en Économie pour dÉbusquer des fraudes ou des erreurs des mathÉmatiques ÉlÉmentaires ou...

EN ÉCONOMIE

POUR DÉBUSQUER DES FRAUDES OU DES ERREURS

DES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

OU AILLEURS …

Un peu de math…

Le logarithme d’un nombre positif a, noté log a, est la puissance à laquelle il faut élever 10

pour obtenir a.

Logarithme

aa log10

log 1000 = 3 car 103 = 1000log 0,01 = -2 car 10-2 = 0,01log 2 0,301 car 100,301 2

Premier chiffre significatif

4853,746

0,003911

4 4

0,003911

3

Notation scientifique

4853,746

0,003911

4,853746 103

3,911 10-3

=

=

mantisse

mantisse

Loi de Benford…

Loi de BenfordExpériences:• Nombres extraits de coupures de journaux• Prix relevés au hasard dans un magasin:

prix sur un assez long ticket de caisse (ou assemblage de plusieurs), prix figurant sur une publicité, …

• Résultats des élections présidentielles françaises 2012• Résultats sportifs• Nombre d’habitants de communes• Altitudes de montagnes,

longueurs de fleuves, …• PIB d’un ensemble de pays• Cours de la bourse• Nombres extraits de comptabilité d’entreprises• …

Premier chiffre significatif effectif fréquence

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Nombre d’habitants de communes


effectif fréquence

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Nombre d’habitants des 36722 communes françaises au 1/1/2009

11096

3450

6682

4644

2962

2411

2062

1801

1608

36716

30,1 %

17,6 %

12,5 %

9,7 %

7,9 %

6,7 %

5,1 %

5,8 %

4,6 %

100 %

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%population des communes françaises

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes françaises au 1er janvier 2009

36716 données (+ 6 communes vides!)

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes belges au 1er janvier 2011

589 données (aucune commune vide)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%population des communes belges

Loi de Benford

Simon Newcomb (1835-1909)

1881

1938

Frank Benford(1883-1948)

Un ensemble de valeurs numériques suit la loi des nombres anormaux

lorsque, pour chaque chiffre c (donc de 1 à 9),la proportion de valeurs commençant par c vaut

c

c 1log

c

ccmantissecP

1log)1(

Benford

Premier chiffre significatif c Fréquence théorique

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

c 1log

log( (1+1)/1) = log 2 = 0,301

log ((2+1)/2) = log 3/2 = 0,176

log ((3+1)/3) = log 4/3 = 0,125

log ((4+1)/4) = log 5/4 = 0,097

log ((5+1)/5) = log 6/5 = 0,079

log ((6+1)/6) = log 7/6 = 0,067

log ((7+1)/7) = log 8/7 = 0,058

log ((8+1)/8) = log 9/8 = 0,051

log ((9+1)/9) = log 10/9 = 0,046

1Total

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford

Nombre d’habitants de communes

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%population des communes françaises

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes françaises au 1er janvier 2009

36716 données (+ 6 communes vides!)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford population des communes françaises

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes belges au 1er janvier 2011

589 données (aucune commune vide)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Votes à la Chambre, Belgique, 13 juin 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Votes à la Chambre, Belgique, 13 juin 2010

PIB en 2011

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%PIB en 2011

183 données

Premier chiffre significatif du PIB de (presque) tous les pays en 2011

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford PIB en 2011

Superficie des principaux pays

88 données

Premier chiffre significatif de la superficie des principaux pays du monde

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%superficie en milliers de km2

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford superficie en milliers de km2

Nombre de voies à des élections

Nombre de votes obtenus par les listes sur tout le royaume de Belgique, à la chambre le 13 juin 2010

NoCirconscription

-Kieskring

Circonscription d'Anvers

-Kieskring

Antwerpen

Circonscription de Bruxelles-Hal-Vilvorde

-Kieskring

Brussel-Halle-Vilvoorde

Circonscription de Louvain

-Kieskring Leuven

Circonscription du Brabant

wallon-

Kieskring Waals-Brabant

Circonscription de Flandre occidentale

-Kieskring West-

Vlaanderen

Circonscription de Flandre orientale

-Kieskring Oost-

Vlaanderen

Circonscription de Hainaut

-Kieskring

Henegouwen

Circonscription de Liège

-Kieskring Luik

Circonscription de Limbourg

-Kieskring Limburg

Circonscription de Luxembourg

-Kieskring

Luxemburg

Circonscription de Namur

-Kieskring Namen

TOTAL -

TOTAAL

1 Vlaams Belang 177'012 41'917 30'338 71'200 117'817 68'413 506'697

2 VIVANT 6'211 6'211

3 Lijst Dedecker 25'081 9'442 9'907 60'210 30'463 15'474 150'577

4 Open Vld 120'935 59'840 45'814 106'265 166'278 64'741 563'873

5 PS 139'660 51'146 348'184 216'827 45'869 92'857 894'543

6 MR 159'912 81'421 126'608 135'118 31'459 71'099 605'617

7 FN 5'476 20'129 7'986 33'591

8 CDH 67'324 29'331 82'924 84'393 50'564 45'905 360'441

9 CD&V 170'260 57'902 51'328 180'702 147'151 100'643 707'986

10 sp.a 156'976 38'689 56'176 118'803 135'212 97'011 602'867

11 N-VA 336'631 101'991 85'399 188'317 269'049 154'230 1'135'617

12 ecolo 66'681 37'152 67'993 83'791 18'853 38'577 313'047

13 GROEN! 84'314 25'186 30'905 49'533 70'297 25'754 285'989

BELG.UNIE 5'734 3'389 5'429 2'618 3'495 20'665

EGALITE 5'670 5'670

FN+ 11'553 11'553

Front des gauches 4'162 1'686 5'442 6'833 1'206 1'405 20'734

LSP 2'841 600 1'443 1'907 6'791

MP Education 2'572 2'572

MSplus 1'031 1'293 135 368 2'827

N 610 610

PIRATE PARTY 2'200 2'200

PROBRUXSEL 7'201 7'201

PTB+ 2'365 12'136 18'706 1'194 4'456 38'857

PTB+PVDA+ 9'313 9'313

PVDA+ 22'132 3'703 6'489 11'950 8'644 52'918

Parti Pensionné PP 6'688 6'688

Parti Populaire 21'143 11'461 19'852 18'642 3'922 8'985 84'005

R.W.F. 1'550 4'768 11'414 8'474 2'249 7'288 35'743

RESPECT 5'630 5'630

V.I.T.A.L. 2'259 2'259

VRIJHEID 1'576 1'576

W+ 1'136 1'679 1'675 1'367 5'857

WALLONIE D'ABORD 3'113 3'009 13'795 9'170 2'929 4'626 36'642

1'096'182 834'106 315'746 227'474 785'221 955'754 722'740 605'822 534'910 160'998 288'414 6'527'367

178 données

Premier chiffre significatif des nombres de votes à la chambre

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Votes à la Chambre, Belgique, 13 juin 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Votes à la Chambre, Belgique, 13 juin 2010

2ème tour

Elections présidentielles 2012

http://elections.interieur.gouv.fr/PR2012/

Nicolas Sarkozy

François Hollande

49Maine-et-

Loire223 644 213 611

50 Manche 147 591 147 006

51 Marne 156 160 126 156

52 Haute-Marne 56 085 46 965

53 Mayenne 92 647 81 922

54Meurthe-et-

Moselle173 929 196 628

55 Meuse 56 898 48 860

56 Morbihan 213 893 229 248

57 Moselle 291 268 253 381

58 Nièvre 51 421 73 424

59 Nord 616 882 692 273


effectif fréquence

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Résultats des élections présidentielles françaisespour les 96 départements métropolitains 2ème tour, 6 mai 2012

66

19

30

27

10

9

12

10

9

192

34,4 %

15,6 %

14,1 %

9,9 %

5,2 %

4,7 %

5,2 %

6,3 %

4,7 %

100 %

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

2ème tour

Premier chiffre significatif des nombres de votes aux élections présidentielles, 2ème tour, 6 mai 2012

192 données

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Benford 2ème tour

1er tour

Elections présidentielles 2012

http://elections.interieur.gouv.fr/PR2012/

57 - Moselle


effectif fréquence

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Résultats des élections présidentielles françaisespour les 96 départements métropolitains 1er tour, 22 avril 2012

260

98

173

122

77

71

55

54

50

960

27,1 %

18 %

12,7 %

10,2 %

8 %

7,4 %

5,6 %

5,7 %

5,2 %

100 %

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

1er tour

Premier chiffre significatif des nombres de votes aux élections présidentielles, 1er tour, 22 avril 2012

960 données

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Benford 1er tour

Prix dans des magasins

1er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012

145 données (prix du 26 septembre au 7 octobre 2012)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%Colruyt

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%Benford Colruyt



1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Cora

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Cora


1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Carrefour


1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Carrefour


145, 239 et 882 données (fin septembre - début octobre 2012)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%Benford Colruyt Cora Carrefour


1266 données (fin septembre - début octobre 2012)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Colruyt, Cora et Carrefour

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Colruyt, Cora et Carrefour

1er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%Benford Casino Manor Aldi Migros


1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Casino, Manor, Aldi et Migros

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Casino, Manor, Aldi et Migros

1er chiffre significatif des prix de pubs belges

236 données (7 au 13 juillet 2010)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Carrefour

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Carrefour

Loi de Benford généralisée

Benford

Benford généralisé

a

bbmantisseaP log)(

c

ccmantissecP

1log)1(

avec c entier entre 1 et 9

avec a et b réels entre 1 et 10

a

bbmantisseaP log)(

xx

xmantisseP log1

log)1(

xxmantisseP log)(

avec x réel entre 1 et 10

log((1+1)/1) = 0,301

log((2+1)/2) = 0,176

log((7+1)/7) = 0,058

log((6+1)/6) = 0,067

log((5+1)/5) = 0,079

log((4+1)/4) = 0,097

log((3+1)/3) = 0,125

log((9+1)/9) = 0,046

log((8+1)/8) = 0,051

1er chiffre significatif i

P ( 2ème chiffre significatif = 3 / 1er chiffre significatif = i )= P ( i,3 mantisse i,4 ) = log (i,4 / i,3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P (2ème chiffre significatif = 3)

log (1,4 / 1,3) = 0,032

log (2,4 / 2,3) = 0,018

log (3,4 / 3,3) = 0,013

log (4,4 / 4,3) = 0,010

log (5,4 / 5,3) = 0,008

log (6,4 / 6,3) = 0,007

log (7,4 / 7,3) = 0,006

log (8,4 / 8,3) = 0,005

log (9,4 / 9,3) = 0,005

0,104

2ème chiffre significatif i

P ( 2ème chiffre significatif = i )

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

0,120

0,114

0,109

0,104

0,100

0,097

0,093

0,088

0,085

1

0,090

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%


Proba 1er chiffre significatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%


Proba 2ème chiffre significatif

3ème chiffre significatif i

P ( 3ème chiffre significatif = i )

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

0,1018

0,1014

0,1010

0,1006

0,1002

0,0998

0,0994

0,0986

0,0983

1

0,0990

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%


proba 3ème signe significatif

Avec la loi de Benford généralisée,

plus il se distribue donc conformément à notre intuition…

plus il est distribué uniformément,

plus un chiffre est loin à droite du 1er chiffre significatif,

Invariance…


1266 données (fin septembre - début octobre 2012)

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Colruyt, Cora et Carrefour


1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford Casino, Manor, Aldi et Migros

Invariance par changement d’unités

Si une série de données suit la loi de Benford généralisée, alors cette loi est également suivie

après un changement d’unités!

Prix : € FS $

Longueur: km miles

1961 Roger Pinkham

Roger Pinkham a même montré que:

La loi de Benford est l’unique formulation

pour obtenir une loi invariante par changement d’échelle.

Un peu de poésie…

Existe-t-il dans la nature, une sorte de loi universelle régissant la proportion de chacun des chiffres 1 à 9

comme 1er chiffre significatif ?

Si une telle loi existe, elle doit forcément être valable

indépendamment des unités de mesure humaines

et par conséquent, en tenant compte du résultat de

Pinkham, c’est forcément la loi de Benford…

Analyse des chiffres…

Revenus imposables de 14'414 compagnies américaines(d’après S. W. Smith, 2007)

Etats-Unis

L’Américain Mark Nigrini (www.nigrini.com) a amassé dès le début des années 1990 un grand

nombre de preuves empiriques qui justifient l’usage de la loi de Benford comme indicateur de fraude.

Détection de fraudes (erreurs ou falsifications de données) dans les comptabilités !

Analyse des chiffresDiscipline récente

S’assure de la cohérence interne et de la vraisemblance de grandes quantités de données numériques

Exploration systématique des chiffres des données

Repérage d’anomalies de fréquences dans les chiffres et détection de données manipulées, falsifiées ou inventées

Depuis une vingtaine d’années: Canada, USARécemment: Introduction en Europe

• Depuis quand?

• Fait quoi?

• Comment?

• Pourquoi?

• Où?

Détection de fraudes (erreurs ou falsifications de données) dans les comptabilités !

2) Si la fraude est délibérée, elles suivent rarement la loi de Benford.

Constatations expérimentales

1) Des données « honnêtes » suivent assez souvent la loi de Benford.

Rien ne permet d’affirmer non plus quedes données comptables qui suivent la loi de Benford

sont nécessairement honnêtes!

Attention!

L’éloignement à la loi de Benford peut amener une suspicion de fraude

mais ce n’est en aucun cas une preuve,

d’autant plus que des comptabilités tout à fait honnêtes peuvent s’en

éloigner très fortement !

Exemple de fraude détectée notamment grâce au non-respect de la loi de Benford

En 1993, Wayne J. Nelson, employé du Trésor de l’état d’Arizona, est reconnu coupable d’avoir détourné près de 2 millions de dollars en versant à des personnes fictives 23 chèques dont voici les montants:

Date d’émission

Montants en dollars

Date d’émission

Montants en dollars

9 octobre 1992

1927.4827902.31

19 octobre 1992

96879.2791806.4784991.6790831.8393766.6788338.7294639.4983709.2896412.2188432.8671552.16

14 octobre 1992

86241.9072117.4681321.7597473.96

19 octobre 1992

93249.1189658.1787776.8992105.8379949.1687602.93 Total 1878687.5

8

Indices de fraude

?

Date d’émission

Montants en dollars

Date d’émission

Montants en dollars

9 octobre 1992

1927.4827902.31

19 octobre 1992

96879.2791806.4784991.6790831.8393766.6788338.7294639.4983709.2896412.2188432.8671552.16

14 octobre 1992

86241.9072117.4681321.7597473.96

19 octobre 1992

93249.1189658.1787776.8992105.8379949.1687602.93 Total 1878687.5

8

72

79

71

86

9781

89 87 87

84

88

83

8892

96

9493

90 93

96 91

Indices de fraude

1) Les chiffres significatifs sont à l’opposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9).

Date d’émission

Montants en dollars

Date d’émission

Montants en dollars

9 octobre 1992

1927.4827902.31

19 octobre 1992

96879.2791806.4784991.6790831.8393766.6788338.7294639.4983709.2896412.2188432.8671552.16

14 octobre 1992

86241.9072117.4681321.7597473.96

19 octobre 1992

93249.1189658.1787776.8992105.8379949.1687602.93 Total 1878687.5

8

72

79

71

86

9781

89 87 87

84

88

83

8892

96

9493

90 93

96 91

Indices de fraude


2) Valeurs d’abord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté.

Date d’émission

Montants en dollars

Date d’émission

Montants en dollars

9 octobre 1992

1927.4827902.31

19 octobre 1992

96879.2791806.4784991.6790831.8393766.6788338.7294639.4983709.2896412.2188432.8671552.16

14 octobre 1992

86241.9072117.4681321.7597473.96

19 octobre 1992

93249.1189658.1787776.8992105.8379949.1687602.93 Total 1878687.5

8

72

79

71

86

9781

89 87 87

84

88

83

8892

96

9493

90 93

96 91

Indices de fraude



3) Tous les montants restent inférieurs à 100000 dollars. (Des montants supérieurs auraient sans doute dû être visés par un supérieur hiérarchique.)

Date d’émission

Montants en dollars

Date d’émission

Montants en dollars

9 octobre 1992

1927.4827902.31

19 octobre 1992

96879.2791806.4784991.6790831.8393766.6788338.7294639.4983709.2896412.2188432.8671552.16

14 octobre 1992

86241.9072117.4681321.7597473.96

19 octobre 1992

93249.1189658.1787776.8992105.8379949.1687602.93 Total 1878687.5

8

72

79

71

86

9781

89 87 87

84

88

83

8892

9693

90 93

96

87

93

Indices de fraude



3) Tous les montants restent inférieurs à 100000 dollars. (Des montants supérieurs auraient sans doute dû être visés par un supérieur hiérarchique.)

4) Les paires de premiers chiffres 87, 88, 93 et 96 ont été utilisées deux fois dans les 23 montants.

Etude minutieuse récente : A. Saville, Université de Prétoria, Afrique du Sud, 2006.

1) Test statistique de la loi de Benford appliqué à 17 compagnies connues pour avoir manipulé leurs comptes : la loi de Benford n’était respectée dans aucun des 17 cas !

2) Test également appliqué à 17 compagnies « honnêtes » afin de détecter des faux positifs : 4 comptabilités ne satisfaisaient pas la loi de Benford.

Comptes d’une école neuchâteloise…

Premier chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011

…

1er chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011

105 données

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Ecole: 1er chiffre significatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford généralisé Ecole: 1er chiffre significatif

Détection de fraudes plus générales

Une étude de psychologie expérimentale(menée par A. Dickmann - Zurich) a montré que

des sujets auxquels on demande de créer des données les produisent sans respecter la loi de Benford,

même s’ils connaissent celle-ci.

Au mieux, on retrouve une certaine conformité pour le 1er chiffre significatif.

Mais dès qu’on s’intéresse au 2ème chiffre significatif, la distribution devient … à peu près n’importe quoi!

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%


proba 3ème signe significatif

1er chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011

105 données

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Ecole: 1er chiffre significatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford généralisé Ecole: 1er chiffre significatif

2ème chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011

105 données

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Ecole: 2ème chiffre significatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35% Benford généralisé Ecole: 2ème chiffre significatif

3ème chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011

105 données

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Ecole: 3ème chiffre significatif

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford généralisé Ecole: 3ème chiffre significatif

Formation continue…

Pour les statisticiens…

Test d’hypothèse

Les écarts entre les données comptables et la loi de Benford sont-ils significatifs?

Hypothèse nulle H0: « Les données suivent la loi de Benford. »

Degré de fiabilité:• (= 0,01 ou 0,02 ou 0,05 ou 0,10) est le risque d’erreur de première espèce

• qui quantifie le risque de rejeter l’hypothèse H0 alors qu’elle est vraie.

données loi théoriqueEffectifs réels

– effectifs théoriques

xi

effectifni

probabilité théorique (Benford)

Pi

Effectif théorique

Npi

1 32 0,301

2 20 0,176

3 15 0,125

4 10 0,097

5 7 0,079

6 9 0,067

7 4 0,058

8 2 0,051

9 6 0,046

Somme N 1 N

ii Npn 2)( ii Npn i

ii

Np

Npn 2)(

12

16 0,4310,657 0,028

-4,265 18,188 1,118

1,547

31,608 0,154

2,281

3,540 0,270

0,123

0,005

1,510

0,392

1,88113,119

18,490

= 105 = 105

10,176

8,314

7,029

6,089

5,371

4,805

15,343

16,265

-0,176 0,031 0,003

)( 2;

2dldlP

2; dl

2dl

Aire =

Aire = 1 –

Tabulation de la distribution du khi-carré 2

Conclusion:

Attention, cette conclusion est moins forte que de dire:

les données suivent la loi de Benford…

Nous n’avons pas de raison de rejeter l’hypothèse nulle H0

qui dit que les données suivent la loi de Benford.

A méditer…

Contre-exemples

• Série de nombres construite avec un générateur de nombres aléatoires

• Numéros gagnants à une loterie

• Vos tailles

• Numéros de téléphone dans votre répertoire

• Numéros des maisons d’une rue

• …

Exemples « mathématiques »

n2n2

n 2n 1er chiffre sign. de 2n

1ère apparition de ce chiffre

comme 1er C.S.

1 2 2 2

2 4 4 4

3 8 8 8

4 16 1 1

5 32 3 3

6 64 6 6

7 128 1

8 256 2

9 512 5 5

10 1024 1

n2n2

n2n2



comme 1er C.S.

11 2048 2

12 4096 4

13 8192 8

14 16384 1

15 32768 3

16 65536 6

17 131072 1

18 262144 2

19 524288 5

20 1048576 1

n2n2

n2n2



comme 1er C.S.

21 2097152 2

22 4194304 4

23 8388608 8

24 16777216 1

25 33554432 3

26 67108864 6

27 134217728 1

28 268435456 2

29 536870912 5

30 1073741824 1

n2n2

n2n2



comme 1er C.S.

31 2147483648 2

32 4294967296 4

33 8589934592 8

34 17179869184 1

35 34359738368 3

36 68719476736 6

37 1.37439E+11 1

38 2.74878E+11 2

39 5.49756E+11 5

40 1.09951E+12 1

n2n2

n2n2



comme 1er C.S.

41 2.19902E+12 2

42 4.39805E+12 4

43 8.79609E+12 8

44 1.75922E+13 1

45 3.51844E+13 3

46 7.03687E+13 7 7

47 1.40737E+14 1

48 2.81475E+14 2

49 5.6295E+14 5

50 1.1259E+15 1

n2n2

n2n2



comme 1er C.S.

51 2.2518E+15 2

52 4.5036E+15 4

53 9.0072E+15 9 9

54 1.80144E+16 1

55 3.60288E+16 3

56 7.20576E+16 7

57 1.44115E+17 1

58 2.8823E+17 2

59 5.76461E+17 5

60 1.15292E+18 1

n2n2

On constate qu’au plus l’exposant n grandit, au plus les fréquences d’apparitions des chiffres 1 à 9 comme 1ers chiffres significatifs se rapprochent des fréquences de la loi de Benford.

Vladimir Arnold et André Avez ont démontré qu’asymptotiquement la suite 2n satisfait la loi de Benford.

1er chiffre significatif des n 1ers nombres de la suite 2n

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 10

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 20

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 30

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 40

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 50

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 60

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 70

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 80

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 90

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 100

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 110

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 120

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 130

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 140

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 150

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 160

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 170

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 180

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 190

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 200

1er chiffre significatif des n 1ers nombres de la suite 2n

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%n = 200

1 2 3 4 5 6 7 8 90%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%Benford n = 200

Le mathématicien suisse Paul Jolissaint

a démontré que la célèbre suite de Fibonacci

1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

déjà connue pour plein de propriétés sympathiques ou amusantes,

suit elle aussi asymptotiquement la loi de Benford !

Pourquoi des suites numériques issues du monde réel se conforment-elles raisonnablement

à la loi de Benford ?

Ainsi des suites de nombres s’étalant sur plusieurs ordres de grandeur

et de manière assez régulière s’approcheraient relativement bien de la loi de Benford.

Quelques tentatives d’explications…

Peut-être qu’un jour, quelque principe général qui nous

échappe encore aujourd’hui, amènera une explication.

Jean-Paul Delahaye

en Économie pour dÉbusquer des fraudes ou des erreurs des mathÉmatiques ÉlÉmentaires ou...

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