droites et plans de l’espace : position relative
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Droites et plans de l’espace :
position relative
Deux droites de l’espace peuvent être :
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
Leur intersection est vide.
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes
Deux droites distinctes de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes
Leur intersection est réduite à un point.
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Leur intersection est vide.
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Deux droites de l’espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si leur intersection est vide.
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Deux droites de l’espace dont l’intersection est vide ne sont pas nécessairement parallèles.
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Pour que deux droites de l’espace soient sécantes, il est nécessaire qu’elles soient coplanaires.
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Pour que deux droites de l’espace soient sécantes, il est nécessaire qu’elles soient coplanaires.Si deux droites de l’espace sont sécantes, elles sont nécessairement coplanaires.
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants
L’intersection de la droite et du plan est alors réduite à un point.
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
L’intersection de la droite et du plan est vide.
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
L’intersection de la droite et du plan est la droite.
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants
Leur intersection est une droite.
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
Leur intersection est vide.
Droites et plans de l’espace :
parallélisme
Théorème 1 : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
Exemple
Exemple
La droite (EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC), elle est donc parallèle au plan (ABC).
Théorème 2 : Si deux plans P1 et P2 sont parallèles, alors tout plan P qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection d1 et d2 sont parallèles.
Exemple
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).Le plan (ACG) coupe (EFG) suivant la droite (EG).
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).Le plan (ACG) coupe (EFG) suivant la droite (EG).On en conclut que les droites (AC) et (EG) sont parallèles.
Théorème 3 : Soit deux plans P1 et P2 sécants suivant une droite D et une droite d parallèle à P1 et à P2, alors d est parallèle à D.
Théorème 4 : Un plan P1 est parallèle à un plan P2 si et seulement si il existe deux droites sécantes de P1 parallèles au plan P2.
Exemple
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).(EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).(EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).(EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC).
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).(EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).(EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC).On en conclut que les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.
Théorème 5 (théorème du toit) Soit deux plans P1 et P2 sécants suivant une droite D. Si d1 est une droite du plan P1 et d2 une droite du plan P2 telles que d1 et d2 sont
parallèles, alors D est parallèles à d1 et à d2 .
Exemple : SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme.Déterminer l’intersection des plans (SAB) et (SCD).
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).(CD) est une droite du plan (SCD).
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).(CD) est une droite du plan (SCD).Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles .
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).(CD) est une droite du plan (SCD).Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles .D’après le théorème du toit, D est la parallèle à (AB) et à (CD) passant par S.