e et kondo et poor man’s scaling

PHY 878 - Systemes quantiques fortement correles Mai 2004

Effet Kondo et Poor Man’s Scaling.

par Emilie Dupont

Departement de Physique, Universite de Sherbrooke

Table des matieres

1 Le probleme Kondo. 1

1.1 Impuretes magnetiques dans un metal et effet Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Definition du probleme de Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Hamiltonien Kondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Renormalisation 7

2.1 Matrice de diffusion T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Au second ordre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Poor man’s scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Introduction

Du fait de la diversite des materiaux, l’effet Kondo est accessible facilement. La physiquede Kondo s’interesse a l’interaction entre une impurete magnetique localisee avec les electronsdelocalises de la bande de conduction d’un reseau. Cette impurete magnetique possede un mo-ment magnetique intrinseque (spin) et l’interaction en question est l’echange entre ce spin etcelui de chacun des electrons qui l’entourent. D’un point de vue theorique, l’impurete de Kondoest un probleme a N corps et on verra dans une premiere partie, les modeles utilises pourmodeliser une impurete magnetique. On evoquera l’existence d’un minimum de resistivite danscertains materiaux due a l’effet Kondo. On regardera dans la deuxieme partie comment, puis-qu’une methode de perturbation est mise dans notre cas en defaut, la methode developpee parAnderson du ”Poor man’s scaling” permet de resoudre en partie le probleme Kondo, d’aboutiraux equations de flot et a une evaluation de la temperature Kondo.

Chapitre 1

Le probleme Kondo.

Dans la premiere partie de ce chapitre, nous allons etudier divers modeles qui permettentde maniere plus ou moins elaboree de rendre compte de la presence d’une impuretes dans dessystemes metalliques. Ensuite, on s’attardera sur le modele de Kondo, en lien avec le modeled’Anderson. On verra comment survient le probleme de Kondo et explicitera l’hamiltonien deKondo et ses caracteristiques. Les consequences sur la renormalisation de ce probleme sera vupar la suite.

1.1 Impuretes magnetiques dans un metal et effet Kondo

Survol des modeles

Modele de diffusion sur une impurete non magnetique

Il decrit l’effet d’une impurete sans spin sur les electrons de conduction consideres commelibres. Le potentiel de l’impurete est donne par ses elements de matrice Vkk′ , dans la base desondes planes. Donc :

H =∑

k,σ

εka†kσakσ +∑

k,k′

Vkk′a†kσakσ (1.1)

Il n’y a pas ici d’orbitale localisee associee a l’impurete car celle-ci n’intervient que sous laforme d’un potentiel exterieur.

Modele d’Anderson

Ici, l’impurete porte une orbitale notee d, d’energie εd (correspondant a l’orbitale f). Lecouplage entre les electrons de conduction et l’impurete est caracterise par les elements dematrice Vkd pris entre l’onde plane |k〉 et l’orbitale |d〉. On doit aussi tenir compte de la repulsioncoulombienne entre deux electrons sur l’orbitale d (cf. U)

HA =∑

k,σ

εka†kσakσ + εd

∑

σ

a†dσadσ +∑

k,σ

(Vkda

†kσakσ + h.c

)+ Und↑nd↓ (1.2)

Modele s-d

Il decrit le couplage entre les electrons de conduction et un spin localise. L’hamiltonien est :

H =∑

k,k′

Jkk′S∑

σ,σ′

a†kσσσσ′ak′σ′ (1.3)

1.2 Definition du probleme de Kondo 2

ou S est le spin localise et σ est le vecteur des trois matrice de Pauli et decrit la polarisation despin.

L’effet Kondo

En fait le modele d’Anderson est plus general que le modele de Kondo (cf.1.3). Il a eteelabore des les annees 60 a propos de l’effet Kondo [4, 5] et a aboutit au concept de groupede renormalisation (Wilson). L’effet Kondo a ete remis au gout du jour pour modeliser lesphenomenes de transport dans les systemes mesoscopiques et confirme experimentalement. Ilest observable grace a la resistance electrique. Pour des metaux purs, celle-ci diminue en memetemps que la temperature car les electrons traversent plus facilement un cristal metallique lorsqueles vibrations du reseau sont faibles. Cependant la resistance sature des que la temperatureest inferieure a 10 K a cause des defauts statiques. D’autres materiaux comme le niobium oul’aluminium peuvent devenir supraconducteur, d’autre comme le cuivre ou l’or ont une resistanceconstante qui depend a basse temperature du nombre de defauts. Cependant, ce comportementchange des que des atomes magnetiques (degre de liberte interne supplementaires) comme lecobalt sont ajoutes. Au lieu de saturer, la resistance croıt a mesure qu’on diminue la temperatureet suit une loi en lnT ! Bien que ce comportement n’implique pas une transition de phase, latemperature de Kondo determine les proprietes electroniques a basse temperature du materiau.

Fig. 1.1 – Metals supraconducteurs (vert). Saturation de la resistance (bleu). Effet Kondo(Rouge)

1.2 Definition du probleme de Kondo

Une des autres surprises de l’effet Kondo est que d’une part la dependance en lnT disparaıtprogressivement au dessus de la temperature de Kondo TK et les proprietes de spin de l’impuretemagnetique change au voisinage de TK (mesure de susceptibilite magnetique). Au dessus de TK ,la susceptibilite suit la loi de Curie en 1/T mais pour T < TK , elle tend vers une constante.Or, une susceptibilite constante a temperature nulle est caracteristique d’un etat singulet po-larise par un champ magnetique. Donc, la temperature de Kondo peut aussi etre defini commela temperature a laquelle les spins de l’impurete et de l’electron de conduction commence acondenser vers un etat singulet, complet a T = 0. D’autre part, le minimum de resistivite doitetre alors du a l’interaction du spin de l’impurete avec ceux du metal hote. Cependant, Kondo amontre que le terme en lnT surgit lors d’une theorie de perturbation du second ordre en J . Cette

1.3 Hamiltonien Kondo 3

contribution a la diffusion par retournement du spin (spin-flip) implique un minimum dans laresistivite, directement liee a la probabilite totale de diffusion. Mais, tout n’est pas satisfaisant :pour T → 0, le terme en lnT diverge. Le terme du second ordre du traitement perturbatifdevient superieur au terme du premier ordre, lorsque T ≤ TK , lorsque le ln diverge. La solutionde Kondo n’est donc valable que pour T � TK . La recherche d’une theorie qui permettrait deremedier a la divergence dans le traitement perturbatif et qui tiendrait compte de la formationd’un etat lie singulet sur l’impurete est dite probleme de Kondo.

1.3 Hamiltonien Kondo

Contrairement au cas d’Anderson (le cas Kondo est un cas limite), il n’y a pas de doubleoccupation, c’est a dire que U est tres grand, il n’y a qu’un electron par atome (spin ↑ ou ↓) etεd � 0 loin du niveau de Fermi.

Formulation

L’hamiltonien Kondo decrit l’interaction entre les spins de l’impurete (qu’on suppose etredes spins 1/2) avec ceux des electrons de conduction. On va utiliser pour l’instant les spineursa deux composantes qui suppriment des electrons de l’impurete ou des etats de conduction :

Ψk =

(ak↑

ak↓

)Ψd =

(ad↑

ad↓

)(1.4)

et les operateurs de spin (σ etant les matrices de Pauli) :

S =}σ

2S± = Sx ± iSy = }σ± (1.5)

L’effet Kondo survient du fait du couplage entre le spin de l’impurete et celui d’un electronde conduction. Donc, l’hamiltonien representant l’interaction d’un spin local avec les electronsitinerants est donne par :

HK =∑

k,σ

εknkσ −∑

k,k′

Jkk′

}2

(Ψ†

k′SΨk

)(Ψ†

dSΨd

)(1.6)

Ψ†dSΨd est l’operateur de spin des electrons dans l’etat d de l’impurete tandis que l’operateur de

spin Ψ†

k′SΨk est l’operateur de transition des electrons entre les etats de conduction k et k ′. Leterme d’interaction Jkk′ est l’analogue de l’interaction d’echange d’Heisenberg entre le spin d’unelectron de bande et d’un electron localise. Si Jkk′ > 0, l’alignement des spins est favorise, et onest dans le cas d’une interaction ferromagnetique alors que pour Jkk′ < 0, on a une interactionantiferromagnetique.

Signe de J ?

Pour obtenir une estimation de l’interaction d’echange de l’hamiltonien Kondo, on va faireappel au modele d’Anderson pour un impurete magnetique (section 1.1). On peut montrer queces deux modeles sont lies en utilisant la transformation de Schrieffer-Wolff. Les deux modelesdecrivent la meme physique a la limite du moment local, qui correspond au fait que dans lemodele d’Anderson, la phase du moment local persiste a cette limite ou l’interaction de Coulombsur site U est plus grand que l’energie d’hybridation, ∆. Mais, les fluctuations de charges prisenten compte dans le modele d’Anderson n’apparaissent pas dans le modele de Kondo, qui n’inclut


que les interactions spin-spin. On verra que ces fluctuations de charge, du deuxieme ordre parrapport a l’element de matrice de l’hybridation Vkd, implique une interaction antiferromagnetiquedans le modele de Kondo. Les processus de diffusion interessants sont ceux qui conduisent a ladiffusion d’un electron de conduction par un moment local. On va alors faire un calcul au secondordre en Vkd, qui couple les electrons de conduction avec le moment local. L’amplitude de ceprocessus est donnee par :

Vkd1

Ei − EintVdk (1.7)

Ei est l’energie de l’etat initial et Eint celle de l’etat intermediaire. On va d’abord s’interesser ala diffusion d’un electron de conduction dans l’etat (k, ↑) par une impurete ↓ vers un etat final(k′, ↑), l’impurete ayant toujours son spin ↓. Ce processus, illustre sur la figure 1.2 (a), se produitlorsque l’electron k saute sur le site de l’impurete, grace a l’interaction d’hybridation ; dans cetetat intermediaire (d’energie 2εd + U) l’impurete est doublement occupe. Enfin, l’electron ↑ surl’impurete saute sur l’etat final de l’electron de conduction k ′. L’element de matrice du secondordre pour ce processus est :

T(kσ)+(d−σ)→(k′σ)+(d−σ) =VkdVdk′

εk − εd − U(1.8)

Fig. 1.2 – Deux processus contribuant au second ordre aux fluctuations de charge sur le niveaud occupe par un electron. La ligne droite schematise l’electron de conduction initial, juste audessous de la surface de Fermi.

Le processus, illustre sur la figure 1.2 (b), qui consiste en la diffusion d’un electron deconduction dans l’etat (k, ↑) par une impurete restant ↑ vers un etat final (k ′, ↑), correspond ausaut de l’electron de l’impurete vers k′ ; dans l’etat intermediaire les deux electron sont sur labande de conduction. Alors :

T(kσ)+(dσ)→(k′σ)+(dσ) = −VkdVdk′

εd − εk′

(1.9)

Le signe moins provient de l’echange des electrons de conduction et de l’impurete. De lameme maniere, la diffusion spin-flip de l’electron (k, ↑) et de l’impurete ↓ vers l’etat final (k ′, ↓),avec le spin de l’impurete qui finis par etre ↑ peut suivre le meme type de processus : un electronde conduction premierement saute sur le site de l’impurete, puis l’electron ↓ de l’impurete saute


sur l’etat final k′. L’amplitude de ce processus est une superposition des cas precedents :

T(kσ)+(d−σ)→(k′−σ)+(dσ) = −VkdVdk′

( 1

εk − εd − U+

1

εd − εk′

)(1.10)

Le signe moins a la meme origine que precedemment. On peut montrer que l’interaction spin-spindans le modele de Kondo est a l’origine de l’amplitude du processus de spin-flip.

T(kσ)+(d−σ)→(k′−σ)+(dσ) = −1

2Jkk′

donc Jkk′ = 2VkdVdk′

( 1

εk − εd − U+

1

εd − εk′

)(1.11)

Si on considere qu eles etats k pertinents sont proches du niveau de Fermi (εk ≈ εk′ ≈ 0) :

Jeff = −|Vkd|2 U

|εd|(U − |εd|)< 0 (1.12)

Le couplage effectif entre l’impurete d et la bande d’electronsest donc antiferromagnetique.En se placant au point particule-trou symmetrique, c’est a dire εd = −U/2 :

Jeff = −4|Vkd|

2

U∝ 1/U (1.13)

La constante de couplage dans la limite de Kondo du modele d’Anderson a le meme com-portement d’echelle que ∆/U � 1. Le terme que l’on obtient dans l’equation (1.13) est le plusbas terme de la serie en perturbation par rapport a Vkd. C’est le principe d’exclusion de Pauli,qui en interdisant les etats intermediaires ou l’impurete est occupee par deux electrons de memespin, conduit a une dependance en spin de l’interaction lorsque on tient compte des fluctuationsde charge, au deuxieme ordre. L’equivalence entre le modele de Kondo et d’Anderson induit quel’etat fondamental des deux modeles est identique. Comprendre l’origine de l’etat fondamentalsingulet dans le modele d’Anderson a T = 0 est l’essence du probleme de Kondo. Cet etat serevele etre un nouveau niveau resonnant qui se forme et reste au niveau de Fermi, impliquantun changement dans la densite d’etat dans le modele d’Anderson (cf figure 1.3).

La hauteur du pic croıt logarithmiquement en dessous de TK et sa largeur est proportionnellea TK . Pour une impurete de spin 1/2, le niveau resonnant est occupe par un seul electron deconduction, qui compense le spin de l’impurete, la densite d’etat en exces au niveau de Fermi(cf. pic) croıt au fur et a mesure que l’impurete perd son spin. Donc, a haute temperaturela theorie Hartree-Fock pour la formation des moments locaux est valide et l’impurete est biendecrite par deux pics lorentzien. Mais, a basse temperature, un nouveau phenomene, qui n’est pascorrectement decrit par une theorie de champ moyen appliquee au modele d’Anderson apparaıt :la diffusion par des spin-flip rapides entre les electrons de conduction et les moments locaux. Onverra dans la premiere partie du chapitre 2 comment ceci induit un minimum de la resistivite.


Fig. 1.3 – Densite d’etat a une particule dans le modele d’Anderson, sous le regime Kondo.L’apparition d’un pic etroit au niveau de Fermi est un effet de resonance a N corps. Il croıt demaniere logarithmique quand la temperature croıt.

Chapitre 2

Renormalisation

Dans cette deuxieme partie, on verra comment operer la renormalisation de notre problemeKondo. Pour se faire, on va utiliser la matrice de diffusion et une technique developpee vers 1977par Anderson : le Poor man’s scaling qui va nous permettre d’eliminer les excitations de plushautes energie au cours de la renormalisation. Cette technique fut une des premiere utilisee pourrenormaliser un probleme.

2.1 Matrice de diffusion T

2.1.1 Definition

La singularite en lnT evoquee precedemment est due au degre de liberte supplementairedu spin de l’impurete. On pourra voir cette dependance en temperature au cours du calcul, ausecond ordre, de la matrice de diffusion. En outre, la non commutativite et le principe d’exclusionde Pauli conduit a une dependance en temperature non triviale. Du fait du caractere a courteportee de l’interaction d’echange, on peut faire l’approximation : Jkk′ = J0/V , J0 etant constantet V le volume. L’hamiltonien Kondo est alors de la forme :

H = H0 + H ′

Hamiltonien non perturbe : H0 =∑

k,σ εknk,σ

Interaction spin-spin :

H ′ = − J0

2}V

∑

k′,k′′,σ

[Sz

d

(a†k′↑

ak′′↑ − a†k′↓

ak′′↓

)+ S+

d a†k′↓

ak′′↑ + S−d a†

k′↑ak′′↓

](2.1)

Par la suite, on va s’interesser a la diffusion d’un electron de conduction, initialement de momentk) puis k′, par l’impurete, d’orientation de spin ms. On peut remarquer aussi que l’hamiltonienH ′ traite perturbativement ne couple que des etats differents d’une orbitale. Donc, les differencesd’energie qu’on obtiendra ne concerneront que des energies different d’une orbitale.

2 processus incoherents :

Le taux de diffusion total est lie a deux processus incoherents :le premier au cours duquell’electron initial ↑ conserve son spin et le second ou le spin de l’electron ↑ se retourne tandis quel’impurete passe de mS a mS + 1. Si on considere le premier processus, on obtient un elementde matrice :

T(0)

k↑−→k′↑;ms

= −J0

2Vms (2.2)

2.1 Matrice de diffusion T 8

Le taux de diffusion au plus bas ordre est alors de la forme :

Γ0k−→k′(ms) =

2π

}

∑

k′

δ(εk − εk′)

(J0

2V

)2

ms2 (2.3)

ou la somme est limite au etats finaux k′ et ou la diffusion est isotrope. Pour obtenir le taux dediffusion total, il faut sommer sur tous les etats finaux k′, et en notant N(0) = mkF /2π2

}3 =

3ne/4εF , on a :

Γ0non−flip(ms) =

π

2}VN(0)J0

2ms2 (2.4)

On fait le meme raisonnement pour le processus de spin-flip et on aboutit a :

T(0)

k↑−→k′↓;ms

= −J0

2}V〈s,ms + 1|S+

d |s,ms〉 (2.5)

Γ0non−flip(ms) =

π

2}VN(0)J0

2(s(s + 1) − ms(ms + 1)

)(2.6)

Le taux total de diffusion est la somme des equations (2.4) et (2.6). Si on fait la moyennesur toutes les orientations initiales de spin de l’impurete, le terme ms disparaıt. En sommantsur toutes les impuretes, on obtient le taux de diffusion moyenne sur les spins :

Γ0 =8π

3

εF

}s(s + 1)c

(N(0)J0

)2; c = nimp/ne (2.7)

On remarque qu’alors le taux total de diffusion est independant de T !

2.1.2 Au second ordre :

Pour obtenir, le taux de diffusion a un ordre superieur en H ′, on se sert de la formule suivantedonnant l’amplitude de diffusion au second ordre :

T(2)a−→b =

∑

c6=a

〈b|H ′|c〉〈c|H ′|a〉

Ea − Ec(2.8)

Les processus du second ordre a envisager sont ceux detailles sur les figures 2.1 et 2.2. Lesdeux contributions sans spin-flip impliquent seulement Sz et les termes de spin-flip impliquent

aussi S±. Soit q′ l’etat intermediaire. Les contributions au processus TT(2)non−flip(k −→ k′;ms)

sont :

processus (i) :(−

J0ms

2

)2 1

Vα α =

1

V

∑

q

1 − fq

εk + iη − εq

(2.9)

processus (ii) :(−

J0ms

2V

)2 1

Vγ γ = −

1

V

∑

q

fq

εq + iη − εk′

(2.10)

La presence du η permet d’assurer que la diffusion produit des ondes sortantes et le signemoins dans le deuxieme cas provient de l’inversion des operation de la disparition de l’electroninitial et de creation de l’electron final car : aka†

k′ = −a†k′ak. Si on suppose qu’il y a, au cours

de la diffusion, conservation de l’energie (εk = εk′ ), l’amplitude du processus de non spin-flip

est la somme de (i) et (ii) :

T(2)non−flip(k ↑−→ k′ ↑;ms) =

(−J0ms

2V

)2 ∑

q

1

εk − εq

(2.11)


Fig. 2.1 – Processus du second ordre entre des etats electroniques initial k ↑ et k′ ↑. La ligne

courbe represente l’electron et l’autre l’impurete.

Du fait de l’annulation des fonctions de Fermi, on a dans ce cas aucune dependance enfonction de la temperature. Pour les diagrammes (iii) et (iv), l’electron spin-flip dans l’etatintermediaire, donnant un poids differents pour les etats intermediaires.

P+− =1

}2

∣∣∣〈s,ms + 1|S+d |s,ms〉

∣∣∣2

P−+ =1

}2

∣∣∣〈s,ms − 1|S−d |s,ms〉

∣∣∣2

(2.12)

La somme des elements de matrice pour ces processus donne :

( J0

2V

)2(P+− α + P−+ γ) (2.13)

Les fonctions de Fermi ne s’annulent donc pas et on obtient une dependance en fonctionde la temperature, liee a la dynamique entre les niveaux degeneres de spins des electrons deconduction et de l’impurete.

T (2)(k ↑−→ k′ ↑;ms) =

(J0

2

)2 1

V

(2msγ + (s(s + 1) − ms)

)(α + γ) ≈

2ms

V

(J0

2

)2

γ (2.14)

Pour T 6= 0, T � TF , on peut transformer dans γ la somme en integrale, utiliser la relationde dispersion des particules libres et apres quelques simplification, aboutir a :

γ ≈ N(0)

(ln

TF

T+ . . .

)(2.15)

Pour les quatre diagrammes restants,

T (2)(k ↑−→ k′ ↓;ms) = −

(J0

2

)2 1

}V〈s,ms + 1|S+

d |s,ms〉(α − γ)

≈ −

(J0

2

)2 1

}V

(1 − J0N(0) ln

TF

T+ . . .

)(2.16)

Le taux de diffusion au troisieme ordre en J0 est donc :

Γ = Γ0

(1 − 2J0N(0) ln

TF

T+ . . .

)(2.17)


Fig. 2.2 – Processus du second ordre entre des etats electroniques initial k ↑ et k′ ↓.

Il est alors facile d’obtenir la resistivite, liee a la diffusion des particules et donc au tauxde diffusion calcule. Il ne faut pas pour cela oublier la contribution en T 5 des phonons, ce quidonne :

ρ(T ) = aT 5 − bc lnT

TFet Tmin =

(b

5ac

)1/5

a, b > 0 (2.18)

Cette expression de la temperature qui depend uniquement de la concentration en impuretes, esten accord avec les valeurs experimentales de TK , notamment avec le Fe dans Au. Cependant, letaux de diffusion semble pouvoir croire indefiniment quand on baisse la temperature alors qu’ilest limite a un. La methode de renormalisation qu’on va etudier par la suite est une methodeplus rigoureuse pour obtenir une evaluation de la temperature Kondo.

2.2 Poor man’s scaling 11

2.2 Poor man’s scaling

2.2.1 Principe

Dans les systemes d’electrons lourds, la physique apparaıt a des echelles d’energie largementespacees. On aimerait distiller les effets essentiels de la physique atomique des hautes energiesa l’echelle de l’eV vers la physiques des basses energies a l’echelle du meV sans s’attarder surdes details trop subtils. Un outil essentiel est la theorie d’echelle. L’idee ici est que seulementcertaines particularites de la physique des hautes energies sont pertinentes pour les excitations debasses energies. La famille des modeles possedant le meme spectre d’excitations de basse energieconstitue une classe d’universalite. Si on parametrise chaque hamiltonien H(D) par son echelled’energie de coupure D, l’energie de la plus importante excitation a une particule. Lorsqu’onfait une reduction d’echelle, on reduit la coupure D en incrementant, ajustant a chaque etapel’hamiltonien pour preserver la dynamique de basse energie, de cette maniere les comportementphysiques de hautes energies non pertinents seront elimines de maniere elegante . Il y a deuxtypes d’evenements qui peuvent se produire au cours d’une telle procedure :

1. un crossover : lorsque la coupure D devient comparable a l’energie d’echelle caracteristiqued’excitations de hautes frequences, comme les fluctuations de spin ou de charge a plusbasse energie, cette excitation n’etant qu’une excitation virtuelle. Pour rendre compte dece changement, l’hamiltonien change de structure, acquerant des termes supplementairesqui simulent les effets des excitations virtuelles de hautes energies sur la physique desbasses energies.

2. un point fixe. Si la coupure passe en dessous de l’echelle d’energie la plus basse, alors iln’y aura plus de changements dans l’hamiltonien, qui restera desormais invariant par laprocedure de renormalisation. Cet ”hamiltonien a point fixe” capture le comportement abasse energie.

Fig. 2.3 – Etats ”trou” ou ”particule” devant etre elimines au cours du ”poor man’s scaling”.La largeur des etats a enlever est δD.

On verra par la suite, que pour le probleme de Kondo, on a affaire au premier cas. Lamethode de renormalisation, la plus simple pour notre probleme, va eliminer les excitations dehautes energies en les considerant comme des etats intermediaires. A chaque etape, la constantede couplage Jkk′ est modifie ; on va considerer par la suite que les termes du second ordre par


rapport au couplage effectif spin-spin. Cette methode developpee par Anderson en 1970 [4] estappelee ”Poor man’s scaling”.

S = 1/2 anisotropie

H ′ = −1

2}V

∑

k′,k′′,σ

[JzS

zd

(a†k′↑

ak′′↑ − a†k′↓

ak′′↓

)+ J+S+

d a†k′↓

ak′′↑ + J−S−d a†

k′↑ak′′↓

](2.19)

Lorsqu’on va negliger les termes du second ordre, on va en fait renormaliser Jz et J±. Plusprecisement, les processus de spin-flip contenu dans cet hamiltonien H ′ vont renormaliser lecouplage longitudianl Jz. Les diagrammes correspondant du second ordre sont ceux presentessur la figure 2.4.

2.2.2 Resultats

Fig. 2.4 – Diagrammes du 2eme ordre pour le processus du double spin-flip pour un etat in-termediaire ”trou”.

L’analyse de ces diagrammes nous conduit a :– diagramme de gauche :

J+J−

∑

q

S−d

2}Va†k′↑

aq↓

(E − H0

)−1∑

q′

S+d

2}Va†q′↓ak↑ (2.20)

La somme sur q′ est restreinte aux etats en haut de la bande (fig. 2.3) de largeur δD et

sachant que les etats de bords sont initialement inoccupes : aqa†q′ = δqq′ . Apres quelquesastuces mathematiques et en considerant les etats intermediaires comme des trous εq = D,on obtient :

J+J−N(0)V |δD|S−

d S+d

4V }a†k′↑

ak↑

(E − εq + εk − H0

)−1

= J+J−N(0)V|δD|

4V }

(1

2−

Szd

}

)a†k′↑

ak↑

(E − D + εk

)−1(2.21)

– diagramme de droite : les etats intermediaires sont des etats de particules εq = −D,

J+J−N(0)V|δD|

4V }

(1

2+

Szd

}

)ak↑a

†

k′↑

(E − D − εk′

)−1(2.22)


2.2.3 Conclusions

Equations de flot

On obtiendra finalement les equations d’echelle en incluant les contributions k ↓−→ k ′ ↓, cequi donnera des elements de matrice en ak↓a

†

k′↓. On peut alors definir une nouvelle interaction

longitudinale Jz −→ Jz + δJz , avec :

δJz =1

2J+J−N(0)|δD|

[1

E − D + εk

+1

E − D − εk′

](2.23)

On voit clairement la dependance en energie de δJz . En considerant els excitations de bassesenergies par rapport a D, et en faisant l’approximation, εk ≈ εk′ ≈ εF = 0 :

dJz

d lnD= N(0)J2

± (2.24)

Fig. 2.5 – Diagrammes du 2eme ordre pour le processus d’un seul spin-flip.

L’analyse du diagramme pour le cas d’un seul spin-flip (fig. 2.5) donne :

−J+J−

∑

q

Szd

2}Va†k′↓

aq↓

(E − H0

)−1∑

q′

S+d

2}Va†q′↓ak↑ (2.25)

Le signe moins provient du signe moins qui accompagne la composante ↓ de S zd et avec les memes

astuces que precedemmment on trouve :

−J+JzN(0)|δD|S+d a†

k′↓ak↑

8}V (E − D + εk)par analogie,

le diagramme de droite donne :−J+JzN(0)|δD|S+

d ak↑a†

k′↑

8}V (E − D − εk′)

En prenant en compte les contributions obtenues en interchangeant Sd et S+d et le cas de l’electron

↓, on aboutit de la meme maniere que precedemment a

δJ± =1

2J±JzN(0)|δD|

[1

E − D + εk

+1

E − D − εk′

](2.26)

On retrouve encore ici une dependance vis-a-vis de l’energie et, avec les memes approxi-mations que precedemment, l’equation de flot de la composante transverse de la constante decouplage est :

dJ±

d lnD= N(0)J±Jz (2.27)


Crossover couplage faible et fort

En faisant le rapport des equations (2.24) et (2.27) et en integrant , on obtient une familled’hyperboles parametrees par J 2

z − J2± = κ , κ constante. En reintroduisant cette equation dans

(2.27), on aboutit a :

dJ±

d| ln D|=

−2ρJ±

√κ + J2

± Jz > 0 ferromagnetique

2ρJ±

√κ + J2

± Jz < 0 antiferromagnetique

(2.28)

On peut alors deduire des equations de flot que dans le cas ferromagnetique, la constantede couplage transverse J± −→ 0 et donc qu’elle devient de plus en plus faible au cours de laprocedure de renormalisation. Par contre, dans le cas antiferromagnetique, |J±| −→ ∞, on estdans le regime de couplage fort dans lequel l’effet Kondo peut se produire. En outre, c’est lacroissance de cette constante de couplage au cours de la renormalisation qui permet la formationde l’etat singulet. On peut resumer ces comportements des constantes de couplage sur la figure2.6.

L’hyperbole correspond au cas anisotropique ou |J±| > |Jz | et la droite au cas du couplageisotropique |J±|

2 = J2z . Les fleches indiquent le sens de decroissance de D. Dans les deux cas,

on voit que pour Jz positif, Jz et |J±| convergent lorsque D tend vers zero tandis que pour Jz

negatif, les deux constantes de couplage divergent.

Fig. 2.6 – Trajectoires d’echelle pour le modele de Kondo en utilisant la theorie en perturbationdu 2eme ordre d’Anderson. L’hyperbole correspond au couplage anisotropique et les lignes droitesau cas isotropique. La region ou Jz > 0 correspond au couplage ferromagnetique et celle ou Jz < 0au cas antiferromagnetique.

On va s’attarder sur le cas isotrope : J±(D) = Jz(D) = J(D). On aboutit a l’equation deflot :

dJ

d ln D= N(0)J2 (2.29)

On aboutit a :

J(D) =J(D0)

1 − J(D0)N(0) ln(D/D0); D0 largeur initiale de bande (2.30)

Concretement, on aimerait que la largeur de bande effective corresponde aux etats exploresa temperature finie, de l’ordre de kBT au voisinage de la surface de Fermi. Ainsi D/D0 =


kBT/εF = T/TF , en accord avec la dependance logarithmique. D’autre part, pour obtenir, uneevaluation de la temperature de Kondo, il faut tenir compte que celle-ci doit etre un invariant

d’echelle : D∂TK

∂D= 0. On peut alors supposer que kBTK = Dy(g). Dans le cas isotrope, si on

pose g = N(0)J ,dg

d ln D= β(g) = g2

y(g) +∂y

∂g

∂g

∂ lnD= 0

⇒ y(g) ∼ e1/g (2.31)

On en deduit donc que la temperature de Kondo est donnee par :

kB TK = D e 1/N(0)J (2.32)

En fait, le traitement complet du probleme de Kondo a ete fait par Wilson en 1975, eton y remarque que des que l’echelle d’energie tend vers 0, la distributions des etats propresest semblable a celle d’un systeme dans lequel J −→ −∞ . De plus, dans notre cas, le systemeayant initialement une constante d’interaction faible (couplage faible) va se comporter, au fur et amesure que l’echelle d’energie decroıt (cf. D), comme un systeme avec une constante d’interactiondivergente (couplage fort). Ceci conduit au crossover (cf. 2.2.1) de l’etat fondamental singuletdu probleme de Kondo.

Bibliographie

[1] Philip Phillips chap.7 Quenching of Local Moments : The Kondo Problem

dans Advanced Solid State Physics edite par Advanced Book Program

[2] A.C. Hewson chap.3 The Kondo Problem

dans The Kondo Problem to Heavy Fermions edite par Cambridge University Press.

[3] Leo Kouwenhoven et Leonid GlazmanPhysics World January 2001Revival of The Kondo effect

[4] P. W. AndersonJ. Phys. C. : Solid St. Phys., Vol. 3, 1970A poor man’s derivation of scaling laws for the Kondo problem

[5] P. W. Anderson, G. Yuval et D. R. HamannPhysical Review B vol. 1, number 11, 4464 (1 june 1970)Exact Results in the Kondo Problem. II. Scaling Theory, ...

[6] M. Fowler et A. ZawadowskiSolid State Communications Vol. 9, 471-476 (1971)Scaling and the renormalization group in the Kondo effect

e et kondo et poor man’s scaling

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