espace
TRANSCRIPT
L.S.Marsa Elriadh
Espace M : Zribi
4 ème Maths Fiche
1
El Amine
l’espace est muni d’un repère orthonormé direct ; ,O i j .
Points coplanaires :
Soit ' ''
; ' ''
' ''
a a a
u b v b et w b
c c c
trois vecteurs de l’espace.
det( , , )u V w =a(b’c’’-b’’c’)-a’(bc’’-b’’c)+a’’(bc’-b’c).
Conséquences :
Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si det( , , )AB AC AD =0.
Exemple
On considère les points A(1,1,0) ; B(-1,2,1) ; C(0 ;1 ;2) et D(2,0,1).
ABCD est il un tétraèdre ?
2 1 1
1 ; 0 1 ; det , , 2(0 ( 2)) ( 1)(1 ( 1) 1(2 0) 0
1 2 1
AB AC et AD AB AC AD
donc A,B,C et D sont coplanaires ; alors ABCD n’est pas un tétraèdre.
Produit scalaire dans l’espace :
a a'
U b .V b' aa' bb' cc'
c c'
0U.V U V AB.CD BA.CD
AB.AC AB AC cos BAC AB.AH (H le projeté orthogonale de C sur (AB))
0U.V U V U.V U V
2 2 2
a
U b U a b c
c
L.S.Marsa Elriadh
Espace M : Zribi
4 ème Maths Fiche
2
El Amine
Produit vectorielle :
Soit'
' ' '; ' ; ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' )
' ' ''
a ab b a a a a
u b v b u v i j i bc b c i ac a c j ab a b kc c c c b b
c c
.
Remarque :
0si u et v sont colinéaires alors u v .
Exemple :
soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) et C(3,0,0); déterminer AB AC .
1 31 0 1 3 1 3
1 ; 0 ; ( 3 0) ( 3 ( 9)) (0 3)3 3 3 3 1 0
3 3
3 6 3
AB V AB AC i j i i j k
i j k
Aires et volumes :
l’aire d’un parallélogramme ABCD est égale à AB AD .
l’aire d’un triangle ABD est égale à 1
2AB AD .
Exemple :
soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) et C(3,0,0); calculer l’aire du triangle ABC.
' 3 6 3 ( 3)² ( 6)² ( 3)² 54 3 6l aire AB AC i j k .
le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est égal à
. | det , , |AB AD AE AB AD AE .
le volume d’un tétraèdre ABCD est égal à 1 1. det , ,
6 6AB AC AD AB AC AD
L.S.Marsa Elriadh
Espace M : Zribi
4 ème Maths Fiche
3
El Amine
Exemple :
soit les points A(0,0,3) ; B(1,1,0) C(3,0,0) et D(0,3,0); calculer le volume du
tétraèdre ABCD.
1.
6
3 0
3 6 3 ; 6 3 . ( 3).0 ( 6).3 ( 3).( 3) 9
3 3
1 39
6 2
V AB AC AD
u AB AC i j k u AD donc u AD
ainsi V