Vecteurs – Exercices corrigés
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1
Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux
Exercice 2 : parallélogramme et égalités vectorielles
Exercice 3 : coordonnées d’un vecteur par lecture graphique
Exercice 4 : coordonnées de vecteurs par le calcul
Exercice 5 : somme de vecteurs et calcul de coordonnées d’un vecteur
Exercice 6 : relation de Chasles et vecteurs opposés
Exercice 7 : multiplication d’un vecteur par un réel
Exercice 8 : milieu de segment et écritures vectorielles
Exercice 9 : vecteurs colinéaires / colinéarité
Exercice 10 : vecteurs colinéaires et points alignés
Exercice 11 : vecteurs colinéaires et droites parallèles
Vecteurs – Géométrie dans le plan
Exercices corrigés
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Soit un rectangle de centre .
1- Représenter les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .
2- Représenter les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .
3- Représenter les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .
Rappel : Translation de vecteur
Soient deux points et du plan. La translation qui transforme en associe à tout point du plan l’unique
point image du plan tel que les segments et ont le même milieu.
La transformation qui transforme en est appelée la translation de vecteur .
Un vecteur est caractérisé par :
sa direction : il s’agit de la droite
son sens : il s’agit de l’orientation de vers (matérialisée par la flèche orientée vers le point )
sa norme : il s’agit de la distance , c’est-à-dire de la longueur du segment
Remarque : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme.
Soit un rectangle de centre .
1- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .
La translation de vecteur transforme le point en . On dit que le point est l’image du point
par la translation de vecteur .
Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même
direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et
la translation de vecteur sont la même transformation.
Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
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3
Point méthode : Pour placer le point , image du point par la translation de vecteur , on construit
l’unique représentant du vecteur (même direction, même sens et même norme que le vecteur ) ayant
pour origine le point , de sorte que (c’est-à-dire de sorte que les vecteurs et soient égaux) .
Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même
direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et
la translation de vecteur sont la même transformation. On peut noter : .
2- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .
La translation de vecteur transforme le point en .
Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même
direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et
la translation de vecteur sont la même transformation.
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Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même
direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et
la translation de vecteur sont la même transformation.
3- Représentons les transformés respectifs des points , et par la translation de vecteur .
Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même
direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et
la translation de vecteur sont la même transformation.
Le point est transformé en par la translation de vecteur . En effet, le vecteur a même
direction, même sens et même norme que le vecteur . Autrement dit, la translation de vecteur et
la translation de vecteur sont la même transformation.
La translation de vecteur transforme le point en .
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Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse :
1- est un parallélogramme donc .
2- Une translation transforme en et en donc et ont même milieu.
3- et sont deux parallélogrammes donc est un parallélogramme.
4- est un parallélogramme donc est l’image de par la translation de vecteur .
1- Soit un parallélogramme. Il en résulte les égalités vectorielles suivantes :
L’affirmation proposée est donc fausse.
2- Une translation transforme en et en .
Par conséquent, le quadrilatère est un
parallélogramme.
Or, les diagonales d’un parallélogramme se coupent
en leur milieu donc et ont même milieu.
L’affirmation proposée est donc vraie.
3- et sont deux parallélogrammes.
Correction de l’exercice 2
Exercice 2 (4 questions) Niveau : moyen
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D’une part, est un parallélogramme donc
, , et .
D’autre part, est un parallélogramme donc
, , et .
Ainsi, et , c’est-à-dire .
Donc est un parallélogramme.
L’affirmation proposée est donc fausse.
4- Soit un parallélogramme.
Par conséquent, le point est l’image du point par
la translation de vecteur .
L’affirmation proposée est donc vraie.
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Dans le repère ci-contre, lire
les coordonnées des vecteurs suivants :
Rappel : Ecriture d’un vecteur dans un repère
Dans un repère , tout vecteur de coordonnées ( ) se décompose de façon unique sous la forme :
Remarque : Dans cet exercice, est un repère orthogonal mais pas orthonormal. En effet, les axes
et du repère sont orthogonaux, mais les unités d’axes ne sont pas égales puisque la norme du
vecteur est le double de celle de .
Dans le repère , on a :
d’où ( )
d’où ( )
d’où ( )
d’où ( )
d’où ( )
d’où ( )
d’où ( )
d’où (
)
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 3
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Remarque : Ci-dessous figure la représentation du vecteur , accompagnée d’une explication permettant de
mieux comprendre l’écriture vectorielle de dans le repère .
Pour « aller » de à , on effectue :
d’une part un déplacement
horizontal suivant un axe parallèle à
l’axe vert des abscisses
(direction), dans le sens du vecteur
, c’est-à-dire de la gauche vers la
droite (sens), en parcourant une
distance de 3 carreaux, c’est-à-dire
une distance de 3 fois la norme du
vecteur unitaire (norme) ;
d’autre part un déplacement vertical
suivant un axe parallèle à l’axe
rouge des ordonnées
(direction), dans le sens du vecteur
, c’est-à-dire du bas vers le haut
(sens), en parcourant une distance de
2 carreaux, c’est-à-dire une distance
d’1 fois la norme du vecteur unitaire
(norme).
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Dans un repère, on donne les points suivants :
Calculer les coordonnées des vecteurs suivants :
Rappel : Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Soient et deux points dans un repère. Les coordonnées du vecteur sont :
(
)
Dans un repère, on donne les points suivants :
Le vecteur a pour coordonnées :
(
) (
) (
)
Le vecteur a pour coordonnées :
(
) (
) (
) (
)
Le vecteur a pour coordonnées :
(
) (
) (
) (
)
Le vecteur a pour coordonnées :
(
) (
) (
)
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 4
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Remarque : En considérant que les points , , et sont placés dans un repère :
(
)
(
)
(
)
(
)
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Dans un repère du plan, on donne les points :
Placer le point tel que et donner les coordonnées du vecteur .
Dans le repère orthonormé ci-contre, on a
commencé par placer les points suivants :
Plaçons désormais le point tel que .
1ère
étape :
On représente le vecteur d’origine le point . On
choisit le point comme origine puisqu’on cherche à
placer le point tel que , c’est-à-dire
à placer le point image de par la translation de
vecteur .
Exercice 5 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 5
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2ème
étape :
On construit le représentant du vecteur d’origine
le point .
3ème
étape :
On construit le représentant du vecteur d’origine
le point (point extrémité du vecteur ). Ce vecteur
a par conséquent même direction, même sens et même
norme que le vecteur et a pour origine .
On vient par conséquent de représenter finalement le
vecteur .
4ème
étape :
On représente désormais (en noir) le représentant du
vecteur d’origine . Le point extrémité est
le point puisque .
Déterminons dès lors les coordonnées du vecteur .
Comme , le vecteur a pour
coordonnées : ( )
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En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes :
Rappel : Relation de Chasles
Soient et deux points. Alors, quel que soit le point ,
Complétons les égalités proposées en faisant appel à la relation de Chasles.
⏟
Rappel : Vecteurs opposés
est le vecteur opposé au vecteur et on note .
Ainsi,
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 6
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Soient et deux points distincts du plan. Placer les points , , et tels que :
Soient et deux points distincts. Représentons le vecteur .
L’égalité vectorielle indique que les vecteurs et ont même direction et même sens et
que la norme de est 4 fois plus grande que la norme de .
L’égalité vectorielle équivaut , c’est-à-dire à . Autrement dit, les
vecteurs et ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de est 3 fois plus
grande que la norme de .
L’égalité vectorielle équivaut
, c’est-à-dire à . Autrement dit, les
vecteurs et ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de est
fois plus
grande que la norme de .
( )⏟
Les vecteurs et ont même direction et même sens et la norme de est
fois plus grande que
celle de .
Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 7
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Soit le milieu du segment . Déterminer la valeur des réels , , et des écritures vectorielles
suivantes :
Soit le milieu du segment .
Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et même sens (de vers ). En outre,
comme est le milieu du segment , . Ainsi :
Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et même sens (de vers ). En outre, comme
est le milieu du segment , . Ainsi :
Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et sont de sens contraires. En outre, comme
est le milieu du segment , . Ainsi :
D’après ce qui précède, donc l’égalité vectorielle équivaut à ,
c’est-à-dire : . En factorisant dans le membre de gauche par le vecteur , on obtient :
. Autrement dit, comme , . D’où .
Exercice 8 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 8
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Dans chaque cas, justifier si les vecteurs et sont colinéaires.
1)
(
)
et (
)
2)
(
)
et (
)
3)
(
√ )
et (
√
√ )
Rappel : Vecteurs colinéaires
Définition : Dire que deux vecteurs et non nuls sont colinéaires signifie qu’ils ont même direction.
Théorème : Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel non
nul tel que .
Théorème : Deux vecteurs ( ) et (
) non nuls sont colinéaires si, et seulement si, .
L’expression est le déterminant des vecteurs et et on note |
| .
1)
1ère
méthode : calcul du déterminant
|
|
Le déterminant des vecteurs et est nul donc les vecteurs sont colinéaires.
Exercice 9 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 9
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2ème
méthode : recherche d’un réel non nul tel que .
Supposons ( ) et (
) dans un repère . Alors :
⏞
⏞
⏟
(
)
⏟
donc les vecteurs et sont colinéaires.
2)
|
|
Le déterminant des vecteurs et n’est pas nul donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
3)
| √
√ √ | √ √ ( √ ) √ √ √ ⏟
√ √
√ √
Le déterminant des vecteurs et est nul donc les vecteurs sont colinéaires.
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Soit un triangle et soient les points et définis respectivement par et .
1- Démontrer que les points , et sont alignés.
2- En déduire une construction du point .
Rappel : Alignement de points et colinéarité
Trois points , et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Remarque : On
peut aussi montrer que les vecteurs et sont colinéaires ou que les vecteurs et sont colinéaires.
1- Pour montrer que les points , et sont alignés, montrons que les vecteurs et sont
colinéaires.
D’après l’énoncé, .
Or, ⏟
( )⏟
⏟
( )
⏟
⏟
⏟
⏟
donc les vecteurs et sont colinéaires. Par conséquent, les points , et sont alignés.
2- De l’égalité vectorielle , on peut déduire que et que . Ainsi, pour tracer
le point , il suffit de tracer un arc de cercle de centre et de rayon sur la demi-droite . est
alors le point d’intersection de la demi-droite et de l’arc de cercle.
Exercice 10 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 10
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Soient les points , , et dans un repère . Les droites et
sont-elles parallèles ?
Rappel : Parallélisme de droites et colinéarité
Deux droites et sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires.
Remarque : Les vecteurs et sont des vecteurs directeurs respectifs des droites et .
Soient les points , , et dans un repère . Les droites et
sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.
Calculons dès lors les coordonnées des vecteurs et .
a pour coordonnées :
(
) (
) (
) (
)
a pour coordonnées :
(
) (
) (
)
Calculons désormais le déterminant des vecteurs et .
( ) |
|
( ) donc les vecteurs et sont colinéaires. Il en résulte que les droites et sont
parallèles.
Remarque : On pouvait également montrer la colinéarité en observant que .
En effet,
Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 11