Equivalence entre les représentations d ’images à

l ’aide de complexes et d ’ordres

Sylvie Alayrangues

Jacques-Olivier Lachaud

Séminaire IRCOM-SIC juin 2002

Plan

• Motivations

• Equivalence ordre/complexe propriétés intéressantes sur une sous-catégorie

d ’ordres et de complexes : ordres et complexes SN• ex : complexes simpliciaux, polyédriques, Zn

• Applications :Homotopies Groupe fondamental Simplification d ’un objet dans un espace

Motivations

• Représentations topologiques des images

• Modèles généraux : indépendants de la dimension, sans contrainte sur la nature du support de l ’image, sans contrainte géométrique…

Représentations à l ’aide d ’ordres et de complexes

• Ordres développés par Bertrand et al. Approche ensembliste

• Complexes proposés par Dominguez et al. Topologie combinatoire : complexes plongés dans un espace

euclidien

• Différents résultats : définitions et algorithmes purement discrets :

• surfaces, homotopie, points simples / squelettisation, segmentation

définitions par analogie avec le continu :• surfaces, groupe fondamental, théorème de Seifert/Van Kampen

Points communs

• Eléments répartis entre deux classes : “pixels” de l ’image :

-terminaux / n-cellules

liens entre ces pixels :• non -terminaux / k-cellules avec k < n

• Ordre |X| = (X,α) X : ensemble d’éléments α : relation d ’ordre (i.e. relation binaire réflexive,

transitive, antisymétrique)• α-1 = β

• (X, β) ordre dual

• Ordre CF : X dénombrable localement fini : fini

• α-terminal

Ordre CF

)(x

xx)/(

Représentation des ordres

9

1

2

3

4

56

7

8 1011

12

14

13

x2 x1 x3 x6x5 x4 x7

x8 x9 x10

x12 x13

x14

x11

x2 x1 x3 x6x5 x4 x7

x8 x9 x10

x12 x13

x14

x11

• Complexe cellulaire abstrait : C=(E,,dim)E : ensemble d’éléments abstraits, EE : relation binaire non réflexive ,

antisymétrique, transitive (relation de bord) dim : EI Z telle que

dim(e) < dim(e’) ssi e e’ (dimension)

• Complexe localement fini de dimension n: fini

Complexe cellulaire abstrait

cl(e)st(e) ne

Ee

)dim(max

Représentation des complexes

• Restriction à des complexes polyédriques

e5

e4e2e1

e7

e10 e11

e12 e9

e8

e6

e3

• C=(E,<,dim) |X|=(X,

Lien complexe / ordre

?

???

Construire un complexe à partir d ’un ordre (1)

• -décomposition de l’ordre : famille {Xi}

• fonction dimxXi, dim(x) = i

x7

x1 x2

x3 x4

x5 x6

x8 x9

x10 x11 x12

X0

X1

X2

X3

X4

Construire un complexe à partir d ’un ordre (2)

• Complexe cellulaire abstrait associé à |X| : C |X|

=(E,,dim) xX, (x) E, (x,x’)XX, x’ (x)/{x} then (x’)(x),dim((x)) = dim(x).

• Complexe cellulaire abstrait dual associé à |X| : C*

|X|=(E*,*,dim*) xX, *(x) E*, (x,x’)XX, x’ (x)/{x} then *(x’)*(x),dim(* (x)) = (dim(x)) - dim(x)) = dim*

(x)) .

Exemple

x1 x2

x4 x5 x6 x7

x10 x11

x3

x8

x12

x9

e5

e4e2e1

e7

e10 e11

e12 e9

e8

e6

e3

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2

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e*4

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11

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e*5

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e*9

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e*7

*

Exemple

e*1 e*

2

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e*10 e*

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e*5

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e*9

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x10 x11

x3

x8

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x9x5

x4

x3

x12x11x10

x9x8x7

x2

x1 x5 x6

*

ordre dual e1

e2

e3

e4 e10 e11

e12

e5

e6

e9

e8

e7

Ordre / Complexe dual

-terminaux représentés par des n-cellules

• complexe pur :toute k-cellule est face d’au moins une n-cellule

Correspondances ordre/complexe dual

• *((x)) = st(*(x))

• *((x)) = cl(*(x))

• topologies d’Alexandroff : ouverts de |X| fermés de C*

|X|

fermés de |X| ouverts de C*|X|

Images des adhérences

*((x)) = st(*(x))

• *((x)) = cl(*(x))

x1x2

x3 x4 x5 x6 x7

x8 x9

e*1

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x1x2

x3 x4 x5 x6 x7

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Ouverts dans les ordres

• Ordre CF :S ouvert

S={xS/(x)S}

• Complexe dual : *(S) fermé

*(S)=cl(*(S) )

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2

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11

e*12

e*5

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e*9

e*8

e*7

Fermés dans les ordres

• CF-Order :S fermé

S={xS/(x)S}

• Dual abstract complex :*(S) ouvert

*(S)=st(*(S))

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2

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Connexité entre les -terminaux / n-cellules

• Sélectionner des non -terminaux / des k-cellules (k<n) définir les adjacences entre -terminaux / n-cellules

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3

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6

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13

e*14

Deux approches pour déterminer la connexité maximale

• Topologique : par équivalence

homotopique suppression itérative de

points par rétractions élémentaires sans changement de la topologie

• -noyau

• Ensembliste : par examen des

intersections des clôtures combinatoire de tout ensemble de n-cellules

nombre minimal de k-cellules qui connectent le maximum de n-cellules

• Support

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x4 x5 x6 x7

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x13

Exemple d ’extraction d ’un noyau

Exemple de détermination d ’un support

Configuration problématique

x1

x4

x5 x6

x2

e*1 e*

2

e*5

e*6 e*

4

e*3

x3

Ordres et Complexes ”Strongly Normal”

• complexe SN pur : complexe localement fini l ’intersection des clôtures de tout ensemble de n-cellules est soit

vide, soit la clôture d ’une cellule de dimension quelconque.

• ordre SN: Ordre CF L ’intersection des β-adjacences de tout ensemble de -terminaux

est soit vide, soit la β-adjacence d ’un élément quelconque de l ’ordre

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Exemple

Résultat principal

• Ox : sous-ensemble de -terminaux d ’un ordre SN

• OK : sous-ensemble de n-cellules d ’un complexe SNtels que OK = *(OX)

-noyau de | β(OX)| = support de OK

" Strong weak lighting functions"

• Famille de fonctions permettant de formaliser différentes notions de connexité par sélection des cellules/éléments nécessaires valable pour un objet et son complémentaire

• Propriétés de ces fonctions pour tout objet O les pixels (n-cellules / -terminaux) de O sont sélectionnés seuls les éléments appartenant au support de O / -noyau de |β(O)|

peuvent être sélectionnés si un élément est sélectionné pour un objet O, il est sélectionné

pour l ’image le choix de sélectionner ou non un élément doit pouvoir se faire

localement

Homotopie

• Transformations préservant la topologie squelettisation…

• Définition purement discrète sur les ordres suite d ’homotopies élémentaires

-homotopie et β-homotopie

• Transfert sur les complexes -homotopie et -homotopie

Groupe fondamental

• Invariant algébrique utilisé pour comparer les formes des objets groupe composé des classes d ’équivalence pour la relation

d ’homotopie de l ’ensemble des lacets• ex : sphère / groupe fondamental trivial (i.e. elle est simplement connexe)

• Défini par Dominguez par analogie avec le continu construction de chemins et de lacets entre les n-cellules :

• un chemin de e à e’ est une fonction c d’un intervalle [0,tmax] telle que c(0)=e, c(tmax)=e ’ et c(t) est alternativement une n-cellule et une k-cellule (k < n).

• Transfert sur les ordres : construction similaire de chemins et de lacets entre -terminaux

Exemple : chemins homotopes sur un objet O

Simplification

• Définition de points simples : points dont la suppression ne modifie ni la topologie

de l ’objet ni celle de son complémentaire

• Caractérisation de points simples d ’un ordre par Bertrand caractérisation de points simples sur un objet de

l ’ordre / du complexe (en cours)

Conclusion

Perspectives

• Vérification de la cohérence des notions de surface définies sur les ordres et les complexes

• Comparaison avec d ’autres modèles : cartes…

• Utilisation des ordres pour de l ’analyse d ’images multirésolution