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7/28/2019 ET - Problemes.pdf

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PROBLMES CORRIGS

Il nest pas de problme quune absence desolution ne finisse par rsoudre.

Aphorisme attribu Henri QUEUILLE

PROBLME N 1 : Coefficient dchange

nonc

Le transfert de chaleur entre deux fluides seffectue travers un tube dacier dediamtres intrieur/extrieur 18 / 21 mm.

On donne :

- ct intrieur : Km/W1000h 2

1= ; temprature moyenne de mlange C10T

1=

- ct extrieur : Km/W2000h 22 = ; temprature C25T2 = - acier : K.m/W46=

1. Calculer le coefficient global dchange k.2. Aprs un an de fonctionnement, on estime avoir une rsistance dencrassement

KmW10.4R 214e

= . Dterminer le nouveau coefficient dchange global.

3. En attribuant une efficacit de 1 au tube neuf, que devient cette efficacit au boutdun an ?

4. Quel est alors le flux chang dans un tube de longueur L = 1 m ?

Solution

1.La paroi du tube a pour paisseur :

m10.5,1mm5,12

1821

2

dDe 3==

=

=

Comme elle est mince par rapport aux diamtres, en ngligeant sa courbure on peutcalculer k partir de la formule (6.2a) relative une paroi plane, avec 0Re = :

20001

4610.5,1

10001

h1e

h1

k1

3

21

++=++=


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3333 10.53,110.5,010.03,010k

1 =++=

On constate que la rsistance thermique /e de la paroi ne reprsente ici que 2% de

la rsistance totale. Enfin :

Km/W653k 2=

2.En prsence dune rsistance dencrassement, on applique maintenant la formule (6.2a)

complte :

33

2e

1

10.93,110)5,003,04,01(

h

1eR

h

1

k

1

=+++=

+++=

Km/W518k 2=

3.Lefficacit dont il est question dans lnonc doit tre comprise comme un rapport

maxrel / (dfinitions 3.5 et 4.37), soit ici :

653

518

k

kE

neuf

an1

neuf

an1===

793,0E=

4.La surface dchange nest pas la mme des deux cts. Suite la question 1, on

calcule une valeur approche de par (6.10) ( 6.2.3) :

1102

1821L

2

dD 3

+=

+=

23 m10.61 = Le flux chang est donn par (6.2c) qui scrit avec les notations de lnonc :

1510.61518)TT(k3

12 ==

W475=

Commentaires

Cet exercice trs lmentaire a surtout pour objet de matrialiser des ordres degrandeur.

Pour les tudiants, sa principale difficult rside dans le calcul de lpaisseur de laparoi, qui nest pas dD comme on le lit souvent !!


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PROBLME N 2 : Mthode NUT

nonc

Un changeur contre-courant fonctionne dans les conditions suivantes :

kW415Puissanceqq

C290TC200TC120TC350T

tfmint

fscs

fece

==

==

==

1. Quelle est la puissance change si on fait travailler lchangeur en mode co-courant, avec les mmes tempratures dentre et les mmes dbits ? (Utiliser la mthode

NUT).2. Quelles sont les nouvelles tempratures de sortie ?

Solution

1.En contre-courant, avec tfmint qq = , on a pour efficacit (cf. 3.11) :

74,0120350

120290

TT

TTE

fece

fefs=

=

=

882,0120290

200350

TT

TTR

fefs

csce=

=

=

et, partir du tableau 3.1 :

45,2E1 ER1LnR1 1NUT=

=

En circulation co-courant, les dbits ntant pas modifis, les coefficients dchange nele sont pas non plus. On garde donc le mmeNUT (vu que mintq/kNUT = ). Par contre,

la nouvelle efficacit E scrit (tableau 3.1) :

[ ]{ }NUT)R1(1exp1R1

1'E +

+=

Il vient, aprs remplacement deR etNUTpar leur valeur :526,0'E =

Puisque les conditions dentre sont identiques dans les deux cas, la nouvellepuissance ' est telle que :

E

'E'=

ceci daprs la relation (3.12). Alors :

74,0

526,0415'=

kW295'=

cest--dire 70% de la puissance en contre-courant.


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2.

La nouvelle temprature de sortie froide 'fsT sobtient partir de la nouvelle efficacit :

fece

fe'fs

TT

TT'E

=

)120350(526,0120

)TT('ETT fecefe'fs

+=

+=

C241T'fs =

et la nouvelle temprature de sortie chaude 'csT partir deR :

882,0TT

TT

R fe'fs

'csce

=

= inchang

)120241(882,0350

)TT(RTT fe'fsce

'cs

=

=

C3,243T'cs =

Commentaires

Il y a dautres faons de rsoudre ce petit exercice, par exemple en utilisant lesrsultats du chapitre 2. Mais la dmarche prconise permet de se roder la mthode NUTdans un cas simple.

Avec cette valeur de R, on est dj dans la zone asymptotique dun changeur co-courant (fig. 3.1), et les tempratures de sortie sont donc trs voisines.


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PROBLME N 3 : changeur bitube

nonc

Pour refroidir un dbit de 9,4 kg/h dair de 616 C 178 C, on le fait passer dans letube central dun changeur bitube contre-courant de 1,5 m de long, de 2 cm de diamtre etde faible paisseur.

1. Calculer la puissance calorifique vacuer. On donne pour lair :Kkg/J1060Cpc = .

2. Le fluide de refroidissement est de leau, qui pntre dans la section annulaire latemprature de 16 C avec un dbit de 0,6 l/mn. Calculer la temprature de cette eau lasortie de lchangeur. On prendra Kkg/J4180Cpf = .

3. Calculer le coefficient dchange ch ct fluide chaud (on ne tiendra pas compte

dune ventuelle correction en p/ ).

4. Dterminer lefficacit de cet changeur, puis son NUT. En dduire le coefficientdchange global, puis le coefficient dchange fh ct fluide froid.

5. La paroi extrieure de lchangeur est isole. Quelle est approximativementlpaisseur b de lespace annulaire qui permettrait dobtenir cette valeur de fh ? (On

admettra dabord lcoulement laminaire, et on vrifiera ensuite cette proprit).

Solution

1.Le flux total peut se calculer ct chaud :

)TT(q cscetc =

Daprs les donnes, le dbit thermique unitaire chaud est :

10603600

4,9Cqq pcmctc ==

K/W77,2qtc =

et alors :)178616(77,2 =

W1213=

2.Le calcul du flux total ct froid va maintenant nous donner fsT .

)TT(q fefstf = avec ici :

418060

6,0Cqq pfmftf == ( mn/kg3,0qmf = )

K/W8,41qtf =

do :

2916

8,41

121316

q

TTtf

fefs ++=+=


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C45Tfs

3.Il faut dabord connatre le rgime dcoulement de lair, donc le Reynolds ct chaud.

La temprature moyenne de lair est approximativement ( 6.2.1) :

K670C3972

1786162

TTT cscec ==

+=

+=><

A cette temprature, les tables donnent :

s/m10.20,6;m/kg525,0 25c3

c

==

La section du tube est : 24222

c m10.14,34

)10.2(

4

dS

=

==

On en dduit la vitesse dbitante :

4cc

mcc

10.14,3525,0

1

3600

4,9

S

qV

==

s/m8,15Vc =

do le nombre de Reynolds :

510010.20,6

10.28,15dVRe

5

2

c

cc

==

Il sagit dun rgime de transition. On peut donc utiliser la formule (4.26), en notantque le rapport 150/2L/d = est ngligeable (lnonc nous demande galement dignorer la

correction en p/ ):

( ) 3/2c3/2cc

c Pr125Re

Re

116,0St =

Pour calculer ch , il est un peu plus rapide ici de passer par le nombre de Nusselt

(4.10d, 4.1.5) :

( ) 3/1c3/2ccccc Pr125Re116,0PrReStNu == A 670 K, le nombre de Prandtl de lair est : 68,0Prc = . On trouve :

25,17Nuc =

Toujours 670 K, la conductivit de lair est : Km/W0505,0c = .

c

cc

dhNu

= do

02,0

0505,025,17hc

=

Km/W5,43h 2c =

4.On constate que :

K/W77,2qq tcmint == , do lefficacit (formule 3.10) :

600

438

16616

178616

TT

TTE

fece

csce=

=

=

73,0E=


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Daprs le tableau 3.1, pour un changeur contre-courant :

E1

ER1Ln

R1

1NUT

=

et dans le cas prsent :

066,08,4177,2q

qR

maxtmint ===

donc :

52,3Ln07,173,01

73,0066,01Ln

066,01

1NUT =

=

35,1NUT =

De la dfinition duNUT (3.14a) on tire alors :

mintqNUT

k= Puisque lpaisseur du tube central est faible, on ne fait pas la distinction entre surface

dchange ct chaud et ct froid, et on nglige la rsistance thermique de la paroi. Donc :Ldtubedulatralesurface ==

22 m094,05,110.2 ==

094,0

77,235,1k

=

Km/W8,39k 2=

Le coefficient dchange global sexprime aussi partir de (6.2a) (e et eR tantngligs) :

8,39

1

h

1

5,43

1

h

1

h

1

k

1

ffc

=+=+=

On en dduit :

Km/W500h 2f

5.

Dans un change eau-air, la temprature de paroi est proche de celle de leau. Dans lecas prsent, celle-ci varie peu. On peut donc admettre la condition cteTp . La paroi

extrieure (concave) tant isole, et lcoulement suppos laminaire, la formule (4.44)sapplique. Elle donneNu en fonction de 12 R/R .

Dautre part, fhf /DhNu = , avec ici b2)RR(2D 12h == (formule 4.42). En

partant dune valeur arbitraire mais raisonnable de b, on peut par approximations successivesajusterNu avec la valeur donne par (4.44).

La temprature moyenne approche de leau (fluide froid) est :

C5,302 45162

TTT fsfef =

+=

+

=><


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La conductivit correspondante (voir tables) est K.m/W612,0f = .

Essayons avec mm3bRR 12 == (ce qui fait 3,110

310

R

R

1

2=

+= ).

92,4612,0

10.32500

Nu

3

=

=

Daprs (4.44), pour obtenir cette valeur de Nu, il faudrait un rapport 05,1R/R 12 =

environ, soit mm5,0b = , ce qui est trop faible. Essayons avec b un peu plus lev, pouraugmenterNu.

Par exemple, avec mm2,3b = (soit 32,1R/R 12 = ) , 23,5Nu = ce qui correspond

peu prs un rapport 35,1R/R 12 = dans (4.44). On admettra donc comme valeurapproche :

mm2,3b =

On vrifie enfin le Reynolds :

fff

mf

f

hff

b2

S

qDVRe

==

avec 5f 10.083,0

= C5,30Tf =>< et, en premire approximation

))2/b(2d(bSf += surface dun rectangle de hauteur b et de longueur gale la

circonfrence moyenne de lannulaire, soit )bd( + (N.B. le diamtre moyen est bd + , etle diamtre extrieur b2d+ , voir Problme 1).

Dautre part, s/kg60

6,0

mn/kg6,0qmf ==

533ff

mff

10.083,0

1

10)2,320(

2

1060

6,01

)bd(b

b2qRe

+

=+

=

331Ref =

Lcoulement est bien laminaire.

Commentaires

Dans cet exercice, on doit en particulier chercher une caractristique gomtrique de

lchangeur permettant de respecter les conditions thermiques imposes.On a en plus loccasion daborder rgime de transition et coulement annulaire.


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PROBLME N 4 : Chemine

nonc

On veut estimer la chute de temprature des fumes dans une chemine, enconsidrant le conduit comme un changeur dont les fumes constituent le fluide chaud, etlair ambiant le fluide froid. On admet que la temprature aT de lair est constante le long de

la paroi extrieure de la chemine. On dsigne par k le coefficient global dchange traversla paroi.

1. En adaptant le calcul dun changeur co-courant au cas particulier ci-dessus( cteTT af == ), montrer que la temprature des fumes dans la chemine obit la loi :

=

S

q

kexp

TT

TT

tcace

ac

2. Le conduit est cylindrique, de diamtre D et de longueur L. crire la temprature

csT de sortie des fumes.

3. Calculer csT avec les valeurs suivantes : m20L = ; cm30D = ; C320Tce = ;

C10Ta = ; Km/W20k2

= . Pour les fumes : s/kg5,0qmc = ; Kkg/J1050Cpc = .

Solution

1.A travers un lment de paroi dSde la chemine schappe un flux de chaleur :

dS)TT(kdS)TT(kd acfc ==

d est aussi la chaleur perdue par le fluide chaud :

ctc dTqd =

On regroupe les deux quations :

dSq

k

TT

dT

tcac

c=

Nous avons ici cteTa = , de sorte que :

)TT(ddT acc do en intgrant :

= S

q

kexpcteTT

tcac

A lentre, 0S= et cec TT = , donc ace TTcte = , et

=

S

q

kexp

TT

TT

tcace

ac C.Q.F.D.

2.

A la sortie, csc TT = et =S (surface latrale totale de la chemine) :


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LD = La formule de la question 1 devient :

+= LD

q

kexp)TT(TT

tcaceacs

3.Les calculs numriques donnent :

K/W52510505,0Cqq pcmctc ===

+= 203,0

525

20exp)10320(10Tcs

C161Tcs =

La chute de temprature est donc de 160 Cenviron dans la chemine.

Commentaires

1. La formule donnant csT (question 2) est recommande par le Centre Scientifique et

Technique du Btiment (CSTB) pour le calcul des chemines.2. Dans la question 1, on ne peut pas crire le bilan local sur le fluide froid

( ftf dTqd = ) du fait que 0dTdT af == ( cteTa = ), ce qui est quivalent tfq . On

se retrouve dans la mme situation quavec un vaporateur ou un condenseur ( 2.4 et 3.5).3. Lhypothse cteTa = est acceptable ( aT nest pas ici une temprature de mlange

mais la temprature du fluide extrieur loin de la paroi) ; elle conduit une formule simplequi donne des estimations numriques correctes.

4. Dans une revue technique, la formule de la question 2 tait accompagne ducommentaire suivant : est la section de la chemine !! Ce qui donnerait ici une chute detemprature infrieure 1 C. De limportance de la rigueur dans le vocabulaire !!


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PROBLME N 5 : changeur changement de phase

nonc

De leau froide circule dans un tube de chaudire condensation. Sa tempraturedentre est C18Tfe = et son dbit h/kg400qmf = . Le rchauffage est assur par

condensation de vapeur deau lextrieur du tube, la temprature C104Tc = .

On donne : diamtre intrieur mm5,12d = ; diamtre extrieur mm16D = ;

longueur m4,2L = ; conductivit de la paroi Km/W46p = . Pour leau, on admettra

dans la gamme de temprature considre : s/m10.7,0 26f

= ; 5,5Prf = ;

Kkg/J4180Cpf = .

1. Calculer le coefficient dchangef

h lintrieur du tube.

2. On donne le coefficient h ct vapeur : Km/W8000h 2c = . Calculer le coefficient

global dchange k.3. Calculer le NUT et lefficacit de lappareil.4. Dterminer la temprature de sortie deau fsT , puis la quantit de chaleur Q

rcupre annuellement grce au dispositif condensation, si lon considre que la saison dechauffe dure 150 jours et que la chaudire fonctionne 5 heures par jour.

Solution

1.Il faut dj savoir quel est le rgime dcoulement. Pour cela, calculonsRe :

d

q4d

S

qdVRe vv ===

Ici, s/m3600

10.400h/l400q 3

3

v

==

63 107,0105,12

1

3600

4,04Re

=

16170Re=

Avec cette valeur deRe, le rgime est turbulent et hydrauliquement lisse. Donc, Stestdonn par (4.21). On a bien 66,0Pr> . Dautre part, 605,12/2400d/L >= . Lesconditions de validit de la formule sont donc satisfaites.

Pour le fluide froid :6,02,06,02,0

f 5,516170023,0PrRe023,0St

==

3f 10.19,1St

= et aussi

VC

hSt

p

ff

= do :


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2v

pfpffd

q4CStVCSth

==

On a 33 m/kg10= pour leau et mm5,12d= , ce qui donne :

Km/W4500h 2f =

2.Lpaisseur de la paroi est :

mm75,12

5,1216

2

dDe =

=

=

La question ne prcise pas de quel ct on demande k. Cela sous-entend que lon

raisonne comme avec une paroi plane ( 6.2.1. et 6.2.3), et kscrit :

4

3

fc10.85,3

80001

4610.75,1

45001

h1e

h1

k1

=++=++=

Km/W3000k 2

3.Lchangeur est un appareil fluide isotherme, pour lequel 0R = ( 3.5.2), avec ici

tfmint qq = . Ainsi :

tfq/kNUT =

o est la surface moyenne dchange ( 6.2.2) :

23 m107,04,2102

5,1216L2

dD =+=+=

Le dbit thermique unitaire de leau a pour valeur :

K/W46541803600

400Cqq pfmftf ===

et le NUT vaut :

69,0NUT =

Lefficacit se trouve sur le tableau 3.1. Pour 0R = , quelque soit le modle

dchangeur :)69,0(exp1)NUT(exp1E ==

5,0E

4.Toujours pour la raison que tfmint qq = , Eest lefficacit ct froid (formule 3.11),

avec cteTT cce == :

fec

fefs

TT

TTE

=


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On en tire fsT :

)18104(5,018)TT(ETT fecfefs +=+=

C61Tfs =

La puissance thermique du systme sexprime par le bilan sur le fluide froid :W20000)1861(465)TT(q fefstf ===

kW20=

Sur une saison de chauffe qui compte 5150 heures, on peut donc rcuprer parcondensation au maximum :

kWh515020Q =

kWh15000Q

Commentaires

Il sagit encore dun problme allg o on ne fait mention ni des tempratures derfrence, ni de la distinction entre coefficient dchange global ct froid et ct chaud, et ole calcul de h ct vapeur nest pas demand.

La temprature de condensation de 104 C sous-entend que la vapeur est en lgresurpression par rapport la pression atmosphrique.

Les questions 3 et 4 peuvent aussi tre traites avec les rsultats relatifs auxchangeurs fluide isotherme ( 2.4).


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PROBLME N 6 : changeur faisceau de tubes et calandre

nonc

Dans la sous-station de chauffage collectif dun immeuble on dsire installer unchangeur faisceau tubulaire et calandre, destin porter de 40 60 C un dbit deau de20000 kg/h. Le fluide primaire qui circule dans les tubes est de leau surchauffe arrivant 180 C, raison de 10000 kg/h. Les tubes ont un diamtre intrieur d = 20 mm ; la vitessedcoulement adopte est telle que Re = 10000. Le coefficient dchange global k est estim

450 Km/W 2 . On admet pour leau surchauffe les caractristiques thermophysiques

suivantes : Kkg/J4315Cpc = ;3m/kg920= ; s.m/kg10.19 5= .

1. Calculer la puissance change et la temprature de sortie du fluide chaud.2. Lchangeur est contre-courant, avec une seule passe sur chaque fluide, les tubes

tant monts en parallle (modle de la fig. 1.5 sans les chicanes). Dterminer :- la surface dchange ncessaire- la vitesse dans les tubesla section totale des tubesle nombre de tubes et la longueur du faisceau

Solution

1.Calculons tout dabord les dbits thermiques unitaires.

- Sur le fluide froid :

pfmftf Cqq = On prend gnralement pour leau Kkg/J4180Cpc = (voir tables en fin de volume).

41803600

20000qtf =

K/W23200qtf =

- Sur le fluide chaud :

43153600

10000Cqq pcmctc ==

K/W12000qtc =

La puissance thermique sobtient partir des donnes relatives au fluide froid :W46400)4060(23200)TT(q fefstf ===

kW464=

On tire maintenant csT du bilan sur le fluide chaud :

)TT(q cscetc =

)T180(12000464000 cs=

7,38180Tcs =

C3,141Tcs =


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2.

Les calculs prcdents montrent que nous avons ici :

tcmint qq =

et lefficacit scrit :

140

7,38

TT

TTE

fece

csce=

=

276,0E= Quant au facteur de dsquilibre :

23200

12000

q

qR

tf

tc==

517,0R =

Du tableau 3.1 on tire leNUT:

276,01

276,0517,01Ln

517,01

1

E1

ER1Ln

R1

1NUT

=

=

35,0NUT = et aussi :

tcq/kNUT =

ce qui nous donne la surface dchange :

450

1200035,0 =

2

m33,9=

Le nombre de Reynolds est impos :

dV10000Re ==

do la vitesse V:

3

45

10.20920

1010.19V

=

s/m103,0V =

La vitesse Vest la mme dans tous les tubes. Si vq dsigne le dbit-volume total,

la section totale des tubes est donc :

103,0

1

920

1

3600

10000

V

1q

V

qS mcv ===

22 m10.9,2S =


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Le nombre de tubes ncessaires pour assurer le dbit demand est gal :

3,92)10.2(

410.9,2

4/d

SN

22

2

2=

==

Comme il faut bien avoir un nombre entier de tubes, on prendra lentier

immdiatement suprieur :

tubes93N =

Si la longueur du faisceau est L (cest donc aussi la longueur de chaque tube), lasurface totale dchange a pour valeur :

LdN = On en dduit :

02,093

33,9

dNL

==

m60,1L =

soit une longueur totale de tubes de 149 m environ.

Commentaires

1. Lexercice aborde dune manire encore lmentaire le dimensionnement dunchangeur faisceau de tubes.

2. Les tudiants qui nont jamais vu un changeur tubulaire nimaginent pas toujourstrs bien la structure de lensemble et les proprits qui dcoulent du montage des tubes en

parallle (FEMM, 7.6).3. LeNUT de lchangeur est faible. Le modle de lappareil na donc pas beaucoupdimportance ( 3.4.3 et fig. 3.1).

4. Un calcul approch de pourrait tre effectu partir du bilan global enlinarisant la distribution de temprature de leau ( 6.2.1) :

)TT(k fc ><

Cest plus rapide et on trouve ici pratiquement le mme rsultat (parce que NUT estpetit). Mais ce nest pas toujours comme a. Alors prudence !!

5. Les paramtres ket se rfrent implicitement la surface intrieure des tubespuisquon ne donne pas le diamtre extrieur dans lnonc.


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PROBLME N 7 : changeur plaques

nonc

De lair chaud 80C produit par une installation industrielle est vacu lextrieur

raison de 5000 kg/h. Il traverse pralablement un changeur servant prchauffer 20Clair neuf admis dans le btiment une temprature dentre de 5C.Lchangeur est un appareil plaques planes et courants croiss, sans brassage des

fluides, dont la surface dchange est 2m50= . Dans la plage de fonctionnement prvue,son coefficient global dchange k est estim par le constructeur :

65q6,3k mf +=

avec mfq en kg/s et k en Km/W2 .

1. Estimer a priori sur quel circuit le dbit thermique unitaire est minimal.2 En procdant par approximations successives, dterminer quel dbit dair neuf cet

changeur peut porter 20C.3. Calculer la temprature de sortie du fluide chaud et la puissance de lchangeur.P.J. Abaque E = f(NUT), fig. P.7.

FIG. P.7. changeur courants croiss, fluides non brasss

Solution

1.On a C15)520(T == sur le fluide froid. Le fluide chaud entre C80Tce = ,

ce qui doit permettre un T nettement plus important. Les fluides tant les mmes des deux

cts, mfq est certainement suprieur mcq , do tctf qq>

car la chaleur massique pC dpend trs peu de la temprature. Par consquent, a priori :


18/73

tcmint qq =

puisque le fluide qui accuse le plus grand T est celui qui a le plus petit dbit thermiqueunitaire ( 3.1).

2.Les donnes ne portent que sur trois tempratures aux bornes et un dbit. Le dbit

inconnu mfq ne peut pas tre calcul directement ; lefficacit non plus puisque ici cEE= et

on ne connat pas csT . On va donc procder par approximations successives partir dune

estimation empirique de mfq , en calculant NUT, puis E au moyen de labaque ( !! dernierrappel : abaque est un nom masculin, on dit un abaque, fermez la parenthse) et enfin fsT que

lon va comparer la valeur impose 20 C.

Choisissons comme valeur de dpart :

s/kg166,4h/kg15000qmf ==

tcmint q

k

q

kNUT

== avec 2m50=

s/kg39,13600/5000qmc ==

Daprs les tables numriques, Kkg/J1006Cpc trs peu dpendant de T. Soit :

K/W1400Cqq pcmctc ==

Dans ces conditions :

Km/W8065166,46,365q6,3k 2

mf

=+=+=

86,21400

5080NUT =

=

mf

mc

tf

tc

q

q

q

qR == puisque pfpc CC

333,0166,4/39,1R ==

En reportant sur labaque, on trouve pour lefficacit : 85,0E

Puisque tcmint qq = , nous avons (formules 3.10) :

fece

fefsfc TT

TT

R

1E

R

1EE

===

do lon tire :

)580(85,0333,05

)TT(ERTT fecefefs

+=

+=

soit :C25,26Tfs =

Cette valeur est suprieure la temprature impose (20 C) ; on a donc pris un dbit

mfq trop faible.


19/73

Recommenons lopration avec :s/kg945,6h/kg25000qmf ==

La trame du raisonnement est identique ; tcq est inchange K/W1400=

2,0945,6/39,1R

2,31400

5090NUT;Km/W9065945,66,3k

2

==

=

==+=

et labaque donne : 9,0E

)580(2,09,05Tfs +=

C5,18Tfs =

Nous nous sommes nettement rapprochs de 20 C, mais maintenant fsT est un peu

trop faible ; donc mfq est un peu trop grand.

Faisons une troisime tentative avec s/kg25,6h/kg22500qmf ==

Km/W5,876525,66,3k 2=+=

125,31400

505,87NUT =

=

222,025,6/39,1R == Sur labaque, on observe que Eest pratiquement inchange 9,0

)580(222,09,05Tfs +=

C20Tfs

: La convergence est atteinte. La valeur demande est donc :

s/kg25,6h/kg22500qmf ==

3.Nous pouvons par exemple dduire csT du bilan global de lchangeur (3.1) :

)TT(q)TT(q fefstfcscetc = do :

)520(39,1

25,680)TT(

q

qTT fefs

tc

tfcecs ==

puisque mcmftctf q/qq/q = . Finalement :

C5,12Tcs =

Le bilan sur le fluide chaud (ou froid) donne enfin la puissance de lchangeur :)5,1280(1400)TT(q cscetc ==

W94500=


20/73

Commentaires

Cet exercice illustre lun des rares cas o lon doive procder par itration avec lamthodeNUT.

Pour le calcul de fsT (question 2), on peut aussi calculer pralablement csT partir de

E puis dduire fsT du bilan enthalpique de lchangeur.

PROBLME N 8 : changeur tubulaire courants croiss

nonc

Une chaudire mazout produit des fumes 360 C qui sont utilises pourprchauffer de 20 120 C lair ncessaire la combustion.Linstallation consomme 1500 kg de mazout par heure. La combustion dun kilog de

mazout demande 17,95 kg dair et produit 18,95 kg de fumes.Lappareil utilis est un changeur tubulaire courants croiss, deux passes ct

tubes ; lair circule dans les tubes, verticalement, et les fumes autour des tubes,horizontalement (cette disposition limite les obligations de ramonage).

La temprature de paroi pT des tubes doit tre partout suprieure 160 C pour

viter la corrosion due la condensation des composs soufrs.

Les tubes forment un faisceau en ligne, pas carr, de pas relatif 4,1e =+ . Ils ont

pour diamtre extrieur mm55D = et pour diamtre intrieur mm50d= .Pour chaque coulement, le nombre de Reynolds est fix : 25000Ref = dans les tubes

(fluide froid) et 5000Rec = en calandre (fluide chaud, vitesse de rfrence = vitesse

dbitante en calandre vide).Dans le domaine de temprature envisag, on prendra comme caractristiques

moyennes des fumes :

3

p5

m/kg585,0Km/W033,0

Kkg/J1212Cs.m/kg10.3

==

==

1. Calculer la temprature de sortie des fumes csT .2. Lchangeur peut fonctionner soit avec des entres opposes, soit avec des entres

du mme ct (voir figure P8). Quel sens de fonctionnement doit tre choisi pour viter lerisque de condensation des composs soufrs ?

3. Calculer quelles vitesses de rfrence 0cV et0

fV correspondent les nombres de

Reynolds imposs.4. Dterminer le coefficient global dchange ck ct fluide chaud (ngliger la

rsistance thermique de la paroi).5. Calculer la puissance de lchangeur, son efficacit E et son NUT. Dterminer

la surface dchange c ct chaud, le nombre de tubes ncessaires et la longueur L dechaque tube.


21/73

FIG. P8 changeur tubulaire courants croiss.Fluide chaud : fumes ; fluide froid : air

A gauche : entres opposes. A droite : entres du mme ct

Solution

1.La temprature inconnue csT sera obtenue partir du bilan enthalpique de

lchangeur :)TT(q)TT(q fefstfcscetc =

Il faut dabord calculer les dbits thermiques unitaires.- Pour le fluide froid (air), le dbit-masse est :

s/kg5,7

3600

95,171500qmf =

=

La chaleur massique de lair dpend trs peu de la temprature. On larrondit Kkg/J1010Cpf , soit :

K/W10.57,710105,7Cqq 3pfmftf ===

- Pour le fluide chaud (fumes) :

s/kg9,73600

95,181500qmc =

=

K/W10.57,912129,7q 3tc ==

On observe au passage que :

K/W10.57,7qq 3tfmint ==

Du bilan enthalpique on tire :

C79)20120(57,9

57,7)TT(

q

qTT fefs

tc

tfcsce ===

C281Tcs =


22/73

2.Air et fumes ont des proprits voisines, et les coefficients dchange lextrieur et

lintrieur des tubes doivent tre du mme ordre de grandeur. Comme temprature locale deparoi, on admettra donc en premire approximation :

2/)TT(T fumesairp +

Avec entres opposes, on a :* ct (a) : air 20 C; fumes 281 C, soit :

C160C5,1502

28120Tpa

+ cest bon

* ct (b) : air 20 C; fumes 360 C:

C160C1902

36020Tpb >=

+ cest encore bon

Conclusion : il vaut mieux placer les entres du mme ct

3.

Vitesse de rfrence 0fV ct fluide froid :

Il sagit ici de lcoulement de lair dans les tubes.

25000dV

Ref

0f

f ==

donn, avec mm50d=

f doit tre value la temprature moyenne de mlange de lair ( 4.1.5 ), soit :

s/m10.02,2

C70

2

12020T

25f

mf

=

=+

=

On en dduit :

3

50

f10.50

10.02,225000V

=

s/m1,10V0f =

Vitesse de rfrence 0cV ct fluide chaud

Il sagit maintenant des fumes, sachant que :


23/73

5000DV

Rec

0c

c ==

avec s/m10.13,5585,0

10.3 255

c

cc

===

on en tire :

3

5cc0

c 10.55

10.13,55000

D

ReV

==

s/m66,4V0c =

4.Coefficient dchange ch ct chaud (en calandre)

Le nombre de Reynolds est donn : 5000Rec = , avec une vitesse de rfrence en

calandre vide, donc compatible avec les formules du parag. 4.3.1.

Le faisceau est en ligne ; de ce fait il rsulte que : 4,1eee LT ===+++ . En admettant

que le nombre de nappes est au moins gal 10 ( 4.3.1.3), le nombre de Stanton est donc prendre dans la formule (4.28) avec 7,0= pour le fluide chaud :

7,032,02,06,0

c Pr50004,198,04,1

90,04,12,61023,0St

++=

Le nombre de Prandtl est calcul la temprature mcT , ce qui donne daprs les

valeurs de lnonc :

10,1033,0

121210.3C

aPr

5p

c =

===

et lon obtient :024,0Stc =

Le coefficient dchange ch se dduit de St:

66,41212585,0024,0VCSth 0cpcccc ==

(la vitesse de rfrence 0V tant la mme que pourRe, cf. 4.3.1.2).

Km/W3,79h 2c =

Coefficient dchange fh ct fluide froid (dans les tubes)

On sait que 25000Ref = ; en labsence dinformation sur la rugosit de la paroi, il est

raisonnable dadmettre que lon est en rgime turbulent lisse . On utilisera donc la formulede Dittus et Boelter (4.21) avec 6,0= (fluide froid), sous rserve que lon ait 60d/L > ,ce qui devra tre vrifi en fin de calcul :

6,0f

2,0ff PrRe023,0St

=

Pour lair C70Tmf = , 7,0Prf = .

6,02,0f 7,025000023,0St

=

00376,0Stf =


24/73

De l nous dduisons fh :

0fpffff VCSth =

A la temprature C70Tmf = , les tables donnent pour lair :3

f m/kg02,1= et

Kkg/J1015Cpf . Ainsi :

1,10101502,100376,0hf =

Km/W3,39h 2f =

Coefficient global ct fluide chaudLe coefficient global ck ct fluide chaud est ensuite calcul avec (6.6) :

ff

c

c

1

ffcccc

h1

h1

1

h

1

h

11

k

+

=

+=

Le rapport des surfaces dchange est gal au rapport des diamtres 50/55d/D = .

3,39

1

50

55

3,79

11

kc+

=

Km/W6,24k 2c =

5.Puissance

On peut calculer la puissance par exemple ct froid :

)20120(10.57,7)TT(q 3fefstf ==

kW757=

EfficacitDaprs (3.12) :

)20360(10.57,710.757)TT(qE 3

3

fecemint =

=

295,0E=

NUTLchangeur est courants croiss, un fluide brass ( 1.2), avec une seule passe sur

le fluide brass. Le dbit thermique maximum est celui des fumes, cest--dire du fluidebrass. Le tableau 3.1 donne dans ce cas :

+= )ER1(Ln

R

11LnNUT


25/73

57,9

57,7

q

qR

maxt

mint== soit 79,0R =

et finalement :41,0NUT

Surface dchangeDeNUTon dduit la valeur de la surface dchange c ct fluide chaud :

41,010.57,7

6,24

q

kNUT

3c

mint

cc===

2c m126

Faisceau de tubesLa surface dchange c ct fluide chaud correspond au diamtre extrieur des

tubes : m10.55D 3= . Si tL est la longueur totale des tubes, on a donc :

tc LD = soit 3t 10.55

126L

=

m729Lt

Appelons n le nombre de tubes ncessaires dans chaque passe pour assurer le dbitdemand, et tS la section totale des tubes :

4

dnS

2

t

=

Pour avoir n, il faut calculer pralablement tS partir de lexpression du dbit dair :ftfmf VSq =

Dans un calcul de dbit, la masse volumique f doit tre value la temprature

moyenne de mlange, ici mfT ( 4.1.4 et 4.1.5), ce qui donne3

f m/kg02,1= . En outre,

s/m1,10VV 0ff == , et s/kg5,7qmf = . Alors :

2t m728,01,1002,1

5,7S =

=

2

t

d

S4n

= avec m10.50d 3=

passepartubes370n =

soit au total :

tubes740N =

La longueur de chaque tube (cest--dire la longueur du faisceau) est donne par :

m740

729

n

LL t ==

m1L


26/73

Vrification

Il y a lieu maintenant de sassurer que la longueur de chaque tube rpond bien lacondition 60d/L > (question 4, calcul de fh ). Or ce nest pas le cas, puisque nous avons ici

20d/L : daprs (4.24), fSt doit donc tre multipli par un facteur 1,12. Cela remontera

de quelques pour cent le coefficient dchange global, et il faudrait normalement procder une itration avec cette nouvelle valeur. Mais on est excusable si on renonce recommencerles calculs.

En ce qui concerne fh , vu le nombre total de tubes, la condition nombre de nappes

suprieur 10 est raliste.

Commentaires

- La question 2 illustre le genre de raisonnement sur des donnes incertaines quelingnieur doit frquemment pratiquer (ou devrait tre apte pratiquer .). Bien quelles

soient par essence nuances, les conclusions auxquelles on aboutit sont appeles tayer deschoix.

- Dans le cas prsent, la suite du calcul montre que fc hh > , ce qui a pour effet de

relever la temprature de paroi estime, et donc de faire reculer le risque de condensationct (a) dans la formule entres opposes . Malgr tout, cette solution apparat moins sreque la disposition entres du mme ct .

- Les caractristiques thermophysiques des fumes sont fournies dans lnonc pourraccourcir les calculs. On doit normalement les estimer partir de la composition des ditesfumes, avec les tables relatives 22 N,O et 2CO .


27/73

PROBLME N 9 : changeur tubulaire, faisceau en quinconce

nonc

On tudie un changeur air-eau faisceau de tubes et calandre. Leau circule dans

les tubes et lair autour des tubes, perpendiculairement eux. Les tubes sont dispossverticalement, chaque nappe transversale constituant une passe pour la circulation de leau.La calandre est rectangulaire, de hauteur m615,2Hc = et de largeur cl dterminer.

Le faisceau est en quinconce, de pas triangulaire quilatral. Le pas transversal entretubes est fix mm95ST = . Dans chaque nappe transversale, les tubes sont monts en

parallle. Ils sont en acier. Leurs diamtres intrieur/extrieur sont mm31d= et

mm35D = . Une distance de TS5,0 est impose entre laxe des tubes dextrmit et laparoi de la calandre. On se fixe une vitesse dbitante maximale pour leau (fluide froid)

s/m1Vf = .

Les donnes du problme sont :Fluide Eau AirTemprature dentre C20Tfe = C250Tce =

Temprature de sortie C80Tfs =

Dbit s/kg12qmf = s/kg50qmc =

1. Calculer la puissance thermique change et la temprature de sortie de lair.2. a) Dterminer le nombre LN de tubes ncessaire dans chaque nappe transversale.

(prciser quel est dans ce cas le nombre de nappes longitudinales du faisceau de tubes).

b) En dduire la largeur cl de la calandre et la vitesse0cV de lair (fluide chaud)

dans la calandre vide.3. Calculer le coefficient global dchange fk ct fluide froid. Commenter le

rsultat.4. a) Dterminer lefficacit de lchangeur, son NUT et la surface dchange f

ncessaire (ct fluide froid).b) Calculer la longueur totale L des tubes, et le nombre TN de nappes

transversales.

5. La rugosit intrieure des tubes est mm10 2= . Pour chaque demi-tour dufluide (passage dune nappe la suivante), le coefficient de perte de charge singulire est

valu 4,0= . On comptera 5,0e = pour lentre et 1s = pour la sortie du circuit.Calculer la perte de charge totale et la puissance utile uP de la pompe ncessaire pour

alimenter lchangeur en eau.

Solution

1.La puissance de lappareil se dduit du bilan thermique sur leau :

)TT(q fefstf =

Avec Kkg/J4180Cpf= environ pour leau, le dbit thermique unitaire vaut :

418012Cqq pfmftf ==


28/73

K/W50160qtf =

do la puissance :W)2080(50160 =

kW3010=

Le bilan thermique sur lair scrit :)TT(Cq)TT(q cscepcmccscetc ==

En toute rigueur, pour connatre pcC , il nous faut la temprature moyenne mcT de lair,

qui est inconnue. Mais les chaleurs massiques varient assez peu avec la temprature. En sebasant sur une estimation approximative de C210 , on a Kkg/J1025Cpc . Do :

102550qtc =

K/W51100qtc =

On en dduit la temprature de sortie de lair :

5110010.3010250

qTT

3

tccecs ==

C191Tcs =

La temprature moyenne mcT est donc de C220 , et lincidence sur la valeur de pcC

est ngligeable. On en reste l.

2.2a). Nombre de tubes

Le dbit deau est donn :s/kg12VSq fffmf ==

Les tubes tant en parallle, leur section totale dans une nappe transversale est :

ff

mf2

Lf V

q

4

dNS

==

Avec s/m1Vf = et33

f m/kg10= , il faut donc dans chaque nappe :

9,15110)10.31(

124N

323L=

=

tubes

La vitesse de 1 m/s tant un maximum, on doit arrondir lentier suprieur :

tubes16NL =

Le rajustement qui en rsulte sur la vitesse est ngligeable, et on peut conserver dansla suite des calculs s/m1Vf = .

Le nombre de tubes dune nappe transversale est gal au nombre de nappeslongitudinales, soit ici 16 tubes ( 4.3.1.1).

2b). Largeur de la calandre et vitesse de lairUne range de 16tubes au pas transversal de 95 mm ncessite un espace de 15 entre-

axes TS15= , plus TS5,0 gauche et droite entre les tubes et la paroi de la calandre(condition pose par lnonc).


29/73

Mais le faisceau tant en quinconce, la seconde range est dcale de TS5,0 vers ladroite ou vers la gauche, ce qui fait en tout :

3Tc 10.955,16S)5,05,0215(l

=++=

m57,1lc =

La calandre vide a une section 57,1615,2lHS ccc == 2

c m10,4S =

A la temprature moyenne C220Tmc = (question 1), les tables donnent pour la

masse volumique 3c m/kg715,0= , do la vitesse dbitante dans la calandre vide :

10,4715,0

50

S

qV

cc

mc0c

==

s/m17V0c =

3.Pour calculer le coefficient dchange global, il faut dabord connatre les coefficients

dchange de chaque ct des tubes.3a). Coefficient fh lintrieur des tubes

Le nombre de Reynolds dans les tubes est :f

ff

dVRe

=

A la temprature moyenne de mlange de leau :

C50

2

8020Tmf =

+=

la viscosit cinmatique vaut (cf. tables) : s/m10.057,0 25f

= , do :

5

3

f10.057,0

10.311Re

=

54400Ref =

Avec ce nombre de Reynolds ( 510< ), on doit pouvoir utiliser la formule de Dittus-Boelter (4.21), condition davoir un allongement des tubes 60d/L > . Ici la longueur des

tubes est la hauteur de la calandre, cest--dire cH . On a effectivement :

3,84316152dHc ==

Le compte est bon, et alors :6,0

f2,0

ff PrRe023,0St

=

A la temprature C50Tmf = , les tables donnent 67,3Prf = .

456,0113,0023,067,354400023,0St 6,02,0f ==

3f 10.185,1St

=

Daprs la dfinition du nombre de Stanton, avec les valeurs numriques dj connues:

141801010.185,1VCSth33

fpffff ==


30/73

Km/W4950h 2f =

3b). Coefficient fh autour des tubes

Le faisceau est en quinconce, pas triangulaire quilatral. On a donc :

- pour le paramtre gomtrique adimensionnel ( 4.3.1.3 ) : 2/1=

- et pour le pas transversal relatif :35

95

D

Se TT ==+

7,2eT =+

Le nombre de Stanton est donn par (4.29b) (dans le cas 1


31/73

Km/W5,177k 2f =

Dans ce total, le terme dominant est le coefficient dchange ct air. Le coefficientdchange ct eau compte pour moins de 4%. La rsistance thermique de la paroi est

ngligeable.4.

4a). Efficacit, NUT, surface dchangeDaprs la 1re question, tfmint qq = . Lefficacit de lchangeur est donc exprime

par (3.11) :

20250

2080

TT

TTE

fece

fefs

=

=

26,0E=

Lchangeur est de type 1-N. SonNUTest donn dans le tableau 3.1 :

)R1R1(E2

)R1R1(E2Ln

R1

1NUT

2

2

2+++

++

+

=

Le facteur de dsquilibre vaut :

98,051100

50160

q

qR

maxt

mint===

Tous calculs faits :

36,0NUT =

Nous savons quemint

ff

mint q

k

q

KNUT

==

La connaissance duNUT permet donc de dterminer la surface dchange f :

5,177

5016036,0

k

qNUT

f

mintf ==

2

fm7,101=

4b). Nombre de nappes transversalesSiL est la longueur totale des tubes, la surface dchange f (ct fluide froid, cest-

-dire lintrieur des tubes) scrit :Ldf =

do :

310.31

7,101L

=

m1045L =


32/73

Dans une nappe transversale, il y a LN tubes, dont la longueur totale est cL HN . Le

nombre de nappes transversales TN est donc tel que :

97,24615,216

1045

HN

LN

cLT =

=

=

La valeur trouve est trs proche de lentier 25. On prendra donc, sans avoir besoin defaire une correction :

nappes25NT =

5.5a). Perte de charge

Lorsquun circuit possde des branches en parallle, la perte de charge X est lamme sur chacune des branches et sur lensemble (FEMM, 7.6.1).

Dans une passe, o chaque tube a une longueur cH , daprs FEMM (6.140b) la perte

de charge en ligne vaut :2

Vd

HC4 2fcf , et la perte de charge sur chaque singularit slve

:2

V2f

De lentre la sortie de leau, le circuit comporte TN passes ; chaque particule fluide

suit un itinraire qui comporte donc TN tubes, 1NT coudes de demi-tour, une entre et une

sortie, avec une vitesse uniforme fV , do une perte de charge totale (FEMM. 6.177 et

6.178) :

2

V)1N(dHNC4X

2

fseTcTf

+++

=

On a vrifi la question 3a) que lallongement d/Hc des tubes est suprieur 60.

Vu le nombre de Reynolds 54400Ref = , le coefficient de frottement fC est donn par la

formule de Colebrook (4.23 et aussi FEMM 7.10) :

+=

2/CRe

883,0

D285,0Ln5,2

2/C

1

ff

Le calcul est itratif. Dans la pratique, les valeurs des coefficients de frottement vont

peu prs de 110 410 . Comme point de dpart, on peut prendre une valeur moyenne3

f 10.2C

= dans le membre de droite :

+=

2/10.254400

883,0

31

10285,0Ln5,2

2/C

13

2

f

et on obtient comme premire estimation :3

f 10.83,5C

=

On reprend le calcul prcdent en remplaant la valeur de dpart

3

10.2

par cettenouvelle valeur, ce qui conduit une seconde estimation :


33/73

3f 10.20,5C

=

Rinjectons cette nouvelle valeur dans le membre de droite. Le rsultat est :3

f 10.26,5C

=

On est prs de la convergence. Une ultime itration donne :

3f 10.25,5C

=

La perte de charge est alors :

2

11015,0)4,024()

10.31

615,22510.25,54(X

23

33

+++

=

2

10)1,1128,44(

3

+=

bar277,0Pa27700X ==

5b). PompeLa puissance utile de la pompe doit tre gale la puissance P dissipe dans

lcoulement (FEMM, 7.4.2 et 7.4.4) :XqPP vu ==

Cette formule est encore valable pour un circuit avec branches en parallle, vq tant le

dbit total (FEMM, 7.6.1) :

2770010.12P 3u =

W4,332Pu =

Commentaires

Ce problme prend en compte de nouveaux lments : changeur multipasses,montage des tubes en parallle, gomtrie du faisceau, perte de charge .

- Un calcul approch de la surface dchange pourrait tre conduit partir du bilandnergie sur le fluide froid, en appliquant (6.5), soit : )TT(k fcff >< , C50TT mff ==>< , soit [ ])50220(5,177/10.30103

f = ,

ce qui donne une surface dchange de 2m75,99 , au lieu de 2m7,101 par la mthode NUT(question 4a). Lcart nest que de 2%. Doit-on en dduire que cette mthode est unraffinement inutile ? Certainement pas, dabord parce que lcart nest pas toujours aussimodeste (ici, le NUT est petit, cf. Problme 6), ensuite parce que, en accumulant lesapproximations, on finit par largir sensiblement la marge dincertitude.

- Le calcul itratif du coefficient de frottement converge toujours rapidement, mme silestimation de dpart est un peu loin du rsultat final.

- On peut tre surpris par la faible puissance de la pompe, due en particulier au fait quela vitesse de circulation nest pas trs leve (1 m/s). Mais il faut prendre aussi en compte sonrendement (rarement suprieur 0,7) et tout le circuit dans lequel lchangeur est insr. Aubout du compte, on arriverait facilement une puissance relle de 1 2 kW.


34/73

PROBLME N 10 : Condenseur

nonc

On tudie un condenseur de butane, destin produire 15 kg/s de butane liquide partir dune vapeur saturante la temprature C50Tv = et la pression p = 5,08 bars.

Lappareil utilis est un changeur faisceau de tubes horizontal, quatre passesct tubes. Ceux-ci ont un diamtre intrieur mm75,15d = et un diamtre extrieur

mm05,19D = .On dispose comme fluide froid dune eau de rivire dont la temprature maximale est

de 15 C en t, et qui ne doit pas subir un chauffement suprieur 10 C. Elle circule lintrieur des tubes.

Les caractristiques physiques du butane p = 5,08 bars sont donnes ci-dessous :

Temprature (C) 20 50Chaleur latente de vaporisation VL (J/kg)

310.335

Conductivit thermique phase liquide (W/m K) 0,131 0,125

Viscosit dynamique phase liquide (kg/m s) 310.17,0 310.13,0

Masse volumique phase liquide ( 3m/kg ) 579 542

1. Calculer le dbit de fluide froid mfq ncessaire dans lchangeur.

2. Quel est le dbit-masse deau mf'q dans chaque tube, le nombre de tubes N

ncessaire pour chaque passe et le nombre total tN de tubes ? (On se fixe une vitesse

dbitante V = 2 m/s dans les tubes).3. Dterminer le coefficient dchange fh ct fluide froid.

4. On se base a priori sur une temprature moyenne de paroi ct fluide chaudC30Tpc . Dterminer quel est alors le coefficient dchange moyen ch lextrieur des

tubes (raisonner ici comme pour un tube seul).5. En tenant compte de la disposition des tubes en nappes verticales (qui diminue ch )

et de la rsistance thermique de la paroi, on admet finalement un coefficient global dchange

ct butane : Km/W730k 2c = .

Calculer la surface dchange ncessaire. En dduire la longueur du faisceau de

tubes.

6. La rugosit moyenne lintrieur des tubes est mm01,0= . Les coefficients de

pertes de charge singulires sont donns : 2,1sortieentre == pour chaque tube, compte

tenu de la forme des ttes de calandre.Calculer la perte de charge dans le circuit deau et la puissance de la pompe qui doit

assurer la circulation (en admettant pour celle-ci un rendement global 6,0= ).


35/73

Solution

1. Dbit deauLa puissance thermique de lchangeur se calcule en crivant le bilan sur le fluide

chaud :

3Vmc 1033515Lq == W10.5000 3

Sachant que lon doit avoir C10TT fefs , le bilan sur le fluide froid donne, dans

la condition la plus dfavorable :

tffefstf q10)TT(q ==

pfmf3

tf CqK/W10.50010/q ===

Dans la gamme de temprature considre pour leau, Kkg/J4180Cpf . Do le

dbit minimal ncessaire :

4180/10.500q 3mf =

s/kg120qmf

2. Nombre de tubesLe dbit-masse dans un tube est :

V4

dVS'q

2

ffmf

== avec V = 2 m/s

2)10.75,15(

4

10'q 233mf =

s/kg39,0'q mf =

Dans chaque passe, lesN tubes sont videmment monts en parallle, et le dbit totalscrit :

mfmf 'qNq =

do : 39,0/120N = passepartubes308N =

et avec quatre passes il y a au total :

tubes1232Nt=

3. Coefficient dchange ct froidPour calculer h on passe par lintermdiaire du nombre de Stanton, qui sexprime en

fonction deRe et Pr.

Conformment au 4.1.5, le nombre de Reynolds dans les tubes sera valu latemprature moyenne de mlange de leau :

)TT(

2

1T fefsmf += avec C15Tfe = et C)1015(Tfs +=

C20Tmf =


36/73

Daprs (4.13) :f

fdV

Re

=

Les tables donnent la viscosit cinmatique de leau 20 C:

s/m10.101,0 25f

=

3120010101,0

1075,152Re5

3f =

=

: lcoulement est turbulent lisse ( 510Re < ) ;

on calculera donc fSt avec la formule de Dittus - Boelter (4.21) pour le fluide froid :

6,02,0f PrRe023,0St

=

Avant dentamer le calcul, assurons-nous quand mme que les conditions de validitde la formule sont respectes :- nombre de Prandtl : pour leau 20 C, 7Pr , donc 7,0Pr> . Cest correct.- allongement des tubes 60d/L > ? On ne sait pas. Admettons-le provisoirement. Nousverrons la fin.

Donc :6,02,0

f 7)31200(023,0St

= 4

f 10.9St

et aussi en revenant la dfinition (4.6) :VC

hSt

p

ff

=

Sagissant de leau : 33 m/kg10= et kgK/J4180Cp =

241801010.9h 34f =

2f m/W7525h =

4. Coefficient dchange ct chaud (butane)La condensation se produit lextrieur dun tube horizontal ; le coefficient moyen

nous est donn par (5.1) :25,0

pvl

V3ll

c )TT(D

Lg725,0h

=

Nous avons comme temprature moyenne de film :

C402

3050

2

TT

T

pv

F =

+

=

+

= A cette temprature, les caractristiques thermophysiques du butane sont obtenues en

interpolant les valeurs donnes dans lnonc ; on trouve :3

l m/kg554=

Km/W127,0l =

s/m10.26,0 26

l

ll

==

En outre :

kg/J10.345L 3V =

C30T;C50T pv == (valeur admise)


37/73

m10.05,19D 3= et le calcul donne :

Km/W1800h 2c

5.Dimensions de lchangeurLa surface dchange correspondant la valeur donne de k est la surface ct fluide

chaud, cest--dire lextrieur des tubes. On a donc, daprs (6.5) et avec le rsultat de laquestion 1 :

3cmfvcc 10.500030730)TT(k ===

2c m3,228=

c est la surface extrieure des 1232 tubes, soit en appelant L la longueur dun tube

(qui est aussi la longueur du faisceau) :LDNtc = et de ce fait 310.05,191232

3,228L

=

m10,3L =

Nous pouvons maintenant vrifier que la formule donnant St a t correctementemploye dans la question 3 : nous avons ici 200d/L , donc trs suprieur 60.

6. Perte de charge

Dans une passe, les tubes sont monts en parallle : la perte de charge pX est doncla mme pour un tube et pour la passe (FEMM, 7.6.1 et formule 6.178) soit :

2

V

d

LC4X

2

fp

+=

o est la somme des coefficients de pertes de charge singulires. Dans ce problme,4,22,12,1 =+= .

Compte tenu de la valeur deRe, le coefficient de frottement est donn par la formulede Blasius (FEMM . 7.8a) :

006,0Re0395,02C 25,0f ==

On peut donc se passer de la rugosit . Cest une donne surabondante.Pour les quatre passes, la perte de charge totale stablit :

2

2104,2

10.75,15

10,3006,044X

23

3

+=

bar57,0Pa57000X =

Daprs FEMM (6.167a) et (7.73b), la puissance dissipe dans le circuit est :XqP v =

En admettant que lentre et la sortie du circuit sont au mme niveau, la puissance

utile fournie par la pompe doit tre gale la puissance dissipe dans le circuit. On a donc partir de FEMM ( 7.4.2, 7.5.2.1, et relation 7.55) :


38/73

XqPP vu == avec s/m12,0

qq 3

mfv ==

et 6,0=

W11400P =

Commentaires1. Lnonc contient certaines informations qui ont pour but de faciliter la rsolution

du problme, mais qui doivent normalement tre estimes par lingnieur : il sagit ducoefficient moyen dchange ck et de la temprature moyenne de paroi pT .

En fait, ces deux grandeurs sont interdpendantes puisque la formule qui donne ck

contient pT . L comme dans dautres exemples cits, cest une procdure itrative qui est

recommander :- premire estimation de pT

- calcul de ch , ck et du nombre de tubes- choix de la disposition du faisceau et en particulier du nombre de tubes dans une nappeverticale, et rvaluation de ck par (5.2)

- nouvelle valuation de pT et ritration du calcul. Souvent, la convergence est obtenue ds

cette seconde tape.2. Pour le calcul de fC , la formule de Colebrook (FEMM, 7.10) est plus sre, mais

Blasius est plus rapide et donne ici un rsultat trs voisin.3. La valeur de h relative la condensation du butane est nettement plus faible que ce

que lon obtiendrait avec de leau.


39/73

PROBLME N 11 : changeur compact

nonc

On aborde ltude davant-projet dun changeur compact courants croiss, avec unfluide brass.Lchangeur est constitu dune batterie de tubes parallles, relis par des ailettes

perpendiculaires aux tubes et jouant le rle dentretoises (fig. 1: vue de face, et fig. 2: coupelongitudinale dun tube). On admettra que les tubes sont de section rectangulaire (fig. 3 :coupe transversale dun tube), disposs en quinconce (fig. 4 : vue de dessus).

Il sagit dun changeur air-eau. Leau circule dans les tubes, lair autour des tubes,entre les ailettes. Les dimensions du caisson sont : 1 m (largeur) 1 m (hauteur) 0,5 m(profondeur). Les autres dimensions sont portes sur les figures, en mm. Lappareil comporte1786 tubes et 500 ailettes. Les caractristiques aux entres sont les suivantes :

- pour leau : s/kg28q;C12T mffe == - pour lair : s/kg14q;C125T mcce ==

FIG. P11.1 FIG. P11.2

FIG. P11.3 FIG. P11.4


40/73

1.Dterminer le coefficient dchange fh ct eau.

2.2.a) Calculer le diamtre hydraulique pour lcoulement de lair (la section prendre encompte est la section frontale de passage de lair, voir fig. 1).

2.b) La section totale de passage de lair est 2c m782,0S = . Evaluer le nombre de Reynolds

cRe ct air. Quelle est linfluence de la pression de lair ?

2.c) Labaque de la figure 5 donne 3/2PrSt en fonction de cRe . La temprature de

rfrence est la temprature moyenne de mlange mcT . Calculer le coefficient dchange ch

ct air. Comment est-il influenc par la pression de lcoulement ?

FIG. P11.5

3. La surface dchange c ct fluide chaud est de2m489 , dont 2m418 pour les

ailettes. On admet pour ces dernires une efficacit 86,0= . Dterminer la conductanceglobale K de lchangeur (on nglige la rsistance thermique des parois).

4. Calculer lefficacit de lchangeur5. Calculer les tempratures de sortie pour lair et leau. Vrifier si les tempratures

moyennes adoptes en cours de calcul sont suffisamment proches des tempratures calcules.

Solution

1. Coefficient dchange ct eauLa premire chose faire est destimer approximativement les tempratures de

rfrence pour valuer ensuite les caractristiques thermophysiques des fluides. Sil savre la fin du problme que cette estimation est trop imparfaite, on recommencera en se basantcette fois sur les rsultats du premier calcul.

Ecrivons dj le bilan enthalpique global :)TT(Cq)TT(Cq fefspfmfcscepcmc =


41/73

Les chaleurs massiques varient peu avec T. Prenons Kkg/J1007Cpc = pour lair et

Kkg/J4180Cpf = pour leau, soit compte tenu des valeurs imposes aux dbits :

fc T418028T100714 =

ce qui donne 8T

T

f

c

Un ordre de grandeur plausible serait C90Tc et C11Tf , ce qui respecte

peu prs le rapport de 8. Cela correspondrait des tempratures de sortie C35Tcs et

C23Tfs , do des tempratures moyennes de mlange ( 4.1.5) :

C5,172

2312T;C80

2

35125T mfmc =

+=

+

Nous partirons sur ces bases-l.

La section du tube est rectangulaire ( 4.2.1.3, mm18l,mm2b2==

) et fRe estdonn par (4.17) :

f

hfff

DVRe

= o mm6,3

218

1822

b2l

lb22Dhf =

+

=

+

=

La section intrieure dun tube est : 2mm36218S == . Elle est parcourue par undbit :

s/m10.68,151786

10.28

tubesde.nb

q'q 36

3vf

vf

===

do une vitesse :

s/m435,010.36

10.68,15V6

6f ==

fRe est calcul la temprature moyenne de mlange. A C5,17Tmf = , les tables

numriques donnent pour la viscosit de leau :

s/m10.06,1 26f

=

On en dduit :6

3

f10.06,1

435,010.6,3Re

=

1480Ref

Lcoulement est donc laminaire.

La formule utiliser pour calculer Stest en principe (4.18) ou (4.19). Pour trancher, ilfaut comparer hfD/L et Pe014,0 . Daprs (4.17) :

f

hfff a

DVPe =

avec s/m10.142,0a 26f

pour leau C5,17Tmf = , ce qui donne :3

f 10.11Pe

Ici, m1L=

, soit :


42/73

014,0025,0110006,3

1000

PeD

L

fhf>

=

Cest donc la formule tubes longs (4.19) qui sapplique, sous rserve que lesconditions surRe, Pret p/ soient bien vrifies, ce qui est le cas :

14,0

pff Pe

23,8St

=

En ce qui concerne p/ , on doit sattendre une temprature moyenne de paroi pT

assez proche de mfT puisque le coefficient dchange ct eau sera en principe beaucoup plus

lev que ct air. En admettant C10TT mfp += , on trouve 88,0/07,1/ p = do une

correction 03,1)/( 14,0p que lon pourrait la rigueur ngliger.

On obtient finalement :03,1

10.11

23,8St

3f=

3f 10.77,0St

, et alors :

435,041801010.77,0VCSth 33pf ==

Km/W1400h 2f

2.

2.a) Le nombre de Reynolds se calcule dans un canal lmentaire, dont la section estmm9,15,11 (fig. 1). Le diamtre hydraulique est donn par (4.17) :

3

6

hc10)9,15,11(

10.5,119,12

b2l

lb22D

+

=

+

=

mm26,3Dhc =

2.b) Nous avons ici :c

hccc

DVRe

= et

c

cc

=

En admettant une bonne quirpartition des dbits dans les canaux, la vitesse est la

mme partout ; elle peut tre calcule directement partir du dbit et de la section totale :

cc

mcc S

qV

= , soit :

cc

hcmcc S

DqRe

=

On ne nous prcise pas la pression moyenne de lair, mais cela est sans importance carla viscosit dynamique dpend trs peu de la pression (proprit indique dans les tablesnumriques). Comme cest le dbit-masse mcq qui est fix, cRe est donc indpendant de la

pression.


43/73

2.c) Le calcul doit tre fait la temprature moyenne de mlange, soit C80Tmc . Alors :

s.m/kg10.08,2 5c

=

782,010.08,2

10.26,314Re

5

3

c

=

2800Rec

Labaque donne approximativement :33/2

c 10.5,6PrSt

=

Pour lair, le nombre de Prandtl est peu dpendant de T: 7,0Pr 3/23

c 7,010.5,6St

= 3

c 10.24,8St

=

On a aussi :

cpcc

cc VC

hSt

= avec c

c

mccc GS

qV == vitesse massique (4.10)

De ce fait nous navons pas besoin de c et le coefficient ch ne dpend pas de la

pression :

c

mcpccc S

qCSth = avec kg/J1007Cpc = (question 1)

Adoncque :

782,0

14100710.24,8h

3

c

=

Km/W149h 2c =

3.Les ailettes sont situes ct fluide chaud. La conductance globale est donne par (6.8)

et (6.6a) :1

ffaLc h

1

)(h

1K

+

+=

avec acL2

a ;m418 ==

(surface latrale des tubes) 86,0;m71

2==

.

Ct eau, la surface dchange est la surface intrieure des 1786tubes :

178610)218(21786m1primtre 3f +==

2f m45,71=

Revenons K:1

140045,71

1

)41886,071(149

1K

+

+=

K/W39370K =


44/73

4.En revenant la question 1, on trouve pour les dbits thermiques unitaires :

K/W10.117418028q

K/W14100100714q3

tf

tc

==

==

Donc, K/W14100qq tcmint ==

Lair chaud qui circule autour des tubes est brass. Si lon se reporte au tableau 3.1, onest la rubrique changeur courants croiss, un fluide brass mintq :

)R/(exp1E = avec )NUTR(exp1 =

12,0117000

14100

q

qR

maxt

mint===

NUT est alors calculable par (3.14b) :

1410039370

qKNUTmint

==

79,2NUT = 285,0)79.212,0(exp1 ==

=

12,0

285,0exp1E

907,0E=

5.

5.a) Temprature de sortie dairPuisque minttc qq = , lefficacit sexprime selon (3.10) :

fece

csce

TT

TTE

=

On en tire :)12125(907,0125)TT(ETT fecececs ==

C5,22Tcs =

5.b) Temprature de sortie deau :

Le bilan enthalpique nous dit que :)TT(q)TT(q fefstfcscetc =

)5,22125(117000

1470012Tfs +=

C5,24Tfs =

5.c) Vrifications- Pour la temprature moyenne de leau, nous avions choisi 17,5 C. Avec les valeurs

calcules elle est de C2,182/)5,2412( =+ . La diffrence est insignifiante.


45/73

- Pour la temprature moyenne de lair, lestimation avait donn 80 C. Nous sommes C742/)5,22125( + . Lcart na pas de rpercussion significative sur les constantesthermophysiques.

- Quant lestimation de pT (question 1), son ordre de grandeur est compatible avec

les valeurs calcules dec

h etf

h . Sa rvision ne changerait pas grand-chose la correction en

p/ qui reste faible de toute faon.

Commentaires

Le problme sinspire dune application prsente dans louvrage de J.F. Sacadura[Initiation aux transferts thermiques].

Lappareil est assez performant. Son efficacit est leve, et on observe que latemprature de sortie du fluide froid (24,5 C) est suprieure la temprature de sortie dufluide chaud (22,5 C), situation trs favorable (cette ventualit a t signale dans le cas deschangeurs contre-courant, 2.3.5). En pratique, cet excellent rsultat est probablement nuancer un peu, du fait notamment que les dbits ne sont jamais parfaitement quirpartis(solution question 2.b) dans les tubes ou dans les diffrents chemins de passage de lair.

Concernant la section rectangulaire des tubes, on notera que malgr un aplatissementmarqu ( mm18/2 ) lapproximation 2 b ` l est viter : elle donnerait un diamtre

hydraulique de mm4b4 = alors que lon trouve mm6,3Dhf = avec la formule complte

(question 1). Mme remarque pour la section de passage de lair (question 2a). On peutsignaler galement que, en ralit, les extrmits des tubes seront arrondies pour amliorerlcoulement et diminuer les pertes de charge ct air.


46/73

PROBLME N 12 : Assemblage de deux changeurs

nonc

On dispose de deux changeurs identiques et de deux sources deau (une sourcechaude et une source froide) dont les tempratures fece T,T et les dbits mfmc q,q sont

donns.Lobjet du problme est de choisir, entre plusieurs dispositions des changeurs, celle

qui permet dobtenir la valeur de fsT la plus leve.

1. Avec un changeur seul, montrer que quelque soit son modle, si tcmint qq = , on a :

ER1

E1

TT

TT

fsce

fecs

=

2. Les deux changeurs sont placs en srie comme lindique la figure P12.1.2.1. En raisonnant sans faire de calculs, montrer que les deux appareils ont la mmeefficacit (dsigne par E). On admet que linfluence de la temprature sur les constantesthermophysiques est ngligeable.2.2. Soit tE lefficacit de lchangeur quivalent lassemblage ralis. En admettant

tcmint qq = , et en utilisant le rsultat de la question 1, exprimer tE en fonction de R et de E.

Dterminer fsT en fonction de fece T,T , tE et R.

FIG. P12.1

3. Les changeurs sont maintenant disposs en srie sur le fluide chaud et enparallle sur le fluide froid (fig. P12.2). On ne prcise pas ici quel est le tq minimum.

3.1. Montrer sans calculs que les deux appareils ont la mme efficacit ( c'E ct chaud ouf'E ct froid).

3.2. En raisonnant sur le circuit srie, cest--dire ct fluide chaud, exprimer csT puis fsT

en fonction de c'E et des donnes.

4. Ceci nest pas une question.En permutant les circuits (fig. P12.3) on obtient :

2ffeffcefs )'E1(T)'E2('ETT +=


47/73

FIG. P12.2

5. Les deux appareils sont des changeurs courants croiss, avec fluide chaud

brass une seule passe, de surface dchange 2m170= . On a dtermin

exprimentalement le coefficient global dchange k. Pour s/kg4qmc > et s/kg10qmf < :

65)q8,0q(52k 5,0mcmf ++= en Km/W2

On donne : C10T;C90T fece ==

Dterminer lefficacit dun changeur seul dans les trois cas suivants :a) s/kg2,8q;s/kg6,9q mcmf ==

b) s/kg2,8q;s/kg8,4q mcmf==

c) s/kg1,4q;s/kg6,9q mcmf ==

Calculer fsT dans le cas a).

FIG. P12.3


48/73

6. On rappelle les deux sources deau dont on dispose :- eau chaude : s/kg2,8q;C90T mcce ==

- eau froide : s/kg6,9q;C10T mffe ==

Calculer fsT dans les trois dispositions suivantes (on dsignera avec le symbole les

caractristiques relatives un seul changeur) :I - en mettant les changeurs en srieII - en les mettant en srie sur leau chaude et en parallle sur leau froide (le fluide brassest le fluide chaud)

III - en les mettant en srie sur leau froide et en parallle sur leau chaude (le fluide brasstant toujours le fluide chaud).

Conclure

Solution

1.

Sachant que tcmint qq = , daprs (3.10) lefficacit et le facteur de dsquilibrescrivent :

fece

csce

TT

TTE

=

csce

fefs

tf

tc

TT

TT

q

qR

==

On vrifie alors aisment que :

fsce

fecs

fece

csce

csce

fefs

fece

csce

TT

TT

TT

TT

TT

TT1

TT

TT1

ER1

E1

=

=

CQFD

2.2.1) Les deux appareils sont identiques : ils ont en particulier la mme surface dchange .Etant traverss par les mmes dbits chauds et froids, ils ont aussi le mme coefficient globaldchange k, et par consquent le mme R et le mme NUT. Leurs efficacits sont doncgales.

2.2) Daprs la question 1, avec les notations de la figure 1 :

'ER1

'E1

TT

TT

fsce

2f1c

=

'ER1

'E1

TT

TT

2f1c

fecs

=

Effectuons le produit de ces quations membre membre :

2

2

fsce

fecs

)'ER1(

)'E1(

TT

TT

=

Si lon considre lchangeur quivalent lensemble, pour lequel mintq est toujours

gal tcq , on a aussi :


49/73

t

t

fsce

fecs

ER1

E1

TT

TT

=

Des deux relations prcdentes on tire :

2222

t)'E1(R)'ER1(

)'E1()'ER1(E

=

Puisque tcmint qq = dans le rseau, lefficacit de lchangeur quivalent scrit :

fece

cscet TT

TTE

= do :

)TT(ETT fecetcecs =

Nous disposons galement du bilan global du rseau :

)TT(q)TT(q cscetcfefstf =

do lon peut extraire fsT :

)TT(q

qTT csce

tf

tcfefs +=

En remplaant csT par son expression ci-dessus, on obtient la temprature de sortie du

fluide froid :

)TT(ERTT fecetfefs +=

3.3.1) Le raisonnement est analogue celui de la question 2 : les changeurs sont identiques ettravaillent dans les mmes conditions (dbits, coefficients dchange etc). Par consquent ilsont le mmeR et le mmeNUT, donc la mme efficacit.

3.2) Lefficacit ct fluide chaud scrit, selon lchangeur considr :

fe1c

cs1c

fece

1ccec TT

TT

TT

TT'E

=

=

Ces deux quations constituent un systme deux inconnues 1cT et csT . Tirons 1cT de

lune delles :

csfe1cc1c T)TT('ET += soitc

feccs1c 'E1

T'ETT

=

et reportons dans lautre :

c

feccsce1ccefecec 'E1

T'ETTTT)TT('E

==

On obtient ainsi la temprature de sortie chaude :

)TT()'E2('ETT fececccecs =


50/73

Le bilan enthalpique global du rseau donne ensuite la temprature de sortie froide :

)TT(q)TT(q cscetcfefstf =

En remplaant csT il vient :

)TT()'E2('Eq

qTT fececc

tf

tcfefs +=

4.La question nest pas pose mais le calcul serait analogue en raisonnant encore sur le

circuit srie, cest--dire cette fois-ci sur le circuit froid.

5.5.a) La chaleur massique de leau dpend trs peu de la temprature ; de ce fait les pC sont

pratiquement identiques sur les deux circuits, et lon voit que :tctmint qbrassfluideduqq ==

Il y a une seule passe sur le fluide brass. Du tableau 3.1 on tire alors :)R/(exp1E = avec )NUTR(exp1 =

et toujours :

mintq/kNUT =

Les donnes permettent de calculer k:

65)2,88,06,9(52k 5,0 ++=

Km/W274k2

= Dans la plage de temprature indique on prendra pour leau :

Kkg/J4190Cp =

K/W3436041902,8Cqq pmcmint ===

On en dduitNUTetR :

35,134360

170274NUT =

=

854,06,9

2,8

q

q

q

qR

mf

mc

tf

tc====

De l on tire :684,0)35,1854,0(exp1 ==

)854,0/684,0(exp1E =

55,0E

En se rfrant (3.10) on obtient enfin :

fece

fefsfc TT

TT

R

1E

R

1EE

=== do :


51/73

8055,0854,010)TT(ERTT fecefefs +=+=

C6,47Tfs =

5.b) Maintenant, tftmint qbrassnonfluideduqq == . Le tableau 3.1 nous dit que :

[ ])R(exp1R

1E = avec )NUT(exp1 =

Nous avons donc cette fois :

Km/W24065)2,88,08,4(52k 25,0 =++=

K/W2011041908,4Cqq pmfmint ===

03,220110

170240

q

kNUT

mint=

==

585,02,8

8,4

q

q

R mc

mf===

ce qui donne :869,0)03,2(exp1 ==

[ ])869,0585,0(exp1585,0

1E =

68,0E

5.c) La situation est la mme que dans 5.a) : tctmint qbrassfluideduqq == .

La succession des calculs est analogue :Km/W5,25165)1,48,06,9(52k 25,0 =++=

5,241901,4

1705,251NUT =

=

43,06,9

1,4R ==

658,0)5,243,0(exp1 == et enfin :

78,0)43,0/658,0(exp1E =

78,0E=

6.6.I.Montage en srie

Avec les valeurs numriques donnes, cette disposition correspond au cas 5.a). On adonc pour chaque changeur :

854,0'R;55,0'E == Daprs la question 2, lefficacit de lchangeur quivalent a pour valeur :

22

22

t )55,01(854,0)854,055,01(

)55,01()854,055,01(

E

=


52/73

73,0Et=

et toujours daprs 2. :8073,0854,010Tfs +=

C60Tfs

6.II. Srie sur circuit chaud et parallle sur circuit froidLes donnes correspondent cette fois au cas 5.b).

s/kg2,8qmc =

Le dbit froid dans chaque changeur est gal la moiti du dbit total :

s/kg8,42

6,9q

2

1'q mfmf ===

et par consquent :

tfmint 'q'q =

Daprs 5.b) on a donc :

585,0'R = 68,0'E =

A partir de la question 3, on a :

)TT()'E2('Eq

qTT fececc

tf

tcfefs +=

o tcq et tfq sont les dbits globaux dans le rseau.

Pour calculer fsT , nous avons besoin de c'E (efficacit dun changeur ct circuit

srie, cest--dire circuit chaud). Mais ici f'E'E = puisque tfmint 'qq = et :

4,068,0585,0'E'R'E fc ===

donc :

80)4,02(4,0C6,9

C2,810T

p

pfs +=

C7,53Tfs =

6.III. Srie sur fluide froid et parallle sur fluide chaudLa situation est celle du cas 5.c). Pour chaque changeur :

s/kg6,9'q mf = s/kg1,4q21'q mcmc==

78,0'E =

La formule de la question 4 qui donne fsT fait intervenir f'E :

2ffeffcefs )'E1(T)'E2('ETT +=

Or, ici c'E'E = puisque tcmint 'qq = . Donc cf 'E'R'E = :

427,0C6,9

C1,4

'q

'q'R

p

p

tf

tc===

333,078,0427,0'Ef==


53/73

et finalement :2

fs )333,01(10)333,02(333,090T +=

C3,54Tfs =

Conclusion :- avec un changeur seul : C6,47Tfs =

- avec deux changeurs en srie : C60Tfs =

- les deux montages en srie-parallle sont presque quivalents : 7,53Tfs = ou C3,54 .

Le montage en srie est ici nettement meilleur.

Commentaires

Le problme reprend sous une forme plus simple, avec deux changeurs seulement, les

raisonnements du chapitre 7 ( 7.2 et 7.3). Mais on ne doit pas, partir des rsultats obtenus,dduire une rgle gnrale sur la supriorit de tel ou tel assemblage.

- Le fait de donner une loi phnomnologique )q(fk= permet de calculer krapidement et donc dabrger la solution.

- Les questions sans calcul (2.1. et 3.1.) droutent souvent les tudiants, mais ellespermettent de voir si les notions essentielles ont t comprises.

- Dans les questions 5.2. et 5.3., lerreur ne pas faire est de confondre le dbit total etles dbits partiels sur les branches en parallle, ou de confondre c'E et f'E .

- On doit bien noter que sur le circuit en parallle, les tempratures de sortie des deuxchangeurs ne sont pas les mmes ( 2s1s TT , 7.3). Pour calculer les efficacits en revenant

la dfinition max/ il faudrait connatre ces tempratures. Cest pour cela quen srie-parallle on raisonne sur le circuit srie avec les efficacits relatives.


54/73

PROBLME N 13 : changeur en pingle

nonc

On tudie un changeur tubulaire en pingle, selon le schma ci-dessous (un seul tubea t reprsent en pointills). Ses caractristiques sont E, R et NUT. Le fluide chaud circule lintrieur des tubes.

FIG. P13.1

Ce modle dchangeur peut tre considr comme quivalent lassemblage de deuxdemi-changeurs de mmes dimensions, lun (N 1) fonctionnant co-courant, lautre (N 2) contre-courant (fig. P13.2).

FIG. P13.2

Les donnes du problme sont :

- les dbits thermiques unitaires (avec la conditiontftc

q2

1q < )

- les tempratures dentre ceT et feT

- les diamtres d, D, et la longueur totale L de chaque tube ( 2/LLL 21 == ). On admettraque les tubes sont tous identiques, et on ngligera les problmes lis aux coudes qui assurentle demi-tour. La calandre est isole sa surface externe.

1. Justifier la relation suivante : 2/)TT(T 2fs1fsfs += . Exprimer 1R et 2R en

fonction de R , ainsi que 1NUT et 2NUT en fonction de NUT.

2. Calculer 1E et 2E en fonction de R et de NUT. Calculer ensuite 2cT (temprature

de sortie chaude du demi-changeur N1) et csT , puis lefficacit E de lchangeur complet


55/73

en fonction de 1E , 2E et R (comparer avec le rsultat de la thorie gnrale des rseaux,

ch.7) . En dduire fsT .

3. Lappareil est un changeur eau-eau. On donne :

h/m80,19q;h/m82q;C20T;C90T 3vc3

vffece ====

faisceau de 60 tubes en parallle ; m5L = ; d = 15 mm ; mm18D = pas carr mm28SS LT == ; diamtre de la calandre m40,0Dc =

Effectuer sans calculs une premire valuation des tempratures moyennes demlange mcT et mfT .

Calculer le diamtre hydraulique hD et le nombre de Reynolds fRe de

lcoulement en calandre. Dterminer le coefficient dchange fh autour des tubes.

4. Calculer le coefficient dchange ch lintrieur des tubes. Dterminer le

coefficient global dchange k (on raisonnera comme si la paroi tait plane, et on ngligerasa rsistance thermique).

5. Calculer le NUT et lefficacit E, puis les tempratures de sortie fsT et csT .

Solution

1.1a). Le dbit froid dans chaque demi-changeur est la moiti du dbit total :

mf2mf1mf q2

1qq ==

Donc la temprature de sortie fsT est la moyenne des deux tempratures de sortie 1fsT

et 2fsT .

1b). Dans le demi-changeur N1, on a : tf1tf q2

1q = et tc1tc qq = .

Mais on sait aussi que tftc q2

1q < . Donc 1tf1tc qq < . En consquence :

tc1tcmin1t qqq ==

1tf

1tc

max1t

min1t1

q

q

q

qR ==

tf

tc1 q

q2R =

Pour lchangeur complet : tcmint qq = ettf

tc

q

qR = .

R2R1 =

LeNUT du demi-changeur N1 est :

min1t

11

1 q

kNUT

=


56/73

Le coefficient dchange est indpendant du sens de circulation des fluides, donckkk 21 == coefficient dchange global de lchangeur complet.

La surface dchange 1 est la moiti de la surface totale .

tc

1

q2

kNUT

=

LeNUTde lchangeur complet vaut :tcmint q

k

q

kNUT

== .

Do :

NUT2

1NUT1 =

Le raisonnement est identique pour le demi-changeur N2 : tcmin2t qq = , et :

R2R2 = ; NUT

2

1NUT2 =

2.2a). Efficacits

Le demi-changeur N1 fonctionne en co-courant. Daprs le tableau 3.1 :

[ ]{ }111

1 NUT)R1(exp1R1

1E +

+=

+

+= NUT

2

R21exp1

R21

1E1

Le demi-changeur N2 est contre-courant. Toujours daprs le tableau 3.1, sonefficacit est :

[ ][ ]222

222 NUT)R1(expR1

NUT)R1(exp1E

=

=

NUT2

R21expR21

NUT2

R21exp1

E2

2b). Tempratures de sorties chaudesDans le demi-changeur N1, tcmin1t qq = . Alors, daprs (3.10) :

fece

2cce1 TT

TTE

=

)TT(ETT fece1ce2c =

Dans le numro 2, cest pareil : tcmin2t qq = . Mais ici, la temprature dentre chaude

est 2cT . De ce fait :


57/73

fe2c

cs2c2 TT

TTE

=

)TT(ETT fe2c22ccs =

[ ] fefece1ce2fece1ce T)TT(ETE)TT(ET =

)EEEE()TT(TT 2211fecececs +=

Dans lchangeur complet, tcmint qq = et lefficacit scrit :

fece

cscec

TT

TTEE

==

2211 EEEEE +=

Les deux demi-changeurs sont assembls en srie-parallle, le circuit srie tant celuidu fluide chaud. Le rsultat est conforme aux expressions (7.29) 7.3.1, ou (7.32a) 7.3.3.

On a galement, toujours daprs (3.10) :

fece

fefsf TT

TT

R

1E

R

1E

==

do lon tire :

)fecefefs TT(ERTT +=

3.3a). Tempratures moyennes

Vu le rapport des dbits, qui est voisin de 4, le fT de leau froide ( maxq ) vaudra

environ du cT de leau chaude. On peut admettre, pour commencer le calcul C10Tf

et C40Tc , ce qui donnerait pour les moyennes :

C70T;C25T mcmf

3b). Diamtre hydraulique de lcoulement en calandreLe faisceau est longitudinal ( 4.3.2) ; hD est donn par (4.31c) :

DDSS

4D LTh =

( )018,00554,010.18

10.18

10.284D 3

3

23

h =

=

m0374,0Dh =

3c). Nombre de Reynolds

f

hff DVRe

= avec =fV vitesse dbitante du fluide froid, quil faut calculer.


58/73

La section de passage du fluide froid est :tubestionseccalandretionsecSf =

Le faisceau comporte 60 tubes, mais comme ils sont en U il y a 120 tubes dans unesection droite de la calandre :

)018,012040,0(44D1204DS22

22

cf == 2

f m095,0S =

La vitesse dbitante est dfinie par :

095,0

1

3600

82

S

qV

f

vff ==

s/m24,0Vf =

La viscosit de leau C25Tmf = est s/m10.92,026

f

= .

6f 10.92,00374,024,0Re

=

9760Ref =

3d). Coefficient dchange ct froidPour le nombre de Stanton externe des changeurs tubulaires courants parallles, on

dispose de la formule (4.32), valable si 53 10Re10.5


59/73

( )23

3

20v

c10.15

10.0917,04

4/d

qV

==

s/m52,0Vc =

Le nombre de Reynolds vaut :

c

cc

dVRe

=

On a admis sur le circuit deau chaude une temprature moyenne C70Tmc = , do la

viscosit s/m10.42,0 26c

= .

6

3

c10.42,0

10.1552,0Re

=

18600Rec =

La formule de Dittus-Boelter (4.21) pour le fluide chaud sapplique si 60d/L > , cequi est largement vrifi (5000/15) :

7,0c

2,0cc PrRe023,0St

=

A C70Tmc = , 62,2Prc = 7,02,0

c 62,218600023,0St

= 3

c 10.64,1St

=

Le coefficient dchange est :cpcccc VCSth =

La chaleur massique varie peu avec T. On gardera celle du circuit froid.

52,041801010.64,1h 33c =

Km/W3565h 2c =

4b). Coefficient dchange globalLa formule 6.2a (paroi plane) scrit en labsence de rsistance :

3

fc

10)612,028,0(

1635

1

3565

1

h

1

h

1

k

1 +=+=+=

Km/W1120k 2=

5.5a). NUT

Pour lchangeur complet, puisquon raisonne comme avec une paroi plane, on adaprs (6.10 a et b) une conductance globale :

mkK =

avec

totalem L2dD +=


60/73

Alors :

tc

m

mint q

k

q

KNUT

==

Pour les 60 tubes :

23m m56,15605102

1518=

+=

Il faut encore le dbit thermique unitaire de leau chaude :

41803600

8,1910Cqq 3pcvcctc ==

K/W10.23q 3tc =

do :

310.23

56,151120

NUT

=

76,0NUT =

5b). EfficacitPour calculer E, il nous faut aussi le facteur de dsquilibre :

tf

tc

maxt

mint

q

q

q

qR ==

Les deux fluides ont la mme masse volumique et la mme chaleur massique, donc :

82

8,19

q

qR

vf

vc==

24,0R =

Les efficacits partielles 1E et 2E ont t dtermines dans la question 1 :

+

+= 76,0

2

24,021exp1

24,021

1E1

29,0E1 =

=

76,02

24,021exp48,01

76,02

24,021

exp1E2

297,0E2 =

On a montr que :

2211 EEEEE +=

297,0297,029,029,0E +=

50,0E=


61/73

5c). Tempratures de sortieToujours daprs la premire question :

7050,024,020)TT(ERTT fecefefs +=+=

C4,28Tfs =

)TT(ET)EEEE()TT(TT fecece2211fecececs =+=

7050,090Tcs =

C55Tcs =

On doit enfin revenir sur lvaluation pralable des tempratures moyennes. Avec lesrsultats obtenus, on a :

C2,242

4,2820Tmf =

+= pour une estimation de 25 C: cest trs correct.

C5,722

5590

Tmc =+

= pour une estimation de 70 C: cest assez prs.Une itration nest donc pas indispensable.

Commentaires

Le problme combine un coulement longitudinal dans un faisceau de tubes et unmontage en rseau.

Les deux demi-changeurs ont des efficacits trs voisines, malgr leur diffrence decatgorie (co-courant et contre-courant). Ceci est du au fait que le NUT est petit, ainsi queR

(voir linfluence de ces deux paramtres dans les exemples des figures 3.1 et 3.2). On observeaussi que lefficacit totale est nettement suprieure chacune dentre elles.


62/73

PROBLME N 14 : Rseau 3 fluides

nonc

On considre un rseau ouvert mettant en uvre deux changeurs (fonctionnant contre-courant) et trois fluides, avec un montage en srie sur le fluide froid (fig. P14.1).Les tempratures dentre 2ce1cefe T,T,T et les dbits thermiques unitaires des trois

fluides ( 2tc1tctf q,q,q ) sont donns, ainsi que les efficacits 1E et 2E des changeurs. On

impose galement 1tctf qq < et 2tctf qq < .

1. Calculer les tempratures 1fT , 2cs1csfs T,T,T en fonction des donnes, puis le flux

total chang . A partir de lexpression de , prciser quelles conditions doivent satisfaireles tempratures dentre pour que lensemble fonctionne de faon correcte.

FIG. P13.1

2. On se place dans le cas o 2tc1tc qq = . Les efficacits des deux changeurs sont

notes AE et BE .

Comparer les puissances globales changes AB et BA selon que lchangeur Aest plac en position 1 et lchangeur B en position 2, ou vice-versa (on tudiera le signe dela diffrence BAAB ). En dduire les rgles dune disposition optimale pour le rseaulorsque les tempratures dentre sont imposes.

3. Application pratique :

Le fluide froid est de lair, avec un dbit h/m800q3

vf = . Les deux dbits chaudssont gaux (cas d

et - problemes.pdf

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