EPFL, LESO-PB, septembre 2009 1

Energétique du bâtimentSeptembre - Décembre 2009 Caractéristiques thermiques

dynamiques

Nicolas Morel, LESO-PB/EPFL

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 2

Equation de la chaleur

Considérer un cube élémentaire situé en un point (x,y,z), de taille (x,y,z) de volume V = x·y·z

Flux de chaleur (équation de Fourier):

),,( zyx qqqq

xy

z

x

yz

qx(x+x)qx(x)

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 3

Equation de la chaleur

Conservation de l'énergie dans le cube élémentaire: (qx(x+x) - qx(x)) · y · z

+ (qy(y+y) - qy(y)) · x · z+ (qz(z+z) - qz(z)) · x · y= - · c · V · d/dt

Remplacer:qx = - ∂/∂xqy = - ∂/∂yqz = - ∂/∂z

Equation de la chaleur (sans source interne):

]/[ 2

2

smthermiqueédiffusivitc

aavec

adt

d

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 4

Equation de la chaleur

Equation de la chaleur, avec une source interne additionnelle, de puissance Q(t,x,y,z) :

]/[

]/[

]/[

]/[

]/[:

1

3

2

2

2

mWchaleurdesourceQ

KkgJspécifiquechaleurc

mkgdensité

KmWthermiquetéconductivi

smthermiqueédiffusivitc

aavec

Qc

adt

d

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 5

Equation de la chaleur

Paramètres significatif pour les phénomènes de diffusion de la chaleur à travers un solide:

Exemple: béton a = 0.75 10-6 m2/s = 0.144 m (période = 1 jour)

spériodiquephénomènespourpériode

tiquecaractéristempstavec

mnpénétratiodeprofondeurta

smthermiqueédiffusivitc

a

][

]/[ 2

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 6

Equation de la chaleur (cas particuliers)

Cas stationnaire (équation de Poisson):∇2 = 0

Cas unidimensionnel non stationnaire:d/dt = a · ∂2/∂x2

Réponse à un saut unité, cas unidimensionnel non stationnaire: transformée de Laplace

Régime harmonique, cas unidimensionnel non stationnaire: solution de type (x,t) = c(x) · cos(·t + )

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 7

Milieu semi-infini, réponse indicielle

Milieu semi-infini (par exemple mur très épais)

Comment se propage une variation soudaine de température en x=0 dans le milieu, en fonction du temps t et de la distance x à la surface ?

xx=0

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 8

Milieu semi-infini, réponse indicielle

Hypothèses: pour t=0, l'ensemble

du milieu est à une température =0

en t=0, on applique un saut de température de 0 à 0 au plan x=0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [h]

thet

a/th

eta0

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 9

Milieu semi-infini, réponse indicielle

Transformée de Laplace solution:

x = /0 = 0.157

][

2)(:

)(1

0

0

2

mnpénétratiode

profondeurta

dteyerfavec

ta

xerf

yt

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

thet

a/th

eta0

x/sqrt(a*t)

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 10

Milieu semi-infini, réponse indicielle

Représentation graphique de /0 en fonction du temps, pour diverses valeurs du paramètrek = x/a½ [s1/2] :

(les valeurs de k calculées en fonction de x sont données pour du béton, avec a = 0.75 · 10-6 m2/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [h]

thet

a/th

eta0

x=0.001m->k=1.1547

x=0.01->k=11.547x=0.1->k=115.4701

x=1->k=1154.7005

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 11

Milieu semi-infini, réponse indicielle

Même graphique mais à une échelle temporelle plus étendue

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t [h]

thet

a/th

eta0

x=0.001m->k=1.1547

x=0.01->k=11.547x=0.1->k=115.4701

x=1->k=1154.7005

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 12

Milieu semi-infini, réponse harmonique

Conditions aux limites: (0,t) = 0·cos(·t) (∞,t) = 0 période considérée typiquement: T = 1 jour = 86400 s

= 2/T = 72.6 10-6 [1/s] Solution (en régime stationnaire):

][

]/[

][/:

)/cos()/exp(

)2

cos()2

exp(),(

2

0

0

spériodeT

smthermiqueédiffusivita

mnpénétratiodeprofondeurTaavec

xtx

xa

txa

tx

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 13

Milieu semi-infini, réponse harmonique

Cas particulier x = (profondeur de pénétration): atténuation de l'amplitude: () = 1/e · 0 = 0.368 · 0

différence de phase: T/2 = 3.82 heures

Exemple: béton a=0.7510-6 m2/s = (aT/)½ = 14.4 cm

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 14

Modèle harmonique multicouches

Pour la couche #n, en toute profondeur x de cette couche(0 < x < en = épaisseur de la couche):

température [K ou °C]: (x,t) = 0(x) + c · cos(t – (x))

flux de chaleur [W/m2]: q(x,t) = q0(x) + qc · cos(t – q(x))

Notation en nombres complexes:

qj

j

tjtj

tjtj

exqxq

exx

complexesamplitudesxqetx

exqexqxqtxq

exexxtx

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

:)(ˆ)(ˆ

])(ˆ)(ˆ[)(),(

])(ˆ)(ˆ[)(),(

21

0

21

0

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 15

Modèle harmonique multicouches

Matrice de transfert thermique Matrice de transfert thermique (matrice de Heindl) de

l'élément n (on ne considère que la partie harmonique):

Interprétation: Z11 = relation (amplitude et phase) entre les variations de température sur les deux faces de

l'élément, en l'absence de variation du flux thermique "entrant" (q1=0) Z21 = variation de flux thermique sur la face 2 ("sortie") résultant d'une variation de

température sur la face 1 ("entrée"), en l'absence de variation du flux "entrant" (q1=0) [W/m2K] Z12 = variation de température sur la face 2 résultant d'une variation du flux thermique sur la

face 1, en l'absence de variation de température 1 [m2K/W] Z22 = relation entre les variations de flux thermiques sur les deux faces de l'élément, en

l'absence de variation de température 1

1

1

2221

1211

2

2

qZZ

ZZ

q

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 16

Modèle harmonique multicouches

Calcul de la matrice de transfert thermique dans le cas d'une couche homogène: Z11 = Z22 = cosh(y) cos(y) + j · sinh(y) sin(y) Z12 = - /2 · [(sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y)

+ j · (cosh(y) sin(y) - sinh(y) cos(y))] Z21 = - · [(sinh(y) cos(y) - cosh(y) sin(y)

+ j · (sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y))] avec:

= (a · T / ) ½ = profondeur de pénétration [m] a = / ( c) = diffusivité thermique [m2/s] = conduction thermique [W/mK] = densité [kg/m3] c = chaleur spécifique [J/kg] y = d/ (d = épaisseur de la couche [m])

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 17

Modèle harmonique multicouches

Calcul de la matrice de transfert thermique dans le cas d’une lame d'air plane: on néglige la capacité thermique on inclut dans la résistance thermique Ra (par m2 de surface de la

couche d'air) la conduction, la convection et le rayonnement la même équation peut être utilisée pour des matériaux légers tels

que les isolants thermiques légers

10

1

2221

1211 aR

ZZ

ZZZ

(cf exercice supplémentaire 3.4 !)

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 18

Modèle harmonique multicouches

Calcul de la matrice de transfert thermique dans le cas d'une paroi multicouches (transmission intérieur extérieur): Z = Zae · Zn · Zn-1 · ... · Z1 · Zai

avec: Zai = matrice de Heindl de la couche d'air intérieure

Zj = matrice de Heindl de la couche no j (j=1: 1ère couche depuis l'intérieur)

Zae = matrice de Heindl de la couche d'air extérieure

int

int

2221

1211

qzz

zz

qext

ext

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 19

Modèle harmonique multicouches

Application: le modèle peut être utilisé pour les variations journalières de

température, la température extérieure suivant approximativement une sinusoïde avec un maximum vers 15 ou 16 h et un minimum vers 3 ou 4 h du matin

Exemples: pour un mur entre intérieur et extérieur, la température intérieure

peut être approximativement considérée comme constante, et le modèle peut être utilisé pour calculer les variations du flux de chaleur

pour le même mur, mais avec une température intérieure approximée par une courbe sinusoïdale, le modèle permet de calculer l'amplitude de la variation de température intérieure due aux variations de température extérieure, en l'absence de chauffage ou de refroidissement

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 20

Modèle harmonique multicouches

Relation entre le vecteur des variations de flux et celui des variations de températures:

2

1

2221

1211

2

1

22

11

122

1

1

11

YY

YY

Z

Z

Zq

q

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 21

Modèle harmonique multicouches

Admittances thermiques Y11 et Y22: Amplitude de variation du flux sur une face, résultant d’une

variation unitaire de la température sur cette face, lorsque la variation de température sur l’autre face est nulle

12

22221

2

222

12

11112

1

111

0ˆˆˆ

0ˆˆˆ

Z

ZYpour

qY

Z

ZYpour

qY

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 22

Modèle harmonique multicouches

Coefficients de transmission thermique périodiquesY12 et Y21: Amplitude de variation du flux sur une face, résultant d’une

variation unitaire de la température sur l’autre face, lorsque la variation de température sur la première face est nulle

1212

211

2

121

12122

1

212

10

ˆˆ

10

ˆˆ

YZ

Ypourq

Y

ZYpour

qY

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 23

Modèle harmonique multicouches

Capacités thermiques effectives en mode harmonique Capacité thermique au sens usuel: E = C · Par analogie, la capacité thermique surfacique en mode harmonique

est le rapport de l’énergie stockée durant une demi-période à l’amplitude de la variation de température

Les capacités thermiques surfaciques effectives, vues respectivement de l’intérieur (côté 1) et de l’extérieur (côté 2) sont données par les expressions suivantes:

12

222,

12

111,

1

2

1

2

Z

ZTC

Z

ZTC

dyn

dyn

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 24

Modèle harmonique multicouches

Exemple numérique: mur de façade comportant les couches suivantes (de l'intérieur vers l'extérieur):

matériau [W/mK]

[kg/m3]

c

[J/kg K]

épaisseur

d [m]

R

[m2 K/W]

lame d'air intérieure - - - - 0.130

béton 1.80 2400 1100 0.20 -

polystyrène expansé 0.036 30 1400 0.10 -

crépi 1.00 1500 1000 0.005 -

lame d'air extérieure - - - - 0.040

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 25

Modèle harmonique multicouches

Matrice de Heindl(intérieur extérieur, avec couches limites:|Z11| = 121.4 [-] (phase 9.2 h)|Z12| = 20.3 [m2K/W] (phase 20.4 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.2 h)|Z22| = 14.9 [-] (phase 12.4 h)

Capacités dynamiques vues de l’intérieur (indice 1) et de l’extérieur (indice 2): C1 = T/2 · |(Z11-1)/Z12| = 82.7 kJ/m2K C2 = T/2 · |(Z22-1)/Z12| = 10.8 kJ/m2K

Comparaison avec la capacité interne statique: C1, stat = 528 kJ/m2K (20 cm de béton)

C1 correspond à 3.1 cm de béton

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 26

Modèle harmonique multicouches

Mais si l’on ne considère pas les couches limites, les résultats sont passablement différents:

Matrice de Heindl(intérieur extérieur, sans couches limites):|Z11| = 119.6 [-] (phase 9.1 h)|Z12| = 5.82 [m2K/W] (phase 18.0 h)|Z21| = 89.2 [W/m2K] (phase 1.2 h)|Z22| = 4.34 [-] (phase 10.1 h)

C1 = T/2 · |(Z11-1)/Z12| = 285 kJ/m2K C2 = T/2 · |(Z22-1)/Z12| = 12.4 kJ/m2K

Comparaison avec la capacité interne statiqueC1,stat = 528 kJ/m2K (20 cm de béton) C1 correspond à 10.8 cm de béton

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 27

Modèle harmonique multicouches

Les capacités dynamiques du mur considéré dans cet exemple sont très différentes vues de l’intérieur (lourd) ou de l’extérieur (léger)

Une structure avec une isolation intérieure (la capacité C2, bien inférieure à C1, devient alors la capacité dynamique intérieure) n’est pas favorable au stockage de la chaleur, notamment des gains solaires passifs

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 28

Modèle harmonique multicouches

Approximations usuelles Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur

d > 2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer l’approximation d’un milieu semi-infini

Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d < /2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer l’approximation d’une couche mince isotherme, pour autant que la couche suivante soit un isolant Ceff = d · · c

2

TcCeff

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 29

Modèle harmonique multicouches

Approximations usuelles (suite) Méthode de l’épaisseur efficace: si l’on considère une

valeur standard de a = 0.7 · 10-6 m2/s, l’épaisseur efficace d’une face d’un composant est égale à la plus petite des valeurs suivantes:La moitié de l’épaisseur totale du composantL’épaisseur des matériaux compris entre la face considérée et la

première couche isolante, sans tenir compte des revêtementsUne épaisseur efficace maximale fonction de la période des

variations(1 heure 2 cm, 1 jour 10 cm, 1 semaine 25 cm)

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 30

Exercices supplémentaires

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 31

Exercice supplémentaire 3.3

Evaluer la profondeur efficace de stockage d d'un mur d'épaisseur très grande en béton (approximation d'un mur semi-infini) en cycle journalier.(Définition: la profondeur efficace de stockage d est l'épaisseur d'une couche de matériau de même capacité thermique mais de conductance thermique infinie, parfaitement isolée vers l'extérieur, qui permettrait de stocker/déstocker la même quantité de chaleur durant le cycle journalier).Hypothèses:

négliger la couche d'air intérieur considérer une variation sinusoïdale de la température intérieure

(imposée)

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 32

Exercice supplémentaire 3.3: indications

Comparer deux situations:(a) un mur semi-infini;

(b) un mur d'épaisseur d avec un matériau de même densité et chaleur spécifique, mais avec une conduction thermique infinie;

Calcul de l'énergie stockée durant ½ cycle dans les deux cas, et déduction de d (la profondeur efficace) par égalité entre les deux valeurs de l'énergie stockée.

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 33

Exercice supplémentaire 3.4

A partir des équations de bilan thermique, calculer la matrice de Heindl d'une couche d'air immobile, dont la conduction équivalente peut être approximée par une résistance thermique Ra , et dont on néglige la capacité thermique.

EPFL, LESO-PB, septembre 2009 34

Exercice supplémentaire 3.5

Calculer la capacité thermique intérieure effective d'un mur formé des couches suivantes (de l'intérieur à l'extérieur): béton 16 cm (= 1.8 W/mK, = 2400 kg/m3, cp = 1000 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK, = 100 kg/m3, cp= 1000 J/kgK) crépi 1 cm ( = 1 W/mK, = 2000 kg/m3, cp = 1000 J/kgK)

Comparer avec un mur léger isolé par l’intérieur, formé des couches suivantes (de l’intérieur à l’extérieur): bois 2 cm ( = 0.15 W/mK, = 500 kg/m3, cp = 2500 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK , = 100 kg/m3, cp= 1000 J/kgK) acier 5 mm ( = 58 W/mK, = 7850 kg/m3, cp = 830 J/kgK)

Hypothèse: ne pas prendre en compte les couches limites Comparer avec la capacité thermique du mur intérieur en régime quasi-

constant, dans les deux cas NE PAS FAIRE LES CALCULS A LA MAIN, MAIS UTILISER LE

SCRIPT MATLAB/OCTAVE DISPONIBLE SOUS MOODLE !