Etude cinématique des systèmes TD 4

Exercice 1 : Carrousel au triple mouvement

Le carrousel étudié est constitué d’un fût 1 supportant un plateau tournant 2 sur lequel sont articulés des disques 3 auxquels sont liées les nacelles 4 (voir figure ci-contre et page suivante).

0 0 0 01( , , , )R O x y z repère lié au bâti 0 ;

1 1 1 01( , , , )R O x y z et 1 1 1 1( , , , )R O x y z

repères liés à 1;

2 2 2 21( , , , )R O x y z repère lié à 2 ;

3 3 3 321( , , , )R C x y z repère lié à 3 ;

4 4 43 4( , , , )R C x y z repère lié à 4 ;

2.OA L i ,

, 3.BC R i , 4.GC e k ( L, h, R, et e sont des constantes positives)

Liaison 1-0 : pivot d'axe (O, z01) : 0 1( , )i i

Liaison 1-2 : pivot d'axe (O, z21*) : 21( , )i i

Liaison 3-2 : pivot d'axe (A, z321*) : 2 3( , )i i

Liaison 4-3 : pivot d'axe (C, y43) : 4321( , )k k

Inclinaison du plateau 1 : 1 1 1( , )i i où 1 est une constante positive.

Hypothèse : la liaison 1-0 n’est pas animée : 0 . Un moteur permet d'animer la liaison 2-1 ( 0 ).

1 – Exprimer (A,2/1)V en fonction de et L, (C,3/1)V en fonction de R, L, et et (G,4/1)V en fonction de R, L, e,

, , et .

Le fût 1 est muni d’une poulie de diamètre D sur laquelle s’enroule une courroie qui entraîne en rotation la poulie de diamètre D/2 liée au disque 3 lors du mouvement de 2 par rapport à 1.

2 – Montrer que 2 , en traduisant les hypothèses suivantes :

- non glissement entre la courroie et les poulies,

- la courroie est inextensible, c'est-à-dire ( , / 2). ( , / 2).V I C IJ V J C IJ .

i2

k1*

k01 1

O

A

C

B

G

jc

ic

O

A

courroie

I

J

De plus, le siège 4 est bloqué dans la position 2/ par rapport au disque 3.

3 – En déduire la nouvelle expression de (G,4/1)V en fonction de R, L, e, et .

4 – Exprimer l’accélération latérale ressentie c'est-à-dire

34( ,4 /1).G j en fonction de L, et en considérant

que = constante.

5 – Calculer la valeur maximale de la norme

de cette accélération pour = 2 rad/s ; L =

5 m, R = 1 m et e = 1 m.

Exercice 2 : Roulement à billes

Un roulement à billes est un ensemble de pièces inséré entre deux organes mécaniques en rotation l'un par rapport à l'autre afin de réaliser le guidage en rotation. Par rapport à un contact direct entre les deux pièces en rotation, il permet de diminuer le frottement en remplaçant le glissement entre les deux pièces par du roulement.

Il est composé de quatre éléments : une bague extérieure, une bague intérieure, des éléments roulants (billes, rouleaux ou aiguilles) et une cage qui maintient les éléments roulants à égales distances.

Soit ( , , , )R O x y z un repère muni des vecteurs unitaires ( , , )i j k et lié au bâti S0. Pour cette étude, on considère que les

mouvements relatifs des différentes pièces se font dans le plan ( , , )O x y . Les deux bagues S1 et S2 et la cage S3 sont en

rotation autour de l'axe (O, z ) par rapport à S0. La bille S, de centre C, roule sans glisser en I1 sur S1 et en I2 sur S2.

Soit 1( , , , )R O u v z un repère de vecteurs unitaires ( , , )u v k tel que u ait même direction et même sens que OC .

On note

(S1/R) = 1 k ,

(S2/R) = 2 k , OI 1 = R1 u , OI 2 = R2 u , et

(S/R) = k , || V

(C, S/R)|| = V.

1 – Quelle est la direction de V(C,S/R)? En explicitant les conditions de non glissement en I1 et en I2, montrer que :

V = (1 R1 + 2 R2)/2 et = (2 R2 - 1 R1)/(R2 - R1).

2 – En exprimant V

(C, S3 /R) de deux façons différentes, déterminer

(S3 /R). En déduire

(S/S3).

Soit le point A tel que CA = 1

2(R2 - R1) v .

3 – Déterminer l’expression de la vitesse de glissement de la bille S par rapport à la cage S3 en A.

k1*k1

j1

k1*

i0

i1

i1*

i2

i2

i3

k1*

k4

G

O

A

B

C

j34

v u

Modèle cinématique du roulement à billes

Exercice 3 : Joint de OLDHAM Un joint de Oldham sert à transmettre un mouvement

de rotation entre 2 arbres parallèles, mais présentant un léger défaut d’alignement. Cette transmission se fait par l’intermédiaire du croisillon 2.

Schéma cinématique :

Liaisons : Pivot (O1, x0) de 1/0 Pivot (O3, x0) de 3/0 Glissière d’axe y1 de 2/1 Glissière d’axe z3 de 3/2 Paramétrage : y2 = y1 et z2 = z3 , on notera θ = (y0, y1)

Schéma technologique :

On suppose qu’un moteur entraîne en rotation l’arbre 1 à une vitesse de rotation angulaire ω10 connue. Questions :

1. Effectuer le graphe de liaisons de ce système. 2. Ecrire le torseur cinématique de chaque liaison. On précisera le point d’écriture de chaque torseur. 3. Ecrire une relation entre ces torseurs. 4. Ecrire le système d’équations scalaires qui en résulte. 5. Déterminer tous les mouvements en fonction de ω10 .

0

3

0

1 2

O1

O3 ω10

ω30

e

0

3

0

1 e e

Exercice 4 : Table élévatrice

Le croquis et le schéma ci-dessous définissent la table élévatrice utilisée dans un automate de fabrication de pizzas. Le chariot 4 est entraîné par un moteur et un système poulie-courroie ; son déplacement suivant la direction x provoque l’élévation du plateau 6. Le mécanisme admet (O,x,y) comme plan de symétrie.

Dans cette étude, on considère effective la liaison pivot en D entre 2 et 3. Questions :

1. Ecrire les torseurs cinématiques des liaisons suivantes : , , , .

On précisera bien le point d’expression de ces torseurs.

2. Ecrire la condition de fermeture de la chaîne cinématique (composition des torseurs cinématiques). On exprimera tous ces torseurs au point C.

3. Ecrire le système d’équations résultant de l’écriture précédente. Déterminer alors l’ensemble des inconnues cinématiques en fonction de L, β et V.

4. Déterminer analytiquement .

v

Notations et hypothèses : AC = BE DF = CD = L AB = CE = 2.L La base est liée à 2. β = Entrée :

u