espaces vectoriels norm es, limites et...

Chapitre 6Espaces vectoriels normes, limites et suites

1 Espaces vectoriels normes

2 Definition des limites

Partie 1

Espaces vectoriels normes

Espaces vectoriels normes, limites et suites

1. Introduction

Partie 1 : Espaces vectoriels normes 1/52

1. Introduction

‚ On a souvent a resoudre des problemes de maniere approchee.


1. Introduction


‚ Typiquement, trouver une solution x d’une equation f pxq “ 0.


1. Introduction



‚ L’inconnu x peut etre un reel, un point du plan ou d’un espace de dimension plusgrande ou meme une fonction.


1. Introduction




‚ On peut approcher x a l’aide de suites punq qui convergent vers ce point.


1. Introduction




‚ On peut approcher x a l’aide de suites punq qui convergent vers ce point.

convergence

approximation

solution (limite)

�

x

un d(un, x) < �


1. Introduction

EXEMPLES

� La methode de Dichotomie.


1. Introduction

EXEMPLES


On resout f pxq “ 0 d’inconnue x P ra, bs.


1. Introduction

EXEMPLES



‚ f : ra, bs Ñ R est continue, strictementmonotone et f paq ˆ f pbq ă 0.


1. Introduction

EXEMPLES




‚ L’equation f pxq “ 0 admet une uniquesolution α P ra, bs.


1. Introduction

EXEMPLES




‚ L’equation f pxq “ 0 admet une uniquesolution α P ra, bs.

On construit par dichotomie deux suites panq et pbnq adjacentes qui convergent vers α.


1. Introduction


1. Introduction

‚ La methode s’applique a toutes les equations memes non lineaires.


1. Introduction

‚ La methode s’applique a toutes les equations memes non lineaires.

‚ La convergence est geometrique O`

12n

˘

¨


1. Introduction

� La methode de Jacobi.


1. Introduction


On a un systeme AX “ B d’inconnue X

#

a11x ` a12y “ b1

a21x ` a22y “ b2


1. Introduction



#

a11x ` a12y “ b1

a21x ` a22y “ b2

‚ On part de X0 “ px0, y0q


1. Introduction



#

a11x ` a12y “ b1

a21x ` a22y “ b2


‚ On resout les deux equations separe-ment,

#

x1 “1a11

“

b1 ´ a12y0

‰

y1 “1a22

“

b2 ´ a21x0

‰


1. Introduction



#

a11x ` a12y “ b1

a21x ` a22y “ b2



#

x1 “1a11

“

b1 ´ a12y0

‰

y1 “1a22

“

b2 ´ a21x0

‰

‚ Puis on reitere le procede.


1. Introduction



#

a11x ` a12y “ b1

a21x ` a22y “ b2



#

x1 “1a11

“

b1 ´ a12y0

‰

y1 “1a22

“

b2 ´ a21x0

‰

‚ Puis on reitere le procede.

‚ On construit une suite de points Xk “pxk , ykq,

#

xk`1 “1a11

“

b1 ´ a12yk‰

yk`1 “1a22

“

b2 ´ a21xk‰


1. Introduction

Convergence XkÑX


1. Introduction

‚ Il y a des conditions sur A pour que la methode converge Xk Ñ X.


1. Introduction


‚ On peut generaliser la methode a des dimensions superieures.


1. Introduction


‚ On peut generaliser la methode a des dimensions superieures.

Les approximations et limites s’ecrivent a l’aide de normes et de boules.Les encadrements ne s’appliquent qu’en dimension 1.


2. Normes et distances



Soit E un espace vectoriel de dimension finie m sur R ou sur C (note K).




§ En pratique, E “ Km.





Definition (Norme, espace vectoriel norme)

Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :

piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),

pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),

pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}

Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.





Definition (Norme, espace vectoriel norme)

Une norme sur l’espace vectoriel E est une application notee } ¨ } de E dans Rverifiant les trois proprietes suivantes :

piq @x P E, on a }x} ě 0 et }x} “ 0 ùñ x “ 0 (le vecteur nul),

pi iq @x P E, @λ P K, on a }λ x} “ |λ| ˆ }x} (avec un module),

pi i iq Inegalite triangulaire. @x, y P E, on a }x ` y} ď }x} ` }y}

Lorsqu’une norme est definie dans l’espace vectoriel E, on dit que E est un espacevectoriel norme.

§ Il y a d’autre notations possibles, ex : Npxq.



En changeant y en ´y , on a aussi grace au pi iq,

}x ´ y} ď }x} ` }y}



En changeant y en ´y , on a aussi grace au pi iq,

}x ´ y} ď }x} ` }y}

y

x

kx�yk

kx+

yk

L’inegalite triangulaire



VOCABULAIRE

� La norme de la difference }x ´ y} “ dpx, yq s’appelle distance de x a y .



VOCABULAIRE

� La norme de la difference }x ´ y} “ dpx, yq s’appelle distance de x a y .

� Elle mesure l’ecart entre deux vecteurs et permet d’estimer des approximations.



Definition (Boules ouvertes, boules fermees)

Soient a P E et r ą 0 un reel. On appelle boule ouverte (resp. fermee) de centre aet de rayon r , l’ensemble des points x P E tels que dpa, xq ă r (resp. ď r). On lanote Bpa, rq (resp. Bf pa, rq).



Definition (Boules ouvertes, boules fermees)

Soient a P E et r ą 0 un reel. On appelle boule ouverte (resp. fermee) de centre aet de rayon r , l’ensemble des points x P E tels que dpa, xq ă r (resp. ď r). On lanote Bpa, rq (resp. Bf pa, rq).

§ Le cas d’egalite dpa, xq “ r correspond a la sphere Spa, rq.



Une boule ouverte centree en a



EXERCICE 1

Montrer l’inegalite triangulaire « a l’envers » : @x, y P E,ˇ

ˇ}x} ´ }y}ˇ

ˇ ď }x ˘ y}.



EXERCICE 1

Montrer l’inegalite triangulaire « a l’envers » : @x, y P E,ˇ

ˇ}x} ´ }y}ˇ

ˇ ď }x ˘ y}.

§ On dit que la norme est 1-lipschitzienne.



EXERCICE 2

Montrer que @x1, x2, . . . , xn P E, on a

}x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn} ď }x1} ` }x2} ` ¨ ¨ ¨ ` }xn}



Valeur absolue



Valeur absolue

‚ La valeur absolue est une norme sur R.

@x P R, |x | “ maxpx,´xq



Valeur absolue



‚ R est un espace vectoriel norme. Les boules se reduisent a des intervalles.

Boule ouverte dans R



Valeur absolue



‚ R est un espace vectoriel norme. Les boules se reduisent a des intervalles.

Boule fermee dans R



Module



Module

‚ Pour z P C, on pose z “ x ` iy avec x, y P R.



Module


‚ Le conjugue de z est z “ x ´ iy .



Module



‚ Le module de z est |z | “a

x2 ` y 2 “?z ˆ z .



Module




x2 ` y 2 “?z ˆ z .

‚ z ÞÑ |z | est une norme sur C. C est un espace norme.

Boule ouverte dans C



Module




x2 ` y 2 “?z ˆ z .

‚ z ÞÑ |z | est une norme sur C. C est un espace norme.

Boule fermee dans C



‚ On definit l’ecriture polaire ou trigonometriquez “ re iθ avec

e iθ “ cos θ ` i sin θ





‚ C’est un point du cercle unite U descomplexes de module 1.

Conjugue et ecriture polaire d’un complexe






‚ Tout complexe z ‰ 0 s’ecrit sous laforme z “ re iθ ou r “ |z | et θ “ arg z(modulo 2π).







‚ Tout complexe z ‰ 0 s’ecrit sous laforme z “ re iθ ou r “ |z | et θ “ arg z(modulo 2π).


‚ Les calculs de puissances et de racines sont simplifies

@n P Z, zn “ r ne inθ



Norme euclidienne



Norme euclidienne

‚ Dans E “ Rm, on definit la norme euclidienne.



Norme euclidienne


‚ Pour x “ px1, x2, . . . , xmq et y “ py1, y2, . . . , ymq P Rm, on pose

px |yq “mÿ

i“1

xiyi et }x}2 “a

px |xq “

ˆ mÿ

i“1

x2i

˙12



Norme euclidienne


‚ Pour x “ px1, x2, . . . , xmq et y “ py1, y2, . . . , ymq P Rm, on pose

px |yq “mÿ

i“1

xiyi et }x}2 “a

px |xq “

ˆ mÿ

i“1

x2i

˙12

‚ C’est la norme usuelle en geometrie euclidienne. Rm est un espace norme.



Proposition (Inegalites fondamentales et norme euclidienne)

On a les inegalites, pour tous vecteurs x, y P E,

piq Cauchy-Schwarz,ˇ

ˇpx |yqˇ

ˇ ď }x}2 ˆ }y}2

pi iq Minkowski, }x ` y}2 ď }x}2 ` }y}2

L’application x ÞÑ }x}2 est une norme sur E.



Proposition (Inegalites fondamentales et norme euclidienne)

On a les inegalites, pour tous vecteurs x, y P E,

piq Cauchy-Schwarz,ˇ

ˇpx |yqˇ

ˇ ď }x}2 ˆ }y}2

pi iq Minkowski, }x ` y}2 ď }x}2 ` }y}2

L’application x ÞÑ }x}2 est une norme sur E.

§ L’inegalite triangulaire pour la norme } ¨ }2 s’appelle aussi inegalite de Minkowski.



REMARQUE

‚ La norme euclidienne s’ecrit matriciellement.



REMARQUE

‚ La norme euclidienne s’ecrit matriciellement.

‚ On identifie x P Rm a une matrice colonne X PMm,1pRq, alors

}x}2 “ }X}2 “?tXX



Boule euclidienne de dimension 2



Boule euclidienne de dimension 3



EXERCICE 3

Demontrer l’inegalite triangulaire dans R et dans C.



EXERCICE 4

Donner les solutions dans C de l’equation zn “ 1 avec n P N˚ (racines niemes de l’unite)



EXERCICE 4


Les placer sur une figure dans le plan complexe lorsque n “ 5.



EXERCICE 4


Les placer sur une figure dans le plan complexe lorsque n “ 5.

Les racines 5-iemes de l’unite



EXERCICE 5

Dans E “ Rm euclidien, developper les identites remarquables }x ` y}22, }x ´ y}2

2.Retrouver ainsi le theoreme de Pythagore.



REMARQUE

On peut generaliser la norme euclidienne a un espace complexe E “ Cm, en ajoutantun module,

@x “ px1, . . . , xmq P Km, }x}2 “

ˆ mÿ

i“1

|xi |2

˙12



REMARQUE

On peut generaliser la norme euclidienne a un espace complexe E “ Cm, en ajoutantun module,

@x “ px1, . . . , xmq P Km, }x}2 “

ˆ mÿ

i“1

|xi |2

˙12

§ Elle est surtout utilisee en lien avec le produit scalaire et les calculs de projectionsorthogonales.



Autres normes



Autres normes

‚ Pour les calculs de limites, on definit d’autres normes.



Autres normes

‚ Pour les calculs de limites, on definit d’autres normes.

‚ Pour x “ px1, . . . , xmq P Km, on pose,

}x}8 “ max1ďiďm

|xi | “ sup1ďiďm

|xi | et }x}1 “

mÿ

i“1

|xi |



Les boules associees ont des formes differentes.




Boule octaedrique (norme 1)




Boule spherique (norme 2)




Boule cubique (norme 8)



‚ Ces normes ne mesurent pas les vecteurs de la meme facon.




‚ Elles s’encadrent les unes et les autres,

@x P Km, }x}8 ď }x}2 ď?m}x}8 et }x}8 ď }x}1 ď m}x}8






‚ Elles tendent simultanement vers 0 et donnent les memes resultats pour les limites.






‚ Elles tendent simultanement vers 0 et donnent les memes resultats pour les limites.

Pour les etudes de limites, les differentes normes sont equivalentes



EXERCICE 6

Soit A “ pai j qi ,jPv1,nw P MnpCq. On pose NpAq “ maxiPv1,nw

nÿ

j“1

|ai j |. Montrer que

l’application N ÞÑ NpAq definit une norme sur MnpCq.



EXERCICE 7

Tracer explicitement les boules unites fermees Bf p0, 1q pour les normes 1, 2 et 8 dansl’espace R2.


3. Vocabulaire de la topologie



En dimension ą 1, les domaines d’etude peuvent etre de formes variees, plus complexesque de simples intervalles.




Un pave ra,bsˆrc,ds




Une boule ouverte Bpa,rq




Un domaine A de forme quelconque




La nature du domaine d’etude peut modifier les proprietes obtenues.



EXEMPLES

� Si f : ra, bs Ñ C est continue sur ra, bs (ferme et borne), alors elle y est bornee.



EXEMPLES


� Si f : I Ñ R est continue sur l’intervalle I (convexe), alors elle verifie la PVI.



EXEMPLES


� Si f : I Ñ R est continue sur l’intervalle I (convexe), alors elle verifie la PVI.

� Si f est C1 sur un intervalle I ouvert et si f 1 “ 0 sur I, alors f est constante sur I.



‚ On generalise le vocabulaire : ouvert, ferme, borne, convexe aux dimensionssuperieures.



‚ On generalise le vocabulaire : ouvert, ferme, borne, convexe aux dimensionssuperieures.

‚ Un intervalle ouvert n’englobe pas ses bornes, alors que c’est le cas pour un intervalleferme.



Definition (Interieur d’une partie, partieouverte)

Soit A une partie de E.

‚ On dit qu’un point x P E est interieura A s’il est au centre d’une boule fermeeincluse dans A, soit Dε ą 0 tel queBf px, εq Ă A. On note x P 8A.

‚ On dit que A est ouverte si tousses points sont des points interieurs, soitA “ 8A.

frontière

intérieur

Point interieur a une partie et partie ouverte



Definition (Interieur d’une partie, partieouverte)


‚ On dit qu’un point x P E est interieura A s’il est au centre d’une boule fermeeincluse dans A, soit Dε ą 0 tel queBf px, εq Ă A. On note x P 8A.

‚ On dit que A est ouverte si tousses points sont des points interieurs, soitA “ 8A.

frontière

intérieur

Point interieur a une partie et partie ouverte

§ x est interieur a A s’il n’est pas en contact direct avec la frontiere.



EXEMPLES

� L’intervalle ouvert sa, br est une partie ouverte de R.



EXEMPLES


§ Sa frontiere est reduite a a et b.



EXEMPLES



� La boule ouverte Bpa, rq est une partie ouverte de E.



EXEMPLES




§ Sa frontiere est la sphere Spa, rq.



EXEMPLES





� Dans R2, les demi-plans tx ą 0u, ty ą 0u sont des parties ouvertes du plan.



EXEMPLES





� Dans R2, les demi-plans tx ą 0u, ty ą 0u sont des parties ouvertes du plan.

Inegalite stricte continue ùñ partie ouverte



Definition (Adherence, partie fermee)


‚ On dit qu’un point x P E est adherenta A si toute boule fermee centree en xrencontre A, @ε ą 0, Bf px, εqXA ‰ H.On note x P A.

‚ On dit que A est fermee si tout pointde E adherent a A est element de A, soitA “ A.

adhérence = intérieur + frontière

Point adherent et partie fermee



Definition (Adherence, partie fermee)


‚ On dit qu’un point x P E est adherenta A si toute boule fermee centree en xrencontre A, @ε ą 0, Bf px, εqXA ‰ H.On note x P A.

‚ On dit que A est fermee si tout pointde E adherent a A est element de A, soitA “ A.

adhérence = intérieur + frontière

Point adherent et partie fermee

§ x est adherent a A s’il est en contact direct avec A.



EXEMPLE

� Un intervalle ferme ra, bs de R est une partie fermee.



EXEMPLE


� Les intervalles ra,`8r, s ´ 8, as ou s ´ 8,`8r sont fermes.



EXEMPLE



§ s ´ 8,`8r est aussi ouvert (sa frontiere est vide) . . .



EXEMPLE




� Une boule fermee est une partie fermee.



EXEMPLE




� Une boule fermee est une partie fermee.

Inegalite large ou egalite continue ùñ partie fermee



EXERCICE 8

Soit A Ă E. On note Ac le complementaire de A dans E. Montrer que A est une partieouverte de E si et seulement si son complementaire Ac est une partie fermee de E.



EXERCICE 9

Montrer que la reunion ou l’intersection de deux parties ouvertes (resp fermees) de Eest encore ouverte (resp fermee). Application : montrer qu’une sphere est une partiefermee.


Partie 2

Definition des limites

Espaces vectoriels normes, limites et suites

1. Definition

Partie 2 : Definition des limites 30/52

1. Definition

Definition (Limite d’une suite)

Soient punqně0 une suite de points de E et ` P E. On dit que punqně0 tend vers lalimite ` et on note un Ñ ` (lorque n Ñ `8) lorsque

@ε ą 0loomoon

bloc 1

, DN ě 0L

@n P N, n ě Nloooooooooooooooomoooooooooooooooon

bloc 2

ùñ }un ´ `} ď εloooooomoooooon

bloc 1

On dit aussi dans ce cas que punqně0 converge vers `.


1. Definition

Definition (Limite d’une suite)

Soient punqně0 une suite de points de E et ` P E. On dit que punqně0 tend vers lalimite ` et on note un Ñ ` (lorque n Ñ `8) lorsque

@ε ą 0loomoon

bloc 1

, DN ě 0L

@n P N, n ě Nloooooooooooooooomoooooooooooooooon

bloc 2

ùñ }un ´ `} ď εloooooomoooooon

bloc 1

On dit aussi dans ce cas que punqně0 converge vers `.

§ Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente (elle n’a aucune limite).


1. Definition

‚ Etablir une convergence, c’est faire une majoration ou une approximation.


1. Definition


‚ Pour n assez grand,

}un ´ `} ď εðñ dpun, `q ď εðñ un P Bf p`, εq


1. Definition


‚ Pour n assez grand,

}un ´ `} ď εðñ dpun, `q ď εðñ un P Bf p`, εq

‚ un est une approximation de ` a ε pres.

`

un

Bf (`, ")


1. Definition

Definition et proposition (Convergence et majoration)

Soit punqnPN une suite de points de E.

‚ On dit que punqnPN est bornee s’il existe un reel M tel que @n P N on ait}un} ď M.

‚ Si la suite punqnPN converge vers ` P E, alors elle est bornee.


1. Definition





§ Une partie A Ă E est bornee si elle estincluse dans une boule centree sur 0.


1. Definition





§ Une partie A Ă E est bornee si elle estincluse dans une boule centree sur 0.

M

A

0

B(0, M)

u0

u1

u2

un

Suite ou partie bornee


1. Definition

EXEMPLE

La convergence en moyenne de Cesaro.

Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers une limite ` P E, alors la suitepvnqnPN definie par

vn “u1 ` ¨ ¨ ¨ ` un

n

converge aussi vers `.


1. Definition

REMARQUES

‚ La convergence et la limite d’une suite ne dependent pas de la norme utilisee.


1. Definition

REMARQUES


‚ La definition est modulaire.


1. Definition

REMARQUES



Le bloc 1 dans la definition traduit que un approche ` autant que l’on veut.


1. Definition

REMARQUES




Le bloc 2 traduit que n est assez grand.


1. Definition

REMARQUES





‚ On peut donner des variantes.


1. Definition

REMARQUES





‚ On peut donner des variantes. un Ñ `8 (pour une suite reelle)


1. Definition

REMARQUES





‚ On peut donner des variantes. un Ñ `8 (pour une suite reelle)

f ptq ´ ÑtÑa

` (pour une fonction f : I Ñ E)


1. Definition

Proposition (Caracterisation sequentielle des limites)

Soit f une fonction d’un intervalle I de R a valeurs dans E et a un point adherenta I et ` P E. Alors f ptq ´ Ñ

tÑa` si et seulement si pour toute suite ptnqnPN de points

de I avec tn Ñ a, on a f ptnq ´ ´ ÑnÑ`8

`


1. Definition

Proposition (Caracterisation sequentielle des limites)

Soit f une fonction d’un intervalle I de R a valeurs dans E et a un point adherenta I et ` P E. Alors f ptq ´ Ñ

tÑa` si et seulement si pour toute suite ptnqnPN de points

de I avec tn Ñ a, on a f ptnq ´ ´ ÑnÑ`8

`

Toute limite peut se ramener a des limites de suites.


1. Definition

EXERCICE 10

Ecrire les definitions des limites suivantes, pour une fonction f : I Ñ E, f ptq ´ ´ ÑtÑ`8

`,

f ptq ´ ÑtÑ

ąa`, puis lorsque f est a valeurs reelles, f ptq ´ Ñ

tÑa`8.


1. Definition

EXERCICE 11

Caracterisation sequentielle de l’adherence

Soient A une partie de E. Montrer qu’un point x P E est adherent a A si et seulements’il existe une suite punqnPN de points de A qui converge vers x .


1. Definition

EXERCICE 12

En utilisant la caracterisation sequentielle de l’adherence, retrouver le fait qu’une boulefermee, puis une sphere sont des parties fermees.


2. Proprietes des limites



Resultats d’unicite




Proposition (Unicite et suites extraites)

Soit punqnPN une suite de points de E qui converge vers un point ` P E.

piq La limite ` est unique, c’est-a-dire que si un Ñ `1, alors ` “ `1.

pi iq Toute suite extraite puϕpnqqnPN, ou ϕ : N Ñ N est une application strictementcroissante est convergente et converge egalement vers `.








§ On peut noter ` “ lim un l’unique limite de la suite punqnPN.








§ On peut noter ` “ lim un l’unique limite de la suite punqnPN.

Pour montrer qu’une suite n’a aucune limite,il suffit de trouver deux suites extraites qui ont des limites differentes.



EXEMPLES

� La suite de terme general p´1qn n’a aucune limite lorsque n Ñ `8.



EXEMPLES

� La suite de terme general p´1qn n’a aucune limite lorsque n Ñ `8.

� Les suites de termes generaux cos nθ, sin nθ et e inθ n’ont aucune limite, sauf valeursparticulieres de θ.



Proposition (Proprietes des suites geometriques)

La suite geometrique pznqnPN de raison z P C est

piq bornee si et seulement si |z | ď 1,

pi iq convergente si et seulement si z “ 1 (limite 1) ou |z | ă 1 (limite nulle).



Proposition (Proprietes des suites geometriques)

La suite geometrique pznqnPN de raison z P C est

piq bornee si et seulement si |z | ď 1,

pi iq convergente si et seulement si z “ 1 (limite 1) ou |z | ă 1 (limite nulle).

§ Il y a divergence dans tous les autres cas.



Limite et coordonnees




Proposition (Convergence et suites de coordonnees)

Soient punqnPN une suite d’elements de Km, avec @n P N, un “ pxpnq1 , x

pnq2 , . . . , x

pnqm q

et ` “ p`1, . . . , `mq P Km. Alors on a un Ñ ` si et seulement si @k P v1, mw,

xpnqk ´ ´ Ñ

nÑ`8`k .




Proposition (Convergence et suites de coordonnees)

Soient punqnPN une suite d’elements de Km, avec @n P N, un “ pxpnq1 , x

pnq2 , . . . , x

pnqm q

et ` “ p`1, . . . , `mq P Km. Alors on a un Ñ ` si et seulement si @k P v1, mw,

xpnqk ´ ´ Ñ

nÑ`8`k .

§ Ce resultat s’adapte a un espace E de dimension m muni d’une base.



EXEMPLE

Limite d’une suite de matrices

An “

ˆ

1n e´n

sin nn 1

˙

PM2pRq pour n P N.



EXEMPLE


An “

ˆ

1n e´n

sin nn 1

˙

PM2pRq pour n P N.

An ´ ´ ÑnÑ`8

ˆ

0 00 1

˙



EXEMPLE


An “

ˆ

1n e´n

sin nn 1

˙

PM2pRq pour n P N.

An ´ ´ ÑnÑ`8

ˆ

0 00 1

˙

§ L’espace M2pRq peut etre identifie a R4 et muni d’une des normes usuelles.



EXEMPLE


An “

ˆ

1n e´n

sin nn 1

˙

PM2pRq pour n P N.

An ´ ´ ÑnÑ`8

ˆ

0 00 1

˙

§ L’espace M2pRq peut etre identifie a R4 et muni d’une des normes usuelles.

Pour une suite de vecteurs ou de matrices, la limite se fait coefficient parcoefficient



Operations sur les limites



Operations sur les limites

Proposition (Operations sur les limites)

Soient punqnPN et pvnqnPN des suites de points de E qui convergent respectivementvers ` et `1 P E. Alors

piq Pour tous λ, µ P K, λun ` µvn Ñ λ`` µ`1 (linearite de la limite)

pi iq Pour tout produit possible (multiplication, produit scalaire, produit matriciel)note ˆ, on a un ˆ vn Ñ `ˆ `1.



EXEMPLE

Soit A PMppRq diagonalisable, avec spA Ă Bp0, 1q (ouverte).



EXEMPLE

Soit A PMppRq diagonalisable, avec spA Ă Bp0, 1q (ouverte).

§ On montre que An ´ ´ ÑnÑ`8

0 (la matrice nulle)


3. Proprietes specifiques des suites reelles



Theoreme (de completude)

Toute partie A non vide et majoree de R admet une borne superieure, c’est-a-direun plus petit majorant, note supA.

– supA est un majorant de A, c’est-a-dire que @a P A, a ď supA,

– supA est le plus petit majorant de A, c’est-a-dire que @m P R avec m ă supA,alors m n’est pas majorant de A, soit Da P A tel que a ą m.



‚ On a un resultat analogue pour les parties minorees.




‚ Toute suite monotone admet une limite.





‚ Toute suite croissante et majoree converge vers sa borne superieure.






‚ On peut obtenir des limites par encadrements (theoreme des « gendarmes »).







‚ On peut passer a la limite dans une inegalite.







‚ On peut passer a la limite dans une inegalite.

Toute suite monotone de reels admet une limite (finie ou non).



Etude des suites recurrentes




‚ Soit punqnPN definie par son premier terme u0 P R et,

un`1 “ f`

un˘

, n ě 0

ou f est une fonction de R dans R.





un`1 “ f`

un˘

, n ě 0


‚ On peut visualiser leur comportementsur un graphique.





un`1 “ f`

un˘

, n ě 0



y = f(x)

u0

u1

un

y=

x

Comportement d’une suite recurrente





un`1 “ f`

un˘

, n ě 0



‚ Sous certaines conditions, il y a conver-gence vers un point fixe de f ,

f pxq “ x ðñ f pxq ´ x “ 0.

y = f(x)

u0

u1

un

y=

x






un`1 “ f`

un˘

, n ě 0



‚ Sous certaines conditions, il y a conver-gence vers un point fixe de f ,

f pxq “ x ðñ f pxq ´ x “ 0.

‚ C’est la methode d’iteration.

y = f(x)

u0

u1

un

y=

x




REMARQUE

‚ La convergence n’est pas garantie.



REMARQUE


‚ Il peut y avoir des instabilites et meme des comportements chaotiques.



REMARQUE


‚ Il peut y avoir des instabilites et meme des comportements chaotiques.

‚ Exemple avec l’application logistique definie par

@x P r0, 1s, f pxq “ k ¨ x ¨ p1´ xq avec k “ 3, 9.



Comportement chaotique d’une suite recurrente



EXERCICE 14

Etudier la suite definie par a ą 0, u0 ą 0 et la relation de recurrence

un`1 “1

2

´

un `a

un

¯

Justifier notamment la convergence en utilisant les resultats rappeles en debut deparagraphe.


espaces vectoriels norm es, limites et...

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