieux poreux denses. Les figures V.48-49 présentent une comparaison des transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques obtenues par la théorie de Mie-Kerker et celles par les modèles approchés de diffusion isotrope et/ou milieu isotrope équivalent. Lorsque le milieu est quasi-diffusant, le modèle de milieu isotrope, de diffusion isotrope et de propriétés moyennes arithmétiques surestime la transmittance directionnelle- hémisphérique de [ ]5 25 %− et sous-estime la réflectance directionnelle- hémisphérique de ≈ . Le modèle de milieu anisotrope et de diffusion isotrope présente des écarts très important : pour la transmittance et pour la réflectance. Le modèle de milieu isotrope de propriétés moyennes pondérées P1 est le plus précis des approches simplificatrices notamment lorsque le milieu est purement diffusant : les erreurs relatives sur la transmittance et la réflectance directionnelle – hémisphérique sont inférieurs à et 10% respectivement. Lorsque la laine de verre est absorbante/diffusante,

10%15%≈

10%≈

8%[ ]µm0,85,6∈λ , les trois approches ne sont pas

souhaitables : écarts considérables avec des erreurs relative [ ]10 100 %∈ → . Ces conclusions sont en accords avec ceux obtenues avec les trois modèles et une diffusion de Henyey-Greenstein avec toute fois une plus mauvaise précision.

+

2 3 4 5 6 7 80

10

20

30

Tran

smitt

ance

hém

isphé

rique

(%)


Milieu anisotrope Théorie de Mie-Kerker DIS

Milieu isotrope équivalent P1IS MIS

Figure V- 48 : Transmittance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion isotrope.


___________________________________________________________________________

3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

Réf

lect

ance

hém

isphè

rique


Milieu anisotrope Théorie de Mie-Kerker DIS


Figure V- 49 : Réflectance directionnelle- hémisphérique en fonction de la longueur d’onde : comparaison théorie de Mie-Kerker modèles approchés de milieu isotrope et/ou diffusion isotrope.

Comme le montre l’annexe VI, un bon accord entre le modèle exact de transfert

radiatif dans les milieux isotropes à diffusion anisotrope quelconque sous incidence collimatée et les modèles approchés de fonction de diffusion isotrope et de type Henyey-Greenstein est observé lorsque les milieux isotropes optiquement épais sont purement diffusants. La bonne concordance des résultats des figures V.45-V46 et V.48-V.49 tend donc à montrer qu’on peut modéliser le transfert radiatif dans un milieu anisotrope sous incidence collimatée par un modèle de transfert radiatif dans milieu isotrope équivalent.

V.3.5 STRATEGIES D’IDENTIFICATION DES PROPRIETES RADIATIVES DES MILIEUX ANISOTROPES

Dans la section précédente, nous avons vu qu’il est possible de retenir l’hypothèse de milieu isotrope équivalent pour la modélisation du transfert radiatif dans les milieux anisotropes sous incidence collimatée. Cette hypothèse peut donc être retenue pour l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes. La méthode d’identification étant basée sur la minimisation de l’écart quadratique de mesures directionnelles- hémisphériques et/ou bidirectionnelles, nous abordons à présent le problème de l’approche expérimentale souhaitable pour l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes et notamment fibreux.

V.3.5.1 APPROCHE DIRECTIONNELLE - HEMISPHERIQUE Les mesures directionnelles- hémisphériques pour l’identification des propriétés radiatives de milieu poreux semi – transparents ont été utilisées principalement par Yeh et co- auteurs (1986, 1989), Hendricks et Howell (1996). Dans cette approche les propriétés




radiatives du milieu sont obtenues par minimisation sur différentes épaisseurs et orientation des réflectances directionnelles- hémisphériques d’échantillons de laine de verre en supposant une fonction de phase isotrope (Yeh et co-auteurs ; 1986,1989) ou à partir des transmittances et réflectance directionnelles -hémisphériques d’échantillons de mousse de céramiques à pores ouverts en utilisant une fonction combinaison d’une fonction de Henyey-Greenstein et d’une isotrope (Hendrikcs et Howell ; 1996). Afin d’étudier la faisabilité de ces approches, nous avons représentés sur les figures V.49-V.52 les variations des erreurs relatives commises sur les transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques en fonction de l’albedo de la laine de verre .

Les figures V.50-V.51 montrent que pour la laine de verre peu absorbante 1 0,85Pω ≥ les erreurs relatives sur la transmittance et la réflectance directionnelle- hémisphérique en utilisant un modèle de milieu isotrope équivalent à diffusion de Henyey-Greenstein de propriétés moyennes pondérées P1 sont inférieurs à 10%. Ces erreurs sont de l’ordre des erreurs expérimentales sur la mesure de la transmittance et de la reflectances directionnelles -hémisphériques. Les propriétés radiatives identifiées à partir de ces mesures pour cette plage d’albedo avec les hypothèses isotrope et de diffusion de Henyey-Greenstein seront obtenues avec une confiance acceptable. Lorsque le milieu devient absorbant/diffusant,

10, 2 0,85Pω≤ < l’erreur commise sur la réflectance varie de 10 à 100 tandis que l’erreur commise sur la transmittance oscille entre 5 et . La mauvaise précision sur la transmittance et la réflectance pour 0,

% %% %20

12 0,85Pω≤ <

est causé par la non prise en compte par la fonction de Henyey-Greenstein de la retro - diffusion présente sur certaines directions de la fonction de phase de la laine de verre. L’identification des propriétés radiatives en utilisant la fonction de Henyey-Greenstein engendrera des erreurs considérables sur les propriétés estimées. Lorsque le milieu devient quasi absorbant, 1 0, 2Pω < , l’erreur relative sur les transmittances supérieur est à 40% et celle sur la réflectances à 100%.

10-1

100

101

102

0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ω∗

abs(

T hm,P

1-TM

ie)/T

Mie (%

)

HG(gP1

) P1IS

Albedo,ω

P1Figure V- 50: Transmittance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo : milieu isotrope de propriétés moyennes pondérées P1.


0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

10-1

100

101

102

103

ω∗

abs(

R hm,P

1-Rhm

,Mie/R

hm,M

ie (%

)

Albedo,ωP1

HG(gP1

) P1IS

Figure V- 51: Réflectance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo: milieu isotrope de propriétés moyennes pondérées P1.

Les figures V.50-51 indiquent aussi que les erreurs commises sur la transmittance et la réflectance directionnelle- hémisphérique est inférieur à 10% pour 1 0,95Pω ≥ , lorsque l’hypothèse de diffusion isotrope est utilisée avec l’hypothèse de milieu isotrope équivalent de propriétés moyennes pondérées P1 dans la modélisation du transfert radiatif au sein des milieux anisotropes. Les erreurs étant de l’ordre des erreurs de mesures, les propriétés radiatives identifiées de la laine de verre présenterons une marge de confiance. Par contre les propriétés isotropes identifiés avec , seront entachées de grandes incertitudes : erreurs sur la transmittance supérieur à 20% et à 100% sur la réflectance.

7,0*1 ≥Pω

7,0*1 <Pω

Les figures V.52-V.53 présentent les variations des erreurs relatives sur les transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques en fonction de l’albedo du milieu lorsque les hypothèses de diffusion de Henyey - Greenstein ou de diffusion isotrope sont utilisées avec l’hypothèse de milieu isotrope équivalent de propriétés moyennes arithmétiques pour modéliser le transfert radiatif dans la laine de verre. En supposant la diffusion du milieu isotrope, l’erreur relative sur la réflectance directionnelle- hémisphérique est inférieur à 10% si 1≈ω et l’erreur sur la transmittance directionnelle- hémisphérique est compris entre 10-20% lorsque 0,98ω ≥ et 9,0* ≥ω . Les propriétés radiatives identifiées à partir des mesures de transmittances et réflectances directionnelles- hémisphériques en supposant le milieu isotrope à diffusion isotrope ne peuvent donc pas être des moyennes arithmétiques. Lorsque la fonction de Henyey-Greenstein est utilisée, l’erreur relative sur la transmittance directionnelle- hémisphérique est supérieur à 10% pour 0,2 1ω< < . L’erreur relative sur la réflectance directionnelle- hémisphérique supérieur à 10% pour pratiquement toutes les albedo.




___________________________________________________________________________

10-1

100

101

102

0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

abs(

T hm-T

hm,M

ie)/T

hm,M

ie (%

)

HG(g) MIS

Albedo ω

albedo,ω*

Figure V- 52: Transmittance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo : milieu isotrope de propriétés moyennes arithmétiques

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0100

101

102

103

albedo,ω*

abs(

R hm-R

hm,M

ie)/R

hm,M

ie (%

)

Albedo,ω

HG(g) MIS

Figure V- 53: Réflectance directionnelle- hémisphériques en fonction de l’albedo : milieu isotrope de propriétés moyennes arithmétiques.



Identification des propriétés réduites

L’échantillon de laine de verre étudié étant dense et optiquement épais, nous avons choisi d’identifier les propriétés radiatives en utilisant les mesures de transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques et en considérant les hypothèses de milieu isotrope équivalent et de diffusion isotrope. Dans une première étape pour nous affranchir des erreurs expérimentales, nous avons utilisé les transmittances et réflectance directionnelles - hémisphériques obtenues par la théorie de Mie-Kerker pour procéder à une identification du coefficient d’extinction et de l’albedo * *,eσ ω . Nous avons comparé les propriétés identifiées

aux propriétés réduites isotropes moyennes pondérées * *, 1 1,e P Pσ ω et moyennes

arithmétiques * *,eσ ω

0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

4

8

12

16

20

0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

abs(

σ* e,P1

-σ* e,

iden

tifié)/σ

* e,P1

(%)

Albedo,ωP1

Bruit sur la mesure -10% 0% 10%

albedo réduit,ω∗

P1

. Les figures V.54-V.57 présentent les écarts relatifs entre les propriétés radiatives identifiées et les propriétés radiatives moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1. Ces figures montrent un bon accord entre les propriétés radiatives identifiées et les propriétés réduites * *

, 1 1,e P Pσ ω pour *1 10,95; 0,8P Pω ω≥ ≥ : écarts inférieurs à 10% . Pour

*0,95; 0,8ω ω≥ ≥ l’écart entre l’albedo réduit moyenne arithmétique et l’albedo identifié est inférieur à 10% mais l’écart sur le coefficient d’extinction réduit moyenne arithmétique est supérieur à 10%. Pour les deux milieux isotropes équivalents considérés (moyenne arithmétique, moyenne pondérée), les propriétés identifiées présentent des écarts lorsque , 0,1Pω ω < 95 . Cela confirme que l’utilisation de l’hypothèse de diffusion isotrope n’est

donc pas souhaitable pour l’identification des propriétés radiatives des milieux fibreux absorbant/diffusant.

Figure V- 54 : Ecart relatif sur le coefficient d’extinction réduit moyenne pondérée P1




0

10

20

30

40

0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Abs

(σ∗ e-σ

* e,id

entif

ié )/

σ∗ e (%)

Albedo,ω


albedo réduit, ω*

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-1

100

101

102

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ab

s(ω

* P1-ω

* iden

tifié)/ω

∗ P1 (%

)

Albedo réduit, ω*P1

Bruit sur les mesure -10% 0% 10%

albedo,ωP1

Figure V- 55 : Ecart relatif sur l’albedo réduit moyenne pondérée P1

Figure V- 56 : Ecart relatif sur le coefficient d’extinction réduit moyenne arithmétique


10-1

100

101

102

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ab

s(ω

* -ω* id

entif

ié)/ω

* (%)

Albedo réduit, ω*


albedo ω

Figure V- 57 : Ecart relatif sur l’albedo réduit moyenne arithmétique

La seconde partie de cette section est consacrée à une vérification expérimentale des limites de l’utilisation de l’hypothèse de diffusion isotrope dans un processus d’identification des paramètres des milieux semi- transparents. Les figures V.58-V.59 présentent une comparaison des propriétés radiatives identifiés * *,eσ ω et théoriques moyennes pondérées

P1 * *, 1 1,e P Pσ ω ou moyennes arithmétiques * *,eσ ω . On constate que pour 5,36µmλ < , les

propriétés radiatives identifiées présentent un meilleur accord avec les propriétés réduites moyennes pondérées P1 avec une erreur relative 15% pour le coefficient d’extinction et de 11% pour le l’albedo. Dans la bande spectrale [ ]2,7 5,36λ ∈ , l’albedo identifié

[ ]* 0,81 0,99ω ∈ ce qui est accord avec la zone de validité de l’utilisation de l’approximation de diffusion isotrope dans un processus d’identification de paramètre évoqué précédemment. Le coefficient d’extinction réduit moyenne arithmétique présente une erreur relative par rapport aux propriétés identifiées variant de 5-36%. Lorsque l’albedo identifié est inférieur à 0,81, les écarts relatifs sur les albedo réduits moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 sont importants.





3 4 5 6 7 80,0

3,0

4,0

5,0

Coe

ffici

ents

d'ex

tinct

ion

(1/m

m)


IdentifiéIndice d'absorption κ Saint-Gobain

Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétiques

Figure V- 58 : Coefficients d’extinction réduits : comparaison propriétés identifiées, propriétés moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1

3 4 5 6 7 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Alb

edo,

ω∗


IdentifiéIndice d'absorption κ Saint-Gobain

Moyenne pondérée P1 Moyenne arithmétique

Figure V- 59 : Albedo réduits : comparaison propriétés identifiées, propriétés moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1



On note cependant un désaccord des profils des albedo identifié et théoriques réduites moyennes arithmétiques ou moyennes pondérées P1 dans la zone de validité de l’hypothèse isotrope : [ ]* 0,81 0,99ω ∈ . Afin d’étudier l’influence de l’indice d’absorption pouvant justifier ces écarts, nous considérons que l’absorption des milieux poreux est proportionnelle à la porosité du milieu (Dombrovsky et co-auteurs, 2007)

0

, 0(1 )a λ λσ σ α= − /V.11/

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,010-6

10-5

10-4

10-3

10-2

avec 0 1 fvα = − la porosité du milieu, 0 4 /λσ πκ λ= le coefficient d’absorption des fibres de laines de verre

L’indice d’absorption du milieu est déduit de la relation précédente par l’équation :

[ ], / 4 (1 )a λκ λσ π α= − 0 /V.12/

La figure V.60 présente l’indice d’absorption de la laine de verre obtenue après identification en appliquant la relation. Cette figure donne aussi une comparaison avec les indices d’absorption fournis par Saint-Gobain (Rantigny), déduit du coefficient d’absorption identifié à partir des mesures bidirectionnelles par Nicolau (1994) et celui déterminé par analyse ellipsométriques au CEA,Ripault (Randrianalisoa, 2006).

Indi

ce d

'abso

rptio

n, κ


Composition (%) SiO2 B2O3 Na2O CaO Al2O3 MgO

100 0 0 0 0 0 :Bach & Neuroth (2004) 100 0 0 0 0 0 :Lee & Cunnington (2000) 60-65 4-7 16 7-10 <2,0-4,0> :Saint-Gobain 81 13 4 0 2 0 :CEA, Ripault 60-65 4-7 16 7-10 <2,0-4,0> :Etude présente 70 4,5 16 7-10 <2,0-4,0> :Nicolau (1994)

Figure V- 60 : Comparaison de l’indice d’absorption de la laine de verre



Les laines de verre étudié par Nicolau ont une composition très voisine de la laine considérée dans cette étude avec 4,5% de B2O3 tandis que celle du CEA (Ripault) contient 13% de B2O3. Nous avons aussi présenté sur cette courbes les valeurs de l’indice d’absorption de la silice pure (Bath et Neuroth, 2004 ; Lee et Cunnington 2000). On note que l’indice d’absorption fourni par Saint-Gobain est proche de l’indice d’absorption de la silice pure obtenu par métrologie inverse par Lee et Cunnington (2000). L’indice d’absorption identifié est semblable à celui déduit du coefficient d’absorption identifié par Nicolau (2004) et présente de faibles écarts avec celui déterminé au CEA (Ripault) pour 3,5µmλ > .

En considérant l’indice d’absorption identifié précédemment, nous avons recalculé les coefficients d’extinctions et les albedo des modèles approchés utilisant les hypothèses de milieu isotrope équivalent de propriétés moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 de propriétés radiatives de Mie-Kerker. Les écarts entre les propriétés identifiés et théoriques (figures V.61-V.62) sont plus faibles et on note un bon accord sur les profils des différents l’albedo pour . * 0,8ω >

3 4 5 6 7 80,0

3,0

4,0

5,0

Coe

ffici

ents

d'ex

tinct

ion

(1/m

m)


IdentifiéIndice d'absorption κ identifié


Figure V- 61 : Influence de l’indice d’absorption sur les coefficients d’extinction réduits : moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1



3 4 5 6 7 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

A

lbed

o, ω

∗


IdentifiéIndice d'absorption κ identifié


Figure V- 62 : Influence de l’indice d’absorption sur l’albedo réduits moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1

Influence de l’indice d’absorption sur les transmittances et réflectances

Les indices d’absorption identifiés précédemment sont utilisés dans cette section pour étudier leur influence sur les transmittances et réflectances calculées à partir de la théorie de Mie-Kerker. Les figures V.63-64 montrent que les transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques expérimentales et celles obtenues à partir de la théorie de Mie-Kerker pour les indices d’absorption déterminés à Saint-Gobain (Rantigny) et identifiés en supposant la diffusion du milieu isotrope. Ces figures présentent aussi les transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques obtenus à fin du processus d’identification. Les transmittances et réflectances déterminées à partir de la théorie de Mie-Kerker avec l’indice d’absorption identifié sont en bon accord avec les données expérimentales pour

2,7 4,8 µmλ ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ . Lorsque 4,8µmλ > , la laine de verre est absorbante/diffusante et les transmittances/réflectances directionnelles – hémisphériques calculées avec l’indice d’absorption identifiés sous estiment les valeurs expérimentaux. Ce désaccord peut s’expliquer par l’incertitude sur les mesures qui engendrent une mauvaise précision de l’absorption identifiée et par le fait que pour 4,8µmλ > l’hypothèse de diffusion isotrope n’est plus adapté pour l’identification des propriétés radiatives.



3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

Tran

smitt

ance

hém

isph

ériq

ue (%

)


Expérimentale Mesurée Identifiée

Theorie de Mie-Kerker κ (Saint-Goabain) κ (identifié)

3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

Réf

lect

ance

hém

isph

ériq

ue (%

)


Expérimentale Mesurée identifiée

Théorie de Mie-Kerker κ (Saint-Gobain) κ (identifié)

Figure V- 63 : Influence de l’indice d’absorption sur la transmittance directionnelle – hémisphérique.

Figure V- 64 : Influence de l’indice d’absorption sur la réflectance directionnelle – hémisphérique.



Les figures V.65-V.69 comparent les transmittances et réflectances directionnelles hémisphériques expérimentales, de la théorie de Mie-Kerker et avec ou sans les modèles approchés de fonction de phase et/ou de milieu isotrope équivalent. Nous avons utilisé l’indice d’absorption identifié pour 2,7 4,8 µmλ ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ et celui de Saint-Gobain (Rantigny) sur tout le reste du spectre. Nous constatons que le modèle approché utilisant les hypothèses de propriétés radiatives moyennes arithmétiques et fonction de diffusion de type Henyey-Greenstein approche mieux la théorie de Mie-Kerker et les mesures expérimentales que les autres modèles approchés. La bonne convergence du problème radiatif utilisant les propriétés moyennes pondérées P1 lorsque la laine de verre est faiblement absorbante montre que le transfert radiatif dans les milieux anisotropes peut être modélisé par un problème de transfert radiatif dans un milieu isotrope équivalent. On note aussi sur la figure V.69 que la convergence avec l’expérience devient moins bonne lorsque l’anisotropie du milieu est approchée par la fonction isotrope. Des écarts importants sont observés pour tous les modèles approchés lorsque la laine de verre est absorbante/diffusante, 6,5 8λ ⎡ ⎤⎣ ⎦∈ . Ces écarts s’expliquent par le fait que dans la formulation des modèles approchés, nous avons considérés des cas des fonctions de phase ne présentant pas de rétro – diffusion afin de faciliter le calcul théorique des paramètres de ces fonctions.

3 4 5 6 70,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

7,5 8,0 8,50

2

4

6

Tran

smitt

ance

nor

mal

e (%

)



1

) HG(g)

Transmittance norm

ale (%)


ExpérimentaleMilieu anisotrope

Théorie de Mie-Kerker DHG

Figure V- 65 : Transmittance normale : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent


___________________________________________________________________________

3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35

Tran

smitt

ance

nor

mal

e




Milieu isotrope équivalent HG(gP1

) HG(g )

Figure V- 66 : Transmittance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent

3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

Réf

lect

ance

hém

isph

ériq

ue (%

)





1

) HG(g)

Figure V- 67 : Réflectance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent



___________________________________________________________________________

3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35

Tran

smitt

ance

hém

isphr

èriq

ue (%

)



Théorie de Mie-Kerker DIS


Figure V- 68 : Transmittance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion isotrope et/ou milieu isotrope équivalent

3 4 5 6 7 80

20

40

60

80

Réf

lect

ance

hém

isphè

riue

(%)



théorie de Mie-Kerker DIS


Figure V- 69 : Réflectance directionnelle hémisphérique : comparaison expérience, théorie de Mie-Kerker et modèles de diffusion de isotrope et/ou milieu isotrope équivalent



Il ressort de l’analyse ci-dessus que : o De faibles écarts sont observés sur les transmittances et réfletances

directionnelles – hémisphériques théorique lorsque le milieu fibreux est optiquement épais et peu absorbant. Cela laisse supposer que l’identification des propriétés radiatives de ces milieux à partir de mesures directionnelles – hémisphériques en utilisant les hypothèses de milieu isotrope et de diffusion isotrope ou Henyey-Greenstein conduirait à une bonne estimation ;

o Lorsque la laine de verre est absorbantes/diffusante, les écarts sur les transmittances et réflectances directionnelles hémisphériques sont importants quelque soit l’approximation considérer. Ceci confirme les conclusion de l’annexe IV : l’utilisation des approximations de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein pour modéliser le transfert radiatif dans les milieux semi – transparents isotropes conduit des écarts considérables. Ces écarts sont d’autant plus importants si le milieu semi – transparents présente de la rétro – diffusion. Dans l’analyse du modélisation du transfert radiatif dans les laine de verre nous avons supposé les isotropes équivalent ont soit une diffusion isotrope soit une diffusion de type Henyey-Greenstein. Ces approximations de diffusion sont insuffisantes l’identification des propriétés radiatives à partir de mesures directionnelles – hémisphériques doit inclure un modèle de fonction de phase beaucoup plus élaborer. La fonction de phase doit tenir compte notamment de la rétro – diffusion du milieu ;

o Globalement, les écarts sur les transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques sont plus faibles lorsque les propriétés radiatives du milieu isotrope équivalent sont des moyennes pondérées au lieu des moyennes arithmétiques sur toutes les directions du rayonnement ;

o Les propriétés radiatives identifiés par une approches basé sur des mesures directionnelles – hémisphériques et en utilisant l’hypothèse de milieu isotrope serait probablement des moyennes pondérées P1 sur toutes les directions des propriétés radiatives issues de la théorie de Mie-Kerker ;

o La précision de l’indice d’absorption est détermination pour la détermination théorique des propriétés radiatives ;

o Les propriétés radiatives d’un milieu de laine de verre optique épais et peu absorbant identifiées à pâtir des mesures directionnelles – hémisphériques et en utilisant les hypothèses de milieu isotrope équivalent et de diffusion isotrope sont des moyennes pondérées P1.

V.3.5.2 APPROCHE BIDIRECTIONNELLE


Une autre approche de détermination de propriétés radiatives des milieux poreux fibreux par métrologie inverse basée sur des mesures bidirectionnelles de transmittances et/ou de réflectances a été proposée par Uny (1986), Sacadura et co-auteurs (1986). En se basant sur des mesures de transmittance bidirectionnelles, Uny(1986) identifie les propriétés radiatives de laine de verre légère de plusieurs échantillons en utilisant une fonction de phase de Henyey-Greenstein. Des écarts sont observés sur les propriétés identifiées des différents échantillons. Nicolau (1994) attribut ces écarts à la non prise en compte de certaines mesures de réflectances bidirectionnelles et à la fonction de phase de Henyey-Greenstein qui ne permet pas de prendre en compte la rétro diffusion des échantillons de laine de verre. Ces auteurs



retiennent l’hypothèse de milieu isotrope dans la méthode d’obtention des transmittances et réflectances bidirectionnelles théoriques. Cette hypothèse est aussi retenue par Moura (1998) et Milandri (2002) pour l’identification de laine de verre anisotrope. Dans le but, de prendre en compte l’orientation des fibres du milieu, Moura (1998) propose une procédure d’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes de laine de verre suivant plusieurs directions incidentes du faisceau collimaté.

Afin d’étudier la validité de l’hypothèse de milieu isotrope et d’identification suivant différentes directions du rayonnement incident dans le processus d’identification des propriétés radiatives de laines de verre, nous avons représenté sur les figures V.70-V.72, les transmittances et réflectances bidirectionnelles pour trois longueurs d’ondes :

µm)15,7 ;015,6 ;025,3(=λ . Ces figures montrent une similarité des profils de transmittances et réflectances bidirectionnelles obtenus par la théorie de Mie-Kerker et des modèles approchés de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou milieu isotrope équivalent. Pour

3,025; 6,015 µmλ = les modèles approchés de milieu isotrope et de diffusion de Henyey-Greenstein surestiment la transmittance bidirectionnelle et sous estiment la réflectance. A ces longueurs d’onde, la fonction de phase la laine de verre présente une rétro – diffusion comme le montre les figures V.34 et V.35. Lorsque 7,15µmλ = , les réflectances bidirectionnelles des modèles approchés surestiment la réflectance bidirectionnelle de la théorie de Mie-Kerker. A cette longueur d’onde, la fonction de phase présente une diffusion isotrope en plus de la rétro – diffusion. La formulation théorique du problème de transfert radiatif nécessaire au processus d’identification doit tenir compte de l’ensemble des phénomènes de diffusion avant, de retro- diffusion et de diffusion isotrope pouvant être présente dans le milieu pour une longueur d’onde donnée.

Mie- Kerker

DHG HG(gP1) HG(g)

Thm 0,2103 0,2078 0,2369 0,2822 Rhm 0,6922 0,6913 0,6689 0,6240

10-2

10-1

0

30

60

90

120

150

180

TransmittanceRéflectance

Théorie de Mie-Kerker DHG HG(gP1) HG(g )

Figure V- 70 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison des différents modèles à 3,025µmλ = .



Figure V- 71 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison de Mie-Kerker, modèles approchés à 6,15µmλ = .

Figure V- 72 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement

θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison de Mie-Kerker, modèles approchés à

7,407µmλ = .

10-2

10-1

30

60

90

120

150

180



Mie- Kerker

DHG HG(gP1) HG(g)

Thm 0,0631 0,0608 0,0708 0,0860Rhm 0,2501 0,2398 0,2475 0,2242

10-4

10-3

10-2

10-1

30

60

90

120

150

180



Mie- Kerker

DHG HG(gP1) HG(g)

Thm 0,0358 0,0388 0,0406 0,0464 Rhm 0,0195 0,0233 0,0291 0,0241




L’échantillon dont nous disposons a une épaisseur de 1mm et compte tenu des propriétés radiatives de la figure V.30, la laine de verre est optiquement épaisse [ ]10, 35yτ ∈ . Les mesures en transmission et réflexion bidirectionnelles que nous avons effectué sur cet échantillon ont donné des valeurs très faibles. Nous ne pouvons les exploiter pour une confrontation entre les propriétés radiatives obtenues par minimisation des écarts théorie\expérience de transmittances et réflectances bidirectionnelles. Afin, de conclure sur la correspondance entre les propriétés radiatives identifiées à partir de mesures bidirectionnelles et de la théorie de Mie-Kerker, nous avons considéré les propriétés radiatives de laine de verre à 4% de B2O3 étudiée par Nicolau (1994) et Moura (1998).

L’échantillon de laine de verre étudié par Nicolau (1994) puis par Moura(1998) à une épaisseur de 0,25mm et une densité de . Cet échantillon a une distribution discrète des fibres (Nicolau, 1994) et le m

3/160 mkg rayon effectif déduit est : 2,09532a µ= . Les figures V.73-

V.75 comparent les coefficients d’extinction/diffusi étrie et la fonction de phase identifiés par Moura (1998) à ceux de la

on, le facteur d’asymthéorie de Mie-Kerker à la longueur d’onde

µm5=λ . Le facteur d’asymétrie de la fonction de phase combinaison des fonction de Henyey-Greenstein (Eq. II.79) est calculé à partir de la relation suivante :

0 30 60 9030

35

40

45

50

30 60 9030

35

40

45

50

Coef

ficie

nts d

'extin

ctio

n(1/

mm

)


Coefficients de diffusion (1/mm

)


Identifié(Moura,1994) Directionnelle(Mie) Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétiques

[ ]2 1 1 1 2(1 )identifiég gγ γ γ= + − gavec

Figure V- 73 : Coefficients d’extinction et de diffusion : comparaison de la théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, propriétés identifiés à

/V.13/

12 gg −=

µm5=λ .



00 30 60 90,75

0,80

0,85

0,90

Fact

eur d

'asym

étrie


Identifié (Moura;1994) Directionnelle (Mie) Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétiques

4

Figure V- 7 : Facteur d’asymétrie : comparaison de la théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, propriétés identifiés à µm5=λ .

0 30 60 90 120 150 180

-2

-1

0

1

2

3

Log(

fonc

tion

de p

hase

)


Mie-Kerker DHG HG(gP

1

) HG(g) γ2[γ1HG(g1+(1-γ

1)HG(-g1)]+1-γ

2

Figure V- 75 : Fonction de phase pour différents angle de diffusion: comparaison de la théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, propriétés identifiés à

5 , 0µmλ θ= = ° .



Les coefficients d’extinction et de diffusion, le facteur d’asymétrie identifiés par Moura (1998) pour les angles d’incidences 40,30,20,10,0=θ varie avec la direction du rayonnement ce qui n’est pas le cas pour prédiction de la théorie de Mie-Kerker pour °< 45θ . D’autre part, les propriétés identifiées sont qualitativement inférieures à celles de la théorie de Mie-Kerker. L’albedo identifié par Moura [ ]945,093,0∈ω indique que le milieu est absorbant/diffusant tandis que la théorie de Mie-Kerker prédit un milieu très peu absorbant :

[ 9909,09903,0∈ ]ω . La figure V.76 présente la comparaison des transmittances et réflectances bidirectionnelles issues de la théorie de Mie-Kerker, à partir des propriétés radiatives identifiées par Moura (1998) et des modèles approchés de diffusion de Henyey-Greenstein et/ou de milieu isotrope équivalent.

On note que la transmittance et la réflectance directionnelle – hémisphérique obtenues à partir des propriétés identifiées par Moura (1998) présentent des écarts importants par rapport à celles de la théorie de Mie-Kerker.

6

10-2

10-1

0

30

60

90

120

150

180



Identification (Moura, 1998) γ2[γ1HG(g1)+(1-γ1)HG(-g1)]+1-γ2

Mie- Kerker

DHG HG(gP1) HG(g) Propriétés Identifiées

Thm 0,4364 0,4359 0,4074 0,4352 0,1664 Rhm 0,3623 0,3621 0,3308 0,3069 0,2389

Figure V- 7 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, identification à 05,05 , 0µmλ θ= = ° .



Deux raisons peuvent expliquer les écarts importants entre les résultats obtenus des propriétés identifiées à partir des mesures expérimentaux de Moura et ceux de la théorie de Mie-Kerker :

• L’identification du coefficient d’extinction par la loi de Beer n’est pas précise car le milieu est optiquement épais et il est difficile d’extraire la composante diffuse de la transmittance normale,

• L’identification du facteur 2γ , et de l’épaisseur optique dans un schéma d’identification simultané, est difficile et peu précis pour les milieux optiquement épais comme le montre les courbes des coefficients de sensibilité de la figure V.77 (Nicolau, 1994)


7

1γ

1γ

2γ

2γ

Figure V- 7 : Coefficients de sensibilités normalisés (Nicolau, 1994): 115; 0,86;y gτ = = 1 2 20,95; 0,90; 0,95; 0,60gω γ γ= = = = −

L’estimation du facteur 2γ est d’autant plus délicate qu’il est sensible vers les directions °= 90θ où les mesures sont très bruitées et difficiles à obtenir (Randrianalisoa et co-auteurs,

2006). La mauvaise précision et la difficulté de l’identification du facteur 2γ et de l’épaisseur optique conduit probablement à une mauvaise identification de l’albedo du milieu. Afin de poursuivre l’analyse de la détermination des propriétés radiatives des milieux anisotropes par une approche d’identification basée sur des mesures bidirectionnelles, nous avons procédé à un calcul analytique du facteur 2γ en considérant que le facteur d’asymétrie de la fonction de Nicolau (1994) utilisée par Moura (1998) dans le processus d’identification est égale à :

• Au facteur d’asymétrie de la théorie de Mie-Kerker dans la direction du rayonnement collimaté )( 0θθ =g ,

• Au facteur d’asymétrie lorsque l’on suppose un milieu isotrope équivalent de propriétés radiatives moyennes pondérées P1 sur toutes les directions du rayonnement incident,

1Pg



• Au facteur d’asymétrie moygg = lorsque que l’on fait l’hypothèse de milieu isotrope équivalent avec des propriétés radiative moyennes arithmétiques sur toutes les directions du rayonnement incident.

En considérant les paramètres 1211 ,, ggg −=γ identifiés par Moura (1998), le facteur de pondérations 2γ est déduit la relation :

[ ]0 2 1 1 1 2, 1, (1 )P moyg gθ θ γ γ γ= = + − g /V.14/

Le tableau V.18 donne les valeurs du facteur de pondération 2γ déduit de la relation précédente et des paramètres 11, gγ identifiés par Moura (1998) pour 0 0θ = ° .

Tableau V.18 : paramètres 2γ

Modèle

Direction du rayonnement

(θ=θ0)

Moyennepondérée

P1


2γ 0,9894 0,8944 1,0000 Nous avons représentés sur la figure V.78 les transmittances et réflectances bidirectionnelles pour la fonction modifiée de Moura (1998) et les coefficients d’extinction/diffusion correspondant : , 0 , . 1, .e s moy P moyσ θ θ= .

8

10-2

10-1

30

60

90

120

150

180


Théorie de Mie-Kerkerγ2[γ1HG(g1)+(1-γ1)HG(-g1)]+1-γ2

Direction collimaté (θ=θ0)

Moyennes pondérées P1 Moyennes arithmétique

Mie- Kerker

θ=θ0 Moyenne Pondérée

P1


Thm 0,4364 0,4329 0,2817 0,4296 Rhm 0,3623 0,3701 0,4571 0,3165

Figure V- 7 : Transmittance/ réflectance bidirectionnelle en fonction de l’angle polaire du rayonnement θ ; tableau des transmittances/réflectances directionnelle -hémisphérique correspondant : comparaison théorie de Mie-Kerker, modèles approchés, modèle identifie modifié à 05,05 , 0µmλ θ= = ° .




L’utilisation des propriétés radiatives et de la fonction de phase basée sur la fonction de phase de Moura dans la direction du rayonnement collimatée 0 0θ = ° permet d’obtenir un bon accord avec les transmittances et réflectances bidirectionnelles de la théorie de Mie-Kerker. La figure V.78 montre aussi que les réflectances bidirectionnelles issues des propriétés radiatives moyennes arithmétiques et P1 présentent des écarts importants par rapport à celle de la théorie de Mie-Kerker. Ces d’hypothèses ne sont donc pas souhaitable pour la validation des propriétés radiatives obtenues par identification à partir de mesures bidirectionnelle. La synthèse des considérations liées à l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes fibreux à partir de mesures bidirectionnelles permet de dégager les conclusions suivantes :

o L’hypothèse de fonction de Henyey-Greenstein n’est pas adaptée à l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes à partir les mesures bidirectionnelles : les transmittances et réflectances théoriques utilisant une fonction de Henyey-Greenstein et négligeant la rétrodiffusion engendrent des erreurs importantes sur les réflectances bidirectionnelles;

o Les écarts sur transmittances et réflectances bidirectionnelles sont négligeables lorsque la diffusion du milieu est approchée par une fonction de phase plus complète telle que celle utilisée par Moura avec des propriétés radiatives dans la direction du rayonnement collimaté;

o L’utilisation d’une fonction de phase basée sur des paramètres identifiés par Moura avec des propriétés moyennes arithmétiques ou pondérées P1 conduit à des écarts importants sur les transmittances et réflectances ;

o Cette partie confirme bien qu’on peut modéliser le transfert radiatif dans un milieu anisotrope par un transfert radiatif dans un milieu isotrope équivalent et qu’il est nécessaire de prendre en compte dans la fonction de phase la rétrodiffusion.



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Conclusion

CONCLUSION

____________________________________________________________________________________________________________________________

L’étude bibliographique du transfert radiatif dans les milieux semi-transparents anisotropes met en évidence la quasi inexistence de travaux relatifs à la simplification du problème de transfert radiatif dans ces milieux. On note aussi le faible nombre de travaux sur la correspondance entre les propriétés radiatives isotropes obtenues par la méthode d’identification des paramètres et les propriétés intrinsèques des milieux anisotropes. L’originalité de ce travail consiste en l’étude de la précision et de la validité de l’utilisation de simplifications pour la modélisation du transfert radiatif dans les milieux anisotropes et plus particulièrement les fibreux. Nous avons examiné l’utilisation des hypothèses de milieu isotrope équivalent et de simplification de l’anisotropie de diffusion du milieu anisotrope.

Le transfert de chaleur par rayonnement conduction dans les milieux poreux semi – transparents isotropes ou anisotropes est modélisé en résolvant l’équation de transfert radiatif et l’équation de l’énergie. Afin de simplifier l’analyse du transfert radiatif dans les milieux anisotropes, nous avons considérés deux approches :

Définir un modèle de transfert radiatif à diffusion isotrope ou à diffusion de Henyey-Greenstein dans un milieu isotrope équivalent. Des propriétés radiatives moyennes arithmétiques ou moyennes pondérées (déduites de la méthode des harmoniques sphériques) suivant les directions du rayonnement sont proposées,

Simplifier l’anisotropie de diffusion du milieu anisotrope par des fonctions de diffusion isotrope ou directionnelle de Henyey – Greenstein tout en conservant la nature anisotrope du milieu.

Nous avons mis en évidence que l’utilisation des hypothèses de milieu isotrope

équivalent et/ou de fonction de phase isotrope ou Henyey-Greenstein permettent de modéliser avec précision et rapidité le transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux anisotropes fibreux si la nature anisotrope du milieu était conservée en utilisant des propriétés directionnelles ou si les propriétés radiatives isotropes du milieu équivalent étaient obtenues par une moyenne pondérée déduite de la méthode des harmoniques sphériques.

Nous avons également montré qu’à température ambiante, l’influence des hypothèses

simplificatrices sur la prédiction de la conductivité thermique équivalente des milieux anisotropes fibreux constitués de laine de verre légère est faible. En effet, la plupart des hypothèses utilisées pour modéliser le transfert couplé conduction/rayonnement : milieu isotrope à diffusion isotrope ou anisotrope de Henyey-Greenstein, milieu anisotrope à diffusion isotrope ou de Henyey-Greentein donnent une bonne prédiction de la conductivité thermique de la laine de verre dont les fibres sont orientées aléatoirement dans un plan parallèle aux faces.

L’application du modèle de diffusion de Rosseland à la modélisation du transfert

radiatif dans les milieux anisotropes fibreux constitués de laine de verre légère a montré les limites de ce modèle. Les résultats de la prédiction du flux radiatif par le modèle de Rosseland avec des propriétés radiatives isotropes moyennes arithmétiques et moyennes pondérées P1 présentent un désaccord avec ceux obtenus par la méthode des ordonnées discrètes avec les mêmes hypothèses.


Conclusion

Nos travaux tendent à montrer que l’utilisation de l’hypothèse de milieux isotrope équivalent est applicable pour la détermination des propriétés radiatives des milieux anisotropes par la méthode d’identification des paramètres. La comparaison théorique des transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques montre que l’utilisation des hypothèses de diffusion isotrope et de Henyey-Greenstein dans un processus d’identification de propriétés radiatives conduit à de bons résultats si le milieu est purement diffusant et optiquement épais. Dans le cas d’un milieu anisotrope absorbant/diffusant, l’utilisation de ces approximations de diffusion peut conduire à des écarts importants sur les propriétés identifiées et nécessite la prise en compte des phénomènes de diffusion avant/rétro-diffusion/diffusion isotrope du milieu. L’estimation des propriétés radiatives d’un milieu anisotrope constitué de laine de verre optiquement épais et purement diffusant en supposant la diffusion du milieu isotrope montre que les propriétés radiatives obtenues sont des moyennes pondérées P1.

Nos travaux ont mis en évidence la validité des mesures bidirectionnelles en incidence

inclinée permettant d’approcher les propriétés radiatives directionnelles des milieux anisotropes. Les calculs ont été effectués pour une incidence

00θ = ° .

Les perspectives de ces travaux concernent plus particulièrement :

o Amélioration de la précision de la méthode de Rosseland par la prise en comte des conditions aux limites

o L’utilisation de la méthode des harmoniques sphériques pour la résolution de l’équation de transfert radiatif dans les milieux anisotropes et la comparaison entre les méthodes : ordonnées discrètes, volumes finis...

o Etudier la validité des hypothèses de milieu isotrope équivalent et/ou de

diffusion de Henyey-Greenstein ou isotrope pour la modélisation du transfert de chaleur dans les milieux anisotropes dans le cas de géométries multidimensionnelles 2D et 3D.

o Etudier la validité des hypothèses de milieu isotrope équivalent et/ou de

diffusion approchée pour la simplification du transfert radiatif dans les milieux anisotropes dont les fibres sont orientées aléatoirement dans d’autres directions que dans le plan parallèle aux frontières.

o La validation des propriétés moyennes pondérées P1 par la méthode

d’identification des propriétés radiatives de milieux anisotropes absorbant/diffusant en supposant une fonction de phase plus complète et des mesures directionnelles - hémisphériques.

o Les résultats encourageants de transmittances et réflectances bidirectionnelles en incidence

00θ = ° seront étendus à différents angles d’incidences afin de

confirmer l’utilisation la méthode d’identification basée sur des mesures bidirectionnelles en incidence inclinée pour la détermination des propriétés radiatives des milieux anisotropes.

____________________________________________________________________________________________________________________________ Hervé Thierry Kamdem Tagne 187 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

Annexe I. Réflexion et transmission a l’interface air/milieu

ANNEXE

A.I REFLEXION ET TRANSMISSION A L’INTERFACE AIR/MILIEU La réflexion et la transmission d’un rayonnement lumineux à l’interface d’un milieu est un processus par lequel une fraction du flux radiatif incident sur la surface est renvoyée par celle-ci dans le milieu de propagation du faisceau incident ou transmis à travers l’interface du milieu sans que les ondes électromagnétiques changent de longueur d’onde. La réflectivité et la transmittivité à l’interface d’un milieu, dépendent non seulement de l’état physico-chimique et géométrique, mais aussi des directions d’incidence, de réflexion et de transmission du rayonnement à l’interface du milieu. La distribution spatiale et angulaire d’un rayonnement réfléchi ou transmis à l’interface d’un milieu est influencée par le profil des hétérogénéité définissant la rugosité de l’interface. Lorsque le rapport de la moyenne quadratique des hétérogénéités de la surface par longueur d’onde incidente est inférieur à

la réflexion et la transmission à l’interface de la surface est spéculaire et la surface dite optiquement lisse. Dans le cas contraire la réflexion et la transmission à l’interface peut être diffuse ou couplé spéculaire/diffuse.

0,05

A.I.1 COEFFICIENTS DE REFLEXION ET DE TRANSMISSION BIDIRECTIONNELS

Pour un faisceau de rayonnement incident sur une surface homogène et isotrope, la principale grandeur caractérisant géométriquement les propriétés de réflexion et de transmission de cette surface sont les coefficients spectraux de réflexion et de transmission bidirectionnels. La figure /A.I.1/ représente la réflexion d’un faisceau de rayonnement à l’interface d’une surface

____________________________________________________________________________________________________________________________

Figure A.I- 1 : Géométrie de la réflectivité bidirectionnelle

),( izL ∆i∆

rdΩidΩ

iθrθ

r∆ ),( rzL ∆

dA

n

P



Le coefficient de réflexion spectrale bidirectionnel en un point P traduit le rapport de la luminance réfléchie dans la direction r∆ par le flux spectrale incident par unité de surface dans la direction (Nicodemus 1964; Siegel et Howell, 1992) i∆

iiii

rirri dyL

ydLΩ∆

∆∆=ΩΩ′′

θρ

λ

λλ cos),(

),,(),(

,

, /A.I.1/

où ),,(, itr ydL ∆∆λ est la luminance monochromatique réfléchie bidirectionnelle.

Le coefficient de réflexion monochromatique bidirectionnel dépend de la direction de réflexion r∆ et de la direction d’incidence i∆ comme l’indique la figure A.I.1. La luminance

spectrale réfléchie dans la direction r∆ provenant de la totalité des luminances incidentes est donnée par la relation

∫Ω

∆∆=∆i

rirrr ydLyL ),,(),( ,, λλ /A.I.2/

L’utilisation des relations /A.I.1-A.I.2 / conduit à

∫Ω

Ω∆ΩΩ′′=∆i

iiiiirrr dyLyL θρ λλ cos),(),(),( ,, /A.I.3/

L’hypothèse de réciprocité de Helmholtz permet d’écrire (Nicodemus et co-auteurs, 1977 ; Siegel et Howell, 1992)

),(),( irri ΩΩ′′=ΩΩ′′ λλ ρρ /A.I.4/ Le coefficient de transmission monochromatique bidirectionnel définit de manière similaire au coefficient monochromatique de réflexion bidirectionnel est le rapport de la luminance transmise dans la direction par le flux spectrale incident par unité de surface, dans la

direction t∆

i∆

),(),,(

),(,

,

ii

titti yL

ydLt

∆

∆∆=ΩΩ′′

λ

λλ /A.I.5/

où ),,( itt ydL ∆∆ est la luminance spectrale transmise bidirectionnelle.

La luminance spectrale transmise dans la direction t∆ provenant de la totalité des luminances incidentes est donnée par la relation

∫Ω

∆∆=∆i

tittt ydLyL ),,(),( ,, λλ /A.I.6/



L’utilisation des relations /A.I.5-A .I.6/ conduit à

∫Ω

Ω∆ΩΩ′′=∆i

iiiiittt dyLtyL θλλ cos),(),(),(, /A.I.7/

La condition de réciprocité pour les coefficients de transmission bidirectionnels est (Tsang et Kong, 1980)

),(),( 21 itti tntn ΩΩ′′=ΩΩ′′ λλ /A.I.8/

A.I.2 REFLECTIVITE ET TRANSMITTIVITE DIRECTIONNELLE – HEMISPHERIQUE

La réflectivité spectrale directionnelle – hémisphérique désigne le rapport du flux radiatif spectral réfléchi dans tout le demi- espace entourant l’élément de surface au flux radiatif spectrale incident dans un angle élémentaire

dA

idΩ autour de la direction i∆

∫∫

Ω

Ω ΩΩΩ′′=Ω∆

Ω∆

=Ω′r

rrrri

iiii

rrrr

i ddyL

dydLθρ

θ

θ

ρ λλ

λ

λ cos),(cos),(

cos),()(

,

,

/A.I.9/

avec l’élément d’angle solide de réflexion rrrr ddd ϕθθsin=Ω

La réflectivité spectrale directionnelle - hémisphérique est inférieure ou égale à un. Ce qui donne la condition pour le coefficient de réflexion bidirectionnel

1cos),( ≤ΩΩΩ′′∫Ωr

rrri dθρλ /A.I.10/

La transmittivité spectrale directionnelle – hémisphérique est le rapport du flux radiatif spectrale transmis dans tout le demi- espace entourant l’élément de surface au flux radiatif spectrale incident dans un angle élémentaire

dA

idΩ autour de la direction i∆

∫∫

Ω

Ω ΩΩΩ′′=Ω∆

Ω∆

=Ω′t

tttti

iiii

tttt

i dtdyL

dydLt θ

θ

θ

λλ

λ

λ cos),(cos),(

cos),()(

,

,

/A.I.11/

avec l’élément d’angle solide de transmission tttt ddd ϕθθsin=Ω

La transmittivité spectrale directionnelle - hémisphérique étant inférieure ou égale à un, on

déduit la condition pour le coefficient de transmission bidirectionnel

∫Ω

≤ΩΩΩ′′t

ttti dt 1cos),( θλ /A.I.12/



____________________________________________________________________________________________________________________________

La conservation de l’énergie à l’interface d’une surface d’un milieu semi - transparent se traduit par la relation suivante liant la réflectivité et la transmittivité spectrale directionnelle hémisphérique

1)()()( =Ω+Ω′+Ω′ iii t λλλ αρ /A.I.13/ où λα est l’absorptivité spectrale directionnelle du milieu.

A.I.3 SURFACE SPECULAIRE - SURFACE DIFFUSE

La réflexion à l’interface d’une surface réelle peut être décomposée en une réflexion spéculaire et une réflexion diffuse. Pour une direction incidente i∆ centrée autour d’un angle solide ),( iii ϕθ=Ω , la luminance spectrale réfléchie est dans ce cas proportionnelle à la luminance spectrale incidente

),()(),( ,,, iirsprr yLyL ∆=∆ λλλ θρ /A.I.14/

sp,λρ définit la réflectivité spectrale spéculaire d’une surface réelle.

De la relation /A.I.3/, la luminance monochromatique réfléchie s’écrit

∫ Ω∆′′=∆π

λλλ θϕθϕθρ2

,, cos),(),,,(),( iiiiiirrrr dyLyL /A.I.15/

La condition de diffusion spéculaire définie par l’équation /A.I.14/ est vérifiée par la relation /A.I.15/ si et seulement si le coefficient de réflexion spectrale spéculaire bidirectionnel s’écrit (B.K.P. Horn et R.W. Sjoberg, 1979)

ii

riirisprriisp θθ

πϕϕδθθδθρϕθϕθρ λλ sincos

)()()(),,,( ,,

±−−=′′ /A.I.16/

De même, la luminance spectrale transmise dans la direction spéculaire s’écrit

),()(),( ,2

, iiisptt yLtnyL ∆=∆ θλλ /A.I.17/

La luminance monochromatique transmise de la direction

i∆ dans la direction s’écrit

i

La relation /A.I.17/ est satisfaite par la relation /A.I.18/ si et seulement si

t∆

, ,2

( , ) ( , , , ) ( , ) cost t i i t t i i iL y t L y dλ λ λπ

θ ϕ θ ϕ θ′′∆ = ∆ Ω∫ /A.I.18/

, ,

, ,

( ) (( , , , ) ( )

cos sint sp i t sp i

sp i i t t sp it t

t tλ λ

)δ θ θ δ ϕ ϕ πθ ϕ θ ϕ θ

θ θ− − ±

′′ = /A.I.19/



Soit ),,,(, rriid ϕθϕθρλ′′ la réflectivité spectrale bidirectionnelle diffuse d’une surface réelle, le facteur de réflexion spectrale bidirectionnel est la somme des coefficients de réflexion spéculaire et diffuse monochromatiques bidirectionnels (Brewster, 1992)

, ,( ) ( )( , , , ) ( ) ( , , , )

cos sinr i i r

i i r r sp i d i i r ri i

λ λ λδ θ θ δ ϕ ϕ πρ θ ϕ θ ϕ ρ θ ρ θ ϕ θ ϕ

θ θ− − ±′′ ′′= + /A.I.20/

De façon identique au coefficient de réflexion monochromatique bidirectionnel, le coefficient monochromatique de transmission bidirectionnel s’écrit

, ,, ,

( ) ( )( , , , ) ( ) ( , , , )

cos sint sp i i t sp

i i t t sp i d i i t tt t

t t tλ λ λ

δ θ θ δ ϕ ϕ πθ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ

θ θ− − ±

′′ ′′= + /A.I.21/

où

spt ,λ et désignent respectivement la transmittivité monochromatique spéculaire et le coefficient de transmission monochromatique bidirectionnel diffus d’une surface réelle.

L’introduction des équations /A.I.20-A.I.21/ dans l’équation de conservation de l’énergie /A.I.13/ donne (Modest, 1992)

dt ,λ′′

1)()()()()( ,,,, =Ω+Ω′+Ω′+Ω+Ω iididispisp tt λλλλλ αρρ /A.I.22/

A.I.4 LUMINANCES TRANSMISSES ET REFLECHIES

L’interface entre l’air et le milieu poreux semitransparent peut être considérée transparente, à réflexion spéculaire, à réflexion diffuse et/ou diffuse. Nous considérons que le milieu est soumis à un flux collimaté à l’interface S1. Nous cherchons à exprimer les luminances aux faces du milieu en fonction des grandeurs de diffusion surfaciques. La figure A.I.2 présente la réflexion aux interfaces et . 1S 2S

Le flux radiatif monochromatique à la frontière S1 dans la direction 1s

∆ s’écrit

1

1 1, , , ,

(0, ) coss

t s r s

d L d d

d dλ λ

λ λ

AθΦ = ∆ Ω

= Φ + Φ /A.I.23/

où

1, , , ,,t s r sd dλ λΦ Φ1 désignent respectivement le flux monochromatique transmis de

l’air vers le milieu semi - transparent et le flux monochromatique réfléchi dans la direction

1s∆ provenant de l’ensemble des directions

1,si∆ .



____________________________________________________________________________________________________________________________

1sn

2,si∆

1,si∆

2sn

2S

1S

θ

1S∆

2S∆

θ

2,siθ2,siθ

1,siθ

0Ωd0θ

1,stθ

2,stθ

0L

1,siθπ −

θπ −

Figure A. I- 2 : Angles incident et réfléchi des propriétés de diffusion surfacique bidirectionnelle

En notant que la direction de transmission t∆ du rayonnement de l’air vers le milieu coïncide

avec la direction de réflexion interne1s

∆ défini par les angles ( , )θ ϕ , le flux

monochromatique transmis de l’air vers le milieu dans la direction 1, ,t sd λΦ

1s∆ dans le cas

d’un rayonnement incident contenu dans l’angle solide 0∆Ω est donné par

1 1 1 1

0

, , , , , ,1 2 0 0 ,0 0 0 0cos ( , , , ) ( ) cost s t s t s sd d dA t Lλ λ λθ θ ϕ θ ϕ δ→∆Ω

′′Φ = Ω Ω − ∆Ω Ω∫ dθ /A.I.24/

d

θ

où 21,, 1 →′′ stλ est la transmittivité monochromatique bidirectionnelle à l’interface entre

l’air et le milieu. 1s

En introduisant la relation /A.I.21/ dans la relation précédente, on a

1 1 1

0

2, , ,0 0 , , ,1 2 ,0 , , ,1 2 0 0 ,0 0 0cos ( ) ( ) ( , , , ) cost s sp s t d sd d dA n L t t Lλ λ λ λ λθ δ θ θ ϕ θ ϕ θ→ →

∆Ω

⎧ ⎫⎪ ⎪′′Φ = Ω Ω − ∆Ω + Ω⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ /A..I.25/

avec et désignent respectivement la transmittivité monochromatique

spéculaire et diffuse à l’interface aire/milieu, 21,,, 1 →ssptλ 21,,, 1 →′′ sdtλ

20 0cos cosd n dθ Ω = Ω dans la direction spéculaire.



Le flux monochromatique réfléchi 1,, srd λΦ dans la direction

1s∆ provenant de l’ensemble des

directions 1,si∆ est donné par

1 1 1d

1 1 1 1 1 1

2

, , , ,2 1 , , , , , , ,0 / 2cos ( , , , ) (0, ) cos sinr s s i s i s i s i s i s i s i sd d dA L d

π π

λ λ λπθ ρ π θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ→′′Φ = Ω − ∆∫ ∫

/A.I.26/

où

12,, 1 →′′ sλρ est la réflectivité monochromatique bidirectionnelle à l’interface milieu/air.

1

La substitution de /A.I.20/ dans la relation précédente permet d’écrire

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

, , , , ,2 1 ,

2

, , ,2 1 , , , , , , ,0 / 2

cos ( ) (0, )

cos ( , , , ) (0, )cos sin

r s sp s i s

d s i s i s i s i s i s i s i s

d d dA L

d dA L d d

λ λ

π π

λ λπ

θ ρ θ

θ ρ π θ ϕ θ ϕ θ θ θ

→

→

Φ = Ω ∆

′′+ Ω − ∆∫ ∫ ϕ

/A.I.27/ avec

12,,, 1 →sspλρ et 12,,, 1 →′′ sdλρ désignent respectivement la réflectivité monochromatique spéculaire et diffuse à l’interface milieu/air.

L’utilisation des relations /A.I.23, A.I.25, A.I.27/ conduit à la luminance à l’interface du milieu

1d

0

1 1 1 1

1

0

1 1 1 1 1 1

2,0 0 , , ,1 2 ,0 , , ,2 1 ,

, , ,1 2 0 0 ,0 0 0

2

, , ,2 1 , , , , , , ,0 / 2

(0, ) ( ) ( ) ( ) (0, )

( , , , ) cos

( , , , ) (0, ) cos sin

s sp s t sp s i s

d s

d s i s i s i s i s i s i s i s

L n L t L

t L d

L d

λ λ λ λ λ

λ λ

π π

λ λπ

δ θ ρ θ

θ ϕ θ ϕ θ

ρ π θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ

→ →

→∆Ω

→

∆ = Ω − ∆Ω + ∆

′′+ Ω

′′+ − ∆

∫

∫ ∫

/A.I.28/

A l’interface du milieu, il ne se produit que la réflexion interne. L’application de la relation /A.I.28/ donne

2d

2s

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

, , ,2 1 , ,

2 / 2

, , ,2 1 , , , , , , ,0 0

( , ) ( ) ( , )

( , , , ) ( , ) cos sin

L s sp s i s L i s

d s i s i s L i s i s i s i s i s

L L

L d

λ λ λ

π π

λ λ

τ ρ θ τ

ρ θ ϕ π θ ϕ τ θ θ θ ϕ

→

→

∆ = ∆

′′+ − ∆∫ ∫

/A.I.29/



A .I. 5 TRANSMITTANCE ET REFLECTANCE

____________________________________________________________________________________________________________________________

La transmittance monochromatique directionnelle hémisphérique est définie par le

rapport du flux monochromatique transmis à travers le milieu semi - transparent au flux monochromatique incident sur le milieu et donnée par la relation

2, ,

,0 0cos

t ext shmT

L dλ θ 0

Φ=

Ω /A.I.30/

où est le flux hémisphérique transmis ,donné par 2, ,t ext sΦ

2 2

1 2, , , , , ,2( , ) cost ext s ext t s t s t sL y dλπ

θΦ = ∆ Ω∫ /A.I.31/

La transmittance monochromatique bidirectionnelle est le rapport de la luminance monochromatique transmise à travers le milieu semi – transparent au flux incident sur le milieu

2, ,

0 0

( , )cos

ext t sL yT

L dλ

λ θ∆

′′ =Ω0

2,

/A.I.32/

La luminance monochromatique transmise à travers le milieu semi – transparent à l’interface

du milieu est donnée par la relation 2S

2 2 2 2 2 2 2 2, , , ,2 1 , , , , , ,2( , ) ( , , , ) ( , ) cosext t s s i s i s t s t s i s i s i sL y t L y dλ λ λπ

θ ϕ θ ϕ θ→′′∆ = ∆ Ω∫ /A.I.32/

En substituant la relation /A2.21/ dans la relation précédente, on obtient

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

, , , ,2 1 , ,2

, , ,2 1 , , , , , , ,2

1( , ) ( ) ( , )

( , , , ) ( , ) cos

ext t s sp t s t s

d s i s i s t s t s i s i s i s

L y t L yn

t L y

λ λ λ

λ λπ

θ

θ ϕ θ ϕ θ

→

→

∆ = ∆

′′+ ∆∫ 2dΩ

/A.I.33/

avec dans la direction spéculaire

2, /A.I.34/

La réflectance monochromatique hémisphérique est le rapport du flux monochromatique réfléchi à l’interface du milieu au flux monochromatique incident sur le milieu

2 2 2

2, , ,cos cosi s i s t s t sn d dθ θΩ = Ω

1, ,

,0 0 0cosr ext s

hmRLλ θ

Φ=

∆Ω /A.I.35/

1 1 /A.I.36/

avec , le flux monochromatique hémisphérique réfléchi à l’extérieur de la surface est donné par

1, ,r ext sΦ

1s

1 1, , , , , ,2(0, ) cosr ext s ext t s t s t sL dλπ

θΦ = ∆ Ω∫Hervé Thierry Kamdem Tagne 195 Thèse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon


____________________________________________________________________________________________________________________________

De manière semblable à la transmittance monochromatique bidirectionnelle, la réflectance monochromatique bidirectionnelle est le rapport de la luminance monochromatique bidirectionnelle à l’interface du milieu semi – transparent au flux incident sur le milieu

1, ,

0 0

(0, )cosext t sL

RL d

λλ θ

∆′′ =

Ω0

1

/A.I.37/

La luminance monochromatique réfléchie à l’interface du milieu semi – transparent s’écrit

1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1

, , , ,1 2 0 0 , , 0 0 02

, ,2 1 , , , , , , ,2

(0, ) ( , , , ) cos

( , , , ) (0, )cos

ext t s s t s t s

s i s i s t s t s i s i s i s

L L d

t L

λ λπ

λ λπ

ρ θ ϕ θ ϕ θ

π θ ϕ θ ϕ θ

→

→

′′∆ = Ω

′′+ − ∆

∫∫ dΩ

/A.I.38/

L’utilisation des relations /A.I.20, A.I.21/ dans la relation précédente permettent d’obtenir la relation suivante

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

, , , ,1 2 0 0 , ,2 1 , ,2

, , ,1 2 0 0 , , 0 0 02

, , ,2 1 , , , , , , ,2

1(0, ) ( ) ( ) (0, )

( , , , ) cos

( , , , ) (0, )cos

ext t s s sp t s t s

d s t s t s

d s i s i s t s t s i s i s i s

L L t Ln

L d

t L

λ λ λ λ

λπ

λ λπ

ρ θ θ

ρ θ ϕ θ ϕ θ

π θ ϕ θ ϕ θ

→ →

→

→

∆ = + ∆

′′+

′′+ − ∆

∫∫ 1

d

Ω

Ω

1,

TSANG, L., KONG, J.A., 1980, Energy conservation for reflectivity and transmissivity at avery rough surface, Journal of Applied Physics, Vol. 51, pp. 673-680.

/A.I.39/

où dans la direction spéculaire on a

1 1 1

2, , ,cos cosi s i s t s t sn d dθ θΩ = Ω /A.I.40/

Les relations /A.I.38-A.I.39/ rendent compte des phénomènes de transmission et de réflexion aux interfaces d’un milieu semi – transparent. Ces relations s’appliquent pour les interfaces à transmission et réflexion transparente ou à diffusion spéculaire et/ou diffuse. Ces relations sont grandement simplifiées dans les cas des interfaces à transmission et réflexion transparente ou spéculaire.

RÉFÉRENCE BREWSTER, 1992, Thermal radiative transfer and properties, John Wiley and Sons, Inc,

New York, 543p. HORN, B.K.P., SJOBERG, R.W.,1979, Calculating the reflectance map, Applied Optics, Vol.

18, pp. 1770 – 1779. NICODEMUS, F.E., RICHMOND, J.C., HSIA, J.J., GINSBERG, I.W., LIMPERIS, T.,

1977 , Geometrical considerations and nomenclature for reflectance. Washington: national Bureau of Standards, 52 P.



Annexe II. Diffusion du rayonnement par un cylindre infini

A.II DIFFUSION DU RAYONNEMENT PAR UN CYLINDRE INFINI

La théorie de diffusion du rayonnement par un cylindre sous incidence perpendiculaire a été étudiée pour la première fois Lord Rayleigh en 1881 (Bohren, Huffman, 1983) et le cas général de diffusion du rayonnement par un cylindre sous incidence oblique fut traité par Wait (Lind et Greenberg, 1966 ; Kerker, 1969). L’interaction du rayonnement par une fibre infiniment longue est régie par les équations de Maxwell

H jk Eε∇× = /A.II.1/ E jkµ∇× = − H /A.II.2/

0µH∇ ⋅ = /A.II.3/ 0Eε∇ ⋅ = /A.II.4/

avec

,E H les vecteurs champs électrique et magnétique respectivement ; , µε la perméabilité électrique et magnétique du cylindre respectivement ;

2 /k π λ= le vecteur d’onde ; λ la longueur d’onde du rayonnement incident.

La diffusion s’effectuant dans une particule cylindrique, le système de coordonné cylindrique est souhaitable pour la résolution des équations de Maxwell. Il est aussi préférable d’écrire les champs électrique et magnétique en fonction des scalaires et suivant les relations (Lind et Greenberg, 1966)

U V

( )V UE µ M jN= + /A.II.5/

( )U VH M jNε= − + /A.II.6/

avec les vecteurs M et N liés aux scalaires ( , )U V ψ= par les relations

( )zM aψ ψ= ∇× /A.II.7/ 1/ 2( )µ N Mψ ψε = ∇× /A.II.8/

où

za le vecteur unitaire suivant la direction du repère orthonormé (z , , )X Y Z ( , )U V ψ=les scalaires satisfont la relation d’onde

. /A.II.9/

2 2 0k µψ εψ∇ + = Considérons un cylindre de rayon , de perméabilité électrique a ε , de perméabilité magnétique µ soumis à un rayonnement électromagnétique de longueur d’onde λ et d’angle d’incidence / 2π φ− avec l’axe du cylindre (Figure A.II.1)



____________________________________________________________________________________________________________________________

φπ −2/ φπ −2/φφkk

EE

HH

Mode TM

θr

Z

Y

X

Figure A. II- 1 : Coordonnées et configuration des angles de propagation du champ électromagnétique dans un cylindre infini

Le rayonnement incident possède deux composantes : une composante transverse du champ magnétique (mode TM) correspondant au cas E et une composante transverse du champ électrique (mode TE) correspondant au cas H . Dans le cas la ” E ” , l’axe du cylindre est dans le plan formé par d’onde plane et le champ électrique k E . Dans le cas ” ”, l’axe du cylindre est dans le plan formé par le vecteur d’onde plane

Hk et le champ magnétique H . La

solution des scalaires ( , )U V ψ= de l’équation d’onde /A.II.9/ correspondant aux différents modes de est donnée par les relations suivantes (Lind et Greenberg, 1966 ; Kerker, 1969)

( ) ( )

( ) ( )

G G Gn E n n n

n

G G Gn H n n n

n

U F J lr b H lrr a

V F J lr a H lr

δ

δ

∞

=−∞

∞

=−∞

⎫⎡ ⎤= − ⎪⎣ ⎦⎪ >⎬⎪⎡ ⎤= −⎣ ⎦⎪⎭

∑

∑ /A.II.10/

1

1

( )

( )

G Gn n n

n

G Gn n n

n

U F d J l rr a

V F c J l r

∞

=−∞

∞

=−∞

⎫= ⎪⎪ <⎬

⎪=⎪⎭

∑

∑ /A.II.11/

avec

,

0 si ,1 si ,

GE H

G E HG E H

δ⎧ ≠⎪= ⎨ =⎪⎩

/A.II.12/

( ) exp( sin sin )nnF j j t jkzω φ θ= − − + /A.II.13/

cosl k φ= /A.II.14/ 2 1/ 2

1 ( sin )l k µε φ= − /A.II.15/ ( )nJ x la fonction de Bessel de premier espèce d’ordre n , 1,x l l r= ( ) ( ) ( )n n nH x J x jY x= − , la fonction de Hankel de deuxième espèce d’ordre et

est la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre n . n

( )nY x



Les coefficients , , , Gn n n na b c d des relations /A.II.10-11/ sont déterminés par application des

conditions de continuité des champs électrique et magnétiques à la surface du cylindre. La résolution des équations de continuité du champ électromagnétique à l’interface air/cylindre donne (Lind et Greenberg, 1966)

[ ] sin ( ) ( ) /En n n na jn SR B µ A µφ= − n∆ /A.II.16/

2 2 2( ) ( ) sin /En n n n nb R A µ B n Sε φ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ∆

n

/A.II.17/ 1/ 2 2 2( ) / ( )E E

n n nc µ H u J u aν ν⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ /A.II.18/ Enb ⎤⎦

1/ 2 2 2/ ( ) ( ) ( )En n n nd u J u J Hε ν ν ν⎡ ⎤ ⎡= −⎣ ⎦ ⎣ /A.II.19/

2 2 2( ) ( ) sin /Hn n n n na R A B µ n Sε φ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ∆ /A.II.20/ H Enb = − na

nν ⎤⎦ /A.II.22/

/A.II.21/ 1/ 2 2 2/ ( ) ( ) ( )H H

n n n nc µ u J u J H aν ν⎡ ⎤ ⎡= −⎣ ⎦ ⎣ 1/ 2 2 2( ) / ( )H E

n n nd H u Jε ν ν nu b⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ /A.II.23/ avec

1u l a= /A.II.24/ laν = /A.II.25/

2 21/ 1/S u ν= − /A.II.26/ ( ) / ( )n n nR J Hν ν= /A.II.27/

2 2 2( ) ( ) sinn n nA A µ n Sε φ∆ = − /A.II.28/ où

[ ] [ ]( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )n n n n nA H H J u uJξ ν ν ν ξ′ ′= − u /A.II.29/

[ ] [ ]( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )n n n n nB J H J u uJξ ν ν ν ξ′ ′= − u /A.II.30/

, µξ ε= ( ), ( ), ( )n n nH J J uν ν′ ′ ′

rapport aux variables indique la dérivée des fonctions de Hankel et de Bessel par

ν et respectivement ; u1/ 2( )m µε= l’indice complexe de réfraction.

LIOU, K-N, 1972, Electromagnetic scattering by arbitrarily oriented ice cylinders, Applied Optics, Vol. 11, No. 3, pp 667- 674.

RÉFÉRENCE BOHREN C.F., HUFFMAN, D.R., 1983, Absorption and Scattering of Light by small

particles, John Wiley &Sons, New York, 530p. KERKER,M., 1969, The scattering of Light and other Electromagnetic radiation, Academic

Press, New York, 666p.. LIND, A.C., GREEENBERG, J.M., 1966, Electromagnetic scattering for obliquely oriented

cylinders, J. Appl. Phys., 37, No. 8, pp. 3195-3303.

SWATHI, P.S., TONG, T.S., 1988, A new algorithm for computing the scattering coefficients of highly absorbing cylinders, J. Quant. Spectros. Radiat. Transfer, Vol. 40, No. 4, pp. 525-530.

YOUSIF, H. A., BOUTROS, E., 1992, A FORTRAN code for scattering of EM plane waves by infinitely long cylinder at oblique incidence, Computer Physics Communication Vol. 69, pp 406-414.


Annexe III. Coordonnées d’une fibre dans un système

____________________________________________________________________________________________________________________________

A. III COORDONNEES D’UNE FIBRE DANS UN SYSTEME

Soit une fibre dans un milieu de référentiel

ZYX ,,

sR

fRiR

v

u

b

a

θ

Z

Y

X

φπ −2/

Le rayonnement incident, le rayonnement diffusé et l’orientation de la fibre sont donné respectivement par les vecteurs.

iR vecteur unitaire repérant la direction du rayonnement incident

sR vecteur unitaire repérant la direction du rayonnement diffusé

fR vecteur unitaire repérant la direction de la fibre dans le milieu

En considérant la projection du vecteur fR sur les directions incidente et diffusée du rayonnement, on définit respectivement les vecteurs

)2/cos( φπ −−= fi RRa

)2/cos( φπ −−= fs RRb Les vecteurs unitaires et sont liés par la relation u v

bvau ⋅=⋅=− )2/sin( φπ

u puis par v , on obtient respectivement Multiplions la relation précédente par

φcos/au = φcos/bv =

L’angle θ est donné par la relation φφφθ 2cos/)sin()sin(cos fsfi RRRR −⋅−=


Annexe IV. Mesures directionnelles - hémisphériques

A.IV MESURES DIRECTIONNELLES - HEMISPHERIQUES

____________________________________________________________________________________________________________________________

A.IV.1 MONTAGE EXPERIMENTAL

Le montage expérimental est constitué d’un spectromètre à transformée de Fourier et d’une sphère intégrante (Figure IV.45).

M S = miroir sphériqueM P = miroir planDiaphragme

Source

DétecteurHgCdTe

MS2MS1

MS3 ouMP3

MP fixe

MPmobile

Lame séparatrice

Spectromè tre FTIR M ontage BR D F/BTD F

MS4

Direction normale

Fenêtre

Echantillon

θ

θΙ

Goniomètre

MP1

MP2

Sphère intégrante

MP

MP

MP MP

RéférenceSample

spéculaireduPort

cetransmitdePort

tan

ceréflecPort tan de

Figure A. IV- 1 : Montage pour les mesures de transmittance et réflectance directionnelle hémisphérique

Le spectromètre à transformée de Fourier est de fabrication BIORAD, modèle FTS

60A. Ce spectromètre utilise une source en céramique chauffée à 1300 (émission de type « corps gris ») et permet l’utilisation d’une lame séparatrice KBr pour les mesures l’infrarouge, en particulier de 1 à 25

C°

,5 µm . Le détecteur utilisé pour capter le rayonnement diffusé par le milieu est un détecteur (également appelé ) à « bande large » avec un préamplificateur linéarisé, étalonné par BIORAD.

MCT HgCdTe

Le faisceau issu de la source forme une image sur le diagramme après réflexion sur le miroir 1MS . La source de diamètre est placée à une distance égale à deux fois la distance focale du miroir

7mm1MS . L’orientation du faisceau est calibrée par un disque percé de

quatre trous de diamètres différents : le diaphragme. Le faisceau devient ainsi quasi-parallèle avec un demi -angle de divergence 0θ calculé par rapport à la distance focale du miroir 2MS

00

2

arctanMS

rf

θ = /IV.10/

où est le rayon d’ouverture du diaphragme 0r

2 90MSf mm= , la distance focale du miroir 2MS ,



La tableau A.IV.1 donne les valeurs des demi - angles de divergence 0θ , pour chaque résolution ou diamètre du diaphragme du spectromètre à transformée de Fourier FTS

60FTS A

Tableau A.IV.1 Angle de divergence du faisceau en fonction de la résolution ou du diamètre d’ouverture du diaphragme (Nicolau, 1994)

m

____________________________________________________________________________________________________________________________ erry Kamdem Tagne 202

èse en thermique et énergétique / 2008 Institut national des sciences appliquées de Lyon

Hervé Thi Th

Le faisceau devenu quasi – parallèle issu du spectromètre à transformée de Fourier passe ensuite dans un réflectomètre à sphère intégrante. Les réflectomètres à sphère intégrante sont des sphères creuses dont la paroi intérieure a été recouverte d’un revêtement qui a un pouvoir réfléchissant uniforme très élevé et également parfaitement diffus - isotrope dans toute la bande spectrale d’utilisation. Dans notre cas, il s’agit d’une sphère intégrante de fabrication LABSPHERE dont la paroi intérieure est revêtue d’or avec un caractère Lambertien pour l’infrarouge. Cette sphère est pourvue de quatre orifices pour les mesures de transmittance et réflectance en incidence normale ou inclinée. La mesure du flux transmis ou réfléchi est effectuée par un détecteur MCT dont la surface sensible à un rayon 0,5dr m= ,

A.IV.2 PRINCIPE DE MESURE La société LABSPHERE propose deux méthodes de mesure de la réflectance : la

méthode de mesure relative et la méthode de mesure absolue. Dans la première méthode, la réflectance est déterminée par rapport à une mesure référence d’un échantillon étalon tandis que dans la seconde méthode l’échantillon est présent dans la sphère durant la mesure du flux de référence et du flux réfléchi par l’échantillon. Pour nos mesures, nous avons adopté la méthode de mesure relative (Figure A.IV.2). Cette méthode permet d’éviter les erreurs de substitution due au remplacement de l’échantillon par un échantillon étalon.

Figure A. IV- 2 : Mesures de la réflectance directionnelle- hémisphérique

Résolution Diamètre (mm) θ0(°) Open 7,0 2,23 2 cm-1 4,0 1,27 1 cm-1 2,7 0,86 0,5 cm-1 1,25 0,40

Infragold Infragold

nEchantillo nEchantillo

SampleRéference

MPMP


____________________________________________________________________________________________________________________________

La réflectance directionnelle - hémisphérique est le rapport du flux réfléchi par le flux de référence

,r echmeshm

réf

RΦ

=Φ

/IV.11/

La procédure de mesure de la transmittance est identique à celle de la réflectance : l’échantillon est présent dans la sphère pendant la mesure de la référence et du flux transmis par l’échantillon ; le port de réflectance est cependant fermé (Figure A.IV.3)

InfragoldInfragold

nEchantillo nEchantillo

Réference Sample

MPMP

Figure A. IV- 3 : Mesures de la transmittance directionnelle hémisphérique

La transmittance directionnelle hémisphérique est le rapport du flux transmis par le flux de référence

,t echmeshm

réf

TΦ

=Φ

/IV.12/


Annexe V. Equation du transfert radiatif du champ de luminance diffuse

A.V EQUATION DE TRANSFRT RADIATIF DU CHAMP DE LUMINANCE DIFFUSE

____________________________________________________________________________________________________________________________

Dans le cas du problème radiatif formulé avec les conditions aux limites /I.40-41/, une autre approche de résolution du problème consiste à séparer le problème collimaté du problème diffus. La luminance est écrite en la somme de la luminance collimatée et la luminance diffuse

En considérant le milieu anisotrope, les équations du problème radiatif pour le champ collimaté sont

, ,( , ) ( , ) ( , )C dL y µ L y µ L y µλ λ λ= + /A.V.1/

),()(),(

,,, µyLµ

yµyL

µ CeC

λλλ σ−=∂

∂ /A.V.2/

)(),0( 00, µµLµLC −= δλ /A.V.3/

La résolution des équations précédente permet d’obtenir le champ de luminance dans la direction du faisceau incident collimatée

0),(, =−µyL LC λ /A.V.4/

[ ] )(/)(exp),( 0000,, µµLµyµµyL eC −−= δσ λλ /A.V.6/ Les équations du problème radiatif pour le champ diffus dans le cas de l’hypothèse du milieu anisotrope sont données par les relations

[ ]µyµµµPµL

µdµyLµµPµµyLµy

µyLµ

es

dsded

/)(exp),()(4

),(),()(21),()(

),(

0,00,00

1

1 ,,,,,

λλλ

λλλλλλ

σσπ

σσ

−∆Ω

+

′′′′+−=∂

∂∫−

/A.V.7/

Les conditions aux limites du problème diffus sont 0),0(, =µLd λ /A.V.8/

, ( , ) 0d yL µλ τ − = /A.V.9/ La résolution des équations /A.V.7-9/ par la méthodes des ordonnées discrètes décrites au chapitre I permet d’obtenir le champs de luminance diffus. La transmittance et la réflectance bidirectionnelles totale s’écrivent

[ ] 0000000,, /)(/)(exp),(),( LµµµLµyµµyLµyL ed ∆Ω−−+= δσ λλλ /A.V.10/

000, /),0(),0( LµµLµL d ∆Ω−=− λλ /A.V.11/ On peut noter que la transmittance bidirectionnelle dans la direction d’incidence collimatée dépend du coefficient d’extinction dans la même direction. La transmittance et la réflectance directionnelles – hémisphériques sont données respectivement par les relations :

)/)(exp(cos),(

00000

2 ,, µyµ

Lµ

dyLT s

dhm σ

θπ λ

λ −+∆Ω

Ω∆= ∫ /A.V.12/

000

2 ,,

cos),0(

Lµ

dLR

dhm ∆Ω

Ω∆= ∫ π λ

λ

θ /A.V.12/


Annexe VI Limites d’applicabilités des fonctions de diffusion isotrope et Henyey-Greenstein

A.VI LIMITES D’APPLICABILITES DES FONCTIONS DE DIFFUSION ISOTROPE ET HENYEY -GREENSTEIN

Le problème de transfert radiatif dans les milieux semi – transparents sous incidence collimaté fait l’objet d’une grande attention dans la littérature (Baillis et Sacadura, 2000). Ce problème intervient notamment lors la détermination théorique des transmittance ou/et réflectance nécessaire à l’identification des propriétés radiatives des milieux semi – transparents. Dans la formulation du problème radiatif, les approximations de diffusion isotrope (Yeh et Roux, 1989 ; Roux, 2003) et de diffusion de Henyey-Greenstein (Uny, 1986 ; Hendricks et Howell, 1996) sont largement employées pour faciliter d’une part la résolution de l’équation de transfert radiatif et d’autre par pour réduire le nombre de paramètres à identifier dans un processus expérimental de détermination des propriétés radiatives des milieux semi – transparents. Dans le cas d’un problème de transfert radiadif dans les milieux semi-transparents isotropes soumis aux conditions aux limites diffuses, ces approximations de la diffusion permettent d’obtenir des résultats précis (Lee et Buckius, 1982 ; Joseph et co-auteurs, 1976). Cependant l’utilisation des approximation de diffusion isotrope et de Henyey-Greenstein pour la modélisation du transfert radiatif dans des milieux semi – transparents isotropes dans des enceintes 2D et 3D soumis à un flux incident collimaté présente de grand écart comparativement à la solution du problème radiatif « exacte » (Kim et Lee, 1990 ; Guo et Maruyama, 1999). La méthode d’identification des propriétés radiatives étant basé sur la détemination théorique des transmittances et/ou réfelctances des milieux plans, il est nécessaire et utile de rechercher les domaines d’applicabilité des approximations de diffusion isotrope et de diffusion de Henyey-Greentein dans la modélisation du transfert radiatif dans une tranche plane sous incidence collimatée. Dans le but d’étudier la précision d’utilisation des approximations de diffusion isotrope et de diffusion de Henyey-Greenstein lors la modélisation du transfert radiatif dans les milieux semi – transparents isotropes plans soumis à un flux incident collimaté, nous considérons cinq milieux plans présentant les différents cas de diffusion : les fonctions (F1 et F2) diffuse le rayonnement uniquement vers l’avant, les fonctions (B1 et B2) diffusent uniquement vers l’arrière, la fonction (F3) présente une diffusion couplée avant/arrière/isotrope. La figure A.VI.1 présente les variations des différentes fonctions de phase avec de l’angle diffusion.

0 30 60 90 120 150 18010-3

10-2

10-1

100

101

102

F1 F2 F3 B1 B2

Fonc

tion

de P

hase

angle de diffusion, Θ

Figure A.VI- 1 : Fonction de phase des milieux fictifs (F1,F2,F3,B1,B2) pour différent angle de diffusion



Pour la modélisation des problèmes à diffusion plus simple isotrope et Henyey-Greenstein, nous considérons que les propriétés radiatives réduites du problème isotrope sont données au chapitre II et que le facteur d’asymétrie de la fonction de Henyey-Greenstein est égal au facteur d’asymétrie de la fonction exacte du problème radiatif

1 / 3HGg g a= = /A.VI.1/

La méthode des ordonnées discrètes avec 24 directions de la quadrature de Gauss est utilisée pour la résolution de l’équation de transfert radiatif. La méthode de volumes de contrôle avec volumes identiques est utilisée pour les discrétisation spatiale des équations aux dérivées partielles. Les transmittances et réflectances directionnelles - hémisphériques sont données par les relations

100

1

0 002 ( , ) /hm yT L µ µdµ Lπ τ= Ω∫ d /A.VI.2/

0

0 012 (0, ) /hmR L µ µdµ L dπ

−= −∫ Ω

avec

/A.VI.3/

* */ yτ τ τ= l’épaisseur adimensionnée, *yτ l’épaisseur optique réduite du

milieu Nous considérerons successivement le cas d’un milieu purement diffusant ( 1ω = ), absorbant/diffusant 0.5ω = et pratiquement absorbant 0.1ω = .

A.VI.1 MILIEU PUREMENT DIFFUSANT La figure A.VI.2 présente les transmittances et réflectances directionnelles -

hémisphériques des milieux diffusant (F1,F2, F3) pour différent épaisseur optique du milieu. Nous avons adimensionné l’épaisseur optique en utilisant une épaisseur optique maximale de max 40yτ = . Les figures A.VI.3 et A.VI.4 représentent les erreurs relatives sur les transmittances et les réflectances directionnelles – hémisphériques des milieux purement diffusant 1ω = à diffusion avant (F1, F2, F3) respectivement. L’erreur relative maximale sur la transmittance est de lorsque le milieu de diffusion avant (F1, F2) ou couplé avant- arrière du milieu (F3) est approchée par une diffusion isotrope réduite. Cette erreur est de 3% lorsque la fonction de diffusion de Henyey-Greenstein est utilisée pour approcher la diffusion du milieu F3. L’erreur relative sur la réflectance est d’environ 10% lorsque les milieux de diffusion avant (F1 et F2) et couplé avant/arrière sont approchés par une diffusion de Henyey-Greenstein. Cette erreur est très largement supérieur à 10% pour les milieux optiquement mince (

6%

10yτ < ) lorsque la fonction isotrope est utilisée pour approcher l’anisotropie de diffusion du milieu. L’erreur relative sur la réflectance décroît quand l’épaisseur optique du milieu croit. On peut aussi noter que pour les milieux optiquement épais, une meilleure précision est obtenue lorsque l’anisotropie du milieu est approchée par fonction de phase isotrope qu’avec la fonction de Henyey-Greenstein.



0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ω=1

F3

F1

F2

Tran

smitt

ance

hém

isphé

rique

Epaiseur optique, τL

Polynôme de Legendre HG Isotrope

ω=1

Réflectance hém

isphérique

F3 F1

F2

Epaisseur optique, τL


Figure A.VI- 2 : Transmittances et réflectances directionnelles - hémisphériques en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions de diffusion F1, F2, F3 ;

1ω =

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

1

2

3

4

5

6

7

ω=1.0

F1F3

F2

Abs

(Thm

,Leg

endr

e-Thm

)/T hm

,Leg

endr

e (%)


HG Isotrope

.

Figure A.VI- 3 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux F1, F2, F3 :

1ω = .



0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-2

10-1

100

101

102

10-1

100

101

102

F2F1

F3

ω=1.0

Diffusion anisotrope HGA

bs(R

hm,L

egen

dre -

R hm )/

R hm,L

egen

dre (%

)


Diffusion iostrope

Figure A.VI- 4 : Erreur relative sur la réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux F1, F2, F3 : 1ω = .

Du point de vue de la méthode d’identification des milieux à diffusion avant ou

couplée avant/arrière/isotrope et purement diffusant, les courbes des figures A.VI.3 et A.VI.4 indiquent :

o La fonction de Henyey-Greenstein est la mieux adaptée que la fonction de diffusion isotrope pour l’identification des propriétés radiatives des milieux optiquement mince,

o Que la fonction de diffusion isotrope est mieux adaptée que la fonction de Henyey-Greenstein pour l’identification des propriétés radiatives des milieux et optiquement épais,

o Qu’il n’est pas souhaitable d’utiliser les réflectances directionnelles – hémisphériques dans un schéma d’identification basé sur l’utilisation de la fonction de diffusion isotrope.

Les transmittances et réflectances directionnelles - hémisphériques des milieux à diffusion arrière (B1,B2) pour différent épaisseur optique du milieu sont représentées sur la figure A.VI.5. Pour ces milieux, l’épaisseur optique maximale est de max 20yτ = . La figure A.VI.6 représente l’erreur relative sur les transmittances et réflectances pour différentes épaisseurs optiques du milieu. Pour ces milieux à diffusion arrière, l’erreur relative sur la transmittance est la réflectance est respectivement inférieur à et 10% lorsque la diffusion est approchée par les modèles réduits isotrope ou Henyey-Greenstein. La fonction de Henyey-Greenstein approche mieux la solution du polynôme de Legendre pour une diffusion arrière plus importante, fonction B2.

2%



1,0


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

ω=1.0

B1

B2

Tran

smitt

ance

hém

isphé

rique



Réflectance hém

isphérique

B2

B1

ω=1.0



Figure A.VI- 5 : Transmittances et réflectances directionnelles - hémisphériques en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions de diffusion B1, B2 ; 1ω = .

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-3

10-2

10-1

100

101

ω=1.0

B2

B1

Abs

(Thm

, Leg

endr

e - T hm

)/ T hm

, Leg

endr

e (%)


Diffusion anisotrope, HG Diffusion anisotrope

Abs(R

hm, Legendre -R

hm )/Rhm

, Legendre (%)

B1

B2


Figure A.VI- 6 : Erreur relative sur la transmittance et la réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux B1 et B2 : 1ω = .


A.VI.2 MILIEU ABSORBANT/DIFFUSANT

Nous avons considéré le cas des milieux d’albedo

0,5ω = pour étudier la précision de l’utilisation des fonction de diffula modélisation du transfert radiatif dans les milieux absorbants/diffusants isotropes soumis à un flux incident collimaté. Les transmhémisphériques des milieux à diffusion avant (Farrière (B1) en fonction de l’épaisseur optiL’épaisseur optique du milieu le plus épais est

sion isotrope et de Henyey-Greenstein dans

ittances et réflectances directionnelles - 2), couplée avant/arrière/isotrope (F3) ou

que sont représentées sur la figure A.VI.7. max 5yτ =


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-2

10-1

100

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,00

0,04

0,08

0,12

0,16

B1

F3

F2

ω=0.5

Tran

smitt

ance

hém

isph

ériq

ue


Polynôme de Legendre Diffusion anisotrope, HG Diffusion iostrope

Réflectance hém

isphérique

B1

F3

F2


. Sur ces figures, les transmittances directionnelles - hémisphériques présentent une décroissance monotone avec l’épaisseur optique. Les réflectances directionnelles – hémisphériques croient et tendent vers un valeur ou le milieu se comporte comme un milieu semi- infini : réflectances indépendantes de l’épaisseur optique.

Figure A.VI- 7 : Transmittance et réflectance directionnelle - hémisphérique adimensionné en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux de diffusion F2, F3 et B1 : 0,5ω = .

Les figures A.VI.8 et A.VI.9 représentent les variations des erreurs relatives sur les transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques pour différentes épaisseurs du milieu respectivement.


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

4

8

12

16

20

ω=0,5

F3

B1

F2

A

bs(T

hm, L

egen

dre-T

hm )/

T hm, L

egen

dre (%

)


Diffusion anisotrope, HG Diffusion isotrope

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

4

8

12

16

20

24

165

170

175

180

185

190

195

Abs

(Rhm

,Leg

endr

e-Rhm

)/Rhm

,Leg

endr

e (%)



ω=0,5

F3

F2B1

Figure A.VI- 8 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle - hémisphérique adimensionné en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 : 0,5ω =

Figure A.VI- 9 : Erreur relative sur la réflectance directionnelle-hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 : 0,5ω =



Pour les milieux à diffusion avant (F2) ou arrière (B1), les transmittances et réflectances des modèles de transfert radiatif dans les milieux absorbant/diffusant utilisant l’approximation de diffusion de Henyey-Greenstein sont en bon accord avec le modèle « exact » donnée par le polynôme de Legendre : l’erreur relative est égale à pour la transmittance et inférieur à 10% pour la réflectance. Ce bon accord est probablement dû au fait que la fonction de Henyey-Greenstein prend correctement en compte la diffusion avant ou arrière de ces milieux. On note en effet, lorsque l’approximation de diffusion isotrope est utilisée pour modéliser l’anisotropie du milieu, l’erreur relative sur la transmittance est inférieure à 4% lorsque le milieu n’est pas semi – infini et croit avec l’épaisseur optique ; l’erreur sur la réflectance est d’environ 10% lorsque le milieu présent une diffusion arrière (B1) et plus de 100% pour le milieu de diffusion avant (F2). Ce qui confirme le rôle important de la fonction de diffusion pour les milieux absorbants/diffusants. L’identification des propriétés radiatives de ces milieux utilisant un modèle de fonction de diffusion isotrope peut être basé sur la minimisation des écarts de la transmittance directionnelle – hémisphérique si le milieu n’est pas semi- infini tandis que l’utilisation de la réflectance directionnelle – hémisphérique n’est pas souhaitable. La meilleure approche d’identification des propriétés radiatives serait celle utilisant un modèle théorique de transfert radiatif à diffusion de Henyey-Greenstein et faisant intervenir des transmittances et/ou réflectances directionnelles – hémisphériques.

Du point de vue de l’identification des propriétés radiatives, on peut conclure la modélisation théorique du problème de transfert radiatif doit tenir compte de façon rigoureuse les différents phénomènes de diffusion avant et/ou arrière et/ou isotrope du milieu. Une mauvaise représentation de l’anisotropie de diffusion engendrerait des écarts important sur la précision des propriétés radiatives identifiées.

A.VI.3 MILIEU QUASI- ABSORBANT

4%

Lorsque le milieu présente une diffusion couplée avant/arrière/isotrope, les modèles approchés à diffusion isotrope et Henyey-Greenstein ne permettent pas d’obtenir des réflectances directionnelles – hémisphériques précises : l’erreur relative est [20-10]% pour le modèle à diffusion isotrope et d’environ 20% pour le modèle à diffusion de Henyey-Greenstein. Les modèles approchés donnent cependant une bonne prédiction de la solution « exacte » avec une erreur relative inférieure à 4% lorsque le milieu n’est pas semi – infini. L’erreur sur la transmittance croit avec l’épaisseur optique du milieu et le modèle approché à diffusion isotrope est plus précis que le modèle à diffusion de Henyey-Greenstein. Cela est dû au fait que le modèle approché à diffusion isotrope peut prendre en compte la diffusion vers l’avant et la diffusion isotrope de la fonction à diffusion couplé avant/arrière/isotrope (F3) alors que le modèle approché à diffusion de Henyey-Greenstein ne prend en compte que la diffusion avant.

Les figures A.VI.10-A.VI.12 présentent les transmittances et réflectances directionnelles – hémisphériques, l’erreur sur les transmittances et sur les réflectances d’un milieu quasi- absorbant, 0,1ω = à diffusion avant, couplé avant/arrière/isotrope ou à diffusion arriére (F2, F3, B1) pour différentes épaisseurs optiques respectivement. L’épaisseur optique du milieu le plus épais est max 5yτ = . Pour ce milieu, quasi-absorbant, les conclusions de l’utilisation des modèles approchés à diffusion approchés isotrope et Henyey-Greenstein



son similaire à celui du milieu absorbant/diffusant 0,5ω = de la section précédente. On note toutes fois que les écarts sont un peu élevés.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-3

10-2

10-1

100

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

ω= 0.1

F2

F3

B1

Tr

ansm

ittan

ce h

émis

phér

ique


Polynôme de Legendre Diffusion anisotrope, HG Diffusion isotrope

Réflectance hém

isphérique

B1

F3F2


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

1

2

3

4

5

6

ω=0,1

B1

F3

F2

Abs

(Thm

,Leg

endr

e-Thm

)/Thm

,Leg

endr

e (%)



Figure A.VI- 10 : Transmittance et réflectance directionnelle - hémisphérique adimensionné en fonction de l’épaisseur optique pour les milieux de diffusion F2, F3 et B1 :

0,1ω = .

Figure A.VI- 11 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle – hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 :

0,1ω =



0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0156

160

164

168

172

176

0

10

20

30

40

ω=0.1

F2 B1

F3

Abs

(Rhm

,Leg

endr

e-Rhm

)/Rhm

,Leg

endr

e (%)



2

Figure A.VI- 1 : Erreur relative sur la réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’épaisseur optique du milieu pour les fonctions F2, F3 et B1 : 0,1ω =

A.VI.4 IDENTIFICATION DE L’ALBEDO

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-3

10-2

10-1

100

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

B1

F3

F2

Tran

smitt

ance

hém

isphé

rqiu

e

Albedo, ω

Réflectance hémisphérique

F2

F3

B1

Albedo, ω

Polynôme de Legendre Diffusion anisotrope, HG Diffusion isotrope

τL=5

La figure A.VI.13 présent les transmittances et/ou réflectances directionnelles – hémisphériques de différents milieux en fonctions de l’albedo.

Figure A.VI- : Transmittance et réflectance directionnelle - hémsiphérique en fonction de l’albedo de diffusion du milieu pour les fonctions de phase F2, F3 et B1 :

135Lτ = .



Dans une majorité de travaux sur l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes, l’épaisseur optique est déduite de la loi de Beer et l’identification revient à déterminer l’albedo du milieu, et/ou le facteur d’asymétrie du milieu du milieu. Afin d’évaluer l’erreur commise sur l’albedo dans un processus d’identification des propriétés radiatives, les figures A.VI.14-A.VI.15 représentent respectivement les erreurs sur les transmittances et réflectances des milieux à diffusion avant (F2), couplé avant/arrière/isotrope (F3), arrière (B1) pour différent albedo.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

4

8

12

16

20

F3

F2B1

Abs

(Thm

,Leg

endr

e-Thm

)/Thm

,Leg

endr

e (%)

Albedo, ω

Diffusion ansitrope, HG Diffusion isotrope

τL=5

4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

10

20

30

40

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,040

80

120

160

200

B1

F3

F2


τL=5

Abs

(Rhm

,Leg

endr

e-Rhm

)/Rhm

,Leg

endr

e (%)

Albedo, ω

Figure A.VI- 1 : Erreur relative sur la transmittance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’albedo de diffusion du milieu pour les fonctions de phase F2, F3 et B1 :

5Lτ = .

Figure A.VI- 15 : Erreur relative sur réflectance directionnelle - hémisphérique en fonction de l’albedo de diffusion du milieu pour les fonctions de phase F2, F3 et B1 :

5Lτ = .



Les courbes des figures A.VI.14-A.VI.15 montrent que : o Le modèle approché à diffusion de Henyey-Greenstein permettrait une bonne

identification de l’albedo à partir des transmittances et/ou réflectances directionnelles- hémisphériques si le milieu présente une diffusion avant ou arrière,

o L’utilisation de la fonction de Henyey-Greenstein dans le modèle théorique d’identification conduirait à des erreurs important sur l’albedo si le milieu présente une diffusion couplée avant/arrière/isotrope,

o Les modèles approchés à diffusion isotrope ou Henyey-Greenstein permettrait une bonne identification de l’albedo si le milieu est purement diffusant,

o L’approximation de diffusion isotrope n’est pas souhaitable pour l’identification de l’albedo des milieux absorbants/diffusants ou quasi – absorbants,

o L’erreur maximale sur l’identification de l’albedo à partir des transmittances – directionnelles – hémisphériques et en utilisant les modèles approchés à diffusion isotrope ou Henyey-Greenstein serait obtenue pour un albedo 0.5ω ≈ .

CONCLUSION Il ressort de l’analyse du problème de transfert radiatif dans les milieux semi-

transparents isotropes sous incidence collimatée que l’utilisation des approximations de diffusion isotrope et Henyey-Greenstein permettrait une bonne identification des propriétés radiatives à partir des transmittances et/ou réflectances directionnelles – hémisphériques dans le cas où le milieu est purement diffusant. L’erreur maximale sur l’identification de l’albedo à partir des transmittance se serait commise pour un l’albedo

0.5ω ≈ . Enfin, le modèle théorique de transfert radiatif destiné à l’identification des propriétés radiatieves à partir des meures directionnelles – hémisphériques doit tenir compte de tous les phénomènes de diffusion avant/arrière et/ou isotrope du milieu.

RÉFÉRENCE /1/ GUO Z, MARUYAMA S. 1999, Scaling anisotropic scattering in radiative transfer in three-dimensional nonhomogeneous media. Int Comm Heat Mass Transfer Vol. 26, No. 7, pp. 997–1007. /2/ HENDRICKS, T., HOWELL, J., 1996, Absorbing/scattering coefficients and scattering phase function in reticulated porous ceramics, Journal Heat Transfer, Vol, 118, N°, 1, pp, 79-87. /3/ JOSEPH JH, WISCOMBE WJ, 1976, WEINMAN JA. The Delta- Eddington Approximation for Radiative Flux Transfer. J Atmos Sci , Vol. 33, pp. 2452–9. /4/ KIM, T. K., LEE H. S., Effect of anisotropic scattering on radiative heat transfer in two –dimensional rectangular enclosures. Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 31 No.8, pp.1711-1721,1988. /5/ KIM, T.-K., LEE, H.S., 1990, Scaled isotropic results for two-dimensional anisotropic scattering media, Journal of Heat Transfer, Vol. 112, pp. 721 – 727. /6/ LEE, H. AND BUCKIUS, R. O., 1982, Scaling anisotropic scattering in radiation heat transfer for a planar Medium, Journal of Heat Transfer, Vol. 104, pp67-75. /7/ ROUX, J.A., Radiative properties of high and low density fiberglass insulation in the 4 –38,5µm wavelength region, Journal of Thermal Env, & BLDG, SCI,, Vol, 27, No, 2, pp, 135 – 149.



/8/ SACADURA, J.-F., 2006, Thermal radiative properties of complex media: some recent advances and continuing challenges, proceeding of the 11th Brezilian Congress of Thermal Sciences and Engineering, ENCIT 2006, Braz. Soc. Of Mechanical Engineering, ABCM, Curitiba, Brazil, Dec. 5-8, 2006.

B2[4]

/9/ UNY, G., 1986, Modélisation du transfert couple rayonnement – convection au sein de matériaux poreux et identification de leurs propriétés radiatives, Application aux laines de verre, Thèse de doctorat, INSA de Lyon, N° 86 ISAL 0007, 130p. /10/ YEH, H.Y., ROUX, J. A., 1989, Spectral radiative properties of fiberglass insulations, Journal of Thermophysics and Heat Transfer, Vol, 1, No, 1, pp, 78-81.

Tableau A.VI- 1 : Coefficients d’expansions des fonctions de Legendre an F1 [4] F2[6] F3[6] B1[6] a0 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 a1 2,53602 2,78197 1,45687 -0,56524 -1,20000 a2 3,56549 4,25856 2,15059 0,29783 0,50000 a3 3,97976 5,38653 1,85048 0,08571 a4 4,00292 6,19015 2,35120 0,01003 a5 0,00063 3,66401 6,74492 1,85811 a6 3,01601 7,06711 2,16895 a7 2,23304 7,20999 1,58175 a8 1,30251 7,20063 1,75408 a9 0,53463 7,03629 1,21806 a10 0,20136 6,76587 1,33574 a11 0,05480 6,35881 0,89057 a12 0,01099 5,83351 0,93257 a13 5,22997 0,58557 a14 4,47918 0,55482 a15 3,69000 0,33886 a16 2,81577 0,34083 a17 1,92305 0,18550 a18 1,11502 0,18249 a19 0,50766 0,11120 a20 0,20927 0,10087 a21 0,07138 0,06089 a22 0,02090 0,05877 a23 0,00535 0,03625 a24 0,00120 0,03149 a25 0,00024 0,02217 a26 0,00004 0,01779 a27 0,00953 a28 0,01051 a29 0,00504 a30 0,00468 a31 0,00244 a32 0,00211 a33 0,00108 a1/3 0,84534 0,927323 0,48562 -0,18841 -0,40000


FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : KAMDEM TAGNE DATE de SOUTENANCE : 03 juillet 2008 (avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant) Prénoms : Hervé Thierry TITRE : Modélisation du transfert radiatif dans les milieux fibreux NATURE : Doctorat Numéro d'ordre 2008-ISAL-0037 Ecole doctorale : Mécanique, Energétique, Génie Civil et Acoustique (MEGA) Spécialité : Thermique et Energétique Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE : RESUME : Ce travail de thèse porte sur les travaux effectués sur la modélisation du transfert de chaleur couplé conduction/rayonnement monodimensionnel en régime permanent dans des milieux anisotropes fibreux en situation de symétrie azimutale, soumis à des conditions de flux collimaté ou de températures imposés aux frontières. Il s’articule autour de deux objectifs principaux : (i) modéliser le transfert radiatif dans un milieu anisotrope par un problème équivalent à un milieu isotrope ou/et simplifier l’anisotropie de diffusion dans les milieux anisotropes par l’utilisation de fonctions de diffusion isotrope ou de Henyey - Greenstein ; (ii) étudier la validité de l’hypothèse de milieu isotrope pour l’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes et la correspondance entre les propriétés radiatives des milieux anisotropes et les propriétés radiatives isotropes obtenues par la méthode d’identification. L’analyse numérique du transfert de chaleur par rayonnement dans les milieux fibreux montre qu’un tel milieu anisotrope peut être subtitué pour les besoin de la modélisation par un milieu isotrope équivalent. Dans le cas où le milieu anisotrope est soumis à des températures imposées, les approximations de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein permettent d’obtenir des solutions précises si les propriétés radiatives du problème isotrope équivalent sont des moyennes pondérées des propriétés radiatives suivant toutes les directions de diffusion ou si le problème radiatif simplifié conserve la nature anisotrope des propriétés radiatives. Ces conclusions ont été validées expérimentalement par une bonne prédiction de la conductivité thermique d’un milieu fibreux constitué de laine de verre. Lorsque milieu anisotrope est sous incidence inclinée, l’utilisation des approximations de diffusion isotrope ou de Henyey-Greenstein sont applicables pour la détermination des propriétés radiatives des milieux anisotropes par la méthode d’identification des paramètres seulement si le milieu est optique épais et purement diffusant. Ces approximations de diffusion ne sont plus adaptées dès lors que le milieu anisotrope est absorbant/diffusant ou optiquement mince à cause du rôle important de la rétro diffusion du milieu. Des fonctions de phase plus complètes sont alors nécessaires. L’identification des propriétés radiatives des milieux anisotropes purement diffusant et optiquement épais en utilisant les hypothèses de milieu isotrope et de diffusion isotrope montre que les propriétés radiatives isotropes équivalentes correspondent aux moyennes pondérées des propriétés radiatives des milieux anisotropes suivant toutes les directions du rayonnement. MOTS -CLES : Transfert de chaleur, rayonnement, transfert couplé conduction/rayonnement, milieu semi – transparent, diffusion isotrope, fonction de phase de Henyey-Greenstein, milieu isotrope, milieu anisotrope, milieu fibreux, propriétés radiatives. Laboratoire (s) de recherche : Centre de Thermique de Lyon (CETHIL) Directeur de thèse : Mme Dominique BAILLIS, Professeur (INSA, Lyon) Président de jury : M. Jean-François SACADURA, Professeur Emérite (INSA, Lyon) Composition du jury : D. BAILLIS, P. BOULET, G. JEANDEL, J.-F. GOYHENECHE, J.-B. RIEUNIER, J.-F. SACADURA

etude du transfert thermique dans les milieux poreux...

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