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Estelle RIVOLLIER groupe O 1
Ecrit disciplinaire MATHEMATIQUES
L’addition posée en CE1
Année 2008/2009
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Sommaire
I- Introduction p.3
II- Présentation de la séquence p.3
III- Analyse professionnelle p.5
IV- Conclusion p.7
V- Annexes p.8
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I- Introduction
L’addition est la première opération apprise par les élèves. Les premières situations
additives sont rencontrées dès l’école maternelle. Les élèves apprennent à résoudre des
problèmes additifs simples. La compréhension de l’addition repose sur le principe de la
numération décimale. La rapidité d’exécution dépend de la connaissance des sommes de deux
nombres à un chiffre.
Dans le cadre de mon stage groupé 1 en classe de CP/CE1, j’ai abordé la notion de
l’addition posée avec les élèves de CE1.
Ainsi comment mettre en place une séquence autour de l’addition en colonnes avec des élèves
de CE1 ?
Dans un premier temps je présenterai la séquence avec ses diverses activités ; dans un second
temps j’analyserai les erreurs des élèves, les pistes de remédiation, et les acquis des élèves.
II- Présentation de la séquence
L’apprentissage des techniques de calcul et de l’addition garde une place importante car c’est
un savoir utile dans la vie courante. Cependant la place du calcul posé est en cours
d’évolution puisque certains calculs sont exécutés par la machine.
Toutefois il est essentiel de savoir poser une addition en colonnes. D’abord, les élèves
résolvent des problèmes additifs par comptage puis surcomptage. Ensuite, ils apprennent
l’écriture additive, les décompositions additives des nombres inférieurs à dix et les tables
d’addition. Enfin la séquence avant celle que je vais présenter reposait sur le calcul en ligne,
avec la décomposition des unités et des dizaines.
(Exemple : 23 + 45 = 20 + 3 + 40 + 5 = 60 + 8 = 68).
Ainsi, la séquence effectuée s’est constituée de cinq séances avec des réajustements
pour une meilleure compréhension de tous, de l’entraînement, des évaluations formatives et
une évaluation finale. Avant chaque séance, nous faisions du calcul mental qui reposait
surtout sur le calcul de somme de deux chiffres. Cet apprentissage repose sur la mémorisation
de résultats (des tables ou répertoires).
L’objectif principal était « maitriser la technique de l’addition en colonnes des nombres de
deux chiffres, avec ou sans retenue ».
Ensuite, les compétences visées étaient : être capable de positionner les chiffres, les unités
sous les unités, et les dizaines sous les dizaines ; prendre en compte les retenues et enfin
comprendre un problème.
La compétence de fin de cycle est la suivante : les élèves mémorisent et utilisent les tables
d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de
l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des
problèmes faisant intervenir ces opérations. Mais à la fin du cycle 2, seule la technique
opératoire de l’addition est exigible, qu’elle soit traitée en ligne ou en colonnes, la
présentation en colonnes n’étant qu’une organisation spatiale qui facilite le repérage des
chiffres de même rang. La technique doit être justifiée, notamment la retenue, en référence
aux connaissances sur la numération.
Pour aborder cet apprentissage, les pré-requis sont la compréhension du principe de
groupements par dix qui sous-tend la numération décimale de position, l’équivalence entre dix
unités et une dizaine, les tables d’addition : le calcul de deux nombres inférieurs à dix, et enfin
le calcul en ligne d’une somme de deux chiffres.
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Cette séquence s’appuie sur le manuel Pour comprendre les maths, Cycle 2 CE1,
Hachette.
Le calcul posé en colonne n’a d’intérêt que pour les nombres d’au moins deux chiffres car le
calcul à partir de l’écriture en ligne est aussi efficace et rapide que le calcul « en
étages »lorsque nous avons bien repérer le rang de chaque chiffre. Il serait absurde de
demander aux élèves de poser une opération qu’ils sont capables de résoudre mentalement.
Ainsi j’ai commencé cette séquence par une situation problème : un problème qui
nécessitait une addition en colonnes car les nombres étaient conséquents et entraînaient une
retenue. Les enfants ont lu le problème et ont tenté d’y répondre. Après cinq- dix minutes de
réflexion, une correction commune fut faite à partir des différentes procédures utilisées par les
élèves. Mais j’ai pu remarquer qu’ils ont privilégié le calcul en ligne. Les nombres ne leur ont
pas posé de difficulté, ils étaient sûrement trop petits. La situation n’était pas réellement une
situation problème qui aurait dû montrer qu’il était nécessaire de connaître une nouvelle
technique de calcul. J’ai donc insisté sur le fait qu’il existe une autre façon de calculer,
d’effectuer cette addition et un enfant, avec mon aide, a posé l’addition en colonnes. J’ai bien
souligné que cette nouvelle présentation est une réorganisation des calculs en ligne, elle est
plus économique sur le plan de l’écriture mathématiques, plus « compacte ». Puis nous avons
fait ensemble la partie recherche du fichier. Il y a deux phases dans le calcul, d’abord le calcul
en ligne et le calcul en colonnes. Les élèves observent la schématisation de l’opération puis
l’organisation du calcul. Il fallait pointer du doigt la constitution de la nouvelle dizaine (7 + 4)
et le positionnement de la retenue. A la suite, trois exercices s’en sont suivis afin de vérifier la
compréhension du sens et du mécanisme de la retenue.
Le manuel a pris le parti de commencer par des petits nombres pour éviter les difficultés
formelles, et permettre une progression dans les nombres et le nombre de lignes de calcul.
Voyant que les élèves rencontraient des difficultés à poser leur opération, j’ai rajouté une
séance d’entraînement avant de continuer le fichier. Il s’agissait d’effectuer des additions sur
leur cahier d’essais en précisant bien un chiffre par carreaux et les unités sous les unités et les
dizaines sous les dizaines. La correction fut collective afin que certains élèves passent au
tableau notamment ceux en difficulté. La séance d’après fût constituée d’ activités sur le
fichier alternant une phase recherche collective et une phase individuelle. Pendant la phase de
recherche, j’étais présente pour aider les élèves à remplir le bon de commande en expliquant
la situation et le vocabulaire spécifique. Cette phase a soulevé des problèmes de
positionnement des chiffres, les élèves devaient veiller à aligner correctement les chiffres de
la colonne « montant » pour faciliter le calcul du total. Les premières difficultés pour eux
étaient de prendre en compte qu’il fallait deux bobs et de placer convenablement le prix (un
chiffre). La deuxième tenait au calcul de la somme des unités qui dépassait vingt, la retenue
était donc 2. Pour éviter les erreurs j’aurais dû leur faire poser le calcul sur leur cahier d’essai
ou sur l’ardoise avant de remplir le bon de commande sur leur fichier. Les exercices ont
permis de vérifier la maîtrise du calcul posé et reprenaient les difficultés de pose et de calcul.
Pour s’entraîner encore à poser convenablement l’algorithme en colonne, les élèves ont
effectué d’autres additions comportant des nombres à un seul chiffre au cours des séances
suivantes ou lors de devoirs. Pour clore ces séances, les élèves ont fait une évaluation
formative reprenant les types d’exercices rencontrés dans le manuel et un problème travaillé
autour de la centaine.
Ainsi la séquence fut assez importante en séances afin qu’ils comprennent bien la
technique. Cependant l’addition posée engendre quelques difficultés.
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III- Analyse professionnelle
L’addition posée soulève un problème spécifique puisque le non-respect des colonnes
aboutit à une erreur du résultat. Les difficultés des élèves reposent sur le positionnement des
chiffres puis sur la question de la retenue.
La manière d’aligner les nombres est fortement influencée par le sens de l’écriture et
de lecture (de gauche à droite). En revanche, les défauts de présentation ont montré que les
élèves ne donnaient pas de signification exacte aux chiffres qui composent un nombre, par
exemple : « Pose et effectue l’addition suivante : 54 + 3 »
Un élève a produit : 54
+ 3
_____
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Il ajoute un chiffre des unités avec un chiffre des dizaines. Cela prouve que, pour lui, le
nombre est constitué d’une succession de chiffres que nous pouvons ajouter aux chiffres d’un
autre nombre sans que ces chiffres prennent une valeur différente selon leur position dans
l’écriture des nombres.
Pour remédier à la première difficulté, les erreurs dans la présentation des calculs, le
quadrillage est une grande aide pour les élèves. Cette réflexion se vérifie lorsqu’il faut
additionner plusieurs nombres dont un à un chiffre (voir les pages 38 du manuel, exercices 1
et 2). Il était judicieux de s’entraîner sur le cahier d’essais qui contient des carreaux. Sur le
tableau, je distinguais bien les unités des dizaines en les séparant d’un trait vertical et parfois
je faisais complètement un quadrillage. . Je n’hésitais pas également à indiquer les unités et
les dizaines sur le fichier. Je pense que ce fut bénéfique pour certains, cela se vérifie sur leurs
cahiers d’essais et sur leurs évaluations.
Ensuite, la seconde difficulté correspondait à la prise en compte de la retenue.
Plusieurs cas de figures sont à retenir. Certains élèves ne l’écrivent pas (voir annexe, première
page du fichier) et par conséquent l’oublie. Il reporte à chaque fois le chiffre de droite de son
résultat partiel (exemple : 28 + 15 = 33). D’autres la notent mais ne la comptent pas. Ici, le
report de la retenue est plutôt mécanique et n’a donc pour eux aucune signification. Cette
situation pourrait, mais je ne l’ai pas perçu dans ma classe, conduire ces élèves à noter des
retenues même si le calcul n’en génère pas. A l’inverse, j’ai observé que plusieurs élèves
indiquaient correctement la retenue au dessus des dizaines et la prenaient en compte. Mais
lorsque la somme des unités est supérieure à vingt (somme de plus de deux termes), ils
rencontraient d’autres problèmes : les élèves écrivaient un (une retenue) et comptabilisaient
en plus qu’une seule dizaine au lieu de deux dizaines. Ils prolongeaient la situation qu’ils
connaissaient pour les sommes de deux termes. (Voir annexe, fichier)
Une autre erreur fut remarquable, certains élèves faisaient également une confusion relative
au chiffre qu’ils devaient retenir. Ils notaient alors le chiffre des dizaines au résultat et
gardaient en retenue le chiffre des unités, par exemple : 2 6 7
+1 5
____
9 1
Ainsi pour éviter toutes ces erreurs, je soulignais bien la nécessité d’entourer la
retenue. Lors de la correction collective d’exercices, certains enfants venaient au tableau
résoudre le calcul. L’addition des unités se faisaient à haute voix pour préciser le nombre de
dizaines à indiquer en retenue. La retenue était écrite et entourée en rouge. Il était nécessaire
que les élèves apprennent un récitatif.
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Par exemple, 1 28 Pour la colonne des unités, les élèves doivent se dire : 8 et 5 font 13. Je pose 3 et je retiens 1
+ 45 Pour la colonne des dizaines, nous disons : 4 et 2 font 6. Puis 6 et 1 de retenue font 7.
_____
73
Ensuite, j’aidé les élèves en rattachant la présentation des calculs en ligne à celle en
colonne pour donner du sens au 1 (ou 2) en retenue. Ce « 1 » désigne la dizaine
supplémentaire à laquelle nous sommes arrivés en décomposant 13 en 10 + 3. Je décomposais
les nombres à chaque fois ce qui renforce la compréhension du récitatif.
Au regard des évaluations faites en fin de stage, nous remarquons que le premier
exercice (voir Annexes) ne semble poser aucun souci de positionnement, il est très guidé. Or,
l’évaluation de Maëlle est très curieuse, notamment dans les deux premières additions ; le
positionnement des chiffres est vertical, 54 est posé en colonne, elle rajoute une retenue alors
que nous n’en attendons pas mais elle ne la prend pas en compte, le résultat de la première
addition est cependant correct ; pour la deuxième opération, elle procède de la même façon
l’addition des unités est juste, puis pour les dizaines elle pose bien « 1 » puisque 6 + 5 = 11
mais aucune retenue n’apparaît ; pour la troisième opération, elle ne peut plus procéder de la
même manière puisqu’il y a trois nombres. Cette élève ne distingue pas les unités des
dizaines, elle ne prend pas en compte la retenue. Ces erreurs topologiques conduisent à un
mélange des unités et des dizaines. Par la suite, nous percevons que les additions sont
effectuées en lignes. Est-ce qu’elle ne maîtrise pas l’addition en colonnes ou bien est-ce
qu’elle n’a pas relu la consigne et fait le calcul avec la manière qu’elle pense avoir acquise ?
Néanmoins les résultats sont erronés. Enfin, dans le dernier exercice (56 + 20 + 20 = 69)
Maëlle a additionné les dizaines (9 dizaines) mais au résultat le 9 apparaît au rang des unités,
elle a inversé le positionnement des unités et des dizaines. Par ailleurs Arthur n’a pas perçu la
disposition de l’addition, notamment le résultat sous la barre, à côté du signe égal, or mon
évaluation était progressive, étayage fort pour le premier exercice. Ce dernier retrace la barre
systématiquement au premier exercice. Quant au suivant, le positionnement des nombres est
plus délicat pour Arthur mais d’autres élèves se sont appropriés une technique efficace qui
distingue les unités des dizaines, séparation nette par un trait vertical. Ce procédé est repris
pour le problème et permet d’obtenir la réponse attendue. Cependant, la phrase- réponse du
problème est peu présente. Ceci est à consolider car dans tout problème, un calcul et une
phrase réponse sont attendus. En ce qui concerne les retenues, elles sont notées
convenablement, entourées ou pas, puisqu’il n’y pas de centaines mais elles sont parfois
décalées vers la gauche (observable aussi dans les exercices du fichier, placées au niveau des
centaines). La disposition des retenues est un point non négligeable pour la suite de la
séquence afin d’éviter la confusion dans les retenues entre dizaines et centaines.
J’ai omis toutefois dans cette évaluation le cas où il faut additionner un nombre à deux
chiffres à un nombre à un chiffre. Il aurait été judicieux de le proposer dans le problème pour
vérifier le positionnement des nombres à un chiffre.
En définitive la plupart des élèves ont bien compris l’addition posée en « étages », il
reste pour un nombre restreint quelque souci dans l’organisation, dans le positionnement (Cf.
évaluation d’Arthur mais cela reste un moindre mal). Tandis que pour Maëlle, un gros travail
est encore à accomplir, revoir le système décimal, le positionnement des chiffres dans un
calcul en colonnes et les tables d’additions. Les élèves ont acquis une technique opératoire à
consolider et à complexifier. Malheureusement je ne pus me pencher sur les difficultés
soulevées au regard de cette évaluation, surtout celles de Maëlle. Je dois réfléchir à d’autres
solutions pour le positionnement des chiffres.
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Ensuite, un manque à ma pratique repose sur les synthèses, aux clôtures de séances.
Les synthèses doivent être construites avec les élèves par rapport aux apprentissages du jour,
or le travail sur fichier m’a un peu bloquée pour ce travail. Nous n’avons pas fait de
correction collective, chacun avance à son rythme et je devais également m’occuper des CP.
Ainsi il n’y avait pas forcément de synthèse à chaque fin de séance, « qu’avons-nous appris
aujourd’hui en mathématiques ? ». Par ailleurs, j’ai fait deux synthèses sur cette notion
« comment bien aligner les nombres pour calculer en colonnes ? » et une leçon sur les
retenues par rapport aux exercices d’entraînement sur le cahier d’essais. Ces synthèses ne sont
pas forcément suffisantes pour palier les difficultés de compréhension du système décimal.
IV- Conclusion En conclusion, cette séquence n’est pas tout à fait achevée puisque nous avons abordé
la somme de nombres à deux chiffres. A la fin du CE1, les élèves connaissent les nombres
inférieurs à 1000 et doivent être capables d’additionner des nombres à trois chiffres. Puis
l’apprentissage de cette technique sera poursuivi au cycle 3 en l’étendant à des nombres de
plus en plus grands. Ainsi, dans le prolongement des apprentissages, nous avons étudié le
passage de 99 à la centaine et la décomposition d’un nombre en unités, en dizaines et en
centaines à travers de la manipulation et des exercices. A la suite de ceci, les élèves
poursuivront l’acquisition de la technique de l’addition en colonnes. Il s’agit toutefois d’axer
la conception des séances sur le positionnement des chiffres et la signification des retenues et
la compréhension du système de numération.
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ANNEXES
1) Pages du fichier
2) Evaluation de Maëlle
3) Evaluation d’Arthur
4) Evaluation de Lucas
5) Fiche de préparation
6) Fiche de séquence
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Titre de la séance: découverte Niveau : CE1
Titre de la séquence : l’addition posée en colonnes
Séance n° 1
Domaine : mathématiques Date : 27/11/08 Durée : 45min
Objectifs :
Comprendre la technique de l’addition en colonne de nombres à deux chiffres.
Compétences développées :
Etre capable de comprendre un problème et trouver l’opération correspondante.
Savoir calculer une addition
Connaître une nouvelle façon de poser une addition et comprendre la notion de retenue.
Consigne :
- « Vous allez réfléchir et essayer de faire ce
problème. »
- « Maintenant vous allez sortir votre fichier de
mathématiques et vous pencher sur la piste de
recherche. »
Déroulement :
- Recherche :
Problème au tableau (évaluation diagnostique).
Recherche individuelle sur ardoise.
- Mise en commun :
Les élèves viennent au tableau écrire leur
opération.
Différentes procédures sont analysées, validées par
le groupe. Observation de la nouvelle technique
opératoire. Si aucun élève ne la présente :
l’introduire « il existe une autre façon de
calculer… »
- Fichier :
La piste de recherche est faite collectivement,
reprise du problème fait précédemment, le
problème doit être fait rapidement.
Exercices : expliciter les consignes
5 additions à calculer : trouver le résultat
4 additions à poser (aide du quadrillage)
Exercice de géométrie.
Si certains élèves ont fini plus tôt : lecture d’un
quotidien.
La correction se fait individuellement.
Durée
5min
5-
10min
10min
10-
15min
Dispositif social
16 élèves
Individuel
Enseignante
passe dans les
rangs pour voir
les procédures
des élèves.
Collectif
Collectif
Individuel
Enseignante
passe dans les
rangs, aide et
corrige.
Matériel
Tableau
ardoise
Tableau
Fichier p.37
Analyse, bilan : La plupart des élèves ont effectué le problème en posant l’addition en ligne ; peut être que les nombres n’étaient
pas assez importants pour que ce soit une vraie situation-problème.
Positionnement des chiffres !!!! solution : quadrillage, séparer distinctement les unités et les dizaines
Oubli de la retenue : à revoir, bien l’entourer, en rouge.
Vocabulaire : unités, dizaines, addition en colonne
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Fiche de préparation de séquence Cycle : 2 Domaine : Mathématiques Nombre de séances : 8
Compétences de fin de cycle : calculer : addition,
soustraction et multiplication.
Objectif : maîtriser la technique opératoire de
l’addition en colonnes.
Séances 1
Le 27 /11/08
Découverte
2
Le 28/11/08
Entraînement
3
Le 1/12/08
Complexification
4
Le 4/12/08
Entraînement
5
Le 5/12/08
Entraînement
6
Complexification
7
Entraînement
Compétences -Comprendre un
problème
-Utiliser la technique
(avec ou sans
retenue)
-Utiliser la technique
(avec ou sans retenue)
- Utiliser la technique
opératoire de
l’addition à 2 chiffres
(avec retenue)
-Utiliser la technique
opératoire de
l’addition à 2 chiffres
(avec retenue)
-Savoir poser une
addition (2 ou 3
lignes) à 2 chiffres
-Savoir poser une
addition (2 ou 3
lignes) à 3 chiffres.
-Savoir poser
une addition (2
ou 3 lignes) à 3
chiffres.
Compétences -Addition en ligne,
complément à 10
-comprendre le
positionnement des
chiffres (unités,
dizaines)
-Addition en ligne,
complément à 10
-comprendre le
positionnement des
chiffres (unités,
dizaines)
-Addition en ligne,
complément à 10
-comprendre le
positionnement des
chiffres (unités,
dizaines)
-Addition en ligne,
complément à 10
-comprendre le
positionnement des
chiffres (unités,
dizaines)
- Savoir la position
des chiffres (unités,
dizaines)
- Savoir positionner
des chiffres (unités,
dizaines et centaines)
- Savoir
positionner des
chiffres (unités,
dizaines et
centaines)
Matériel Fichier p. 37 Cahier d’essai, cahier
de mathématiques
Fichier p.38 Cahier d’essai, cahier
de mathématiques
Cahier d’essai, cahier
de mathématiques
Fichier p. 56 Fichier p. 57
Tâches de
l’élève
-Rechercher un
problème
-Calculer, poser.
Calculer, poser. Rechercher, poser,
calculer, résoudre le
problème
Appliquer une
technique opératoire
Appliquer une
technique opératoire
Rechercher, résoudre,
Compléter les
additions à trous
Rechercher,
résoudre,
calculer
mentalement.
Observation Difficulté à poser
correctement
l’addition, habitude
de poser en ligne.
Besoin d’un
quadrillage.
Bonne application. Difficulté lorsqu’il y
a 2dizaines en
retenues,
Additionner lorsqu’il
y a 3 lignes
Compréhension des
retenues.
Amélioration du
positionnement des
chiffres.
Séance 8 : Evaluation (12/12/08) : savoir effectuer une addition à trois chiffres en colonnes, savoir résoudre un problème.
Séances intermédiaires entre la 5ème et la 6ème
séance (non réalisée) : la centaine : connaître le nombre 100 et ses écritures ; les nombres jusqu’à 999 : écrire les nombres à 3 chiffres et connaître la
décomposition canonique des nombres à 3 chiffres.