espaces vectorielsici, les relations sont mat erialis es par des triplets de la forme r:= (e;k;) ou...
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Espaces vectoriels
IGBINOBA Efosa
October 11, 2016
Contents
1 Espaces vectoriels sous A.C 1
2 Generalites sur les espaces cycliques 7
3 Sous espaces cycliques 15
4 Decomposition en sous-espaces cycliques 18
5 Irreductibilite 25
Bibliographie:
Werner Greub, LINEAR ALGEBRA
Notations
Soient A et B deux ensembles, app (A,B) signifie l’ensemble des applications de source A et de but B.Ici les applications sont materialisees par des triplets de la forme f := (A,B, γ) ou A est la source de f et B est le but de f
et γ est le graphe de f .Soit C une categorie, objC signifie la classe des objets de C.Soient n un ordinal fini et a
0, ..., a
ndes enonces, alors on pose∧
a0
...an
:=
∧i∈n+1
ai
Soit A un ensemble, P (A) signifie l’ensemble des parties de A.Ici, les relations sont materialises par des triplets de la forme R := (E, k, γ) ou E est un ensemble non vide et k est un ordinal
fini non nul et γ ∈ P(Ek)
.
Pour des raisons purement personnels j’identifie les symboles = et ∼, parfois j’utilise l’un et d’autre fois j’utilise l’autre, maisa chaque fois ils signifient l’egalite.
Soit K un corps et E un K-e.v, soit F un K-s.e.v de E, alors on note codimK,E (F ) pour signifier la K-codimension de F dansE.
A.C signifie l’axiome du choix.Soit k un cardinal, k
+
signifie le cardinal successeur de k.ω designe le plus petit ordinal infini.Soit A un anneau, on note irr (A) les element A-irreductibles.Soient a et b des enonces, on convient de definir (
↓{ab
}):= a→ b
1 Espaces vectoriels sous A.C
Abstract
Dans ce chapitre je donne une preuve (sous l’axiome du choix) que dans tout espace vectoriel on peut completer toutsysteme libre en une base, ensuite je donne une nouvelle demonstration du theoreme affirmant que tout espace vectoriel surun corps infini n’a a pas de recouvrement fini par des hyperplans.
1
Proposition 1.1. (Pour cette proposition supposons A.C.)Soient K un corps et E un K-ev, alors toute famille libre d’elements de E peut etre prolongee en une base de E.
Proof. Soient α,E, γ et f := (α,E, γ) tels que∧ α est un ordinalf est une application
{b ∈ E|∃a ∈ α, (a, b) ∈ γ} est libre
Soitδ := (# (E))
+
Soit
A :=
{g ∈ ((δ × {E})× (P (δ × E))) |
(∧{g est une application qui prolonge f
l’image de g est libre dans E
})}Posons
. := (A, 2, {(g, h) ∈ A×A|h prolonge g})
. est une relation d’ordre, de plus toute chaine de . a un majorant trivial (l’union des elements de la chaine), donc par le lemmede Zorn . a au moins un element maximal. Soit g un element maximal de ., notons l’image de g par im (g) et le domaine de gpar dom (g) et notons le graphe de g par γ (g). Pour tout a ∈ E\ (im (g)), notons
ha
:= ((dom (g)) + 1, E, (γ (g)) ∪ {(dom (g) , a)})
On a
(a /∈ vect (im (g))) =⇒(∧{
ha ∈ Ag . h
a
})or on a
g 6= ha
donc, on a
(a /∈ vect (im (g))) =⇒
∧ ha ∈ Ag . h
a
¬ (g ∼ ha)
or g est un maximal de ., donc on aa ∈ vect (im (g))
Ainsi, g est un prolongement de f en une base de E.
Condition 1.2. Soit K un corps et E un K-ev, pour tout ordinal k non nulle, notons
αk,E
:={λ ∈ app
(k,E
?)| (λ (i))
i∈kest libre
}Proposition 1.3. Soit K un corps et E un K-ev. Alors, pour tout ordinal non nulle et fini k, on a
∀λ ∈ αk,E, codimK,E
(⋂i∈k
(ker (λ (i)))
)∼ k
Proof. Pour tout ordinal j, notons
Pj
:= ∀F ∈ objK-ev ,∀λ ∈ αj+1,F, codimK,F
⋂i∈j+1
(ker (λ (i)))
∼ j + 1
P1
est vrai.Soit n ∈ ω\ {0; 1} tel que Pn−1 soit vrai. Soit λ ∈ α
n+1,E, supposons l’existence de θ ∈ app (n,K) tel que∧
∃j ∈ n, ¬ (θ (j) ∼ 0)(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)�ker(λ(n))
∼ 0
soit θ ∈ app (n,K) tel que ∧∃j ∈ n, ¬ (θ (j) ∼ 0)(∑
i∈n(θ (i)) . (λ (i))
)�ker(λ(n))
∼ 0
2
(λ (i))i∈n
est libre, donc on a ∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i)) 6= 0
donc, il existe a ∈ E\ {0} tel que
E =
(ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
))⊕ (vect (a))
Soit a ∈ E\ {0} tel que
E =
(ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
))⊕ (vect (a))
On a (∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)�ker(λ(n))
= 0
donc, on a
ker (λ (n)) ⊆ ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)donc, on a
a /∈ ker (λ (n))
or on a
a /∈ ker (λ (n)) =⇒ ∀x ∈ E,((
x− (λ (n)) (x)
(λ (n)) (a).a
)∈ ker (λ (n))
)donc, on a
a /∈ ker (λ (n)) =⇒ E ∼ (ker (λ (n)))⊕ (vect (a))
donc, on aE ∼ (ker (λ (n)))⊕ (vect (a))
Soit x ∈ ker(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
), alors il existe (b, c) ∈ (ker (λ (n)))×K, tel que
x = b+ c.a
on a donc,x− b = c.a
donc, on ax− b ∈ vect (a)
or, on a ∧b ∈ ker (λ (n))
ker (λ (n)) ⊆ ker(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)
donc, on a ∧
b ∈ ker(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)x ∈ ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)
donc, on a
x− b ∈ ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)donc, on a ∧ x− b ∈ ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)x− b ∈ vect (a)
or
(vect (a)) ∩
(ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
))= {0}
3
donc, on ax− b = 0
donc, on ax ∈ ker (λ (n))
Ainsi
ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)⊆ ker (λ (n))
donc, on
ker
(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)= ker (λ (n))
donc, il existe µ ∈ K\ {0} tel que ∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i)) = µ. (λ (n))
Soit µ ∈ K\ {0} tel que ∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i)) = µ. (λ (n))
on a (∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)− µ. (λ (n)) = 0
or, on a ∧¬
n+ 1 → Ki ∈ n 7→ θ (i)
n 7→ −µ∼
{n+ 1 → Ki 7→ 0
(λ (i))
i∈n+1est libre
donc, on a (∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)− µ. (λ (n)) 6= 0
Ainsi, on a ∧¬((∑
i∈n(θ (i)) . (λ (i))
)− µ. (λ (n)) ∼ 0
)(∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)− µ. (λ (n)) ∼ 0
Donc, l’existence de θ ∈ app (n,K) tel que
∧∃j ∈ n, ¬ (θ (j) ∼ 0)(∑
i∈n(θ (i)) . (λ (i))
)�ker(λ(n))
∼ 0
implique l’absurde. Ainsi, pour tout
θ ∈ app (n,K), on a
(∃j ∈ n, ¬ (θ (j) ∼ 0)) =⇒ ¬
((∑i∈n
(θ (i)) . (λ (i))
)�ker(λ(n))
∼ 0
)donc
((λ (i)) �
ker(λ(n))
)i∈n
est libre. Or Pn−1 est vrai, donc, on a
codimK,ker(λ(n))
(⋂i∈n
ker((λ (i)) �
ker(λ(n))
))= n
donc, on a
codimK,ker(λ(n))
(⋂i∈n
(ker (λ (i))) ∩ (ker (λ (n)))
)= n
donc, on a
codimK,ker(λ(n))
((⋂i∈n
ker (λ (i))
)∩ (ker (λ (n)))
)= n
orcodimK,E (ker (λ (n))) = 1
4
donc, on a
codimK,E
((⋂i∈n
ker (λ (i))
)∩ (ker (λ (n)))
)= n+ 1
Donc Pn
est vrai.Ainsi, en vertu du theoreme de recurrence, pour tout ordinal j ∈ ω\ {0}, P
jest vrai.
Proposition 1.4. Soient K un corps infini et E un K-ev de dimension n ≥ 2 ( n est un ordinal fini ou infini), alors E n’a pasde recouvrement fini par des hyperplans.
Proof. Soit p un ordinal fini non nul, soient λ1, ..., λ
p∈ E?
p formes lineaires non nulles. Soit A ⊆{λ
1, ..., λ
p
}une partie libre
et generatrice de vect({λ1 , ..., λp
}). Soient k := # (A) et σ0 , ..., σk−1
tels que
A ={σ
0, ..., σ
k−1
}soit µ une application de domaine p et d’image
{λ
1, ..., λ
p
}telle que
∀i ∈ k, µ (i) ∼ σi
Soit c ∈ app (p, app (k,K)) tel que l’on ait
∀i ∈ p,
∑j∈k
((c (i)) (j)) .σj
∼ µ (i)
Pour tout i ∈ p, definissons le polynome
Pi :=∑j∈k
((c (i)) (j)) .Xj
PosonsP :=
∏i∈p
Pi
On a∀i ∈ p, µ (i) 6= 0
donc, pour tout i ∈ p, il existe j ∈ k, tel que (c (i)) (j) 6= 0, donc on a
∀i ∈ p, Pi6= 0
donc, on aP 6= 0
Donc, l’ensemble des racines de P est fini. Or K est infini, donc il existe y ∈ K tel que
P (y) 6= 0
Soit y ∈ K tel que P (y) 6= 0. Soit i ∈ k, on a∧
codimK,E
( ⋂j∈k\{i}
ker(σj))∼ k − 1
codimK,E
( ⋂j∈k
ker(σj
))∼ k
donc, on a ⋂
j∈k\{i}
ker(σj
)6=⋂j∈k
ker(σj
)or, on a ⋂
j∈k\{i}
ker(σj)∼⋂j∈k
ker(σj) ⇐⇒
⋂j∈k\{i}
ker(σj)⊆ ker (σi)
donc, on a ⋂
j∈k\{i}
ker(σj)* ker (σi)
5
donc, ⋂j∈k\{i}
ker(σj
) \ (ker (σi)) 6= ∅
Ainsi, on a
∀j ∈ k,
⋂t∈k\{j}
ker (σt)
\ (ker (σj
))6= ∅
donc, ∏j∈k
⋂t∈k\{j}
ker (σt)
\ (ker (σj
)) 6= ∅soit a ∈ app (k,E) tel que
∀j ∈ k, aj∈
⋂t∈k\{j}
ker (σt)
\ (ker (σj
))notamment, on a
∀j ∈ k, ¬(σj(aj)∼ 0)
Posons
b :=
k → E
j 7→ yj
σj (aj )
aj
Posonsc :=
∑t∈k
bt
On a∀i, j ∈ k, σ
i
(bj
)∼ δ
j
i.yj
donc, on a
∀j ∈ k, σj (c) ∼ yj
soit i ∈ p, on a ∑j∈k
((c (i)) (j)) .σj
= µ (i)
donc, on a
(µ (i)) (c) =∑j∈k
((c (i)) (j)) .yj
= Pi (y)
Donc, on a ∏l∈p
µ (l)
(c) =
∏l∈p
(µ (l)) (c)
=
∏l∈p
Pl(y)
= P (y)
donc, on a ∏l∈p
µ (l)
(c) 6= 0
donc, on a∀l ∈ p, ¬ ((µ (l)) (c) ∼ 0)
Remarque 1.5. Ce qui est interessant dans la derniere demonstration c’est qu’elle parait plus intuitive que la demonstrationclassique.
6
Espaces cycliques
Abstract
Dans les chapitres suivants on etudie les espaces cycliques et on se fixe un corps K. Dans ces chapitres vous trouverez lesresultats classiques sur la notion d’espaces cycliques. Les demonstrations sont plutot elegantes.
Notation 1.6. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), on note µφ
le polynome minimal de φ. Soit P ∈ K [X], on note CP
la matrice compagnonde P . Soient E′ un K-ev et F ⊆ E′ et G ⊆ HomK-ev (E′,K) , on note
F⊥
:={x ∈ HomK-ev (E′,K) |x (F ) = {0K}
}et
G◦
:= {y ∈ E′|∀x ∈ G, x (y) ∼ 0K}
2 Generalites sur les espaces cycliques
Condition 2.1. On se donne un K-ev E de dimension finie non nulle.
Definition 2.2. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), on definit
θφ
:=
{K [X] → HomK-ev (E,E)
P 7→ P (φ)
Proposition 2.3. Pour tout φ ∈ HomK-ev (E,E), θφ
est un morphisme de K-algebres.
Definition 2.4. Soit a ∈ E, on definit
la
:=
{HomK-ev (E,E) → E
u 7→ u (a)
Proposition 2.5. Pour tout a ∈ E, la
est un morphisme de K-ev.
Definition 2.6. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), on definit
σa,φ
:= la◦ θ
φ
Proposition 2.7. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), σa,φ
est un morphisme de K-ev.
Proposition 2.8. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), ker(σa,φ
)est un ideal de K [X].
Proof. Puisque ker(σa,φ
)est un sous-K-ev de K [X], il suffit de montrer que ker
(σa,φ
)est absorbant pour la multiplication par
des elements de K [X]:Soit P ∈ K [X], soit Q ∈ ker
(σa,φ
), on a
σa,φ
(PQ) =(la◦ θ
φ
)(PQ)
= la
(θφ
(PQ))
= la
((θφ
(P ))◦(θφ
(Q)))
=((θφ
(P ))◦(θφ
(Q)))
(a)
=(θφ
(P )) ((
θφ
(Q))
(a))
=(θφ
(P )) (la
(θφ
(Q)))
=(θφ
(P )) ((
la ◦ θφ)
(Q))
=(θφ
(P )) (σa,φ
(Q))
=(θφ
(P ))
(0E
)
= 0E
Conclusion: ker(σa,φ
)est un ideal de K [X].
Notation 2.9. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), on note
ka,φ
:= ker(σa,φ
)Proposition 2.10. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), k
a,φest principal.
7
Proof. K est un corps commutatif, donc K [X] est Euclidien, donc K [X] est principal.
Proposition 2.11. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), on a
ka,φ6={
0K[X]
}Proof. Il existe un monomorphisme f de K-ev tel que(∧{
srcK-ev f ∼ K [X] /ka,φ
trgK-ev f ∼ E
})donc on a
dimK-ev(K [X] /k
a,φ
)< ℵ
0
donc, on aka,φ6={
0K[X]
}Notation 2.12. Pour tout (a, φ) ∈ E×HomK-ev (E,E), on note µ
a,φl’unique polynome unitaire qui engendre k
a,φ. On appellera
µa,φ
le polynome minimal de a selon φ.
Proposition 2.13. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), on a
µφ∈ k
a,φ
Proof. On a
σa,φ
= la◦ θ
φ
or, on a
θφ
(µφ
)= 0
HomK-ev (E,E)
donc, on a
σa,φ
(µφ
)= l
a
(0Hom
K-ev (E,E)
)= 0
E
donc, on aµφ∈ k
a,φ
Corollaire 2.14. Pour tout (a, φ) ∈ E ×HomK-ev (E,E), on a
µa,φ|µφ
Proposition 2.15. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E). On a
∃a ∈ E, µa,φ
= µφ
Proof. Soit Q l’ensemble des polynomes irreductibles de K [X], soit m ∈ app (Q, ω) une application dont le support est fini ettelle que
µφ
=∏p∈Q
pm(p)
et telle que l’on ait
∀p, q ∈ Q,((∧{
¬ (p ∼ q)¬ ((m (p)) . (m (q)) ∼ 0)
})⇒ (PGCD (p, q) ∼ K\ {0})
)On a
θφ
(µφ
)= 0
donc, on aker
(θφ
(µφ
))= E
8
On a
θφ
(µφ
)= θ
φ
∏p∈Q
pm(p)
=
∏p∈Q
(θφ
(pm(p)
))On a
∀p, q ∈ Q,((∧{
¬ (p ∼ q)¬ ((m (p)) . (m (q)) ∼ 0)
})⇒ (PGCD (p, q) ∼ K\ {0})
)Donc, par decomposition des noyaux, on a
ker
∏p∈Q
(θφ
(pm(p)
)) =⊕p∈Q
ker(θφ
(pm(p)
))de plus, on a
∀p ∈ Q, φ(ker
(θφ
(pm(p)
)))⊆ ker
(θφ
(pm(p)
))Soit p ∈ Q tel que
m (p) 6= 0
Pour tout x ∈ ker(θφ
(pm(p)
)), on aσx,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))
(pm(p)
) =
lx ◦ θφ�ker(θφ(pm(p)))
ker
(θφ
(pm(p)
))
(pm(p))
= lx
θφ�ker(θφ(pm(p)))
ker
(θφ
(pm(p)
))
(pm(p)
)
=
θφ�ker(θφ(pm(p)))
ker
(θφ
(pm(p)
))
(pm(p)
) (x)
=
(pm(p)
(φ �
ker
(θφ
(pm(p)
))
ker
(θφ
(pm(p)
))))
(x)
=(pm(p)
(φ))
(x)
= lx
(θφ
(pm(p)
))= 0
E
Donc, pour tout x ∈ ker(θφ
(pm(p)
)), on a
µ
x,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))| p
m(p)
donc, pour tout x ∈ ker(θφ
(pm(p)
)), on a
µ
x,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))∈{pi
|i ∈ (m (p)) + 1}
si on a∀x ∈ E, µ
x,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))∈{pi
|i ∈ (m (p))}
9
alors on a
∀x ∈ ker(θφ
(pm(p)
)),
σx,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))
(p
(m(p))−1) ∼ 0
E
or, on a
∀x ∈ ker(θφ
(pm(p)
)),
σx,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))
(p
(m(p))−1) ∼ 0
E
m
∀x ∈ ker(θφ
(pm(p)
)),
(p
(m(p))−1
(φ �
ker
(θφ
(pm(p)
))
ker
(θφ
(pm(p)
))))
(x) ∼ 0E
m∀x ∈ ker
(θφ
(pm(p)
)),(p
(m(p))−1
(φ))
(x) ∼ 0E
m∀x ∈ ker
(θφ
(pm(p)
)),(θφ
(p
(m(p))−1))
(x) ∼ 0E
mker
(θφ
(pm(p)
))⊆ ker
(θφ
(p
(m(p))−1))
mker
(θφ
(pm(p)
))= ker
(θφ
(p
(m(p))−1))
or, on a
ker(θφ
(pm(p)
))= ker
(θφ
(p
(m(p))−1))
⇓
E =
( ⊕q∈Q\{p}
ker(θφ
(qm(q)
)))⊕(ker
(θφ
(p
(m(p))−1)))
⇓
E = ker
(θφ
(( ∏q∈Q\{p}
qm(q)
)× p(m(p))−1
))⇓
θφ
(( ∏q∈Q\{p}
qm(q)
)× p(m(p))−1
)= 0
HomK-ev (E,E)
⇓( ∏q∈Q
qm(q)
)|
( ∏q∈Q\{p}
qm(q)
)× p(m(p))−1
⇓⊥
donc, on a
∃x ∈ E, µx,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))/∈{pi
|i ∈ (m (p))}
donc, on a
∃x ∈ E,
∧
µ
x,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))∈{pi |i ∈ (m (p)) + 1
}
µ
x,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))/∈{pi |i ∈ (m (p))
}
donc, on a
∃x ∈ E, µx,
φ�ker
(θφ
(pm(p)
))ker
(θφ
(pm(p)
))∼ p
m(p)
10
SoientD := {q ∈ Q|¬ (m (q) ∼ 0)}
soitx ∈ app (D,E)
tel que
∀q ∈ D, µx(q),
φ�ker
(θφ
(qm(q)
))ker
(θφ
(qm(q)
))∼ q
m(q)
Posonsy :=
⊕q∈D
x (q)
on aµy,φ|µφ
donc, on a∀q ∈ Q, val
q
(µy,φ
)≤ val
q
(µφ
)soit d ∈ app (Q, ω) tel que
∀p ∈ Q, d (p) ≤ valp
(µφ
)alors, on a (
θφ
( ∏p∈Q
pd(p)
))(y) = 0
E
m(
car les sous espaces de E stables par φ sont stables par les elements de θφ
(K [X]))
⊕p∈D
((θφ
( ∏q∈Q
qd(q)
))(x (p))
)= 0
E
m
∀p ∈ D,
(θφ
( ∏q∈Q
qd(q)
))(x (p)) ∼ 0
E
m
∀p ∈ D,
(θφ
(( ∏q∈Q\{p}
qd(q)
).pm(p)
))(x (p)) ∼ 0
E
m
∀p ∈ D,
((θφ
( ∏q∈Q\{p}
qd(q)
))◦(θφ
(pm(p)
)))(x (p)) ∼ 0
E
m
∀p ∈ D,
(θφ
( ∏q∈Q\{p}
qd(q)
))((θφ
(pd(p)))
(x (p)))∼ 0
E
m
∀p ∈ D,(θφ
(pd(p)))
(x (p)) ∈ ker
(θφ
( ∏q∈Q\{p}
qd(q)
))m
∀p ∈ D,(θφ
(pd(p)))
(x (p)) ∈
(ker
(θφ
( ∏q∈Q\{p}
qd(q)
)))∩(ker
(θφ
(pd(p))))
m∀p ∈ D,
((θφ
(pd(p)))
(x (p)))∼ 0
m∀p ∈ D, d (p) ≥ m (p)
m∀p ∈ D, d (p) ∼ m (p)
donc, on aµy,φ
= µφ
11
Definition 2.16. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), on dit que E est φ-cyclique si on a
∃a ∈ E, σa,φ
(K [X]) ∼ E
On appelle φ-generateur tout a ∈ E tel queσa,φ
(K [X]) ∼ E
Proposition 2.17. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), tel que E soit φ-cyclique, soit a un φ-generateur de E. On a
µa,φ
= µφ
Proof. Le passage au quotientσa,φ
: K [X] /(µa,φ
)−→ E
est un isomorphisme, donc on adimK-ev (E) = dimK-ev
(K [X] /
(µa,φ
))donc, on a
deg(µa,φ
)= dimK-ev (E)
donc K [X] /(µa,φ
)a pour base
(Xi)i∈(dimK-ev (E))
, notons que la matrice de mX
dans la base(Xi)i∈(dimK-ev (E))
est la matrice
Cµa,φ
.
Pour tout P ∈ K [X], on a
σa,φ
(X.P
)= σ
a,φ(X.P )
=(la◦ θ
φ
)(X.P )
= la
(θφ
(X.P ))
= la
((θφ
(X))◦(θφ
(P )))
= la
(φ ◦(θφ
(P )))
= φ((θφ
(P ))
(a))
= φ(la
(θφ
(P )))
= φ((la ◦ θφ
)(P ))
= φ(σa,φ
(P ))
= φ(σa,φ
(P))
donc, pour tout v ∈ E, on a (σa,φ◦m
X◦(σa,φ
)−1)(v) = σ
a,φ
(mX
((σa,φ
)−1
(v)))
= σa,φ
(X.((σa,φ
)−1
(v)))
= φ(σa,φ
((σa,φ
)−1
(v)))
= φ (v)
donc, on a
σa,φ◦m
X◦(σa,φ
)−1
= φ
donc, on aµφ
= µmX
de plus, on aµm
X
= µa,φ
car
Mat(Xi)i∈(dimK-ev (E))
(mX
)= C
µa,φ
donc, on a (∧{µmX
∼ µa,φ
µφ∼ µ
mX
})
12
donc, on aµφ
= µa,φ
Proposition 2.18. Soient φ ∈ HomK−ev (E,E) tel que E soit φ-cyclique alors on a
deg(µφ
)= dimK-ev (E)
Proof. Soit a un φ-generateur de E, on aµa,φ
= µφ
de plus, on aK [X] /
(µa,φ
) ∼=K-ev E
donc, on a
deg(µφ
)= deg
(µa,φ
)= dimK-ev
(K [X] /
(µa,φ
))= dimK-ev (E)
Proposition 2.19. Soient φ ∈ HomK−ev (E,E) tel que E soit φ-cyclique, soit a un φ-generateur de E, alors(φk
(a))k∈dim
K-ev (E)
est une base de E.
Proof. a est un φ-generateur de E, donc le (K-ev)-morphisme quotient σa,φ
: K [X] /(µa,φ
)→ E est un (K-ev)-isomorphisme,
doncdeg
(µa,φ
)= dimK-ev (E)
de plus(Xi)i∈deg(µa,φ)
est une base de K [X] /(µa,φ
). Donc,
(Xi)i∈(dimK-ev (E))
est une base de K [X] /(µa,φ
). De plus, σ
a,φ
est un isomorphisme, donc σa,φ
(Xi)i∈(dimK-ev (E))
est une base de E. Or pour tout i ∈ ω, on a
σa,φ
(Xi)
= σa,φ
(Xi)
=(la ◦ θφ
) (Xi)
= la
(θφ
(Xi))
= la
(φi)
= φi
(a)
donc, on a
σa,φ
(Xi)i∈(dimK-ev (E))
=(φi
(a))i∈(dimK-ev (E))
donc,(φi
(a))i∈(dimK-ev (E))
est une base de E.
Proposition 2.20. Soient φ ∈ HomK-ev (E,E) et a ∈ E et n ∈ ω\ {0} tels que(φi
(a))i∈n
soit une base de K-base de E. Alors
a est un φ-generateur de E. Soit λ ∈ app (n, ω) tel que
φn
(a) =
(∑i∈n
(λ (i)) .(φi
(a)))
Alors, on a
µa,φ
= µφ
= Xn
−
(∑i∈n
(λ (i)) .Xi
)
13
Proof. On a ∧{φi
(a) |i ∈ n}⊆ σ
a,φ(K [X])(
φi
(a))i∈n
est une K-base de E
donc, on aσa,φ
(K [X]) = E
Doncµa,φ
= µφ
de plus E est φ-cyclique, donc on adeg
(µφ
)= dimK-ev (E)
donc, on a
deg(µa,φ
)= dimK-ev (E)
On a
φn
(a) =(∑
i∈n (λ (i)) .(φi
(a)))
mφn
(a)−(∑
i∈n (λ (i)) .(φi
(a)))
= 0E
m(σa,φ
(Xn))− (∑i∈n (λ (i)) .
(σa,φ
(Xi)))
= 0
mσa,φ
(Xn −
(∑i∈n (λ (i)) .X
i))
= 0
donc, on a
Xn
−
(∑i∈n
(λ (i)) .Xi
)∈ k
a,φ
de plus
deg
(Xn
−
(∑i∈n
(λ (i)) .Xi
))= n
= dimK-ev (E)
= deg(µa,φ
)et
ka,φ
= µa,φ. (K [X])
donc, il existe a ∈ K tel que
a.µa,φ
= Xn
−
(∑i∈n
(λ (i)) .Xi
)
or µa,φ
est unitaire, donc a est egal au coefficient dominant de Xn −
(∑i∈n (λ (i)) .X
i)
, donc
a = 1
donc,
µa,φ
= Xn
−
(∑i∈n
(λ (i)) .Xi
)
Corollaire 2.21. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E) alors E est φ-cyclique si et seulement si il existe a et n tels que∧
n ∈ ω\ {0}a ∈ E(
φi
(a))i∈n
est une K-base de E
14
3 Sous espaces cycliques
Condition 3.1. On se donne un K-ev E de dimension finie non nulle.
Definition 3.2. Soient φ ∈ HomK-ev (E,E) et F un sous-K-espace-vectoriel de E stable par φ, on dit que F est un sous-espace
φ-cyclique de E si F est(φ �
F
F
)-cyclique.
Proposition 3.3. Soient φ ∈ HomK-ev (E,E) et a ∈ E alors σa,φ
(K [X]) est stable par φ.
Proof. Pour tout P ∈ K [X], on a
φ(σa,φ
(P ))
= φ((la ◦ θφ
)(P ))
= φ(la
(θφ
(P )))
= φ((θφ
(P ))
(a))
=(φ ◦(θφ
(P )))
(a)
=((θφ
(X))◦(θφ
(P )))
(a)
=(θφ
(X.P ))
(a)
= la
(θφ
(X.P ))
= σa,φ
(X.P )
Proposition 3.4. Soient φ ∈ HomK-ev (E,E) et a ∈ E, alors σa,φ
(K [X]) est un sous-espace φ-cyclique de E.
Proof. SoitF := σ
a,φ(K [X])
F est stable par φ et pour tout i ∈ ω, on a
σa,(φ�FF )
(Xi)
=
(la ◦ θ(φ�FF )
)(Xi)
= la
((φ �
F
F
)i)=
(φ �
F
F
)i(a)
= φi
(a)
= la
(φi)
= la
(θφ
(Xi))
=(la ◦ θφ
) (Xi)
= σa,φ
(Xi)
donc, σa,φ
et σa,(φ�FF )
sont deux applications K-lineaires qui ont meme K-ev-source et qui coıncident sur une base de leur
K-ev-source commune, donc σa,φ
et σa,(φ�FF )
coıncident sur leur K-ev-source commune. Donc, on a
σa,(φ�FF )
(K [X]) = σa,φ
(K [X])
= F
de plus, on a a ∈ F , donc F est un sous-espace φ-cyclique de E.
Proposition 3.5. Soient φ ∈ HomK-ev (E,E), alors il existe un sous-espace φ-cyclique F de E tel que
dimK-ev (F ) = deg(µφ
)Proof. Il suffit de considerer a ∈ E tel que
µa,φ
= µφ
et de poserF := σ
a,φ(K [X])
15
Corollaire 3.6. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), alors on a
deg(µφ
)≤ dimK-ev (E)
Proof. Il existe un sous-espace φ-cyclique F de E tel que
dimK-ev (F ) = deg(µφ
)or, on a
dimK-ev (F ) ≤ dimK-ev (E)
donc, on a
deg(µφ
)≤ dimK-ev (E)
Proposition 3.7. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), alors on a(deg
(µφ
)∼ dimK-ev (E)
)⇐⇒ (E est φ-cyclique)
Proof. Si E est φ-cyclique alors (par la proposition 0.19), on a
deg(µφ
)= dimK-ev (E)
Il existe un sous-espace φ-cyclique F de E tel que
dimK-ev (F ) = deg(µφ
)donc, si on a
deg(µφ
)= dimK-ev (E)
alors il existe un sous-espace φ-cyclique F de E tel que
dimK-ev (F ) = deg(µφ
)= dimK-ev (E)
donc, si on adeg
(µφ
)= dimK-ev (E)
alors E est φ-cyclique.
Proposition 3.8. Soient φ ∈ HomK-ev (E,E) et a ∈ E tels que E est(∧{E est φ-cyclique
a est un φ-generateur de E
})Soit
F := σa,φ
(K [X])
Alors F est stable par φ et on a
µ(φ�FF )
= µa,φ
= µa,(φ�FF )
Proof. σa,φ
et σa,(φ�FF )
ont meme K-ev-source et coıncident sur leur K-ev-source commune. Donc, on a
ker(σa,φ
)= ker
(σa,(φ�FF )
)donc, on a
µa,φ
= µa,(φ�FF )
or a est un φ �F
Fgenerateur de F , donc
µa,(φ�FF )
= µ(φ�FF )
donc, on a
µa,φ
= µ(φ�FF )
16
Proposition 3.9. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), alors pour tout sous-espace φ-cyclique F de E, on a
dimK-ev (F ) ≤ deg(µφ
)Proof. Soit a ∈ F un
(φ �
F
F
)-generateur de F , on a
σa,(φ�FF )
(µφ
)= σ
a,φ
(µφ
)= 0
E
donc, on a
µφ∈ σ
a,(φ�FF ). (K [X])
de plusµφ6= 0K[X]
donc, on a
dimK-ev (F ) = deg
(µ
(φ�FF )
)= deg
(µa,φ
)≤ deg
(µφ
)
Proposition 3.10. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), alors pour tout sous-espace φ-cyclique F de E, on a
(dimK-ev (F ) ∼ deg
(µφ
))⇐⇒
(µ
(φ�FF )∼ µ
φ
)Proof. On a
dimK-ev (F ) = deg
(µ
(φ�FF )
)donc, on a ∧
(µ
(φ�FF )∼ µ
φ
)=⇒
(dimK-ev (F ) ∼ deg
(µφ
))(dimK-ev (F ) ∼ deg
(µφ
))=⇒
(deg
(µ
(φ�FF )
)∼ deg
(µφ
))
de plus, on a ∧
µ(φ�FF )
∼ µa,φ
µφ∈ µ
a,φ. (K [X])
µφ
est unitaireµa,φ
est unitaire
donc, on a ∧
µφ∈ µ
(φ�FF ). (K [X])
µφ
est unitaireµ
(φ�FF )est unitaire
donc, on a
deg
(µ
(φ�FF )
)= deg
(µφ
)m
µ(φ�FF )
= µφ
donc, on a ∧(µ
(φ�FF )∼ µ
φ
)=⇒
(dimK-ev (F ) ∼ deg
(µφ
))(dimK-ev (F ) ∼ deg
(µφ
))=⇒
(µ
(φ�FF )∼ µ
φ
)
17
4 Decomposition en sous-espaces cycliques
Condition 4.1. On se donne un K-ev E de dimension finie non nulle.
Lemme 4.2. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), soit a ∈ E tel que
µa,φ
= µφ
alors il existe un sous-K-espace-vectoriel F de E stable par φ tel que
E =(σa,φ
(K [X]))⊕ F
Proof. Soit C la categorie des K-espaces vectoriels. Posons
φ?
:= LK
Cop(φ)
et
E?
:= LK
Cop(E)
et pour tout A ∈ ((P (E)) \∅), posons
A⊥
:={ψ ∈ E
?
|ψ (A) ∼ {0}}
(les proprietes elementaires de A⊥
sont supposees connues), soit z ∈(σa,φ
(K [X]))⊥
, on a(φ?
(z)) (σa,φ
(K [X]))
=((L
K
Cop(φ))
(z)) (σa,φ
(K [X]))
=(φ ◦Cop
z) (σa,φ
(K [X]))
= (z ◦C φ)(σa,φ
(K [X]))
= z(φ(σa,φ
(K [X])))
= z(σa,φ
(X. (K [X])))
⊆ z(σa,φ
(K [X]))
= {0}
donc, on a
φ?
((σa,φ
(K [X]))⊥)
⊆(σa,φ
(K [X]))⊥
Soit ι : E? → E
?
/
((σa,φ
(K [X]))⊥)
la projection canonique. On a
(ι ◦C φ
?)((
σa,φ
(K [X]))⊥)
⊆ ι
((σa,φ
(K [X]))⊥)
= 0(E?/
((σa,φ (K[X]))
⊥))
donc, il existe un unique morphisme ψ de K-espaces vectoriels tel que
ψ ◦C ι = ι ◦C φ
notons φ?
al’unique morphisme ψ de K-espaces vectoriels tel que
ψ ◦C ι = ι ◦C φ
Soient u ∈ σa,φ
(K [X]) et v, w ∈ E?
tels que
v − w ∈(σa,φ
(K [X]))⊥
on a (∧{ u ∈ σa,φ
(K [X])
v − w ∈(σa,φ
(K [X]))⊥ })
⇓(v − w) (u) = 0
mv (u) = w (u)
18
Pour tout v ∈ E?
, notons v la classe de v dans E?
/(σa,φ
(K [X]))⊥
. On peut donc poser
B :
(σa,φ
(K [X]))×(E?
/(σa,φ
(K [X]))⊥)
→ K
(u, v) 7→ v (u)
B est un pairing, en effet soient
B1
:
σa,φ
(K [X]) →(E?
/(σa,φ
(K [X]))⊥)?
x 7→
{E?
/(σa,φ
(K [X]))⊥
→ Ky 7→ B (x, y)
et
B2
:
E?
/(σa,φ
(K [X]))⊥
→(σa,φ
(K [X]))?
x 7→
{σa,φ
(K [X]) → Ky 7→ B (y, x)
B1
est un K-ev monomorphisme entre 2 K-espaces-vectoriels de meme dimension finie, donc B1
est un K-ev-isomorphisme, dememe B
2est un K-ev-isomorphisme.
Notons
φa := φ �(σa,φ (K[X]))
(σa,φ (K[X]))
Pour tout v ∈ E?
, on a
φ?
a(v) = φ
?
a(ι (v))
= ι(φ?
(v))
= φ? (v)
Soient b ∈(σa,φ
(K [X]))
et v ∈ E?
, on a
B (φa (b) , v) = v (φa
(b))
= v (φ (b))
= (v ◦C φ) (b)
=(φ ◦Cop
v)
(b)
=(φ?
(v))
(b)
= B(b, φ? (v)
)= B
(b, φ
?
a(v))
Pour tous b ∈ σa,φ
(K [X]) et v ∈ E?
, on a
B((θφa
(X
0))
(b) , v)
= B (b, v)
= B(b,(θφ?a
(X
0))
(v))
soit i ∈ ω tel que
∀b ∈ σa,φ
(K [X]) ,∀v ∈ E?
, B((θφa
(Xi))
(b) , v)∼ B
(b,(θφ?a
(Xi))
(v))
19
on a
B((θφa
(Xi+1))
(b) , v)
= B((θφa
(X.X
i))
(b) , v)
= B(((
θφa
(X))◦C(θφa
(Xi)))
(b) , v)
= B((θφa
(X))((
θφa
(Xi))
(b)), v)
= B(φa
((θφa
(Xi))
(b)), v)
= B((θφa
(Xi))
(b) , φ?
a(v))
= B(b,(θφ?a
(Xi))(
φ?
a(v)))
= B(b,((θφ?a
(Xi))◦C φ
?
a
)(v))
= B(b,((θφ?a
(Xi))◦C(θφ?a
(X)))
(v))
= B(b,(θφ?a
(Xi+1))
(v))
Donc, par le principe de recurrence, on a
∀j ∈ ω,∀b ∈ σa,φ
(K [X]) ,∀v ∈ E?
, B((θφa
(Xj))
(b) , v)∼ B
(b,(θφ?a
(Xj))
(v))
Soit k un ordinal fini non nul et soit λ ∈ app (k,K), pour tous b ∈ σa,φ
(K [X]), pour tous v ∈ E?
, on a
B
θφa
∑j∈k
(λ (j)) .Xj
(b) , v
= B
∑j∈k
(λ (j)) .(θφa
(Xj)) (b) , v
= B
∑j∈k
(λ (j)) .((θφa
(Xj))
(b)), v
=
∑j∈k
(λ (j)) .B((θφa
(Xj))
(b) , v)
=∑j∈k
(λ (j)) .B(b,(θφ?a
(Xj))
(v))
= B
b,∑j∈k
(λ (j)) .((θφ?a
(Xj))
(v))
= B
b,∑j∈k
(λ (j)) .(θφ?a
(Xj)) (v)
= B
b,θ
φ?a
∑j∈k
(λ (j)) .Xj
(v)
donc, on a
∀P ∈ K [X] ,∀b ∈ σa,φ
(K [X]) ,∀v ∈ E?
, B((θφa
(P ))
(b) , v)∼ B
(b,(θφ?a
(P ))
(v))
20
Soit P ∈ K [X], on aθφa
(P ) = 0Hom
K-ev(σa,φ (K[X]),σa,φ
(K[X]))m
∀b ∈ σa,φ
(K [X]) , B1
((θφa
(P ))
(b))∼ 0(E?/(σa,φ (K[X]))
⊥)?m
∀b ∈ σa,φ
(K [X]) ,∀v ∈ E?
, B((θφa
(P ))
(b) , v)∼ 0K
m∀b ∈ σ
a,φ(K [X]) ,∀v ∈ E?
, B(b,(θφ?a
(P ))
(v))∼ 0K
m∀v ∈ E?
, B2
((θφ?a
(P ))
(v))∼ 0
(σa,φ (K[X]))?
mθφ?a
(P ) = 0Hom
K-ev(E?/(σa,φ (K[X]))
⊥,E?/(σa,φ (K[X]))
⊥)
donc, on aµφa
= µφ?a
donc, on a
µφ?a
= µφa
= µa,φ
= µφ
or, on a
dimK-ev
(E?
/(σa,φ
(K [X]))⊥)
= dimK-ev(σa,φ
(K [X]))
= deg(µa,φ
)= deg
(µφ
)= deg
(µφ?a
)donc, E
?
/(σa,φ
(K [X]))⊥
est φ?
a-cyclique.
Soit
B :
{E × E? → K(u, v) 7→ v (u)
B est un pairing, en effet soient
B1 :
E →
(E?)?
x 7→
{E? → Ky 7→ B (x, y)
et
B2
:
E? → E
?
x 7→
{E → Ky 7→ B (y, x)
B1
est un K-ev monomorphisme entre 2 K-espaces-vectoriels de meme dimension finie, donc B1
est un K-ev-isomorphisme, dememe B
2est un K-ev-isomorphisme.
Soient b ∈ E et v ∈ E?
, on a
B (φ (b) , v) = v (φ (b))
= (v ◦C φ) (b)
=(φ ◦Cop
v)
(b)
=(φ?
(v))
(b)
= B(b, φ
?
(v))
21
donc, comme precedemment, on a
∀P ∈ K [X] ,∀b ∈ E,∀v ∈ E?
, B((θφ
(P ))
(b) , v)∼ B
(b,(θφ? (P )
)(v))
donc, comme precedemment on a
µφ
= µφ?
Soit b ∈ E?
tel que b soit un φ?
agenerateur,
((φ?
a
)i (b))
i∈deg
µφ?a
est une K-base de E
?
/(σa,φ
(K [X]))⊥
, or on a
((φ?
a
)i (b))
i∈deg
µφ?a
=
((φ?)
i
(b))i∈deg
µφ?a
donc
((φ?)i
(b)
)i∈deg
µφ?a
est K-libre, donc
dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))≥ deg
(µφ?a
)or, σ
b,φ? (K [X]) est un sous-K-espace vectoriel de E
?
stable par φ?
, donc on a
dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))≤ deg
(µφ?
)or, on a (∧{
µφ?a
∼ µφ
µφ? ∼ µφ
})donc, on a ∧ dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))≥ deg
(µφ
)dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))≤ deg
(µφ
)
donc, on a
dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))
= deg(µφ
)donc,
((φ?)i
(b)
)i∈deg
µφ?a
est une K-base de σ
b,φ? (K [X]), donc ι �
σb,φ
? (K[X])est un isomorphisme.
Donc, on a (σb,φ
? (K [X]))∩((σa,φ
(K [X]))⊥)
= ker
(ι �
σb,φ
? (K[X])
)=
{0E?
}or, on a
dimK-ev
((σa,φ
(K [X]))⊥)
=(dimK-ev (E)
)− deg
(µa,φ
)=
(dimK-ev (E)
)− deg
(µφ
)et on a
dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))
= deg(µφ
)donc, on a (
dimK-ev
((σa,φ
(K [X]))⊥))
+(dimK-ev
(σb,φ
? (K [X])))
=((dimK-ev (E)
)− deg
(µφ
))+ deg
(µφ
)= dimK-ev (E)
22
donc, on a ∧(dimK-ev
((σa,φ
(K [X]))⊥))
+(dimK-ev
(σb,φ
? (K [X])))∼ dimK-ev (E)(
σb,φ
? (K [X]))∩((σa,φ
(K [X]))⊥)
∼{
0E?
}
donc, on a
E?
=(σa,φ
(K [X]))⊥⊕(σb,φ
? (K [X]))
donc, on a (((σa,φ
(K [X]))⊥)◦)
∩((
σb,φ
? (K [X]))◦)
= 0E
de plus, on a ∧((σa,φ
(K [X]))⊥)◦
∼(B1
)−1(((
σa,φ
(K [X]))⊥)⊥)
(σb,φ
? (K [X]))◦∼(B
1
)−1 ((σb,φ
? (K [X]))⊥)
donc, on a
dimK-ev
(((σa,φ
(K [X]))⊥)◦)
= dimK-ev
((B
1
)−1(((
σa,φ
(K [X]))⊥)⊥))
= dimK-ev
(((σa,φ
(K [X]))⊥)⊥)
=
(dimK-ev
((E?)?))
−(dimK-ev
((σa,φ
(K [X]))⊥))
=
(dimK-ev
((E?)?))
−((dimK-ev
(E?))−(dimK-ev
(σa,φ
(K [X]))))
=(dimK-ev (E)
)−((dimK-ev (E)
)−(dimK-ev
(σa,φ
(K [X]))))
= dimK-ev(σa,φ
(K [X]))
de plus, on a
σa,φ
(K [X]) ⊆((σa,φ
(K [X]))⊥)◦
donc, on a
σa,φ
(K [X]) =
((σa,φ
(K [X]))⊥)◦
On a
dimK-ev
((σb,φ
? (K [X]))◦)
= dimK-ev
((B
1
)−1 ((σb,φ
? (K [X]))⊥))
= dimK-ev
((σb,φ
? (K [X]))⊥)
=(dimK-ev
(E?))− dimK-ev
(σb,φ
? (K [X]))
=(dimK-ev
(E?))− deg
(µφ
)=
(dimK-ev (E)
)− deg
(µφ
)=
(dimK-ev (E)
)− deg
(µa,φ
)=
(dimK-ev (E)
)−(dimK-ev
(σa,φ
(K [X])))
23
donc, on a ∧
(dimK-ev
((σb,φ
? (K [X]))◦))
+
(dimK-ev
(((σa,φ
(K [X]))⊥)◦))
∼ dimK-ev (E)(((σa,φ
(K [X]))⊥)◦)
∩((
σb,φ
? (K [X]))◦)
∼ {0E}
donc, on a
E =
((σb,φ
? (K [X]))◦)
⊕
(((σa,φ
(K [X]))⊥)◦)
=
((σb,φ
? (K [X]))◦)
⊕(σa,φ
(K [X]))
On a
B
(φ
((σb,φ
? (K [X]))◦)
, σb,φ
? (K [X])
)= B
((σb,φ
? (K [X]))◦, φ
?(σb,φ
? (K [X])))
= B
((σb,φ
? (K [X]))◦, σ
b,φ? (X. (K [X]))
)⊆ B
((σb,φ
? (K [X]))◦, σ
b,φ? (K [X])
)= {0K}
donc, on a
φ
((σb,φ
? (K [X]))◦)
⊆(σb,φ
? (K [X]))◦
donc, on a ∧
E ∼((
σb,φ
? (K [X]))◦)
⊕(σa,φ
(K [X]))
φ
((σb,φ
? (K [X]))◦)
⊆(σb,φ
? (K [X]))◦
Theoreme 4.3. Soit φ ∈ HomK-ev (E,E), alors E est decomposable en somme directe de sous-K-espaces-vectoriels φ-cycliquesde E.
Proof. Soit
P := ∀F ∈ objK-ev ,∀ψ ∈ HomK-ev (F, F ) ,
(↓{
dimK-ev (F ) ∼ xF est decomposable en somme directe de sous-K-ev ψ-cycliques de F
})On a P (0). Soit j ∈ ω\ {0} tel que
∀k ∈ j, P (k)
Soient F ∈ objK-ev et ψ ∈ HomK-ev (F, F ) tels quedimK-ev (F ) = j
Soit a ∈ F tel que
µa,ψ
= µψ
alors, il existe un sous-K-espace-vectoriel H de F stable par ψ tel que
F =(σa,ψ
(K [X]))⊕H
Or, on a∀k ∈ j, P (k)
donc H est decomposable en somme directe de sous-K-espaces-vectoriels(ψ �
H
H
)-cycliques de H. Soit b ∈ H, on a
σb,(ψ�
H
H )(K [X]) = σ
b,ψ(K [X])
donc, tout sous-K-espaces-vectoriels(ψ �
H
H
)-cycliques de H est un sous-K-espaces-vectoriels ψ-cycliques de F .
Donc, F est decomposable en somme directe de sous-K-espaces-vectoriels ψ-cycliques de F .Donc, en vertu du principe de recurrence, on a
∀j ∈ ω, P (j)
24
5 Irreductibilite
Definition 5.1. Soient E ∈ objK-ev tel que et φ ∈ HomK-ev (E,E), on dit que E est φ-indecomposable si E n’est pas sommedirect de deux sous-K-espaces-vectoriels propres de E stables par φ.
Definition 5.2. Soient E ∈ objK-ev et F un sous-K-ev de E et φ ∈ HomK-ev (E,E), on dit que F est φ-indecomposable si on a(∧{φ (F ) ⊆ F
F est(φ �
F
F
)-indecomposable
})
Proposition 5.3. Soient E ∈ objK-ev et φ ∈ HomK-ev (E,E) tels que
dimK-ev (E) ∈ ω\ {0}
alors E est la somme directe de sous-K-ev φ-indecomposable de E.
Proof. Soit
D :=
{γ ∈ P (P (E)) |
(∧{∀s ∈ γ,
((s ∼ 〈s〉
E
)∧ ¬ (s ∼ {0
E}))
E ∼⊕s∈γ
s
})}On a
∀γ ∈ D, # (γ) ≤ dimK-ev (E)
donc {# (γ) |γ ∈ D} a un maximum. Soit
m := max ({# (γ) |γ ∈ D})
soit γ ∈ D tel que# (γ) = m
Pour tout s ∈ γ, s est φ-indecomposable. En effet si s n’est pas indecomposable alors il existe s1 , s2 ⊆ s tels que∧
s1∼ 〈s
1〉E
{s1, s
2} ∩ {{0
E}} ∼ ∅
s0∼ 〈s
0〉E
s ∼ s1⊕ s
2
or, on a
∀s1, s
2∈ P (s) ,
∧
s1 ∼ 〈s1〉E
{s1 , s2} ∩ {{0E}} ∼ ∅s0∼ 〈s
0〉E
s ∼ s1⊕ s
2
=⇒ ((γ\ {s}) ∪ {s
1, s
2} ∈ D)
or, pour tous s1 , s2 ⊆ s tels que ∧
s1∼ 〈s
1〉E
{s1, s
2} ∩ {{0
E}} ∼ ∅ ∼ ∅
s0∼ 〈s
0〉E
s ∼ s1 ⊕ s2
on a
# ((γ\ {s}) ∪ {s1, s
2}) = (# (γ)) + 1
= m+ 1
Donc, on a
∀s1, s
2∈ P (s) ,
∧
s1 ∼ 〈s1〉E
{s1, s
2} ∩ {{0
E}} ∼ ∅
s0∼ 〈s
0〉E
s ∼ s1⊕ s
2
=⇒
∧ (γ\ {s}) ∪ {s1, s
2} ∈ D
# ((γ\ {s}) ∪ {s1 , s2}) ∼ m+ 1max ({# (γ) |γ ∈ D}) ∼ m
donc, on a
∀s1 , s2 ∈ P (s) ,
∧
s1∼ 〈s
1〉E
{s1 , s2} ∩ {{0E}} ∼ ∅s0 ∼ 〈s0〉Es ∼ s
1⊕ s
2
=⇒ ⊥
25
Proposition 5.4. Soient E ∈ objK-ev et φ ∈ HomK-ev (E,E) tels que(∧{dimK-ev (E) ∈ ω\ {0}E est φ-indecomposable
})alors E est cyclique.
Proof. Soit
D :=
{γ ∈ P (P (E)) |
(∧{∀s ∈ γ,
((s ∼ 〈s〉
E
)∧ ¬ (s ∼ {0
E}))
E ∼⊕s∈γ
s
})}E est decomposable en une somme directe de sous-K-espaces φ-cycliques, donc il existe γ ∈ D tel que pour tout s ∈ γ, s estφ-cyclique.
Soit γ ∈ D tel que pour tout s ∈ γ, s est φ-cyclique. E est φ-indecomposable donc on a
max ({# (α) |α ∈ D}) = 1
donc, on a# (γ) = 1
donc, il existe s tel que γ = {s}. Soit s tel que γ = {s}, on a
γ ∈ D
donc, on aE = s
or, pour tout t ∈ γ, t est φ-cyclique, donc s est φ-cyclique, donc E est φ-cyclique.
Corollaire 5.5. Soient E ∈ objK-ev et φ ∈ HomK-ev (E,E) tels que
dimK-ev (E) ∈ ω\ {0}
alors toute decomposition de E en somme directe de sous-K-ev φ-indecomposable de E est une decomposition de E en sommedirecte de sous-K-espaces-vectoriels φ-cycliques de E.
Theoreme 5.6. Soient E ∈ objK-ev et φ ∈ HomK-ev (E,E) tels que
dimK-ev (E) ∈ ω\ {0}
alors on a
(E est φ-indecomposable) ⇐⇒(∧{
E est φ-cyclique
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P j
})Proof. (⇒) Si E est φ-indecomposable alors E est φ-cyclique. Soit λ ∈ app (irr (K [X]) , ω) une application de support fini telleque ∧
µφ∼
∏P∈irr(K[X])
Pλ(P )
∀P,Q ∈ irr (K [X]) ,
(¬ ((λ (P )) (λ (Q)) ∼ 0)→
(∨{ P ∧Q ∼ 1P ∼ Q
}))
Par decomposition des noyaux, on a
E = ker(θφ
(µφ
))= ker
θφ
∏P∈irr(K[X])
Pλ(P )
=
⊕P∈irr(K[X])
ker(θφ
(Pλ(P )
))Soit P ∈ irr (K [X]) tel que
λ (P ) 6= 0
26
on a
ker(θφ
(Pλ(P )
))= {0
E}
⇓E =
⊕Q∈((irr(K[X]))\{P})
ker(θφ
(Qλ(Q)
))⇓
E = ker
(θφ
( ∏Q∈((irr(K[X]))\{P})
Qλ(Q)
))⇓( ∏
Q∈((irr(K[X]))\{P})Qλ(Q)
)∈(µφ. (K [X])
)m∧
( ∏Q∈((irr(K[X]))\{P})
Qλ(Q)
)∈
( ∏Q∈irr(K[X])
Qλ(Q)
. (K [X])
)P ∈ irr (K [X])λ (P ) 6= 0
⇓⊥
Donc, on a
∀Q ∈ irr (K [X]) ,(λ (Q) > 0 =⇒ ¬
(ker
(θφ
(Qλ(Q)
))∼ {0
E}))
Soit D le support de λ. Si #D > 1 alors il existe P,Q tels que∧ P 6= QP ∈ DQ ∈ D
donc,
E =(ker
(θφ
(Pλ(P )
)))⊕(ker
(θφ
(Qλ(Q)
)))⊕
⊕Z∈((irr(K[X]))\{P,Q})
ker(θφ
(Zλ(Z)))
or on a (∧{λ (P ) > 0λ (Q) > 0
})donc, on a ∧ ¬
(ker
(θφ
(Qλ(Q)
))∼ {0
E})
¬(ker
(θφ
(Pλ(P )
))∼ {0
E})
donc, on a ∧
¬
((ker
(θφ
(Qλ(Q)
)))⊕
( ⊕Z∈((irr(K[X]))\{P,Q})
ker(θφ
(Zλ(Z))))
∼ {0E}
)¬(ker
(θφ
(Pλ(P )
))∼ {0
E})
Donc si # (D) > 1 alors E n’est pas φ-indecomposable.Donc, on a
(E est φ-indecomposable) =⇒(∧{
E est φ-cyclique
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P j
})(⇐) E est decomposable en somme directe de sous-espaces φ-indecomposables de E. Soit
D :=
{γ ∈ P (P (E)) |
(∧{∀s ∈ γ,
((s ∼ 〈s〉
E
)∧ ¬ (s ∼ {0
E}))
E ∼⊕s∈γ
s
})}
Il existe γ ∈ D tel que pour tout s ∈ γ, s est φ-indecomposables. Soit γ ∈ D tel que pour tout s ∈ γ, s φ-indecomposables.Pour tout s ∈ γ, s est φ-cyclique.Supposons que l’on ait # (γ) ≥ 2 alors il existe il existe s
1, s
2tels que∧ s1 6= s2
s1 ∈ γs2∈ γ
27
Soient s1, s
2tels que ∧ s1 6= s2
s1∈ γ
s2∈ γ
Soient a1, a
2tels que ∧ a
1est un
(φ �
s1
s1
)-generateur de s
1
a2
est un(φ �
s2
s2
)-generateur de s
2
s1
est un sous-K-espace-vectoriel φ-cyclique de E, donc, on a
µ(φ�s1s1
) = µa1,φ
de meme, on a
µ(φ�s2s2
) = µa2,φ
de plus, on a (∧{µa1,φ|µφ
µa2,φ|µφ
})Supposons que l’on ait
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P
j
Soient P ∈ irr (K [X]) et j ∈ ω\ {0} tels que
µφ
= Pj
or, on a (∧{µa1,φ|µφ
µa2 ,φ|µφ
})donc, on a ∧
µa1 ,φ|P j
µa2 ,φ|P j
P ∈ irr (K [X])
donc, on a
∃j1 , j2 ∈ ω\ {0} ,
(∧{µa1,φ∼ P
j1
µa2,φ∼ P
j2
})soient j
1, j
2∈ ω\ {0} tels que (∧{
µa1,φ∼ P
j1
µa2,φ∼ P
j2
})On a ∧ j1 . (deg (P )) ∼ deg
(µa1,φ
)j2 . (deg (P )) ∼ deg
(µa2,φ
)
de plus, on a ∧ dimK-ev (s1) ∼ deg
(µa1,φ
)dimK-ev (s
2) ∼ deg
(µa2 ,φ
)
or, on a ∧ s1 ∈ γs2 ∈ γγ ∈ D
donc, on a (dimK-ev (s
1))
+(dimK-ev (s
2))≤ dimK-ev (E)
28
Supposons que E soit φ-cyclique. Alors on a
dimK-ev (E) = deg(µφ
)= deg
(Pj)
= j. (deg (P ))
donc, on a(j
1. (deg (P ))) + (j
2. (deg (P ))) ≤ j. (deg (P ))
donc, on a(j
1+ j
2) . (deg (P )) ≤ j. (deg (P ))
de plus, on a P ∈ irr (K [X]), doncdeg (P ) > 0
donc, on aj1
+ j2≤ j
or on a (∧{s16= {0
E}
s26= {0
E}
})donc, on a ∧ j
1> 0
j2> 0
j1
+ j2≤ j
donc, on a (∧{j1≤ j − 1
j2≤ j − 1
})donc, on a ∧ P
j−1 ∈(Pj1 . (K [X])
)Pj−1 ∈
(Pj2 . (K [X])
)
donc, on a ∧ Pj−1 ∈
(µa1,φ. (K [X])
)Pj−1 ∈
(µa2 ,φ
. (K [X]))
donc, on a
∧
Pj−1 ∈
(µ(
φ�s1s1
) . (K [X])
)
Pj−1 ∈
(µ(
φ�s2s2
) . (K [X])
)
Ainsi pour tout s ∈ γ, on a
Pj−1
∈(µ
(φ�ss). (K [X])
)donc, on a
∀s ∈ γ, θ(φ�ss)
(Pj−1)∼ 0
HomK-ev (s,s)
or, on a
∀s ∈ γ, θ(φ�ss)
(Pj−1)∼(θφ
(Pj−1))
�s
s
donc, on a ∧ ∀s ∈ γ,(θφ
(Pj−1))
(s) ∼ {0E}
E ∼ E ∼⊕s∈γ
s
donc, on a (θφ
(Pj−1))
(E) = {0E}
donc, on a
θφ
(Pj−1)
= 0Hom
K-ev (E,E)
29
donc, on a
Pj−1
∈(µφ. (K [X])
)donc, on a
Pj−1
∈(Pj
. (K [X]))
or, on a (Pj−1
∈(Pj
. (K [X])))
=⇒ ⊥
Donc, on a ∧E est φ-cyclique
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P j
# (γ) > 1
=⇒ ⊥
donc, on a (∧{E est φ-cyclique
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P j
})=⇒ ¬ (# (γ) > 1)
donc, on a (∧{E est φ-cyclique
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P j
})=⇒ ¬ (# (γ) ∼ 0)
donc, on a (∧{E est φ-cyclique
∃P ∈ irr (K [X]) ,∃j ∈ ω\ {0} , µφ∼ P j
})=⇒ (E est φ-indecomposable)
Corollaire 5.7. Soient E ∈ objK-ev et φ ∈ HomK-ev (E,E) et j ∈ ω\ {0} et P ∈ irr (K [X]) tels que(∧{dimK-ev (E) ∈ ω\ {0}
µφ∼ P j
})Alors, pour tout sous-K-ev F de E stable par φ, on a
(F est φ-cyclique) ⇐⇒ (F est φ-indecomposable)
.
30