Espaces vectoriels

Exercice 1. Sev de K3 engendrs par deux vecteursOn considre les vecteurs de K3 : a = (1, 2, 1), b = (1, 3, 2), c = (1, 1, 0), d = (3, 8, 5).Soient F = vect(a, b) et G = vect(c, d). Comparer F et G.

Exercice 2. Essai de basesMontrer que dans R3, les trois vecteurs a = (1, 0, 1), b = (1,1, 2) et c = (2, 1,2) forment une base,et calculer les coordonnes dans cette base dun vecteur X = (x, y, z).

Exercice 3. Rang de vecteursDans R4, trouver le rang de la famille de vecteurs :

a = (3, 2, 1, 0), b = (2, 3, 4, 5), c = (0, 1, 2, 3), d = (1, 2, 1, 2), e = (0,1, 2, 1).

Exercice 4. tude de liberttudier la libert des familles suivantes :1) E = { fcts : R R}, F = (sin, cos).2) E = { fcts : R+ R}, F = (fa : x 7 xa), a R.3) E = { fcts : R R}, F = (fa : x 7 |x a|), a R.

Exercice 5. Modification des vecteurs dune famille libreSoit E un espace vectoriel, (x1, . . . , xn) une famille libre de vecteurs de E, et 1, . . . , n des scalaires.On pose y =

ni=1 ixi, et xi = xi + y. tudier quelle condition la famille (x1, . . . , xn) est libre.

Exercice 6. Fonctions affines par morceauxSoit 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 une subdivision de [0, 1] et F lensemble des fonctions f : [0, 1] Rcontinues dont la restriction chaque intervalle [xi, xi+1] est affine. Montrer que F est de dimension finieet trouver une base de F .

Exercice 7. Somme de sous-espacesSoient F,G,H trois sous-espaces dun espace vectoriel E. Comparer F(G+(FH)) et (FG)+(FH).

Exercice 8. F G = F GSoient F,G, F , G des sev dun ev E.Montrer que si F G = F G alors (F + (G F )) (F + (G G)) = F .

Exercice 9. Projection et symtrie dans K3Dans K3, on donne les sous espaces : H = {X = (x, y, z) tq x+ y + z = 0} et K = vect(U = (1, 1, 2)).1) Dterminer dimH et en donner une base.2) Dmontrer que H K = K3.3) Donner les expressions analytiques des projection et symtrie associes : piH et sH .

Exercice 10. sev de K3[x]Soit K un corps de caractristique nulle, E = K3[X], F = {P E tq P (0) = P (1) = P (2) = 0},G = {P E tq P (1) = P (2) = P (3) = 0}, et H = {P E tq P (X) = P (X)}.1) Montrer que F G = {P E tq P (1) = P (2) = 0}.2) Montrer que F GH = E.3) tudier le cas o car(K) 6= 0.

Exercice 11. Caractrisation des sommes directesSoient F1, F2, F3 trois sev de E. Montrer que F1 +F2 +F3 est directe si et seulement si : F1 F2 = {0}et (F1 + F2) F3 = {0}. Gnraliser.

Exercice 12. Somme directe dans E somme directe dans L(E)Soit E = F1 . . . Fn et Fi = {u L(E) tq Im u Fi}. Montrer que F1 . . .Fn = L(E).

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Exercice 13. Toute somme peut tre rendue directe en rduisant les sevSoit E un K-ev de dimension finie, F1, F2, . . . , Fn des sev de E tels que F1+ . . .+Fn = E. Montrer quilexiste des sev G1 F1, . . . , Gn Fn tels que G1 G2 . . .Gn = E.

Exercice 14. Somme et intersectionSoit E un K-ev, E1, . . . , En des sev tels que E1 . . . En = E, F un autre sev de E, et Fi = Ei F .1) Montrer que la somme G = F1 + . . .+ Fn est directe.2) Comparer F et G.

Exercice 15. Polynmes trigonomtriquesSoit E lev RR, F le sev engendr par les fonctions fn : x 7 cos(nx), n N, et G le sev engendr par lesfonctions gn : x 7 cosn x, n N. Montrer que F = G.

Exercice 16. Intersection et somme de sevSoit E un ev de dimension finie et (Fi)iI une famille de sous-espaces de E. On note H =

iI Fi et

S =

iI Fi = vect(

iI Fi).

Montrer quil existe une partie finie, J , de I telle que : H =iJ Fi et S =

iJ Fi.

Exercice 17. SupplmentairesSoit E = H K et (e1, . . . , ek) une base de K.1) Montrer que pour tout a H, Ka = vect(e1 + a, . . . , ek + a) est un supplmentaire de H.2) Montrer que si a 6= b, alors Ka 6= Kb.

Exercice 18. dimH = dimK H et K ont un supplmentaire communSoient H,K deux sev dun ev E de dimension finie. Montrer que dimH = dimK si et seulement si H etK ont un supplmentaire commun (par rcurrence sur codimH).

Exercice 19. Supplmentaire commun, X MP 20051) Soit A = {P R[X] tq P = (1X)Q(X2) avec Q R[X]}.

a) Montrer que A est un R-ev et que lon a R[X] = A {polynmes pairs}.A-t-on R[X] = A {polynmes impairs} ?

b) Que peut-on dire si lon remplace Q(X2) par une fonction f paire ?2) Soient E1, E2 deux sev dun ev E tels que E1 et E2 sont isomorphes et E = E1 E2. Montrer que

E1 et E2 ont un supplmentaire commun.

Exercice 20. E nest pas union de sous-espaces strictsSoit K un corps infini, E un K-ev non nul et F1, . . . , Fn des sev stricts de E. On veut montrer queE 6= F1 . . . Fn :1) Traiter le cas n = 2.2) Cas gnral : on suppose Fn 6F1 . . . Fn1 et on choisit x Fn \ (F1 . . . Fn1) et y / Fn.

a) Montrer que : K, x+ y / Fn.b) Montrer que : i 6 n 1, il existe au plus un K tel que x+ y Fi.c) Conclure.

Exercice 21. Nombres algbriquesOn considre que R est un Q-espace vectoriel.1) Montrer que la famille (1,

2,3) est libre.

2) Montrer que la famille (ln p) o p dcrit lensemble des nombres premiers positifs est libre.

Exercice 22. lments algbriquesSoient K,L deux corps avec K L.Un lment L est dit algbrique sur K sil existe un polynme non nul P K[X] tel que P () = 0.1) Montrer que est algbrique sur K si et seulement si K[] est un K-ev de dimension finie.2) On suppose que et sont algbriques sur K. Montrer que + et sont algbriques sur K

(tudier K[, ]).

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Exercice 23. Corps embotsSoient H K L trois sous-corps de C.1) Montrer que K et L sont des H-ev et L est un K-ev.2) Montrer que L est de dimension finie sur H si et seulement si K est de dimension finie sur H et L est

de dimension finie sur K.3) Application : Montrer que Q, la clture algbrique de Q dans C, est un corps algbriquement clos (si

P Q[X], considrer le sous-corps de C engendr par les coefficients de P ).Exercice 24. Surcorps de R

Soit A une R-algbre commutative, intgre et de dimension finie.1) Montrer que A est un corps.2) Si dimA > 1 montrer que tout lment de A est algbrique de degr 1 ou 2 sur R. En dduire qualorsA est isomorphe C.

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solutions

Exercice 1.F = G.

Exercice 2.x = 2y + z, 3y = x+ z, 3z = x+ 3y + z.

Exercice 3.r = 3, 2a 3b+ 5c = b 2d e = 0.

Exercice 5.ni=1 i 6= 1.

Exercice 7.Il y a galit.

Exercice 8.Lintersection contient F .Soit u (F + (G F )) (F + (G G) : u = a+ b = a + b avec a, a F , b G F et b G G.Alors b b = a a F G = F G, donc b G, donc b F G F .

Exercice 9.

3) piH :

4x = 3x y z

4y = x + 3y z4z = 2x 2y + 2z,

sH :

2x = x y z

2y = x + y z2z = 2x 2y.

Exercice 10.3) Soit p = car(K).

Si p = 2 alors F = G et H = E.Si p = 3 alors F = G et F H = {P E tq p1 = p3}.Si p > 5 alors F = vect(X3 3X2 + 2X), G = vect(X3 6X2 + 11X 6), H = vect(1, X2) et lesdeux questions sont justes.

Exercice 18.codimH = 0 : supplmentaire = {0}.codimH = p : Soit u E \ (H K) : H Ku et K Ku ont un supplmentaire commun, L, donc H etK ont un supplmentaire commun : LKu.

Exercice 19.1) a) Soit P R[X] que lon dcompose en P = P1(X2) +XP2(X2) .

Alors P = (P1 + P2)(X2) (1 X)P2(X2) = (1 X)P1(X2) + X(P1 + P2)(X2), ce qui prouveque les deux sommes sont gales R[X]. Le caractre direct est immdiat.

b) Cela ne change pas A : les lments de A sont ceux dont les parties paire et impaire sont opposes(au facteur X prs), indpendament du fait (vrai) que ces parties sont des polynmes.

2) Soit f un isomorphisme de E1 sur E2 et F = {x f(x) tq x E1}. Alors E = E1 F = E2 F .

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