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ETUDE DES MASSIFS DE FONDATION REPOSANT SUR SOLS TRAITES PAR COLONNES BALLASTEES ET SOUMIS A DES EFFORTS DE RENVERSEMENT

Ammar DHOUIB1, Bertrand STOEHR2, Farid BAOUCHE3, Thierry HERMGES2

1 Keller Fondations Spéciales - Direction Technique

40 rue du Séminaire, Centra 418, 94616 Rungis Cedex - E-mail : kellerparis@wanadoo.fr 2 Keller Fondations Spéciales - Direction Générale

Espace Plein Ciel, Allée de l’Europe, B.P. 5, 67960 Entzheim - E-mail : direction@keller-france.com 3 Ecole Polytechnique Universitaire de Lille - Département Génie Civil

Cité Scientifique, 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex

RESUME : Cette communication présente une étude de l’équilibre des massifs de fondation parallélépipédiques reposant sur des sols traités par colonnes ballastées et soumis à des efforts de renversement. Cette étude fait appel à la méthode du "Centre élastique" et la "Méthode des rotations" en se basant sur le principe du coefficient de réaction. Après la mise en équations générales, une comparaison entre les deux méthodes analytiques et des calculs numériques aux éléments finis est effectuée. Une conclusion et quelques perspectives clôturent cette communication.

ABSTRACT: This paper aims at presenting a study of parallelepiped foundation blocks founded on soil improved by stone columns and submitted to overturning actions. This study is led by "Elastic center" and "Rotations" methods using the reaction coefficient approach. First, main equations are developed. Then, a comparison is made between the results obtained by each method and finite elements calculations. A concluding remarks and perspectives complete this communication.

MOTS CLEFS : massifs, renversement, efforts, centre élastique, méthode des rotations, déplacements, contraintes.

1 Introduction

De nombreux projets sont souvent fondés sur des massifs plus ou moins importants, soumis à des efforts de renversement. On peut citer les pylônes EDF, les mâts de communication type Iris, les culées ou piles d’ouvrages d’art soumis à des efforts de freinage, les écrans anti-bruit et les grands bâtiments industriels.

Lorsque le matériau d'assise des fondations est décomprimé (cas des remblais anthro-piques, sols mous alluvionnaires, …), il est possible de procéder à l'amélioration du sol par colonnes ballastées afin d'augmenter sa capacité portante, de réduire les tassements induits par les efforts appliqués et d'accélérer la consolidation par l'effet drainant des colonnes.

Les efforts appliqués constituent généralement un torseur composé d'un effort vertical V dû à la descente de charge apportée par la structure et le poids propre W du massif, d'un effort horizontal H dû par exemple au vent ou à des efforts de freinage sur les culées de ponts et d'un moment de renversement Mo. Ce qui permet de mobiliser la butée au contact du massif et se traduit par un état de contraintes dissymétrique à la base du massif et des déplacements horizontaux et verticaux orientés dans le sens de l'application des efforts.

Pour déterminer l'état de contraintes et les déplacements qui en découlent, plusieurs méthodes de résolution existent, telles que la méthode du réseau d'état (Porcheron et Martin, 1968), la méthode simplifiée qui consiste à équilibrer les efforts appliqués par les réactions exercées (réaction frontale et résistance de cisaillement à la base), la méthode du "Centre élastique" (Cassan, 1980), la "Méthode des rotations" et la méthode des éléments finis.

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Le comportement des massifs de fondation parallélépipédiques soumis aux efforts de renversement est traité ici par la méthode du centre élastique et la méthode des rotations en se basant sur le principe du coefficient de réaction. Une comparaison entre les deux méthodes analytiques et des calculs numériques aux éléments finis est effectuée afin de pouvoir appréhender l'incidence du frottement sol-massif et du traitement du sol par colonnes ballastées sur l’évolution des déplacements et des contraintes dans le sol traité par colonnes ballastées.

2 Position du problème et mise en équations générales

2.1 Position du problème

Considérons le massif de fondation parallélépipédique de la figure 1a, de largeur frontale 2a, de longueur b et enterré dans le sol d'assise sur une hauteur D par rapport au terrain naturel (T.N.). Le massif, considéré infiniment rigide, est soumis au torseur d'effort V, H et Mo et sollicite le sol seul (figure 1b) ou le sol renforcé par des colonnes ballastées (figure 1c), ce qui conduit à générer des déplacements horizontaux u et verticaux v et à mobiliser des contraintes normales σ et de cisaillement τ. 2.2 Mise en équation générale

En appliquant la méthode basée sur les lois aux coefficients de réaction (hypothèse de Winkler, 1868 ; A. Dhouib, 1995), on peut relier le déplacement horizontal u à la contrainte horizontale shσ par :

hsσ = khs. u (1)

khs est le coefficient de réaction horizontale du sol supposé constant, et le déplacement vertical v par :

- au niveau du sol : svσ = kvs. v (2)

kvs le coefficient de réaction verticale du sol supposé constant,

- au niveau des colonnes ballastées : cvσ = kvc . v (2a)

kvc le coefficient de réaction verticale du ballast supposé aussi constant.

Cette modélisation suppose que le massif de fondation est infiniment rigide et que les déplacements verticaux v sont identiques en tête de colonnes et à la surface du sol ambiant.

Par analogie, on peut également écrire pour les contraintes tangentielles :

hlτ = lhβ . u (3)

lvτ = lvβ . v (4)

lhβ et lvβ coefficients de réaction horizontale et verticale sur les faces latérales.

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Sur la face avant, la contrainte tangentielle asτ est donnée par :

asτ = asβ . v (5)

asβ étant le coefficient de réaction verticale sur la face avant.

A la base du massif, les contraintes tangentiellesτ mobilisées sont liées au déplacement u du sol par :

sτ =β s. u (6a)

Où β s est le coefficient de réaction tangentiel horizontal dans le sol, et par :

cτ =β c. u (6b)

β c étant le coefficient de réaction tangentiel horizontal dans la colonne ballastée.

Ceci suppose que, dans l'hypothèse d'adhésion parfaite, les déplacements horizontaux u sont équivalents dans le ballast et dans le sol ambiant.

a- Modèle géométrique b- Sol seul c- Sol amélioré par colonnes ballastées

Figure 1: Massif de fondation parallélépipédique - Mode de déplacement et état de contraintes

2a

D

x

z

V

H

Mo

H

Mo

V

u

v

σσσσv(x)

σσσσh(x)

σσσσs(x)

σσσσc(x)

Colonnes ballastées

P

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3 Application à la méthode du "Centre élastique" et la "Méthode des rotations"

Nous rappelons que la résolution du problème est basée, dans les deux méthodes, sur la mise en équations de l'équilibre, suivant l'horizontale, la verticale et des moments, des efforts actifs qui sollicitent le massif (V et son poids propre W, H et Mo ainsi que la poussée des terres P derrière le massif) et résistants (résultant des réactions normales du sol et de ses résistances au cisaillement).

3.1 Méthode du "Centre élastique"

La méthode du centre élastique repose sur les deux propriétés suivantes, conséquences du principe de réciprocité de Ritter (1857) :

- toute force passant par le centre élastique entraîne un déplacement du massif par translation, - tout moment appliqué au centre élastique entraîne une rotation du massif autour de ce centre.

En imposant au massif des déplacements horizontaux et verticaux égaux à l'unité, la méthode consiste à déterminer les coordonnées du centre élastique X et Z par les relations suivantes :

X = vR

b dx.x.ka

av∫

+

−

(7)

Z = hR

b ∫D

0h dz.z.k (8)

Rv et Rh désignent les efforts (respectivement verticaux et horizontaux) nécessaires pour mobiliser les déplacements unités correspondants (respectivement vertical et horizontal). Si l'on ramène donc l’ensemble des efforts actifs au centre élastique, on obtient (figure 2a) :

- effort vertical : Q = V+W,

- effort horizontal : T = H + P,

- moment résultant : M* = Mo – P.(h-z) + H.Z – Q.X

3.2 Méthode des rotations

Dans les mêmes conditions géométriques et de sollicitations (V, H et Mo), la méthode des rotations, permet d'analyser les déplacements à partir des déplacements (uG et vG) du centre de gravité G du massif et de sa propre rotation θ (figure 2b). Ainsi, en respectant un sens conventionnel de la rotation du massif, on peut écrire :

u = uG + θ . z (9)

et

v = vG + θ . x (10)

Dans le repère choisi, x = x et z = D/2 – z

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a- Modèle du "Centre élastique" b- Méthode des rotations

Figure 2 : Principe des deux méthodes de résolution

En écrivant les équations intégrales de l'équilibre selon l’axe horizontal Ox ( xF∑ = 0 ), selon l’axe vertical Oz ( zF∑ = 0 ) et des moments par rapport à O (∑ o/M = 0), le système matriciel linéaire en uG , vG et θ est formulé par :

θ

G

G

333231

232221

131211

vu

.AAAAAAAAA

=

*MQT

(11)

où :

[ ]ijA désigne la matrice(3*3) des termes d’intégration,

{ }u est le vecteur des déplacements uG, vG et la rotationθ (inconnus du système à résoudre),

{ }F représente le vecteur des efforts appliqués T, Q et M*.

H

Mo

V

.

H

Mo

V

. X

Z

P

Rh

Rv

h

G G

u

v

uG

vG

θθθθ

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4 Détermination des coefficients de réaction

Les coefficients de réaction kv et kh peuvent être calculés à partir des règles du Fascicule 62, Titre 5 (Ménard et Bourdon, 1965) ou d'autres recommandations en vigueur (Monnet, 1994 ; Schmitt, 1998).

Les autres coefficients de réaction peuvent être déterminés par simple application de la théorie des images, ce qui permet d'obtenir pour une couche i (Cassan, 1980) :

- pour les déplacements verticaux sur la face avant :

)m(.b

E

i.i

iia φα

=β avec mi = bD.2 i (12)

)m(.a2.

E

ii

ili

φα=β avec mi = a

Di (13)

- pour les déplacements horizontaux :

)m(.D.

E

iii

iilh

φα=β avec mi =

iDa4 sur les faces latérales (14)

)m(.b.

E

ii

is

φα=β avec mi = b

a4 sous la base (sol) (15)

)m(.d.

Ec

cc

φα=β avec mi = b

a4 sous la base (colonnes) (16)

où :

ν−ν−+ν−

πν++

πν+=Φ

)1(8972log)23(1mlog1)m( (17)

qui est identique à mlog1+ pour les grands ancrages.

5 Etude d'un exemple réel

5.1 Données générales du projet

Considérons l'exemple du massif de fondation de la figure 3 reposant sur des limons argileux traités par colonnes ballastées sèches de diamètre nominal moyen de 0.65 à 0.8 m et descendues jusqu'au toit de la craie limoneuse (refus). Le massif repose sur 6 colonnes ballastées disposées symétriquement par rapport à l'axe du massif. Les caractéristiques

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mécaniques mesurées au pressiomètre Ménard et les modules d'élasticité linéaire ainsi que les coefficients de réaction correspondants sont résumés dans le tableau 1.

Figure 3 : Massif de fondation étudié : sols et sollicitations appliquées

Tableau 1 : Caractéristiques pressiométriques et coefficients de réaction des sols

Couches EMi

(MPa) αi Ei (MPa) kh

(MPa/m) ββββa

(MPa/m) ββββl h

(MPa/m) ββββl v

(MPa/m)Limons argileux 0 - 4m 5 1/2 10 37 10.5 14 9.5 Limons sableux 4 - 7m 8 1/3 24 / / / Craie limoneuse 7 - 9m 15 1/3 45 / / / Ballast - - 60-80 / / /

L'examen de ce tableau montre que les limons argileux présentent des caractéristiques

mécaniques relativement médiocres nécessitant, au vu des charges appliquées, leur traitement par colonnes ballastées. Le module de déformation élastique dans la colonne correspond à un ballast "déconfiné" mais respectant le rapport de 10 habituellement retenu entre les deux modules ballast/sol traité.

A la base du massif, le coefficient de réaction verticale kvs est, d'après les règles du Fascicule 62, Titre 5 (1993), de 12 MPa/m pour les dimensions du massif retenu.

Tous les précédents coefficients de réaction sont maintenus constants dans le sol seul et dans le sol renforcé. Pour tenir compte du caractère tridimensionnel du modèle géométrique, les colonnes sont assimilées à des "murs" équivalents (Van Impe, 1983, Dhouib et al., 1998) où l'application des règles du Fascicule 62 conduit à un coefficient de réaction verticale kvc de 150 MPa/m.

limon argileux

limon sableux

colonnes ballastées

0

4m

7m

M0 = 365 kNm H = 46 kN V = 1360 kN b = 2.15 m 2a = 3.15 m

0.5m

z

T.NH

Mo

V

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5.2 Analyse des résultats obtenus

L'analyse des résultats obtenus consiste à appréhender l'état des contraintes et des déplacements du massif. Sur la figure 4, sont portés les déplacements verticaux (en trait pointillé) et les contraintes correspondantes (en trait continu).

L'examen des résultats obtenus permet de noter les points suivants : 1- les deux méthodes analytiques (méthode du centre élastique et méthode des rotations)

donnent des résultats analogues à 2 % près en raison des approximations inhérentes à chaque méthode,

2- la prise en compte du frottement sur les faces latérales et avant du massif réduit les tassements de l'ordre de 15 % et conduit à une augmentation des contraintes d'environ 14 %,

3- la mise en place de colonnes ballastées sous massifs de fondations réduit les tassements d'un rapport de 3 à 4 et conduit à un report de charge sur colonnes avec un coefficient de concentration moyen n (Dhouib et al., 1998) de l'ordre de 4.5,

4- négliger le frottement sur les faces latérales et avant se traduit par une meilleure contribution des colonnes ballastées et du sol ambiant sans modifier sensiblement le rapport de transfert de charge.

5.3 Comparaison avec les calculs numériques aux éléments finis

Dans un souci de simplification, la modélisation sur "PLAXIS" est menée en déformations planes dans l'hypothèse d'un comportement élastique linéaire des colonnes et du sol traité avec les caractéristiques géomécaniques récapitulées dans le tableau 1. Le massif de fondation est muni d'une rigidité suffisante pour être considéré comme infiniment rigide. Le torseur des efforts appliqué est celui de la figure 3 avec l'effort vertical (V) excentré pour simuler le moment de renversement Mo appliqué.

Les résultats obtenus par les calculs aux éléments finis conduisent à noter les points suivants : - à la base du massif sur sol non traité, se développent des contraintes extrêmes allant de

115 kPa (à l'arrière du massif) à 280 kPa (à l'avant du massif) avec une contrainte de référence qréf (Fascicule 62, Titre 5, 1993) de 240 kPa, les tassements verticaux mobilisés sont linéaires et valent 0.46 cm (à l'avant) et 1.9 cm (à l'arrière),

- avec le traitement par colonnes ballastées, un état de contraintes trapézoïdal est obtenu avec des contraintes extrêmes allant de 60 à 160 kPa dans le sol et de 240 à 510 kPa, ce qui conduit à un rapport de concentration des contraintes moyen n de l'ordre de 3.5; le massif se déplace sans décollement de la face arrière et s'enfonce de 0.8 cm à l'avant,

- malgré les difficultés de procéder à une modélisation plus représentative du comportement réel du massif (problème tridimensionnel), les calculs aux éléments finis par "PLAXIS" offrent, dans l'ensemble, une bonne concordance avec les méthodes analytiques et montrent bien l'intérêt du traitement des sols d'assise par colonnes ballastées. Une analyse plus fine introduisant des éléments d'interface peut améliorer l'étude du comportement des massifs soumis aux efforts excentrés.

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Figure 4 : Massif de fondation étudié : Etat de contraintes et de déplacements verticaux

v(a)

v(-a)

σσσσ(-a)

σσσσ (a)

σσσσ (-a)

σσσσ (a)

a- Massif de fondation sur sol non traité

Avec frottement Sans frottement

b- Massif de fondation sur sol traité par colonnes ballastées

v(-a)

v(-a)

v(-a)

v(a)

280

410

550

103

70

285

430

590

115

80

v(-a) = 4.8 mm σσσσ(-a) = 110 kPa v(a) = 12.5 mm σσσσ(a) = 280 kPa

v(-a) = 4.8 mm σσσσ(-a) = 105 kPa v(a) = 14.4 mm σσσσ(a) = 320 kPa

v(-a) = 2.4 mm σσσσ(-a) = 55 kPa v(a) = 5.9 mm σσσσ(a) = 130 kPa

v(-a) = 2.2 mm σσσσ(-a) = 50 kPa v(a) = 6.4 mm σσσσ(a) = 140 kPa

Etat de contraintes verticales Déplacements verticaux du massif

v(a)

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6 Conclusion

L'étude des massifs soumis à des efforts de reversement est fort intéressante car elle permet d'appréhender le comportement du sol d'assise de la fondation et de déterminer l'état de contraintes mobilisées en tête des colonnes ballastées et sur le sol ambiant et des déplacements qui en découlent. Elle montre bien qu'il se produit un report de charge sur les colonnes, une réduction des contraintes sur le sol et une homogénéisation des tassements à la base du massif rigide.

Bien que les divers résultats des méthodes analytiques convergent, dans l'ensemble, avec les calculs numériques aux éléments finis, plusieurs aspects restent à élucider :

- le concept du coefficient de réaction, est-il valide ? - comment modéliser le milieu sol-colonnes pour ternir du caractère tridimensionnel ? - que peut apporter l'introduction d'éléments d'interface à l'étude des massifs soumis aux

efforts excentrés ? Seule une expérimentation en vraie grandeur peut répondre à ces questions afin de valider

les modélisations effectuées et de dégager des règles pratiques simples pour le calcul et de dimensionnement des massifs de fondations reposant sur des sols traités par colonnes ballastées et soumis à des efforts de renversement.

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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Schmitt P. - De l’élasticité linéaire au coefficient de réaction : théories, observations et ordres de grandeur, Revue Française de Géotechnique, n° 85, p. 79-87, 1998. Soyez B. - Méthodes de dimensionnement des colonnes ballastées, bulletin de liaison du Laboratoire des Ponts et Chaussées, n° 135, p. 35-51, 1985. Van Impe W. - Improvement of settlement behaviour of soft layers by means of stone columns - 8th European Conference on SFME, Helsinki, vol. 1, p. 309-312, 1983. Winkler E. - Die lehre von der Elastizität und Festigkeit, Prag, Verlag H. Dominicus, 1868.