INSA de ToulouseDépartement STPIAnnée 12017-2018

Eléments de méthodologie en mathématiques oucomment travailler son cours de maths ?

Mélisande Albert 1, Loïc Lacouture 2, Benjamin Laquerrière 3,Géraldine Quinio 4, Anthony Réveillac 5, Adeline Rouchon 6, Sandrine Scott 7

1. melisande.albert@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1152. lacoutur@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1183. laquerri@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1204. quinio@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1195. anthony.reveillac@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1116. rouchon@insa-toulouse.fr, bureau GMM 1197. scott@insa-toulouse.fr, bureau GMM 118

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Table des matières

1 Motivation : mais... ça sert à quoi les maths pour un futur ingénieur ? 51.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths . . . . 9

1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 D’accord mais quels sont les composants d’un théorème ? . . . . . . 11

2 Comment travailler mon cours de maths ? 132.1 Deux méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Première méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Deuxième méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Comment travailler les CM et le poly ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Comment travailler les TD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Mise en pratique 19

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Table des matières

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Chapitre 1

Motivation : mais... ça sert à quoi lesmaths pour un futur ingénieur ?

1.1 MotivationDisons le tout de suite : la science mathématique n’est pas une science expérimentale,

dans le sens où elle ne consiste pas à déduire des lois de la nature à partir d’observations dephénomènes physiques. Le métier d’ingénieur a pour vocation d’utiliser des connaissancesscientifiques en physique, biologie, chimie, etc., pour mettre en place de nouvelles techno-logies. Mais alors pourquoi avoir des notions en mathématiques et quelle est la place desmathématiques par rapport aux sciences dites "naturelles", qui sont au cœur du métierd’ingénieur ? Pour tenter de donner une réponse à cette question, examinons trois exemplesconcrets dans différents domaines scientifiques.

Exemple 1 : mécanique classique et chute d’un corps (modèle dit linéaire).Imaginons que l’on regarde le mouvement de la chute d’un objet (une pomme par exemple).Les lois de la mécanique classique nous instruisent que la vitesse V (t) de l’objet à l’instantt évolue de la façon suivante :

V ′(t) = g − F

mV (t), t ∈ [0, tMax] , V (0) = v0, (1.1.1)

où— [0, tMax] est la période d’observation (avec t = 0 la date où l’on a lâché l’objet et

tMax l’instant de fin d’observation),— g est la constante d’accélération de la pesanteur terrestre (g = 9, 807ms−2),

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1.1. Motivation

— F est une constante modélisant la résistance de l’objet (essentiellement sa forme),— m sa masse,— v0 un réel positif ou nul indiquant la vitesse initiale de l’objet au temps 0 (par

exemple v0 = 0 si l’on lâche l’objet).

Autrement dit, les lois de la mécanique classique ne nous donnent pas une forme ex-plicite pour V , c’est-à-dire V (t) = une expression dans laquelle interviennent g, F et m,mais une relation (on parlera d’équation) reliant la quantité inconnue (la fonction vitesseV : t 7→ V (t)) à sa dérivée V ′ (autrement dit l’accélération). Une telle relation est tout àfait ce que l’on entend par "loi de la nature".

Exemple 2 : développement d’une colonie de bactérie en biologie.Imaginons cette fois un biologiste qui observe le développement d’une colonie de bactéries.On note N(t) le nombre de bactéries dans la colonie à la date t. De nouveau, le biologistecerne l’évolution de ce nombre par la formulation suivante :

N ′(t) = TN(t), t ∈ [0, tMax] , N(0) = n0, (1.1.2)où

— [0, tMax] est la période d’observation (avec t = 0 la date où l’on a initié la culture debactéries et tMax l’instant de fin d’observation),

— T est une constante propre à la bactérie en question,— n0 est le nombre de bactéries initialement introduites (ou présentes) au début de

l’observation.

De nouveau, la loi de la nature en question nous donne que la quantité que l’on souhaiteétudier N : t 7→ N(t) est reliée à sa dérivée N ′.

Exemple 3 : datation par Carbone 14 en paléontologie (ou en archéologie).Considérons enfin un paléontologue qui vient de mettre au jour le squelette d’un individusemblant être d’une nouvelle espèce d’hominidé. Mais, comment dater cette dernière et larestituer dans l’arbre généalogique des hominidés ? Les lois de la physique des particules(cette fois) nous apprennent que certains composés radioactifs tels que l’isotope dit "Car-bone 14" se détériorent avec le temps suivant un schéma précis. C’est-à-dire que si l’onnote C(t) la radioactivité mesurée à la date t sur l’échantillon, on obtient que :

C ′(t) = −λC(t), t ∈ [0, t0] , C(0) = c, (1.1.3)

où— t = 0 correspond à la date de décès de l’individu dont provient le squelette 1 et

t0 dénote la différence entre la date où le squelette a été sorti de terre (ou encore

1. Un exemple pratique est donné par l’isotope "Carbone 14" du carbone. Un échantillon (originelle-ment un organisme vivant) ingère par respiration cet isotope, qui cesse donc d’être renouvelé au décèsde l’individu. Ainsi, le nombre d’atomes de Carbone 14 dans l’individu ne cesse de décroître au cours dutemps.

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1.1. Motivation

la date d’examen de l’échantillon) et la date de décès de l’individu dont est issul’échantillon,

— λ est une constante dont l’unité est "année−1" et qui dépend du composé radioactifétudié (par exemple pour le carbone 14, λ est liée à la durée dite de "demi-vie" del’isotope et vaut λ := 1, 22× 104 année−1),

— c est la radioactivité mesurée au moment du décès de l’échantillon, c’est-à-dire àla date t = 0 (il s’agit en fait du taux de désintégration du composé radioactif àpartir du moment où ce dernier n’est plus ingéré par l’individu, par exemple pourle Carbone 14 cette valeur est de 13, 6 décompositions par minute).

Quel enseignement tirer de ces trois exemples en apparence bien différents ?

Considérons trois scientifiques. Isaac physicien, Louis biologiste et Yves 2 paléontologue.Isaac lâche une pomme à t = 0 et veut connaître (à partir de la relation (1.1.1)) sa vitesseV (1) au bout d’une seconde (c’est-à-dire à t = 1s). Louis souhaite connaître (à partir de(1.1.2)) le nombre N(3600) de bactéries d’une souche donnée au bout de 1h (1h = 3600s),et Yves souhaite connaître l’âge de ce squelette qu’il vient de "sortir de terre", c’est-à-diredonner une indication de la période où l’individu vivait (en se basant sur (1.1.3)). Nos troisscientifiques se retrouvent face à trois équations "qu’il ne reste plus qu’à résoudre". Maiscomment faire parler les relations (1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3) ?

Isaac, Louis et Yves décident donc de s’adresser à René (mathématicien) pour résoudreleurs problèmes. René examine les trois problèmes qui lui sont proposés et réalise que lestrois scientifiques se posent finalement la même question ! En effet, la fonction dutemps qui les intéresse (t 7→ V (t) pour Isaac, t 7→ N(t) pour Louis et t 7→ C(t) pour Yves)est reliée de façon bien précise à sa dérivée. Ainsi, mathématiquement, les trois problèmessont en fait identiques et s’écrivent tous trois sous la forme :

y′(t) = αy(t) + β, t ∈ [tmin, tmax] (1.1.4)

avec α et β deux constantes données et [tmin, tmax] l’intervalle de temps sur lequel le phé-nomène (ou l’expérience) est observé (ou réalisée) 3. En effet,

1. la fonction t 7→ V (t) dans (1.1.1) n’est autre que t 7→ y(t) de (1.1.4) en choisissantα = − F

met β = g,

2. la fonction t 7→ N(t) dans (1.1.2) n’est autre que t 7→ y(t) de (1.1.4) en choisissantα = T et β = 0,

3. la fonction t 7→ C(t) dans (1.1.3) n’est autre que t 7→ y(t) de (1.1.4) en choisissantα = −λ et β = 0.

2. Les auteurs de ce polycopié déclinent toute ressemblance avec des personnages vivants ou morts ettout anachronisme qui découlerait de cette identification.

3. On a de plus une "condition au bord" (ou condition initiale) y(tmin) qui est une valeur connue pourles équations (1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3)

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1.1. Motivation

Donc si René sait résoudre l’équation "abstraite" (1.1.4) où les coefficients α et β sontsupposés connus, alors il sait résoudre les trois équations "concrètes" (lois de la nature)(1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3).

C’est à cela que servent les mathématiques : non pas raisonner dans des si-tuations qui ne sont pas en lien avec la réalité, mais au contraire permettreun niveau de généralité (d’abstraction) dans lequel pourront rentrer plusieurssituations concrètes.

A titre d’exemple, si demain on souhaite interdire une route aux voitures, motos, mo-bylettes, camions, etc., on ne va pas disposer un panneau pour chaque véhicule mais bienun seul et même panneau "interdit aux véhicules motorisés" qui englobera tous les véhiculescités précédemment. Ce niveau de généralité (on parlera d’universalité des mathématiques)est bien une force et non un désavantage !

Donnons un autre exemple (probablement un peu naïf) de l’utilité d’une approche abs-traite pour résoudre les problèmes. Vous avez tou(te)s rencontré cet exercice pour résoudreles systèmes d’équations linéaires à deux inconnues.

Exercise 1 : Adeline va acheter à la boulangerie 2 baguettes et 1 croissant. Elle paie3, 10e. Géraldine va à la même boulangerie et achète 1 baguette et 1 croissant et paie letout 2, 10e. Quel est le prix d’une baguette dans cette boulangerie et celui d’un croissant ?

Vous connaissez tou(te)s la méthode de résolution d’un tel problème mais restituons cetterésolution au vu des quelques points mentionnés dans ce poly jusqu’à présent. On commencepar nommer ce que l’on cherche. On cherche le prix d’une baguette et celui d’un croissant.Comme précisé plus haut, on peut appeler la première inconnue "le prix d’une baguette"Jean-Roger, mais cela est un peu long à écrire. Nous préférerons donc la nommer simplementx et dénoter par y "le prix d’un croissant". On cherche donc x et y. Quelles sont lesinformations dont on dispose sur x et y ? On sait par les achats d’Adeline que

2x+ y = 3, 10

et par ceux de Géraldine quex+ y = 2, 10.

Notre problème est donc réduit à résoudre un système de deux équations à deux inconnuesqui prend la forme : {

2x+ y = 3, 10x+ y = 2, 10

Dans le cours de "Maths 2" vous étudierez de tels systèmes, mais comme vous le remar-querez le cours n’est pas dédié à résoudre ce système là exactement. Car si demain, on

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1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

remplace le problème précédent par "Sandrine achète 1 pain au raisin et 3 chocolatinespour un total de 4,90 e. Loïc achète 2 pains au raisin et 1 chocolatine pour un total de3,80 e. Quel est le prix d’un pain au raisin et d’une chocolatine ?", il faudra alors savoirrésoudre le système : {

x+ 3y = 4, 902x+ y = 3, 80

où x et y désignent cette fois respectivement le prix d’un pain au raisin et d’une chocolatine.Ainsi dans le cours de "Maths 2", on étudiera les systèmes de la forme :{

ax+ b y = ecx+ d y = f

où les coefficients a, b, c, d, e et f sont donnés par le problème considéré. Bien entendu,ce propos parait tomber sous le sens, mais il convient peut être de le garder en tête lejour où vous étudierez un sujet qui vous paraîtra un peu trop abstrait. Un certain niveaud’abstraction (ou de généralité) garantit donc le caractère "portable" à différentes situa-tions concrètes de l’analyse ou de la méthode de résolution.

Pour conclure cette section, il convient peut-être de préciser un autre avantage des mathé-matiques, à savoir : donner une méthode de pensée qui permet de systématiser la réflexionface à une situation pratique. En particulier, vous étudierez dans le cours de "Maths-Algo"les éléments de base du raisonnement, et comment construire une argumentation. Cetteméthode de pensée sera bien entendu essentielle dans votre métier d’ingénieur, mais elleparticipe également à affûter l’esprit critique qui peut se révéler utile dans votre vie decitoyen.

1.2 Vocabulaire des maths et comment est construit uncours de maths

1.2.1 Généralités

Une des grosses difficultés des mathématiques réside dans le fait qu’elles disposent deleur propre langage et de leur propre écriture. Vous verrez dans le cours de "Maths-Algo"des éléments de logique. Nous ne souhaitons pas ici donner de "cours" dans ce domaine,mais simplement quelques principes très généraux.

La trame d’un cours suit sensiblement toujours le même schéma.

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1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

Etape 1 : définition des objets d’intérêt.Etape 2 : exemples de tels objets.Etape 3 : propriétés sur ces objets.

Reprenons l’exemple de nos équations de la section précédente pour illustrer ces 3 étapes.Nous avons vu que nos trois "lois de la nature" s’écrivent toutes sous la forme (1.1.4). Pourrésoudre cette équation on procédera donc de la façon suivante :

1. On définit ce qu’est l’équation (1.1.4). A l’évidence, (1.1.4) est une relation entre desdonnées, i.e. les coefficients α et β, et l’inconnue (c’est-à-dire la quantité que l’oncherche), à savoir la fonction t 7→ y(t) (et sa dérivée). Ensuite, une fois l’équationposée, on définit ce qu’est la solution (quelle est la nature de ce que l’on cherche ?Un réel ? Une fonction ? Une matrice ? Etc.). Dans le cas présent on cherche unefonction t 7→ y(t) qui satisfera l’équation. Dans cette équation on voit que la dérivéede y intervient donc on va imposer que l’on cherche y dérivable (sinon quel sensdonner à l’équation ?).

2. Dans le cas de l’équation (1.1.4), nous avons donné les trois exemples (1.1.1), (1.1.2)et (1.1.3) qui permettent de se figurer plus concrètement ce que l’on cherche àrésoudre et le but de cette résolution.

3. Maintenant que l’on a défini la notion de solution et que l’on s’est donné quelquesexemples, que peut-on dire d’intelligent sur la solution de cette équation ? D’ailleurson parle de la solution, peut-être y en a-t-il plusieurs ? Peut-être, suivant le signede α ou β, on pourra démontrer que la solution (ou les solutions) est (sont) crois-sante(s) ou décroissante(s) ou ni l’un ni l’autre. Peut-être même qu’il n’y a pas de so-lution du tout... Pour répondre à toutes ces questions, on écrira des "Propositions",des "Théorèmes", des "Lemmes" ou des "Corollaires". Proposition et théorème dé-signent essentiellement la même chose (on réservera le terme de "Théorème" pourun résultat majeur de la théorie, par exemple si l’on arrive à trouver l’expression detoute solution de (1.1.4), on énoncera ce résultat comme un théorème). Un lemmeest un résultat "intermédiaire" qui permet de montrer un théorème. Un corollaireest un résultat qui se déduit immédiatement d’un théorème. Par exemple si l’on saitque la fonction t 7→ exp(t) est solution de (1.1.4) pour α = 1, β = 0 et y(0) = 1,alors un corollaire sera que la solution est bien une fonction croissante.

Il est très important de nommer les objets auxquels nous allons nous intéresser. Il paraîtcompliqué de raisonner sur une notion que l’on se refuse à définir et/ou à nommer. C’estpourquoi nous insisterons en cours sur le fait que vous preniez soin de bien comprendre(et visualiser) les objets étudiés. Un exercice type en algèbre, par exemple, est de montrerqu’un certain ensemble est un espace vectoriel. Si vous ne connaissez pas la définitiond’un espace vectoriel, il vous sera impossible de le démontrer. Il parait difficile de répondreà la question : "Le rhinocéros est-il un pachyderme ? " si l’on ne sait pas ce qu’est unpachyderme...

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1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

1.2.2 D’accord mais quels sont les composants d’un théorème ?

Une proposition ou un théorème se compose des ingrédients suivants :

1. On considère un objet particulier, et l’on se donne des hypothèses sur cet objet.2. On énonce ensuite la propriété satisfaite par cet objet sous les hypothèses énon-

cées. C’est la conclusion de la proposition ou du théorème.3. Enfin on présente une preuve (ou démonstration) que la propriété est bien satisfaite.

Mais qu’est-ce-qu’une preuve ? Une preuve est une suite logique et ordonnée d’ar-guments qui permet d’arriver à la conclusion de la proposition. Vous verrez dansle cours de "Maths-Algo" les différents types d’arguments qui peuvent être mis enœuvre à cet effet.

A quoi ça sert d’étudier une preuve ?

Etudier une preuve présente au moins deux avantages :— Tout d’abord une preuve permet de voir (et de comprendre) qu’un résultat est vrai !— De plus, étudier une preuve permet de s’entrainer à lire des raisonnements pour être

capable ensuite d’en faire soi-même et de savoir les rédiger (il est important pourvotre vie professionnelle future d’être capable d’exposer clairement des argumentsà vos collaborateurs(trices)).

Illustrons tout de suite le contenu de cette section sur l’exemple suivant. Pour cela,rappelons qu’un entier naturel n (je parle d’un objet, je lui donne un nom 4) est un multiplede 4 s’il existe un autre nombre naturel noté k (là aussi je lui donne un autre nom) tel quen = 4k. Et un nombre p est pair s’il existe un entier naturel ` tel que p = 2`.

Théorème 1.2.1. Soit n un nombre entier naturel qui est un multiple de 4. Alors n estpair.

Démonstration. On a supposé que n est un multiple de 4. Par définition, cela signifie qu’ilexiste k entier naturel tel que n = 4k (une bonne habitude consiste à traduire les hypothèsesqui sont mises à votre disposition). On veut montrer que n est pair, c’est-à-dire (je traduisce qu’est un nombre pair) que l’on peut trouver un entier naturel ` tel que n = 2`. 4 étantégal à 2× 2, on peut par exemple choisir ` = 2k, qui est encore un entier naturel et doncn satisfait la définition d’un nombre pair, ce qui montre le résultat.

Remarque 1.2.2.

1. Ici l’hypothèse du théorème (point no 1) est : "on considère un objet qui est unnombre multiple de 4".

2. La conclusion du théorème est : "n est pair".

4. Notons que nous aurions pu également l’appeler "Arthur", ou "Amélie" mais il faut reconnaitre quec’est un peu long à écrire... D’où l’utilisation plus répandue de lettres telles que n, x, α, y, etc.

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1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

3. La preuve est une suite ordonnée d’arguments. On voit que pour démontrer un ré-sultat, il est fondamental de traduire en langage mathématique la ou les hypothèseset le résultat que l’on souhaite atteindre.

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Chapitre 2

Comment travailler mon cours demaths ?

Les cours de maths que vous rencontrerez à l’INSA sont essentiellement de deux types :les Cours Magistraux CM et les Travaux Dirigés TD. Une méthode très répandue chez lesétudiants (qui généralement n’est pas synonyme de succès) est de se focaliser sur les TD etde délaisser le cours jugé trop théorique et abstrait. Il est clair que les exercices constituentun moyen de vérifier que les notions du cours sont acquises, mais le travail des TD doits’effectuer après une lecture très méthodique (que nous allons précisément décrire ici) desCM et du poly.

Avant de renter dans la méthode de travail à proprement dite, il est impératif de préciserqu’il faut travailler régulièrement et ne pas attendre les premiers contrôles pourse mettre au travail. Si vous ne travaillez pas vos cours et TD régulièrement, vous necomprendrez pas les notions vues dans ces enseignements et vous serez très vite débordéset dépassés.

2.1 Deux méthodes de travailNous proposons ici deux méthodes de travail. Bien entendu, il peut en exister d’autres

mais celles que nous présentons ici sont simples à réaliser et ont montré une certaineefficacité.

2.1.1 Première méthode

La première méthode consiste à porter une attention toute particulière au cours (c’est-à-dire au poly). Les étapes sont :

1. Dans un premier temps, on réalise une lecture approfondie du cours telle qu’elle seradécrite dans la section 2.2 ci-dessous.

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2.2. Comment travailler les CM et le poly ?

2. Ensuite, on cherche les exercices de TD en commençant par les premiers exercicesde la feuille qui sont des exercices d’application directe.

Si dans l’étape 2 vous butez sur une question d’un exercice d’application directe, il fautrevenir chercher dans le poly la définition de l’objet sur lequel porte la question, retravaillercette notion ainsi que les propriétés qui suivent cette notion, et revenir à la question del’exercice. Il faut reproduire ces allers-retours entre le cours et le TD tant que la questionn’est pas résolue. Ces allers-retours sont tout à fait normaux car l’appropriation d’unenotion ou d’une méthode passe par l’erreur et par la manipulation des concepts mis enjeu. Si au bout de multiples allers-retours "Cours-TD" vous ne parvenez pas à résoudrele problème, il faut être très attentif lors de votre TD à la correction de cette questionet ne pas hésiter à demander à l’enseignant de TD ou de Cours de vous expliquer cettecorrection, si cette dernière ne vous semble pas plus claire. Il est également possible quevous ayez un blocage à un certain niveau qui vous empêche d’avancer dans le cours, ilfaut alors ne pas hésiter à demander à vos enseignants de vous aider à lever ce blocage.La pratique montre que dans ce cas, une fois le blocage levé les notions suivantes serontbeaucoup plus simples à assimiler.

2.1.2 Deuxième méthode

Il n’est pas impossible que la première méthode vous paraisse un peu rébarbative carelle nécessite l’étude de plusieurs notions qui pourraient vous paraître trop abstraites. Dansce cas, nous proposons ici une deuxième méthode dont les étapes sont données ci-dessous :

1. On réalise d’abord une lecture des exercices de la feuille de TD (ou dans un premiertemps des premiers exercices).

2. Ensuite on regarde le premier exercice et on identifie les objets mis en oeuvre dansles questions et les propriétés demandées. De là, on cherche dans le poly où sontintroduites les notions et on étudie le cours (comme indiqué dans la section 2.2ci-dessous) jusqu’à arriver à la propriété mentionnée dans la question.

3. On essaie de répondre à la question et on passe à la question suivante en réalisantdes allers-retours "TD-Cours" comme cela est décrit dans le dernier paragraphe dela première méthode.

2.2 Comment travailler les CM et le poly ?Nous avons décrit dans la section 1.2.1 le plan d’un cours, voyons maintenant comment

le travailler. Tout d’abord, un cours de maths ne se lit pas comme un roman : il faut àtout prix avoir du brouillon et un stylo à disposition. Afin de vous éclairer sur laméthode à suivre, nous mettrons en pratique (dans le chapitre 3) les éléments ci-dessoussur une partie du chapitre 2 du cours de "Maths 1", qui traite justement des équationsdifférentielles d’ordre 1 (autrement dit de l’équation (1.1.4), fil rouge de ce poly). Bien en-tendu, la façon de procéder que nous proposons n’est qu’une suggestion parmi d’autres. Elle

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2.2. Comment travailler les CM et le poly ?

vous aidera peut-être à comprendre quel est le niveau de compréhension à viser, commentprendre du recul sur le contenu du cours et comment en retirer l’essentiel. Avec un peude pratique, vous développerez vous-même votre propre méthode de travail et réaliserez cetravail naturellement.

Méthodologie :

1. Le cours commence toujours par la définition d’un ou de plusieurs objets (après uneéventuelle introduction ayant pour objectif de motiver l’étude du domaine, cettepartie pouvant parfois être réalisée par l’enseignant à l’oral). La première chose àfaire est de se poser les questions suivantes :

— Puis-je donner deux ou trois exemples d’un tel objet ?→ à titre d’exemple, si l’on vient d’introduire les nombres complexes, on peutessayer de lister quelques nombres complexes comme 3, i, 3 + i

√2.

— Cet objet est-il relié à d’autres notions que je connais ?→ par exemple, "les nombres réels sont-ils des complexes ?"

2. Vient ensuite une liste de propriétés. Pour chacune d’elles, on procède de la façonsuivante :(a) On essaie de comprendre ce que dit le résultat.→ l’enjeu ici est de comprendre la propriété en question, en essayant de faire undessin le cas échéant ou de regarder si cette propriété est vérifiée sur les exemplesque je me suis donnés lors du point no 1. Par exemple, si la propriété est "pourtout complexe z, la quantité zz est un réel positif", on peut vérifier sur les 3exemples du point no 1. que cela est effectivement le cas.

(b) Ensuite, on regarde la preuve du résultat et on étudie chaque étape de la dé-monstration. Il est clair que certaines démonstrations sont astucieuses et l’on nese sent pas toujours capable de les reproduire. Dans un premier temps, on s’in-téresse seulement à comprendre tous les arguments présentés dans la preuve. Ilest impératif de ne pas laisser de "boites noires" dans la preuve : si un argumentn’est pas clair, il ne faut pas hésiter à interroger l’enseignant de cours ou deTD à ce sujet. Il arrive que certaines preuves soient trop techniques, auquel casl’enseignant se contentera de vous donner une idée de la preuve, et vous inviteraà sauter les détails de cette dernière.

→ Un exercice formateur à ce sujet est de (une fois la preuve terminée et quetous les arguments ont été compris) repérer si toutes les hypothèses du résultatont bien été utilisées et à quels endroits de la preuve. Le cas échéant, on peutaussi essayer d’imaginer des exemples où la conclusion du théorème ou de la pro-

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2.3. Comment travailler les TD?

position est fausse et vérifier qu’ils ne satisfont pas les hypothèses du théorème.

3. Un chapitre s’étudie en plusieurs fois : il convient d’étudier en travail personnel,chez soi ou à la bibliothèque, la partie du cours vue en CM. À la fin du chapitre,vous réaliserez les tests d’assimilation qui vous permettront de cibler les notionsnon-assimilées, auquel cas vous revenez à la définition du ou des objets relatifs àcette notion et vous répétez les étapes 1 et 2 jusqu’à ce que vous soyez en mesurede répondre aux tests d’assimilation.

Une bonne habitude à prendre est également de ne pas rester passif en CM.On pourra par exemple prendre des notes (certaines explications ou éclaircis-sements peuvent être donnés à l’oral par l’enseignant).

2.3 Comment travailler les TD?Les feuilles de TD se composent de deux types d’exercices : les exercices d’application

directe (les premiers exercices de la feuille) et les exercices plus approfondis.

— Pour les exercices d’application directe : il faut les réaliser une fois avoir travailléle cours, ou avec le cours, suivant que vous choisissez la méthode de travail 1 ou 2(proposées dans la section 2.1). Il est important (comme déjà mentionné) de réussircette étape et d’être capable de faire ces exercices, ou au moins d’en comprendre lacorrection lors de la séance de TD.

— Concernant les exercices d’approfondissement : ces derniers peuvent demander unraisonnement plus élaboré, donc il n’est pas anormal de ne les réussir que partiel-lement, voire pas du tout. Cependant, il faut les chercher et y passer un tempsraisonnable. D’abord en essayant avec sa compréhension du cours, puis avec le polyouvert à côté de l’énoncé. Il est également fondamental de ne pas rester "inactif"face à un exercice : il faut essayer une piste ou deux et voir où elles mènent.

Recommandations importantes :

→ Il faut chercher les exercices : regarder votre enseignant réaliser la correctionsi vous découvrez l’énoncé ne vous apportera rien (regarder quelqu’un résoudre unproblème que l’on ne s’est pas approprié ne suffit pas pour être capable de refaireles raisonnements mis en jeu). "Ce n’est pas en regardant le marathon à la télé quevous saurez le courir !"

→ Ne pas rester inactif face à un exercice : il faut se forcer à trouver une pistede réflexion et à écrire quelque chose. En particulier, une bonne méthode lorsquel’on ne sait pas quoi faire face à un exercice est de :

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2.3. Comment travailler les TD?

— Traduire (en langage mathématique) les hypothèses,— Traduire (en langage mathématique) la conclusion souhaitée.

Dans l’exemple du théorème 1.2.1 de la section 1.2.2, une grosse partie du travailde la démonstration a été de traduire l’hypothèse (n est un multiple de 4) et laconclusion souhaitée (n est pair).

Concernant l’évaluation :Contrairement au lycée, vous ne serez pas interrogés en contrôle sur des exercices déjà faitsen TD, mais plutôt sur des exercices nouveaux. Cette façon de procéder peut vous paraîtreun peu "dure" de prime abord, mais de nouveau dans votre métier d’ingénieur vous serezsans cesse confrontés à de nouvelles situations qui nécessiteront une approche différente.Ainsi, cette méthode d’évaluation vous permet de vous former à la réalité du métier d’in-génieur. Chercher les TD à l’avance vous prépare mieux aux évaluations que refaire lesexercices déjà corrigés. Car même si vous ne trouvez pas la solution, cela vous entraîne àréagir sur un exercice inconnu et vous permet de faire la différence entre "avoir comprisune correction d’exercice" et "savoir résoudre l’exercice". L’important est de connaître lesdéfinitions et les propriétés du cours, de les comprendre et de savoir les mettre en œuvre.

17

2.3. Comment travailler les TD?

18

Chapitre 3

Mise en pratique

Maintenant que nous avons donné quelques éléments de méthode, passons à une illus-tration pratique concernant le travail sur le chapitre 2 de l’UF "Maths 1", qui concernela résolution de l’équation (1.1.4) qui nous a servi de motivation depuis le début de cesnotes. Vous trouverez ci-dessous une partie de ce chapitre tel qu’il est précisé dans le polyde "Maths 1". Le texte du cours est dans une police plus petite et les commentaires deméthodologie, qui correspondent aux remarques, commentaires et questionnements propresà la méthode, sont en bleu (en police plus grande) et encadrés.

Début du cours

GénéralitésMotivation

On lâche un corps de masse m d’une certaine hauteur H, dans l’air, en un instant t = 0. Le frottement dans l’air exerceune force R qui s’oppose à la chute de celui-ci. Sous certaines conditions (que l’on supposera vérifiées ici), on peut considérerque la résistance de l’air est proportionnelle à la vitesse du corps. On s’intéresse à la vitesse de l’objet pendant sa chute. Plusexactement, on voudrait déterminer cette vitesse en tout temps.Faisons un bilan des forces exercées. On a

Poids = mg et Résistance = FV (t),

avec g ' 9, 81, l’accélération de la pesanteur terrestre, F ∈ R+ une certaine constante (qui dépend de la forme de l’objet etqu’on suppose connue), et V (t) la vitesse de l’objet au temps t. Les lois de la mécanique nous indiquent que l’accélérationest égal à la somme des forces exercées divisée par la masse du corps. On a donc

V ′(t) = g −F

mV (t). (3.0.1)

La vitesse de l’objet est donc une fonction du temps qui vérifient la relation (3.0.1).

Un moyen d’étudier la vitesse du corps est donc de déterminer quelles sont les fonctions qui vérifient la relation (3.0.1).Comme on va le voir, il y a une infinité de telles fonctions. Pour ce problème, il faut également trouver un moyen de choisirentre ces différentes fonctions celle qui correspond effectivement à la vitesse de l’objet. Comme on le verra, il faut pourcela utiliser une autre donnée du problème : le fait que la vitesse initiale est nulle (puisque l’on “lâche” l’objet). Une telledonnée sera appelée condition initiale. Laissons un instant ce problème de côté et intéressons-nous à une autre question. Desbiologistes étudient l’évolution de la taille p d’une population de bactéries et ils constatent que le taux d’accroissement decette population est constant. Autrement dit la variation de la taille de la population est proportionnelle à cette taille. On adonc

p′(t) = Tp(t), (3.0.2)

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où T ∈ R+ est le taux de variation instantané de la taille de la population. Si l’on souhaite déterminer la taille de population,il faudrait pouvoir déterminer les fonctions qui satisfont la relation (3.0.2).

Quel est le point commun entre ces deux problèmes ? Tous deux se formalisent par une équation dont l’inconnue estune fonction que l’on cherche à déterminer. Cette équation fait intervenir la fonction et sa dérivée. De telles équations sontappelées équations différentielles.

Les équations différentielles regroupent un ensemble beaucoup plus large d’équations : il s’agit des équations qui lient unefonction inconnues à déterminer et une ou plusieurs de ses dérivées (sa dérivée, sa dérivée seconde, sa dérivée troisième, . . . ).Elles apparaissent dès lors que l’évolution d’un phénomène est fonction de son état courant.Ces équations interviennent dans un grand nombre de domaines (physique, chimie, biologie, économie,...).

Nous nous proposons d’étudier dans ce chapitre les plus simples d’entre elles : les équations différentielles linéaires du premierordre à coefficients constants.Les deux exemples que nous avons donnés dans cette introduction font partie de cette catégorie d’équations.

Comme décrit dans le point no 1 de la section 2.2, le chapitre commence par unemotivation de l’étude (ici des équations différentielles). Il nous paraît importantque vous lisiez la motivation de chaque chapitre.

DéfinitionsDefinition 3.0.1. Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction qui sera notée iciy. Cette équation est une relation vérifiée en chaque point x d’un intervalle I ⊂ R par la fonction inconnue y et certainesde ses dérivées.L’ordre de dérivation maximum intervenant dans cette relation donne l’ordre de l’équation différentielle.

Résoudre une équation différentielle sur une intervalle donné I, c’est déterminer l’ensemble des fonctions définies sur cetteintervalle et qui vérifient la relation demandée en tout point de I.

Lorsqu’aucun intervalle n’est précisé, résoudre une équation différentielle, c’est déterminer les intervalles (maximaux au sensde l’inclusion) sur lesquels l’équation différentielle admet des solutions puis, pour chacun de ces intervalles, donner l’ensembledes fonctions qui solution de l’équation.

Exemple 3.0.2. Voici quelques exemples d’équations différentielles1. y′(x)− y(x) = 2x,

2. 2y′(x) + y2(x) = 3,

3. cos(x)y′(x) + 2xy(x) = 2/x,

4. y′′(x) + 2y(x) = 3x.

A ce stade, nous sommes toujours sur le point no 1 de la section 2.2, où l’on définitl’objet de base de ce chapitre et où l’on donne quelques exemples. Si votre coursne contient pas explicitement ces exemples, il est très important que vous vous endonniez 2 ou 3.

Definition 3.0.3. Soit a0, . . . , an et f des fonctions de la variable réelle. L’équation différentielle

an(x)y(n)(x) + . . .+ a1(x)y

′(x) + a0(x)y(x) = f(x) (3.0.3)

est qualifiée de linéaire. Ce terme provient du fait que l’application F : y(.) 7→ an(.)y(n)(.) + . . . + a1(.)y′(.) + a0y(.) estlinéaire 1, c’est-à dire qu’elle satisfait les propriétés suivantes :

1. F (λy) = λF (y) pour tout λ ∈ R,

1. ce type d’application sera abordé en détail au second semestre

20

2. F (y1 + y2) = F (y1) + F (y2).Si de plus les coefficients a0, . . . , an sont des constantes ( i.e. a0(x) = a0, . . . , an(x) = an, avec a0, . . . , an des réels), l’équation(3.0.3) est qualifiée de linéaire à coefficients constants.

Dans la définition 3.0.1 nous avons décrit ce qu’est une équation différentielle(on écrira à partir de maintenant EDO a) en français. La définition 3.0.3 est sonpendant en langage mathématique. On vous dit qu’une EDO est définie par unnombre n, des fonctions a0, . . . , an, une autre fonction f ; pour bien comprendrecette définition, il faut écrire pour chaque exemple de 3.0.2 ce que sont toutes cesdonnées. Par exemple, pour l’équation 1. de l’exemple 3.0.2 : y′(x) − y(x) = 2x,on a

n := 1a1(x) := 1, ∀x ∈ Ra0(x) := −1, ∀x ∈ Rf(x) := 2x, ∀x ∈ R.

Donc de nouveau, cette formulation un peu compliquée à première vue permetd’englober toute une famille d’équations.Il ne faut donc pas se laisser "impressionner" par une définition qui al’air difficile et il faut traduire la définition dans les exemples que l’ons’est donnés au début du cours.

a. Equation Différentielle Ordinaire, "ordinaire" étant un qualificatif qui distingue ces équa-tions d’autres types d’équations différentielles que vous étudierez dans les années supérieures.

Nous nous intéresserons dans ce chapitre aux équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants,c’est-à-dire aux équations différentielles de la forme

a1y′(x) + a0y(x) = f(x), a1 ∈ R∗, a0 ∈ R. (3.0.4)

On peut, sans perte de généralité, considérer que a1 = 1. En effet

a1y′(x) + a0y(x) = f(x),∀x ∈ I ⇔ y′(x) + a0y(x) = f(x), ∀x ∈ I,

avec a0 =a0

a1et f(x) =

f(x)

a1. On considérera donc désormais les équations diffŕentielles linéaires du premier ordre à

coefficients constants sous la formey′(x) + ay(x) = f(x). (3.0.5)

Definition 3.0.4. La fonction x 7−→ f(x) de (3.0.5) est une donnée du problème. Elle est appelé second membre del’équation différentielle.

On vient de définir un nouveau terme "le second membre". Il faut écrire pourchacun des exemples de l’exemple 3.0.2 quel est le second membre. Pour cela, ilfaut tout d’abord identifier la nature de l’objet que je cherche : "le second membreest une fonction" (pas un réel, un complexe, une carotte ou une voiture) donc ilfaut identifier une fonction. Pour l’équation 1. : (y′(x) − y(x) = 2x) on a que lesecond membre est la fonction x 7→ 2x.

Dans la suite de ce chapitre on considérera le cas où le second membre est une fonction continue.

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Definition 3.0.5. Une solution de l’équation différentielle (3.0.5) sur un intervalle I de R est une fonction y declasse C1 sur l’intervalle I vérifiant la relation (3.0.5) en chaque point x ∈ I.

Definition 3.0.6. L’équation différentielley′(x) + ay(x) = 0, (3.0.6)

s’appelle l’équation homogène (ou sans second membre) associée à (3.0.5).

Remarque 3.0.7. La fonction nulle est toujours solution d’une équation homogène.

Une nouvelle notion est introduite (en l’espèce on associe une nouvelle équationà toute EDO). Donc pour chaque équation de l’exemple 3.0.2, on écrit quelle estson équation homogène associée. Par exemple, l’équation homogène associée àl’équation 1. : y′(x)− y(x) = 2x, est

y′(x)− y(x) = 0.

Jusqu’ici nous avons vu des définitions. Pour l’instant, il est tout à fait normal dene pas voir où l’on va et à quoi servent ces différents objets (en particulier on peutse demander pourquoi associer l’équation homogène à toute EDO). Cependant, ilfaut faire preuve de patience et attendre de voir où cet objet va intervenir dansl’analyse.

RésolutionSolutions générales

On va maintenant voir comment on résout les équations différentielles du premier ordre à coefficients constants 2. Lethéorème suivant nous permet de ramener ce problème à deux sous-problèmes :

— résoudre l’équation différentielle homogène associée,— trouver une solution particulière de l’équation avec second membre.

Théorème 3.0.8. Les équations différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants admettent des solutions surR. Par ailleurs si w est une solution particulière de (3.0.5) alors les solutions générales sont les fonctions de la forme :

y(x) = v(x) + w(x),

où v est solution de l’équation homogène associée (3.0.6).

Démonstration. La preuve sera vue en cours

2. Précisons d’ors et déjà que l’on ne sera capable à la fin de ce chapitre de résoudre les équationsdifférentielles linéaire du premier ordre à coefficients constants que dans le cas où le second membre est assezsimple. Il existe une méthode plus générale, appelée méthode de la variation de la constante, qui permetde traiter n’importe quel second membre continu (sous réserve d’être capable d’effectuer certains calculs).Cette méthode sera abordée au second semestre, une fois que vous aurez acquis certaines techniquesd’intégration.

22

Une fois les différents objets introduits, nous arrivons au premier résultat du cours.Nous passons donc au point no 2 de la méthode décrite dans la section 2.2. Toutd’abord, on essaie de comprendre ce que dit le résultat. Ici le résultat nous dit plu-sieurs choses : premièrement qu’il y a plusieurs solutions puisque l’énoncé stipule"les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constantsadmettent des solutions...". Ensuite il nous donne la forme de ces solutions "lessolutions générales sont de la forme...". À ce stade nous ne savons pas encore com-ment résoudre les équations de l’exemple 3.0.2 donc nous ne pouvons pas encore"tester" le résultat sur ces exemples. Cependant, on peut regarder la preuve faiteen CM et en particulier vérifier que toute fonction qui est la somme d’une solutionparticulière et d’une solution de l’équation homogène est bien solution de l’EDOconsidérée. Il faut ensuite conformément au point 2.(b) de la méthode examinerla preuve.

Proposition 3.0.9 (principe de superposition). Si p est solution de l’équation différentielle

y′(x) + ay(x) = g(x),

et si q est solution de l’équation différentielley′(x) + ay(x) = h(x),

alors, pour tout λ et tout µ deux constantes (réelles ou complexes), la fonction y = λp + µq est solution de l’équationdifférentielle

y′(x) + ay(x) = λg(x) + µh(x).

Remarque 3.0.10. Cette propriété est une conséquence directe de la linéarité de l’équation différentielle.

En conséquence, pour résoudrey′(x) + ay(x) = λg(x) + µh(x), (3.0.7)

— on cherche v solution de l’équation homogène associée,— on cherche une solution p particulière avec le second membre égal à g,— on cherche une solution q particulière avec le second membre égal à h.

les solutions générales sont les fonctions : y(x) = v(x) + λp(x) + µq(x).

Nous avons ici un nouveau résultat : on essaie de le comprendre et on examine lapreuve. Malheureusement, nous ne pouvons toujours pas "tester" ce résultat surdes exemples précis, mais les TD ou la suite du cours nous donneront certainementcette opportunité.

Solution de l’équation homogèneOn commence par déterminer la solution générale de l’équation homogène associée à (3.0.5). On a le théorème suivant.

v′(x) + av(x) = 0. (3.0.8)

Théorème 3.0.11. Les solutions générales de l’équation homogène associée (3.0.8) sont les fonctions

v(x) = ce−ax, c ∈ R. (3.0.9)

Les fonctions v ainsi définies sont définies sur R et vérifient (3.0.8) pour tout x ∈ R.

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Démonstration. La preuve sera vue en cours

Voici un premier résultat explicite. On examine ce résultat qui de nouveau nousdonne plusieurs informations : on connait toutes les solutions de l’équation ho-mogène associée à une EDO, et on voit qu’il y en a plusieurs (autant que deconstantes c dans R). Là aussi il faut s’interroger sur les quantités qui inter-viennent dans ce résultat : en l’espèce le paramètre c dans la forme des solutions.Est-ce vrai que pour tout c que je choisis je trouve une solution ? Pour cela, onteste sur nos exemples. Pour au moins 2 exemples de l’exemple 3.0.2 on écritl’équation homogène et on vérifie que chaque solution que l’on nous propose estbien solution de l’équation. Comme toujours regardons par exemple l’équation 1. :y′(x)− y(x) = 2x. L’équation homogène associée est :

v′(x)− v(x) = 0.

Ceci est bien de la forme de (3.0.8) avec a = −1. On vérifie que si l’on prend parexemple c = 3, et si l’on pose v3(x) := 3 ex pour tout x réel, on vérifie que pourtout x réel,

v′3(x) = 3 ex

et doncv′3(x)− v3(x) = 3 ex − 3 ex = 0,

ce qui signifie que v3 est bien solution de l’EDO. Si l’on essaie avec une autrevaleur de c (par exemple pour c = −10, on vérifie de la même façon que v−10(x) :=−10 ex) est également solution et le même calcul montre pour tout c réel, si l’onpose vc(x) := cex on vérifie que vc est solution.

Remarque 3.0.12.1. On remarque qu’en prenant c = 0 on obtient la solution nulle. Si c 6= 0 alors les solutions ne s’annulent jamais et

sont de signe constant.2. Les solutions sont proportionnelles entre elles.

Exemple 3.0.13. Résoudre l’équationy′(x) + 2y(x) = 0.

On vous donne un exercice, il faut essayer de le faire pour vérifier que vous avezbien compris. Pour cela, on regarde le théorème 3.0.11 et on l’applique pour trou-ver la solution de l’équation proposée. On vérifie a posteriori que les solutionsobtenues sont bien des solutions.

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Solutions particulières pour des seconds membres particuliersOn regarde tout d’abord s’il y a des solutions particulières évidentes.

Exemple 3.0.14. Donner une solution évidente de l’équation

y′(x) + 2y(x) = 1.

De nouveau on vous donne un exercice, il faut essayer de le faire.

En l’absence de solution évidente et pour des équations différentielles à coefficients constants du type

y′(x) + ay(x) = Pn(x)eµx, (3.0.10)

où Pn(x) est un polynôme de degré n et µ est une constante (réelle ou complexe), une solution particulière est donnée par lethéorème suivant :

Théorème 3.0.15. L’équation différentielle à coefficients constants (3.0.10) admet une solution particulière w(x) de laforme suivante :

w(x) = Qn(x)eµx si µ 6= −a

ouw(x) = Qn(x)xe

rx, si µ = −a

où, dans les deux cas, Qn(x) est un polynôme de degré n en x dont on détermine les coefficients par identification.

Démonstration. Notons βk les coefficients de P . On cherche une solution particulière de la forme yp(x) = Q(x)eµx. On aalors y′p(x) = eµx(Q′(x) + µQ(x)). En remplaçant dans l’équation (3.0.10) on obtient

eµx[Q′(x) + µQ(x) + aQ(x)] = Pn(x)eµx

puis en simplifiant par l’exponentielle qui est différente de 0, on obtient l’équation

Q′(x) + (µ+ a)Q(x) = Pn(x). (3.0.11)

- Si µ + a 6= 0 (donc si µ 6= −a), on cherche une cherche un polynôme de degré n, Qn(x) = α0 + . . . + αnxn, quivérifie (3.0.11). On a

Q′(x) + (µ+ a)Q(x) = (µ+ a)αnxn +

n−1∑k=0

((k + 1)αk+1 + (µ+ a)αk)xk.

Par identification, on est ramené au système suivant :{(µ+ α)αn = βn(k + 1)αk+1 + (µ+ a)αk = βk, k ∈ {0, . . . , n− 1}

qu’on peut résoudre. En effet, on a αn =βn

µ+ a, puis de proche en proche on trouve les autres coefficients, la

deuxième équation du système se réécrivant αk =1

µ+ α(βk − (k + 1)αk+1).

- Si µ+ a = 0 (donc si µ = −a), l’équation (3.0.11) devient

Q′(x) =n∑k=0

βkxk,

et la fonction Q(x) =∑nk=0 βk

xk+1

k+1= x

∑nk=0 βk

xk

k+1convient. Ainsi, yp(x) = xQn(x)eµx où Qn est une fonction

polynôme de même degré que Pn.

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Il faut s’interroger sur l’utilité de ce résultat ("ça sert à quoi ?") comme indi-qué dans le point 2.(a) de la méthode de la section 2.2. Nous avons donné dansle théorème 3.0.8 la forme générale des solutions qui fait intervenir les solutionsde l’équation homogène et une "solution particulière". Nous avons vu dans lethéorème 3.0.11 comment trouver les solutions de l’équation homogène mais com-ment trouver une solution particulière à l’équation ? On vous dit que si le secondmembre a une certaine forme alors une solution particulière est à chercher sousune certaine forme. De nouveau, conformément à la partie 2. il faut essayer d’ap-pliquer ce résultat au moins à deux exemples de ceux donnés dans l’exemple3.0.2. Reprenons comme d’habitude l’équation y′(x)− y(x) = 2x. Le résultat medonne la forme d’une solution si le second membre est d’une certaine forme. Icile second membre est la fonction x 7→ 2x qui est bien de la forme un polynôme(P : x 7→ 2x) multiplié par une fonction de la forme x 7→ eµx en choisissant µ = 0.Comme µ = 0 6= 1 = −a, le théorème nous enseigne donc qu’il faut chercherune solution particulière w sous la forme w(x) := Q(x) où Q est un polynômede degré 1 (le degré du polynôme P qui, on le rappelle, est ici P (x) = 2x). Unpolynôme de degré 1 étant de la forme αx + β (j’ai besoin de deux coefficientspour l’écrire donc je leur donne un nom, disons α et β). On cherche donc w sousla forme w(x) = αx + β. Il ne reste plus qu’à trouver α et β de sorte que w soitbien solution, c’est-à-dire : w′(x) − w(x) = 2x pour tout x réel. Le calcul directdonne :

w′(x)− w(x) = 2x, ∀x ∈ R⇔ −αx+ (α− β) = 2x, ∀x ∈ R⇔ α = −2 et β = α

⇔ α = β = −2.

On trouver donc w(x) = −2x− 2 comme solution particulière.

Il faut ensuite passer au point 2.(b) de la méthode de la section 2.2 quiconsiste à examiner la preuve. Cette dernière fait partie des preuves un peu"techniques" du polycopié et probablement que votre enseignant vous invitera àne pas consacrer trop de temps à cette tâche (voire l’omettre).

Lorsque le second membre est de la forme P (x) cos(bx) ou P (x) sin(bx), on peut chercher une solution de la forme Q1 cos(bx)+Q2 sin(bx), avec Q1 et Q2 des polynômes de même degré que P .

Exemple 3.0.16. On cherche à résoudre les solutions de l’équation différentielle

y′(x) + 2y(x) = (x+ 2) cos(2x). (3.0.12)

Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y(x) = ce−2x, c ∈ R.On cherche maintenant une solution particulière sous la forme (a0 + a1x) cos(2x) + (b0 + b1x) sin(2x). On a y′(x) = (a1 +2b0 + 2b1x) cos(2x) + (−2a0 + b1 − 2a1x) sin(2x). En injectant dans l’équation (3.0.12), on a

[2a0 + a1 + 2b0 + 2(a1 + b1)x] cos(2x) + [−2a0 + 2b0 + b1 + 2(−a1 + b1)x] sin(2x) = (x+ 2) cos(2x).

26

Par identification on a le système 2a0 + a1 + 2b0 = 22a1 + 2b1 = 1−2a0 + 2b0 + b1 = 0−2a1 + b1 = 0.

En résolvant ce système, on a obtient comme solution particulière yp(x) =(12+ 1

4x)cos(2x)+

(38+ 1

4x)sin(2x). Les solutions

de l’équation différentielle (3.0.12) sont donc les fonctions

y(x) = ce−2x + yp(x)

=

(1

2+

1

4x

)cos(2x) +

(3

8+

1

4x

)sin(2x) + ce−2x, c ∈ R.

Il faut étudier cet exemple. Dans le cas où vous aurez réussi à appliquer le théorèmeprécédent sur un ou deux exemples, cette étape n’est qu’une vérification que vousavez compris la méthode. Dans le cas contraire, cet exemple peut vous éclaircirsur la méthode, auquel cas, il faut revenir au théorème précédent et essayer del’appliquer à un ou deux exemples.

Condition initialeNous avons vu qu’il existe plusieurs solutions à une équation différentielle linéaire à coefficients constants (et en fait une

infinité). Cependant, si l’on reprend l’exemple initial de ce chapitre (à savoir la vitesse d’un corps en chute dans l’air), il nedevrait exister qu’une unique solution à ce problème. Cette multiplicité des solutions, est due au fait que nous avons négligéun aspect (fondamental) du problème physique, à savoir la condition initiale du système. Ici, il s’agit de la vitesse initiale del’objet, i.e. la valeur de v(t) en t = 0 (c’est-à-dire v(0) = 0).

Théorème 3.0.17 (Condition initiale). Soit x0 un élément de I et y0 un réel donné. Il existe une unique solution y àl’équation (3.0.5) telle que

y(x0) = y0.

On notera alors que y est l’unique solution de :

y′(x) + ay(x) = f(x), y(x0) = y0. (3.0.13)

27

Il faut chercher à comprendre ce dont il est question. On peut pour cela essayerde regarder ce que dit le résultat sur un exemple. D’ailleurs, nous avons écritci-dessous un exemple d’application. Pour vérifier que vous avez une bonne com-préhension du résultat, essayons de l’appliquer sur notre exemple y′(x)−y(x) = 2xavec une condition initiale. Par exemple, choisissons la condition y(0) = 0. Nousavons vu dans le théorème 3.0.8 que toute solution (si l’on exclut la condition ini-tiale) y s’écrit sous la forme y(x) = v(x)+w(x) où v est une solution de l’équationhomogène associée et w est une solution particulière. Nous avons trouvé au fil del’étude de ce cours que v est de la forme : v(x) = cex avec c dans R (donc pourtout réel c on a une solution différente), et que w(x) = −2x− 2 est une solutionparticulière. On a donc que toute solution y est de la forme :

y(x) = cex − 2x− 2, x ∈ R, c ∈ R.

Mais on a de plus la condition initiale y(0) = 0. Le seul paramètre "libre" estle coefficient c et le théorème nous dit qu’il existe une unique solution donc ildoit y avoir une unique valeur de c qui respecte la condition initiale. Pour le voirregardons la condition y(0) = 0 :

y(0) = 0

⇔ ce0 − 2× 0− 2 = 0

⇔ c = 2.

Donc l’unique solution à l’équation y′(x)− y(x) = 2x, ∀x ∈ R et y(0) = 0 est

y(x) = 2 ex − 2x− 2, x ∈ R.

Exemple 3.0.18. On se propose de résoudre l’équation différentielle :

y′(x) + 3y(x) = x2, y(1) = 2. (3.0.14)

Nous commençons par la résolution de l’équation différentielle

y′(x) + 3y(x) = x2, (3.0.15)

sans nous préoccuper de la condition initiale. Les solutions de (3.0.15) sur R sont données par :

y(x) = ce−3x︸ ︷︷ ︸=v(x)

+1

3

(x2 −

2

3x+

2

9

)︸ ︷︷ ︸

=w(x)

, c ∈ R.

Maintenant, pour trouver l’unique solution de (3.0.14), nous devons déterminer l’unique réel c tel que y(1) = 2, c’est-à-direl’unique réel c tel que :

ce−3×1 +1

3

(12 −

2

3× 1 +

2

9

)= 2,

ce qui donne

c =49

27e3.

28

Ainsi l’unique solution de (3.0.14) sur R est

y(x) =49

27e−3x+3 +

1

3

(x2 −

2

3x+

2

9

).

Exemple 3.0.19. Résoudre les équations différentielles suivantes :1. y′(x) + 2y(x) = 1,

2. y′(x) + 2y(x) = 2 cosx,

3. y′(x) + 2y(x) = xe−2x, y(0) = 1,4. Soit un mobile de masse m et de résistance à l’air F . On lâche en t = 0 le mobile et on note V (t) la vitesse du

mobile à la date t. Donner en fonction de F et de la constante de gravitation g, la valeur V (1) de la vitesse de cemobile en t = 1 où V est solution de l’équation

V ′(t) = g −F

mV (t), V (0) = 0.

Test d’assimilation1. Donner un exemple d’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

On note E1 cette équation. Donner l’équation homogène associée à E1 et la forme générale des solutions de E1.2. Soit α ∈ R. Donner les solutions de l’équation

y′(t)− αy(t) = 4teαt.

3. Parmi les équations différentielles suivantes, dire lesquelles sont des équations différentielles linéraires du premierordre, à coefficients constants et préciser pourquoi les autres ne le sont pas :(a) y′(x) = 5 + y(x),

(b) 20y′(x) + y2(x) = 3,

(c) 7y′(x) + 2x = y(x),

(d) y′(x) + 2xy(x) = 8,

(e) y′′(x) + 2y(x) = x cos(x),

(f) y′(x)y(x) + 5y(x) = 2x.

Enfin dernière étape (point no 3 de la méthode de la section 2.2), on réalise le testd’assimilation, en n’hésitant pas à revenir sur les notions qui posent problème.

Fin du passage du cours

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