Estimation d’etat et diagnostic de systemes a

parametres incertains – Approche intervalle

Jose Ragot(1), Didier Maquin(1),Kamel Benothman(2), Mohamed Benrejeb(3)

(1)Centre de Recherche en Automatique de Nancy (CRAN)(2)Ecole Nationale d’Ingenieurs de Monastir (ENIM)

(3)Ecole Nationale d’Ingenieurs de Tunis (ENIT)

STA’06, Hammamet, 17-19 cecembre 2006

Plan de l’expose

1 Contexte de l’estimation d’etat

2 Representation intervalle des systemes

3 Principe de l’observateur intervalle

4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes

5 Conclusion & perspectives

Plan de l’expose

1 Contexte de l’estimation d’etat

2 Representation intervalle des systemes

3 Principe de l’observateur intervalle

4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes

5 Conclusion & perspectives

Plan de l’expose

1 Contexte de l’estimation d’etat

2 Representation intervalle des systemes

3 Principe de l’observateur intervalle

4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes

5 Conclusion & perspectives

Plan de l’expose

1 Contexte de l’estimation d’etat

2 Representation intervalle des systemes

3 Principe de l’observateur intervalle

4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes

5 Conclusion & perspectives

Plan de l’expose

1 Contexte de l’estimation d’etat

2 Representation intervalle des systemes

3 Principe de l’observateur intervalle

4 Application au diagnostic de fonctionnement de systemes

5 Conclusion & perspectives

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Contexte de l’estimation d’etat

Differentes structures d’observateur

Observateur de Luenberger

Filtre de Kalman

Observateurs a entrees inconnues

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes non structurees

Observateurs robustes vis-a-vis d’incertitudes structurees

Observateurs intervalles

Representation des incertitudes et hypotheses

Mesure imprecisey = y + ε

Hypothese statistique : loi a support infini

p(ε) =1

σ√

2πexp

(

− ε2

2σ2

)

p(y) =1

σ√

2πexp

(

−(y − y)2

2σ2

)

Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie

| ε |≤ δ

y − δ ≤ y ≤ y + δ

Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure

Representation des incertitudes et hypotheses

Mesure imprecisey = y + ε

Hypothese statistique : loi a support infini

p(ε) =1

σ√

2πexp

(

− ε2

2σ2

)

p(y) =1

σ√

2πexp

(

−(y − y)2

2σ2

)

Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie

| ε |≤ δ

y − δ ≤ y ≤ y + δ

Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure

Representation des incertitudes et hypotheses

Mesure imprecisey = y + ε

Hypothese statistique : loi a support infini

p(ε) =1

σ√

2πexp

(

− ε2

2σ2

)

p(y) =1

σ√

2πexp

(

−(y − y)2

2σ2

)

Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie

| ε |≤ δ

y − δ ≤ y ≤ y + δ

Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure

Representation des incertitudes et hypotheses

Mesure imprecisey = y + ε

Hypothese statistique : loi a support infini

p(ε) =1

σ√

2πexp

(

− ε2

2σ2

)

p(y) =1

σ√

2πexp

(

−(y − y)2

2σ2

)

Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie

| ε |≤ δ

y − δ ≤ y ≤ y + δ

Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure

Representation des incertitudes et hypotheses

Mesure imprecisey = y + ε

Hypothese statistique : loi a support infini

p(ε) =1

σ√

2πexp

(

− ε2

2σ2

)

p(y) =1

σ√

2πexp

(

−(y − y)2

2σ2

)

Hypothese de bornitude : erreur d’amplitude finie

| ε |≤ δ

y − δ ≤ y ≤ y + δ

Probleme de base : estimation de la grandeur vraie a partir de lamesure

Incertitudes de type intervalle – Capteur incertain

Caracteristique d’un capteur incertain

x

y y = g . x + h

g = 2 + δg , | δg |≤ 0.1

h = 4 + δh, | δh |≤ 0.3

Incertitudes de type intervalle – Capteur incertain

Caracteristique d’un capteur incertain

x

y y = g . x + h

g = 2 + δg , | δg |≤ 0.1

h = 4 + δh, | δh |≤ 0.3

Approche directe

1.9 ≤ g ≤ 2.1

1.9 x ≤ g . x ≤ 2.1 x x > 0

3.7 ≤ h ≤ 4.3

1.9 x + 3.7 ≤ y ≤ 2.1 x + 4.3y − 4.3

2.1≤ x ≤ y − 3.7

1.9

Incertitudes de type intervalle – Capteur incertain

Caracteristique d’un capteur incertain

x

y y = g . x + h

g = 2 + δg , | δg |≤ 0.1

h = 4 + δh, | δh |≤ 0.3

Approche directe

1.9 ≤ g ≤ 2.1

1.9 x ≤ g . x ≤ 2.1 x x > 0

3.7 ≤ h ≤ 4.3

1.9 x + 3.7 ≤ y ≤ 2.1 x + 4.3y − 4.3

2.1≤ x ≤ y − 3.7

1.9

Probleme : discernabilite de deux grandeurs

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

Modele lineaire en les parametres

y = xT θ, x ∈ IRn

Mesures avec erreurs additives sur y

yk = yk + εk , | εk | ≤ δy k = 1..N

Objectif et contrainte

a partir des mesures yk estimer les parametres θ et la borne deserreurs δy .le modele le plus “precis” est recherche, i.e. le modele caracterisepar les bornes les plus petites.

Ragot J., Maquin D., Adrot O., Parameter uncertainties characterisation for linear

models. 6th IFAC Symposium on Fault Detection, Supervision and Safety of

Technical Processes, Safeprocess’2006, Bejing, China, Aug.30–Sept.1, 2006.

Comment evaluer les bornes d’un parametre incertain ?

• Formulation LMI de l’estimation des bornes

yk = xTk θ + εk =⇒ | yk − xT

k θ |≤ δy =⇒

{

yk − xTk θ ≤ δy

−yk + xTk θ ≤ δy

−xT1 −1

. . .−xT

N −1xT1 −1

. . .xTN −1

(

θδy

)

≤

−y1

. . .−yN

y1

. . .yN

• L’identification consiste a determiner l’ensemble des parametresconsistants avec les mesures et les bornes du bruit ou desperturbations.

• Extension : on peut prendre en compte θ ∈ [θ− θ+]

Systeme dynamique incertain a representation intervalle

Systeme du premier ordre

xk+1 = [a].xk + b.uk , x0

yk = [c].xk

A chaque instant, les valeurs de a et c sont inconnues, mais leursbornes sont connues. La simulation doit donc etre faite enconsiderant l’etat comme un intervalle :

[xk+1] = [a].[xk ] + b.uk

[yk ] = [c].[xk ]

Si [a] est positif, les deux bornes sont definies par :{

x−

k+1 = 12x−

k

(

(a− + a+) − (a+ − a−)sgn(x−

k ))

x+k+1 = 1

2x+k

(

(a− + a+) + (a+ − a−)sgn(x+k )

)

Cas general : [xk+1] = [A].[xk ] + [B].[xk ]

Idee generale : construction d’ensembles admissibles

Systeme dynamique

x1(k + 1) = x2(k), x1(0) = [0.9 1]x2(k + 1) = [0.7 0.8]x1(k)x2(k), x2(0) = [0.5 0.6]y(k) = x1(k) + x2(k)

Bornes sur l’etat (modele)

{

0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.48

Mesurey(1) = [0.815 0.95]

⇒ 0.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95

Idee generale : construction d’ensembles admissibles

Systeme dynamique

x1(k + 1) = x2(k), x1(0) = [0.9 1]x2(k + 1) = [0.7 0.8]x1(k)x2(k), x2(0) = [0.5 0.6]y(k) = x1(k) + x2(k)

Bornes sur l’etat (modele)

{

0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.48

Mesurey(1) = [0.815 0.95]

⇒ 0.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95

Idee generale : construction d’ensembles admissibles

Systeme dynamique

x1(k + 1) = x2(k), x1(0) = [0.9 1]x2(k + 1) = [0.7 0.8]x1(k)x2(k), x2(0) = [0.5 0.6]y(k) = x1(k) + x2(k)

Bornes sur l’etat (modele)

{

0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.48

Mesurey(1) = [0.815 0.95]

⇒ 0.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95

Idee generale : construction d’ensembles admissibles

Contraintes

0.5 ≤ x1(1) ≤ 0.60.315 ≤ x2(1) ≤ 0.480.815 ≤ x1(1) + x2(1) ≤ 0.95

0 0.2 0.4 0.6 0.80.3

0.4

0.5

0.6

Fig.: Ensemble admissible

Observateur intervalle : cas non lineaire general

Systeme S :

{

xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv

yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw

Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk

Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk

Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}

Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)

D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)

Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy

x ,k+1

Observateur intervalle : cas non lineaire general

Systeme S :

{

xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv

yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw

Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk

Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk

Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}

Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)

D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)

Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy

x ,k+1

Observateur intervalle : cas non lineaire general

Systeme S :

{

xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv

yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw

Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk

Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk

Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}

Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)

D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)

Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy

x ,k+1

Observateur intervalle : cas non lineaire general

Systeme S :

{

xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv

yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw

Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk

Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk

Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}

Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)

D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)

Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy

x ,k+1

Observateur intervalle : cas non lineaire general

Systeme S :

{

xk+1 = f (xk , uk , vk) | vk |≤ δv

yk = h(xk) + wk | wk |≤ δw

Ensemble des sorties a l’instant k a partir des mesures yk

Dy ,k = {y / | y − yk | < δw}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k a partir des mesuresyk

Dyx ,k = {x ∈ IRn/ h(x) ∈ Dy ,k}

Ensemble des etats predits a l’instant k + 1 sur la base desmesures jusqu’a l’instant k (prediction)

D+x ,k = {f (xk , uk , vk) / x ∈ Dx ,k , | vk | ≤ δv}

Ensemble des etats admissibles a l’instant k + 1 (correction)

Dx ,k+1 = D+x ,k ∩ Dy

x ,k+1

Observateur intervalle : exemple

Modele

xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]

yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]

Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]

Mesures : y1 = 0.60

Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]

Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50

D+x ,0 = [0.60 0.68]

Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]

Observateur intervalle : exemple

Modele

xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]

yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]

Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]

Mesures : y1 = 0.60

Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]

Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50

D+x ,0 = [0.60 0.68]

Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]

Observateur intervalle : exemple

Modele

xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]

yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]

Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]

Mesures : y1 = 0.60

Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]

Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50

D+x ,0 = [0.60 0.68]

Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]

Observateur intervalle : exemple

Modele

xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]

yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]

Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]

Mesures : y1 = 0.60

Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]

Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50

D+x ,0 = [0.60 0.68]

Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]

Observateur intervalle : exemple

Modele

xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]

yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]

Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]

Mesures : y1 = 0.60

Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]

Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50

D+x ,0 = [0.60 0.68]

Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]

Observateur intervalle : exemple

Modele

xk+1 = [0.5 0.6]xk + 0.5, x0 ∈ [0.2 0.3]

yk = xk + wk , wk ∈ [−0.05 0.05]

Domaine d’etat initial : Dx ,0 = [0.20 0.30]

Mesures : y1 = 0.60

Etat estime a l’instant 1 : Dyx ,1 = [0.55 0.65]

Etat predit a l’instant 1 : D+x ,0 = [0.50 0.60][0.20 0.30] + 0.50

D+x ,0 = [0.60 0.68]

Etat admissible : Dx ,1 = [0.60 0.65]

Observateur intervalle sur horizon d’observation

• Modele du systeme a l’instant k :

xk+1 = [A]xk + [B]uk

• Instant k :

x−

k = minx0,A,B

(Akx0 + Ak−1Bu0 + ... + Buk−1), A ∈ [A], B ∈ [B]

x+k = max

x0,A,B(Akx0 + Ak−1Bu0 + ... + Buk−1), A ∈ [A], B ∈ [B]

• L’algorithme fournit l’enveloppe exacte des etats

• La complexite des calculs croıt avec le temps

• Le calcul en “temps reel” de l’enveloppe peut etre delicat

• Remarque : estimation sur horizon glissant

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele

Modele du systeme a surveiller : M ∈ {M0, M1, M2}Algorithme de detection du mode de fonctionnement

(0) Definir un domaine initial de recherche de l’etat D+x,0, k = 1.

(1) Faire l’acquisition des mesures uk et yk

(2) Caracteriser le domaine des sorties

Dy ,k = {y / | y − yk |≤ δw}

(3) Caracteriser les domaines des etats :

Dyx,k,i = {x ∈ IRn / hi (x) ∈ Dy ,k} i = 0, 1, 2

Tester la vacuite de Dyx,k,i

(4) Caracteriser les domaines des etats admissibles :

Dx,k,i = D+x,k−1,i ∩ Dy

x,k,i i = 0, 1, 2

(5) Caracteriser les domaines des etats par prediction :

D+x,k,i = {fi (x , uk , v) / x ∈ Dx,k,i , | v |≤ δv} i = 0, 1, 2

Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple

Systeme a surveiller avec plusieurs modes de fonctionnement

Mi

{

y(k) = X (k)θi (k)θi (k) = θ0,i + Tiη(k), | η(k) |≤ 1

(1)

Application numerique

θ0(k) =

(

2.53

)

+

(

0.1 0.2 −0.20.3 0.1 0.2

)

η(k)

θ1(k) =

(

3.54

)

+

(

0.1 0.20.3 0.1

)

η(k)

θ2(k) =

(

13

)

+

(

0.1 −0.1 0.20.1 0.1 0.1

)

η(k)

(2)

Probleme : connaissant y(k) et X (k) comment reconnaıtre lemode de fonctionnement ?

Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

Modèle 0, sortie y01

0 10 20 30 400

5

10

Modèle 0, sortie y02

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

Modèle 1, sortie y11

0 10 20 30 400

2

4

6

8

Modèle 1, sortie y12

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

Modèle 2, sortie y21

0 10 20 30 400

5

10

Modèle 2, sortie y22

Fig.: Sorties estimees par les trois modeles et sortie mesuree.

Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2Résidu sortie y

01(k) du modèle 0

0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2

4Résidu sortie y

02(k) du modèle 0

0 5 10 15 20 25 30-2

0

2

4Résidu sortie y

11(k) du modèle 1

0 5 10 15 20 25 30-2

0

2

4

6Résidu sortie y

12(k) du modèle 1

0 5 10 15 20 25 30-3

-2

-1

0

1Résidu sortie y

21(k) du modèle 2

0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2Résidu sortie y

22(k) du modèle 2

Fig.: Residus issus des trois modeles.

Estimation d’etat dans le cas multi-modele : exemple

0 5 10 15 20 25 30

0

0.5

1Indicateur τ

01

0 5 10 15 20 25 30

0

0.5

1Indicateur τ

02

0 5 10 15 20 25 30

0

0.5

1Indicateur τ

11

0 5 10 15 20 25 30

0

0.5

1Indicateur τ

12

0 5 10 15 20 25 30

0

0.5

1Indicateur τ

21

0 5 10 15 20 25 30

0

0.5

1Indicateur τ

22

Fig.: Indicateurs de mode de fonctionnement

Conclusion & perspectives

Conclusion

Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes

Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures

Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision

Perspectives

Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement

Analyse de l’influence des bruits de mesure

Conclusion & perspectives

Conclusion

Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes

Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures

Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision

Perspectives

Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement

Analyse de l’influence des bruits de mesure

Conclusion & perspectives

Conclusion

Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes

Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures

Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision

Perspectives

Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement

Analyse de l’influence des bruits de mesure

Conclusion & perspectives

Conclusion

Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes

Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures

Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision

Perspectives

Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement

Analyse de l’influence des bruits de mesure

Conclusion & perspectives

Conclusion

Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes

Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures

Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision

Perspectives

Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement

Analyse de l’influence des bruits de mesure

Conclusion & perspectives

Conclusion

Importance de la prise en compte des incertitudes desconnaissances dans la representation des systemes

Approche bornee valable pour les parametres de modele et lesmesures

Incertitudes du modele propagees jusqu’a la prise de decision

Perspectives

Reconnaissance non supervisee de mode de fonctionnement

Analyse de l’influence des bruits de mesure