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ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation 2013-2014L.G.1

OptimisationOptimisation

Jean-Louis Coulomb - Laurent Gerbaud

Année 2013-2014

ENSE3 – filière SEM2 - filière IEEENSE3 – filière SEM2 - filière IEE

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Objectif du cours

- Intérêt de l’optimisation

- Les algorithmes d’optimisation

- Les plans d’expériences

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Le processus de conception

Vérification expérimentale

Analyse : calcul numérique(Simulation)

Cahier des charges

Choix de la structure

Dimensionnement

Modèles analytiquesou numériques

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Paramètres individuels

Paramètres influençant la conception

Aide à la conception =>Optimisation automatique avec simulation du comportement par des méthodes numériques

ProcessusDe

Conception

Formulation du problème

Informations disponibles

Outils disponibles

Environnement de travail

Temps disponible

Organisation de l’entreprise

Décisions externes

Connaissances scientifiques

Connaissances opérationnelles

Compétence et motivation

Emotions

Manière personnelle de penser et d’agir

Paramètres externes

Jean-Louis Coulomb

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Description du problème direct

Analyse, calcul, simulation

ModèleSorties ?Entrée

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Modèle de dimensionnement

- Numérique- mise en œuvre pouvant être très aisée- développement souvent facile- calcul pouvant être lourds

- Semi-analytique

- Analytique- construit par analyse- connaissance requise pouvant être important- mise en œuvre pouvant être longue- souvent rapide voir dérivable

- Alternative : plans d’expériences

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Gem = pi/(2*lambda)*(1-Kf)*sqrt(kr*beta*Ech*E) *pow(D,2)*(D+E)*BeEch=A*JcuA=kr*E*JcuKf = 1.5*p*beta*(e+E)/DBe=(2*la*M)/(D*log((D+2*E)/(D-2*(la+e)))C=pi*beta*Be*D/(4*p*Bfer)p=pi*D/deltaPVu=pi*D/lambda*(D+E-e-la)*(2*C+E+e+la)Va=pi*beta*la*D/lambda*(D-2*e-la)Pj=pi*rhoCu*D/lambda*(D+E)*Echlambda=D/LFobj = cva*Va+cvu*Vu+cpj*Pj

Rotor

Aimant

EntreferStator

Bobinage

Exemple du dimensionnement d’une machine à aimants permanents

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Description du problème inverse

ModèleSortiesEntrée ?

Problème inverse

{Critères fixes}

{jeu de valeurs d ’entrée}1



{jeu de valeurs d ’entrée}n

…………………………...

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Optimisation sans contraintes

Optimisation avec contraintes

Optimisation à objectifs multiples

Minimiser f(X)

iMiim xxx nRSXni ,...,1 nxxX ,...,1

Minimiser f(X)

0)( Xgj

nRSX sous les contraintes

mj ,...,1

Minimiser

0)( Xgj

nRSX sous les contraintes

mj ,...,1

)(

...

)(

)(1

Xf

Xf

XF

l

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Principe de base de l’optimisation : méthode d’essai et erreur

Choix Paramètres

Détermination Performances

Performances Acceptables ?

non

oui

Ce qui caractérise une méthode d’optimisation :

· Comment choisir les nouvelles valeurs des paramètres ?

· Comment arrêter le processus de recherche

Jean-Louis Coulomb

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Une session de dimensionnement

Optimisation Résultat

Contraintes par utilisateur

Initialisation après l'analyse (étape 3)

Restrictions et relaxationsdes contraintes

Problème de la prise en compte des aspects discrets

Analyse de sensibilité

(si algorithme avec gradients)

Contraintes fixes

Cahier des charges

Contraintes sur un intervalle

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Les méthodes d’optimisations

Deux familles de méthodes d’optimisation

Les méthodes déterministes

· A contexte initial donné conduisent à la même solution finale.

· Nécessitent peu d’évaluations de la fonction à optimiser.

· Mais peuvent se bloquer sur un optimum local

Les méthodes non déterministes (stochastiques)

· A contexte initial donné peuvent conduire à des solutions différentes.

· Nécessitent beaucoup d’évaluations de la fonction.

· Possèdent la capacité de trouver l’optimum global.

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Les algorithmes déterministes

Les méthodes directesutilisation uniquement de la fonction objectif

Branch and bound

algorithmes heuristiquesex : Hooke and Jeeves, Rosenbrock

algorithmes à bases théoriquesex : Powell

Les méthodes indirectesutilisation du calcul du gradient de la fonctionex :

méthode de Cauchy ou de la plus grande penteméthode de Newtonminimisation séquentielle quadratiqueméthode du gradient conjugué ou de quasi-Newton

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Les différentes méthodes d’optimisation

Méthodes primitives

algorithmes stochastiques

Monté-Carlorecuit-simuléalgorithme génétiqueméthode taboucolonie de fourmis

algorithmes d’énumération implicitealgorithme de séparation et évaluation (branch and bound)réseaux de neurones

Méthodes convergentes

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· La méthode des gradients : Minimum recherché dans la direction de la plus grande pente.

· La méthode Monte Carlo : Évaluation en un grand nombre de points choisis aléatoirement.

· Les méthodes hybrides : On peut par exemple utiliser la méthode des gradients en partant

d’un grand nombre de points choisis aléatoirement. On peut ainsi espérer déterminer au fur et

à mesure tous les optima locaux de la fonction.

· Le recuit simulé : On effectue des déplacements aléatoires à partir d’un point initial. Si un

déplacement mène à une meilleure valeur de la fonction f, il est accepté. Sinon, il est accepté

avec un probabilité :

où est la variation de la fonction, T est assimilé à une température qui décroît au cours du temps et k est une constante.

· Les Algorithmes Évolutionnaires : Le principe est de simuler l’évolution d’une population

d’individus auxquels on applique différents opérateurs génétiques et que l’on soumet à chaque

génération à une sélection.

Quelques méthodes en bref

kT

f

ep

f

Jean-Louis Coulomb

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· Exploration : les méthodes Monte Carlo permettent une bonne exploration

de l’espace puisque tout point a une probabilité identique d’être atteint, mais il

n’y a pas d’exploitation des résultats déjà obtenus.

· Exploitation : Avec la méthode des gradients, l’exploration est moindre,

mais l’exploitation des données précédentes par l’intermédiaire des gradients

permet une bonne recherche locale.

· Compromis Exploration/Exploitation : Les Algorithmes Évolutionnaires

offrent un bon compromis entre exploration et exploitation.

Compromis exploration et exploitation

Jean-Louis Coulomb

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Optimisation sous contraintes

Le modèle requis par un algorithme de type gradient :

Pi {i=1,n}

Cj, {j=1,m}

FobjModel

PiCj

FobjModèle

jmaxn21jjmin C),...pp,(pCC

ifixedi PP

),...pp,F(pFobj n21

idP

dFobj

i

j

dP

dC

Le modèle de dimensionnement :

Le problème d ’optimisation :

jfixedn21j C),...pp,(pC

imaxiimin PPP

or

orPi {i=1,n}

Cj,

{j=1,m}

Fobj

ModeldPi {i=1,n}

dFobj

dCj,

{j=1,m}

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L’obtention des gradients en numériques

Différences finies

Différentielles finies

pas

norme

xxxfnorme

pasdxx

norme

pasdxx

norme

pasdxxf

xxxdf

Lim ni

nn

ii

ni

pas

.

)),....,,....(

).

,....,.

,.....

((

),....,,....(

1

11

1

0

n

i

xnorme1

21

i

niniipas

i

ni

pas

xxxfxpasxxfLim

x

xxxfi

)),....,,....(),....,,....((),....,,....( 110

1

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Méthodes déterministes sans contraintes

Jean-Louis Coulomb

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Méthodes déterministes avec contraintesMéthode des pénalités

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ENSE3/SEM2/IEE : Optimisation 2013-2014L.G.22 Jean-Louis Coulomb

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Démo

)2030)5.0(2030)5.0((01.0),( 2424 yyyxxxyxf

Jean-Louis Coulomb

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· Les Algorithmes Évolutionnaires sont inspirés du concept de sélection

naturelle élaboré par Charles Darwin (The Origin of Species, 1859).

· Les lois de variation, croisements et mutations, sont empruntées à

Mendel et à la génétique moderne.

· Le vocabulaire est calqué sur celui de l’évolution et de la génétique

• Individus (solutions potentielles),

• Population,

• Gènes (variables),

• Chromosomes,

• Parents,

• Croisement,

• Mutations,

•….

Idée des Algorithmes Évolutionnaires

Jean-Louis Coulomb

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· La sélection naturelle à fait ses preuves dans le monde vivant.

· L’apparition d’espèces distinctes se fait par la sélection naturelle de variations individuelles.

· C’est la lutte pour la vie, due à une population tendant à s’étendre dans un espace et avec des ressources finis.

· Les individus les plus adaptés tendent à survivre plus longtemps et à se reproduire plus aisément.

· Le point clef est l’apparition, par hasard, de variations individuelles. Cela explique les phénomènes d’évolution et d’adaptation sans avoir recourt ni à une création, ni à une modification directe de l’hérédité par le milieu, ni même à une finalité.

De la sélection naturelle à l’organigrammed’un Algorithmes Évolutionnaires

Jean-Louis Coulomb

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Algorithme génétique

Technique basée sur la Théorie de l'évolution de Darwin

A partir des données du problème, on crée (généralement aléatoirement) une "population" de solutions possibles. Les caractéristiques de chaque solution représentent ses gènes.

Puis, on évalue chacune des solutions. On élimine une partie infime de celles qui se sont montrées inutiles ou désastreuses, et on recombine les gènes des autres afin d'obtenir de nouveaux individus-solutions.

Selon la théorie évolutionniste, cette nouvelle génération sera globalement plus adaptée au problème que la précédente.

On itère alors le procédé jusqu'à la naissance d'une solution que l'on jugera satisfaisante.

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fait;

Fonctionnement d'un algorithme génétique (1/3)

Faire tant que (il n'y a pas de

solution satisfaisante) et (le

temps est inférieur au temps

limite)

1. créer une population initiale2. évaluer l'adaptation de chaque individu

initialiser le temps;

incrémenter le temps3. sélectionner les parents

4. déterminer les gènes des nouveau-néspar recombinaison des gènes parentaux

5. faire subir des mutations aléatoires à la populationévaluer l'adaptation de chaque individu

6. sélectionner les survivants

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- Création de la population initiale.

Si aucune idée de la solution du problème, génération aléatoire d ’une population.

Sinon, création des individus qui représentent les solutions dont on dispose.

Principal problème :

choix de la taille de la population : compromis à trouver

Besoin de suffisamment d’hétérogénéité.

Une population trop grande augmente le temps de calcul.

- Evaluation de l'adaptation.

Mesure des performances de chaque individu par une fonction d'adaptation

correspond au profit, à l'utilité de la solution par rapport au problème.

- Sélection des parents.

Pour que la génération suivante soit plus performante

Accouplement des meilleurs individus.

(chaque individu aura une chance proportionnelle à son adaptation de devenir parent)


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- Recombinaison (crossover).

Pour donner naissance à un individu nouveau, prise aléatoire de quelques gênes de chacun des parents.

- Mutation.

modifications aléatoires du génome.

ne pas muter tous les gènes d'un individu, sinon détermination complète aléatoire.

rôle secondaire par rapport à la recombinaison

- Sélection des survivants.

ne garder que les solutions les plus intéressantes, tout en gardant une population assez grande et assez diversifiée.

en général, conservation de la taille de la population d'une génération à l'autre.

(autant de "morts" que de nouveaux-nés)

Parfois, garde uniquement des enfants

Cela assure la diversité et l'évolution de la population.


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Codage informatique

· Codage et décodage d’un réel dans un entier 32 bits : 232 possibilités

Un gène est un entier 32 bits· Un chromosome est un tableau de gènes· Un individu est un tableau de chromosomes· Une population est un tableau d’individus.

· Le codage binaire permet de tout coder : les réels, les entiers, les booléens, les caractères, …

· Il existe d’autres formes de codage (codage de Gray, codage réel, …)

10010011 11101011 00011010

X1=3,256 X1=0,658 X1=10,26

gène1 gène2 gène3

chromosome

maxminmax

min

_g

xx

xxg

ii

iii

max

minmaxmin )_(g

gxxxx iiiii

Jean-Louis Coulomb

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Le problème

Recherche du maximum de la fonction x->x² sur l'ensemble [|1,31|]

(on prend des entiers pour plus de simplicité).

Codage du problème.

Chaque individu représentera une valeur pour x.

Son génotype sera la valeur de x exprimée en binaire (il suffit de 5 bits, car 31 se note 11111).

Population initiale.

On choisit ici une population de quatre individus au hasard, par exemple :

N° Génotype Phénotype

1 0 1 1 0 1 13

2 1 1 0 0 0 24

3 0 1 0 0 0 8

4 1 0 0 1 1 19

Exemple

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Evaluation de l'adaptation.

Application de la fonction d'adaptation : x->x².

N° Génotype Phénotype Adaptation

1 0 1 1 0 1 13 169

2 1 1 0 0 0 24 576

3 0 1 0 0 0 8 64

4 1 0 0 1 1 19 361

Sélection des parents.

Il suffit de tirer au hasard 4 individus parmi la population en tenant compte de leurs adaptations respectives. On obtient ainsi une nouvelle population comprenant par exemple: N° Génotype Phénotype Adaptation

une copie de l'individu 1. 1 0 1 1 0 1 13 169

une copie de l'individu 2. 2 1 1 0 0 0 24 576

deux copies de l'individu 3. 3 1 1 0 0 0 24 576

aucune copie de l'individu 4. 4 1 0 0 1 1 19 361

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Recombinaison.

On choisit ici, pour le croisement de déterminer au hasard les 2 parents, et de "couper" les chromosomes au hasard : la première partie du chromosome ira au premier descendant, alors que la seconde ira à l'autre.

N° Avant Après1 0 1 1 0|1 0 1 1 0 02 1 1 0 0|0 1 1 0 0 13 1 1|0 0 0 1 1 0 1 14 1 0|0 1 1 1 0 0 0 0

Seconde génération.

Dans cet exemple, on choisit de limiter la durée de vie de chaque individu à une génération. La nouvelle génération sera donc composée exclusivement des enfants :

N° Génotype Phénotype Adaptation 1 0 1 1 0 0 12 144 2 1 1 0 0 1 25 625 3 1 1 0 1 1 27 729 4 1 0 0 0 0 16 256

Si on calcule la moyenne des valeurs d'adaptation, on obtient 293 pour la génération initiale, contre 439 pour la seconde. On se rapproche bien de la solution. Si on réitère le processus, on obtiendra des valeurs de plus en plus grandes, jusqu'à l'obtention de la solution.

} accouplement des individus 1 et 2

} accouplement des individus 3 et 4

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Avantages

pour parvenir au résultat,

pas besoin de connaître les caractéristiques de la solution du problème

seulement déterminer parmi deux solutions quelle est la meilleure.

Inconvénients :

algorithme très coûteux en temps de calcul

difficile à programmer

les paramètres comme la taille de la population et la fonction d'évaluation sont difficiles à établir

il n'a qu'une très faible chance, voire aucune, de trouver la solution idéale

il ne fait qu'en approcher.

Avantages et inconvénients

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