Université A. MIRA, Béjaïa Année universitaire 2005-2006 Faculté des Sciences & Sciences de l’Ingénieur Département de Génie–Civil, 4ème Année. Module d’Elasticité

2EME EPREUVE DE MOYENNE DUREE (DUREE : 02H00)

EXERCICE 1 (10 pts)

Une plaque rectangulaire OAB C de section initiale 100×150 mm2 est déformée en O′ A′ B′ C′ tel que montré sur la figure ci-contre. En supposant un champ des déplacements uniformes :

1) Calculer la matrice des gradients des déplacements Δui /Δxj

2) Déduire les tenseurs des déformations ε et des rotations ω.

3) Calculer les aires OABC et O′ A′ B′ C′, déduire la variation relative de volume et comparer à celle donnée par ε.

4) Calculer de deux manières (à partir de la figure et de ε) la

variation relative ACACΔ

de la longueur de la diagonale AC.

5) Calculer les déformations principales et leurs directions. Donner l’angle entre les directions principales et l’axe x1x2. Retrouver les résultats en utilisant le cercle de Mohr.

6) Si le module de Young du matériau de la plaque est E = 208 MPa et son coefficient de Poisson est ν = 0.3 ; calculer le tenseur des contraintes en supposant un état de déformations planes.

7) Vérifier que les deux tenseurs possèdent les mêmes directions principales. Déduire les contraintes principales.

8) Calculer la contrainte moyenne et déduire le module de compressibilité volumique K du matériau.

EXERCICE 2 (5 pts)

Le champ des contraintes dans une plaque carrée de coté a et de faible épaisseur e est donné par la fonction d’Airy :

)( 426

122

212

12 xxx

aP

−=φ . P une constante réelle.

1) Montrer que φ est une fonction des contraintes

2) Déterminer le champ du tenseur des contraintes dans la plaque

3) Calculer et représenter le chargement extérieur appliqué sur les quatre (04) cotés de la plaque

4) Calculer la résultante des efforts (moments et forces) rapportés aux centres de la face BD

5) Donner une interprétation à la constante P

NB : Les forces de volume sont négligées.

Question de cours (5 pts)

1) Monter que l’écriture des équations d’équilibre statique en fonction des déplacements (u1 , u2) se réduisent, dans le cas d’un problème d’élasticité bidimensionnelle de contraintes planes à l’expression suivante :

0)(2 =⋅∇∇α+∇ uu ; donner l’expression de α

2) Expliquer la différence entre un problème d’élasticité en déformations planes et un problème d’élasticité en contraintes planes

3) Quelle est la différence entre une formulation en contraintes et une formulation en déplacements.

Bonne chance A. Seghir

x2

x1

A

C D

B

B′

1.75

100

0.5

0.25

O

O′

A

A′ 150 1.0

0.5

1.25

0.75

C

C′

B

x1

x2

Solution Problème 1)

du1/dx1 = (1.75 − 0.75) / 150 = 0.0067

du2/dx2 = (0.25 − (−0.5) / 100 = 0.0075

du1/dx2 = ( 0 − 0.75) / 100 = 0.005

du2/dx1 = ( -1.25− (-0.5)) / 150 = 0.0075

la matrice des gradients

Grad(U) =

0.0067 -0.0050

-0.0075 0.0075

2) tenseur des déformations et des rotations

ε =

0.00667 −0.00625

−0.00625 0.00750

ω =

0 0.0012

-0.0012 0

3) Aire OABC :

Ai = 100 × 150 = 15000 mm2

Aire O′A′B′C′ :

Af =101.5 × 151.75 − 2 × (0.75 × 0.75)

− 2 × (0.5 × 151 × 0.75)

− 2 × (0.5 × 100.75 × 0.75)

Af = 15213 mm2

Variation relative de volume

ΔA/A = (15213-15000)/15000 = 0.014179

Trace(ε) = 0.00667 + 0.00750 = 0.014170

Les variations sont les mêmes

4) Variation relative de la diagonale AC :

La longueur initiale : AC = (1002 + 1502 ) 1/2 = 180.2776 mm

La longueur déformées : A′C′ = (101.52 + 151.752 ) 1/2 = 182.5659 mm

Variation relative : ΔAC/AC = (182.5659-180.2776)/180.2776 = 0.0127

En utilisant le tenseur des déformations.

La direction de la dilatation est données par n = < 1 −1>/√2

La dilatation est : d = nT ε n = 0.0133

5) Déformations et directions principales ε1 = 0.0133 ε2 = 0.0008 ; V1 = ± [−0.6832 0.7302] , V2 = ± [0.7302 0.6832]

Angle d’orientation est α = arctg(0.6832/0.7302) =43.09°

Cercle de MOHR : Le centre εc = 0.5(ε11 + ε22) = 0.0071 ; rayon R = (r2 + ε122 )1/2 ; r = ε11 − εc = 0.00041 ; R = 0.063

ε1,2 = εc ± R = 0.0133 , 0.0081 ; 2α = arctg(ε12 / r) = 86.1859°, α = 43.09°

A′

O′

C′

B′

100.75

0.75

151 0.75

6) Tenseur des contraintes

λ = 120 MPa ; μ = 810 MPa

σ = 2.7667 -1.00 0

-1.0000 2.90 0

0 0 1.7 (MPa)

7) σ possède les mêmes directions principales que ε s’il est diagonalisé par la matrice de rotation de ε

La matrice de rotation en 3D est :

R = [V1 V2] = -0.6832 0.7302 0

-0.7302 -0.6832 0

0 0 1

RT σ R = 3.8356 0 0

0 1.8311 0

0 0 1.7000 (MPa)

σ1 = 3.83 MPa, σ2 = 1.83 MPa et σ3 = 1.73 MPa,

8) Module de compressibilité volumique : K = P/(ΔV/V) ; P = σm = 1/3 trace(σ) pression moyenne.

K = 1/3 trace(σ) / trace(ε) = 520/3 = 173.33 MPa (Vérification K = 1/3 E/(1−2ν) )