effet de l’angle d’inclinaison sur la convection naturelle
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Vol. 2, 3. 265-273 (2010)
Revue de
Mécanique
Appliquée et
Théorique
Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 2, 3. (2010) 9ème congrès de mécanique SMSM
Marrakech April 2009
Effet de l’angle d’inclinaison sur la convection naturelle dans une
cavité poreuse bicouche
Y. Ould-Amer USTHB, FGMGP, LTPMP, Département Thermo énergétique,
BP. 32 El Alia Bab Ezzouar 16111 Alger, Algérie
Résumé Le présent travail est consacré à l’étude de la convection naturelle dans une cavité poreuse bicouche inclinée.
Les deux couches poreuses sont disposées verticalement et sont de perméabilités différentes. Les parois
verticales sont maintenues à des températures différentes alors que les faces haute et basse sont adiabatiques. Le
modèle général de Darcy-Brinkmann-Forcheimer a été retenu pour l’équation de la quantité de mouvement. La
méthode des volumes finis a été utilisée pour la modélisation numérique. Les résultats sont présentés pour des
valeurs de l’angle d’inclinaison entre 0° et 70°, du nombre de Grashoff entre 106 et10
7 et du nombre de Darcy de
chacune des couches entre 10-3
et 10-4
. Les résultats numériques englobent la représentation des lignes de
courant et des isothermes, le champ de vecteur vitesse et le nombre de Nusselt moyen.
Abstract The present work is performed to study natural convection in an inclined vertically layered porous cavity. The
two vertical layers have different permeabilities. The vertical walls are at different temperature whereas both the
top and bottom walls are adiabatic. The Darcy – Brinkmann – Forcheimer model is being used. The control
volume approach was applied for numerical modeling. Results are presented for values of the inclination angle
between 0° and 70°, the Grashoff number between 106 and 10
7 and the Darcy number for both layers between
10-3
and 10-4
. The numerical results include the streamlines and isotherms, the velocity field and average Nusselt
number.
Mots clés : convection naturelle, cavité poreuse, bicouche
Nomenclature
Pr Nombre de Prandtl, 1ePr
Gr Nombre de Grashoff, 23 LTTgGr ch
Dai Nombre de Darcy, 2LKDa ii
ke Conductivité thermique effective, W/ (m°C)
bNu Nombre de Nusselt moyen, dYX
θNu
X
b
1,0
1
0
iRc Rapport de conductivités, 12 kekeRci
U Vitesse adimensionnelle suivant la direction x, fνLuU
V Vitesse adimensionnelle suivant la direction y, fνLvV
CF Coefficient inertiel.
X Coordonnée adimensionnelle, Lx
Y Coordonnée adimensionnelle, Ly
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Symboles grecs
Porosité.
Température adimensionnelle,
ch
c
TT
TT
viscosité cinématique, m2/s
1. INTRODUCTION
Nul ne peut nier l’importance de la convection naturelle dans beaucoup d’applications pratiques. Pour
ne pas limiter le champ, on pourra citer l’extraction de l’énergie géothermique, la récupération du
pétrole, les échangeurs de chaleur, le stockage des produits d’agriculture et le refroidissement des
composants électroniques. Le domaine d’application du transfert de chaleur dans les milieux poreux peut être
trouvé dans [1,2]. La diversité des applications a aussi suscité un intérêt théorique. Si on considère la
géothermie ou encore les gisements d’hydrocarbures, le domaine relève des milieux poreux ; c’est
pourquoi beaucoup d’études sont réalisées en considérant un modèle poreux saturé avec un fluide.
Certes, dans la plupart des études de convection naturelle, une seule couche de milieu poreux est
considérée, mais dans la réalité plusieurs couches constituent une formation donnée. En géothermie
par exemple l’extraction de la chaleur nécessite de faire circuler un fluide dans une formation à
plusieurs couches de milieux poreux, et à noter que ces couches sont de propriétés différentes. Une
situation similaire a lieu lors de l’extraction des phases gaz ou liquide depuis les gisements
d’hydrocarbures.
La revue de la littérature montre que le modèle physique généralement considéré, pour étudier la
convection naturelle dans les milieux poreux homogènes et isotropes, consiste en une cavité carrée
maintenue sur ses faces latérales à des températures différentes alors que les faces haute et basse sont
adiabatiques [3-6]. D’autres types de conditions aux limites ont été aussi considérés, à savoir flux
imposé sur l’une des faces latérales alors que l’autre est maintenue à une température constante. Pour
les situations de convection naturelle avec plusieurs couches de milieux poreux, des modèles formés
par des cavités contenant des couches horizontales ou verticales de milieux poreux ont été proposés
[7-10].
Dans la présente étude, on s’intéresse à l’analyse des transferts thermiques et du champ d’écoulement
dans une cavité poreuse contenant deux couches verticales de milieux poreux (bicouche) sous l’effet
de l’angle d’inclinaison. D’après la recherche bibliographique que nous avons effectué aucun travail
n’a été consacré à une telle situation.
2. FORMULATION MATHEMATIQUE
Le modèle physique considéré consiste en une cavité poreuse, inclinée par rapport à l’horizontal.
Celle-ci est infiniment longue de section droite carrée et contient deux couches verticales de milieu
poreux de perméabilités différentes. Une représentation schématique du modèle physique est donnée
par la figure 1. Chaque couche est considérée homogène, isotrope et saturée par un fluide
incompressible. Les faces latérales sont maintenues à des températures différentes alors que les deux
autres faces sont adiabatiques. Dans ce cas une convection naturelle laminaire bidimensionnelle
s’établit dans l’enceinte poreuse. La masse volumique est considérée constante sauf dans le terme de
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poussée (hypothèse de Boussinesq). Un équilibre thermique local a lieu entre le fluide et le milieu
poreux.
Figure 1 : modèle physique et système de coordonnées
L’ensemble des équations gouvernant la conservation de la masse, la quantité de mouvement et
d’énergie s’écrivent pour chacune des couches, sous forme adimensionnelle comme suit :
0
Y
V
X
U ii (1)
sin2
2
2
2
iii
i
F
i
iiiiii
ii GrUV
Da
εC
Da
U
Y
U
X
U
X
P
Y
UV
X
UU
(2)
cos2
2
2
2
iii
i
F
i
iiiiii
ii GrVV
Da
εC
Da
V
Y
V
X
V
Y
P
Y
VV
X
VU
(3)
2
2
2
2
Y
θ
X
θ
Pr
Rc
Y
θV
X
θU iiii
ii
i (4)
L’indice i désigne la couche poreuse. Il prend les valeurs 1 ou 2. Les paramètres apparaissant dans ces
équations sont définis dans la nomenclature.
Les conditions aux limites se traduisent mathématiquement sous forme adimensionnelle par :
Pour X=0 10 Y Ui=Vi=0 et 1i (5)
Pour X=1 10 Y Ui=Vi=0 et 0i (6)
Pour Y=0 0 <X< 1 Ui=Vi=0 et 0
Y
i (7)
Pour Y=1 0 <X< 1 Ui=Vi=0 et 0
Y
i (8)
L
L/2 L/2
L
x
y
Tc
Th
g
Couche1 Couche2
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3. PROCEDURE NUMERIQUE
L’ensemble des équations aux dérivées partielles gouvernant la situation physique, est traduit en
équations algébriques par utilisation de la méthode des volumes finis. L’algorithme SIMPLER a été
adopté pour la séquence des étapes de résolution. Le schéma en loi de puissance a été retenu pour
l’évaluation des termes convectifs. Le système d’équations algébriques est résolu itérativement par
l’algorithme de Thomas. Un maillage décalé non uniforme, de 6262 nœuds, a été retenu. Ce choix est
basé sur l’étude de la sensibilité du code de calcul au maillage présenté dans le tableau 1. Un critère de
convergence est imposé en terme d’erreur relative pour les variables U, V, P et et en terme de résidu
de masse. Les calculs sont stoppés pour une erreur relative inférieure à 10-3
et un résidu de mase
inférieur à 10-5
. Le code de calcul est validé par rapport à deux cas limites [11-12] sans milieu poreux
avec les mêmes conditions aux limites du présent travail. Le cas complètement fluide est décrit par les
équations (1) à (4) en prenant le nombre de Darcy (Da) infini et une porosité unité. Les résultats
obtenus par le présent code et ceux des auteurs des références [11-12] sont en bonne concordance
comme le montre le tableau 2.
Maillage Nub
42×42 19.73427
62×62 19.73536
82×82 19.75472
100×100 19.92057
Tableau 1 : Sensibilité au maillage pour710Gr , ,0
4
2
3
1 10,10 DaDa
Ra Nub [11] Nub [12] Nub [présent code]
103
1.108 1.118 1.118
104
2.201 2.243 2.247
105
4.430 4.519 4.528
106
8.754 8.799 8.869
Tableau 2 : Comparaison des résultats du présent code avec ceux de la littérature [11-12]
4. RESULTATS ET DISCUSSION
Vu le nombre de paramètres qui ont découlé de la mise sous forme adimensionnelle des équations de
conservation, quelques uns ont été fixés. A cet effet, la porosité , le coefficient inertiel CF, le nombre
de Prandtl Pr et le rapport de conductivités thermiques prennent les valeurs respectives 0.8, 0.55, 1, 1,
alors que les autres paramètres sillonnent la plage suivante : 0°≤≤70°, 76 1010 Gr , 34 1010 iDa .
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4.1 Lignes de courant et isothermes
L’allure des lignes de courant et des isothermes est présentée dans les figures 2 à 4.
17
max
22
max
25
max
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0 30 70
Figure 2a : représentation des lignes de courant pour 710Gr ,
4
2
3
1 10,10 DaDa
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0 30 70
Figure 2b : représentation des isothermes pour 710Gr ,
4
2
3
1 10,10 DaDa
270 Y. Ould-Amer
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17max
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
a) Lignes de courant b) Isothermes
Figure 3 : Représentation des lignes de courant et des isothermes pour 6105Gr , ,10,10 4
2
3
1
DaDa
30
17
max
22
max
25
max
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
a) Lignes de courant
0 30 70
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0 30 70
b) Isothermes
Figure 4 : représentation des lignes de courant et des isothermes pour 710Gr ,
3
2
4
1 10,10 DaDa
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Lorsque la couche 1 est plus perméable que la couche 2, pour 0 , on assiste à un régime cellulaire
mais non concentrique et non elliptique tel qu’il est présentée dans la figure 2a. A l’interface séparant
les deux couches, les lignes de courant sont déformées sur une partie seulement. En inclinant la cavité,
les lignes de courant sont plus déformées plus particulièrement à l’interface séparant les deux couches
poreuses. Pour des inclinaisons plus grandes, la cellule convective se concentre dans la première
couche comme le montre la figure 2a pour l’inclinaison 70 . max
représente la valeur maximale
de la fonction de courant adimensionnelle dans la couche la plus perméable. Elle mesure l’intensité de
la convection naturelle dans la couche ayant la plus grande perméabilité. max
augmente avec
l’augmentation de l’angle d’inclinaison. Les isothermes sont présentées dans la figure 2b. On assiste à
un développement de couches limites près des parois verticales. En effet, les isothermes sont
resserrées indiquant un gradient de température important. La stratification des isothermes présente
pour 0 , est perdue quand la cavité est inclinée, à ce propos les isothermes sont très affectées par
l’inclinaison, une déformation très importante se produit. Ces constations sont valables pour toute la
gamme considérée du nombre de Grashoff, à titre d’exemple la figure 3. Quand maintenant la couche
2 est prise plus perméable que la couche 1, la figure 4 montre que les constations précédentes sont
valables pour les lignes de courant et les isothermes. Dans la couche poreuse présentant la plus grande
perméabilité, la résistance à l’écoulement est moindre comparée à l’autre couche. A cet effet, la
circulation du fluide est plus accélérée dans cette couche. Dans ce cas, la convection est plus
importante que la résistance à l’écoulement. Cette situation favorise ainsi la concentration de la cellule
convective dans la couche la plus perméable.
4.2 Champ du vecteur vitesse
Le champ du vecteur vitesse indique non seulement le sens de rotation du fluide dans la cavité
poreuse, mais, il montre aussi les zones où l’écoulement est accéléré ou décéléré. La figure 5 est jointe
à cet effet. Sur la face gauche de la cavité, un mouvement ascendant (chauffage) a lieu suivi d’un
écoulement horizontal dans la direction x. Sur la face droite, le fluide est refroidi menant à un
mouvement descendant. Pour 70 , le mouvement descendant se produit déjà à l’interface
séparant les deux couches poreuses.
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
X
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Y
0
70
Figure 5 : représentation du champ de vecteur vitesse pour 710Gr ,
4
2
3
1 10,10 DaDa
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4.3 Nombre de Nusselt moyen
Le transfert de chaleur quantifié en terme du nombre de Nusselt moyen à travers la paroi chaude (ou la
paroi froide) est présentée dans la figure 3. Pour un nombre de Grashoff fixé, le nombre de Nusselt
croit en fonction de l’angle d’inclinaison jusqu’à une valeur maximale puis décroit. Il en découle de
cela qu’il existe une valeur optimale de pour laquelle le transfert de chaleur est maximal. Cette
valeur est pratiquement égale à 30°.
Le fait qu’il y est un optimal peut être expliqué par la présence du terme de poussée dans l’équation du
mouvement projetée dans les deux directions. Pour 0 , le terme moteur est absent dans l’équation
du mouvement projetée par rapport à la direction x, c’est la vitesse transversale qui joue un rôle
important dans le transfert. En inclinant la cavité, le terme de poussée se manifeste dans les deux
directions, favorisant ainsi un écoulement dans les deux directions, entraînant ainsi l’augmentation du
transfert de chaleur en fonction de jusqu’à une valeur optimale. Au-delà de cette valeur, le transfert
diminue; en effet, le terme de poussée dans la direction y ne fait que diminuer dans ce cas.
0 10 20 30 40 50 60 706
10
14
18
22
Da1=10
-4, Da
2=10
-3
Da1=10
-3, Da
2=10
-4
106
5x106
Gr =107
Nub
Figure 6 : variation du nombre de Nusselt moyen
5. CONCLUSION
Le travail que nous avons présenté concerne l’étude de l’effet de l’angle d’inclinaison (angle
mesuré par rapport au plan horizontal) sur la convection naturelle dans une cavité contenant deux
couches poreuses verticales de perméabilités différentes, celles – ci sont saturées par le même fluide.
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L’influence du nombre de Grashoff (Gr), des perméabilités des deux couches (Da1 et Da2), ainsi que
l’angle d’inclinaison sur le nombre de Nusselt moyen et les profiles de lignes de courant et de
température a été présentée et discutée.
Les résultats numériques que nous avons obtenus montrent l’existence d’une valeur optimale de
l’angle d’inclinaison pour laquelle le transfert de chaleur est meilleur. Cette valeur est avoisine les 30°.
6. RÉFÉRENCES
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