Gomtrie et analyse sur lespace desmetriques plates singulires des surfacesUne compactification de lespace de Teichmller

Vincent Alberge (IRMA)sous la direction de A. Papadopoulos (IRMA) et K. Ohshika (Osaka)JOURNE POSTER DE LCOLE DOCTORALE DE STRASBOURG, 10 OCTOBRE 2013

Contact :IRMA7 rue Ren Descartes, P-113F-67084 StrasbourgTel : +33 3 68 85 02 85Email : alberge@math.unistra.fr

IntroductionOn dit quune surface S est de type (g, n, b), si S est une surface

obtenue en enlevant n points de lintrieur dune surface compactede genre g avec b composantes de bords. On tudiera les diffrentesstructures conformes (ou de surface de Riemann) que lon peut dfi-nir sur une telle surface. Cela nous emmnera ltude de lespace deTeichmller. Il est connu depuis longtemps quun tel espace peut tremuni dune structure despace mtrique complet et uniquement god-sique (voir (2)). On verra laide de la longueur extrmale, que lonpeut dfinir une compactification de cet espace. Cest dire trouver unautre espace compact dans lequel ce dernier est un sous espace dense.Une telle construction est donne par (5).

FIGURE 1 La figure de gauche reprsente une surface de type (2, 4) et celle dedroite une surface de type (3, 5, 2).

Il est naturel dessayer de comparer cette compactification avec celledite de Thurston. Cette dernire, o lon remplace la longueur extr-male par la longueur hyperbolique dans (4) et (5), nest autre quelunion disjointe de lespace de Teichmller avec le projectivis delespace des feuilletages mesurs PMF := MF {0} /R>0 (voir[3], Expos 8).

Longueur extrmaleSoient X une surface de Riemann et X une famille de courbes

de longueurs finies.On appelle mtrique conforme, la donne locale de := (z) |dz|

avec L1loc (X) et 0. On note pour une telle mtriqueL () = inf

(z) |dz| et A =

X2.

Dfinition 1. On appelle longueur extrmale de sur X

ExtX () := sup

{L ()2

A| 0 < A 0.

A noter aussi un lien important entre la longueur extrmale et les dif-frentielles quadratiques. En effet ;

Thorme 4. [5] Soit S. Alors il existe une unique diffrentiellequadratique q sur X telle que

ExtX () = q .De plus cette diffrentielle quadratique a toutes ses feuilles verticalesrgulires homotopes .

Notons que pour une diffrentielle quadratique q,|q| dtermine une

mtrique plate singulire sur X .

Espace de TeichmllerFixons X0, une structure de surface de Riemann sur une surface de

type (g, n, 0) avec 2g 2 n > 0. On appelle surface marque, uncouple (Y, f ) o Y est une surface de Riemann et f : X0 Y une ap-plication quasiconforme. On dit que deux surfaces marques (Y1, f1)et (Y2, f2) sont quivalentes, si f2 f11 : Y1 Y2 est homotope une application holomorphe. On notera [Y, f ] la classe dquivalencede (Y, f ).

Dfinition 5. On appelle espace de Teichmller de X0, lensemble dessurfaces marques quotient par cette relation dquivalence. On notecet espace T (X0) ou encore Tg,n.

Cet espace est un espace mtrique complet et uniquement godsiquepour la mtrique dite de Teichmller dT . Cette distance est dfinie par

dT (x, y) :=12 log infh

Kh; (2)

o x = [X, f ], y = [Y, g] et h : Y X parcourt lensemble desapplications quasiconformes qui sont homotopes f g1.

Posons pour S = S (X0) et x = [X, f ],Extx () := ExtX (f ()) .

Par le Thorme 3, la longueur extrmale est bien dfinie sur Tg,n. Deplus, S. Kerckhoff a montr que la distance de Teichmller sexprimeen fonction de la longueur extrmale comme suit :

Thorme 6 ([6], Theorem 4). Soit (x, y) T (X0)T (X0). Alors

dT (x, y) =12 log supS

Exty ()Extx ()

. (3)

Afin de prouver ce thorme, il a montr en posant pour t 0,Extx (t) := t2 Extx () que la longueur extrmale stend continue-ment lespace des feuilletages mesursMF . On va maintenant voirque cette formule nous permet de dfinir une nouvelle compactificationde Tg,n.

Compactification de Gardiner et MasurOn dfinit

GM : y T (X0) 7(

Ext12y ()

)S RS0 (4)

etGM := p GM; (5)

o p : RS0 PRS0 dsigne la projection canonique et PRS0 :=RS0{0} /R>0. Notons T (X0)

GM = GM (T (X0)) et GMT (X0) :=T (X0)GMGM (T (X0)).Thorme 7 ([4], Theorem 6.1). GM est injective et GM (T (X0)) estrelativement compact.

On peut se demander sil est possible de comparer cette compactifi-cation avec celle de Thurston dont le bord est PMF . La rponse estdonne par les faits suivants.

Proprits 8. 1) PMF GMT (X0). De plus, linclusion est stricte sidim T (X0) 2.

2) Le groupe disomtrie Isom(T (X0), dT ) stend continuement GMT (X0).

3) T (X0)GM est un espace mtrisable.

PerspectivesOn ne sest intress ici, qu ltude des structures conformes sur des

surfaces de types finis sans bord. Une mme tude peut donc tre en-treprise pour les surfaces bords. Fixons X0, une surface de Riemannde type (g, n, b) (voir figure 1). Il est connu (voir [1]) que lespace deTeichmller Tg,n,b = T (X0) dune telle surface est encore un espacemtrique uniquement godsique pour la mtrique de Teichmller (d-finition identique (2)).

On noteA lensemble des classes dhomotopie (relativement au bord)darcs extrmits sur le bord. On note encore B lensemble desclasses dhomotopie de courbes fermes simples homotopes unecomposante de bord. Il a t montr dans [7] une formule qui gn-ralise (3).

Thorme 9 ([7], Theorem 3.3). Soit (x, y) T (X0)T (X0). AlorsdT (x, y) =

12 log supABS

Exty ()Extx ()

. (6)

La formule (6) permet de dfinir le plongement suivant :

GM : y T (X0) 7[(

Ext12y ()

)ABS

] PRABS0 .

De nombreuses questions restent ouvertes. En particulier1) Limage de ce plongement est-il relativement compact, comme dans

le cas sans bord ?2) Peut-t-on comparer le bord de GM (T (X0)) avec celui de Thurston ?3) GM (T (X0)) est-il homomorphe la compactification par les horo-

fonctions ?

Rfrences[1] William Abikoff. The real analytic theory of Teichmller space.

Lecture Notes in Mathematics. 820. Berlin-Heidelberg-New York :Springer-Verlag. VII, 144 p. DM 21.50 ; $ 12.70 , 1980.

[2] Lars V. Ahlfors and Arne Beurling. Conformal invariants.Construct. Appl. conformal maps, 243-245 (1952)., 1952.

[3] Albert Fathi, Franois Laudenbach, and Valentin Ponaru. Travauxde Thurston sur les surfaces. Asterisque, 66-67, 1979.

[4] Frederick P. Gardiner and Howard Masur. Extremal length geome-try of Teichmller space. Complex Variables, Theory Appl., 16(2-3) :209237, 1991.

[5] James A. Jenkins. On the existence of certain general extremal me-trics. Ann. Math. (2), 66 :440453, 1957.

[6] Steven P. Kerckhoff. The asymptotic geometry of Teichmllerspace. Topology, 19 :2341, 1980.

[7] Lixin Liu, Athanase Papadopoulos, Weixu Su, and Guillaume Th-ret. On length spectrum metrics and weak metrics on Teichmllerspaces of surfaces with boundary. Ann. Acad. Sci. Fenn., Math.,35(1) :255274, 2010.