Chapitres PT4 et BM DS n◦2

DS n◦3 : Fluides en écoulement et pertes de charge

La calculatrice est autorisée. Durée : 2h30.

Le candidat traitera au choix l’un des deux sujets suivants :

. Sujet 1 : Vidange de la citerne (e3a PSI 2016) puis Formation et stabilité d’un nuage (CCP PSI 2015)

. Sujet 2 : Pertes de charge dans une conduite (Centrale-Supélec PSI 2016)

Merci d’indiquer clairement sur la première page de votre copie si vous désirez que soit indiqué votre rangde classement.

Si le candidat repère ce qu’il lui semble être une erreur d’énoncé, le candidat est invité à le signaler sur sacopie en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d’y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Physique - Chimie PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

L'usage de L’usage de calculatrices est autorisé.

AVERTISSEMENT

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

Les explications qualitatives des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne sont pas comptabilisés ;

Tout au long de l’énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d’aider à la compréhension du problème ;

Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s’il n’a pas été démontré par le(la) candidat(e) ;

Les questions comportant le verbe "calculer" demandent une application numérique ;

Les données numériques nécessaires à la résolution sont regroupées en fin d'énoncé ;

Le document réponse devra être complété puis remis avec la copie.

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Tournez la page S.V.P

Tournez la page S.V.P.

119

A

SUJET 1

5 Tournez la page S.V.P.

DEUXIEME PARTIEVIDANGE de la CITERNE

D / Ecoulement parfait

Une citerne est munie d’un orifice par lequel du gazole peut s’écouler (voir page suivante).On suppose que toutes les conditions sont réunies pour qu’on puisse appliquer la relation de Bernoulli entre un point A de la surface libre du gazole et un point B au niveau de l’ouverture (voir figure ci-après) :

( ) ( ) ( )ρ ρ− + − + − =2 21 02 B A B A B AV V g z z p p

où ρ est la masse volumique du gazole, VA (respectivement VB) correspond à la vitesse moyenne (encore appelée vitesse débitante) de l’écoulement supposée constante au niveau de la section SA (respectivement SB), pA (respectivement pB) correspond à la pression de l’écoulement supposée constante au niveau de la

section SA (respectivement SB), g est l’intensité du champ de pesanteur.

Tournez la page S.V.P.

6

D1. Quelles sont les conditions d’application de la relation de Bernoulli ?

D2. Comment se traduit la conservation de la masse lors de l’écoulement ?

En déduire une relation entre les vitesses moyennes en A et B.

D3. Sachant que la section en A est nettement plus grande que celle en B, exprimer la vitesse moyenne VB

de l’écoulement en B à l’aide de h et g.

D4. La citerne est initialement pleine.

Exprimer le temps nécessaire T pour la vidanger complètement, à l’aide de SA, SB, H et g.

Calculer T.

E / Prise en compte d’une perte de charge singulière

Au niveau du convergent (rétrécissement de section sur la ligne de courant AB), on constate une zone de perturbation caractérisée énergétiquement par une « perte de charge singulière » : le bilan d’énergie se traduit par une perte d’énergie mécanique volumique modélisable par la formule suivante :

( ) ( ) ( )ρ ρ ρ− + − + − = −2 2 21 12 2B A B A B A C BV V g z z p p K V avec Kc ≈ 0,55 (sans dimension)

E1. Déterminer une nouvelle expression de VB en tenant compte de la perte de charge singulière.

E2. Exprimer à nouveau le temps nécessaire T’ pour vidanger complètement la citerne, à l’aide de T et Kc.

Calculer T’. Commenter.

SA : section de la citerne au niveau du point A (en m²)

SB : section de l’orifice d’écoulement au niveau du point B (en m²)

SB << SA

H

h gazole

Air à la pression P0

citerne

A

B : De l’air à la pression P0

z

x

•

•

7 Tournez la page S.V.P.

F / Prise en compte d’une perte de charge régulière

On accroche au niveau de B une conduite cylindrique verticale de grande longueur et de diamètre d = 2a. La figure ci-contre ne représente qu’une portionℓ=C1C2 de cette conduite. L’étude de l’écoulement entre C1 et C2 nécessite alors la prise en compte de la dissipation d’énergie par frottement dû à la viscosité du gazole. Dans la suite, on considère que le gazole est un fluide incompressible, de masse volumique constante ρ, de viscosité dynamique η, en écoulement stationnaire.

On suppose de plus que l’écoulement est laminaire et que le champ de vitesse est à symétrie cylindrique ( ) ( )=

zV r V r e

avec V(r) > 0 et une vitesse nulle le long des parois et maximale sur l’axe de la conduite. Les pressions sont supposées constantes pour une altitude donnée : pC1 est la pression en C1 à l’altitude zC1, pC2 est la pression en C2 à l’altitude zC2.

On isole par la pensée un cylindre de fluide de rayon r inférieur à a et de longueur ℓ . Ce cylindre subit des forces pressantes en C1 et C2, son poids et des forces visqueuses modélisées par la loi suivante :

η= Σ

zdVf edr

Où Σ représente la surface latérale de contact entre le fluide contenu dans le cylindre et celui à l’extérieur du cylindre.

O

C1

C2

z

r

zC1

Zc2

ℓ

O

C1

C2

z

r a

ze

Tournez la page S.V.P.

8

F1. En considérant que l'accélération du cylindre est nulle, montrer la relation suivante :

( )α= − ⋅ − ⋅ɶ ɶ 21C CdV p p rdr

avec ρ= +ɶp p gz et α un facteur que l’on exprimera à l’aide de η et ℓ . Commentez le signe de α.

F2. Montrer que V(r) s’écrit : ( ) = −

2

max 21 rV r Va . Exprimer Vmax à l’aide de α, a et ( )−ɶ ɶ 21C Cp p .

F3. Déterminer l’expression du débit volumique QV à l’aide de α, a et ( )−ɶ ɶ 21C Cp p .

F4. En déduire l’expression de la vitesse moyenne Vmoy dans une section de la conduite (encore appelée vitesse débitante) à l’aide de α, a et ( )−ɶ ɶ 21C Cp p .

La « perte de charge régulière » (due à la dissipation d’énergie à cause des frottements visqueux) est

définie par ∆pr = λ 12

ρVmoy2 ℓ

d où λ est une constante sans dimension dépendant de la nature de

l’écoulement et de la rugosité de la conduite, ℓ la longueur de la conduite et d son diamètre.

On a par ailleurs: − = −∆2 1C C rp p p pour une canalisation de section constante.

F5. Déterminer l’expression de λ à l’aide de η, ρ, Vmoy et a.

F6. Rappeler l’expression du nombre de Reynolds Re pour une conduite cylindrique en fonction de son diamètre d, de la vitesse moyenne Vmoy, de la masse volumique ρ et de la viscosité η.

Pour un écoulement laminaire, en déduire l’expression de λ à l’aide du nombre de Reynolds, Re.

F7. Calculer le nombre de Reynolds Re à l’aide des données numériques fournies en fin de sujet.

F8. Rappeler comment le nombre de Reynolds, Re peut être utilisé pour caractériser la nature de l’écoulement.

L’hypothèse d’écoulement laminaire utilisée jusqu’à la question F7 est-elle valide ?

G / Remplissage du réservoir d’une voiture

On utilise une pompe centrifuge pour déplacer le gazole de la citerne au réservoir d’une voiture. Le schéma suivant modélise simplement le circuit du fluide (la citerne étant enterrée, on a bien évidemment zE > zA) La « perte de charge singulière » (due à la dissipation d’énergie à cause des coudes, des raccords entre

canalisations de diamètres différents…) est définie par ρ∆ = 212s moyp K V où K est une constante sans

dimension dépendant de la nature de la singularité rencontrée. On admettra que la pompe utilisée ici génère une perte de charge singulière de coefficient Kpompe = 6.

9 Tournez la page S.V.P.

G1. Utiliser le document, page 12, intitulé « Données numériques » pour déterminer la valeur numérique du coefficient Ktotal correspondant à l’ensemble des singularités détaillées sur le schéma ci-dessus. On prendra soin de préciser les différents termes intervenant dans Ktotal.

G2. Calculer la valeur totale des pertes de charge singulières ∆ ,s totp à l’aide des données numériques fournies en fin de sujet.

G3. La totalité des longueurs droites de la conduite vaut approximativement ℓ = 10 m. On admettra la valeur suivante pour le coefficient de perte de charge régulière : λ = 2,45.10-2. Calculer la valeur totale des pertes de charge régulières ∆ ,r totp à l’aide des données numériques fournies en fin de sujet.

L’insertion d’un élément actif (ici la pompe électrique) dans le circuit du fluide modifie le bilan énergétique appliqué au gazole. En tenant compte des pertes de charge, on admet la relation suivante appliquée entre les points A et E :

( ) ( ) ( ) ( )ρ ρ− + − + − = − ∆ + ∆ +2 2, ,

12

uE A E A E A r tot s tot

V

PV V g z z p p p pQ

où Pu est la puissance utile fournie par la pompe au fluide et QV est le débit volumique.

G4. Calculer le débit volumique dans les conduites QV à l’aide des données numériques fournies.

G5. Sachant que la pompe a un rendement de 80%, déterminer l’expression de Pe, puissance électrique alimentant la pompe. Calculer Pe (on prendra zE - zA ≈ 5 m).

Tournez la page S.V.P.

12

DONNEES NUMÉRIQUES

Pour la première partie:

Permittivité du vide : ε0 = 8,85.10-12 F.m-1

Permittivité relative du gazole : εr = 5,00 Hauteur du capteur capacitif : H = 1,00 m Largeur du capteur capacitif : L = 4,00 cm Distance entre les armatures : e = 3,00 mm

Pour la seconde partie: Section de la citerne au point A : SA = 1,00 m² Section de l’ouverture au point B : SB = 1,00.10-3 m² Rayon des sections des conduites et des coudes : a = 1,80 cm Intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m.s-2

Masse volumique du gazole : ρ = 840 kg.m-3

Viscosité dynamique du gazole : η = 5.10-3 kg.m-1.s-1

Vitesse moyenne des les conduites : Vmoy = 4,50 m.s-1

Coefficient K pour les pertes de charge singulière :

Coude brusque : Coude arrondi de rayon de courbure RC et de diamètre d (α est en degré) :

Pour la troisième partie: Eléments chimiques :

Elément H C N O Masse molaire atomique (g.mol-1) 1,0 12,0 14,0 16,0 Numéro atomique 1 6 7 8 Electronégativité (échelle de Pauling) 2,20 2,55 3,04 3,44

Formule chimique de l’air : 3,7 mol de N2 pour 1,0 mol de O2 Données thermodynamiques : constante thermodynamique R = 8,314 J.mol-1.K-1

composé gazole (liq) O2 (vap) CO2 (vap) H2O(vap) N2(vap)

∆fH0 (kJ.mol-1) - 245 0 - 393 - 242 0 CPm

0 (J.mol-1.K-1) 224,6 29,4 44,2 30,0 27,9

Sm0 (J.mol-1.K-1) 329 205 214 189 192

où ∆fH0, CPm0 et Sm

0 sont respectivement l’enthalpies standard de formation, la capacité thermique molaire standard (à pression constante) et l’entropie molaire standard des espèces à 298 K (ces grandeurs sont supposées constantes).

ρ

ρ= −

λ= −

Sujet CCP: Formation et stabilité du nuage

= −

γ

γ=

−

ρ

η

ρ =

η =

γ = =

=ε

ω =ε

= =

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2016

PSI4 heures Calculatrices autorisées

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l’initiative de lapart du candidat. Elles sont très significativement valorisées dans le barème. Même si elles n’ont pas abouti,les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat et seront valorisées si elles sont pertinentes. Lebarème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement.

Fin 2012, une société gérant la production et la distribution d’eau de l’agglomération du Grand Angoulême(110 000 habitants sur 16 communes) a décidé de substituer les deux moteurs asynchrones entrainant la pompealimentant le château d’eau de Ruelle sur Touvre par un seul moteur synchrone à aimants permanents de puis-sance 350 W à 1500 tr⋅min−1 commandé par un variateur spécifique. Même s’il s’agit le plus souvent de régimecontinu, ce dernier participe à réduire la facture énergétique lors de variations de débit imposées. Les pertesrotoriques d’un moteur asynchrone (liées à la différence de vitesse entre le rotor et le champ statorique tournant(glissement)) représentent près du tiers des pertes totales. Les pertes dans un rotor à aimants permanents sontnégligeables en comparaison et le variateur n’augmente la consommation énergétique que de 3%. La consomma-tion énergétique de l’installation est réduite de 10% par mètre cube transféré et l’installation peut assurer undébit de 115% de son régime nominal pendant les 8 h de tarif de nuit de consommation électrique. Une étude amontré que le surcoût lié à la vitesse variable serait amorti en 14 mois.Dans ce sujet, nous nous intéresserons à une autre installation de même type. Après avoir évalué les pertes decharge dans les 8400 m de conduit reliant la pompe au château d’eau, nous proposerons une pompe centrifuge aupoint de fonctionnement convenable compte tenu du débit et de la hauteur manométrique totale. Une troisièmepartie sera consacrée à l’étude de principe d’un moteur synchrone à aimants permanents censé entrainer chacunedes pompes.

I Pertes de charge dans les conduitesHormis la question I.B.3 sur les pertes singulières, nous considérerons dans toute cette partie des conduitesrectilignes à section circulaire constante.

I.A – Fluide en écoulement homogène incompressible laminaireI.A.1) Que devient la relation de Bernoulli d’un fluide visqueux en régime laminaire station-

naire ?a) Rappeler les définitions d’un écoulement parfait de fluide, d’un écoulement homogène incompressible, d’unécoulement stationnaire.b) Dans le cas d’un fluide parfait en écoulement homogène incompressible stationnaire, retrouver la relation deBernoulli à partir du premier principe de la thermodynamique exprimé relativement à un système ouvert enrégime permanent. Préciser alors la grandeur volumique énergétique 𝑒u� uniforme sur une ligne de courant.On lui associera une hauteur 𝐻 appelée hauteur manométrique ou charge totale :

𝐻 = 𝑧 + 𝑝𝜌𝑔 + 𝑣2

2𝑔

où 𝑧 est l’altitude, 𝑝 la pression et 𝑣 la vitesse du fluide au point considéré, 𝜌 sa masse volumique et 𝑔 l’accélérationde la pesanteur (𝑔 = 9,81 m⋅s–2). Préciser la relation entre 𝑒u� et 𝐻.c) Dans quelles zones de l’écoulement laminaire d’un fluide réel, l’hypothèse d’un écoulement parfait est-elleinenvisageable ?d) Si on tient compte de la viscosité du fluide incompressible et en postulant toujours un régime stationnaire,la grandeur volumique énergétique 𝑒u� définie précédemment diminue de 𝐴 à 𝐵 le long d’une ligne de courant.Relier cette variation d’énergie volumique à une intégrale de circulation de 𝐴 à 𝐵 de la densité volumique deforce de viscosité ⃗𝑓visc.e) Dans un fluide incompressible visqueux, la densité volumique de force de viscosité s’écrit ⃗𝑓visc = 𝜂Δ ⃗𝑣, où 𝜂est la viscosité dynamique du fluide et Δ ⃗𝑣 le laplacien vectoriel de la vitesse locale.En déduire, sous forme intégrale, la variation 𝐻(𝐵) − 𝐻(𝐴) de hauteur manométrique d’un point 𝐴 à un point𝐵 le long d’une ligne de courant allant de 𝐴 à 𝐵. La quantité Δ𝐻 = 𝐻(𝐴) − 𝐻(𝐵) (positive ou nulle) s’appellela perte de charge.

SUJET 2

(intégrale le long de la ligne de courant A-B)

(laplacien vectoriel défini en I.A.2)b))

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I.A.2) Écoulement de PoiseuilleOn étudie le cas particulier de l’écoulement laminaire d’un fluide visqueux incompressible dans une conduiterectiligne, de direction ⃗𝑒u� horizontale, de section circulaire 𝑆 constante (de rayon 𝑟0). Compte tenu des symétriesdu problème, le champ des vitesses s’exprime sous la forme ⃗𝑣(𝑀) = 𝑣(𝑟, 𝑥) ⃗𝑒u� où 𝑟 = √𝑦2 + 𝑧2 est la distancedu point 𝑀 à l’axe de révolution de la conduite.a) Montrer que la vitesse 𝑣(𝑟, 𝑥) ne peut dépendre de 𝑥.

b) En supposant la perte de charge linéique uniforme tout au long de la conduite et en notant ∂𝐻∂𝑥

= −𝑎 (avec𝑎 > 0), montrer que

𝑣(𝑟) = 𝑣max (1 − ( 𝑟𝑟0

)2) avec 𝑣max = 𝜌𝑔𝑎

4𝜂 𝑟20

Dans la symétrie du problème, on a

Δ ⃗𝑣 = Δ𝑣u� ⃗𝑒u� = 1𝑟

∂∂𝑟 (𝑟∂𝑣u�

∂𝑟 ) ⃗𝑒u�

c) La vitesse débitante 𝑈 sur une section droite est la vitesse qui, uniforme sur la section 𝑆, correspond aumême débit volumique 𝑄.Exprimer cette vitesse en fonction de 𝑣max et en déduire 𝑣(𝑟) en fonction du débit volumique 𝑄 de fluide dansla conduite.d) On souhaite un débit d’environ 30 L⋅s−1 dans une conduite de diamètre 𝐷 = 20 cm. Dans une conduitecylindrique, la transition laminaire turbulente se situe aux alentours de nombres de Reynolds de 2300 (dansl’expression du nombre de Reynolds, on choisira respectivement 𝑈 et 𝐷 comme ordres de grandeur de la vitessedu fluide et de la dimension transversale de l’écoulement).

− Cas d’une huile (SAE-90) pour laquelle 𝜂 = 0,17 Pa⋅s–1 et 𝜌 = 880 kg⋅m–3

• Calculer la perte de charge linéique et donc la surpression nécessaire pour le transport de cette huile surun tronçon de 50 m.

• Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Conclure.

− Cas de l’eau : 𝜂 = 1,0 × 10–3 Pa⋅s–1 et 𝜌 = 1,0 × 103 kg⋅m–3.• Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement. Conclure.

I.B – Fluide visqueux homogène incompressible en régime turbulentI.B.1) Charge moyenne dans une section à symétrie de révolutionLa charge 𝐻, exprimée en un point 𝑀 de l’écoulement, apparait comme une fonction 𝐻(𝑥, 𝑟) de 𝑥 et de 𝑟. Ondéfinit une charge moyenne �̄�(𝑥) moyennée sur une section de conduite par

�̄�(𝑥) = ∬section

𝐻(𝑥, 𝑟)d𝑄𝑄

où d𝑄 est le débit volumique traversant un élément de surface d𝑆 de la section de la conduite et 𝑄 le débitvolumique total de la conduite.Pour exprimer le terme cinétique de la charge en fonction de la vitesse débitante 𝑈 , on introduit le coefficient deCoriolis : 𝛼 = 𝑃u� réelle

𝑃u� uniforme, où 𝑃u� réelle est la puissance cinétique traversant la section 𝑆 de conduite et 𝑃u� uniforme

la puissance cinétique qui traverserait cette section pour une vitesse uniforme 𝑈 (chaque particule de fluidetraverse la section 𝑆 à la vitesse 𝑣(𝑟), emportant avec elle son énergie cinétique volumique locale 1

2 𝜌𝑣2(𝑟)).

a) Montrer que 𝛼 = 1𝑈3𝑆

∬section

𝑣3(𝑟) d𝑆.

b) En déduire que la charge moyenne sur une section de l’écoulement (laminaire ou turbulent) s’écrit

�̄� = 𝑧 + 𝑝𝜌𝑔 + 𝛼𝑈2

2𝑔

c) Calculer numériquement le coefficient de Coriolis pour l’écoulement uniforme et pour l’écoulement laminairede Poiseuille.d) Dans le cas de régimes turbulents courants, les valeurs du coefficient oscillent entre 1,05 et 1,20. Commenter.

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I.B.2) Rugosité, diagramme de MoodyLa perte de charge régulière moyenne, pour un écoulement incompressible dans une conduite circulaire rectilignede longueur 𝐿 et de diamètre 𝐷, est donnée par

Δ�̄�u� = 𝑓 (𝑅u�, 𝜀𝐷) 𝐿

𝐷𝑈2

2𝑔

définissant ainsi le coefficient de perte de charge 𝑓 (𝑅u�, 𝜀/𝐷) qui dépend du nombre de Reynolds 𝑅u�, et parconséquent du régime d’écoulement, et de la rugosité relative 𝜀/𝐷 de la conduite. La valeur numérique dece coefficient est donnée par le diagramme de Moody (figure 7), en fonction du nombre de Reynolds, pourdifférentes valeurs de la rugosité relative 𝜀/𝐷 (lue à droite du graphe).La rugosité absolue 𝜀 a la dimension d’une hauteur sans toutefois représenter une hauteur moyenne des aspéritésde la surface intérieure de la conduite : par exemple, pour des conduites métalliques rivetées, le revêtement apeu d’importance devant le nombre et l’écartement des files longitudinales et transversales de rivets.

a) Montrer que l’écoulement de Poiseuille conduit à 𝑓 (𝑅u�, 𝜀𝐷

) = 64𝑅u�

.

Interpréter le fait que le coefficient de perte de charge ainsi obtenu ne dépend pas de la rugosité.b) Pour relier la station de pompage au château d’eau, on installe une conduite en fonte de diamètre 𝐷 = 20cm,de longueur 𝐿 = 8,345km. Dans les conditions nominales de fonctionnement, cette conduite débite 𝑄 = 30L⋅s–1

d’eau. La rugosité de la conduite en fonte dépend de son état de surface, selon qu’elle est neuve ou plus oumoins corrodée. On distingue trois cas− F1 « fonte neuve » : 𝜀1 = 0,4 mm ;− F2 « fonte corrodée » : 𝜀2 = 1,2 mm ;− F3 « fonte déposée » : 𝜀3 = 1,6 mm.En utilisant l’abaque de Moody, évaluer dans chacun de ces cas la perte de charge moyenne Δ�̄�u� de cetteconduite dans ses conditions nominales d’utilisation (𝑄 = 30 L⋅s–1).I.B.3) Pertes singulièresLes pertes de charges singulières en régime turbulent peuvent s’écrire sous la forme

Δ�̄�u� = 𝐾 𝑈2

2𝑔

(pertes proportionnelles à 𝐾𝑄2), ce qui présente un intérêt évident pour le cumul des pertes de charges puisquel’on a écrit

Δ�̄�u� = 𝑓 (𝑅u�, 𝜀𝐷) 𝐿

𝐷𝑈2

2𝑔

(pertes régulières proportionnelles à 𝐿𝑄2). Il peut s’agir de pertes dans les rétrécissements, les entrées, les grilles,les diffuseurs, les vannes, les robinets, les clapets, les coudes, etc.Pour une conduite cylindrique de diamètre 𝐷 = 20 cm et tournant de 90° avec un rayon du coude de 1,5 m, onaura un coefficient 𝐾 de 0,2. Quelle est la longueur de conduite en « fonte neuve » équivalente à ce coude ?À titre de comparaison, une entrée saillante de ce diamètre a un coefficient 𝐾 de l’ordre de l’unité, une vanneà passage direct de 0,1, un robinet à soupape de 6 et un clapet anti-retour à soupape de 70 (soit une longueuréquivalente de la conduite précédente de plus de 500 m).

II Point de fonctionnement hydraulique d’une installationII.A – Caractéristiques hydrauliques d’une pompe centrifugeUne pompe centrifuge est caractérisée a minima par trois paramètres : son débit volumique nominal 𝑄u�, sa hau-teur manométrique totale nominale 𝐻u�u� qui est la variation de hauteur manométrique engendrée par la pompe(usuellement exprimée en mètre de colonne d’eau : mCE) et son rendement hydraulique nominal 𝑅 = 𝑃ℎ/𝑃u�où 𝑃ℎ est la puissance hydraulique fournie par la pompe et 𝑃u� la puissance mécanique fournie à la pompe. Leconstructeur fournit les courbes 𝐻u�u�(𝑄u�) et 𝑅(𝑄u�). On dispose (figure 2) de la caractéristique hydraulique dutype de pompe retenue (WDE 32). Il s’agit d’une pompe centrifuge multi-étages dont le fonctionnement ne serapas étudié ici.Cette pompe étant fabriquée aux USA, la documentation fournie par le constructeur utilise des unités anglo-saxonnes : on notera que, dans la figure 2, la hauteur manométrique totale 𝐻u�u� (« head ») est exprimée en pieds(ft) (à gauche de la figure) et le débit volumique 𝑄u� (« capacity ») en gallons US par minute (USgpm). Pourconvertir ces unités anglo-saxonnes, on utilisera les facteurs de conversion indiqués en bas à droite de la figure 2.II.A.1) La puissance hydraulique d’une pompe s’écrit 𝑃ℎ = 𝜌𝑔𝐻u�u�𝑄u�. Justifier cette expression.

2016-02-23 17:27:32 Page 4/8

Figure 1 Schéma d’une pompe centrifuge

0

50

100

150

Pow

er(h

p)

0 50 100 150 200 250 300 350 400600

800

1000

1200

1400

𝐻u�u�(𝑄u�)

𝐹

Capacity (USgpm)

Hea

d(f

t)

30

40

50

60

70

Efficiency (𝑅(𝑄u�))

Effici

ency

(%)

Hydraulic power 63.7 hpPump speed 3200 rpmEfficiency (CE=1.00) 68.3%Rated power 93.3 hpMaximum power 108 hpDriver power 125 hp / 93.2 kW

Point de fonctionnement envisagé

100 USgpm (gallon per minute) = 6,31 L⋅s−1

1 rpm = 1 tr⋅min−1

100 ft = 30,5 m

Conversion des unités (à 3 chiffres significatifs)

Figure 2 Caractéristiques de la pompe WDE 32

II.A.2) Calculer la puissance mécanique 𝑃u� à fournir sur l’axe de la pompe pour le point de fonctionnement𝐻u�u�(𝑄u�) envisagé, repéré par le point 𝐹 sur la figure 2, en utilisant le rendement hydraulique en ce point.

II.B – Point de fonctionnement hydraulique et consommation électriqueL’alimentation en eau potable d’un village nécessite un volume d’eau de 2600 m3 par jour. On décide de faire letraitement de l’eau directement à côté de la prise d’aspiration (altitude 502 m) et de transporter l’eau potableau château d’eau du village (altitude 767 m) par une conduite de refoulement en fonte de diamètre nominal200 mm et de longueur 8,345 km. On négligera les pertes singulières devant les pertes linéaires ainsi que lespertes à l’aspiration devant les pertes au refoulement.II.B.1) Montrer que deux exemplaires de la pompe WDE 32 doivent nécessairement être montés en parallèle.II.B.2) En utilisant les valeurs des pertes régulières Δ�̄�u� calculées à la question I.B.2, ainsi que les figures 2et 7, déterminer le point de fonctionnement (𝑄 et 𝐻u�u�) suivant l’état de rugosité de la fonte (neuve, corrodéeou déposée).II.B.3) Dans un premier temps, les pompes sont entrainées par des moteurs dits asynchrones dont le rendementélectromagnétique est de 80%. Calculer, dans les trois situations précédentes, la puissance électrique consommée.Commenter l’effet du « vieillissement » de la surface intérieure de la canalisation sur la puissance électriquedemandée et sur le rendement énergétique global.II.B.4) Compte tenu de la vitesse de rotation des pompes, estimer le couple moteur mécanique de chaquemoteur entrainant la pompe. Choisir le moteur dit synchrone le plus approprié parmi les quatre décrits en figure 3 et utiliser son rendement à la vitesse de rotation de la pompe pour déterminer la puissance électrique consommée. Comparer à la puissance électrique consommée par un moteur asynchrone (question II.B.3).

0 1000 2000 3000 4000100

150

200

250

300

350

9

10

11

12

Vitesse de rotation (tr⋅min−1)

Cou

ple

(N⋅m

)

0 1000 2000 3000 400088

90

92

94

96

989101112

Vitesse de rotation (tr⋅min−1)

Ren

dem

ent

(%)

9101112

LSRPM 200 LU2 : 3600 tr⋅min−1 / 115 kW / 213 ALSRPM 200 L1 : 3600 tr⋅min−1 / 85 kW / 158 ALSRPM 200 L1 : 3600 tr⋅min−1 / 70 kW / 130 ALSRPM 200 L1 : 3600 tr⋅min−1 / 50 kW / 97 A

Figure 3 Caractéristiques de 4 moteurs

2016-02-23 17:27:32 Page 8/8

103

104

105

106

107

108

10−2

10−18 9

1.2

1.4

1.6

1.8 2

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6 7 8 9

67

82

34

56

78

23

45

67

82

34

56

78

23

45

67

82

34

56

78

1e−005

2e−005

5e−005

0.0001

0.0002

0.0004

0.00060.00080.001

0.0015

0.002

0.003

0.004

0.006

0.008

0.01

0.01250.0150.01750.02

0.025

0.030.0350.040.0450.05

0.06

0.07

Laminar

flowC

riticalzone

Transition zoneC

omplete turbulence, rough pipes, R > 3500/r, 1/√f = 1.14 − 2 log r

→→

←←

Darcy−Weisbach friction factor f ! """"2hDg

LV 2

Moody Diagram

r = 5e−006

r = 1e−006

Smooth pipes, r = 0

1/√f = 2 log(R √f ) − 0.8

Material

""""""""""""""

Riveted steel

Concrete

Wood stave

Cast iron

Galvanized iron

Asphalted cast ironC

omm

ercial steelD

rawn tubing

Reynolds num

ber R ! "" (V in m

/s, D in m

, ν in m 2/s)

VD ν

Relative roughness r ! " (ε in mm, D in mm) ε

D

Hagen−Poisseuille equation

R ≤ 2300, f = 64/R C

olebrook equation, R ≥ 23001/√f = −2 log(r /3.7 + 2.51/(R √f )) Acceleration at sea levellatitude 45°, g = 9.80665 m

/s 2

VD for w

ater at 20°C (V in m

/s, D in cm)

0.06||

0.1|0.2|

0.4|0.6|

0.8|1|

2|4|

6|8|

10|20|

40|60|

|100|

200|400|

600||

1000|2000|

4000|6000|

|10000

|____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

VD for atm

ospheric air at 20°C1|

2|4|

6|8|

10|20|

40|60|

|100|

200|400|

600||

1000|2000|

4000|6000|

|10000

|20000

|40000

|60000

|| 100000

|

ε (mm

)"""""""""

0.9−90.3−30.18−0.90.250.150.120.0460.0015

Fluid at 20°C""""""""""""""

Water

Air (101.325 kPa)

ν (m2/s)

"""""""""

1.003e−0061.511e−005

Figure 7 Diagramme de Moody

• • • FIN • • •