estimation du best estimate sur le risque dépendance...4 résumé depuis quelques décennies, nous...

Année Universitaire 2009/2010

Mémoire présenté pour l’obtention

du Diplôme Universitaire d’Actuaire de Strasbourg « DUAS »

et du Diplôme du Master mention Finance spécialité «Actuariat et Gestion du Risque»

le 04/10/2010 par : Alexandre ARMBRUSTER

Titre : Estimation du Best Estimate sur le risque dépendance

Confidentialité : □ NON □ OUI (Durée : □ 1 an □ 2 ans)

Membres du jury de l’institut des Actuaires : Entreprise : CNP Assurances

_____________________________ Directeur de mémoire en entreprise :

Sophie WITTMER Membres du jury de l’université de Strasbourg : Invité : Mme Armelle GUILLOU ____________________________ M. Jean-Luc NETZER M. Hansjoerg ALBRECHER M. Philippe ARTZNER M. Frédéric BERTRAND Autorisation de mise en ligne sur un site Mme Marie-Hélène BROIHANNE de diffusion de documents actuariels M. Karl-Théodor EISELE (après expiration de l’éventuel délai de M. Jacques FRANCHI confidentialité)

M. Christophe GODLEWSKI Signature du responsable entreprise : M. Bernard HEINKEL M. Nicolas KLUTCHNIKOFF M. Bertrand KOEBEL M. Maxime MERLI M. Patrick ROGER Signature du candidat : Secrétariat : Mme Pierrette XIMENEZ 61 avenue de la Forêt Noire 67085 STRASBOURG Tél : 03 68 85 20 54 Bibliothèque du PEGE : Tél : 03 68 85 22 23

3

Remerciements

Je souhaite tout d’abord remercier CNP Assurances pour m’avoir permis d’accomplir mon

mémoire, et plus particulièrement tout le service Prévoyance Collective et Emprunteur (PCE)

de l’Actuariat Central qui a su m’accueillir dans une ambiance conviviale et sympathique.

Cette expérience n’aurait pas vu le jour sans mon maître de stage Sophie WITTMER, que je

tiens tout particulièrement à remercier, pour sa disponibilité, son aide, ses conseils, et son

expérience du métier.

Je tiens également à remercier Makram BEN DBABIS, qui a su me transmettre son savoir

faire en matière de modélisation actuarielle. Son expertise dans le domaine m’a permis

d’aller encore plus loin dans le développement de mon sujet.

En dernier lieu, je souhaite remercier Cédric ATCHAMA, qui m’a fait bénéficier de ses

connaissances en ce qui concerne la dépendance, et de la façon dont elle est appréhendée

au niveau de la CNP.

4

Résumé

Depuis quelques décennies, nous observons que les progrès de la médecine, l’amélioration

du niveau de vie et des conditions sanitaires impactent fortement l’espérance de vie. Ainsi le

vieillissement de la population française conduira inévitablement à un accroissement du

nombre de personnes dépendantes dans le futur.

L’Allocation Personnalisée d’Autonomie (APA), créée en 2002 et financée par les conseils

généraux, a pour objectif de prendre en charge une partie des besoins liés à la survenance

de la dépendance. Cependant, les bénéficiaires de l’APA estiment déjà à l’heure actuelle que

les ressources sont insuffisantes pour couvrir le coût des services liés à la dépendance.

Une solution serait de souscrire une assurance dépendance permettant d’assurer les coûts

liés à l’apparition d’une perte d’autonomie. Les assureurs français proposent depuis une

vingtaine d’années des produits dépendance mais ce risque demeure complexe à

modéliser. En effet, il s’agit d’un risque de long terme et le peu de statistiques disponibles

engendre de nombreuses difficultés dans les estimations.

La détermination des probabilités de survenance du risque, les coûts engendrés et la

manière dont le risque peut évoluer, semblent en effet les enjeux essentiels dans le cadrage

de ce risque. La manière d’évaluer la sinistralité des assurés impactera directement

l’estimation des résultats futurs.

De manière générale, ce mémoire a pour objet d’évaluer le risque de dépendance tel qu’il

existe chez les assurés ayant souscrit cette garantie sur un portefeuille de la CNP.

Après une analyse descriptive des 5 produits de prévoyance collective observés, nous avons

appliqué divers modèles de durée dans le but de construire une loi d’entrée et une loi de

maintien en dépendance.

Dans un premier temps, la loi d’entrée en dépendance est modélisée de manière non-

paramétrique par le biais de deux types de lissage : les moyennes mobiles, et le lissage de

Whittaker-Henderson. Ces méthodes de lissages sont assez restrictives car elles ne donnent

pas lieu à la définition d’une loi paramétrée à nos taux empiriques d’entrée en dépendance.

Dans un second temps, nous avons ajusté selon un modèle paramétrique de type Makeham,

qui permet d’obtenir une loi avec des paramètres estimés par maximum de vraisemblance.

5

La loi de maintien en dépendance a été construite grâce à l’estimateur de Kaplan-Meier.

Les résultats suggèrent une segmentation par sexe de la loi de maintien qui est confirmée

par le test de rang de type Log-Rank. Afin d’obtenir une loi de maintien en dépendance tous

âges confondus, les courbes ont été lissées par la méthode de « splines cubiques » puis par

celle de Whittaker-Henderson.

Nous réalisons des calculs classiques de tarification et de provisionnement applicables aux

tables d’expérience construites. Cette étape permet d’estimer de manière déterministe les

engagements de l’assureur et de visualiser leur croissance forte en fonction de l’âge.

L’introduction d’un modèle stochastique pour l’évaluation du risque dépendance est alors

proposée. Ce type d’estimation est préalablement initié par un modèle d’état de type chaîne

de Markov. Celui-ci émet l’hypothèse que l’état d’un individu au cours d’un intervalle de

temps considéré dépend uniquement de l’état dans lequel il se trouvait au début de ce

même pas de temps.

Dans notre cas, trois états sont définis : valide, dépendant ou décédé. Nous simulons ainsi la

vie d’un assuré un grand nombre de fois, et nous créons un échantillon par âge,

permettant d’obtenir les estimateurs de la probabilité d’entrée et de maintien en

dépendance. Nous réitérons ce processus pour entrer dans le cadre de la méthode de

Monte-Carlo, et ainsi extraire les distributions des lois d’entrée, de maintien et les

espérances de survie en dépendance stochastiques.

En l’espèce, cette méthode permet de décrire une loi de maintien stochastique par âge. Le

calcul des engagements stochastiques de l’assureur pour le risque dépendance conclut à un

sous-provisionnement et à une sous-tarification pour les âges élevés dans le cas d’une

évaluation déterministe.

L’utilisation de tables d’expérience, couplée à des simulations stochastiques, permet de

mieux appréhender le risque et entre dans les directives de Solvabilité 2.

En complément de la présente étude, il serait intéressant de se pencher sur la modélisation

stochastique de l’actif mis en représentation du passif.

Mots-clefs : dépendance, tables d’expérience, Makeham, Whittaker-Henderson, splines

cubiques, Kaplan-Meier, Monte-Carlo, engagements stochastiques…

6

Abstract

In recent decades, we find that medical advances improved living standards and health

conditions strongly impact the life expectancy. Thus the aging of the French population will

inevitably lead to an increase in the number of dependent persons in the future.

Custom Autonomy Allowance (APA), founded in 2002 and financed by county councils, aims

to take over part of the requirements related to the occurrence of Long Term Care (LTC).

However, recipients of the APA already feel that resources are insufficient to cover the cost

of services related to LTC.

One solution is to suscribe a LTC insurance to ensure the costs associated with the onset of a

loss of autonomy. French insurers have been offering twenty years of LTC insurances, but

that risk is complex to modelize. Indeed, it is a long-term risk and the few statistics available

generates many difficulties in the estimates.

The determination of occurrence’s probabilities of risk, costs and how risk may change, seem

to be the critical challenges in the framing risk. The way to evaluate the policyholders’ claims

will impact directly the estimate of future results.

Overall, this thesis aims to assess the risk of LTC that exists among policyholders who

subscribed this guarantee on a CNP’s portfolio.

After a descriptive analysis of 5 products, we applied various duration models in order to

construct a law of entries in LTC and a disablement table.

Initially, the law of entries in LTC is modellized with a non-parametric method by means of

two types of smoothing: moving averages, and the Whittaker-Henderson’s smoothing. These

methods of smoothing are quite restrictive because they do not give a parameterized law to

our empirical rates of LTC. In a second step, we adjusted according to Makeham’s parametric

model, which gives a law with parameters estimated by maximum likelihood.

The disablement table has been built with Kaplan-Meier’s estimator.

The results suggest a gender segmentation of the disablement table which is confirmed by

the log-rank test. In order to obtain a disablement table for all ages, the curves have been

smoothed by the method of "splines" then by the Whittaker-Henderson’s.

7

We perform classical computations pricing and reserving applicable to tables of experience

built. This part estimates deterministic liabilities of the insurer and shows that strong growth

is a function of age.

The introduction of a stochastic model for LTC risk assessment is then proposed. This

estimate is first initiated by a state model of Markov chain. It speculates that the status of a

person during a time interval depends only on the state it was in the beginning of that time

step.

In our case, three states are defined: valid, dependent or dead. We simulate many times the

lives of an insured person, and we create a sample by age, to obtain estimators of the

probability of entry and retention in dependency. We repeat this process which belongs to

the Monte Carlo method. Thus, we extract the distributions of stochastic law of entries in

LTC, stochastic disablement table and stochastic hopes of survival in dependency.

In this case, this method provides a description of a disablement table age per age. The

calculation of stochastic insurer’s liabilities for LTC shows an under-reserving and under-

pricing for the older ages in the case of a deterministic assessment.

The use of experience tables, associated with stochastic simulations, provides a better

estimate of risk, as recommended by Solvency 2’s guidelines.

In addition to this study, it would be interesting to consider the stochastic modeling of the

net asset set.

Tags: Long Term Care, experience tables, Makeham, Whittaker-Henderson, cubic splines,

Kaplan-Meier, Monte Carlo, stochastic liabilities...

8

Table des matières

Remerciements .............................................................................................. 3

Résumé .......................................................................................................... 4

Abstract ......................................................................................................... 4

Introduction .................................................................................................. 11

I] Le marché de l’assurance dépendance ....................................................... 13

I]1) La dépendance, un risque capital pour la société .......................................................... 13

I]2) Un besoin de définir la dépendance .............................................................................. 15

I+3) Les produits d’assurance dépendance ........................................................................... 18

I+4) Les contrats d’assurance dépendance ........................................................................... 19

I]5) Les données utilisées ...................................................................................................... 20

I+5)1) Les produits CNP d’assurance dépendance ............................................................ 20

I]5)2) Analyse descriptive des données ............................................................................ 22

I]6) Les indicateurs ................................................................................................................ 28

II] Elaboration de tables d’expérience en dépendance .................................. 30

II+1) La loi d’entrée en dépendance ...................................................................................... 30

II]1)1) Les données utilisées .............................................................................................. 30

II+1)2) Estimation des taux empiriques d’entrée en dépendance .................................... 31

II]1)3) Segmentation par niveau de dépendance ............................................................. 33

II]1)4) Segmentation par sexe ........................................................................................... 34

II]1)5) Intervalles de confiance pour les taux bruts .......................................................... 35

II]1)6) Ajustement et lissage ............................................................................................. 37

II]1)6)1) Lissage non-paramétrique par moyennes mobiles ......................................... 38

II]1)6)2) Lissage par Whittaker-Henderson (cas de la dimension un) ........................... 39

II+1)6)3) Ajustement paramétrique des taux empiriques d’entrée en dépendance .... 42

II]1)6)3)a) Les données de survie .............................................................................. 42

II]1)6)3)b) La loi paramétrique du modèle de Makeham .......................................... 44

II]1)6)3)c) Test du Khi-Deux ....................................................................................... 55

9

II]1)7) Segmentation Homme-Femme : le test de Kolmogorov-Smirnov ......................... 56

II]1)8) Comparaison des résultats obtenus avec une courbe de référence ..................... 59

II+1)9) Conclusion sur la table d’entrée en dépendance ................................................... 59

II+2) Construction d’une loi de maintien en dépendance..................................................... 60

II]2)1) Les données utilisées .............................................................................................. 60

II]2)2) Modélisation non paramétrique ............................................................................ 61

II]2)2)1) Présentation générale des modèles de durée ................................................ 61

II)2)2)2) Rappel sur les outils mathématiques .............................................................. 62

II]2)2)3) Censures et troncatures .................................................................................. 63

II]2)2)4) Estimateurs de la fonction de survie ............................................................... 65

II+2)2)4)a) L’estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé ........................................ 65

II+2)2)4)b) L’estimateur de Harrington-Fleming ........................................................ 67

II+2)2)4)c) L’estimateur de Kaplan-Meier .................................................................. 67

II+2)2)5) Application de l’estimateur de Kaplan-Meier ................................................. 71

II]2)2)5)a) Loi de maintien tous âges confondus ....................................................... 71

II]2)2)5)b) Segmentation hommes/femmes de la loi de maintien ............................ 73

II]2)2)6) Interpolation par splines cubiques .................................................................. 77

II]2)2)7) Lissage des lois de maintiens ........................................................................... 80

II]2)2)9) Comparaison des résultats obtenus avec des courbes de référence ............. 82

II]2)2)10) Conclusion sur la loi de maintien en dépendance ........................................ 82

III] Tarification et provisionnement du risque dépendance ........................... 83

III]1) La tarification ................................................................................................................ 83

III]2) Le provisionnement...................................................................................................... 86

III]2)1) Les provisions mathématiques .............................................................................. 86

III]2)2) Les provisions pour risques croissants .................................................................. 87

III]3) Application ................................................................................................................... 88

IV] Simulation stochastique sur le risque dépendance ................................... 93

IV]1) Description ................................................................................................................... 93

IV+2) L’algorithme ................................................................................................................. 96

10

IV]3) Application numérique .............................................................................................. 100

IV+3)1) La loi d’entrée en dépendance stochastique ...................................................... 100

IV]3)2) Espérances de survie en état dépendance stochastiques .................................. 103

IV]3)3) La loi de maintien en dépendance stochastique ................................................ 106

IV]3)4) Les rentes stochastiques servies en dépendance ............................................... 108

IV]3)5) Evaluation stochastique des engagements à la souscription ............................. 109

IV]3)6) Evaluation des primes pures annuelles stochastiques en dépendance ............. 113

IV]3)7) Etudes des portefeuilles d’expérience ................................................................ 114

IV+3)8) Des pistes d’amélioration ................................................................................... 118

Conclusion .................................................................................................. 119

Bibliographie ............................................................................................... 120

Annexes ...................................................................................................... 122

11

Introduction

Les dernières décennies ont été fortement marquées par l’allongement de l’espérance de

vie. Ce constat est principalement le résultat d’énormes progrès en matière médicale et

sanitaire. Le vieillissement de la population française conduira inéluctablement dans les

années à venir à une augmentation du nombre de personnes dépendantes.

Pour pallier ce futur accroissement, le gouvernement a mis en place une série de dispositifs

d’aides aux personnes atteintes, et montre une certaine volonté de couvrir la dépendance

par la création du « cinquième risque » de la Sécurité Sociale. Cependant, les bénéficiaires

de l’APA estiment déjà à l’heure actuelle que les ressources sont insuffisantes pour couvrir le

coût des services liés à la dépendance.

Une solution serait de souscrire une assurance dépendance permettant d’assurer les coûts

liés à l’apparition d’une perte d’autonomie. Les assureurs français proposent depuis une

vingtaine d’années des produits dépendance mais ce risque demeure pourtant complexe à

modéliser. En effet, il s’agit d’un risque de long terme et le peu de statistiques disponibles

engendre de nombreuses difficultés dans les estimations.

De manière générale, ce mémoire a pour but de traduire le risque de dépendance tel qu’il

existe chez les assurés ayant souscrit cette garantie sur un portefeuille de la CNP. Ces

estimations impacteront plusieurs éléments dont la méthode de calcul des engagements pris

par l’assureur.

Dans un premier temps, nous présenterons le contexte actuel de la dépendance, en

décrivant les moyens d’aides mis en place par les pouvoirs publics ainsi que les solutions

proposées par les assureurs.

Dans un second temps, l’étude de 5 produits dépendance de la CNP, présentant les mêmes

caractéristiques, permettra de modéliser la loi d’entrée et la loi de maintien en dépendance

d’expérience du portefeuille considéré. Les formules actuarielles de provisionnement et de

tarification seront appliquées à ces tables, ce qui permettra de présenter les engagements

déterministes de l’assureur pour ce type de contrat.

12

En dernier lieu, nous présenterons une application de la méthode de calcul de Monte-Carlo,

utilisée ici pour simuler la vie des contrats d’assurance dépendance. La construction d’une

table d’entrée et de maintien en dépendance stochastiques est proposée, ainsi que

l’évaluation des engagements stochastiques de l’assureur. Cette dernière étape permettra

d’entrer dans le cadre des nouveaux référentiels comptables et prudentiels Solvabilité 2 qui

obligent les acteurs du secteur de l’assurance à repenser l’évaluation de leurs engagements

d’une manière économique en mettant en place un contrôle prudentiel tant au niveau des

provisions techniques qu’au niveau des fonds propres, afin de limiter la probabilité de ruine

de l’assureur et de garantir sa solvabilité à l’égard de ses assurés.

13

I] Le marché de l’assurance dépendance

I]1) La dépendance, un risque capital pour la société

A partir des années 80, le risque de dépendance chez les personnes âgées a commencé à

être pris en considération par les organismes assureurs. Parallèlement, nous observons que

les progrès de la médecine impactent fortement l’espérance de vie. Au total sur les dix

dernières années, les gains d’espérance de vie sont estimés à trois ans pour les hommes et à

deux ans pour les femmes1. L’allongement de la durée de vie et le vieillissement de la

population française conduiront inévitablement dans les années à venir à une augmentation

du nombre de personnes âgées dépendantes. La proportion de personnes âgées de plus de

60 ans est de 20% aujourd’hui. Des estimations prévoient que cette proportion atteindrait

30% en 2050. Selon une étude de l’INSEE2, le nombre de personnes dépendantes

augmenterait de 50% entre 2000 et 2040 pour atteindre

1 230 000 (contre un peu plus de 800 000 en 2000).

En 2009, selon la FFSA, le coût moyen de la dépendance pour une personne est estimé entre

1 500 € à 2 000€ par mois, variant selon le type d’assistance choisie (aide à domicile ou en

établissement spécialisé) et la localisation géographique. Le coût des services liés à la prise

en charge de la dépendance, pourrait très fortement augmenter dans les années à venir sans

tenir compte de l’effet de l’inflation. A titre de comparaison, les retraites brutes en 2009

s’élèvent en moyenne à 1 200€ par mois.

En termes de solidarité nationale, les dépenses publiques liées à la dépendance sont

évaluées à 19 milliards d’euros, soit 1% du PIB, avec 11,4 milliards d’euros financés par

l’assurance maladie, 4,2 milliards d’euros via l’APA (Allocation Personnalisée d’Autonomie),

3 milliards par la Caisse nationale pour la solidarité (CNSA) dont 1,5 milliard via l’APA, et 400

millions par l’Etat.

1 Espérance de vie à la naissance et taux de mortalité infantile, Institut National de la Statistique et des Etudes

Economiques (INSEE), 2009 2 La dépendance des personnes âgées : projection en 2040, Michel Duée, Cyril Rebillard, INSEE, Edition 2006

14

L’Etat et l’assurance maladie s’occupe de la prise en charge des prestations de soins

proprement dites, tandis que les départements jouent un rôle pivot au titre de l’APA et de

l’organisation des structures médico-sociales.

En tenant compte de l’évolution de la pyramide des âges, de l’augmentation de la

population totale, et de l’augmentation du coût des services, la prise en charge de la

dépendance devrait passer à 1,6% du PIB en 2025 selon le Centre d’Analyse Stratégique.

Ce risque devient ainsi un sujet d’actualité et impliquera dans les prochaines années un réel

problème de santé publique.

Depuis peu, il existe une réelle volonté d’appréhender le risque par le gouvernement,

notamment à travers des dispositifs administratifs et financiers pour aider les personnes en

état de dépendance. Le 29 novembre 2007, le Sénat a autorisé la création d’une mission

commune d’information sur la prise en charge de la dépendance et la création du cinquième

risque de la Sécurité Sociale. « Le Monde » daté du mardi 20 juillet 2010 mentionne le

lancement d’une étude proposant l’établissement d’un dispositif d’assurance obligatoire

pour les plus de 50 ans. D’autres pistes ont été évoquées dans le rapport de la commission

des affaires sociales de l’Assemblée nationale. Ce système d’assurance obligatoire se

substituerait à l’APA, et selon « Le Monde », il s’agirait alors d’ « opposer au principe de

solidarité générale, reposant sur un financement public, un dispositif s’appuyant sur un

système d’assurance ». Le rapport fait cependant mention qu’ « il s’agit d’un système mixte

d’assurance garanti par la puissance publique et qui serait mutualisé ». De réels débats ont

été enclenchés concernant la prise en charge de la dépendance, et surtout dans quelle

mesure interviendraient les pouvoirs publics et les assurances privées.

Une évaluation précise de la dépendance devient nécessaire, or les compagnies d’assurances

et les instituts de prévoyance se retrouvent face à un risque en perpétuelle évolution, à des

statistiques peu étoffées, ce qui a pour conséquence une approche assez difficile du point de

vue technique et actuariel. Une définition uniforme de la dépendance semble également

indispensable dans le but d’homogénéiser les contrats proposés par les organismes, or de

nombreuses interprétations de cette notion existent aujourd’hui.

15

I]2) Un besoin de définir la dépendance

Nous pouvons retenir cette définition de la dépendance évoquée dans une étude de la

FFSA3 :

« La dépendance est une notion relativement difficile à définir, elle fait à la fois référence à

une dimension physiologique (ne pas réussir physiquement à réaliser certaines tâches de la

vie quotidienne) et sociale (dépendre d’un tiers pour réaliser ces tâches). Elle se définit

généralement par la nécessité de recourir à une aide extérieure pour accomplir les actes

essentiels de la vie. La dépendance peut être partielle ou totale. »

Le problème est de définir le niveau de dépendance d’une personne lors de la survenance du

risque.

A cet effet, on prend en compte les dimensions physiologiques et psychiques de la

dépendance en observant si la personne est capable ou non de réaliser les actes de la vie

quotidienne.

Des classes peuvent être alors définies et mettent en avant le degré de dépendance de la

personne concernée : totale pour les personnes les plus touchées et partielle pour une

dépendance moins importante.

Un système d’évaluation paraît nécessaire pour mesurer l’état de dépendance du sujet

atteint. De nombreuses grilles d’évaluation sont utilisées pour mesurer la dépendance :

- La grille COLVEZ : établie par le docteur COLVEZ, elle mesure la perte de mobilité. Elle

définit 4 niveaux, grâce auxquels on pourra juger si la personne est dépendante

partielle ou totale.

- La grille EHPA4 : cette grille croise les niveaux de la grille COLVEZ avec deux groupes

définis selon l’existence ou non de troubles du comportement ou de désorientation

dans l’espace et dans le temps. Elle regroupe ainsi les notions de dépendance

physique et psychique, ce qui a pour but une détermination plus fine du niveau de

dépendance de la personne atteinte.

3 : « Modélisation du Risque Dépendance à Partir des Données HID », Cahiers Techniques N°02, Mars 2005,

Fédération Française des Sociétés d’Assurances (FFSA) 4 : Etablissements d’Hébergement pour Personnes Agées

16

- La grille AVQ5 : cette grille proposée par KATZ décrit 6 actes de la vie quotidienne.

Pour chaque acte, on affecte un niveau de dépendance de 1 à 8. Ce dernier définit la

dépendance résiduelle du patient.

- La grille AGGIR6 : elle a pour but d’évaluer les besoins financiers liés à la survenance

de la dépendance chez un individu. Elle comporte 10 variables discriminantes

relatives à la perte d’autonomie physique et psychique, et sept variables illustratives

indiquant le degré d’autonomie domestique et sociale. Chacune des variables est

affectée d’une modalité visant à mesurer le degré de dépendance du patient. Après

analyse statistique, six groupes dits « ISO-Ressources » ou GIR sont créés, noté de 1 à

6, allant de l’état le plus grave au plus modéré.

La grille AGGIR est utilisée dans le cadre de l’attribution de l’Aide Personnalisée d’Autonomie

(APA).

Cette aide est une ressource importante pour le dépendant comme on a pu le voir

précédemment.

Les informations suivantes concernant l’APA sont issues d’une étude de la DREES7. Elle

remplace, depuis le 1er janvier 2002, la Prestation Spécifique Dépendance (PSD). En effet, ce

système s’est rapidement révélé insuffisant tant au niveau du nombre de personnes

bénéficiaires qu’au niveau du montant alloué. L’APA instaure un droit pour les personnes

âgées en état de perte d’autonomie, et relève des Conseils Généraux. Les individus pouvant

en bénéficier doivent être âgés de plus de 60 ans8 , et présentent un niveau de dépendance

classé de GIR 1 à 4.

5 : Actes de la Vie Quotidienne

6 : Autonomie Gérontologique Groupe ISO-Ressources

7 : Etudes et Résultats, N°710, Novembre 2009, Direction de la recherche, des études, de l’évaluation et des

statistiques (DREES) 8 : Soit 14.3 millions de personnes potentiellement concernées, dont 5.6 millions âgées de 75 ans ou plus

(estimations INSEE au 1er

janvier 2009)

17

La répartition des bénéficiaires de l’APA selon le degré de dépendance de la personne,

arrêtée au 30 juin 2009, est la suivante :

Domicile Etablissement Total

Nombre En % Nombre En % Nombre En %

GIR 1 18 000 2,6 70 000 16,2 88 000 7,9

GIR 2 125 000 18,2 189 000 43,9 314 000 28,1

GIR 3 149 000 21,7 68 000 15,8 217 000 19,4

GIR 4 394 000 57,4 104 000 24,1 498 000 44,6

Total 686 000 100 431 000 100 1 117 000 100

Tab.1 - Enquête trimestrielle auprès des Conseils Généraux (DREES)

Les plans d’aide par GIR ont été ainsi plafonnés :

Montant mensuel maximum du plan d’aide APA Au 1er avril 2009

GIR 1 1224,63€

GIR 2 1049,68€

GIR 3 787,26€

GIR 4 524,84€

Tab.2 – Montant mensuel de l’APA par GIR

Les définitions présentées ici montrent l’hétérogénéité des méthodes d’évaluation du niveau

de dépendance des personnes dépendantes. Certaines grilles prennent en compte

l’autonomie résiduelle de la personne, d’autres évaluent uniquement le degré de

dépendance, tout en mêlant ou non les aspects physiques et psychiques. Pourtant, dans le

cadre de la prise en charge de la personne âgée en perte d’autonomie, l’analyse des besoins

en fonction du degré de dépendance est nécessaire, comme nous le constatons à travers le

mode d’attribution de l’APA. L’introduction du cinquième risque de la Sécurité Sociale

permettra sans doute de converger vers une interprétation unique et donc une évaluation

commune de la dépendance.

18

En dépit des apports incontestables de l’APA pour les personnes âgées dépendantes de

plus de 60 ans et des aides publiques, ces ressources demeurent insuffisantes aux yeux de

ses bénéficiaires. Une solution complémentaire pour assurer les coûts liés à la

dépendance, évoquée notamment par le gouvernement, serait de souscrire une assurance

dépendance. En cotisant en amont lorsque l’individu est valide, il peut ainsi se garantir

contre les besoins financiers inéluctables liés à la survenance du risque.

I]3) Les produits d’assurance dépendance

Les produits dépendance constituent une solution face au vieillissement de la population. Ils

permettent de pallier à la fois une prise en charge tardive et limitée de la dépendance par les

pouvoirs publics (notamment en l’absence d’incitations fiscales) et à une incapacité légitime

des familles à pouvoir supporter le coût total de la prise en charge de leurs aînés.

Dans la quasi-totalité des pays, dont la France, le produit d’assurance préconisé

actuellement consiste en un produit forfaitaire. Il s’agit d’une rente annuelle ou mensuelle

avec un montant prédéfini, pour laquelle le souscripteur choisit de s’assurer.

Il existe également une autre forme d’assurance envisageable : l’assurance indemnitaire. Elle

consiste à couvrir une partie ou l’intégralité des frais liés aux besoins matériels et de services

à la personne (pharmacie, toilette, hôpital, taxi, aménagement du logement de la personne

dépendante etc.). Cette base de remboursement augmente avec l’inflation ou change selon

le niveau de la Sécurité Sociale.

Même si les sociétés d’assurances privilégient aujourd’hui un produit forfaitaire, elles

tentent d’introduire de plus en plus de services en complément des garanties forfaitaires.

Pour autant, force est de constater qu’en France comme aux Etats-Unis, le marché tarde à se

développer9. En France, le marché compte environ 3 millions de personnes assurées, et se

voit attribuer la 2ème place mondiale dans ce domaine.

9 : Voir l’article : Le Marché de l’Assurance Dépendance, Manuel Plisson, IRI – Crea (Université Paris Dauphine)

19

La première place revient aux Etats-Unis avec 6 millions de personnes assurées. C’est ce que

Denis KESSLER10 *2007+ appelle l’ « énigme de l’assurance dépendance ». Ce type de produit

reste relativement difficile à vendre auprès des actifs qui priorisent la couverture de risques

de plus court terme (frais de soins, arrêt de travail etc…), impliquant un développement très

lent de ce type de couverture.

I]4) Les contrats d’assurance dépendance

Deux grandes familles de contrat d’assurance dépendance existent :

- Contrat Prévoyance : ce type de contrat couvre le risque pur, c’est-à-dire uniquement

la dépendance. L’assuré paiera des primes périodiques, et si le risque se réalise, il

touchera des primes sous forme, par exemple, de rente viagère prédéfinie au

moment de la souscription.

- Contrat Epargne : c’est un contrat d’épargne classique avec possibilité de rachat,

incluant des garanties complémentaires, ici la dépendance, où les primes sont payées

librement et sont capitalisée. Si le risque survient, le montant épargné est versé sous

forme de rente viagère ou de capital.

Les contrats prévoient en général le versement d’une rente viagère ou d’un capital lors de la

survenance du sinistre (vu précédemment) et selon le niveau de dépendance atteint.

Puisque le risque dépendance est difficile à apprécier, certains éléments précisés dans le

contrat permettent de mieux cerner le risque, et d’éviter l’anti sélection.

Une limite d’âge à la souscription est imposée pour éviter notamment des primes trop

élevées et des formalités médicales trop conséquentes (les probabilités de survenance du

risque étant importantes aux âges élevés).

Une sélection médicale est réalisée sous forme de déclaration d’état de santé faite par

l’individu appuyé d’un rapport du médecin traitant.

10

: Président du Groupe SCOR

20

Selon le montant de garantie, des questionnaires et des examens médicaux viennent en

supplément dans le but de déterminer les antériorités médicales favorisant un futur état de

dépendance. Cette pratique est très développée, notamment en Angleterre.

Un délai de carence est souvent imposé et permet à l’assureur de verser des prestations

uniquement si l’entrée en dépendance a lieu au-delà de ce même délai.

Lors de la survenance du risque, l’application d’un délai de franchise permet de constater un

éventuel retour « à la normale » de la personne dépendante. Durant cet intervalle de temps,

aucune prestation n’est versée par l’assureur.

Ce type de sélection est assez fine pour les contrats collectifs à adhésion individuelle et ces

derniers proposent généralement des tarifs dépendants de l’âge atteint. S’agissent des

contrats à adhésion obligatoire, ils présentent des formalités d’adhésion simplifiées et des

tarifs plus mutualisé, donc inférieurs pour les assurés âgés. Dans certains cas, les délais de

carence, les franchises ou questionnaires médicaux sont allégés voire supprimés.

I]5) Les données utilisées

Les études réalisées par les assureurs concernant la dépendance sont encore relativement

rares, ceci étant dû au peu de données recueillies jusqu’à présent. Une étude approfondie

d’une partie du portefeuille de la CNP, en ce qui concerne les assurés et les sinistrés en

dépendance, permettra d’estimer au mieux le risque réel engendré par cette garantie pour

la compagnie.

I]5)1) Les produits CNP d’assurance dépendance

La première partie de l’étude a été de recenser les données historiques des produits de la

CNP garantissant la couverture du risque dépendance. A ce titre, nous avons réalisé une

base de données aussi cohérente et exhaustive que possible.

21

L’étude s’appuie sur 5 produits de la CNP couvrant le risque de dépendance, qui regroupent

chacun des contrats prévoyance collectifs combinant des adhésions obligatoires et

facultatives :

- L’adhésion est en général obligatoire pour le membre adhérent du souscripteur ;

- Elle est facultative pour les ayants droit.

La sélection médicale à la souscription est beaucoup plus stricte pour les adhésions

facultatives. La mixtion des deux modes d’adhésion implique que l’étude ne pourra être

utilisable que pour des contrats de même nature.

La définition de la garantie est identique pour tous les contrats considérés :

« Est considéré en état de dépendance, l’assuré qui se trouve dans l’impossibilité

permanente, physique ou psychique, d’effectuer seul les actes de la vie quotidienne : se

déplacer, s’alimenter, s’habiller, et se laver. »

A partir des actes de la vie quotidienne, une grille à points est définie pour déterminer le

degré de dépendance psychique et physique du dépendant. Le nombre de points définis

traduit le niveau de dépendance de la personne: partielle ou totale. Dans la plupart des

contrats, seule la dépendance totale garantit la prise en charge de l’assureur, et une faible

partie assure une indemnisation pour les deux niveaux de la dépendance.

Pour tous les contrats, la garantie principale est le service d’une rente forfaitaire en cas de

dépendance. Le délai de carence est en général d’1 an à compter de l’affiliation, 3 ans en cas

de dépendance due à l’état mental, et nul si la dépendance résulte d’un accident. La

franchise applicable à partir de la reconnaissance de la dépendance est de 180 jours, et

réduite à 90 jours dans le cas d’un accident.

L’agrégation en une seule base d’assurés tous produits confondus semble cohérente. Nous

obtenons ainsi une base conséquente et exhaustive pour mener à bien notre étude sur la

mortalité et l’entrée en dépendance des dépendants.

22

I]5)2) Analyse descriptive des données

Pour analyser le risque associé aux produits observés de la CNP, nous effectuons au

préalable des statistiques descriptives.

Nous avons constaté à partir de la pyramide des âges à la souscription que l’âge à l’adhésion

moyen (pondéré par le nombre d’adhésions) est de 65 ans :

Fig.1 - Pyramides des âges à la souscription

Produits Age Moyen

1 67

2 67

3 65

4 59

5 65

Moyenne pondérée sur les 5 produits 65

Tab.3 - Ages moyens à l’adhésion par produit

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000

20

28

36

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

Pyramides des âges à la souscription

Femmes Hommes

23

Sur la pyramide des âges, nous constatons que les adhésions sont quasiment inexistantes

pour les âges inférieurs à 50 ans et sur le tableau nous observons qu’elles se font en

moyenne à l’âge de 65 ans. Ces âges moyens d’adhésion sont assez élevés et se situent

notamment vers l’âge de la retraite. Nous pouvons émettre l’hypothèse que les individus

d’un âge inférieur à 50 ans ne veulent pas considérer ce risque, et surtout éviter de payer

toute leur vie des primes alors qu’un état de dépendance peut ne jamais survenir.

De plus, avant la retraite, une perte d’autonomie est considérée comme de l’incapacité de

travail/invalidité, et fait intervenir en général un autre type d’indemnisation (Sécurité

Sociale, régime complémentaire de prévoyance etc.). Les prestations au titre d’un contrat

spécifique de dépendance viendraient alors en complément. Les personnes qui adhérent

aujourd’hui à ce type de contrats, sont plus âgées et prennent donc plus en considération le

risque de dépendance.

Nous nous sommes ensuite intéressés à la répartition des sexes sur le portefeuille étudié.

Ceci peut être mis en évidence par le graphe suivant :

Fig.2 - Répartitions Hommes/Femmes tous produits confondus

Un graphe en annexe 2 décrit la répartition hommes/femmes par produit. Sur le graphique,

nous constatons que les adhésions sont majoritairement réalisées par les femmes. Par la

suite, une segmentation de notre étude selon le sexe semble pertinente.

37,71%

62,29%

Répartition Hommes/Femmes tous produits confondus

Hommes

Femmes

24

Au 31/03/2010, le nombre d’assurés dans l’historique des contrats s’élève à 49251. Nous

pouvons constater de la répartition des souscriptions par produit à travers le graphique

suivant :

Fig.2 - Répartition des souscriptions par produit

Nous pouvons également présenter les âges moyens des assurés en portefeuille au

31/03/2010 :

Produits Age Moyen au 31/03/2010

1 78

2 82

3 73

4 69

5 71

Moyenne pondérée sur les 5

produits 73

Tab.4 - Age de la population sous risque au 31/03/2010

Sur les produits étudiés, nous constatons un vieillissement de la population assurée. Cet

élément n’est pas à négliger car il entraînera sans doute à l’avenir de nombreuses entrées en

dépendance.

13,76%

4,46%

44,37%11,58%

25,82%

Répartitions des souscriptions par produit

Produit 1

Produit 2

Produit 3

Produit 4

Produit 5

25

Etant donné que l’âge moyen à l’adhésion est de 65 ans et que celui des assurés actuels est

de 73 ans, la nécessité d’une analyse précise du risque semble justifiée pour estimer au

mieux le nombre de dépendants futurs.

Nous avons défini dans le paragraphe précédent, l’existence de sélection médicale sur les

produits de dépendance. Si nous prenons la population historique des produits, on retrouve

une répartition des contrôles médicaux comme suit :

Fig.3 - Répartition des contrôles médicaux sur l’historique des produits

Au final, sur l’ensemble de la population, nous percevons qu’un approfondissement de la

sélection médicale n’a été nécessaire que pour 30% de la population.

Cette sélection médicale permet de mieux cerner le risque, de proposer des surprimes ou

des restrictions de garantie, de refuser les dossiers trop risqués, et donc de mieux

homogénéiser le risque pris par l’assureur.

70%

30%

Répartition des contrôles médicaux

Déclaration état de santé

Questionnaire de santé

26

Dans la dernière partie de cette description des données, nous allons nous intéresser à

l’historique des dépendants :

Répartition des dépendants Aggravation/Amélioration de la sinistralité

Partielle 292 Totale 62

Totale 2158 Partielle 1

Non dépendants 46801 - -

Total 49251 Produit 2 63

Tab.5 - Historique des assurés et dépendants depuis l’origine

Ce tableau est repris en détail en annexe 2. Sur la partie gauche du tableau, nous

découvrons à partir de l’historique des produits, les entrées en dépendance partielle, les

entrées en dépendance totale et les non dépendants. Sur la partie droite du tableau, nous

décrivons le nombre de passage de l’état de dépendance partielle à l’état de dépendance

totale, mais également l’inverse.

Nous remarquons ici que le nombre d’occurrences de passage d’un état à un autre de la

dépendance est faible. Une modélisation des passages dans les différents états risque d’être

délicate vu le peu de données. Nous considérons l’amélioration ou l’aggravation de la

sinistralité comme étant marginale.

De plus, nous constatons que le nombre de personnes en état de dépendance totale est de

88% de l’ensemble des dépendants.

Nous présentons à présent l’âge moyen de l’entrée en dépendance sur les contrats :

Age moyen d'entrée en

dépendance Age Moyen des valides au 31/03/2010

Produit 1 82 78

Produit 2 82 82

Produit 3 77 73

Produit 4 77 69

Produit 5 80 71

Total général 79 73

Tab. 6 – Comparaison âge dépendants/valides

27

Nous relevons ici que l’âge moyen d’entrée en dépendance se situe autour de 79 ans pour

tout notre historique de sinistralité. Or, si nous mettons en parallèle le vieillissement de

notre population sous risque, nous pouvons supposer que dans le futur le nombre d’entrées

en dépendance devrait devenir de plus en plus important, sachant que le nombre de

nouvelles souscriptions reste relativement peu élevé sur les produits étudiés.

Nous évaluons la proportion historique du nombre de décès chez les dépendants :

Répartition %

Total dépendants non décédés 1261 51%

Total dépendants décédés 1189 49%

Total dépendants 2450

Tab. 7 - Les décès chez les personnes dépendantes

Ce tableau est détaillé par produit en annexe 2. Au 31/03/2010, 51% des dépendants depuis

l’origine sont décédés, et on peut d’ailleurs constater la même tendance tous contrats

confondus.

En dernier lieu, la répartition historique hommes/femmes au sein des dépendants est la

suivante:

Répartition historique Nombre %

Hommes dépendants 802 33%

Femmes dépendantes 1648 67%

Total 2450 100%

Tab. 8 – Répartition Hommes/Femmes chez les dépendants

On trouve comme chez les assurés un pourcentage bien plus important de femmes que

d’hommes.

A présent, nous allons introduire les indicateurs nécessaires à la mesure du risque de

dépendance.

28

I]6) Les indicateurs

De manière générale, l’assuré peut avoir trois statuts : valide, dépendant ou décédé. Pour

quantifier le risque dépendance, il faut donc au minimum considérer les lois suivantes :

- La loi d’incidence ou d’entrée en dépendance : cette loi présente les probabilités à

chaque âge de passer de l’état valide à l’état de dépendance,

- La loi de maintien en dépendance : ce sont les probabilités de rester dépendant en

fonction de l’âge à partir duquel l’assuré est entré dans l’état,

- La loi de mortalité des valides : les diverses probabilités de décès des assurés valides

en fonction de l’âge.

Nous pouvons alors affiner le développement de la modélisation, en intégrant les différents

degrés de dépendance : partielle ou totale. Nous pourrons segmenter le risque, tenir compte

des lois de passage entre les différents états et de la mortalité relative à chacun d’eux. Nous

pourrons également différencier notre étude par sexe et voir si ce critère est pertinent.

Pour expliciter les différentes lois prises en compte pour le risque dépendance, le schéma

suivant illustre les états possibles et les probabilités de passage d’un état à l’autre:

Fig. 4 – Les états en dépendance

Etat Valide

Etat Dépendant

partiel

Etat Dépendant

total

Etat Décédé

29

Sur le schéma, on peut noter que :

- : probabilité de décéder dans l’état entre l’âge et

- probabilité d’entrée en dépendance ou d’aggravation de la sinistralité à l’âge

- : valide

- : dépendance partielle

- : dépendance totale

- : décès

Nous remarquons qu’aucune rémission dans un état antérieur n’a été proposée sur le

schéma : ceci est une hypothèse couramment admise et notamment vérifiée sur notre

portefeuille étudié.

Le Code des Assurances ne propose pas de tables règlementaires en ce qui concerne la

dépendance. Le but sera de modéliser la loi d’entrée et de maintien en dépendance à partir

de nos données. Les tables de mortalité des valides sont définies grâce à des tables de

référence.

Les résultats seront ensuite être comparés à ceux de l’enquête HID11 par l’INSEE effectuée

de 1998 à 2001. Cette enquête HID vise à recenser les personnes touchées par un handicap

ou une déficience, décrire leur situation sociale ainsi que les aides dont elles bénéficient ou

dont elles auraient besoin. Plus de 50 000 entretiens se sont succédés lors de cette enquête.

La première phase, fin 1998, a porté sur les personnes en institution. Le même auto-

questionnaire a été passé fin 1999 auprès de personnes vivant à domicile sur un échantillon

constitué lors du recensement général de la population de mars 1999. En 2000/2001, les

mêmes personnes ont été interrogées, ceci permettant de repérer une trajectoire et ne

figeant pas les résultats sur un instantané.

Les résultats de la FFSA12 issus de cette enquête permettront de réaliser un comparatif par

rapport à nos estimations.

Nous allons à présent introduire les méthodes d’estimation de la loi d’entrée et de maintien

en dépendance.

11

: Handicap Incapacités Dépendance 12

: Fédération Française des Sociétés d’Assurance

30

II] Elaboration de tables d’expérience en dépendance

II]1) La loi d’entrée en dépendance

II]1)1) Les données utilisées

Nous étudierons par la suite le risque de dépendance en utilisant les données arrêtées au

31/12/2009.

Après avoir synthétisé les données, et en avoir fait une analyse statistique, nous avons

modélisé la loi d’entrée en dépendance.

A ce titre, les données suivantes ont été utilisées :

- La date de naissance du souscripteur

- La date de souscription au contrat dépendance

- La date de sortie des comptes de la CNP (si sorties pour clôture de compte,

résiliation, etc.)

- La date d’entrée en dépendance

- La date du 31/12/2009 pour évaluer les âges de nos assurés en portefeuille à cette

date

A partir de ces données, la modélisation des taux empiriques d’entrée en dépendance est

effectuée, et son principe est énoncé dans le paragraphe suivant.

31

II]1)2) Estimation des taux empiriques d’entrée en dépendance

Nous avons utilisé ici l’estimateur binomial pour les taux empiriques d’entrée en

dépendance.

On note pour cet estimateur :

- : le nombre d’individus sous risque (donc non dépendants) de l’âge à l’âge

- : la variable aléatoire représentant le nombre d’entrées en dépendance sur

- : la réalisation de

- : la probabilité d’entrée en dépendance pour un individu d’âge

Les hypothèses suivantes sont retenues:

- Les entrées en dépendance sont indépendantes les unes des autres

- Le nombre d’entrées en dépendance à l’âge suit une loi binomiale

Les taux empiriques d’entrée en dépendance sont déterminés par maximum de

vraisemblance. En effet, on a :

.

Pour chaque observation, la vraisemblance s’écrit

, où est

une constante indépendante de .

Après dérivation de la log-vraisemblance, et égalisation à 0, on trouve :

Cet estimateur empirique est sans biais, convergent et asymptotiquement normal.

32

Nous obtenons après le calcul précité, la courbe des taux empiriques d’entrée en

dépendance :

Fig. 5 - Taux empiriques d’entrée en dépendance

Nous constatons une nette croissance de la probabilité d’entrée en dépendance en

fonction de l’âge. Cette courbe a par ailleurs la forme d’une exponentielle, ce qui peut

laisser présager aussi un ajustement paramétrique de type exponentiel.

Dans le paragraphe suivant, nous allons étudier la nécessité de segmenter la loi d’entrée par

niveau de dépendance, ou par sexe.

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

4

Taux empiriques d'entrée en dépendance

Ages d'entrée en dépendance

îx e

mp

iriq

ue

s

33

II]1)3) Segmentation par niveau de dépendance

Nous avons réalisé les courbes d’entrée en dépendance partielle et totale. Comme nous

avons pu le constater lors de l’analyse du portefeuille visé par l’étude, 88% des entrées en

dépendance se font à un niveau total. Nous présentons les résultats sur le graphique

suivant :

Fig. 6 - Effet d’une segmentation par niveau de dépendance

Compte tenu de la faible proportion d’entrées en dépendance partielle dans l’historique

de nos produits, la modélisation d’une loi d’entrée en dépendance partielle ne semble pas

pertinente.

Dans la partie concernant la loi de maintien en dépendance, nous avons tout de même testé

cette segmentation par niveau de dépendance, mais pour rester cohérents, nous garderons

uniquement celle concernant la dépendance totale.

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

4

Effet d'une segmentation par niveau de dépendance


îx e

mp

iriq

ue

s

Taux empiriques

Taux empiriques dépendance partielle

Taux empiriques dépendance totale

34

II]1)4) Segmentation par sexe

Nous avons estimé les lois d’entrée en dépendance en segmentant selon le sexe des assurés.

Nous obtenons les deux courbes suivantes :

Fig. 7 - Effet d’une segmentation par sexe

Sur le graphique nous percevons que les deux courbes semblent très proches, malgré d’assez

grandes oscillations à partir de l’âge de 82 ans. Ces variations brusques sont dues au fait

qu’on diminue sensiblement le nombre de données observables lorsqu’on segmente par

sexe, ce qui implique un manque de données pour certains âges. La question est alors de

savoir s’il est pertinent de segmenter la loi d’entrée en dépendance selon le sexe sur nos

produits.

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

.01

0.0

20

.03

0.0

4

Effet d'une segmentation par sexe


îx e

mp

iriq

ue

s

Taux empiriques femmes

Taux empiriques hommes

35

Pour cela, le test de Kolmogorov-Smirnov, qui compare une fonction de répartition

théorique à une fonction de répartition observée, nous indiquera si cette segmentation a

lieu d’être. La fonction de répartition théorique sera donnée par l’ajustement d’un modèle

de Makeham, qui permet de définir une loi pour l’entrée en dépendance à partir de données

empiriques. Nous définirons ce modèle par la suite. La comparaison sera alors réalisée avec

les deux fonctions de répartition empiriques d’entrée en dépendance segmentées par sexe.

Avant d’ajuster notre loi empirique, nous avons évalué la précision de l’estimation empirique

effectuée. A cet effet, le paragraphe suivant détaille les intervalles de confiance pour chaque

valeur obtenue.

II]1)5) Intervalles de confiance pour les taux bruts

La précision des estimations réalisées dépend de deux facteurs :

- L’effectif sous risque

- Le niveau du taux d’entrée en dépendance

La précision sera alors mesurée par la largeur de l’intervalle de confiance. Pour cela, nous

allons utiliser l’approximation gaussienne, cependant nous devons alors vérifier que nous

disposons d’assez de données.

Nous remarquons alors qu’une relation lie l’incertitude de l’estimation, le nombre

d’observations et le niveau de confiance de l’intervalle désiré :

est la valeur autour de laquelle est construit l’intervalle,

est le quantile d’ordre

, et N le

nombre d’observations.

36

En application à notre étude, pour chaque valeur estimée, et pour que l’approximation

gaussienne soit valide, il est nécessaire de disposer de observations:

²

Avec les estimations des taux empiriques, nous choisissons pour une

précision de 95% et .

Pour toutes nos estimations, le nombre d’observations est toujours bien supérieur à celui

nécessaire à la vérification de l’approximation gaussienne. Nous pouvons construire nos

intervalles de confiance asymptotique.

Vu que nous estimons par , nous pouvons donc écrire d’après le théorème central

limite:

L’intervalle de confiance asymptotique de niveau pour est donc donné par :

37

Nous obtenons des intervalles assez fins jusqu’à l’âge de 80 ans, cependant à partir de cet

âge, on note que les intervalles s’élargissent. Ceci est dû au fait que plus l’âge est élevé, plus

nous nous situons à la limite du nombre d’observations requis pour la validité de

l’approximation gaussienne :

Fig. 8 - Taux d’entrée en dépendance avec intervalles de confiance

Cette étape nous permet donc de donner une précision de l’estimation effectuée. Nous

pouvons dès à présent nous intéresser au lissage non paramétrique et à l’ajustement

paramétrique de nos taux d’entrée empiriques.

II]1)6) Ajustement et lissage

Nous pouvons constater sur la courbe de nos taux empiriques des petites irrégularités, qui

ne sont pas propres à l’estimation de la loi d’entrée en dépendance, mais dues aux données

du portefeuille étudié. Pour éviter ces sauts, nous sommes amenés à lisser notre courbe, de

façon non paramétrique ou paramétrique.

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

.01

0.0

20

.03

Taux empiriques d'entrée en dépendance


îx e

mp

iriq

ue

s

Taux empiriques

Intervalles de confiance

38

II]1)6)1) Lissage non-paramétrique par moyennes mobiles

La formule des moyennes mobiles symétriques est donnée par :

Avec .

Nous avons choisi :

et .

Nous obtenons le graphique suivant, montrant la courbe des en moyennes mobiles :

Fig. 9 - Taux empiriques d’entrée en dépendance lissés par moyennes mobiles

La courbe est bien plus lisse qu’auparavant, toutefois les moyennes mobiles présentent un

certain nombre d’inconvénients, liés pour l’essentiel à la sensibilité de la moyenne

arithmétique aux valeurs extrêmes.

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

0.0

30

0.0

35

Lissage par moyennes mobiles


ix

Taux empiriques

Lissage Moyennes Mobiles


39

Nous pouvons constater également sur le graphique que la courbe du lissage par moyennes

mobiles reste bien dans les intervalles de confiance définis pour les taux d’entrée

empiriques. Une seule valeur au début de la courbe est en dehors de la bande de confiance,

toutefois ceci s’explique par le fait que nos données ne présentent pas d’entrée en

dépendance à cet âge.

Nous considérons que le lissage par moyennes mobiles est satisfaisant.

Un autre type de lissage non paramétrique va être présenté dans le paragraphe suivant : le

lissage par Whittaker-Henderson.

II]1)6)2) Lissage par Whittaker-Henderson (cas de la dimension un)

Ce type de lissage a pour but de combiner un critère de fidélité et un critère de régularité,

puis de rechercher les valeurs ajustées qui minimisent une combinaison linéaire des deux

critères.

Nous fixons tout d’abord des poids et définissons le critère de fidélité :

Ainsi que le critère de régularité :

est un paramètre du modèle et le nombre d’estimations réalisées.

40

Le critère est une combinaison linéaire de la fidélité et de la régularité et doit être

minimisé. Le poids du second terme est contrôlé par un paramètre

Nous obtenons ainsi un problème d’optimisation qui satisfait aux conditions

Nous posons :

Nous en déduisons alors que :

Nous introduisons à cette étape la matrice de taille , dont les termes sont des

coefficients binomiaux d’ordre , dont le signe alterne et commence positivement pour

pair.

Par exemple pour et , on a :

Nous vérifions facilement que , ce qui permet d’obtenir le critère comme suit :

41

peut être développé et nous obtenons que :

Nous pouvons alors résoudre :

Résoudre

permet d’obtenir les taux lissés :

n’est pas inversible. Cependant, l’addition de permet de résoudre cette difficulté.

La matrice symétrique positive peut être alors décomposée avec la

méthode de Cholesky, puis nous utilisons cette décomposition pour l’inverser.

Dans notre cas, nous calculons les taux lissés avec les paramètres :

. Nous obtenons le graphique suivant :

Fig. 10 - Taux empiriques d’entrée en dépendance lissés par Whittacker Henderson

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

.01

0.0

20

.03

Lissage par Whittaker Henderson


îx e

mp

iriq

ue

s

Taux empiriques

Lissage W-H


42

Comme pour le lissage par moyennes mobiles, nous obtenons une courbe qui adhère bien

aux taux empiriques et reste bien dans la bande de confiance. Pour la même raison que pour

le lissage par moyennes mobiles, nous voyons au début de la courbe une valeur sortant de

l’intervalle de confiance.

Cependant, nous pouvons considérer que le lissage par Whittacker Henderson est adapté.

Nous ne pouvons pas comparer par un test paramétrique le lissage le plus adéquat, car nous

ne sommes pas en présence d’une estimation de paramètres par maximum de

vraisemblance. Le degré de liberté est délicat à estimer. Nous préférons considérer

l’appartenance à l’intervalle de confiance pour faire ressortir la justesse du résultat.

Nous avons pu ainsi lisser la courbe d’incidence de manière non paramétrique, mais ces

méthodes ne permettent pas d’extrapoler la courbe aux grands âges.

Pour pallier ce problème, nous avons décidé d’ajuster un modèle paramétrique à nos

données pour obtenir une fonction simple, cette dernière pouvant reproduire la courbe des

taux empiriques d’entrée en dépendance.

Un ajustement par une fonction modélisant le risque sous-jacent constitue un moyen de

lisser les fluctuations d’échantillonnage. Parmi les lois les plus souvent utilisées figure la loi

de Makeham, que l’on appliquera plus loin, après avoir présenté l’approche générale.

II]1)6)3) Ajustement paramétrique des taux empiriques d’entrée en dépendance

II]1)6)3)a) Les données de survie

Les données de durée ont comme spécificité d’être engendrées par des variables aléatoires

positives. Même s’il est envisageable de soumettre cette variable aléatoire sur , par

passage à la loi exponentielle par exemple, cette caractéristique implique que la loi de

référence ne pourra être la loi normale.

Nous allons définir ainsi les notions de fonction de survie et de fonction de hasard, qui

prennent tout leur sens dans les modèles de durée.

43

La distribution de survie

Etant donné la variable aléatoire à valeurs dans , nous notons sa

fonction de répartition (continue à droite).

Si la densité de T existe, nous pouvons la définir par :

Définition de la fonction de survie

La fonction de survie est donnée par:

est décroissante, avec et . Nous observons pareillement la

durée moyenne de survie grâce à la fonction , et sa variance :

Définition de la fonction de survie conditionnelle

La fonction de survie conditionnelle représente la survie d’un individu après l’instant

sachant qu’il a déjà survécu jusqu’en . Nous définissons :

44

Finalement, l’expression de la fonction de survie conditionnelle comprend uniquement la

fonction de survie

Définition de la fonction de hasard

La fonction de hasard est par définition :

Ceci implique que cette fonction explique entièrement la loi de à travers la formule

suivante :

Généralement, la fonction de hasard énonce un modèle de durée. Nous pouvons par ailleurs

nous intéresser à l’expression suivante :

Ceci signifie donc que pour des petites valeurs de , est approximativement la

probabilité que l’individu décède entre t et t+u, sachant qu’il est vivant en t.

II]1)6)3)b) La loi paramétrique du modèle de Makeham

La distribution de base des modèles paramétriques de durée est la distribution

exponentielle. Le choix du modèle que nous allons appliquer détermine en particulier la

forme de la fonction de hasard. Nous remarquons ici que nos taux empiriques d’entrée en

dépendance sont fortement croissants en fonction de l’âge.

45

De plus, les facteurs d’entrée en dépendance peuvent être de nature accidentelle, donc il ne

faut pas oublier d’introduire cette notion également dans le modèle.

Le modèle de Makeham contient notamment cet effet accidentel de l’entrée en

dépendance, et est en général bien adapté à la mortalité humaine. Nous allons dans la suite

définir ce modèle et l’appliquer à nos données.

Application au modèle de Makeham

La loi de Makeham vérifie la relation :

Le paramètre s’interprète comme étant une incidence accidentelle, ce qui cadre bien avec

notre étude, vu qu’une part des entrées en dépendance est accidentelle, et le coefficient

fait référence au vieillissement de la population, faisant augmenter le taux

d’incidence de manière exponentielle.

Etant donné que les taux d’incidence croissent avec l’âge, il faut que et .

D’après la définition de la fonction de survie et de la fonction de survie conditionnelle, nous

pouvons écrire que la probabilité d’entrée en dépendance entre l’âge et , sachant

que la personne n’était pas dépendante avant l’âge , peut s’écrire :

Nous pouvons alors développer notre expression en remplaçant par l’expression de la

loi de Makeham :

46

Nous posons alors :

Nous obtenons alors la fonction pour l’ajustement des

Nous allons évaluer nos paramètres grâce à cette expression.

L’ajustement nécessite au préalable la validation du modèle dans le cadre de notre étude.

Adéquation de la courbe au modèle de Makeham

Pour voir l’adéquation de la courbe au modèle de Makeham, nous pouvons observer ses

propriétés :

Pour les proches de 0, nous pouvons faire l’approximation grâce au développement limité

de :

Nous remplaçons et nous obtenons :

47

Il en s’ensuit que :

Ce qui amène :

Si les taux d’entrée en dépendance suivent une loi de Makeham, les points

doivent être alignés sur une droite de pente .

L’idée est de réaliser dans un premier temps une régression linéaire puis une analyse de la

régression.

La régression linéaire

Le problème de la régression linéaire simple est d’étudier l’influence d’une variable sur

une autre variable . La première est souvent appelée la variable explicative (ou encore

exogène) et la seconde la variable expliquée (ou encore endogène).

Dans notre étude, la variable explicative sera l’âge des personnes visées par l’étude, et la

variable expliquée sera donc les valeurs de ).

Nous disposons du échantillon , et le but est de visualiser si le

nuage de points se dispose suivant une forme allongée et exhibe une tendance sensiblement

linéaire.

Nous cherchons donc une droite de type qui décrive au mieux la tendance du

nuage observé. La démarche la plus couramment utilisée consiste à :

- Faire l’hypothèse que, pour chaque individu i, on a : où est une

certaine erreur appelée aussi résidu et qui résulte d’une relation fonctionnelle linaire

entre et

- Chercher la droite , qui est dite « droite des moindres carrés », et telle

que la somme quadratique des résidus soit minimale

48

Nous allons donc effectuer la régression linéaire sur nos données. Nous prendrons pour cela

uniquement les données pour des . Ceci est dû au fait que pour les personnes plus

jeunes, les sauts présents dans les impliquent des valeurs aberrantes pour les .

A partir du logiciel de statistiques R, nous avons pu obtenir le graphique suivant de la

régression linéaire :

Fig. 11 - Régression linéaire des ln

Cette droite passe correctement par les points, mais nous devons réaliser une analyse de la

régression pour le certifier.

65 70 75 80 85

-8.5

-8.0

-7.5

-7.0

-6.5

-6.0

-5.5

Regression linéaire des ln

Ages

Va

leu

rs d

es ln

49

Au préalable, nous pouvons observer le graphique des résidus de la régression :

Fig. 12 - Résidus de la régression des ln

Les résidus sont les écarts par rapport à la droite de régression mesurés dans le sens des .

Les résidus sont de moyenne (donc quasiment nulle), et laissent

présager une bonne adéquation de la droite des moindres carrés à nos estimations.

65 70 75 80 85

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

Résidus de la régression des ln

Ages

Va

leu

rs r

ésid

us

50

Nous pouvons également remarquer que l’hypothèse de normalité des résidus est vérifiée

grâce au graphique QQ-Plot, car la plupart des points sont assez bien alignés avec la

première bissectrice des axes comme nous pouvons le voir ici :

Fig. 13 - Graphique QQ-Plot des résidus

Pour nous assurer que l’ajustement de la droite est adéquat, nous allons à présent produire

une analyse de la régression.

Analyse de la régression

L’analyse de la variance permet d’étudier le comportement d’une variable à expliquer en

fonction d’une ou plusieurs variables explicatives catégorielles.

51

On va donc appliquer cette analyse de la variance à notre régression linéaire. La première

étape de l’analyse de la variance consiste à décrire la variance totale à expliquer (SCT) sur

l’ensemble de l’échantillon en fonction de la variance expliquée par le modèle (SCE) et la

variance non expliquée par le modèle (SCR).

Pour cela, notons notre échantillon , avec , sa moyenne est

notée , et les estimations de la droite des moindres carrés sont notées .

Nous obtenons grâce à la formule de la décomposition de la variance :

Notons également le coefficient d’ajustement qui mesure la qualité de l’ajustement des

estimations de l’équation de régression. Il représente la part de la variance de la variable

expliquée de la régression par rapport à la variance totale et s’écrit :

doit être proche de 1 pour considérer que l’ajustement est adapté.

On conclut éventuellement à l’ajustement par une droite de régression en effectuant un test

de Fisher. Pour cela, on rappelle que la statistique du test de Fisher utilisée pour tester la

significativité globale d’un modèle de régression linéaire

est :

52

Le test de significativité étant :

La région critique de test est donc : rejet de si et seulement si , où

est le risque de première espèce.

Une autre manière de lire le test est de comparer la -value (probabilité critique du test)

avec : si elle est inférieure, l’hypothèse nulle est rejetée.

Nous effectuons une analyse de la variance de notre régression grâce au logiciel R et nous

obtenons le tableau suivant :

Source de

la variance

Degré de

liberté

Sommes des

carrés

Moyenne des carrés (ou

variance)

Statistique

F p-value

SCE 1 22,2917 22,2917 71,927 4,68E-08

SCR 20 6,1984 0,3099

SCT 21 28,4901

Tab. 9 - Analyse de la variance

On a également un R²=0.7824.

Le R² que l’on trouve est un indicateur simple et on comprend aisément, vu qu’il est proche

de 1, que le modèle est intéressant pour ajuster nos taux empiriques.

La valeur très faible de la -value permet aussi de conclure au rejet de l’hypothèse nulle.

On peut conclure à l’ajustement par une droite de régression de nos .

En conclusion :

Le modèle de Makeham peut donc bien s’adapter à nos données. La partie suivante va

nous permettre d’estimer nos paramètres.

53

Estimation des paramètres par maximum de vraisemblance

Comme vu précédemment dans le cadre du modèle binomial, le nombre d’entrées en

dépendance observé à l’âge , , suit une loi binomiale de paramètres avec :

le vecteur des paramètres à déterminer

Nous utilisons ici le modèle du maximum de vraisemblance discrétisé, et notons la

vraisemblance associée à la réalisation d’un nombre d’entrées en dépendance égale à :

Pour l’ensemble des observations on obtient donc la log-vraisemblance suivante (à une

constante indépendante du paramètre près) :

On cherche alors à trouver le maximum de cette vraisemblance tel que les probabilités des

réalisations observées soient aussi au maximum, et ainsi déterminer le vecteur de

paramètres qui donne la fonction ajustant au mieux la courbe des

L’estimateur obtenu par la méthode du maximum de vraisemblance est :

- Convergent et non biaisé (mais peut être biaisé en échantillon fini)

- Asymptotiquement efficient, il atteint la borne de Cramer Rao

- Asymptotiquement distribué selon une loi normale

Nous n’avons pas cherché à dériver la formule de la log-vraisemblance pour estimer le

vecteur des paramètres, cependant nous avons utilisé le solveur d’Excel afin d’ajuster au

mieux la loi de Makeham à nos données empiriques, tout en maximisant la vraisemblance.

L’algorithme utilisé est celui de Newton-Raphson.

54

Dans ce cas, l’algorithme ne converge vers la vraie valeur du paramètre qu’à condition de

partir d’une valeur initiale assez proche du vecteur

Nous avons utilisé dans ce but les résultats issus de la régression sur les points

qui déterminent aisément grâce à l’ordonnée à l’origine et la pente de la

droite les g et c. Nous pouvons également trouver s à partir de la relation

La courbe que nous obtenons est donnée sur le graphique ci-dessous:

Fig. 14 - Comparaison des différents ajustements

Les paramètres retenus pour la loi de Makeham donnent la loi d’entrée en

dépendance suivante:

55 60 65 70 75 80 85

0.0

00

.01

0.0

20

.03

Modèle de Gompertz Makeham

Ages

Ix

Gompertz Makeham

Taux empiriques

55

Nous trouvons à partir de là nos coefficients a, b et c.

La courbe de la loi de Makeham semble être bien ajustée à nos taux empiriques, mais nous

constatons qu’à partir de 85 ans un petit écart semble se créer. Les taux empiriques

semblent croître linéairement à partir de l’âge de 85 ans alors que notre modèle préconise

une croissance exponentielle. Tout porte à croire que le modèle ne semble plus adéquat au-

delà de 85 ans mais certains facteurs nous confortent dans l’hypothèse prise par la

modélisation. Sur l’ensemble du portefeuille, nous avons vu dans l’analyse descriptive des

données, que l’âge moyen d’entrée en dépendance se situe à environ 79 ans. D’autre part,

l’âge moyen des assurés se situe autour de 73 ans. C’est pourquoi, d’un point de vue

prudentiel, et prospectif, cette croissance exponentielle n’est pas à négliger.

De plus, en termes de provisionnement, avoir des probabilités plus fortes aux âges élevés

implique la constitution de provisions plus prudentes. Ceci est également un élément en

faveur d’une croissance exponentielle au-delà de 85 ans.

II]1)6)3)c) Test du Khi-Deux

Afin de tester si le lissage des taux d’entrée en dépendance par Makeham est de bonne

qualité, nous pouvons réaliser un test du Khi-2, sur la base de la statistique :

le nombre d’âges intervenants dans la somme (37 dans notre cas)

le risque de première espèce de 5%

le nombre de paramètres estimés (3 dans notre cas)

Si , alors nous acceptons l’hypothèse selon laquelle les taux estimés ne sont

pas éloignés des taux bruts.

On obtient :

56

Conclusion :

Nous pouvons donc considérer que l’ajustement par Makeham est adapté.

Nous pouvons ici introduire le test de Kolmogorov-Smirnov évoqué plus tôt, qui indiquera si

la segmentation de la loi d’entrée en dépendance est utile sur nos produits.

II]1)7) Segmentation Homme-Femme : le test de Kolmogorov-Smirnov

Nous souhaitons ici comparer la fonction de répartition théorique c’est-à-dire la loi de

Makeham précédemment définie sur nos données, aux deux fonctions de répartition

observée à partir de nos lois d’entrée en dépendance empiriques segmentées par sexe.

Le test de Kolmogorov-Smirnov va nous permettre d’effectuer cette comparaison et donc

d’indiquer l’adéquation de ces fonctions. Définissons-le dans le cas général :

Nous considérons une variable aléatoire de fonction de répartition , que nous voulons

comparer à une fonction de répartition théorique continue.

On souhaite tester :

- l’hypothèse

Contre :

- l’hypothèse

Si est un -échantillon de , la fonction de répartition empirique associée à cet

échantillon est :

est la proportion des observations dont la valeur est inférieure ou égale à .

57

L’écart entre les valeurs observées et les valeurs théoriques du modèle déduites de la

fonction de répartition peut donc être calculé par la variable aléatoire :

sera la variable de décision, ou fonction discriminante, du test.

Nous rejetons si les fonctions et sont « significativement » éloignées. Le seuil

critique est donné par la formule

. Les valeurs du seuil se lisent dans un tableau mais

pour des échantillons supérieurs à 35 (ce qui est notre cas avec ), nous considérons

comme zone de rejet :

pour un .

Notons pour la segmentation hommes femmes :

- Soit l’échantillon

de loi , et de fonction de répartition ,

représentant les taux empiriques d’entrée en dépendance chez les femmes.

- Soit l’échantillon

de loi , et de fonction de répartition ,

représentant les taux empiriques d’entrée en dépendance chez les hommes.

- Soit la loi la loi représentant la loi de Makeham, de fonction de répartition

Nous avons donc appliqué le test de Kolmogorov-Smirnov à ces échantillons.

En comparant la fonction de répartition issue de la loi de Makeham à la fonction de

répartition empirique issue de nos observations chez les femmes nous obtenons :

58

En comparant la fonction de répartition issue de la loi de Makeham à la fonction de

répartition empirique issue de nos observations chez les hommes nous obtenons :

Le test de Kolmogorov-Smirnov s’étend à la comparaison de deux fonctions de répartition

empiriques, et permet alors de tester l’hypothèse que deux échantillons sont issus de la

même loi. Nous obtenons en utilisant les échantillons hommes et femmes :

Les deux premiers résultats de comparaison avec la loi de Makeham permettent de dire que

l’hypothèse n’est pas rejetée, et donc que les distributions segmentées par sexe ne sont

pas significativement différentes de la distribution du modèle de Makeham.

De plus, le dernier résultat permet également de montrer que dans notre cas, les deux

échantillons sont issus de la même loi.

En conclusion, nous pouvons donc estimer que la segmentation hommes/femmes pour les

taux d’entrée n’est pas nécessaire sur les produits étudiés.

59

II]1)8) Comparaison des résultats obtenus avec une courbe de référence

Il est intéressant de comparer nos résultats à ceux issus de l’enquête HID13 qui recense les

personnes bénéficiant de l’APA14. Une étude a été réalisée par la Direction des Assurances

de Personnes de la FFSA15, présentant une loi d’entrée et de maintien en dépendance.

Nous pouvons ainsi comparer la loi d’entrée en dépendance issue de notre modèle de

Makeham sur les données en portefeuille à celle obtenue par la FFSA suite à son étude sur

les données HID. Pour des questions de confidentialité, le graphique présentant les

comparaisons ne figure pas dans ce mémoire.

Nous observons que la loi d’incidence féminine et la table hommes/femmes HID sont au-

dessus de la loi obtenue sur nos données.

La loi HID hommes/femmes est obtenue en considérant les deux tables HID segmentées par

sexe et en appliquant à chacune la proportion d’hommes et de femmes du portefeuille

étudié. Cette dernière table présente des incidences plus élevées que la nôtre. L’étude de la

FFSA ne différencie pas les niveaux de dépendance, or dans notre cas, nous n’observons que

la dépendance totale, ce qui pourrait être la cause de la différence observée.

Par contre, nous notons une similitude avec la courbe HID hommes, cependant une

divergence est constatée ensuite.

II]1)9) Conclusion sur la table d’entrée en dépendance

La loi d’entrée en dépendance totale, en termes de meilleur ajustement aux données

d’expérience i.e. de Best Estimate, est satisfaisante, compte tenu de la forte représentativité

des entrées à ce degré de dépendance.

Dans la suite de l’étude nous utiliserons cette table d’entrée ajustée par le modèle de

Makeham car elle présente d’une part, une bonne adéquation à la courbe des taux

empiriques et d’autre part, elle permet aussi d’extrapoler les incidences aux grands âges.

13

Enquête HID (Handicap-Invalidité-Dépendance) de l’INSEE réalisée d’octobre 1998 à fin 2001 14

Aide Pour l’Autonomie 15

Modélisation du Risque Dépendance à Partir des Données HID, Cahiers Techniques N°02, Mars 2005

60

II]2) Construction d’une loi de maintien en dépendance

II]2)1) Les données utilisées

Après avoir étudié les têtes assurées entrées en dépendance dans l’historique de nos

produits, nous allons pouvoir nous concentrer sur leurs durées de maintien. Dans notre base

de sinistrés, nous n’avons aucune rémission. Nous pouvons cependant noter que les entrées

peuvent se faire soit à un niveau de dépendance partielle, soit totale, et de plus nous notons

quelques cas de passages de dépendance partielle à dépendance totale.

Nous avons réalisé différents traitements sur la base de données pour en faire ressortir les

différentes durées de maintien des dépendants vivants ou déjà décédés.

Pour la dépendance partielle avec pour sortie le décès, nous obtenons pour les sinistrés dans

l’historique arrêté au 31/12/2009 :

- Une durée moyenne de maintien avant le décès de 40,8 mois

Pour la dépendance partielle avec passage en dépendance totale, nous obtenons pour les

sinistrés dans l’historique arrêté au 31/12/2009 :

- Une durée moyenne de maintien avant aggravation de 25,28 mois (non significatif

compte tenu du nombre de données)

Pour la dépendance totale avec pour sortie le décès, nous obtenons pour les sinistrés dans

l’historique arrêté au 31/12/2009 :

- Une durée moyenne de maintien avant le décès de 33,70 mois

Cependant, la quantité de données disponibles ne semblent pas suffisante pour réaliser des

lois de maintien en dépendance partielle et des coefficients de passage d’un état de

dépendance partielle à totale. Nous nous concentrerons uniquement sur la loi de maintien

en dépendance totale, ce qui permettra de prolonger l’étude faite sur la loi d’entrée en

dépendance totale.

61

II]2)2) Modélisation non paramétrique

II]2)2)1) Présentation générale des modèles de durée

Les modèles de durées sont adaptés dès lors que le phénomène d’intérêt se modélise

comme une ou des variables aléatoires positives. Il s’agit plus généralement de modéliser et

d’estimer les lois décrivant le temps qui s’écoule entre deux évènements : dans notre cas, ce

sera la durée de vie d’un individu à partir de son entrée dans l’état de dépendance jusqu’à la

sortie de cet état (aggravation de sinistralité ou décès).

Dans notre étude, nous ne pouvons pas faire d’hypothèse a priori sur la forme de la loi de

survie ; on cherche alors à estimer directement cette fonction par une méthode d’estimation

non paramétrique.

Les données traitées sont « rarement » complètes, c’est-à-dire qu’elles sont soumises à des

problèmes d’observation qui compliquent souvent l’analyse : les censures et les troncatures

sont les plus connues. Dans notre cas, nous obtenons deux types de durée de survie : les

durées complètes s’étalant de la date d’entrée en dépendance à la sortie de cet état, ou les

durées incomplètes allant de la date d’entrée en dépendance à la date d’arrêté des données

le 31/12/2009. Dans ce dernier cas, on comprend aisément qu’une partie des données

seront censurées à droite.

Pour introduire cette partie théorique sur les modèles de durées, dans un premier temps,

nous allons rappeler les outils mathématiques nécessaires à l’étude d’une loi de maintien,

puis nous définirons la notion de données incomplètes, et enfin nous introduirons le modèle

retenu dans le cadre de notre étude.

62

II)2)2)2) Rappel sur les outils mathématiques

Nous décrivons la variable aléatoire positive représentant la durée de maintien dans

l’état de dépendance. Généralement, la distribution de T est décrite par sa densité ou sa

fonction de répartition . Etant donné que est positive, trois fonctions doivent être

définies préalablement à l’analyse des données de survie :

- La fonction de survie vue précédemment, qui s’apparente ici à la fonction de

maintien en dépendance:

- Le risque instantané ou fonction de hasard :

- La fonction de hasard cumulée :

Nous pouvons alors rapprocher la fonction de hasard cumulée avec la fonction de survie et

on obtient :

Nous utilisons dans certains tests d’adéquation le fait que suit une loi exponentielle de

paramètre 1. Cette propriété peut être démontrée par le calcul suivant :

63

II]2)2)3) Censures et troncatures

Les censures et troncatures sont particulièrement typiques des données de survie. Elles

proviennent du fait que nous n’avons pas accès à toute l’observation : au lieu d’observer des

réalisations i.i.d de durées , nous observons la réalisation de la variable aléatoire

soumises à diverses perturbations, indépendantes ou non du phénomène étudié.

Ces perturbations peuvent pour la plupart être regroupées en deux grandes familles.

Les censures

Définition.

Soit une variable aléatoire positive . La durée est dite censurée à droite si, au lieu de ,

nous observons le couple avec et .

La durée est dite censurée à gauche si, au lieu de , nous observons le couple avec

et .

Dans notre étude, nous ne sommes confrontés qu’à des censures à droite, ce que nous

appellerons des « exclus-vivants ». Nous notons dans ce cas :

Fig. 15 - Censure à droite

Début d’observation ou création du premier contrat

en portefeuille 31/12/2009

Début

dépendance Fin

dépendance

T

C

64

En effet, nous observons dans notre étude des individus qui sont toujours en état de

dépendance au 31/12/2009. Nous ne savons pas cependant à quelle date cet état prendra

fin. Les censures à droite conduisent donc à sous-estimer la durée moyenne passée dans

l’état de dépendance.

La censure à gauche correspond au cas où l’individu est déjà sorti de l’état de dépendance à

la date de début d’observation. Dans notre cas, le début d’observation correspond au

premier contrat souscrit, donc nous ne sommes pas en présence de censure à gauche.

Les troncatures

Une variable est dite tronquée si, au lieu de , nous observons uniquement si .

Nous définissons comme la période d’observation.

Définition.

Soit une variable aléatoire, il y a troncature à droite lorsque n’est observable que si elle

est inférieure à . De même, il y a troncature gauche lorsque n’est observable que si elle

est supérieure à .

Dans notre étude, étant donné que la date de début d’observation représente le premier

contrat souscrit, nous n’avons dans ce cas aucun sinistre déclaré avant . Nous ne pouvons

pas non plus considérer des troncatures à droite, car nous avons connaissance du fait qu’il

existe une information, mais sans connaître sa valeur précise, excepté qu’elle dépasse un

certain seuil. Ceci est déjà pris en compte dans la notion de censure à droite.

Comme nous avons pu le souligner précédemment, nous ne pouvons pas supposer a priori

que la durée de maintien en dépendance suit un modèle paramétrique. Nous allons donc

utiliser un modèle non paramétrique pour estimer la loi de .

Nous présentons dans le paragraphe suivant quelques estimateurs de la fonction de survie.

65

II]2)2)4) Estimateurs de la fonction de survie

II]2)2)4)a) L’estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé

L’estimateur de Nelson-Aalen, défini premièrement par Nelson [1972], est basé sur le fait

que par construction, nous obtenons:

Et

Supposons que nous disposons de observations, avec . Afin d’estimer

l’équivalence précédente, au lieu d’utiliser la durée , nous retenons le processus ponctuel

associé noté :

Cependant, dans le cas de données censurées à droite, la variable d’intérêt n’est plus la

variable observée mais la durée sous-jacente. Nous notons alors la durée, la censure

aléatoire droite, la durée observée, et ( si l’assuré est déjà sorti

de l’état de dépendance et s’il n’est toujours pas sorti et donc que l’observation est

censurée). Il s’ensuit que :

Nous définissons aussi le processus suivant :

Ce processus permet d’indiquer la présence du sujet juste avant , en comptabilisant les

individus ni morts ni censurés.

66

Notons la somme des processus de population sous risque, et la somme des

processus d’évènements :

Ainsi, nous pouvons estimer la probabilité :

Nous sommons ensuite ces probabilités sur et faisons tendre les intervalles vers 0, de

façon à ce que chacun d’entre eux ne contienne qu’un seul évènement, et nous obtenons

l’estimateur de Nelson-Aalen :

A chaque , nous connaissons , le nombre de sorties dans l’intervalle , le

nombre de censures dans le même intervalle, et le nombre de sujet présents dans

l’échantillon à la date (ni sortis, ni censurés jusqu’à cette date).

Nous remplaçons alors : .

Définition.

L’estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé est défini par :

67

est continu à droite. Nous pouvons vérifier que cet estimateur est biaisé et sous-estime

en moyenne la fonction de hasard cumulée. Le lecteur intéressé pourra se reporter à

PLANCHET [2006].

II]2)2)4)b) L’estimateur de Harrington-Fleming

Un estimateur de la fonction de survie peut être déduit de l’estimateur de Nelson-Aalen

précédemment défini, en observant :

A partir de là, nous obtenons la définition de l’estimateur d’Harrington-Fleming :

Définition

L’estimateur d’Harrington-Fleming est défini par :

Sa variance peut être obtenue grâce à la méthode delta détaillée également dans PLANCHET

[2006].

II]2)2)4)c) L’estimateur de Kaplan-Meier

La construction heuristique de l’estimateur de Kaplan-Meier (cf. KAPLAN et MEIER [1958])

s’appuie sur la fait que la probabilité de survivre au delà de peut s’écrire :

68

En réitérant, nous distinguons des produits d’éléments en . Le but est alors

d’observer les instants où se produit un évènement (sortie ou censure) et de conditionner

par rapport à ces moments.

Nous définissons alors les probabilités conditionnelles suivantes:

Où est la probabilité de survivre sur l’intervalle sachant que l’individu était

vivant et dépendant à l’instant .

On peut alors estimer avec

.

a été défini dans le paragraphe concernant la loi d’entrée en dépendance et représente

l’ensemble des sujets à risque juste avant l’instant .

A l’instant , et en l’absence d’ex aequo, si alors il y a une sortie par décès donc

. Dans le cas contraire, l’observation est censurée et .

L’estimateur de Kaplan Meier peut donc être défini de la façon suivante :

D’un point de vue opérationnel, nous rencontrons souvent des ex aequo. Nous émettons

toujours l’hypothèse que les durées non censurées précèdent toujours celles censurées. La

définition de l’estimateur de Kaplan Meier devient donc :

69

Principales propriétés et variance de l’estimateur de Kaplan-Meier

L’estimateur de Kaplan Meier présente de bonnes propriétés qui lui permettent d’être le

meilleur estimateur empirique de la fonction de répartition de la loi de survie en présence

de censures : il est convergent, asymptotiquement gaussien, l’unique estimateur cohérent

de la fonction de survie (DROESBEKE et al. 1989) et est également un estimateur du

maximum de vraisemblance généralisé. Cependant il est biaisé positivement. Pour plus de

précisions sur ses estimateurs, on se réfèrera à PLANCHET [2006].

Pour introduire la variance de l’estimateur de Kaplan-Meier, nous proposons une

justification heuristique d’un estimateur de cette même variance, appelé l’estimateur de

Greenwood.

L’estimateur

permet d’énoncer :

En premier lieu, nous allons considérer que les variables sont indépendantes.

Nous savons également que la loi de suit une loi binomiale de paramètres .

D’après la méthode delta

, nous décrivons l’expression

suivante:

L’estimateur de la variance de est alors défini par:

70

Nous pouvons ensuite réappliquer la méthode delta, avec pour la fonction logarithme, et

nous obtenons l’estimateur de Greenwood :

Cet estimateur est consistant pour la variance asymptotique de l’estimateur de Kaplan-

Meier.

Intervalle de confiance

Nous pouvons utiliser l’estimateur de Greenwood pour déterminer l’intervalle de confiance

point par point de la courbe de survie.

Nous définissons alors l’intervalle de confiance à 95% en :

Où se déduit de en prenant la racine.

Les estimateurs les plus connus pour l’estimation de lois de survie sont donc l’estimateur

actuariel, l’estimateur d’Harrington-Fleming et l’estimateur de Kaplan-Meier. C’est ce

dernier que nous avons choisi car il possède en outre de bonnes propriétés qui en font

l’estimateur le plus utilisé pour l’estimation non paramétrique de la fonction de survie.

71

II]2)2)5) Application de l’estimateur de Kaplan-Meier

II]2)2)5)a) Loi de maintien tous âges confondus

Nous allons présenter les résultats obtenus à partir de notre base de rentiers dépendants

dans le cadre d’une estimation de la fonction de survie par la méthode de Kaplan-Meier.

Dans cette partie, nous ne présenterons que les résultats concernant les sinistrés en

dépendance totale, car les données concernant la dépendance partielle ne permettent pas

d’obtenir des résultats satisfaisants étant donné la faible représentativité de ces dernières.

De plus, nous ne pourrons pas estimer la fonction de survie par âge, car le nombre de

données ne nous le permet pas. Nous aurions pu classifier les âges d’entrée en dépendance,

mais suite à la réalisation des lois de survie, aucun groupe ne s’est réellement dessiné en

fonction de l’âge à l’entrée. Le regroupement des données a permis de faire ressortir une loi

de maintien à pas mensuel, malgré quelques points manquants que nous essayerons

d’estimer par une méthode d’interpolation définie par la suite.

Les coefficients de passage de la dépendance partielle à la dépendance totale ne seront

également pas modélisés sachant leur faible nombre.

Nous allons donc présenter les résultats issus de l’estimation de la loi de survie pour les

rentiers en dépendance totale tous âges confondus. Cette partie prolongera en conséquence

l’étude sur la loi d’entrée en dépendance, puisque seule la dépendance totale avait été

considérée.

72

Nous avons obtenu à partir du logiciel R, la courbe de survie suivante, représentant la loi de

maintien tous âges confondus à pas mensuel:

Fig. 16 - Estimateur de Kaplan Meier

Nous pouvons remarquer sur notre courbe que la loi décroît lentement, ce qui implique que

les sinistrés restent longtemps dans l’état de dépendance totale. Ceci laisse présager des

versements de prestations sur des périodes relativement longues. Cette estimation

permettra, entre autres, de prendre en compte ce facteur probabiliste dans les calculs de

provisions.

Nous allons à présent nous intéresser à l’impact d’une segmentation hommes/femmes sur la

loi de maintien comme pour la loi d’entrée en dépendance.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

10

0

10

5

11

0

11

5

12

0

12

5

13

0

13

5

Loi de maintien par l'estimateur de Kaplan-Meier

Loi de maintien tous âges confondus Intervalle de confiance supérieur à 95%

Intervalle de confiance inférieur à 95%

Pro

bab

ilité

s d

e m

ain

tien

Ancienneté en dépendance

73

II]2)2)5)b) Segmentation hommes/femmes de la loi de maintien

Nous avons donc segmenté la loi de maintien en créant une loi pour chaque sexe. Voici les

résultats que nous avons pu obtenir à partir de l’estimateur de Kaplan-Meier :

Fig. 17 - Segmentation de la loi de maintien par sexe

Nous observons directement sur ce graphique une nette différence entre les lois de maintien

hommes et femmes. Les femmes semblent avoir tendance à se maintenir plus fortement en

état de dépendance totale que les hommes. Ainsi, l’observation que nous avions eu

précédemment pour la loi d’entrée en dépendance ne semble pas valable ici.

Nous allons donc montrer grâce à un test statistique que les courbes de survie sont

différentes si l’on segmente la courbe initiale selon le sexe.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

10

0

10

5

11

0

11

5

12

0

12

5

13

0

13

5

Segmentation de la loi de maintien par sexe

Loi de maintien Homme Kaplan Meier Intervalle de confiance supérieur homme

Intervalle de confiance inférieur homme Loi de maintien Femme Kaplan Meier

Intervalle de confiance supérieur Femme Intervalle de confiance inférieur Femme

74

Un test de rang : le test du Log-Rank

Nous souhaitons comparer les durées de vie respectives des deux échantillons hommes et

femmes. Nous disposons de ces deux échantillons, qui comportent des censures, et nous

souhaitons tester l’hypothèse :

: les deux courbes de survie ont des profils identiques, le risque de « décès » à un

moment donné est donc le même dans les deux groupes

Contre :

: les deux courbes de survie ont des profils différents

Dans le cas de censures, il faut introduire la suite de décès observés (non censurés) dans

l’échantillon commun, que nous noterons . A chaque instant , on définit par

le nombre de décès et l’effectif sous risque dans le groupe ( pour les hommes,

pour les femmes). On notera également le nombre de décès et l’effectif sous

risque dans la population globale.

Les individus sous risque sont alors estimés avant les sorties en , de façon à ce que les

vivants après soient égaux à .

La variable aléatoire suit une loi hypergéométrique

étant donné que l’on

compte le nombre de décès dans le groupe , choisi parmi les décès totaux, avec la

probabilité d’appartenir au groupe étant

et la taille de la population.

Ainsi, nous pouvons en déduire l’espérance et la variance de :

75

Ces observations conduisent à construire des statistiques fondées sur des sommes

pondérées des , qui sont asymptotiquement gaussiennes. Soient les poids et

la statistique suivante :

Elle suit asymptotiquement un c’est-à-dire une loi du khi-deux à degrés de

liberté, avec le nombre de populations à comparer. est donc rejetée au niveau si

où

est le ( -quantile de la loi du khi-deux à degrés de

liberté. On prendra , et on obtient donc pour : .

Nous noterons par la suite:

Nous pourrons également consulter HILL et al. [1996] pour plus de précisions.

Le test du Log-Rank a pour choix de pondération , et nous constatons alors que le

numérateur de la statistique de test est la différence entre le nombre de décès observés

et le nombre de décès attendus élevée au carré et sous l’hypothèse :

Nous observons sous l’hypothèse nulle:

. Ceci implique que le

résultat obtenu par la statistique ne découle pas de l’ensemble sur lequel on l’estime.

76

Une forme dite approchée peut être énoncée :

Cette statistique sous-estime celle du Log-Rank (cf. PETO et PETO [1972]), et propose un

d’ajustement usuel. Nous obtenons donc également que sous , suit approximativement

une loi du khi-deux à degrés de liberté et donc est rejetée au niveau si

.

L’application du test du Log-Rank à nos données conduit au résultat suivant :

Donc est rejetée au seuil .

Nous rejetons ainsi l’hypothèse au profit de l’hypothèse , ce qui signifie que la

distinction des lois de maintien suivant le sexe pour les personnes dépendantes est

justifiée. En termes de Best Estimate, nous serons sans doute amenés à prendre en compte

cette distinction.

Comme nous avons pu le constater sur nos graphiques d’estimations de la fonction de

survie, nous n’obtenons pas de probabilités de maintien pour chaque mois. A ce titre, la

méthode des splines cubiques va nous permettre d’interpoler entre les points connus et

ainsi approximer les valeurs manquantes. Nous allons introduire à présent la notion de

splines cubiques.

77

II]2)2)6) Interpolation par splines cubiques

La loi de maintien en dépendance totale présente les probabilités de survie des rentiers

dépendants avec un pas mensuel. Cependant, nous n’obtenons pas de valeurs pour toutes

les ancienneté, notamment les plus élevées.

Etant donné que certaines de nos données présentent des durées de maintien élevées, nous

sommes obligés en termes de Best Estimate, d’évaluer certains points manquants aux

extrémités de nos courbes. Nous avons donc cherché un moyen d’interpoler les points entre

deux valeurs connues. Dans cet objectif, le mieux est de chercher une fonction passant entre

deux points observés, et qui modélise la tendance générale de la courbe.

L’idée des splines est de découper la plage de la fonction à ajuster (ici notre loi de maintien)

en sous-intervalles (bornés par des observations pour chacun), puis d’ajuster sur chaque

sous-intervalle une fonction simple, en prenant des précautions pour le raccordement aux

points de jonction. Cette méthode a donc pour but de respecter la fonction initiale dans sa

globalité, tout en interpolant entre les points de jonction.

Notons nos points d’observations , avec l’ancienneté et la probabilité de

maintien associée. Les splines permettent d’ajuster plusieurs polynômes de degré peu

élevé. Le polynôme interpolant est alors défini par si . Pour

obtenir une courbe lisse, on exigera que l’interpolant soit deux fois différentiable. En

chaque nœud , nous aurons :

-

-

-

Pour satisfaire aux conditions sur

énoncées précédemment, nous devons utiliser

sur chaque intervalle un polynôme de degré 3.

78

Définition

Soit des points d’interpolation. La spline cubique naturelle passant

par ces points est la fonction polynomiale par morceaux définie par :

si

Où :

- Les sont définis par :

- Les satisfont les équations :

Pour et ,

-

L’interpolant est ainsi deux fois différentiable en chaque point.

Pour plus de détails sur les calculs des éléments définis par la spline cubique naturelle, nous

vous invitons à lire la note de cours d’André FORTIN sur ce sujet.

79

En appliquant les splines cubiques à notre loi de maintien en dépendance totale tous âges

confondus, nous obtenons :

Fig. 18 - Interpolation par splines cubiques

Nous obtenons également les courbes suivantes lorsqu’on reprend les lois de maintien

segmentées par sexe:

Fig. 19 - Interpolation par splines cubiques par sexe

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

10

2

10

8

11

4

12

0

12

6

13

2

Interpolation par splines cubiques

Loi de maintien tous âges confondus avec interpolation par …

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

10

2

10

8

11

4

12

0

12

6

13

2

Lois de maintien homme/femme ajustées par splines

Loi de maintien Homme ajustée par splines

80

Cependant, les courbes ne sont pas très régulières et présentent de petits « sauts », ceci

étant dû à l’imperfection des conditions de l’expérience, induisant une variabilité

« parasite » dans les valeurs estimées. Nous allons effectuer un lissage de type Whittaker-

Henderson sur nos lois de maintien en dépendance totale.

II]2)2)7) Lissage des lois de maintiens

Nous appliquons, par la même méthode vue pour la loi d’entrée en dépendance, un lissage

non paramétrique de type Whittaker-Henderson à nos lois de maintien en dépendance.

Nous obtenons ainsi pour la loi de maintien en dépendance totale tous âges confondus :

Fig. 20 - Lissage par Whittaker-Henderson de la loi de maintien

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 6

11

16

21

26

31

36

41

46

51

56

61

66

71

76

81

86

91

96

10

1

10

6

11

1

11

6

12

1

12

6

13

1

13

6

Lissage par Whittaker-Henderson

Lissage par Whittaker-Henderson de la loi de maintien tous âges confondus

81

Pour la segmentation par sexe, le lissage par Whittaker-Henderson présente les courbes

suivantes :

Fig. 21 - Loi de maintien lissée par Whittaker-Henderson segmentée par sexe

Nous constatons que ces courbes sont bien lissées et restent bien dans leurs bandes de

confiance. Ces courbes seront retenues par la suite en termes de Best Estimate. Les bandes

de confiance permettent de vérifier que les lissages n’influent pas négativement sur les

estimations initiales.

Pour finir l’étude sur la loi de maintien en dépendance totale, nous allons comparer nos

résultats à 3 tables de mortalité de référence et à la loi de maintien en dépendance HID.

0,00000

0,20000

0,40000

0,60000

0,80000

1,00000

1,20000

0 5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

10

0

10

5

11

0

11

5

12

0

12

5

13

0

13

5

Loi de maintien lissée par W-H et segmentée par sexe

Loi de maintien Homme lissée par Whittaker-Henderson

Loi de maintien Femme lissée par Whittaker Henderson

Intervalle de confiance Kaplan Meier Femme supérieur

Intervalle de confiance Kaplan Meier Femme Inférieur

Intervalle de confiance Kaplan Meier Homme Supérieur

Intervalle de confiance Kaplan Meier Homme inférieur

82

II]2)2)9) Comparaison des résultats obtenus avec des courbes de référence

Nous avons comparé notre loi de maintien avec les lois de survie des tables :

- Table de mortalité TV73-77 (femme) et TD73-77 (homme)

- Table de mortalité TV88-90 (femme) et TD88-90 (homme)

- Table de mortalité TF00-02 (femme) et TH00-02 (homme)

- La loi de maintien masculine et féminine HID avec une ancienneté maximale de 10

ans (selon estimation FFSA)

Nous avons constaté les mêmes tendances suivantes:

- La loi de survie pour les dépendants de notre portefeuille est toujours inférieure aux

lois de survie issues des tables de mortalité de référence. Nous aurions pu nous

attendre à cette conclusion, car il parait logique qu’un individu en état de

dépendance a de plus grandes chances de décéder qu’un individu en bonne santé.

Cette tendance semble par ailleurs accentuée chez les hommes.

- Les lois de maintien issues de l’étude de la FFSA en rapport avec les données HID sont

inférieures aux lois d’expérience. Cependant, l’enquête HID recense beaucoup de

rentiers en état de dépendance partielle, une faible partie en dépendance totale, et

un bon nombre de rémissions. Ceci pourrait alors expliquer pourquoi les personnes

ont des probabilités assez peu élevées de se maintenir en dépendance. L’état de

rémission impliquerait beaucoup de retour à un état valide.

II]2)2)10) Conclusion sur la loi de maintien en dépendance

En terme de Best Estimate, la loi de maintien en dépendance totale tous âges confondus

semble la plus adéquate sur nos données. La segmentation par sexe semble aussi pertinente

d’après le test du Log-Rank, et nous pourrons également retenir cette possibilité.

Dans la partie suivante nous allons nous intéresser à la tarification et au provisionnement du

risque dépendance.

83

III] Tarification et provisionnement du risque dépendance

III]1) La tarification

L’objectif de cette partie est de créer un modèle simple de l’assurance dépendance à partir

duquel sera calculée une tarification théorique basée sur des paramètres permettant de

retracer le modèle.

Cette partie considère uniquement l’état de dépendance totale pour appliquer les tables

d’entrée et de maintien définies auparavant. De même, nous considérons qu’il n’y a pas de

rémissions (les sorties se font uniquement par décès).

Nous pouvons définir ici les paramètres nécessaires à l’établissement du modèle:

- probabilité pour une personne valide d’entrer en dépendance totale ;

- probabilité pour une personne de se maintenir en dépendance totale entre les

âges et ;

- probabilité pour une personne de rester valide entre les âges et ;

- rente viagère pour une personne dépendante d’âge ;

- taux d’actualistation

Les formules suivantes sont calculées pour une annuité de 1€ et seront donc facilement

applicables à nos données en multipliant par la rente souscrite par le client (rente annuelle

dans ce cas).

L’évaluation actuelle de la rente viagère payable à terme échu à une personne en

dépendance totale est donnée par :

84

Où équivaut à la probabilité de rester dépendant total entre les âges et

, actualisée à la date correspondant à l’âge . correspond à l’âge limite de la table.

Nous pouvons émettre l’hypothèse que l’entrée en dépendance survient en moyenne en

milieu d’année, d’où la formule de la rente suivante :

L’engagement de l’assureur est égal à la prime pure unique correspondant au versement

d’une rente annuelle en cas de survenance de la dépendance totale, et correspond pour un

assuré d’âge à:

Nous pouvons également introduire un délai de carence à cette prime qui est propre à

chaque contrat. L’assureur ne paiera la rente que si l’entrée en dépendance totale a lieu

après années, et donc la prime pure unique devient:

Dans notre cas la rente est versée mensuellement. Nous noterons la rente mensualisée par:

Nous obtenons alors pour la prime pure unique de la rente payable mensuellement :

85

Les contrats prévoient en général un délai de franchise pouvant être appliqué au versement

de la rente. Dans ce cas, l’assureur ne versera la rente qu’après un certain moment passé

dans l’état de dépendance totale.

Nous notons le nombre d’année de franchise, la prime devient alors :

Où

est la rente à paiements mensuels différée de années est définie par:

Nous pouvons définir alors la prime pure unique dans le cas de rente payable

mensuellement avec délai de carence :

Nous pouvons également combiner le délai de carence et la franchise, ce qui est le plus

souvent prévu dans les contrats de dépendance :

Dans les contrats, nous n’avons pas en général de prime pure unique, mais plutôt des

paiements de primes pures annuelles payables trimestriellement à terme échu.

86

Si nous supposons que l’assuré arrête de payer ses cotisations lorsqu’il entre en dépendance

totale, la prime pure annuelle est calculée en divisant par une annuité qui tient compte de la

survie de l’assuré en tant que valide :

A cette formule, nous devons ajouter différents types de chargements pour obtenir la prime

commerciale :

- Chargement de sécurité : pourcentage de la prime

- Chargement de gestion : pourcentage de la prime

- Chargement d’acquisition : proportionnel à la prime commerciale

Nous définissons la prime d’inventaire par:

Puis la prime vérifie : donc nous obtenons finalement :

III]2) Le provisionnement

Deux types de provisions sont à constituer pour faire face aux engagements de l’assureur:

les provisions mathématiques (PM) pour rentes en cours de paiements, et les provisions

pour risques croissants (PRC).

III]2)1) Les provisions mathématiques

Elles sont égales aux montants actualisés et probabilisés des rentes à payer pour une

personne dépendante, sachant que le sinistre s’est réalisé. Elles tiennent compte de l’âge de

l’individu à l’entrée en dépendance et du nombre d’années déjà passées en dépendance.

87

Nous définissons alors la PM par :

III]2)2) Les provisions pour risques croissants

Les provisions pour risques croissants sont éventuellement constituées pour des contrats

d’assurance tarifés par le biais de primes nivelées et pour lesquels le risque de survenance

des sinistres croît avec l’âge de l’assuré. Par ce postulat, l’assureur reçoit des primes

supérieures par rapport au réel risque couvert dans les premières années de la vie du

contrat; par la suite, cette situation change et l’assureur doit faire face en fin de contrat à

des niveaux de risque supérieurs au montant des primes encaissées.

Ceci implique la nécessité de constituer des provisions pour risques croissants : en début de

vie du contrat, l’excédent entre la prime payée et le niveau du risque est mis en réserve pour

alimenter la provision pour risques croissants. Cette réserve est ensuite utilisée lorsque le

niveau du risque devient supérieur à la cotisation payée.

Nous définissons par la provision pour risques croissants pour un âge à la date .

Nous différencions deux cas : la durée écoulée est supérieure ou non au délai de carence.

1er cas : le délai de carence n’est pas écoulé

Engagement de l’assureur :

Engagement de l’assuré :

88

Nous obtenons alors la PRC par différence entre l’engagement de l’assureur et l’engagement

de l’assuré :

2ème cas : nous nous situons après le délai de carence

Engagement de l’assureur :

Engagement de l’assuré :

Nous obtenons alors dans ce cas de nouveau en différenciant les deux engagements :

Nous pourrons également noter que compte tenu des engagements de long terme liés à

l’assurance dépendance, il est légitime de constituer une provision pour égalisation définie

par contrat.

III]3) Application

Dans ce paragraphe nous allons présenter les résultats obtenus à partir de nos tables

d’entrée et de maintien en dépendance en ce qui concerne les primes, les PM et les PRC.

Dans notre application, nous allons prendre différentes hypothèses :

- Taux d’intérêt technique : 2,50%

- Tables de mortalité retenues pour le calcul des taux de mortalité des valides : TH-

0002 pour les hommes, TF-0002 pour les femmes, et mixte TH/TF-0002 selon les

proportions d’hommes et de femmes

- Les primes, PM et PRC présentées ici sont calculées pour une rente viagère annuelle

à terme échu égale à 1€.

89

Pour les primes annuelles à terme échu de la rente payable mensuellement, nous obtenons :

Fig. 22 - Comparaison des primes pures selon la loi de maintien utilisée

Nous constatons qu’une segmentation par sexe peut être adaptée pou la partie des

adhésions facultatives: si nous tarifons uniquement les contrats avec une prime indexée sur

une loi de maintien tous sexes confondus, les primes payées par les femmes seront sous

évaluées, et que les primes payées par les hommes seront surévaluées. La segmentation par

sexe permet un meilleur ajustement du tarif par rapport au risque.

Nous pouvons aussi présenter les résultats obtenus pour les PM pour rentes mensuelles en

cours de service. Etant donné que les PM sont uniquement calculées à partir de la mortalité

des dépendants, et que nous avons établi des lois tous âges confondus, nous allons montrer

ici la liquidation de la PM au cours du temps, à partir du moment où la personne est entrée

en dépendance :

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

52 57 62 67 72 77 82 87

Comparaison des primes pures annuelles selon la loi de maintien utilisée

Prime pure annuelle par âge pour la loi de maintien tous âges confondus et sans distinction par sexePrime pure annuelle par âge pour la loi de maintien tous âges confondus femmes

Pri

mes

pu

res

ann

uel

les

Age

90

Fig. 23 - Comparaison des liquidations de PM selon la loi de maintien utilisée

Comme précédemment nous pouvons noter que la segmentation par sexe reste toujours

adéquate, au vu de la différence entre les courbes. Cependant, pour chacune des courbes,

les tendances restent assez similaires, avec une liquidation de plus en plus forte des PM en

fonction de l’ancienneté dans l’état de dépendance.

En dernier lieu, nous pouvons nous intéresser aux PRC, et ainsi voir l’impact de nos

différentes tables sur ce type de provisions :

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Comparaison des liquidations de PM selon la loi de maintien utilisée

Liquidation de la PM pour une loi de maintien tous sexes confondus

Liquidation de la PM pour une loi de maintien Homme

Liquidation de la PM pour une loi de maintien Femme

Pro

visi

on

s m

ath

émat

iqu

es


91

Fig. 24 - PRC pour la loi de maintien tous sexes confondus

Fig. 25 - PRC pour la loi de maintien segmentée par sexe

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

PRC pour la loi de maintien tous sexes confondus

52 ts âges confondus 53 ts âges confondus 54 ts âges confondus 55 ts âges confondus 56 ts âges confondus 57 ts âges confondus






88 ts âges confondus 89 ts âges confondus 90 ts âges confondus


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 5 10 15 20 25 30 35 40

PRC pour la loi de maintien segmentée par sexe

52 f 53 f 54 f 55 f 56 f 57 f 58 f 59 f 60 f 61 f

62 f 63 f 64 f 65 f 66 f 67 f 68 f 69 f 70 f 71 f

72 f 73 f 74 f 75 f 76 f 77 f 78 f 79 f 80 f 81 f

82 f 83 f 84 f 85 f 86 f 87 f 88 f 89 f 90 f 52 h

53 h 54 h 55 h 56 h 57 h 58 h 59 h 60 h 61 h 62 h

63 h 64 h 65 h 66 h 67 h 68 h 69 h 70 h 71 h 72 h

73 h 74 h 75 h 76 h 77 h 78 h 79 h 80 h 81 h 82 h

83 h 84 h 85 h 86 h 87 h 88 h 89 h 90 h

Pro

visi

on

s p

ou

r ri

squ

es c

rois

san

ts


Pro

visi

on

s p

ou

r ri

squ

es c

rois

san

ts

92

Aux âges élevés, nous noterons une petite cassure sur la courbe des PRC, ceci étant dû aux

calculs de PRC négatives pour les contrats les plus anciens. Nous avons préféré annuler ces

PRC négatives par convention. Dans l’illustration, nous ne nous intéresserons pas à la

problématique de mutualisation des têtes assurées et ainsi de l’impact de PRC négatives.

Nous observons à nouveau l’effet lié à la segmentation par sexe, mais nous constatons aussi

que la pente de la courbe augmente d’autant plus que l’âge est élevé. Cela signifie que plus

l’âge est élevé et plus la constitution de la provision pour risque croissant est rapide.

93

IV] Simulation stochastique sur le risque dépendance

IV]1) Description

Dans cette partie, nous décrivons un modèle stochastique permettant d’évaluer les

provisions techniques au sens de Solvabilité II des engagements liés au risque dépendance

véhiculé par les produits 1, 4 et 5. Dans cet objectif, nous déterminons de manière aléatoire

les différents états dans lesquels les individus peuvent se trouver : valide, dépendant, ou

décédé. Pour que l’on puisse utiliser les tables d’expérience construites préalablement, l’état

de dépendance correspondra au niveau total de la maladie.

La transition d’un état à un autre de la maladie est préalablement initiée par un modèle

d’état du type chaîne de Markov. En effet, celui-ci émet l’hypothèse que l’état d’un individu

au cours de l’intervalle de temps considéré dépend uniquement de l’état dans lequel il se

trouvait au début de ce même pas de temps.

Définition.

Une chaine de Markov est une suite de variables aléatoires telle que, pour chaque ,

connaissant la valeur de , soit indépendante de , pour inférieur ou égal à .

Autrement dit, pour tout et pour toutes valeurs possibles la probabilité que

prenne la valeur sachant que , ,... , et ne

dépend que de et de :

94

Dans notre cas, nous pouvons illustrer les états par :

Fig. 26 – Etats et passages en dépendance

Sur ce graphique, les différentes probabilités de passage entre les états sont présentées.

Nous notons :

- : la probabilité pour qu’un individu soit valide à l’âge , sachant qu’il était

valide à l’âge

- : la probabilité pour qu’un individu entre en dépendance entre les âges

, sachant qu’il était valide à l’âge

- : la probabilité pour qu’un individu décède entre les âges , sachant

qu’il était valide à l’âge

- : la probabilité pour qu’un individu soit dépendant à l’âge , sachant

qu’il était dépendant à l’âge

- : la probabilité pour qu’un individu décède entre les âges , sachant

qu’il était dépendant à l’âge

Etat décédé

Etat Valide

Etat dépendant

Total

1

95

Dans notre modélisation, les rémissions ne sont pas admises conformément au portefeuille

étudié. Nous percevons également que tous les états n’ont qu’un seul antécédent.

Le processus sans mémoire décrit ici, entre bien dans le cadre de la définition d’une chaîne

de Markov.

A un âge donné, les probabilités de passage peuvent être résumées dans une matrice

:

Etant donné que les rémissions sont impossibles dans notre cas, la matrice est

triangulaire supérieure.

Les probabilités de passage sont déterminées par âge, comme suit:

- : probabilité de survivre entre l’âge et selon la table TH/F-0002

-

: probabilité d’entrée en dépendance à l’âge selon la table d’expérience

obtenue en II]1)

- : probabilité de maintien en dépendance entre l’âge et selon la table

de maintien obtenue en II]2)

-

-

Dans ce cas, les probabilités de décès se déduisent des autres valeurs établies en hypothèse,

ce qui implique que la somme de chaque ligne de est égale à 1.

Les probabilités étant définies, nous pouvons introduire le modèle stochastique sur le risque

dépendance.

val

dep

dec

val dep dec

96

IV]2) L’algorithme

Nous proposons de simuler les états successifs d’un assuré d’âge au cours de la vie de son

contrat selon un algorithme de rejet se basant sur des tirages d’une loi uniforme en

fonction des probabilités de passage définies dans la matrice définissant la chaîne de

Markov initiée précédemment.

L’évolution de l’état de l’assuré d’une année à une autre s’effectue de la manière suivante ;

soit une réalisation de variable aléatoire uniforme :

- Si , l’assuré reste valide entre les âges et

- Si

, l’assuré entre en dépendance entre les âges et

- Si

, l’assuré décède entre les âges et

Si l’assuré est valide à l’âge , nous procédons de la même façon que précédemment. Si

l’assuré est décédé entre les âges et , l’algorithme s’arrête. En revanche, si l’assuré

entre en dépendance entre les âges et , un nouveau jeu de tirage aléatoire de

variable aléatoire uniforme , indépendante de , est effectué. La réalisation de

est ainsi comparée à la loi de maintien en dépendance :

- Si , l’assuré reste dépendant entre les âges et

- Sinon l’assuré décède entre les âges et

En résumé, pour simuler l’évolution de l’état d’un assuré d’âge à partir de la souscription

de son contrat jusqu’à un âge maximum de survie , nous devons construire le vecteur

des probabilités de survie cumulées. Ce vecteur constitue la

première borne de l’algorithme de rejet décrit ci-dessus. Nous construisons une deuxième

borne comme étant la somme de la première borne et du vecteur .

97

Nous générons ensuite un vecteur , de taille , de réalisations de la variable

aléatoire uniforme , puis on applique l’algorithme à chaque âge.

, on obtient :

- Si

, l’assuré est valide entre les âges et

- Si

, l’assuré entre en dépendance à l’âge

(ou années après la souscription)

- Si

, l’assuré décède entre les âges et

Nous sommes ainsi capables de déterminer l’année d’entrée en dépendance et celle de

décès.

Deux cas de figure peuvent se présenter :

- Si l’année de décès est inférieure à l’année d’entrée en dépendance, nous

considérons que la personne est valide jusqu’à l’année de décès, puis qu’elle n’est

plus sous risque au-delà. En toute logique, les entrées en dépendance postérieures

aux décès ne sont pas prises en considération ;

- Si l’année d’entrée en dépendance est inférieure à l’année de décès, un nouveau

vecteur , de taille 10, de réalisations de la variable aléatoire , indépendant de

, est généré. Cette taille correspond au nombre d’années maximales en état de

dépendance indicé dans la loi de maintien obtenue par les données d’expérience.

Dans ce cas, , si

, l’assuré se maintient en

dépendance entre les âges et .

A l’issue de cette algorithme, un vecteur de taille est rempli par les différents états de

l’assuré, de sa souscription à l’âge , jusqu’à l’âge maximal de survie . Dans ce vecteur,

nous notons les états comme suit : 1 assuré valide, 2 assuré dépendant, et 3 assuré décédé.

98

Pour chaque âge 16, nous réalisons simulations pour obtenir

vecteurs d’états sur l’évolution de la vie de l’assuré. Nous obtenons une matrice de

dimension . Une réalisation de la matrice appartient ainsi à l’ensemble

.

A l’aide des informations de cette matrice, nous pouvons désormais calculer les estimateurs

suivants :

- La probabilité d’entrer en dépendance avec :

- La probabilité de maintien en dépendance

entre l’âge et , avec

:

L’algorithme de programmation a été implémenté sous Matlab, via la fonction rand()

permettant de générer des nombres aléatoires entre 0 et 1. Ce générateur de nombres

aléatoires est celui indiqué par défaut dans Matlab et représente le plus performant des

générateurs proposés par ce logiciel statistique. Il fait référence à la méthode de Mersenne

Twister, créée par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimua [1997].

Pour estimer les probabilités définies ci-dessus, nous nous appuyons sur la théorie des

méthodes de Monte-Carlo. Ces techniques permettent d’approcher numériquement ces

valeurs, et ont pour essence l’utilisation d’expériences répétées pour les évaluer.

Pour illustrer la méthode de Monte-Carlo, nous pouvons introduire un exemple de problème

d’intégration numérique.

16

: et , les âges minimums et maximums considérés dans les simulations

99

L’objectif est alors d’estimer :

La méthode de Monte-Carlo estime l’intégrale de la façon suivante :

est définie comme une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1]. On peut à ce

titre utiliser la loi des grands nombres, ce qui permet d’énoncer :

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme sur [0,1], on

obtient que :

Ce postulat implique que si on considère nombres aléatoires entre 0 et 1, une

approximation de est donnée par :

devra être assez élevé pour obtenir une vitesse de convergence relativement importante.

Le lecteur intéressé pourra se référer à la note de Laure Elie et Bernard Lapeyre [2001] en ce

qui concerne les vitesses de convergence.

La méthode de Monte-Carlo ainsi définie, l’application à notre situation nécessite de générer

fois la matrice pour chaque âge. La moyenne obtenue pour les trois paramètres, après

itérations, définira les lois d’entrées, les espérances de survie et les lois de maintien en

dépendance stochastiques. Les itérations par Monte-Carlo permettront ainsi de définir

trajectoires différentes pour les paramètres estimés.

100

IV]3) Application numérique

IV]3)1) La loi d’entrée en dépendance stochastique

A l’aide de la célèbre méthode de Monte-Carlo, nous avons généré 1000 courbes d’entrée en

dépendance sur des âges étant choisis dans l’intervalle ,52,…,85-. La figure suivante permet

d’illustrer ces résultats:

Fig. 27 – Simulation de lois d’entrée en dépendance

Nous observons grâce à la méthode de Monte-Carlo, trajectoires possibles pour

l’entrée en dépendance des assurés du portefeuille étudié.

Il est important de signaler que le nombre de simulation choisi permet notamment une

vitesse de convergence très satisfaisante, comme on peut le constater sur le graphique de

comparaison de la courbe moyenne de Monte-Carlo et de la courbe d’entrée en dépendance

d’expérience :

101

Fig. 28 – Comparaison loi d’entrée en dépendance MC vs. Expérience

Nous remarquons la parfaite adéquation entre la loi d’expérience et la loi moyenne obtenue

par Monte-Carlo. Nous retrouvons en moyenne la loi initiale entrée en paramètre, ce qui

montre la qualité de nos simulations.

Nous avons cependant simulé pour des âges allant de 52 à 85 ans. Les calculs réalisés au-

delà nécessitent une extrapolation de ces courbes pour les âges plus élevés. Dans ce but,

nous introduisons un ajustement des taux simulés sur la base des logits. Cette méthode tient

du compte du fait que les taux d’entrée , nous définissons dans ce cas :

Cette transformation permet de se ramener à des valeurs comprises entre . Un

modèle permet d’ajuster les logits en constatant leur prédisposition linéaire.

Pro

bili

tés

d’e

ntr

ées

en

dép

end

ance

102

Nous observons par ce biais que :

, un bruit blanc

Nous effectuons une régression linéaire sur la variable des âges pour estimer les paramètres

et . Les logits retenus sont de la forme , d’où :

Le graphique suivant présente les résultats retenus jusqu’à un âge maximal fixé :

Fig. 29 – Lissages par logit des lois d’entrée en dépendance simulées

Les 1000 lois d’entrée en dépendance lissées par logit seront utilisées par la suite pour

évaluer les engagements stochastiques de l’assureur.

103

IV]3)2) Espérances de survie en état dépendance stochastiques

Nous déduisons des simulations les distributions des espérances de survie en état de

dépendance pour chaque âge.

Nous présentons ces dernières pour les âges 60, 65, 70, 75, 80, 85, sur le graphique suivant:

Fig. 30 – Distribution des espérances de survie simulées

Nous déduisons de ce graphique que les espérances de vie diffèrent selon l’âge de la

personne sinistrée. D’après les simulations de Monte-Carlo, les individus entrés en

dépendance à un âge élevé se maintiennent plus longtemps en moyenne que les plus jeunes

sinistrés. Nous pouvons émettre l’hypothèse que les personnes les plus jeunes sont

généralement dépendantes à la suite d’un accident ou une maladie grave et donc se

maintiennent moins longtemps. Cet effet est notamment déjà visible sur notre portefeuille,

et dans les années à venir, nous pourrons confirmer cette hypothèse lorsque les bases de

données seront plus étoffées.

104

Nous ajustons également à chaque distribution une loi connue. Pour choisir la loi la plus

adéquate, nous testons plusieurs distributions de lois usuelles, et nous choisissons

finalement celle dont la distance de Kolmogorov-Smirnov, entre les données simulées et la

loi, est la plus petite. La loi la plus appropriée est la loi normale pour chaque âge, ce que

nous constatons sur le graphique précédent, et plus particulièrement pour l’âge 75 ans :

Fig. 31 – Fit de l’espérance de survie à 75 ans

Nous observons que la fonction de répartition pour l’âge 75 ans adhère avec une quasi

perfection la fonction de répartition de la loi normale ajustée. De plus, le graphique

« qq-plot » confirme l’hypothèse de normalité de la distribution à 75 ans, car la plupart des

points sont alignés avec la première bissectrice.

Cependant, pour les âges inférieurs à 65 ans, les ajustements présentent des lois normales à

queues de distributions épaisses. Ce phénomène peut être expliqué par les taux faibles

d’entrée en dépendance pour les âges les plus jeunes, ce qui implique des résultats plus

dispersés dans les simulations.

105

Le tableau suivant résume les informations essentielles sur les distributions des espérances

de vie pour les âges 60 et 85 :

Age Moyenne Ecart-type Loi ajustée par KS VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75%

60 3,1223 1,43317 Normal 3,7343 7,5 4,7834

85 4,7201 0,0494024 Normal 4,8721 5,2778 5,0094

Tab. 10 – Statistiques sur les distributions de survie

Les écart-types pour les plus jeunes sont plus importants, ce qui montre d’ailleurs la

dispersion des résultats pour ces âges-là.

Nous calculons les Value-at-Risk (VaR) pour tous les âges ainsi que les Tail Value-at-Risk

(TVaR), à des seuils différents. On rappelle la définition de la VaR :

Définition.

La Value-at-Risk au seuil α est définie par :

La Tail Value-at-Risk peut être simplement définie comme la moyenne des VaR au-delà du

seuil défini. Une Tail VaR au seuil 75% a d’ailleurs été définie comme mesure des pires

situations dans Solvabilité 2.

Selon le degré de prudence visé, différentes visions de l’espérance de survie en dépendance

peuvent être retenues : celle de la moyenne étant la moins prudente, ou celle

correspondant aux notions de VaR résumant les pires scénarios possibles.

106

IV]3)3) La loi de maintien en dépendance stochastique

Les simulations réalisées grâce à la méthode de Monte-Carlo permettent d’obtenir une loi de

maintien par âge, alors que sur la base de données initiale nous obtenons seulement une loi

applicable tous âges confondus. La représentation de toutes les trajectoires de la loi de

maintien n’est pas réalisable, car il aurait fallu dans ce cas un graphique à 4 dimensions.

Nous observons dans ce cas la loi de maintien moyenne obtenue grâce à la méthode de

Monte-Carlo :

Fig. 32 – Loi stochastique de maintien en dépendance

107

Fig. 33 – Loi stochastique de maintien en dépendance

Nous constatons sur ce graphique que les personnes âgées ont des probabilités de survie

plus importantes que les plus jeunes. Ce même constat a également été réalisé pour les

espérances de survie stochastiques, et nous en pouvons émettre le même type d’hypothèses

concernant la cause.

Nous comparons à la loi de maintien obtenue par Monte-Carlo avec la loi de maintien HID :

Fig. 34 – Comparaison des lois de maintiens stochastiques vs HID

Monte-Carlo

HID

108

La loi de maintien par âge obtenue grâce aux simulations est toujours supérieure à la loi de

maintien issue de l’enquête HID. Les personnes se maintiennent donc plus longtemps si on

tient compte de l’expérience en portefeuille. Les conclusions restent les mêmes qu’au

paragraphe II]2).

Etant donné que les simulations ont pu être réalisées que pour les âges {52,85}, nous

considérons pour les âges de 86 ans à , que la personne dépendante se maintient de la

même façon qu’une personne de 85 ans. Au-delà, les entrées en dépendance ne peuvent

plus se produire. Cette hypothèse semble surpondérer le maintien en dépendance à ces

âges, or, dans ce cas, les probabilités de survie en étant valide sont faibles, ce qui implique

un nombre plus faible d’entrées en dépendance et n’aura donc pas de réelles conséquences

sur l’évaluation du risque.

IV]3)4) Les rentes stochastiques servies en dépendance

Les simulations de Monte-Carlo permettent de calculer les rentes servies en

dépendance, qui sont définies par :

Où :

: ancienneté maximale de la loi de maintien simulée par Monte-Carlo.

: probabilité de rester en dépendance d’après la loi de maintien simulée

par Monte-Carlo actualisée au taux .

: courbe des taux d’intérêts utilisée dans le QIS517, donnée par le CEIOPS18.

17

: Quantitative Impact Studies 5 18

: Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors

109

On obtient ainsi valeurs de rentes pour chaque âge. Nous représentons les rentes

moyennes par âge :

Fig. 35 – Moyenne des rentes stochastiques de dépendance

La croissance de valeur actuelle des rentes était prévisible, sachant que l’âge d’entrée en

dépendance influe sur la durée de maintien dans l’état. Un individu entrant en dépendance à

un âge plus élevé coûtera ainsi plus cher à la compagnie d’assurance. Conformément à

l’hypothèse de constance des probabilités de maintien au-delà de 85 ans, le coût actualisé

des rentes est stabilisé à partir de cet âge.

IV]3)5) Evaluation stochastique des engagements à la souscription

Le but est alors d’évaluer de manière stochastique l’engagement de l’assureur lors de la

souscription d’une personne à l’âge .

110

A ce titre, nous utilisons la loi de mortalité des valides, les lois d’entrée en dépendance

stochastiques, et les rentes de dépendance stochastiques. Nous définissons ainsi

l’engagement pour chaque âge :

Par ce biais, nous obtenons ainsi trajectoires différentes pour les engagements de

l’assureur :

Fig. 36 – Evaluation stochastique des engagements de l’assureur

Une croissance nette des engagements de l’assureur est visible sur ce graphique. Ce constat

permet donc d’introduire une méthode de provisionnement stochastique sur le risque

dépendance. Un tel type de provisionnement entre dans le cadre de solvabilité II, grâce à un

ajustement plus fin du risque à travers des méthodes de simulation.

111

Nous pouvons également présenter les distributions des engagements pour les âges 60, 65,

70, 75, 80, 85 :

Fig. 37 – Distributions des engagements simulés de l’assureur

Les engagements de l’assureur croissent en moyenne d’après les distributions, et le test de

Kolmogorov-Smirnov conclut à nouveau à une meilleure adéquation par la loi normale. Les

queues de distributions semblent plus épaisses pour les âges élevés dans ce cas, ceci étant

dû au manque de données aux âges élevés.

En particulier pour l’âge 75 ans, nous décrivons l’adéquation de la distribution à la loi

normale :

Fig. 38 – Fit de la distribution des engagements stochastiques de l’assureur à 75 ans

112

Comme pour les espérances de survie, nous constatons une adéquation quasi-parfaite avec

la loi normale en nous appuyant sur la fonction de répartition et le « qq-plot ».

Nous rajoutons également les statistiques issues des distributions pour les âges 60 et 85,

ainsi que le montant des engagements calculés en déterministe dans le paragraphe III]1) :

Age Moyenne Ecart-type Loi ajustée KS VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75% Déterministe

60 0,4843 0,0009 Normal 0,5055 0,5668 0,526 0,6253

85 1,5972 0,0252 Normal 1,6991 2,0239 1,8126 1,4755

Tab. 11 – Statistiques sur les distributions des engagements stochastiques de l’assureur

Une évaluation des engagements de l’assureur peut être effectuée selon le degré de

prudence voulu : en référence à la moyenne, ou à la Value-at-Risk pour une prudence plus

élevée. En émettant l’hypothèse que les simulations stochastiques mesurent plus finement

le risque dépendance, nous pouvons noter que le calcul des engagements de façon

déterministe implique un sur-provisionnement selon nos hypothèses sur les âges plus

faibles, et un sous provisionnement pour les âges les plus élevés.

On peut le remarquer plus précisément sur le graphique suivant :

Fig. 39 – Engagements stochastiques de l’assureur par âge

113

Nous allons à présent calculer les primes pures annuelles stochastiques.

IV]3)6) Evaluation des primes pures annuelles stochastiques en dépendance

Nous pouvons dans cette partie prendre la formule classique permettant d’obtenir les

primes pures annuelles pour un âge de souscription :

Nous présentons sur le graphique suivant les résultats obtenus pour les âges 60, 65, 70, 75,

80, 85, ainsi que la comparaison par rapport au tarif déterministe:

Fig. 40 – Primes pures annuelles stochastiques par âge

114

Age Moyenne VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75% Déterministe

60 3,39% 3,53% 3,96% 3,68% 3,74%

85 32,19% 34,24% 40,78% 36,53% 28,75%

Tab. 12 – Statistiques des tarifs stochastiques

Le tarif déterministe, obtenu selon les hypothèses retenues en III]1), se confond aux

résultats obtenus pour les plus jeunes âges, mais est bien inférieur aux résultats de

tarification stochastique pour les âges plus élevés. L’utilisation du tarif déterministe

impliquerait une sous-tarification et donc une sous-évaluation du risque pour les âges

élevés.

L’utilisation d’une tarification stochastique permet de mieux apprécier le risque réel pris par

l’assureur dans le cas de la dépendance, et ainsi utiliser des provisions de type stochastique.

Nous allons à présent valoriser les engagements des produits 1, 4 et 5 selon la méthode

stochastique versus la méthode déterministe.

IV]3)7) Etudes des portefeuilles d’expérience

Dans ce dernier paragraphe concernant l’évaluation stochastique, nous allons rapprocher les

résultats des méthodes d’évaluation déterministes des engagements à celles obtenues de

manière stochastique.

A ce titre, nous utilisons les bases de données des assurés arrêtés au 31/12/2009,

concernant les produits 1, 4 et 5. Une agrégation par âge et par rente est préalablement

réalisée. Ce regroupement permet de pondérer les âges par le montant total des rentes

souscrites par les clients. L’évaluation est ensuite réalisée en faisant l’hypothèse que les

assurés sont considérés sous risque à partir du 31/12/2009.

115

Hypothèses retenues pour l’évaluation des engagements déterministes:

- La table d’entrée en dépendance d’expérience, cf. II+1) ;

- La loi de maintien obtenue tous âges confondus, cf. II]2) ;

- Un taux technique constant égal à 2,5% ;

- Une loi de mortalité des valides TD/V-8890 : contrairement au paragraphe précédent,

nous avons choisi d’illustrer l’évaluation avec la loi de mortalité TD/V-8890 car elle

est encore plus souvent utilisée sur le marché (pour la dépendance).

Les hypothèses retenues pour l’estimation stochastique restent les mêmes qu’en IV+3)5).

Dans un premier temps, nous présentons les distributions des engagements sur les 3

portefeuilles, obtenues grâce aux trajectoires des simulations de Monte-Carlo:

Fig. 41 – Distribution des engagements pour les 3 produits considérés

Nous obtenons un niveau d’engagement moyen différent selon les portefeuilles, et une

adéquation par la loi normale, la plus satisfaisante du point de vue du test de Kolmogorov-

Smirnov. La tendance normale suivie par chaque distribution peut également être mise en

évidence par la construction de graphique « qq-plot » :

1

2

3 1

2

3

116

Fig. 42 – Normal Fit pour les engagements des 3 produits considérés

Ce graphique conforte l’hypothèse d’une adéquation par la loi normale des distributions de

nos simulations. Nous observons une légère divergence sur les queues de distributions, mais

l’hypothèse de normalité reste tout de même vérifiée.

Le tableau ci-dessous résume les valeurs d’engagements issues des distributions des

produits 1, 4 et 5 selon la méthode stochastique, ainsi que l’estimation des engagements

selon la méthode déterministe :

Tab. 13 – Statistiques sur les engagements des 3 produits considérés

Nous constatons sur ce tableau que les engagements calculés en déterministe sont inférieurs

à la moyenne, à la VaR 75%, à la VaR 99,5%, et la la TVaR 75% calculés à partir des

simulations stochastiques. Ce constat peut par ailleurs être également fait sur les graphiques

suivants:

Produit Moyenne Ecart-type VaR 75% VaR 99,5% TVaR 75% Comptable

1 3 665 161 312 242 3 869 753 4 494 304 4 079 949 3 314 270

4 2 970 246 209 013 3 109 077 3 526 686 3 246 426 2 807 367

5 5 838 503 430 116 6 125 547 6 986 452 6 407 663 5 412 531

1

2

3 1

2

3

117

Fig. 43 – Comparaison des engagements stochastiques vs. Comptabilisés en déterministe

Les engagements déterministes sont inférieurs à l’engagement moyen obtenu par les

simulations stochastiques. Nos estimations permettent de conclure à une sous évaluation du

provisionnement calculé par la méthode déterministe sur ces 3 produits. Un risque de défaut

de l’assureur peut donc naître suite à une estimation inadaptée de ce risque. Pour compléter

ce propos, on peut faire ressortir le fait que sur toutes les simulations réalisées, les

engagements déterministes étaient inférieurs dans au moins 78% des cas et selon le détail

suivant :

1 2

3

118

Produit Probabilité de défaut

1 87,8%

4 78%

5 83,70%

Tab. 14 – Probabilités d’insuffisance de la méthode déterministe

Un Best Estimate, évalué selon des estimations d’engagements stochastiques, permettrait

de mieux mesurer le risque que porte l’assureur sur ces produits. Ce type d’estimation entre

dans le cadre de Solvabilité 2, qui préconise notamment les recours aux données

d’expérience, et à des simulations stochastiques.

IV]3)8) Des pistes d’amélioration

La directive Solvabilité 2, en imposant des règles de mesure du risque au plus proche de

l’expérience issue du portefeuille assuré, peut engendrer des impacts sur les tarifs et les

provisions. Des méthodes de simulation stochastique, comme celle de type Monte-Carlo

illustrée dans cette partie, permettent d’extraire les distributions des variables étudiées, et

ainsi de mieux appréhender le risque.

Les simulations stochastiques peuvent conduire au constat que le tarif des contrats est

insuffisant, comme l’a illustré notre étude.

Cependant, ce mémoire n’a porté que sur l’évaluation stochastique des engagements de

l’assureur, et ainsi du passif du bilan comptable. Or, nous pourrions compléter l’analyse avec

des simulations de type Monte Carlo pour les flux d’actifs mis en représentation des

provisions. Cette méthode permettrait de constater si l’assureur est en mesure de respecter

ses engagements, et ainsi éviter d’avoir à augmenter le tarif.

L’intégration de la mortalité d’expérience des valides permettrait d’ajuster encore plus

finement nos estimations, par le biais de méthodes de type Lee-Carter, ou Poisson log-

bilinéaire.

119

Conclusion

L’application des modèles de durée a permis de construire une table d’entrée en

dépendance totale à partir des données recensées sur 5 produits collectifs de la CNP.

L’ajustement par la méthode de Makeham a défini une loi paramétrée pour l’entrée en

dépendance. Cette méthode pourra être réutilisée lorsque les bases de données seront plus

étoffées, ce qui permettra une analyse régulière du risque. De plus, ces études permettront

d’estimer plus précisément les taux d’incidence aux grands âges et la segmentation par sexe.

La loi de maintien en dépendance totale a été modélisée par la méthode de Kaplan-Meier

avec une ancienneté maximale de 10 ans. Les sauts sur la courbe ont été corrigés par les

splines cubiques, puis finalement lissés par Whittaker-Henderson.

Les deux lois d’expériences nous ont permis de quantifier les engagements de l’assureur de

manière déterministe à travers les formules actuarielles classiques. Cependant, ces

estimations sont figées, et ne tiennent pas compte de tous les scénarios possibles

applicables à notre portefeuille.

Nous avons alors présenté une méthode de simulation de type Monte-Carlo, permettant de

projeter les états des assurés un grand nombre de fois. Nous obtenons ainsi des tables

d’entrée et de maintien en dépendance stochastiques. Celles-ci rendent possible le calcul

d’engagements stochastiques de l’assureur et ainsi le passif du bilan comptable. Cette

méthode couple les résultats d’expérience à des simulations, pour mesurer le plus finement

possible le risque pris par l’assureur, et entre dans le cadre des directives de Solvabilité 2.

Par ailleurs, une étude portant sur l’estimation stochastique de l’actif du bilan, en

représentation du passif concernant le risque dépendance, permettrait ainsi de juger du bon

respect des engagements de la part de l’assureur.

120

Bibliographie

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facultative », Mémoire Université Paris Dauphine, octobre 2009

122

Annexes

La grille COLVEZ

La grille COLVEZ est une grille d’appréhension de la dépendance (au sens du besoin d’aide)

qui mesure la perte de mobilité ; elle est parfois complétée en incluant l’existence de

troubles psychiques. Elle décrit les personnes par quatre degrés de la maladie:

Niveau 1 Personnes confinées au lit ou au fauteuil

Niveau 2 Personnes non confinées au lit ou au fauteuil, ayant besoin d’aide pour la

toilette et l’habillage

Niveau 3 Personnes ayant besoin d’aide pour sortir de leur domicile ou de l’institution

mais n’appartenant pas aux niveaux 1 et 2

Niveau 4 Autres personnes considérées comme non dépendantes

Tab. 15 – Grille Colvez

On définira les niveaux 1 et 2 comme étant de la dépendance lourde, le niveau 3 constituant

la dépendance partielle. Grâce à sa simplicité, la grille COLVEZ a permis de fournir des

estimations sur la population dépendante française depuis le début des années 90.

123

La grille EHPA

La grille EHPA19 regroupe les notions de dépendance physique et psychique. Elle croise les

quatre niveaux de la grille COLVEZ sur la dépendance physique avec deux groupes définis

selon l’existence ou non de troubles du comportement ou de désorientation dans l’espace et

dans le temps. On peut alors distinguer huit groupes répartissant les personnes

dépendantes, qui incluent les deux notions définies par la dépendance.

Les huit groupes EHPA créés sont les suivants :

EHPA 11 Dépendance psychique et confiné au lit ou au fauteuil

EHPA 12 Dépendance psychique et besoin d’aide pour la toilette et l’habillage

EHPA 13 Dépendance psychique et besoin d’aide pour sortir du domicile ou de

l’institution

EHPA 14 Dépendance psychique et pas de dépendance physique

EHPA 21 Peu ou pas de dépendance psychique et confiné au lit ou au fauteuil

EHPA 22 Peu ou pas de dépendance psychique et besoin d’aide pour la toilette et

l’habillage

EHPA 23 Peu ou pas de dépendance psychique et besoin d’aide pour sortir du domicile ou

de l’institution

EHPA 24 Peu ou pas de dépendance psychique et pas de dépendance physique

Tab. 16 – Grille EHPA

19

Etablissements d’Hébergement pour Personnes Agées

124

La grille selon les actes de la vie quotidienne (AVQ)

Cette classification est proposée par KATZ, mais n’intègre pas l’aspect de déficience

psychique. Elle comporte les différents AVQ suivants :

AVQ 1 Se laver entièrement

AVQ 2 S’habiller

AVQ 3 Aller aux toilettes et les utiliser

AVQ 4 Se coucher ou quitter son lit et s’asseoir ou quitter son siège

AVQ 5 Contrôler ses selles et ses urines

AVQ 6 Manger des aliments déjà préparés (cuisinés et coupés)

Tab. 17 – Les AVQ

A partir des AVQ, KATZ propose alors 8 niveaux qui mesurent l’état de dépendance du sujet :

Niveau 1 Indépendant pour les six activités

Niveau 2 Dépendant pour une seule des six activités

Niveau 3 Dépendant pour deux des six activités dont la première

Niveau 4 Dépendant pour trois des six activités dont les deux premières

Niveau 5 Dépendant pour quatre des six activités dont les trois premières

Niveau 6 Dépendant pour cinq des six activités dont les quatre premières

Niveau 7 Dépendant pour les six activités

Niveau 8 Dépendant pour au moins deux activités sans être dans les autres niveaux

Tab. 18 – Niveau de dépendance

125

La grille AGGIR

Nous avons vu précédemment que la dépendance est un état obligeant une personne

sinistrée de recourir à un aide extérieure pour effectuer les gestes de la vie quotidienne.

La grille AGGIR (Autonomie Gérontologique Groupe Iso-Ressources) a été créée pour évaluer

les besoins financiers que la survenance de la dépendance implique. Elle mesure le degré de

perte d’autonomie et classe les sinistrés en six Groupes Iso-Ressources (GIR).

- La classification selon un GIR est réalisée grâce à dix variables discriminantes relatives

à la perte d’autonomie physique et psychique:

Cohérence Converser et/ou se comporter de façon sensée

Orientation Se repérer dans le temps, dans les moments de la journée

et dans les lieux

Toilette Se laver seul

Habillage S’habiller, se déshabiller, se présenter

Alimentation Manger les aliments préparés

Elimination Assumer l’hygiène de l’élimination urinaire et fécale

Transferts Se lever, se coucher, s’asseoir

Déplacements à l’intérieur du

domicile ou établissement Mobilité spontanée, y compris avec un appareillage

Déplacements à l’extérieur Se déplacer à partir de la porte d’entrée sans moyen de

transport

Communication à distance Utiliser les moyens de communication, téléphone,

sonnette, alarme…

Tab. 18 - Classification

126

- Sept variables illustratives indiquent le degré d’autonomie domestique et sociale,

mais n’entrent pas en jeu pour l’affectation d’un GIR :

-

Gestion Gérer ses propres affaires, son budget, ses biens

Cuisine Préparer ses repas et les conditionner pour être servis

Ménage Effectuer l’ensemble des travaux ménagers

Transport Prendre et/ou commander un moyen de transport

Achats Acquisition directe ou par correspondance

Suivi du traitement Se conformer à l’ordonnance du médecin

Activités de temps

libre

Pratiquer des activités sportives, culturelles, sociales, de loisirs, ou

de passe-temps

Tab. 19 – Variables illustratives

- Chacune des ces variables, discriminantes ou illustratives, disposent de 3 modalités,

notées A, B ou C :

A Actes accomplis seul spontanément, totalement et correctement

B Actes partiellement effectués

C Actes non réalisés

Tab. 20 - Modalités

127

Après une étude faite sur ces variables, six Groupes Iso-Ressources sont créés:

GIR 1 Personnes confinées au lit, dont les fonctions mentales sont gravement altérées et

qui nécessitent une présence indispensable et continue d’intervenants

GIR 2

Ce groupe correspond à deux catégories :

- Personnes confinées au lit ou au fauteuil, dont les fonctions mentales ne

sont pas totalement altérées et qui nécessitent une prise en charge pour la

plupart des activités de la vie courante

- Personnes dont les fonctions mentales sont altérées, mais qui ont conservé

leurs capacités à se déplacer

GIR 3

Personnes ayant conservé leur autonomie mentale, partiellement leur autonomie

locomotrice, mais qui nécessitent quotidiennement et plusieurs fois par jour des

aides pour leur autonomie corporelle

GIR 4

Personnes n’assumant pas seules leur transfert mais qui, une fois levées, peuvent

se déplacer à l’intérieur du logement. Elles doivent parfois être aidées pour la

toilette et l’habillage. Une grande majorité s’alimentent seules, celles n’ayant pas

de problèmes locomoteurs, mais devant être aidées pour les activités corporelles et

pour les repas

GIR 5

Personnes assurant seules leurs déplacements à l’intérieur de leur logement,

s’alimentant et s’habillant seules. Elles ont besoin d’une aide ponctuelle pour la

toilette, la préparation des repas et le ménage

GIR 6 Personnes qui n’ont pas perdu leur autonomie pour les actes discriminants de la vie

courante

Tab. 21 – Les GIR

128

Analyse descriptive des données

Fig. 47 - Répartition hommes/femmes par produit

Tab. 22 - Nombre de souscriptions par contrat depuis l’origine

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Répartition Homme/Femmes par produit

Nombre de souscriptions

Produits Nombre de souscriptions depuis la création du produit

1 6779

2 2197

3 21851

4 5705

5 12719

Total général 49251

129

Répartition des

dépendants

Aggravation de la

sinistralité

Produit 1 6779 Produit 1 8



Non dépendants 6185 -






Partielle 143 Total 31











Total dép.

partielle 292

Total

aggravations 63

Total dép. totale 2158

Total dép. 2450

Total

souscripteurs 49251

Tab. 23 - Historique des assurés et dépendants par contrat depuis l’origine

130

Répartition des

dépendants

Produit 1 594 %

Dépendants non décédés 307 52%

Dépendants décédés 287 48%

Produit 2 190 %



Produit 3 1048 %



Produit 4 144 %



Produit 5 474 %



Total dépendants non

décédés 1261 51%

Total dépendants décédés 1189 49%

Total dépendants 2450

Tab. 24 - Les décès chez les personnes dépendantes

estimation du best estimate sur le risque dépendance...4 résumé depuis quelques décennies, nous...

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