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GRGS
Groupe de Recherches de Géodésie Spatiale
Ecole d’ été du GRGS« Détermination du champ de gravité terrestrepar les nouvelles missions spatiales »
Forcalquier, 2-6 Septembre 2002
Equations pour les mesuresgradiométriques (GOCE)
G. Balmino , CNES-GRGS
1
CE QUE MESURE UN GRADIOMETRE
Rappel (cf. cours de P. Touboul)
Psat
electext
P
electSP
RRR
mM
fF
m
PfUU
)SPω(ωSP)ω(SPωSPSP
.. )(
2 .... .
= 0 = 0
R
. Scentre de masse
P
Q
)( SPSPUUw SPP
wP
0
0
0
12
13
23
Un accéléromètre en P donne accès à :
2P U . SP . SP . SP .
De même, en Q :
*
*
wQ2
Q U . SQ . SQ . SQ .= _ _
= _ _.
.
Satellite
2
Fext (non gravi.)
force électrostatique exercée par le satellite sur la masse d'épreuve mP
On calcule et soustrait le "mode commun"
wQ - wP = [ 2S U - ( + 2) ] . [PQ]
U2
22
212313
3221
2312
312123
22
2
: sym.
: sym.
: anti-sym.
.
.
22)(2
1 UT
)(2
1 T
t
t
T d0
)(2/10
3
+ autres données d'attitude (senseurs stellaires)
LES DIFFERENTES CONTRIBUTIONS A 2U
- POTENTIEL DU CORPS CENTRAL (TERRE)
Partie statique (« moyenne ») Variations temporelles : 1. marées terrestres 2. marées océaniques
3. pression atmospérique 4. humidité des sols,
enneigement, ...
- POTENTIELS « 3.ème - CORPS »Satellite(s) naturel(s) : LuneSoleilPlanètes
4
),,(
),(
ruK
YKr
R
r
GMU
lmm
lm
mlmlm
l
l
CORPS CENTRAL
x1
x2
x3
X2
X3
X1
S.
(R)(r)
(R )
()
(r) = {xi } : fixe/corps(R)= {Xi} : repère du gradiomètre
X1 : ~ vecteur vitesse X2 : ~ normal , X3 : ~ radial
En S
0
0l
lUUU
rGMU /0
• Les mesures sont faites dans (R) : U ”ij = 2U / Xi Xj
• On ne mesure pas (bien) tout le tenseur 2U = (U ”ij ) !Pour GOCE : U ”11 , U ”22 , U ”33 (et peut-être U ”13 )
Autres termes pas assez précis(erreurs sur , , ...)
.
(r,,) / (r)
5
Klm ,Ylmnorm.
Les signatures du potentiel gravitationnel terrestre dans U”ij
= X1= X2 = X3
Si mesures parfaites : une seule composante suffit En présence d ’erreurs de mesures : plusieurs composantes nécessaires
Par rapport aux W ”ij d ’un ellipsoide de référence dynamique
U”ij -W ”ij (Eötvös)
6
(cf. planche 5 )
Si X = M x , avec M T = M -1
on a : ( U )(R) = M ( U )(r)
( 2U )(R) = M ( 2U )(r) M T
il faut écrire l ’équation d ’observation dans ( R )
Dans ( R ) : U”ij(obs) - U”ij(calc) = lm (U”ij / Klm)(R) Klm
= lm [ kn Mik (U”kn / Klm)(r) Mjn ] Klm
2 ulm
xk xn
=
7
Principe du calcul des 2 ulm / xk xn
Formalisme : non singulier aux pôles (et aussi précis)stable (précis) , (l,m) ; (l,m : grands, ~300 à 1000)rapide récurrences
Bases : Ylm (,) = Plm(sin ) e i m
k = xk / r , = 1 , = 2
+ i = cos e i
récurrences pour m , m et dérivées /
Relations de récurrence sur les polynômes d ’Helmholtz
Hlm et leurs dérivées,
avec : Plm(sin ) = cosm . Hlm (sin )
(sous forme normalisée) cf. cours de J.C. Marty , R. Biancale
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N.B. 1. ( 2U0 )(R) peut être traité à part
On a directement 2U0, ij = GM ( 3 xij / r 2 - ij ) / r 3
2. 2U est symétrique
3. U est harmonique à l ’extérieur des masses
vérifie l ’équation de Laplace
4. U”ij est (également) calculé dans les équations aux variations
0'' i
iiU
5 composantes indépendantes
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VARIATIONS TEMPORELLES
1. Marées terrestres
Modèle de Terre
Elastique : sphérique kl
: ellipsoidale klm(0,)
Anélastique ellipsoidale klm(0,) C
nombres de Love
Corrections aux Klm statiques :
*
**1
*
*0
1 ),(~
12 lm
l
T
lmlm Y
r
R
GM
GM
l
kK
+ termes indirects sur K4m : f (k+2m ) …………..( ellipticité)
(i)
(ii) termes correctifs dépendant de la fréquence (temporelle)
lmK2 : cf. ”Standards” IERS ; Cours de J.C. Marty Cours de J.M. Lemoine, G. Ramilien
.
conj.
dans (r)
lmlmlm KKK 21
10
VARIATIONS TEMPORELLES (suite)
Autres effets
masse en surface
masse volumique
h , , ... = densitéde surface
2. marées océaniques pour chaque onde :
h = {hlm} lm = océan . hlm
3. pression atmosphérique
p = {plm} lm = plm / g
Terre sphérique
pesanteur
moyenne g
= {lm}
4. humidité des sols, enneigement, ...
= {lm} : hauteur de matériau
equiv. eau= {lm} lm = eau . lm ~ ~
ll
mllmlm
l
UYlr
RR
r
GU
,
2 ),(12
14
Attention !déformation
ll Uk '...nombres de Love de charge
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VARIATIONS TEMPORELLES (fin)
Donc, si l ’on écrit :
mllmlm
l
YKr
R
r
GMU
,
),(
alors :
lml
lm l
k
M
RK
12
'14 2
G
gRM
2
lml
lm l
k
g
GK
12
'14
déterminables(éventuellement)
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CONTRIBUTIONS DE TYPE 3.ème CORPS
P*
LuneSoleilPlanètes
.
.S
P*
O
r
r*
*
*
).1
(3*
*
***
PS
r
rrGMU
Dans le repère lié au corps, ou tout autre repère :
)( ixr )( **
ixr
ijjjiiij xxxxGM
U
2***3*
*''* /)()(3
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FILTRAGE DES EQUATIONS GRADIOMETRIQUES
Problème : la précision des mesures de gradients de gravité par micro-accélérométrie différentielle, dépend de la fréquence
(cf. Cours de P. Touboul)
(i) Espérer étendre la précision à toutes les fréquences nécessaires par paramétrisation supplémentaire (en particulier à basse fréquence, en faisant confiance au SST-GPS , et/ou à l'aide d'un "très bon" modèle de
référence à grandes longueurs d'ondes - par ex. issude GRACE ...)
ou (ii) Filtrer les mesures (... et aussi les équations d ’observation) pour ne garder l ’information que
dans la bande de fréquence ad ’hoc
Pour GOCE , la précision est max. (et ~ constante) entre 0.005 et 0.1 Hz
1500 km - 75 km
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Spécificationinitiale :
3 mE/Hz entre0.005 et 0.1 Hz(pour L = 0.5 m)
Performancesprédites (à partird ’analyses et de tests)
(200 s) (10 s)
GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre
gg=2 g / L
~1/ f
PSD : Power Spectral Density = densité spectrale de puissance du bruit ()= {f.a.c.( ) }
transformée de Fourier
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FILTRAGE DES EQUATIONS GRADIOMETRIQUES(aperçu et fin)
Equations d'observation initiales Ax = bcov ( b) = = cov ()
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Soit F : filtre (opérateur linéaire) appliqué aux observations, et aux quantités théoriques et vecteurs colonnes de A
b = F bA= F A
Ax = bcov ( b) = = E( b bT) = F FT
:= -1{PSD ()} : ses éléments sont fonction de l' intervalle de temps
entre deux mesures, et de
Soit R le facteur de Cholesky de , i.e. = RT R
si l'on prend F = (R -1)T alors : = Id .
voir cours de G. Métris
F I N
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