1Mecanique du Solide et des Materiaux - Promo 126 - Preceptorat 3Capacite portante dun sol sableux

Introduction

Nous ne considererons que des proble`mes plans (cas presque general en mecanique des sols).Contrairement a` la convention habituelle de la mecanique des milieux continus, les sols etant presquetoujours en etat de compression la convention de signe des contraintes normales retenue en mecaniquedes sols est :

Compression : > 0 Traction : < 0

Lorsque lon charge progressivement une semelle reposant sur un sol, on observe un tassement quicroit avec leffort applique. Au debut la deformation augmente approximativement en fonction de lacharge, puis la deformation samplifie. Dans un sol compact, a` partir dun certain effort par unite delongueur P , capacite portante, on remarque que le tassement continue sans quil y ait accroissementde leffort, une rupture plastique de lassise se produit, il y a poinconnement du sol.

Lensemble des observations ayant trait a` la rupture des fondations superficielles conduisent a`penser quil existe, a` ce moment-la`, un coin de sol dont la pointe est tournee vers le bas qui restelie a` la fondation et qui refoule le sol de part et dautre de la fondation. De la pointe partent dessurfaces de rupture courbes inclinees dabord vers le bas et qui se redressent ensuite vers le haut pouratteindre la surface libre. Lorsque lenfoncement continue, on observe en surface autour de la semelleun gonflement du sol qui a ete refoule.

En re`gle generale la semelle de fondation est placee, apre`s creusement, a` une profondeur H dansun sol de poids specifique a` surface horizontale. La base de la semelle est alors choisie comme plande reference sur lequel sexercent des contraintes de compression egale a` p = PB a` lemplacement de lasemelle et a` q = H a` lexterieur.

Rupture dun sol

Coefficient de pression du solSupposons un sol indefini a` surface horizontale soumis uniquement a` laction de son poids propre

caracterise par son poids volumique .1) Donner lexpression du tenseur des contraintes caracterisant letat mecanique du sol au repos.

Quelle information manque-t-il pour determiner la loi de variation de la composante H ?2) Que peut-on affirmer concernant la composante de deformation H ? Une carotte de sol etant

soumise a` une compression verticale V et a` une compression detreinte H , lessai etant conduit de

2sorte que la deformation radiale H soit maintenue nulle, lexperience montre que H varie proportion-nellement a` V . Le coefficient de proportionnalite K0 = HV < 1 definissant le coefficient de pression.Quelle est alors la contrainte principale majeure ?

3) Le sol pesant supportant maintenant charge uniformement repartie q, Donner lexpressioncomple`te du tenseur des contraintes caracterisant letat mecanique du sol.

Coefficient de poussee et de butee du sol

4) Lexperience montre que le crite`re de Mohr-Coulomb :

= (C + tg())dans lequel est la contrainte de cisaillement, la contrainte normale supportees par les plans quice`dent par glissement est une bonne approximation du crite`re de rupture des sols. C represente lacohesion du sol et son angle de frottement effectif. On se limite pour linstant au cas des sols noncoherents pour lesquels C=0. Representer ce crite`re dans le plan de Mohr (, ).

5) A laide des cercles de Mohr etablir la condition liant K0 et pour que le sol ne rompe pas etdemontrer que lorsquintervient la rupture, elle est atteinte simultanement en tout point du sol. Unsol sableux de coefficient de pression K0=0,48 et dangle de frottement effectif =30 est-il stable ?

6) Si on autorise une expansion laterale H > 0 du sol, dans quel sens varie la contrainte H ?Montrer quil existe une valeur limite PH pour laquelle la rupture est atteinte. Determiner langle

P

des plans de glissement par rapport a` la surface horizontale du sol en fonction de et lexpression, enfonction de cet angle, du coefficient de pression KP associe appele coefficient de poussee. Quelle est lacontrainte principale majeure ?

7) Si on force une contraction laterale H > 0 du sol, dans quel sens varie la contrainte H ?Montrer quil existe une valeur limite BH pour laquelle la rupture est atteinte. Determiner langle

B

des plans de glissement par rapport a` la surface horizontale du sol en fonction de et lexpression, enfonction de cet angle, du coefficient de pression KB associe appele coefficient de butee. Quelle est lacontrainte principale majeure ?

8) Montrer que quel que soit le type de rupture les deux familles de plans de rupture font toujoursentre elles langle pi2 . Demontrer la relation KPKB = 1. Calculer les valeurs de P , KP , B etKB pour un sable de Fontainebleau de coefficient de frottement effectif =35, puis pour une argileverte de coefficient de frottement effectif =20.

Capacite portante dune fondation

Terzaghi a fait lhypothe`se que la charge maximale que lon peut appliquer a` une fondation a`la surface dun sol pouvait etre obtenue en utilisant le principe de superposition. Cette methode estentachee dune erreur de principe, mais qui va dans le sens de la securite. Pour obtenir la capaciteportante totale P on ajoute plusieurs syste`mes en equilibre limite :

P = Pq + P + PC = HBNq + B2

2N + CBNC

3Facteur de capacite portante Nq

Lexperience montre que sous la fondation se forme un coin limite par des faces planes inclinees,coin qui senfonce avec la semelle et se comporte en corps solide. Il exerce une poussee sur le soladjacent qui reagit en butee avec frottement sol-sol, toutes les lignes de rupture issues de la surfaceetant des droites au voisinage de cette surface.

9) Dans la representation de Mohr, positionner les cercles representant letat de contrainte enlimite de rupture des blocs rigides SaS en poussee et xSB en butee. En deduire lorientation deslignes de glissement et de leurs normales par rapport a` la surface du sol dans chacun des blocs.

10) A et B etant les vecteurs contraintes sexercant respectivement sur les lignes de glissementSA et SB, montrer que ces vecteurs sont perpendiculaires entre eux et orientes respectivement a` pi4 +

2

et pi4 2 par rapport a` la surface du sol, puis determiner en fonction de les relations entre A et pet celles entre B et q.

11) Dans leventail ASB une famille de lignes de rupture etant des lignes radiales issues du pointS, demontrer que lautre famille est une famille de spirales logarithmiques dequation r = r0 exp(tg).Demontrer que le vecteur contrainte sappliquant sur ses lignes de rupture est un vecteur radial. Enecrivant lequilibre des moments au point S en deduire la relation AB = exp(pitg)

12) En ecrivant lequilibre des moments au point S pour leventail SAB, etablir la relation entreA et B, puis celle entre p et q.

13) Le chargement q correspondant au poids des terres situee au dessus de la semelle, donner lesexpressions de la capacite portante Pq en fonction de la profondeur H et de la largeur B de la fondationainsi que celle du facteur de portance Nq. Pour un sable de Fontainebleau de poids specifique =17kN.m3 et dangle de frottement effectif =35, calculer la valeur de Nq et la capacite portante Pqdune fondation de largeur B=1 m sise a` la profondeur H=0,3 m. Refaire le calcul pour une argileverte de poids specifique =18 kN.m3 et dangle de frottement effectif =20.

Facteur de capacite portante NC

414) Representer le crite`re de Mohr-Coulomb (avec cohesion) dans le plan de Mohr (, ) et montrerque lon peut se ramener au crite`re de Mohr (sans cohesion) a` condition dajouter a` letat de contraintede rupture du sol non coherent equivalent une contrainte isotrope p0 que lon exprimera en fonctionde C et .

15) Quelle charge p et q faut-il imposer sur la semelle et sur la surface du sol equivalent. Enutilisant le resultat obtenu pour Nq, demontrer les relations :

NC =Nq 1

tgPC = CBNC

Calculer NC et PC pour une argile verte de poids specifique =18 kN.m3, dangle de frottement

effectif =20 et de cohesion C=19 kPa supportant une semelle de largeur B=1 m.

Facteur de capacite portante N

16) Le facteur N etant donne par labaque de Terzaghi :

Calculer les valeurs de P pour la fondation de largeur B=1 m dans le cas du sable de Fontainebleauet dans celui de largile verte.

17) Comparer les amplitudes des differents termes composant la charge limite P en fonction de lanature du sol.